В ящике 100 деталей из них 10 бракованных: В ящике 100 деталей,10 деталей бракованые. Наугад взяли 4 детали. Найти вероятность того, что среди…

Задачи по теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности

Высшая математика, Математика

Задачи по теории вероятностей

Классическое и статистическое определение вероятности

Содержание

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем на грани хотя бы одной кости появится шестерка. Решение
2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная деталь (после перевозки) из ящика деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что было утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь. Решение
3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманное число окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны. Решение
4. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А). «Решение». Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход, общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность равна P(A) = 1/2. Решение
5. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем. Решение
6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на удачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а)одну;  б)две;  в)три. Решение
7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится«герб».
8. В коробке шесть одинаковых, занумерованных ку­биков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков по­явятся в возрастающем порядке.
9. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков , не совпадающие между собой (и не равные шести).
10. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101,102,…,120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероят­ность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
11. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1,2,…,10. Наудачу извлечены шесть дета­лей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а)деталь №1; б) детали №1 и №2.
12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
13. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
14. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.
15. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
16. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу.Найти вероятность того, что набра­ны нужные цифры.
17. В партии из N деталей имеется n стандартных. На­удачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
18. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь че­ловек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
19. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.
20. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
21. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных  изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в)хотя бы одно окрашенное  изделие.
22. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того,  что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
23. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.
24. По цели произведено 20 выстрелов, причем заре­гистрировано 18 попаданий. Найти относительную час­тоту попаданий в цель.
25. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200  приборов.

Содержание

 

Метки задачи, теория вероятностей. Смотреть запись.

Задания для самостоятельной работы

1. Брошены две игральные кости. Построить пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4?

2. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

3. В лотерее 1 000 билетов. Из них 500 выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено 2 билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

4. В группе 30 учеников. На контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 – «хорошо», 9 – «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все 3 ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

5. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньшем r (r < R).

6. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Найти частоту поражения цели.

7. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

8. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:

а) нет бракованных; б) нет годных.

9. В ящике 9 белых шаров и 1 черный. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все шары белые?

Тема 24. Основные теоремы о вероятности

24.1. Теоремы о вероятности событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Обобщение теоремы на случай произвольного конечного числа попарно несовместных событий: .

Пример 1. В ящике 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вынули один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Пусть событие – появление красного шара, а событие – появление синего шара. Тогда событие + – появление цветного шара. Вероятность события : . Вероятность события : . Появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета, поэтому события А и несовместны. По теореме о сложении вероятностей несовместных событий .

Определение 1.

Событие называют независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Определение 2. Событие называют зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Определение 3. Вероятность события , вычисленную при условии, что имело место другое событие , называют условной вероятностью события А и обозначают .

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

, если события и зависимы;

, если события и независимы.

Обобщение теоремы на случай произвольного конечного числа независимых событий: .

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 2. В ящике находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в ящик. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный и при третьем – синий.

Решение. Пусть событие – при первом испытании появится белый шар, событие – при втором испытании появится черный шар; событие – при третьем испытании появится синий шар. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, то есть условная вероятность .

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором черный, равна . Так как события , и совместны, то искомая вероятность

.

Пример 3. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна . Стрелок произвел три выстрела. Найти вероятность того, что он попал три раза.

Решение. Пусть событие – стрелок попал в мишень при первом выстреле, событие – стрелок попал в мишень при втором выстреле; событие – стрелок попал в мишень при третьем выстреле. Вероятности этих событий по условию равны между собой: . Так как вероятность попадания в цель при каждом из выстрелов не зависит от результата остальных выстрелов, то все три события независимы, то .

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Пример 4. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: , . Оба орудия выстрелили по цели. Найти вероятность попадания хотя бы одним из орудий.

Решение. Пусть событие – попадание в цель первого орудия, событие В – попадание в цель второго орудия. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А и В независимы. Вероятность события АВ (оба орудия попали в цель) равна . Так как события А и В совместны, то искомая вероятность .

Теорема о вероятности появления хотя бы одного из совокупности независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А₁, А₂, …, А_n равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, : .

Пример 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: , , . Найти вероятность попадания хотя бы одним из орудий при одном залпе из всех орудий.

Решение. Пусть событие – попадание в цель хотя бы одним из орудий при одном залпе из всех орудий, событие А₁ – попадание в цель первым орудием, А₂ – попадание в цель вторым орудием, А₃ – попадание в цель третьим орудием. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому события А₁, А₂, А₃ независимы. Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂, А₃ (то есть вероятности промахов), соответственно равны:

;

;

.

Тогда искомая вероятность .

Теорема о полной вероятности. Пусть событие может произойти вместе с одним из событий , , …, (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события можно определить по формуле

.

Пример 6. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а вероятность второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из выбранного наудачу набора – стандартная.

Решение. Пусть событие – извлеченная деталь стандартна, событие – деталь извлечена из первого набора, событие – деталь извлечена из второго набора. Так как деталь вынимают из наугад выбранного набора, то события и равновозможные, и их вероятности .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь . Тогда искомая вероятность того, что взятая наудачу деталь из выбранного наудачу набора будет стандартной, по формуле полной вероятности равна

.

Формула Бейеса. Условная вероятность события в предположении, что событие уже произошло, определяют по формуле

( ).

Вероятности , вычисленные по формуле Бейеса, называют вероятностями гипотез.

Пример 7. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что ее проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что деталь признана стандартной, гипотеза – деталь проверил первый контролер, гипотеза – деталь проверил второй контролер. По условию задачи имеем

(вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру),

(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру),

(вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером),

(вероятность того, что деталь будет признана стандартной вторым контролером).

Искомую вероятность того, что признанную стандартной деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

.

До испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, условная вероятность этой гипотезы изменилась и стала равной 0,59.

статистика — вероятность того, что есть хотя бы одна бракованная деталь

$\begingroup$

Я изучаю экономику и пытаюсь решить эту проблему — к сожалению, безуспешно.

Машина имеет процент брака 6%.

а) Выбрать наугад 4 штуки (с заменой) из производственного потока, вычислить вероятность того, что ни одна из них не будет бракованной.
b) В случае, если извлечения выполняются 60, вычислить вероятность того, что имеется хотя бы одна дефектная деталь. 9{60} = 1 — 0,02446 = 0,97558.\end{multline}$$

Может кто-нибудь объяснить мне, как решить эту проблему? Большое спасибо.

• вероятность
• статистика

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Как и просили, вот несколько советов, как решить эти проблемы. Если это вас ни к чему не приведет, дайте мне знать, и я расширюсь.

а) Если вы выберете одну деталь из кучи изготовленных машиной деталей, вероятность того, что вы выберете одну неисправную, равна 0,06 доллара, поэтому вероятность выбрать не бракованную составляет 1 доллар — 0,06 = 0,9.4$. Выбрав один кусок, вы кладете его обратно (с заменой) и выбираете снова; какова вероятность второго выбора?

б) Обратите внимание, что вероятность хотя бы одного дефекта равна $1-\mathbb{P}\{\text{Нет дефектов}\}$

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Вероятность того, что деталь бракованная, равна $0,06$. Таким образом, вероятность , а не 94$. Пусть $G_1$ — событие первый товар хороший, $G_2$ — второй товар хороший, и так далее до $G_4$. Каждое из этих событий имеет вероятность $0,94$. $G_i$ являются независимыми . Таким образом, вероятность того, что они все появятся (то есть все четыре предмета хороши), является произведением отдельных вероятностей, то есть $(0,94)(0,94)(0,94)(0,94)$.

Вторая задача использует те же идеи. Мы интерпретируем фразу «извлечение выполнено за $60$» как означающее, что мы тестируем элементы за $60$. Вероятность того, что ни один из них не является бракованным, равна $(0,9).{60} \около 2,44\%.$$

$\endgroup$

DPU, DPMO, PPM и RTY

При работе над проектом «Шесть сигм» точные методы измерения показателей производительности процесса имеют решающее значение для понимания текущего состояния процесса и ценности внесенных изменений. Четырьмя наиболее распространенными измерениями являются количество дефектов на единицу (DPU), количество дефектов на миллион возможностей (DPMO), количество дефектных частей на миллион (PPM) и пропускная способность проката (RTY).

Ниже показано, как используется каждый из них. Однако важно сначала понять разницу между двумя терминами, обычно используемыми в связи с этими инструментами измерения производительности. Первый — «дефект». Второй — «дефектный».

• Дефект: Относится к дефекту или несоответствию в операции или изделии, где может быть обнаружено более одного дефекта (дефекта). Например, автомобиль — это законченная единица процесса. Автомобиль также содержит множество различных частей, которые собираются для создания готового автомобиля. Любая из этих областей — сиденья, приборная панель, двигатель, выхлопная система и т. д. — могла иметь дефекты. При этом на 10 готовых автомобилях может быть более 10 дефектов.
• Дефектный: Это относится к принятому решению о неприемлемости товара, как правило, на основании множества дефектов. Опять же, используя сценарий автомобиля, это означает, что 10 автомобилей могут иметь максимум 10 дефектных единиц, потому что каждая машина представляет собой одну единицу.

Еще один способ взглянуть на это — возможности по сравнению с единицами. Единица – это конечный продукт, поставляемый покупателю. Он может содержать много дефектов и быть признан дефектным. Возможности представляют собой все, что входит в создание единицы — материалы, труд, доставку и т. д. Каждая из этих возможностей может иметь дефект.

Дефектов на единицу (DPU)

DPU измеряет среднее количество дефектов на каждую единицу продукта. Он находится путем деления общего количества найденных дефектов на количество единиц.

Например, если произведено 30 единиц продукции и обнаружено 60 дефектов, DPU равен 2.

Дефектов на миллион возможностей (DPMO)

Это представляет собой отношение числа дефектов к одному миллиону возможности. Другими словами, сколько раз у вас был недостаток или ошибка (недостаток) на каждую возможность иметь недостаток или ошибку.

Формула для расчета DPMO выглядит следующим образом.

Например, рассмотрим форму, которая содержит 15 полей информации. Если отобрано 10 бланков и в образце обнаружено 26 дефектов, DPMO равен:

Также возможно перевести DPMO на уровень шести сигм. Цель — достичь 3,4 дефекта на 1 миллион возможностей.

Деталей на миллион дефектных изделий (PPM)

PPM представляет количество дефектных изделий на 1 миллион изделий. Опять же, используя автомобильный сценарий, PPM будет включать общее количество дефектных автомобилей — автомобилей, признанных слишком дефектными для продажи, — на каждый 1 миллион произведенных автомобилей.

PPM можно получить, просто взяв количество дефектных единиц одного размера, разделив это число на общий размер выборки и умножив на 1 миллион.

Например, выборка из 50 карт показала, что три неисправны. Таким образом, дефектный PPM равен:

Пропускная способность проката (RTY)

RTY (также известная как выход первого прохода) измеряет вероятность (или процент времени), что производственный процесс или процесс обслуживания будет производить бездефектную единицу .

No related posts.