Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс
Основные цели:
- Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
- Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
- Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
- Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.
Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:
- Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
- Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
- Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
- Использование исследовательского метода в обучении, направленного на
развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого
конкретного ученика.
- Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).
План урока:
- Организационный момент.
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока. - Актуализация знаний учащихся.
Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам - Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
- Подведение итогов.
Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке. - Домашнее задание.
Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.
Конспект урока
1. Организационный момент.
Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней.
2. Актуализация знаний учащихся.
Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.
- Понятие уравнения с одной переменной.
- Понятие корня уравнения, решения уравнения.
- Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
- Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
- Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
- Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
- Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения
исходного уравнения на множители.
- Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
- Схема Горнера.
3. Изучение новой темы.
Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : Pn(x) = 0 , где Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + a1x + a0 – многочлен n-й степени от x, an≠ 0. Если an = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.
n = 1 – линейное уравнение.
n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.
n = 3 – кубическое уравнение.
Метод группировки.
Пример: x3 – 4x2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x2– 1) = 0 x1 = 4 , x2 = 1, x3 = -1.
Возвратное кубическое уравнение вида ax3 + bx2 +
Пример: x3 – 5x2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x2 – 6x + 1) = 0 x1 = -1, x2 = 3 + 2, x3 = 3 – 2.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера.
При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что
перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному
алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого
рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена { +1; +3; +5; +15}. Применим схему Горнера:
| x3 | x2 | x1 | x0 | вывод | |
| 1 | -9 | 23 | -15 | ||
| 1 | 1 | 1 х 1 – 9 = -8 | 1 х (-8) + 23 = 15 | 1 х 15 – 15 = 0 | 1 – корень |
| x2 | x0 |
Получаем
(x – 1)(x2 – 8x + 15) = 0
x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: 9x3 + 27x2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. { +1; +3; +9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+1; +; +; +3}. Применим схему Горнера:
| x3 | x2 | x1 | x0 | вывод | |
| 9 | 27 | -1 | -3 | ||
| 1 | 9 | 1 x 9 + 27 = 36 | 1 x 36 – 1 = 35 | 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 | |
| -1 | 9 | -1 x 9 + 27 = 18 | -1 x 18 – 1 = -19 | -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 | -1 – не корень |
| 9 | x 9 + 27 = 30 | x 30 – 1 = 9 | x 9 – 3 = 0 | корень | |
| x2 | x1 | x0 |
Получаем (x – )(9x2 + 30x + 9) = 0 x1
= , x2 = — , x3 = -3.
Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.
.
.
Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n = 4 – уравнение четвертой степени.
Метод группировки.
Пример: x4 + 2x3 + 5x2
+ 4x – 12 = 0
(x4 + 2x3) + (5x2 + 10x)
– (6x + 12 ) = 0
(x + 2)(x3 + 5x – 6) = 0
(x + 2)(x – 1)(x2 + x + 6) = 0
x1 = -2, x2 = 1.
Метод замены переменной.
- Биквадратное уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0.
Пример: x4 + 5x2 – 36 = 0. Замена y = x2. Отсюда y1 = 4, y2 = -9. Поэтому x1,2 = +2 .
Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида
- Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax4
+ bx3 + cx2 + kbx
+ k2a = 0.
Пример 1:
Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.
n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы.
Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.
Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.
Метод замены переменной. Использование однородности.
Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой
степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и
норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это
показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).
- Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
- За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
- Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней. Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x8 – x3 + 1 = 0 не имеет корней.
- Использование свойства монотонности функций . Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
Пример 1: уравнение x5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x4 + (x – 1)4 = 97 имеет корни x1 = -2 и x2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.
4. Подведение итогов.
Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.
5. Домашнее задание.
[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36,
39–44, 46,47.
[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.
Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:
- Формула Кардано
- Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
- Методы приближенного решения уравнений.
Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:
Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность
подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно
простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются
различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно
упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения.
В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения
уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени;
проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом
соответствующего графика.
Ниже приведен список книг, в которых можно найти
дополнительную информацию по данной тематике.
Список литературы:
- Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
- Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
- Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
- Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
- Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
- Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н.
“Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” –
М. , Просвещение, 2007 – 112 с.
- Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
- Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
- Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
- Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
- Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
- Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М. ,
Педагогика, 1985 – 352 с.
- Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
- Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
- Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.
, Просвещение, 2007 – 112 с.
,
Педагогика, 1985 – 352 с.Лекция 20. Уравнения третьей степени. Формула
КОРДАНО.
Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:
(1)
Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент равен единице; в противном случае мы поделили бы обе части уравнения на старший коэффициент.
Подвергнем
(1) упрощению – сделаем член с квадратом
неизвестного равным нулю, для чего
положим и найдем
.
