Возведение степени в степень: Возведение степени в степень — урок. Алгебра, 7 класс.

Возведение в степень | это… Что такое Возведение в степень?

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называется степенью с основанием и показателем .

Содержание 1 Натуральная степень 2 Целая степень 3 Рациональная степень 4 Вещественная степень 4.1 Потенцирование 5 Комплексная степень 6 Степень как функция 7 Значок степени 8 См. также 9 Ссылки

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством.
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

не определён

По определению,

(результат не определен при и )

См. корень степени q

Пусть .

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где , , где  — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между и принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование (от нем.  potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

• функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
• функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
• функцию двух переменных.

Значок степени

Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида . Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.

Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. f)))).

См. также

• e (математическая константа)
• Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
• Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
• Квадрат — возведение во вторую степень.
• Куб — возведение в третью степень.
• Тетрация — обобщение возведения в степень.
• Гипероператор
• Экспоненциальная запись
• Экспонента

Ссылки

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ

«Возведение в степень произведения и степени» (7 класс)

Тема урока. «Возведение в степень произведения и степени».

Тип урока: урок изучение нового материала

Цели урока

-общеобразовательные: создание условий для усвоения учащимися свойств степени, включение их в процесс поиска формулировок и доказательств, формирование навыка возведения в степень произведения и степени; обеспечение повторения, обобщения и систематизации знаний по теме; создание условий контроля (взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;

-развивающие: формирование умений применения приемов обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию.

-воспитательные: воспитание активности, организованности, умению взаимоконтроля и самоконтроля своей деятельности, формирование положительной мотивации учения.

Планируемые результаты:

 

Предметные УУД:

 

Применять свойства степени для преобразования выражений (возведение в степень произведения и степени)

Метапредметные УУД:

Регулятивные: формирование целевых установок учебной деятельности, выстраивание последовательности необходимых операций (алгоритм действий)

Познавательные: умение воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения математической задачи

Коммуникативные: умение работать как самостоятельно, так и в группе.

 Личностные УУД:

Понимать смысл поставленной задачи, находчивость, активность при решении задач.

Оборудование: доска, карточки с заданиями, учебник «Алгебра 7 класс «Ю.Н.Макарычев  и др.

План урока

1.Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3.Актуализация знаний. Устная работа.

4.Этап усвоение новых знаний

5.Этап первичного закрепления. Решение заданий по учебнику.

6.Физкультминутка

7.Этап проверки усвоение нового материала. Самостоятельная работа

8.Домашнее задание

9. Рефлексия.

10. Подведение итогов урока, выставление отметок. 

Ход урока

1.      Организационный момент.

Здравствуйте дети, садитесь. Все приготовились к уроку.

На предыдущих уроках мы открыли для себя мир степеней. Многие ученые во все времена занимались вопросами их изучения. Это Пифагор, Рене Декарт (который, кстати, первым ввел обозначение степени). Но я хочу обратить ваше внимание на слова М.В. Ломоносова:

«Пусть кто – ни будь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, то без них далеко не уедешь». И в верности этих слов вы сможете убедиться при изучении алгебры.

  Что мы знаем о степени?  (определение, научились находить значение выражения, содержащего степень, свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями)

 

2.Проверка домашнего задания. На местах дети проверяют друг у друга

3.Актуализация знаний.

·         Назовите степени 4⁵; а¹⁵; c³c²;   (-7у)²,  (ab)⁶.

·         Какое выражение надо поставить вместо *, что бы получилось верное равенство  
х²( *) = х⁶    ;   а¹⁵ : ( * ) = а ⁵;

·         Сравнить  (- 15)¹⁸

и (- 18)¹⁵

·     В чем ошибка  -7  (-7)  (-7)  (-7) =   -7⁴

·         7¹ = 1;

·         . 4 ⁰ = 4;

·         3 5 • 5 • 5 • 5 = 4 ⁵;

·         42 ³ • 2 ⁷ = 4 ¹⁰;

·          2 ³⁰ : 2 ¹⁰ = 2 ³;

·          -1³ +(-2)³ =-1 +6=5

·         -6²-(-1)⁴ =-12+1=-11

Имея у себя в багаже знания о степенях, давайте приступим к изучению новой темы. Название, которой узнаем, ответив на вопросы.

Как называется действие нахождения значения степени? (возведение в степень)

В результате какого действия показатели степени складываются?   (произведение)

Как называется произведение одинаковых множителей?

Прочитайте тему урока. «Возведение в степень произведения и степени»

Зная тему урока, сформулируем цели урока. (установить правило и научиться его применять)

4.Этап усвоения новых знаний.

