Примеры на деление и умножение дробей – . .

Умножение дробей. Деление Дробей.

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.

Для того чтобы умножить две дроби надо:

  • перевести дроби в неправильные;
  • перемножить их числители и записать результат в числитель;
  • перемножить их знаменатели и записать результат в знаменатель;
  • если можно сократить;

Пример 1. Умножить \(\frac{7}{8}\) и \(\frac{5}{6}\):

 

 

При делении дробей вторую дробь нужно перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель, а затем выполнить умножение:

                                                                                  

Две дроби называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\).

Пример: 3/4 и 4/3 являются взаимно обратными, так как в результате дают \(1\):

Также стоит помнить, что на ноль делить нельзя.


Задача 1. Умножить \(2\frac{5}{7} \) и \(2 \frac{8}{9}\).

Решение.

\(\frac{19}{7}*\frac{26}{9}\)=\(\frac{494}{63}\)\(=7\frac{53}{63}\)

Ответ: \(7\frac{53}{63}\).

Задача 2. Разделить \(2\frac{5}{6}\) и \(\frac{3}{4} \).

Решение. 

\(\frac{17}{6}:\frac{3}{4}\)\(=\frac{17*4}{6*3}=\frac{17*2}{3*3}=\frac{34}{9}=3\frac{7}{9}\)

Ответ: \(3\frac{7}{9}\).

 

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

«Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КОСТАНАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Реферат

На тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».

Костанай

2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. Из истории обыкновенных дробей ………………………………………..3

2. Действия с обыкновенными дробями …………..…………………………..5

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей …………………………..5

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей ………………………….7

3. Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление дробей ……. 10

4. Список литературы ……………………………………………………………11

1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21: 5/21

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, — постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса — “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель — снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Обыкновенная дробь – это число вида

, где m и n натуральные числа, например . Число m называется числителем дроби, nзнаменателем. Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

2. Действия с обыкновенными дробями.

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

;

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби, т.е.

.

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

.

б) если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, т.е.

.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

mirznanii.com

Умножение и деление дробей | umath.ru

Умножение дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

Это правило записывается так:

   

если

Пример 2. Найти произведение дробей и

Решение.

   

Дроби и называются обратными друг другу. Их произведение равно 1.

Деление дробей

Пусть частное от деления дроби на дробь равно Тогда по определению частного верно равенство

   

Найдём это Для этого умножим обе части этого равенства на дробь Получим

   

То есть

   

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

← назад | далее →

umath.ru

Тренажёр по математике (5 класс) на тему: Умножение и деление десятичных дробей

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

1

0,2∙3

0,7∙6

0,03∙2

4∙0,08

1,3∙2

1,2∙3

0,3∙2

0,9∙8

0,02∙3

6∙0,05

0,15∙10

3∙0,7

0,05∙8

0,16∙5

2,5∙4

0,6:2

1,5:3

6:10

7,2:2

0,012:4

1,9:10

0,6:3

29:10

0,64:8

2,8:8

17:100

2,4:12

3:6

0,4:5

4,8:12

0,8:2

2,7:9

0,054:6

32:10

0,16:4

2

0,04∙3

0,1∙7

0,8∙9

4∙0,006

0,09∙0

0,07∙0

1,3∙4

0,1∙8

0,06∙3

0,7∙8

0,03∙10

1,2∙5

0,07∙8

1,5∙4

0,27∙10

27:10

0,18:9

0,4:2

4,2:7

0,056:8

2,6:13

1,7:10

15:30

7,5:25

2:10

5:25

0,02:4

0,3:2

3,7:100

3,9:13

1,2:40

4:10

20:40

2,3:10

4,5:15

3

0,2∙6

0,07∙4

0,6∙7

0,5∙2

0,08∙6

7∙0,006

0,3∙5

0,09∙4

0,8∙8

0,23∙1

3∙0,17

0,04∙100

0,18∙5

0,05∙2

4∙0,21

0,14:7

4,8:8

0,28:4

450:100

0,045:9

4,2:14

4:5

0,9:10

0,03:6

0,6:30

0,49:0,7

0,016:0,8

1:0,5

1,6:0,4

100:125

0,7:0,35

0,4:0,8

0,72:0,9

1:0,25

2,8:0,14

4

0,2∙5

0,9∙7

1∙0,46

2,1∙3

0,004∙7

0,07∙7

0,5∙4

0,4∙5

0,7∙6

3,2∙2

0,07∙100

9∙0,09

5∙1,6

10∙0,46

1,25∙4

2,4:8

0,21:3

1:2

0,35:7

2,9:10

2,4:1000

3,6:18

3:2

0,7:2

31:10

0,7:0,2

4,5:0,9

3:0,1

0,32:0,4

7,5:0,25

3,6:0,04

270:100

0,12:6

0,072:9

0,28:7

5

0,6∙5

1,2∙5

1,3∙2

0,4∙9

0,004∙5

0,002∙5

0,5∙7

0,8∙5

1,4∙5

2,2∙3

3,5∙2

3∙0,19

0,26∙100

4∙0,17

100∙0,038

34:10

5,6:7

0,8:4

0,025:5

0,81:9

0,04:8

0,2:5

37:100

2:4

28:140

6,4:0,8

0,2:0,04

0,6:0,5

0,7:0,01

2:0,5

5:0,2

0,24:0,6

1:0,125

0,6:0,1

4,8:0,008

nsportal.ru

Деление десятичных дробей, умножения десятичных дробей

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1. выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.

Перемножим дроби 13,2% и 0,2. Выполнив умножение, не обращая внимания на запятые, получим: . Отделим запятой справа столько цифр, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе, то есть две цифры .

Рассмотрим другие примеры умножения десятичных чисел:

Умножение десятичной дроби и натурального числа

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждый из которых равен данному десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
1. умножить его на это число, не обращая внимания на запятую;
2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Пример:

Если в результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Деление десятичных дробей

Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2. поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Деление на десятичную дробь

Деление на десятичную дробь заменяют делением на натуральное число.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:
1) в деленному и делителе перенести запятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число;
3) если в деленному не хватает знаков, то справа приписывают нули.

Правило является следствием основного свойства дроби (черту дроби заменяем делением): числитель и знаменатель дроби можно умножить на отличное от нуля число (расширить дроби).

В данном случае умножаем на 10,100,1000 и т.д.

Например,

Короче можно записать так:

Перенесли кому в деленному 2,5 и в делителе 0,5 на столько знаков, сколько их после запятой в делителе 0,5, то есть на один знак.

Деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести в нем запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит перед единицей в делителе (или умножить делимое и делитель на 10, 100, 1000і т.д.). Если цифр не хватает, сначала надо приписать в конце десятичной дроби нули (сколько необходимо).

Рассмотрим примеры деления на 0,1; 0,01; 0,001, применив правило деления на десятичную дробь:

  • в деленному и делителе переносим запятую вправо на столько цифр,
    сколько их после запятой в делителе;
  • после этого выполняем деление на натуральное число.

 

cubens.com

Умножение и деление дробей | Учеба-Легко.РФ

Перед тем, как начать изучать тему умножения дробей напомним, что дробь — это отношение числителя к его знаменателю. Разберем также особенности деления и умножения сложных и больших дробей и сокращение дробей. В итоге сформулируем несколько правил, которые стоит придерживаться.

Умножение и деление дробей

Для того чтобы перемножить 2 и более дробей, нужно перемножить их все числители и записать в числитель получившийся результат, со знаменателем также просто, перемножаем все знаменатели дробей и записываем результат в знаменатель. Приведем простой пример, где мы рассмотрим перемножение 2-ух дробей:

(3/5) * (8/9) = (3*8)/(5*9) = 15/72.

Деление дробей можно считать операцией обратной перемножению 2 и более дробей, если мы возьмём деление одной дроби на другую, то мы должны “перевернуть” вторую дробь, не трогая при этом первую дробь.

Например:

(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25  Важно помнить это свойство дроби при делении.

Умножение и деление с целым числом

Что делать если попалось умножение или деление с целым числом. В этом случае мы должны представить целое число как дробь, это можно сделать если взять это число и поделить на единицу, применяя правило деления или умножения как это написано сверху.

Например: 14 / (3/7 ) = (14/1) / (3/7) = (14*7) / (1*3) = 98/3

                      14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)

Как видно  в этих примерах всё сводится  к обычному умножению или делению дробей.

Умножение и деление больших дробей

В старшей школе и на 1 курсах ВУЗов мы часто имеем дело с трёхэтажными дробями, а то и четырёхэтажными

В этом случае мы используем правило деления через 2 точки, “находя главное деление”, а после этого используем известное нам правило умножение или деления дробей, как видно из примера сделать это несложно.

Покажем это на примере :

3

5

—     =     (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35

7   

—     

2

Здесь главное деление находится посередине, относительно него мы и будем делить, если мы сможем понять где находится главное деление или отношение.

Если у нас имеется 3 и более дроби, в которых мы не найдём скобок, нам нужно будет поступить следующим образом, то мы должны умножать или делить слева направо , как в любом другом примере, не содержащих дробей.

Например :

(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3) )*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6

Пример довольно всё хорошо объясняет нам.

Ещё существует один способ, который используется во множестве примеров деление единицы на нашу дробь, происходит “переворачивание” т.е. знаменатель попадёт в числитель, а числитель попадёт в знаменатель.

Например:

1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / ( 1*3)  = 4/3 Такой приём используется также в доказательствах тождеств

Сокращение дробей при умножении и делении

Очень важно во время умножения и деления мы имеем право сокращать числитель со знаменателем, значительно сокращая нашу дробь

Например:

(3/5) * (2/4) = 6/20 = {Сокращаем на 2} = 3/10

Также результат мы можем представить в виде десятичной дроби, это просто сделать, используя калькулятор

3/10 = 0.3

Несколько полезных советов

Также мы советуюм всегда придерживаться нескольких правил:

1) Всегда сокращаем дробь до упора, таким образом мы значительно облегчим себе задачу.

2) Операцию деления единицы на дробь мы считаем в уме, просто переворачивая дробь.

3) Самое главное это аккуратность и внимательность, НИКОГДА не считайте в уме слишком много, так как огромное количество ошибок происходит именно когда человек, не считая нужным написать лишнюю строчку, совершает массу глупых ошибок.

uclg.ru

Kmno4 koh – KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

В результате взаимодействия насыщенного раствора перманганата калия с 15%-м раствором гидроксида этого же металла (KMnO4 + KOH = ?) при кипячении реакционной смеси происходит образование средней соли манганата калия, воды и выделение кислорода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

   

Запишем ионные уравнения, учитывая, что простые вещества и вода на ионы не распадаются, т.е. не диссоциируют.

   

   

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Данная реакция относится к окислительно-восстановительным, поскольку химические элементы марганец и кислород изменяют свои степени окисления. Схемы электронного баланса выглядят следующим образом:

   

   

Манганат калия представляет собой кристаллическое вещество темно-зеленого цвета. При нагревании разлагается. Устойчив в сильнощелочном растворе. Кристаллогидратов не образует. Проявляет окислительно-восстановительные свойства; разлагается водой (быстро — в кислотной среде) с образованием перманганата калия, твердого оксида марганца (IV) и гидроксида калия.

ru.solverbook.com

Na2SO3 + KMnO4 + KOH = Na2SO4 + K2MnO4 + h3O расставить коэффициенты

Записываем формулы исходных и конечных веществ:
Na2SO3 + KMnO4 + KOH = Na2SO4 + K2MnO4 + h3O.
Данная реакция окислительно-восстановительная, так как произошло изменение степеней окисления серы (повышение с +4 до +6) и марганца (понижение с +7 до +6). Составим электронные уравнения (баланс):

   

   

Поскольку отношение чисел электронов, принятых при восстановлении марганца и отданных при окислении серы, равно 1:2, то, складывая уравнения полуреакций восстановления и окисления, второе из них нужно домножить на 2. В молекулярной форме полученное уравнение имеет следующий вид:

   

Реакции на катион марганца :
— реакция с раствором щелочи или . Щелочи с катионами белый осадок гидроксида марганца (II), который на воздухе буреет вследствие окисления до с образованием осадка марганцовистой кислоты (или ).
— реакция окисления катионов до -ионов (характерная реакция). Эту реакцию проводят в кислой среде, при этом окисление сопровождается характерной переменой окраски раствора: почти бесцветные соединения марганец (II) окисляются в марганцовую кислоту фиолетово-розовой окраски. Практически реакцию проводят в азотнокислой среде в присутствии катализатора . В качестве окислителей чаще всего используют диоксид свинца, висмутат натрия, персульфат аммония.
— окисление катионов персульфатом аммония . Наблюдается окрашивание раствора в фиолетовый цвет. При проведении этой реакции в исследуемом растворе не должны содержаться хлорид-ионы (и другие восстановители), так как они восстанавливают ион до или даже до .

ru.solverbook.com

Nh4 + KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

В ходе взаимодействия аммиака с перманганатом калия в щелочной среде (Nh4 + KMnO4 + KOH = ?) образуется манганат калия, воды и выделяется азот. Степень окисления азота повышается, а марганца понижается.

   

   

Учитывая отношение чисел электронов, принятых при восстановлении марганца и отданных при окислении азота (равно 1:3), запишем уравнение в молекулярной форме с расставленными стехиометрическими коэффициентами:

   

Аммиак самый практически важный, хотя и не единственный гидрид азота. И сам аммиак, и соли аммония известны давно (среди солей аммония наибольшее значение имеют хлорид, нитрат, сульфат, карбонат и фосфат).
Аммиак образуется по реакции

   

в результате возникновения трех ковалентных связей между атомом азота и тремя атомами водорода.
Электронодонорные свойства аммиака проявляются и в его способности образовывать комплексные соединения с большинством металлов. Наиболее прочные аммиакаты дают переходные металлы. К числу таких координационных соединений относятся, например, комплексы , и др.
Аммиак обладает следующими физическими свойствами. Это бесцветный газ, в 1,7 раза легче воздуха. Критическая температура аммиака высокая (). Поэтому можно превратить в жидкое состояние действием высокого давления (прямым сжатием) без предварительного охлаждения, подвергая компрессии газообразный аммиак при обычной температуре.

ru.solverbook.com

NaNO2 + KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

Нитрит-ион относится к третьей аналитической группе анионов.

Нитриты хорошо растворимы в воде; нитрит серебра растворяется при нагревании. Анион бесцветен.

Реакции на нитрит-анион :

— реакция с сульфаноловой кислотой и -нафтиамином приводит к появлению красного окрашивания.

— в результате реакции с антипирином наблюдается ярко-зеленое окрашиваниенитрозоантипирина .

— разбавленные кислоты разлагают нитриты с выделением бурой двуокиси азота :

   

  • реакция с иодидом калия. В слабокислой среде нитриты оксиляют ион до свободного йода:

   

— перманганат калия в кислой среде окисляет ион до иона .

В ходе нитрита натрия с перманганатом калия в щелочной среде, создаваемой присутствием в реакционной среде гидроксида калия (NaNO2 + KMnO4 + KOH =?) образуются манганат калия, нитрат натрия и вода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

   

ru.solverbook.com

KMnO4 + Na2SO3 + KOH = ? уравнение реакции

В результате окисления сульфита натрия перманганатом калия в щелочной среде, создаваемой гидроксидом калия (KMnO4 + Na2SO3 + KOH = ?) происходит образование средних солей сульфата натрия и манганата калия, а также вода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

   

Запишем ионные уравнения, учитывая, что вода на ионы не распадается, т.е. не диссоциирует.

   

   

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Данная реакция относится к окислительно-восстановительным, поскольку химические элементы марганец и сера изменяют свои степени окисления. Схемы электронного баланса выглядят следующим образом:

   

   

Окисление – это отдача электронов веществом, т.е. повышение степени окисление элемента. Вещества, отдающие свои электроны в процессе реакции, называются восстановителями (в данном случае это сульфит натрия).
Восстановление – это смещение электронов к веществу или понижение степени окисления элемента. Вещества, принимающее электроны, называется окислителем (в данном случае это перманганат калия).
 
 
 
 
 
 
 

ru.solverbook.com

KMnO4 + K2SO3 + KOH = ? уравнение реакции

В результате окисления сульфита калия перманганатом калия в щелочной среде, создаваемой гидроксидом калия (KMnO4 + K2SO3 + KOH = ?) происходит образование манганата и сульфата калия, а также воды. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

   

Запишем ионные уравнения, учитывая, что вода на ионы не распадается, т.е. не диссоциирует.

   

   

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Данная реакция относится к окислительно-восстановительным, поскольку химические элементы марганец и сера изменяют свои степени окисления. Схемы электронного баланса выглядят следующим образом:

   

   

Окисление – это отдача электронов веществом, т.е. повышение степени окисление элемента. Вещества, отдающие свои электроны в процессе реакции, называются восстановителями (в данном случае это сульфит калия).
Восстановление – это смещение электронов к веществу или понижение степени окисления элемента. Вещества, принимающее электроны, называется окислителем (в данном случае это перманганат калия).
Сульфат калия представляет собой твердое вещество белого цвета, кристаллы которого термически устойчивые. Он хорошо растворяется в воде (не гидролизуется). Кристаллогидратов не образует. Вступает в реакции обмена. Восстанавливается водородом, углеродом.
В промышленных масштабах сульфат калия получают из природного минерала арканита. Среди лабораторных способов получения этой соли наиболее часто используют реакции взаимодействия оксида / гидроксида / карбоната калия с серной кислотой.

ru.solverbook.com

Ca hco3 2 что это – Ca(HCO3)2 = CaCO3 + CO2 + H2O

Гидрокарбонат кальция — Википедия. Что такое Гидрокарбонат кальция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гидрокарбона́т ка́льция — кислая соль кальция и угольной кислоты. Химическая формула — Ca(HCO3)2{\displaystyle {\mbox{Ca}}({\mbox{HCO}}_{3})_{2}}.

Свойства

Как известно, все гидрокарбонаты растворимы в воде. Гидрокарбонат кальция обусловливает временную жёсткость воды. В организме гидрокарбонаты выполняют важную физиологическую роль — регулируют постоянство реакций[уточнить] в крови. При нагревании раствора гидрокарбоната кальция он разлагается:

Ca(HCO3)2→tCaCO3↓+h3O+CO2{\displaystyle {\mathsf {Ca(HCO_{3})_{2}}}{\xrightarrow {t}}{\mathsf {CaCO_{3}}}\downarrow {\mathsf {+H_{2}O+CO_{2}}}}

Таким образом, реакция разложения гидрокарбоната кальция является обратной реакцией его образования. Именно это уравнение является основным, по которому образуется накипь в чайниках и водонагревательных системах, так как в исходной воде почти всегда содержится гидрокарбонат кальция, который более растворим, чем карбонат.

Применение

Нормативы рекомендуют концентрацию гидрокарбонатов в питьевой воде в диапазоне 30—400 мг/дм³.

Получение

Гидрокарбонат кальция получают взаимодействием карбоната кальция с углекислым газом и водой:

CaCO3+CO2+h3O⟶ Ca(HCO3)2{\displaystyle {\mathsf {CaCO_{3}+CO_{2}+H_{2}O\longrightarrow \ Ca(HCO_{3})_{2}}}}

См. также

wiki.sc

Гидрокарбонат кальция — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гидрокарбонат кальция — кислая соль угольной кислоты. Химическая формула — <math>\mbox{Ca}(\mbox{HCO}_3)_2</math>.

Свойства

Как известно, все гидрокарбонаты в воде растворимы. Гидрокарбонат кальция обусловливает временную жёсткость воды. В организме гидрокарбонаты выполняют важную физиологическую роль — регулируют постоянство реакций в крови. При нагревании раствора гидрокарбоната кальция он разлагается:

<math>\mathsf{Ca(HCO_3)_2}\xrightarrow{t}\mathsf{CaCO_3}\downarrow\mathsf{+H_2O+CO_2}</math>

Таким образом, реакция разложения гидрокарбоната кальция является обратной реакцией его образования. Именно это уравнение является основным, по которому образуется накипь в чайниках и водонагревательных системах, так как в исходной воде почти всегда содержится гидрокарбонат кальция, который более растворим, чем карбонат.

