Смешанное произведение векторов онлайн
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c, т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.Обозначение: abc.
Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word. Дополнительно создается шаблон решения в Excel.
a (; ; )b (; ; )
c (; ; )
При вычислении определителя использовать правило треугольников
Признаки компланарности векторов
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности
a, b, c
– правая, то abc>0
; если левая, то abc. Если же векторы a, b, c
компланарны, то abc=0
. Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c
.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc
трех некомпланарных векторов a, b, c
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c
, взятому со знаком плюс, если система a, b, c
– правая, и со знаком минус, если эта система левая.
YXZa(3;0;0)b(0;3;0)c(0;0;3)
Свойства смешанного произведения
- При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный:
abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Вытекает из геометрического смысла.
(a+b)cd=acd+bcd
(распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения.
- (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
- Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю:
aab=0
.
Пример №1. Найти смешанное произведение.
ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc
.
Пример №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca
.
Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc
. Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc
.
Пример №3.
Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k
.
Решение. Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде:
A = 15 20 5 2 -4 14 3 -6 21
Главный определитель:
∆ = 15 • ((-4) • 21-(-6) • 14)-2 • (20 • 21-(-6) • 5)+3 • (20 • 14-(-4) • 5) = 0
Поскольку определитель равен 0, то векторы являются компланарными (лежат в одной плоскости).
Примечание. Определитель матрицы можно найти несколькими способами:
- методом треугольников.
- методом Гаусса.
- через алгебраические дополнения (разложением по элементам первой строки).
- методом декомпозиции.
ЛЕКЦИЯ N4
назад | содержание | вперед
ЛЕКЦИЯ N5.
Скалярное, векторное, смешанное
произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.
1.Скалярное произведение векторов.
2. Векторное произведение двух векторов.
3. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов.
4.Арифметические векторные пространства.
Конечномерные евклидовы пространства.
5.Ортогональный базис.
1.Скалярное произведение векторов.
В практических задачах часто встречаются операции умножения вектора на вектор. Результатом такого умножения может быть либо число, либо вектор. Соответственно рассматривают два вида умножения: скалярное и векторное.
Определение: скалярным
произведением векторов а и b называют число, равное произведению модулей перемножаемых
векторов на косинус угла φ между ними.
a×b=|a||b|cosφ.
Скалярное произведение двух векторов является числом (скаляром).
Физический смысл: пусть материальная точка двигается по прямой, перемещаясь из положения М в положение N под действием силы F, направление которой образует угол φ с направлением перемещения точки.
Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Работа А силы F будет равна, как известно из механики, произведению модуля силы F1, совершающей работу, на величину S пути S=MN:
A=|F1|S=|F||s|cosφ=F×S
Свойства скалярного произведения.
1.
Скалярное произведение двух векторов обращается в нуль, если вектора
взаимно перпендикулярны или если один сомножитель (или оба) есть нуль-векторы
(то есть a×b=0,
если cosφ=0, или если а=0 или b=0 или a=b=0).
2. Скалярный «квадрат» вектора равен квадрату его длины: a×a=a2 (так как при a=b угол φ=0 и соs φ=1).
3. Скалярное произведение не изменяет своего значения при перестановке сомножителей (свойство коммутативности) a×b=b×a (так как |a||b|=|b||a| и cos(-φ)=cos φ).
4. Скалярное произведение равно произведению длины одного из перемножаемых векторов на проекцию другого вектора на направление первого; a×b=|a|прab=|b|прba, то есть прab=|b|cosφ; прba=|a|cosφ
5. Скалярное произведение обладает распределительным свойством (a+b)×c=a×c+b×c. Для доказательства
воспользуемся свойством 4: (a+b)×c=|c|прc(a+b)=|c|[прca+прcb]
6. Чтобы умножить скалярное произведение на числовой множитель, достаточно на этот множитель умножить один из перемножаемых векторов: m(a×b)=(ma)×b=a×(mb)
Выражение скалярного произведения
через координаты перемножаемых векторов
Пусть даны векторы: a=axi+ayj+azk; b=bxi+byj+bzk
Тогда,
В силу 5 и 6 можно представить это как произведение многочлена на многочлен: a×b=axbxi2+aybxi×j+azbxi×k+axbyi×j+aybyj2+azbyj×k+axbzi×k+aybzj×k+azbzk2=axbx+ayby+azbz
Все произведения, кроме скалярных квадратов, равны нулю,
так как входящие в них векторы ортогональны.
Итак, скалярное произведение равно сумме попарных произведений одноименных проекций векторов, так как i2=1, j2=1, k2=1
Условие перпендикулярности векторов может быть таким: axbx+ayby+azbz=0.
Скалярным произведением двух векторов можно воспользоваться для вычисления угла между ними:
Cos φ=(a×b)/|a||b| или cos φ=(axbx+ayby+azbz)/()
Отсюда и находим условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов: a×b=0 или axbx+ayby+azbz=0.
