Z 1 z 2i i: Mathway | Популярные задачи

2

19. Теория функций комплексной переменной.

19.1. Комплексные числа.

19.1.1. Определение комплексного числа.

Опр.19.1.1. Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy, где i— новый объект («мнимая единица»), для которого при вычислениях полагаем i² = -1.

Первая компонента комплексного числа z, действительное число x, называется действительной частью числа z, это обозначается так: x = Re z; вторая компонента, действительное число y, называется мнимой частью числа z: xy = Im z.

Опр.19.1.2. Два комплексных числа z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy

2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения «больше» или «меньше».

Геометрически комплексное число z = x + iy изображается как точка с координатами ( x, y) на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.

Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ называется комплексное число z, определяемое соотношением z =(x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) i, т.е. Re(

z₁ + z₂) = Re z₁ + Re z₂, Im(z₁ + z₂) = Im z₁ + Im z₂.

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ называется комплексное число z, определяемое соотношением z = (x₁x₂ — y₁y₂) + (x₁y₂

+ x₂y₁) i, т.е.

Re(z₁z₂) = Re z₁ Re z₂ – Im z₁ Im z₂; Im(z₁z₂) = Re z₁ Im z₂ + Im z₁ Re z₂.

Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью z₁ = x₁ + 0 i и z₂ = x₂ + 0 i получим

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (0 + 0) i ,

z₁z₂ = (x₁x₂ – 0 0) + (0 x₁ + 0 x₂) i, т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом x, равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа — подмножество множества комплексных чисел С. Далее, числа с нулевой действительной частью, т. е. числа вида z = 0 + yi = yi, называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как i: 0 + 1i = i; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.19.1.1 свойство «мнимой единицы».

Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел Z имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. z₁ + z₂ = z₂ + z₁;

I.2. (z₁ + z₂) + z₃= z₁ + (z₂ + z₃) ;

I.3. Существует такой элемент , что 0 + z = z для . Этот элемент – число 0 = 0 + 0i.

I.4. Для каждого элемента существует такой элемент — z, что z

+ (- z) = 0. Этот элемент — число – x — iy. Сумма чисел z₁ = x₁ + iy₁ и — z₂ = — x₂ — iy₂ и называется разностью чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂: z₁ — z₂ = z₁ +(- z₂) = (x₁ — x₂) + i (y₁ — y₂).

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.19.1.5. Число называется числом, сопряжённым к числу z = x + iy. Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.19.1.6. Действительное число называется модулем комплексного числа z = x + iy.

Геометрически модуль числа z — длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел z₁ и z₂ равен расстоянию между этими точками: .

Найдём произведение сопряжённых чисел:

. Таким образом, — всегда неотрицательное действительное число, причём .

Для нахождения частного комплексных чисел домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю: .

Для операции умножения справедливы свойства

II.1. ;

II.2. ;

II.3. Произведение числа на любое число равно z

;

II. 4. Для каждого числа существует такое число , что , ;

Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:

III.1. (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃.

Операция сопряжения имеет следующие свойства:

IV. .

Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть z₁ = 2 — 3 i, z₂ = 4 + 5 i. Тогда z₁ + z₂ = (2 – 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 + 2

i; z₁z₂ = (2 – 3i) (4 + 5i) = ; .

19. 1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число z как точку на плоскости с декартовыми координатами x, y. Если теперь перейти к полярным координатам , то , поэтому . Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается : . Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных ): если, например, , то значения , равные и т.д. тоже будут соответствовать числу z; значение аргумента, удовлетворяющее условиям , называют главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа

z применяется символ : .

Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.

Число 0 = 0 + 0i — единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:

При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа , z₂ = -1 – i, , ,

z₅ = -5 – 3i. Решение: , , , , .

Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой точку . Из рисунка понятно, что , поэтому .

В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть , . Тогда

.

Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются.

Рассмотрим деление комплексных чисел. Очевидно, если , , то сопряженное число равно , т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому . Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для :

Степени числа i: i ² = -1; i ³ = i ²i= — i; i ⁴ = i ²i ² = 1; i ⁵ = i ⁴i = i; i ⁶ = i ²= -1; далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо: i ^-1 = — i; i ^{— 2} = -1; i ^{— 3} = i; i ^-4 = 1; и т. д.). Поэтому . В круглых скобках стоят ряды для и , которые сходятся для любого действительного ; поэтому получаем . Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число можно представить как ; эта форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в тригонометрической:

;

.

Индукцией по показателю степени легко доказывается формула Муавра: если , то , или, в показательной форме, . С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

; в качестве второго примера выведем формулы для и : если , то, по формуле бинома Ньютона,

. С другой стороны, , поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа , получим , .

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня n-ой степени из комплексного числа z. По определению, любое число w, такое, что w ⁿ= z, называется корнем n -ой степени из числа z. Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому |w| ⁿ= |z|, n arg w ⁿ= Arg z, откуда , , при этом n различных значения корня n -ой степени из числа z получаются при k = 0, 1, 2, …, n-1.

Пример: найти все значения . Число в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой при k = 0, 1, 2, 3, 4. Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее k = 0, имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

19.1.4. Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрического представления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости C рассмотрим трёхмерную прямоугольную систему координат , такую, что оси совпадают с осями х, у, а ось им перпендикулярна. Поместим в это пространство сферу единичного диаметра , касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке поставим в соответствие точку сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой точкой — северным полюсом N. Такое соответствие называется стереографической проекцией.

Пополним комплексную плоскость С новым объектом — бесконечно удалённой точкой , которую будем считать прообразом северного полюса N при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать . Если не прибегать к стереографической проекции, то несобственная точка рассматривается как единственная предельная точка любой последовательности комплексных чисел таких, что , независимо от того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92}$ на реальную и мнимую части?

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 7 месяцев назад

Изменено 5 лет, 2 месяца назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

$$ \frac{1}{(x+iy)^2}=\frac{1}{x^2+i2xy-y^2}=\frac{x^2}{(x^2+y ^2)}-\frac{2ixy}{(x^2+y^2)}-\frac{y^2}{(x^2+y^2)}$$ Поэтому я подумал, что могу просто сказать: $$ Re(\frac{1}{z^2})=\frac{x^2}{(x^2+y^2)}-\frac{y^2}{(x^2+y^ 2)}$$ и $$ Im(\frac{1}{z^2})=-\frac{2ixy}{(x^2+y^2)}$$ Но я знаю, что это неправильно, потому что это совсем не похоже на график реальной части 1/z^2 в wolfram alpha, найденный здесь: http://www.