Рубрика: Математика

Таблица математических символов — это… Что такое Таблица математических символов?

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и

Знаки операций или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

dic.academic.ru

Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.

dpva.ru

Математические знаки и символы: список, таблица, история возникновения

Когда люди долгое время взаимодействуют в рамках определенной сферы деятельности, они начинают искать способ оптимизировать процесс коммуникации. Система математических знаков и символов представляет собой искусственный язык, который был разработан, чтобы уменьшить объем графически передаваемой информации и при этом полностью сохранить заложенный в сообщение смысл.

Любой язык требует изучения, и язык математики в этом плане – не исключение. Чтобы понимать значение формул, уравнений и графиков, требуется заранее владеть определенной информацией, разбираться в терминах, системе обозначений и т. д. При отсутствии такого знания текст будет восприниматься как написанный на незнакомом иностранном языке.

В соответствии с запросами общества графические символы для более простых математических операций (например, обозначение сложения и вычитания) были выработаны раньше, чем для сложных понятий наподобие интеграла или дифференциала. Чем сложнее понятие, тем более сложным знаком оно обычно обозначается.

Модели образования графических обозначений

На ранних этапах развития цивилизации люди связывали простейшие математические операции с привычными для них понятиями на основе ассоциаций. Например, в Древнем Египте сложение и вычитание обозначались рисунком идущих ног: направленные по направлению чтения строки они обозначали «плюс», а в обратную сторону – «минус».

Цифры, пожалуй, во всех культурах изначально обозначались соответствующим количеством черточек. Позже для записи стали использоваться условные обозначения — это экономило время, а также место на материальных носителях. Часто в качестве символов использовались буквы: такая стратегия получила распространение в греческом, латинском и многих других языках мира.

Преобразование словесного представления

Изначально любое математическое понятие выражается некоторым словом или словосочетанием и не имеет собственного графического представления (помимо лексического). Однако выполнение расчетов и написание формул словами – процедура длительная и занимающая неоправданно много места на материальном носителе.

Распространенный способ создания математических символов – трансформация лексического представления понятия в графический элемент. Иначе говоря, слово, обозначающее понятие, с течением времени сокращается или преобразуется каким-либо другим способом.

Другой пример – знак «икс», обозначающий неизвестное, который изначально представлял собой сокращение от арабского слова «нечто». Сходным образом произошли знаки для обозначения квадратного корня, процента, интеграла, логарифма и др. В таблице математических символов и знаков можно встретить более десятка графических элементов, появившихся таким образом.

Назначение произвольного символа

Второй распространенный вариант образования математических знаков и символов – назначение символа произвольным образом. В этом случае слово и графическое обозначение между собой не связаны — знак обычно утверждается в результате рекомендации одного из членов научного сообщества.

Например, знаки умножения, деления, равенства были предложены математиками Уильямом Отредом, Иоганном Раном и Робертом Рекордом. В некоторых случаях несколько математических знаков могли быть введены в науку одним ученым. В частности, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил целый ряд символов, в том числе интеграла, дифференциала, производной.

Простейшие операции

Такие знаки, как «плюс» и «минус», а также символы, обозначающие умножение и деление, знает каждый школьник, несмотря на то, что для последних двух упомянутых операций существует несколько возможных графических знаков.

Можно с уверенностью говорить, что складывать и вычитать люди умели ещё за много тысячелетий до нашей эры, а вот стандартизованные математические знаки и символы, обозначающие данные действия и известные нам сегодня, появились лишь к XIV-XV столетию.

Латинские буквы

На протяжении многих столетий научное сообщество использовало для обмена информацией исключительно латынь, и многие математические термины и знаки обнаруживают свои истоки именно в этом языке. В некоторых случаях графические элементы стали результатом сокращения слов, реже – их намеренного или случайного преобразования (например, вследствие описки).

Обозначение процента («%»), вероятнее всего, происходит от ошибочного написания сокращения cto (cento, т. е. «сотая доля»). Сходным образом произошёл знак «плюс», история которого описана выше.

Гораздо большее количество символов было образовано путём намеренного сокращения слова, хотя это не всегда очевидно. Далеко не каждый человек узнает в знаке квадратного корня букву R, т. е. первый знак в слове Radix («корень»). Символ интеграла также представляет собой первую букву слова Summa, однако интуитивно она похожа на прописную f без горизонтальной черты. К слову, в первой публикации издатели совершили именно такую ошибку, напечатав f вместо данного символа.

