Векторное смешанное произведение векторов: Векторное и смешанное произведения векторов

Содержание

Смешанное произведение векторов онлайн

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c, т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc.

Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word. Дополнительно создается шаблон решения в Excel.

a (; ; )
b (; ; )
c (; ; )
При вычислении определителя использовать правило треугольников

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности

. Если система a, b, c – правая, то abc>0; если левая, то abc. Если же векторы a, b, c компланарны, то abc=0. Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая. YXZa(3;0;0)b(0;3;0)c(0;0;3)

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0.

Пример №1. Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

Пример №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca. Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того,

bca=abc. Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

Пример №3. Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Решение. Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде:

A =
15205
2-414
3-621
Главный определитель:
∆ = 15 • ((-4) • 21-(-6) • 14)-2 • (20 • 21-(-6) • 5)+3 • (20 • 14-(-4) • 5) = 0
Поскольку определитель равен 0, то векторы являются компланарными (лежат в одной плоскости).

Примечание. Определитель матрицы можно найти несколькими способами:

  1. методом треугольников.
  2. методом Гаусса.
  3. через алгебраические дополнения (разложением по элементам первой строки).
  4. методом декомпозиции.

ЛЕКЦИЯ N4

 назад | содержание | вперед


 

ЛЕКЦИЯ N5.

 

Скалярное, векторное, смешанное  

произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

 

1.Скалярное произведение векторов.

2. Векторное произведение двух векторов.

3. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов.

4.Арифметические векторные пространства.

Конечномерные евклидовы пространства.

5.Ортогональный базис.  

1.Скалярное произведение векторов.

 

     В практических задачах часто встречаются операции умножения вектора на вектор. Результатом такого умножения может быть либо число, либо вектор. Соответственно рассматривают два вида умножения: скалярное и векторное.

Определение: скалярным произведением векторов а и b называют число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла φ между ними.

a×b=|a||b|cosφ.

Скалярное произведение двух векторов является числом (скаляром).

Физический смысл: пусть материальная точка двигается по прямой, перемещаясь из положения М в положение N под действием силы F, направление которой образует угол φ с направлением перемещения точки.

Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути  равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Работа А силы F будет равна, как известно из механики, произведению модуля силы F1, совершающей работу, на величину S пути S=MN:

A=|F1|S=|F||s|cosφ=F×S

 

Свойства скалярного произведения.

 

1.      Скалярное произведение двух векторов обращается в нуль, если вектора взаимно перпендикулярны или если один сомножитель (или оба) есть нуль-векторы (то есть a×b=0, если cosφ=0, или если а=0 или b=0 или a=b=0).

2.      Скалярный «квадрат» вектора равен квадрату его длины: a×a=a2 (так как при a=b угол φ=0 и соs φ=1).

3.      Скалярное произведение не изменяет своего значения при перестановке сомножителей (свойство коммутативности) a×b=b×a (так как |a||b|=|b||a| и cos(-φ)=cos φ).

4.      Скалярное произведение равно произведению длины одного из перемножаемых векторов на проекцию другого вектора на направление первого; a×b=|a|прab=|b|прba, то есть прab=|b|cosφ; прba=|a|cosφ

5.      Скалярное произведение обладает распределительным свойством

(a+b)×c=a×c+b×c. Для доказательства воспользуемся свойством 4: (a+b)×c=|c|прc(a+b)=|c|[прca+прcb]

6.      Чтобы умножить скалярное произведение на числовой множитель, достаточно на этот множитель умножить один из перемножаемых векторов: m(a×b)=(mab=(mb)

 

Выражение скалярного произведения

через координаты перемножаемых векторов

 

Пусть даны векторы: a=axi+ayj+azk; b=bxi+byj+bzk

Тогда,

a×b=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)

В силу 5 и 6 можно представить это как произведение многочлена на многочлен: a×b=axbxi2+aybxi×j+azbxi×k+axbyi×j+aybyj2+azbyj×k+axbzi×k+aybzj×k+azbzk2=axbx+ayby+azbz

Все произведения, кроме скалярных квадратов, равны нулю, так как входящие в них векторы ортогональны.

Итак, скалярное произведение равно сумме попарных произведений одноименных проекций векторов, так как i2=1, j2=1, k2=1

Условие перпендикулярности векторов может быть таким: axbx+ayby+azbz=0.

Скалярным произведением двух векторов можно воспользоваться для вычисления  угла между ними:

Cos φ=(a×b)/|a||b| или cos φ=(axbx+ayby+azbz)/()

Отсюда и находим условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов: a×b=0 или axbx+ayby+azbz=0.

 

2. Векторное произведение двух векторов

 

Определение: векторным произведением вектора a на вектор b называется новый вектор с, обозначаемый символом c=ab, и определяемый следующими тремя условиями:

1)      модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b (после совмещение их начал), то есть |с|=|ab|=|a||b|sinφ, где φ – угол между векторами a и b.

2)      Вектор с перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (то есть перпендикулярен обоим векторам a и b).

