Задачи математическая индукция: Ошибка 403 — доступ запрещён

11. Метод математической индукции

Во многих разделах математики приходится доказывать истинность утверждения, зависящего от , т. е. истинность высказывания P(N) Для «NÎN (для любого NÎN P(N) Верно).

Часто это удается доказать Методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Согласно принципу математической индукции предложение P(N) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия:

1. Предложение P(N) истинно для N = 1.

2. Из предложения, что P(N) истинно для N = K (K — Произвольное натуральное число) следует, что оно истинно для N = K + 1.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства

1. Проверяют истинность утверждения для N = 1 – база индукции.

2. Предполагают, что утверждение верно для N = K – Индуктивное предположение.

3. Доказывают, что тогда оно верно и для N = K + 1 индуктивный переход.

Иногда предложение P(N) оказывается верным не для всех натуральных N, а начиная с некоторого для N = N0. В этом случае в базе индукции проверяется истинность P(N) при N = N0.

Пример 1. Пусть . Доказать, что

1. База индукции: при N = 1 по определению S1 = 1 и по формуле получаем один результат. Утверждение верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = k и .

3. Индуктивный переход. Пусть N = k + 1. Докажем, что .

Действительно, в силу индуктивного предположения

Преобразуем это выражение

Индуктивный переход доказан.

Замечание. Полезно записать, что дано (индуктивное предположение) и что нужно доказать!

Пример 2. Доказать

.

1. База индукции. При N = 1, утверждение, очевидно, верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = K и

3. Индуктивный переход. Пусть N = K + 1. Докажем:

Действительно, возведем правую сторону в квадрат как сумму двух чисел:

Используя индуктивное предположение и формулу суммы арифметической прогрессии: , получим

Пример 3. Доказать неравенство

для .

1. Базой индукции в этом случае является проверка истинности утверждения для , т. е. необходимо проверить неравенство . Для этого достаточно возвести неравенство в квадрат: или 63 < 64 – неравенство верно.

2. Пусть неравенство верно для , т. е.

.

3. Пусть , докажем:

.

Используем предположение индукции

Зная как должна выглядеть правая сторона в доказываемом неравенстве выделим эту часть

Остается установить, что лишний множитель не превосходит единицы. Действительно,

.

Пример 4. Доказать, что при любом натуральном число оканчивается цифрой .

1. Наименьшее натуральное , с которого справедливо утверждение, равно . .

2. Пусть при число оканчивается на . Это означает, что это число можно записать в виде , где – какое-то натуральное число. Тогда .

3. Пусть . Докажем, что оканчивается на . Используя полученное представление, получим

Последнее число имеет ровно единиц.

Задачи.

1. Доказать, что при каждом верны равенства

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10).

2. Доказать, что при любом .

1) кратно .

2) кратно .

3) кратно .

4) кратно .

5) кратно .

6) кратно 19.

3. Доказать справедливость следующих неравенств для всех натуральных .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

4. Доказать, что при любом натуральном верно неравенство

1) . 2) .

5. Доказать равенство для любого

1) ,

(в левой части содержится корней).

2) .

6. Пусть – произвольные неотрицательные числа, причем

.

Доказать, что .

7. Доказать неравенство Бернулли

,

8.Пусть – произвольные положительные числа, причем

. Доказать, что .

< Предыдущая		Следующая >

Математика в деталях: how to математическая индукция 

Начнем с того, что такое математическая индукция.

Математическая индукция – метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел, согласно Wikipedia. Говоря простыми словами, у нас есть какое-то математическое высказывание о натуральных числах, и мы хотим доказать/опровергнуть его истинность.

Разные источники дают разное определение натуральных чисел. В моем университете один профессор включает ноль во множество N, а по определению другого натуральные числа начинаются с единицы. Дело вкуса 😉 Но очень важно понять, с каким именно множеством вы работаете. Позже узнаете, почему.

Конечно, если наше математическое высказывание (формула) относится к маленькому множеству чисел, то гораздо легче просто высчитать ответ в уме или ввести данные в Wolfram – на этом всё, пускайте титры.

Например, вы, убивая время в интернете, где-то прочли, что сумма положительных натуральных чисел от 1 до n, то есть, 1+2+3+...+n, вычисляется по формуле n*(n+1)/2. Допустим, у вас проблемы с доверием, и вы хотите проверить, работает ли эта формула на самом деле, или это просто часть всемирного заговора?

Эту формулу можно применить к маленьким множествам, так как вы можете легко вычислить сумму чисел от 1 до 10, от 1 до 20, от 1 до 50, а если вас замучила бессонница, то попробуйте посчитать не овечек, а сумму чисел от 1 до 100. Помогает. Иногда.

