Алгебра решение примеров – Mathway | Решение алгебраических задач

Содержание

Алгебра | СпецКласс

Давайте вспомним формулы сокращенного умножения, которые вам очень нужно знать и уметь использовать. Формул, которые реально вам надобятся на экзамене, не так уж и много.

Для решения 21го задания надо уметь преобразовывать алгебраические выражения. В этом вам помогут формулы сокращенного умножения, навыки сложения, умножения и деления дробей, а также другие факты из алгебры, которые вы уже знаете.

В видео рассказывается о том, что такое числовая последовательность, арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. Также указаны основные формулы, которые нужно знать, понимать и не лениться использовать при решении задач на данную тему.

Если вы учитесь в 10-11 классах, или проходите аналогичный курс математики в колледже, то вам предстоит столкнуться с контрольной или зачетом по следующим вопросам:

Условие возведения в четную степень неравенства.
Показательная и логарифмическая функции, связь между ними, ограничения параметров.
Основное логарифмическое тождество (приведите пример).
Переход к новому основанию в логарифме (приведите пример).
Сложение и вычитание логарифмов (с примером).
Основное тригонометрическое тождество и его геометрический смысл.
Период и область значений тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций в координатных четвертях.
Формулы приведения (примеры преобразований) тригонометрических функций.

Обратные тригонометрические функции.
Формулы преобразования суммы/разности тригонометрический функций в произведение.
Формулы преобразования суммы/разности тригонометрических функций вида в одну тригонометрическую функцию.
Решение простых тригонометрических уравнений.

Если перед вами стоит задача — разобраться во всех этих понятиях, то вам сюда.

Требуется решить уравнение в простых числах. Без паники! Его тоже можно решить за 5 минут. И это несложно.

Разбираю пример системы уравнений, который надо решать с помощью метода замены переменных. Сперва упрощаете одно уравнение, находите его возможные решения, а затем уже решаете всю систему уравнений, которая вам дана по условию задачи.

Этот пример показывает, как система неравенств с двумя модулями превращается в три системы простых линейных неравенств. Аналогично решаются и другие задачи, в которых есть модули.

Что это за функция и какие у нее свойства? За 5 минут вы узнаете обо всем этом и сможете с легкостью исследовать такие функции из ваших примеров.

Решаем простое уравнение с дробями.

specclass.ru

Алгебра — помощь школьникам по алгебре

Алгебра – это наука о числах. Эта наука изучает свойства определенных конкретных величин, значение которых может быть произвольным, а значит, алгебра изучает те свойства величин, которые являются общими всем величинам вне зависимости от их значения. Проще говоря, алгебра является обобщенной арифметикой и ее можно определить как науку о количественных отношениях. В школьной программе алгебру начинают изучать с 7-го класса.

Предмет алгебра – это продолжение математики. После 6-го класса материал становится более объемным и сложным, поэтому возникает необходимость разделения. Геометрические фигуры идут своим путем (отдельным предметом – геометрия), а числа, уравнения и функции – своим.

Помощь школьникам по алгебре:

Репетиторы

Шпаргалки

Готовые Домашние Задания

Единый Государственный Экзамен

Учебники

История алгебры

Из истории известно, что произошло слово «алгебра» от названия трудов известного арабского математика Ал-Хорезми. Возникновению алгебры предшествовало развитие такой науки, как арифметика, как собрание определенных практических правил для решения насущных повседневных житейских задач.

Структуру науки алгебры можно разделить на такие категории, как элементарная, абстрактная, линейная, универсальная алгебра, а также алгебраическая теория чисел, алгебраическая комбинаторика и алгебраическая геометрия.

Все информационные материалы сайта охраняются законом — Об авторском праве от 09.07.1993 г. N 5351-1. Копирование возможно только при наличии активной ссылки на источник — http://ktoreshit.ru/

Более сложные примеры уравнений | Математика

52. Более сложные примеры уравнений.
Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x² – 1)

Общий знаменатель есть x² – 1, так как x² – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x² – 1. Получим:

или, после сокращения,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

или

5x + 5 – 3x + 3 = 15

или

2x = 7 и x = 3½

Рассмотрим еще уравнение:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x²

– 1)

Решая, как выше, получим:

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.

Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.

Для первого примера получим:

Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.

Для второго примера получим:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.

Пример 2.

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

или

2x² + 6x – 2x – 6 = 2x² + 3x – 2x – 3.

Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x². Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2x² — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x² уничтожатся, и мы получим:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:

3x = 3 или x = 1

Вспоминая данное уравнение

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.

Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:

2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,

что невозможно.

Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
Решим теперь уравнение:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

6x + 10 = 2x + 18

или

4x = 8 и x = 2

Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

или 11 = 11

Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
6x² + 4x – 10 = 2x² + 16x – 18.

Здесь уже члены с x² не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы

4x² – 12x = –8

или

x² – 3x = –2

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

1) 2² – 3 · 2 = –2 и 2) 1² – 3 · 1 = –2

Если мы вспомним начальное уравнение

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.

Пример 3.

Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:

1) x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x² – x – 2 = x² – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x² – 2x – 3 = x² – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

Отсюда получим:

–x = –13 и x = 13.

Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.

Если бы мы взяли уравнение:

то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

или

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

или

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

откуда получили бы

0 = –11,

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

maths-public.ru