2. Векторное произведение двух векторов
Определение: векторным произведением вектора a на вектор b называется новый вектор с, обозначаемый символом c=ab, и определяемый следующими тремя условиями:
1) модуль вектора с равен площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b (после совмещение их начал), то есть |с|=|ab|=|a||b|sinφ, где φ –
угол между векторами a и b.
2) Вектор с перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (то есть перпендикулярен обоим векторам a и b).
3) Вектор с направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший поворот от вектора а к вектору b вокруг вектора с (после совмещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с (то есть вектора a, b и с должны образовывать правую тройку).
Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение двух векторов равно нулю, если один или оба
сомножителя являются нуль-векторами (a=0, b=0, или a=b=0), или же, если сомножители являются
коллинеарными векторами (φ=0 или φ=π), в частности аа=0.
2. При перестановке местами векторов-сомножителей векторное произведение изменяет знак, то есть превращается в противоположный вектор:
ba=-(ab).
3. Векторное произведение не обладает коммутативностью. В самом деле
с1=-с
4. Векторное произведение векторов обладает распределительным свойством: a(b+c)=(ab)+(ac)
5. Чтобы умножить векторное произведение двух векторов на произвольный числовой множитель, достаточно умножить на него один из перемножаемых векторов (любой): m(ab)=(ma)b=a(mb)
Для просмотра анимации нажмите
Вычисление векторного произведения
через проекции (координаты)
перемножаемых векторов
ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbx(ii)+axby(ij)+axbz(ik)+aybx(ji)+ayby(jj)+aybz(jk)+azbx(ki)+azby(kj)+azbz(kk)=(axby-aybx)k+(azbx-axbz)j+(aybz-azby)i=(aybz-azby)i+(axby-aybx)k+(azbx-axbz)j и это, как нетрудно убедиться, определитель
ab=
Замечание: при помощи векторного произведения легко вычислить
площадь треугольника, стороны которого заданы векторами или вершины – их
координатами.
Пример: найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки А(2, -1, 3),
В(1, 3, -5) и С(0, -2, -3).
Решение: находим векторы a=CA, b=CB;
a=(2-0)i+[-1-(-2)]j+[3-(-3)]k=2i+j+6k; b=i+5j-2k
ab==-32i+10j+9k
|ab|==
S=1/2×≈17,4 (ед2).
3. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов
Определение: смешанным
произведением трех векторов a, b, c называется произведение
вида (ab)×c, где
два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно
на третий вектор.
Смешанное произведение – величина скалярная, так как последнее действие – скалярное умножение.
Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов a, b, c равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если a, b, c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки – отрицательно.
Свойства смешанного произведения.
1. Смешанное произведение не изменяется:
1) если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: (ab)×c=(bc)×a=(ca)×b
2) если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: (ab)×c=a×(bc), поэтому можно записать abc
- Перестановка в смешанном
произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: acb=-abc; bac=-abc; cba=-abc.
- Смешанное произведение обращается в нуль, если
1) хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор;
2) два из перемножаемых векторов коллинеарны;
3) три перемножаемых вектора компланарны.
Вычисление смешанного произведения
трех векторов, разложенных по ортам
a=axi+ayj+azk; b=bxi+byj+bzk; c=cxi+cyj+czk; то abc=
В этом можно убедиться, разложив определитель по элементам первой строки.
Вычисление объема
четырехгранной пирамиды (тетраэдр)
Объем такой пирамиды равен одной
шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине
ребрах. А объем этого параллелепипеда – абсолютная величина смешанного
произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин
пирамиды, а концы – в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат
точки M1, M2, M3, M4, то полагая a=M1M2; b=M1M3; c=M1M4, получим V=1/6[abc]
Условие компланарности трех векторов.
Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: abc=0 или =0.
4.Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства.
Возвращаясь от геометрических пространств к векторным, осознаем, что
вектором размерности n (или n-мерным вектором) называется упорядоченная совокупность
из n чисел поля P. Если а – вектор, определенный числами а1,
а2,…, аn – координатами
вектора, то будем писать a=(a1,
a2,…,an). Если векторы a и b размерности n заданы своими координатами: a=(a1, a2,…,an), b=(b1, b2,…,bn), то суммой этих векторов называется вектор a+b=(a1+b1, a2+b2,…, an+bn).
Произведением вектора а на число l из поля P называется вектор lа=(lа1, lа2,…,lаn).
Нулевым называется вектор 0=(0, 0,…,
0). Вектором, противоположным вектору а называется –а=(-а1, -a2,…,
-an).
Определение. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называются арифметическим векторным пространством и обозначаются Rn. Размерность пространства Rn обозначается dim Rn. Линейное пространство, изоморфное пространству Rn, называется конечномерным. В пространстве Rn существует n линейно независимых n-мерных векторов, при этом любые n+1 векторы линейно зависимы.
Определение. Базисом n-мерного векторного пространства называют любую совокупность, состоящую из n линейно независимых векторов этого пространства.
Теорема 1. Для того, чтобы система n векторов пространства Rn составляла базис, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля.