Потом остается только подставить значения в формулу и сравнить.

Но если мы говорим о множестве с большим количеством элементов или о бесконечном множестве, то именно тут и пригодится индукция.

Проверка высказывания для наименьшего числа – это начало индукции.

Мы начинаем с базиса (база, base case) – нам дано наименьшее число, для которого нужно проверить истинность высказывания. Обычно это 1, но могут быть и другие варианты, которые обязательно указываются в условии. Например, можно начать с 4 или 5. Это не так важно. Но иногда этот базис не указывается эксплицитно. В этом случае вы начинаете с наименьшего числа вашего множества. Поэтому важно знать, с чего начать. Уточните, включается ноль в N или нет. В примерах в этой статье множество натуральных чисел начинается с единицы.

Затем мы утверждаем, что выражение истинно для любого n>=1. Мы не знаем этого наверняка, конечно. Но мы предполагаем, что если утверждение истинно для любого n, то оно будет верно и для n+1. Это называется шагом индукции. А так как n – это любое число из множества N, то мы можем проверить математическое высказывание для очень-очень-очень больших чисел.

Итак, вернёмся к нашей формуле вычисления суммы чисел от 1 до n.
Начало индукции: проверяем, верна ли формула для n=1: n*(n+1)/2=> 1*(1+1)/2=1*(2)/2=1

Так как сумма чисел от 1 до 1 равна 1, то высказывание истинно для n=1.

Затем мы утверждаем, что математическое высказывание истинно для любого n>=1. То есть 1+2+3+...+n = n*(n+1)/2.

Переходим к шагу индукции – если высказывание верно для n, то оно истинно и для n + 1.
1+2+3+...+n + (n+1) = (n+1)(n+1 + 1)/2.

Левая часть уравнения – это сумма чисел от 1 до n+1. Мы заменили все n в правой части на n+1, так как мы больше не рассматриваем n, а доказываем, что высказывание истинно именно для n+1.

Если вы помните, то сумма чисел от 1 до n вычисляется по формуле n*(n+1)/2. Поэтому часть выражения справа (а именно 1+2+3+...+n) можно заменить на n*(n+1)/2.

У нас остается n*(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+1 + 1)/2. Нам нужно доказать или опровергнуть равенство этих двух выражений.

Всё, что происходит дальше – это чистая алгебра. Нам надо всего лишь упростить эти выражения, так как немного трудно что-либо сказать об их равенстве, просто посмотрев на них. 2 + 2n + 1

Правая и левая часть уравнения совпадают. Значит, математическое высказывание истинно.

Математическую индукцию еще сравнивают с эффектом домино. Если косточки домино выстроены в ряд, и какая-то упадёт, приложившись к следующей и опрокинув её, то та, в свою очередь, опрокинет следующую, и за ней последуют все остальные. А если мы опрокинем первую косточку, то упадёт весь ряд.

В индукции, если высказывание истинно для натурального числа, с которого мы начинаем, например, 8, то оно истинно для 9. Если оно истинно для 9, то оно верно для 10. И так далее. До бесконечности. Это мы и пытаемся доказать. Есть задачи, которые имею несколько базисов. Например, вам надо проверить какое-то высказывание для n=4, n=5, n=6 в начале индукции. Попадаются и задачи, где база дана в рекурсивной форме.

Потренируйтесь на других примерах. Основным скилом для решения подобных задач является умение находить паттерны. Вы также должны понимать, что именно вы хотите доказать? Что описывает формула? Очень важно знать и уметь применять некоторые формулы, которые помогут вам упростить выражения. Например, те же самые формулы сокращённого умножения. Они очень часто встречаются в математической индукции. Очень многие допускают ошибки именно в конце, когда надо подключить свои знания алгебры.

Помните, что математическая индукция применяется только к высказываниям с натуральными числам. Ваш n не может равняться -10 или 8.5. Дискриминация по отношению к действительным и комплексным числам? Вполне может быть.

Для чего же это всё?

Во-первых, решая подобные задачи, вы развиваете логику и алгоритмическое мышление, что играет не последнюю роль в программировании. Вы учитесь распознавать всякого рода паттерны.

Во-вторых, если вы внимательнее посмотрите на принцип математической индукции, вы заметите, что это чистейшая рекурсия. Предполагаю, что вы знакомы с рекурсией, если вы хотя бы немного программируете. Есть base case – условие завершения алгоритма. Также есть правило перехода. И чтобы проверить высказывание для n, нужно решить что-то для n-1, а потом с помощью алгебры дойти до n.

