Выразите lg а через логарифмы простых чисел: Помогите решите пожалуйстаii. выразите lg a через логарифмы простых чисел.!!!(четные)!!!iii. вычислите значение выражения, если известно, что loga b = 2. !!!(четные)!!! — Знания.site

Карточки-тренажёры на тему: «Логарифмические уравнения» | Тест по алгебре (10 класс) на тему:

Опубликовано 29.11.2015 — 20:22 — Меджидова Юлия Калабеговна

Карточки-тренажеры предназначены для учащихся 10 класса, обучающихся по учебнику Ш.А. Алимова «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Карточки-тренажёры на тему: «Логарифмические уравнения»

Вариант №1

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел : А = 720
   
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2:

logab

3. Решите уравнение: log2х = 3

Вариант № 2

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А =
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2.

logab

3. Решите уравнение: log3х = -1

Вариант №3

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А =
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2

3

4. Решите уравнение: log5(2х) = 1

Вариант № 4

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А =
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2

3. Решите уравнение: log7х = 0

Вариант № 5

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А =
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2

3. Решите уравнение: log2(-х) = -3

Вариант № 6

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А =
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2

.

3. Решите уравнение: lg(х-1)2 = 0

Вариант № 7

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А =
2. Вычислите значение выражения, если известно, что logab=2

3. Решите уравнение: log2 log3х = 1

Вариант № 8

1. Выразите lgА через логарифмы простых чисел:  А = 9

2. Решите уравнение: log3 log2 log2х = 0

3. Решите уравнение: logx+1(x2-3x+1)=1

Вариант № 9

1. Решите уравнение: log2 log3х2 = 2

2. Решите уравнение: lgх = 2-lg5

3. Решите уравнение: log1-x3-log1-x2=0.5

Вариант № 10

1. Решите уравнение: lgx-lg11=lg19-lg(30-x)
   
2. Решите уравнение: log3(x2-4x+3)=log3(3x+21)
   
3. Решите уравнение: logx2+log2x=2.5

Вариант № 11

1. Решите уравнение:
2. Решите уравнение: log2(9-2x)=3-x
   
3. Решите уравнение: 2log2log2x+

Вариант № 12

1. Решите уравнение: log3(x-2)+ log3x=log38
   
2. Решите уравнение: lg(x-9)+2lg
   
3. Решите уравнение: log3x+log9x+log27x = 5. 5

Вариант № 13

1. Решите уравнение: logx-19=2
2. Решите уравнение: log4log2

3. Решите уравнение: 2log2x+

Вариант № 14

1. Решите уравнение: log22x+3=2log2x2
   
2. Решите уравнение: lg2x2-10lgx+1 = 0
3. Решите уравнение:

Вариант № 15

1. Решите уравнение: log4(x+3)- log4(x-1) = 2-log48
   
2. Решите уравнение: 0.5lg(2x-1)+lg
   
3. Решите уравнение: lg(x+6)-

Вариант № 16

1. Решите уравнение: log2(-х) = -3
   
2. Решите уравнение: lg(x-9)+2lg
   
3. Решите уравнение: 2log2log2x+

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме «Логарифмические уравнения», 10 класс

Логарифмические уравнения. Меркулова Ирина Николаевна, МОУ СОШ №2 р.п. Мокроус, учитель математики, Саратовская область. Предмет (направленность): математика. Возраст детей: 16 лет, 10 класс. Мест…

Урок алгебры по теме «Логарифмические уравнения»

Решение логарифмических уравнений различными способами….

Общественный смотр знаний по теме: « Логарифмические уравнения, неравенства и их системы».

Цель:1) Углубить и систематизировать знания учащихся по данной теме. 2) Проверить знания и умения  учащихся по данной теме. 3) Воспитывать у учащихся желание знать больше, чем в учебнике….

Урок на тему «Логарифмические уравнения»

Учитель:  Колесникова Ольга Евгеньевна      Класс: ЗМО (10-11)Тема урока: логарифмические уравненияЦели урока:  Оперативные:- повторить понятие логарифма;- пов…

Дидактическая игра по теме «Логарифмические уравнения»

Авторская игра «Составь слово» ориентирована на отработку решения логарифмических уравнений. В ходе игры обучающиеся заменяют полученные ответы к заданиям по специальному коду на буквы и получаю…

Разработка блока уроков по теме «Логарифмические уравнения» с применением интегральной технологии (УМК А.

Г. Мордкович. Алгебра 10-11).

Конспекты уроков по теме: «Логарифмические уравнения»….

Тест по по алгебре по теме: «Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства», 10 класс

С помощью данного теста проверяются предметные знания и навыки по теме: «Решение логарифмических уравнений и их систем», «Решение логарифмических неравенств» по учебнику Ш.А. Алимова «Алгебра и начала…

Поделиться:

 

Логарифмы | это… Что такое Логарифмы?

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логарифм числа b по основанию

a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и a^x = b равносильны.

Пример: , потому что 2³ = 8.

Содержание 1 Вещественный логарифм 1. 1 Свойства 1.2 Натуральные логарифмы 1.3 Десятичные логарифмы 2 Комплексный логарифм 2.1 Многозначная функция 2.2 Аналитическое продолжение 2.3 Риманова поверхность 3 Исторический очерк 3.1 Вещественный логарифм 3.2 Комплексный логарифм 4 Логарифмические таблицы 5 См. также 6 Литература

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log

ab имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• Десятичные: , основание: число 10.
• Натуральные: , основание: e (число Эйлера).
• Двоичные: или , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

• Основное логарифмическое тождество:
• (замена основания логарифма)

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При справедливо равенство

(1)

В частности,

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg 

a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

• Физика — интенсивность звука (децибелы).
• Астрономия — шкала яркости звёзд.
• Химия — активность водородных ионов (pH).
• Сейсмология — шкала Рихтера.
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный.

Начнём с натурального логарифма, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

,

то логарифм находится по формуле:

Здесь  — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

• Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

• Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Примеры (приведено главное значение логарифма):

• ln( − 1) = iπ

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (

k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln)

При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки).

Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1)

.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

• Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

• Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
• Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

См. также

• Комплексное число
• Показательная функция
• Простаферетическая функция
• Системы счисления
• Еричная система счисления

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Наука, 1960.

Факты о логарифмах для детей

Открытая раковина наутилуса. Его камеры составляют логарифмическую спираль

Логарифмы или бревна являются частью математики. Они связаны с экспоненциальными функциями. Логарифм говорит, какой показатель степени (или степени) необходим для получения определенного числа, поэтому логарифмы являются обратными (противоположными) действиям возведения в степень. Исторически сложилось так, что они были полезны при умножении или делении больших чисел.

Примером логарифма является . В этом логарифме основание равно 2, аргумент равен 8, а ответ равен 3. В этом случае функция возведения в степень будет:

Наиболее распространенными типами логарифмов являются десятичных логарифмов , где основание равно 10, двоичных логарифмов , где основание равно 2, и натуральных логарифмов , где основание равно e ≈ 2,71828.

Содержание

• История
• Связь с экспоненциальными функциями
• Отличие от корней
• Использует
• десятичные логарифмы
• Натуральные логарифмы
• Общие основания для логарифмов
• Свойства логарифмов
  • Свойства из определения логарифма
  • Операции с логарифмическими аргументами
  • Таблицы логарифмов, логарифмические линейки и исторические приложения
• Связанные страницы
• Картинки для детей

История

Логарифмы впервые были использованы в Индии во 2 веке до н.э. Первым, кто использовал логарифмы в наше время, был немецкий математик Михаэль Штифель (около 1487–1567). В 1544 году он записал следующие уравнения: и . Это основа для понимания логарифмов. Для Штифеля и должны были быть целые числа. Джон Напье (1550–1617) не хотел этого ограничения и хотел установить диапазон показателей.

Джон Нейпир работал над логарифмами

Согласно Нейпиру, логарифмы выражают соотношения: имеет такое же отношение к , как если бы разность их логарифмов совпадала. Математически: . Сначала использовалась база e (хотя число еще не было названо). Генри Бриггс предложил использовать 10 в качестве основания для логарифмов, такие логарифмы очень полезны в астрономии.

Связь с экспоненциальными функциями

Логарифм показывает, какой показатель степени (или степени) необходим для получения определенного числа, поэтому логарифмы являются обратными (обратными) действиями возведения в степень.

Точно так же, как экспоненциальная функция состоит из трех частей, логарифм также состоит из трех частей: основания, аргумента и ответа (также называемого степенью).

Ниже приведен пример экспоненциальной функции:

В этой функции основание равно 2, аргумент равен 3, а ответ равен 8.

Это показательное уравнение имеет обратное, его логарифмическое уравнение:

В этом уравнении основание равно 2, аргумент равен 8, а ответ равен 3.

Отличие от корней

Сложение имеет одну обратную операцию: вычитание. Кроме того, у умножения есть одна обратная операция: деление. Однако возведение в степень на самом деле имеет две обратные операции: корень и логарифм. Причина, по которой это так, связана с тем фактом, что возведение в степень не является коммутативным.

Следующий пример иллюстрирует это:

• Если x +2=3, то можно использовать вычитание, чтобы узнать, что х =3−2. То же самое, если 2+ x = 3: также получается x = 3−2. Это потому, что x +2 равно 2+ x .
• Если х · 2=3, то можно с помощью деления узнать, что х =. То же самое, если 2 · x = 3: тоже получается x =. Это потому, что x · 2 равно 2 · x .
• Если x ²=3, то можно использовать (квадратный) корень, чтобы узнать, что х = . Однако, если 2 ^х =3, то один не может использовать корень, чтобы узнать х . Скорее, нужно использовать (двоичный) логарифм, чтобы узнать, что x = log ₂ (3).
  Это связано с тем, что 2 ^x обычно не совпадает с x ² (например, 2 ⁵ = 32, а 5² = 25).

Использование

Логарифмы могут упростить умножение и деление больших чисел, потому что сложение логарифмов аналогично умножению, а вычитание логарифмов аналогично делению.

До того, как калькуляторы стали популярными и распространенными, люди использовали таблицы логарифмов в книгах для умножения и деления. Та же информация в таблице логарифмов была доступна на логарифмической линейке, инструменте с написанными на нем логарифмами.

Помимо вычислений, логарифм имеет множество других применений в реальной жизни:

• Логарифмические спирали широко распространены в природе. Примеры включают раковину наутилуса или расположение семян на подсолнухе.
• В химии отрицательный логарифм по основанию 10 активности ионов гидроксония (H ₃ O ⁺ , форма H ⁺ принимает в воде) является мерой, известной как рН. Активность ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10 ^-7 моль/л при 25 °C, следовательно, pH равен 7. (Это результат константы равновесия, произведения концентрации ионов гидроксония и ионов гидроксила, в водных растворах 10 ⁻¹⁴ M ² .)
• Шкала Рихтера измеряет интенсивность землетрясений по логарифмической шкале с основанием 10.
• В астрономии видимая величина измеряет яркость звезд логарифмически, поскольку глаз также логарифмически реагирует на яркость.
• Музыкальные интервалы измеряются логарифмически как полутона. Интервал между двумя нотами в полутонах равен логарифму отношения частот по основанию 2 ^1/12 (или, что то же самое, 12-кратному логарифму по основанию 2). Дробные полутона используются для неравных темпераций. Специально для измерения отклонений от равнотемперированной шкалы интервалы также выражаются в центах (сотых долях равнотемперированного полутона). Интервал между двумя банкнотами в центах равен основанию 2 ^1/1200 логарифм отношения частот (или 1200-кратный логарифм по основанию 2). В MIDI ноты пронумерованы по шкале полутонов (логарифмическая абсолютная номинальная высота звука со средней до 60). Для микронастройки на другие системы строя определена логарифмическая шкала, заполняющая диапазоны между полутонами равнотемперированной шкалы совместимым образом. Эта шкала соответствует номерам нот для целых полутонов. (см. микронастройку в MIDI).

Двоичные логарифмы

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Обычно они пишутся без основы. Например:

Это верно, потому что:

Натуральные логарифмы

Логарифмы по основанию e называются натуральными логарифмами. Число e близко к 2,71828, и его также называют константой Эйлера в честь математика Леонарда Эйлера.

Натуральные логарифмы могут принимать символы или . Некоторые авторы предпочитают использовать натуральные логарифмы в виде , но обычно упоминают об этом на страницах предисловия.

Общие основания для логарифмов

база	аббревиатура	Комментарии
2		Очень распространен в информатике (двоичный)
и	или просто	Основанием для этого является постоянная Эйлера e. Это наиболее распространенный логарифм, используемый в чистой математике.
10	или (иногда также пишется как)	Используется в некоторых науках, таких как химия и биология.
любой номер, номер		Это общий способ записи логарифмов

Свойства логарифмов

Логарифмы обладают многими свойствами. Например:

Свойства из определения логарифма

Это свойство прямо из определения логарифма:

Например,

и

, потому что .

Логарифм по основанию b числа a , это то же самое, что логарифм a , разделенный на логарифм b . То есть

Например, пусть a равно 6, а b равно 2. С помощью калькуляторов мы можем показать, что это правда (или, по крайней мере, очень близко):

В приведенных выше результатах была небольшая ошибка, но это произошло из-за округления чисел.

Поскольку представить натуральный логарифм сложно, мы находим, что в терминах десятичного логарифма:

, где 0,434294 является приближением логарифма e .

Операции с логарифмическими аргументами

Логарифмы, которые умножаются внутри своего аргумента, могут быть изменены следующим образом:

Например,

Точно так же логарифм, который делится внутри аргумента, может быть превращен в разность логарифмов (потому что это обратная операция умножения):

Таблицы логарифмов, логарифмические линейки и исторические приложения

До появления электронных компьютеров ученые ежедневно использовали логарифмы. Логарифмы помогли ученым и инженерам во многих областях, таких как астрономия.

До появления компьютеров таблица логарифмов была важным инструментом. В 1617 году Генри Бриггс напечатал первую таблицу логарифмов. Это было вскоре после основного изобретения Нейпира. Позже люди стали делать таблицы с лучшим охватом и точностью. В этих таблицах перечислены значения журнала _b ( x ) и b ^x для любого числа x в определенном диапазоне, с определенной точностью, для определенного основания b (обычно 809090) . Например, первая таблица Бриггса содержала десятичные логарифмы всех целых чисел в диапазоне от 1 до 1000 с точностью до 8 цифр.

Поскольку функция f ( x ) = b ^x является обратной функцией журнала _b ( х ), это называется антилогарифмом. Люди использовали эти таблицы для умножения и деления чисел. Например, пользователь искал в таблице логарифм для каждого из двух положительных чисел. Сложение чисел из таблицы даст логарифм произведения. Затем функция антилогарифма таблицы найдет произведение на основе его логарифма.

Для ручных вычислений, требующих точности, поиск двух логарифмов, вычисление их суммы или разности и поиск антилогарифма выполняется намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними способами.

Многие таблицы логарифмов дают логарифмы, отдельно предоставляя характеристику и мантисса x , то есть целую часть и дробную часть log ₁₀ ( x ). Характеристика 10 · x равна единице плюс характеристика x , и их мантиссы одинаковы. Это расширяет возможности таблиц логарифмов: для таблицы со списком log ₁₀ ( x ) для всех целых чисел x в диапазоне от 1 до 1000, логарифм 3542 аппроксимируется как

Другим важным применением была логарифмическая линейка, пара логарифмически разделенных шкал, используемых для вычислений, как показано здесь:

Схематическое изображение логарифмической линейки. Начиная с 2 на нижней шкале, добавьте расстояние к 3 на верхней шкале, чтобы получить произведение 6. Логарифмическая линейка работает, потому что она отмечена таким образом, что расстояние от 1 до x пропорционально логарифму х .