Применение

Нормативы рекомендуют концентрацию гидрокарбонатов в питьевой воде в диапазоне 30—400 мг/дм³.

Получение

Гидрокарбонат кальция получают взаимодействием карбоната кальция с углекислым газом и водой:

<math>\mathsf{CaCO_3+CO_2+H_2O\longrightarrow \ Ca(HCO_3)_2}</math>

См. также

Напишите отзыв о статье «Гидрокарбонат кальция»

Отрывок, характеризующий Гидрокарбонат кальция

Толпа подошла к большому столу, у которого, в мундирах, в лентах, седые, плешивые, сидели семидесятилетние вельможи старики, которых почти всех, по домам с шутами и в клубах за бостоном, видал Пьер. Толпа подошла к столу, не переставая гудеть. Один за другим, и иногда два вместе, прижатые сзади к высоким спинкам стульев налегающею толпой, говорили ораторы. Стоявшие сзади замечали, чего не досказал говоривший оратор, и торопились сказать это пропущенное. Другие, в этой жаре и тесноте, шарили в своей голове, не найдется ли какая мысль, и торопились говорить ее. Знакомые Пьеру старички вельможи сидели и оглядывались то на того, то на другого, и выражение большей части из них говорило только, что им очень жарко. Пьер, однако, чувствовал себя взволнованным, и общее чувство желания показать, что нам всё нипочем, выражавшееся больше в звуках и выражениях лиц, чем в смысле речей, сообщалось и ему. Он не отрекся от своих мыслей, но чувствовал себя в чем то виноватым и желал оправдаться.
– Я сказал только, что нам удобнее было бы делать пожертвования, когда мы будем знать, в чем нужда, – стараясь перекричать другие голоса, проговорил он.
Один ближайший старичок оглянулся на него, но тотчас был отвлечен криком, начавшимся на другой стороне стола.
– Да, Москва будет сдана! Она будет искупительницей! – кричал один.
– Он враг человечества! – кричал другой. – Позвольте мне говорить… Господа, вы меня давите…

В это время быстрыми шагами перед расступившейся толпой дворян, в генеральском мундире, с лентой через плечо, с своим высунутым подбородком и быстрыми глазами, вошел граф Растопчин.
– Государь император сейчас будет, – сказал Растопчин, – я только что оттуда. Я полагаю, что в том положении, в котором мы находимся, судить много нечего. Государь удостоил собрать нас и купечество, – сказал граф Растопчин. – Оттуда польются миллионы (он указал на залу купцов), а наше дело выставить ополчение и не щадить себя… Это меньшее, что мы можем сделать!
Начались совещания между одними вельможами, сидевшими за столом. Все совещание прошло больше чем тихо. Оно даже казалось грустно, когда, после всего прежнего шума, поодиночке были слышны старые голоса, говорившие один: «согласен», другой для разнообразия: «и я того же мнения», и т. д.

wiki-org.ru

Ca(HCO3)2 + HCl = ? уравнение реакции

При взаимодействии гидрокарбоната кальция и соляной кислотой (Ca(HCO3)2 + HCl = ?) происходит образование средней соли – хлорида кальция, а также угольной кислоты, которая вследствие своей неустойчивости мгновенно распадается на углекислый газ и воду. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

   

Диоксид углерода или углекислый газ при обычных условиях представляет собой бесцветный газ, который в 1,5 раза тяжелее воздуха, что позволяет переливать его, как жидкость, из одного сосуда в другой. Растворимость диоксида углерода в воде невелика.
Химически инертен, что обусловлено высокой энергией связи . С сильными восстановителями при высоких температурах проявляет окислительные свойства. Углем он восстанавливается до угарного газа:

   

Магний, зажженный на воздухе, продолжает гореть и в атмосфере :

   

Углекислый газ проявляет кислотные свойства: реагирует со щелочами, гидратом аммиака. Восстанавливается водородом.

   

   

   

В лабораториях диоксид углерода обычно получают, действуя на мрамор соляной кислотой в аппарате Киппа:

   

В промышленности большие количества диоксида углерода получают при обжиге известняка:

   

ru.solverbook.com

Гидрокарбонат кальция — Википедия (с комментариями)

Ты — не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: «Истинное обустройство мира».
http://noslave.org

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гидрокарбонат кальция
Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
Общие
Традиционные названия Гидрокарбонат кальция
Хим. формула Ca(HCO3)2
Физические свойства
Молярная масса 162.1124 г/моль
Классификация
Рег. номер CAS Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
PubChem Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
Рег. номер EINECS Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
SMILES

 

[http://chemapps.stolaf.edu/jmol/jmol.php?model=%3Cstrong%20class%3D%22error%22%3E%3Cspan%20class%3D%22scribunto-error%22%20id%3D%22mw-scribunto-error-17%22%3E%D0%9E%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0%20Lua%3A%20callParserFunction%3A%20function%20%26quot%3B%23property%26quot%3B%20was%20not%20found.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fstrong%3E Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.]

InChI

 

[http://chemapps.stolaf.edu/jmol/jmol.php?&model=InChI=%3Cstrong%20class%3D%22error%22%3E%3Cspan%20class%3D%22scribunto-error%22%20id%3D%22mw-scribunto-error-20%22%3E%D0%9E%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0%20Lua%3A%20callParserFunction%3A%20function%20%26quot%3B%23property%26quot%3B%20was%20not%20found.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fstrong%3E Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.]

[https://www.ncbi.nlm.nih.gov/sites/entrez?cmd=search&db=pccompound&term=%22%3Cstrong%20class%3D%22error%22%3E%3Cspan%20class%3D%22scribunto-error%22%20id%3D%22mw-scribunto-error-23%22%3E%D0%9E%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0%20Lua%3A%20callParserFunction%3A%20function%20%26quot%3B%23property%26quot%3B%20was%20not%20found.%3C%2Fspan%3E%3C%2Fstrong%3E%22%5BInChIKey%5D Ошибка Lua: callParserFunction: function «#property» was not found.]

Кодекс Алиментариус Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
RTECS Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
ChemSpider Ошибка Lua в Модуль:Wikidata на строке 170: attempt to index field ‘wikibase’ (a nil value).
Приводятся данные для стандартных условий (25 °C, 100 кПа), если не указано иного.

Гидрокарбонат кальция — кислая соль угольной кислоты. Химическая формула — Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mbox{Ca}(\mbox{HCO}_3)_2 .

Свойства

Как известно, все гидрокарбонаты в воде растворимы. Гидрокарбонат кальция обусловливает временную жёсткость воды. В организме гидрокарбонаты выполняют важную физиологическую роль — регулируют постоянство реакций в крови. При нагревании раствора гидрокарбоната кальция он разлагается:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathsf{Ca(HCO_3)_2}\xrightarrow{t}\mathsf{CaCO_3}\downarrow\mathsf{+H_2O+CO_2}

Таким образом, реакция разложения гидрокарбоната кальция является обратной реакцией его образования. Именно это уравнение является основным, по которому образуется накипь в чайниках и водонагревательных системах, так как в исходной воде почти всегда содержится гидрокарбонат кальция, который более растворим, чем карбонат.

Применение

Нормативы рекомендуют концентрацию гидрокарбонатов в питьевой воде в диапазоне 30—400 мг/дм³.

Получение

Гидрокарбонат кальция получают взаимодействием карбоната кальция с углекислым газом и водой:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mathsf{CaCO_3+CO_2+H_2O\longrightarrow \ Ca(HCO_3)_2}

См. также

Напишите отзыв о статье «Гидрокарбонат кальция»

Отрывок, характеризующий Гидрокарбонат кальция

Дверь открылась. А в неё, осторожно оглядываясь, вошла хрупкая высокая девочка… Ужас и радость на секунду сковали меня, не давая пошевелиться… Это была моя дочь, моя маленькая Анна!!!.. Правда, маленькой теперь её называть было уже трудновато, так как за эти два года она сильно вытянулась и повзрослела, став ещё красивее и ещё милей…
Моё сердце с криком рванулось к ней, чуть ли не вылетая из груди!.. Но спешить было нельзя. Я не знала, что задумал на этот раз непредсказуемый Караффа. Поэтому, надо было держаться очень спокойно, что было почти что выше моих человеческих сил. И только боязнь сделать непоправимую ошибку сдерживала мои ураганом рвавшиеся наружу бушующие эмоции. Счастье, ужас, дикая радость и страх потери одновременно рвали меня на части!.. Караффа довольно улыбался произведённым эффектом… что тут же заставило меня внутри содрогнуться. Я не смела даже подумать, что может последовать дальше… И знала, что, случись что-то ужасное, желание защитить Анну может оказаться слишком сильным, чтобы противиться Караффе… и я панически боялась, что не смогу отказать ему, чтобы он за это не попросил.
Но, к моему величайшему удивлению, его «сюрприз» оказался настоящим сюрпризом!..
– Рады ли Вы видеть дочь, мадонна Изидора? – широко улыбаясь, спросил Караффа.
– Всё зависит от того, что за этим последует, Ваше святейшество… – осторожно ответила я. – Но, конечно же, я несказанно рада!
– Что ж, наслаждайтесь встречей, я заберу её через час. Вас никто не будет беспокоить. А потом я зайду за ней. Она отправится в монастырь – думаю, это лучшее место для такой одарённой девочки, какой является Ваша дочь.
– Монастырь?!! Но она никогда не была верующей, Ваше святейшество, она потомственная Ведьма, и ничто на свете не заставит её быть другой. Это то, кто она есть, и она никогда не сможет измениться. Даже если Вы её уничтожите, она всё равно останется Ведьмой! Так же, как я и моя мать. Вы не сможете сделать из неё верующую!
– Какое же Вы дитя, мадонна Изидора!.. – искренне рассмеялся Караффа. – Никто не собирается делать из неё «верующую». Думаю, она может прекрасно послужить нашей святой церкви, оставаясь именно тем, кто она есть. А воз-можно даже и больше. У меня на Вашу дочь далеко идущие планы…

o-ili-v.ru

Сумма матрицы – определения, свойства и примеры решения задач

Сумма матриц

 

Описание переменных: 

one, two — исходные матрицы;
three — матрица-сумма двух предыдущих;
matrix — процедура, заполняющая массив случайными числами;
printer — процедура, выводящая содержимое массивов на экран;
plus — процедура, вычисляющая сумму матриц.

Алгоритм решения задачи: 

Под суммой матриц будем понимать сложение их элементов, находящихся в одинаковых позициях (имеющих одинаковые индексы). Таким образом уместно складывать матрицы одинаковой размерности. При этом будет получена третья матрица с такой же размерностью как исходные.

При решении подобной задачи лучше использовать подпрограммы (процедуры или функции), так как нам приходится заполнять несколько массивов и выводить их на экран. Без подпрограмм в коде будет содержаться много почти идентичного кода.

Используются процедуры, а не функции, так как при заполнении массивов в подпрограмму передается переменная, а не значение. Таким образом, процедура заполняет «внешнюю» для нее матрицу.

В процедуру, вычисляющую сумму матриц, передается три параметра: переменная матрицы-суммы, значения первой и второй матрицы.

В основной ветке программы процедуры последовательно вызываются.

Следует обратить внимание, что randomize вызывается единожды в основной ветке программы. Если данную команду вставить в процедуру заполнения массива, то оба массива будут заполнены одинаковыми числами. Это связано с тем, что «зерно» зависит от таймера, а между двумя вызовами проходит мало времени, чтобы таймер изменил значение. Таким образом, «зерно» в программе надо получать один раз. В этом случае при повторном вызове процедуры отсчет по формуле генерации псевдослучайных чисел продолжается, а не инициируется заново.

Программа на языке Паскаль: 

 

const N = 2; M = 5;
type arr = array[1..N,1..M] of integer;
var
	one,two,three: arr;
	i,j: byte;
 
procedure matrix(var a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := random(100);
	end;
 
procedure plus(var a: arr; b: arr; c: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := b[i,j]+c[i,j];
	end;
 
procedure printer(a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do begin
			for j:=1 to M do
				write(a[i,j]:4);
			writeln;
		end;
	end;
 
begin 
	randomize;
	matrix(one);
	printer(one);
	writeln;
	matrix(two);
	printer(two);
	writeln;
	plus(three,one,two);
	printer(three);
end.

 

Пример выполнения программы, вычисляющей сумму двух матриц:

  67  47  72   3  57
  72  99  89  94  90
 
   3  24  12  81  56
  99  76  37  21   4
 
  70  71  84  84 113
 171 175 126 115  94

 

pas1.ru

Матрицы, основные операции с матрицами

Определение матрицы

Матрицей размера называется набор чисел, записанных в таблицу из строк и столбцов:

   

Матрицу часто окружают обычными скобками:

   

Эти две записи матриц эквиваленты.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.

Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,

   

Тогда матрицы и равны, если для любого и для любого .

Сложение матриц

Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.

Пусть

   

Суммой матриц и называется матрица

   

То есть матрица является суммой матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме элементов матриц и , стоящих на тех же местах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число (обозначается ) называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на . То есть

   

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.

Матрица называется противоположной матрице . Разностью матриц и называется сумма .

Пример. Найти сумму и разность матриц

   

Решение. Сумма матриц

   

Разность матриц

   

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицу

   

состоящую из строк и столбцов. Матрица , все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы , называется транспонированной по отношению к и обозначается :

   

Пример. Транспонировать матрицу

   

Решение.

   

umath.ru

Сумма матриц Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

  • сложение матриц, имеющих один и тот же размер[⇨];
  • умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n{\displaystyle n} столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n{\displaystyle n} строк)[⇨];
  • в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы)[⇨];
  • умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)[⇨].

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория

ru-wiki.ru

Сумма матриц — это… Что такое Сумма матриц?

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dic.academic.ru

    сумма матриц — это… Что такое сумма матриц?

  • Сумма матриц — …   Википедия

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dic.academic.ru

    Суммы элементов строк матрицы

    Если поставлена задача вычислить сумму элементов каждой строки матрицы, то алгоритм ее выполнения таков:

    1. По-строчно перебираем элементы матрицы (внешний цикл отвечает за переход к новой строке, счетчик — первый индекс элементов).
    2. Во внешнем цикле перед внутренним присваиваем переменной для суммы значение 0. В ней будет накапливаться сумма элементов текущей строки, элементы которой перебираются во внутреннем цикле.
    3. После внутреннего цикла выводим значение переменной-суммы на экран.

    Ниже в примере решения данной задачи заполнение матрицы, вывод элементов на экран и подсчет суммы выполняются внутри одного цикла. Это сделано не только для сокращения кода программы, но и для красивого вывода. После того, как выводятся элементы очередной строки, в конце этой же строки выводится их сумма.

    const
        M = 7;
        N = 5;
    var
        mat: array[1..N,1..M] of real;
        i, j: byte;
        sum: real;
    begin 
        for i:=1 to N do begin
            sum := 0;
            for j:=1 to M do begin
                mat[i,j] := random();
                write(mat[i,j]:6:2);
                sum := sum + mat[i,j];
            end;
            writeln ('|', sum:6:2);
        end; 
    end.

    Пример выполнения:

      0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54|  4.71
     
      0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30|  3.66
     
      0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79|  3.84
     
      0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84|  4.54
     
      0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83|  2.36

    Если поставлена задача нахождения суммы элементов только определенной строки матрицы, то в решении используется только один цикл (без вложенного). Перебираются только элементы указанной строки. При этом меняется значение только второго индекса, а первый всегда постоянен — это номер строки.

    Программа ниже усложнена тем, что пользователь сам определяет номер строки матрицы, элементы которой необходимо просуммировать. Если поставлена задача, в которой конкретно задается строка, то вместо переменной num следует использовать число, обозначающее номер строки. Например, для третьей строки выражение sum := sum + mat[num,j] следует заменить на sum := sum + mat[3,j].

    const
        M = 7;
        N = 5;
    var
        mat: array[1..N,1..M] of real;
        i, j: byte;
        sum: real;
        num: byte;
    begin 
        for i:=1 to N do begin // только заполняем и выводим матрицу
            for j:=1 to M do begin
                mat[i,j] := random();
                write(mat[i,j]:6:2);
            end;
            writeln;
        end; 
        write('Введите номер строки: ');
        readln(num);
        sum := 0;
        for j:=1 to M do // считаем сумму элементов заданной строки
            sum := sum + mat[num,j];
        writeln('Сумма ее элементов: ', sum:6:2);
    end.

    Пример выполнения:

      0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54
     
      0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30
     
      0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79
     
      0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84
     
      0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83
     
    Введите номер строки: 2
     
    Сумма ее элементов:   3.66

    pas1.ru

    Сумма матриц — это… Что такое Сумма матриц?

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dikc.academic.ru

    4 класс оценка суммы – Памятка для начальных классов «Оценка суммы и разности»

    План-конспект урока по математике (4 класс) по теме: конспект урока математики для 4 класса по теме «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

    Конспект урока математики

    для 4 класса

    Тема: «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

    Цель:

    1. Способствовать закреплению навыков решения неравенств; умению выполнять оценку и прикидку арифметических действий.
    2. Развивать мыслительные операции, математическую речь, вычислительные навыки.
    3. Воспитывать умение работать в команде.

    Оборудование: карточки для работы групп, мультимедийный проектор, компьютер.

    Ход урока

    1. АОЗ.

    1) -Что записано на доске?

    а≥4        4≤х≤8    в≤2    6х10

    — На какие группы можно разделить данные выражения? ( Неравенства и двойные неравенства)

    — Сегодня на уроке вы работаете в группах. Вспомните правила работы в группе. Каждая группа выполняет  свои задания, представитель группы озвучивает результаты работы группы над каждым заданием.

    2) Прочитайте двойное неравенство. Найдите решения данных неравенств. Найдите пересечения множеств решений данных неравенств.

    1группа                               2 группа                                        3 группа

    3х≤7                                  2≤а6                                          5с≤9

    5≤х≤9                                   4а≤8                                          7с≤11

    1. Определение темы урока. Постановка задач урока.

    -Знание двойного неравенства, умение находить решения двойных неравенств помогает производить оценку суммы, разности, произведения. Постарайтесь определить тему сегодняшнего урока. Какие задачи поставим перед собою на сегодняшний урок?

         

    1. ФПН.

    1)

    -Для каждой группы предлагается следующая работа: определить, как изменяется результат действия в зависимости от изменения компонента действия. Ответить на предлагаемые вопросы, затем сравнить выражения не вычисляя. Каждой группе предлагается карточка с вопросами и заданиями

       1группа                                         2 группа                                     3группа

    7384+4608*7383+4608         685-374*690-374                     381х25*380х25

    547+264*590+264                   291-180*291-160               764х300*764х305

    Физминутка

    2)

    Сделайте оценку предлагаемому выражению. Для этого вспомните алгоритм выполнения оценки. Проверьте с помощью вычислений.

    1группа                                         2 группа                                     3 группа

    632+947                                        964-583                                       194х49

    Проверка выполнения работы.

    3)

    Решите задачу и докажите верность утверждения.

    1группа                                         2 группа                                     3 группа

    Учебник с.17, №5.                      Учебник с.20, №6.       По тексту учителя  

    Проверка выполнения работы.

    1. Рефлексия.

    -Какие задачи ставили?

    -Удалось ли решить поставленные задачи?

    -Оцените свою работу с помощью оценочной шкалы в тетради.

    -Дайте оценку работы членов группы на оценочном листе.

        5. Домашнее задание.

           с.18 №10, №13, №16* (задание повышенной степени сложности)                      

                                 

    Приложения к уроку

    Для 1 группы 

    Ответьте на вопросы

    1. Как изменится сумма, если слагаемое увеличится?
    2. Как изменится сумма, если слагаемое уменьшится?

    Сравни не вычисляя:

    7384+4608*7383+4608

    547+264*590+264

    _______________________

    Для 2 группы 

    Ответьте на вопросы

    1. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличится? Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшится?
    2. Как изменится разность, если вычитаемое увеличится? Как изменится разность, если вычитаемое  уменьшится?

    Сравни не вычисляя:

    685-374*690-374

    291-180*291-160

    Для 3 группы 

    Ответьте на вопросы

    1. Как изменится произведение, если множитель увеличится?
    2. Как изменится произведение, если множитель уменьшится?

    Сравни не вычисляя:

    38125*38025

    764300*764305

    ______________________

    Для 1 группы 

    Сделайте оценку суммы. Проверьте с помощью вычислений:

    632+947

    Для 2 группы 

    Сделайте оценку разности. Проверьте с помощью вычислений:

    964-583

    _________________________

    Для 3 группы

    Сделайте оценку произведения. Проверьте с помощью вычислений:

    29749

    Задача

    Расстояние от села Петровка до села Ивановка 38км, а от села Ивановка до станции Семёновская в 4 раза больше. Докажите, что расстояние от Ивановки до Семёновской больше 120 км, но меньше 160 км.

    ____________________

    Оценочный лист

    Фамилия , имя учащегося

    Оценка работы на уроке

    nsportal.ru

    План-конспект урока по математике (4 класс) на тему: конспект урока математики для 4 класса по теме «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

    Конспект урока математики

    для 4 класса

    Тема: «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

    Цель:

    1. Способствовать закреплению навыков решения неравенств; умению выполнять оценку и прикидку арифметических действий.
    2. Развивать мыслительные операции, математическую речь, вычислительные навыки.
    3. Воспитывать умение работать в команде.

    Оборудование: карточки для работы групп, мультимедийный проектор, компьютер.

    Ход урока

    1. АОЗ.

    1) -Что записано на доске?

    а≥4        4≤х≤8    в≤2    6х10

    — На какие группы можно разделить данные выражения? ( Неравенства и двойные неравенства)

    — Сегодня на уроке вы работаете в группах. Вспомните правила работы в группе. Каждая группа выполняет  свои задания, представитель группы озвучивает результаты работы группы над каждым заданием.

    2) Прочитайте двойное неравенство. Найдите решения данных неравенств. Найдите пересечения множеств решений данных неравенств.

    1группа                               2 группа                                        3 группа

    3х≤7                                  2≤а6                                          5с≤9

    5≤х≤9                                   4а≤8                                          7с≤11

    1. Определение темы урока. Постановка задач урока.

    -Знание двойного неравенства, умение находить решения двойных неравенств помогает производить оценку суммы, разности, произведения. Постарайтесь определить тему сегодняшнего урока. Какие задачи поставим перед собою на сегодняшний урок?

         

    1. ФПН.

    1)

    -Для каждой группы предлагается следующая работа: определить, как изменяется результат действия в зависимости от изменения компонента действия. Ответить на предлагаемые вопросы, затем сравнить выражения не вычисляя. Каждой группе предлагается карточка с вопросами и заданиями

       1группа                                         2 группа                                     3группа

    7384+4608*7383+4608         685-374*690-374                     381х25*380х25

    547+264*590+264                   291-180*291-160               764х300*764х305

    Физминутка

    2)

    Сделайте оценку предлагаемому выражению. Для этого вспомните алгоритм выполнения оценки. Проверьте с помощью вычислений.

    1группа                                         2 группа                                     3 группа

    632+947                                        964-583                                       194х49

    Проверка выполнения работы.

    3)

    Решите задачу и докажите верность утверждения.

    1группа                                         2 группа                                     3 группа

    Учебник с.17, №5.                      Учебник с.20, №6.       По тексту учителя  

    Проверка выполнения работы.

    1. Рефлексия.

    -Какие задачи ставили?

    -Удалось ли решить поставленные задачи?

    -Оцените свою работу с помощью оценочной шкалы в тетради.

    -Дайте оценку работы членов группы на оценочном листе.

        5. Домашнее задание.

           с.18 №10, №13, №16* (задание повышенной степени сложности)                      

                                 

    Приложения к уроку

    Для 1 группы 

    Ответьте на вопросы

    1. Как изменится сумма, если слагаемое увеличится?
    2. Как изменится сумма, если слагаемое уменьшится?

    Сравни не вычисляя:

    7384+4608*7383+4608

    547+264*590+264

    _______________________

    Для 2 группы 

    Ответьте на вопросы

    1. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличится? Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшится?
    2. Как изменится разность, если вычитаемое увеличится? Как изменится разность, если вычитаемое  уменьшится?

    Сравни не вычисляя:

    685-374*690-374

    291-180*291-160

    Для 3 группы 

    Ответьте на вопросы

    1. Как изменится произведение, если множитель увеличится?
    2. Как изменится произведение, если множитель уменьшится?

    Сравни не вычисляя:

    38125*38025

    764300*764305

    ______________________

    Для 1 группы 

    Сделайте оценку суммы. Проверьте с помощью вычислений:

    632+947

    Для 2 группы 

    Сделайте оценку разности. Проверьте с помощью вычислений:

    964-583

    _________________________

    Для 3 группы

    Сделайте оценку произведения. Проверьте с помощью вычислений:

    29749

    Задача

    Расстояние от села Петровка до села Ивановка 38км, а от села Ивановка до станции Семёновская в 4 раза больше. Докажите, что расстояние от Ивановки до Семёновской больше 120 км, но меньше 160 км.

    ____________________

    Оценочный лист

    Фамилия , имя учащегося

    Оценка работы на уроке

    nsportal.ru

    Презентация на тему Оценка суммы (4 класс)

    Слайд 1

    Оценка суммы 6 урок

    Слайд 2

    14 + 16 383 + 214 + 460 452 + 567 + 124 + 231 453 + 568 + 125 + 232 382 + 213 + 459 14 + 17

    Что вы знаете о действии сложении? Какие числа умеете складывать? Разбейте данные суммы на три группы. Каким образом это можно сделать? Разбейте эти выражения на группы по количеству слагаемых.

    Слайд 3

    Не производя вычислений, сравните суммы в каждой их групп. Чем воспользовались для сравнения сумм первой группы? Чем воспользовались для сравнения сумм второй группы? Как сравнили суммы последней группы?

    Слайд 4

    a↑ + b a + b↑ = c↑ a↑ + b↑

    a↓ + b a + b↓ = c↓ a↓ + b↓

    Опорные схемы

    Слайд 5

    6 8 16 18 26 28 36 38 46 48

    Посмотрите внимательно на этот ряд чисел и скажите, что интересного заметили? Найдите закономерность и назовите следующие 4 числа этого ряда.

    56, 58, 66, 68.

    Какое число лишнее в получившемся ряду? Есть ли среди этих чисел такие, у которых сумма цифр одинакова? Назовите соседей числа 68 Назовите ближайшие к 68 круглые числа (меньшее и большее). Запишите с помощью двойного неравенства, что 68 больше 60 и меньше 70.

    Слайд 6

    41 < х + 2 ≤ 58

    Прочитайте неравенство. Назовите, какие значения может принимать выражение x + 2. Почему? (Первое неравенство строгое, а второе – нестрогое.) Какие числа ряда удовлетворяют данному неравенству? Числа 41 и 56 ограничивают значение суммы x + 2. Поэтому их называют соответственно нижней и верхней его границами. В общем виде границы a и b некоторого выражения можно показать на луче так:

    0 41 56 0 а b

    Слайд 7

    нижняя граница верхняя граница

    Слайд 8

    Работа по учебнику стр.16

    Слайд 9

    Посмотрите на рисунки, что вы должны дальше сделать? Поставить перед собой цель и составить план действий. А зачем вам это надо? Нельзя начинать дело, если не понятно с какой целью мы его начали, а план нам поможет при открытии нового знания.

    Слайд 10

    Что вы сейчас повторили и, что нового узнали? Посмотрите на смайлики и скажите, что дальше я вам предложу? (Пробное задание.) С какой целью вам будет предложено пробное задание?

    Слайд 11

    Слайд 12

    Найти значения полученных выражений и записать двойное неравенство

    Заменить слагаемые меньшими круглыми числами (нижняя граница)

    Заменить слагаемые большими круглыми числами (верхняя граница)

    Слайд 13

    Заменить слагаемые, если это необходимо, меньшими круглыми числами(нижняя граница)

    Заменить слагаемые, если это необходимо, большими круглыми числами (верхняя граница)

    Слайд 15

    Слайд 16

    Работа по учебнику стр.17 Работа в парах

    Слайд 17

    Работа по учебнику стр.17

    1200< 784+519<1400 1500< 632+947<1700 11000< 7384+4608<13000

    Слайд 18

    (370•20)•32=236000(н.)

    Слайд 19

    Что нового вы узнали сегодня на уроке? Сегодня мы узнали, как способ оценки суммы. Какова была цель урока? Составить алгоритм оценки суммы, и научиться им пользоваться. Достигли вы этой цели? Что вам помогло достичь цель? А теперь я буду называть вам некоторые утверждения. Если вы считаете их истинными, то ставьте знак «+», если считаете ложными, то – знак «–». 1) Я понял, что такое оценка выражения. 2) Я понял, что такое нижняя и верхняя граница; 3) Я думаю, что сумею оценить сумму. 4) Мне еще надо поработать над этой темой. 5) Сегодня на уроке у меня остались вопросы. 6) Думаю, что я справлюсь с домашним заданием. 7) Я сегодня учился учиться.

    Слайд 20

    Домашнее задание:

    стр.17, №8; стр.18, №14(2-ой)

    prezentacii.org

    конспект урока математики для 4 класса по теме «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».


    Конспект урока математики
    для 4 класса
    Тема: «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».
    Цель:
    Способствовать закреплению навыков решения неравенств; умению выполнять оценку и прикидку арифметических действий.
    Развивать мыслительные операции, математическую речь, вычислительные навыки.
    Воспитывать умение работать в команде.
    Оборудование: карточки для работы групп, мультимедийный проектор, компьютер.
    Ход урока
    АОЗ.
    1) -Что записано на доске?
    а≥4 4≤х≤8 в≤2 6
    — На какие группы можно разделить данные выражения? ( Неравенства и двойные неравенства)
    — Сегодня на уроке вы работаете в группах. Вспомните правила работы в группе. Каждая группа выполняет свои задания, представитель группы озвучивает результаты работы группы над каждым заданием.
    2) Прочитайте двойное неравенство. Найдите решения данных неравенств. Найдите пересечения множеств решений данных неравенств.
    1группа 2 группа 3 группа
    3
    5≤х≤9 4
    Определение темы урока. Постановка задач урока.
    -Знание двойного неравенства, умение находить решения двойных неравенств помогает производить оценку суммы, разности, произведения. Постарайтесь определить тему сегодняшнего урока. Какие задачи поставим перед собою на сегодняшний урок?

    ФПН.
    1)
    -Для каждой группы предлагается следующая работа: определить, как изменяется результат действия в зависимости от изменения компонента действия. Ответить на предлагаемые вопросы, затем сравнить выражения не вычисляя. Каждой группе предлагается карточка с вопросами и заданиями
    1группа 2 группа 3группа
    7384+4608*7383+4608 685-374*690-374 381х25*380х25
    547+264*590+264 291-180*291-160 764х300*764х305
    Физминутка2)
    Сделайте оценку предлагаемому выражению. Для этого вспомните алгоритм выполнения оценки. Проверьте с помощью вычислений.
    1группа 2 группа 3 группа
    632+947 964-583 194х49
    Проверка выполнения работы.
    3)
    Решите задачу и докажите верность утверждения.
    1группа 2 группа 3 группа
    Учебник с.17, №5. Учебник с.20, №6. По тексту учителя
    Проверка выполнения работы.
    Рефлексия.
    -Какие задачи ставили?
    -Удалось ли решить поставленные задачи?
    -Оцените свою работу с помощью оценочной шкалы в тетради.
    -Дайте оценку работы членов группы на оценочном листе.
    5. Домашнее задание.
    с.18 №10

    profhelp.net

    План-конспект урока по математике (4 класс) на тему: План-конспект по математике на тему «Оценка частного»

    1.Организация начала урока

    1) Приветствие

    -Здравствуйте, дети, тихонечко садитесь. Сегодня я у вас проведу урок математики. Меня зовут Мария Сергеевна.

    2)Проверка готовности к уроку.

    -Ребята, а сегодня на уроке нам понадобится: учебник по математики, ручка, карандаш, тетрадь.

    -У всех ли все лежит на столе?

    Молодцы, ребята, тогда начинаем урок.

    Дети встают с мест,  приветствуют учителя.

    Затем тихонечко садятся и слушают учителя.

    — Дети слушают учителя.

    Проверяют свою готовность к уроку.

    Дети отвечают:

    -Да, все лежит на столе

    2.Мотивация к учебной деятельности

    -Ребята, а  сейчас послушайте стихотворение.

    Что стоит в конце страницы,

    Украшая всю тетрадь?

    Чем вы можете гордиться?

    Ну, конечно, оценкой …..

    Дети, внимательно слушают стихотворение.

    -Пять.

    3.Актуализация знаний

     -Ребята, давайте вспомним, что вы проходили на прошлых уроках?

    -Молодцы, а ещё что?

    -Хорошо, ребята, я вывешу вам на доску не большие опорные схемы оценки суммы, разности, произведения.(Вывешивает)

    -Всем эти схемы знакомы?

    -Дети, давайте откроем тетради ,пропустим 2 клеточки и запишем число и классная работа.

    -Ребята, на столах у вас лежат листочки с заданиями.  Возьмите, пожалуйста, их и выполните работу в тетрадях.

    А)182 + 37         б)182 ∙ 37        в)182 − 37          г)41 033 : 65

    -Все готовы?

    -А теперь давайте проверим. Посмотрите на доску там представлены ответы.

    -В первом примере нужно было найти оценку суммы.

    -Кто назовёт нижнюю границу?

    -А кто назовёт верхнюю границу?

    -Во втором примере нужно было найти оценку произведения.

    -Кто назовёт нижнюю границу и верхнюю.

    -В третьем примере нужно найти оценку вычитания.

    -Кто назовёт границы?

    -Ребята, а что вы не смогли сделать в этой работе? Были ли какие-то затруднения?

    -Ребята, как вы думаете, чем мы с вами будем сегодня заниматься на уроке?

    -Оценка суммы.

    -Оценка разности, умножения.

    -Да.

    -Выполняют.

    -100 + 30 130

    -100 ∙ 30

            3000

    -100 – 40

          60

    -Да.

    -Смотрят.

    -Называют. 130

    -240.

    -3000 и 8000.

    -60 и 170.

    -Да, мы не смогли сделать оценку частного.

    -научимся делать оценку частного.

    4.Открытие нового знания

    -Дети, чтобы начать знакомство с оценкой частного, ответьте на вопросы:
    Как изменяется частное, если делимое увеличивается? Уменьшается

    Как изменяется частное, если делитель увеличивается? Уменьшается?

    -Как вы думаете, как найти оценку частного?

    -Хорошо, чтобы проверить наши предположения прочитаем правила на стр. 25.Каждый читает просебя.

    -Учитель читает правило вслух.

    -Если одновременно заменить делимое меньшим числом, а делитель большим числом, то частное уменьшается. А если заменить делимое большим числом, а делитель меньшим числом, то частное увеличится.

    -Давайте, разберем один пример на доске, все вместе.

    23 660:65

    -Дети, для того чтобы сделать оценку частного, нужно найти верхнюю границу и нижнюю.

    -А что нужно сделать чтобы найти верхнюю границу?

    -А как найти нижнюю границу?

    -Дети, давайте найдём нижнюю границу данного примера.(учитель записывает)

    21 000:70

    -И сколько у нас получается нижняя граница?

    -А теперь верхнюю границу.(учитель записывает).

    24 000:60

    -А верхняя граница чему равна?

    -Теперь, нам нужно записать полностью пример (учитель записывает на доске)

    21 000:70

    300

    -И  закрепим наши знания, делая   №2 на стр.25, пропустив 2 клеточки и записываем №.

    -Ребят, а кто хочет выйти к доске и решить примеры? Делаем самостоятельно на доску не смотрим.

    -А теперь давайте проверим, прокомментируй Костя как ты нашёл границы?(А остальные сверяются с доской).

    -Умничка, садись. У всех так получилось?

    Физкультминутка.

    Раз — подняться, подтянуться
    Два — согнуться, разогнуться
    Три — в ладоши три хлопка, головою три кивка.
    На четыре — ноги шире.
    Пять — руками помахать,
    Шесть — за стол тихонько сесть.

    -Если делимое увеличить, то и частное увеличится.

    Если делимое уменьшить, то и частное уменьшится.

    Если делитель увеличивается, то и частное уменьшается.

    Если делитель уменьшается, то и частное увеличивается.

    -слушают.

    -слушают.

    — нужно делимое  увеличить, а   делитель уменьшить.

    -нужно делимое уменьшить, а делитель увеличить.

    -делают.

    -300

    -делают.

    -400

    -смотрят.

    -записывают.

    А)360:6

    60

    Б)24 000:60

    400

    В)36000:90

    400

    НЕТ

    -выходит и решает.

    -комментирует.

    -сверяют.

    -Да.

    -Дети поднимаются и подтягиваются  

    сгибаются, разгибаются , хлопают в ладоши и кивают головой, ноги на ширине ног ставят, руками машут, и садятся тихо за стол.

    5.Закрепление изученного материала

    Задание № 1

    Ребята, а теперь давайте сделаем  письменно  №3 на стр.26.  и потом его проверим. Ребята будьте внимательны в выполнении задания.

    -Ребята, все выполнили задания?

    -Ну тогда начнём проверять.

    -Что у нас получилось под буквой А, скажет нам Настя.

    -Умничка, кто хочет ответить под буквой Б?

    -Молодец, теперь проверяем под буквой В.

    -Под буквой Г.

    -И под буквой Д.

    -Умнички, ребята. У всех так получилось?

    -А всем всё было понятно?

    -Я очень рада что вы поняли тему.

    Задание №2

    -Ребята, выполним ещё одно задание  на стр.27 №10 под буквой А.Давайте прочитаем его.

    -Кто хочет прочитать?

    -Что известно в задаче?

    -А что нам нужно найти?

    -А ещё что нужно найти?

    -Верно, кто хочет решить эту задачу около доски?

    -Что нам нужно сделать сначала?

    -Верно, давайте запишем. Ваня записывает на доске, а остальные в тетрадях.

    -У всех так получилось?

    -Что нужно сделать, чтобы узнать сколько км. Проехал за 1 час?

    -Верно, а теперь, давайте начнём решать задачу. Нужно составить выражения, так как у нас написано такое условие.

    -Теперь запишем ответ.

    -Умничка, садись 5.

    -слушают.

    -а)840:7

    120

    Б)2000:40

    50

    В)2400:80

    300

    Г)42000:600

    70

    Д)160000:800

    200

    -Да.

    -Читает Олеся.

    -Что за 4 часа теплоход прошел 136 км.

    -Сколько километровон пройдёт за 8 часов.

    -Сколько теплоход пройдёт за 1 час.

    -решает Ваня.

    -Нужно написать краткую запись.

    -4ч—136 км.

      8ч—?

      1ч—?

    -Да.

    -Нужно 136:4

    -Составляет выражение: (136:4)*8=272

    -Ответ:272(км.) за 8 часов.

    6.Самостоятельная работа с проверкой по эталону

    — Ребята, выполним ещё одно самостоятельно  задание под №6 на стр.26.Будем выполнять его в тетрадях, а 2 человека выйдут к доске и решат, а потом мы обменяемся тетрадями с соседом и проверим, а зачем поставим оценку.

    -Всем понятно?

    -Ну тогда начинаем, пишем аккуратно.

    -Есть кто закончил? Ровненько сидим, ждем других.

    -Дети, внимание на доску, обменяйтесь листочками  по соседству и начнём проверять.

    -А теперь поставьте оценку своему соседу, если все правильно то 5, если одна ошибка 4, если 2, то 3. И соберите листочки на первую парту, потом эти оценки выставим в журнал.

    -А вам ребята я ставлю по 5.Умнички.

    -слушают.

    -Да.

    — решает, Костя.

    А)6+m*4=70

    m*4=70-6

    m*4=64

    m=64:4

    m=16

    6+16*4=70

    6+67=70

    Б) K:5+8=27

    K:5=27-8

    K:5=19

    K=19*5

    K=95

    95:5+8=27

    19+8=27

    Решает Оля:

    В) 30-200:n=25

    200: n=30-25

    200: n=5

    n =200:5

    n =40

    30-200:40=25

    30-5=25

    Г) T*20-36=144

    T*20=144+36

    T*20=180

    T=180:20

    T=9

    9*20-36=144

    180-36=144

    -Дети, теперь посмотрите на задание № 9 стр.26.Прочитайте.

    -Кто хочет продолжить числа под буквой А?

    -Умничка, верно.

    -Все согласны?

    -Теперь под буквой Б?

    -Верно.

    -Читают.

    -Отвечает Амалия.

    А)15,16,18,21,25,30,36,43.

    -Да.

    -отвечает Андрей.

    4,7,13,22.34,49,67,88.

    7.Подведение итогов.

    Рефлексия.

    -Ребята, скажи Что нового вы узнали на уроке?

    -Верно, а теперь, дети, у вас на столах лежат грустные и веселые смайлики, если вам понравился урок то прикрепите на красный картон, а если не понравился то на зеленый.

    -Все тихонечко садимся.

    — Домашнее задание

    -Открываем дневники, записываем дом. задание : стр.26№4 и стр.27№12 .

    -Спасибо за урок, ребята. До свидания!

    -как делать оценку частного.

    -прикрепляют.

    -записывают.

    — Встают.

    nsportal.ru

    Статья «Деятельностный подход при изучении по математике тем: «Оценка разности» и «Оценка частного» в 4 классе» — Математика — Начальные классы

    ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД ПРИ ИЗУЧЕНИИ

    ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕМ: «ОЦЕНКА РАЗНОСТИ» и «ОЦЕНКА ЧАСТНОГО» В 4 КЛАССЕ.

    Методические рекомендации из опыта работы

    учителя начальных классов высшей квалификационной категории – Фадюшиной Елены Владимировны ГОУ СОШ №1370 с углублённым изучением английского языка г. Москвы.

    В курсе обучения математике в начальной школе каждая тема – это важный кирпичик в построении прочного здания для дальнейшего обучения учащихся. Поэтому каждый учитель прекрасно понимает, что оттого насколько хорошо будет усвоен новый материал, настолько в дальнейшем быстрее и успешнее будет проходить не только обучение детей и возможность справляться с поставленными задачами, но и развитие ребят: умение мыслить, сравнивать, анализировать, контролировать, оценивать и т.д.

    Наверное, в наши дни редко встретишь учителя, который начнёт урок со слов: «А сегодня, дети, мы научимся …… Посмотрите, как это делается….. Повторяем за мной…..» Практически каждый учитель понимает, что такое развивающее обучение, старается создавать на уроке коллизии, осуществляет индивидуальный подход к каждому ребёнку. Конечно, огромная помощь для учителя – это программа, по которой он работает, и учебники, которые дают возможность реализовывать эту программу.

    На мой взгляд, учебники Л.Г. Петерсон, которой в 2003 году была присуждена Президентская премия, — это не просто современные, но очень мудрые учебники, построенные на знании детской психологии. Это учебники, по которым интересно заниматься не только детям, но и учителям. Многие согласятся, но скажут, что учиться по ним трудно. Вот здесь как раз и пригодится мастерство учителя, его творчество.

    В помощь учителю были изданы и «Поурочные разработки по математике в 4 классе» к учебному комплекту Л.Г. Петерсон; М.: «ВАКО», Семакиной Л.И., Гараевой Я.Ш. Авторы стремились выдержать требования, предъявляемые к изложению материала учителем и технологии проведения урока программой «Школа 2000…». Построение урока основывается на технологии деятельностного подхода и проблемного обучения, рекомендуемых Л.Г. Петерсон. В предлагаемом материале заложен принцип психологической комфортности, который помогает учащимся стать активными, проявить творческие способности, даёт возможность продвигаться при изучении математики в удобном для него темпе. Приводятся варианты нестандартных и интегрированных уроков.

    Тем не менее, всегда было и есть у учителя право на собственную импровизацию на уроке, на возможность что-то попробовать. Неуспех – это тоже результат, который даёт стимул для дальнейших размышлений и действий. А если успех? А если коллеги одобрили, попробовали также, и у них тоже успех? Тогда хочется поделиться с другими. Вдруг им тоже надо?

    Итак, ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТА действия (суммы, разности, произведения, частного). Что касается тем «ОЦЕНКА СУММЫ» И «ОЦЕНКА ПРОИЗВЕДЕНИЯ» (стр.16-18 и стр.22-24), то, на мой взгляд, они не только не вызывают у детей трудностей при изучении, но и в дальнейшем использование полученных знаний на практике проходит практически у всех ребят безошибочно. Они достаточно быстро округляют числа и определяют «нижние и верхние границы» для суммы и произведения:

    м + м < a + b < б + б

    м + м < a × b < б + б

    Ребята легко анализируют, быстро делают вывод о том, что сумма и произведение увеличиваются, если увеличиваются слагаемые или множители, и наоборот они уменьшаются, если слагаемые и множители уменьшаются. Эта прямая закономерность, проста и для понимания и для дальнейшего использования в работе даже ребятами, у которых обучение математике вызывает огромные затруднения. В дальнейшем, в 5,6,7 классах, учащиеся свободно используют полученные знания.

    А вот над изучением тем «ОЦЕНКА РАЗНОСТИ» и «ОЦЕНКА ЧАСТНОГО» хочется остановиться подробнее.

    Итак, 1. ОЦЕНКА РАЗНОСТИ.

    Основная цель: формировать способность к нахождению приближённого значения, границ разности.

    Авторы поурочных разработок предлагают на этапе постановки проблемы оценить разность: 529-346 и выбрать верный ответ

    500-300 < 529-346 < 600-400

    500-400 < 529-346 < 600-300

    600-300 < 529-346 < 500-300

    600-400 < 529-346 < 500-400

    А на этапе открытия детьми нового знания доказать, что вторая запись верна. При этом рассуждения следующие:

    1) «Нижняя граница» — это меньшая разность. Разность уменьшается, если уменьшаемое уменьшается, а вычитаемое увеличивается. Следовательно, «нижняя граница» — это меньшее круглое число уменьшаемого и большее круглое число вычитаемого.

    500 < 529; 400 > 346 «Нижняя граница»: 500-400=100

    2) «Верхняя граница» — это большая разность. Разность увеличивается при увеличении уменьшаемого и уменьшении вычитаемого. Следовательно, «верхняя граница» — это большее круглое число уменьшаемого и меньшее круглое число вычитаемого

    600 > 529; 300 < 346 «Верхняя граница»: 600-300=300

    Разность 529 и 346 находится между числами 100 и 300 (больше 100 и меньше 300)

    м б б м

    500-400 < 529-346 < 600-300

    100 < 529-346 < 300

    На мой взгляд, вполне та проблема, которая имеет право быть.

    Согласитесь,

    что совершенно верные рассуждения крайне затруднительны для понимания всеми учащимися класса, учитывая, что практически во всех классах есть и слабоуспевающие ребята и ребята, для которых русский язык не является родным.

    Один из принципов развивающего обучения – это преподавание на высоком уровне трудности, где предпочтение отдаётся знанию теоретических основ. Но, уважаемые коллеги, принцип доступности – это залог успешности каждого ученика! Кто, как не мы с вами знаем, что если понятие Р (периметра) в нашем классе слишком сложное для понимания детьми, то из урока в урок мы будем измерять забор на предполагаемом участке и т.д.

    Вернёмся к ОЦЕНКЕ РАЗНОСТИ.

    Так, для лучшего понимания на своих уроках я предлагала ребятам рассмотреть рисунки:

    — Представьте, что каждая из ёмкостей (мисок) наполнена жидкостью (водой).

    — Как вы думаете, что я предложу вам сделать, учитывая, что тема урока «Оценка разности»?

    (будем забирать воду, вычерпывать)

    — Представьте, что вы участвуете в конкурсе. Вы имеете право выбрать одну любую миску и одну любую ложку. Подумайте, какие предметы надо выбрать, если победителем конкурса будет считаться тот, у кого быстрее остальных останется меньше всего жидкости в миске.

    (анализируются все ответы)

    Из опыта знаю, что ребята практически сразу предлагают верное решение: «Надо взять самую маленькую (м) миску и самую большую (б) ложку»

    А ведь это и есть «НИЖНЯЯ ГРАНИЦА» разности (т.е. – остатка жидкости)

    — Как вы думаете, ребята, кто из конкурсантов может проиграть? У кого жидкости останется больше всего?

    (у того, кто возьмёт самую большую (б) миску и самую маленькую (м) ложку)

    Таким образом, найдена «ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА» разности.

    Далее большого труда для учителя не составит с помощью ребят перейти к числам и работать с ними, называя каждый компонент.

    Теперь, используя свойства для нахождения границ разности, ребята не станут, как жонглёры, переставлять с одного места на другое (путать) буквы м и б, тем самым, округляя подряд все числа, забывая смысл.

    Если в вашем классе много слабых ребятишек (и даже наглядно-образного мышления недостаточно), то можно предложить не анализ по картинке и представлению, а прямые непосредственные действия. Например, поиграть в классе, разделившись по рядам на три команды.

    1р. 2р. 3р.

    Выполняя действия, анализируя, они придут к тем же результатам.

    м – б < а – в < б — м

    Итак, ставя проблему перед учащимися, мы даём им возможность действовать, рассуждать, а значит анализировать и делать научные открытия на доступном их пониманию материале. Это не только залог успеха, но и база для прочности полученных знаний.

    1. ОЦЕНКА ЧАСТНОГО.

    В методических рекомендациях на этапе актуализации знаний рекомендуется выполнить №1 на стр. 25 из учебника. При этом детьми делаются выводы о том, что происходит с частным при увеличении или уменьшении делителя и делимого. Учитель подводит рассуждения детей к необходимому выводу о том, что взаимосвязь компонентов деления точно такая же, как и у вычитания.

    Далее, при постановке проблемы предлагается оценить границы:

    а) 175 + 35 б) 175 — 35 в) 175 × 35 г) 175 ÷ 35

    Вот и пригодятся все выводы на этапе «открытия» нового знания. И аналогично вычитанию округляем делимое и делитель, но только так, чтобы эти числа делились друг на друга без остатка. м б б м

    160 ÷ 40 < 175 ÷ 35 < 180 ÷ 30

    4 < 175 ÷ 35 < 6

    Нижняя граница Верхняя граница

    При всей несложности нового материала и вероятности того, что доброй половиной учащихся он будет понят, не стоит учителю забывать и о слабых детках, которым деятельностный подход просто необходим. А если он будет носить и наглядно-образный характер, то это огромный плюс не только для понимания, но и для реальной возможности использования новых знаний.

    Что же предложить учителю в помощь? Какие примеры лучше использовать для того, чтобы выводы относительно взаимосвязи компонентов деления были поняты абсолютно всеми учащимися? Можно предложить следующее:

    — Ребята, рассмотрите картинки. Далее (аналогично вычитанию) представьте, что весёлым человечкам нужно поделить между собой подарки.

    — В каком случае каждый из них получит наибольшее количество подарков?

    ( если подарков будет как можно больше, а человечков как можно меньше)

    — Передайте смысл этого высказывания, используя названия компонентов деления.

    (частное тем больше, чем больше делимое и меньше делитель)

    — Если мы с вами нашли наибольшее частное, то о какой границе идёт речь?

    ( о верхней)

    — А в каком случае весёлым человечкам достанется наименьшее количество подарков?

    (если подарков будет очень мало, а человечков – много)

    — Скажите то же самое с названием компонентов

    (частное тем меньше, чем меньше делимое и больше делитель)

    — О какой границе идёт речь, если найдено наименьшее частное?

    (о нижней)

    Так, то, что группа ребят в классе воспринимает крайне тяжело, переходит в разряд доступного понимания. Понимание обычных вещей на бытовом уровне приводит к тому, что процесс работы над математическими понятиями, свойствами, работе с числами и т.д. становится более лёгким и доступным для всех учащихся.

    Разумеется, каждый учитель волен самостоятельно подбирать необходимый материал.

    Рассуждения могут оставаться прежними даже, если мы начнём фактически делить яблоки, мандарины, пироги, конфеты и тому подобное. Приведу ещё один пример в картинках.

    Задание аналогично предыдущему. В каком случае сладкоежки получат самые большие кусочки торта, и какой группе сладкоежек достанутся самые маленькие кусочки?

    Ответом будет считаться следующий рисунок, на котором изображено правильное соответствие между верхним рядом и нижним.

    Примечание: на рисунках торты разной величины (от маленького до большого).

    В данном случае это важно, так как мы не объясняем детям доли и

    дроби, а показываем, как меняется делитель.

    Таким образом, формула м ÷ б < а ÷ в< б ÷ м наполняется реальным и наглядным смыслом.

    Переходя от наглядности к работе с числами, необходимо обязательно остановиться на правильном округлении чисел! Следует подбирать такие круглые числа, которые делятся без остатка!

    Уважаемые коллеги, если мой опыт для вас не лишён смысла и поможет при изучении данных тем, то позволю себе считать, что статья написана не напрасно.

    Список использованной литературы.

    • «Математика» в 4 классе, учебник, Л.Г. Петерсон, М., «Ювента»

    • «Поурочные разработки по математике: 4 класс», Л.И. Семакина, Я.Ш. Гараева, М., «ВАКО»

    pedsovet.su

    Обл значений функции – , , .

    Область значения и область определения числовой функции

    Контрольная работа

    по дисциплине: «Математика»

    Область значения и область определения числовой функции

    Введение

    Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

    Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 -5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

    Раздел 1. Функция и её свойства

    Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

    Переменная х — независимая переменная или аргумент.

    Переменная у — зависимая переменная

    Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х.

    Область определения функции — все значения, которые принимает независимая переменная.

    Область значений функции (множество значений) — все значения, которые принимает функция.

    Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f( —x)

    Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f( —x)= —f(x)

    Возрастающая функция — если для любых х1и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f1)<f2)

    Убывающая функция — если для любых х1и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f1)>f2)

    Раздел 2. Способы задания функции

    Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) — с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

    На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

    Раздел 3. Виды функций и их свойства

    1. Постоянная функция — функция, заданная формулой у=b, где bнекоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

    2. Прямая пропорциональность — функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число kназывается коэффициентом пропорциональности.

    Cвойства функции y=kx:

    1. Область определения функции — множество всех действительных чисел

    2. y=kx — нечетная функция

    3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

    3)Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b, где kиbдействительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

    Свойства функции y=kx+b:

    1. Область определения — множество всех действительных чисел

    2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

    3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

    Графиком функции является прямая.

    4)Обратная пропорциональность — функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

    Свойства функции y=k/x:

    1. Область определения — множество всех действительных чисел кроме нуля

    2. y=k/x нечетная функция

    3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке ( -;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке ( -;0) и на промежутке (0;+).

    Графиком функции является гипербола.

    5)Функция y=x2

    Свойства функции y=x2:

    1. Область определения — вся числовая прямая

    2. y=x2четная функция

    3. На промежутке [0;+) функция возрастает

    4. На промежутке ( -;0] функция убывает

    Графиком функции является парабола.

    6)Функция y=x3

    Свойства функции y=x3:

    1. Область определения — вся числовая прямая

    2. y=x3нечетная функция

    3. Функция возрастает на всей числовой прямой

    Графиком функции является кубическая парабола

    7)Степенная функция с натуральным показателем — функция, заданная формулой y=xn, где n — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

    Пусть n — произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xnобладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

    Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xnобладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.

    8)Степенная функция с целым отрицательным показателем — функция, заданная формулой y=xn, где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

    Пусть n — нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=xnобладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

    Пусть n — четное число, например n=2.

    Свойства функции y=x -2:

    1. Функция определена при всех x0

    2. y=x -2четная функция

    3. Функция убывает на (0;+) и возрастает на ( -;0).

    Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

    9)Функция y=х

    Свойства функции y=х:

    1. Область определения — луч [0;+).

    2. Функция y=х — общего вида

    3. Функция возрастает на луче [0;+).

    10)Функция y=3х

    Свойства функции y=3х:

    1. Область определения — вся числовая прямая

    2. Функция y=3х нечетна.

    3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

    11)Функция y=nх

    При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=nх обладает теми же свойствами, что и функция y=3х.

    12)Степенная функция с положительным дробным показателем — функция, заданная формулой y=xr, где r — положительная несократимая дробь.

    Свойства функции y=xr:

    1. Область определения — луч [0;+).

    2. Функция общего вида

    3. Функция возрастает на [0;+).

    На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.

    На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1

    13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем —функция, заданная формулой y=xr, где r — положительная несократимая дробь.

    Свойства функции y=xr:

    1. Обл. определения -промежуток (0;+)

    2. Функция общего вида

    3. Функция убывает на (0;+)

    14)Обратная функция

    Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.

    Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

    Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

    15)Сложная функция — функция, аргументом которой является другая любая функция.

    Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

    функция возрастание убывание

    Заключение

    Понятие функции является одним из основных понятии математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

    Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет».

    Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».

    Список использованной литературы

    1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: «Дрофа», 2000 года.

    2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: «Проспект», 2003 года.

    3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: «Просвещение», 1990 года.

    4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: «НГТУ», 2002 года.

    5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: «Физматлит», 2002 года.

    studfiles.net

    Алгебра (9 класс)/Квадратичная функция/Функция. Область определения и область значений функции

    Теория

    Функция

    Функция —- зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

    Переменную x называют независимой переменной или аргументом. Переменную y зависимой переменной, а также значениями функции. Записывают функцию так: y=f(x){\displaystyle y=f(x)} («игрек равно эф от икс»). Символом f(x){\displaystyle f(x)} также обозначают значение функции с аргументом x. f называют правило, по которому y зависит от x. Вместо f используют и другие буквы: g, φ и т.п.

    Пример 1
    Медицинский термометр

    Когда вы измеряете температуру (своего тела), высота, на которую поднимется ртуть в градуснике, будет зависеть от температуры вашего тела. Например, если x —- температура вашего тела в градусах Цельсия, а y —- высота, на которую поднимется ртуть в миллиметрах, то записать зависимость x от y можно так: y=f(x){\

    ru.wikiversity.org

    Что такое область значения функции? мне нужно определение.

    Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции. Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

    Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

    Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции. Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

    touch.otvet.mail.ru

    Дискретная математика онлайн упростить выражение – Математическая логика · oнлайн с подробным объяснением

    Дискретная математика1 | Решение задач по математике и другим предмет

    Контрольная работа № 1

    1. Даны множества A И B. Изобразить и записать с указанием характеристического свойства результат каждой операции:

    А) AÈB ; б) AÇB; в) A \ B; г) B \ A; д) ; е) ; ж) A´ B; з) B´ A.

    A = {X| xÎR, X > 2}, B = {X| xÎR,-5 £ X £ 8}

    Решение:

    Изобразим на числовой прямой множества А и В:

    Тогда

    А) AÈB= ;

    Б) AÇB= ;

    В) A \ B= ;

    Г) B \ A= ;

    Д) = ;

    Е) = ;

    Ж) A´ B= ;

    З) B´ A= .

    2. На диаграммах Эйлера-Венна изобразить результат операций, предварительно указав порядок действий в формуле.

    Решение:

    Порядок действий:

    1.

    2.

    3.

    4.

    Изобразим на диаграмме Эйлера–Венна:

    1.

    2.

    3.

    4.

    3. Упростить выражения, используя законы алгебры множеств

    Решение:

    .

    4. На множестве M Бинарное отношение RÍ M´M Задано характеристическим свойством. Представить отношение R Другими возможными способами. Выяснить какими свойствами оно обладает.

    Решение:

    Составим таблицу произведений элементов множества М, выделив те пары, которые удовлетворяют характеристическому свойству:

    -3

    -2

    0

    1

    2

    3

    -3

    9

    6

    0

    -3

    -6

    -9

    -2

    6

    4

    0

    -2

    -4

    -6

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    -3

    -2

    0

    1

    2

    3

    2

    -6

    -4

    0

    2

    4

    6

    3

    -9

    -6

    0

    3

    6

    9

    Тогда выпишем в явном виде отношение:

    Изобразим графически отношение:

    Свойства отношения:

    1)  Рефлексивность: так как , то данное отношение рефлексивно.

    2)  Так как , то отношение будет симметричным.

    3)  Тогда отношение не будет антирефлексивным и антисимметричным.

    4)  Транзитивность выполняется: при положительном значении хотя бы одной переменной и две другие также будут положительны; при отрицательном значении одной переменной остальные также будут отрицательны. Тогда произведение любой их пары будет положительно.

    5. Докажите тождество:

    Доказательство:

    6. Определите свойства отношений:

    .

    Решение:

    1)  Рефлексивность: так как , то данное отношение рефлексивно.

    2)  Так как из неравенства не следует неравенство , то отношение не будет симметричным.

    3)  Так как неравенства и могут одновременно выполняться лишь при условии , то отношение антисимметричное.

    4)  Транзитивность выполняется: .

    7. Для отношения, заданного матрицей, определить является ли оно отношением эквивалентности

    R

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    A

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    B

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    C

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    D

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    E

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    F

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    Решение:

    Отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

    Так как в матрице отношения по главной диагонали стоят все 1, то рефлексивность выполняется.

    Так как матрица является симметричной, то отношение также является симметричным.

    Исследуем на транзитивность:

    Тогда транзитивность выполняется.

    Следовательно, данное отношение является отношением эквивалентности.

    < Предыдущая   Следующая >

    matica.org.ua

    шпоры — дискретная математика

    1. Представить в СДНФ булеву функцию c вектором (0,0,0,0,0,0,1,1)

    СДНФ (0,0,0,0,0,0,1,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    2

    0

    1

    0

    0

    3

    0

    1

    1

    0

    4

    1

    0

    0

    0

    5

    1

    0

    1

    0

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 1

    2. Представить в СДНФ булеву функцию с вектором (0,0,0,1,0,0,1,0)

    СДНФ (0,0,0,1,0,0,1,0)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    2

    0

    1

    0

    0

    3

    0

    1

    1

    1

    4

    1

    0

    0

    0

    5

    1

    0

    1

    0

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    0

    выбираем строки где f = 1

    3. Представить в СДНФ булеву функцию с вектором (0,1,0,0,0,1,0,0)

    СДНФ (0,1,0,0,0,1,0,0)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    2

    0

    1

    0

    0

    3

    0

    1

    1

    0

    4

    1

    0

    0

    0

    5

    1

    0

    1

    1

    6

    1

    1

    0

    0

    7

    1

    1

    1

    0

    выбираем строки где f = 1

    4. Представить в СДНФ булеву функцию с вектором (1,0,0,0,0,0,1,0)

    СДНФ (1,0,0,0,0,0,1,0)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    2

    0

    1

    0

    0

    3

    0

    1

    1

    0

    4

    1

    0

    0

    0

    5

    1

    0

    1

    0

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    0

    выбираем строки где f = 1

    5. Представить в СДНФ булеву функцию с вектором (0,0,0,0,0,1,0,1)

    СДНФ (0,0,0,0,0,1,0,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    2

    0

    1

    0

    0

    3

    0

    1

    1

    0

    4

    1

    0

    0

    0

    5

    1

    0

    1

    1

    6

    1

    1

    0

    0

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 1

    6. Представить в СКНФ булеву функцию с вектором (1,1,0,1,1,1,1,1)

    СКНФ (1,1,0,1,1,1,1,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    2

    0

    1

    0

    0

    3

    0

    1

    1

    1

    4

    1

    0

    0

    1

    5

    1

    0

    1

    1

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 0

    7. Представить в СКНФ булеву функцию с вектором (1,1,1,1,0,1,1,1)

    СКНФ (1,1,1,1,0,1,1,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    2

    0

    1

    0

    1

    3

    0

    1

    1

    1

    4

    1

    0

    0

    0

    5

    1

    0

    1

    1

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 0

    8. Представить в СКНФ булеву функцию с вектором (1,1,1,1,1,0,1,1)

    СКНФ (1,1,1,1,0,1,1,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    2

    0

    1

    0

    1

    3

    0

    1

    1

    1

    4

    1

    0

    0

    1

    5

    1

    0

    1

    0

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 0

    9. Представить в СКНФ булеву функцию с вектором (1,0,1,1,1,1,1,1)

    СКНФ (1,0,1,1,1,1,1,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    2

    0

    1

    0

    1

    3

    0

    1

    1

    1

    4

    1

    0

    0

    1

    5

    1

    0

    1

    1

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 0

    10. Представить в СКНФ булеву функцию с вектором (1,1,1,0,1,1,1,1)

    СКНФ (1,1,1,0,1,1,1,1)

    x1

    x2

    x3

    f

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    2

    0

    1

    0

    1

    3

    0

    1

    1

    0

    4

    1

    0

    0

    1

    5

    1

    0

    1

    1

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    1

    выбираем строки где f = 0

    11. Представить в виде полинома Жегалкина булеву функцию, заданную вектором (0,1,1,0)

    Общий вид полинома:

    f(0,0) = a0 =0

    f(0,1) = a­2a0 = a2 0 = 1 => a2 = 1

    f(1,0) = a­1a0 = a1 0 = 1 => a1 = 1

    f(1,1) = a­12a1a2a0 = a­12110 = a­120 = 0 => a12 = 0

    f = X1X2

    12. Представить в виде полинома Жегалкина булеву функцию, заданную вектором (0,1,0,1)

    Общий вид полинома:

    f(0,0) = a0 = 0

    f(0,1) = a­2a0 = a2 0 = 1 => a2 = 1

    f(1,0) = a­1a0 = a1 0 = 0 => a1 = 0

    f(1,1) = a­12a1a2a0 = a­12100 = a­121=1 => a12 = 0

    f = X2

    13. Представить в виде полинома Жегалкина булеву функцию, заданную вектором (1,0,1,0)

    Общий вид полинома:

    f(0,0) = a0 = 1

    f(0,1) = a­2a0 = a2 1 = 0 => a2 = 1

    f(1,0) = a­1a0 = a1 1 = 1 => a1 = 0

    f(1,1) = a­12a1a2a0 = a­12101 = a­120 = 0 => a12 = 0

    f = X21

    14. Представить в виде полинома Жегалкина булеву функцию, заданную вектором (1,1,1,0)

    Общий вид полинома:

    f(0,0) = a0=1

    f(0,1) = a­2a0 = a2 1 = 1 => a2 = 0

    f(1,0) = a­1a0 = a1 1 = 1 => a1 = 0

    f(1,1) = a­12a1a2a0 = a­12001 = a­121 = 0 => a12 = 1

    f = X1X21

    15. Представить в виде полинома Жегалкина булеву функцию, заданную вектором (1,0,0,1)

    Общий вид полинома:

    f(0,0) = a0 = 1

    f(0,1) = a­2a0 = a2 1 = 0 => a2 = 1

    f(1,0) = a­1a0 = a1 1 = 0 => a1 = 1

    f(1,1) = a­12a1a2a0 = a­12111 = a­121 = 1 => a12 = 0

    f = X1X21

    16. Упростить выражение

    17. Упростить выражение

    18. Упростить выражение

    19. Упростить выражение

    20. Упростить выражение

    21. Упростить выражение

    22. Упростить выражение

    23. Упростить выражение

    24. Упростить выражение

    25. Упростить выражение

    26. Упростить выражение

    27. Упростить выражение

    28. Упростить выражение

    29. Упростить выражение

    30. Упростить выражение

    31. Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности

    1. «<» на множестве действительных чисел

    2. «быть подобными геометрическими фигурами»

    3. «≠» на множествеи целых чисел

    Ответ: 2, потому что явл-ся рефлексивным, симметричн. и транзитивн.

    32. Какие из следующих отношений являются отношениями частичного порядка

    1) “≤” на множестве всех множеств;

    2) “быть подобными геометрическими фигурами”;

    3) “” на множестве целых чисел;

    Ответ:1, потому что явл-ся рефлексивным, антисимметричн. и транзитивн.

    33. Какие из следующих отношений являются отношениями линейного порядка

    1) “” на множестве действительных чисел;

    2) “быть подобными геометрическими фигурами”;

    3) “” на множестве всех множеств

    Ответ:1

    34. Какие из следующих отношений не являются отношениями эквивалентности

    1) “=” на множестве действительных чисел;

    2) “быть подобными геометрическими фигурами”;

    3) “иметь непустое пересечение” на множестве непустых множеств

    Ответ:3

    35. Какие системы функций являются функционально полными

    1)

    2)

    3)

    Ответ:1,2

    т.к через них можно выразить все функции стандартного базиса

    1)

    2)

    studfiles.net

    Алгебра логики

    Алгебра логики

    В алгебре логики используются переменные, которые могут иметь только два значения: истина и ложь.

    Логические операции

    В алгебре логики используются следующие логические операции:

    1. Операция «И», логическое умножение, называетсяконъюнкция,обозначается следующим образом:

      1. A*B(где А и В — переменные) или АВ (знак умножения можно опускать)

      2. АВ

      3. А ANDВ (в программах)

    Данная операция истинна, если все аргументы, участвующие в ней истинны, во всех остальных случаях она – ложна.

    1. Операция «ИЛИ», логическое сложение, называетсядизъюнкция, обозначается следующим образом:

      1. А+В (где А и В — переменные)

      2. А В

      3. А ORВ (в программах)

    Данная операция ложна, если все аргументы, участвующие в ней ложны, во всех остальных случаях она – истинна.

    1. Операция «НЕ», логическое отрицание, обозначается следующим образом:

    __

      1. А

      2. ¬А

      3. NOTA(в программах).

    Если А – истинно, то ¬А – ложно, а если А – ложно, то ¬А – истинно.

    1. Операция «импликация», обозначается следующим образом:

      1. АВ

      2. А IMPВ (в программах).

    Данная операция ложна, если первый аргумент (А) – истинный, а второй аргумент (В) – ложный. В остальных случаях данная операция – истинна.

    1. Операция «эквиваленция», обозначается следующим образом:

      1. А В

      2. АВ

      3. А=В

      4. А↔В

      5. А EQVВ (в программах).

    Данная операция истинна, если оба аргумента А и В – одинаковые (оба истинные или оба ложные). В остальных случаях данная операция ложна.

    1. Операция «исключающее ИЛИ», обозначается следующим образом:

      1. А В

      2. А XOR В (в программах).

    Данная операция ложна, если все аргументы, участвующие в ней ложны, либо все аргументы, участвующие в ней истинны, во всех остальных случаях она – истинна.

    Приоритеты логических операций

    Если в одном логическом выражении имеется несколько логических операций, то они выполняются в следующей последовательности:

    1. Операции в скобках

    2. Операция «НЕ»

    3. Операция «И»

    4. Операция «ИЛИ», операция «исключающее ИЛИ» — имеют одинаковый приоритет

    5. Операция «импликация»

    6. Операция «эквиваленция»

    Таблицы истинности

    Таблицы истинности применяются для вычисления логических выражений при всевозможных сочетаниях значений входящих в выражение аргументов. Значениями логических выражений и входящих в них переменных могут быть истина (1) или ложь (0). Количество всевозможных сочетаний значений входящих в выражение аргументов (переменных) определяется по формуле 2к, где к – количество переменных, входящих в выражение. Сами сочетания можно определить следующим образом: общее количество сочетаний делится пополам, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0 (ложь), а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1 (истина). Затем каждая из этих половинок опять делится пополам и опять, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0, а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1. Затем опять каждая из полученных половинок делится пополам и опять, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0, а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1, т.д. Это производится до тех пор, пока в половинках не окажется по одной переменной, для первой из них устанавливаем значение 0, а для второй – 1.

    Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение, значение этого выражения всегда 1, то такое выражение называется тождественно-истинным.

    Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение значение этого выражения всегда 0, то такое выражение называется тождественно-ложным.

    Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение значение этого выражения может быть равно 0 или 1, то такое выражение называется нейтральным или выполнимым.

    Пример 1

    Дано логическое выражение: F=((C+B) B)*(A*B)B. Построить для него таблицу истинности и определить тип логического выражения. Выражение может быть тождественно-истинным, тождественно-ложным или нейтральным.

    Решение

    В данном выражении 3 переменных (A,B,C), поэтому количество сочетаний значений этих переменных равно 23=8.

    Проставляем приоритеты (последовательность выполнения) логических операций:

    1. C+B

    2. (C+B)B

    3. A*B

    4. ((C+B)B))*(A*B)

    5. F = ((C+B)B)*(A*B)B

    Заполняем таблицу истинности в соответствии с указанными приоритетами и определениями логических операций:

    A

    B

    C

    C+B

    (C+B)B

    A*B

    ((C+B)B))*(A*B)

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Так как при всех возможных сочетаниях значений переменных, входящих в данное логическое выражение, значение логического выражения равно 1,то это означает, что данное логическое выражение является тождественно-истинным.

    Пример 2

    Дано логическое выражение: F=A+B*CAB+C. Построить для него таблицу истинности и определить тип логического выражения.

    Решение

    В данном выражении 3 переменных (A,B,C), поэтому количество сочетаний значений этих переменных равно 23=8.

    Проставляем приоритеты (последовательность выполнения) логических операций:

    1. B*C

    2. A+B*C

    3. B+C

    4. A+B*CA

    5. F = A+B*CAB+C

    Заполняем таблицу истинности в соответствии с указанными приоритетами и определениями логических операций:

    A

    B

    C

    B*C

    A+B*C

    B+C

    A+B*CA

    F

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Так как при всех возможных сочетаниях значений переменных, входящих в данное логическое выражение, значение логического выражения равно 1 или 0, то это означает, что данное логическое выражение является нейтральным.

    Упрощение логических выражений

    Для упрощения логических выражений нам понадобятся следующие соотношения алгебры логики:

    

    1. X=X

    2. XY=YX– переместительный закон умножения

    3. X+Y=Y+X- переместительный закон сложения

    4. X(YZ)=(XY)Z– сочетательный закон умножения

    5. X+(Y+Z)=(X+Y)+Z- сочетательный закон сложения

    6. X(Y+Z)=XY+XZ– первый распределительный закон

    7. X+(YZ)=(X+Y)(X+Z) — второй распределительный закон

      

    1. (X+Y)=XY– отрицание суммы равно произведению отрицаний слагаемых (для любого числа слагаемых)

      

    1. (XY)=X+Y– отрицание произведения равно сумме отрицаний сомножителей (для любого числа сомножителей)

    2. X+X=X

    1. X+X=И – здесь И означает «истина»

    2. XX=X

    1. X*X=Л – здесь Л означает «ложь»

    2. X*И=X

    3. X+Л=X

    1. XY=X+Y

     

    1. XY=XY+XY

    2. X+XY=X

    1. X+XY=X+Y

     

    1. X+XY=X+Y

     

    1. XY=AB+AB

    Все данные соотношения можно доказать с помощью таблицы истинности, используя определения логических операций.

    Упрощение логического выражения заключается в приведении его к виду, содержащему минимальное количество логических операций. В упрощенном выражении должны, как правило, содержатся только простые логические операции: И, ИЛИ, НЕ. Если в результате упрощения логическое выражение становится равным «Л» (ложь), то такое логическое выражение является тождественно-ложным. Если в результате упрощения логическое выражение становится равным «И» (истина), то такое логическое выражение является тождественно-истинным. А если полученное в результате упрощения логическое выражение может быть равным «Л» или «И» в зависимости от значений входящих в него переменных, то такое выражение называется нейтральным.

    Пример 1

     

    Дано логическое выражение: (AB)(A(B+C). Упростить данное логическое выражение и определить тип полученного в результате упрощения выражения (тождественно-истинное, тождественно-ложное, нейтральное).

    Решение

    Упрощаем данное выражение по частям в соответствии с приоритетами логических операций:

    1. (AB)=A+B (использовалось соотношение 16)

       

    1. (A(B+C)=A+(B+C)=A+B+C

     

           

    1. (AB)(A(B+C)=(A+B)(A+B+C)=(A+B)(A+B+C)+(A+B)(A+B+C)=

          

    =(A+B)(A+B+C) +ABABC= (A+B)(A+B+C) (использовались соотношения 17,8,13,15)

    Рассмотрим полученное логическое выражение:

     

    (A+B)(A+B+C)

    При A=1,B=0 и любом значении С, значением полученного выражения будет 0 (ложь), а при A=0,C=1 и любом значении В, значением полученного выражения будет 1 (истина).

    Следовательно, полученное логическое выражение является нейтральным.

    Пример 2

    Дано логическое выражение:

    Необходимо его упростить, упрощенный вид должен содержать не более трех логических операций.

    Решение:

    Упрощаем данное выражение по частям в соответствии с приоритетами логических операций:

    1. (использовалось соотношение 16)

    2. (использовалось соотношение 16)

    3. (использовались соотношения 16,8,1)

    4. (использовалось соотношение 20)

    5. (использовалось соотношение 17)

    (использовалось соотношение 8)

    (использовались соотношения 12,10,1)

    (использовались соотношения 13,15,18)

    Ответ:

    studfiles.net

    Ответы@Mail.Ru: Упростить выражение, дискретная математика

    Т. к. у нас только пересечения, объединения и дополнения, то можно один в один переписать выражение в терминах булевой алгебры: d(x) = x in D (x принадлежит D) и т. д.. ~ — отрицание = дополнение множества | — логическое сложение = объединение множеств & — логическое умножение = пересечение множеств Получаем для любого x: d(x) & c(x) & ~a(x) | ~d(x) & c(x) & ~a(x) | ~d(x) & ~c(x) & ~a(x) | ~(b(x) | a(x)) d & с & ~a | ~d & с & ~a | ~d & ~c & ~a | ~(b | a) вносим отрицание в последнюю скобку d & с & ~a | ~d & с & ~a | ~d & ~c & ~a | ~b & ~a выносим ~a за скобки ~a & (d & с | ~d & с | ~d & ~с | ~b) перегруппировываем ~a & ((d & с | ~d & с) | (~d & с | ~d & ~с) | ~b) выносим с и ~d за скобки ~a & (с & (d | ~d) | ~d & (с | ~с) | ~b) убираем тавтологии ~a & (с | ~d | ~b) В получившемся выражении просто меняем буквы на заглавные и значки логических операций на действия с множествами.

    <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_839dacc8d70dca0bef2227cbb9454b68_120x120.jpg» data-hsrc=»https://otvet.imgsmail.ru/download/u_839dacc8d70dca0bef2227cbb9454b68_800.jpg» ><img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/22904341_d6c3f2e32d8b88e55fe5eea40263f20e_120x120.jpg» data-hsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/22904341_d6c3f2e32d8b88e55fe5eea40263f20e_800.jpg» >

    touch.otvet.mail.ru

    Как найти объем зная высоту и диаметр – Диаметр и высота цилиндра | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

    Как найти объем зная длину и диаметр, формула расчета объема воды

    Объем цилиндра

    Цилиндр — геометрическое тело, которое образуется  при помощи цилиндрической поверхности.

    Причем данная цилиндрическая поверхность ограничена двумя плоскостями, параллельными друг к другу. Прямой цилиндр получают, вращая прямоугольник вокруг его стороны.

    Для того чтобы точно вычислить объем цилиндра, можно выполнить достаточно простые приемы.

