Вектора по высшей математике – . . .

Пример 2. Построить вектор  

Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:

Пусть  ненулевой вектор, тогда для любого коллинеарного ему вектора  существует единственное число  удовлетворяющее равенству 

Действительно,  если векторы одинаково направлены и  если они противоположно направлены.

2. Сложение векторов.

Определение 8. Суммой двух векторов 

 или 

Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:

Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.

С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:

1.  сложение коммутативно;

2.  ассоциативно.

3. Вычитание векторов.

Определение 9. Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по модулю и противоположно направленный, называется противоположным вектором и обозначается 

Определение 10. Разностью  векторов  и  называется сумма векторов  и  т.е. 

основано на построении суммы 

векторов   

Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:

1. 

2. 

1.3. Декартова система координат

Зададим в пространстве три единичных взаимно перпендикулярных вектора:  Приведём их к общему началу – точке О. Рассмотрим систему координат, направление осей: z

векторами  Такая система

координат называется декартовой M

системой координат. Векторы  

называются базисом, а каждый из 

этих векторов – ортом.   y

Покажем, что если задан базис O B

пространства можно единственным x

образом разложить по нему, т.е. представить в виде

 (1)

Приведём вектор  к началу системы координат – точке О. Из конца вектора   точки М опустим перпендикуляр MN на плоскость Оху. Проведём из точки Nпрямые, параллельные осям координат. Построим векторы  Из построения получаем

 (2)

А так как  то выражение (2) примет следующий вид

 (3)

В силу коллинеарности векторов 

 (4)

Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.

Сокращенно формула (1) записывается в виде 

Определение 11. Числа  называются координатами вектора  или его компонентами.

Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Если  и , то их сумма

Теорема 2. Если  и   любое число, то произведение вектора  на это число 

Следствие. Если векторы  и  коллинеарны, то    и тогда условие коллинеарности векторов имеет вид

  (6)

Определение 12. Радиус-вектором точки М z

называется вектор  М

Определение 13. Координаты радиус–вектора 

точки М называются координатами точки М

и при этом пишут  x O y

Замечание 2. Аналогично определяется система координат на плоскости Оху. Здесь образуют базис векторы  и , а оси  Ох и Оу. Тогда получим

.

Замечание 3. Из доказательства формулы (1) следует, что геометрически координаты вектора – суть его проекции на соответствующие координатные оси.

Замечание 4. Аналогично можно показать, что базис в пространстве образуют любые три некомпланарных вектора:  т.е. любой вектор  можно представить в виде 

greleon.ru

Векторная алгебра

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

в) существует конечный $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$ 

Тогда существует  $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ и
выполняется равенство $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$   

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

$g(a)=f(a)=0,$ $ g'(a)\neq ,0$ то $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$

 Примеры:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^5-1}{2x^3-x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{5x^4}{6x^2-1}=1.$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x-arctg x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)=\frac{1}{3}.}$$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

Имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.$$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^3 x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}=$ $\frac{1}{3}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{3}.$

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^10-10x+9}{x^5-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}.$

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{10x^9-10}{5x^4-5}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^9-1}{x^4-1}=2\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{9x^8}{4x^3}=\frac{9}{2}.$

6. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k<0.$ 

Применяя правило Лопиталя $k$ раз, получаем $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{\alpha}}{e^{\beta x}}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta e^{\beta x}}=…=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-k+1)x^{\alpha-k}}{\beta^k e^{\beta x}}=0.$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}},$ где $\alpha>0,$ $\beta>0.$ 

Пусть $\ln x =t;$ тогда $x=e^t$ и $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln^{\alpha}x}{x^{\beta}}=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{\alpha}}{e^{\beta t}}=0$ (пример 6).

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac{\infty}{\infty}$ и применяя правило Лопиталя имеем

$$\lim\limits_{x\rightarrow +0}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow +0}(-x)=0.$$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}.$

Имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x^{50}}e^{-1/x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{t^{25}}{e^t}=0.$$
10.  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right).$ 

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac{0}{0}$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-ctg^2 x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x+x\cos x)(\sin x-x\cos x)}{x^2\sin^2 x}=$$ $$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}.$$ 

Так как

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=2,$$

а $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac{1}{3}$  (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

mathportal.net

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Видео — Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы

Понятие вектора 4:24

Проекция вектора 3:12

Действия над векторами 5:56

Разложение вектора по векторам (базису) 14:54

Скалярное произведение векторов 4:23

Векторное произведение векторов 5:44

Векторное произведение векторов в координатной форме 7:08

Смешанное произведение векторов 3:59

Смешанное произведение векторов в координатной форме 5:44

Аналитическая геометрия на плоскости

Прямоугольная система координат 5:02

Полярная система координат 6:07

Простейшие задачи аналитической геометрии 7:17

Деление отрезка пополам. Середина отрезка 4:34

Деление отрезка в данном отношении 5:37

Длина отрезка. Расстояние между двумя точками 6:15

Уравнение линии 5:14

Уравнение прямой с угловым коэффициентом 5:25

Угол между прямыми 5:46

Уравнение прямой, проходящей через две точки 4:09

Общее уравнение прямой 5:52

Уравнение прямой в отрезках 3:02

Нормальное уравнение прямой 6:50

Расстояние от точки до прямой 5:36

Нахождение площади треугольника на плоскости 1:41

Окружность 5:07

Эллипс 8:00

Гипербола 8:16

Парабола 5:28

Общее уравнение кривой 2 порядка 3:46

Преобразование координат 6:59

Приведение общего уравнения кривой 2 порядка к каноническому виду 6:45

Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду (без поворота осей) 9:25

Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду (с поворотом осей) 11:05

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве 6:25

www.matem96.ru

Высшая математика

42

УТВЕРЖДАЮ                 

Ректор университета         

____________  А.В. Лагерев

    «___»__________2012 г.

Методические указания и примеры

решения типовых задач по темам

«Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия»

для студентов I курса очной формы обучения

инженерно – технических направлений

(I семестр)

Брянск 2012

УДК 511

Высшая математика [Текс] + [Электронный ресурс]: методические указания и примеры решения типовых задач по темам: «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» для студентов I курса очной формы обучения инженерно – технических направлений (I семестр). – Брянск: БГТУ, 2012. – 36с.

Разработали: Н.А.Ольшевская, доц.

Г.Г. Цуленева, доц.

К.А. Сенько, асс. 

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 5 от 31.01.12)

Содержание

Глава 1. Векторная алгебра

1. Векторы. Основные понятия.

Линейные операции над векторами…………………………….….4

1.2. Скалярное произведение двух векторов..……………………………6

1.3. Векторное произведение двух векторов…………………………….8

1.4. Смешанное произведение трех векторов……………………..……10

1.5. Задачи для самостоятельного решения…………………………….12

Глава 2. Аналитическая геометрия

2.1. Прямая линия на плоскости…………………………………………13

2.2. Кривые второго порядка на плоскости……………………..………19

2.3. Плоскость в пространстве………………………………….…..……24

2.4. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость…………….…..…….27

2.5. Задачи для самостоятельного решения……………………..………34

Список рекомендуемой литературы……………………………………..……..35

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Векторы. Основные понятия.

Линейные операции над векторами

Геометрический вектор – это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка АВ. Векторы обозначают как , а их длины.

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.

Произведением вектора на некоторое число αR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженной на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора, если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось Ох называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектороми положительным направлением оси Ох.

Радиусом-вектором точки М называется вектор соединяющий начало координат с этой точкой.

Единичные векторы координатных осей называются ортами.

Углы α, β, γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом для векторас координатами Х,Y, Z

причем =1.

Если векторы и заданы своими координатами как и , то координаты векторабудут равны: {ma₁ +nb₁, ma₂ +nb₂, ma₃ +nb₃}, а вектор ma₁ +nb₁)+(ma₂ +nb₂)+(ma₃ +nb₃).

studfiles.net

Высшая математика 1 семестр Векторы

dok.opredelim.com

ВЕКТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ — Лекции по высшей математике

n1.doc

Пусть на некоторой прямой заданы две точки A и B . Тем самым выделен отрезок AB этой прямой с концами в точках A и B.

Можно считать, что точка A — начало отрезка, B — конец. Тогда мы зададим так называемый направленный отрезок, определяемый упорядоченной парой точек.

Определение . Направленный отрезок (упорядоченную пару точек) называют  вектором. Вектор обозначается или . Если точки A и B совпадают, то говорят, что вектор нулевой или нуль-вектор .

Расстояние между началом и концом вектора называется его  длиной или модулем и обозначается .

В
екторы называются  коллинеарными, если они имеют общую параллельную прямую. При совмещении начал коллинеарных векторов они оказываются лежащими на одной прямой.

В
екторы называются  компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. При совмещении начал компланарных векторов они оказываются лежащими в одной плоскости.

, если

, хотя но

Из определения равенства векторов следует, что каждый вектор можно перенести в любое место параллельно самому себе и не изменить его. Тем самым мы ввели так называемый свободный вектор, задать который — значит задать его модуль и направление. Многие физические величины характеризуются не только числовым значением, но и направлением, и, следовательно, являются векторными (сила, скорость, перемещение, магнитная индукция…).

II. Линейные операции над векторами, их свойства.

Понятие о линейном пространстве.

К линейным операциям над векторами относятся сложение векторов и умножение вектора на скаляр.

Сложение двух векторов выполняется по правилу параллелограмма:  сумма  двух векторов представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на равных им векторах.

