Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии
Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии
План урока
- Геометрическая прогрессия;
- Формула n-го члена геометрической прогрессии;
- Свойства геометрической прогрессии.
Цели урока
- Знать определение геометрической прогрессии, что такое знаменатель геометрической прогрессии;
- Уметь находить знаменатель геометрической прогрессии;
- Знать, как найти n-й член геометрической прогрессии;
- Уметь находить n-й член геометрической прогрессии;
- Уметь пользоваться свойствами геометрической прогрессии.
Разминка
- Что такое арифметическая прогрессия?
- Какое число пропущено в арифметической прогрессии -14; x; 4; 13; ….
- Какой закономерностью связаны между собой члены этой последовательности 4; 12; 36; 108; 324; … ?
Геометрическая прогрессия
Ещё одной из самых распространенных в жизни и в математике последовательностей является геометрическая прогрессия. Её можно встретить в физике, экономике, биологии. Например, по закону геометрической прогрессии распадаются радиоактивные элементы (их число уменьшается вдвое за некоторый промежуток времени). Деление бактерий часто происходит по этому закону (например, каждую секунду одна бактерия делится на три). Эти процессы имеют общую закономерность — количество чего-либо увеличивается или уменьшается в одинаковое количество раз. Дадим определение геометрической прогрессии.
Геометрической прогрессией (bn) называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, т. е. для любого натурального n верно равенство bn+1=bn×q, где q — некоторое число, причём bn≠0.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Из определения следует, что формула для вычисления знаменателя геометрической прогрессии имеет вид q=bn+1bn.
В зависимости от значений знаменателя q и первого члена b1 существуют пять видов геометрической прогрессии:
- возрастающая при q>1, b1>0, например, 1; 4; 16; … (q=4, b1=1);
- убывающая при q>1, b1<0, например, -1; -5; -25; -125; … (q=5, b1=-1);
- стационарная при q=1, например, 7; 7; 7; 7; 7; …;
- бесконечно убывающая при -1<q<1, например, 12; 16; 118; … (q=13);
- знакочередующаяся при q<-1 например, 2; -4; 8; -16; … (q=-2).
Пример 1
Найти первые пять членов геометрической прогрессии, если b1=164, q=8.
Решение
Воспользуемся формулой из определения bn+1=bn×q.
b1=164,
b2=b1×q=164×8=18,
b3=b2×q=18×8=1,
b4=b3×q=1×8=8,
b5=b4×q=8×8=64.
Ответ: 164; 18; 1; 8; 64; . …
Упражнение 1
Найти первые пять членов геометрической прогрессии, если:
1. b1=118, q=9;
2. b1=-250, q=15;
3. b1=3, q=-4
Формула n-го члена геометрической прогрессии
В предыдущем примере мы легко нашли первые пять членов прогрессии, используя значения предыдущего члена и знаменателя. Теперь получим формулу, которая позволит найти любой член геометрической прогрессии, зная его номер, значения первого члена и знаменателя. Для этого, используя формулу из определения bn+1=bn×q, выразим несколько членов прогрессии через b1 и q.
b2=b1×q,
b3=b2×q=(b1×q)×q=b1×q2,
b4=b3×q=(b1×q2)×q=b1×q3,
b5=b4×q=(b1×q3)×q=b1×q4.
Заметим, что для того, чтобы получить некоторый n-й член прогрессии, необходимо b1 умножить на qn-1.
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
bn=b1×qn-1
Вообще, эту формулу можно обобщить. Для того, чтобы найти значение bn, зная значение некоторого bk и знаменатель q, необходимо bk умножить qn-k, т. е. для любых натуральных k, n.
bn=bk×qn-k
Пример 2
Найти тринадцатый член геометрической прогрессии, если b7=132, q=4.
Решение
Воспользуемся формулой n-го члена общего вида bn=bk×qn-k.
Из условия имеем, что b7=132, q=4, k=7, n=13. Подставим в формулу и получим
b13=b7×q13-7=132×46=128.
Ответ: 128.
Упражнение 2
Найти восьмой член геометрической прогрессии, если:
1. b1=200, q=12;
2. b1=3, q=-2;
3. b5=7, q=3.
Свойство геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия также, как и арифметическая обладает важным свойством. Только теперь это свойство связано не со средним арифметическим, а со средним геометрическим. Рассмотрим и докажем это свойство для геометрической прогрессии.
Свойство геометрической прогрессии :
квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов,
т. е. для любого n>2 верно равенство
bn2=bn-1×bn+1.