Греческие буквы

В качестве графических обозначений для различных понятий используются не только латинские, но и греческие буквы. В таблице математических символов можно найти целый ряд примеров такого наименования.

Число Пи, представляющее собой отношение длины окружности к её диаметру, произошло от первой буквы греческого слова, обозначающего окружность. Существует ещё несколько менее известных иррациональных чисел, обозначаемых буквами греческого алфавита.

Более того, практически все греческие буквы так или иначе используются в математике. Однако данные математические знаки и символы и их значение знают только люди, занимающиеся наукой профессионально. В быту и повседневной жизни эти знания человеку не требуются.

Знаки логики

Как ни странно, многие интуитивно понятные символы были придуманы совсем недавно.

В частности, горизонтальная стрелка, заменяющая слово «следовательно», была предложена лишь в 1922 года Давидом Гильбертом. Кванторы существования и всеобщности, т. е. знаки, читающиеся как: «существует…» и «для любого…», были введены в 1897 и 1935 году соответственно.

Таким образом, знаки для столь непростых понятий, как интеграл или логарифм, были придуманы на столетия раньше, чем некоторые интуитивно понятные символы, легко воспринимаемые и усваиваемые даже без предварительной подготовки.

Математические символы на английском

Ввиду того, что значительная часть понятий была описана в научных трудах на латыни, ряд названий математических знаков и символов на английском и русском языке одинаковы. Например: Plus («плюс»), Integral («интеграл»), Delta function («дельта-функция»), Perpendicular («перпендикулярный»), Parallel («параллельный»), Null («нуль»).

Часть понятий в двух языках называются различным образом: так, деление – это Division, умножение – Multiplication. В редких случаях английское название для математического знака получает некоторое распространение в русском языке: например, косая черта в последние годы нередко именуется «слешем» (англ. Slash).

Таблица символов

Самый простой и удобный способ ознакомиться с перечнем математических знаков – посмотреть специальную таблицу, в которой содержатся знаки операций, символы математической логики, теории множеств, геометрии, комбинаторики, математического анализа, линейной алгебры. В данной таблице представлены основные математические знаки на английском языке.

Математические знаки в текстовом редакторе

При выполнении различного рода работ зачастую требуется использовать формулы, где употребляются знаки, отсутствующие на клавиатуре компьютера.

Как и графические элементы из практически любой области знаний, математические знаки и символы в «Ворде» можно найти во вкладке «Вставка». В версиях программы 2003 или 2007 года существует опция «Вставка символа»: при нажатии на кнопку в правой части панели пользователь увидит таблицу, в которой представлены все необходимые математические знаки, греческие строчные и прописные буквы, различные виды скобок и многое другое.

В версиях программы, вышедших после 2010 года, разработана более удобная опция. При нажатии на кнопку «Формула» происходит переход в конструктор формул, где предусмотрено использование дробей, занесения данных под корень, смена регистра (для обозначения степеней или порядковых номеров переменных). Здесь же могут быть найдены все знаки из таблицы, представленной выше.

Стоит ли учить математические символы

Система математических обозначений представляет собой искусственный язык, который лишь упрощает процесс записи, но не может принести понимание предмета стороннему наблюдателю. Таким образом, запоминание знаков без изучения терминов, правил, логических связей между понятиями не приведет к овладению данной областью знаний.

В заключение

Поскольку любой язык, в том числе искусственный, является открытым к изменениям и дополнениям, число математических знаков и символов непременно будет расти с течением времени. Не исключено, что какие-то элементы будут заменены или скорректированы, а другие – стандартизованы в единственно возможном виде, что актуально, например, для знаков умножения или деления.

Умение пользоваться математическими символами на уровне полного школьного курса является в современном мире практически необходимым. В условиях бурного развития информационных технологий и науки, повсеместной алгоритмизации и автоматизации владение математическим аппаратом следует воспринимать как данность, а освоение математических символов – как неотъемлемую его часть.

Поскольку расчеты используются и в гуманитарной сфере, и в экономике, и в естественных науках, и, разумеется, в области техники и высоких технологий, понимание математических понятий и знание символов станет полезным для любого специалиста.

fb.ru

Обозначения и сокращения / math5school.ru

math4school.ru

Математические символы — Таблица символов Юникода®

На этой странице собраны математические знаки.

Знаки плюс, минус, плюс минус, равно, не равно, примерно равно, умножения, деления, сумма:

+ − ± ∓ = ≠ ≈ ≃ ÷ ∗ ∙ × ∑ ⩱ ⩲

Интегралы:

∫ ∬ ∭ ∮ ∯ ∰ ∱ ∲ ∳ ⨌ ⨍ ⨎ ⨏ ⨐ ⨑ ⨒ ⨓ ⨔ ⨕ ⨖ ⨗ ⨘ ⨙ ⨚ ⨛ ⨜

Сравнение — больше меньше или равно:

< > ≤ ≥ ≪ ≫ ≮ ≯

Геометрические — диаметр, угол, градус, перпендикуляр, параллельность, диаметр, пропорциональности, подобия, пересечения, объединения:

⌀ ∠ ∡ ∢ ⦛ ⦜ ⦝ ⦞ ⦟ ⦠ ⦡ ⦢ ⦣ ° ⟂ ⏊ ⊥ ∥ ∦ |∙ ~ ∝ ⋂ ⋃

Степени и корни:

99 ^ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ √ ∛ ∜

Фигуры — треугольники, дуги, параллелограмм, ромб:

⌒ ◠ ◡ ⊿ △ ▷ ▽ ◁ □ ▭ ▱ ○ ◊

Логические — следовательно, и, или, отрицания, тождественный:

⇒ ⇔ ⇐ ⇍ ⇏ → ∧ ∨ ⋀ ⋁ ∴ ¬ ≡

Ещё знаки — существует, пустое множество, принадлежит, подмножество, бесконечность:

∃ ∀ ∅ ∈ ∉ ⊆ ∞

В разделе собраны математические символы, которые невозможно корректно отобразить с помощью ввода на клавиатуре. Весь представленный набор можно разделить на несколько групп:

• знаки операций – сложение, вычитание, деление, умножение, сумма, тождество;
• символы интегралов – двойные, тройные, интеграл по объему, поверхности, с правым и левым обходом;
• знаки сравнения – больше, меньше, равно;
• геометрические символы – отображение угла, пропорции, диаметра;
• геометрические фигуры;
• знак извлечения из корня, степень;
• иные символы – бесконечность, множество, квантор существования.

Использование данных иконок – единственный вариант корректного отображения ряда математических символов на сайте или в сообщении в любой операционной системе конечного пользователя. Достаточно лишь скопировать закодированный значок. Применение изображений для этих целей значительно усложняет процесс, требует подгонки при разработке и наполнении интернет-ресурса. Кроме того, медиа-контент занимает большой объем дискового пространства.

Математические символы подойдут для публикаций в социальных сетях, создания сообщений в чатах и форумах, разработки интернет-страниц.

Математика, как язык всех наук, не может обходиться без системы записи. Многочисленные понятия, и операторы обрели своё начертание по мере развития этой науки. Так как в стандартные алфавиты эти символы не входят, напечатать их с клавиатуры может оказаться проблематично. Отсюда можно скопировать и вставить.

Консорциуму Юникода не чужды проблемы учёных, поэтому в таблицу было включено множество различных знаков. Если тут нет того, что нужно, воспользуйтесь поиском по сайту или посмотрите в разделах математические символы, разнообразные математические символы-A, разнообразные математические символы-B, дополнительные математические операторы. Буквы для формул можно взять в наборе греческие буквы и блоке математические буквенно-цифровые символы.

Числа для степеней составляются из маленьких цифр. Там же собраны дроби.

Этот текст также доступен на следующих языках: English;

unicode-table.com

Основные математические понятия и обозначения

44

Одним из основных математических понятий является понятие множества.

Определение: Множеством называют совокупность каких-то объектов, объединенных по некоторому правилу или признаку.

Примерымножеств: — натуральные числа, целые числа, действительные числа.

Определение: Объекты, которые входят в состав множества, называют элементами данного множества.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (A, B, C), а их элементы – малыми (a, b, c).

Определение: Множество, которое имеет конечное число элементов – именуется конечным множеством; бесконечное — бесконечным.

Обычно любое множество задается некоторым свойством, т.е. таким свойством, которым обладают только элементы данного множества, например: M=a,b,c,d- некоторое множество.

Множество натуральных четных чисел: N₂={2*n, где nN}

Определение:Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается 0

1. Множества чисел и их обозначения

N — множество натуральных чисел- {1,2,3,…, n,….}

Z — множество целых чисел {…-3,-2,-1,0,1,2,……….}

Q — множество рациональных чисел – это те числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m -принадлежит множеству целых чисел, а n — множеству натуральных чисел

Q={m/n, mZ, nN}

Иррациональные числа: J={ 2, 3, , e, …..}

Множество действительных чисел: R=Q U J

Множество комплексных чисел:

C={a+i*b; i=-1, a, bR}

Любое множество графически можно изобразить в виде круга (диаграммы Эйлера-Венна):

А

Определение: Множество В называется подмножеством множества А , (В  А), если любой элемент множества В, является элементом множества А.

A

B В  А

2. Основные операции над множествами

1. Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

В виде характеристического свойства — А U В={x, xA или xB}

Если изображают

ввиде круговA B А U В

Пример:

А={1,2,3} B={2,4,5} А U В={1,2,3,4,5}

2. Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А  В={x, xA и xB}

для рассмотренного

выше примера:A B А  В

А  В={2}

3. Разность двух множеств А и В (обозначается А\В) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В

А\В={x, xA и x B} A B А\В

Для рассмотренного выше

примера:

А\В={1,3}

3. Логические символы

Для краткости записи, вместо слов: существует, найдется, будет использован символ ,

вместо слов любой, каждый, всякий .

Примеры: x, x+1N ; xX,X:2

4. Специальные математические символы

Для краткости записи произведения первых n-натуральных чисел вводят:

1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал.

1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120,

0!=1 0-факториал.

Для краткости записи суммы и произведения будем использовать символы:

n 

сумма a_i = a₁+a₂+a₃+….+a_n ; a_i = a₁+a₂+…+a_n +…;

i=1 i=1

n

Произведение  a_i = a₁*a₂*a₃*….*a_n

i=1

studfiles.net

Таблица математических символов

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

таблица математических символов, таблица символов, таблица символов ascii, таблица символов html, таблица символов html кода free, таблица символов в ворде, таблица символов для ников, таблица символов на клавиатуре, таблица символов на клавиатуре для вк, таблица символов юникода

Таблица математических символов что, Таблица математических символов кто, Таблица математических символов описание

www.turkaramamotoru.com

Что такое логарифм

11 июля 2011

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Обозначение: log_ax = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2³ = 8 ⇒log₂ 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2³ = 8). С тем же успехом log₂ 64 = 6, поскольку 2⁶ = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2² < 5 < 2³, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log₂ 5 = 2,32192809…
log₃ 8 = 1,89278926…
log₅ 100 = 2,86135311…

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log₂ 5, log₃ 8, log₅ 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log_ax = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2⁻¹.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a^b;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log₅ 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5¹; 25 = 5²;

2. Составим и решим уравнение:
   log₅ 25 = b ⇒(5¹)^b = 5² ⇒5^b = 5² ⇒ b = 2;

3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3¹; 1/81 = 81⁻¹= (3⁴)⁻¹ = 3⁻⁴;

2. Составим и решим уравнение:

3. Получили ответ: −4.

Задача. Вычислите логарифм: log₄ 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2²; 64 = 2⁶;
2. Составим и решим уравнение:
   log₄ 64 = b ⇒(2²)^b = 2⁶ ⇒2^2b = 2⁶ ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log₁₆ 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2⁴; 1 = 2⁰;
2. Составим и решим уравнение:
   log₁₆ 1 = b ⇒(2⁴)^b = 2⁰ ⇒2^4b = 2⁰ ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log₇ 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7¹; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7¹ < 14 < 7²;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log₇ 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2³ — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2⁴ — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log₁₀x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log_ex

Таким образом, ln e = 1; ln e² = 2; ln e¹⁶ = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Смотрите также:

1. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
2. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
3. Десятичные дроби
4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
5. Как применять метод коэффициентов в сложных задачах из ЕГЭ по математике?
6. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных

www.berdov.com

Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?

        Логарифмы – традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно – уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм – это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.

        Итак, поехали знакомиться.)

        Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:

        2^х = 4

        Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате – это четыре.)

        А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        2^х = 5

        И снова пробуем подобрать икс…

        Что, никак не подбирается? Два в квадрате – это четыре. Два в кубе – это уже восемь. А у нас – пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)

        Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой – уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа – равноправные партнёры.)

        На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс – какое-то дробное число между двойкой (2² = 4) и тройкой (2³ = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…

        Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.

        Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:

        2^х = 5

        Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!

        Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:

        x = log₂5

        А произносится эта запись вот так: «Икс равен логарифму пяти по основанию два.»

        Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2^х. Запомнить очень легко.)

        Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!

        2^х = 5

        x = log₂5

        И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!

        Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?

        Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:

        x = log₂5 = 2,321928095…

        Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…

        Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…

        Например, решая показательное уравнение

        3^x = 9,

        про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.

        А вот, решая уравнение, скажем, такое

        3^х = 7,

        вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:

        х ≈ 1,77124375

        Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:

        х = log₃7.

        И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ – посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был – логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)

        Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.

        Например:

        2^х = 13

        Никаких проблем:

        x = log₂13

        5^х = 26

        Тоже элементарно!

        x = log₅26

        11^x = 0,123

        И тут не вопрос:

        x = log₁₁0,123

        Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?

        А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.

        Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?

        Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:

        aⁿ = b

        a — основание,

        n — показатель,

        b — собственно сама степень.

        А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:

       А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?

        Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:

        «Эн» (n) – это число, в которое надо возвести «a», чтобы получить «b». Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма – это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.

        Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно – деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей – что первый, что второй – ищется с помощью одной операции — деления.)

Простейшие примеры с логарифмами.

        А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.

        Скажем, если где-то в уравнении вы получили

        x = log₃9,

        то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:

        х = 2

        А как мы поняли, что log₃9=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три – это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)

        А чему равен, скажем, log₅125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!

        Стало быть, log₅125 = 3.

        Идём дальше.

        log₇7 = ?

        В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!

        Вот вам и ответ: log₇7 = 1

        А вот такой пример как вам?

        log₃1 = ?

        И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней.) Да! В нулевую! Вот и пишем:

        log₃1 = 0                       

        Уловили принцип? Тогда тренируемся:

        log₂16 = …

        log₄64 = …

        log₁₃13 = …

        log₃243 = …

        log₁₅1 = …

        Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.

        Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения – надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)

        Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)

        Решаем вот такой пример:

        log₄0,25 = ?

        Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что

        0,25 = 1/4 = 4^-1

        Стало быть, можно смело записать:

        log₄0,25 = log₄4^-1 = -1.

        И всё.)

        Ещё пример:

        log₄2 = ?

        В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка – это корень квадратный из четырёх:

       А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:

Поэтому наш логарифм будет равен:

        Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) – в следующем уроке.

        А теперь решаем самостоятельно.

        Вычислить:

        Ответы (в беспорядке): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.

abudnikov.ru

Натуральный логарифм, функция ln x

Определение

Натуральный логарифм – это функция   y = ln x, обратная к экспоненте, x = e ^y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е:   ln x = log_e x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045…;
.

График натурального логарифма ln x

График функции y = ln x.

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x^a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    ,   то   

Если    ,   то    .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-04-2014   Изменено: 20-03-2017

1cov-edu.ru

Логарифм — свойства, формулы, график

Определение логарифма

Логарифм с основанием a – это функция  y(x) = log_a x, обратная к показательной функции с основанием a:   x(y) = a ^y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10:   lg x ≡ log₁₀ x.

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа e:   ln x ≡ log_e x.

2,718281828459045…;
.

График логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y(x) = log_a x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если    ,   то   

Если    ,   то   

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-03-2014   Изменено: 03-12-2018

1cov-edu.ru

Как взять логарифм от логарифма 🚩 нахождение логарифма 🚩 Математика

www.kakprosto.ru

что такое функция log в математике. объясните пожалуйста поподробнее

Логари́фм числа {\displaystyle b} b по основанию {\displaystyle a} a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число» [1]) определяется [2] как показатель степени, в которую надо возвести основание {\displaystyle a} a, чтобы получить число {\displaystyle b} b. Обозначение: {\displaystyle \log _{a}b} \log _{a}b, произносится: «логарифм {\displaystyle b} b по основанию {\displaystyle a} a». Из определения следует, что нахождение {\displaystyle x=\log _{a}b} {\displaystyle x=\log _{a}b} равносильно решению уравнения {\displaystyle a^{x}=b} a^{x}=b. Например, {\displaystyle \log _{2}8=3} \log _{2}8=3, потому что {\displaystyle 2^{3}=8} 2^{3}=8. Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа {\displaystyle a,b} a,b чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов [⇨]. Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений [3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь» [4]. Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры. Со временем выяснилось, что логарифмическая функция {\displaystyle y=\log _{a}x} y=\log _{a}x незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д.. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями {\displaystyle 2} 2 (двоичный), {\displaystyle e} e (натуральный логарифм) и {\displaystyle 10} 10 (десятичный). Содержание [показать]

education.ques.ru

Логарифмическая функция — это… Что такое Логарифмическая функция?

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и a^x = b равносильны.

Пример: , потому что 2³ = 8.

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log_ab имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При справедливо равенство

В частности,

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

,

то логарифм находится по формуле:

Здесь  — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

• Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

• Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Примеры (приведено главное значение логарифма):

• ln( − 1) = iπ

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln)

При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

• Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

• Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
• Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

См. также

Литература

Wikimedia Foundation. 2010.

biograf.academic.ru

Олимпиада по математике 11 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Курс математики в выпускном классе посвящен изучению степеней и корней, знакомству с показательной и логарифмической функцией, интегралами и элементами математической статистикой. Отдельное внимание в 11 классе посвящено повторению изученного за весь курс математики и подготовке к грядущему экзамену.

В связи с этим, для учеников 11 класса особенно важно участие в олимпиадах по математике и дополнительные занятия, посвященные решению заданий различной сложности.

На этой странице собраны задания для подготовки к олимпиаде по математике для 11 класса. Представлены уравнения, задачи и математические загадки с ответами и решениями. Этот материал может быть использован учителями или репетиторами для повышения уровня знания учеников.

Уравнения

1. Решите уравнение: = 3

2. Решите уравнение: ( − 8)² = ( + 9)²

3. Решите уравнение: log2 (5 + ) = log2 (1 − ) + 1

4. Решите уравнение: log5 ( + ) = log5 ( + 9)

5. Решите уравнение: log2 (4 − ) = 7

6. Решите уравнение: − + 72 = 0

7. Решите уравнение: ( + 7)² = ( − 1)²

8. Решите уравнение: ( − 8)² = ( − 2)²

9. Решите уравнение: ( − 6)² = −

10. Решите уравнение: + 9 = ( + 9)²

Задачи

Задача №1
Докажите, что уравнение  xy = 2006 (x + y) имеет решения в целых числах.

Задача №2
Докажите, что если α, β, γ — углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.

Задача №3
Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных  шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.

Задача №4
Докажите неравенство  −< 1/6 на луче [1/4; + ∞).

Задача №5
В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.

Математические загадки

Загадка №1

Сколько лет человеку, если в 2012 году его возраст оказался равным сумме цифр года его рождения.

Загадка №2

Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали участие в математическом конкурсе. Каждый участник решил не более шести задач. Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая обоими. Докажите, что была задача, которую решили не менее трёх девочек и не менее трёх мальчиков.

Загадка №3

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Загадка №4

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Загадка №5

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800.

Чему равна сумма цифр числа 3n?

Ответы к уравнениям

Ответы к задачам

Задача 1
Преобразуем уравнение к следующему виду: (x – 2006)(y − 2006) = 20062. Уравнение имеет решения, например, x = y = 4012.

Задача 2
Преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и применяя формулы: cos² x = (1 + cos 2x)/2, cos x = − cos (π − x), cos x + cos y = (2cos((x + y)/2)) cos((x − y)/2), получим справедливое тождество.

Задача 3
Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости a в точках A1, B1, C1 . Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R. Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О.

Высота «горки» из четырех шаров равна сумме OD + 2R = 2R  + 1

Задача 4
Пусть =  −. Тогда   =  − и с помощью метода интервалов получаем, что  < 0 при всех  >2/9. Но 1/4>2/9, следовательно, функция  убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что  − < 1/16 − 3/64 = 1/64 < 1/64.

Задача 5
Окружим каждый квадрат полоской шириной 1/2. Образующие фигуры тоже квадраты со стороной 1 + 2 x 1/2 = 2, имеют площадь равную 4. Их общая площадь равна 4 x 120 = 480, в то время как искомая площадь равна 500. Следовательно, найдется точка, которая не покрыта построенными квадратами, но это значит, что она удалена от данных квадратов не меньше чем на по всем направлениям. Круг радиуса  с центром в этой точке не имеет общих точек  ни с одним из квадратов.

Ответ: 175 центов

Ответы на загадки

Загадка 1

1 вар. Человек родился в 19mn году, тогда

          2012 − 19mn= 1 + 9 + m + n

          2012 − 1900 − m − n = 10 + m + n

          102 = 11m + 2n

m = 8, n = 7, значит 1987 год, ему 25 лет.

