логарифмов — Но правда ли, что $\log(xy) = \log(x)+\log(y)$
$\begingroup$
Вероятно, все мы знаем, что
$$\log (x y)=\log x + \log y$$
Однако выражение слева требует определения только $x y >0$, тогда как выражение слева справа требуются $x>0$ и $y>0$.
Например, предположим, что вы максимизировали $$\max \log(x)+\log(y), с.т. ограничения$$
vs
$$\max \log(xy) с.т. ограничения$$
Эти две задачи кажутся совершенно разными, хотя наивная подстановка подразумевала бы, что они идентичны.
Мой вопрос: Где-нибудь обсуждается этот момент? Я не встречал обсуждения этого. Есть ли ссылки, чтобы узнать больше об этом?
- логарифмы
- элементарные функции
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Вы правы: Формулы и теоремы имеют условия для переменных, о которых они говорят. $\log(x)+\log(y)=\log(xy)$ неверно. Что правда
Для любых положительных действительных чисел $x$ и $y$ $\log(x)+\log(y)=\log(xy)$
Полагаю, некоторые люди считают, что при написании $\log(x)+\log(y)=\log(xy)$ неявно предполагается, что каждое число существует (здесь $x$ и $y $ положительны), но я считаю это вредной привычкой, особенно для студентов.
92}{x+3} \right)=0$, так как $-2$ является решением последнего, но не первого ($\log(-1)$ не определено).
Ваша проблема с оптимизацией — еще один пример. При максимизации $\log(xy)$ у вас есть ограничение, что произведение $xy$ должно быть положительным (поэтому $x$ и $y$ отличны от нуля и имеют один и тот же знак), а при максимизации $\log(x) +\log(y)$, ограничения сильнее ($x$ и $y$ должны быть положительными).
$\endgroup$
$\begingroup$
Если мы работаем с действительным логарифмом и если у нас есть только ограничение $xy>0$, вы можете вывести аналогичное правило логарифма:
$$ \begin{align}\log(xy)&=\log \left(|xy|\right)\\ &=\log \left(|x|×|y|\right)\\ &=\log |x|+\log |y|.\end{align} $$
В общем, обратите внимание, что
$$\log (xy)=\log x+\log y$$
выполняется тогда и только тогда, когда $x>0\wedge y>0$.
$\endgroup$
$\begingroup$
909{|a|} \dfrac{dv}{v}=\ln(|a|)+\ln(|b|)$$ Теперь при $|a|,|b|>0$ расщепление возможно .