Задачи на полезность по микроэкономике с решениями: Ошибка: 404 Категория не найдена

1. Что можно Доступность комплектов после введения налоговой льготы на гибридные автомобили по сравнению с предыдущим периодом? Представляют ли наборы больше потребления, связанного только с пробегом, или они также представляют большее количество других товаров?
2. Еще один тип автомобилей с большим пробегом (высокий расход топлива на галлон) — это дизельные автомобили. Однако в Соединенных Штатах цена дизельного топлива обычно выше, чем цена обычного газа. Каким образом только более высокая MPG сдвинет бюджетную строку на рис. 3.9? Каким образом только более дорогой газ может сдвинуть бюджетную линию на рис. 3.9? Как эти два фактора вместе взятые изменят бюджетную строку на рис. 3.9?
3. Если правительство субсидирует покупку гибридных автомобилей за счет скидки, которая увеличивает доход потребителей, что произойдет со строкой бюджета на рис. 3.9.?

РЕЗЮМЕ

Обзор: темы и связанные с ним результаты обучения

3.1 Описание ограничения бюджета

LO1: Определите ограничение бюджета

3,2 . Склон бюджетной линии

3,2 . Склон бюджетной линии

3,2 . интерпретация наклона бюджетной линии

3.3 Изменения в ценах и доходах

LO3: Проиллюстрируйте, как изменения в ценах и доходах влияют на бюджетное ограничение и бюджетную строку

3,4 Купоны, ваучеры и налоги

LO4: Иллюстрируйте, как купоны, ваучеры и налоги изменяют ограничение бюджета и бюджетная линия

3,5 Пример политики

.

Адвалорный налог

Бюджетное ограничение

Бюджетная строка

Экономическая норма замещения

Альтернативная стоимость

Графики

Нормальное бюджетное ограничение

Бюджетное ограничение с купоном

Бюджетное ограничение с ваучером

Уравнения

Бюджетное ограничение

 

Неопределенность и риск – средний уровень микроэкономики

Основная часть

Пример полиса: Страхование от наводнений

Большая часть страхования предоставляется частным рынком, но одним важным исключением является страхование от наводнений, которое обычно предоставляется федеральным правительством в Соединенных Штатах. Национальная программа страхования от наводнений в стране находится в ведении Федерального агентства по чрезвычайным ситуациям и обеспечивает дополнительное страхование от наводнений для домов, подверженных наводнениям, поскольку большинство полисов частных домовладельцев не покрывают ущерб от наводнения.

Знакомство с вопросом о страховом полисе

1. Почему частные страховщики не страхуют наводнения?
2. Каково обоснование предоставления правительством страхования от наводнений?

 

23.1 Что такое Risky Ou t приходит?

Задача обучения 23.1: Определить рискованные результаты и описать, как они оцениваются.

23.2 Оценка рискованных исходов

Цель обучения 23.2: Объяснить ожидаемую полезность и предпочитаемый риск.

23.3 Ri s k Снижение

Цель обучения 23.3: Описать, как диверсификация и страхование снижают риск.

23.4 Пример полиса: Страхование от наводнений

Цель обучения 23.4: Применить знания о рисках и страховании, чтобы объяснить, как систематический риск затрудняет объединение рисков и разрушает частные рынки страхования.

 

23.1 Что такое Risky Ou t приходит?

Задача обучения 23.1: Определить рискованные результаты и описать, как они оцениваются.

Риск описывает любую экономическую деятельность с неопределенными результатами. Например, человек, который делает ставку на подбрасывание монеты, сталкивается с двумя разными исходами с равными шансами. Водитель автомобиля знает, что есть вероятность столкновения. Люди понимают, что в будущем есть вероятность, что они заболеют или получат травму, требующую медицинской помощи. Все эти сценарии являются примерами неопределенности, а неопределенность подразумевает риск. В этом модуле, как и в экономике в целом, мы используем термины «риск» и «неопределенность» как синонимы.

С любым неопределенным исходом связаны вероятности. Напомним, что p вероятности — это числа от нуля до единицы, которые указывают вероятность того, что произойдёт тот или иной результат. При подбрасывании монеты вероятность того, что одна сторона приземлится вверх, составляет ½ или 50%. Иногда эти вероятности известны, как в примере с подбрасыванием монеты, а иногда эти вероятности неизвестны, как в примере с автомобильным столкновением. Даже когда мы не знаем вероятности, мы часто можем оценить на основе совокупных данных или какой-либо другой информации, например, если дороги покрыты снегом. В любом случае способность назначать вероятности отличает эти риски как поддающиеся количественной оценке. В этом модуле мы будем рассматривать только измеримый риск.

При отсутствии известной вероятности, такой как подбрасывание монеты, экономические агенты должны оценивать. Как правило, они делают это двумя способами: они могут оценивать на основе частоты или на основе субъективной вероятности. Частота — это то, как часто происходил конкретный результат из известного количества событий. Например, человек, живущий в районе, где зимой редко выпадает снег, может задаться вопросом, каковы шансы, что этой зимой будет снег. Возможно, они помнят, что за последние десять лет в трех из них выпал снег. Следовательно, они могут оценить вероятность выпадения снега в этом году на основе его годовой частоты, 3/10, или 0,3, или 30%. Формально если k равно количеству раз, когда событие произошло, а N равно возможному количеству раз, тогда частота, F , равна:

[latex]F=\frac{k}{N}[/ латекс]

Субъективная вероятность — это когда люди оценивают вероятности на основе собственного опыта и любых доступных им данных. Например, домовладелец может никогда не сталкиваться с пожаром в доме, но может сделать вывод о том, насколько вероятно, что они произошли, основываясь на своих собственных знаниях о пожарах в своем районе и сообщениях о пожарах, которые он видит в новостях. Синоптик также делает субъективную оценку вероятности при прогнозировании вероятности дождя. Они смотрят на доступные им данные и модели, но используют свой собственный опыт в качестве руководства к тому, как интерпретировать данные и прогнозы модели и делать собственную оценку.

Если существует несколько возможных исходов, каждому возможному исходу можно присвоить вероятности. ожидаемое значение неопределенного исхода представляет собой сумму значений каждого возможного исхода, умноженную на вероятность того, что он произойдет. Например, рассмотрим банку со 100 шариками четырех разных цветов: красного, синего, зеленого и желтого. Если есть 40 красных шариков, 20 синих шариков, 30 зеленых шариков и 10 желтых шариков, то вероятность случайного извлечения красного шарика равна 0,4 (40/100), синего — 0,2, зеленого — 0,3 и желтый — .1. Предположим также, что красные стоят 10 долларов, синие — 50 долларов, зеленые — 20 долларов, а желтые — 100 долларов. Ожидаемое значение (EV) одного случайного розыгрыша:

EV = Pr(красный) x значение(красный)+ Pr(синий) x значение(синий)

 + Pr(зеленый) x значение(зеленый) + Pr(желтый) x значение(желтый)

или

EV = 0,4 x 10 долларов + 0,2 x 50 долларов + 0,3 x 20 долларов + 0,1 x 100 долларов = 30 долларов. Средний результат игры в мрамор — заработать 30 долларов.

23.2 Оценка рискованных результатов

Задача обучения 23.2: Объяснить ожидаемую полезность и предпочтение риска.

Рассмотрим следующую игру. С вероятностью 80 процентов вы выиграете 400 долларов, а с вероятностью 20 процентов вы выиграете 2500 долларов. Ожидаемая стоимость этой игры: EV = 0,6 × 1000 долл. США + 0,4 × 2500 долларов США = 1600 долларов США. честная азартная игра — это игра, в которой стоимость игры равна ожидаемой стоимости. Но сколько вы готовы заплатить за эту игру? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно знать об ожидаемой полезности.

Ожидаемая полезность — это средневзвешенная по вероятности полезность, которую человек получает от каждого возможного исхода неопределенной ситуации. Чтобы понять эту концепцию, мы можем применить ее к игре. Ожидаемая полезность вышеописанной игры:

EU = 0,6 × U(1000 долларов) + 0,4 × U(2500 долларов)

Чтобы рассмотреть конкретный пример, предположим, что полезность человека может быть выражена как функция денег следующим образом:

[латекс] U(Money)=\sqrt{Money}[/latex]

Тогда ожидаемая полезность от приведенной выше игры равна:

[latex]EU=0,6\, x\,\sqrt{1000}+0,4\, x\,\sqrt{2500}=. 6\,x\,31.62+.2\,x\,50\приблизительно 29[/latex]

Как и в случае полезности в целом, это число ничего не значит в абсолютном выражении. , только как относительная мера. Если бы вместо этого этому человеку была дана ожидаемая стоимость игры, 1600 долларов, наверняка обратите внимание, что он получил бы

[latex]Y(\$1600)=\sqrt{1600}=40[/latex]

Другими словами, гарантированная сумма в $1600 дает более высокую полезность, чем игра с ожидаемой стоимостью $1600. Это показывает, что человек не склонен к риску.

Человек, который не желает делать честную игру, как человек выше, не склонен к риску . Человек, предпочитающий азартную игру гарантированной справедливой выплате, любит риск . Человек, который безразличен между азартной игрой и честной выплатой, равен 9.0007 нейтральный к риску .

Рисунок 23.2.1: График неприятия риска

Рисунок 23.2.1 иллюстрирует человека с функцией полезности в отношении богатства, который не склонен к риску. График функции полезности имеет убывающий наклон по мере увеличения благосостояния. Рассмотрим два возможных исхода: 50 и 100 долларов. График говорит нам, что полезность 50 долларов для этого агента равна 80, а полезность 100 долларов равна 140. Помните, что значение полезности не имеет абсолютного значения, оно имеет только относительное значение. Таким образом, этот агент предпочитает большее богатство меньшему, но предельная полезность богатства уменьшается. Именно это уменьшение предельной полезности богатства приводит к неприятию риска.

