Y x 2y: Mathway | Популярные задачи

Mathway | Популярные задачи

1	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Вычислить	5+5
4	Вычислить	7*7
5	Разложить на простые множители	24
6	Преобразовать в смешанную дробь	52/6
7	Преобразовать в смешанную дробь	93/8
8	Преобразовать в смешанную дробь	34/5
9	График	y=x+1
10	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 128
11	Найти площадь поверхности	сфера (3)	
12	Вычислить	54-6÷2+6
13	График	y=-2x
14	Вычислить	8*8
15	Преобразовать в десятичную форму	5/9
16	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	y=2
18	Преобразовать в смешанную дробь	7/8
19	Вычислить	9*9
20	Risolvere per C	C=5/9*(F-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	y=x+4
23	График	y=-3
24	График	x+y=3
25	График	x=5
26	Вычислить	6*6
27	Вычислить	2*2
28	Вычислить	4*4
29	Вычислить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Вычислить	1/3+13/12
31	Вычислить	5*5
32	Risolvere per d	2d=5v(o)-vr
33	Преобразовать в смешанную дробь	3/7
34	График	y=-2
35	Определить наклон	y=6
36	Перевести в процентное соотношение	9
37	График	y=2x+2
38	График	y=2x-4
39	График	x=-3
40	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+5x+6=0
41	Преобразовать в смешанную дробь	1/6
42	Преобразовать в десятичную форму	9%
43	Risolvere per n	12n-24=14n+28
44	Вычислить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразовать в упрощенную дробь	43%
47	График	x=1
48	График	y=6
49	График	y=-7
50	График	y=4x+2
51	Определить наклон	y=7
52	График	y=3x+4
53	График	y=x+5
54	График	3x+2y=6
55	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-5x+6=0
56	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-6x+5=0
57	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-9=0
58	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценить с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Разложить на простые множители	14
61	Преобразовать в смешанную дробь	7/10
62	Risolvere per a	(-5a)/2=75
63	Упростить	x
64	Вычислить	6*4
65	Вычислить	6+6
66	Вычислить	-3-5
67	Вычислить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найти обратную величину	1/3
71	Преобразовать в смешанную дробь	11/20
72	Преобразовать в смешанную дробь	7/9
73	Найти НОК	11 , 13 , 5 , 15 , 14	, , , ,
74	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-3x-10=0
75	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+2x-8=0
76	График	3x+4y=12
77	График	3x-2y=6
78	График	y=-x-2
79	График	y=3x+7
80	Определить, является ли полиномом	2x+2
81	График	y=2x-6
82	График	y=2x-7
83	График	y=2x-2
84	График	y=-2x+1
85	График	y=-3x+4
86	График	y=-3x+2
87	График	y=x-4
88	Вычислить	(4/3)÷(7/2)
89	График	2x-3y=6
90	График	x+2y=4
91	График	x=7
92	График	x-y=5
93	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2+3x-10=0
94	Решить, используя свойство квадратного корня	x^2-2x-3=0
95	Найти площадь поверхности	конус (12)(9)	
96	Преобразовать в смешанную дробь	3/10
97	Преобразовать в смешанную дробь	7/20
98	Преобразовать в смешанную дробь	2/8
99	Risolvere per w	V=lwh
100	Упростить	6/(5m)+3/(7m^2)

Уравнения Бернулли онлайн

Дифференциальное уравнение y' +a0(x)y=b(x)yn называется уравнением Бернулли.
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 — с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на yⁿ. Тогда Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z’ + (1-n)a₀(x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Пример 1. Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy³. Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y³ получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2. y'+y+y2=0
y’+y = -y²

Разделим на y²
y’/y² + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y^n-1, т. е. z = 1/y^2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y²

Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1

Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z.

Пример 3. xy’+2y+x5y3ex=0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x⁵y³e^x. Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y³ получаем: xy’/y³+2/y²=-x⁵ e^x. Делаем замену: z=1/y². Тогда z’=-2/y³ и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz'/2+2z=-x5ex. Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x⁴. Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x⁴, y'(x) = C(x)’x⁴ + C(x)(x⁴)’
-x/2(4C(x) x³+C(x)’ x⁴)+2y=-x⁵e^x
-C(x)’ x⁵/2 = -x⁵e^x или C(x)’ = 2e^x. Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e^xdx = 2e^x+C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x⁴ (C+2e^x) или y = Cx⁴+2x⁴e^x. Поскольку z=1/y², то получим: 1/y² = Cx⁴+2x⁴e^x

б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x⁵u³v³e^x=0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x⁵u³v³e^x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x^-2). Откуда u = x^-2
b) xuv’+ x⁵u³v³e^x = 0
x x^-2v’+ x⁵ x^-6v³e^x = 0
v’/x+ v³e^x/x = 0
v’+ v³e^x = 0

или 1/y² = Cx⁴+2x⁴e^x

Мэтуэй | Популярные задачи

92+5х+6=0 92-9=0 92+2x-8=0 92)

1	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Оценить	5+5
4	Оценить	7*7
5	Найти простую факторизацию	24
6	Преобразование в смешанный номер	52/6
7	Преобразование в смешанный номер	93/8
8	Преобразование в смешанный номер	34/5
9	График	у=х+1
10	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 128
11	Найдите площадь поверхности	сфера (3)	
12	Оценить	54-6÷2+6
13	График	г=-2x
14	Оценить	8*8
15	Преобразование в десятичное число	5/9
16	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	у=2
18	Преобразование в смешанный номер	7/8
19	Оценить	9*9
20	Решите для C	С=5/9*(Ф-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	у=х+4
23	График	г=-3
24	График	х+у=3
25	График	х=5
26	Оценить	6*6
27	Оценить	2*2
28	Оценить	4*4
29	Оценить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Оценить	1/3+13/12
31	Оценка	5*5
32	Решить для d	2д=5в(о)-вр
33	Преобразование в смешанный номер	3/7
34	График	г=-2
35	Найдите склон	у=6
36	Преобразование в проценты	9
37	График	у=2х+2
38
41	Преобразование в смешанный номер	1/6
42	Преобразование в десятичное число	9%
43	Найти n	12н-24=14н+28
44	Оценить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразование в упрощенную дробь	43%
47	График	х=1
48	График	у=6
49	График	г=-7
50	График	у=4х+2
51	Найдите склон	у=7
52	График	у=3х+4
53	График	у=х+5
54	График
58	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Найти простую факторизацию	14
61	Преобразование в смешанный номер	7/10
62	Решите для	(-5а)/2=75
63	Упростить	х
64	Оценить	6*4
65	Оценить	6+6
66	Оценить	-3-5
67	Оценить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найди обратное	1/3
71	Преобразование в смешанный номер	20. 11.
72	Преобразование в смешанный номер	7/9
73	Найти LCM	11, 13, 5, 15, 14	, , , ,
76	График	3x+4y=12
77	График	3x-2y=6
78	График	у=-х-2
79	График	у=3х+7
80	Определить, является ли многочлен	2x+2
81	График	у=2х-6
82	График	у=2х-7
83	График	у=2х-2
84	График	у=-2х+1
85	График	у=-3х+4
86	График	у=-3х+2
87	График	у=х-4
88	Оценить	(4/3)÷(7/2)
89	График	2x-3y=6
90	График	х+2у=4
91	График	х=7
92	График	х-у=5
93	Решение с использованием свойства квадратного корня 92-2x-3=0
95	Найдите площадь поверхности	конус (12)(9)	
96	Преобразование в смешанный номер	3/10
97	Преобразование в смешанный номер	7/20

Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты

Привет! Возможно, вам захочется сначала узнать о дифференциальных уравнениях и частных производных!

Точное уравнение

«Точное» уравнение — это дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:

М(х, у)dx + N(х, у)dy = 0

имеет некоторую специальную функцию I(x, y), чьи частные производные можно поставить вместо M и N следующим образом:

∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

, и наша задача — найти эту волшебную функцию I(x, y), если она существует.

С самого начала мы можем знать, точное это уравнение или нет!

Представьте, что мы делаем следующие частные производные:

∂M ∂y = ∂ ² I ∂y ∂x

10 ∂x = ∂ ² I ∂y ∂x

они заканчиваются теми же ! Итак, это будет верно:

∂M ∂y = ∂N ∂x

Когда это правда, у нас есть «точное уравнение», и мы можем продолжить.

И чтобы обнаружить I(x, y) , мы делаем ЛИБО :

• I(x, y) = ∫M(x, y) dx (с x в качестве независимой переменной), ИЛИ
• I(x, y) = ∫N(x, y) dy (с y в качестве независимой переменной)

И затем есть дополнительная работа (мы покажем вам), чтобы прийти к общему решению

I(x, y) = C

 

Посмотрим в действии.

Пример 1: Решить

(3x ² y ³ − 5x ⁴ ) dx + (y + 3x ³ y 0 ^{2 90dy = 9 0909 В данном случае имеем:}

• М(х, у) = 3х ² у ³ — 5x ⁴
• N(x, y) = y + 3x ³ y ²

Мы оцениваем частные производные для проверки точности.

• ∂M ∂y = 9x ² y ²
• ∂N ∂x = 9x ² y ²

Они одинаковые! Итак, наше уравнение является точным.

Мы можем продолжать.

Теперь мы хотим найти I(x, y)

Проведем интегрирование с x как независимая переменная:

I (x, y) = ∫m (x, y) dx

= ∫ (3x ² y ³ — 5x ⁴ ) DX

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ER — 5x ⁴ ). — 5x ⁴ ). 3 y ³ − x ⁵ + f(y)

Примечание: f(y) — это наша версия константы интегрирования «C», потому что (из-за частной производной) у нас было y в качестве фиксированного параметра, который, как мы знаем, на самом деле является переменной.

Теперь нам нужно найти f(y)

В самом начале этой страницы мы сказали, что N(x, y) можно заменить на ∂I ∂y , поэтому:

∂I ∂y = N(x, y)

Получаем:

3x ³ y ² + df dy = y + 3x ³ y ^{22 Отменяющие термины}

df dy = y

Интегрируя обе стороны:

f(y) = y ² 2 + C

У нас есть f(y). Теперь просто поставьте на место:

I(x, y) = x ³ y ³ − x ⁵ + y ² 9 6 + C 900 0 общее решение (как упоминалось перед этим примером):

I(x, y) = C

Упс! Это «C» может быть другим значением, чем «C» только что. Но они оба означают «любую константу», так что давайте назовем их C ₁ и C ₂ , а затем объединим их в новый C ниже, сказав C=C ₁ +C ₂

Получаем:

x ³ y ³ − x ⁵ + y 2 2 923 = C

Вот как работает этот метод!

Поскольку это был наш первый пример, давайте пойдем дальше и убедимся, что наше решение правильное.

Выведем I(x, y) относительно до х, то есть:

Оценка ∂I ∂x

Начать с:

I(х, у) = х ³ у ³ − х ⁵ + у ² 2

Использование неявного дифференцировав получаем

∂I ∂x = x ³ 3y ² y’ + 3x ² у ³ − 5x ⁴ + уу’

Упростить

∂I ∂x = 3x ² y ³ − 5x ⁴ + y'(y + 3x ³ y ^{2 1)}

Мы используем тот факт, что y’ = dy dx и ∂I ∂x = 0, затем умножьте все на dx, чтобы в итоге получить:

(у + 3x ³ у ² )dy + (3x ² y ³ — 5x ⁴ )dx = 0

, которое является нашим исходным дифференциальным уравнением.

Итак, мы знаем, что наше решение верное.

Пример 2: Решить

(3x ² − 2xy + 2)dx + (6y ² − x ² + 3)dy = 0

• М = 3x ² − 2xy + 2
• N = 6 лет ² − x ² + 3

Итак:

• ∂M ∂y = −2x
• ∂N ∂x = −2x

Уравнение точное!

Теперь найдем функцию I(x, y)

На этот раз попробуем I(x, y) = ∫N(x, y)dy

Итак, I(x, y) = ∫(6y ² − х ² + 3)dy

I(x, y) = 2y ³ − x ² y + 3y + g(x)    (уравнение 1)

Теперь продифференцируем I(x, y) по x и приравняем его к M:

∂I ∂x = M(x, y)

0 − 2xy + 0 + g'(x) = 3x ² − 2xy + 2

−2xy + g'(x) = 3x ² − 2xy + 2

g'(x) = 3x ² + 2

И интегрирование дает:

g(x) = x ³ + 2x + C     (уравнение 2)

Теперь мы можем заменить g(x) в уравнении 2 в уравнении 1:

I(x, y) = 2y ³ − x ² y + 3y + x ³ + 2x + C

И общее решение имеет вид

I(x, y) = C

и т. д. (не забывая, что две предыдущие «C» — это разные константы, которые можно свернуть в одну, используя C=C ₁ +C ₂ ) получаем:

2y ³ − x ² y + 3y + x ³ + 2x = C

Решено!

Пример 3: Решить

(xcos(y) − y)dx + (xsin(y) + x)dy = 0

Имеем:

M = (xcos(y) − y) DX

∂M ∂y = −xsin (y) — 1

n = (xsin (y) + x) dy

∂n ∂x = SIN +10920 +10920 +10920 +10920 (Y) +10920 (Y) +10920 ∂NN ∂x = SIN +10920 +10920 +10920 +10920 ∂10920 (Y).

Таким образом

∂M ∂y ≠ ∂N ∂x

Итак, это уравнение не точно!

Пример 4: Решить

[y ² − x ² sin(xy)]dy + [cos(xy) − xy sin(xy) + e ^2x ]dx = 0

M = cos(xy) − xy sin(xy) + e ^2x

∂M ∂3y 909 −x ² y cos(xy) − 2x sin(xy)

N = y ² − x ² sin(xy)

∂N ∂3x 90 942 г. cos(xy) − 2x sin(xy)

Они одинаковы! Итак, наше уравнение является точным.

На этот раз мы оценим I(x, y) = ∫M(x, y)dx

I(x, y) = ∫(cos(xy) − xy sin(xy) + e ^2x )dx

 Используя интегрирование по частям, получаем:

I(x, y) = 1 y sin(xy) + x cos(xy) − 1 y sin(xy) + 1 2 e ^2x + f(y)

I(x, y) = x cos(xy) + 1 2 e ^{2x 909 42 + f1090 we оценить производную по y}

∂I ∂y = −x ² sin(xy) + f'(y)

И что равно N, что равно M:

∂I ∂y = N(x, y)

−x ² sin(xy) + f'(y) = y ² − x ² sin(xy)

f'(y) = y ² − x ² sin(xy) + x ² sin(xy)

f'(y) = y ²  

f(y) = 1 3 y ³

Таким образом, наше общее решение I(x, y) = C принимает вид:

xcos(xy) + 1 2 e ^2x + 1 3 y ³

20 = Done ³

20 = Done ^{0 3}

20

Факторы интегрирования

Некоторые уравнения, которые не являются точными, могут быть умножены на некоторый коэффициент, a функция u(x, y) , чтобы сделать их точными.

Когда эта функция u(x, y) существует, она называется интегрирующим фактором . Это сделает допустимым следующее выражение:

∂(u·N(x, y)) ∂x = ∂(u·M(x, y)) ∂y

Есть несколько особых случаев:

• u(x, y) = x ^m y ⁿ
• u(x, y) = u(x) (то есть u является функцией только x)
• u(x, y) = u(y) (что то есть u является функцией только от y)

Давайте посмотрим на эти дела…

 

Интегрирование коэффициентов с использованием u(x, y) = x

^м г ^п

Пример 5: (y ² + 3xy ³ )dx + (1 − xy)dy = 0

M = y ² + 3xy ³

∂M ∂y = 2y + 9xy ^{2 2 = 1 − ху}

∂N ∂x = −y

Итак, ясно, что ∂M ∂y ≠ ∂N ∂x

Но мы можем попытаться сделать это

точным21 путем умножения каждой части уравнение на x ^m y ⁿ :

(x ^m y ⁿ y ² + x ^m 1 y 9094 41 3 ) дх + (х ^м у ⁿ − x ^m y ⁿ xy) dy = 0

Что «упрощает» до:

(x ^m y ⁿ⁺² + 1x 9094 1 н+3 )дх + (x ^м y ⁿ − x ^м+1 y ⁿ⁺¹ )ды = 0

Теперь имеем:

M = x ^m y ⁿ⁺² + 3x ^m+1 y ⁿ⁺³

∂929 ∂1M 90 0923 = (n + 2 )x ^m y ⁿ⁺¹ + 3(n + 3)x ^m+1 y ⁿ⁺²

N = x ^m y ⁿ — 1 m — 1 m 909 9 ⁿ⁺¹

∂N ∂x = mx ^м−1 y ⁿ − (m + 1)x ^м 9 10 9 n ⁿ

А мы хотим ∂M ∂y = ∂N ∂x

Итак, давайте выберем правильные значения n n , чтобы сделать уравнение точным.

Приравняем их:

(n + 2)x ^m y ⁿ⁺¹ + 3(n + 3)x ^m+1 y ⁿ⁺² = mx ^{m−1 y n} − (m + 1)x ^m y ⁿ⁺¹  

Изменить порядок и упростить:

[(m + 1) + (n + 2)]x 9Для равенства ноль, каждый коэффициент должен быть равен нулю, поэтому:

1. (m + 1) + (n + 2) = 0
2. 3(n + 3) = 0
3. м = 0

Последнее, m = 0 , очень помогает! При m=0 мы можем вычислить, что n = −3

И результат:

x ^м г ^н = y ⁻³

Теперь мы знаем, как умножить исходное дифференциальное уравнение на y ⁻³ :

(y ⁻³ y ² + y ^{3 901 x 909 909 942) дх + (y −3 − y −3 xy) dy}

Получается:

(y ⁻¹ + 3x)dx + (y ⁻³ − xy ⁻² )0dy = 090

И это новое уравнение должно быть точным , но давайте проверим еще раз:

M = y ⁻¹ + 3x

∂M ∂y = −y ⁻²

N = y −94 29 −3 x

∂N Они одинаковы! Теперь наше уравнение точно равно !

Итак, продолжим:

I(x, y) = ∫N(x, y)dy

I(x, y) = ∫(y ⁻³ − xy ⁻² )dy

I(x, y) = −1 2 y ⁻² + xy ⁻¹ + g(x)

Теперь, чтобы определить функцию g(x) мы вычисляем

∂I ∂x = y ⁻¹ + g'(x)

И это равно M = y ⁻¹ + 3x, поэтому:

− 2 g

4

y ‘(x) = y ⁻¹ + 3x

Итак:

g'(x) = 3x

g(x) = 3 2 x ²

Таким образом, наше общее решение I(x, y) = C:

-1 2 y ^-2 + xy ^-1 + 3 2 x

2 2 = 10 x 2

 

Интегрирование коэффициентов с использованием u(x, y) = u(x)

Для u(x, y) = u(x) мы должны проверить это важное условие:

Выражение:

Z(x) = 1 N [ ∂M ∂y − ∂N ∂x ] 10

должен , а не иметь член y , так что интегрирующий коэффициент является только функцией x

Если приведенное выше условие верно, то наш интегрирующий коэффициент равен:

u(x) = e ^∫Z(x)dx

Давайте попробуем пример:

Пример 6: (3xy − y ² )dx + x(x − y)dy = 0

M = 3xy − y ²

∂M ∂9322

− 2 года

Н = х(х — у) 9 1428 Итак, наше уравнение , а не точно.

Рассчитаем Z(x):

Z(x) = 1 N [ ∂M ∂y − ∂N ∂x ] 2 1 10

23 N [ 3x−2y − (2x−y ) ]

= x−y x(x−y)

= 1 x

Итак, Z(x) является функцией только от x, ура!

Итак, наш интегрирующий коэффициент равен

u(x) = e ^∫Z(x)dx

= e ^∫(1/x)dx

) 1 ln

42

= x

Теперь, когда мы нашли интегрирующий коэффициент, давайте умножим дифференциальное уравнение по нему.

х[(3xy − y ² )dx + x(x − y)dy = 0]

и мы получаем

(3x ² у — ху ² )дх + (x ³ − x ² y)dy = 0

Теперь должно быть точно. Проверим:

M = 3x ² y − xy ²

∂M ∂y = 3x ^{2 909 N =} −

0 − 9199 90 909 90 41 3 − х ² у

∂N ∂x = 3x ² − 2xy

∂M ∂y = ∂ ∂N

Итак, наше уравнение точное!

Теперь решаем так же, как и в предыдущих примерах.

No related posts.