Другими словами, модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е. для любого n>2 верно равенство
bn=bn-1×bn+1
Докажем это свойство. Для этого достаточно воспользоваться определением. Запишем его для bn и bn+1:
bn=bn-1×q, откуда bn-1=bnq,
bn+1=bn×q.
Подставим полученные равенства в правую часть формулы из свойства.
bn-1×bn+1=bnq×(bn×q)=bn2.
Верно и обратное утверждение.
Если в последовательности чисел (bn), отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.
Пример 3
Найти пропущенный член геометрической прогрессии …; 4; x; 100; …, если знаменатель этой прогрессии положительный.
Решение
Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:
bn2=bn-1×bn+1.
Подставим данные из условия:
x2=4×100=400, x=±20.
Знаменатель прогрессии положительный, это означает, что прогрессия не знакочередующаяся, т. е. x=20.
Ответ: x=20.
Упражнение 3
Найти пропущенный член геометрической прогрессии …; -15; x; -16,2; …, если знаменатель этой прогрессии отрицательный.
Контрольные вопросы
1. Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
2. Чем убывающая геометрическая прогрессия отличается от бесконечно убывающей?
3. Как найти семнадцатый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равна 5, а двадцать первый член равен 1000?
Ответы
Упражнение 1
1. 118; 12; 4,5; 40,5; 364,5.
2. -250; -50; -10; -2; -0,4.
3. 3; -12; 48; -192; 768.
Упражнение 2
1. 1,5625=2516. 2. -384. 3. 189
Упражнение 3
1. 1,8.
Формула ⭐ суммы n первых членов геометрической прогрессии
Что такое геометрическая прогрессия
Определение 1Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, отличных от нуля, каждый член которой, кроме первого, равен произведению предыдущего члена и одного и того же числа, не равного нулю (знаменатель геометрической прогрессии).
Обозначение геометрической прогрессии: b1,b2,b3,…,bn,…
Пример 1Пример геометрической прогрессии: 16, 32, 64, 128, 256 (первый член геометрической прогрессии b1=16, знаменатель равен 2).
Формула 1bn=q·bn-1
где b — член геометрической прогрессии,
q — знаменатель геометрической прогрессии,
n — номер члена геометрической прогрессии.
Также любой член геометрической прогрессии можно найти по следующей формуле:
Формула 2bn=b1·qn-1
Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого члена геометрической прогрессии к предыдущему члену.
Формула 3q=b2b1=b3b2=…=bnbn-1
Виды геометрических прогрессий
- Возрастающая, при q>1.
- Убывающая, при 0<q<1.
- Знакочередующаяся или переменная, при q<0.
- Постоянная, при q=1, b1=b2=b3=…=bn.
Свойство геометрической прогрессии
Модуль любого члена геометрической прогрессии (кроме первого) равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов прогрессии.
Формула 4|bn|=bn-1·bn+1
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Сумма n первых членов геометрической прогрессии при q≠1:
Формула 5Sn=b1·(1-qn)1-q
Формула 6Sn=b1-qbn1-q
где Sn — сумма n первых членов прогрессии,
b1 — первый член геометрической прогрессии,
bn — n-ый член геометрической прогрессии,
q — знаменатель,
n — количество первых членов прогрессии.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии при q=1:
Формула 7Sn=nb1
Произведение членов геометрической прогрессии
Произведение n первых членов геометрической прогрессии:
Формула 8Pn=(b1·bn)n2
где Pn — произведение,
b1 — первый член геометрической прогрессии,
bn— последний из n членов геометрической прогрессии,
n — количество первых членов прогрессии.
Произведение членов геометрической прогрессии от bm до bn:
Формула 9Pm,n=PnPm-1
где Pm,n — произведение членов геометрической прогрессии от bm до bn,
Pn— произведение n первых членов геометрической прогрессии,
Pm-1 — произведение m-1 первых членов геометрической прогрессии.
Примеры решения задач
Задача 1Дано: 2, 6 и 18 — первые три члена геометрической прогрессии.
Найти: девятый член геометрической прогрессии, сумму одиннадцати первых членов.
Решение:
- Так как b1=2,аb2=6, то q=b2b1=62=3.
- b9=b1·q9-1=2·38=2·6561=13122.
- S11=b1·1-q111-q=2·1-3111-3=2·1-177147-2=177146.
Ответ: b9=13122, S11=177146.
Задача 2Дано: первый член геометрической прогрессии равен 5, а четвертый член равен -40.
Найти: знаменатель переменной прогрессии.
Решение:
- Так как bn=b1·qn-1, то b4=b1·q3.
- b4b1=b1·q3b1=q3.
- b4b1=-405=-8.
- q3=-8, следовательно, q=-2.