Таким образом, сделав в (1) подстановку , получим неполное кубическое уравнение:
(2)
Чтобы найти корни уравнения (2), положим , где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:
,
раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:
.
Потребуем, чтобы или . Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.
Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:
Отсюда согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:
откуда
.
Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:
(3)
(3)
– формула Кардана.
Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v, получим девять сумм u+ v ,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:
(4)
Обозначим через , какую-нибудь пару значений , удовлетворяющих (4), а через — один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например:.
Тогда , . Найдем . Так как и , то
, откуда
, откуда .
Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):
, , .
Учитывая, что , , имеем: (5)
Пример.
Определить по формуле Кардана корни
уравнения:
, .
,
Обозначим — выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.
Предложение Если, то уравнение (2) имеет три различных корня.
Покажем, что , , , где — первообразный корень третьей степени из 1.
Пусть , , . Возведя обе части равенства в куб получим : , т.е. квадратное уравнение имеет два равных корня: , что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) , т.к. при . Если бы , то , т.е.
, что при невозможно.
Аналогично обнаруживается, что .
Если прии , то
. Так как
,то
.
Следовательно
.
Откуда одно из значений : . Соответствующее значение :
Обращаясь к формулам (5) получим:
Предложение: При (и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно: , (6)
Пример: Решить уравнение: .
УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Пусть (7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .
Теорема: Если, то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;
если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;
если, то то все корни (7) действительны и различны.
1.
.
Так как
,
то все три корня уравнения (7) должны
быть различными.
Рассмотрим выражение .
Так как , то — действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть , тогда . На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: , а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:
,
.
2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.
При , , уравнение (7) имеет три равных нулю корня: .
3. ( неприводимый случай). Так как , то , где . Тогда. Найдем модульи аргумент подкоренного выражения:
, . Т.о. .
Полагая получим:
.
Произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату модуля:
.
Найдем
, т.е. , но . Значит . Тогда
Тогда корни (7) имеют вид:
(8)
Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.
Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.
Пример. Очевидно — действительный корень.
( один действительный и два сопряженных мнимых корня)
По формуле Кардана: — иррациональные числа
При
приближенных вычислениях
,
.
Вследствие этого недостатка рациональные
корни кубического уравнения с рациональными
коэффициентами определяют не по формуле
Кардана.
УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Пусть (1) –
Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.
(2)
Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что , где , , . Если , сравнивая коэффициенты при : , , , откуда . Обратно, если , то .
Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что .
(3)
(3)- кубическая резольвента.
Пусть — какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:
Откуда
Эти
два квадратных уравнения дадут все
четыре корня уравнения (1).
Итак, решение
уравнения четвертой степени сводится
к решению одного уравнения третьей
степени и двух уравнений второй степени,
и так же решается в радикалах. При
нахождении корней уравнения типа (1) по
способу Феррари проводят последовательно
все преобразования, не запоминая
кубическую резольвенту.
Пример.
, ,
II способ Левая часть уравнения раскладывается на два множителя второй
степени, которые последовательно
приравниваются к нулю. Для нахождения
такого разложения левую часть представляют
как разность квадратов, для чего сначала
представляют ее как разность между
квадратом некоторого квадратного
трехчлена и многочленом второй степени:
—
(члены степени не больше двух), оставляя пока неопределенным.
В вычитаемое при
этом входят лишние члены уменьшаемого(
члены степени не больше 2) и такие же
члены левой части (с обратным знаком).
Для того, чтобы вычитаемое было полным
квадратом, надо, чтобы его дискриминант
был равен нулю. Это условие дает уравнение
третьей степени относительно . Беря в качестве
любой
корень этого уравнения, получаем искомое.
Пример.
1)
, , ,
, ,
*2)
Степень уравнения
Степень уравнения описывает, что наивысшее
степень , до которой возводится любая переменная в уравнении.
А 1 ст Уравнение степени используется для описания уравнения, в котором наивысшая степень
любая переменная равна «1». Уравнение 2 й степени используется для
опишите тот, в котором наивысшая степень любой переменной равна «2». Это продолжается, ибо
3 й градус, 4 й градус и т.д…
Так что возьмите это уравнение, например:
Спонсируемые ссылки
В этом уравнении есть только один термин, который имеет переменная или прочислительное в нем – термин «х». Наличие только «х» означает, что это возводится в первую степень, так как мы знаем, что:
Таким образом, уравнение является уравнением первой степени. Но что насчет это уравнение:
В этом уравнении много членов, и два типа
переменная – «а» и «б».