Теперь рассмотрим игру, в которой подбрасывается монета, и фактическая выплата, 50 или 100 долларов, зависит от того, какая сторона монеты показывается после подбрасывания. Это означает, что у агента есть 50% шанс получить 50 долларов и 50% шанс получить 100 долларов. В ожидаемой стоимости игра стоит 75 долларов. Полезность 75 долларов для этого агента равна 130, как показано на рисунке. Ожидаемая полезность — это среднее значение уровней полезности для двух исходов, и ее можно рассматривать как среднюю точку на хорде, соединяющей две точки функции полезности. Ожидаемая полезность равна (0,5)(80)+(0,5)(140)=110. Это означает, что игра в эту рискованную игру дает этому агенту полезность 110. Какой определенный платеж принес бы агенту такую ​​же полезность? Если мы посмотрим на рисунок, то увидим, что точка (d) на графике функции полезности находится на уровне 65 долларов. Разница между ожидаемой стоимостью игры, 75 долларов, и суммой определенного платежа, приносящего ту же полезность, что и игра, 65 долларов, называется 9.0007 премия за риск . В этом случае премия за риск составляет 10 долларов. Премия за риск — это сумма, которую агент готов заплатить, чтобы избежать риска честной игры.

График кривой полезности, нейтральной к риску и склонной к риску

Не все люди не склонны к риску. Человек с постоянной предельной полезностью богатства нейтрален к риску, а человек с возрастающей предельной полезностью богатства любит риск. Рисунок 23.2.2 иллюстрирует обе ситуации, используя тот же сценарий, что и на рисунке 23. 2.1. Обратите внимание, что нет надбавки за риск для нейтрального к риску человека, и человек, любящий риск, фактически понесет затраты на игру, если ее исключить.

Рисунок 23.2.2: Кривые по любви к любви и нейтральному риску.

Не склонные к риску люди хотят уменьшить или полностью устранить риски, с которыми они сталкиваются. Даже нейтральные к риску люди избегают несправедливых рисков, а люди, любящие риск, могут хотеть избегать очень несправедливых рисков. Самый простой способ избежать риска — воздерживаться от рискованных действий, но это не всегда возможно. Фермер, например, не может избежать присущей погоде изменчивости. Но есть некоторые действия, которые люди могут предпринять, чтобы снизить риск: водители могут ездить более осторожно, фермеры могут сажать засухоустойчивые культуры, путешественники могут избегать авиакомпаний с плохими показателями безопасности. Часто для снижения риска путем сознательного выбора требуется информация о рисках. Например, чтобы снизить риск авиаперелетов, путешественнику потребуется доступ к записям безопасности авиакомпаний.

Другой способ снизить риск — диверсификация. В простом примере фермер может посадить ряд различных культур, некоторые из которых хорошо растут в засушливых условиях, а другие — во влажных, так что независимо от того, влажный или засушливый год, у фермера будет по крайней мере один хороший урожай. Эта диверсификация требует, чтобы риски были абсолютно отрицательно коррелированы. Риски, которые в целом имеют отрицательную корреляцию, могут быть объединены для снижения общего риска. Например, рассмотрите возможность инвестирования в фондовый рынок. Инвестиции в несколько фирм в одной отрасли рискованны, потому что их риски, вероятно, положительно коррелированы. Если одна фирма в автомобильной промышленности работает плохо, это может быть связано с тем, что спрос на автомобили невелик, и, следовательно, все производители автомобилей могут в результате плохо работать. Однако, если вы инвестируете во множество фирм в самых разных отраслях, вполне вероятно, что у одних дела пойдут хорошо, а у других — плохо, и, следовательно, общий риск будет снижен.

Распространенным способом снижения риска является покупка страховки. Рынки частного страхования существуют благодаря премии за риск, описанной ранее в этой главе. Люди, не склонные к риску, готовы заплатить цену, чтобы избежать или снизить риск. Люди, не склонные к риску, всегда предпочтут приобрести честную страховку. Справедливое страхование — это договор, ожидаемая стоимость которого для страховщика равна нулю, другими словами, справедливая ставка. В качестве простого примера рассмотрим полис автострахования. Предположим, что вероятность того, что водитель попадет в аварию через год, составляет 1%. В случае аварии стоимость ущерба составит 5000 долларов. Таким образом, ожидаемый убыток составляет (0,1)(5000 долларов) или 50 долларов. Справедливый страховой договор — это тот, который полностью застраховал бы от этой потери и взимал бы с водителя точно ожидаемую стоимость, или 50 долларов. Однако этот контракт не приносит никакой прибыли страховой компании. Фактически, человек, не склонный к риску, был бы готов купить страховку, которая менее чем полностью справедлива из-за премии за риск, которая порождает индустрию частного страхования.

Индустрия частного страхования полагается на диверсифицированный риск, чтобы оставаться в бизнесе. Если у страховой компании 1000 клиентов, каждый из которых имеет 1%-ный риск необходимости подачи претензии, необходимо, чтобы 1%-й риск не был слишком положительно коррелирован, чтобы избежать ситуаций, в которых слишком много застрахованных предъявляют претензии в один и тот же год. Страховая компания полагается на тот факт, что она может ожидать в среднем 10 исков в год, чтобы поддерживать свой бизнес и не нести катастрофических убытков от слишком большого количества страховых исков, поданных в тот же год, что может привести к их банкротству. Возьмем, к примеру, ипотечное страхование. Страховщики покроют убытки банкам, если домовладелец с ипотечным кредитом не выполнит свои обязательства. Обычно эти риски довольно разнообразны, особенно если страховая компания страхует ипотечные кредиты в разных географических районах, чтобы экономический спад в одном городе, например закрытие крупного работодателя, не вызвал одновременно слишком много претензий. Обычно это безопасная стратегия, но жилищный кризис в Соединенных Штатах в 2006 году распространился по всей стране, что привело к глубокому кризису ряда ипотечных страховщиков, в первую очередь American International Group (AIG), которую правительство США спасло. на сумму 180 миллиардов долларов и привел к тому, что правительство взяло под свой контроль фирму.

23.4 Пример полиса: Страхование от наводнений

Цель обучения 23.4: Применить знания о рисках и страховании, чтобы объяснить, как систематический риск затрудняет объединение рисков и разрушает частные рынки страхования.

Домовладельцы, не склонные к риску, чьи дома расположены в районах с вероятностью затопления, будут иметь потребность в страховании до тех пор, пока договор страхования находится в пределах премии за риск, которую домовладельцы готовы платить. Но страхование от наводнения нелегко приобрести на частном рынке. Причиной этого является тот факт, что большинство людей, желающих приобрести страховку от наводнения, владеют домами в районах, подверженных наводнениям. Наводнения относительно редки, но очень дорогостоящи. Когда случается наводнение, большинство домов в зоне затопления серьезно повреждаются, поэтому риски имеют очень высокую положительную корреляцию. Это делает страхование от наводнений очень сложным для частных страховых компаний, которые изо всех сил пытаются диверсифицировать свой портфель рисков, и подвергает их опасности катастрофических выплат в случае наводнения. По этой причине цены на большую часть частного страхования превышают надбавку за риск частных домовладельцев. Это усугубляется тем фактом, что домовладельцы в зонах исследования наводнений часто являются домохозяйствами с непропорционально низкими доходами, поскольку земля, подверженная наводнениям, как правило, дешевле, чем земля в более высоких районах. Домохозяйства с более низкими доходами имеют более ограниченные ресурсы для покрытия расходов в случае наводнения, если у них нет страховки.

По этим причинам федеральное правительство вышло на рынок страхования от наводнений и предоставляет субсидируемое страхование домохозяйствам, подверженным наводнениям. У федерального правительства есть ресурсы для борьбы с коррелирующими рисками и дорогостоящими выплатами, которых нет у большинства частных страховщиков.

РЕЗЮМЕ

Обзор: Темы и соответствующие результаты обучения

23.1 Что такое Risky Ou t приходит?

Задача обучения 23.1: Определить рискованные результаты и описать, как они оцениваются.

23.2 Оценка рискованных результатов

Задача обучения 23.2: Объяснить ожидаемую полезность и предпочтение риска.

23.3 Ri s k Снижение

Цель обучения 23.3: Описать, как диверсификация и страхование снижают риск.

23.4 Пример полиса: Страхование от наводнений

Цель обучения 23.4: Применить знания о рисках и страховании, чтобы объяснить, как систематический риск затрудняет объединение рисков и разрушает частные рынки страхования.

Обучение: ключевые термины и графики

Условия

Вероятности

Частота

Ожидаемая стоимость

Справедливая азартная игра

.

Рисунок 23.2.1: График неприятия риска

Рисунок 23.2.2: Кривые полезности любви к риску и нейтральности к риску

Вспомогательная функция Определение

Что такое вспомогательная функция?

В экономике полезность представляет собой удовлетворение или удовольствие, которое потребители получают от потребления товара или услуги. Функция полезности измеряет предпочтения потребителей в отношении набора товаров и услуг.

Полезность измеряется в единицах, называемых utils (по-испански «полезный»), но расчет выгоды или удовлетворения, которые получают потребители, является абстрактным и трудно поддающимся точному определению. В результате экономисты измеряют полезность с точки зрения выявленных предпочтений, наблюдая за выбором потребителей. Оттуда экономисты упорядочивают потребительские корзины от наименее желательных до наиболее предпочтительных.

Ключевые выводы

• В экономике функция полезности является важным понятием, которое измеряет предпочтения в отношении набора товаров и услуг.
• Полезность представляет собой удовлетворение, которое потребители получают при выборе и потреблении продукта или услуги.
• Экономисты отслеживают выбор потребителей, чтобы определить полезность одного продукта по сравнению с другим и присвоить числовое значение этой полезности.
• Руководители компании исследуют потребительскую полезность для разработки планов компании по продажам и маркетингу, рекламы и предложения новых продуктов.
• Порядковая полезность ранжирует выбор по предпочтениям, а кардинальная полезность измеряет полезность, полученную от выбора.

Понимание служебной функции

В экономике функция полезности измеряет благосостояние или удовлетворение потребителя в зависимости от потребления реальных товаров, таких как продукты питания или одежда. Функция полезности широко используется в теории рационального выбора для анализа человеческого поведения.

Когда экономисты измеряют или ранжируют предпочтения потребителей, это называется порядковой полезностью. Другими словами, порядок, в котором потребители выбирают один продукт над другим, может установить, что потребители придают более высокую ценность выбранному продукту. Порядковая полезность измеряет, как потребители оценивают продукты, но не измеряет, насколько выше один из них стоит над другим.