2.      Запишите, чему равно это произведение, используя определение степени.

3.      (2а*2а*2а=2*2*2*а*а*а)

4.      Сколько раз повторяется множитель 2? Как это кратко записать? Запишите. А множитель, а? Как это кратко записать? Запишите.

5.      Сравните правую и левую части записи. Какое выражение возводится в степень в левой части?

6.      Какой вывод мы можем сделать?

7.      — Давайте вместе выведем новое свойство: 

8.      Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести каждый множитель в степень, а результаты перемножают.

9.      (а*b)ⁿ=aⁿ*bⁿ

10.  Проверьте свой вывод, сверившись с учебником. (стр. 103) Найдите соответствующее свойство в учебнике и прочитайте его.

11.  Примеры:

12.  (xy)¹²=

13.  (2a)³=

14.  Теперь запишите третью степень выражения х². (х²)³ (Чему равно основание? — х² Показатель – 3. Сколько раз х² повториться в качестве множителя? Запишите. Х²• х²• х²

15.  А каждая четвертая степень в соответствии с определением сколько множителей х содержит? х• х• х•х• х•х

16.  В итоге сколько всего раз х повториться как множитель? (6)

17.  Как это кратко записать? Запишите. (х ⁶)

18.  Сравните правую и левую части записи. Как связаны числа 2, 3 и 6?

19.  Какое выражение возводится в степень в левой части?

20.   Какой вывод мы можем сделать?

21.  Значит, при возведении степени в степень что происходит с показателями степени? (они перемножаются).

22.  Как это свойство можно записать в виде формулы?

23.  (a^m)ⁿ=a^mn

24.  При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. 

25.  Проверьте свой вывод, сверившись с учебником. Найдите соответствующее свойство в учебнике и прочитайте его. (стр. 104) Итак, тема записана, правила получены.

26.  Так какова же сегодня ваша цель? Цель урока: ввести правила возведения в степень произведения и степени, закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений 

27.  Примеры:

28.  (y⁷)²=

29.  (2x²)³=

 

(2а) ⁵      (ху) ³    (ав) ⁿ       

А теперь докажем, что это равенство верно для любых, а и b и произвольного n.

(ав) ^{n    =}

Что возводим? Как возводим? Сформулировать правило.

Страница 97 учебника, сравним с нашим правилом.

Верно ли это правило будет не только для двух множителей?

Пример (2ху)⁵

Устно. Представьте в виде степени (а²) ⁵        (у⁴) ³         (а^х) ⁵        (а²) ⁵        (аⁿ) ^m      

А теперь проверим, верно ли это равенство верно для любых, а и произвольного n и m.

(аⁿ) ^{m        = …}

Что возводим? Как возводим? Сформулировать правило.

Страница 97 учебника, сравним с нашим правилом. Прочитать Сравнить. Выучить и рассказать соседу

5.Этап первичного закрепления.

№ 428 (б,г,е)   438 ( б,г,е)

·         Представить в виде степени   х¹²  = (     )^{3         ;}  

9а⁸ = (  )²

с⁵а⁵  =(  )⁵

36а²с² = (   )²

·         Найдите примерыв которых допущена ошибка.

(a)³ = a³b³с

(-2bc)² = -4b²

(2 • 5)⁴ = 10000          

(-3³)² = 3⁶е

(-3²)³ =3⁶в

(с⁴)²с³ = с⁹о

(((-a)³)²)⁴ = a²⁴

((2a)³b⁷)² = 2⁶a⁶b¹⁴

 

6. Физкультминутка

7.Этап проверки учащимися нового материала

Самостоятельная работа с проверкой.

1 вариант                                                          2 вариант

1 а) (ab)⁹ = a⁹ b⁹                                                                1 а) (ху)⁴ = х⁴у⁴

б) (3а)³ = 3³ а³= 27а³                                                         б) (2с)⁴ = 2⁴ с⁴= 16с⁴  

в) (-2mn)^{4  3} = (-2)⁴ m⁴n⁴= 16m⁴n⁴                         в) (-3ав) ³ = (-3)³а³n³ = -27а³в³

2. а) (с⁴)⁵ = с^4·5  = с²⁰ 2.  а) (х²)⁷ = х^2·7= х¹⁴

     б) ( -х⁷)³ = -х^3·7= -х²¹                                   б) ( -х⁴)⁶ = х^4·6= х²⁴

3.с¹⁰(с⁵)² = с¹⁰   с¹⁰= с²⁰                             3.   а⁷(а⁶)² = с⁷   с¹²  = с¹⁹

Проверяем ответы. Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют ответы, которые записаны на доске. Оценивают и говорят оценки.