Числа отмечаются на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разности их логарифмов. Сдвиг верхней шкалы соответствует механическому сложению логарифмов. Например, добавление расстояния от 1 до 2 по нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 по верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Многие инженеры и ученые использовали логарифмические линейки до 1970-х годов. Ученые могут работать быстрее, используя логарифмическую линейку, чем используя таблицу логарифмов.

Связанные страницы

• Постоянная Эйлера–Маскерони
• Теорема о простых числах

Картинки для детей

• Графики логарифмических функций с тремя широко используемыми основаниями. Особые точки log b   b = 1 обозначены пунктирными линиями, а все кривые пересекаются в log b  1 = 0,

  .

• График основания логарифма 2 пересекает ось x в точке x = 1 и проходит через точки (2, 1), (4, 2) и (8, 3), изображая, например, log2 (8) = 3 и 23 = 8. График сколь угодно близко подходит к оси у, но не пересекает ее.

• Британская энциклопедия 1797 года объяснение логарифмов

• Клавиши логарифмирования (LOG для основания 10 и LN для основания e) на графическом калькуляторе TI-83 Plus

• Ряд Тейлора для ln( z ) с центром в z = 1. Анимация показывает первые 10 приближений, а также 99-е и 100-е. Аппроксимации не сходятся дальше расстояния 1 от центра.

Все содержимое статей энциклопедии Kiddle (включая изображения статей и факты) можно свободно использовать по лицензии Attribution-ShareAlike, если не указано иное. Процитируйте эту статью:

Факты о логарифмах для детей. Энциклопедия Киддла.

Обзор карты Amazon Business Prime American Express. В отличие от других кредитных карт, где вы должны открыть и потратить определенную сумму, чтобы получить бонус, эта карта дает вам карту без обручей, через которые нужно пройти.

Хотя бонус ниже, чем предлагают другие кредиторы (вы получаете бонус в размере 500 долларов США с картой Capital One Spark, когда вы снимаете 4500 долларов США в течение первых 90 дней), вы также не обязаны совершать какие-либо покупки в течение узкого окна. либо. Это делает вознаграждение более универсальным для бизнеса.

Кэшбэк в размере 5% в некоторых магазинах

Кэшбэк — еще одно преимущество карты Amazon Business Prime American Express. Вы получаете возврат 5 % на покупки, сделанные через AWS, Amazon.com, Whole Foods и Amazon Business, на сумму до первых 120 000 долларов США, списанных за каждый календарный год. Как только вы достигнете порога, вы получите 1% обратно на все другие расходы, сделанные с помощью вашей кредитной карты.

American Express также поощряет другие покупки, сделанные компаниями. Вы получаете кэшбэк 2% на все расходы, связанные с ресторанами, поставщиками мобильных телефонов и заправочными станциями. За все остальные покупки вы получаете 1% обратно. Для поощрений с кэшбэком в размере 2% или 1% нет ограничений на расходы.

Все накопленные награды переводятся в баллы Amazon. У этих баллов нет срока годности, поэтому вы можете копить их столько, сколько захотите. Используйте их для покупок, сделанных на Amazon, или вы можете использовать свои вознаграждения в качестве кредитной выписки.

С этой точки зрения кредитная карта является мудрым выбором для компаний, которые совершают много покупок через Amazon или тратят много денег на топливо, питание или сотовую связь.

Гибкие условия погашения

American Express предлагает гибкий подход к финансированию ваших расходов. Вы можете воспользоваться поощрением кэшбэка в размере 5% или 90-дневным беспроцентным окном погашения. Если вы планируете совершать более крупные покупки, этот вариант дает вам больше возможностей для маневра в вашем бюджете, чтобы финансировать их без каких-либо дополнительных затрат. Хотя вы не будете получать кэшбэк, вам также не нужно беспокоиться об уплате процентов, которые могут варьироваться от 18,49% до 26,49%.

No related posts.