Наивысшая степень любого «а» равна 3, а наибольшая
степень любого b равна 2. Поскольку a имеет наибольшую мощность, она определяет степень
уравнение такое. Поскольку буква «а» возведена в степень «3», это означает
уравнение представляет собой уравнение 3 rd степени .
Решение уравнений первой степени
Решать уравнения первой степени довольно просто, нужно просто нужно помнить, что все, что вы делаете с одной частью уравнения, вы должны делать в другую сторону тоже. Если вы умножаете одну сторону на 5, вам нужно умножить с другой стороны тоже на 5. Если вы вычтете «2x» с одной стороны, вам нужно вычтите «2x» с другой стороны. Довольно легкая вещь. Вот Основные действия, которые помогут решить уравнение:
· Умножить или разделить обе части уравнения на номер или пронумеральный.
· Добавьте или вычтите что-нибудь из обеих частей уравнения.
· Умножьте члены в скобках.
·
Сделайте так, чтобы все дроби имели общий знаменатель , чтобы вы могли сделать
расчеты с ними.
· В качестве альтернативы полностью избавьтесь от дробей, умножив оба стороны уравнения произведением их знаменателей.
Помните, что ваша конечная цель, когда вы решаете значение конкретной переменной или pronumeral состоит в том, чтобы получить уравнение в форма:
Например, вот типичный первой степени уравнение:
Сразу заметим, что можно разделить обе стороны на «4»:
Теперь можно умножить 9 за скобки:0019
Ваша конечная цель – получить «x = нечто…». у нас есть термины с «x» в них с обеих сторон уравнения. Мы можем решить это, избавившись от «x» на L.H.S. путем вычитания «х» из обоих стороны:
Теперь у нас есть только «x» на одной стороне уравнения, но
у нас также есть надоедливая «-9».
Давайте избавимся от этого, добавив «9′ к
обе стороны:
Теперь нам осталось только сократить число до x, мы можем сделать это, разделив обе части уравнения на «2»:
Уравнения 900. Уравнение первой степени — Линейные уравнения
Уравнение первой степени
Что такое уравнение?
Уравнение в математике — это утверждение, которое связывает 2 выражения с помощью символа равенства.
Одним из основных типов уравнений являются уравнения первой степени, которые можно назвать «линейными уравнениями».
Линейные уравнения с одной переменной
Линейное уравнение — это уравнение, представляющее прямую в квадратичной системе.
Общая форма этого уравнения: ax + b = 0 , где a и b — целые числа, а x — переменная. Этот тип уравнения имеет только одно решение и представляет собой прямую, параллельную оси y.
Как решать линейные уравнения с одной переменной?
Во-первых, давайте напишем основные аксиомы, которые мы применяем при решении уравнения:
1. Аксиома сложения: Когда две равные величины добавляются к обеим частям уравнения, уравнение все равно остается равным.
2. Аксиома вычитания: когда две равные величины вычитаются с обеих сторон уравнения, уравнение остается равным.
3. Аксиома умножения: когда мы умножаем обе части уравнения на одно и то же значение, уравнение все равно остается равным.
4. Аксиома деления: когда мы делим обе части уравнения на одно и то же значение (≠0), уравнение все равно остается равным.
5. Аксиома распределения: a(b+c) = ab + ac.
Шаги для решения линейного уравнения с одной переменной: ax+b=0
Нам нужно выяснить, как изолировать переменную x, и в этом нам помогут приведенные выше аксиомы. В результате мы будем использовать аксиомы в зависимости от уравнения, которое у нас есть.
1) Во-первых, мы должны увидеть, какую переменную нам нужно изолировать.
2) Затем различайте переменные и константы.
3) Сгруппируйте переменные слева и константы справа.
4) Используя перечисленные выше аксиомы, мы выполняем алгебраические операции, чтобы получить значение переменной.
Пример 1: Решите 6x + 8 = 12
Решение: Наша цель — изолировать переменную x.
Шаг 1. Вычтите 8 из обеих сторон.
6x + 8 – 8 = 12 – 8
6x = 4
Шаг 2. Разделите обе части на 6
$\displaystyle \frac{6x}{6}=\frac{4}{6}$
$\displaystyle x=\frac{2}{ 3}$
Шаг 3. Таким образом, мы изолировали переменную $\displaystyle x=\frac{2}{3}$
Пример 2. Решение 3(x+8) – 2 = 3(9-x)
Решение: Во-первых, нам нужно применить диструбутивную аксиому или, проще говоря, убрать скобки.
3(x+8) – 2 = 3(9-x)
3x + 24 – 2 = 27 – 3x (вычислите одинаковые члены для обеих сторон, если они есть)
3x + 22 = 27 – 3x
Во-вторых, мы должны Объединить подобные термины.
Нам нужно поместить «x» на той же стороне (предпочтительно слева), а константы — на другой стороне, справа.
После этого мы прибавляем 3x к обеим сторонам и вычитаем 22 из обеих сторон.
3x + 22 + 3x = 27 – 3x + 3x
6x + 22 = 27
6x + 22 – 22 = 27 – 22
6x = 5
В-третьих, осталось разделить на обе стороны 6, чтобы мы могли изолировать ‘x’.
$\displaystyle \frac{6x}{6}=\frac{5}{6}$
$\displaystyle x=\frac{5}{6}$
Как решить уравнение первой степени с дробями.
Уравнения первой степени с дробями — это уравнения, которые немного сложнее решить.
Поэтому вам нужно тщательно выполнить некоторые шаги, чтобы избежать ошибок.
1. Сначала нам нужно удалить знаменатель.
2. Затем снимите скобки.
3. Переместите члены, где переменные, в левую часть, а числа в правую часть уравнения.
4.
Упрощайте, выполняя математические операции.
5. Найдите значение x.
Но как убрать знаменатель в уравнении первой степени?
Первый метод- Сначала мы должны получить общий знаменатель всех знаменателей уравнения, чтобы сложить и вычесть дроби .
- После нахождения общего знаменателя мы умножаем числитель на соответствующее ему число, чтобы получить его эквиваленты дроби .
- Это число получается путем деления общего знаменателя на знаменатель исходной дроби .
- После этого мы можем исключить знаменатель с обеих сторон, а затем выполнить шаги, описанные выше.
Пример 3. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{{6x+2}}{3}-1=3x$
Шаг 1: $\displaystyle \frac{?}{3}-\frac{3}{3}=\frac{?}{3}$
$\displaystyle \frac{{(6x+2)} }{3}-\frac{3}{3}=\frac{{3\cdot 3x}}{3}$
$\displaystyle (6x+2)-3=9x$
Шаг 2: $\ displaystyle 6x+2-3=9x$
Шаг 3: $\displaystyle 6x-9x=+3-2$
Шаг 4: $\displaystyle -3x=1$
Шаг 5: $\displaystyle x=- \frac{1}{3}$
Пример 4.
Решите уравнение: $\displaystyle 2x+1-\frac{{x+1}}{4}=\frac{x}{3}$
1 . $\displaystyle \frac{?}{{12}}+\frac{?}{{12}}-\frac{?}{{12}}=\frac{?}{{12}}$
$\displaystyle \frac{{12(2x)}}{{12}}+\frac{{12}}{{12}}-\frac{{3(x+1)}}{{12} }=\frac{{4x}}{{12}}$
$\displaystyle 12(2x)+12-3(x+1)=4x$
2. $\displaystyle 24x+12+-3x- 3=4x$
3. $\displaystyle 24x-3x-4x=3-12$
4. $\displaystyle 17x=-9$
5. $\displaystyle x=-\frac{9}{{ 17}}$
Второй способ- Сначала нам нужно найти общий знаменатель всех дробей в уравнении.
- Во-вторых, умножьте обе части наших уравнений на ЖК-дисплей, чтобы очистить дробь .
Пример 5: Решите уравнение $ \displaystyle \frac{{x+2}}{2}+\frac{{7x}}{4}=\frac{x}{3}+2$
Шаг 1: Очистка дробей путем умножения обеих частей уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в нашем уравнении.
Наименьший общий знаменатель всех дробей в нашем уравнении:
LCD(1,2,3,4)=12
Умножьте обе части уравнения на LCD, которое мы нашли 12, чтобы очистить дробь .
$\displaystyle \frac{{x+2}}{2}+\frac{{7x}}{4}=\frac{x}{3}+2$
$\displaystyle 12(\frac{ {x+2}}{2})+12(\frac{{7x}}{4})=12(\frac{x}{3})+12\cdot 2$
$ \displaystyle 6(x +2)+21x=4x+24$
Шаг 2: $ \displaystyle 6x+12+21x=4x+24$
Шаг 3: $ \displaystyle 6x+21x-4x=24-12$
Шаг 4: $ \displaystyle 23x=12$
Шаг 5: $\displaystyle x=\frac{{12}}{{23}}$
Решение задач с использованием уравнений первой степени с одной переменной
Шаг 1: Сначала мы подчеркиваем ключевые данные проблемы.
Шаг 2. Затем мы определяем переменную, которая всегда вызывает проблему.
Шаг 3. Установите связь между переменной и другими данными задачи.
Шаг 4: Затем мы запишем нашу задачу в виде уравнения.