Формула Пуассона для редких событий. Теория вероятностей
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же велико, то пользуются локальной формулой Лапласа или интегральной формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность случайного события мала. В этих случаях ( велико, мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.
Поставим перед собой
задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом
из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно
раз.
Сделаем важное допущение: произведение
сохраняет
постоянное значение, а именно
. Это означает, что среднее число появления
события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях
, остается неизменным.
Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:
Так как , то , следовательно:
Приняв во внимание, что имеет очень большое значение, вместо найдем
При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности: хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим к бесконечности. Затем, что поскольку произведение сохраняет постоянное значение, то при вероятность .
Таким образом:
Условие применимости формулы Пуассона
Если
вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к
нулю, то даже при больших значениях
количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа,
оказывается недостаточно точной.
В таких случаях используют формулу, выведенную
Пуассоном.
Формула Пуассона
где
При подсчете пуассоновских вероятностей полезно пользоваться рекуррентной формулой:
Смежные темы решебника:
- Формула Бернулли
- Локальная теорема Муавра-Лапласа
- Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- Следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа
Примеры решения задач
Пример 1
На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа.
Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пусть событие – 5 ламп будет разбито
Воспользуемся формулой Пуассона:
В нашем случае:
Ответ: p=0.1008
Пример 2
Из 100 изделий, среди которых имеется 3 нестандартных, выбраны случайным образом 9 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 9 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятностей, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Лапласа.
Решение
Воспользуемся классическим определением вероятности:
-общее число возможных исходов испытания
-число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию
Искомая вероятность:
Воспользуемся формулой Бернулли:
В нашем случае:
Воспользуемся формулой Пуассона:
Искомая вероятность:
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
В нашем случае:
Пример 3
Вероятность
«сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Воспользуемся формулой Пуассона:
В нашем случае:
Не более 3-х сбоев – это значит 0,1, 2 или 3 сбоя
Искомая вероятность:
Ответ:
Пример 4
Вероятность
потери банковской карты 0,03. Найти
вероятность того, что из 200 карт будут потеряны: а) 4 карты; б) хотя бы одна
карта; в) более 2 карт.
Решение
Число велико, вероятность мала, и рассматриваемые события независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:
Найдем
а) Пусть событие — потеряно ровно 4 карты:
б) Пусть событие — потеряна хотя бы одна карта:
Противоположное событие — не потеряно ни одной карты
в) Пусть событие — потеряно более 2-х карт. Тогда противоположное событие — потеряно 0,1 или 2 карты.
Ответ: а) ; б) ; в) .
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Книга в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на определенной странице будет не менее трех опечаток.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач.
Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 2
Вероятность сбоя в работе банкомата при каждом запросе равна 0,0016. Банкомат обслуживает 2000 клиентов в неделю. Определить вероятность того, что при этом число сбоев не превзойдет 3.
Задача 3
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель ровно 100 раз, если было произведено 2000 выстрелов.
Задача 4
Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты 0,003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на трех веретенах.
Задача 5
Станок-автомат
штампует детали.
Вероятность того, что изготовленная деталь окажется
бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется
ровно четыре бракованных.
Задача 6
Владельцы кредитных карточек ценят их и теряют весьма редко. Пусть вероятность потерять в течение недели кредитную карточку для произвольного владельца равна 0,001. Всего банк выдал карточки 2000 клиентам. Найти вероятность того, что в предстоящую неделю будет потеряна: а) хотя бы одна; б) ровно одна кредитная карточка. Найти наивероятнейшее число карточек, теряемых за неделю.
Задача 7
Найти среднее число l бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,92. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.
Задача 8
Телефонный
кабель состоит из 400 жил. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к
телефонной сети не менее 395 абонентов, если для подключения каждого из них
нужна одна жила, а вероятность того, что она повреждена – 0,0125.
Задача 9
Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не менее трех семян сорняков?
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 10
Учебник по теории вероятностей издан тиражом 10000 экз. Вероятность бракованного экземпляра . Найти вероятность того, что в тираже будет ровно 2 бракованных книги.