Чтобы лучше понять порядковую полезность, рассмотрим следующий пример. Трое участников соревнуются за первое место в танцевальном конкурсе. Участник А объявляется победителем. Участник B занял второе место, а участник B занял третье место. Порядковая полезность показывает, что судьи отдавали предпочтение участнику А участникам В и С и участнику В участнику С. Чего порядковая функция не говорит нам, так это того, в какой степени один был предпочтительнее другого.

Кардинальная полезность, в основном используемая в микроэкономике, присваивает числовое значение потребительскому предпочтению, обозначая степени , в которой один выбор стоит выше другого. Кардинальная полезность будет определять, насколько участник A был предпочтительнее, чем участники B и C, и так далее.

При рассмотрении полезности важно понимать понятия общей полезности и предельной полезности. Предельная полезность измеряет удовлетворение или выгоду, которую человек получает от потребления дополнительной единицы продукта или услуги. Общая полезность измеряет удовлетворение или выгоды, которые человек получает от общего потребления, включая предельную полезность, продукта или услуги.

Если потребление 10 единиц продукта дает 20 единиц полезности, а потребление одной дополнительной единицы дает 1 единицу полезности, общая полезность составляет 21 единицу полезности. Если потребление другой единицы дает 0,5 ютиля, общая полезность тогда составит 21,5 ютиля.

Экономисты считают, что количество удовлетворения, которое человек получает от каждой дополнительной единицы потребления, уменьшается с каждой единицей потребления. Эта концепция называется законом убывающей предельной полезности. Убывающая предельная полезность не означает, что потребление дополнительных единиц не сможет удовлетворить потребителя; он утверждает, что удовлетворение от потребления все большего количества единиц меньше, чем от первых дополнительных потребляемых единиц.

Как рассчитать функцию полезности

Функции полезности выражаются как функция количества набора товаров или услуг. Его часто обозначают как U(X ₁ , X ₂ , X ₃ , X _n ).

Функция полезности, описывающая предпочтение одного набора товаров (X _a ) по сравнению с другим набором товаров (X _b ), выражается как U(X _a , X _b ).

Там, где есть совершенные дополнения, функция полезности записывается как U(X _a , X _b ) = MIN[X _a , X _b ], где меньшему из двух присваивается значение функции.

В определенных ситуациях товары могут считаться идеальными заменителями друг друга, и соответствующая функция полезности должна отражать такие предпочтения в форме полезности U(X _a , X _b) = X _a + X _b .

Пример вспомогательной функции

Допустим, потребитель покупает новую машину и сузил выбор до двух автомобилей. Автомобили почти идентичны, за исключением того, что второй автомобиль имеет улучшенные функции безопасности. В результате вторая машина стоит на 2000 долларов дороже первой.

Приростная или предельная полезность или удовлетворение, получаемые от второго автомобиля, могут быть представлены численно как разница в цене между двумя автомобилями в размере 2000 долларов. Другими словами, потребитель получает дополнительную или предельную полезность в размере 2000 долларов от второго автомобиля.

Кроме того, предположим, что 100 000 потребителей по всей экономике предпочитают автомобиль с номером два машине с номером один. Экономисты могут сделать вывод, что потребители в целом получили дополнительную полезность на сумму 200 миллионов долларов (100 000 x 2 000 долларов) благодаря функциям безопасности второго автомобиля. Полезность вытекает из веры потребителя в то, что у него, вероятно, будет меньше несчастных случаев из-за дополнительных функций безопасности второго автомобиля.

Преимущества и недостатки вспомогательной функции

Экономисты не могут присвоить истинное числовое значение степени удовлетворенности потребителя предпочтениями или выбором. Кроме того, может быть сложно определить причину покупки; обычно нужно учитывать много переменных.

В предыдущем примере две машины были почти идентичны. На самом деле между двумя автомобилями может быть несколько особенностей или различий. В результате присвоение значения потребительскому предпочтению может оказаться сложной задачей, поскольку один потребитель может предпочесть функции безопасности, а другой может предпочесть что-то другое.

Отслеживание и присвоение значений полезности все еще может быть полезным для экономистов. С течением времени выбор и предпочтения могут указывать на изменения в структурах расходов и полезности.

Понимание логики выбора потребителей и уровня их удовлетворенности важно не только для экономистов, но и для компаний. Руководители компаний могут использовать утилиту для отслеживания того, как потребители рассматривают их продукты.

Важно

Функция полезности — это, по сути, «модель», используемая для представления потребительских предпочтений, поэтому компании часто внедряют ее, чтобы получить преимущество в конкурентной борьбе. Например, изучение потребительской полезности может помочь руководству во всем, от маркетинга и продаж до модернизации продуктов и новых предложений.

Часто задаваемые вопросы о вспомогательной функции

Что такое вспомогательная функция?

Полезность описывает получаемые выгоды или удовлетворение от потребления товаров или услуг. Функция полезности измеряет предпочтения потребителей при потреблении товаров и услуг. Например, если потребитель предпочитает яблоки апельсинам независимо от их количества, функция полезности может быть выражена как U(яблоки) > U(апельсины).

В чем разница между функцией полезности и предельной полезностью?

Функция полезности ранжирует потребление товаров или услуг потребителями по предпочтениям. Предельная полезность измеряет изменение полезности при изменении нормы потребления (т. е. насколько больше удовлетворения можно получить, потребляя другую единицу товара или услуги).

Почему важна вспомогательная функция?

Экономисты используют функцию полезности, чтобы лучше понять поведение потребителей, а также определить, насколько хорошо товары и услуги удовлетворяют потребителей.

Функция полезности также может помочь аналитикам определить, как распределять товары и услуги среди потребителей таким образом, чтобы реализовать общую полезность.

Компании могут использовать функцию полезности, чтобы определить, какой продукт (ы) в их продуктовой линейке (или продукции конкурента) предпочитают потребители. Знание этих предпочтений может помочь управленческим командам улучшить разработку продукта, чтобы получить конкурентное преимущество.

Практический результат

Полезность описывает выгоду или удовлетворение, получаемое от потребления товара или услуги. Единица измерения, которую экономисты используют для измерения удовлетворенности, называется полезностью. Функция полезности измеряет предпочтения потребителей в отношении набора товаров или услуг. Порядковая полезность ранжирует выбор покупателя по предпочтению, а кардинальная полезность присваивает числовое значение каждому предпочтению, чтобы определить, насколько один товар предпочтительнее другого.

Энергии | Бесплатный полнотекстовый | Формализация затрат и полезности в микроэкономике

1. Введение

Микроэкономика – это изучение экономических действий отдельных лиц (потребителей) и четко определенных групп лиц (фирм) [1]. Индивидуальный анализ принятия решений лежит в основе моделирования поведения в микроэкономической теории. В экономике поведенческая экономика [2] и теория рационального выбора [3] являются двумя основными подходами к моделированию выбора, то есть товаров и услуг, потребителей и фирм. В поведенческой экономике предполагается, что на принятие решений влияют многие факторы, такие как когнитивные способности, знания или информация и предпочтения потребителя или фирмы, тогда как теория рационального выбора предполагает, что лицо, принимающее решение, всегда может предпочесть и ранжировать свои данные. набор вариантов. Однако подход рационального выбора приводит к удобной математической структуре для проведения анализа данной экономики и, следовательно, широко используется для моделирования поведения основных лиц, принимающих решения, в микроэкономических моделях [4]. На основе модели рационального выбора разрабатываются теории потребителей и фирм для анализа потребительского (спроса) и производственного (предложения) поведения экономики [1]. В связи с этим функции затрат и полезности используются для количественной оценки и анализа последствий принятия решений фирмами и потребителями соответственно. Таким образом, моделирование затрат и полезности играет центральную роль в микроэкономическом анализе экономического рынка.

В микроэкономике математические методы предоставляют сложные инструменты для анализа экономических рынков [5]. Математически функция стоимости может быть смоделирована с использованием непрерывной, дифференцируемой, возрастающей и выпуклой функции, тогда как для моделирования полезности функция должна быть непрерывной, дифференцируемой, неубывающей и вогнутой [1]. В частности, дифференциальная теория позволяет аналитически проверять непрерывность, монотонность и выпуклый или вогнутый характер, используя тесты производных, данной функции для моделирования функций затрат и полезности. Как правило, полиномиальная, экспоненциальная и логарифмическая функции используются для моделирования стоимости и полезности в микроэкономике.

Моделирование затрат и полезности позволяет изучать цены сделок и количество покупателей и продавцов на таких рынках, как электроэнергия и сельское хозяйство. В частности, микроэкономические модели и концепции имеют огромные возможности для применения в энергетике [6,7], в частности, в интеллектуальных сетях [8], которые характеризуются потоком информации наряду с электроэнергией и, таким образом, позволяют регулировать и торговля электроэнергией в сети интеллектуальных сетей [9,10,11,12,13,14]. На рынке электроэнергии функция затрат используется для моделирования затрат на производство, передачу и распределение электроэнергии конечным потребителям [15]. С другой стороны, полезное моделирование играет ключевую роль в программах реагирования на спрос (DR) [16], которые используются для формирования/изменения спроса потребителей на безопасные и надежные интеллектуальные сети.

Для анализа вышеупомянутых свойств функций используются традиционные методы анализа, такие как методы проверки на бумаге и карандаше и моделирование. Методы компьютерного моделирования обычно используются для исследования функциональных свойств многих тестовых случаев. Однако моделирование не может обеспечить исчерпывающий анализ из-за связанных с этим высоких вычислительных затрат и требований к памяти. Кроме того, методы моделирования не могут моделировать непрерывное поведение функций затрат и полезности из-за компьютерного арифметического моделирования, которое приводит к ошибкам округления или усечения. Хотя методы проверки на бумаге и карандаше могут решить вышеупомянутые проблемы, эти методы подвержены человеческим ошибкам. Кроме того, бумажные и карандашные доказательства не масштабируются по отношению к сложности проблемы. Системы компьютерной алгебры (CAS), такие как Maxima [17] и Mathematica [18], также используются для исследования общих математических свойств функций-кандидатов для моделирования и анализа концепций микроэкономики [19].]. Эти методы основаны на символьных манипуляциях и, таким образом, включают в себя большие и непроверенные программы на языке программирования. Следовательно, анализ, выполненный с использованием CAS, также не может быть гарантированно точен на 100% [20]. Более того, упомянутые выше компьютерные методы позволяют проверять поведение или свойства данной функции только на заданных пользователем интервалах домена и, следовательно, не могут гарантировать исчерпывающую проверку на полном домене данной функции. Например, простая кубическая полиномиальная функция может вести себя как выпуклая или вогнутая функция в зависимости от указанной области. Вышеупомянутые недостатки традиционных методов могут привести к неточным результатам анализа, что, в свою очередь, может привести к невыносимым финансовым или человеческим потерям, особенно в случае приложений микроэкономики, важных для миссии или безопасности, таких как рынок электроэнергии. Чтобы преодолеть эти ограничения, мы предлагаем использовать доказательство теорем для формального анализа систем, опираясь на фундаментальные концепции микроэкономики.

Формальные методы — это компьютерные методы для формального определения, проверки и анализа аппаратных и программных систем [21]. Эти методы используют логику для выражения модели системы на компьютерном языке, чтобы формально проверять и подтверждать свойства системы на основе дедуктивных рассуждений. Использование математической логики в этом процессе приводит к обоснованности и строгости задания и проверки свойств данной модели системы.

Формальные методы в первую очередь можно отнести к методам проверки моделей и доказательства теорем. Проверка модели позволяет моделировать поведение системы как системы с переходом состояний, а свойства системы выражаются во временной логике [22]. Однако этот метод нельзя использовать для выражения непрерывных моделей из-за его природы, основанной на состояниях. Кроме того, он склонен к проблеме взрыва пространства состояний для чрезвычайно больших систем пространства состояний. Поэтому проверку модели нельзя использовать для проверки свойств функций стоимости и полезности из-за их непрерывного характера. С другой стороны, доказательство теорем использует логику для моделирования системы и ее свойств, а взаимосвязь проверяется либо автоматически, либо интерактивно на основе разрешимости лежащей в основе логики. Однако автоматическое доказательство теорем нельзя использовать для моделирования и проверки непрерывного поведения функций стоимости и полезности, так как эти детали не могут быть охвачены разрешимой пропозициональной или полуразрешимой логикой первого порядка, в то время как интерактивное доказательство теорем [23] сильно использует выразительная логика высшего порядка для моделирования, анализа и проверки данной системы и, следовательно, способна анализировать непрерывные аспекты, относящиеся к функциям, используемым в математическом поведенческом моделировании в микроэкономике. Поэтому мы предлагаем использовать интерактивное доказательство теорем для формализации поведенческого моделирования в микроэкономике.

Методы формальных методов получили широкое распространение для формального анализа и проверки в энергетическом секторе [24]. Марковские модели компонентов интеллектуальных сетей наряду с резервной защитой предложены для оценки надежности с помощью средства проверки моделей PRISM [25]. В [26] компоненты интеллектуальной сети формально определены с использованием формального языка спецификации Z. Формальная проверка приложений интеллектуальных сетей на основе распределенного интеллекта была проведена с использованием средства проверки модели Symbolic Model Verifier (SMV) [27]. При доказательстве теорем стратегия деградации формализуется как проблема выполнимости по модулю теорий (SMT) и анализируется с помощью Z3 SMT-решателя [28]. Сети Петри также использовались для формального анализа надежности [29].], снижение затрат [30], обнаружение отказов [31], производительность [32,33] и возможные нарушения безопасности [34] в интеллектуальных сетях. Насколько нам известно, концепции микроэкономики никогда не были формализованы с помощью доказательства теорем, которые необходимы для формального анализа экономики рынков электроэнергии.

В микроэкономических исследованиях дифференциальная и выпуклая теории являются центральными математическими концепциями, которые используются для моделирования поведения. Многие интерактивные средства доказательства теорем, такие как HOL-Light [35], HOL4 [36] и Isabelle [37], поддерживают дифференциальный анализ; однако, помимо многомерной дифференциальной теории, HOL-Light обеспечивает обширную поддержку выпуклого анализа. В дополнение к выпуклой теории средство доказательства теорем HOL-Light наделено корневым анализом для многочленов до четвертого порядка [38], что является главным требованием для проведения формального анализа условия первого порядка на основе полиномиального типа математических функций. Поэтому в этой статье мы используем средство доказательства теорем HOL-Light для формализации математического моделирования поведения и проверки свойств этих моделей.

Основной целью данной статьи является разработка логической основы для поведенческого моделирования в микроэкономике. Логическая структура позволяет формально определить и обосновать модели стоимости, полезности и условий первого порядка в рамках надежного ядра средства доказательства теорем HOL-Light. Формальный анализ этих моделей в логике высшего порядка приводит к заверенным и механизированным формальным доказательствам данных моделей. В качестве примера мы предлагаем формальное моделирование и анализ поведенческого моделирования на рынке электроэнергии на основе полиномиальных функций до четвертого порядка. Формально проверенные результаты для поведенческого моделирования рынка электроэнергии обеспечивают необходимые условия для функций для точного моделирования стоимости, полезности и условий первого порядка. Наконец, мы используем это поведенческое моделирование для формальной проверки применения моделей затрат, полезности и максимизации прибыли в задачах экономической диспетчеризации и динамического ценообразования на рынке электроэнергии.

Остальная часть статьи организована следующим образом: Раздел 2 описывает некоторые предварительные сведения, относящиеся к математическому моделированию в микроэкономике, средству доказательства теорем HOL-Light и соответствующей формализации, которые необходимы для понимания остальной части статьи. В Разделе 3 представлена ​​предлагаемая методология, и на ее основе в Разделе 4 представлена ​​формализация теста производной второго порядка для строгой выпуклости или вогнутости, стоимости, полезности и моделей условий первого порядка в средстве доказательства теорем логики более высокого порядка. В разделе 5 используется базовая логическая структура для формального определения и проверки математического моделирования поведения в программах DR для функций моделирования полиномиального типа. Наконец, Раздел 6 завершает статью.

2. Математическое моделирование в микроэкономике

Как правило, любая непрерывная, дифференцируемая, неубывающая, вогнутая или строго вогнутая функция может быть использована для моделирования функции полезности, т. е. удовлетворения или счастья потребителя от потребления товаров или услуг. Непрерывность и дифференцируемость гарантируют, что потребительские предпочтения в отношении потребления товаров и услуг никогда не исчезнут внезапно. Свойство неубывания гарантирует, что предпочтения потребителя рациональны, тогда как рациональность дополнительно накладывает такие условия, как полнота и транзитивность. Предположение о рациональности гарантирует, что потребитель всегда может предпочесть каждый товар или услугу и может ранжировать свои предпочтения товаров или услуг. С другой стороны, вогнутость или строгая вогнутость обусловлена ​​законом убывающей предельной полезности, который гласит, что каждая дополнительная единица потребления приводит к уменьшению удовлетворения или счастья для потребителя.

Точно так же непрерывная, дифференцируемая, возрастающая и выпуклая или строго выпуклая функция может использоваться для моделирования функции затрат, т. е. общих затрат, связанных с производством единицы товаров или услуг. Теория продукта моделирует производство товаров или услуг с использованием набора продуктов, который содержит все возможные возможные планы производственного процесса. Для моделирования данного производственного процесса предполагается, что набор продуктов удовлетворяет определенным свойствам, например, непустоте, выпуклости, неубывающей отдаче от масштаба и т. д. Эти допущения в основном касаются входных и выходных данных возможного производственного процесса. Следовательно, предположения о взаимосвязи между входами и выходами переводятся в вышеупомянутые математические свойства функции затрат. Например, свойства монотонности и выпуклости основаны на предположениях выпуклой технологии и обеспечивают неубывающую предельную отдачу при производстве товаров или услуг, тогда как непрерывность и дифференцируемость обеспечивают существование решения задачи минимизации затрат и также позволяют выражать понятия средних и предельных затрат с помощью функции общих затрат.

Микроэкономическое моделирование в основном основано на математических теориях непрерывности, дифференциации и выпуклости. В частности, тесты производных, включающие производные первого и второго порядка, имеют основополагающее значение для оценки монотонности и выпуклости или вогнутости данной функции [39]. Производная первого порядка любой данной функции используется для исследования возрастания или убывания данной функции, т. Е. Монотонности. Кроме того, производные функций первого порядка также используются для нахождения стационарных или критических точек, т. Е.

Уравнение (1) также известно как условие первого порядка и используется для анализа задачи максимизации прибыли в микроэкономике [1], тогда как производная второго порядка используется для проверки выпуклости или вогнутости, которые наиболее желаемые свойства функций, чтобы претендовать на моделирование стоимости и полезности. Для выпуклой функции критерий производной второго порядка неотрицательный, т. е.

Напротив, производная второго порядка для вогнутой функции отрицательна. Строго-выпуклые и вогнутые функции имеют положительные и отрицательные производные соответственно, но соответствующие обратные соотношения неверны. Производные критерии строгой выпуклости и вогнутости формально формулируются как импликации, т. е.

Таким образом, тесты производных играют жизненно важную роль в определении математических свойств моделирующих функций в микроэкономике.

3. Основополагающая формализация микроэкономических моделей

В этом разделе представлено краткое введение в средство доказательства теорем HOL-Light и его формализация реальных теорий анализа выпуклых и полиномиальных корней, чтобы облегчить понимание остальной части статьи.

3.1. HOL-Light теорема Prover

HOL-Light [35] является интерактивным средством доказательства теорем, которое позволяет его пользователям разрабатывать новые механизированные теории, доказательства и правила вывода с поддержкой многих автоматизированных инструментов и предварительно доказанных математических теорий, таких как арифметические , множества и реальных теорий. Он широко используется для некоторых важных приложений проверки в промышленных масштабах [40,41].

Вариант строго типизированного языка функционального программирования, т. е. Objective CAML (OCaml), используется для реализации логики высшего порядка в средстве доказательства теорем HOL-Light. HOL-Light обеспечивает безопасную и надежную платформу для формальной проверки и спецификации систем. Надежное доказательство теорем обеспечивается небольшим ядром, состоящим всего из 1500 строк, включая 10 примитивных правил вывода, таких как modus ponens и рефлексивность, тогда как достоверность устанавливается за счет сходимости всех механизированных доказательств к этим правилам вывода. HOL-Light поддерживает стратегии обратного и прямого доказательства. В стратегии обратного доказательства теорема формально проверяется с использованием правил вывода, тогда как в стратегии прямого доказательства данная теорема разбивается на подцели с использованием тактики HOL-Light. Тактика — это специальная функция машинного обучения, используемая для разделения основной цели на подцели.

Мы использовали средство доказательства теорем HOL-Light для предлагаемой работы, так как оно снабжено библиотекой теории выпуклых веществ и полиномиального корневого анализа для облегчения формализации математического моделирования программ DR. В таблице 1 представлены некоторые из часто используемых функций и символов HOL-Light в этом документе, чтобы облегчить понимание формализации и проверки.

3.2. Теория реального выпуклого анализа

Теория многомерного действительного анализа HOL-Light поддерживает выпуклый анализ для функций с действительным знаком. Эта теория в сочетании с многомерными дифференциальными и интегральными теориями обеспечивает поддержку выпуклого анализа вещественных функций. В частности, теория может быть использована для проведения теста производной второго порядка для определения выпуклости заданной функции, которая, в свою очередь, используется для формализации и проверки функции полезности в этой статье.

Вещественная выпуклая функция определяется в логике высшего порядка как:

В определении 1 real_convex_on — это функция логики высшего порядка, которая принимает вещественную функцию, f:real→real, определенную на интервале s:real→bool, тогда как s — теоретико-множественное определение вещественного интервала который представляет все подинтервалы, возможные для данного реального интервала. Функция выпукла, если для любых двух точек x и y в пределах действительного интервала s значение функции f ( u ∗ x + u ∗ y) лежит ниже отрезка, определяемого значениями функции в точках f(x) и ф(у). Переменные u и v с вещественным типом данных вместе обеспечивают все возможные линии для графика функции между f(x) и f(y).

Критерий производной второго порядка широко используется для аналитической проверки выпуклости или вогнутости заданной функции. Критерий второго порядка выпуклости функции, т. е. уравнение (2), был проверен в многомерной теории действительного анализа как:

, и его производные первого и второго порядка, соответственно, определенные на произвольном интервале s. Предположение A1 исключает все действительные подинтервалы данного интервала с единственным элементом, удовлетворяющим дифференцируемости данной функции с учетом открытых интервалов. Предположения A2 и A3 гарантируют, что производные первого и второго порядка данной функции существуют в заданном интервале s, тогда как has_vector_derivative — это определение действительной производной в HOL-Light в реляционной форме. Наконец, теорема заключает об эквивалентности выпуклости данной функции и ее положительной производной второго порядка, т. е. 0 ≤ f″.

В этой статье определение 1 и теорема 1 используются для формального моделирования и обоснования свойств выпуклости и вогнутости математических функций в микроэкономике.

3.3. Теория анализа корней

Мы уже разработали формальную поддержку рассуждений для формального анализа корней для многочленов до четвертого порядка [38]. Этот формальный анализ позволяет находить нули полиномиальных функций и, кроме того, дает исчерпывающий набор предположений для стабильных корней полиномов.

Корни многочлена второго порядка формально проверяются как:

В приведенной выше теореме переменные a, b и c представляют действительные коэффициенты, тогда как x является комплексной переменной. Успенская A1 гарантирует, что порядок полинома равен 2, так как его можно уменьшить, если старший коэффициент равен нулю. Заключение теоремы формально проверяет два корня квадратного многочлена, тогда как Cx является логической функцией высшего порядка, которая отображает действительное число в эквивалентное комплексное число.

Полиномы более высокого порядка формально проверяются путем разложения их на линейные и квадратичные множители и последующего использования приведенной выше теоремы о факторизованных полиномах для проверки их корней. Факторизация полинома кубической и четвертой степени проверяется как:

В приведенной выше теореме a, b1, c1 и r — действительные коэффициенты, соответствующие линейному и квадратичному множителям кубического многочлена. Предположения A1 – A3 связывают коэффициенты кубического многочлена с его факторизованными многочленами, тогда как x является комплексной переменной. Вывод формально проверяет факторизацию кубического многочлена для заданных коэффициентов.

В приведенной выше теореме a1, b1, c1, a2, b2 и c2 — действительные коэффициенты, соответствующие двум квадратичным множителям многочлена четвертой степени. На основе предположений A1 – A5 , Теорема 4 проверяет факторизацию данного многочлена четвертой степени.

Корни многочленов кубической и четвертой степени формально проверяются как: многочлены и их множители. Теорема дает формально проверенные результаты для трех корней кубического многочлена. Точно так же корни многочлена четвертого порядка формально проверяются как:

В этой статье теоремы 2–6 используются для формального анализа производных первого и второго порядка формальных моделей стоимости, полезности и условия первого порядка.

Определение 1 и теоремы 1–6 обеспечивают поддержку проверки свойств моделирования затрат и полезности в средстве доказательства теорем HOL-Light. Определение 1 позволяет формально проверить выпуклость или вогнутость заданной функции, тогда как теоремы 1–6 облегчают проведение формальных алгебраических манипуляций при проверке максимумов, минимумов или точек перегиба данной функции с помощью критериев производных, т. е. уравнений (1)–( 3), в доказательстве теорем логики высшего порядка. Однако структура не поддерживает формальный анализ строгой выпуклости или вогнутости, представленный в разделе 5.

4. Предлагаемая методология

В этом разделе мы представляем основные этапы предлагаемой методологии, показанной на рисунке 1, для проведения формального моделирования и анализа затрат, функций полезности для потребителей или фирм и условия первого порядка для прибыли. проблемы максимизации.

• В качестве первого шага мы формально моделируем реальную строгую выпуклую или вогнутую функцию в логике высшего порядка. Затем мы формально проводим тест производной второго порядка, чтобы формально определить строгую выпуклость или вогнутость действительной функции. Результаты формально проверены с использованием формальной модели строго выпуклой функции, дифференциальной, выпуклой и вещественной теории анализа HOL-Light.

• На втором этапе вышеупомянутая формализация используется для формального моделирования функций стоимости и полезности в логике высшего порядка. Мы также формально моделируем условие первого порядка для задач максимизации прибыли, используя дифференциальную теорию HOL-Light. Эти формализации позволяют нам формально рассуждать и проверять свойства заданных функций в рамках звукового ядра средства доказательства теорем HOL-Light.

• Наконец, мы используем формализацию из шагов 1 и 2, чтобы формально проверить моделирование стоимости, полезности и условий первого порядка на основе полиномиальных функций. Мы используем формализацию для формальной проверки поведенческого моделирования, используемого на рынке электроэнергии, для решения экономических задач диспетчеризации электроэнергии и DR.

5. Формализация концепций микроэкономики

В этом разделе мы представляем логическую формализацию теста производной второго порядка на строгую выпуклость или вогнутость вещественной функции. Эти формально проверенные результаты в дальнейшем используются для формального моделирования функций затрат и полезности в микроэкономике. Мы также представляем формальное моделирование условия первого порядка в средстве доказательства теорем HOL-Light.

Формализация строгой выпуклости и вогнутости

Мы формально определяем реальную строгую выпуклую функцию в HOL-Light как:

В приведенном выше определении f:real→real представляет вещественную функцию, а s:real→bool представляет действительный интервал. Приведенное выше определение отличается от определения 1 строгим неравенством.

Основываясь на определении 2, мы формально проверяем скалярное умножение и сложение двух строго выпуклых функций в HOL-Light, как: заданная функция строго выпукла. В этих условиях умножение не влияет на строгую выпуклость данной функции.

Аналогичным образом мы формально проверяем, что сложение двух строгих выпуклых функций приводит к реальному строго выпуклому поведению, как:

Теперь мы формально проверяем критерий производной второго порядка для реальных строгих функций, т. е. уравнение (3a) , в HOL-Light, как:

Вышеупомянутая теорема проверяется с использованием теоремы о среднем значении вместе с определением строгой выпуклости. Предположения A2–A3 гарантируют, что функция дважды дифференцируема на заданном интервале, а предположение A4 обеспечивает строго выпуклость функции. Заключение теоремы формально подтверждает, что вторая производная функции положительна.

Мы используем формализацию строгой выпуклости, чтобы формально проверить строгую вогнутость любой заданной функции. Это возможно благодаря математической связи между двумя понятиями, т. е. отрицание строго выпуклой функции строго вогнуто. Критерий производной второго порядка для строгой вогнутости, т. е. уравнение (3b), проверяется в HOL-Light, как:

Теорема 8 формально проверяется с помощью определения строгой выпуклости и производной второго порядка в HOL-Light. В предположении A4 мы используем математическую связь между строго выпуклой и строго вогнутой функциями, т. е. отрицание строгой выпуклой функции является строго вогнутой функцией. Выводом является формально проверенный результат для производной второго порядка заданной строго вогнутой функции, т. е. производная второго порядка строго вогнутой функции отрицательна. Мы использовали аналогичный подход для проверки вариантов лемм 1 и 2 для строго вогнутых функций в нашей формализации.

Теперь мы формально моделируем математические свойства, т. е. непрерывность, дифференцируемость, монотонность и выпуклость или вогнутость, функций стоимости и полезности в HOL-Light. Функция стоимости моделируется в логике высшего порядка как:

Аналогично, функция полезности моделируется как:

Наконец, мы формально моделируем условие первого порядка, описываемое уравнением (1), в HOL-Light, как:

В определении 7 first_order_cond — это функция логики высшего порядка, которая принимает вещественную функцию f и переменную x, тогда как real_derivative — это логическая функция высшего порядка, представляющая математическую производную данной вещественной функции.

Формализация в этом разделе обеспечивает необходимую логическую основу для формальной проверки моделей стоимости, полезности и условий первого порядка в рамках надежного ядра средства доказательства теорем HOL-Light.

6. Практический пример: формальное моделирование поведения на основе полиномиальных функций

Полиномиальные функции обычно используются в микроэкономических моделях [1,5,42]. Мы проводим формальный анализ моделирования затрат и полезности на основе полиномиального типа функций до четвертого порядка. Кроме того, мы формально проверяем условие первого порядка для функций прибыли, которые основаны на полиномиальном типе функций полезности затрат.

6.1. Полиномиальный тип функций стоимости

Мы формально проверяем квадратичную функцию стоимости как: -сингулярный интервал. Допущение A4 гарантирует, что данная функция удовлетворяет необходимым условиям для моделирования полезности с использованием определения 4. Допущение A5 гарантирует, что функция определена на заданном интервале, тогда как предположение A6–A7 представляют собой условия на область определения данной функции, −b2a < x, и на старший коэффициент, 0 < a, для формальной проверки возрастающих производных первого и второго порядка квадратичной функции в заключении.

Затем мы формально проверяем моделирование кубической функции стоимости в средстве доказательства теорем HOL-Light следующим образом:

формально проверить свойства возрастающих производных первого и второго порядка в заключении.

В приведенной выше теореме предположения A6–A9 обеспечивают взаимосвязь между коэффициентами данного полинома четвертой степени и коэффициентами его квадратичного множителя. Предположения A10–11 налагают условия на область определения x данного полинома в терминах коэффициентов линейного и квадратичного множителей данной функции стоимости четвертой степени, чтобы формально проверить возрастающие производные первого и второго порядка в заключении теоремы.

Теоремы 9–11 являются формально проверенными результатами для квадратичной, кубической и четвертой функций стоимости, в основном, на основе определения 4, леммы 1, леммы 2 и теоремы 7, тогда как теоремы 2–6 используются для формального задания области определения заданных многочленов , в котором удовлетворяются желаемые свойства стоимостных моделей.

6.2. Функция полезности

Мы формально проверяем функции полезности, смоделированные с помощью полиномиальных функций до четвертого порядка в логике высшего порядка, как:

В приведенной выше теореме, предположение A5 моделирует необходимые условия для полезного моделирования с помощью определения 5. Допущение A6 гарантирует, что область определения заданного квадратичного многочлена, т. е. переменной x, больше, чем −b2a, чтобы удовлетворить возрастающему свойству полезного моделирования. Допущение A6 гарантирует, что старший коэффициент будет отрицательным, что, в свою очередь, подтверждает вогнутость данного квадратного многочлена. Эти предположения обеспечивают формальную проверку возрастающей производной первого порядка и убывающей производной второго порядка в заключении теоремы.

Допущения A6 и A7 накладывают условия на действительную переменную x, которая является областью определения кубической функции полезности для положительной производной первого порядка и отрицательной производной второго порядка.

Далее мы формально проверяем функцию полезности четвертой степени в логике высшего порядка следующим образом: Эти условия формально определяют факторизацию многочлена четвертой степени на основе теоремы 3. Предположения 9.1694 A10 и A11 предоставляют допустимые диапазоны области определения x заданной функции для формальной проверки положительной производной первого порядка и отрицательной производной второго порядка в заключении приведенной выше теоремы.

Теоремы 12–14 формально проверяются с помощью теоремы 1 и определения 5. Теорема 1 используется для проверки вогнутости полиномиальных функций полезности, тогда как теоремы факторизации, т. е. теоремы 2–6, используются для формального задания условий на область полиномиального типа функций полезности.

6.3. Условие первого порядка

Наконец, мы представляем формально проверенные результаты для реальных стационарных или критических точек для функций прибыли, построенных с использованием полиномиальных функций. Мы используем определение 7 для моделирования условия первого порядка для функции прибыли, где f(x)=R(x)−C(x) используется для моделирования реальной функции. Мы используем линейную функцию дохода, т. е. R(x) = r ∗ x, в которой r — тариф на электроэнергию за количество потребленной электроэнергии, т. е. x. Для моделирования функции стоимости C(x) мы последовательно рассматриваем квадратичные, кубические и полиномиальные модели четвертого порядка.

В этом отношении функция прибыли, основанная на квадратичной функции затрат или полезности, проверяется как:

В приведенной выше теореме предположение A1 гарантирует, что старший коэффициент квадратичного типа функции затрат или полезности не равен нулю. Это предположение позволяет избежать возможности случая пониженного порядка полинома. Допущение A2 определяет критическую точку данной функции прибыли в терминах тарифа на электроэнергию r и коэффициентов данной квадратичной функции затрат.

Теорема 15 формально проверяется путем взятия производной функции прибыли. Это позволяет формально проверить приведенную выше теорему, используя предположение A2 , которое является критической точкой данной функции.

Точно так же функция прибыли, основанная на кубическом типе затрат или функции полезности, формально проверяется как: критические или стационарные точки.

Наконец, мы формально проверяем условие первого порядка для функции прибыли, когда функция затрат или полезности является полиномом четвертой степени, в логике высшего порядка, как: полинома четвертой степени к соответствующему полиному третьего порядка. Допущения A2–A6 представляют отношения между коэффициентами кубической упорядоченной функции прибыли и ее коэффициентами, т. е. линейными и квадратичными. Успенская A7 дает связь между переменной x и коэффициентами для реальных стационарных точек функции прибыли.

Предложенная фундаментальная формализация производных тестов позволила нам формально определить и проверить основанное на микроэкономике поведенческое моделирование объектов интеллектуальной сети в программах аварийного восстановления. Теоремы 9–17 представляют собой универсальные количественные результаты, которые, в отличие от традиционных методов, также содержат точный и исчерпывающий набор допущений для моделирования поведения заданных объектов. Эти результаты дают очень полезную информацию о поведении моделирующей функции по отношению к ее области для удовлетворения желаемых математических свойств. Например, предположения в теоремах 9–14 дают явные условия на область определения обычно используемого полиномиального типа функций стоимости и полезности в программах DR [42,43,44,45,46,47]. Точно так же предположения теорем 15–17 дают априорную информацию о влиянии значений коэффициентов данной функции прибыли на максимально возможную прибыль. В случае реальной функции прибыли предположения теоремы 15–17 облегчают выбор значений коэффициентов функции прибыли для реального максимума данной функции прибыли.

Предлагаемая формализация является общей и может быть легко использована для формальной проверки и спецификации любой микроэкономической модели, основанной на различных математических функциях, таких как экспоненциальная и логарифмическая. Основные проблемы, с которыми столкнулись при предложенной формализации, заключались в том, чтобы предоставить формально проверенные теоремы, связанные со строгой выпуклостью или вогнутостью, и связанные с ними свойства таких функций, чтобы сделать возможным формализацию концепций микроэкономики. Помимо разработки фундаментальной логической основы, формальная проверка тематического исследования потребовала значительных усилий из-за строгих формальных рассуждений, необходимых для выполнения задачи с использованием доказательства теорем. Соответствующий тестовый сценарий, доступный для загрузки по адресу [48], состоит из 2000 строк кода HOL-Light и требует около 250 человеко-часов разработки.

7. Приложения рынка электроэнергии

В этом разделе мы формально верифицируем квадратичные модели стоимости [49] и полезности [44], которые использовались в программах оптимального потока мощности [50] и DR [44] в электроэнергетике. рынок. В оптимальном потоке мощности полиномиальные функции используются для нахождения экономической диспетчеризации, которая обеспечивает снижение стоимости производства электроэнергии, тогда как программы DR используются для изменения поведения спроса потребителей для обеспечения безопасной и надежной работы интеллектуальной сети. В связи с этим используются стимулирующие и основанные на времени программы для изменения режима использования электроэнергии в интеллектуальных сетях.

7.1. Квадратичная полиномиальная функция стоимости для тепловых электростанций

Мы формально проверяем квадратичную полиномиальную функцию стоимости для тепловых электростанций, используя результаты раздела 6. Метауристический алгоритм в [49], называемый алгоритмом ABC, был использован для оценки коэффициентов квадратичный тип функции стоимости для задачи экономической диспетчеризации, который используется в экономике эксплуатации для снижения себестоимости производства электроэнергии. В задаче экономической диспетчеризации распределенные генераторы используются для производства электроэнергии, чтобы снизить общие эксплуатационные расходы и проблемы регулирования на рынке электроэнергии. Математическая форма функции стоимости четвертой степени:

где FCj, PGj, aoj, a1j, a2j и rj представляют функцию затрат на производство электроэнергии, количество выработанной мощности, коэффициенты и погрешность, связанные с j-м генератором. Уравнение (4) используется для оценки параметров трех различных тепловых электростанций с такими видами топлива, как уголь, нефть и газ [49]. Каждая электростанция состоит из пяти энергоблоков мощностью 10, 20, 30, 40 и 50 МВт. Оценка выполняется на фактических данных [51] и представлена ​​в таблице 2.

Мы формально проверяем математические свойства функции стоимости в HOL-Light как:

В приведенной выше теореме квадратичная функция стоимости для угольных, нефтяных и газовых электростанций формально проверяется с помощью теоремы 9. Благодаря нашей базовой формализации доказательство теоремы 18 потребовало всего несколько строк кода HOL-Light. Формально проверенные результаты гарантируют, что все математические свойства в определении 4 для моделирования функции стоимости удовлетворяются оцененными квадратичными полиномиальными функциями стоимости.

7.2. Функция Quadratic Utility для интеллектуальных сетей

Мы формально проверяем квадратичную функцию полезности, используя нашу формализацию, предложенную в разделе 6, которая используется в [44] для нахождения оптимальных уровней энергопотребления для пользователей интеллектуальной сети. Алгоритм, предложенный в [44], опирается на ценообразование в режиме реального времени для управления ДР, используя микроэкономическую концепцию максимизации полезности. Алгоритм рассматривает среду интеллектуальной сети, которая оснащена интеллектуальными счетчиками и сетью связи для взаимодействия между поставщиком энергии и конечными пользователями в сети интеллектуальной сети. Квадратичная функция полезности определяется как [44]:

Функция U(ω,x) представляет собой функцию полезности для разных пользователей в интеллектуальной энергосистеме, где ω варьируется среди пользователей электроэнергии в сети, чтобы различать пользователей, таких как промышленные или бытовые, а α является предварительно определенным параметром. Полезность для конкретного потребителя есть функция его потребления электроэнергии, т. е. х.

Кроме того, функция полезности также используется для расчета целевой функции благосостояния W(ω,x) отдельного потребителя, как:

где P – цена x(МВт) количества электроэнергии, потребляемой пользователем. Целевая функция благосостояния максимизируется с использованием условия первого порядка,

Мы формально проверяем поведение квадратичной функции полезности, т. е. уравнения (5), и задачи максимизации полезности, т. е. уравнения (6), для ω=4 и α=0,5 для одного потребителя в (0,ωα) интервал, как:

Вышеупомянутая теорема формально проверяется с помощью теоремы 12. Допущение A1 гарантирует, что спрос на электроэнергию отдельного потребителя находится в пределах допустимых уровней потребления. Кроме того, предположения теоремы 12 также проверяются для проверки заданной функции полезности.

Аналогично, условие первого порядка для цели благосостояния формально проверяется как:

Приведенная выше теорема формально проверяется с помощью теоремы 15. цена электроэнергии, P и максимальный уровень потребления электроэнергии. Опять же, для доказательства теорем 19 и 20 потребовалось всего несколько строк кода HOL-Light, что иллюстрирует полезность и практическую эффективность предложенной формализации фундаментальных теорий. Теорема 19гарантирует, что функция полезности удовлетворяет математическим свойствам определения 6, тогда как теорема 20 дает явные условия максимизации функции благосостояния.

8. Выводы

В этой статье мы представили формальную методологию для проведения формального поведенческого моделирования и анализа концепций микроэкономики. Тесты производных являются основными математическими методами для определения и проверки желаемых свойств, таких как монотонность и выпуклость, функций моделирования в микроэкономике. Для формального моделирования концепций микроэкономики мы формально проверили тесты производных второго порядка на строгую выпуклость или вогнутость и, основываясь на этих результатах, предоставили формальные модели функций затрат и полезности. Кроме того, мы также разработали формальное моделирование условия первого порядка, основанное на производной первого порядка, для формального анализа функций прибыли для задач максимизации прибыли. В качестве примера формализация используется для формального моделирования поведения и анализа моделирования затрат и полезности на основе полиномиальной функции. Наконец, квадратичные функции стоимости и полезности для задачи экономической диспетчеризации и программы DR формально проверяются с использованием предложенной формализации. Отличительными чертами предлагаемой аналитической работы являются ее точные результаты благодаря привлечению надежного доказательства теорем и наличие исчерпывающего набора допущений, необходимых для достоверности результатов.

Предлагаемая формализация может быть легко использована для формального определения и проверки микроэкономических моделей, таких как экспоненциальные и логарифмические функции, для любого базового рыночного агента. Кроме того, формализация основана на признаках производных второго порядка, которые широко используются в выпуклой теории. Таким образом, формализация полезна и для широкого круга приложений выпуклой теории [52,53]. Представленная формализация поддерживает реальный анализ только с одной переменной и, таким образом, может быть расширена до многомерного анализа, который поддерживается средством доказательства теорем HOL-Light. Кроме того, объединение традиционных инструментов анализа, таких как Maxima [17], с средством доказательства теорем, таким как HOL-Light, также является интересным направлением для облегчения формальным неспециалистам проводить высоконадежный и точный микроэкономический анализ экономических рынков, используя предложенная формализация.

Авторские вклады

Концептуализация, F.A. и N.B.; Формальный анализ, А.А. и О.Х.; Методология, А.А. и О.Х.; Письмо — первоначальный вариант, АА; Написание — обзор и редактирование, А.А., О.Х., Ф.А. и Н.Б. Все авторы прочитали и согласны с опубликованной версией рукописи.

Финансирование

Эта работа поддерживается Фондом ИКТ ОАЭ, фонд № 21N206 в Университете ОАЭ, Аль-Айн, Объединенные Арабские Эмираты.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Ссылки

1. Мас-Коллелл, А.; Уинстон, доктор медицины; Грин, Дж. Р. Микроэкономическая теория; Издательство Оксфордского университета: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1995; Том 1. [Google Scholar]
2. Уилкинсон, Н.; Клаес, М. Введение в поведенческую экономику, третье издание; Macmillan International Higher Education: London, UK, 2017. [Google Scholar]
3. Coleman, JS; Фараро, Т. Дж. теория рационального выбора; Sage: New York, NY, USA, 1992. [Google Scholar]
4. Levin, J.; Милгром, П. Введение в теорию выбора. 2004, Volume 20202. Доступно в Интернете: https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20202/Choice%20Theory.pdf (по состоянию на 18 января 2020 г.).
5. Хендерсон, Дж. М.; Квандт, Р.Э. Микроэкономическая теория: математический подход; McGraw-Hill: New York, NY, USA, 1971. [Google Scholar]
6. Gan, D.; Фэн, Д .; Се, Дж. Рынки электроэнергии и экономика энергосистемы; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2013. [Google Scholar]
7. Hasanpor Divshali, P.; Чой, Б. Дж. Управление рынком электроэнергии с учетом ограничений энергосистемы в интеллектуальных распределительных сетях. Энергии 2016 , 9, 405. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
8. Нафи, Н.С.; Ахмед, К.; Грегори, Массачусетс; Датта, М. Обзор архитектур интеллектуальных сетей, приложений, преимуществ и стандартизации. Дж. Нетв. вычисл. заявл. 2016 , 76, 23–36. [Google Scholar] [CrossRef]
9. Сринивасан, С. Властные отношения: ценообразование на основе предельных затрат на электроэнергию и социальная устойчивость проектов по возобновляемым источникам энергии. Технол. Экон. Умные сети поддерживают. Energy 2019 , 4, 13. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
10. Арефин С.С.; Дас, Н. Оптимизированная гибридная ветро-дизельная энергетическая система с анализом осуществимости. Технол. Экон. Умные сети поддерживают. Энергия 2017 , 2, 9. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
11. Сиддики А.Н.; Томас, М.С. Технико-экономическая оценка услуги регулирования от СЭМ в системе интеллектуальных МГ. Технол. Экон. Умные сети поддерживают. Energy 2016 , 1, 15. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
12. Strielkowski, W. Социально-экономические последствия для интеллектуальных сетей будущего. Экон. соц. 2017 , 10, 310. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
13. Кеттер, В.; Коллинз, Дж.; Блок, Калифорния Экономика умных сетей: руководство по политике посредством конкурентного моделирования; Erasmus Research Institute of Management (ERIM): Роттердам, Нидерланды, 2010 г. [Google Scholar]
14. Моретти, М.; Джомо, С.Н.; Азади, Х .; Мэй, К .; Де Вос, К.; Ван Пассел, С.; Виттерс, Н. Систематический обзор воздействия интеллектуальных сетей на окружающую среду и экономику. Продлить. Поддерживать. Energy Rev. 2017 , 68, 888–898. [Google Scholar] [CrossRef]
15. Грир, М. Расчеты моделирования стоимости электроэнергии; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 2010. [Google Scholar]
16. Deng, R.; Ян, З .; Чоу, М.Ю.; Чен, Дж. Обзор реагирования на спрос в интеллектуальных сетях: математические модели и подходы. IEEE транс. Инд.информ. 2015 , 11, 570–582. [Google Scholar] [CrossRef]
17. «> Максима. 2019. Доступно в Интернете: http://maxima.sourceforge.net/l (по состоянию на 15 декабря 2019 г.).
18. Вольфрам Математика. 2019. Доступно в Интернете: https://www.wolfram.com/mathematica/analysis/content/ComputerAlgebraSystems.html (по состоянию на 15 декабря 2019 г.).
19. Wetzstein, ME Микроэкономическая теория, второе издание: концепции и связи; Routledge: New York, NY, USA, 2013. [Google Scholar]
20. Stoutemyer, D.R. Преступления и проступки в сфере компьютерной алгебры. Нет. Являюсь. Мат. соц. 1991 , 38, 778–785. [Google Scholar]
21. Вудкок, Дж.; Ларсен, П.Г.; Бикарреги, Дж.; Фицджеральд, Дж. Формальные методы: практика и опыт. АКМ вычисл. Surv. (CSUR) 2009 , 41, 19. [Google Scholar] [CrossRef]
22. Clarke, E.M.; Грумберг, О .; Лонг, Д.Э. Проверка модели и абстракция. АКМ Транс. Программа. Ланг. Сист. (ТОПЛАС) 1994 , 16, 1512–1542. [Google Scholar] [CrossRef]
23. Харрисон, Дж.; Урбан, Дж.; Видийк, Ф. История интерактивного доказательства теорем. В вычислительной логике; Северная Голландия: Оксфорд, Великобритания, 2014 г.; Том 9, стр. 135–214. [Google Scholar]
24. Хакенберг, Г.; Ирлбек, М .; Куцумпас, В .; Бычков, Д. Применение формальных методов разработки программного обеспечения к интеллектуальным сетям. В материалах Первого международного семинара по проблемам разработки программного обеспечения для интеллектуальных сетей, Цюрих, Швейцария, 3 июня 2012 г .; стр. 50–56. [Google Scholar]
25. Махмуд, А.; Хасан, О .; Гиллани, HR; Салим, Ю.; Хасан, С.Р. Формальный анализ надежности систем защиты в интеллектуальных сетях. В материалах симпозиума IEEE Region 10 (TENSYMP) 2016 г., Бали, Индонезия, 9–11 мая 2016 г.; стр. 198–202. [Google Scholar]
26. Акрам В.; Ниази, М.А. Формальная структура спецификации для компонентов интеллектуальной сети. Комплекс Адапт. Сист. Модель. 2018 , 6, 5. [Google Scholar] [CrossRef]
27. Патил С.; Жабелова, Г.; Вяткин, В .; Макмиллин, Б. На пути к формальной проверке распределенного интеллекта интеллектуальной сети: случай Freedm. В материалах IECON 2015—41st Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, Иокогама, Япония, 9–12 ноября 2015 г.; стр. 003974–003979. [Google Scholar]
28. Гупта П.К.; Шетц, Б. Грациозная деградация на основе ограничений в интеллектуальных сетях. В материалах 2-го Международного семинара по разработке программного обеспечения для интеллектуальных киберфизических систем, Остин, Техас, США, 16 мая 2016 г .; стр. 8–14. [Google Scholar]
29. Вахеби М.; Я позвонил.; Садегзаде, М .; Атани, Р.Э. Моделирование и анализ надежности в сети с использованием сетей Петри. Междунар. Дж. Вычисл. заявл. Технол. Рез. 2013 , 2, 726–730. [Академия Google] [CrossRef]
30. «> Мхадби, З.; Заири, С .; Геген, К.; Зуари, Б. Проверка подхода к распределенному управлению энергопотреблением для интеллектуальной сети на основе общей модели цветных сетей Петри. J. Технология чистой энергии. 2018 , 6, 20–25. [Google Scholar] [CrossRef]
31. Кальдераро, В.; Hadjicostis, CN; Пикколо, А .; Сиано, П. Идентификация сбоев в интеллектуальных сетях на основе моделирования сетей Петри. IEEE транс. Инд. Электрон. 2011 , 58, 4613–4623. [Google Scholar] [CrossRef]
32. Zeineb, M.; Садже, З .; Белхассен, З. Общий подход к моделированию цветных сетей Петри для анализа производительности системы интеллектуальных сетей. В материалах 7-го Международного конгресса по возобновляемым источникам энергии (IREC) 2016 г., Хаммамет, Тунис, 22–24 марта 2016 г.; стр. 1–6. [Академия Google]
33. Дей, А.; Чаки, Н .; Саньял, С. Моделирование интеллектуальной сети с использованием обобщенной стохастической сети Петри. arXiv 2011 , arXiv:1108.4139. [Google Scholar]
34. Чен, Т. М.; Санчес-Аарнутсе, Дж. К.; Буфорд, Дж. Петри, сетевое моделирование киберфизических атак на интеллектуальные сети. IEEE транс. Smart Grid 2011 , 2, 741–749. [Google Scholar] [CrossRef][Зеленая версия]
35. HOL-Light Доказательство теорем. 2019. Доступно в Интернете: https://www.cl.cam.ac.uk/~jrh23/hol-light/ (по состоянию на 15 декабря 2019 г.).).
36. HOL Доказательство теорем. 2019. Доступно в Интернете: https://hol-theorem-prover.org/ (по состоянию на 15 декабря 2019 г.).
37. Isabelle/HOL Доказательство теорем. 2019. Доступно в Интернете: https://isabelle.in.tum.de/ (по состоянию на 15 декабря 2019 г.).
38. Ахмед А.; Хасан, О .; Аввад, Ф. Формальный анализ устойчивости систем управления. На международном семинаре по формальным методам для систем, критически важных с точки зрения безопасности; Springer: Гейдельберг, Германия, 2018 г. ; стр. 3–17. [Google Scholar]
39. Zill, D.; Райт, WS; Каллен, М. Р. Передовая инженерная математика; Jones & Bartlett Learning: Burlington, VT, USA, 2011. [Google Scholar]
40. Хейлз, Т.; Адамс, М.; Бауэр, Г.; Данг, Т.Д.; Харрисон, Дж.; Ле Труонг, Х .; Калишик, К.; Магрон, В.; Маклафлин, С.; Нгуен, Т.Т.; и другие. Формальное доказательство гипотезы Кеплера; Форум математики, Пи; Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания, 2017 г.; Том 5. [Google Scholar]
41. Харрисон, Дж. Верификация с плавающей запятой в HOL light: экспоненциальная функция. В материалах Международной конференции по алгебраической методологии и программным технологиям, Сидней, Новый Южный Уэльс, Австралия, 13–17 декабря 1997; Springer: Берлин/Гейдельберг, Германия, 1997 г.; стр. 246–260. [Google Scholar]
42. Дебертин Д.Л. Прикладная микроэкономика: потребление, производство и рынки; Независимая издательская платформа CreateSpace: Скоттс-Вэлли, Калифорния, США, 2012 г. [Google Scholar]
43. Bessembinder, H.; Леммон, М.Л. Равновесное ценообразование и оптимальное хеджирование на форвардных рынках электроэнергии. Дж. Финанс. 2002 , 57, 1347–1382. [Google Scholar] [CrossRef]
44. Самади П.; Мохсениан-Рад, А.Х.; Шобер, Р.; Вонг, В.В.; Яцкевич, Дж. Алгоритм оптимального ценообразования в реальном времени, основанный на максимизации полезности для интеллектуальной сети. В материалах Первой международной конференции IEEE 2010 г. по интеллектуальным сетям связи, Гейтерсбург, Мэриленд, США, 4–6 октября 2010 г .; стр. 415–420. [Академия Google]
45. Ван, К.; Лю, Х .; Ду, Дж.; Конг Ф. Умная зарядка для электромобилей: обзор с точки зрения алгоритмов. Сообщество IEEE. Surv. Репетитор. 2016 , 18, 15:00–15:17. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
46. Волак, Ф.А. Идентификация и оценка функций затрат с использованием данных наблюдаемых ставок: приложение к рынкам электроэнергии; Национальное бюро экономических исследований: Кембридж, Массачусетс, США, 2001. [Google Scholar]
47. Fahrioglu, M.; Альварадо, Ф.Л. Использование служебной информации для калибровки моделей поведения управления спросом клиентов. IEEE транс. Система питания 2001 , 16, 317–322. [Google Scholar] [CrossRef][Green Version]
48. Ахмед, А. Формальное поведенческое моделирование в моделях микроэкономики. Доступно в Интернете: http://save.seecs.nust.edu.pk/projects/fcumm/ (по состоянию на 16 декабря 2019 г.).
49. Sönmez, Y. Оценка параметров кривой стоимости топлива для тепловых электростанций с использованием алгоритма ABC. Турок. Дж. Электр. англ. вычисл. науч. 2013 , 21, 1827–1841 гг. [Google Scholar] [CrossRef]
50. Цю, З.; Деконинк, Г.; Белманс, Р. Обзор литературы по проблемам оптимального потока мощности в контексте рынка электроэнергии. В материалах 2009 г.Конференция и выставка IEEE/PES Power Systems, Сиэтл, Вашингтон, США, 15–18 марта 2009 г.; стр. 1–6. [Google Scholar]
51. Эль-Хавари, М.; Мансур, С. Оценка эффективности алгоритмов оценки параметров для экономичной эксплуатации энергосистем. IEEE транс. Энергетический аппар. Сист. 1982 , 574–582. [Google Scholar] [CrossRef]
52. Лю, X.; Лу, П.; Пан, Б. Обзор выпуклой оптимизации для аэрокосмических приложений. Астродинамика 2017 , 1, 23–40. [Академия Google] [CrossRef]
53. Никулеску, К.; Перссон, Л.Э. Выпуклые функции и их приложения; Springer: Heidelberg, Germany, 2006. [Google Scholar]

Рис. 1. Предлагаемая методология для микроэкономических моделей в HOL-Light.

Рис. 1. Предлагаемая методология для микроэкономических моделей в HOL-Light.

Таблица 1. Символы и функции HOL-Light.

Таблица 1. Символы и функции HOL-Light.

HOL Symbol	Standard Symbol	Meaning
∧	and	Logical and
∨	or	Logical or
¬	not	Logical negation
∀	для всех	Квантификатор всеобщности
∃	существует0233	λx. t	Function that maps x to t(x)
real	All Real numbers	Real data type
xpown	xn	Power with integer exponent

Таблица 2. Расчетные коэффициенты кубической функции стоимости с использованием алгоритма ABC.

Таблица 2. Расчетные коэффициенты кубической функции стоимости с использованием алгоритма ABC.

Coefficients	a0	a1	a2
Estimated values ​​(coal)	0. 0414	7.5874	96.6046
Estimated values ​​(oil)	0.0442	7.8779	101.5360
Расчетные значения (газ)	0,0439	8,0991	101,8179

Модуль 2: Полезность — средний уровень микроэкономики

Перейти к содержимому

Джоэл Брюно и Клинтон Махони

• Описать функцию полезности
• Идентифицируйте функции полезности на основе типичных предпочтений, которые они представляют
• Объясните, как вывести кривую безразличия из функции полезности
• Получение предельной полезности и MRS для типичных функций полезности

P Политика Q UESTION : Hybrid Покупка автомобиля Налоговый кредит — это правительственный Лучший выбор , чтобы сократить потребление топлива и выбросы углерода ?

Жители США и правительство обеспокоены зависимостью от импортируемой иностранной нефти и выбросами углерода в атмосферу. В 2005 году Конгресс принял закон о предоставлении потребителям налоговых льгот на покупку электрических и гибридных автомобилей.

Этот налоговый кредит может показаться хорошим политическим выбором, но он дорогостоящий, поскольку напрямую снижает сумму доходов, собираемых правительством США. Существуют ли более эффективные подходы к снижению зависимости от ископаемого топлива и выбросов углерода? Как решить, какая политика лучше? Чтобы ответить на этот вопрос, политикам необходимо с некоторой точностью предсказать, как потребители отреагируют на эту налоговую политику, прежде чем эти политики потратят миллионы федеральных долларов.

Мы можем применить концепцию утилита на этот вопрос политики. В этом модуле мы будем изучать полезность и функции полезности. Тогда мы сможем использовать соответствующую функцию полезности для получения кривых безразличия, описывающих наш политический вопрос.

Изучение вопроса политики

Предположим, что налоговая льгота для субсидирования покупки гибридных автомобилей чрезвычайно успешна и удваивает средний расход топлива всех автомобилей на дорогах США — результат, который явно нереалистичен, но полезен для наших последующих обсуждений. Как вы думаете, что произойдет с расходом топлива всех автомобилистов США? Следует ли правительству ожидать, что потребление топлива и выбросы углекислого газа от автомобилей снизятся вдвое в ответ? Почему или почему нет?

2. 1 U tility Функции

LO 2.1: Опишите вспомогательную функцию.

2.2 Вспомогательные функции и типичные предпочтения

LO 2.2: Идентифицируйте служебные функции на основе типичных предпочтений, которые они представляют.

2 .3 Относящиеся U Тилии F соединения и I

80008