3)      Вектор с направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший поворот от вектора а к вектору b вокруг вектора с (после совмещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с (то есть вектора a, b и с должны образовывать правую тройку).

Свойства векторного произведения

 

1.      Векторное произведение двух векторов равно нулю, если один или оба сомножителя являются нуль-векторами (a=0, b=0, или a=b=0), или же, если сомножители являются коллинеарными векторами (φ=0 или φ=π), в частности аа=0.

2.      При перестановке местами векторов-сомножителей векторное произведение изменяет знак, то есть превращается в противоположный вектор:

                        ba=-(ab).

3.       Векторное произведение не обладает коммутативностью. В самом деле

       с1=-с

4.      Векторное произведение векторов обладает распределительным свойством: a(b+c)=(ab)+(ac)

5.      Чтобы умножить векторное произведение двух векторов на произвольный числовой множитель, достаточно умножить на него один из перемножаемых векторов (любой): m(ab)=(ma)b=a(mb)

Для просмотра анимации нажмите

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление векторного произведения

через проекции (координаты)

перемножаемых векторов

 

ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbx(ii)+axby(ij)+axbz(ik)+aybx(ji)+ayby(jj)+aybz(jk)+azbx(ki)+azby(kj)+azbz(kk)=(axby-aybx)k+(azbx-axbz)j+(aybz-azby)i=(aybz-azby)i+(axby-aybx)k+(azbx-axbz)j и это, как нетрудно убедиться, определитель

ab=

Замечание: при помощи векторного произведения легко вычислить площадь треугольника, стороны которого заданы векторами или вершины – их координатами.

 Пример: найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки А(2, -1, 3),

В(1, 3, -5) и С(0, -2, -3).

Решение: находим векторы a=CA, b=CB;

a=(2-0)i+[-1-(-2)]j+[3-(-3)]k=2i+j+6k; b=i+5j-2k

 

 

ab==-32i+10j+9k 

|ab|==

S=1/2×≈17,4 (ед2).

 

 

3. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов

 

Определение: смешанным произведением трех векторов a, b, c называется произведение вида (abc, где два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно на третий вектор.

Смешанное произведение – величина скалярная, так как последнее действие – скалярное умножение.

Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов a, b, c равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если a, b, c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки – отрицательно.

 

Свойства смешанного произведения.

 

1.      Смешанное произведение не изменяется:

1)             если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: (abc=(bca=(cab

2)             если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: (abc=(bc), поэтому можно записать abc

  1. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: acb=-abc; bac=-abc; cba=-abc.
  2. Смешанное произведение обращается в нуль, если

1)             хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор;

2)             два из перемножаемых векторов коллинеарны;

3)             три перемножаемых вектора компланарны.

 

 

Вычисление смешанного произведения

трех векторов, разложенных по ортам

 

a=axi+ayj+azk; b=bxi+byj+bzk; c=cxi+cyj+czk; то abc=

В этом можно убедиться, разложив определитель по элементам первой строки.

 

Вычисление объема

четырехгранной пирамиды (тетраэдр)

 

Объем такой пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине ребрах. А объем этого параллелепипеда – абсолютная величина смешанного произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин пирамиды, а концы – в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат точки M1, M2, M3, M4, то полагая a=M1M2; b=M1M3; c=M1M4, получим V=1/6[abc]

 

Условие компланарности трех векторов.

 

Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: abc=0 или =0.

 

 

4.Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства.

 

                Возвращаясь от геометрических пространств к векторным, осознаем, что вектором  размерности n (или n-мерным вектором) называется упорядоченная совокупность из n чисел поля P. Если а – вектор, определенный числами а1, а2,…, аn – координатами вектора, то будем писать a=(a1, a2,…,an). Если векторы a и b размерности n заданы своими координатами: a=(a1, a2,…,an), b=(b1, b2,…,bn), то суммой этих векторов называется вектор a+b=(a1+b1, a2+b2,…, an+bn).

Произведением вектора а на число l из поля P называется вектор lа=(lа1, lа2,…,lаn).

Нулевым называется вектор 0=(0, 0,…, 0). Вектором, противоположным вектору а называется –а=(-а1, -a2,…, -an).

Определение. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называются арифметическим векторным пространством и обозначаются Rn. Размерность пространства Rn обозначается dim Rn. Линейное пространство, изоморфное пространству Rn, называется конечномерным. В пространстве Rn существует n линейно независимых n-мерных векторов, при этом любые n+1 векторы линейно зависимы.

Определение. Базисом n-мерного векторного пространства называют любую совокупность, состоящую из n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 1. Для того, чтобы система n векторов пространства Rn составляла базис, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля.

Определение. Если в n-мерном линейном векторном пространстве определено скалярное произведение и оно обладает следующими свойствами:

1)      a×b=b×a

2) (a+b)×c=a×c+b×c

3) l(a×b)=(la)×b=a×(lb)

4)             a×a>0, если a¹0 то пространство называется n-мерным евклидовым — Еn.