8.Домашнее задание. Инструктаж выполнения домашнего задания.

п 20. стр 103 выучить свойства степеней № 428 2,3 ст, №429 2,3 ст № 436 2 стр.

9Рефлексия учебной деятельности на уроке

Давайте вспомним какие цели мы ставили вначале урока. С чем же мы подошли к концу урока? Что узнали нового? Чему научились? Давайте оценим свою работу на уроке.

10. Подведение итогов урока

Выставление оценок за урок

 

 

 

 

 1 вариант                                                          2 вариант

1 а) (ab)⁹ =                                                              1 а) (ху)⁴ = 

б) (3а)³ =                                                                                                   б) (2с)⁴ = 

 в)(-2mn)^{4  3} =                                                                                        в)(-3ав) ³ =    

 2. а) (с⁴)⁵ =                                                             2.  а) (х²)⁷ = 

 б) ( -х⁷)³ =                                                              б) ( -х⁴)⁶  

3.с¹⁰(с⁵)² =                                                              3.    а⁷(а⁶)² = 

 

1 вариант                                                          2 вариант

1 а) (ab)⁹ =                                                              1 а) (ху)⁴ = 

б) (3а)³ =                                                                                                   б) (2с)⁴ = 

 в)(-2mn)^{4  3} =                                                                                        в)(-3ав) ³ =    

 2. а) (с⁴)⁵ =                                                             2.  а) (х²)⁷ = 

 б) ( -х⁷)³ =                                                              б) ( -х⁴)⁶  

3.с¹⁰(с⁵)² =                                                              3.    а⁷(а⁶)² = 

 

1 вариант                                                          2 вариант

1 а) (ab)⁹ =                                                              1 а) (ху)⁴ = 

б) (3а)³ =                                                                                                   б) (2с)⁴ = 

 в)(-2mn)^{4  3} =                                                                                        в)(-3ав) ³ =    

 2. а) (с⁴)⁵ =                                                             2.  а) (х²)⁷ = 

 б) ( -х⁷)³ =                                                              б) ( -х⁴)⁶  

3.с¹⁰(с⁵)² =                                                              3.    а⁷(а⁶)² = 

 

 

 

 

 

Возведение в степень Определение и значение — Merriam-Webster

выставка ˌek-spə-ˌnen(t)-shē-ˈā-shən 

: математическая операция возведения количества в степень

звонили также инволюция

Примеры предложений

Недавние примеры в Интернете Хотя ему не хватает мощности возведения в степень , подобное устройство может использовать другие особенности квантовой физики. — Журнал Кванта , 29 января 2018 г.

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «возведение в степень». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Первое известное использование

1903, в значении, определенном выше

Путешественник во времени

Первое известное использование возведения в степень было в 1903 году

Посмотреть другие слова того же года экспоненциальный ряд

возведение в степень

объяснимый

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Экспоненциация».

Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/exponentiation. Доступ 9 мая. 2023.

Копировать цитирование

Дети Определение

Возведение в степень

существительное

выставка ˌek-spə-ˌnen-chē-ˈā-shən 

: математическая операция возведения количества в степень

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

елейный

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

Комплексное возведение в степень | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Комплексные числа
• Сложный самолет
• Формула Эйлера — вывод
• Комплексное возведение в степень — за пределами формулы Эйлера
• Возведение комплексного числа в комплексное число
• Сложные корни — распространенные ошибки
• Применение цепи переменного тока
• Смотрите также

Эта вики предполагает некоторое знакомство с комплексными числами \(z = x +iy,\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, а \(i\) — мнимое число, \(i = \sqrt{-1}. 2}\) и \(\theta\) — это угол между вектором в комплексной плоскости и осью \(x\), как определено на этом рисунке: 92}.\)

Аргумент (или фаза ) комплексного числа \(z = x + iy\) задается \(\theta\) таким образом, что \(x = \left |z \right | \cos \theta\ ) и \(y = \left |z \right | \sin \theta.\)

Отсюда мы можем преобразовать в полярные координаты

• \(x = r \cos \theta\)
• \(y = r \sin\theta\).

Или для единичного круга имеем

• \(x = \cos \theta\)
• \(y = \sin\theta\). 9{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta.\]

  Этот знаменитый результат известен как формула Эйлера в честь математика Леонарда Эйлера, открывшего ее в 1748 году. для нахождения свойств, связанных с комплексными числами.

  Покажите, что выполняются следующие тождества:

  \[\начать {выравнивание} \cos(x+y) &= \cos x \cos y — \sin x \sin y\\ \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y, \конец{выравнивание}\]

  по формуле Эйлера. 9{i\theta}.\]

  Это делает умножение двух комплексных чисел интуитивно понятным и легким для визуализации.