    Для этого нам понадобятся:

    • рулетка или линейка;
    • маркер или карандаш;
    • любой предмет с прямыми углами (можно использовать обычный лист картона или бумаги).

    Например, мы имеем некоторую емкость для жидкости, она имеет цилиндрическую форму. Перед нами стоит задача заполнить данную емкость определенной жидкостью, но мы не знаем какое количество жидкости, заполнит емкость. Для этого нам нужно вычислить ее объем.

    Еще в школьные годы на уроках геометрии мы изучали формулу для нахождения объема цилиндра:

    V = SH

    А это означает, для того чтобы найти объем цилиндра, нужно вычислить произведение площади основания цилиндра S на высоту цилиндра H.

    Высоту цилиндра H достаточно легко измерить при помощи линейки или рулетки.

    Определяем площадь основания цилиндра. Для этого нам нужно знать площадь круга. С данной формулой мы тоже знакомились на уроках геометрии в школе. Выглядит она так:

    S = πR2

    Число π в математике обозначает соотношение диаметра и длин окружности, оно равно 3.14159265… Радиус окружности — R.

    Для того чтобы вычислить площадь окружности при помощи обычной измерительной линейки, используем школьный прием – впишем в окружность прямоугольный треугольник. В данном случае, гипотенуза вписанного в окружность треугольника будет равна диаметру нашей искомой окружности.

    Используем лист картона или бумаги, либо другой предмет с прямыми углами. Накладываем его так на наш цилиндр, чтобы его прямой угол α упирался своей вершиной А в край нашего цилиндра.

    Как провести расчет различных параметров труб: базовые формулы и примеры вычислений

    Те стороны треугольника, что пересекаются с окружностью, нужно наметить при помощи маркера или карандаша, а также соединить их прямой линией. Выходит, что мы попадаем на вершины треугольника В и С. А это значит: полученный отрезок является диаметром нашей окружности. Так как половина диаметра окружности составляет ее радиус, то отрезок ВС нужно разделить на две части. Получаем центр окружности – точку О.

    Выходит, что радиусом основания данного цилиндра являются отрезки ОС и ОВ. Можем смело подставить их полученные значения в формулу: V = πR2H.

    Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Геометрия»

    система комментирования CACKLE

    Так как на улице уже практически лето, мы хотим вспомнить неделю, посвященную воде и специальным спортивным напиткам — изотоникам, и дополнить ее постом о питьевом режиме во время тренировок.

    Начнем, пожалуй, с расчета необходимого количества воды. В среднем, взрослый человек должен выпивать в день 2 2,5 литра воды, в дни активных занятий спортом — 3 3,5 литра. Однако ваши личные потребности могут не совпадать с этим среднестатистическим, так как у каждого организма свой питьевой режим.

    Рассчитать необходимое количество можно по двум простым формулам (для мужчин и для женщин):

    • Мужчины: Вес тела х 35
    • Женщины: Вес тела х 31

    К примеру, я вешу 48 кг, значит, моя дневная норма воды составляет около 1,5 литров. Конечно же, в тренировочные дни эта норма будет выше. Мало воды это плохо, но и чрезмерное употребление воды так же может привести к неприятным последствиям, вплоть до летальных (известны случаи смерти во время марафонов от гипонатриемии). Поэтому, в первую очередь, вы должны прислушиваться к своему организму и смотреть на состояние своего тела.

    Во время тренировок из нашего тела выводиться большее количество влаги (через пот и интенсивное дыхание), поэтому для восстановления водного баланса нужно пить больше воды.

    Международная марафонская медицинская ассоциация директоров (IMMDA) выделила основные принципы употребления воды спортсменами во время марафонов — марафонцы должны употреблять 380-780 мл каждый час. Чем медленнее будет ваш темп, тем меньше воды нужно будет пить.

    Согласно их же исследованиям, если ваша тренировка длится более 30 минут, простую воду лучше заменить изотониками.

    Водные запасы можно пополнить перед тренировкой — 500 мл за несколько часов до пробежки или соревнования, и 150 мл прямо перед стартом.

    Расчет тренировочного водного запаса

    Для того чтобы понять, сколько воды нужно пить во время пробежки лично вам, нужно выполнить следующий алгоритм:

    • Взвеситься без одежды прямо перед тестом.
    • Бежать или идти в течение 1 часа со своим стандартным беговым темпом.
    • Не пить во время тренировки.
    • После пробежки снова проверить свой вес (без одежды). Разница в весе (в унциях) — это ваша почасовая интенсивность потоотделения. То есть, вы должны пить не менее и не более этого количества жидкости каждый час.

    Так как у нас метрическая система, вес можно перевести в граммы и потом, на основании этого, посчитать необходимое количество воды в мл. К примеру, разница в весе после тестовой тренировки составила 350 г, это означает, что ваша почасовая норма употребления жидкости составляет 350 мл.

    Объем цилиндра, формула.

    Так как рекомендуется пить каждые 15-20 минут, делим это количество на 3 или 4 и получаем объем воды, который мы должны вливать в себя через эти промежутки (116 мл или 88 мл соответственно).

    Затем следует провести еще один часовой забег, но при этом уже пить необходимое количество воды, которое вы получили во время расчетов. Снова взвешиваетесь без одежды до забега, затем после, и сравниваете результаты. Если разница незначительная, значит это и будет ваше идеальное количество воды для тренировки именно с таким темпом. Если же разница все равно будет ощутимой, то нужно немного откорректировать количество жидкости в большую сторону.

    Также рекомендуется учитывать погодные условия (температуру, влажность воздуха), так как в жаркую погоду потеря жидкости будет больше, чем при средней температуре. То же самое касается и ветреных теплых дней, так как влага в этом случае будет испаряться с кожи значительно быстрее из-за ветра, а это означает, что объем воды, необходимый для поддержания баланса, снова возрастет.

    Продуктивных вам тренировок, и не забывайте о воде!

    Объем цилиндра

    Цилиндр — геометрическое тело, которое образуется  при помощи цилиндрической поверхности.

    Причем данная цилиндрическая поверхность ограничена двумя плоскостями, параллельными друг к другу.

    Расчет объема труб

    Прямой цилиндр получают, вращая прямоугольник вокруг его стороны.

    Для того чтобы точно вычислить объем цилиндра, можно выполнить достаточно простые приемы.

    Для этого нам понадобятся:

    • рулетка или линейка;
    • маркер или карандаш;
    • любой предмет с прямыми углами (можно использовать обычный лист картона или бумаги).

    Например, мы имеем некоторую емкость для жидкости, она имеет цилиндрическую форму. Перед нами стоит задача заполнить данную емкость определенной жидкостью, но мы не знаем какое количество жидкости, заполнит емкость. Для этого нам нужно вычислить ее объем.

    Еще в школьные годы на уроках геометрии мы изучали формулу для нахождения объема цилиндра:

    V = SH

    А это означает, для того чтобы найти объем цилиндра, нужно вычислить произведение площади основания цилиндра S на высоту цилиндра H.

    Высоту цилиндра H достаточно легко измерить при помощи линейки или рулетки.

    Определяем площадь основания цилиндра. Для этого нам нужно знать площадь круга. С данной формулой мы тоже знакомились на уроках геометрии в школе. Выглядит она так:

    S = πR2

    Число π в математике обозначает соотношение диаметра и длин окружности, оно равно 3.14159265… Радиус окружности — R.

    Для того чтобы вычислить площадь окружности при помощи обычной измерительной линейки, используем школьный прием – впишем в окружность прямоугольный треугольник. В данном случае, гипотенуза вписанного в окружность треугольника будет равна диаметру нашей искомой окружности.

    Используем лист картона или бумаги, либо другой предмет с прямыми углами. Накладываем его так на наш цилиндр, чтобы его прямой угол α упирался своей вершиной А в край нашего цилиндра.

    Те стороны треугольника, что пересекаются с окружностью, нужно наметить при помощи маркера или карандаша, а также соединить их прямой линией. Выходит, что мы попадаем на вершины треугольника В и С. А это значит: полученный отрезок является диаметром нашей окружности. Так как половина диаметра окружности составляет ее радиус, то отрезок ВС нужно разделить на две части. Получаем центр окружности – точку О.

    Выходит, что радиусом основания данного цилиндра являются отрезки ОС и ОВ. Можем смело подставить их полученные значения в формулу: V = πR2H.

    Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Геометрия»

    система комментирования CACKLE

    pasmr21.ru

    Масса полой детали | Математика для ювелиров

    1.06.2013 // Владимир Трунов   

    Никогда не устану повторять, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей):

    Однако, в случае полой или пустотелой детали мы будем иметь дело не с объемом ее тела, а с объемом ее стенок. Объем стенок полой детали проще всего представить как разность объемов двух сплошных тел: с внешними размерами и с внутренними (из полного объема тела вычитается объем внутренней пустоты).
    Формулы для объема сплошных тел можно найти в статье «Масса сплошной детали».

    Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
    Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.


    1. Масса трубки (полого цилиндра)

    Объем стенок трубки: , где — внешний диаметр трубки, — длина трубки, — толщина стенки.
    После упрощения получаем формулу для объема:
    Тогда масса трубки:


    2. Масса полого (пустотелого) шара

    Объем стенок шара: , где — внешний диаметр шара, — толщина стенки.
    Тогда масса:


    3. Масса полого сегмента шара

    Объем стенок сегмента шара: , где — внешний диаметр основания сегмента, — высота сегмента, — толщина стенки*.
    После упрощения получаем формулу для объема:
    Тогда масса:


    4. Масса полого усеченного конуса

    Объем стенок круглого усеченного конуса: , где — внешний диаметр большего основания, — внешний диаметр меньшего основания, — высота конуса, — толщина стенки*.
    После упрощения получаем формулу для объема:
    Тогда масса:


    5. Масса полой усеченной пирамиды

    Для простоты рассмотрим усеченную пирамиду с квадратным основанием. Объем ее стенок: , где — внешний размер большего основания, — внешний размер меньшего основания, — высота пирамиды, — толщина стенки*.
    После упрощения получаем формулу для объема:
    Тогда масса:


    * в данном случае — это не вполне толщина стенки. Строго говоря, мы имеем тут дело с двумя величинами: та , что стоит в формулах за скобкой, это точно толщина стенки, а та , которую мы отнимаем от внешнего размера тела, чтобы получить его внутренний размер, — это толщина стенки, деленная на косинус угла наклона образующей. Но в большинстве случаев толщина стенки не превышает нескольких процентов от размеров тела, и ошибкой можно пренебречь. Однако, для толстостенных деталей это обстоятельство нужно учитывать.

    tvlad.ru

    Объем жидкости в цилиндрической таре

    Ага, сегодня я путем несложных умозаключений буду выяснять объем жидкости, находящейся в цилиндрической таре, лежащей на боку.
    И это не праздности ради, а дела для.

    Цитирую запрос пользователя объем сегмента цилиндра (2):
    Доброго времени суток. Видел калькулятор объема сегмента цилиндра, но нужно немножко другое. По работе приходится измерять количество жидкости в таре. Так вот допустим тара цилиндрической формы R=1,13м и H=6,3м лежит на поверхности. Жидкости в таре 0,9м от поверхности. Вопрос: какой объем жидкости в таре?

    Там дальше в запросе идут ссылки на решение, но это же не спортивно, поэтому я пошел своим путем 🙂 Сразу замечу, что вторая, более сложная задача — объем жидкости в таре, лежащей под наклоном, еще ждет своего решения.

    Вот калькулятор, который все считает, а ход рассуждений, как обычно, под ним.

    Точность вычисления

    Знаков после запятой: 2

    Объем жидкости

     

    Процентов от общего объема

     

    Общий объем цилиндра

     

    Сохранить share extension

    Итак, сформулируем задачу наглядно, и посмотрим на цилиндр в разрезе (см. рисунок). Если уровень жидкости m больше половины, то находим объем воздуха в оставшейся части, а потом вычитаем из общего объема — т. е. всегда сводим к случаю, изображенному на рисунке.

    Формула объема всего цилиндра известна — площадь основания, помноженная на высоту.

    А нам, значит, надо найти площадь фигуры, залитой синей жидкостью, и тоже помножить на высоту. Пытливый взгляд отметит, что фигура, залитая синей жидкостью, получается из сектора после вычета верхнего треугольника.

    Площадь сектора находится как
    , где альфа — это угол дуги в радианах.

    Угол дуги нам неизвестен. Разберемся сначала с ним. Линия, опущенная вертикально вниз делит верхний треугольник на два прямоугольных треугольника. Гипотенуза у них равна R, а катет, прилежащий к верхнему углу, равен R-m. Таким образом,

    соответственно

    и ответ нам Javascript даст как раз в радианах, то что нам нужно.

    Теперь разберемся с верхним треугольником. Он равнобедренный, бедра равны R, а основание нам неизвестно. Найдем его.
    А оно как раз равно удвоенному противолежащему катету, который, согласно всем известной теореме Пифагора равен

    Зная все стороны треугольника, нетрудно найти его площадь по формуле Герона — Расчет площади треугольника по формуле Герона.

    где

    Вот, собственно, и все. Мы знаем площадь сектора и площадь треугольника. Вычитаем площадь треугольника из площади сектора, домножаем на высоту цилиндра (или длину цилиндра, с учетом того, что он лежит) и получаем результат.

    planetcalc.ru

    Масса сплошной детали | Математика для ювелиров

    9.05.2013 // Владимир Трунов   

    Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

    Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей):

    Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

    Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
    Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

    Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).


    1. Масса параллелепипеда (бруска)

    Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
    Тогда масса:


    2. Масса цилиндра

    Объем цилиндра: , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
    Тогда масса:


    3. Масса шара

    Объем шара: , где — диаметр шара.
    Тогда масса:


    4. Масса сегмента шара

    Объем сегмента шара: , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
    Тогда масса:


    5. Масса конуса

    Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
    Для круглого конуса: , где — диаметр основания, — высота конуса.
    Масса круглого конуса:


    6. Масса усеченного конуса

    Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
    , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
    Отсюда масса:


    7. Масса пирамиды

    Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
    Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
    Тогда масса пирамиды:


    8. Масса усеченной пирамиды

    Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями и : , где , .
    Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
    И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: .
    Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

    или

    Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:


    tvlad.ru

    Пол восьмого это сколько времени утра – Как пишется: «полвосьмого» или «пол восьмого»?

    половина восьмого — это… Что такое половина восьмого?

    
    половина восьмого

    General subject: half past seven

    Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

    • половина вертикального рассеивания (при определении наименьшего прицела)
    • половина времени пробега нормального отражения

    Смотреть что такое «половина восьмого» в других словарях:

    • половина — сущ., ж., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? половины, чему? половине, (вижу) что? половину, чем? половиной, о чём? о половине; мн. что? половины, (нет) чего? половин, чему? половинам, (вижу) что? половины, чем? половинами, о чём? о… …   Толковый словарь Дмитриева

    • половина — ы; ж. 1. Одна из двух равных частей, вместе составляющих целое. П. яблока, комнаты, состояния. П. учеников, рабочих завода, делегатов съезда. П. дела сделана. П. лета прошла. Преодолеть половину пути. Два с половиной часа, месяца. Последняя п.… …   Энциклопедический словарь

    • половина — ы; ж. см. тж. половинный 1) Одна из двух равных частей, вместе составляющих целое. Полови/на яблока, комнаты, состояния. Полови/на учеников, рабочих завода, делегатов съезда. Полови/на дела сделана. Полов …   Словарь многих выражений

    • Грушевский Михаил Сергеевич — историк, профессор Львовского университета по кафедре истории, родился в 1866 г. в г. Холме, где отец его был учителем в греко униатской гимназии. Юность провел на Кавказе и окончил курс тифлисской гимназии. В 1886 г. поступил на филологический… …   Биографический словарь

    • бежа́ть — бегу, бежишь, бегут; деепр. не употр.; несов. 1. Усиленно скорым движением, быстро перебирая ногами, перемещаться в каком л. направлении. По дороге зимней, скучной Тройка борзая бежит. Пушкин, Зимняя дорога. Много я часов Бежал, и наконец, устав …   Малый академический словарь

    • Зачарованные — Charmed …   Википедия

    • South Park — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

    • SouthPark — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

    • South park — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

    • Саузпарк — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

    • Саус Парк — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия


    universal_ru_en.academic.ru

    А «пол первого» это сколько по времени??

    это 12:30 ИЛИ 00:30

    Это примерно 10 минут — от 12:25 до 12:35

    Смотря в какое время суток! ? Днем 12:30, а ночью 00:30! Удачи!

    touch.otvet.mail.ru

    Ответы@Mail.Ru: пол дня-это сколько часов

    Половина от дня

    Сутки 24,половина суток 12,тёмное и светлое время, рабочий день 8 часов (получается 6 или 4)

    12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр

    Полдня — 24 — 12 = 12 часов

    touch.otvet.mail.ru

    Пол утра это сколько часов?

  • Какой временной отрезок охватывает «девичья память»?

    она работает совсем по другому — тут помню, тут не помню

  • А какой отрезок времини в сутках вы считаете утром?

    Оффициально принято, что утро начинается в 4:00 и заканчивается в 12:00, но для меня начинается в 7:00 и до 11:00.

  • А Вы счастливы на данном отрезке времени??Если да,то какие на это причины???

    да.со дня на день родится дочка

  • Правильно ли словосочетвние «период времени»? Ведь период — это и есть определённый отрезок времени.

    Слово «период» уже обозначает «отрезок времени», т.е. правильно говорить «период» и обозначать: суток, между двумя и тремя часами ночи и т.п.

  • За какой отрезок времени реально отрастить ~60 см волос, год, два, больше?
  • Каким образом можно качественно выспаться за короткий отрезок времени?

    Почти никак. Есть такой метод: поспать двадцать минут. Это то самое время, за которое организм, теоретически,  не успевает погрузиться в глубокий сон. То есть я ставлю будильник на 30 минут, 10 минут на уснуть, 20 на сон. И реально помогает.

  • Какой таймаут (отрезок времени) даётся на возможность изменить ответ ?

    5 минут

  • Через какой отрезок времени вы начинаете понимать, что ждать и верить не имело смысла?

    лично я поняла это лишь спустя год
    надежда на глупое возвращение уже исчезла, и сама уже не стремлюсь что-то повернуть вспять
    поняла что жить нужно дальше
    в итоге, живу ведь по принципу «все что не делается — делается к лучшему» =)

  • Cчастливы ли Вы жить в современной эпохе или с радостью вернулись бы назад? Если это так, то в какое именно время?

    не, мне нравиться что моё детство прошло на улице, но сейчас я снимаю на крутую камеру и пользуюсь лучшей техникой, что может только существовать на данный момент. То есть я живу в 2х эпохах, и возможно застану ещё какой-нибудь технологический прорыв. Меня всё устраивает, и то как течёт время.

  • Временная татушка, это на какоу время?

    Выкинь из головы эту глупую идею. Никаких временных тату. Сивый бред и только. В большенстве случаев «временные тату» не сходят до конца. Единственный вариант — это хна, в таком случае 2 недели, как сказала MiFoDij, иногда дольше.  
    Лучше не торопись, обдумай, найди что нибудь стоющее и сделай настоящую, хорошую тату.

  • irc.lv

    Распределительный метод решения транспортной задачи – .

    Распределительный метод решения транспортной задачи

    Наиболее трудоемким этапом в методе потенциалов является этап построения цикла пересчета для переменной, которая имеет отрицательную косвенную стоимость.

    Если бы не трудоемкость этого этапа, можно было бы поступить по-другому: сначала для свободной переменной построить цикл пересчета, а после этого принять решение, следует ли эту переменную вводить в состав базисных переменных нового опорного решения или нет. То есть, вообще отказаться от вычисления потенциалов.

    На этом построен распределительный метод решения транспортной задачи.

    Пусть имеется некоторое опорное решение и — свободная переменная, а— базисная переменная.

    Построим цикл пересчета для .

    Что касается , возможны следующие ситуации.

    1. соответствует положительной вершине;

    2. соответствует отрицательной вершине;

    3. в цикл не входит.

    1. Если соответствуетположительной вершине, то при переходе к новому опорному решениюувеличитсяна ту же величину, что и. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «+1»;

    2. Если соответствуетотрицательной вершине, то при переходе к новому опорному решениюуменьшитсяна ту же величину, на которую увеличится. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «-1«;

    3. Если не входит в цикл пересчета, то при переходе к новому опорному решению значениене изменится. То есть, если выразить базисные переменные через свободные, переменнаявойдет в выражение дляс коэффициентом «0«.

    Схематично эти ситуации можно представить следующим образом:

    1. = +1+…….

    2. = -1+…….

    3. =   0+…….

    Выразим теперь ЦФ через свободные переменные.

    Как подсчитать, с каким коэффициентом переменная войдет в ЦФ?

    Она войдет в соответствующее выражение непосредственно (с коэффициентом ) и через посредство тех и только тех базисных переменных, которые входят в цикл пересчета.

    Но входит в выражение длятолько с одним из двух коэффициентов:   +1   или   -1 , в зависимости от того, является ли вершинаположительной или отрицательной. Авходит в ЦФ с коэффициентом. То есть, посредством(входящей в цикл) переменнаявойдет в ЦФ с коэффициентом   +или  —в зависимости от того, является ли вершинаположительной или отрицательной.

    Схематично эту ситуацию можно представить следующим образом:

    Z=++…

    =+…

    Z=+(+…)+…

    Z=+…

    Как видно из этого выражения, в круглых скобках записана алгебраическая сумма всех стоимостей, которым соответствуют вершинам цикла пересчета.

    Таким образом, коэффициент, с которым свободная переменная входит в ЦФ, равен алгебраической сумме всех стоимостей, соответствующих вершинам цикла, включая вершину, в которой находится свободная переменная.

    То есть, косвенную стоимость свободной переменной можно определить не по формуле, а другим путем. Нужно построить для этой переменной цикл пересчета и подсчитать алгебраическую сумму всех стоимостей, которым соответствуют вершинам цикла пересчета.

    Алгоритм распределительного метода

    Имеется некоторое опорное решение.

    Шаг 1. Для данного опорного решения организуем последовательный просмотр списка свободных клеток (переменных).

    Шаг 2. Для очередной свободной клетки (пусть это будет), строим цикл пересчета и подсчитываем алгебраическую сумму стоимостей по всем вершинам цикла ().

    Шаг 3. Если< 0, выполняемшаг 4.  В противном случае проверяем, все ли свободные клетки просмотрены. Если да, то очередное решениеоптимальное.Конец. В противном случае выполняемшаг 2.

    Шаг 4. Переменнуювводим в состав базисных переменных. Для этого среди отрицательных вершин находим вершину с минимальным значением соответствующей базисной переменной. Пусть это будет. Производим сдвиг по циклу пересчета. Переменнаявыводится из состава базисных переменных. Имеем новое опорное решение. Выполняемшаг 1.

    Основной недостаток метода – большое количество циклов пересчета, которые приходится строить на каждой итерации. Достоинство – не нужно специально вычислять потенциалы строк и столбцов.

    Если нет эффективной процедуры построения цикла пересчета, предпочтение отдается методу потенциалов.

    Пример. Дана транспортная задача и известно ее опорное решение. Определить косвенные стоимости переменных x32,x34, x46.

    15

    50

    20

    25

    15

    10

    10

    10

    20

    5

    20

    5

    1

    30

    4

    2

    50

    1

    15

    E32=0

    3

    5

    5

    1

    4

    5

    40

    2

    20

    7

    100

    5

    1

    20

    3

    5

    4

    20

    1

    40

    2

    30

    3

    4

    6

    6

    100

    15

    50

    20

    25

    15

    10

    10

    10

    20

    5

    20

    5

    1

    30

    4

    2

    50

    1

    15

    E34=2

    3

    5

    5

    1

    4

    5

    40

    2

    20

    7

    100

    5

    1

    20

    3

    5

    4

    20

    1

    40

    2

    30

    3

    4

    6

    6

    100

    15

    50

    20

    25

    15

    10

    10

    10

    20

    5

    20

    5

    1

    30

    4

    2

    50

    1

    15

    E46=-2

    3

    5

    5

    1

    4

    5

    40

    2

    20

    7

    100

    5

    1

    20

    3

    5

    4

    20

    1

    40

    2

    30

    3

    4

    6

    6

    100

    studfiles.net

    7.3. Распределительный метод решения транспортной задачи

    Распределительный метод использует исходное базисное решение, полученное методом северо-западного угла или наименьшей стоимости, и заключается в преобразовании матрицы перевозок таким образом, что каждый последующий пересчет таблицы приближается к оптимальному решению.

    Для преобразования таблицы используется понятие цикла.

    Циклом в матрице называется ломаная с вершинами в клетках и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов матрицы, удовлетворяющая требованиям:

    – замкнутости;

    – в каждой вершине должно встречаться два звена.

    Если в любом цикле вершинам приписать при обходе в одном направлении поочередно знаки «+» и «–», то в каждой строке (столбце) число положительных вершин будет равно числу отрицательных.

    При решении задач используется операция сдвига по циклу. Эта операция заключается в увеличении элементов в положительных вершинах и уменьшении в отрицательных на одно и то же число.

    Например, для свободной клетки с координатами (3,3) левой матрицы строится цикл, приведенный на рисунке, и осуществляется сдвиг по циклу на величину 8. В результате получаются новые значения перевозок, приведенные на правой матрице. Клетки, не являющиеся вершинами цикла, при этом остаются без изменений.

    +

    10

    20

    18

    12

    8

    6

    Сдвиг по

    циклу на 8

    8

    6

    8

     +

    0

    8

    Для оптимизации решения важно знать, с каким коэффициентом выбранная свободная неизвестная входит в выражение для базисных неизвестных. Это определяется следующим правилом:

    – коэффициент равен 0, если соответствующая базисная клетка не является вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

    – коэффициент равен 1, если базисная клетка является положительной вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

    – коэффициент равен –1, если базисная клетка является отрицательной вершиной пересчета данной свободной клетки.

    Например, матрица перевозок имеет 4 пункта отправления и 4 пункта назначения. В ней записано некоторое базисное решение в заштрихованных клетках x11 , x12 , x23 , x24 , x32 , x41 и x43 , число которых должно быть r=m+n1=7. При этом в каждой строке и каждом столбце таблицы должна быть как минимум одна базисная клетка.

    В1

    В2

    В3

    В4

    А1

     +

    А2

    +

    А3

    А4

    +

    Построим цикл пересчета для свободной клетки x14 так, чтобы все остальные вершины лежали в базисных клетках. Такой цикл существует только один и приведен в таблице, при этом свободной клетке x14 присваивается знак «+», а знаки всех последующих вершин чередуются при их обходе по циклу в одном направлении.

    Таким образом, можно по теореме утверждать, что клетка x14 входит в выражение для неизвестных базисных со знаками:

    .

    Аналогично можно найти коэффициенты для других свободных неизвестных.

    У распределительного метода существуют промежуточные базисные решения, каждое из которых постепенно приближается к оптимальному.

    Найденное любым методом допустимое базисное решение вносится в матрицу перевозок и занимает r=m+n1 клеток. Вносятся и нулевые базисные решения. Далее меняются местами базисные и свободные переменные для приближения к оптимальному решению.

    Во-первых, определяется свободная неизвестная, переводимая в число базисных.

    Рассмотрим способ определения свободных неизвестных, которые целесообразно перевести в число базисных на конкретном примере. Возьмем базисное решение, найденное методом северо-западного угла со стоимостью перевозок

    =220 + 310 + 220 + 520 + 210 + 610 = 290.

    Теперь необходимо построить циклы пересчета для всех свободных переменных (свободных клеток) и определить сумму стоимостей по циклам пересчета ij для всех свободных неизвестных, чтобы найти, какую из них перевести в число базисных для уменьшения целевой функции.

    В1

    В2

    В3

    В4

    ai

    A1

    2

    20

    3

    10

    2 +

    4

    30

    A2

    3

    2 +

    20

    5

    20

    1

    40

    A3

    4

    3

    2

    10

    6

    10

    20

    bj

    20

    30

    30

    10

    Определяем сумму стоимостей по циклу пересчета для каждой свободной клетки, подставляя соответствующие стоимости перевозок из базисных клеток в вершинах цикла:

    х13 13 = с13 — с23 + с22 — с12 = 2 — 5 + 2 — 3 = -4 ,

    х14 14 = с14 — с24 33 – с23 + с22 — с12 = 4 – 6 + 2 — 5 + 2 — 3 = -6 ,

    х21 21 = с21 — с11 + с12 — с22 = 3 — 2+ 3 — 2 = 2 ,

    аналогично 24 = — 8, 31 = 6, 32 = 4.

    Выбираем те из свободных переменных, которые имеют отрицательное значение суммы стоимости по циклу пересчета. В рассматриваемом примере это х13, х14, х24.

    Во-вторых, определяется базисная переменная, переводимая в число свободных.

    Для этого необходимо проанализировать цикл пересчета, соответствующий выбранной свободной неизвестной. В нашем примере это может быть цикл для переменной х13.

    Производя преобразования по циклу, мы должны получить нуль в одной из базисных переменных. Кроме того, необходимо учитывать, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Поэтому выбирается та базисная переменная, которая имеет наименьшее значение из всех базисных переменных, расположенных в отрицательных вершинах цикла пересчета. В нашем примере это будет х12=10.

    Для получения нового допустимого базисного решения осуществляем сдвиг по циклу пересчета выбранной свободной переменной х13 на величину значений выбранной базисной переменной х12=10, которая после сдвига переводится в свободные.

    При этом получим новую таблицу матрицы перевозок.

    В1

    В2

    В3

    В4

    ai

    A1

    2

    20

    3

    2

    10

    4

    30

    A2

    3

    2

    30

    5

    10

    1

    40

    A3

    4

    3

    2

    10

    6

    10

    20

    bj

    20

    30

    30

    10

    Сдвиг по циклу привел к новому допустимому базисному решению:

    х11=20, х13=10, х22=30, х23=10, х33=10, х34=10, остальные xij=0.

    Новое решение дает значение целевой функции F=250, меньшее предыдущего, т. е. ближе к оптимальному значению.

    Если в отрицательных вершинах с минимальными перевозками окажется две базисных клетки с одинаковыми значениями, то после сдвига по циклу в число свободных переводится только одна из них, а вторая остается в числе базисных с нулевыми перевозками. И в дальнейших расчетах эта клетка фигурирует как базисная со всеми их характеристиками.

    Для нового базисного решения также подсчитываются суммы стоимостей по циклам пересчета для каждой свободной неизвестной: 12=4, 14=2, 12=4, 21= — 2,24= — 8, 31= 2, 23= 4.

    Выбираются новые свободная и базисная переменные для сдвига по новым циклам, и все повторяется. Операция продолжается до тех пор, пока не получится, что все стоимости по циклам пересчета больше нуля (ij > 0), что является признаком оптимальности решения, полученного распределительным методом.

    Для рассматриваемого примера оптимальным решением является следующее:

    х11=20, х13=10, х22=30, х24=10, х33=10, х12=0, остальные xij=0. Стоимость оптимальной перевозки F=170, и уменьшить ее дальше невозможно.

    studfiles.net

    3. Распределительный метод решения транспортной задачи

    Распределительный метод использует исходное базисное решение, полученное методом северо-западного угла или наименьшей стоимости, и заключается в преобразовании матрицы перевозок таким образом, что каждый последующий пересчет таблицы приближается к оптимальному решению.

    Для преобразования таблицы используется понятие цикла.

    Циклом в матрице называется ломаная с вершинами в клетках и звеньями, лежащими вдоль строк и столбцов матрицы, удовлетворяющая требованиям:

    – замкнутости;

    – в каждой вершине должно встречаться два звена.

    Если в любом цикле вершинам приписать при обходе в одном направлении поочередно знаки «+» и «–», то в каждой строке (столбце) число положительных вершин будет равно числу отрицательных.

    При решении задач используется операция сдвига по циклу. Эта операция заключается в увеличении элементов в положительных вершинах и уменьшении в отрицательных на одно и то же число.

    Например, для свободной клетки с координатами (3,3) левой матрицы строится цикл, приведенный на рисунке, и осуществляется сдвиг по циклу на величину 8. В результате получаются новые значения перевозок, приведенные на правой матрице. Клетки, не являющиеся вершинами цикла, при этом остаются без изменений.

    Рис. 2

    Для оптимизации решения важно знать, с каким коэффициентом выбранная свободная неизвестная входит в выражение для базисных неизвестных. Это определяется следующим правилом:

    – коэффициент равен 0, если соответствующая базисная клетка не является вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

    – коэффициент равен 1, если базисная клетка является положительной вершиной цикла пересчета данной свободной клетки;

    – коэффициент равен –1, если базисная клетка является отрицательной вершиной пересчета данной свободной клетки.

    Например, матрица перевозок имеет 4 пункта отправления и 4 пункта назначения. В ней записано некоторое базисное решение в заштрихованных клетках x11 , x12 , x23 , x24 , x32 , x41 и x43 , число которых должно быть r=m+n-1=7. При этом в каждой строке и каждом столбце таблицы должна быть как минимум одна базисная клетка.

    Рис. 3

    Построим цикл пересчета для свободной клетки x14 так, чтобы все остальные вершины лежали в базисных клетках. Такой цикл существует только один и приведен в таблице, при этом свободной клетке x14 присваивается знак «+», а знаки всех последующих вершин чередуются при их обходе по циклу в одном направлении.

    Таким образом, можно по теореме утверждать, что клетка x14 входит в выражение для неизвестных базисных со знаками:

    .

    Аналогично можно найти коэффициенты для других свободных неизвестных.

    У распределительного метода существуют промежуточные базисные решения, каждое из которых постепенно приближается к оптимальному.

    Найденное любым методом допустимое базисное решение вносится в матрицу перевозок и занимает r=m+n-1 клеток. Вносятся и нулевые базисные решения. Далее меняются местами базисные и свободные переменные для приближения к оптимальному решению.

    Во-первых, определяется свободная неизвестная, переводимая в число базисных.

    Рассмотрим способ определения свободных неизвестных, которые целесообразно перевести в число базисных на конкретном примере. Возьмем базисное решение, найденное методом северо-западного угла со стоимостью перевозок

    =220 + 310 + 220 + 520 + 210 + 610 = 290.

    Теперь необходимо построить циклы пересчета для всех свободных переменных (свободных клеток) и определить сумму стоимостей по циклам пересчета ij для всех свободных неизвестных, чтобы найти, какую из них перевести в число базисных для уменьшения целевой функции.

    Рис. 4

    Определяем сумму стоимостей по циклу пересчета для каждой свободной клетки, подставляя соответствующие стоимости перевозок из базисных клеток в вершинах цикла:

    х13  13 = с13 — с23 + с22 — с12 = 2 — 5 + 2 — 3 = -4 ,

    х14  14 = с14 — с24 33 – с23 + с22 — с12 = 4 – 6 + 2 — 5 + 2 — 3 = -6 ,

    х21  21 = с21 — с11 + с12 — с22 = 3 — 2+ 3 — 2 = 2 ,

    аналогично 24 = — 8, 31 = 6, 32 = 4.

    Выбираем те из свободных переменных, которые имеют отрицательное значение суммы стоимости по циклу пересчета. В рассматриваемом примере это х13, х14, х24.

    Во-вторых, определяется базисная переменная, переводимая в число свободных.

    Для этого необходимо проанализировать цикл пересчета, соответствующий выбранной свободной неизвестной. В нашем примере это может быть цикл для переменной х13.

    Производя преобразования по циклу, мы должны получить нуль в одной из базисных переменных. Кроме того, необходимо учитывать, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Поэтому выбирается та базисная переменная, которая имеет наименьшее значение из всех базисных переменных, расположенных в отрицательных вершинах цикла пересчета. В нашем примере это будет х12=10.

    Для получения нового допустимого базисного решения осуществляем сдвиг по циклу пересчета выбранной свободной переменной х13 на величину значений выбранной базисной переменной х12=10, которая после сдвига переводится в свободные.

    При этом получим новую таблицу матрицы перевозок.

    Таблица 7

    В1

    В2

    В3

    В4

    ai

    A1

    2

    20

    3

    2

    10

    4

    30

    A2

    3

    2

    30

    5

    10

    1

    40

    A3

    4

    3

    2

    10

    6

    10

    20

    bj

    20

    30

    30

    10

    Сдвиг по циклу привел к новому допустимому базисному решению:

    х11=20, х13=10, х22=30, х23=10, х33=10, х34=10, остальные xij=0.

    Новое решение дает значение целевой функции F=250, меньшее предыдущего, т. е. ближе к оптимальному значению.

    Если в отрицательных вершинах с минимальными перевозками окажется две базисных клетки с одинаковыми значениями, то после сдвига по циклу в число свободных переводится только одна из них, а вторая остается в числе базисных с нулевыми перевозками. И в дальнейших расчетах эта клетка фигурирует как базисная со всеми их характеристиками.

    Для нового базисного решения также подсчитываются суммы стоимостей по циклам пересчета для каждой свободной неизвестной: 12=4, 14=2, 12=4, 21= — 2,24= — 8, 31= 2, 23= 4.

    Выбираются новые свободная и базисная переменные для сдвига по новым циклам, и все повторяется. Операция продолжается до тех пор, пока не получится, что все стоимости по циклам пересчета больше нуля (ij> 0), что является признаком оптимальности решения, полученного распределительным методом.

    Для рассматриваемого примера оптимальным решением является следующее:

    х11=20, х13=10, х22=30, х24=10, х33=10, х12=0, остальные xij=0. Стоимость оптимальной перевозки F=170, и уменьшить ее дальше невозможно.

    studfiles.net

    21. Распределительный метод решения транспортной задачи

    Решение задачи включает

    — предварительный этап,

    — проверку на оптимальность

    — составление оптимальных планов.

    1. Предварительный этап – составляем предварительный опорный план прикрепления.

      1. Способ «северо-западного угла» (диагональный способ).

    Распределение поставок производят с верхнего левого угла и далее по строкам по мере исчерпывания плана.

      1. Способ двойного предпочтения

    Суть данного метода в том, что по строкам отмечается минимальные значения. Далее по столбцам, не обращая внимания на отметки по строкам. Вписывание поставок начинается с клеток отмеченных дважды и далее по принципу от меньшего к большему значению коэффициента.

    1. Проверка предварительного плана на оптимальность распределительным методом.

    Суть данного метода состоит в том, для каждой свободной слетки проверяемого планом составляются контура (цепочки) по следующим правилам:

    1. Начало контура цепочки в свободной клетке

    2. Контур представляет собой многоугольник с четным числом вершин.

    Первая вершина – свободная клетка, остальные вершины(повороты) в клетках предварительного плана.

    Отдельные отрезки контура принадлежат или одной строке или одному столбцу.

    1. Отрезки контура могут проходить как через свободные клетки, так и через занятые.

    2. Отрезки могут пересекаться

    3. Отдельные отрезки (стороны контура) могут пересекаться

    По составленным многоугольникам (цепочка, контурам) можно создать цепочку из цифр:

    Первая цифра – коэффициент стоящий в свободной клетке

    Коэффициенты стоящие в углах многоугольника в углах поворота.

    На основании цепочек вычисляются характеристики контуров (свободных клеток). Характеристика представляет собой алгебраическую сумму коэффициентов стоящих в вершинах. Предварительно проставляются знаки: знак + получает коэффициент в свободной клетке, далее знаки чередуются.

    После вычисления характеристик незагруженных клеток производиться их анализ, если среди характеристик незагруженных клеток нет отрицательных значений анализируемый план можно считать оптимальным. Наличие хотя бы одной отрицательной характеристики свидетельствует о возможности улучшения плана, причем в план прикрепления поставщиков потребителям должна быть введена клетка имеющая отрицательную характеристику.