 

Скалярное произведение любого aÎEn на себя называется скалярным квадратом a. Длиной a в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если a – ненулевой вектор, то  является нормированным вектором. Для любых двух векторов a и b в евклидовом пространстве выполняется неравенство: (a×b)2£(a×a)(b×b), называется неравенством Коши-Буняковского.

 

5.Ортогональный базис.

 

Базис e1, e2,…, en евклидова пространства называется ортогональным, если (ei× ek)=0 при i¹k.

     Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса e1, e2,…, en выполняются равенства

(ei× ek)=

     Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис f1, f2,…, fn, то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис e1, e2,…, en.

     Любой вектор x евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством x=x1e1+x2e2+…+xnen.

Длина вектора x находится по формуле |x|=.

Два вектора x=x1e1+x2e2+…+xnen и y=h1e1+h2e2+…+hnen линейно зависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда x1/h1=x2/h2=…=xn/hn.

     Условие ортогональности векторов x и y имеет вид x1h1+x2h2+…+xnhn=0.

     Угол между двумя векторами x и y находится по формуле cosj=.

В следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства обозначается через e1, e2,…, en.

 

 

 

Формула Лагранжа (векторное тройное произведение) для комплексных векторов

Задавать вопрос

спросил

Изменено 1 год, 5 месяцев назад

Просмотрено 154 раза

$\begingroup$ 9*$

потом

  • для реальных векторов они все одинаковые
  • формула, которую вы цитируете, действительна только для (1). Потому что векторное произведение не включает сложное сопряжение.
  • (2) является наиболее распространенным в математике, потому что таким образом он определяет «скалярное произведение» (в смысле гильбертова пространства)
  • (3) является альтернативным определением скалярного произведения / гильбертова пространства. Я думаю, что это менее распространено. Но это всего лишь условность.
  • некоторые системы компьютерной алгебры реализуют вариант (1), вы должны ввести комплексное сопряжение самостоятельно, если хотите.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Использование скалярного тройного произведения для доказательства компланарности векторов — Криста Кинг Математика

Формула скалярного тройного произведения

Скалярное тройное произведение ???|a\cdot(b\times c)|??? из трех векторов ???a\langle{a_1},a_2,a_3\rangle???, ???b\langle{b_1},b_2,b_3\rangle??? и ???c\langle{c_1},c_2,c_3\rangle??? будет равно ???0??? когда векторы компланарны, что означает, что все векторы лежат в одной плоскости.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

???a???, ???b??? и ???c??? компланарны, если ???|a\cdot(b\times c)|=0???

???б\раз с??? является перекрестным произведением ???b??? и ???c???, и мы найдем его, используя ???3\times 3??? матрица

???\begin{vmatrix}\bold i&\bold j&\bold k\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=\bold i\begin{vmatrix}b_2&b_3\\c_2&c_3\end{vmatrix}- \bold j\begin{vmatrix}b_1&b_3\\c_1&c_3\end{vmatrix}+\bold k\begin{vmatrix}b_1&b_2\\c_1&c_2\end{vmatrix}???

???=\жирный i(b_2c_3-b_3c_2)-\жирный j(b_1c_3-b_3c_1)+\жирный k(b_1c_2-b_2c_1)???

Мы преобразуем результат перекрестного произведения в стандартную векторную форму, а затем возьмем скалярное произведение ???a\langle{a_1},a_2,a_3\rangle??? и векторный результат ???b\times c???.

???|a\cdot(b\times c)|???

Окончательный ответ — скалярное тройное произведение. Если он равен ???0???, то мы доказали, что векторы компланарны.

Как использовать скалярное тройное произведение для проверки того, что три вектора компланарны (что они лежат в одной плоскости)

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Доказательство компланарности векторов

Пример

Докажите компланарность векторов.

???a\langle3,3,-3\rangle???

???b\langle1,0,-2\rangle???

???c\langle2,3,-1\rangle???

Мы будем использовать скалярное тройное произведение и начнем с вычисления перекрестного произведения ???b??? и ???с???, ???б\раз с???.

???b\times c=\begin{vmatrix}\bold i&\bold j&\bold k\\1&0&-2\\2&3&-1\end{vmatrix}???

???b\times c=\bold i\begin{vmatrix}0&-2\\3&-1\end{vmatrix}-\bold j\begin{vmatrix}1&-2\\2&-1\end {vmatrix}+\bold k\begin{vmatrix}1&0\\2&3\end{vmatrix}???

???b\times c=\жирный i[(0)(-1)-(-2)(3)]-\жирный j[(1)(-1)-(-2)(2) ]+\жирный k[(1)(3)-(0)(2)]???

???b\times c=\жирный i(0+6)-\жирный j(-1+4)+\жирный k(3-0)???

???b\times c=6\жирный i-3\жирный j+3\жирный k???

???b\times c=\langle6,-3,3\rangle???

Конечным ответом является скалярное тройное произведение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *