Все свойства треугольников: Треугольник. Свойства и признаки треугольника.

{\circ} \)

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Треугольники острые (если все его углы острые), тупые (если один из его углов тупой), прямоугольный (если один из его углов является прямой линией).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны.

Треугольник называется равносторонним, если все три стороны равны.

Основные линии треугольника

Медиана треугольника представляет собой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисом угла треугольника является луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высота треугольника называется перпендикуляром, отбрасываемым от вершины треугольника к противоположной стороне (или ее продолжению).

Средняя линия треугольника — это сегмент, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

Круг может быть вписан в любой треугольник, и круг может быть описан вокруг любого треугольника.

Два треугольника называются равными, если они имеют равные стороны и соответствующие углы.

Знаки равенства треугольников

I знак Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Знак II. Если сторона и углы одного соседнего с ней треугольника равны соответственно стороне и углам соседнего с ней треугольника, то такие треугольники равны.

III. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

Признаки сходства треугольников

1. Если два угла одного раневого треугольника находятся в двух углах другого треугольника, то такие треугольники похожи.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники схожи.

{2}-2 a b \cos (a ; b) \)

Узнайте больше о теореме косинуса по ссылке.

Теорема Синуса. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру окружности (обобщенная теорема синуса):

\(\ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2 R \)

Подробнее о связи синуса.

Площадь треугольника можно вычислить по формулам

1. Через высоту и основание

\(\ S=\frac{1}{2} a \cdot h \)

2. С двух сторон и угла между ними.

\(\ S=\frac{1}{2} a \cdot b \sin \alpha \)

3. Согласно формуле Герона

\(\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

где p — полу-периметр треугольника

4. Через радиусы вписанных и описанных кругов

\(\ S=r p \)

где \(\ \mathrm{p} \) — полу периметр треугольника, \(\ \mathrm{r} \) — радиус вписанной окружности;

\(\ S=\frac{a b c}{4 R} \)

\(\ R \) — радиус описанной окружности. {\circ} \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Котангенс половинного угла Котангенс двойного угла Котангенс угла Тангенс 45 градусов

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Треугольник.

Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

1. Определение треугольника
2. Классификация треугольников
3. Свойства треугольников
4. Медианы треугольника
5. Биссектриссы треугольника 
6. Высоты треугольника

 

Определение треугольника

 Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC (△ABC)

• Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
• Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB  первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b
  , CА = c.
• Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

• угол α — ∠ВСА или ∠ACB;
• угол β — ∠ВАC или ∠CAB;
• угол γ — ∠АBC или ∠CBA;

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них. 

1.

Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

a ≠ b ≠ c
∠ α ≠ ∠ β ≠ ∠ γ

---

2. Равнобедренный – треугольник, у которого  длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны  ∠ α  = ∠ β 

a = b
∠ α=∠ β

---

3

.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

a = b = c
∠ α = ∠ β = ∠ γ = 60°

---

4.

Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

∠ α  < 90° 
∠ β  < 90°
∠ γ  < 90°

---

5.

Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

∠ α  < 90° 
∠ β  < 90°
∠ γ  >  90°

---

6.

Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

∠ α  < 90° 
∠ β  < 90°
∠ γ  = 90°

---

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

• Сумма всех углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

• Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны: 

a + b > c
b + c > a
c + a > b

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b
если α = β, тогда a = b

2.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c
sin α		sin β		sin γ

 3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a² = b² + c² — 2bc·cos α
b² = a² + c² — 2ac·cos β
c² = a² + b² — 2ab·cos γ

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α

Медианы треугольника 

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO	=	BO	=	CO	=	2
OD		OE		OF		1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части 

S_∆ABD = S_∆ACD
S_∆BEA = S_∆BEC
S_∆CBF = S_∆CAF

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. 