Определение. Если в n-мерном линейном векторном пространстве определено
скалярное произведение и оно обладает следующими свойствами:
1) a×b=b×a
2) (a+b)×c=a×c+b×c
3) l(a×b)=(la)×b=a×(lb)
4) a×a>0, если a¹0 то пространство называется n-мерным евклидовым — Еn.
Скалярное произведение любого aÎEn на себя
называется скалярным квадратом a. Длиной a в евклидовом пространстве называется
квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. Вектор, длина которого
равна единице, называется нормированным. Если a – ненулевой вектор, то является
нормированным вектором. Для любых двух векторов a и b в евклидовом
пространстве выполняется неравенство: (a×b)2£(a×a)(b×b), называется неравенством Коши-Буняковского.
5.Ортогональный базис.
Базис e1, e2,…, en евклидова пространства называется ортогональным, если (ei× ek)=0 при i¹k.
Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса e1, e2,…, en выполняются равенства
(ei× ek)=
Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис f1, f2,…, fn, то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис e1, e2,…, en.
Любой вектор x евклидова
пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством x=x1e1+x2e2+…+xnen.
Длина вектора x находится по формуле |x|=.
Два вектора x=x1e1+x2e2+…+xnen и y=h1e1+h2e2+…+hnen линейно зависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда x1/h1=x2/h2=…=xn/hn.
Условие ортогональности векторов x и y имеет вид x1h1+x2h2+…+xnhn=0.
Угол между двумя векторами x и y находится по формуле cosj=.
В следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства обозначается через e1, e2,…, en.
Формула Лагранжа (векторное тройное произведение) для комплексных векторов
Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 5 месяцев назад
Просмотрено 154 раза
$\begingroup$ 9*$
потом
- для реальных векторов они все одинаковые
- формула, которую вы цитируете, действительна только для (1). Потому что векторное произведение не включает сложное сопряжение.
- (2) является наиболее распространенным в математике, потому что таким образом он определяет «скалярное произведение» (в смысле гильбертова пространства)
- (3) является альтернативным определением скалярного произведения / гильбертова пространства.
Я думаю, что это менее распространено. Но это всего лишь условность.
- некоторые системы компьютерной алгебры реализуют вариант (1), вы должны ввести комплексное сопряжение самостоятельно, если хотите.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Использование скалярного тройного произведения для доказательства компланарности векторов — Криста Кинг Математика
Формула скалярного тройного произведения
Скалярное тройное произведение ???|a\cdot(b\times c)|??? из трех векторов ???a\langle{a_1},a_2,a_3\rangle???, ???b\langle{b_1},b_2,b_3\rangle??? и ???c\langle{c_1},c_2,c_3\rangle??? будет равно ???0??? когда векторы компланарны, что означает, что все векторы лежат в одной плоскости.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
???a???, ???b??? и ???c??? компланарны, если ???|a\cdot(b\times c)|=0???
???б\раз с??? является перекрестным произведением ???b??? и ???c???, и мы найдем его, используя ???3\times 3??? матрица
???\begin{vmatrix}\bold i&\bold j&\bold k\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=\bold i\begin{vmatrix}b_2&b_3\\c_2&c_3\end{vmatrix}- \bold j\begin{vmatrix}b_1&b_3\\c_1&c_3\end{vmatrix}+\bold k\begin{vmatrix}b_1&b_2\\c_1&c_2\end{vmatrix}???
???=\жирный i(b_2c_3-b_3c_2)-\жирный j(b_1c_3-b_3c_1)+\жирный k(b_1c_2-b_2c_1)???
Мы преобразуем результат перекрестного произведения в стандартную векторную форму, а затем возьмем скалярное произведение ???a\langle{a_1},a_2,a_3\rangle??? и векторный результат ???b\times c???.
???|a\cdot(b\times c)|???
Окончательный ответ — скалярное тройное произведение. Если он равен ???0???, то мы доказали, что векторы компланарны.
Как использовать скалярное тройное произведение для проверки того, что три вектора компланарны (что они лежат в одной плоскости)
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Доказательство компланарности векторов
Пример
Докажите компланарность векторов.
???a\langle3,3,-3\rangle???
???b\langle1,0,-2\rangle???
???c\langle2,3,-1\rangle???
Мы будем использовать скалярное тройное произведение и начнем с вычисления перекрестного произведения ???b??? и ???с???, ???б\раз с???.
???b\times c=\begin{vmatrix}\bold i&\bold j&\bold k\\1&0&-2\\2&3&-1\end{vmatrix}???
???b\times c=\bold i\begin{vmatrix}0&-2\\3&-1\end{vmatrix}-\bold j\begin{vmatrix}1&-2\\2&-1\end {vmatrix}+\bold k\begin{vmatrix}1&0\\2&3\end{vmatrix}???
???b\times c=\жирный i[(0)(-1)-(-2)(3)]-\жирный j[(1)(-1)-(-2)(2) ]+\жирный k[(1)(3)-(0)(2)]???
???b\times c=\жирный i(0+6)-\жирный j(-1+4)+\жирный k(3-0)???
???b\times c=6\жирный i-3\жирный j+3\жирный k???
???b\times c=\langle6,-3,3\rangle???
Конечным ответом является скалярное тройное произведение.