Уравнение третьей степени онлайн: Решение кубических уравнений онлайн

Исследовательская работа «Прогрессивное решение кубических уравнений. От простого до сложного» • Наука и образование ONLINE

Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Исследовательская работа «Прогрессивное решение кубических уравнений. От простого до сложного»

Автор: Юсупова Гавхархон Джахонгировна

Место работы/учебы (аффилиация): СООУ 16 Б Гафуровский район, Таджикистан,

Научный руководитель: Шарипова Гулбахор Халимджановна

Актуальность. Практически всё, что окружает человека так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Множество различных алгебраических и геометрических задач сводятся к какому-либо уравнению. Линейные уравнения мы знаем с самых ранних лет, с начальной школы. С квадратными знакомимся в 8 классе, а вот кубические уравнения решаем в старших классах, делаем это обычно графическим способом или методом разложения на  множители.

Проблема: Отсутствие навыков решения уравнений высших степеней вызывает затруднение при подготовке к итоговой аттестации на профильном уровне.

Объект: Кубическое уравнение

Предмет исследования: Способы решения кубических уравнений.

Гипотеза: Существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

Цель: Изучение способов решения кубических уравнений.

Задачи:

1. Подобрать необходимую литературу;
2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию;
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию;
4. Найти различные методы и приёмы решения кубических уравнений;
5. Классифицировать исследуемые уравнения;
6. Сравнить степень сложности каждого из них;
7. Познакомить одноклассников со способами решения уравнений;
8. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.

Методы исследования:

• Изучение литературных и Интернет-ресурсов;
• Анализ и классификация информации;
• Сравнение способов решения; -Обобщение.

Структура работы: Работа состоит из двух глав. Первая глава азбука кубического уравнения и уравнений n-ой степени. Вторая-. В третьей главе рассмотрены различные приёмы решения кубических уравнений.

Новизна работы: Мной было придумана новая тема с названием «Прогрессия корней уравнений n-ой степени», где там есть доказательства о возможности  решение уравнений 7 степени.  А также теорема Виета для уравнений пятого, шестого и седьмого степени.

Выводы:

1. Теория уравнений занимает ведущее место в математике. Имеет не только теоретическое значение, но и служит практическим целям. Изучив учебную и научную литературу,  интернет-ресурсы по теме «Кубические уравнения и его корни» удалось выяснить, что современной науке известно множество способов решения уравнений.
2. На мой взгляд, самые надежные и практичные способы — это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.
3. Выдвинута гипотеза о существовании связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями. Действительно — такая формула существует.
4. В данной работе достигнута цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы.  Рассмотрено много примеров. Исследованы различные методы решения уравнений третьей степени. Не все способы удобны для решения, но каждый из них интересен. Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 — 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубических уравнениях и способах их решения.

Практическая значимость: в зависимости от вида уравнения умение определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.  Продолжение работы вижу в изучении уравнений высших степеней.

Загрузка…

Реферат «Бенефис квадратного уравнения»

Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (…

Посмотреть работу

Исследовательский проект «Последовательность Фибоначчи в трейдинге»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Обоснование выбора темы. В последние годы интерес к инвестициям в России постоянно растёт. Инвестирование в ценные бумаги стало более выгодной альтернативой хранению сбережений дома или на банковском депозите. Что общего между Московской фондовой бир…

Посмотреть работу

4″>Исследовательский проект «Уравнения в целых числах»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Исследование диофантовых уравнений — уравнений в целых числах — интересовало математиков с древних времен до современности. Общего подхода к решению таких уравнений открыть не удалось, не зря их называют неопределенными. Решение таких уравнений рассм…

Посмотреть работу

Проект «Алгебра в экономике (бизнес планирование)»

В экономической науке широко используется методы анализа, синтеза, индукции, научного абстрагирования, а также математический инструментарий. Гипотеза: Математические законы и понятия, которыми мы владеем, используются ли в экономике. Цель работы: По…

Посмотреть работу

Мероприятие завершено

Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные,  а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0   с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен — x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Пример 1

Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2×3-3=0x3-32=0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения — Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0

Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:

5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910

Ответ:

x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.

Решение

Упростим выражение.

3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что

2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0

Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:

±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36

Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида

13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

xi	Коэффициенты многочлена
	2	-11	12	9
-0. 5	2	-11+2·(-0.5)=-12	12-12·(-0.5)=18	9+18·(-0.5)=0

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.

Решение

Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.

Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.

Отсюда следует, что

p=-B123+B2=—11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327—112·63+92=343108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y=-q2+q24+p3273+-q2—q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163  имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

-3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2

Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32

Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76

Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.

Тогда получим пары: 7612+i·32  и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76

Значит,

x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3

Ответ: x1=-12,  x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решатель уравнений 3-й степени

• Выражение
• Уравнение
• Неравенство
• Свяжитесь с нами

• Упрощение
• Коэффициент 900 04
• Expand
• GCF
• LCM

• Решить
• График
• Система

• Решение
• График
• Система

• Математический решатель на вашем сайте

Наших пользователей:

Программное обеспечение очень помогло в изучении радикальных уравнений, теперь мне не нужно тратить так много времени на домашнее задание по алгебре.
Гвен Фербер, Теннесси

Я все еще учусь, как его использовать, но то, что я узнал, здорово. Спасибо!
Х.М., Техас

Могу я просто сказать тебе, какой ты замечательный? Вам это может показаться простым, но вы только что восстановили мою веру в человечество (немалое дело). Спасибо за ваш добрый и быстрый ответ.
Дейл Морриси, Флорида

Окончив среднюю школу, я был одним из лучших учеников по математике в классе. Поступление в колледж было унизительным, потому что внезапно я стал едва ли средним. Итак, мои родители помогли мне выбрать Алгебратор, и через несколько недель я снова вернулся. Ваша программа не только отлично подходит для начинающих, как мои младшие братья в старшей школе, но и помогла мне, как новому студенту колледжа!
Кэтрин, Иллинойс

Не могу передать, как я счастлива, что наконец-то нашла программу, которая меня действительно чему-то учит!!!
Дана Уайт, Иллинойс

---

Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь.

Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 01.01.2014:

• тест по математике для компетентных экзаменов
• КАК ИЗВЛЕЧЬ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ
• План медицинского обслуживания
• Электронная книга по алгебре
• Бюджетные формы
• сложные задачи на квадратный корень
• Быстрые свидания в Майами
• программирование биномиального представления в десятичное
• академические математические мелочи
• тест по математике для второго класса сложение и вычитание
• Программное обеспечение для инвестиционных советников
• Алгебра, КС3, вопросы
• Английский год 11+ контрольные работы онлайн практика
• Степени доктора наук
• помогите решить GCF калькулятора экспоненты
• Подать заявку на получение карты Mastercard
• Недвижимость во Франции на продажу
• Лазерный глазной хирург Теннесси
• Алгебра Холта, глава 8
• Юридическая фирма Батон-Руж
• ти 84 ПЗУ образ
• Вестерн Экспресс Авиакомпания
• стихи по алгебре
• Страхование жизни CE
• Калькулятор преобразует число «192» в двоичное число
• Автострахование Индианы
• бесплатная помощь с домашним заданием по алгебре среднего уровня
• почему алгебра
• Мгновенные градусы
• оценка функциональной записи с использованием коэффициента разности
• Прескотт Адвокат
• Путешествие по Каймановым островам
• , выражая проценты десятичными дробями
• Летние рабочие листы по математике для 6-го класса
• Остин, Техас Глазные врачи
• Матрица и вектор стали проще для TI-89 бесплатно
• Оценка пригодности
• Учебники по химии
• Коробка для завтрака Bonanza
• Аврора Адвокат
• Образование Миссури
• Щелкните фильм
• скачать викторины с ответами на университетский уровень
• Предыдущие экзаменационные вопросы 12 класс
• Ноутбуки Lenovo
• БЕСПЛАТНЫЕ ЛИСТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА ДЛЯ ПЕЧАТИ
• бесплатные концепции и модели алгебры для колледжей шаг за шагом
• скачать книги макдугал литтел
• концепция перестановки ppt
• Роскошные выходные в Эдинбурге
• Программное обеспечение для бизнес-планов
• Этна Мичиган
• Каникулы в Канкуне
• квадратный корень из степени
• система дифференциальных уравнений нелинейная
• дроби первого сорта
• решение для переменных корень n-й степени
• Брокер ведет
• учителя веб
• значение дроби проверки java
• tI83 плюс как я оцениваю подкоренные выражения
• решить математические задачи вершина параболы
• линейная алгебра II (упражнения и решения)
• помощь в поиске областей задач по алгебре
• Круизы в Австралию
• Учебник по учету затрат — Бесплатно
• Партнерская комиссия Junction
• задачи по алгебре университетского уровня для печати
• алгебра колледжа с ключом ответа
Принцип
• , используемый для упрощения многочлена
• программное обеспечение для предварительной алгебры
• задачи по математике для ged
• Решения для студентов по алгебре в колледже 9-е издание Густафсон Фриск
• практических вопросов по целочисленной алгебре для gr . 9
• ti89 титановая дифференциация для чайников
• Викинг Киров Круизы
• Решение дробных уравнений Сложение Вычитание
• Адвокаты по уголовным делам Онтарио
• Одежда чикагских медведей
• Закон о строительстве
• Тестовые вопросы для 6-го класса
• Подарки для мужчин
• Адвокаты по уголовным делам Хьюстона
• Финансовый планировщик
• упростить выражение с делением
• домашнее задание онлайн для 6-х классов
• использовать математические символы онлайн для рабочих листов
• вычислить третий корень Java
• Учебник по булевой алгебре
• Земельные и строительные ссуды Алабама
• рабочие листы по математике prentice hall ответы
• Спортивный маркетинг
• excel, многочлен
• Выкупной фонд
• триганометрия
• Алгебраические графики
• Деление многочленов на двучлен
• Личный советник по банкротству
• упражнение по принципам управления вопрос и ответ

Предыдущая

Далее

Готов | Университет Висконсина

Поиск

Весь сайт

Каталог

Программы

Майоры и несовершеннолетние

Ищи сейчас

Онлайн степени

Узнать больше

Оплата колледжа

Стипендии и многое другое!

Дружественный к трансферу прием

Трансфер в Стаут

Кампус Туры

Совершите тур!

Наше политехническое преимущество

Наше преимущество

Откройте для себя путь карьеры в UW-Stout

Искусство, дизайн и графика

Искусство, дизайн и графика

Посмотреть кластер

Управление бизнесом

Бизнес и управление

Посмотреть кластер

Образование

Образование

Посмотреть кластер

Гуманитарные и социальные науки

Гуманитарные и социальные науки

Посмотреть кластер

Информационные технологии и коммуникации

Информационные технологии и связь

Посмотреть кластер

Наука, инженерия и математика

Наука, инженерия и математика

Посмотреть кластер

Студенты и семьи

Начало здесь

Сотрудники факультета

Найдите это здесь

Сообщество и посетители

Узнать больше

Продвигайтесь дальше по карьерной лестнице!

Ученая степень

Продвиньтесь по карьерной лестнице, занимаясь профессиональным развитием, получением степени, степенью или сертификатами.

Поиск ученых степеней

Лайф@Стаут

Мы гордимся Стаутом

Одно дело найти школу, в которой есть ваша степень; представлять себя есть другое. Узнайте, почему мы #StoutProud!

Узнать больше

Особенности UW-Stout

Центр новостей

Заявление канцлера о финансировании Зала наследия

Канцлер Кэтрин Франк делает заявление после одобрения финансирования Зала наследия Объединенным финансовым комитетом.

2 июня 2023 г. Продолжить чтение

1173 балла гордости: канцлер Франк поздравляет выпускников с «заслуженным достижением»

Три церемонии вручения дипломов 6 мая в UW-Stout отметили прогресс, настойчивость и успех 1173 выпускников.

8 мая 2023 г.

Университет совместно спонсирует организацию второго проекта DesignWisconsin 13 мая совместно с Trek, IDSA

Дизайн продуктов от 20 компаний штата Висконсин и многие другие будут представлены на втором ежегодном мероприятии DesignWisconsin с 10:00 до 17:00.