S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF =
= S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

5.  Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

m_a = 12√2b²+2c²-a²
m_b = 12√2a²+2c²-b²
m_c = 12√2a²+2b²-c²

Формулы сторон через медианы

a =

√2(m_b²+m_c²)-m_a²

 
 

b =

√2(m_b²+m_c²)-m_b²

 
 

c =

√2(m_b²+m_c²)-m_c²

 

Биссектриссы треугольника 

Биссектриса угла треугольника— луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О,которая называется ИНЦЕНТР. Инцентр равноудален от трех сторон треугольника, следовательно  инцентр — центр вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

AE	=	EC
AB		BC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Угол между La и La’ = 90°  

4.  Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

5. Если в треугольнике три биссектрисы равны, то треугольник — равносторонний.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

La =

√bcp(p-a)

b+c

 
 

Lb =

√bcp(p-b)

a+c

 
 

Lc =

√bcp(p-c)

a+b

 
 

p =

a + b + c

2

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

La =

2bc·cos

a+b

 
 

Lb =

2ac·cos

a+c

 
 

Lc =

2ab·cos

b+c

 
 

Высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

1.  Высоты треугольника пересекаются в одной точке O, называемой ортоцентром треугольника.

2. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

3. Если в треугольнике все высоты равны, то треугольник — равносторонний.

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ= c sin β
h_b= c sin α = a sin γ
h_c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha =

 
 

hb =

 
 

hc =

 
 

Типы и формулы с примерами

Треугольник — это замкнутый многоугольник, имеющий три угла, три стороны и три вершины. В зависимости от величины сторон и величины углов треугольники делятся на различные типы треугольников. Свойства треугольника помогают нам легко и мгновенно отличить треугольник от заданного набора фигур. Наиболее важной особенностью треугольника является то, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам. Это известно как свойство суммы углов треугольника. Рассмотрим треугольник с 3 вершинами, где P, Q и R представлены как △PQR (где △ представляет собой символ треугольника).

Каковы свойства треугольника?

• Неравенство треугольника Свойство: Треугольник имеет три стороны, углы и вершины соответственно. Суммарная длина любых двух сторон треугольника больше, чем мера третьей стороны.

In △ ABC

Меры сторон a и b больше c, т. е. a + b > c ( 6 + 4 (10) > 3) a больше b, т.е. c + a > b (3 + 4 (7) > 6)

И сумма сторон c и b больше, чем a, т.е. c+ b > a ( 6 + 3(9) > 4)

• Свойство суммы углов треугольника равно сумме всех внутренних углов треугольника что всегда равно 180 градусам.

• Кроме того, разница между двумя сторонами треугольника меньше, чем длина третьей стороны.

Рассмотрим тот же △ ABC.

Разность мер сторон а и b меньше с, т. е. а – b < с ( 6 – 4 (2) < 3)

• Сторона, лежащая напротив наибольшего угла треугольника, является наибольшей стороной данного конкретного треугольника. В примере прямоугольного треугольника эта сторона известна как гипотенуза .

• Свойство внешнего угла треугольника гласит, что любой внешний угол треугольника эквивалентен сумме его внутренних противоположных углов.;

• Два треугольника должны быть 92\)
  • Свойство конгруэнтности утверждает, что два треугольника конгруэнтны, если все их соответствующие стороны и углы равны.

  \(\угол XYZ=\угол DEF\\\)

  \(\угол YXZ=\угол EDF\\\)

  \(\угол YZX=\угол EFD\\\)

  • Сторона XY = сторона DE
  • Сторона XZ = сторона DF
  • Сторона YZ = сторона EF
  • Сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360°.
  • Высота треугольника равна длине перпендикуляра, проведенного из вершины к противоположной стороне, и эта сторона признается основанием.

  Узнать о центроиде треугольника

  Типы треугольников и их свойства

  Различные типы треугольников, основанные на свойствах сторон треугольника и угловых свойствах треугольников, приведены ниже:

  1. Разносторонний треугольник:  Треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину, является разносторонним треугольником. Поскольку все три стороны имеют разную длину, три угла также будут разными. Рассмотрим изображение ниже.

  Здесь: \(AB\ne BC\ne CA\text{ Также }\угол A\ne \угол B\ne\угол C\)

  Узнать о центре окружности треугольника

  2. Равнобедренный треугольник :  Треугольник, у которого две стороны одинаковой длины, а третья сторона разной длины, является равнобедренным. Углы, лежащие при равнозначных сторонах, также равны по размеру. Рассмотрим изображение ниже.

  Здесь: \(AB=CA\ne BC\text{ Также}\угол A\ne\угол B=\угол C\)

  3. Равносторонний треугольник:  Треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину, является равносторонним. Так как все три стороны имеют одинаковую длину, то и все три угла будут равны. Каждый внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°. Рассмотрим изображение ниже.

  Здесь: \(AB=CA=BC\text{ Также}\угол A=\угол B=\угол C\)

  4. Остроугольный треугольник:  Треугольник, все три угла которого меньше 90°. ° — остроугольный треугольник. Поэтому все углы остроугольного треугольника называются острыми углами. Рассмотрим изображение ниже. 92\). Для расчета площади существуют предопределенные формулы для квадратов, треугольников, прямоугольников, кругов и т. д.

  Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. т. е.

  \(Площадь\\ a\ треугольника\ \left(A\right)=\frac{1}{2}\times b\left(base\right)\times h\left(height\right)\ )

  Периметр треугольника представляет собой длину, пройденную вокруг треугольника, и определяется путем сложения всех трех сторон треугольника.

  \(\text{Периметр треугольника}=P\left(\text{периметр}\right)=(a+b+c)\ \text{единицы измерения}\\\)

  {где a, b и c — стороны треугольника}

  По формуле Герона площадь треугольника определяется как:

  \(A=\sqrt{s\left(s-a\right) \left(s-b\right)\left(s-c\right)}\ \)

  {Где s — полупериметр треугольника}

  \(s=frac{(a+b+c)}{2 }\)

  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (основания и высоты). Эта теорема называется Теорема Пифагора 9{\circ}.\)

  Пример 2: Джон требует построить треугольник с длинами сторон \(3см,\6см,\текст{и}\9см\). Можно ли построить треугольник?

  Решение:  Длины сторон равны \(3см,\6см,\текст{и}\9см\).

  Здесь 3см+6см=9см.

  Здесь сумма двух меньших сторон равна третьей стороне. Однако по теореме о неравенстве треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

  Следовательно, Джон не сможет построить треугольник со сторонами \(3 см,\ 6 см,\текст{ и}\ 9 см.\)

  Пример 3: Если стороны треугольника равны \(3см,4см\текст{ и}5см\)(где \(4см\) – основание треугольника) с высотой треугольника \(3,2\ см\), затем получите площадь и периметр треугольник.

  Решение:  Дано:

  Основание=4 см

  Высота=\(3,2\ см\)

  \(Площадь\ треугольника\ a\\left(A\right)=\frac{1}{ 2}\times b\left(основание\right)\times h\left(высота\right)\) 92\)

  \(\text{Периметр треугольника}=P\left(\text{периметр}\right)=(a+b+c)\ \text{единицы измерения};\\\)

  где a, b и c — стороны треугольника

  \(P=3см+4см+5см\\\)

  \(P=12см.\)

  Мы надеемся, что приведенная выше статья о свойствах треугольников полезно для вашего понимания и подготовки к экзаменам. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

  Часто задаваемые вопросы о свойствах треугольников

  В.1 Что такое треугольник?

  Ответ 1 Треугольник — это замкнутый многоугольник, имеющий три угла, три стороны и три вершины.

  В.2. Каковы свойства треугольника?

  Ответ 2 Некоторые из важных свойств треугольника:
  Треугольник имеет три стороны, углы и вершины соответственно.
  Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам.
  Свойство внешнего угла треугольника гласит, что любой внешний угол треугольника эквивалентен сумме его внутренних противоположных углов.
  Сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360°.

  Q.3 Какие бывают типы треугольников?

  Ответ 3 Существуют различные типы треугольников: равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и разносторонний треугольник, остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник и тупоугольный треугольник.

  Q.4 Что означает конгруэнтность двух треугольников?

  Ответ 4 Конгруэнтные треугольники должны иметь одинаковую форму и одинаковый размер.

  В.5 Как вы классифицируете треугольники?

  Ответ 5 Треугольники можно классифицировать по признаку угла и длине стороны.

  Скачать публикацию в формате PDF

  Читать больше сообщений

  Обучение на основе ИКТ: обучение с помощью современных технологий!
  Формирующее и суммативное оценивание: методы обучения!
  . Определение, свойства, типы, формулы, примеры, часто задаваемые вопросы Треугольник — простейшая форма многоугольника. Слово «Три» означает три и, следовательно, фигура с 3 углами является треугольником, и она образована с помощью пересекающихся друг с другом трехлинейных отрезков, треугольник имеет 3 вершины, 3 ребра и 3 угла. Форма треугольника очень полезна и в реальной жизни, например, в столярном деле, астрономии, уличных вывесках и т. д. Определение треугольника Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя углами. Обозначается символом △. В треугольнике вершиной называется любое двустороннее соединение. Треугольник имеет три вершины. Это одна из основных фигур, используемых в математике. Существуют различные свойства треугольника, которые обсуждаются ниже 9.0003 Углы в треугольнике Треугольник имеет три угла, угол образуется, когда две стороны треугольника встречаются в одной точке, эта общая точка называется вершиной. Сумма трех внутренних углов равна 180 градусов. Когда стороны треугольника вытянуты наружу, он образует три внешних угла. Сумма пары внутренних и внешних углов треугольника всегда является дополнительной. Кроме того, сумма всех трех внешних углов треугольника равна 360 градусов. Свойства треугольника Свойство суммы углов: Сумма всех трех внутренних углов всегда равна 180°. Поэтому. В треугольнике ΔABC, показанном выше, ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°, внутренние углы треугольника будут больше 0° и меньше 180°. Треугольник имеет 3 стороны, 3 вершины и 3 угла. Свойство внешнего угла: Внешний угол треугольника равен сумме внутренних противоположных и несмежных углов (также называемых удаленными внутренними углами). В показанном выше ΔABC, ∠ACD= ∠ABC+ ∠BAC Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Например, AB+BC>AC или BC+AC>AB. Сторона, лежащая напротив наибольшего угла, является наибольшей стороной треугольника. Например, в прямоугольном треугольнике сторона, противоположная 90°, является наибольшей стороной. Периметр фигуры определяется общей длиной фигуры. Следовательно, периметр треугольника равен сумме длин всех трех сторон треугольника. Периметр ΔABC= (AB + BC + AC) Разница между длинами любых двух сторон всегда меньше длины третьей стороны. Например, AB-BC< AC или BC-AC< AB Для подобных треугольников углы двух треугольников должны быть равны друг другу, а соответствующие стороны должны быть пропорциональны. Площадь треугольника: 1/2 × основание × высота Формулы треугольника В геометрии для каждой двумерной формы (двумерной формы) всегда есть два основных измерения, которые нам нужно выяснить, т. е. площадь и периметр этой фигуры. Следовательно, у треугольника есть две основные формулы, которые помогают нам определить его площадь и периметр. Рассмотрим формулы подробнее. Периметр треугольника Периметр треугольника определяется как сумма всех трех сторон треугольника. Предположим, что задан треугольник со сторонами a, b и c, тогда его периметр равен   общая площадь, покрытая границей треугольника. Он равен половине произведения его основания и высоты. Площадь треугольника измеряется в квадратных единицах. Если основание треугольника равно b и его высота равна h , тогда его площадь равна   Площадь Δ = 1/2 × b × h Площадь треугольника. треугольник известен, но его высота неизвестна, то его площадь вычисляется по формуле Герона. Предположим, что задан треугольник со сторонами a, b и c в единицах, тогда его площадь вычисляется с использованием шагов, описанных ниже.0101 Шаг 1: Отметьте все размеры данного треугольника. Шаг 2: Рассчитайте полупериметр (s) по формуле s = (a+b+c) / 2 Шаг 3: Используйте формулу для нахождения площади Площадь; A = √ [S (S-A) (S-B) (S-C)] , где, A, B и C являются сторонами треугольника типов Triangles Классификация треугольников производится на основе следующих признаков: Типы треугольников на основе сторон Типы треугольников на основе углов Типы треугольников на основе сторон На основе слоев, трианглс классифицируются как , , но. Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник   Равносторонний треугольник В равнобедренном треугольнике все три стороны равны друг другу, как и все три внутренних угла равностороннего треугольника. Поскольку все внутренние углы равны, а сумма всех внутренних углов треугольника равна 180° (одно из свойств треугольника). Мы можем вычислить отдельные углы равностороннего треугольника. ∠A+ ∠B+ ∠C = 180° ∠A = ∠B = ∠C Отсюда 3∠A = 180° ∠A= 180/3 = ∠A 3 B = ∠C = 60° Свойства равностороннего треугольника Все стороны равны. Все углы равны и равны 60° В равностороннем треугольнике существуют три линии симметрии Биссектриса угла, высота, медиана и перпендикуляр совпадают, и здесь это AE. Ортоцентр и центроид совпадают. ЭКВИЛАТЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГЛИЯ ФОРМУЛА Основные формулы для равносторонних треугольников: ОБЛАСТЬ ЭКОВИЛАНАЯ ТРЕРИНГИ = √3/4 × A 2 1111111111111111111111111111111111111111111111111111. 0007 3a где, a сторона треугольника равнобедренный треугольник В равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла также равны между сторонами. Можно сказать, что любые две стороны всегда конгруэнтны. Площадь равнобедренного треугольника рассчитывается по формуле площади треугольника, как обсуждалось выше. Свойства равнобедренного треугольника Две стороны равнобедренного треугольника всегда равны Третья сторона называется основанием треугольника, а высота рассчитывается от основания до противоположной вершины. Противоположные углы, соответствующие двум равным сторонам, также равны друг другу. Разносторонний треугольник В разностороннем треугольнике все стороны и все углы не равны. Представьте, что вы наугад рисуете треугольник, и ни одна из его сторон не равна, все углы также отличаются друг от друга. Свойства разностороннего треугольника Ни одна из сторон не равна друг другу. Все внутренние углы разностороннего треугольника различны. Линия симметрии не существует. Точка симметрии не видна. Внутренние углы могут быть острыми, тупыми или прямыми по своей природе (это классификация, основанная на углах). Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла, а наибольшая сторона лежит против наибольшего угла (общее свойство). Типы треугольников на основе углов На основе углов треугольники классифицируются как Острый угловой треугольник В остроугольных треугольниках все углы больше 0° и меньше 90°. Таким образом, можно сказать, что все 3 угла по своей природе острые (углы меньше 90°) Свойства остроугольных треугольников Все внутренние углы всегда меньше 90° при разной длине сторон. Линия, идущая от основания к противоположной вершине, всегда перпендикулярна. Тупоугольный треугольник В тупоугольном треугольнике одна из трех сторон всегда будет больше 90°, а поскольку сумма всех трех сторон равна 180°, остальные две стороны будут меньше 90°(свойство суммы углов). Свойства тупоугольного треугольника Один из трех углов всегда больше 90°. Сумма оставшихся двух углов всегда меньше 90° (свойство суммы углов). Окружность и ортоцентр тупого угла лежат вне треугольника. Incenter и центр тяжести лежат внутри треугольника. Прямоугольный треугольник Когда один угол треугольника равен 90°, то треугольник известен как прямоугольный треугольник. Свойства прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник должен иметь один угол, точно равный 90°, он может быть разносторонним или равнобедренным, но поскольку один угол должен быть равен 90°, следовательно, он никогда не может быть равносторонний треугольник. Сторона, противоположная 90°, называется гипотенузой. Стороны, прилегающие к 90°, являются базовыми и перпендикулярными. Теорема Пифагора: Это особое свойство прямоугольных треугольников. В нем говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов основания и перпендикуляра, т.