Ответ: q=-2.
Как найти сумму геометрического ряда до бесконечности – mathsathome.com
Сумма геометрического ряда до бесконечности: видео-урок
Что такое сумма до бесконечности?
Сумма до бесконечности является результатом сложения вместе всех членов бесконечного геометрического ряда. Сумму до бесконечности можно вычислить только для сходящихся геометрических рядов. Это означает, что размер каждого нового члена должен быть меньше его предыдущего члена.
Геометрический ряд получается, когда каждый член умножается на одно и то же число от одного члена к другому. Значение, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий член, называется отношением.
Например, в последовательности 4+2+1+0,5+… члены каждый раз уменьшаются вдвое. Следовательно .
означает сумму первых ‘n’ слагаемых.
Например, и .
По мере добавления терминов мы видим, что , , и .
Поскольку термины становятся все меньше и меньше, по мере добавления новых терминов мы добавляем все более незначительное количество.
Идем дальше, , . Мы видим, что сумма приближается к 8.
Даже сложив первые 20 слагаемых, .
В конце концов, если бы можно было добавить бесконечное число членов, сумма действительно приблизилась бы к 8.
Мы говорим, что сумма до бесконечности равна 8, или
Сумма до бесконечности ряда вычисляется по формуле , где первый член, а r — отношение между каждым членом.
Для этой серии, где и , которая становится .
Сумма бесконечного числа членов этого ряда равна 8.
Это означает, что сумма последовательности будет приближаться к значению 8, но никогда не достигнет его.
Как найти сумму геометрического ряда до бесконечности
Сумма геометрического ряда до бесконечности определяется формулой S ∞ =a 1 /(1-r), где a 1 является первым членом в ряду, а r находится путем деления любого члена на член, непосредственно предшествующий ему.
- a 1 — первый член ряда
- ‘r’ — обыкновенное отношение между каждым членом ряда
Сумма геометрического ряда до бесконечности
Чтобы найти сумму геометрического ряда до бесконечности:
- Вычислитель путем деления любого члена на предыдущий член.
- Найдите первый член, a 1 .
- Рассчитать сумму до бесконечности с помощью S ∞ = a 1 ÷ (1-r).
Например, найти сумму до бесконечности ряда
Шаг 1. Вычислить r, разделив любой член на предыдущий
Мы можем разделить термин на предшествующий ему термин, который равен 1.
и так, .
Неважно, какой член вы выберете, просто разделите любой член на член перед ним, чтобы найти значение r.
Например, тот же результат получается при рассмотрении двух последних членов: .
Шаг 2. Найдите первый член, a 1
Первый член — это просто первое число в ряду, равное 1.
Шаг 3. Вычислите сумму до бесконечности с S ∞ = a 1 ÷ (1-r)
Сумма до бесконечности определяется как .
и .
Поэтому сумма до бесконечности становится которая становится . Это упрощается до или .
Когда существует сумма до бесконечности?
Сумма до бесконечности существует, только если -1
Сходящийся геометрический ряд — это ряд, члены которого становятся все меньше и меньше. Это означает, что члены, добавляемые к общей сумме, становятся все меньше. Ряд сходится к конечному значению.
Например, в ряду можно видеть, что дроби умещаются на площади квадрата 1 на 1. Следовательно, дроби заполнят площадь .
Ряд сходится к 1.
Ряд сходится, потому что члены становятся меньше по величине. С каждым разом добавляем все меньше и меньше.
Геометрические ряды сходятся и имеют бесконечную сумму, если |r|<1. Обычное отношение должно быть между -1 и 1.
Геометрический ряд расходится и не имеет бесконечной суммы, если |r|≥1. Если по мере развития ряда члены становятся больше, то ряд расходится.
Сумма до бесконечности не существует, если |r|≥1.
Например, ряд является расходящимся рядом, потому что члены становятся больше. Обычное отношение равно 2, и геометрический ряд будет расходиться, если |r|≥1.
Чтобы ряд сошелся, члены должны становиться все меньше и меньше по величине по мере развития ряда.
Для геометрического ряда ряд сходится, если |r|<1.
Арифметические ряды не сходятся и поэтому не имеют определенной суммы до бесконечности. Если общая разность положительна, то сумма арифметического ряда до бесконечности равна +∞. Если общая разность отрицательна, сумма до бесконечности равна -∞ .
Калькулятор суммы до бесконечности
Введите первые два члена геометрической прогрессии в калькулятор ниже, чтобы вычислить ее сумму до бесконечности.
Отрицательная сумма до бесконечности
Сумма до бесконечности геометрического ряда будет отрицательной, если первый член ряда отрицательный.
Это потому, что сумма до бесконечности определяется как .
Чтобы существовала сумма до бесконечности, . Это означает, что знаменатель суммы уравнения бесконечности никогда не может быть отрицательным.
Единственный способ получить отрицательную сумму до бесконечности — это сделать числитель a 1 отрицательным.
а 1 — первый член ряда. Следовательно, если первый член отрицателен, сумма до бесконечности также будет отрицательной.
Например, найдите сумму до бесконечности
Здесь и .
Поэтому сумма до бесконечности становится равной .
Сумма переменного ряда до бесконечности
Геометрический ряд будет чередовать положительные и отрицательные члены, если отношение отрицательное.
Например, в сериале термины чередуются с отрицательных на положительные.
Коэффициент, .
Так как сумма до бесконечности становится .
Знаменатель упрощается до и это можно оценить так, что .
Примеры вычисления суммы до бесконечности
Здесь приведены примеры вычисления суммы до бесконечности для геометрических рядов.
В каждом случае будет использоваться формула суммы до бесконечности, где a 1 — первый член, а r — отношение.
Геометрический ряд | Первый член, а 1 | Ratio, r | Calculation | Sum to Infinity |
9 | ||||
5 | ||||
9 | ||||
20+2+0.2+… | 20 | |||
4.8+1.2+0.3 | 4.8 | |||
4 | ||||
-8 |
How to Write a Recurring Decimal as a Fraction with an Infinite Series
Повторяющиеся десятичные дроби можно записать в виде дроби, используя формулу геометрического бесконечного ряда S ∞ =a/[1-r]. Десятичная дробь может быть записана как дробь от 10, 100, 1000 и так далее. Записанное таким образом, повторяющееся десятичное число можно записать в виде геометрического ряда, в котором можно найти первый член и отношение.
Повторяющаяся десятичная дробь: пример 1
Например, запишите дробь.
Повторяющееся десятичное число может быть записано как ряд дробей из 10, 100, 1000 и так далее.
Первый член, .
Соотношение так как делится на 10, чтобы сделать и так далее.
Поэтому сумма до бесконечности становится .
Это упрощает так, что . Оценивая , сумма до бесконечности равна .
Повторяющаяся десятичная дробь: Пример 2
Запишите повторяющуюся десятичную дробь.
Здесь
Это можно записать как
Следовательно и .
Сумма до бесконечности становится .
Это упрощается до и оказывается .
Доказательство суммирования до бесконечности
Доказательство формулы суммирования до бесконечности выводится из формулы для первых n членов геометрического ряда: S n =a[1-r n ]/[1- р]. Если -1
Вот вывод суммы до бесконечности геометрического ряда по шагам.
- Формула суммы первых n членов геометрического ряда: .
- Так как , как , .
- Замена и становится .
- Упрощение, .
Этот вывод работает, поскольку обыкновенное отношение определено как находящееся в диапазоне от -1 до 1.
Когда число от -1 до 1 возводится в большую степень, его размер уменьшается.
Например:
Поскольку степень стремится к бесконечно большому значению, десятичный размер стремится к нулю.
Например, .
Вот почему отношение должно быть определено как -1 Рассмотрим следующий список чисел: \(4, 8, 16, 32. ..\) Можете ли вы найти закономерность? Как насчет суммы? Что, если бы список можно было продолжать и продолжать, как бы вы нашли сумму, если бы вам не дали числа? В этой статье вы узнаете, как найти сумму бесконечный геометрический ряд . Прежде чем вы сможете оценить бесконечный геометрический ряд , полезно знать, что это такое! Для этого может быть полезно разбить его на части и сначала понять, что такое последовательность. Последовательность — это список чисел, которые следуют определенному правилу или образцу. Каждое число в последовательности называется термином. Существует множество различных типов последовательностей, включая арифметические и геометрические. Размышляя о бесконечных геометрических рядах, важно понимать, что подразумевается под термином 9.0007 геометрический . геометрическая последовательность — это тип последовательности, которая увеличивается или уменьшается на постоянное кратное число. Это известно как обыкновенное отношение , \(r\). Давайте посмотрим на несколько примеров! Некоторые примеры геометрических последовательностей включают: Теперь, когда вы понимаете, что мы подразумеваем под последовательностью, вы можете подумать о серии. Серия — это сумма членов последовательности. Давайте рассмотрим несколько примеров. Некоторые примеры серии включают: Теперь вы можете рассмотреть каждое из этих определений, чтобы полностью понять, что такое бесконечный геометрический ряд . Бесконечная геометрическая последовательность — это последовательность, которая складывает бесконечную геометрическую последовательность. Вот несколько примеров. Вернемся к геометрической прогрессии \(2, 8, 32, 128, 512, \точки\). Найдите соответствующий геометрический ряд. Ответ: Во-первых, вы можете сказать, что это геометрическая последовательность, потому что знаменатель здесь равен \(r = 4\), а это означает, что если вы разделите любые два последовательных члена, вы всегда получите \(4\). Вы могли бы, конечно, записать, что геометрическая последовательность просто складывает все члены последовательности, или \[ 2 + 8 + 32 + 128 + 512+ \точек\] Вы могли бы также признать, что есть здесь образец. Каждый член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на \(4\). Другими словами: 94 + \dots \] Помните, что общее отношение для этой серии было \(4\), поэтому каждый раз умножение на \(4\) имеет смысл! Бесконечные геометрические ряды имеют множество приложений в реальной жизни. Возьмем, к примеру, население. Поскольку население увеличивается на процент каждый год, можно провести исследования, чтобы предсказать, насколько большим будет население через \(5\), \(10\) или даже \(50\) лет, используя бесконечные геометрические ряд. Бесконечный геометрический ряд: определение, формула и пример
Оценка бесконечного геометрического ряда
Формула бесконечного геометрического ряда 93+\dots\]
где первый член последовательности равен \(a\) и \(r\) является знаменателем .
