Искусство решения проблем
В алгебре гармоническая последовательность , иногда называемая гармонической прогрессией , представляет собой последовательность чисел, разность между обратными величинами любых двух последовательных членов постоянна. Другими словами, гармоническая последовательность формируется путем взятия обратных величин каждого члена арифметической последовательности.
Например, и являются гармоническими последовательностями; однако и не являются.
Более формально, гармоническая прогрессия биусловно удовлетворяет Аналогичное определение верно для бесконечных гармонических последовательностей. Чаще всего он появляется в трехчленной форме: а именно, что константы , и находятся в гармонической прогрессии тогда и только тогда, когда .
Содержание
- 1 Свойства
- 2 Сумма
- 3 примера
- 3.1 Пример 1
- 3.2 Пример 2
- 3.3 Пример 3
- 4 Дополнительные проблемы
- 4.
1 Введение
- 4.
- 5 См. также
1 ВведениеСвойства
Поскольку обратные величины членов гармонической последовательности находятся в арифметической прогрессии, можно применить свойства арифметических последовательностей для получения общей формы гармонических последовательностей. А именно, для некоторых констант и членов любой конечной гармонической последовательности можно записать как
Распространенная лемма состоит в том, что последовательность находится в гармонической прогрессии тогда и только тогда, когда она является средним гармоническим значением и для любых последовательных членов. В символах, . Это в основном используется для выполнения замен, хотя иногда оно служит определением гармонических последовательностей.
Сумма
Гармонический ряд представляет собой сумму всех членов гармонического ряда. Все бесконечные гармонические ряды расходятся, что следует по критерию предельного сравнения с рядом . Эта серия называется 9.
Примеры
Вот несколько примеров задач, в которых используются гармонические последовательности и ряды.
Пример 1
Найдите все действительные числа, которые являются гармонической последовательностью.
Решение : Используя свойства гармонического среднего гармонических последовательностей, обратите внимание, что это создало бы термин — что-то, что нарушает определение гармонических последовательностей — что исключает их как возможные решения. Таким образом, мы можем умножить обе части на, чтобы получить . Расширение этих факторов дает , что упрощается до . Таким образом, это единственное решение уравнения, как и требовалось.
Пример 2
Пусть , и будут положительными действительными числами. Покажите, что если , , и находятся в гармонической прогрессии, то , , и тоже.
Решение : Используя свойство среднего гармонического гармонических последовательностей, нам дано, что , и мы хотим показать, что . Мы работаем в обратном направлении от последнего уравнения.
Один из подходов может заключаться в добавлении к обеим частям уравнения, что в сочетании с дробями возвращает Поскольку , , и все положительны, . Таким образом, мы можем разделить обе части уравнения на , чтобы получить , которое было задано как истинное.
Отсюда легко записать доказательство вперед. Это доказывает, что , откуда следует, что , , является гармонической последовательностью, как и требовалось.
Пример 3
2019 AMC 10A Задача 15. Последовательность чисел определяется рекурсивно как , , и для всех Тогда можно записать как , где и взаимно простые положительные целые числа. Что ?
Решение : Упростим рекурсивную формулу ряда. Взяв обратные обе стороны, мы получаем равенство Таким образом, . Это гармоническое среднее, что подразумевает гармоническую прогрессию.
Таким образом, вся последовательность находится в гармонической прогрессии.
Используя инструменты гармонических последовательностей, мы теперь найдем замкнутое выражение для последовательности. Пусть и . Упрощение первого уравнения дает, а подстановка его во второе уравнение дает . Так и так. Тогда ответ.
Другие задачи
Вот еще несколько задач, в которых используются гармонические последовательности и ряды. Обратите внимание, что гармонические последовательности встречаются довольно редко по сравнению с их арифметическими и геометрическими аналогами.
Вводный
- 1959 Задача ASHME 33
См. также
- Арифметическая последовательность
- Геометрическая последовательность
- Гармоническая серия
- Последовательность Серия
Факультеты / Последовательность математических курсов
В этом списке представлены курсы, утвержденные округом. Курсам, отмеченным *, присваивается статус взвешенной оценки, который используется при расчете рейтинга класса.
MAT100 Алгебра 1 Кредит: 1.0 Этот курс предназначен для учащихся, которые могут самостоятельно использовать и применять основные навыки арифметики. Курс знакомит студента с базовой структурой алгебры посредством использования и применения действительных чисел, неравенств, разложения на множители, многочленов, линейных и квадратных уравнений и графиков. Соответствующая технология будет использоваться для повышения математического понимания и навыков решения задач. Учащиеся, успешно окончившие этот курс с оценкой «С» или выше, должны быть готовы к изучению геометрии.
MAT200 Геометрия Кредит: 1.0 Этот курс знакомит учащихся с дедуктивным методом доказательства с использованием точек, линий и плоскостей. Объемная геометрия интегрирована с планиметрией, чтобы подвести учащихся к рассмотрению двух- и трехмерных фигур и развить способность визуализировать пространственные отношения. Учащиеся, успешно закончившие этот курс с оценкой «C» или выше, должны быть готовы к алгебре 2.
MAT210 Геометрия с отличием * Кредит: 1.0 Этот курс знакомит студента с дедуктивным методом доказательства с использованием точек, линий и плоскостей. Объемная геометрия интегрирована с планиметрией, чтобы подвести учащихся к рассмотрению двух- и трехмерных фигур и развить способность визуализировать пространственные отношения. Также будут изучены другие геометрии и методы доказательства. В этот курс будет включена тригонометрия прямоугольного треугольника. Будут предоставлены возможности для творческого самовыражения и обогащения. Этот курс соответствует государственным стандартам владения языком на уровне отличия.
MAT30x Алгебра 2 — Описание будет скоро и логарифмические функции, конические сечения, полиномиальные функции более высокой степени, последовательности и ряды, а также тригонометрия. Этот курс или алгебра с отличием 2 требуется для студентов, которые планируют посещать большинство высших учебных заведений.
Учащиеся, успешно завершившие этот курс с оценкой «C» или выше, выполнили необходимое условие для Pre-Calculus.
MAT310 Алгебра с отличием 2 * Кредит: 1,0 Этот курс алгебры и тригонометрии второго года обучения является расширением тем, изучаемых в Алгебре 1. Действительные и комплексные системы счисления, решения уравнений и неравенств, тригонометрия, логарифмы, и показатели подчеркнуты. Понятия отношений и функций тщательно исследуются и используются для унификации материала курса. Технологии используются в качестве инструмента на протяжении всего курса для поддержки и улучшения обучения. Этот курс настоятельно рекомендуется для студентов, которые заинтересованы в карьере в области математики, науки или техники. Учащиеся, успешно окончившие этот курс с оценкой «B» или выше, готовы сдать экзамен по математике с отличием/краткое исчисление с отличием в следующем году.
MAT400 Предварительное исчисление Кредит: 1.
MAT430 Конечная математика с отличием * Кредит: 0,5 Введение в математику, необходимое для изучения социальных наук и наук о поведении. Темы включают: множества, решение линейных систем с двумя и тремя уравнениями, комбинаторику, вероятность, матричную алгебру, линейное программирование, статистику и финансовую математику. Студенты смогут вычислять простые и сложные проценты, рассчитывать стоимость погашения кредита методом амортизации, решать задачи на подсчет с использованием перестановок и комбинаций, использовать цепи Маркова, формулу Байеса или биномиальные эксперименты для определения вероятности события.
MAT500 Краткий курс исчисления с отличием * Кредит: 0,5 Введение в теорию, методы и приложения дифференциального и интегрального исчисления элементарных функций с задачами, представляющими интерес для студентов, необходимых для изучения бизнеса и социальных наук. Студенты смогут найти пределы значений функций алгебраических, экспоненциальных и логарифмических функций. Студенты смогут работать над прикладными задачами в области бизнеса и экономики, используя производную. Использование графического калькулятора/компьютерной программы необходимо на протяжении всего курса.
MAT450 Математика для колледжей Кредит: 1,0 Учащиеся получат практические знания по математике на уровне колледжа и ее применению для решения реальных задач. Особое внимание уделяется пониманию математических понятий и их приложений. Темы включают теорию множеств, вероятность, статистику, финансы и геометрию. Этот курс может быть предложен для колледжа (двойного) кредита, и это курс, который нужен большинству специальностей, не связанных с математикой / естественными науками.
MAT520 AP Исчисление BC * Кредит: 1.0 Этот курс продолжает тщательное изучение дифференциации и интеграции, начатое в Кратком исчислении с отличием. Изучаются приложения этих тем: глубоко исследуются пределы, непрерывность, дифференцирование, интегрирование, бесконечные ряды и дифференциальные уравнения. После завершения этого курса учащийся может захотеть сдать один из этих экзаменов Advanced Placement Exams: Calculus AB или Calculus BC.
MAT530 Honors Calculus III * Кредит: 0,5 Этот курс разработан как продвинутый курс AP Calculus BC. Этот курс будет охватывать третий семестр исчисления в колледже. Этот курс будет преподаваться с использованием графического калькулятора. Компьютерная графика будет использоваться для улучшения визуализации и концептуализации. Реальные приложения и примеры укрепят навыки решения проблем. Курс будет сочетать графические, числовые и алгебраические методы для решения задач, связанных с методами исчисления.
MAT540 Дифференциальные уравнения * Кредит: 0,5 Этот курс разработан как продвинутый курс после курса Honors Calculus III. Этот курс будет охватывать дифференциальные уравнения. Этот курс будет преподаваться с использованием графического калькулятора. Компьютерная графика будет использоваться для улучшения визуализации и концептуализации. Реальные приложения и примеры укрепят навыки решения проблем. Курс будет сочетать графические, числовые и алгебраические методы для решения задач, связанных с методами исчисления.
MAT550 AP Statistics * Кредит: 1,0 Этот курс на уровне колледжа предназначен для изучения анализа данных, стандартного отклонения, диаграмм рассеивания, корреляции, остаточных диаграмм, плана эксперимента, смещения, вероятности, центральной предельной теоремы, поля ошибка, нулевая гипотеза, альтернативная гипотеза, эмпирические правила предположений, p-значение, уровень альфа, ошибки типа I и II, доверительные интервалы, вывод с помощью z-тестов, выборка и тесты I и II, тесты пропорции I и II, тесты x2 , 2 выборочных f-теста, тесты Anova, t-тесты линейной регрессии. После завершения этого курса учащийся может захотеть сдать экзамен Advanced Placement Statistics.
MAT560 Линейная алгебра с отличием * Кредит: 1,0 Этот курс предназначен для студентов, прошедших курс Calculus III с отличием. Этот курс охватывает системы линейных уравнений и матриц, исключение Гаусса-Жордана, однородные системы, матричную алгебру, матрицы и обратные.