е. AC 2 = AB 2 + BC 2 Решенные примеры на треугольниках Пример 1: В треугольнике. ∠ACD = 120° и ∠ABC = 60°. Найдите тип треугольника. Решение: На приведенном выше рисунке мы можем сказать, что ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC (свойство внешнего угла) 120° = 60° + ∠BAC = 60°3BAC ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∠C ИЛИ ∠ACB = 60° Поскольку все три угла равны 60°, 9Треугольник 0007 является равносторонним треугольником. Пример 2: Даны треугольники со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Найдите площадь и периметр треугольника. Решение:   Даны стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см Периметр треугольника = (5 + 5 + 6) = 16 см Полупериметр = 16 / 2 = 8 см Площадь треугольника = √s(s – a)(s – b)(s – c) (по формуле Герона) = √8 (8-5) (8-5) (8-6) = √144 = 12 см 2 Пример 3: В правом треугольнике, Ϫacb = 60 °, а длина основания равна 4 см. Найдите площадь треугольника. Решение: Использование тригонометрической формулы TAN60 °, TAN60 ° = AB/BC = AB/4 AB = 4√3 см Область треулеуч 2 × 4 × 4√3                                 = 8√3 см 2 Пример 4: В ΔABC, если ∠A+ ∠B = 55°. ∠B + ∠C = 150°, Найдите угол B отдельно. Решение: Угольная сумма Свойства треугольника говорит, что ♂+ Ϫb+ ♂ = 180 ° Приведенный: Ϫa+ Ϫb = 55 ° . выше 2 уравнений, ∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C= 205° 180°+ ∠B= 205° ∠B = 25° Часто задаваемые вопросы о треугольниках Вопрос 1: Что такое треугольник? Ответ: Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами. Треугольник также имеет три угла и сумма всех трех углов треугольника составляет 180 градусов. Вопрос 2: Каковы основные формулы треугольника? Ответ: Основные формулы треугольника: Площадь треугольника A = [(½) b × h] , где b — основание, а h — высота треугольника. Периметр треугольника P = (a + b + c) , где «a», «b» и «c» — стороны треугольника. Вопрос 3: Каковы шесть основных типов треугольников? Ответ: Шесть основных типов треугольников: Треугольники с острыми углами Треугольники с тупыми углами Прямоугольные треугольники Разносторонние треугольники Равнобедренные треугольники Равнобедренные треугольники Вопрос 4: Каковы свойства треугольников? Ответ: Некоторые из важных свойств треугольников: Сумма всех трех углов треугольника равна 180 градусам. У равных углов противолежащие стороны равны. Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Вопрос 5: Всегда ли равнобедренный треугольник остроугольный? Ответ: Нет, равнобедренный треугольник не всегда остроугольный треугольник, он может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от значения углов треугольника. Вопрос 6: В чем разница между разносторонними, равнобедренными и равносторонними треугольниками? Ответ: В зависимости от сторон треугольники бывают трех типов: Разносторонний треугольник: Треугольник, у которого все три стороны не равны, называется разносторонним треугольником. Равнобедренный треугольник: Треугольник, в котором любые две стороны равны, является равнобедренным треугольником. Равносторонний треугольник: Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним треугольником. Вопрос 7: В чем разница между остроугольным треугольником, тупоугольным треугольником и прямоугольным треугольником? Ответ: В зависимости от углов треугольники бывают трех типов: Остроугольный треугольник: Треугольник, у которого все три угла острые, называется остроугольным треугольником. Тупоугольный треугольник: Треугольник, в котором любой угол является тупым, называется тупоугольным треугольником. Прямоугольный треугольник: Треугольник, в котором любой угол является прямым, называется прямоугольным треугольником. Вопрос 8: Объясните, почему прямоугольный треугольник никогда не может быть равносторонним. Ответ: Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°, а другие углы меньше 90°. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт