Рубрика: Математика

Примеры с дробями для 6 класса по математике – Сайт vpr-klass.com — впр-класс.ком : гдз, решебник, гиа, егэ, решение задач, задания, варианты, подготовка к экзамену, тесты, презентации.

alexxlab / / Математика

Дробные выражения. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Числитель и знаменатель числового дробного выражения

Сложность: лёгкое

1
2. Две десятичные дроби (десятые)

Сложность: лёгкое

1
3. Две обыкновенные дроби

Сложность: лёгкое

2
4. Смешанное число и целое (отрицательные числа)

Сложность: среднее

4
5. Десятичные дроби и целые числа

Сложность: среднее

3
6. Натуральные числа

Сложность: среднее

3
7. Обыкновенные и десятичные дроби

Сложность: среднее

4
8. Дробное выражение (1)

Сложность: среднее

3
9. Дробное выражение (2)

Сложность: среднее

6
10. Буквенное выражение (разность)

Сложность: сложное

6
11. Буквенное выражение (сумма)

Сложность: сложное

7

www.yaklass.ru

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Сравнение дробей

Вспомним, что мы уже знаем об обыкновенных дробях.

1. Любая дробь обозначает количество, часть от какого-то числа. Эту часть мы умеем находить. Например,  от  это : .

2. Одно и то же количество, одну и ту же часть можно выразить разными дробями. Такие дроби называются эквивалентными (Рис. 1).

Рис. 1. Пример эквивалентных дробей

3. При сложении/вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываем/вычитаем числители.

4. При сравнении двух дробей с одинаковыми знаменателями большей является та, у которой числитель больше (Рис. 2).

Рис. 2. Пример сравнения дробей с одинаковым знаменателем

Теперь перейдем к вопросу о том, что делать, если у дробей будут разные знаменатели. Например, как нам сложить  и  (Рис. 3)?

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Если мы заменим одну из дробей на эквивалентную (равную ей), то сумма, очевидно, не изменится.

Для дроби  существует бесконечное множество дробей, которые ей эквивалентны. Чтобы их получить, нужно одновременно умножать и числитель, и знаменатель на одно и то же число (, ,  и т.д.). Тем самым мы получим цепочку эквивалентных дробей:

Аналогично поступим и со второй дробью:

Мы можем заменить исходные дроби эквивалентными. Но выбирать нужно так, чтобы новые дроби имели одинаковые знаменатели, ведь мы уже умеем их складывать. Одинаковый знаменатель у дробей  и , заменим исходные дроби на них:

То есть идея оказался очень простой. Если нам нужно сложить две дроби, то смотрим на их знаменатели.

1) Если знаменатели одинаковые, то складываем сразу.

2) Если знаменатели разные, то заменяем исходные дроби эквивалентными, чтобы новые дроби имели одинаковые знаменатели. И складываем эти новые дроби.

Выполните вычисление:

1)               2)                     3)             4)       5)

Решение:

1) Несложно заметить, что дробь  легко превращается в ей эквивалентную дробь со знаменателем . Для этого нам нужно домножить ее числитель и знаменатель на :

2) Несложно увидеть, что мы вторую дробь можем превратить в дробь со знаменателем , для этого умножим ее числитель и знаменатель на : .

3) Обе дроби мы можем заменить эквивалентными дробями со знаменателем . Числитель и знаменатель первой дроби домножим на , а второй – на :

Таким образом, если знаменатели разные, то нужно заменить исходные дроби равными так, чтобы у новых дробей были одинаковые знаменатели. Такое преобразование называют приведением дробей к одному знаменателю (или к общему знаменателю).

4) Приведем дроби к общему знаменателю. Видно, что первую дробь можно привести к знаменателю . А у второй дроби он уже . Общий знаменатель .

5) Общим знаменателем для этих дробей является число . Числитель и знаменатель первой дроби домножим на , а второй – на : .

Ответим теперь сами себе на следующий вопрос: Все ли мы умеем, чтобы сложить две дроби?

Если у них одинаковые знаменатели, то да, несомненно.

Если у них разные знаменатели, то мы начнем заменять дроби равными им, чтобы у новых дробей были одинаковые знаменатели. Иными словами, будем приводить их к общему знаменателю. Всегда ли это легко сделать? Нет, не всегда.

Пример . Сложите две дроби: .

Решение. Очевидно, что в знаменателе будет такое число, которое получается и из  домножением на что-то, и из 18 домножением на что-то. Но такое число найти нетрудно.

Это .

Числитель и знаменатель первой дроби умножим на . Числитель и знаменатель второй дроби умножим на . Дроби, конечно, стали более громоздкими, но зато теперь у них одинаковый знаменатель: .

Теперь мы можем решить задачу и на сравнение этих дробей: .

Следовательно, первое слагаемое меньше второго: .

Пример . Сравните две дроби и. После этого от большей дроби отнимите меньшую.

Решение. Чтобы сравнить две эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель найдем как произведение .

Чтобы в первой дроби получить знаменатель , умножим ее числитель и знаменатель на : .

Чтобы у второй дроби получить знаменатель , умножим ее числитель и знаменатель на : .

Итак, мы видим, что первая дробь больше: . Значит, .

Вычтем из большей дроби меньшую: .

На этом уроке мы научились складывать, вычитать, сравнивать дроби с разными знаменателями. Существуют способы упрощения сложения громоздких дробей. Не всегда общий знаменатель ищут как произведение имеющихся знаменателей. Для этого в шестом классе вы будете изучать такое понятие, как наименьшее общее кратное.

 

Список рекомендованной литературы

1) Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с. : ил.

2) Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина.

3) Истомина И.Б. Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ин­тер­нет-пор­тал Ru.onlinemschool.com (Ис­точ­ник).

2. Ин­тер­нет-пор­тал Cleverstudents.ru (Ис­точ­ник).

3. Ин­тер­нет-пор­тал Calc.ru (Ис­точ­ник).

 

Домашнее задание

1) Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 49-50 чит., ст. 50 № 308, 310.

2) Сложите дроби:

а)                                   б)          

3) Укажите разность:

а)                                 б)

4) * Сравните дроби и из большей вычтите меньшую:

а)  и                                 б)  и                       в)  и

interneturok.ru

Умножение и деление обыкновенных дробей. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Умножение дробей, правильная дробь

Сложность: лёгкое

2
2. Деление обыкновенных дробей (одинаковые знаменатели)

Сложность: лёгкое

2
3. Число, обратное обыкновенной дроби

Сложность: среднее

2
4. Число, обратное смешанному

Сложность: среднее

1
5. Число, обратное целому числу

Сложность: среднее

1
6. Обыкновенная дробь в квадрате

Сложность: среднее

2
7. Обыкновенная дробь в кубе

Сложность: среднее

2
8. Произведение смешанного числа и обыкновенной дроби

Сложность: среднее

2
9. Произведение двух смешанных чисел (разные знаменатели)

Сложность: среднее

3
10. Текстовая задача (два смешанных числа)

Сложность: среднее

4
11. Произведение десятичной дроби и обыкновенной

Сложность: среднее

2
12. Произведение двух отрицательных дробей

Сложность: среднее

1
13. Деление целого числа на смешанное число

Сложность: среднее

2
14. Деление смешанного числа на обыкновенную дробь

Сложность: среднее

2
15. Деление смешанного числа на обыкновенную дробь

Сложность: среднее

4
16. Частное десятичной дроби и обыкновенной

Сложность: среднее

2
17. Частное обыкновенных дробей с разными знаками

Сложность: среднее

2
18. Частное двух отрицательных дробей

Сложность: среднее

2
19. Текстовая задача

Сложность: среднее

3
20. Произведение трёх дробей

Сложность: среднее

2
21. Деление дроби на три другие дроби

Сложность: среднее

4
22. Неизвестное число

Сложность: сложное

4
23. Уравнение (произведение)

Сложность: сложное

7
24. Уравнение (сумма)

Сложность: сложное

5
25. Значение буквенного выражения

Сложность: сложное

4

www.yaklass.ru

Вектора по высшей математике – . . .

alexxlab / / Математика

Высшая математика 1 семестр Векторы



Высшая математика


Векторы



Определение

  • Отрезок, для которого указано направление называют вектором.

  • Обозначают или , где А — начало вектора , B – его конец.

  • Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка АВ.



Сложение векторов



Сумма нескольких векторов



Вычитание векторов



Умножение вектора на число



Пример

  • В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N.

  • Пусть , выразить вектор

  • через и .



Проекция вектора на ось



Координатные векторы



Разложение вектора на составляющие



Формула модуля вектора



Координаты вектора



Скалярное произведение векторов



Определение

  • Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.



Физический смысл скалярного произведения

  • Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.



Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов

  • Пусть даны два вектора



Свойства скалярного произведения



Пример



Пример

  • Найти скалярное произведение векторов



Векторное произведение



Определение

  • Векторным произведением вектора на вектор

  • называется новый вектор , который определяется следующими условиями:



Обозначение векторного произведения векторов



Понятие «правой» тройки векторов

  • Тройку векторов называют правой, если

  • направление вектора таково, что, смотря из его конца

  • вдоль вектора, поворот по кратчайшему пути от вектора

  • к вектору будет виден против движения часовой

  • стрелки.



Векторные произведения координатных векторов



Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов



Пример

  • Найти векторное произведение векторов



Свойства векторного произведения



Пример



Направляющие косинусы вектора





Формула связи направляющих косинусов



Единичный вектор

  • Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор

  • коллинеарный вектору , одинаково с

  • ним направленный, но имеющий длину,

  • равную единице. Будем называть вектор

  • ортом вектора



Координаты единичного вектора



Пример

  • Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с

  • осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).



Физический смысл векторного произведения



Условия коллинеарности двух векторов



Компланарные векторы

  • Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.



Условия компланарности трёх векторов



Коллинеарные векторы

  • Векторы называются коллинеарными, если они

  • лежат на одной прямой, либо на параллельных

  • прямых.



Условие коллинеарности двух векторов



Некоторые кривые







































Поверхности второго порядка




















rpp.nashaucheba.ru

Лекция Векторная алгебра. Векторы.

    Скачать с Depositfiles 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Лекция № 4. Тема 1 : Векторы

1.1. Определение вектора

Все величины, с которыми нам приходилось встречаться до настоящего времени в физике, технике были двух видов: скалярные, которые харак-теризуются одним числовым значением и векторные,  характеризуются числовым значением и направлением.

Пример 1. Скалярные величины: масса, объём, температура и т.д. Векторные величины: сила, скорость, ускорение и т. д.

Определение 1. Направленный отрезок называется вектором и обозна-чается .А

В

Определение 2. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается 

Если  или , то векторы называются соответственно единичным и нулевым.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Определение 4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллине-арные, одинаково направлены и имеют равные модули (равные длины).

Пусть задан некоторый вектор  и ось l.

Определение 6. Проекцией вектора  на ось l называется величина  где   угол между вектором  и осью l.

В

А

l

1.2. Линейные операции над векторами

1. Произведение вектора на число.

Определение 7. Произведением вектора  на число  называется вектор  определяемый следующими условиями: вектор  коллинеарен вектору векторы  и  одинаково направлены, если  и противоположны, если 

Пример 2. Построить вектор  

Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:

Пусть  ненулевой вектор, тогда для любого коллинеарного ему вектора  существует единственное число  удовлетворяющее равенству 

Действительно,  если векторы одинаково направлены и  если они противоположно направлены.

2. Сложение векторов.

Определение 8. Суммой двух векторов  и  называется вектор  выходящий из их общего начала, который служит диагональю паралле-лограмма, сторонами которого являются векторы  и , и обозначается

 

 или 

Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:

Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.

 

  

С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:

1.  сложение коммутативно;

2.  ассоциативно.

3. Вычитание векторов.

Определение 9. Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по модулю и противоположно направленный, называется противоположным вектором и обозначается 

Определение 10. Разностью  векторов  и  называется сумма векторов  и  т.е. 

Построение вектора   

основано на построении суммы 

векторов   

Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:

1. 

2. 

1.3. Декартова система координат

Зададим в пространстве три единичных взаимно перпендикулярных вектора:  Приведём их к общему началу – точке О. Рассмотрим систему координат, направление осей: z

Ох, Оу, Оz, которой заданы этими

векторами  Такая система

координат называется декартовой M

системой координат. Векторы  

называются базисом, а каждый из 

этих векторов – ортом.   y

Покажем, что если задан базис O B

, то любой вектор  A N

пространства можно единственным x

образом разложить по нему, т.е. представить в виде

 (1)

Приведём вектор  к началу системы координат – точке О. Из конца вектора   точки М опустим перпендикуляр MN на плоскость Оху. Проведём из точки Nпрямые, параллельные осям координат. Построим векторы  Из построения получаем

 (2)

А так как  то выражение (2) примет следующий вид

 (3)

В силу коллинеарности векторов  и   и   и  существуют такие числа , для которых выполняется

 (4)

Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.

Сокращенно формула (1) записывается в виде 

Определение 11. Числа  называются координатами вектора  или его компонентами.

Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Если  и , то их сумма

Теорема 2. Если  и   любое число, то произведение вектора  на это число 

Следствие. Если векторы  и  коллинеарны, то    и тогда условие коллинеарности векторов имеет вид

  (6)

Определение 12. Радиус-вектором точки М z

называется вектор  М

Определение 13. Координаты радиус–вектора 

точки М называются координатами точки М

и при этом пишут  x O y

Замечание 2. Аналогично определяется система координат на плоскости Оху. Здесь образуют базис векторы  и , а оси  Ох и Оу. Тогда получим

.

Замечание 3. Из доказательства формулы (1) следует, что геометрически координаты вектора – суть его проекции на соответствующие координатные оси.

Замечание 4. Аналогично можно показать, что базис в пространстве образуют любые три некомпланарных вектора:  т.е. любой вектор  можно представить в виде 

greleon.ru

Векторная алгебра

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$

 

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$

 

6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$ 

Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем

$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10.  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$ 

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$ 

Так как

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$

а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

mathportal.net

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Видео — Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы

Понятие вектора 4:24

Проекция вектора 3:12

Действия над векторами 5:56

Разложение вектора по векторам (базису) 14:54

Скалярное произведение векторов 4:23

Векторное произведение векторов 5:44

Векторное произведение векторов в координатной форме 7:08

Смешанное произведение векторов 3:59

Смешанное произведение векторов в координатной форме 5:44

Аналитическая геометрия на плоскости

Прямоугольная система координат 5:02

Полярная система координат 6:07

Простейшие задачи аналитической геометрии 7:17

Деление отрезка пополам. Середина отрезка 4:34

Деление отрезка в данном отношении 5:37

Длина отрезка. Расстояние между двумя точками 6:15

Уравнение линии 5:14

Уравнение прямой с угловым коэффициентом 5:25

Угол между прямыми 5:46

Уравнение прямой, проходящей через две точки 4:09

Общее уравнение прямой 5:52

Уравнение прямой в отрезках 3:02

Нормальное уравнение прямой 6:50

Расстояние от точки до прямой 5:36

Нахождение площади треугольника на плоскости 1:41

Окружность 5:07

Эллипс 8:00

Гипербола 8:16

Парабола 5:28

Общее уравнение кривой 2 порядка 3:46

Преобразование координат 6:59

Приведение общего уравнения кривой 2 порядка к каноническому виду 6:45

Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду (без поворота осей) 9:25

Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду (с поворотом осей) 11:05

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве 6:25

 

www.matem96.ru

Высшая математика

42

УТВЕРЖДАЮ                 

Ректор университета         

____________  А.В. Лагерев

    «___»__________2012 г.

Методические указания и примеры

решения типовых задач по темам

«Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия»

для студентов I курса очной формы обучения

инженерно – технических направлений

(I семестр)

Брянск 2012

УДК 511

Высшая математика [Текс] + [Электронный ресурс]: методические указания и примеры решения типовых задач по темам: «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» для студентов I курса очной формы обучения инженерно – технических направлений (I семестр). – Брянск: БГТУ, 2012. – 36с.

Разработали: Н.А.Ольшевская, доц.

Г.Г. Цуленева, доц.

К.А. Сенько, асс. 

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 5 от 31.01.12)

Содержание

Глава 1. Векторная алгебра

    1. Векторы. Основные понятия.

Линейные операции над векторами…………………………….….4

1.2. Скалярное произведение двух векторов..……………………………6

1.3. Векторное произведение двух векторов…………………………….8

1.4. Смешанное произведение трех векторов……………………..……10

1.5. Задачи для самостоятельного решения…………………………….12

Глава 2. Аналитическая геометрия

2.1. Прямая линия на плоскости…………………………………………13

2.2. Кривые второго порядка на плоскости……………………..………19

2.3. Плоскость в пространстве………………………………….…..……24

2.4. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость…………….…..…….27

2.5. Задачи для самостоятельного решения……………………..………34

Список рекомендуемой литературы……………………………………..……..35

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

    1. Векторы. Основные понятия.

Линейные операции над векторами

Геометрический вектор – это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка АВ. Векторы обозначают как , а их длины.

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.

Произведением вектора на некоторое число αR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженной на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора, если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось Ох называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектороми положительным направлением оси Ох.

Радиусом-вектором точки М называется вектор соединяющий начало координат с этой точкой.

Единичные векторы координатных осей называются ортами.

Углы α, β, γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом для векторас координатами Х,Y, Z

причем =1.

Если векторы и заданы своими координатами как и , то координаты векторабудут равны: {ma1 +nb1, ma2 +nb2, ma3 +nb3}, а вектор ma1 +nb1)+(ma2 +nb2)+(ma3 +nb3).

studfiles.net

Высшая математика 1 семестр Векторы



Высшая математика


Векторы



Определение

  • Отрезок, для которого указано направление называют вектором.

  • Обозначают или , где А — начало вектора , B – его конец.

  • Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка АВ.



Сложение векторов



Сумма нескольких векторов



Вычитание векторов



Умножение вектора на число



Пример

  • В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N.

  • Пусть , выразить вектор

  • через и .



Проекция вектора на ось



Координатные векторы



Разложение вектора на составляющие



Формула модуля вектора



Координаты вектора



Скалярное произведение векторов



Определение

  • Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.



Физический смысл скалярного произведения

  • Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.



Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов

  • Пусть даны два вектора



Свойства скалярного произведения



Пример



Пример

  • Найти скалярное произведение векторов



Векторное произведение



Определение

  • Векторным произведением вектора на вектор

  • называется новый вектор , который определяется следующими условиями:



Обозначение векторного произведения векторов



Понятие «правой» тройки векторов

  • Тройку векторов называют правой, если

  • направление вектора таково, что, смотря из его конца

  • вдоль вектора, поворот по кратчайшему пути от вектора

  • к вектору будет виден против движения часовой

  • стрелки.



Векторные произведения координатных векторов



Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов



Пример

  • Найти векторное произведение векторов



Свойства векторного произведения



Пример



Направляющие косинусы вектора





Формула связи направляющих косинусов



Единичный вектор

  • Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор

  • коллинеарный вектору , одинаково с

  • ним направленный, но имеющий длину,

  • равную единице. Будем называть вектор

  • ортом вектора



Координаты единичного вектора



Пример

  • Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с

  • осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).



Физический смысл векторного произведения



Условия коллинеарности двух векторов



Компланарные векторы

  • Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.



Условия компланарности трёх векторов



Коллинеарные векторы

  • Векторы называются коллинеарными, если они

  • лежат на одной прямой, либо на параллельных

  • прямых.



Условие коллинеарности двух векторов



Некоторые кривые







































Поверхности второго порядка




















dok.opredelim.com

ВЕКТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ — Лекции по высшей математике

Лекции по высшей математике

Доступные файлы (30):

n1.doc


ВЕКТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аналитическая геометрия изучает геометрические образы (точки, прямые, плоскости, поверхности и т.д.) при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит метод координат Рене Декарта (французский математик 1596-1650), позволяющий ввести соответствия между основными понятиями геометрии (точки, прямые, плоскости) и упорядоченными тройками вещественных чисел. Изучение свойств и взаимного расположения геометрических образов в аналитической геометрии сводится к изучению описывающих эти образы уравнений с привлечением методов алгебры и математического анализа.
I. Вектор, геометрическое определение вектора. Равные векторы.

Пусть на некоторой прямой заданы две точки A и B . Тем самым выделен отрезок AB этой прямой с концами в точках A и B.

Можно считать, что точка A — начало отрезка, B — конец. Тогда мы зададим так называемый направленный отрезок, определяемый упорядоченной парой точек.

Определение . Направленный отрезок (упорядоченную пару точек) называют  вектором. Вектор обозначается или . Если точки A и B совпадают, то говорят, что вектор нулевой или нуль-вектор .

Расстояние между началом и концом вектора называется его  длиной или модулем и обозначается .

В
екторы называются  коллинеарными, если они имеют общую параллельную прямую. При совмещении начал коллинеарных векторов они оказываются лежащими на одной прямой.

В
екторы называются  компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. При совмещении начал компланарных векторов они оказываются лежащими в одной плоскости.


Теперь можно ввести следующее определение: два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.


, если

, хотя но

Из определения равенства векторов следует, что каждый вектор можно перенести в любое место параллельно самому себе и не изменить его. Тем самым мы ввели так называемый свободный вектор, задать который — значит задать его модуль и направление. Многие физические величины характеризуются не только числовым значением, но и направлением, и, следовательно, являются векторными (сила, скорость, перемещение, магнитная индукция…).

II. Линейные операции над векторами, их свойства.

Понятие о линейном пространстве.

К линейным операциям над векторами относятся сложение векторов и умножение вектора на скаляр.

Сложение двух векторов выполняется по правилу параллелограмма:  сумма  двух векторов представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на равных им векторах.

Сумма нескольких векторов определяется как вектор, замыкающий ломаную линию, звеньями которой служат векторы-слагаемые, и направленный из начала первого вектора в конец последнего.
Определение: произведением вектора на вещественное число называется

такой вектор , что 1)

2) вектор коллинеарен ,

3) векторы и направлены одинаково,

если ,

и противоположно, если :

,если , ,если .

Вектор называется противоположным вектору . Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору: .

Вычитание векторов — операция, обратная сложению:

Перечислим свойства введенных нами линейных операций:

1
) коммутативность сложения: ;

2) ассоциативность сложения: ;

3) существование нуль-вектора: ;

4) существование противоположного вектора: ;

5) дистрибутивность сложения по отношению к умножению на число:


6) дистрибутивность сложения:

A B C D E

7) ассоциативность умножения:  т.к.

8) существование единицы:  это следует из определения

операции умножения.

Пространство, для элементов которого вводятся операции сложения и умножения на число, обладающие свойствами (1)-(8), называют линейным (векторным) пространством. Элементы линейного пространства обычно называют векторами.
III. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.

Пусть заданы векторы и числа  Составим комбинацию из этих векторов, используя только введенные линейные комбинации сложения и умножения вектора на число. В самом общем случае она имеет вид: . Такие комбинации называются линейными комбинациями векторов , а числа — коэффициентами линейной комбинации.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Пусть дан ненулевой вектор . Покажем, что любой коллинеарный ему вектор может быть представлен в виде единственным образом.

По определению операции умножения вектора на число векторы и коллинеарны, следовательно, коллинеарны и векторы и . Одинаковое направление векторов и обеспечивается выбором знака числа . Наконец, из равенства модулей равных векторов следует, что . Единственность представления следует из того, что при умножении вектора на другое число получается новый вектор: при .

Теорема 1. Любой вектор на плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам и единственным образом.

Доказательство: В общем случае отложим все три вектора из общей точки О. Из конца вектора (точки А) проведем прямые АР и AQ, параллельные векторам и . Тогда по правилу параллелограмма

.

Вектор коллениарен вектору и, следовательно, единственным образом может быть представлен в виде . Вектор коллинеарен вектору , поэтому . Тогда — единственное разложение вектора по векторам и .

Неколлинеарные векторы и , взятые в определенном порядке, называются базисом на плоскости, а коэффициенты линейной комбинации 1 и 2 — координатами вектора в базисе и .

Т
.
еорема2: любой вектор единственным образом раскладывается по трем фиксированным некомпланарным векторам:
Некомпланарные векторы образуют базис пространства. Коэффициенты разложения называют координатами вектора в базисе .

Таким образом, в пространстве с выбранным базисом нам удалось каждому вектору поставить в соответствие тройку чисел — его координат. Теперь при выполнении введенных линейных операций над векторами можно заменить геометрические построения аналитическими выражениями.

Пусть

тогда

и

Таким образом, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, если они определены относительно одного и того же базиса.
IV. Линейная зависимость векторов. Размерность линейного пространства.

Запишем линейную комбинацию векторов Она называется тривиальной, если все ее коэффициенты одновременно равны нулю, то есть , и нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Определение: векторы называют линейно зависимыми, если можно найти их нетривиальную комбинацию, равную нулю:

при .

Определение: если для векторов обращается в нуль только их тривиальная комбинация, то такие векторы называют линейно независимыми:

при .

Векторы линейно зависимы, если хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию остальных. Пусть , тогда

Тогда на основании доказанных выше теорем оказывается, что линейно зависимыми являются любые два коллинеарных вектора (), любые три компланарных вектора () и любые четыре вектора в пространстве (). В свою очередь линейно независимыми всегда являются базисные векторы, т.е. два неколлинеарных вектора на плоскости и три некомпланарных вектора в пространстве.

Определение: количество векторов, образующих базис линейного пространства, называют размерностью этого пространства.

Размерность определяется наибольшим числом линейно независимых векторов пространства. Линейное пространство, имеющее размерность n, принято обозначать .
V. Системы координат.

Определение: декартовой системой координат называются совокупность точки и базиса.

Точка О называется началом координат,

Ox,Oy,Oz — координатными осями,

Oxy,Oyz,Oxz — координатными плоскостями.

Декартова система координат, базисные векторы которой взаимно перпендикулярны и имеют единичные длины, называется декартовой прямоугольной системой, а ее базис – ортонормированным.

Координатами точки А в выбранной cистеме координат называются координаты радиус-вектора этой точки в этой системе координат.

Если заданы координаты точек и , то можно найти выражение для координат вектора .

Из рисунка 6 следует, что , тогда . Если , то — координаты вектора .

На практике пользуются и другими системами координат, например, косоугольной декартовой, полярной, цилиндрической, сферической и др.

perviydoc.ru

Задачи по математике 3 класс тест – Олимпиадные задания по математике для 3 класса

alexxlab / / Математика

Тестовые задания по математике 3 класс

Итоговый тест для 3 класса


Итоговый тест

по математике

(разноуровневый)

К учебнику М.И.Моро и др.

«Математика. 3 класс»

(М.: Просвещение)

3 класс

Подготовила учитель начальных классов

Ковальских Татьяна Васильевна

МКОУ «Большелеушинская основная общеобразовательная школа»

2014 год

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая тестовая работа предназначена для итогового контроля знаний учащихся по разделам учебника «Математика» (3 класс, в 2 частях) авторов М.И.Моро и др.

Представленный тест позволяет педагогу выявить знания третьеклассников по темам года. Вопросы тестовых заданий разделены на три уровня сложности. Задания части А — базового уровня, части В — повышенного, части С — высокого уровня сложности. Каждое верно выполненное задание уровня А оценивается в 1 балл, уровня В — в 2 балла, уровня С — в 3 балла.

80 — 100% от максимальной суммы баллов — оценка «5»;

60 — 80 % — оценка «4»;

40 — 60 % — оценка «3»;

0 — 40 % — оценка «2»

На выполнение итогового теста отводится целый урок. Задания уровней А и В предполагают один правильный ответ, в заданиях уровня С может быть как один, так и несколько правильных ответов.

К тестовой работе предлагается «Ключ к тесту» с готовыми ответами. С его помощью ученики могут самостоятельно выполнить проверку своей работы.

Вариант 1

А1. В каком ряду правильно записано выражение и его значение?

Сумму чисел 337 и 154 умножить на 2.

1) 337 + 154 ∙ 2 = 645

2) (337 + 154) ∙ 2 = 982

3) (337 — 154) ∙ 2 = 336

4) 337 — 154 ∙ 2 = 24

А2. Для решения какого уравнения нужно из уменьшаемого вычесть разность?

1) 154 — х = 99

2) х — 154 = 99

3) х + 99 = 154

4) 99 + х = 154

А3. Значение какого уравнения равно 0?

1) 25 : 5 ∙ 8 :4 : 10

2) 32 : 4 ∙ 6 — 9 ∙ 5

3) 7 ∙ 4 : 8 ∙ 0 ∙ 6

4) 6 ∙ 3 : 2 ∙ 5 — 40

А4. Какое уравнение решается умножением?

1) х ∙ 25 = 100

2) 25 ∙ х = 100

3) х : 25 = 100

4) 100 : х = 25

А5. Длина прямоугольника 12 см, а ширина 4 см. Найди его периметр.

1) 16 см

2) 48 см

3) 3 см

4) 32 см

А6. В каком ряду записано решение задачи?

Три ящика с яблоками весят 36 кг. Сколько весит один ящик с яблоками?

1) 36 ∙ 3 = 108 (кг)

2) 36 : 3 = 12 (кг)

3) 36 — 3 = 33 (кг)

4) 36 + 3 = 39 (кг)

А7. В каком выражении знак поставлен неверно?

1) 1 кг >965 г

2) 6 дм 4 см = 64 мм

3) 59 см < 6 дм

4) 25 ч > 1 сут.

А8. Какая доля самая большая?

1) одна пятая

2) одна десятая

3) одна восьмая

4) одна вторая

В1. Одна пятая часть отрезка равна 10 см. Чему равна длина всего отрезка?

1) 2 см

2) 5 см

3) 15 см

4) 50 см

В2. В каком примере ответ 14?

1) 91 : 7

2) 84 : 6

3) 90 : 6

4) 96 : 4

В3. Отметь число, в котором 6 единиц первого разряда, 3 единицы второго разряда и 8 единиц третьего разряда.

1) 638

2) 683

3) 836

4) 863

В4. Представь число 462 в виде суммы разрядных слагаемых.

1) 400 + 62

2) 460 + 2

3) 450 + 10 + 2

4) 400 + 60 + 2

С1. В каком примере ответ 146?

1) 392 : 7

2) 584 : 4

3) 680 : 5

4) 876 : 6

С2. В каком ряду записано решение задачи?

В игре участвовали 12 команд, в каждой было 5 мужчин и 4 женщины. Сколько человек приняло участие в игре?

1) 12 + 5 + 4 = 21 (чел.)

2) ( 5 + 4) ∙ 12 = 108 (чел.)

3) 5 ∙ 12 + 4 ∙ 12 = 108 (чел.)

4) 5 ∙ 12 — 4 ∙ 12 = 12 (чел.)

Вариант 2

А1. В каком ряду правильно записано выражение и его значение?

Разность чисел 653 и 168 увеличить в 2 раза.

1) 653 — 168 ∙ 2 = 149

2) (653 — 168) ∙ 2 = 970

3) (653 — 168) ∙ 2 = 990

4) (653 — 168) + 2 = 487

А2. Для решения какого уравнения нужно к вычитаемому прибавить разность?

1) 154 — х = 99

2) х — 154 = 99

3) х + 99 = 154

4) 99 + х = 154

А3. Значение какого уравнения равно 0?

1) 6 : 2 ∙ 5 ∙ 1 — 1

2) 4 ∙ 6 : 2 ∙ 3 ∙ 0

3) 24 — 24 : 6 ∙ 5 : 10

4) 18 : 9 ∙ 6 : 3 — 3

А4. Какое уравнение решается умножением?

1) х : 5 = 200

2) 200 : х = 5

3) х ∙ 5 = 200

4) 5 ∙ х = 200

А5. Длина прямоугольника 15 см, а ширина 3 см. Найди его периметр.

1) 18 см

2) 45 см

3) 5 см

4) 36 см

А6. В каком ряду записано решение задачи?

В 5 банках 20 кг мёда. Сколько весит одна банка мёда?

1) 20 ∙ 5 = 100 (кг)

2) 20 : 5 = 4 (кг)

3) 20 + 5 = 25 (кг)

4) 20 — 5 = 15 (кг)

А7. В каком выражении знак поставлен неверно?

1) 326 г < 1 кг

2) 5 дм 8 см = 58 мм

3) 37 см > 3 дм

4) 20 сут. < 1 мес.

А8. Какая доля самая большая?

1) одна шестая

2) одна девятая

3) одна одиннадцатая

4) одна третья

В1. Одна шестая часть отрезка равна 12 см. Чему равна длина всего отрезка?

1) 2 см

2) 6 см

3) 18 см

4) 72 см

В2. В каком примере ответ 12?

1) 65 : 5

2) 56 : 4

3) 60 : 5

4) 66 : 6

В3. Отметь число, в котором 7 единиц первого разряда, 5 единиц второго разряда и 3 единиц третьего разряда.

1) 753

2) 357

3) 375

4) 735

В4. Представь число 783 в виде суммы разрядных слагаемых.

1) 700 + 83

2) 780 + 3

3) 740 + 40 + 3

4) 700 + 80 + 3

С1. В каком примере ответ 227?

1) 681 : 3

2) 908 : 4

3) 868 : 4

4) 717 : 3

С2. В каком ряду записано решение задачи?

На праздник сделали 15 подарков. В каждый подарок положили 3 апельсина и 4 яблока. Сколько всего фруктов положили в подарки?

1) 15 + 3 + 4 = 22 (ф)

2) ( 3 + 4) ∙ 15 = 105 (ф)

3) 3 ∙ 15 + 4 ∙ 15 = 105 (ф)

4) 4 ∙ 15 — 5 ∙ 15 = 15 (ф)

Ключ к тесту

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

В1

В2

В3

В4

С1

С2

1

2

1

3

3

4

2

2

4

4

2

3

4

2,4

2,3

2

2

2

2

1

4

2

2

4

4

3

2

4

1,2

2,3

Используемая литература:

Контрольно — измерительные материалы (КИМ): Математика. 3 класс / Составитель Т.Н.Ситникова. — 4-е изд.- М.: ВАКО, 2013 год

infourok.ru

Тест по математике на тему «Решение простых задач» (3 класс)

Тест «Решение задач»

1. Какая из задач решается так: 8:4=2?

А) Утят 4, цыплят 8. Во сколько раз больше цыплят, чем утят?

Б) Утят 4, цыплят 8. На сколько цыплят больше цыплят, чем утят?

В) Утят 4, цыплят 8. Во сколько раз меньше цыплят, чем утят?

Г) Утят 8, цыплят 2. Во сколько раз больше утят, чем цыплят?

2. Укажите верное решение задачи.

Посадили 12 тюльпанов, по 6 тюльпанов в каждом ряду. Сколько рядов?

А) 12•6=72

Б) 12:6=2

В) 12-6=6

Г) 12:2=6

3. Какая задача решается умножением?

А) 10 апельсинов разложили на 2 тарелки поровну. Сколько апельсинов на каждой тарелке?

Б) Посадили 12 тюльпанов в 2 ряда поровну. Сколько тюльпанов посадили в каждом ряду?
В) Высота каждого этажа дома 3 м. В доме 5 этажей. Чему равна высота дома?

Г) Делимое 12. Частное 3. Найди делитель.

4. Какими действиями можно решить задачу?

На каждой тарелке по 3 груши. Сколько груш на 4 тарелках?

А) сложением

Б) вычитанием

В) умножением

Г) делением

5. Какая задача решается делением?

А) Купили 6 зеленых мячей, а красных в 3 раза больше. Сколько красных мячей купили?

Б) Купили 6 зеленых, а красных в 3 раза меньше. Сколько красных мячей купили?

В) Купили 6 зеленых мячей, а красных на 3 мяча больше. Сколько красных мячей купили?

Г) Купили 6 зеленых мячей, а красных на 3 мяча меньше. Сколько красных мячей купили?

6. Что не нужно знать, при решении данной задачи?

В столовой израсходовали 8 кг муки и 24 кг крупы. Во сколько раз меньше израсходовали муки, чем крупы?

А) данные

Б) табличное умножение, деление

В) во сколько раз больше израсходовали муки

Г) условие

7. Какое пояснение ответа будет у данной задачи?

Нарисуй 10 кружков и 2 квадрата. Во сколько раз квадратов меньше, чем кружков?

А) в 5 раз больше квадратов, чем кружков

Б) на 5 раз меньше квадратов, чем кружков

В) в 5 раз меньше квадратов, чем кружков

Г) в 5 раз меньше кружков, чем квадратов

8. Укажите неверные ответы к задаче

Коля сделал 6 заданий по математике, это в 2 раза больше, чем по русскому языку. Сколько заданий выполнил Коля по русскому языку?

А) 12 заданий

Б) 3 задания

В) 8 заданий

Г) 4 задания

9. Сколько цыплят должно быть на рисунке, если решить эту задачу?

У хозяйки 15 утят, а цыплят в 3 раза меньше. Сколько цыплят у хозяйки?


А)


Б)


В)


Г)

10. На скворечник идет 7 дощечек. Хватит ли на два скворечника 15 дощечек?

А) хватит, но останется 3

Б) хватит, но останется 1

В) не хватит

Г) хватит, но останется 2

11. Сколькими способами можно решить эту задачу?

На дереве сидело 3 голубя, это в 3 раза меньше, чем ворон. Сколько ворон сидело на дереве?

А) двумя

Б) тремя

В) одним

Г) нельзя решить

12. Какая краткая запись будет верна к этой задаче?

Коля сделал 6 заданий по математике, это в 2 раза больше, чем по русскому языку? Сколько заданий выполнил Коля по русскому языку?

А) По математике- 6 зад.

По русскому яз. — ?, в 2 р. м.

Б) По математике – 6 зад., в 2 р. б.

По русскому яз.- ?

В) По математике – 6 зад.

По русскому яз. — ?, на 2 зад. м.

Г) По математике – 6 зад.

По русскому яз. — ?, на 2 зад. б.

13. Какое из буквенных выражений соответствует решению задачи?

Высота каждого этажа дома 3м. В доме 5 этажей. Чему равна высота дома?

А)

Б) a+b=c

В) a-b=c

Г) a•b=c

Ключи:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

А

Б

В

А,В

Б

В

В

А,В,Г

В

Б

В

А

Г

Аннотация к тесту

Данный тест составлен по теме «Решение задач на умножение и деление», для учащихся 3-х классов. Он может быть использован на уроках повторения, закрепления и контрольного тестирования.

Тест содержит 13 заданий, в каждом из которых 4 варианта ответа. На выполнение теста отводится 30-35 минут. Данный тест проверяет такие знания и умения, как: табличное умножение и деление, знание арифметических действий, способы решения задач.

Этот тест ориентирован на учебник М.И. Моро, 2 кл. 2ч. и 3кл. 1ч. Ответы к тесту прилагаются.

Тест позволяет педагогу оценить реальный запас знаний учащихся, выявить особенности усвоения учебного материала и построить дальнейшую работу с учетом полученных результатов.

infourok.ru

Итоговый тест по математике для 3 класса

Вариант 1

А1. В каком ряду правильно записано выражение и его значение?

Сумму чисел 337 и 154 умножить на 2.

1) 337 + 154 ∙ 2 = 645

2) (337 + 154) ∙ 2 = 982

3) (337 — 154) ∙ 2 = 336

4) 337 — 154 ∙ 2 = 24

А2. Для решения какого уравнения нужно из уменьшаемого вычесть разность?

1) 154 — х = 99

2) х — 154 = 99

3) х + 99 = 154

4) 99 + х = 154

А3. Значение какого уравнения равно 0?

1) 25 : 5 ∙ 8 :4 : 10

2) 32 : 4 ∙ 6 — 9 ∙ 5

3) 7 ∙ 4 : 8 ∙ 0 ∙ 6

4) 6 ∙ 3 : 2 ∙ 5 — 40

А4. Какое уравнение решается умножением?

1) х ∙ 25 = 100

2) 25 ∙ х = 100

3) х : 25 = 100

4) 100 : х = 25

А5. Длина прямоугольника 12 см, а ширина 4 см. Найди его периметр.

1) 16 см

2) 48 см

3) 3 см

4) 32 см

А6. В каком ряду записано решение задачи?

Три ящика с яблоками весят 36 кг. Сколько весит один ящик с яблоками?

1) 36 ∙ 3 = 108 (кг)

2) 36 : 3 = 12 (кг)

3) 36 — 3 = 33 (кг)

4) 36 + 3 = 39 (кг)

А7. В каком выражении знак поставлен неверно?

1) 1 кг >965 г

2) 6 дм 4 см = 64 мм

3) 59 см < 6 дм

4) 25 ч > 1 сут.

А8. Какая доля самая большая?

1) одна пятая

2) одна десятая

3) одна восьмая

4) одна вторая

В1. Одна пятая часть отрезка равна 10 см. Чему равна длина всего отрезка?

1) 2 см

2) 5 см

3) 15 см

4) 50 см

В2. В каком примере ответ 14?

1) 91 : 7

2) 84 : 6

3) 90 : 6

4) 96 : 4

В3. Отметь число, в котором 6 единиц первого разряда, 3 единицы второго разряда и 8 единиц третьего разряда.

1) 638

2) 683

3) 836

4) 863

В4. Представь число 462 в виде суммы разрядных слагаемых.

1) 400 + 62

2) 460 + 2

3) 450 + 10 + 2

4) 400 + 60 + 2

С1. В каком примере ответ 146?

1) 392 : 7

2) 584 : 4

3) 680 : 5

4) 876 : 6

С2. В каком ряду записано решение задачи?

В игре участвовали 12 команд, в каждой было 5 мужчин и 4 женщины. Сколько человек приняло участие в игре?

1) 12 + 5 + 4 = 21 (чел.)

2) ( 5 + 4) ∙ 12 = 108 (чел.)

3) 5 ∙ 12 + 4 ∙ 12 = 108 (чел.)

4) 5 ∙ 12 — 4 ∙ 12 = 12 (чел.)


Вариант 2

А1. В каком ряду правильно записано выражение и его значение?

Разность чисел 653 и 168 увеличить в 2 раза.

1) 653 — 168 ∙ 2 = 149

2) (653 — 168) ∙ 2 = 970

3) (653 — 168) ∙ 2 = 990

4) (653 — 168) + 2 = 487

А2. Для решения какого уравнения нужно к вычитаемому прибавить разность?

1) 154 — х = 99

2) х — 154 = 99

3) х + 99 = 154

4) 99 + х = 154

А3. Значение какого уравнения равно 0?

1) 6 : 2 ∙ 5 ∙ 1 — 1

2) 4 ∙ 6 : 2 ∙ 3 ∙ 0

3) 24 — 24 : 6 ∙ 5 : 10

4) 18 : 9 ∙ 6 : 3 — 3

А4. Какое уравнение решается умножением?

1) х : 5 = 200

2) 200 : х = 5

3) х ∙ 5 = 200

4) 5 ∙ х = 200

А5. Длина прямоугольника 15 см, а ширина 3 см. Найди его периметр.

1) 18 см

2) 45 см

3) 5 см

4) 36 см

А6. В каком ряду записано решение задачи?

В 5 банках 20 кг мёда. Сколько весит одна банка мёда?

1) 20 ∙ 5 = 100 (кг)

2) 20 : 5 = 4 (кг)

3) 20 + 5 = 25 (кг)

4) 20 — 5 = 15 (кг)

А7. В каком выражении знак поставлен неверно?

1) 326 г < 1 кг

2) 5 дм 8 см = 58 мм

3) 37 см > 3 дм

4) 20 сут. < 1 мес.

А8. Какая доля самая большая?

1) одна шестая

2) одна девятая

3) одна одиннадцатая

4) одна третья


В1. Одна шестая часть отрезка равна 12 см. Чему равна длина всего отрезка?

1) 2 см

2) 6 см

3) 18 см

4) 72 см

В2. В каком примере ответ 12?

1) 65 : 5

2) 56 : 4

3) 60 : 5

4) 66 : 6

В3. Отметь число, в котором 7 единиц первого разряда, 5 единиц второго разряда и 3 единиц третьего разряда.

1) 753

2) 357

3) 375

4) 735

В4. Представь число 783 в виде суммы разрядных слагаемых.

1) 700 + 83

2) 780 + 3

3) 740 + 40 + 3

4) 700 + 80 + 3

С1. В каком примере ответ 227?

1) 681 : 3

2) 908 : 4

3) 868 : 4

4) 717 : 3

С2. В каком ряду записано решение задачи?

На праздник сделали 15 подарков. В каждый подарок положили 3 апельсина и 4 яблока. Сколько всего фруктов положили в подарки?

1) 15 + 3 + 4 = 22 (ф)

2) ( 3 + 4) ∙ 15 = 105 (ф)

3) 3 ∙ 15 + 4 ∙ 15 = 105 (ф)

4) 4 ∙ 15 — 5 ∙ 15 = 15 (ф)

Ключ к тесту

Вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

В1

В2

В3

В4

С1

С2

1

2

1

3

3

4

2

2

4

4

2

3

4

2,4

2,3

2

2

2

2

1

4

2

2

4

4

3

2

4

1,2

2,3

infourok.ru

Сборник тестов по математике для 3 класса

Рекомендации:

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

Ирина Николаевна, спасибо за сборник тестов.Каждая работа интересно оформлена!


Ирина Николаевна, огромное спасибо Вам за комплекс. Буду использовать в своей работе.


arnika #4 | 29.06.2015 | 21:01 | 0

Наталья Владимировна, Эльвира Васильевна, спасибо за добрые слова и отзывы.


Ирина Николаевна, бесценный ресурс на все случаи в 3 классе. Теперь проверка знаний превратится в интересную игру.


arnika #5 | 29.06.2015 | 21:06 | 0

Надеюсь , что ученикам будет интересно учиться с использованием данных тестов. Спасибо за комментарий и добрые слова, Ирина Николаевна.


Linda #6 | 30.06.2015 | 08:54 | 0

Уважаемая Ирина Николаевна! Большое спасибо за серию тестов. Это бесценная копилочка для учителей. Желаю Вам дальнейших творческих идей. С уважением, Лидия Петровна.


arnika #7 | 30.06.2015 | 10:16 | 1

Лидия Петровна, спасибо за внимание к работе и пожелания.


Ирина Николаевна, Ваш сборник — это кладезь (сокровищница) для нас! Спасибо огромное и дальнейшей неиссякаемой энергии и творчества.


arnika #9 | 30.06.2015 | 20:05 | 0

Благодарю за пожелания, Екатерина Петровна. И Вам успехов в работе.


Cerg68 #10 | 07.07.2015 | 12:26 | 0

Ирина Николаевна, благодарю Вас за целый комплекс неповторимых работ!


arnika #12 | 17.07.2015 | 11:55 | 0

Ирина Евгеньевна, спасибо за отзыв, приятно получить одобрение специалиста высокого класса.


Cerg68 #14 | 17.07.2015 | 18:17 | 0

Это слишком громко! Я только учусь!


arnika #15 | 18.07.2015 | 11:51 | 0

Мы все чему-либо учимся всю жизнь, но это не отменяет уже имеющиеся умения.


Ж

Жарова Татьяна Юрьевна #11 | 15.07.2015 | 18:38 | 0

Ирина Николаевна! Готовлюсь к 4 классу, работаю по «Перспективе». Не удержалась, скачала, слишком хороши! Обязательно использую в начале года для повторения. Огромное спасибо!


arnika #13 | 17.07.2015 | 11:56 | 0

Татьяна Юрьевна, спасибо большое за одобрение работы, буду рада, если работы пригодятся.


Ирина Николаевна! Спасибо за прекрасный сборник тестов по математике. Супер!


arnika #17 | 23.07.2015 | 14:33 | 0

Спасибо за внимание к ресурсу, Виктория Леонидовна, удачи в работе.


Ирина Николаевна, благодарю за прекрасный сборник для 3 класса. Беру себе в копилочку.


easyen.ru

Условие задачи по математике – Образцы оформления задачи / Задачи / Справочник по математике для начальной школы

alexxlab / / Математика

Задачи с несколькими вопросами. Видеоурок. Математика 1 Класс

На данном уроке вы узнаете, как решать задачи с несколькими вопросами. Для этого мы рассмотрим пример с веселыми воробьями и синицами. Также вы научитесь определять, в какой последовательности нужно надо отвечать на поставленные вопросы, чтобы облегчить решение разных задач.

Тема: Знакомство с основными понятиями в математике

Урок: Задачи с несколькими вопросами

 

Вспомним, что такое задача. Задача – это текст, в котором есть условия с какими-то величинами, и есть вопрос, на который необходимо ответить с помощью действий с этими величинами.

Задача 1.

На ветке сидели 3 воробья и синицы. Синиц было на 2 больше. Сколько синиц сидело на ветке? Сколько всего сидело птиц на ветке?

В этой задаче есть условия и два вопроса. В первую очередь нужно узнать, сколько синиц сидело на ветке, чтобы ответить на вопрос, сколько всего сидело птиц на ветке.

Запишем краткое условие задачи.

Поскольку в условии сказано, что синиц было на 2 больше, то следует выполнить действие сложения.

3 + 2 = 5 (синиц) – ответ на первый вопрос.

Чтобы ответить на вопрос, сколько всего птиц сидело на ветке, нужно сложить всех воробьев и синиц вместе.

3 + 5 = 8 (птиц) – ответ на второй вопрос.

Ответ: на ветке сидело 5 синиц, всего птиц сидело 8.

Итак, в задаче было два вопроса. Для того чтобы ответить на второй вопрос, потребовалось сначала ответить на первый.

Задача 2.

У Саши – 7 машинок, а у Жени – на 3 машинки меньше. Сколько машинок у Жени? Сколько машинок у мальчиков вместе?

Чтобы ответить на вопрос, сколько машинок у мальчиков вместе, нужно узнать, сколько машинок у Жени.

Запишем краткое условие задачи:

У Саши – 7

У Жени – ?, на 3 меньше

          

То есть, первый вопрос задачи – сколько машинок у Жени. Второй вопрос – сколько машинок у мальчиков вместе.

Поскольку у Жени на 3 меньше машинок, чем 7, то выполняем действие вычитания.

7 — 3 = 4 (машинки у Жени) – ответ на первый вопрос.

Зная, сколько машинок у Саши и Жени, можно посчитать, сколько всего машинок у мальчиков. Для этого выполняем действие сложения.

7 + 4 = 11 (машинок всего) – ответ на второй вопрос.

Ответ: У Жени было 4 машинки, всего у ребят было 11 машинок.

Итак, на данном уроке мы выучили, что для того, чтобы решить задачи с несколькими вопросами, необходимо отвечать по очереди на поставленные вопросы – сначала на первый, потом на второй, так как первый вопрос помогает нам найти недостающие данные.

 

Список литературы

  1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. – М: Мнемозина, 2012.
  2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. – М: Астрель, 2012.
  3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. – М7: Русское слово, 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Социальная сеть работников образования (Источник).
  2. Социальная сеть работников образования (Источник).
  3. Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Что такое задача?
  2. В зоопарке 9 обезьян, а лисиц – на 7 меньше, чем обезьян. Сколько лисиц в зоопарке? Сколько всего зверей находится в зоопарке?
  3. У Дениса 5 марок, а у Алеши – на 3 марки больше. Сколько марок у Алеши? Сколько всего марок у мальчиков?

interneturok.ru

Задачи / Справочник по математике для начальной школы

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Задачи

Познакомимся с задачей:

На дереве сидели 5 птичек. К ним прилетели еще 2 птички.

Сколько всего птичек стало?

— Что известно в задаче? На языке математики это называется условием задачи.

— Что нужно узнать? Это вопрос задачи. Без вопроса нет задачи.

Почти к каждой задаче можно записать схему, то есть ее краткую запись.

— Сосчитайте, сколько птичек стало? Это решение задачи.

К каждой задаче нужно записать ответ.

Составные части задачи

.

Условие — что известно.

К празднику в детский сад купили 7 маленьких воздушных шариков, а больших — на 2 меньше.

Вопрос — что нужно узнать.

Сколько всего шариков купили к празднику?

Краткая запись или схема 

Решение

Ответ

Виды задач

1. Задачи на нахождение суммы

В каждом вопросе задач такого типа «Сколько всего?»

2. Задачи на нахождение остатка

В вопросе «Сколько … осталось?»

3. Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц

В условии «на … больше»

В условии «на … меньше»

4. Задачи на разностное сравнение

В вопросе «На сколько больше…?»

                  «На сколько меньше…?»

5. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого

В условии «Было… Стало..»

В вопросе «Сколько добавили?»

6. Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого

В условии «Было… Осталось…»

В вопросе «Сколько уехало?»

                  «Сколько человек вышло?»

7. Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого

В условии «Убрали… Осталось…»

В вопросе «Сколько было сначала?»             

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Образцы оформления задачи

Обратные задачи

Задачи на движение

Цена. Количество. Стоимость

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 116, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 1 часть

Страница 42, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 1 часть

Страница 8, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 11, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 14, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 18, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 28, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 30, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 35, Моро, Волкова, Степанова, Учебник, 2 часть

Страница 48, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

2 класс

Страница 41, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 62, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 67, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 32, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 93, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 18, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 45, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 50, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 52, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 77, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

3 класс

Страница 4, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 63, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 20, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 1 часть

Страница 43, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 60, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 66, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 70, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 75, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 76, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 73, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

5 класс

Задание 230, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 238 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 248 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 250 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 259, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 260 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 266 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 279 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 295 , Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 351, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

6 класс

Задание 394, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

budu5.com

Урок математики по теме: «Задача. Условие и требование»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Селихово

Автор: Расева Светлана Ивановна, учитель начальных классов МБОУ СОШ с. Селихово

Предмет: Математика

Класс: 1 класс

УМК «Перспективная начальная школа»

Тип урока: Открытие нового знания

Технологическая карта изучения темы «Задача. Условие и требование»

Тема

Задача. Условие и требование

Цель

Знакомство с понятием «задача», со структурой задачи

Планируемый результат, формирование УУД

Предметные результаты:

— рассмотреть отличие задачи от математического рассказа;

— уметь различать структуру текстовой задачи; находить и выбирать способ решения;

— уметь составлять схему к рисунку, составлять равенство, используя связь целого и частей.

Личностные УУД:

— формировать положительное отношение к изучению предмета;

— формировать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные УУД:

Регулятивные УУД:

— формировать умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

— формировать умение принимать и сохранять учебную задачу, соответствующую этапу обучения;

— формировать умение планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

— формировать умение оценивать совместно с учителем или одноклассниками результат своих действий.

Познавательные УУД:

— формировать умение добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;

— формировать умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;

— формировать умение осуществлять анализ, сравнение объекта;

— под руководством учителя проводить классификацию изучаемых объектов; делать выводы.

Коммуникативные УУД:

— принимать участие в работе группами;

— понимать задаваемые вопросы;

— уметь выражать свою точку зрения;

— адекватно воспринимать другое мнение и позицию

— уметь оформлять свои мысли в устной форме;

— формировать умение слушать и вступать в диалог.

Ресурсы:

— основные

— дополнительные

— А.Л.Чекин. Математика. Учебник для 1 класса. Ч.2. с. 32-33

— О.А Захарова. Математика в вопросах и заданиях. Тетрадь для самостоятельных работ №2. С.50

— презентация

— карточки-рисунки (прямоугольники и треугольник) для групповой работы

— дощечки для написания маркером

— солнышко и тучка для самооценки.

Методы и приёмы

подводящий к теме диалог; фронтальная работа; работа в группах; самостоятельная работа; чтение математических текстов

Ход урока

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Методический комментарий

1. Самоопределение к учебной деятельности (мотивация)

— Доброе утро, дорогие ребята, рада видеть вас сегодня на нашем уроке.

Прежде, чем начать урок, создадим себе и друг другу хорошее настроение. А хорошее настроение начинается с улыбки. Пожелайте друг другу удачи.

Встало солнышко давно,

Заглянуло к нам в окно,

На урок торопит нас

Математика сейчас.

Настраиваются на работу.

Коммуникативные УУД:

уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

Личностные УУД: мотивировка на достижение цели

2. Актуализация знаний и фиксирование затруднений в деятельности.

(Слайд 2)

Готовясь к уроку, я нашла поговорку:

«Повторять да учить – ум точить»

— Ребята, я задумалась над этим выражением, а как вы понимаете эти слова? (Ответы детей)

— А вы любите открывать новые знания? (ОНЗ)

А как мы открываем новые знания?

— Что мы будем делать? (Повторим, обобщим, встретив затруднение, остановимся, подумаем, чего не знаем).

— С чего начинаем урок? (с повторения)

(Слайд 3)

Ребята, к нам в гости пришли Маша и Миша. Они для вас приготовили различные задания. Давайте посмотрим первое.

Устный счёт.

Для начала, как всегда, нужна гимнастика ума.

— Покажем, как мы умеем считать? (Да)

1. Маша задумала число, добавила к нему 2 и получила число 5. Какое число задумала Маша?

(Ответы детей: 3)

— Как вы рассуждали?

(Слайд 4)

2. Второе задание, которое приготовили Маша и Миша называется «Собери лимоны».

Задание: соберите лимоны в корзину, но только те, выражение которых равны «6».

(Слайд 5)

3. И еще одно задание от Миши. Он вам предлагает сыграть в игру «Кто быстрее».

Работа с дощечкой.

4+2= 6 6 – 4 = 2

5+3 =8 7 – 2 = 5

-Молодцы!

(Слайд 6)

— Давайте обобщим, что мы уже знаем и умеем делать?

(- Мы знаем математические знаки +, -, <, >.

— Мы выучили все числа и научились их писать.

— Мы изучили состав чисел.

-Умеем выполнять математические действия с числами).

— Что же здесь делает знак вопроса? Чего мы не умеем? (Не умеем решать задачи).

Ученики отвечают на вопросы

Ученики выполняют задания героев Маши и Миши

Ответы детей

Дети выполняют задание: выбирают выражения, которые равны «6».

Дети пишут маркером на дощечке и показывают ответ.

Ученики работают с таблицей.

Ученики отвечают на вопросы учителя

Коммуникативные УУД: уметь оформлять свои мысли с достаточной полнотой и точностью в устной форме.

Регулятивные УУД: умение выполнять математические действия.

Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя.

3. Постановка учебной задачи.

— А почему мы не умеем решать задачи?

— А вы знаете, что такое задача? (Нет)

— Какие мысли приходят вам в голову?

(текст, числа, вопрос)

(Слайд 7)

Послушайте два математических рассказа и сравните их:

Сколько всего лягушат было на болоте?

На болоте прыгали 5 лягушат. К ним прискакали ещё 2 лягушонка.

На болоте прыгали 5 лягушат. К ним прискакали ещё 2 лягушонка. Сколько всего лягушат было на болоте?

— Какой рассказ будет являться задачей?

Дети высказывают предположения.

Сравнивают математические рассказы, пытаются выяснить, какой из них является ЗАДАЧЕЙ.

(Ответы детей).

Познавательные УУД:

Умение проводить сравнение

4. Построение проекта выхода из затруднения (открытия детьми нового знания)

— Почему мы не можем ответить на вопрос? Почему возникло затруднение?

( Не знаем что такое задача).

— Какова же цель урока? (Узнать, что такое задача. Чем задача отличается от обычного рассказа).

— Какова же тема урока сегодня? (Задача).

Итак, мы сегодня открываем новые знания.

Ребята, а как мы будем устранять затруднение?

— Наметим план действия:

1. Сами попробуем выполнить задание: узнать, что такое задача.

2. Сопоставим свои предположения с учебником, спросим у учителя.

3. Устраним затруднение.

4. Применим новое знание.

— Кто наши главные помощники?

(Свой опыт, учебник, учитель)

— Посмотрите ещё раз на рассказы, чем же они отличаются? (есть вопрос).

— Математический рассказ, в котором есть вопрос, мы будем называть задачей.

(На доске появляется карточка ЗАДАЧА)

— Вспомним, о чем говорится в задаче?

(о лягушатах)

— Что нам известно? ( На болоте играли 3 лягушонка) – Что ещё нам известно? (К ним прискакали ещё 2 лягушонка).

— Это УСЛОВИЕ задачи (появляется карточка УСЛОВИЕ)

-Что же в задаче требуется узнать? (Сколько всего лягушат?)

— Это ТРЕБОВАНИЕ задачи, без требования не может быть задачи (появляется карточка ТРЕБОВАНИЕ)

— Так из каких частей состоит задача? Кто был внимательным и может повторить? (Ответы детей)

— Что такое условие задачи? (Это то, что нам известно)

— Что обязательно должно быть в задаче? В задаче должно быть … (требование)

— Что такое требование задачи? (Это то, о чём нас спрашивают, что нужно узнать)

(Слайд 8)

— Так какой же рассказ (первый или второй) будет являться ЗАДАЧЕЙ?

— Вы свои затруднения сняли? Узнали, что такое задача? (Да)

— Мы уже можем идти домой? (нет)

— А что ещё нужно сделать? (Закрепить)

Ученики определяют цель урока и называют тему урока.

Ученики составляют план действия выхода из затруднительной ситуации.

.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя.

Дети приходят к выводу, что второй текст является задачей.

Ответы детей

Регулятивные УУД:

Умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя. Определять тему самостоятельно или с помощью учебника.

Познавательные УУД:

умение добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой опыт и информацию, полученную на уроке.

Коммуникативные УУД:

Умение оформлять мысли в устной и письменной форме.

Физ.минутка «Танец лягушат»

Ребята, мы очень хорошо поработали, а теперь давайте отдохнем и исполним танец «Танец лягушат».

Выполнение танцевальных движений под музыку

Личностные УУД:

осознание важности сохранения и улучшения своего здоровья.

5.Первоначальное закрепление с проговариванием во внешней речи.

— Переходим к этапу закрепления. Работать будем в группах.

Ребята, давайте вспомним

Правила работы в группе.

(- В группе должен быть ответственный;

— Работать должен каждый на общий результат;

— Один говорит, другие слушают;

— Своё несогласие высказывай вежливо;

— Если не понял, переспроси).

Давайте, ребята, обратимся к нашему главному помощнику – учебнику.

Откройте учебник на стр. 33, приклейте закладку. Какие знаки – помощники вы видите?

(Слайд 9)

Задание № 2 (На экране текст задачи из учебника)

— Сравни два текста. Какой из них является задачей? Докажите свое предположение.

(Слайд 10-11)

Задание №3 (На экране)

— К данным УСЛОВИЯМ придумай ТРЕБОВАНИЯ

  • На одном берегу реки было 7 домов, а на другом -6.

  • В классе было 10 учеников, а потом пришли ещё 2.

  • В одной вазе лежало 6 яблок, в другой – 2, а в третьей – 4.

  • Зерно вывозили 9 машин, а потом 1 машина сломалась.

(Слайд 12)

Задание №4 (На экране)

— К данным требованиям придумай условие, чтобы получились задачи.

(Сколько всего коров было в стаде?

Сколько ромашек осталось в вазе для цветов?

Найди число комбайнов, работающих в поле.

Требуется узнать, сколько мешков картошки собрали за день?)

Молодцы, ребята! Вы справились с заданием.

— Давайте ещё раз вспомним составные части задачи:

Условие

Требование

Если отсутствует требование или условие, текст не является задачей.

(Слайд 13)

Ребята, обратите внимание на экран.

Перед вами задача. Прочитайте её. Найдите условие и требование.

У вас на партах лежат геометрические фигуры: прямоугольники и треугольник. Вам нужно построить дом, а чтобы всё получилось, вам надо правильно найти УСЛОВИЕ и ТРЕБОВАНИЕ задачи.

Дом начинаем строить с фундамента.

ЗАДАЧАА

(Слайд 14)

Требование

Условие

Поблагодарите группу за работу.

Дети проговаривают правила работы в группе

Ученики открывают учебник, объясняют значение знаков-помощников «Подумай» и «Расскажи».

Дети сравнивают тексты, отвечают на вопросы, доказывают свое мнение.

Дети работают в группах, придумывают к условиям требования.

Отчет группы у доски.

Работают в группах: придумывают к требованиям условия.

Отчет группы у доски.

Отвечают на вопросы, обобщают, делают выводы.

Дети читают задачу на экране.

Работа в группах: ученики работают с раздаточным материалом (у каждой группы раздаточный материал: геометрические фигуры: прямоугольники и треугольник. Дети строят дом из фигур.

Дети благодарят друг друга за работу.

Коммуникативные УУД:

Уметь работать в группе, выражать свою точку зрения.

Уметь оформлять свои мысли в устной форме: слушать и понимать речь других.

Регулятивные УУД:

Формируются умения ориентироваться в учебнике.

Познавательные УУД:

Умение проводить сравнение.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Формирование адекватной самооценки и самоконтроля.

А сейчас ребята, работаем в тетради на печатной основе. Откроем страницу 50, переклеим закладку.

Задание № 1 (Т-2, с. 50)

— У кого всё правильно?

— У кого есть ошибки?

— В чём ошибки?

— В чём причина ошибок?

Работают самостоятельно.

Дети подходят к столу учителя и сравнивают выполненное задание с образцом.

Ученики отвечают на вопросы учителя.

Регулятивные УУД:

Умение следовать инструкции.

Познавательные УУД:

Умение выполнять задание на основе использования математических законов

7. Рефлексия учебной деятельности

(Слайд 15)

Итак, ребята, сегодня на уроке

Я узнал (а)…

Мне понравилось…

Было трудно…

На столах у вас лежат солнышко и тучка. Я попрошу вас, чтобы вы прикрепили на доске: солнышко, если на уроке вам было интересно, или тучку, если на уроке вам было скучно.

Высказывания детей и оценка своей работы.

Личностные УУД:

Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

При составлении конспекта были использованы ресурсы Интернет.

infourok.ru

«Задача, структура задачи (условие, вопрос), анализ задачи (запись решения и ответа)».

Конспект урока по математике

Тема: «Задача, структура задачи

(условие, вопрос), анализ задачи

(запись решения и ответа)».

1 класс, УМК «Школа России»

Горбунцова С. В.

Тема: «Задача»

Тип урока: ОНЗ (открытия новых знаний).

Цель: знакомство с понятием «Задача», совершенствование навыков сложения и вычитания.

Целевые установки на достижение результатов:

  • Личностные: уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

  • Предметные: знать структуру текстовой задачи; знать правило оформления решения задачи в тетради; уметь различать условие задачи, вопрос; уметь правильно оформлять решение задачи; уметь составлять схему к рисунку, составлять равенство, используя связь целого и частей.

  • Метапредметные: уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение (Регулятивные УУД).

Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД).

Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).

Оборудование: компьютер, экран, проектор, наглядные пособия.

УМК «Школа России» Математика в 2-х частях, Москва «Просвещение» 2011г. Под редакцией М.И. Моро.

1. Организационный момент

— Громко прозвенел звонок.

Начинается урок.

Наши ушки — на макушке,

Глазки хорошо открыты.

Слушаем, запоминаем,

Ни минуты не теряем.

— Сегодня у нас на уроке присутствуют гости, поприветствуем их. Садитесь.

– Урок я хочу начать словами китайской мудрости (читаю я)

Слайд 2 Я слышу – и забываю,

Я вижу – и запоминаю,

Я делаю – и понимаю.

– Сегодня на уроке мы будем внимательно слушать учителя и друг друга, наблюдать, стараться запоминать и понимать.

Слайд 3

Девиз урока: «Знаешь – говори, не знаешь – слушай».

— Обратите внимание на экран. Прочитайте про себя.

А теперь прочитаем хором.

— Значит, чему будет посвящён наш урок? (Открытию новых знаний)

2 Актуализация знаний.

— С чего мы обычно начинаем урок математики? (С устного счёта)

— Что вы видите ? (числовой ряд)

— Предложите свои задания классу (3-4)

— Обратите внимание на доску. Что мы видим? (геометрические фигуры)

— Составьте выражения по рисунку, объясните их смысл.

На доске:

(2+3=5 – к 2 квадратам прибавили 3 круга, всего получили 5 фигур;

3+2=5 – к 3 кругам прибавили 2 квадрата, всего получили 5 фигур;

5-2=3 – из 5 фигур вычли 2 квадрата, осталось 3 круга;

5-3=2 – из 5 фигур вычли 3 круга, осталось 2 квадрата.)

— Вы справились с устным счётом, значит, справитесь и с новым материалом.

3 Самоопределение к деятельности

— У вас на столе лежат цветные листочки. Каждый возьмите в руки по листочку.

-Прочитаем два текста:

1. Мишутка нашёл 6 грибочков, а белочка 1 грибочек. Сколько всего грибов набрали звери?

2. Мишутка нашёл 6 грибочков, а белочка 1 грибочек. Мишутка и белочка

– звери, потому-что их тело покрыто шерстью.

-Как вы думаете, какой из этих текстов можно поместить в учебник «Математика», а какой в учебник «Окружающий мир» ?

Ответ:

Первый текст нужно поместить в учебник «Математика», т к в нём есть вопрос, для ответа на который нужно выполнить вычисления.

Второй текст нужно поместить в учебник «Окружающий мир».

— Кто скажет, как называется первый текст на языке математики? (Задача)

— Определите тему урока.

(Учитель вывешивает табличку «ЗАДАЧА»)

— Откройте учебник на стр. 88.

— Прочитайте над какими учебными задачами мы будем работать (1 ученик вслух).

— Ребята, вы очень хорошо поработали, а теперь наберёмся сил перед следующим заданием. Встали.

4. Физкультминутка.

Топай, мишка.

Хлопай, мишка.

Приседай со мной братишка.

Руки вверх, вперёд и вниз,

Улыбайся и садись.

5. Работа по теме урока.

1. Знакомство со структурой задачи.

— Прочитаем ещё раз задачу на цветном листочке. Найдите условие. Прочитайте.

( Мишутка нашёл 6 грибочков, а белочка 1 грибочек.)

— Что ты прочитал? (Я прочитал условие задачи.)

(Учитель вывешивает табличку на доску «УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ»).

— Как можно обозначить грибочки на рисунке? (кружочками)

— Выполним рисунок. Сколько кружков я должна нарисовать? (6 и 1)

— Что надо узнать? (Сколько всего грибов набрали звери ?)

— Как вы думаете, а это что? (карточка «ВОПРОС»)

— Как мне его изобразить на рисунке? (дугой)

— Ответьте на вопрос задачи. Как вы узнали? (6+1=7 (г).)

— Это решение задачи. (табличка «РЕШЕНИЕ»)

— Ещё раз прочитайте вопрос и ответьте на него. (Набрали 7 грибов)

— Это ОТВЕТ ЗАДАЧИ. (табличка «ОТВЕТ»)

— Давайте ещё раз посмотрим на схему и сделаем вывод: как построена задача.

(ХОРОМ: в задаче есть условие, вопрос, решение, ответ)

— Прочитайте ещё раз 2 текст.

Почему это не задача? (нет вопроса)

-Молодцы. А теперь немножко отдохнём. Внимание на доску. Следим глазками за бабочкой.

6. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА СЛАЙД 4 (БАБОЧКА).

7. Закрепление изученного (я читаю вслух сразу задание № 3 на стр 88).

— Что я прочитала? (задачу)

— Откройте учебник на странице .

— Докажите, что это задача. (есть условие, вопрос)

— Что известно из условия задачи? (Слава сделал 5 корабликов)

— Нарисуйте 5 кружочков.

— Что ещё известно? (Отдал 2)

— Как это показать на рисунке? (зачеркнуть)

— Найдите и прочитайте вопрос. РИСУНОК ДЕЛАЕТ УЧИТЕЛЬ

— Как обозначить его на рисунке?

— Запишите в тетрадь решение задачи.

— Кто хочет прочитать своё решение? 5-2=3(к.)- учитель записывает его на доске

— Чего не хватает в нашей задаче? (ответа)

— Назовите ответ задачи. Учитель записывает его на доске.

— Так как же построена задача? (Из каких частей она состоит?)

Обращаемся к схеме: условие, вопрос, решение, ответ.

8. Рефлексия. Работа в парах (белые листочки на партах) –проверка через проектор.

— Молодцы. Предлагаю поработать в парах.

— Вспомним правила работы в паре. СЛАЙД 5.

1. Работать должны оба.

2. Один говорит – другой слушает.

3. Своё несогласие высказывайте вежливо.

4. Если не понял, переспроси.

— У каждого на парте лежит белый листочек. Возьмите в руки зелёный карандаш.

Найдите и соедините части задачи и их названия. (1 мин) Приложение 1.

— Проверим. Возьмите в руки красный карандаш и проверьте свою работу. СЛАЙД 6.

Стрелки появляются одна за другой по щелчку.

— Оцените свои знания с помощью «Светофора». СЛАЙД 7.

9. Подведение итогов.

СЛАЙД 8. Продолжите любую из фраз:

(как построена задача: в ней есть условие и вопрос)

(решать задачи, записывать решение задачи и ответ)

— Молодцы! На этом наш урок окончен.

infourok.ru

провокационные задачи по математике

Провоцирующие задачи.

К задачам провоцирующего характера будем относить все задачи, условия которых содержат упоминания, указания, намёки и другие побудители, подталкивающие учащихся к выбору ошибочного пути решения.

Достоинства и недостатки:

Главное достоинство провоцирующих задач заключается в том, что совершая ошибку на глазах учителя или учащихся ученик испытывает сильнейшее впечатление и надолго запоминает ошибочные действия.

А главный недостаток кроется в малой изученности феномена провоцирующих задач и отсутствие целостного описания задач и побудителей, подталкивающих к выбору неправильного ответа.

Виды провоцирующих задач.

Полезно выделить следующие разновидности задач провоцирующего характера:

I. Задачи, условия которых навязывают неверный ответ.

II. Задачи, условия которых подсказывают неверный путь решения.

III. Задачи, вынуждающие придумывать невозможные при заданных условиях математические объекты.

IV. Задачи, вводящие в заблуждение неоднозначной трактовкой терминов, словесных оборотов и выражений.

V. Задачи, условия которых допускают возможность опровержения семантически верного решения.

1. Задачи, навязывающие неверный ответ.

Их полезно делить на четыре группы, назовём их IА, IБ, IВ,IГ.

А: Задачи, навязывающие один определённый ответ.

Б: Задачи, побуждающие сделать выбор из предложенных неверных ответов.

В: Задачи, побуждающие сделать выбор из предложенных верных и неверных ответов.

Г: Задачи, указывающие на неверный ответ.

Задачи IA

  1. Сколько граней имеет новый шестигранный карандаш?

Навязывается ответ: «6 граней», но он неверный, так как у карандаша ещё 2 торцевые грани. Ответ: «8 граней»

2. Сколько цифр требуется, чтобы записать двенадцатизначное число?

Навязывается ответ: «12 цифр», но десятичная сиситема счисления обходится десятью цифрами. Ответ: «Двенадцатизначное число можно записать одной, двумя, тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, восемью, девятью, десятью цифрами»

Задачи IБ

Какое из чисел 205, 206, 207, 208, 209 является простым?

Чаще всего учащиеся называют ответы 207 или 209, но все записанные числа являются составными. Ответ: «Никакое».

2. Какое из следующих утверждений истинно:

А) Четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны , является прямоугольником.

Б) Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны является ромбом.

Чаще всего учащиеся выбирают утверждение б, но оба варианта ложны. Ответ: «Никакое».

Задачи IГ

  1. Какое простое число следует за числом 200?

Напрашивается ответ: 201, но это число составное. Ответ: 211

  1. Какое число больше: а или 2а?

Напрашивается ответ: 2а, ведь оно в два раза больше чем а. Но число а может быть в отрицательном значении, соответственно ответ: неизвестно.

II. Задачи, навязывающие неверный путь решения.

Их тоже полезно делить на четыре группы: IIА, IIБ, IIВ, IIГ.

А: Задачи, подталкивающие к выполнению ненужных действий.

Б: Задачи, подталкивающие к выполнению неправильных действий.

В: Задачи, подталкивающие к решению действий неверным образом.

Г: Задачи, подталкивающие к выполнению невозможных действий.

Задачи IIА

  1. Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько проскакала каждая лошадь?

Хочется выполнить действие 15:3=5 (км), но выполнять деление не требуется. Ответ: 15км.

2. Лупа даёт четырёхкратное увеличение. Каким будет угол величиной 2,5 рассматриваемый через лупу?

Хочется выполнить действие 2,5*4=10, но выполнять умножение не требуется. Ответ: 2,5

Задачи IIБ

  1. У палки два конца. Если один из них отпилить, сколько концов получится?

Кажется, нужно выполнить вычитание 2-1=1. На самом же деле нужно находить сумму 2+2. Ответ: 4 конца

2. Стол имеет 4 угла. Если один из них отпилить сколько углов получиться?

Кажется, нужно выполнить вычитание 4-1=3. На самом деле нужно находить сумму 3+2. Ответ: 5 углов.

Задачи IIВ

На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10-ти руках?

Чаще всего учащийся выполняет умножение: 10*10. Но правильное решение: 10*(10:2)=50

2. Стальной брус весит 40кг. Сколько будет весить брус если его размер уменьшить в три раза?

Чаще всего учащиеся выполняют деление: 40:10. Но правильное решение 40: (4*4*4)=0, 625

Задачи IIГ

  1. Двое пошли, три гриба нашли. Четверо пойдут сколько грибов найдут?

Напрашивается последовательность действий: 4:2=2, 3*2=6. Но они могут вообще ничего не найти, правильный ответ: неизвестно.

III. Задачи, вынуждающие придумывать несуществующие объекты.

  1. Придумайте простое трёхзначное число, в записи которого Употребляются только цифры 1 и 4.

Придумать такое число нельзя, так как по условию задачи оно кратно трём.

IV. Задачи, приводящие в заблуждение.

  1. Чему равен угол в квадрате?

В квадрате все углы прямые!

2. На бумаге написано число 606. Какое действие следует выполнить, чтобы увеличить его в полтора раза?

Если перевернуть лист с такой надписью, то увидишь число 909, которое в полтора раза больше, чем число 606!

V. Задачи, допускающие опровержение верного ответа.

  1. Три спички выложили на столе так, что получилось четыре. Могло ли такое быть? (других предметов на столе не было).

Напрашивающийся отрицательный ответ опровергается записью:

Ещё задачи…

  1. Сколько распилов нужно сделать в 7-ми метровом бревне, чтобы получить столбики длиной 1м? (шесть)

2. Сколько углов в квадратной комнате? (восемь)

3. Двое играли в шашки 4 часа. Сколько играл каждый из них? (четыре)

4. Книга стоит 1 руб, и ещё половину стоимости. Сколько стоит книга? (2 руб)

infourok.ru

Урок по математике в 1 классе «Задача.Условие и требование»

Открытый урок по математике в 1 классе.

Учитель: Власова Мария Борисовна

Тема : Задача.Условие и требование

Тип урока : Урок повторения и закрепления знаний .

Цели :

Предметные:

— находить и выбирать способ решения текстовой задачи;

— объяснять (пояснять) ход решения задачи.

Метапредметные:

Личностные УУД:

-формировать положительное отношение к школе и учебной деятельности, к изучению математики;

— формировать представление о значении математики в жизни человека.

Регулятивные УУД:

-формировать умение принимать и сохранять учебную задачу, соответствующую этапу обучения;

— формировать умение оценивать совместно с учителем или одноклассниками результат своих действий;

— овладевать умениями выполнять учебные действия в устной речи.

Познавательные УУД:

-формировать умение осуществлять анализ, сравнение объекта;

— под руководством учителя проводить классификацию изучаемых объектов;

— под руководством учителя осуществлять обобщение, выводы.

Коммуникативные УУД:

— принимать участие в работе парами и группами;

— понимать задаваемые вопросы;

-выражать свою точку зрения;

-адекватно воспринимать другое мнение и позицию.

  1. Актуализация знаний. Подведение к целеполаганию.

Цель этапа: Создание условий для восприятия учебного материала,для активизации опорных знаний,подведение учащихся к целеполаганию.

Формируемые УУД: Регулятивные: планирование деятельности.

—Встали все ровненько, красиво. Начинаем наш урок. Но урок у нас сегодня необычный. На уроке присутствуют гости. Давайте повернемся и поздороваемся.

На странице «Содержание» находим формулировку новой темы под номером 32, (которую читает вслух один из учеников)

-Высказываем предположение, чему будет посвящен урок.

Что мы знаем про задачи?

Что такое задача?

Что мы будем узнавать?

Верно, сегодня на уроке, мы будем решать и самостоятельно составлять задачи, узнаем из каких частей состоят задачи.

II.Работа по теме урока.

Цель этапа: Создание условий для применения имеющихся знаний, умений.

Формирование УДД: Познавательные: осуществление анализа и сравнения объектов, строить небольшие высказывания в устной форме;

Коммуникативные: работа в группах; выражать свою точку зрения.

А теперь открыли учебники на стр.32 и самостоятельно читаем разговор детей с бабушкой.

-Чей способ получения ответа вам больше понравился? Почему? (Слушаем ответы и объясняем, что способ получения ответа Машей понравился больше потому, что Маша РЕШИЛА ЗАДАЧУ, нашла математическое действие, которое позволило ей найти ответ на вопрос бабушки. Решение задачи освободило ее от необходимости идти и пересчитывать еще раз

поленья.)

-Умение РЕШАТЬ ЗАДАЧИ — основа всей творческой жизни человека. Сегодня мы приступаем к изучению самой интересной темы, которая поможет нам отвечать на многие вопросы в повседневной жизни.

-В задаче всегда есть УСЛОВИЕ, из которого мы узнаём, какие даны числа и что они обозначают, и ТРЕБОВАНИЕ, из которого мы узнаём, что надо найти.

-А теперь поработаем в группах. Каждой группе нужно прочитать шесть первых строк разговора Маши, Миши и бабушки и составить УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ и ТРЕБОВАНИЕ ЗАДАЧИ

(Условие задачи: Миша принес 5 поленьев, а Маша — 3 полена; требование задачи: сколько поленьев принесли Маша с Мишей? )

-Проверяем.Кто согласен? У кого получилось так же? Оцените свою работу в группе на оценочных листах.

+—все сделал правильно

——были допущены ошибки

Лист оценивания.

1.Правильность выполнения.

2.Смогли ли мы договориться в группе.

3. Моя активность.

А теперь самостоятельно запишите решение задачи.(5+3=8п.).Проверим.

Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте. Исправьте ошибки,если есть. Оцените работу на полях.

+—все сделал правильно

——были допущены ошибки

III.Физминутка ( Подвижная)

Цель этапа: Создание условий для сохранения здоровья учеников.

Формирование УДД: Личностные: осознание важности сохранения и улучшения своего здоровья .

IV.Самостоятельная работа в группах.

Цель этапа: Создание условий для применения на практике знаний.

Формирование УДД: Познавательные: классификация по самостоятельно выделенным признакам. Коммуникативные: работа в группах. Личностные : ориентирование на ситуацию успеха. Регулятивные: умение оценивать результат своих действий.

Найдите Задание № 3 (У-2, с. 33) Прочитайте задание.Что нужно сделать?

Каждой группе нужно прочитать УСЛОВИЯ задач и придумать к ним ТРЕБОВАНИЯ или по-другому, вопрос к задаче.

Первая группа-№1,вторая-№2,третья-№3,четвертая№4.

Теперь проверим. По одному человеку от каждой группы читают, что у них получилось.

Оцените свою работу в группе .

Устная работа.

Все внимание на слайд.

Что нарисовано?

Что это значит зачеркнутые конфеты?

Давайте попробуем устно по этому рисунку составить задачу.(фронтальный опрос)

Где условие задачи? А где требование?

Как решить задачу? Почему действием вычитания?

V.Физминутка ( для глаз)

Цель этапа: Создание условий для сохранения здоровья учеников.

Формирование УДД: Личностные: осознание важности сохранения и улучшения своего здоровья

VI.Самостоятельная работа в группах.

Цель этапа: Создание условий для применения на практике знаний.

Формирование УДД: Познавательные: классификация по самостоятельно выделенным признакам. Коммуникативные: работа в группах. Личностные : ориентирование на ситуацию успеха. Регулятивные: умение оценивать результат своих действий.

Продолжаем работу. У каждой группы на столах лежат задания. Читает по одному человеку от группы.

Первая группа должна составить и решить задачу по выражению 7+2

Вторая группа:из трех текстов выбрать задачу и решить ее.

-У Аленушки было 7 конфет. 2 конфеты она отдала брату.

-В коробке лежали конфеты. 2 конфеты съели. Сколько конфет осталось?

-В коробке лежало 9 конфет. 2 конфеты съели. Сколько конфет осталось?

Третья группа составить и решить задачу по краткой записи

Было-7пирожков

Съели-2пирожка

Осталось-?

Четвертая группа Изменить требование задачи так, чтобы задача решалась действием вычитания.

На одной ветке сидело 7 птиц, а на другой-2 птицы. Сколько птиц сидело на двух ветках?

Работаем. Теперь по одному человеку от каждой группы выходим к доске и рассказываем, что у вас получилось. А теперь каждый из вас оцените свою работу в группе.

VII. Итог урока. Рефлексия.

Цель этапа: Создание условий для упорядочивания и обобщения полученной информации на основе рефлексии

Формирование УДД:

Познавательные: ориентирование в системе знаний.

Давайте подведем итоги. Посчитайте и поднимите руку те,у кого больше «плюсов».. Молодцы! Вы сегодня активно работали на уроке.

А всем остальным желаю не расстраиваться. У нас еще будет время исправить допущенные ошибки, закрепить полученные знания.

Поднимите руки те, кто понял что такое условие задачи и требование.

В каких заданиях вы испытали трудности?

А какие задания вам было легко выполнять?

Вам было легче работать в группах или по одному?

Молодцы. На этом урок окончен. Спасибо.

infourok.ru

Задания по математике с1 – Задания С1 ЕГЭ по математике

alexxlab / / Математика

Проект «Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике»

Слайд 1

Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике Автор: Иримиа Регина , ученица 11 «А» класса МБОУ г.Астрахани «СОШ №57»

Слайд 2

Формулы записи решений простейших тригонометрических уравнений. В большинстве учебников для записи решений простейших уравнений используются следующие формулы:

Слайд 3

При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чисел, которые образованы по закону арифметической прогрессии с разностью 2 π или π . С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объединять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупностью, выделяя разность 2 π соответствующих прогрессий.

Слайд 4

sin x

Слайд 5

cos x

Слайд 6

tg x и ctg x

Слайд 7

Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера. Решение тригонометрических уравнений

Слайд 8

В данном пункте рассмотрим уравнения, содержащие синус, косинус, тангенс и котангенс степени не выше первой. Уравнения данного вида сводятся к простейшим путем замены f(x)=t . Часто задача осложняется тем, что требуется найти все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку.

Слайд 9

Решение . Положив 4x=t , будем искать корни уравнения cost =3 , принадлежащие другому промежутку [0;4 π ] . Решения задаются формулами: В тех случаях, когда промежутки привязаны к четвертям тригонометрической окружности, для отбора корней удобно использовать модель тригонометрической окружности. Так как и  то неравенство справедливо при k=0 и k=1 . Соответственно, неравенство , справедливо при k=1 и k=2 . Возвращаясь к исходной переменной, получим:

Слайд 10

На числовой окружности (см. Рис. 21) получаем два числа, удовлетворяющие условию задачи: В некоторых простых случаях замена не обязательна.

Слайд 11

Решение. Используя нечетность синуса, перепишем уравнение в виде Последнее равенство выполняется в двух случаях: Отсюда получаем

Слайд 12

Тренировочные упражнения 1. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку 3. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию

Слайд 13

Тренировочные упражнения 4. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 5. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 6. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию

Слайд 19

Решение. Среди значений x , для которых cos x = 0 , корней уравнения нет (если cos x = 0 , то из уравнения следует, что и sin x = 0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут). Значит, деление обеих частей уравнения на cos x не приведет к потере корней. Разделив, получим уравнение:

Слайд 20

Решение. Разделим обе части уравнения на Уравнение примет вид

Слайд 21

Cos x

Слайд 22

Тренировочные упражнения Решите уравнения: 1. 2. 3. Дано уравнение а) Решите уравнение. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 4 . Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [0; 4]. 5. Найдите корни уравнения на отрезке

Слайд 23

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду то заменой уравнение сводится к решению уравнения Далее для каждого полученного корня необходимо решить уравнение

Слайд 24

В тех случаях, когда множество значений функции g ( x ) известно, то пишется ограничение на новую переменную.

Слайд 25

Иногда при решении уравнений часть «посторонних» решений возникающих в результате замены могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Напомним их и покажем на примерах как ограничение, связанное с новой переменной, позволяет проводить проверку на промежуточном этапе решения.

Слайд 26

Решение. Обозначим где Полученное квадратное уравнение имеет корни (не удовлетворяет

Слайд 27

Решение. Положим arccosx =t . Так как множество значений функции arccosx – отрезок [0; π ] , найдем решения уравнения удовлетворяющие условию Такой корень один: Если , то , откуда

Слайд 28

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим путем замены переменной — одна из наиболее плодотворных идей, используемая для решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько типичных ситуаций введения новой переменной. Уравнения, сводящиеся к многочлену от одной тригонометрической функции. Рассмотрим уравнения, сводящиеся к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к виду:

Слайд 29

Заметим, что все решения можно представить одной формулой:

Слайд 30

Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде:

Слайд 31

Решение. Если записать условие sin 2x

Слайд 32

Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,

Слайд 34

В частности, уравнения вида приводятся к однородным путем представления правой части в виде:

Слайд 35

Решение. Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождествами: Заметим, что среди значений x , для которых cos x=0 , корней уравнения нет, поскольку, если cos x=0 , то из уравнения следует, что и sinx=0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на , не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение Последовательно имеем: Решив его как квадратное относительно tgx , найдем: tg x=0,5 , tgx=3 , откуда

Слайд 36

Симметрические уравнения Рассмотрим тригонометрические уравнения f ( x )=0 , левая часть которых представляет собой рациональное выражение от переменных t= sinx+cosx (или t= sinx-cosx ) и v= sinx * cosx . Поскольку Следовательно, исходное уравнение сводится к алгебраическому относительно переменной t . Так как то поиск корней алгебраического уравнения можно ограничить промежутком

Слайд 37

Решение. Введем новую переменную С учетом равенства перепишем уравнение в виде или Последнее уравнение имеет два корня из которых только первый удовлетворяет условию Вернемся к переменной x . Получим или откуда

Слайд 38

Решение . Воспользовавшись формулой разности кубов Положим Тогда и, значит, Таким образом, после замены получим уравнение

Слайд 39

Отсюда Условию удовлетворяет только одно из найденных значений: Возвратимся к исходной переменной. Получим или Откуда или Таким образом, исходное уравнение имеет две серии решений:

Слайд 40

Уравнения f ( x ) =0, левая часть которых может быть представлена как многочлен от tg x+ctg x , сводятся к алгебраическим заменой t g x +ct g x=t . Решение. Положим t g x + ctg x=t . Заметим, что Последнее уравнение имеет два корня t=1 и t =2 , из которых только второй удовлетворяет условию t ≥ 2 . Если t=2 , то tg x + ctg x =2 , или sin 2 x =1 , откуда

Слайд 41

Применение универсальной тригонометрической подстановки Так как выражаются через , то уравнение вида подстановкой часто удается свести к алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что замена на и на ведет к сужению области определения уравнения, поскольку из рассмотрения исключаются значения x , при которых т.е. при которых

Слайд 42

Поэтому при применении универсальной тригонометрической подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются или нет исключаемые из рассмотрения значения x корнями исходного уравнения.

Слайд 43

Решение. Преобразовав уравнение к виду введем новую переменную Так как исходное уравнение не определено для то такая замена не может привести к потере корней. Заменив на получим уравнение которое равносильно каждому следующему уравнению: Получаем и, возвращаясь к переменной x , решаем уравнение

Слайд 44

Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Слайд 45

Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5.

Слайд 46

Метод разложения на множители Один из основных подходов к решению тригонометрических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения используются тригонометрические формулы. Универсального ответа на вопрос, какие формулы следует применить в том или ином случае, нет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при поиске решения.

Слайд 47

Довольно часто в результате преобразований удается привести уравнение к виду В этом случае дальнейшее решение сводится к поиску корней уравнений и дальнейшему отбору тех из них, которые принадлежат области определения исходного уравнения. Такой подход к решению уравнений, известный как метод разложения на множители, является универсальным (его применяют при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений).

Слайд 48

Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента Так как то последнее уравнение равносильно системе

Слайд 49

Решение. Так как общий наименьший период функций tg x и sin x равен 2 π , то отбор корней удобно проводить на промежутке [0;2 π ) . Проведем равносильные преобразования: На промежутке [0;2 π ) из трех корней 0, π /2, π исключаем число π /2, поэтому множество корней данного уравнения задается формулой

Слайд 50

Решение. Перепишем уравнение в виде Функции, входящие в последнее уравнение, определены при всех x , кроме На этом множестве последнее уравнение равносильно совокупности уравнений t g x =0 и cos 8 x =1 , решения которых определяются формулами

Слайд 51

Теперь необходимо отобрать из полученных значений x те, которые удовлетворяют условию cos x≠0 , т.е., Для первой серии корней условие cos x≠0 выполняется. Для отбора корней второй серии воспользуемся следующим. Представим число n в виде а p принимает значения 0, 1, 2 и 3. Тогда при разных значениях p корни второй серии будут иметь вид:

Слайд 52

Значит при p=2 получаются «запрещенные» значения, а все оставшиеся решения можно задать, например, как совокупность серий: причем вторая из этих серий была получена ранее.

Слайд 53

В случае тригонометрических уравнений проблема преобразования исходного уравнения к виду уравнения к виду решается, главным образом, путем использования тригонометрических формул. Рассмотрим, как это делается на примерах.

Слайд 54

Решение. Так как то данное уравнение равносильно следующим: Полученное уравнение в свою очередь равносильно совокупности уравнений

Слайд 56

Если уравнение содержит выражения то для разложения на множители можно попробовать применить формулы преобразования этих сумм (разностей) в произведения.

Слайд 57

Решение. Перепишем уравнение в виде Далее преобразуем это уравнение, используя формулу Получим

Слайд 58

Последнее уравнение распадается на три:

Слайд 59

Пример 54. Найти наибольший отрицательный корень уравнения Решение. Последовательно имеем

Слайд 60

Продемонстрируем применение различных способов для отбора наибольшего отрицательного корня данного уравнения. Алгебраический способ . Для каждой серии корней решим неравенства относительно соответствующего параметра n , k и l . а) Для первой серии корней имеем Отсюда получаем а наибольшее целое отрицательное значение и корень

Слайд 61

б) Второе неравенство выполняется, если или и В) тогда или Выбираем наибольший отрицательный корень уравнения

Слайд 62

Арифметический способ. Выполнив перебор значений параметров n , k и l , найдем значения для переменной х.

Слайд 63

Геометрический способ. На тригонометрическом круге изобразим точками числа, соответствующие найденным сериям решений (рис. 22). При обходе по тригонометрической окружности в отрицательном направлении первое встретившееся число есть

Слайд 64

Тренировочные упражнения 1. Найдите все решения уравнения принадлежащие промежутку 2. Найдите все корни уравнения удовлетворяющие неравенству 3 . Решите уравнение 4. Решите уравнение 5. Найдите сумму корней уравнения Принадлежащие промежутку 6. Найдите сумму корней уравнения Принадлежащие промежутку

Слайд 65

Источники информации http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri6.htm http://eahmath.ru/algebsc/alabspr.php?i=1 «МАТЕМАТИКА, ЕГЭ. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1)» Корянов А.Г., Прокофьев А.А.

nsportal.ru

13 Задание (2016) (C1) – Репетитор по математике

13 Задание (2016) (C1)14 Задание (2016) (C2)Диагностические работы

Задание 13.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [].

Решение.

показать

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Получим систему:

   

первое уравнение:

:

Второе условие:

Заметим, что , поэтому :

Остался единственный корень:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку []:

Мы видим, что отрезку [] принадлежит корень :

Ответ: а) 

б) 

Задание 14.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник   со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 4. Через такую точку ребра , что , параллельно прямым и проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

 

Решение.

показать

Построим сечение.

 

— Проведем прямую  №1 () параллельно .

Через точку проведем прямую №2 () параллельно  .

Через точку проведем прямую №3 () параллельно  .

Получили сечение — четырехугольник :

 

Данное сечение удовлетворяет всем условиям задачи:

  1.   — по построению, следовательно   (по теореме о параллельности прямой и плоскости).
  2.   — по построению, следовательно   (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

Докажем, что четырехугольник  — прямоугольник.

,  так как — линия пересечения плоскости и плоскости , , следовательно линии пересечения плоскости сечения с плоскостями   и   (соответственно и ) параллельны.

, так как и параллельны . Следовательно, противоположные стороны четырехугольника  попарно параллельны и он является параллелограммом.

Докажем, что .  Проведем высоту пирамиды:

 

Вершина правильной пирамиды проецируется в точку , ортоцентр основания, то есть в точку пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника .

, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах . , , следовательно .

Найдем длины сторон прямоугольника .

(из подобия треугольников и )

;

(из подобия треугольников и )

ege-ok.ru

Задание №1 ЕГЭ по математике базовый уровень

Элементарные математические вычисления

Описание задания

В задании №1 ЕГЭ по математике базового уровня необходимо провести элементарные вычисления — сложение, вычитание, деление и умножение дробей. Ответом в первом задании является целое число или конечная десятичная дробь.

Тематика заданий: элементарные математические вычисления

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ♦◊◊

Примерное время выполнения: 3 мин.

Разбор типовых вариантов заданий №1 ЕГЭ по математике базового уровня

Во всех заданиях необходимо найти значение выражения.

Вариант 1МБ1

Алгоритм решения:
  1. Определить порядок действий.
  2. Выполнить действия в скобках.
  3. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
  4. Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
  5. Произвести действия в числителе.
  6. Знаменатель оставить наименьший общий.
  7. Умножить числитель получившейся дроби на 9.
  8. Полученный результат сократить и преобразовать в десятичную дробь.
Решение в общем виде:

Пояснения к решению:

Первым всегда выполняется действие в скобках, в данном случае вычитание.

Преобразуем смешанное число

в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель, и прибавим числитель

3 • 15 + 1 = 46

Запишем результат в числитель, знаменатель оставим без изменения.

Действие в скобках примет вид:

Ищем наименьший общий знаменатель для дробей 4/9 и 46/15. 15 не делится на 9, удвоим наибольший знаменатель. 30 не делится на 9. утроим наибольший знаменатель, 45 делится на 9. Следовательно, 45 делится одновременно и на 15, и на 9. То есть 45 – наименьший общий знаменатель дробей 4/9 и 46/15.

Приводим дроби к общему знаменателю – 45. Для этого по основному свойству дроби необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, чтобы дробь не изменилась. Это число называется дополнительным множителем. Дополнительный множитель к первой дроби — 5 (9*5=45). Чтобы получить в знаменателе первой дроби 45 необходимо умножить на 5 и числитель и знаменатель.

Вторую дробь умножим на 3 (15 • 3=45)

Действие в скобках после преобразования будет выглядеть так:

Произведем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого в числителе запишем вычитание числителей, а знаменатель оставим без изменений.

Выполним действие за скобками, в данном случае умножение на целое число. Для этого умножим числитель дроби на 9, а знаменатель оставим без изменений. Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 9, то есть разделим и числитель и знаменатель дроби на 9. По основному свойству дроби дробь не изменится.

Минус в числителе выносится за дробную черту.

Полученную дробь преобразуем в десятичную, поделив в столбик.

Не забудьте о знаке «минус» в ответе.

Ответ: 23,6

Вариант 1МБ2

Алгоритм решения:
  1. Определить порядок действий.
  2. Выполнить действие в скобках.
  3. Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
  4. Выполнить вычитание числителей, знаменатель оставить без изменений.
  5. Выполнить деление. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:

Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае вычитание.

Для того чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 4, и на 9. 9 на 4 не делится. Удвоим больший знаменатель: 18 не делится на 4. Утроим больший знаменатель: 27 не делится на 4. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 36 делится и на 9, и на 4 одновременно. Следовательно, 36 – наименьший общий знаменатель для дробей 1/4 и 2/9.

Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.

Найдем дополнительные множители для дробей 1/4 и 2/9. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 1/4 нужно умножить на 9(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36. Дробь 2/9 нужно умножить на 4 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36.

В результате получим:

Действие в скобках примет вид:

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.

Выполним действие за скобками. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.

Сократим (разделим и числитель и знаменатель) полученную дробь на 12.

Ответ: 21

Вариант 1МБ3

Алгоритм решения:
  1. Определить порядок действий.
  2. Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
  3. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
  4. Привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю.
  5. Выполните сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложить числители, результат записать в числитель, знаменатель оставить без изменений.
  6. Выполнить деление.
  7. Перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
  8. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй – записать в числитель. Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй результат записать в знаменатель.
  9. Сократить получившуюся дробь.
  10. Привести результат к десятичному виду.
Решение в общем виде:

Пояснения к решению:

Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.

Нужно сложить смешанное число и правильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

Действие в скобках примет вид:

Для того, чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 5, и на 7. 7 на 5 не делится. Удвоим больший знаменатель: 14 не делится на 5. Утроим больший знаменатель: 21 не делится на 5. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 28 не делится 5. Увеличим больший знаменатель в 5 раз: 35 делится одновременно и на 5, и на 7. Следовательно, 35 – наименьший общий знаменатель для дробей 9/5 и 3/7.

Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.

Найдем дополнительные множители для дробей 9/5 и 3/7. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 9/5 нужно умножить на 7(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35. Дробь 3/7 нужно умножить на 5 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35.

В результате получим:

Действие в скобках примет вид:

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложим числители, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.

Выполним действие за скобками. Переведем смешанное число в неправильную дробь, для этого целую часть нужно умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.

Выполнить деление дробей. Числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.

Сократим (разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число) полученную дробь на 39.

Переведем полученную дробь в десятинную.

Ответ: 8,75

Вариант 1МБ4

(6,7 − 3,2) ⋅ 2,4

В данном случае первым действием мы выполняем вычитание в скобках, а затем производим умножение:

6,7 − 3,2 = 3,5

3,5⋅ 2,4 = 8,4

Отдельно остановлюсь на последнем действии. Его можно вычислить умножением в столбик, либо посчитать устно, воспользовавшись следующими логическими операциями:

2,4 ⋅ 3 + 2,4 ⋅ 0,5 = 2  ⋅ 3 + 0,4  ⋅ 3 + 2,4/2 = 6 + 1,2 +1,2 = 8,4

Ответ: 8,4

Вариант 1МБ5

В данном случае необходимо выполнить сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель для дробей в скобках — 15 (если вы забыли как определять общий знаменатель, смотрите здесь). Первую дробь домножаем на 5, вторую на 3. Получаем:

(5 + 3)/15

После сложения:

8/15

Теперь выполняем умножение:

8•6/15 = 48/15

В таком варианте дробь в ответ записать мы не можем, выделяем сначала целую часть, это 3 (45/15=3), в остатке получим:

3/15

После сокращения на 3:

1/5

и перевода в десятичный вид:

1/5 = 20/100 = 2/10 = 0,2

Не забываем про целую часть и получаем ответ:

3,2

Ответ: 3,2

Вариант 1МБ6

  1. Если представить черту дроби в виде знака деления, то получим выражение: (2,7+5,8):6,8. Отсюда получаем приоритет действий: 1) сложение в скобках; 2) деление. Поэтому сначала выполняем действие в числителе.
  2. Избавляемся от десятичных запятых в числителе и знаменателе. Для этого применяем основное свойство дроби и умножаем числитель и знаменатель на 10.
  3. Делим 85 на 68 в столбик.
Решение

Ответ: 1,25

Вариант 1МБ7

  1. Учитываем приоритетность операций. Здесь 1-м действием выполняется умножение, а затем вычитание.
  2. При умножении числа записываем друг под другом, выровняв их по последней цифре. В результирующем числе отделяем столько знаков после запятой, сколько имеется суммарно в обоих множителях. В данном случае нужно отделить 2 знака.
  3. При выполнении вычитания в столбик числа располагают так, чтобы десят.запятые располагались на друг под другом.
Решение

Ответ: 26,7

Вариант 1МБ8

  1. Умножаем 1/5 на 5,5. При этом 5,5 переходит в числитель дроби.
  2. Выполняем сокращение полученной дроби на 5. Получаем десят.дробь
  3. Находим конечную разность.
Решение

Ответ:0,1

Вариант 1МБ9

  1. Находим разность в скобках. Для этого находим НОК (25, 38) и приводим дроби к общему знаменателю.
  2. Делим результат в скобках на дробь 6/19. Для этого переходим к умножению дробей, перевернув 9/16 и получив 16/9. Далее сокращаем множители в числителе и знаменателе и находим результирующую дробь.
  3. Полученную дробь записываем в десят.виде.
Решение

spadilo.ru

Разбор и решение задания №1 ОГЭ по математике

Числа и вычисления

Описание задания

Первое задание проверяет наши умения проведения вычислений. Это самое простое задание из всего модуля и требует от нас только знания арифметики. В первом задании арифметические действия будут самыми простыми. В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается сложить две дроби: обыкновенную и десятичную. Тем не менее, в соответствии с документами о проведении ОГЭ, учащиеся должны быть готовы и к выполнению некоторых других несложных заданий. Ответом в первом задании является целое число или конечная десятичная дробь.

Тематика заданий: числа и вычисления

Первичный бал: 1

Сложность задания: ♦◊◊

Примерное время выполнения: 3 мин.

Теория к заданию №1

Итак, для успешного выполнения необходимо помнить:

  1. порядок проведения арифметических операций — сначала производятся действия в скобках, затем возведение в степень или извлечение корня, затем умножения и деления, а затем вычитания и сложения.
  2. правила умножения и деления в столбик
  3. правила вычисления обыкновенных дробей

Напоминаем правила операций с обыкновенными дробями:

Рекомендуем вычислить отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить числитель на знаменатель. Остальные рекомендации смотрите ниже при разборе типовых вариантов первого задания ОГЭ по математике. 🙂

Разбор типовых вариантов задания №1 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Найдите значение выражения:

или:

9 / (4,5 • 2,5)

Решение:

Задачу можно решать разными путями, а именно менять последовательность действий, но этот вариант решения рекомендуется для тех, кто уверен в своих возможностях и знает математику на отлично. Для остальных мы рекомендуем выполнить последовательно действия в числителе и знаменателе, а затем разделить числитель на знаменатель. Числитель вычислять в данном примере нет необходимости, это число 9.

Вычислим значение знаменателя:

4,5 • 2,5

Можно произвести вычисления в столбик, тогда получим:

4,5 • 2,5 = 11,25

Либо перевести дробь к простому виду:

4,5 • 2,5 = 4½ • 2 ½ = 9 / 2 • 5 / 2 = 45 / 4

Последний случай предпочтительней, так как для дальнейшей операции — деления числителя на знаменатель задача упрощается. Делим числитель на знаменатель, умножая числитель на перевернутую дробь в знаменателе:

9 / ( 45 / 4 ) = ( 9 / 1 ) • ( 4 / 45 ) = ( 9 • 4 ) / (1 • 45 )

9 и 45 можно сократить на 9:

( 9 • 4 ) / (1 • 45 ) = ( 1 • 4 )/ (1 • 5 ) = 4 / 5 = 8 / 10 = 0,8

Получаем ответ: 0,8

Подводя итог, сделаем выводы:

Удобней сразу переходить к дробям простого вида. Надежней производить вычисления последовательно в числителе и знаменателе.

Второй вариант задания

Найдите значение выражения:

или:

6 • (1/3)²  — 17  • 1/3

Решение:

Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что   1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17  • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.

1/3 • (6 • (1/3)  — 17 )

Проведя вычисления в скобках, получим:

1/3 • ( 6 • (1/3)  — 17 ) = 1/3 • (6 /3  — 17 ) = 1/3 • ( 2  — 17 ) = 1/3 • ( -15 )

Теперь умножим полученное значение -15 на 1/3:

1/3 • ( -15 ) = -5

Ответ: -5

Какие выводы можно сделать: не всегда стоит стараться решить задачу «в лоб», даже в ОГЭ.

Третий вариант задания

Найдите значение выражения:

Решение:

Аналогично предыдущим заданиям вычисляем знаменатель: для этого приводим дроби к общему знаменателю — это 84. Для этого первую дробь умножаем на 4, а вторую на 3, получим:

1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84

Затем складываем:

4/84 + 3/84 = 7/84

Итак, мы получили в знаменателе 7/84, теперь делим числитель на знаменатель — это все равно что умножить 1 на обратную 7/84 дробь:

1 / ( 7 / 84 ) = 1 •84/7 = 84/7

Далее остается поделить 84 на 7:

84 / 7 = 12

Ответ: 12

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Найдите значение выражения:  ¼ + 0,07

Решение:

К данному заданию, как и к большинству заданий 1 модуля Алгебры, подход к решению заключается в переводе дроби от одного вида к другому. В нашем случае это переход от обыкновенной дроби к десятичной.

Переводим ¼ из обыкновенной дроби в десятичную. Делим 1 на 4, получаем 0,25. Затем переписываем выражение с использованием только десятичных дробей и вычисляем:

0,25 + 0,07 = 0,32

Ответ: 0,32

Четвертый вариант задания

Найдите значение выражения:

–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59

Решение:

Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.

–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59 =

Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:

= –0,3·10000+4·100–59 =

Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:

= –3000+400–59 =

Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:

= –2600–59 =

Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:

= –(2600+59) = –2659

Ответ: –2659

Пятый вариант задания

Найдите значение выражения:

–13·(–9,3)–7,8

Решение:

Это задание требует простого умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями.

–13·(–9,3)–7,8 =

Сначала выполняем умножение. Умножаем –13 и –9,3 в столбик без учета знаков «–» перед сомножителями. В полученном произведении отделяем одну – последнюю – цифру десятичной запятой:

Знак произведения будет положительным, поскольку умножаются два отрицательных числа. Получаем:

= 120,9–7,8 =

Эту разность можно вычислить в столбик, но можно и устно. Выполним это действие в уме: вычитаем отдельно целые части и десятичные. Получаем:

= 113,1

Ответ: 113,1

spadilo.ru

Задания по профильной математике ЕГЭ с разбором решений

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут). 

Минимальный порог — 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. 

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

  • часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
  • часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна, учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:  

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 — проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня — 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м  холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1)    Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 — 172 = 5 (куб м)

2)    Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.


Задание № 2 —является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований — это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами  и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

Чтобы продолжить чтение, авторизуйтесь на сайте.

rosuchebnik.ru

ЕГЭ

Задачи ЕГЭ по математике

На этой странице вы можете ознакомиться с задачами из части «В» Единого государственного экзамена. Открыв какое-либо задание (В1, или В2, или В3 и т.д.), вы увидите сразу несколько условий задач, соответствующих этому типу задания ЕГЭ. Их можно решать в любом порядке и в течение любого времени.

Решив задачу, можно проверить себя, щёлкнув по ссылке «Показать ответ». Если решение не получилось – всегда можно посмотреть наш вариант, пройдя по ссылке «Показать решение». Свои комментарии можно оставить в «Обсуждении задачи».

Наш раздел ориентирован в первую очередь не на педагогов, а на самих учеников. Именно для них написаны подробные решения. Яркие, красочные рисунки, многочисленные пометки и пояснения, в том числе раскрывающие, как надо думать на том или ином этапе, – вот то, что отличает их от большинства пояснений и комментариев к заданиям ЕГЭ, представленных в Интернете. Думайте, решайте, наслаждайтесь красотой решения задач вместе с нами!

  • B1 Целые, рациональные и дробные числа
  • B2 Проценты
  • B3 Графическое представление данных. Анализ данных
  • B4 Табличное представление данных. Прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения
  • B5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы координаты на плоскости
  • B6 Элементы теории вероятностей
  • B7 Уравнения
  • B8 Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических фигурах
  • B9 Графики функции, производных функций. Исследование функций
  • B10 Многогранники. Измерение геометрических величин
  • B11 Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений
  • B12 Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам
  • B13 Многогранники. Тела вращения. Прямые и плоскости в пространстве. Измерение геометрических величин
  • B14 Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение
  • B15 Исследование функций. Применение производной функции
  • 1 Квадратный корень
  • 2 Линейные уравнения
  • 3 Неполные квадратные уравнения
  • 4 Полные квадратные уравнения
  • 5 Теорема Виета
  • 6 Дробные рациональные уравнения
  • 7 Уравнения высоких степеней
  • 8 Числовые неравенства и их свойства
  • 9 Неравенства с одной переменной
  • 10 Системы неравенств
  • 11 Совокупности неравенств
  • 12 Расщепление неравенств
  • 13 Неравенства с модулями
  • 14 Разные неравенства
  • 15 Неравенства второй степени. Рациональные неравенства
  • 16 Степень с целым показателем
  • 17 Область определения и область значений функции
  • 18 Свойства функций: монотонность, чётность, нечётность
  • 19 Обратные функции
  • 20 Построение графиков функций
  • 21 Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним
  • 22 Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки и алгебраического сложения
  • 23 Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения и деления уравнений системы
  • 24 Нелинейные системы уравнений. Замена неизвестной. Симметрические системы
  • 25 Нелинейные системы уравнений. Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
  • 26 Системы уравнений с тремя неизвестными
  • 27 Разные системы
  • 28 Корень n-ой степени
  • 29 Степень с рациональным показателем
  • 30 Иррациональные уравнения
  • 31 Иррациональные неравенства
  • 32 Числовые последовательности
  • 33 Арифметическая прогрессия
  • 34 Геометрическая прогрессия
  • 35 Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии
  • 36 Бесконечная геометрическая прогрессия
  • 37 Простейшие текстовые задачи
  • 38 Задачи на проценты
  • 39 Задачи на целые числа
  • 40 Задачи на смеси и сплавы
  • 41 Задачи на движение
  • 42 Задачи на работу
  • 43 Понятие угла LIGHT
  • 44 Радианная мера угла LIGHT
  • 45 Определение синуса и косинуса угла LIGHT
  • 46 Основные формулы для синуса и косинуса угла LIGHT
  • 47 Тангенс и котангенс угла LIGHT
  • 48 Основные задачи тригонометрии LIGHT
  • 49 Зависимость между функциями одного аргумента. Формулы приведения LIGHT
  • 50 Тригонометрический круг
  • 51 Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Радианная мера угла
  • 52 Зависимость между функциями одного аргумента. Формулы приведения
  • 53 Теоремы сложения
  • 54 Формулы двойного и половинного аргумента
  • 55 Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и обратно

© 2017-2019 Математушка

matematushka.ru

Задача С1 традиционно посвящена решению тригонометрических уравнений. Как правило это несложные задачи со стандартным решением. Традиционно данное задание ЕГЭ по математике состоит из двух частей, в  первой надо найти общее решение, во второй выбрать решения, принадлежащие некоторому интервалу. Эксперт оценивает данное задание в 0, 1 или 2 балла. Приведем критерии оценки данного задания.

Критерии оценки задания C1

2 балла – Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

1 балл – Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)

0 баллов – Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Поясним критерии на примере. В работе квадратное уравнение относительно синуса сведено к простейшему тригонометрическому уравнению, например, sin x=-0,5, при этом оно вообще не решено или имеется неточность или ошибка, но отбор корней, например, на отрезке произведен правильно. В этом случае в соответствии с параметрами эксперт должен поставить 1 балл.

Примеры решений ЕГЭ с обсуждением возможных ошибок

1. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку

Решение

а)

. Если будет не верно вычислено  или указан другой период, то за эту часть задания уже не получить 1 балл.

б)

. Учитывая, что  – целое число, получаем, что оно принимает значения -2, -3, -4. Следовательно получаем следующие значения 

2. Решить уравнение 

Решение. 

или . Отсюда получаем два набора значений:

Замечание. Буква n и k надо писать разными, кроме этого обязательно писать, что они целые.

3. Пример очень обидной арифметической ошибки.

. Такая ошибка приводит к 0 баллов. Поэтому будьте внимательны и не делайте досадных ошибок.

Такое задание есть во всех вариантах ЕГЭ по математике, оно конечно же будет и в ЕГЭ по математике 2013 года.

Связанные статьи

mathi.ru

Правила по математике дроби 5 класс – Действия с дробями

alexxlab / / Математика

Справочник для учащихся 5 класса по теме «Обыкновенные дроби»



Харцызск 2013

Дробные числа

правильная неправильная

a b a b

обыкновенная дробь

Дробные числа вида называют обыкновенными дробями, или дробями. Изображаются дроби двумя натуральными числами, разделенными горизонтальной чертой, выполняющей роль знака деления.

Число, записанное под чертой, называют знаменателем дроби. Знаменатель указывает на сколько равных частей разделено одно целое. В дроби это число 8.

Число, записанное над чертой, называется числителем дроби. Числитель показывает сколько взято равных частей целого. В дроби это число 5.

Дробь, числитель которого меньше знаменателя, называется правильной. Например, дробь правильная, так как 5 неправильной. Например, дроби — неправильные, так как в первом случае 54, а во втором 5=5.

Любую неправильную дробь можно записать в виде суммы целой и дробной части.

Для этого необходимо выполнить деление с остатком числителя на знаменатель. Целая часть – это натуральное число, представляющее собой неполное частное, а дробная часть – правильная дробь, числитель которой – остаток, а знаменатель – делимое.

Алгоритм 1.

Запись результата выполнения деления с остатком:

При делении с остатком необходимо записать:

25 : 6 = 4 (ост. 1)

  • неполное частное как целую часть

  • остаток – в числитель

  • делитель – в знаменатель

25 : 6 =

Дробное число, имеющее целую и дробную часть, называют смешанным числом.

Алгоритм 2.

Запись неправильной дроби в виде смешанной дроби

Шаг

Действие

Пример

1

Выполнить деление числителя на знаменатель

25 : 6

2

Выполнить алгоритм 1

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, нужно его целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, а знаменатель оставить без изменений.

Алгоритм 3.

Запись смешанной дроби в виде неправильной дроби

Шаг

Действие

Пример

Чтобы смешанную дробь представить в виде неправильной дроби, нужно:

1

Целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель

5  7 + 6 = 41

2

Полученное число записать в числитель дроби

3

Знаменатель оставить тем же

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше, и меньше та дробь, у которой числитель меньше.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Например, , так как 3 1.

Алгоритм 4.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Шаг

Действие

Пример

1

Сравнить знаменатели сравниваемых дробей

Если знаменатели различны, то это правило для сравнения не подходит

а)

11=11 — одинаковы

б)

79, правило не подходит

2

Если числитель первой дроби больше числителя второй дроби, то первая дробь больше второй;

если меньше, то и дробь меньше

6, следовательно,

.

Алгоритм 5

Правила сравнения дробей с единицей

  • Неправильная дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1:

  • Неправильная дробь, у которой числитель и знаменатель различны, больше 1:

, так как а .

Например, , так как 5

Алгоритм 6.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Шаг

Действие

Пример

1

Проверяем, равны ли числители

Если числители различны, то это правило для сравнения не подходит

а)

69, правило не подходит

б)

4=4, одинаковы

2

Сравниваем знаменатели

Если знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй дроби, то первая дробь больше второй;

если больше, то дробь меньше

7, следовательно,

.

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Алгоритм 7.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Шаг

Действие

Пример

1

Проверяем, равны ли знаменатели

Если знаменатели различны, то это правило для сложения не подходит

а)

11=11 — одинаковы

б)

79, правило не подходит

2

Складываем числители обеих дробей и записываем в числитель результата

.

33

Знаменатель записываем без изменений

Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и полученный результат записать в числитель, а знаменатель оставить тот же.

Алгоритм 8.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Шаг

Действие

Пример

1

Проверяем, равны ли знаменатели

Если знаменатели различны, то это правило для вычитания не подходит

а)

11=11 — одинаковы

б)

79, правило не

подходит

2

Из числителя уменьшаемого вычитаем числитель вычитаемого, и результат записываем в числитель дроби

.

3

Знаменатель записываем без изменений

Чтобы найти сумму (разность) двух смешанных чисел, нужно отдельно найти сумму (разность) их целых и дробных частей, а затем записать их рядом, как одно дробное число.

Алгоритм 9.

Сложение смешанных дробей

Шаг

Действие

Пример

1

Складываются целые части

2

Складываются дробные части по алгоритму 7

Если получилась неправильная дробь, то применяем алгоритм 2

+

+

3

Целую и дробную части записываем как одно число

=

=

Алгоритм 10.

Вычитание смешанных дробей

Шаг

Действие

Пример

1

Из целой части уменьшаемого вычитается целая часть вычитаемого

2

Вычитаются дробные части по алгоритму 8

+

3

Целую и дробную части записываем как одно число

=

Частные случаи применения алгоритма 10

1. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, равная дроби уменьшаемого:

2. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается дробь, причем дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого.

3. Из числа, содержащего целую и дробную части, вычитается число, содержащее целую и дробную части, причем дробь уменьшаемого меньше дроби вычитаемого.

Шаг

Действие

Пример

1

У целого числа занимается единица

2

Эта единица вместе с дробью обращается в неправильную дробь

3

Применяется алгоритм 10

Чтобы найти дробь от числа, надо это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель дроби.

Алгоритм 11.

Нахождение дроби от числа

Шаг

Действие

Пример

Найти от 3200

1

Найти сколько приходится на одну часть

Знаменатель дроби показывает, что 3200 состоит из 8 равных частей, значит, на одну часть приходится в 8 раз меньше, т.е.:

3200 : 8 =400

2

Найти сколько приходится на количество частей, указанных в числителе

Число 3 показывает, что из 8 частей взяли 3 равные части. Следовательно, на них приходится в 3 раза больше, чем на одну часть, т.е.: 400  3 = 1200

Чтобы найти число по его части, надо эту часть разделить на числитель дроби и результат умножить на знаменатель дроби.

Алгоритм 12.

Нахождение числа по его дроби

Шаг

Действие

Пример

Найти длину отрезка, если составляют 12 см.

1

Найти сколько приходится на одну часть

Дробь означает, что весь отрезок разделен на 4 равные части, из них на 3 части приходится 12 см, т.е. одна часть составляет 12 : 3 = 4 (см)

2

Найти сколько приходится на количество частей, указанных в знаменателе

Так как отрезок состоит из 4 частей, то на них приходится в 4 раза больше, чем на одну часть, т.е.: 4  4 = 16 (см)


intolimp.org

повторение. 5 класс. Определение обыкновенной дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Закрашенные области всех трех кругов равны между собой, но над кругами записаны различные обыкновенные дроби. Почему? И все ли верно? Да, все верно, ведь можно разделить круг на:

  • 4 части и закрасить 3 такие части;
  • 8 частей и закрасить 6 таких частей;
  • 12 частей и закрасить 9 таких частей.

Следовательно,

Мы убедились в правильности высказывания: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры. Используя основное свойство дроби, замените звездочку таким числом, чтобы равенство было верным.

Рассуждаем так: числитель нужно увеличить во столько же раз, во сколько увеличили знаменатель дроби, т. е. в 4 раза (16:4=4). Вместо звездочки запишем значение 3·4=12.

Еще такие примеры.

Рассуждаем так: знаменатель нужно уменьшить во столько же раз, во сколько уменьшили числитель дроби, т. е. в 7 раз (21:3=7). Вместо звездочки запишем значение 28:7=4.

Еще такие примеры.

 

Запись имеет метки: обыкновенная дробь

www.mathematics-repetition.com

Правила по математике 5-6 класс

Правила по математике 5-6 класс:

  1. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. ( основное свойство дроби)

  2. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, та дробь больше, числитель которой больше.

  3. Из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, знаменатель которой меньше.

  4. Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем.

  5. Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.

  6. Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен знаменателю данных дробей.

  7. Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем.

  8. Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

  9. Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же.

  10. Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

  11. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

  12. Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно её знаменатель умножить на это число.

  13. Сумму натурального числа и правильной дроби называют смешанной дробью.

  14. Чтобы сложить смешанные дроби, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить.

  15. Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, нужно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями.

  16. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

  17. Периметр прямоугольника равен сумме длин сторон прямоугольника.

  18. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

  19. Периметр квадрата равен сумме сторон.

  20. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

  21. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

  1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

  2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

  3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

  4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

22.Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

  1. умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

  2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

  1. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

  2. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

  1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

  2. поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

  1. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

  2. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

  1. выполнить умножение, не обращения внимания на запятые;

  2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

  1. Умножить число на 0,1; 0,01; 0.001 – то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000. Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

  2. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

  1. в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

  2. после этого выполнить деление на натуральное число.

28.Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).

29.Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

30.Процентом называют одну сотую часть.

31. Средняя скорость — отношение всего пройденного пути на всё время движения.

32. Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

33. Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

34. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

35. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

36.Если две последние цифры числа нули или образуют число, делящиеся на 4, то и само число делится на 4.

37.Если число делится и на 2 и на 3, то число делится на 6.

38. Если три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8, то и само число делится на 8.

infourok.ru

Обыкновенные дроби. Видеоурок. Математика 5 Класс

Слово «дробь» означает часть, нецелое количество, нецелое число.

Пол-литра молока. Для обозначения такого количества, для половины, мы используем дробь  (рис. 1).

Рис. 1.  литра молока

Треть пути. Если мы прошли треть пути, то мы знаем, что путь делится на три части и мы прошли одну такую часть (рис. 2).

Рис. 2. Треть пути

Одну часть мы обозначаем дробью . Оставшийся путь составляет . Если весь путь был 6 км, то треть пути – это 2 км, оставшиеся  – это 4 км (рис. 3).

Рис. 3. Путь, разделенный на части

Четверть часа. Один час, то есть 60 минут, удобно делится на 4 части (рис. 4).

Рис. 4. Час, разделенный на четыре части

В каждой части по 15 минут. Одна такая часть называется четвертью. Обозначается как (рис. 5). Оставшаяся часть часа, 45 минут, содержит три таких четверти по 15 минут, обозначается  (рис. 6).

Рис. 5. Четверть часа

Рис. 6. Три четверти часа

Во всех этих примерах одинаковым было то, что мы брали объект (литр молока, путь, час) и делили на несколько равных частей. Потом брали одну или несколько таких частей и это количество и называли дробью.

Разделим торт на шесть равных частей. Каждая часть торта – это  торта (рис. 7).

Рис. 7. Торт, разделенный на шесть равных частей

Если взять две части торта, то получится  (две шестых) торта (рис. 8). А оставшаяся часть будет составлять (четыре шестых) торта (рис. 9).

Рис. 8. Две шестых торта

Рис. 9. Четыре шестых торта

Какую часть торта означает дробь ?

Речь идет о пятых, значит, торт нужно разделить на пять частей (рис. 10) и взять три из них:  (рис. 11). Мы получаем чуть больше половины торта.

Рис. 10. Торт, разделенный на пять частей

Рис. 11. Три пятых торта

Не обязательно делить что-то целое, например торт, на части. Можно взять несколько предметов (множество) и разделить его на равные части.

Пусть есть 10 яблок (рис. 12). Разделим их на 5 равных частей, так как речь идет о пятых. Каждая часть будет состоять из двух яблок. Сама доля будет обозначаться , ведь делили мы на 5 частей (рис. 13).

Рис. 12. Множество, состоящее из яблок

Рис. 13. Множество яблок, разделенное на пять частей

 множества из 10 яблок будет содержать 2 яблока, а  уже будет содержать 3 раза по 2 яблока, то есть 6 яблок.

Не обязательно представлять конкретные объекты, как торт или множество яблок, чтобы работать с дробями. Можно оперировать с дробью как с математическим объектом.

Возьмем дробь . Нижняя часть дроби, 7, называется знаменателем. Она сообщает, на сколько частей мы делили. Делили на 7 равных частей (рис. 14).

Рис. 14. Семь равных частей

Верхняя часть дроби, 3, называется числителем. Она сообщает, сколько таких частей мы взяли. То есть дробь  состоит из трех долей  (рис. 15), полученных при делении на 7 равных частей.

Рис. 15. Три доли, взятые из семи равных частей

Что означает дробь ? Нужно разделить объект на 873 равные части. Каждая часть – это . Теперь нужно взять 214 таких долей.

Потренируемся находить дроби от разных количеств.

В классе 30 человек.  класса пойдет на французский язык,  класса – на английский. Сколько человек каким языком будет заниматься?

Чтобы найти  от 30, нужно класс разделить на три равные части, то есть 30 разделить на 3. Тот факт, что мы ищем  от 30, будем записывать как . Предлог «от» мы заменяем знаком умножения:

Полученное число 10 – это и есть доля  от общего количества учеников, от 30. Мы выяснили, что 10 учеников пойдут заниматься французским языком.

Найдем  общего количества учеников, то есть  от 30. Разделим 30 на 3 и умножим полученный результат на два.

Найдем  от общего количества учеников, то есть  от 30 или . Делим 30 на 5, получаем  от 30, а именно 6. Тогда  от 30 будет равна четырем таким долям, то есть 24.

Давайте теперь сформулируем, как мы находили дробь для числа.

Пусть дано число  и необходимо найти его часть , то есть дробь  от . Знаменатель говорит, на сколько частей надо делить, а числитель – сколько таких долей брать, умножать. То есть необходимо разделить  на  и умножить на .

Сколько минут составляет  часа?  часа?  часа?  от трех часов?

 часа – это  от 60 минут. Делим 60 на 2. Мы сразу получаем долю , это 30 минут. Или, как чаще говорят, полчаса. Половина часа.

 от 60 минут. Делим 60 на 3 и умножаем на 2.

interneturok.ru

Обыкновенные дроби — это ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ — Математика 5 класс — А.С. Истер

Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ

 

В этом разделе вы:

вспомните

понятие обыкновенной дроби;

ознакомитесь

с правильными и неправильными дробями, смешанными числами; десятичными дробями, понятиями среднего арифметического, процента;

научитесь сравнивать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, выполнять все действия над десятичными дробями; решать простейшие задачи с процентами.

 

27. Обыкновенные дроби

 

До сих пор рассматривались в 5-м классе натуральные числа и число 0. Но, как известно с младших классов, в математике существуют другие числа — дробные.

Возьмем полоску бумаги и примем его длину за единицу. Делим полоску на две равные части (рис. 218). Каждая из этих частей будет одной второй, или половиной этой полоски.

На рисунке 219 видим яблоко, разрезанное на три равные части. Каждая часть равна одной третьей яблока, а две части — двум третьим яблоки.

Рис. 219

 

Рис. 219

Числа — дробные. Дробные числа записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты в виде

Такие записи называют обыкновенными дробями. Число b, записанное под чертой, называется знаменателем дроби, показывает, на сколько равных частей разделили единицу (целое). Число а, записанное над чертой, называется числителем дроби, показывает, сколько взято равных частей единицы (целого).

Пример 1. Обычный дробь показывает, что целое разделили на 5 равных частей и взяты 3 такие части.

Пример 2. Если отрезок длиной 1 м разделен на 100 равных частей, то длина каждой части составляет 1 см.

Поэтому можно записать:

 (одна сотая метра), (две сотых метра), 17 см = (семнадцать сотых метра) и тому подобное.

Пример 3. Так как 1 кг = 1000 г, то 1 г = (одна тысячная килограмма).

Рассмотрим задачу на нахождение дроби от числа.

Задача 1. Сколько градусов составляет раскрою того угла?

Решения. Развернутый угол разделим на 5 равных частей.развернутого угла равна 180° : 5 = 36°, тогда развернутого угла — это 36° ∙ 2 = 72°.

Рассмотрим задачу на нахождение числа по его дроби.

Задача 2. Дорога от А до В равно 120 км, что составляет пути от А до C. Какое расстояние между А и C?

Решение (рис. 220). Поскольку три четверти дороги составляет 120 км, то одна четвертая часть дороги равна 120 : 3 = 40 км. Тогда вся дорога в четыре раза длиннее, чем 40 км, то есть равен 40 ∙ 4 = = 160 км.

Рис. 220

Рис. 221

Дробные числа, как и натуральные, можно изображать на координатном луче. Например, для изображения дроби (рис. 221) разделим единичный отрезок на 8 равных частей. Затем от начала луча отложим последовательно 3 такие части. Получим точку А, которая изображает число

Можно записать:

Длина отрезка OA равна единице.

Начальный уровень

918. Прочитай дроби, названия числитель и знаменатель каждой дроби и объясни, что они означают:

919. Молоко из кувшина разлили в стаканы четырем детям — поровну каждому. Какую часть молока получила каждый ребенок? Как это записать?

920. Участок пути, что ремонтируется, поделили на 5 равных частей. Три части ремонтировала большая бригада, а две части — меньшая бригада. Какую часть участка отремонтировала каждая бригада?

921. Записать в виде дроби число:

1) одна третья;

2) одна двенадцатая;

3) три седьмых;

4) пять двадцатых;

5) тридцать семь сотых;

6) двадцать восемь сто пятнадцатых.

922. Запиши в виде дроби число:

1) одна седьмая; 2) одна тринадцатая;

3) три восьмых; 4) четыре двадцать первых.

923. Запиши дробью, какая часть фигуры заштрихована (рис. 222-227).

Рис. 222

Рис. 223

Рис.224

 

Рис. 225

Рис. 226

Рис. 227

924. Запиши дробью, какая часть фигуры заштрихована (рис. 228-231).

Рис. 228

Рис. 229

Рис. 230

Рис. 231

925. Единицу разделили на 5, 7, 13, 24, 100, 317 равных частей. Как назвать одну часть в каждом из этих случаев?</span>

Средний уровень

926. Как называется:

1) одна сотая часть метра;

2) одна тысячная часть тонны;

3) одна двадцать четвертая часть суток;

4) одна шестидесятая часть часа?

927. Как называется:

1) одна сотая часть гривны;

2) одна тысячная часть килограмма;

3) одна шестидесятая часть минуты?

928. В саду 30 деревьев, из них 13 вишен. Какую часть всех деревьев составляют вишни?

929. Начерти отрезок длиной 10 см и отрезки, длины которых составляют длины данного отрезка.

930. Начерти отрезок длиной 12 см и отрезки, длины которых составляют длины данного отрезка.

931. Начерти в тетради квадрат со стороной 3 см. Раздели его на 9 равных квадратиков. Заштрихуй большого квадрата в зеленый цвет, а — в красный.

932. Заполни ячейки:

1) 1 мм = □ см; 2) 1 см = □ м;

3) 1 м = □ км; 4) 1 кг = □ ц;

5) 1 ц = □ т; 6) 1 с = □ мин;

7) 1 ч = □ суток; 8) 1 коп. = □ грн.

933. Заполни пропуски:

934. Рабочий выполняет задание за 8 ч. Какую часть задания он выполнит за 1 ч? 2 ч? 5 ч? 7 ч?

935. Автобус преодолевает расстояние от А до В за 6 часов. Какую часть расстояния он проедет за 1 ч? 2 ч? 5 ч?

936. Составь задачу, решением которой является дробь

937. Купили кусок ткани длиной 2 м 40 см и из куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на платье?

938. В классе 30 учеников, из них — девушки. Сколько девочек в классе?

939. В мотке 60 м. Найди длины таких его частей:

940. Автомобиль должен проехать расстояние между городами А и B, которая равна 360 км. За первый час машина проехала по этому пути. Сколько километров осталось проехать автомобилю?

941. От дыни массой 3 кг 600 г Ивану отрезали часть, а Марии — часть. Найдите массу каждого куска. Какая масса части дыни осталась?

942. Каким числам соответствуют точки А, В, C, D на координатном луче (рис. 232)?

Рис. 232

Достаточный уровень

943. Начерти с помощью транспортира угол, что составляет:

944. Выражения:

1) в метрах: 3 дм, 18 см, 5 дм 2 см, 3 мм, 1 см 5 мм;

2) в часах: 5 мин, 7 мин, 15 с, 3 мин 5 сек.

945. Выражения:

1) в тоннах: 15 кг, 321 кг, 4 ц 7 ц, 3 ц 12 кг;

2) в часах: 7 мин, 5 сек, 5 мин 12 сек.

946. Сергей, Иван и Петр собрали вместе 144 грибы. Сергей собрал всех грибов, а Иван — всех грибов. Сколько грибов собрал Петр?

947. Автобус проехал 180 км за три часа. За первый час он проехал всего расстояния, а за вторую — всей расстоянии. Сколько километров проехал автобус за третий час?

948. Площадь двора составляет 800 м2. Детская площадка занимает двора, а автостоянка — остальной площади. Какова площадь автостоянки?

949. Магазин получил для реализации 240 кг конфет. За первый день он продал полученного, а за второй — остальных. Сколько килограммов конфет продал магазин за два дня?

950. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 36 см, ширина составляет длины, а высота — ширины. Найди в объем прямоугольного параллелепипеда.

951. За день ученик прочитал 36 страниц, что составило книги. Сколько страниц в книге?

952. Сколько молока в бидоне, если этого молока составляют 24 л?

953. У Иванки 42 наклейки, что составляет количества наклеек, которые имеет Оля. У кого из девочек наклеек больше? На сколько?

Высокий уровень

954. За первый день турист прошел 24 км, за второй день — того, что прошел за первый, а за третий день — того, что за первые два дня вместе. Сколько километров прошел турист за три дня?

955. Ширина прямоугольника равна 28 см, что составляет его длины. Найди периметр и площадь прямоугольника.

956. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 20 см, что составляет

Найди площадь поверхности этого параллелепипеда.

957. Один из двух слагаемых равна 115 и составляет суммы. Найди второе слагаемое.

958. Найди число, которого равна от числа 270.

959. В Автомобиль за первый час проехал всего пути. Какую часть пути ему осталось проехать?

Решение (рис. 233). Автомобилю осталось проехать пути.

Рис. 233

 

Упражнения для повторения

960. Обчисли сумму всех:

1) семицифрових чисел, которые меньше числа 1 000 003;

2) шестицифрових чисел, которые больше числа 999 995.

961. Есть квадрат.

1) Периметр квадрата равен 48 дм. Найди площадь квадрата.

2) Периметр квадрата равен 16 см. Сторону квадрата уменьшили на 1 см. Как изменилась площадь квадрата?

3) Периметр квадрата равен 20 м. Сторону квадрата увеличили на 2 м. Как изменилась площадь квадрата?

962. Отец приобрел под застройку прямоугольный участок земли шириной 20 м и длиной b м. Часть земли площадью m м2 он отдал сыну. Какую площадь отец оставил себе? Склады буквенный выражение и обчисли его, если b = 25 м, m = 150 м2.

schooled.ru

Правильные и неправильные дроби. Видеоурок. Математика 5 Класс

На этом уроке мы узнаем, что такое дробь и для чего она нужна. Научимся обозначать половину и представлять по-разному одно и то же количество. Также рассмотрим, всегда ли дробь меньше единицы, и узнаем, что такое правильные и неправильные дроби.

Само слово «дробь» старинное и означает «часть». Сейчас это слово осталось только у охотников (они стреляют дробью) и в математике. И еще нам остались слова «дробный», «дробить».

Потому что часто мы имеем дело с частями, с нецелыми количествами. Например, делим яблоко на три части.

Без дроби не обойтись. Одна часть – это . (Рис. 1.)

Рис. 1. Изображение

Две части – . (Рис. 2.)

Рис. 2. Изображение

Не обязательно что-то резать на части.

Для множества из пяти яблок одно яблоко – это , два яблока –  от общего количества. (Рис. 3.) 

Рис. 3. Изображение

То есть дробь нужна, чтобы обозначить некое количество, в том числе нецелое.

Одно и то же количество можно обозначить разными дробями.

Разрежем торт на 2 части, возьмем одну часть.

Можно разрезать на 4 части и взять две, будет то же самое количество, половина. (Рис. 4.)

Рис. 4. Изображение половины

Способов бесконечно много. Можно разделить на 10 частей и взять пять, или на миллион частей и взять полмиллиона.

Иногда нам удобно одно представление, иногда другое.

Маша съела  торта, потом еще  другого. Сколько всего было съедено?

Надо найти сумму . (Рис. 5.)

Разные куски по размеру сложно складывать, поэтому представим первое количество другой дробью. Разделим каждый кусок еще на две части, то есть всего на 6. То есть кусок первого торта можно обозначить не только , но и эквивалентной записью – .

 и  – это .

А  снова можно обозначить эквивалентной записью – . Всего было съедено полторта.

Рис. 5. Сумма дробей

Предположим, что мы читаем рецепт блинов. И прикидываем, хватит ли нам одного литрового пакета молока.

5 стаканов молока – это 1 литр.

Если требуется один стакан – это  литра. Это, несомненно, меньше 1 литра.

Два стакана тоже меньше 1. При этом два стакана – это  литра.

Если по рецепту требуется 5 стаканов молока, то это уже  литра. Но, очевидно, это равно целому литру.

По рецепту может потребоваться, например, 6 стаканов,  литра. Но это уже на 1 стакан больше, чем литр.

То есть дробью может быть обозначено количество меньше единицы, равное единице или больше единицы.

Так как слово «дробь» обозначало часть, то есть меньше целого, то те дроби, которые обозначают количество, меньшее единицы, назвали «правильными» дробями, а остальные – «неправильными».

То есть дроби  и  называются правильными, так как они меньше единицы.

А вот уже  и – неправильными.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и мы называем ее правильной.

Если числитель равен знаменателю, то дробь равна единице и уже называется неправильной.

Если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы и тоже неправильная.

Пример

Правильные дроби со знаменателем 259:

Неправильные дроби со знаменателем 259:

Сравним следующие дроби:

 – правильная дробь, меньше единицы;

 – неправильная, равна единице;

 – неправильная, больше единицы.

Таким образом:

Итак,

1. Если дробь меньше единицы, то ее называют правильной. В этом случае числитель всегда меньше знаменателя.

2. Если у дроби числитель и знаменатель равны, то дробь равна единице и называется неправильной.

3. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы и тоже называется неправильной.

 

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Учебник по математике 5 класс (2008), глава II. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА, с.151.
  2. Никольский С.М., Потапов М.К. Учебник по математике 5 класс (2012), глава 4.
  3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Учебник по математике 5 класс. Часть 1 – 2 (2011), часть 2, глава 3.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. 5klass.net (Источник).
  2. Formula-xyz.ru (Источник).
  3. 5klass.net (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Что такое дробь? Как обозначить половину?
  2. При каких значениях х дробь  будет неправильной: , , ?
  3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса (5-е изд., испр.) с. 97.

interneturok.ru

5 класс Смешанные дроби (памятка ученику)

Смешанные дроби

Смешанная Неправильная

5 =

Сложение и вычитание смешанных дробей

Чтобы сложить смешанные числа, нужно:

1) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части;

2) сложить отдельно целые и дробные части;

3) если необходимо, сократить дробную часть;

4) если дробная часть суммы окажется неправильной дробью, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы.

Например:

Чтобы вычесть смешанные числа, нужно:

1) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части;

2) если дробные части «не вычитаются» (дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого),то нужно «занять» единицу из целой части;

3) вычесть отдельно целые и дробные части;

4) если необходимо, сократить дробную часть.

Например:

Например:

Смешанные дроби

Сложение:

1 шаг: к общ. знам. (НОЗ)

2 шаг: + цел1+цел2,

др1+др2 (числ1+числ2)

3 шаг: неправ. смеш.

4 шаг: сократить

Вычитание:

1 шаг: к общ. знам. (НОЗ)

2 шаг: занять ед. (если нужно)

3 шаг: — цел1 — цел2

др1 — др2 (числ1 — числ2)

4 шаг: сократить

Умножение:

1 шаг: смеш. неправ.

2 шаг: числ1 числ2

зн1 зн2 сократить!

3 шаг: вычислить

4 шаг: неправ. смеш.

Деление:

1 шаг: смеш. неправ.

2 шаг: числ1 зн2

зн1 числ2 сократить!

3 шаг: вычислить

4 шаг: неправ. смеш.

infourok.ru

Гдз тест по математике – ГДЗ по математике 6 класс тесты Рудницкая. К учебнику Виленкина

alexxlab / / Математика

❺ Ответы (решебник) по 30 тестам по математике для 5-7 классов Минаева С.С.

Пособие 30 тестов по математике 5-7 классы Минаева С.С. рассматривает темы про натуральные числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби, целые числа, рациональные числа, положительные и отрицательные числа, проценты, пропорции, прямые и кривые, окружности, углы, многоугольники, многогранники.

Самостоятельно решение представленных тестов позволит ученику оценить уровень своих знаний. Наличие разнообразных тем, позволяет пользоваться решебником ученикам средней школы. Также пособие может быть использовано учителем, для промежуточного контроля знаний.

← Предыдущая

1

Следующая >

Понравился материал? Загрузка…

otlgdz.online

ГДЗ по математике 4 класс тесты Рудницкая. К учебнику Моро Часть 1, 2

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

  • Начальная школа с изучением азов знаний по основным дисциплинам пролетает быстро. И уже в четвертом классе школьники должны выдержать свой первый непростой экзамен. Математика дается легко не всегда, и не всем. Чтобы ни в будущем, ни на текущий момент её изучение не вызывало проблем, рекомендуется тщательная и скрупулезная подготовка, решение задач, использование сборников и решебников к ним. Приучившись сверять выданные ответы с ГДЗ, четвероклассники обретут полезные навыки самостоятельной работы, а родители будут избавлены от бесполезной и неэффективной проверки домашних заданий. Умение самостоятельно находить и использовать информацию — один из важнейших навыков, который должен освоить школьник.
  • В числе практичных пособий признаются тесты по математике 4 класс, составленные Рудницкой В. Н. Этот сборник изначально идет в комплекте к учебнику математики Моро М. И., но может с успехом применяться к другим программам, УМК и пособиям иных авторов. Книга включает две части, 1 — обобщает материал дисциплины, изученный с первого по третий класс. Также в ней представлены вопросы по материалам первого полугодия 4 класса, 2 — второе полугодие и повторение всего курса математики начальной школы. Отличная подготовка к написанию диагностической работы и ВПР по предмету.

Похожие решебники по математике 4 класс

© Copyright. Все права защищены. Правообладатель SIA Ksenokss.
Адрес: 1073, Курземес проспект 106/45, Рига, Латвия.
Тел.: +371 29-851-888 E-mail: ekaterina[at]euroki.org

www.euroki.org

Тематические тесты по математике 6 класс Чулков ответы


ГДЗ готовые домашние задания тематическим тестам по математике 6 класс Чулков, Шершнев, Зарапина (к учебнику Никольского) ФГОС от Путина. Решебник (ответы на вопросы и задания) учебников и рабочих тетрадей необходим для проверки правильности домашних заданий без скачивания онлайн

Выберите номер теста



Тест: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Итоговый тест



Реклама

← Назад

Вперед →

gdz-putina.info

❺ Решебник (ГДЗ) Тесты по математике 6 класс Рудницкая к учебнику Виленкина

Применение тестов при изучении математики необходимо для того, что бы школьники сумели понять необходимость математических доказательств, научились самостоятельно приводить примеры доказательств и делать вычисления. с их использованием. Лучше понять и запомнить множество математических формул ученикам поможет самопроверка выполненных упражнений по решебнику с ответами на тесты. В данном методическом пособии даны полные примеры решения всех тестов с подробным объяснением задач и упражнений. Регулярное использование дополнительных материалов при выполнении домашних заданий способствует лучшему усвоению пройденного в школе.

← Предыдущая

1

Следующая >

Понравился материал? Загрузка…

otlgdz.online

ГДЗ по математике 4 класс тесты Истомина

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

  • В 4 классе, помимо математики, учеников ждет цикли дисциплин, закладывающих фундаментальные основы образования. Успевать по всем предметам способен не каждый. На помощь школьникам и их родителям придет решебник!
  • Магия чисел не дается легко, но упорный труд и усидчивость – залог успешного усвоения знаний. Как облегчить путь к пониманию предмета? Специалисты рекомендуют использовать решебники. Эти издания разработаны специально для:
    — закрепления пройденных материалов;
    — эффективной отработки основных тем курса;
    — усвоения элементарных правил и подходов;
    — самоконтроля.
    Тесты по математике, подготовленные Н.Б. Истоминой, доступны онлайн и помогают проследить на практике алгоритмы решений типовых задач и примеров. Лучшим проводником к верным результатам и отличной успеваемости признаны ГДЗ. 
  • Списать готовую контрольную работу под силу любому, но специалисты создавали пособия совсем не для этого. Часто детям и родителям, которые стремятся достичь вершин в математике, не хватает наставнического «плеча». Выход один – обратиться за помощью к репетитору, но есть и другой путь – регулярно тренироваться, систематизируя знания, сверяясь с готовыми результатами, прослеживая и тщательно усваивая алгоритм решений.
  • ГДЗ по математике – настоящий кладезь информации, исключающий трудности в подготовке к уроку, контрольной работе или тестированию. Издание формирует ряд навыков и умений, недоступных ранее: самоорганизацию, быстрый контроль, возможность без труда скорректировать знания и исключить подвохи.

www.euroki.org

ГДЗ по математике 3 класс тесты Рудницкая. К учебнику Моро Часть 1, 2

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

  • Математика в третьем классе считается одним из сложных предметов программы начальной школы. Иногда третьеклассникам требуется дополнительная помощь и тренировка для эффективного усвоения и закрепления пройденного материала. Во избежание пагубной практики выполнения домашнего задания силами родителей, можно использовать более полезный и результативный вариант. Это систематическое проработка тестовых заданий и оценка правильности их выполнения по решебникам к ним. Такая работа с ГДЗ учит самостоятельно находить и применять информацию на практике. Не стоит забывать о необходимости верно выбрать сборник, по которому будет проводиться самоподготовка.
  • В числе эффективных эксперты называют тесты по математике 3 класс, составленные Рудницкой В. Н, состоящей из 1 и 2 частей — на каждое учебное полугодие, соответственно. Они используются в комплекте к учебнику Моро М. И. для третьеклассников, но могут быть применены в качестве дополнительного практикума и к другим теоретическим сборникам. Основные темы курсов различных УМК в большинстве своем совпадают, а наличие нового материала позволит подключить, активизировать аналитическое мышление у школьника. Удачный и интересный проверочный материал, одобренный многочисленными специалистами для начальной школы и кружковой работы.

Похожие решебники по математике 3 класс

© Copyright. Все права защищены. Правообладатель SIA Ksenokss.
Адрес: 1073, Курземес проспект 106/45, Рига, Латвия.
Тел.: +371 29-851-888 E-mail: ekaterina[at]euroki.org

www.euroki.org

ГДЗ тесты по математике 6 класс Журавлев, Ермаков К учебникам Виленкина, Зубаревой, Мордковича, Никольского Экзамен

ГДЗ > Математика > 6 класс > Тесты по математике 6 класс. ФГОС Журавлев, Ермаков. К учебникам Виленкина, Зубаревой, Мордковича, Никольского Экзамен

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

  • В 6-м классе школы математика в её классическом виде (без деления на отдельно геометрию и алгебру) преподается последний год. Учитывая, что в ГИА в выпускных классах немало вопросов, заданий и задач из классической базовой математики, шестиклассникам следует уделить её изучению особое, пристальное внимание. В частности, организовать заблаговременную скрупулезную подготовку. К тому же, итоговой контрольной в конце 6-го класса по этому предмету придан статус переводного экзамена. Чтобы подготовка шла особенно плодотворно, можно использовать эффективный и бюджетный формат — самоподготовку. Для его реализации понадобятся качественные пособия и решебники к ним. Главное — работать с ГДЗ постоянно, регулярно контролируя динамику достигнутых результатов. Все возникающие вопросы, трудности следует отработать снова, а впоследствии — вернуться и повторить, закрепить результат.
  • Хорошим сборником в помощь шестиклассникам по дисциплине называют тесты по математике 6 класс, составленные Журавлевым С. Г и Ермаковым В. В. Они универсальны и понятны, могут использоваться ко всем учебникам по математике для 6-го класса, как в школе, на курсах, кружках, так и в индивидуальной работе, самостоятельной или совместной с репетитором.

www.euroki.org

Заказать решение контрольной работы по математике – Заказать контрольную работу по математике от 20 руб

alexxlab / / Математика

Контрольная работа по математике в Твери, заказать решение контрольных работ по высшей математике

Решение контрольной работы по математике в Твери с успехом на протяжении нескольких лет выполняют высококлассные специалисты компании «Всё для студента». Контрольная работа по математике – это не всегда трудоемкое задание, а потому часто откладывается или забывается (особенно, если математика – предмет в программе непрофильный). Так, к началу сессии может оказаться значительный ворох таких «необязательных» заданий, на которые нет свободного времени. В ситуации студенческого аврала помощь со стороны профессионалов – волшебная палочка, которой необходимо воспользоваться, чтобы добиться требуемого положительного результата.

Решение контрольных по математике – работа профессионалов

Решение контрольных работ по высшей математике требует от студентов специальных знаний и навыков, которые не всегда с легкостью даются всем:

  • производные сложных и векторных функций;
  • пределы;
  • интегралы;
  • условный экстремум;
  • сходимость рядов.

Подчас этот ряд может ввести в недоумение талантливого и результативного филолога или культуролога. Знания в области высшей математики зачастую являются обременительными и не обязательными для конкретной специальности, а в условиях жесткой системы образования такие задачи требуют особой концентрации усилий и больших временных затрат. Так, решение контрольных работ по математике стоит доверить профессионалам, для которых эта работа – проста и повседневна, а большой опыт в сфере выполнения заказов позволяет предложить варианты выполнения (если таковые имеются) и наполнить решение комментариями для корректного усвоения материала заказчиком.

Профессиональный сервис для студентов

Компания «Всё для студента» обеспечивает не только качественно выполненные работы в строго оговоренный срок, но жестко соблюдает политику конфиденциальности, гарантируя анонимность обращения. Здесь можно заказать решение по математике, не заботясь об уникальности результата, поскольку все работы проходят проверку в системе «антиплагиат». Наши специалисты готовы решить контрольную по математике не только для студентов, но и для учеников любого класса, тщательно расписав каждый пример и каждый вариант выполнения задания.

tverdiplom.ru

Заказать контрольную работу по высшей математике — решение кр, стоимость

Контрольная работа по высшей математике на заказ

Не важно, на какой специальности обучается студент, высшая математика – неотъемлемый предмет в процессе обучения. И каждому ученику придется выполнить контрольную по «вышке». Если у Вас нет времени на ее решение или Вы погрязли в паутине этого нелегкого предмета, обратитесь в нашу компанию и закажите контрольную по высшей математике у нас. Наши специалисты правильно решат и подробно распишут задания любой сложности. Контрольную работу предоставят Вам в указанный срок с учетом всех Ваших требований. Конечно, можно заказать контрольную у частного лица, но Вашу работу выполнит неизвестно кто и неизвестно как. Подумайте прежде, чем рисковать хорошим баллом, который в будущем повлияет на Вашу сессию.

За годы работы к нам обращались сотни студентов с просьбой исправить ошибки в заданиях, за которые они уже заплатили деньги. В Dipstar работают высококвалифицированные специалисты, которые проходили специальное тестирование перед поступлением на работу. У всех сотрудников «набита рука» по решению контрольных данного предмета, благодаря этому у нас высокая скорость выполнения заказов. Также мы берем в работу срочные заказы, но они стоят дороже. Чтобы не переплачивать лишние средства, подумайте о контрольной априори.

Решение КР по высшей математике

Все работы после выполнения проходят обязательную проверку, как ручную, так и машинную. Мы бесплатно выполняем корректировку работы. В основном, претензии от преподавателя – небрежное оформление, просьба расписать решение более подробно, а также мелкие неточности. Со всеми с этими недочетами справятся в считанные минуты.

Заказать контрольную по высшей математике можно несколькими способами:

• Позвонить нам по телефону

• Связаться через скайп

• Написать на электронную почту

• Оставить заявку, заполнив бланк заказа

Наши менеджеры отличные организаторы. Они распланируют работу так, что она будет происходить оперативно и с комфортом.

Форма заказа контрольной работы

Заполните форму и нажмите кнопку ниже «Рассчитать стоимость»

Чтобы рассчитать стоимость работы, введите Ваши данные форму ниже и нажмите кнопку «Далее»

ⓘЕсли Вы раньше заказывали у нас, то сначала войдите в свой личный кабинет

dipstar.by

Решение контрольных работ по математике

Проблемы с математикой? Преподаватель опять не принял контрольную работу, а сроки уже поджимают? Интегралы, производные, пределы и дифференциальные уравнения наводят скуку и лишают возможности заниматься любимым делом?

Тогда Вы зашли на правильный сайт! Выполнение контрольных работ по математике — наш профиль! У нас большой штат квалифицированных специалистов: преподаватели, аспиранты, кандидаты наук — к Вашим услугам. Наши специалисты помогут Вам в решении самых сложных задач и дадут ответы на самые заковыристые вопросы!

Мы выполняем контрольные работы по математике (высшей математике) из следующих разделов: векторный анализ, операции над матрицами, дифференциальное и интегральное исчисление, ТФКП, решение пределов и рядов, полное исследование функций и многое другое. Мы гарантируем качество и скорость выполнения Вашей работы!

Наши цены Вас приятно удивят: так как работы выполняются удалённо, в стоимость заказа не входит арендная плата за офис и его обслуживание. Вы платите только за качественное выполнение контрольной работы! Контрольные работы по математике на заказ — это простое и самое логичное решение студенческой проблемы.

Все что Вам надо сделать — это заполнить форму заказа. Наши специалисты в кратчайшие сроки оценят Вашу контрольную работу и отправят на контактную почту информацию о цене и сроках выполнения заказа.

Все контрольные работы по математике выполняются в электронном виде. Свою контрольную работу Вы получите в форматах *.doc или *.pdf. Такой подход избавит Вас от необходимости разбираться в непонятном почерке специалиста. Вы сможете её просто распечатать. По особому требованию Вы можете получить отсканированную версию решения — в случае острой необходимости это ускорит процесс выполнения Вашего заказа.

С нами учёба станет удовольствием, ведь бессонные ночи и «хвосты» останутся в прошлом! Быть «на хорошем счету» у преподавателей, вызывать уважение сокурсников — с нами всё это станет реальностью.

Контрольная работа по математике на «отлично» — это просто!

Также наши специалисты готовы помочь Вам в решении контрольных работ по физике и многим другим предметам.

www.webmath.ru

Решение контрольных работ по математике на заказ

Если вам задана на самостоятельное выполнение контрольная работа по высшей математике, то многие задачи могут вызвать сложности и отнять уйму времени. Поэтому можно поступить проще – заказать ее выполнение профессионалу, который блестяще справится с задачей. Именно такие профессионалы сотрудничают с нашим сайтом, с их помощью вы своевременно сдадите работу и получите за нее высокий балл.

Где заказать контрольную по высшей математике

Математика является далеко не простым предметом, однако она входит в базовый курс школьной и ВУЗовской программы. У многих студентов и школьников математические задачи, уравнения и упражнения вызывают массу трудностей. А когда помимо этого итак нагрузка немалая, то времени на них совсем не остается. В таких случаях очень выручает такая услуга, как контрольная по математике на заказ. С ее помощью можно существенно сэкономить время и получить высокий балл за работу. Однако прежде чем заказать контрольную работу по математике, следует внимательно выбрать исполнителя. Нынешний интернет кишит мошенниками, которые могут взяться за работу и не довести ее до конца, либо сделать неправильно. К тому же, далеко не все соблюдают условленные строки. Поэтому лучше заказывать решение контрольной по математике у авторитетных исполнителей, которые могут предоставить гарантию качества.

Одним из таких надежных мест является наш сайт. Если вам нужна контрольная по математике, смело заказывайте ее у нас. Здесь вы получите свою работу:

  • в установленный срок
  • с соблюдением всех норм оформления
  • в грамотном исполнении
  • недорого

Именно поэтому нам доверяют многие студенты и школьники, которым необходима подстраховка в образовательном процессе. Мы всегда выручаем и никогда не подводим.

Зависимость цены от сроков и сложности

Стоимость выполнения работы будет зависеть от нескольких факторов. Прежде всего, имеет значение сложность: чем сложнее контрольная по высшей математике на заказ, тем дороже она будет стоить. Также важны сроки – если они поджимают, то придется заплатить больше. Однако если вы обратитесь заранее, то вам обеспечена контрольная по математике недорого. В любом случае высокое качество исполнения мы вам гарантируем. На нашем портале демократичная ценовая политика, поэтому позволить себе наши услуги сможет любой студент.

ru.solverbook.com

Высшая математика: решение контрольных работ, задач по теории вероятности, алгебре и матанализу, дифференциальным уравнениям и другим разделам математики

Решение высшей математики – это одна из самых сложных задач для многих студентов экономических и гуманитарных специальностей. Зачастую, для того чтобы решить контрольную работу по математике студенту приходится потратить больше времени, чем на выполнение заданий по всем профилирующим предметам вместе взятым. Особенно нелегко приходится студентам-заочникам: ведь нужно успеть решить задачи по высшей математике после работы. А студентам естественнонаучных и технических специальностей постоянно задают такие сложные задания по высшей математике, что сами преподаватели не каждую задачу из контрольной работы правильно решат без учебников.

Не все могут позволить себе потратить так много времени, чтобы решить задачу по математике. Мы поможем Вам изучить математику, выполнить типовой расчет, индивидуальные задания, решить контрольные работы по высшей математике и другим математическим дисциплинам. Мы — это команда профессиональных математиков, с высшим математическим образованием. В нашем профессиональном активе преподавание более 30 математических дисциплин и спецкурсов на экономических, гуманитарных, естественнонаучных, математических и технических специальностях ВУЗов. С 2006 года мы занимаемся индивидуальным репетиторством по математике, а также предлагаем заказать решение задач по математике с подробно расписанным ходом решения. В 2009 году мы создали свой первый сайт на narod.ru. Сайт позволил заказать решение математики через Интернет, студентам из любых городов России. Сегодня мы рады видеть Вас на нашем сайте www.matematika2x2.ru. Мы назвали его так потому, что сдать высшую математику с нашей помощью легко как 2х2.

Многие студенты не решаются заказать контрольную работу по высшей математике через Интернет и в результате тратят гораздо больше денег, обращаясь в фирмы, которые взвинчивают цены своими комиссионными. Обращаясь к нам, Вы не переплачиваете фирмам-посредникам, а получаете помощь в решении задач по математике из первых рук с минимальными затратами и гарантированным высоким качеством. Пришлите свою контрольную работу нам, сравните цены и примете решение. Мы не заинтересованы получить оплату за решение заданий и не исполнить взятых на себя обязательств. За годы работы мы зарекомендовали высокое качество своих услуг среди студентов российских ВУЗов и репутация для нас гораздо дороже стоимости выполнения любой контрольной работы. В настоящее время мы предлагаем следующие услуги:

Решение типового расчета (типовика) , контрольной работы по математике, теории вероятностей, статистике и т.п.
Чтобы заказать работу, просто заполните форму заказа или вышлите письмо с заданиями на адрес Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. (в письме укажите информацию аналогичную форме). Если Вы заказали решение заданий по математике с 7:00 до 20:00 по Московскому времени, то мы сообщим Вам стоимость решения контрольной работы в тот же день.

После получения заказа мы связываемся с Вами и сообщаем стоимость решения задач контрольной работы. Если она Вас устраивает, то Вы делаете предоплату от 20 до 100% стоимости работы. После получения предоплаты мы выполняем решение части Ваших заданий, пропорционально полученной предоплате и высылаем Вам решения. Получив правильные решения первой части заданий, Вы производите оплату оставшейся суммы и в оговоренный срок получаете решения всех заданий контрольной работы. Как оплатить решение задач по математике Вы можете прочитать на странице «Способы оплаты».

Онлайн решение задач по математике на экзамене или зачете. Вы передаете нам задания и через несколько минут получаете решенную математику на телефон. Подробности в разделе «Помощь на экзамене по математике».

Репетиторство — если вы поняли что без дополнительных занятий Вам с математикой не разобраться, то мы готовы провести с Вами индивидуальные занятия. Проведение занятий возможно в очной форме или дистанционно с помощью Skype.

Вы заинтересованы в получении помощи по математике, но не уверены стоит ли обращаться к незнакомым людям?
Зайдите на нашу страницу ВКонтакте и убедитесь, что мы не виртуально-абстрактные, а реальные квалифицированные математики, которые уже помогли тысячам студентов. Напишите нам и Вы получите квалифицированную помощь по минимальным ценам.

Посмотрите подробную информацию о математических дисциплинах по которым мы решаем контрольные работы и закажите решение задач по математике просто заполнив форму на сайте.

matematika2x2.ru

Контрольные по высшей математике на заказ

Наш образовательный центр «Matematikam.ru» специализируется на выполнении работ по высшей математике для студентов России, Беларуси и Украины. В своем составе мы имеем большое количество первоклассных специалистов в области математики, статистики и логики. Мы с радостью примем на себя обязательства по выполнению контрольных работ по математике и сделаем всё точно в срок, качественно, с надлежащим оформлением и подробным описанием всего хода решения задач.

Наши преимущества:

  • Срочное выполнение заказов. Сроки выполнения работы от 12 часов. Для срочных заказов стоимость практически не увеличивается.
  • Правильное решение. В нашей команде работают только проверенные, ответственные и талантливые специалисты. Качество работы для нас имеет самый высокий приоритет. Каждая работа дополнительно проходит проверку на правильность решения перед тем, как будет передана заказчику.
  • Идеальное оформление. Очень большое внимание у нас уделяется оформлению работ. Решение контрольной работы всегда оформляется в MS Word, имеет подробное описание хода решения, в наличии необходимые рисунки и графики.
  • Недорого. Мы не гонимся за сверхприбылями, не сорим деньгами на раскрутку сайта и рекламу, содержание филиалов офисов и большого персонала работников, а делаем всё своими силами, что получается у нас хорошо!
  • Доступность. Мы всегда отвечаем на ваши письма, даем развернутые ответы и доступны 18 часов в сутки по ICQ и email. Вы всегда можете быть уверены, что мы не проигнорируем ваш вопрос или предложение.
  • Гарантии. Мы являемся официально зарегистрированным юридическим лицом и несем законодательно ответственность перед вами за качество выполняемых услуг.
  • Удобство работы. Мы принимаем оплату через электронные платежные системы Webmoney и Yandex.Деньги. А значит, чтобы заказать работу у нас, вам даже не придется приходить в наш офис. Достаточно оплатить заказ и вы получите к оговоренному сроку решенную работу на email.

Способы оплаты: Webmoney и Yandex.Деньги

Закажите работу прямо сейчас, заполнив форму заказа:
К форме заказа

Контрольные по математике на заказ

Мы выполняем контрольные работы по высшей математике на заказ, решаем задачи со всех разделов математики: математический анализ, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ, функции комплексных переменных, линейная алгебра, статистика и многое другое. Мы решаем контрольные по высшей математике любой сложности. Решим все задачи по математике правильно и в срок!

Заказать контрольную по высшей математике

Чтобы заказать работу по математике, достаточно заполнить соответствующую форму заказа на странице сайта заказать контрольную работу, приложив условия задач и указав сроки выполнения, после чего мы высылаем вам счет на оплату. Если вас всё устраивает, вы оплачиваете работу и получаете решение на email к заявленному сроку.

Решение задач по математике

На Matematikam.ru вы можете заказать решение отдельных задач по высшей математике. У нас нет нижнего порога стоимости заказа, как это есть у многих центров. А значит, вы можете совсем дешево заказать решение сложной математической задачи, которую не смогли выполнить самостоятельно. На это вам не понадобится много времени. Оценка работы занимает считанные минуты, а решение задачи может быть получено уже через несколько часов после оплаты.


Смотрите также следующие статьи:

Контрольные по физике на заказ
Контрольные по теории вероятности на заказ
Контрольные по химии на заказ
Контрольные по экономике на заказ

matematikam.ru

Элементы по математике – Элемент (математика) — это… Что такое Элемент (математика)?

alexxlab / / Математика

Элемент (математика) — это… Что такое Элемент (математика)?

Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.

Теории

Существует два основных подхода к понятию множества — наивная и аксиоматическая теория множеств.

«Наивная теория множеств»

Дать определение какому-нибудь понятию — это значит описать это понятие через понятия, определённые ранее. Если число определений в теории конечно, то первое определение должно быть основано на понятиях, которые являются аксиоматическими, то есть изначально неопределёнными. Множество — как раз одно из таких аксиоматических понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определённый набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, возникающим из-за того, что интуитивное понятие «чётко определённый» на самом деле само не определено чётко. Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий, становится очевидной необходимость её строгой аксиоматизации.

Наивная теория множеств была создана Кантором в конце XIX века.

История определения

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.

В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты называются элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначается . Если некое множество , то A(x) называется характеристическим свойством множества Y.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

После этого теория множеств была аксиоматизирована.

Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).

Некоторые виды множеств

По иерархии:

Множество множеств
Подмножество
Надмножество

По ограничению:

Литература

  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Элементы статистики

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы поговорим о статистике.

Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).

Так, с помощью статистики мы можем узнать свое положение дел, касающихся финансов. С начала месяца можно вести дневник расходов и по окончании месяца, воспользовавшись статистикой, узнать сколько денег в среднем мы тратили каждый день или какая потраченная сумма была наибольшей в этом месяце либо узнать какую сумму мы тратили наиболее часто.

На основе этой информации можно провести анализ и сделать определенные выводы: следует ли в следующем месяце немного сбавить аппетит, чтобы тратить меньше денег, либо наоборот позволить себе не только хлеб с водой, но и колбасу.

Выборка. Объем. Размах

Что такое выборка? Если говорить простым языком, то это отобранная нами информация для исследования. Например, мы можем сформировать следующую выборку — суммы денег, потраченных в каждый из шести дней. Давайте нарисуем таблицу в которую занесем расходы за шесть дней

Выборка состоит из n-элементов. Вместо переменной n может стоять любое число. У нас имеется шесть элементов, поэтому переменная n равна 6

n = 6

Элементы выборки обозначаются с помощью переменных с индексами . Последний  элемент является шестым элементом выборки, поэтому вместо n будет стоять число 6.

Обозначим элементы нашей выборки через переменные 

Количество элементов выборки называют объемом выборки. В нашем случае объем равен шести.

Размахом выборки называют разницу между самым большим и маленьким элементом выборки.

В нашем случае, самым большим элементом выборки является элемент 250, а самым маленьким — элемент 150. Разница между ними равна 100

Среднее арифметическое

Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.

Примеры:

  • средняя зарплата жителей страны;
  • средний балл учащихся;
  • средняя скорость движения;
  • средняя производительность труда.

Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.

Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.

Вернемся к нашему примеру

Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:

Средняя скорость движения

При изучении задач на движение мы определяли скорость движения следующим образом: делили пройденное расстояние на время. Но тогда подразумевалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась на протяжении всего пути.

В реальности, это происходит довольно редко или не происходит совсем. Тело, как правило, движется с различной скоростью.

Когда мы ездим на автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас помехи, нам приходиться сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько раз.

Речь идет о средней скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.

Задача 1. Автомобиль первые 3 часа двигался со скоростью 66,2 км/ч, а следующие 2 часа — со скоростью 78,4 км/ч. С какой средней скоростью он ехал?

Сложим скорости, которые были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5ч)

Значит автомобиль ехал со средней скоростью 71,08 км/ч.

Определять среднюю скорость можно и по другому — сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью, затем сложить эти расстояния и результат разделить на время. На рисунке видно, что первые три часа скорость у автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние, пройденное за три часа:

66,2 × 3 = 198,6 км.

Аналогично можно определить расстояние, которое было пройдено со скоростью 78,4 км/ч. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 часа:

78,4 × 2 = 156,8 км.

Сложим эти расстояния и результат разделим на 5

Задача 2. Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.

Скорость велосипедиста в первый час составляла 12,6 км/ч. Во второй и третий час он ехал со скоростью 13,5. Определим среднюю скорость движения велосипедиста:

Мода и медиана

Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.

Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров

Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.

Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат

Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.

Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.

Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190

В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану

Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186

Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186

Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.

Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1

Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.

Частота

Частота это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.

Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.

По таблице можно узнать сколько человек выполнило 5, 10 или 15 подтягиваний. Так, 5 подтягиваний выполнили четыре человека, 10 подтягиваний выполнили восемь человек, 15 подтягиваний выполнили три человека.

Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:

Такие таблицы называют таблицами частот.

Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.

Это означает, что сумма частот равна общему числу школьников, участвующих в соревнованиях, то есть тридцати шести. Проверим так ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:

4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36

Относительная частота

Относительная частота это в принципе та же самая частота, которая была рассмотрена ранее, но только выраженная в процентах.

Относительная частота равна отношению частоты на общее число элементов выборки.

Вернемся к нашей таблице:

Пять подтягиваний выполнили 4 человека из 36. Шесть подтягиваний выполнили 5 человек из 36. Восемь подтягиваний выполнили 10 человек из 36 и так далее. Давайте заполним таблицу с помощью таких отношений:

Выполним деление в этих дробях:

Выразим эти частоты в процентах. Для этого умножим их на 100. Умножение на 100 удобно выполнить передвижением запятой на две цифры вправо:

Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, 6 подтягиваний выполнили 14% участников, 8 подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz

Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ

Проект

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Кодификатор

элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ

для составления контрольных измерительных материалов для

проведения единого государственного экзамена

подготовлен Федеральным государственным бюджетным

научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Кодификатор элементов содержания для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике составлен на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускников средней школы (приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента Государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

Кодификатор элементов содержания по всем разделам включает в себя элементы содержания за курс средней школы (базовый уровень) и необходимые элементы содержания за курс основной школы.

1 Алгебра

Числа, корни и степени

1.1.1 Целые числа

1.1.2 Степень с натуральным показателем

1.1.3 Дроби, проценты, рациональные числа

1.1.4 Степень с целым показателем

1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

1.1.6 Степень с рациональным показателем и её свойства

1.1.7 Свойства степени с действительным показателем

Основы тригонометрии

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

1.2.2 Радианная мера угла

1.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

1.2.4 Основные тригонометрические тождества

1.2.5 Формулы приведения

1.2.6 Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов

1.2.7 Синус и косинус двойного угла

Логарифмы

1.3.1 Логарифм числа

1.3.2 Логарифм произведения, частного, степени

1.3.3 Десятичный и натуральный логарифмы, число е

1.4 Преобразования выражений

1.4.1 Преобразования выражений, включающих арифметические

1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

1.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

1.4.6 Модуль (абсолютная величина) числа

2 Уравнения и неравенства

Уравнения

2.1.1 Квадратные уравнения

2.1.2 Рациональные уравнения

2.1.3 Иррациональные уравнения

2.1.4 Тригонометрические уравнения

2.1.5 Показательные уравнения

2.1.6 Логарифмические уравнения

2.1.7 Равносильность уравнений, систем уравнений

2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

2.1.9 Основные приёмы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных

2.1.10 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений

2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем

2.1.12 Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учёт реальных ограничений

Неравенства

2.2.1 Квадратные неравенства

2.2.2 Рациональные неравенства

2.2.3 Показательные неравенства

2.2.4 Логарифмические неравенства

2.2.5 Системы линейных неравенств

2.2.6 Системы неравенств с одной переменной

2.2.7 Равносильность неравенств, систем неравенств

2.2.8 Использование свойств и графиков функций при решении неравенств

2.2.9 Метод интервалов

2.2.10 Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем

3 Функции

Определение и график функции

3.1.1 Функция, область определения функции

3.1.2 Множество значений функции

3.1.3 График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях

3.1.4 Обратная функция. График обратной функции

3.1.5 Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат

Элементарное исследование функций

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

3.2.2 Чётность и нечётность функции

3.2.3 Периодичность функции

3.2.4 Ограниченность функции

3.2.5 Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Основные элементарные функции

3.3.1 Линейная функция, её график

3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

3.3.3 Квадратичная функция, её график

3.3.4 Степенная функция с натуральным показателем, её график

3.3.5 Тригонометрические функции, их графики

3.3.6 Показательная функция, её график

3.3.7 Логарифмическая функция, её график

4 Начала математического анализа

Производная

4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

4.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком

4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

4.1.4 Производные суммы, разности, произведения, частного

4.1.5 Производные основных элементарных функций

4.1.6 Вторая производная и её физический смысл

Исследование функций

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

4.2.2 Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально- экономических, задачах

Первообразная и интеграл

4.3.1 Первообразные элементарных функций

4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии

5 Геометрия

Планиметрия

5.1.1 Треугольник

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

5.1.3 Трапеция

5.1.4 Окружность и круг

5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника

5.1.6 Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника

5.1.7 Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника

Прямые и плоскости в пространстве

5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых

5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства

5.2.3 Параллельность плоскостей, признаки и свойства

5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства

5.2.6 Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур

Многогранники

5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма

5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде

5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды

5.3.5 Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр)

Тела и поверхности вращения

5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

5.4.2 Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

5.4.3 Шар и сфера, их сечения

Измерение геометрических величин

5.5.1 Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

5.5.2 Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями

5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника

5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными плоскостями

5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара

5.6 Координаты и векторы

5.6.1 Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве

5.6.2 Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число

5.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

5.6.5 Компланарные векторы. Разложение по трём некомпланарным векторам

5.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

6 Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Элементы комбинаторики

6.1.1 Поочередный и одновременный выбор

6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

Элементы статистики

6.2.1 Табличное и графическое представление данных

6.2.2 Числовые характеристики рядов данных

Элементы теории вероятностей

6.3.1 Вероятности событий

6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Конспект урока по математике «Элементы математической статистики и теории вероятности»

Тема урока: Элементы математической статистики и теории вероятности.

Основные цели и задачи урока: Повторить основные понятия изучаемого предмета: числовые характеристики числового ряда, вероятность. Развивать умения решать задачи по теме, логическое мышление, математический кругозор. Воспитывать культуру письменной и устной математической речи.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Вводная беседа. Слайд 1

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдаются те или иные явления, проводят определенные эксперименты.

Проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, находится в сфере реальных интересов личности. Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики, и в частности ее раздел »математическая статистика».

В наши дни результаты наблюдений используют для статистической оценки качества изготовляемой продукции и для управления качеством в процессе производства. И на производстве и в научных экспериментах очень важно бывает проверить, насколько неизменны условия наблюдения. Для этого вводятся числовые характеристики.

Давайте вспомним какие числовые характеристики статистических данных или числового ряда мы знаем.

Определение моды, медианы, размаха, среднего числового ряда. Слайд 2

Задание на нахождение размаха, мода и медианы Слайд 3

Задание на нахождение среднего числового ряда Слайд 4

Работа в парах (Найти ошибку) Слайд 5

1. Дан числовой ряд 1, 4, 2, 6, 4, 5, 1, 8, 9, 7. Взяты не максимальное и минимальное зн.

R = 7 – 1 = 6

2. Мода числового ряда 1, 3, 3, 2, 3, -1, 5, -1 не абсолютное значение числа, которое

равна 1. Встречается чаще других

3. Дан числовой ряд 3, 4, 2, 6, 3, 5, 1, 8, 9, 5. Не упорядочили ряд

Ме= (3+5)/2=4

4.Дан числовой ряд 1,2; 1,2; 1,5; 1,8; 2; 2,6 четный ряд полусумма средних ч.

Ме= 1,5

5. Среднее числового ряда 2, 5, 1, 4, 3, 6, 2 равно вычислительная ошибка

(2+5+1+4+3+6+2)/7=3

6. Среднее числового ряда 2, 2, 3, 4, 4, 5, 7 равно суммировали не все числа

(2+3+4+5+7)/7=3

7. Размах числового ряда -1; -3; 2; 4; 5; 2; 6 равен R = 6 – 1 = 5 неверно отняли

1. Дан числовой ряд 1, 4, 2, 6, 4, 5, 1, 8, 9, 7.

R = 7 – 1 = 6

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. И даже в газете читаем: вероятность долговременного прогноза погоды на неделю – 0.8.

А что же такое вероятность?.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зверя гораздо больше, чем у одного. Поэтому охотились тогда коллективно. Необоснованно было бы думать. Что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Давайте дадим классическое определение понятия вероятности случайного события. Слайд 6

Задачи на нахождение вероятности Слайд 7

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: «Это очень возможно», «Это непременно произойдет», «Это маловероятно», «Это никогда не случится

Так в каких же пределах изменяется вероятность от 0 до 1

Вероятность какого события равна 0

Вероятность какого события равна 1

  1. Самостоятельная работа.

I вариант

№ 1. Провели несколько измерений случайной величины:

38; 34: 30; 6 ; 30; 30.

Найти моду, размах, медиану, среднее данного ряда.

№ 2. Магазин продает 8 видов хлеба по следующим ценам:

3,1; 2,2; 2,4; 2,7; 3,0; 3,6; 1,9; 2,7.

Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора

чисел.

№ 3. В корзине лежат 3 красных, 2 белых, 5 черных шара. Найти вероятность

того, что будет выбран:

А) красный шар

Б) не белый шар

№ 4. Из цифр 0,5,4,1 составили трехзначное число. Какова вероятность того,

что составят четное число?

II вариант

№ 1. Провели несколько измерений случайной величины:

19; 27; 24; 24; 28.

Найти моду, размах, медиану, среднее данного ряда.

№ 2. Провели несколько измерений случайной величины:

6,4; 5,8; 7,2; 4,6; 4,8; 7; 8,2; 8,4; 7.

Найти разность среднего и медианы данного ряда.

№ 3. В корзине лежат 4 красных, 6 белых, 5 черных шара. Найти вероятность

того, что будет выбран:

А) черный шар

Б) не белый шар

№ 4. Из цифр 0,5,4,1 составили трехзначное число. Какова вероятность того, что составят нечетное число?

  1. Итог урока.

doc4web.ru

Элемент (математика) Википедия

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством[1]. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.

Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения.

Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.

История понятия

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x){\displaystyle A(x)}, обозначил {x∣A(x)}{\displaystyle \{x\mid A(x)\}}. Если некоторое множество Y={x∣A(x)}{\displaystyle Y=\{x\mid A(x)\}}, то A(x){\displaystyle A(x)} назвал характеристическим свойством множества Y{\displaystyle Y}.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если a{\displaystyle a} — элемент множества A{\displaystyle A}, то записывают a∈A{\displaystyle a\in A} («a{\displaystyle a} принадлежит A{\displaystyle A}»). Если a{\displaystyle a} не является элементом множества A{\displaystyle A}, то записывают a∉A{\displaystyle a\notin A} («a{\displaystyle a} не принадлежит A{\displaystyle A}»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

{6,11}={11,6}={11,11,6,11,6}{\displaystyle \{6,11\}=\{11,6\}=\{11,11,6,11,6\}}.

Равенство A=B{\displaystyle A=B} двух множеств означает

x∈A⟺x∈B.{\displaystyle x\in A\iff x\in B.}

Задание множества

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. Например, множество Y{\displaystyle Y} неотрицательных чётных чисел, меньших 10 можно задать в виде списка: Y={0,2,4,6,8}{\displaystyle Y=\left\{0,2,4,6,8\right\}}. Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. Множество Y{\displaystyle Y} задано, если указано условие A(x){\displaystyle A(x)}, которому удовлетворяют все элементы, принадлежащие множеству Y{\displaystyle Y} и которому не удовлетворяют элементы, не принадлежащие множеству Y{\displaystyle Y}.

Обозначение

Y={x∈X∣A(x)},{\displaystyle Y=\{\,x\in X\mid A(x)\,\},}

используется для задания множества Y{\displaystyle Y}; оно означает, что множество Y{\displaystyle Y} состоит из тех и только тех элементов x{\displaystyle x} множества X{\displaystyle X}, для которых выполнено условие A(x){\displaystyle A(x)}.

Например, график функции f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y} можно задать следующим образом:

Γ={(x,y)∈X×Y∣f(x)=y},{\displaystyle \Gamma =\{\,(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=y\,\},}

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

Сходные объекты

  • Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
  • Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
  • Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
  • Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
  • Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
  • Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии

  • Множество множеств (в частности, булеан — множество всех подмножеств данного множества).
  • Подмножество
  • Надмножество

Отношения между множествами

Два множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} могут вступать друг с другом в различные отношения.

  • A{\displaystyle A} включено в B{\displaystyle B}, если каждый элемент множества A{\displaystyle A} принадлежит также и множеству B{\displaystyle B}:
    A⊆B⇔∀a∈A:a∈B{\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\in B}
  • A{\displaystyle A} включает B{\displaystyle B}, если B{\displaystyle B} включено в A{\displaystyle A}:
    A⊇B⇔B⊆A{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}
  • A{\displaystyle A} равно B{\displaystyle B}, если A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} включены друг в друга:
    A=B⇔(A⊆B)∧(B⊆A){\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}
  • A{\displaystyle A} строго включено в B{\displaystyle B}, если A{\displaystyle A} включено в B{\displaystyle B}, но не равно ему:
    A⊂B⇔(A⊆B)∧(A≠B){\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}
  • A{\displaystyle A} строго включает B{\displaystyle B}, если B{\displaystyle B} строго включено в A{\displaystyle A}:
    A⊃B⇔B⊂A{\displaystyle A\supset B\Leftrightarrow B\subset A}
  • A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} не пересекаются, если у них нет общих элементов:
    A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} не пересекаются ⇔∀a∈A:a∉B{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A\colon a\notin B}
  • A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A{\displaystyle A}, элемент, принадлежащий исключительно множеству B{\displaystyle B}, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
    A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} находятся в общем положении ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow } ∃a,b,c:(a∈A)∧(a∉B)∧(b∈B)∧(b∉A)∧(c∈A)∧(c∈B){\displaystyle \exists a,b,c\colon (a\in A)\land (a\notin B)\land (b\in B)\land (b\notin A)\land (c\in A)\land (c\in B)}

Операции над множествами

Бинарные операции

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

Если множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} не пересекаются, то A∩B=∅{\displaystyle A\cap B=\varnothing }. Их объединение обозначают также: A+B=A∪B{\displaystyle A+B=A\cup B}.

Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.

Унарные операции

Дополнение определяется следующим образом:

A¯≡A∁:={x∣x∉A}{\displaystyle {\overline {A}}\equiv A^{\complement }:=\{x\mid x\notin A\}}.

Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество U{\displaystyle U}, которое содержит A{\displaystyle A}), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

A¯=U∖A{\displaystyle {\overline {A}}=U\setminus A}.

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

2X≡PX:={A∣A⊂X}{\displaystyle 2^{X}\equiv {\mathcal {P}}X:=\{A\mid A\subset X\}}.

Обозначение 2X{\displaystyle 2^{X}} происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

|2X|=2|X|{\displaystyle \left|2^{X}\right|=2^{|X|}}.

Булеан 2X{\displaystyle 2^{X}} порождает систему множеств с фиксированным универсумом X{\displaystyle X}, замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых верно, что (a+b)−c=a+(b−c){\displaystyle (a+b)-c=a+(b-c)}, для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если A={1,3},B={1,2},C={2,3},{\displaystyle A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},} то (A∪B)∖C={1},{\displaystyle (A\cup B)\setminus C=\{1\},} но, в то же время, A∪(B∖C)={1,3}{\displaystyle A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}}.

Мощность

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается |A|{\displaystyle |A|} или ♯A{\displaystyle \sharp A}. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если A⊆B{\displaystyle A\subseteq B}, то |A|⩽|B|{\displaystyle |A|\leqslant |B|}) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: |2A|=2|A|{\displaystyle |2^{A}|=2^{|A|}} на случай бесконечных множеств (само обозначение 2A{\displaystyle 2^{A}} мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}, это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается c{\displaystyle {\mathfrak {c}}} или 2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}. Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Примечания

Литература

  • К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.

wikiredia.ru

Элементы математики. Свойства операций и отношений

Удалитеиз текста все лишние пробелы: любые пары пробелов должны замениться одним. По возможности выполните это за меньшее число операций замены.

Замените формат всех английских букв: они должны быть Times New Roman 16 курсив. Для поиска английских букв используйте флажок Подстановочные символы. Тогда среди специальных появится Знак в диапазоне. Укажите английскими буквами [a-z], а при повторной команде – [A-Z].

Привключенном флажке Подстановочные символы ввести маску ввода т*т, попробовать несколько раз Найти далее и объяснить, какие тексты находятся. Проверить, какие будут находиться при маске <т*т>? Объяснить, что разного произойдет, если в поле Найти ввести маски «ра» и «<ра*>», а в поле Заменить на – формат: курсив?

Удалитьиз текста графические объекты. Находятся только те рисунки, формулы, стрелки, кружки и другие объекты, которые включены в текст. По шагам посмотрите, как будет проходить удаление.

Любой раздел математики определяется, если для него указаны его элементы:

Элементы:

Числовая алгебра

Право

1. система объектов

Числа

Человек, государство, собственность, …

2. отношения между объектами

>, <, =, …

родства, гражданство, к собственнос­ти (собственник, владелец,…), …

3. операции над объектами

+ – */ …

купли-продажи,…

Часто абстрактные объекты в математике обозначаются именами. Например, в геометрии точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C,…; имена отрезков образуются из имен концов отрезков – AB, CD,…., числовые значения длин отрезков представляются строчными латинскими буквами – a, b, c,… в числовой алгебре числа также могут заменяться именами: Вес = Рост – 100, a2 + b2 = c2, y < x2. Имена могут содержать и цифры, например, индексы: A1, x12..

В математике операции могут удовлетворять свойствам (на примере сложения и умножения чисел, для абстрактных сложения и умножения эти операции могут и называться не так):

a + b = b + a коммутативность

a(bc) = (ab)c ассоциативность

a(b + c) = ab + ac дистрибутивность (двух операций).

В числовой алгебре некоммутативными являются операции «/» и «–», они же не ассоциативны.

Важно! Чаще всего математика имеет дело с алгеброй, для нее наложено ограничение: результат любой операции ▫ всегда входит в систему объектов:

Число ▫ Число = Число в числовой алгебре

Высказывание ▫ Высказывание = Высказывание в алгебре логики

Множество ▫ Множество = Множество в теории множеств

Событие ▫ Событие = Событие в теории вероятностей

и т.д.

Отношения между объектами также могут обладать определенными свойствами.

Из a ▪ b и b ▪ c следует a ▪ c свойство транзитивности.

Например, в числовой алгебре:

из a < b и b < c следует a < c;

из a = b и b = c следует a = c

Свойство справедливо не для всех отношений. Например, отношение «является противоположным» не транзитивно. на множестве людей отношения «старше чем», «выше» обладают свойством транзитивности, а «является отцом» – нет.

Состояние

Команда

Рассмотрим систему строевых команд:

Смирно,

наЛево,

наПраво,

Кругом.

С

Л

К

П

С

С

Л

К

П

Л

Л

К

П

С

К

К

П

С

Л

П

П

С

Л

К

Заметим, что последовательность команд налево, кругом равносильна одной команде направо. Этот факт можно записать символически, введя операцию «+» и отношение «=»: Л + К = П. То, что записано слева и справа от знака равенства, вообще говоря, различно. Одинаковы только положения, которые получаются в результате применения команд. Вообще, каждое из возможных положений можно определить как получаемое в результате одной команды, следовательно, сумма команд является командой и мы имеем дело с алгеброй. Легко заметить в этой алгебре, что команда С выполняет роль нуля в числовой алгебре:

Команда + С = Команда.

В любой алгебре противоположные элементы вводятся как удовлетворяющие соотношению: a + b = 0. И в алгебре команд можно указать противоположные, подтвердить коммутативность, ассоциативность сложения и т.д.

Как правило, объекты математики являются абстракциями реально существующих явлений и разделы математики изучают общие свойства объектов как абстрактных. Знакомство с различными разделами математики традиционно заключается в описании ее элементов: объектов, которыми этот раздел оперирует, операций и отношений, которые на этих объектах определены.

Пример различных разделов математики и их элементов.

Раздел математики

Объекты

Операции

Отношения

Числовая алгебра

Числа

3 + 4

3  x

3 < 4

3 ≠ 4

3 ≤ x

Теория множеств

Множества, Элементы

A  B

A  B

A  B, B  C –подмножество; =, ≠

Теория вероятностей

Случайные события;

Случайные величины

A+ B, AB

x + y,…

Совместные,..

Зависимые,…

Алгебра логики

Высказывания, Предикаты

A & B,…

Равнозначные

studfiles.net

элементы математики — это… Что такое элементы математики?


элементы математики
the elements of mathematics

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • элементы
  • элементы одного уровня

Смотреть что такое «элементы математики» в других словарях:

  • История математики — История науки …   Википедия

  • Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН — (ИПМ РАН) …   Википедия

  • Институт прикладной математики — им. М. В. Келдыша РАН (ИПМ РАН) . Международное название Keldysh Institute of Applied Mathematics, KIAM Основан …   Википедия

  • Институт прикладной математики АН СССР — Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (ИПМ РАН) . Международное название Keldysh Institute of Applied Mathematics, KIAM Основан …   Википедия

  • Институт прикладной математики им. акад. М.В. Келдыша — Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (ИПМ РАН) . Международное название Keldysh Institute of Applied Mathematics, KIAM Основан …   Википедия

  • Разделы математики — Существует три официальных способа подразделения математики. Содержание 1 Математика как специальность 2 Математика как учебная дисциплина …   Википедия

  • Принципы математики —         «ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИКИ» («PRINCIPIA MATHEMATICA») трехтомный труд о логике и основаниях математики, написанный А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 (около 2000 с). Целью этой работы было показать, что, используя …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • Бесконечно удалённые элементы —         в математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), которыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации некоторых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного… …   Большая советская энциклопедия

  • Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени …   Википедия

  • Николя Бурбаки — Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве псевдонима Николя Бурбаки (фр. Nicolas Bourbaki)  коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в неё вошли несколько иностранцев),… …   Википедия

  • Бурбаки — Николя Бурбаки (фр. Nicolas Bourbaki)  коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в нее вошли несколько иностранцев), созданной в 1935 году. Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве… …   Википедия

Книги

  • Элементы математики для физиков. Часть 1. Векторы в физике, С. С. Кокарев, В пособии систематически излагаются основы векторного исчисления и на большом числе примеров иллюстрируются его приложения к различным физическим и геометрическим задачам. Пособие… Издатель: Логос, Подробнее  Купить за 471 руб
  • Элементы математики в задачах с решениями и комментариями. Часть 1, Татьяна Голенищева-Кутузова, Александр Казанцев, Андрей Кустарев, Юрий Кудряшов, Григорий Мерзон, Книга содержит один из курсов математики в задачах, на протяжении ряда лет используемых в 57 школе города Москвы. В представленном виде курс преподавался классу В 2008 года выпуска. Данная… Издатель: МЦНМО, Производитель: МЦНМО, Подробнее  Купить за 303 грн (только Украина)
  • Элементы математики в задачах (с решениями и комментариями). Часть 2, Т. И. Голенищева-Кутузова, А. Д. Казанцев, Ю. Г. Кудряшов, А. А. Кустарев, Г. А. Мерзон, И. В. Ящен, Книга содержит один из курсов математики в задачах, на протяжении ряда лет используемых в 57 школе города Москвы. В представленном виде курс преподавался классу В 2008 года выпуска. Часть 2… Издатель: МЦНМО, Производитель: МЦНМО, Подробнее  Купить за 277 грн (только Украина)
Другие книги по запросу «элементы математики» >>

dic.academic.ru

Как оформить задачу по математике – Образцы оформления задачи / Задачи / Справочник по математике для начальной школы

alexxlab / / Математика

Памятка «Оформление задач» (математика)

1 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

Ася вымыла 5 тарелок, а Маша вымыла 4 тарелки. Сколько всего тарелок вымыли дети?

Ася – 5 т.

? Т.

Маша – 4 т.

5 + 4 = 9 (т.)

Ответ: 9 тарелок вымыли дети.

2 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

На стоянке было 2 машины. Вечером приехало ещё 5 машин. Сколько всего машин на стоянке?

Было – 2 м.

Приехало – 5 м.

Стало – ? м.

2 + 5 = 7 (м.)

Ответ: 7 машин всего на стоянке.

3 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

На опушке леса росло 5 клёнов и 4 тополя, а сосен росло столько, сколько клёнов и тополей вместе. Сколько сосен росло на опушке леса?

Клёнов – 5 д.

Тополей – 4 д.

Сосен – ? д.

5 + 4 = 9 (д.)

Ответ: 9 сосен росло на опушке леса.

4 ЗАДАЧА НА УВЕЛИЧЕНИЕ НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ

У Васи 7 марок, а у Егора на 3 марки больше. Сколько марок у Егора?

Вася – 7 м.

Егор – ? м., на 3 б. >

7 + 3 = 10 (м.)

Ответ: 10 марок у Егора.

5 ЗАДАЧА НА УМЕНЬШЕНИЕ НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ

В первой группе 10 учеников, а во второй на 3 ученика меньше. Сколько учеников во второй группе?

В I г. – 10 уч.

Во II г. – ? уч., на 3 уч. <

10 – 3 = 7 (уч.)

Ответ: 7 учеников во второй группе.

6 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО

У Дины было 9 роз. 5 розовых, остальные белые. Сколько белых роз было у Дины?

Розовые – 5 р.

9 р.

Белые – ? р.

9 – 5 = 4 (р.)

Ответ: 4 белые розы были у Дины.

7 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО

Дед Мазай вёз на своей лодке 5 зайцев. Он подобрал ещё несколько зайцев, и их стало 8. Сколько зайцев подобрал дед Мазай?

Было – 5 з.

Подобрал – ? з.

Стало – 8 з.

8 – 5 = 3 (з.)

Ответ: 3 зайца подобрал дед Мазай.

8 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ОСТАТКА

На проводах сидели 9 ворон. 5 ворон улетели. Сколько ворон осталось?

Было – 9 в.

Улетели – 5 в.

Осталось – ? в.

9 – 5 = 4 (в.)

Ответ: 4 вороны осталось.

9 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО

На кустике висело 7 ягод клубники. Когда несколько ягод созрело и упало, осталось 5 ягод. Сколько ягод созрело и упало?

Было – 7 яг.

Упало – ? яг.

Осталось – 5 яг.

7 – 5 = 2 (яг.)

Ответ: 2 ягоды созрело и упало.

10 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО УМЕНЬШАЕМОГО

В зоопарке несколько медведей. Когда трёх медведей перевезли в другой зоопарк, осталось 6 медведей. Сколько медведей было в зоопарке первоначально?

Было – ? м.

Перевезли – 3 м.

Осталось – 6 м.

3 + 6 = 9 (м.)

Ответ: 9 медведей было в зоопарке первоначально.

11 ЗАДАЧА НА РАЗНОСТНОЕ СРАВНЕНИЕ

Один мальчик поймал 8 крабов, а другой 3 краба. На сколько крабов первый мальчик поймал больше второго?

I м. – 8 к. <

на ? >

II м. – 3 к. <

8 – 3 = 5 (к.)

Ответ: на 5 крабов первый мальчик поймал больше, чем второй.

12 ЗАДАЧА НА РАЗНОСТНОЕ СРАВНЕНИЕ

Один арбуз весит 5 кг, а другой 8 кг. На сколько килограммов один арбуз легче другого?

I ар. – 5 кг <

на ? <

II ар. – 8 кг <

8 – 5 = 3 (кг)

Ответ: на 3 килограмма один арбуз легче другого.

13 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

На пришкольном участке 6 берёз, а лип на 4 меньше. Сколько всего деревьев на пришкольном участке?

Берёз – 6 д.

? д.

Лип – ?д., на 4 д. <

1) 6 – 4 = 2 (д.) – лип.

2) 6 + 2 = 8 (д.)

Ответ: 8 деревьев всего на пришкольном участке.

14 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

В шкафу стоят 2 кастрюли, сковородок на 3 больше, а ваз столько, сколько кастрюль и сковородок вместе. Сколько ваз стоит в шкафу?

Кастрюли – 2 шт.

Сковородки – ? шт., на 3 шт. >

Вазы – ? шт.

Решение

2 + 3 = 5 (шт.) – сковородок.

2 + 5 = 7 (шт.)

Ответ: 7 ваз стоит в шкафу.

15 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

У Тани 3 яблока, груш на 2 больше, чем яблок, а персиков на 4 меньше, чем груш. Сколько всего фруктов у Тани?

Яблоки – 3 шт.

Груши – ? шт., на 2 шт. > ? шт.

Персики – ? шт., на 4 шт. <

Решение

3 + 2 = 5 (шт.) – груш.

5 – 4 = 1 (шт.) – персиков.

3 + 5 = 7 (шт.) – яблок и груш вместе.

7 + 1 = 8 (шт.)

Ответ: 8 фруктов всего у Тани.

16 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

В коробке 17 жёлтых кубиков, зелёных на 6 меньше, чем жёлтых, а красных на 12 больше, чем зелёных и жёлтых кубиков вместе. Сколько всего кубиков в коробке?

Жёлтых – 17 к.

? К.

Зелёных – ? к., на 6 к. < ? К.

Красных — ? к., на 12 к. >

Решение

17 – 6 = 11 (к.) – зелёных.

17 + 11 = 28 (к.) – жёлтых и зелёных вместе.

28 + 12 = 40 (к.) – красных.

28 + 40 = 68 (к.)

Ответ: 68 кубиков всего в коробке.

17 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ОСТАТКА

Нашли 4 белых гриба и 6 подосиновиков. 8 грибов пошло на суп. Сколько грибов осталось?

Было – 4 г. и 6 г.

Израсходовали – 8 г.

Осталось – ? г.

Решение

4 + 6 = 10 (г.) – было.

10 – 8 = 2 (г.)

Ответ: 2 гриба осталось.

18 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ОСТАТКА

У Феди в аквариуме плавали 23 рыбки. Мальчик подарил 6 рыбок Ване и 4 рыбки Максиму. Сколько рыбок осталось в аквариуме у Феди?

Было – 23 р.

Подарил – ?, 6 р. и 4 р.

Осталось – ? р.

Решение

6 + 4 = 10 (р.) – подарил.

23 – 10 = 13 (р.)

Ответ: 13 рыбок осталось в аквариуме у Феди.

19 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО

На поле сидело 22 воробья и 13 синичек. Когда прилетело ещё несколько птиц, их стало 49. Сколько птиц прилетело?

Было – 22 п. и 13 п.

Прилетело – ? п.

Стало – 49 п.

Решение

22 + 13 = 35 (п.) – было.

49 – 35 = 14 (п.)

Ответ: 14 птиц прилетело.

20 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ОСТАТКА

У Феди в аквариуме плавали 23 рыбки. Мальчик подарил 6 рыбок Ване и 4 рыбки Максиму. Сколько рыбок осталось в аквариуме у Феди?

Было – 23 р.

Подарил – 6 р. и 4 р.

Осталось – ? р.

Решение

6 + 4 = 10 (р.) – подарил.

23 – 10 = 13 (р.)

Ответ: 13 рыбок осталось в аквариуме у Феди.

21 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО

На поле сидело 22 воробья и 13 синичек. Когда прилетело ещё несколько птиц, их стало 49. Сколько птиц прилетело?

Было – 22 п. и 13 п.

Прилетело – ? п.

Стало – 49 п.

Решение

22 + 13 = 35 (п.) – было.

49 – 35 = 14 (п.)

Ответ: 14 птиц прилетело.

22 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО СЛАГАЕМОГО

У причала стояло 6 катеров. Утром причалило 3 катера и несколько катеров причалило вечером, и после этого у причала стало 19 катеров. Сколько катеров причалило вечером?

Было – 6 к.

Причалило – 3 к. и ? к.

Стало – 19 к.

Решение

19 – 6 = 13 (к.) – причалило всего .

13 – 3 = 10 (к.)

Ответ: 10 катеров причалило вечером.

23 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО

Маша увидела 7 белых и 3 пёстрых бабочек. Когда несколько бабочек улетело, их осталось 5. Сколько бабочек улетело?

Было – 7 б. и 3 б.

Улетело –? б.

Осталось – 5 б.

Решение

7 + 3 = 10 (б.) – было.

10 – 5 = 5 (б.)

Ответ: 5 бабочек улетело.

24 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО

На аэродроме было 20 вертолётов. Утром улетело 10 вертолётов. Сколько вертолётов улетело днём, если к вечеру их осталось 6?

Было – 20 в.

Улетели – 10 в. и ? в.

Осталось – 6 в.

Решение

20 – 6 = 14 (в.) – улетели всего.

14 – 10 = 4 (в.)

Ответ: 4 вертолёта улетело днём.

25 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО

В букете было 9 гвоздик. Когда несколько гвоздик завяли, остались 2 красные и 3 розовые гвоздики. Сколько гвоздик завяло?

Было – 9 г.

Завяли – ? г.

Осталось – 2 г. и 3 г.

Решение

2 + 3 = 5 (г.) – осталось.

9 – 5 = 4 (г.)

Ответ: 4 гвоздики завяло.

26 ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ТРЕТЬЕГО СЛАГАЕМОГО

В трёх классах на окнах стоят 35 горшков с цветками. В первом классе 11 горшков, во втором 13. Сколько горшков с цветками стоит в третьем классе?

I к. – 11 г.

II к. – 13 г. 35 г.

III к. – ? г.

Решение

1)11 + 13 = 24(г.) – в I и II классах.

2)35 – 24 = 11(г.)

Ответ: 11 горшков с цветками стоят в третьем классе.

infourok.ru

matematika

Образцы оформления заданий на уроках математики

В ходе работы на уроках математики возникают частные вопросы оформления отдельных заданий: решения задач, нахождения значения числовых выражений, уравнений, неравенств, выполнения гео­метрических заданий.

Рассмотрим примерные рекомендации по оформлению отдельных заданий младшими школьниками в тетрадях по математике.

Во-первых, необходимо на­учить младших школьников легко определять количество строк, которые следует пропускать.

Между работами — 4 клетки, вну­три работы между заданиями — 2 клетки, внутри заданий между дей­ствиями — 1 клетку (образец 1).

Требования к написанию цифр как в однозначных числах, так и в многозначных предъявля­ются единые. Каждая цифра пи­шется с наклоном в отдельной клетке, прислоняясь к её правой стороне. Особенно это требование актуально при выполнении дей­ствий с многозначными числами. Образцы написания цифр пред­ставлены в учебном наглядном по­собии «Демонстрационный набор письменных цифр и математичес­ких знаков».

Во II классе учащимся удобнее все буквы в тетрадях по математи­ке писать высотой в целую клетку (аналогично письму на уроках язы­ка). В III и IV классах высота букв при повышении скорости письма может уменьшаться до 2/3 высоты клетки.

После даты, слов Домашняя работа, Классная работа. Зада­ча точка не ставится. Слова При­меры, Уравнения, Неравенств, Математический диктант, Кон­трольный устный счёт в началь­ных классах не пишутся.

Как ученику II класса (именно в этом возрасте они начинают за­писывать дату выполнения рабо­ты) научиться определять место начала записи Даты? Например, можно договориться отсчитывать от начала страницы (или от по­лей) 10 полных клеток, а в 11-й начинать запись даты, тогда будет достигнуто единство оформления письменных записей и ученику легко будет расположить дату по­середине страницы.

Оформление математических диктантов может быть выполне­но разными способами. Учащиеся I класса пишут под диктовку чис­ла, учатся писать математические диктанты, записывая результаты в строку через запятую. Начиная со II класса результаты диктанта можно оформлять в строку или в столбики. Учащиеся должны быть научены фиксировать ответы по-разному. Перед математическим диктантом учитель оговаривает с учащимися способ записи ответов. При записи результатов математи­ческого диктанта в строку учащи­еся пишут каждый последующий результат через запятую. В случае отсутствия ответа

на месте его ученик ставит прочерк. В против­ном случае проверка результатов выполненного диктанта вызовет затруднения, как у учителя, так и учащихся (при самопроверке и при взаимопроверке). (Образец 2.)

Запись результатов матема­тического диктанта может быть выполнена в столбики. Для этого перед началом диктанта учитель сообщает классу количество за­даний предстоящего диктанта (10 или 12). Учащиеся до диктанта записывают половину порядко­вых номеров ответов (5 или 6) в первый столбик, а вторую полови­ну — во второй, отступив вправо от записанных номеров заданий первого столбика оговоренное количество клеток, например 10. Порядковые номера заданий за­писываются с круглой скобкой.

В ходе выполнения математиче­ского диктанта учащиеся записы­вают ответ рядом с порядковым номером. Ответы, в которых уча­щийся сомневается, могут быть им пропущены. Заполнение их воз­можно и при самопроверке. Перед тем как отдать работу на проверку учителю или однокласснику, уче­ник должен рядом с номерами не­выполненных заданий поставить прочерк. (Образец 3.)

В IV классе при изучении нуме­рации многозначных чисел фикса­ция результатов математического диктанта может производиться в один столбик. (Образец 4.)

В оформление задачи входит слово Задача, запись решения и ответа.

Слово Задача записывается с большой буквы посередине стро­ки. Ориентировочно необходимо отступить от левого края страни­цы 10 клеток. Если запись слова Задача располагается на той же странице, что и дата, то учащимся удобно провести по воздуху ли­нию от первой цифры даты вниз, так как первая буква слова будет расположена под первой цифрой даты. (См. образец 1.)

В I классе решение задачи запи­сывается в виде числового выраже­ния. Значение числового выраже­ния (ответ задачи) подчёркивается. Полный ответ задачи проговарива­ется устно. (Образец 5.)

Со II класса пишутся слова За­дача и Ответ. Второклассники учатся оформлять запись реше­ния составной задачи. При запи­си решения задачи по действиям каждое действие пишется с новой строки. В начале строки ставит­ся порядковый номер действия с круглой скобкой, отступается одна клетка и записывается действие. (Образец 6.)

Запись решения задачи мо­жет быть оформлена выражением. В этом случае порядковый номер в начале строки не ставится. (Об­разец 7.)

В III и IV классах решение мо­жет быть оформлено по действи­ям без пояснений, с полными или краткими пояснениями, с во­просами, с планом, а также вы­ражением. Если решение задачи записывается выражением, то нет необходимости делать пояснения после действия. Результат поясня­ется только в ответе.

Решение задачи по действи­ям с краткими пояснениями

оформляется следующим образом. Пояснения к каждому из действий формулируются кратко (словосоче­танием). Сразу после наименова­ния ставится тире, и с маленькой буквы записывается пояснение, в котором заключается основной смысл ответа на поставленный во­прос. (Образец 8.)

Решение задачи по действи­ям с полными пояснениями оформляется следующим образом. (Образец 9.)

Решение задачи с вопроса­ми предполагает постановку» во­просов к каждому из действий. Вопрос записывается с большой буквы с начала строки. После него ставится вопросительный знак, а затем с новой строки записыва­ется действие. Порядковый номер действия в этом случае ставится один раз перед вопросом. (Обра­зец 10.)

Решение этой же задачи можно оформить с планом. (Образец 11.)

При необходимости выполнить письменные вычисления реше­ние задачи записывается сразу в столбик. (Образец 12.)

Если решение задачи записы­вается выражением, при этом не­обходимо произвести письменные вычисления, они располагаются под выражением. (Образец 13.)

Наименование пишется по­сле каждого действия задачи или после выражения в скобках с ма­ленькой буквы. В записи наиме­нования допускаются сокращения (обязательно должно заканчивать­ся на согласный). После сокра­щения ставится точка, в случаях, если это сокращение не является общепринятым. Точка не ставится в наименованиях, обозначающих единицы измерения длины: мм, см, дм, м, км, единицы измере­ния веса: г, кг, т, ц, единицы из­мерения времени: суг, ч, мин, с.

Слово Ответ записывается с начала строки, после него ставит­ся двоеточие. После двоеточия на первом месте желательно записать число (результат решения задачи), а после него с_ маленькой буквы пояснение к нему. Ответ задачи может записываться как целыми словами, так и с использованием общепринятых сокращений (кило­метров — км, метров — м, кило­метров в час — км/ч и т. п.). От­вет записывается к каждой задаче.

В случае если задача решается несколькими способами, делает­ся пометка «1 способ, 2 способ» и ответ записывается один раз. Ес­ли решение задачи записано по действиям, а затем выражением, то ответ тоже записывается один раз. Если решение задачи выпол­нялось с полным пояснением, с записью вопросов по действиям, ответ может быть записан кратко. При этом записывается числовое значение и наименование либо число и словосочетание, отражающие ответ задачи. (См. образцы 9, 10, 11.) Если решение задачи за­писано выражением, по действиям с краткими пояснениями или без них, то ответ задачи должен быть полным (в виде числа и предложе­ния). (См. образцы 6, 7, 8, 12, 13.)

К задаче может быть выполне­на краткая запись. Она записыва­ется после слова Задача. Между строками пропускается одна клет­ка. Буквы и цифры пишутся в соот­ветствии с рассмотренными выше требованиями.

Запись нахождения значения математического выражения также оформляется единообразно. Если математическое выражение состоит из одного действия, кото­рое решается устно, ученик запи­сывает его в строку и рядом — его ответ. При записи нескольких таких выражений между столбиками ре­комендуется пропускать в сторону 3 клетки, а вниз между столбика­ми — 2. (Образец 14.)

Если математическое выраже­ние состоит из одного действия, и для его решения требуются письменные вычисления, то оно сразу записывается в столбик и вычисляется. В строке можно раз­местить несколько математических выражений с письменными вычис­лениями при условии, что вправо между ними необходимо пропу­скать не менее 3 клеток. (Обра­зец 15.)

При письменном умножении на трёхзначное число следует реко­мендовать учащимся размещать на одной строке только 2 приме­ра, так как при записи происходит значительный сдвиг влево. При не­обходимости на строке размеша­ется математическое выражение, а рядом проверка вычислений. (Об­разец 16.)

Учащийся вправе сам принять решение о рациональном разме­щении на странице выполненных заданий. К примеру, если необ­ходимо выполнить несколько при­меров на деление многозначных чисел и сделать к ним проверку, на одной строке можно разме­стить примеры на деление, а под ними проверку. В таких случа­ях рекомендуется отступать вниз 2 клетки. (Образец 17.)

Если математическое выраже­ние состоит из нескольких дей­ствий, решение которых пред­полагает устные вычисления, то учащийся сначала определяет порядок действий (его можно над­писать над выражением), затем производит устные вычисления и записывает ответ. Выполнять за­пись устных действий не нужно. (Образец 18.)

Если математическое выраже­ние состоит из нескольких дей­ствий, решение которых предпо­лагает письменные вычисления, то сначала оно записывается в строку. Определяется порядок выполнения действий. Затем каждое действие записывается под выражением и выполняется. Полученный конечный результат записывается в первоначальную запись после знака «равно». (Об­разец 19.)

Решение простейшего урав­нения записывается в столбик: само уравнение, способ нахож­дения неизвестного, результат вычисления (значение неизвест­ного), проверка решения уравне­ния. Можно расположить реше­ние двух уравнений в 2 столбика. При этом между уравнениями в сторону необходимо отступить 3 клетки. Слова Решение

и Про­верка, которые используются в

образце оформления уравнения на страницах учебника, в тетрадях учащимися не записываются. (Об­разец 20.)

Решение уравнений в два дей­ствия также записывается в стол­бик. Расположение двух таких уравнений также допустимо на одной строке при условии, что их решение не требует письменных вычислений. (Образец 21.)

Если при решении уравнения необходимо выполнять письмен­ные действия с многозначными числами, их следует располагать справа от записи решения уравне­ния. (Образец 22.)

Сравнение чисел, выраже­ний, величин. При сравнении двух чисел они записываются на строке с интервалом в одну клетку. В ней учащийся ставит знак. (Об­разец 23.)

При сравнении многозначных чисел учащийся производит срав­нение поразрядно. Достаточно об­ратить внимание на различающие­ся цифры в разрядах, начиная с высшего, подчеркнуть их. Во вто­рой строке можно записать только те цифры, которыми различаются числа. Это будет основанием для сравнения чисел. (Образец 24.)

Если число необходимо срав­нить с выражением, то в записи между ними также оставляется клетка. Знак может быть вставлен только после нахождения значения выражения и сопоставления его с числом. (Образец 25.)

Если необходимо сравнить два выражения, то в записи меж­ду ними также оставляется клетка. Знак может быть вставлен только после нахождения значений обоих выражений. Найденные значения выражений целесообразно запи­сать на следующей строке и после их сопоставления поставить знак сравнения между ними, а затем и на верхней строке в исходном вы­ражении. (Образец 26.)

При сравнении величин об­ращается внимание на единицы их измерения. Если величины вы­ражены в одинаковых единицах измерения, то сравнение произ­водится так же, как и сравнение чисел. Знак ставится между ве­личинами после установления их равенства или неравенства. (Об­разец 27.)

Если сравниваются величины, выраженные в разных единицах измерения, необходимо оценить возможность их сравнения без приведения их к единым едини­цам измерения; если это возмож­но, поставить требующийся знак. (Образец 28.)

При сравнении величин, вы­раженных в разных единицах из­мерения, чаще всего обязатель­ным условием является приведе­ние их к одинаковым единицам (меньшим или большим). Запись лучше зафиксировать на следую­щей строке. После сопоставления преобразованных величин мож­но поставить знак равенства или неравенства и затем перенести его в исходное выражение. (Об­разец 29.)

Задания геометрического характера могут включать толь­ко вычерчивание геометрических фигур, только нахождение параме­тров геометрических фигур, либо задание на нахождение параме­тров и вычерчивание фигур.

Если задание предполагает только вычерчивание фигуры (фи­гур), от предыдущего задания от­ступают две клетки и чертят за­данную геометрическую фигуру.

Если задание предполагает только нахождение параметров геометрической фигуры, то ученик должен оформить выполнение за­дания как решение задачи: слово Задача, решение (нахождение па­раметров геометрической фигуры), ответ. Если в задаче не требуется вычерчивание фигуры, этого и не нужно делать. (Образец 30.)

Если задание предполагает нахождение параметров и вычер­чивание фигуры, то оформляется это тоже как задача. Ученик дол­жен привыкнуть к тому, что любые вычисления (даже устные) при нахождении параметров должны быть зафиксированы письменно. Сначала проводятся вычисления, затем вычерчивается фигура с полученными данными. (Обра­зец 31.)

В задании может быть задана длина первого отрезка. Второй и третий отрезки необходимо найти, а затем начертить. В таком случае ребёнку удобно начертить данный отрезок, вычислить размер второ­го отрезка (с записью действия), начертить полученный отрезок, за­тем найти длину третьего отрезка (с записью действия) и тогда его начертить. (Образец 32.)

Это же задание учащийся может оформить иначе. (Обра­зец 33.)

Если к заданию было записа­но слово Задача, значит, к нему предполагается и Ответ.

Если необходимо произвести сравнение отрезков, значит, за­ писывается слово Задача, после вычерчивания отрезков записыва­ется математическое действие, с помощью которого производилось сравнение (вычитание, деление). Завершается выполнение задания записью ответа.

Отметим некоторые особенно­сти вычерчивания отрезков.

  • Чертим отрезки, отступая от левого края страницы 1 полную клетку.

  • Все отрезки необходимо чертить друг под другом, при этом их начальные точки должны на­ходиться на одном расстоянии от левого края страницы.

  • Пропуски между отрезками вниз составляют 1 клетку.

  • Края отрезков отмечаются небольшими штрихами.

Нахождение значения выра­жения с переменной записывает­ся следующим образом. (Обра­зец 34.)

Требования к оформлению контрольных работ. Оформле­ние их производится так же, как и классных работ. Исправления делаются в случае необходимости аккуратно. Краткая запись к зада­че, вопросы, пояснения, которые помогают при обучении решению задач, в контрольной работе не требуются, так как их использо­вание часто влечёт множество ор­фографических ошибок, не отра­жающих реальные математические знания детей. Формулировки зада­ний контрольной работы учащими­ся не переписываются в тетрадь. Ставится лишь порядковый номер выполняемого задания.

Порядок выполнения заданий контрольной работы учащийся мо­жет выбрать сам. Записывая ре­шения заданий, он должен ставить тот порядковый номер задания, под которым оно стоит в контроль­ной работе. (Образец 36.)

Хочется отметить, что далеко не все частные случаи оформ­ления записей по математике удалось осветить в статье. Кро­ме того, прописанные в данной статье рекомендации являются примерными. Если учителем, ме­тодическим объединением учите­лей наработаны более рациональ­ные приёмы обучения учащихся оформлению записей в тетрадях по математике без нарушения общепринятых норм, они имеют право внедрять их в свою деятель­ность. Важным остаётся требо­вание единообразия оформле­ния записей всеми учащимися.

Работа по формированию у младших школьников культуры оформления записей в тетрадях по математике кропотливая, тре­бует терпения. Однако необходи­мо помнить, что эти условности, используемые школьниками, не отражают математической под­готовки учащихся, поэтому не следует строго наказывать уча­щихся за то, что кто-то из них пропустил не 10, а 11 клеток при записи даты или допустил и прочие отклонения. Важно, что­бы записи были рациональными, единообразными, экономичными, лаконичными и при этом эстетично оформленными.

Литература:

  1. Н. Л. Ковалевская, учитель высшей категории, методист высшей категории,

г. Минск//Пачатковае навучанне: сям’я, дзіцячы сад, школа, 2012 г., № 10, стр. 5-12

16

studfiles.net

Как оформить задачи по математике

Автор КакПросто!

Правильное оформление задачи является одним из важных условий получения положительной оценки за работу. Более того, некорректно поданное решение, особенно если дело касается вузов, может и вовсе послужить недопуском к защите контрольной работы или домашнего задания.

Статьи по теме:

Инструкция

Ознакомьтесь с методическими рекомендациями вашего учебного заведения относительно правильного оформления различных работ по математике. Если таковых нет, используйте стандартные правила оформления задач. Используйте всегда только ручки и карандаши черных, синих и фиолетовых цветов. Изредка возможно дополнительное оформление отдельных моментов зеленым цветом. Учтите, что красная гамма исключительно для преподавателя. При оформлении задачи обязательно должны быть оставлены поля с одной из сторон листа, шириной не менее 1,5-2 см. Написание работы начините с указания текущей даты, типа задания – это может быть «домашняя работа», «подготовка к контрольной работе», «аттестационная работа» и так далее. Далее изложите условие задачи — напишите слово «Условие», поставьте после него двоеточие и с маленькой буквы перепишите данные. Если это позволено преподавателем, можно просто указать вариант и написать порядковый номер задачи.

Если заданий несколько, решайте их в любой последовательности – это никак не повлияет на будущую оценку. Главное, правильно указать номер и не перепутать условия.

Приступая к решению, оформите его словом «Решение» и после двоеточия излагайте свои знания. Первыми, как правило, указываются формулы, теоремы и правила, на которые вы опираетесь при решении. Сначала указывается формула, после этого идет непосредственно ее применение. Теоремы не нужно дословно цитировать, достаточно просто сослаться на них, указав название.

При решении показывайте ход своих мыслей, дополняя текст словами, типа «поскольку», «согласно», «так как», «допустим, что», «таким образом», «сделаем вывод» и так далее.

Обязательно оформляйте задачи по математике соответствующими графиками, чертежами, таблицами и другими аналогичными элементами. При этом все они должны рисоваться твердым тонким карандашом. Рисунки должны быть четкими и аккуратными. Неправильно сделанный рисунок считается большой ошибкой, поскольку заранее предопределяет неверное решение задачи. В графиках должны быть грамотно указаны единицы измерения, обозначения осей координат.

После решения каждой задачи, выделяйте «Ответ» и подытоживайте сделанные выводы и полученный результат. В конце всей работы оставьте место для пометок и рецензии преподавателя. С этой же целью оставляйте небольшое количество места после каждой решенной задачи.

Если работа по математике будет представляться учебному руководителю на отдельном листе, поместите решение задач внутрь двойного листка, оставив титульную страницу для указания типа работы, вашего имени и фамилии, учебного заведения, класса (для школы) или факультета, кафедры и группы (для вузов). Не всегда приемлема сдача работы на одинарном листе либо же на отдельной его части.

www.kakprosto.ru

Сообщение на тему «Различные способы оформления условия решения и оформления решения математических задач»

  1. Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

    1. городского округа Балашиха Московской области

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 26»

143909 Московская область, г. Балашиха, ул. Летная, д.10

e-mail: bal—school26@yandex.ru Tелефон: 8(498)-504-73-02

ИНН 5001105630 КПП 500101001 ОГРН 1155001004432 Лицензия № 74778 от 23.11.2015г

.Сообхщение на тему:

«Различные способы оформления условия решения и оформления решения математических задач«

Подготовила

Учитель начальных классов Орлова Наталья Викторовна

Балашиха 2016г .

Способы решения математических задач на конкретном примере

Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные – щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Способы решения задачи:

  1. Практический (предметный) способ.

Учащиеся могут решить эту задачу, опираясь только на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 10.

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб: л – лещи, о – окуни.

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их три).

  1. Арифметический способ.

Этот метод основывается на арифметических действиях.

  1. 3+4=7 (р.) – пойманные рыбы;

  2. 10–7=3 (р.) – щуки.

Для ответа на вопрос задачи выполнили 2 действия.

  1. Алгебраический способ.

Этот способ основывается на введении неизвестной переменной и на нахождении ее.

Пусть х – пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3+4+х – все рыбы.

По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3+4+х=10. Решив это уравнение ответим на вопрос задачи: х=3.

  1. Графический способ.

Этот способ решения близок к практическому, но носит более абстрактный характер и требует специального разъяснения. Каждый объект задачи обозначается отрезком.

Рисунок

Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

  1. Комбинированный способ.

В нем могут быть использованы одновременно графический и арифметический способы.

1) 3+4=7 (р.) – пойманные рыбы;

2) 10–7=3 (р.) – щуки.

Способы оформления решения задач на примере конкретной задачи

Задача. У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 на вторую, остальные – на третью. Сколько книг на третьей полке.

Различные формы записи решения задачи:

а) Решение по действиям:

1) 28+12=40 (к.)

2) 90–40=50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

б) По действиям с пояснением:

1) 28+12=40 (к.) – на 1 и 2 полках вместе,

2) 90–40=50 (к.) – на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

в) С вопросами:

1) Сколько книг на 1 и 2 полках месте?

28+12=40 (к.)

2) Сколько книг на 3 полке?

90–40=50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

г) Выражением:

90 – (28+12)

При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

90 – (28+12)=50 (к.)

Способы оформления краткой записи на примере конкретной задачи

Задача. У одной закройщицы было 15 м ткани, у другой – 12 м. Из всей ткани они скроили платья, расходуя на каждое по 3 м. Сколько всего платьев они скроили?

1-й способ: 1) 15+12=27 (м),

2) 27:3=9 (п.).

Ответ: 9 платьев скроили.

2-й способ: 15:3+12:3=9 (п.)

Ответ: 9 платьев скроили.

3-й способ: 1) 15:3=5 (п.),

2) 12:3=4 (п.).

3) 5+4=9 (п.).

Ответ: 9 платьев скроили.

infourok.ru

Памятка по математике для 1 класса «Как оформлять задачи»

Как правильно оформлять краткую запись задачи

1. Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц:

У Маши было 5 конфет, а у Вовы на 2 конфетки больше. Сколько конфет было у Вовы?

М. – 5 к.

В. — ?, на 2 к. >

5 + 2 = 7 (к.)

Ответ: 7 конфет.

У Маши было 5 конфет, а у Вовы на 2 конфетки меньше. Сколько конфет было у Вовы?

М.- 5 к.

В.- ?, на 2 к. <

5 – 2 = 3 (к.)

Ответ: 3 конфеты.

2. Задачи в два действия:

У Маши было 5 конфет, а у Вовы на 2 конфетки больше. Сколько всего конфет было у Вовы и Маши вместе?

М. – 5 к. ? к.

В. — ?, на 2 к. >

1) 5 + 2 = 7 (к.) – у Вовы.

2) 5 + 7 = 12 (к.) – всего. Или (5+2) + 7 =12(к.)

Ответ: 12 конфет.

У Маши было 5 конфет, а у Вовы на 2 конфетки меньше. Сколько всего конфет было у Маши и Вовы ?

М. – 5 к. ? к.

В. — ?, на 2 к. <

1) 5 — 2 = 3 (к.) – у Вовы.

2) 3 + 7 = 10 (к.) – всего. Или (5 – 2) + 7= 10(к.)

Ответ: 10 конфет.

3. Задачи на нахождение остатка:

В тарелке было 5 слив. Аня съела 3 сливы. Сколько слив осталось?

Б. – 5 с.

С.- 3 с.

О. — ?

5 – 3 = 2 (с.)

Ответ: 2 сливы.

4. Составная задача.

На стоянке было 5 машин. Потом уехали 3 машины, а приехали 6. Сколько машин стало на стоянке?

Б. – 5 м.

У. – 3 м.

П. – 6 м.

Стало? м.

5 – 3 + 6 = 8 (м.)

Ответ: стало 6 машин.

4. Задачи на разностное сравнение:

(Для этих задач работает правило: из большего числа отнимаем меньшее, решение одинаковое, но ответы звучат по-разному)

Слив было 5, а яблок – 7. На сколько больше было яблок, чем слив?

С. – 5 На ? я. >

Я.- 7

7 – 5 = 2 (я.)

Ответ: на 2 яблока

Слив было 5, а яблок – 7. На сколько меньше слив, чем яблок?

С. – 5 На ? с. <

Я. – 7

7 – 5 = 2 (с.)

Ответ: на 2 сливы <

infourok.ru

Учебно-методический материал по математике (1 класс) по теме: Оформление задач на уроках математики в начальной школе

Задача №1.

Аня вымыла 5 тарелок, а Дима вымыл 3 тарелки. Сколько всего тарелок вымыли дети?

Задача.

Аня – 5 т.                ? т.

Дима – 3 т.

5+3=8 (т.)

Ответ: 8 тарелок вымыли дети.

Задача №2.

На стоянке было 2 грузовика. Вечером приехало еще 5 грузовиков. Сколько всего грузовиков на стоянке.

Задача.

Было – 2 гр.

Приехало – 5 гр.

Стало — ? гр.

2+5=7 (гр.)

Ответ: 7 грузовиков всего на стоянке.

Задача №3.

На опушке леса росло 5 кленов и 4 тополя, а сосен росло столько, сколько кленов и тополей вместе. Сколько сосен росло на опушке леса.

Задача.

Кленов – 5 д.

Тополей – 4 д.

Сосен — ? д., К.+Т.

5+4=9 (д.)

Ответ: 9 сосен росло на опушке леса.

Задача№4.

У Васи 7 марок, а у Егора на 3 марки больше. Сколько марок у Егора?

Задача.

Вася – 7 м.

Егор — ?, на 3 м. б.

7+3=10 (м.)

Ответ: 10 марок у Егора.

Задача №5.

В первом классе 10 учеников, а во втором классе на 3 ученика меньше. Сколько учеников во втором классе?

Задача.

В I кл. – 10 уч.

Во II кл. — ?, на 3 уч. м.

10-3=7 (уч.)

Ответ: 7 учеников во втором классе.

Задача №6.

У Ани было 9 роз. 5 розовых, остальные белые. Сколько белых роз было у Ани?

Задача.

Розовые – 5 р.            9 р.

Белые — ? р.

9-5=4 (р.)

Ответ: 4 белые розы у Ани.

Задача №7.

Дед Мазай вез на своей лодке 5 зайцев. Он подобрал еще несколько зайцев, и их стало 8. Сколько зайцев подобрал дед Мазай?

Задача.

Было – 5 з.

Подобрал — ? з.

Стало – 8 з.

8-5=3 (з.)

Ответ: 3 зайца подобрал дед Мазай.

Задача №8.

На проводах сидели 9 ворон. 5 ворон улетели. Сколько ворон осталось?

Задача.

Было – 9 в.

Улетели – 5 в.

Осталось — ? в.

9-5=4 (в.)

Ответ: 4 вороны осталось.

Задача №9.

На кустике висело 7 ягод клубники. Когда несколько ягод созрело и упало, осталось 5 ягод. Сколько ягод созрело и упало?

Задача.

Было – 7 яг.

Упало — ? яг.

Осталось – 5 яг.

7-5=2 (яг.)

Ответ: 2 ягоды созрело и упало.

Задача №10.

В зоопарке несколько медведей. Когда трех медведей перевезли в другой зоопарк, осталось 6 медведей. Сколько медведей было в зоопарке сначала?

Задача.

Было — ? м.

Перевезли – 3 м.

Осталось – 6 м.

3+6=9 (м.)

Ответ: 9 медведей было в зоопарке.

Задача №11.

Один мальчик поймал 8 крабов, а другой 3 краба. На сколько крабов первый мальчик поймал больше второго?

Задача.

1 м. – 8 к.           на ? больше

2 м. – 3 к.

8 – 3=5 (к.)

Ответ: на 5 крабов первый мальчик поймал больше, чем второй.

Задача №12.

Один арбуз весит 5 кг., а другой 8 кг. На сколько кг один арбуз легче другого?

Задача.

1 ар. – 5 кг          на ? меньше

2 ар. – 8 кг

8-5=3 (кг)

Ответ: на 3 кг один арбуз легче другого.

nsportal.ru

Памятка по математике для 1 класса (оформление задач).

Задачи в 1 действие

1 мешок – 4 кг

2 мешок — ? на 3 кг б.

4 + 3 = 7 (кг)

Ответ: 7 кг весит 2 мешок.

Маша – 8 игр.

Катя — ? на 2 игр. м.

8 – 2 = 6 (игр.)

Ответ: 6 игрушек у Кати.

Синих – 4 фл. ? фл.

Красных – 6 фл.

4 + 6 = 10 (фл.)

Ответ: 10 флажков всего.

С капустой – 3 п. 9 п.

С картошкой — ? п.

9 – 3 = 6 (п.)

Ответ: 6 пирожков с картошкой.

Сестра – 10 л.

Брат – 7 л.

10 – 7 = 3 (г.)

Ответ: на 3 года сестра старше.


Слив – 5 шт.

Груш – 4 шт.

Яблок — ? шт.

5 + 4 = 9 (шт.)

Ответ: 9 штук яблок.

Было – 15 ящ.

Продали – 5 ящ.

Осталось — ? ящ.

15-5 = 10 (ящ.)

Ответ: 10 ящиков осталось.

Было – 15 ящ.

Продали – ? ящ.

Осталось — 10 ящ.

15 — 10 = 5 (ящ.)

Ответ: 5 ящиков продали.

Было – ? ящ.

Продали – 5 ящ.

Осталось — 10 ящ.

10 + 5 = 15 (ящ.)

Ответ: 15 ящиков было.

Стояло – 2 м.

Приехали – 8 м.

Стало — ? м.

2 + 8 = 10 (м.)

Ответ: 10 машин стало.

Стояло – 2 м.

Приехали – ? м.

Стало — 10 м.

10 – 2 = 8 (м.)

Ответ: 8 машин приехали.

Стояло – ? м.

Приехали – 8 м.

Стало — 10 м.

10 – 8 = 2 (м.)

Ответ: 2 машины стояли.

Задачи в 2 действия

1 ваза – 4 ябл. ? ябл.

2 ваза — ? на 2 ябл. б.

1) 4 + 2 = 6 (ябл.) – во 2 вазе.

2) 6 + 4 = 10 (ябл.) – всего.

(4+2)+4 = 10 (ябл.)

Ответ: 10 яблок всего.


Петя – 7 рыб ? рыб

Вася — ? на 4 рыб м.

1) 7 — 4 = 3 (р.) – у Васи.

2) 3 + 7 = 10 (р.) – вместе.

(7-4)+7 = 10 (р.)

Ответ: 10 рыбок поймали ребята.


Морковь – 6 кг

Свекла – 3 кг

1) 6 + 3 = 9 (кг) – всего.

2) 6 – 3 = 3 (кг) – меньше свёклы, чем моркови.

Ответ: 9 кг, на 3 кг меньше.

Слив – 5 шт.

Груш – ? на 1 шт. м.

Яблок — ? шт.

1) 5 – 1 = 4 (шт.) – груш.

2) 5 + 4 = 9 (шт.) – яблок.

5 + (5-1) = 9 (шт.)

Ответ: 9 яблок в сумке.

1 полка – 5 книг

2 полка — ? книг 10 кн.

3 полка – 2 книги

1 способ:

1) 5 + 2 = 7 (кн.) – на 1 и 3 полках.

2) 10 – 7 = 3 (кн.) – на 2 полке.

10 – (5+2) = 3 (кн.)

2 способ 10 – 5 – 2 = 3 (кн.)

Ответ: 3 книги на второй полке.

Было — 6 и 5 м.

Уехали – 4 м.

Осталось — ? м.

1) 6 + 5 = 11 (м.) – было.

2) 11 – 4 = 7 (м.) – осталось.

2 способ (6 – 4) + 5 = 7 (м.)

3 способ (5 — 4) + 6 = 7 (м.)

Ответ: 7 машин осталось.

Было — ? м.

Уехали – 3 гр. и 7 лег. м.

Осталось — 1 м.

1) 3 + 7 = 10 (м.) – уехали.

2) 1 + 10 = 11 (м.) – было.

2 способ (3 + 1) + 7 = 11 (м.)

3 способ (7 + 1) + 3 = 11 (м.)

Ответ: 11 машин было.


ВСЕГО

ВМЕСТЕ

НА СКОЛЬКО БОЛЬШЕ

НА СКОЛЬКО МЕНЬШЕ

СТОЛЬКО,

СКОЛЬКО

… И … ВМЕСТЕ

— … И …

infourok.ru

1 2 3 … 10