РЕДАКТИРОВАТЬ:
Я должен был указать, что это упражнение должно быть выполнено с использованием девяти из двенадцати основных свойств чисел, которые Спивак описывает в своей книге:
- Ассоциативный закон для сложения
- Наличие аддитивной идентичности
- Существование аддитивных инверсий
- Коммутативный закон для дополнений
- Ассоциативный закон умножения
- Существование мультипликативной идентичности 92$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Так как степени x и y всегда больше или равны нулю, Вы можете доказать это с помощью математической индукции.
$\endgroup$
$\begingroup$
Извините, но я плохо говорю по-английски, но я постараюсь писать максимально корректно.
\влево(n−1\вправо))$ 9kСледовательно, формула верна для k+1, если она верна для k . Поэтому по принципу индукции формула верна для положительных целых чисел n≥2 .
Справочник = Проблемы и острые ощущения довузовской математики.
$\endgroup$
1
Доказательства свойств логарифма — ChiliMath
Свойства или правила логарифмирования выводятся с использованием законов показателей. Вот почему мы собираемся использовать правила экспоненты для доказательства свойств логарифма ниже.
Большую часть времени нам просто говорят помнить или запоминать эти логарифмические свойства, потому что они полезны. Но в этом уроке мы собираемся предоставить обоснования или простые доказательства того, почему они верны.
Докажите четыре (4) свойства логарифмов
1) Свойство произведения: {\log _b}\left( {{x \cdot y}} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y
2) Свойство частного: {\log _b}\left( {\Large{{{x \over y}}}} \right) = {\log _b}x — {\log _b}y 9{\color{red}y}}
По существу это означает, что существует эквивалентность между логарифмическими операторами и экспоненциальными операторами.
Таким образом, учитывая логарифмическое выражение, мы можем выразить его как экспоненциальное выражение. Таким же образом, если у нас есть экспоненциальное выражение, мы можем преобразовать его в логарифмическое выражение.
Теперь приступим к доказательству четырех (4) свойств или правил логарифмирования.
Доказательство произведения Свойство логарифма
9{m + n}}} \right)}\large{{\log _b}\left( {xy} \right) = m + n}
Шаг 5: Наконец, подставьте обратно выражения для \ color{red}m и \color{blue}{n}, которые мы присвоили на шаге 1.
\large{{\log _b}\left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\ log _b}y}
или
\large{{\log _b}\left( {x \cdot y} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y}
Доказательство Факторное свойство логарифма
\large{{\log _b}\left( {\Large{{{x \over y}}}} \right) = {\log _b}x — {\log _b}y}
Шаг 1: Предположим, что {\color{red}m} = {\log _b}x и {\color{blue}n} = {\log _b}y.
Шаг 2: Выразите каждое логарифмическое уравнение в виде показательного уравнения.
Шаг 3: Мы хотим доказать частное правило логарифма, поэтому мы разделим x на y, поэтому наша установка \Large{x \over y}. Помните, что при делении показателей степени вы копируете общее основание, а затем вычитаете показатель степени числителя на показатель степени знаменателя. 9{\,m — n}}} \right)
{\log _b}\left( {{\Large{{x \over y}}}} \right) = m — n
Шаг 5: Поскольку на первом шаге мы предполагаем, что {\color{red}m} = {\log _b}x и {\color{blue}n} = {\log _b}y, мы заменяем m и n их соответствующими логарифмическими выражениями . Это приводит к частному свойству логарифма, как и предполагалось.
{\log _b}\left({\Large{{{x \over y}}}} \right) = {\log _b}x — {\log _b}y
Доказательство мощности Логарифм
9{\large{{\color{red}k}}}}} \right)}Шаг 4: Теперь применим Степенное правило логарифмирования к правой части экспоненциального уравнения, чтобы уменьшить показатель степени k.
\влево(n−1\вправо))$ 9k
