19. Теория функций комплексной переменной.
19.1. Комплексные числа.
19.1.1. Определение комплексного числа.
Опр.19.1.1. Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i— новый объект («мнимая единица»), для которого при вычислениях полагаем i2 = -1.
Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.
Опр.19.1.2.
Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения «больше» или «меньше».
Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами ( x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
Опр.19.1.3.
Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z,
определяемое соотношением z =(x1 + x2)
+ (y1 + y2) i,
т.е. Re( z1 + z2)
= Re z1 + Re z2,
Im(z1 + z2)
= Im z1 + Im z2.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.
Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x1x2 — y1y2) + (x1y2
Re(z1z2)
= Re z1 Re z2 –
Im z1 Im z2;
Im(z1z2)
= Re z1 Im z2 +
Im z1 Re z2.
Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью z1 = x1 + 0 i и z2 = x2 + 0 i получим
z1 + z2 = (x1 + x2)
+ (0 + 0) i , z1z2 = (x1x2 – 0 0) + (0 x1 + 0 x2) i,
т.е. для множества комплексных чисел с
нулевой мнимой частью операции сложения
и умножения не выводят за пределы этого
множества. Отождествим каждое такое
число с действительным числом x,
равным действительной части комплексного
числа, т.е. будем считать, что
.
Теперь действительные числа — подмножество
множества комплексных чисел С.
Далее, числа с нулевой действительной
частью, т.
е. числа вида z = 0 + yi = yi,
называются мнимыми числами.
Мнимое число с единичной мнимой частью
будем записывать просто как i:
0 + 1i = i;
квадрат этого числа, по определению
умножения, равен
,
что обосновывает данное в
Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел Z имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):
I.1. z1 + z2 = z2 + z1;
I.2. (z1 + z2) + z3= z1 + (z2 + z3) ;
I.3.
Существует такой элемент
,
что 0 + z = z для
.
Этот элемент – число 0 = 0 + 0i.
I.4. Для каждого элемента существует такой элемент — z, что z
+ (- z) = 0. Этот элемент — число – x — iy. Сумма чисел z1 = x1 + iy1 и — z2 = — x2 — iy2 и называется разностью чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2: z1 — z2 = z1 +(- z2) = (x1 — x2) + i (y1 — y2). Прежде, чем
определить операцию деления комплексных
чисел, введём понятия сопряжённого
числа и модуля комплексного числа.
Опр.19.1.5. Число называется числом, сопряжённым к числу z = x + iy. Часто сопряжённое число обозначается также символом .
Опр.19.1.6. Действительное число называется модулем комплексного числа z = x + iy.
Геометрически модуль числа z — длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел z1 и z2 равен расстоянию между этими точками: .
Найдём произведение сопряжённых чисел:
. Таким образом, — всегда неотрицательное действительное число, причём .
Для нахождения частного комплексных чисел домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .
Для операции умножения справедливы свойства
II.1. ;
II.2. ;
II.3. Произведение числа на любое число равно z ;
II.
4.
Для каждого числа существует такое число
,
что
,
;
Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:
III.1. (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3.
Операция сопряжения имеет следующие свойства:
IV. .
Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть z1 = 2 — 3 i, z2 = 4 + 5 i. Тогда z1 + z2 = (2 – 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 + 2
19.
1.2. Тригонометрическая
форма комплексного числа. Запись
комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой
комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми
координатами x, y.
Если теперь перейти к полярным координатам
,
то
,
поэтому
.
Угол называется аргументом комплексного
числа z и обозначается
:
.
Аргумент комплексного числа определён
неоднозначно (с точностью до слагаемых,
кратных
):
если, например,
,
то значения
,
равные и т.д. тоже будут соответствовать числу z;
значение аргумента, удовлетворяющее
условиям
,
называют главным; для обозначения всех
значений аргумента комплексного числа z применяется символ
:
.
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.
Число 0 = 0 + 0i — единственное число, модуль которого
равен нулю; аргумент для этого числа не
определён.
Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:
При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , z2 = -1 – i, , ,
z5 = -5 – 3i. Решение: , , , , .
Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .
В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , . Тогда
.
Вывод: при умножении
комплексных чисел их модули перемножаются,
аргументы складываются.
Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если , , то сопряженное число равно , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для :
Степени числа i: i 2 = -1; i 3 = i 2i= — i; i 4 = i 2i 2 =
1; i 5 = i 4i = i; i 6 = i 2= -1; далее
значения степеней повторяются (для
отрицательных степеней это тоже
справедливо: i -1 = — i; i — 2 = -1; i — 3 = i; i -4 = 1; и т.
д.).
Поэтому
.
В круглых скобках стоят ряды для и
,
которые сходятся для любого действительного
;
поэтому получаем
.
Эта формула называется формулой
Эйлера.
Теперь любое комплексное число можно представить как
;
эта форма записи называется показательной.
В этой форме умножение и деление
комплексных чисел выполняются и
интерпретируются также легко, как и в
тригонометрической:
;
.
Индукцией по показателю степени легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:
; в качестве второго примера выведем формулы для и : если , то, по формуле бинома Ньютона,
. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .
В заключение
рассмотрим операцию извлечения корня n-ой
степени из комплексного числа z.
По определению, любое число w,
такое, что w n= z,
называется корнем n -ой степени из числа z.
Пусть
,
.
Тогда
.
Числа равны, если равны их модули и
аргументы, поэтому |w| n=
|z|, n arg w n=
Arg z,
откуда
,
,
при этом n различных значения корня n -ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, …, n-1.
Пример: найти все значения . Число в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой при k = 0, 1, 2, 3, 4. Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее k = 0, имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.
19.1.4. Сфера Римана.
Бесконечно удалённая точка.
Риман предложил применять для
геометрического представления комплексной
плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости C рассмотрим трёхмерную прямоугольную
систему координат
,
такую, что оси совпадают с осями х, у,
а ось им перпендикулярна. Поместим в это
пространство сферу единичного диаметра
,
касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом.
Каждой точке поставим в соответствие точку сферы, получающуюся при пересечении
луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой
точкой — северным полюсом N.
Такое соответствие называется стереографической
проекцией.
Пополним комплексную
плоскость С новым объектом — бесконечно удалённой
точкой
,
которую будем считать прообразом
северного полюса N при стереографической проекции.
Такую
пополненную плоскость будем называть
замкнутой комплексной плоскостью и
обозначать
.
Если не прибегать к стереографической
проекции, то несобственная точка рассматривается как единственная
предельная точка любой последовательности комплексных чисел таких, что
,
независимо от того, по какому пути точки
последовательности удаляются от начала
координат.
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
$$ \frac{1}{(x+iy)^2}=\frac{1}{x^2+i2xy-y^2}=\frac{x^2}{(x^2+y ^2)}-\frac{2ixy}{(x^2+y^2)}-\frac{y^2}{(x^2+y^2)}$$
Поэтому я подумал, что могу просто сказать:
$$ Re(\frac{1}{z^2})=\frac{x^2}{(x^2+y^2)}-\frac{y^2}{(x^2+y^ 2)}$$
и
$$ Im(\frac{1}{z^2})=-\frac{2ixy}{(x^2+y^2)}$$
Но я знаю, что это неправильно, потому что это совсем не похоже на график реальной части 1/z^2 в wolfram alpha, найденный здесь: http://www.