    Для введения клетки в план прикрепления поставщиков потребителем необходимо в нем сделать перераспределение поставок, для этого контур с отрицательной характеристикой выносим за пределы матрицы и делаем в нем перераспределение: проставляем знаки по тому же принципу: знак плюс – свободная клетка и т.д. После этого из отрицательных клеток выбирается та в которой поставка минимальна.

    После внесенных изменений в предварительный план необходимо снова проверить его на оптимальность путем вычисления характеристик не загруженных клеток.

    22. Применение метода потенциалов для решения транспортной задачи.

    Решение задачи включает

    — предварительный этап,

    — проверку на оптимальность

    — составление оптимальных планов.

    1. Предварительный этап – составляем предварительный опорный план прикрепления.

      1. Способ «северо-западного угла» (диагональный способ).

    Распределение поставок производят с верхнего левого угла и далее по строкам по мере исчерпывания плана.

      1. Способ двойного предпочтения

    Суть данного метода в том, что по строкам отмечается минимальные значения. Далее по столбцам, не обращая внимания на отметки по строкам. Вписывание поставок начинается с клеток отмеченных дважды и далее по принципу от меньшего к большему значению коэффициента.

    1. Проверка предварительного плана на оптимальность методом потенциалов

    Суть данного метода состоит в том, что к строкам и столбцпм матрицы подбираются вспомогательные числа (потенциалы α – потенциал строки и β – потенциал столбца)

    Из условия, что для занятых клеток сумма потенциалов строки и столбца равны коэффициенту стоящему в этой клетке.

    –для занятых клеток

    Составляется система уравнений для занятых клеток и рассчитается значение потенциалов. Задается потенциал равным нулю, вследствие не достаточного количества уравнений в системе.

    Далее в качестве проверки рассчитаем характеристики незагруженных клеток по формуле:

    –для незагруженных клеток

    Наличие отрицательного значения характеризующего пустую клетку свидетельствует о возможности улучшения плана.

    Для введения клетки в план прикрепления поставщиков потребителем необходимо для ячейки сделать контур как в распределительном методе и в этом контуре сделать перераспределение поставок, для этого контур с отрицательной характеристикой выносим за пределы матрицы и делаем в нем перераспределение: проставляем знаки по тому же принципу: знак плюс – свободная клетка и т.д. После этого из отрицательных клеток выбирается так в которой поставка минимальна.

    После внесенных изменений в предварительный план необходимо снова проверить его на оптимальность путем вычисления характеристик не загруженных клеток.

    studfiles.net

    РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ Мы научились

    РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

    Мы научились находить первоначальный план поставок. Теперь надо выяснить является ли найденный план оптимальным и, если нет то как его оптимизировать. Для этого надо составить матри цу оценок. Оценка клетки (J, j) вычисляется по следующему правилу: оценка i й строки + оценка j-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (i, j) Оценки строки и столбца выбираются таким образом, чтобы оценки всех отмеченных клеток были равны нулю. После этого оценки всех клеток записываются в виде матрицы — матрицы оценок. Если матрица оценок не содержит отрицательных чисел, то получен оптимальный план поставок. Иначе проводится оптимизация плана поставок.

    Двигаясь из клетки с отрицательной оценкой по отмеченным клеткам (причем запрещается делать два последовательных шага в одной строке или в одном столбце), строят так называемый цикл пересчета. Внутри этого цикла перераспределяют поставки. Для полученной таблицы находят матрицу оценок и т. д. Рассмотрим подробнее эту схему на конкретном примере.

    Допустим, был получен следующих план поставок: По данному плану суммарные затраты на доставку равны 1690.

    Начинать можно с любой строки или любого столбца. Начнем с 1 -го столбца, приписав ему ноль (впрочем, на 1 -м шаге можно приписать столбцу любую оценку). В 1 -ом столбце находятся две отмеченные клетки (1, 1) и (2, 1). Их оценки должны быть нулевыми. Из этого условия, зная оценку 1 -ого столбца, найдем оценки 1 -ой и 2 -й строк. Оценка клетки (1, 1) = оценка 1 -й строки + оценка 1 -го столбца + число в верхнем левом углу клетки (1, 1) Оценка 1 -й строки = Оценка клетки (1, 1) – оценка 1 -го столбца – число в верхнем левом углу клетки (1, 1) Оценка 1 -й строки = 0 – 0 — 4= -4

    Так же найдем оценку 2 -й строки: Оценка клетки (2, 1) = оценка 2 -й строки + оценка 1 -го столбца + число в верхнем левом углу клетки (2, 1) Оценка 2 -й строки = Оценка клетки (2, 1) – оценка 1 -го столбца – число в верхнем левом углу клетки (2, 1) Оценка 2 -й строки = 0 – 0 — 3= -3

    Теперь надо найти отмеченную клетку, для которой известны оценка строки или оценка столбца. Например, это клетка (2, 2). Для нее известна оценка строки. Оценка клетки (2, 2) = оценка 2 -й строки + оценка 2 -го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 2) = 0 = (-3) + оценка 2 -го столбца + 1 Оценка 2 -го столбца = 2

    Для отмеченной клетки (2, 3) мы знаем только оценку строки. Попробуйте найти оценку 3 -го столбца. Оценка клетки (2, 3) = оценка 2 -й строки + оценка 3 -го столбца + 2 = 0 ? ?

    Оценка клетки (2, 3) = оценка 2 -й строки + оценка 3 -го столбца + 2 = 0 Оценка 2 -й строки = 1 Получаем следующую таблицу: Попробуйте самостоятельно найти оценку 3 -й строки и оценку 4 -го столбца.

    Найдены оценки всех строк и столбцов. Вычислим оценки всех клеток и составим матрицу оценок.

    Для упрощения подсчета можно составить таблицу: Попробуйте рассчитать оценки клеток.

    Так как матрица оценок содержит отрицательные числа, то наш план является неоптимальным. Проведем его оптимизацию. Выбираем клетку с наименьшей оценкой. Это клетка (1, 4). Ее оценка -4. Наша задача – построить цикл пересчета. Выходя из клетки (1, 4) и двигаясь ТОЛЬКО ПО ОТМЕЧЕННЫМ КЛЕТКАМ, нужно вернуться в стартовую клетку (1, 4). При этом запрещается делать два последовательных шага в одной строке или в одном столбце.

    Например, нам подходит цикл (1, 4)-(1, 1)-(2, 3)-(3, 4)-(1, 4). Нарисуем этот цикл. Для каждой клетки указаны ее индексы и объем поставок.

    Стартовой клетке (1, 4) припишем знак «+» . Двигаясь по циклу ЧЕРЕДУЕМ знаки. Найдем минимальное значение поставки среди тех клеток, где стоит знак «-» . Это значение = 30. В тех клетках, где стоит знак «-» необходимо уменьшить значение поставки на этот минимум, т. е. На 30, а там, где стоит знак «+» необходимо увеличить на этот минимум.

    Если получена одна клетка с нулевой поставкой, то она становится пустой. У нас таких клеток две: (1, 1) и (2, 3). Пустой объем поставим там, где наибольший тариф на доставку, т. е. В клетку (1, 1). Это делается для того, чтобы выполнялось соотношение: число отмеченных клеток = число строк + число столбцов -1 Получаем новый план поставок.

    Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Начнем с 1 -го столбца, приписав ему ноль. В 1 -ом столбце находится одна отмеченная клетка (2, 1). Ее оценка должны быть нулевая. Из этого условия, зная оценку 1 -ого столбца, найдем оценку 2 -й строки. Оценка клетки (1, 1) = оценка 1 -й строки + оценка 1 -го столбца + число в верхнем левом углу клетки (1, 1) Оценка 2 -й строки = Оценка клетки (2, 1) – оценка 1 -го столбца – число в верхнем левом углу клетки (2, 1) Оценка 2 -й строки = 0 – 0 — 3= -3

    Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Для клетки (2, 2) известна оценка строки. Оценка клетки (2, 2) = оценка 2 -й строки + оценка 2 -го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 2) = 0 = (-3) + оценка 2 -го столбца + 1 Оценка 2 -го столбца = 2

    Составляем матрицу оценок: План является неоптимальным, т. к. Оценка клетки (2, 4) меньше 0. Строим для него цикл пересчета. Min = 0. Клетка (2. 3) становится пустой, а клетка (2, 4) – ОТМЕЧЕННОЙ (нулевая поставка).

    Получаем новый план поставок: Найдите оценки клеток. Оценка клетки (J, j) вычисляется по следующему правилу: оценка i й строки + оценка j-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (i, j)

    Оценки клеток: Адрес ячейки Оценка клетки (I, j) Оценка i-ой строки Оценка j-ого Число в столбца верхнем углу 1, 1 2 -2 0 4 1, 2 7 -2 2 7 1, 3 3 -2 3 2 1, 4 0 -2 -1 3 2, 1 0 -3 0 3 2, 2 0 -3 2 1 2, 3 2 -3 3 2 2, 4 0 -3 -1 4 3, 1 -1 -6 0 5 3, 2 2 -6 2 6 3, 3 0 -6 3 3 3, 4 0 -6 -1 7

    Получаем следующую матрицу оценок: План является неоптимальным, т. к. Оценка клетки (3, 1) меньше 0. Постройте цикл пересчета. Нам подходит цикл (3, 1)-(2, 4)-(3, 1) Минимум (70, 100) = 70. В клетках со знакам «+» поставки увеличиваются на 70, а в клетках со знаком «-» поставки уменьшаются на 70. Клетка (2, 1) становится пустой.

    Поучаем новый план поставок: Составим матрицу оценок: 3 7 3 0 1 0 2 0 0 Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Получен оптимальный план поставок.

    Суммарные затраты на перевозку груза равны: Напомню, что суммарные затраты на перевозку груза 1690.

    ОКТРЫТАЯ МОДЕЛЬ Открытая модель сводится к закрытой. Если суммарная мощность поставщиков больше суммарного спроса потребителей, то вводится фиктивный потребитель, которому приписывается спрос, равный разнице между суммарной мощностью поставщиков и суммарным спросом потребителей. Полученная закрытая модель решается.

    Суммарная мощность поставщиков = 40+60+50=150. Суммарный спрос потребителей = 30+40+60+130. Модель – открытая. Вводим фиктивного потребителя, которому приписываем спрос: 150 -130=20 Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя равна 0. Получаем закрытую модель:

    present5.com

    3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи

    Рассмотрим способ определения свободных неизвестных, которые целесообразно перевести в число базисных на конкретном примере. Возьмем базисное решение, найденное методом северо-западного угла со стоимостью перевозок

    =250 + 325 + 250 + 550 + 225 + 625 = 725.

    Теперь необходимо построить циклы пересчета для всех свободных переменных (свободных клеток) и определить сумму стоимостей по циклам пересчета ij для всех свободных неизвестных, чтобы найти, какую из них перевести в число базисных для уменьшения целевой функции.

    В1

    В2

    В3

    В4

    ai

    A1

    2

    50

    3

    25

    2 +

    1

    75

    A2

    4

    2 +

    50

    5

    50

    2

    100

    A3

    1

    3

    2

    25

    6

    25

    50

    bj

    50

    75

    75

    25

    Определяем сумму стоимостей по циклу пересчета для каждой свободной клетки, подставляя соответствующие стоимости перевозок из базисных клеток в вершинах цикла:

    х13 13 = с13 — с23 + с22 — с12 = 2 — 5 + 2 — 3 = — 4 ,

    х14 14 = с14 — с24 33 – с23 + с22 — с12 = 1 – 2 + 2 — 5 + 2 — 3 = -5 ,

    х21 21 = с21 — с11 + с12 — с22 = 4 – 2 + 3 — 2 = 3 ,

    х24 24 = с24 — с14 + с12 — с22 = 2 — 1+ 2 — 4 = -1 ,

    аналогично 31 = 6, 32 = 4.

    Выбираем те из свободных переменных, которые имеют отрицательное значение суммы стоимости по циклу пересчета. В рассматриваемом примере это х13, х14, х24.

    Во-вторых, определяется базисная переменная, переводимая в число свободных.

    Для этого необходимо проанализировать цикл пересчета, соответствующий выбранной свободной неизвестной. В нашем примере это может быть цикл для переменной х13.

    Производя преобразования по циклу, мы должны получить нуль в одной из базисных переменных. Кроме того, необходимо учитывать, что переменные не могут принимать отрицательных значений. Поэтому выбирается та базисная переменная, которая имеет наименьшее значение из всех базисных переменных, расположенных в отрицательных вершинах цикла пересчета. В нашем примере это будет х12=10.

    Для получения нового допустимого базисного решения осуществляем сдвиг по циклу пересчета выбранной свободной переменной х13 на величину значений выбранной базисной переменной х12=10, которая после сдвига переводится в свободные.

    При этом получим новую таблицу матрицы перевозок.

    В1

    В2

    В3

    В4

    ai

    A1

    1

    20

    2

    3

    10

    4

    75

    A2

    2

    4

    30

    1

    10

    3

    100

    A3

    4

    3

    2

    10

    1

    10

    50

    bj

    50

    75

    75

    25

    Сдвиг по циклу привел к новому допустимому базисному решению:

    х11=20, х13=10, х22=30, х23=10, х33=10, х34=10, остальные xij=0.

    Новое решение дает значение целевой функции F=250, меньшее предыдущего, т. е. ближе к оптимальному значению.

    studfiles.net

    Распределительный метод решения транспортной задачи

    После того как получен первоначальный план поставок необходимо выяснить, является ли найденный план оптимальным и, если нет, то оптимизировать его. Для этого надо составить матрицу оценок.

    Оценка клетки (i, j) вычисляется по следующему правилу: оценка i-ой строки + оценка j-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (i, j). Оценки строки и столбца выбираются таким образом, чтобы оценки всех отмеченных клеток были равны 0. После этого оценки всех клеток записываются в виде матрицы – матрицы оценок. Если матрица оценок не содержит отрицательных чисел, то получен оптимальный план поставок. Иначе проводится оптимизация плана поставок.

    Двигаясь из клетки с наименьшей отрицательной оценкой по отмеченным клеткам (причем запрещается делать два последовательных шага в одной строке или столбце), строят так называемый цикл пересчета. Внутри этого цикла перераспределяют поставки. Для полученной таблицы находят матрицу оценок и т. д. Рассмотрим подробнее эту схему на конкретном примере.

    Пример. В предыдущем примере методом северо-западного угла был получен следующий план поставок. Исследуем его на оптимальность.

     

     

    Начинать можно с любой строки или любого столбца. Начнем с 1-го столбца, приписав ему 0. В 1-м столбце находятся две отмеченные клетки (1, 1) и (1, 2). Их оценки должны быть нулевыми. Из этого условия, зная оценку первого столбца, найдем оценки 1-й и 2-й строк.

    Оценка клетки (1, 1) = оценка 1-й строки + оценка 1-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (1, 1) = оценка 1-й строки + 0 + 4= 0. Отсюда оценка 1-й строки = -4.

    Оценка клетки (2, 1) = оценка 2-й строки + оценка 1-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 1) = оценка 2-й строки + 0 + 3= 0. Отсюда оценка 2-й строки = -3.



    Найденные оценки столбцов записываем под таблицей, найденные оценки строк – справа от таблицы.

    После этого шага получаем следующую таблицу:

     

       
          -4
      -3
         
             

    Теперь надо найти отмеченную клетку, для которой известны оценки строки или столбца. Например, это клетка (2, 2). Для нее известна оценка строки. Оценка клетки (2, 2) = оценка 2-й строки + оценка 2-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 2) = = (-3) + оценка 2-го столбца + 1 = 0. Отсюда оценка 2-го столбца = 2.

    После этого шага получаем следующую таблицу:

     

       
          -4
      -3
         
           

    Для отмеченной клетки (2, 3) известна только оценка строки. Оценка клетки (2, 3) = оценка 2-й строки + оценка 3-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (2, 3) = = (-3) + оценка 3-го столбца + 2 = 0. Отсюда оценка 3-го столбца = 1. После этого шага получаем следующую таблицу:

     

     

       
          -4
      -3
         
         

    Оценка клетки (3, 3) = оценка 3-й строки + оценка 3-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (3, 3) = оценка 3-й строки + 1 + 3= 0. Отсюда оценка 3-й строки = -4. После этого шага получаем следующую таблицу:

       
          -4
      -3
        -4
         

     

    Оценка клетки (3, 4) = оценка 3-й строки + оценка 4-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (3, 4) = (-4) + оценка 4-го столбца + 7 = 0. Отсюда оценка 4-го столбца = -3. После этого шага получаем следующую таблицу:

       
          -4
      -3
        -4
      -3  

     

    Найдены оценки всех строк и столбцов. Вычислим оценки всех клеток и составим матрицу оценок.

    Оценка клетки (1, 2) = оценка 1-й строки + оценка 2-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (1, 2) = (-4) + 2+ 7 = 5.

    Оценка клетки (1, 3) = оценка 1-й строки + оценка 3-го столбца + число в левом верхнем углу клетки (1, 3) = (-4) + 1+ 2 = -1. И т. д.

    Получаем следующую матрицу оценок:

     

    Так как матрица оценок содержит отрицательные числа, то план поставок является неоптимальным. Проведем его оптимизацию. Выберем клетку с наименьшей оценкой. Это клетка (1, 4). Ее оценка равна -4. Наша задача – построить цикл пересчета. Выходя из клетки (1, 4) и двигаясь только по отмеченным клеткам, нужно вернуться в стартовую клетку (1, 4). При этом запрещается делать два последовательных шага в одной строке или в одном столбце. Например, подходит цикл (1, 4) – (1, 1) – (2,1) – (2,3) – (3,3) – (3,4) – (1,4). Нарисуем этот цикл. Для каждой клетки указаны ее индексы и объем поставок.

    Стартовой клетке (1, 4) припишем знак «+». Двигаясь по циклу, чередуем знаки. Среди поставок в клетки со знаком «-» найдем минимальную: min (30, 30, 130) = 30. После этого в клетках со знаком «-» уменьшим поставки на этот минимум, а клетках со знаком «+» увеличим на этот минимум. Клетка (1, 4) становится отмеченной. Если получена одна клетка с нулевой поставкой, то она становится пустой. У нас таких клеток две – (1, 1), (2,3). Поэтому пустой объявим одну из них с наибольшим тарифом – клетку (1, 1). В клетку (2, 3) будет сделана нулевая поставка, и она становится отмеченной. Это делается для выполнения соотношения: число отмеченных клеток = число строк+число столбцов-1.

    Нужно следить, чтобы суммы поставок по строкам и столбцам были равны мощностям поставщиков и спросу потребителей соответственно.

     

       
          -0
      -3
        -4
      -3  

    Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Затем получим матрицу оценок:

     

    План является неоптимальным, так как оценка клетки (2, 4) меньше нуля. Строим для нее цикл пересчета: (2, 4) – (3, 4) – (3, 3) – (2, 3) (2, 4).

    min (0, 100) = 0. Клетка (2, 3) становится пустой, а клетка (2, 4) – отмеченной (нулевая поставка). Новый план поставок:

       
          -2
      -3
        -6
      -1  

    Для нового плана находим оценки строк и столбцов. Затем получим матрицу оценок клеток:

    План является неоптимальным, так как оценка клетки (3, 1) меньше нуля. Строим для нее цикл пересчета: (3, 1) – (2, 1) – (2, 4) – (3, 4) – (3, 1).

    min (70, 100) = 70. В клетках с «+» поставки увеличиваются на 70, а в клетках с «-» поставки уменьшаются на 70. Клетка (2, 1) становится пустой. Новый план поставок:

     

       
          -1
        -2
      -5
      -2  

    Находим оценки строк и столбцов. Получаем матрицу оценок:

    Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Получен оптимальный план поставок. Суммарные затраты на перевозку груза равны: 3*30+1*120+4*70+5*70+3*150+7*30=1500 (Для первоначального плана эта сумма была равна 1690).

     


    Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

    zdamsam.ru