Рекурсию можно или любить, или люто ненавидеть. Но если ее понять и правильно использовать, она может сделать код элегантнее.

Математические задачи индукции с решениями

О «Практических вопросах по комбинированию»

Математические задачи индукции с решениями :

Здесь мы увидим некоторые задачи математической индукции с решениями.

Дайте определение математической индукции:

Математическая индукция – это метод или техника доказательства математических результатов или теорем

Процесс индукции включает следующие этапы.

Шаг 1:

Убедитесь, что утверждение истинно для n = 1, то есть убедитесь, что P(1) истинно. Это своего рода восхождение на первую ступеньку лестницы и называется начальной ступенью.

Шаг 2:

Убедитесь, что утверждение верно для n = k + 1, если оно верно для n = k, где k — положительное целое число. Это означает, что нам нужно доказать, что P(k + 1) истинно, когда P(k) истинно. Это называется индуктивным шагом.

Шаг 3 :

Если шаги 1 и 2 выполнены, то утверждение P(n) истинно для всех натуральных чисел n.

Математические задачи индукции с решениями

Вопрос 1 :

По принципу математической индукции докажите, что при n ≥ 1 3 + · · · + n ³ = [n(n + 1)/2] ²

Решение:

Пусть p(n) = 1 ³  + 2 ³  + 3 ³  + · · · + n ³  = [n(n + 1)/2] ²

900

положим n = 1

p(1) = 1 ³  + 2 ³  + 3 ³  + · · · + 1 ³ + 2  = 1 (1/1/6 904) 2)2(1/6 9047)

  1  =  1

Следовательно, p(1) истинно.

Шаг 2 :

Предположим, что утверждение верно для n = k

p(k)  =  1 ³  + 2 ³  + 3 ³  + · · · + k ³  = [k(k + 1)/2] ²   ——(1)

Нужно показать что P(k + 1) верно. Рассмотрим,

Шаг 3:

. Предположим, что утверждение верно для n = k+ 1

P (k+ 1) = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + · · · + (k + 1) ³  = [(k + 1)(k + 2)/2] ²

 1 ³  + 2 ³  + 3 ³  + · · ·k ³ + (k + 1) ³  = [(k + 1)(k + 2)/2] ²

Применяя (1) на этом этапе, мы получаем

(k + 1) ² (k ² + 4k + 4)/4  =  [(k + 1)(k + 2)/2] ²

(k + 1) ²  ( k + 2) ²  /4  =  [(k + 1)(k + 2)/2] ²

Возводя все члены в квадрат, мы получаем

  [(k + 1)(k + 2)/2] ²   =   [(k + 1)(k + 2)/2] ²

Отсюда по принципу математической индукции при n≥1 

1 ³  + 2 ³  + 3 ³  + · · · + n ³  = [n(n + 1)/2] ² После того, как

9000 мы надеемся, что учащиеся поняли бы «Задачи на математическую индукцию с решениями».

Помимо всего вышеперечисленного, если вы хотите узнать больше о «Математических задачах индукции с решениями». Помимо материала, представленного в этом разделе, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Математическая индукция для определения делимости | ChiliMath

В этом уроке мы собираемся доказать утверждение о делимости с помощью математической индукции. Если вы впервые проводите доказательство с помощью математической индукции, я предлагаю вам просмотреть другой мой урок, посвященный операторам суммирования. Причина в том, что учащиеся, плохо знакомые с этой темой, обычно начинают с задач на суммирование, за которыми следуют задачи на делимость.

Шаги для доказательства с помощью математической индукции

1. Покажите, что базисный шаг верен. То есть утверждение верно для n=1.
2. Предположим, что утверждение верно для n=k. Этот шаг называется индукционной гипотезой .
3. Докажите, что утверждение верно для n=k+1. Этот шаг называется индукционным шагом
.

Что значит a делит b ?

Поскольку мы собираемся доказывать утверждения о делимости, нам нужно знать, когда одно число делится на другое. Итак, как мы можем знать наверняка, если одно делит другое?

Предположим, что \color{blue}\Large{a} и \color{blue}\Large{b} являются целыми числами. Если \color{blue}\Large{a} делит \color{blue}\Large{b} , то мы можем записать это как уравнение  

, где \color{red}\Large{c} — это некоторое целое число.

---

Давайте рассмотрим несколько конкретных примеров.

• 2 делит 10, потому что 10=2{\color{red}(5)}, где \color{red}5 – целое число
.

• 8 делит 136, потому что 136=8{\color{red}(17)}, где \color{red}17 – целое число 9.

  No related posts.