Сумма нескольких векторов определяется как вектор, замыкающий ломаную линию, звеньями которой служат векторы-слагаемые, и направленный из начала первого вектора в конец последнего.
Определение: произведением вектора на вещественное число называется

такой вектор , что 1)

2) вектор коллинеарен ,

3) векторы и направлены одинаково,

если ,

и противоположно, если :

,если , ,если .

Вектор называется противоположным вектору . Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору: .

Вычитание векторов — операция, обратная сложению:

Перечислим свойства введенных нами линейных операций:

1
) коммутативность сложения: ;

2) ассоциативность сложения: ;

3) существование нуль-вектора: ;

4) существование противоположного вектора: ;

5) дистрибутивность сложения по отношению к умножению на число:

6) дистрибутивность сложения:

A B C D E

7) ассоциативность умножения:  т.к.

8) существование единицы:  это следует из определения

операции умножения.

Пространство, для элементов которого вводятся операции сложения и умножения на число, обладающие свойствами (1)-(8), называют линейным (векторным) пространством. Элементы линейного пространства обычно называют векторами.
III. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.

Пусть заданы векторы и числа  Составим комбинацию из этих векторов, используя только введенные линейные комбинации сложения и умножения вектора на число. В самом общем случае она имеет вид: . Такие комбинации называются линейными комбинациями векторов , а числа — коэффициентами линейной комбинации.

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Пусть дан ненулевой вектор . Покажем, что любой коллинеарный ему вектор может быть представлен в виде единственным образом.

По определению операции умножения вектора на число векторы и коллинеарны, следовательно, коллинеарны и векторы и . Одинаковое направление векторов и обеспечивается выбором знака числа . Наконец, из равенства модулей равных векторов следует, что . Единственность представления следует из того, что при умножении вектора на другое число получается новый вектор: при .

Теорема 1. Любой вектор на плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам и единственным образом.

Доказательство: В общем случае отложим все три вектора из общей точки О. Из конца вектора (точки А) проведем прямые АР и AQ, параллельные векторам и . Тогда по правилу параллелограмма

.

Вектор коллениарен вектору и, следовательно, единственным образом может быть представлен в виде . Вектор коллинеарен вектору , поэтому . Тогда — единственное разложение вектора по векторам и .

Неколлинеарные векторы и , взятые в определенном порядке, называются базисом на плоскости, а коэффициенты линейной комбинации ₁ и ₂ — координатами вектора в базисе и .

Т
.
еорема2: любой вектор единственным образом раскладывается по трем фиксированным некомпланарным векторам:
Некомпланарные векторы образуют базис пространства. Коэффициенты разложения называют координатами вектора в базисе .

Таким образом, в пространстве с выбранным базисом нам удалось каждому вектору поставить в соответствие тройку чисел — его координат. Теперь при выполнении введенных линейных операций над векторами можно заменить геометрические построения аналитическими выражениями.

Пусть

тогда

и

Таким образом, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, если они определены относительно одного и того же базиса.
IV. Линейная зависимость векторов. Размерность линейного пространства.

Запишем линейную комбинацию векторов Она называется тривиальной, если все ее коэффициенты одновременно равны нулю, то есть , и нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Определение: векторы называют линейно зависимыми, если можно найти их нетривиальную комбинацию, равную нулю:

при .

Определение: если для векторов обращается в нуль только их тривиальная комбинация, то такие векторы называют линейно независимыми:

при .

Векторы линейно зависимы, если хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию остальных. Пусть , тогда

Тогда на основании доказанных выше теорем оказывается, что линейно зависимыми являются любые два коллинеарных вектора (), любые три компланарных вектора () и любые четыре вектора в пространстве (). В свою очередь линейно независимыми всегда являются базисные векторы, т.е. два неколлинеарных вектора на плоскости и три некомпланарных вектора в пространстве.

Определение: количество векторов, образующих базис линейного пространства, называют размерностью этого пространства.

Размерность определяется наибольшим числом линейно независимых векторов пространства. Линейное пространство, имеющее размерность n, принято обозначать .
V. Системы координат.

Определение: декартовой системой координат называются совокупность точки и базиса.

Точка О называется началом координат,

Ox,Oy,Oz — координатными осями,

Oxy,Oyz,Oxz — координатными плоскостями.

Декартова система координат, базисные векторы которой взаимно перпендикулярны и имеют единичные длины, называется декартовой прямоугольной системой, а ее базис – ортонормированным.

Координатами точки А в выбранной cистеме координат называются координаты радиус-вектора этой точки в этой системе координат.

Если заданы координаты точек и , то можно найти выражение для координат вектора .

Из рисунка 6 следует, что , тогда . Если , то — координаты вектора .

На практике пользуются и другими системами координат, например, косоугольной декартовой, полярной, цилиндрической, сферической и др.

perviydoc.ru