Задача 11
Среди семян риса 0,2% семян сорняков, т.е. число сорняков в рисе распределено по закону Пуассона. Найти вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено
1) не менее 2 семян — сорняков;
2) хотя
бы 1 семя -сорняк.
Задача 12
Вероятность того, что изделие не выдержит испытания равна 0.0004. Найдите вероятность того, что из 1000 наудачу взятых изделий не выдержит испытаний не менее двух изделий.
Задача 13
Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года: а) двух узлов; б) не более 5 узлов.
Задача 14
В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдется: а) ровно 4 левши; б) не менее чем 4 левши.
Задача 15
Среди 100 изготавливаемых микросхем в среднем одна бракованная. Найти вероятность того, что в партии из 1000 микросхем не более двух бракованных.
Задача 16
Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность звонка абонента в течение часа равна 0,05. Какова вероятность того, что в течение часа поступят звонки не более чем от трех абонентов?
Задача 17
Сборник
содержит 400 задач с ответами.
В каждом ответе вероятность ошибки 0,01. Какова
вероятность того, что в сборнике не более двух задач с ошибочными ответами?
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Формула Пуассона. Примеры вычисления
Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю , то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.
ТЕОРЕМА ПУАССОНА
Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но достаточно мала, число независимых испытаний достаточно велико, при этом сочетания меньше десяти то вероятность того, что в количестве испытаниях событие наступит ровно раз примерно равна
где
Для формулы Пуассона используют таблицы табулирования функции .
——————————-
Рассмотрим примеры типичных для студентов задач.
Пример 1. Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг.
Решение. Проверим выполнение условия теоремы Пуассона. Для входных значений
получим
что условия выполняются.
По табличным значениям функции Пуассона находим вероятность
Применения к этому событию локальную теорему Лапласа получим
Точное значение вероятности определяем по формуле Бернулли
Из анализа трех методов следует, что формула Пуассона дает более точнее приближения, чем формула Лапласа. Именно поэтому ее рекомендуют применять для отыскания вероятности в такого сорта задачах.
——————————-
Пример 2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
Решение. Имеем даные , которые удовлетворяют требования теоремы Пуассона По таблице функции Пуассона при получим:
Найдем вероятность того же события по локальной теореме Лапласа.
Для ,
искомая вероятность:
Точное значение вычисляем согласно формулы Бернулли:
Таким образом, формула Пуассона дает гораздо более точное приближение, чем формула Лапласа.
——————————-
Пример 3. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная, равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 200 деталей окажется 5 бракованных?
Решение. Есть , есть удовлетворяются требования теоремы
По таблице функции Пуассона при получим:
———————————————-
Используйте формулу Пуассона в тех задачах, где она более уместна. Всегда проверяйте выполнения условия теоремы Пуассона, при значениях которые не удовлетворяют условие формула дает большую погрешность при вычислении вероятности. Для проверки результата применяйте формулу Бернулли, она более точна и с ее результатом найденную вероятность по формуле Пуассона лучше всего сравнивать. Если погрешность невелика, тогда Вы все сделали правильно, в противном случае придется вычислять снова или найти слабое место и исправить ошибки.
13. Распределение вероятности Пуассона
На этой странице…
- Среднее и дисперсия распределения Пуассона
Распределение Пуассона было разработано французским математиком Симеоном Дени Пуассоном в 1837 году.
Случайная величина Пуассона удовлетворяет следующим условиям:
Количество успехов в двух непересекающихся промежутках времени не зависит.
Вероятность успеха в течение небольшого временного интервала пропорциональна всей длине временного интервала.
Помимо непересекающихся временных интервалов, случайная величина Пуассона также применяется к непересекающимся областям пространства .
Приложения
- количество смертей от пинков лошадей в прусской армии (первый приложение)
- врожденные дефекты и генетические мутации
- редких заболеваний (например, лейкемия, но не СПИД, потому что он заразен и поэтому не независимым) — особенно в судебных делах
- ДТП
- транспортный поток и идеальная дистанция разрыва
- количество опечаток на странице В гамбургерах McDonald’s нашли
- волосков
- распространение исчезающего животного в Африке
- отказ машины за месяц
Обозначение
Мы используем прописных букв переменных (например, X и Z ) для обозначения случайных переменных , а строчные буквы (например, x и z 9005) обозначают 0 конкретных значений 0х)/(х!)`
где
`х = 0, 1, 2, 3.