  Покажите, что умножение двух комплексных чисел равносильно сложению их углов и умножению их абсолютных значений.

  ---

  Предположим, у вас есть два комплексных числа:

  .

  • \(z_1 = x_1 + i y_1\)
  • \(z_2 = x_2 + i y_2.\)

  Вы можете преобразовать их в полярные координаты, используя формулы: 9{10}\)?

  ---

  Это можно сделать двумя способами:

  • умножение \((3+3i)(3+3i) \cdots (3+3i)\) длинный путь;
  • первое преобразование в полярные координаты.

  Первый способ немного утомительный и подвержен ошибкам. Однако преобразование в полярные координаты может значительно упростить задачу. В данном случае

  \[z = 3 + 3i.\]

  Его полярные координаты дают нам

  • \(г = 3\кв2\)
  • \(\тета = \dfrac{\pi}{4}.\) 9n = r\), то мы будем иметь \(n\) равномерно распределенных точек на окружности радиуса \(\sqrt[n]{r}\), с аргументом \(\frac{2m\pi}{n} \), где \(m\) идет от \(0\) до \(n-1\).

    Многозначность комплексных корней может привести к некоторым очевидным парадоксам и ошибочным результатам.

    Например, можно утверждать (ошибочно), что

    \[-1 = i\cdot i = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt {(-1)\cdot (-1) } = 1.\]

    Проблема здесь, конечно, в том, что у вас есть несколько значений как для \(\sqrt{-1}\), так и для \(\sqrt{1},\), поэтому приведенное выше сильно зависит на какой ветке вы выберете. 9{i\omega t}\) и его результирующие свойства — могут использоваться для решения реальных задач, даже если они связаны с мнимыми числами.

    Рассмотрим, например, следующую электрическую цепь:

    Мы хотели бы понять, почему синусоидальная волна, создаваемая источником напряжения в цепи слева, создает формы волны справа.

    Чтобы проанализировать эту схему, мы сначала рассмотрим дифференциальные уравнения указанной выше схемы. В этом разделе мы предполагаем некоторое понимание фундаментального поведения схемы RLC. 9{i\omega t},\]

    где \(\omega\) — частота входного напряжения, которая будет синусоидальной.

    Примечание : инженеры-электрики часто используют \(j\) для обозначения мнимого числа \(i = \sqrt{-1}\), чтобы не путать его с переменной \(I\), используемой для текущий. Однако ради преемственности мы будем продолжать использовать \(i\).

    Теперь рассмотрим поведение каждого элемента.

    Напряжение на резисторе будет

    \[V_R = IR,\]

    , где \(I\) — сила тока \((\) в амперах, \(\text{A})\) и \(R\) — сопротивление \((\) в омах, \(\Omega ).\)

    Напряжение на индукторе будет равно

    \[V_L = L\frac{dI}{dt},\]

    , где \(L\) — индуктивность индуктора \((\) в генри, \(\text{H}),\) и \(\frac{dI}{dt}\) — производная тока по времени.

    Напряжение на конденсаторе будет равно

    \[V_C = \frac{Q}{C},\]

    где \(Q\) — заряд конденсатора, а \(C\) — его емкость \((\)в фарадах, \(\text{F}).\) 9{i\omega t}\) по существу умножается на \(i\omega\), а интегрирование по существу делится на \(i\omega\). Таким образом, приведенное выше интегро-дифференциальное уравнение может быть гораздо проще записано как

    \[V_0 = IR + i\omega L + \frac{1}{i\omega C}.\]

    Обратите внимание, что \(Z_L = i\omega L\) называется импедансом \(L\), а \(Z_C = \frac{1}{i\omega C}\) импедансом \(C\).

    Переписывание,

    \[V_0 = IR + i\left(\omega L — \frac{1}{\omega C}\right).\]

    В этот момент вы можете сказать: «Эй, подождите, это ерунда, у нас все еще есть мнимые числа…» Однако теперь мы можем рассматривать это напряжение как вектор в комплексной плоскости, который будет иметь величину и фазу. .

    Наконец, импеданс каждого элемента теперь рассматривается как «комплексное сопротивление», как если бы у нас было последовательно три резистора.

    Итак, решение для напряжения можно получить из следующих комплексных величин:

    • \(V_R = \frac{Z_RV_0}{Z_R + Z_L + Z_C}\) 9{i(\omega — \omega _n)t},\]

      где \(Z_{tot} = Z_R + Z_L + Z_C.

      No related posts.