Поскольку все геометрические ряды подчиняются этой формуле, найдите время, чтобы понять, что она означает. Давайте рассмотрим пример серии в этой форме.
Возьмем геометрическую последовательность \(6, 12, 24, 48, 96, \точки\) . Найдите первый член и знаменатель, затем запишите его в виде ряда.
Ответ:
Первый член — это просто первое число в последовательности, поэтому \(a = 6\). 93 + \dots\]
Эта формула может помочь вам точно понять, что происходит с каждым термином, чтобы получить следующий термин.
Обыкновенное отношение бесконечного геометрического ряда
Теперь вы знаете, как найти обыкновенное отношение для геометрической последовательности или ряда, но кроме написания формулы, для чего это нужно?
- Обычное отношение \(r\) используется для нахождения следующего члена в последовательности и может влиять на увеличение или уменьшение членов.
- Если \(-1
сходящимся . - Если \(r > 1\) или \(r < -1\), сумма ряда не будет действительным числом. В этом случае ряд называется расходящимся .
Сумма бесконечного геометрического ряда
Прежде чем мы перейдем к сумме бесконечного геометрического ряда, полезно вспомнить, что такое сумма конечного геометрического ряда. {n-1} \), то сумма этого конечного геометрического ряда равна 9i \\ &= a\frac{1}{1-r}.\end{align} \]
Но помните, что \(S\) является числом только тогда, когда \(-1 Давайте рассмотрим несколько примеров, где вам нужно определить, подходит ли формула и как использовать формулу для суммы бесконечных геометрических рядов. Если возможно, найдите сумму бесконечного геометрического ряда, соответствующую последовательности \(32, 16, 8, 4, 2, \dots \). Ответ: Для начала важно определить обыкновенное отношение, так как оно говорит вам, можно ли вычислить сумму бесконечного ряда. Если вы разделите любые два последовательных слагаемых, например \[ \frac{16}{32} = \frac{1}{2},\] , вы всегда получите одно и то же число, поэтому \(r = \frac{1 {2}\). Поскольку \(-1 Первый член ряда равен \(32\), поэтому \(a = 32\). Это означает \[ \begin{align} S &= a\frac{1}{1-r} \\ &= 32\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\ &= 32 \ frac{1}{\frac{1}{2}} \\ &= 32\cdot 2 = 64. \end{align}\] Давайте рассмотрим другой пример. Если возможно, найдите сумму бесконечного геометрического ряда, соответствующую последовательности \(3 , 6 , 12 , 24 , 48, \dots\). Ответ: Опять же нужно начинать с определения обыкновенного отношения. Разделив любые два последовательных члена, вы получите \(r = 2\). Поскольку \(r > 1\), невозможно вычислить сумму этого бесконечного геометрического ряда. Этот ряд можно назвать расходящимся. 9n.\] Ответ: Это уже в форме суммирования! Как и прежде, первое, что нужно сделать, это найти обыкновенное отношение. Здесь вы можете видеть, что общий коэффициент равен \(r=0,2\). Таким образом, вы можете завершить сумму. Вам просто нужно ввести информацию в формулу: \[ \begin{align} S &= a\frac{1}{1-r} \\ &= 10\frac{1}{1-0. Примеры бесконечных геометрических рядов