..`
`e = 2.71828` (но используйте кнопку калькулятора e )
`μ =` среднее количество успехов в заданном временном интервале или области пространства
..`Если μ — это среднее число успехов, происходящих в данном временном интервале или регионе в распределении Пуассона, то среднее значение и дисперсия распределения Пуассона равны μ.
Е ( х ) = мк
и
В ( X ) = σ 2 = мк
Примечание. В распределении Пуассона для определения вероятности события требуется только один параметр μ.
Пример 1
Продавец по страхованию жизни продает в среднем 3 полиса страхования жизни в неделю. Используйте закон Пуассона, чтобы вычислить вероятность того, что в данную неделю он продаст
Некоторые политики
`2` или более политик, но меньше `5` политик.
Если предположить, что в неделе 5 рабочих дней, какова вероятность того, что в данный день он продаст один полис?
Ответить
Здесь μ = 3
(a) «Некоторые политики» означает «1 или несколько политик». Мы можем решить это, найдя 1 минус вероятность «нулевой политики»:
91)/(1!)=0,32929`Пример 2
Двадцать листов алюминиевого сплава были проверены на наличие поверхностных дефектов. Частота количества листов с заданным количеством дефектов на листе составила:
Количество дефектов Частота `0` `4` `1` `3` `2` `5` `3` `2` `4` `4` `5` `1` `6` `1` Какова вероятность того, что случайно выбранный лист содержит 3 или более дефектов поверхности?
Ответ
Общее количество дефектов определяется по формуле:
9х)/(х!)``(0 × 4) + (1 × 3)` `+ (2 × 5) + (3 × 2)` `+ (4 × 4) + (5 × 1)` `+ (6 × 1)` `= 46`
Пример 3
Если сбои в подаче электроэнергии происходят в соответствии с распределением Пуассона со средним числом «3» сбоев каждые двадцать недель, рассчитайте вероятность того, что в течение конкретной недели произойдет не более одного сбоя.
Ответ
Среднее количество сбоев в неделю: `mu=3/20=0,15`
«Не более одного сбоя» означает, что нам нужно включить вероятность «0» сбоев плюс «1 сбой».
91)/(1!)` `=0,98981`Пример 4
Транспортные средства проезжают через перекресток на оживленной дороге со средней скоростью `300` в час.
Найти вероятность того, что в данную минуту никто не пройдет мимо.
Какое ожидаемое число пройдет через две минуты?
Найдите вероятность того, что это ожидаемое число действительно пройдет через заданный двухминутный период.
Ответить
Среднее количество автомобилей в минуту: `mu=300/60=5` 9х)/(х!)`
можно построить гистограмму вероятностей количества автомобилей за каждые 2 минуты:
024681012141618X0,050.1 ВероятностьОткрыть изображение на новой странице Компания производит электродвигатели. Вероятность неисправности электродвигателя равна «0,01».
Какова вероятность того, что в выборке из «300» электродвигателей будет ровно «5» неисправных двигателей?
Ответ
95)/(5!)=0,10082`ПРИМЕЧАНИЕ: Эта задача похожа на задачу о биномиальном распределении, с которой мы познакомились в предыдущем разделе.
Если мы сделаем это, используя бином, с `n = 300`, `x = 5`, `p = 0,01` и `q = 0,99`, мы получим:
P ( X = 5) = C(300,5)(0,01) 5 (0,99) 295 = 0,10099
Мы видим, что результат очень похож. Мы можем использовать биномиальное распределение для аппроксимации распределения Пуассона (и наоборот) при определенных обстоятельствах.
Гистограмма вероятностей
024681012X0.10.2 ВероятностьОткрыть изображение на новой страницеГистограмма распределения Пуассона
Распределение Пуассона
Эксперимент Пуассона представляет собой статистический эксперимент, обладающий следующими свойствами:
- Вероятность того, что успех произойдет в очень малой области, равна
практически ноль.
Обратите внимание, что указанная область может принимать различные формы. Например, это может быть длина, площадь, объем, период времени и т.
Обозначение
Следующие обозначения полезны, когда мы говорим о распределении Пуассона.
- P( x ; μ): Вероятность Пуассона , что точно x успехи происходят в эксперименте Пуассона, когда среднее число успехов μ.
Распределение Пуассона
Случайная величина Пуассона — это количество успехов, которые результат эксперимента Пуассона. вероятностное распределение случайной величины Пуассона называется Пуассон раздача .
Учитывая среднее количество успехов (μ), происходящих в указанной области, мы можем вычислить вероятность Пуассона на основе следующей формулы:
Формула Пуассона . Предположим, мы проводим
Эксперимент Пуассона, в котором среднее число успехов в течение заданного
область мк.
Тогда вероятность Пуассона равна:
P( x ; µ) = (e -µ ) (µ x )/x!
, где x — фактическое количество успехов в результате эксперимент, и e примерно равно 2,71828.
Распределение Пуассона обладает следующими свойствами:
- Дисперсия также равно µ .
Пример распределения Пуассона
Среднее количество домов, продаваемых компанией Acme Realty, составляет 2 дома в день. Какова вероятность того, что завтра будут проданы ровно 3 дома?
Решение: Это эксперимент Пуассона, в котором мы знаем следующее:
- е = 2,71828; поскольку e является константой, равной примерно 2,71828.
Подставляем эти значения в формулу Пуассона следующим образом:
P( x ; µ) = (e -µ ) (µ x ) / x!
P(3; 2) = (2,71828 -2 ) (2 3 ) / 3!
P(3; 2) = (0,13534) (8) / 6
P(3; 2) = 0,180
Таким образом, вероятность продать 3 дома завтра равна 0,180.
Кумулятивная вероятность Пуассона
Кумулятивная вероятность Пуассона относится к вероятности того, что случайная величина Пуассона больше некоторого заданного нижнего предела и меньше определенного верхнего предела.
Кумулятивный пуассон Пример
Предположим, что среднее количество львов, замеченных за однодневное сафари, равно 5. Какова вероятность того, что туристы увидят менее четырех львов в следующий день сафари?
Решение: Это эксперимент Пуассона, в котором мы знаем следующее:
- х = 0, 1, 2 или 3; так как мы хотим найти вероятность того, что туристы увидят менее 4 львов; то есть нам нужна вероятность того, что они увидят 0, 1, 2 или 3 льва.
- е = 2,71828; поскольку e является константой, равной примерно 2,71828.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти вероятность того, что туристы увидят 0,
1, 2 или 3 льва. Таким образом, нам нужно вычислить сумму четырех вероятностей:
Р(0; 5) + Р(1; 5) + Р(2; 5) + Р(3; 5).
Для вычисления этой суммы воспользуемся функцией Пуассона.
формула:
P(x < 3, 5) = P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5) + P(3; 5)
P(x < 3, 5) = [ (е -5 )(5 0 ) / 0! ] + [ (e -5 )(5 1 ) / 1! ] + [ (e -5 )(5 2 ) / 2! ] + [ (e -5 )(5 3 ) / 3! ]
P(x < 3, 5) = [ (0,006738)(1) / 1 ] + [ (0,006738)(5) / 1 ] + [ (0,006738)(25)/2] + [(0,006738)(125)/6]
P(x < 3, 5) = [ 0,0067 ] + [ 0,03369 ] + [ 0,084224 ] + [ 0,140375 ]
P(x < 3, 5) = 0,2650
Таким образом, вероятность увидеть львов не более 3 0,2650.
Калькулятор Пуассона
Очевидно, что формула Пуассона требует много трудоемких вычислений. Статистика
Trek Poisson Calculator может сделать эту работу за вас — быстро, легко и
без ошибок. Используйте калькулятор Пуассона для вычисления вероятностей Пуассона и
кумулятивные вероятности Пуассона.