2 вар. Человек родился в 200n году, тогда

          2012 − 200n = 2 + n

          2012 − 2000 − n = 2 + n

          12 − 2 = 2n

n = 5, значит 2005 год, ему 7 лет.

Загадка 2
Предположим, что нашлась задача, которую решили не более двух девочек или не более двух мальчиков.

Будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и «чёрной» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков).

Представим шахматную доску с 21-й строкой, каждая из которых соответствует девочке, и 21-м столбцом, каждый из которых соответствует мальчику.

Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик–девочка». Каждую клетку покрасим в цвет какой-нибудь задачи, которую решили и мальчик-строка и девочка-столбец.

По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся 11 чёрных клеток, или в какой-нибудь строке найдутся 11 красных клеток (потому что иначе получится, что всего клеток не более чем 21 × 10 + 21 × 10 < 21²).

Рассмотрим, например, девочку-строку, содержащую хотя бы 11 чёрных клеток.

Каждой из этих клеток соответствует задача, решённая максимум двумя мальчиками.

Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой девочкой. В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.

Точно также разбирается случай, если в каком-нибудь столбце найдутся 11 красных клеток.

Загадка 3

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует

Загадка 4
Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно — 1, т. е. слагаемых с — 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

Загадка 5
Заметим, что 44n есть сумма 4 экземпляров числа n и 4 экземпляров числа 10n.

Если складывать эти числа поразрядно, то в каждом разряде окажется сумма учетверённой цифры из этого же разряда числа n и учетверённой цифры из следующего разряда.

Если при этом не происходит никаких переносов, то каждая цифра числа n складывается 8 раз, и сумма цифр во всех разрядах оказывается равной 800. При переносах же сумма цифр, очевидно, уменьшается (так как из одного разряда вычитается 10, а к другому прибавляется только 1). Поэтому в ситуации условия задачи переносов не происходит. Это означает, в частности, что любая цифра числа n не превосходит 2. Тогда при умножении n на 3 просто умножается на 3 каждая его цифра, а, значит, и сумма цифр. Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300.

Другие классы

ruolimpiada.ru

Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания

www.yaklass.ru

11 класс. Алгебра

Рубрика «11 класс. Алгебра»

В алгебре часто решаются задачи на нахождение площади криволинейной трапеции, заключенной между двумя кривыми. Различают два случая: 1) переменная интегрирования х; 2) переменная интегрирования у.

Рассмотрим оба этих случая.

1) переменная интегрирования х. В этом случае трапеция ограничена  сверху и снизу двумя кривыми, а слева и справа прямыми х=а, х=b. (рис. 1). Границы интегрирования a и b, а чтобы получить подынтегральную функцию, мы из уравнения верхней линии вычитаем уравнение нижней линии. Тогда площадь трапеции:

2) переменная интегрирования у.  Криволинейная трапеция ограничена справа и слева двумя кривыми, а снизу и сверху прямыми y=a, y=b. (рис. 2). Границы интегрирования a и b. Чтобы получить подынтегральное выражение, мы из уравнения правой линии вычтем уравнение левой линии. Тогда площадь трапеции:

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу (рис. 1) и ограничена непрерывной кривой x=f (y), осью ординат (прямой х=0) и прямыми y=a, y=b, то ее площадь вычисляется по той же формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л), только переменная интегрирования не х, а у:

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=x², y=1, y=4 и осью Оу.

Решение.  Построим данную криволинейную трапецию (рис. 2).  Выразим х через у:

Искомую площадь S находим по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л). У нас a=1, b=4.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х=a, x=b, находят по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л):

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0; x=0; x=4.

Решение.  Строим графики данных линий.  (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.

Вершина параболы находится

в точке O′(m; n), где

О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

4х-х²=0.

Выносим х за скобки, получаем:  х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4.  Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x², a=0, b=4.

Кстати, если Вы подсчитаете все целые заштрихованные клетки и добавите к ним половину всех остальных клеток заштрихованной фигуры, то получите приближенное значение искомой площади. Действительно, если единичный отрезок равен одной клетке, то площадь квадратика со стороной, равной 1 клетке, равна 1·1=1 (кв. ед.). Сколько квадратиков — столько квадратных единиц и составляет площадь фигуры.

Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 2).

Площадь данной криволинейной трапеции:

Пора познакомиться с мощнейшим средством исследования в математике, физике, механике и других точных дисциплинах. Это средство — определенный интеграл. В средней школе определенный интеграл применяют при вычислениях площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения, нахождении моментов инерции и т.д.

Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

Сравните:

 a и b — это границы, в которых изменяется переменная интегрирования х.

Сравниваем далее:

Неопределенный интеграл графически представляет собой семейство кривых, совмещаемых параллельным переносом (11.1.9).

Определенный интеграл (см. рисунок слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, а слева и справа прямыми x=a и х=b.

Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:

Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла.

Пример 1.

Найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x)=3x²-2x+1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л).

Пример 2.

Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

Полученный результат

выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(x+1)⁴, осью Ох и прямыми: х=0 (осью Оy) и х=1.

График функции y=(x+1)⁴ — парабола, ветви которой направлены вверх,

а вершина находится в точке О′(-1; 0).

Площадь этой криволинейной трапеции:

Вспомним определения:

1. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство:

F′(x)=f (x).

2. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом.

Как можно представить себе неопределенный интеграл

где F (x) — первообразная функции f (x), а С — некоторая постоянная величина?

Если в данном примере или задаче не даются начальные условия для нахождения величины С, то мы получаем неоднозначную функцию F (x)+С — семейство интегральных кривых. Графики этих кривых можно совместить с помощью параллельного переноса. Из семейства этих кривых нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

Пример 1. Найти для функции f (x)=1-2x первообразную, график которой проходит через точку М(3; 2).

Решение.

F (x)=∫(1-2x) dx=∫dx-2∫xdx=x-x²+C.

Так как F (3)=2 по условию, то получаем равенство:

2=3-3²+С;

2=3-9+С;

2=-6+С → С=8.

Тогда F (x)=x-x²+8.

Пример 2. Найти ∫(sinx-cosx) dx, если при π/2 первообразная равна 6.

Решение.

∫(sinx-cosx) dx=∫sinxdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+C.

По условию F (π/2)=6. Получаем равенство: -cos (π/2) -sin (π/2)+C=6;

0-1+C=6 → C=6+1; C=7.

Искомая функция F (x)=-cosx-sinx+7.

Пример 3. Найти первообразную для функции

принимает значение, равное нулю.

Решение.

На предыдущем занятии (11.1.7.) мы рассмотрели простые примеры интегралов тригонометрических функций, когда подынтегральное выражение можно было упростить, используя подходящее тригонометрическое тождество, а затем применить соответствующую формулу интеграла тригонометрической функции. Кроме того, во всех примерах предыдущего занятия (11.1.7) мы интегрировали путем подведения под знак интеграла той линейной функции, которая являлась аргументом полученной тождественными преобразованиями тригонометрической функции.

Примеры этого занятия чуть сложнее, так как подынтегральное выражение нельзя будет упростить с помощью тригонометрического тождества. А как же будем решать? Мы продолжим применять тот же метод подведения под знак дифференциала, но уже подводить под знак дифференциала будем не просто линейную функцию, а тригонометрическую функцию, зависящую от линейной функции.

Пример 1. ∫sin⁷xcosxdx.

Подынтегральное выражение представляет собой произведение степени синуса на производную основания степени – синуса икс: (sinx)’ = cosx.

Воспользуемся способом подведения под знак дифференциала и формулой интеграла степенной функции (формула 1) лист Интегралы). Заменяем cosxdx на d (sinx).

∫sin⁷xcosxdx =∫sin⁷xd (sinx) =(1/8) sin⁸x  + C.

Пример 2. (аналогичный). ∫sin⁷(4x + 5) cos (4x + 5) dx =(¼)∫sin⁷(4x + 5) d (sin (4x + 5)) =

=(¼)·(1/8)·sin⁸(4x+5)+C=(1/32) sin⁸(4x+5)+C.

Пример 3. ∫sin3xcos⁴3xdx.  Воспользуемся способом подведения под знак дифференциала и формулой интеграла степени. Один множитель подынтегрального выражения cos⁴3x оставим, а sin3xdx запишем в виде: d (cos3x).

Проверка: d (cos3x) = — 3sin3x. Следовательно, перед знаком интеграла поставим коэффициент: — (1/3).

∫sin3xcos⁴3xdx= — (1/3)∫cos⁴3xd (cos3x) = — (1/3)·(1/5)·cos⁵3x+C = — (1/15) cos⁵3x+C.

Пример 4. 

Увидели формулу 4) (лист Интегралы):

В самом деле, u = sinx, du = d (sinx) = cosxdx. Тогда:

Пример 5. (такой же пример со сложным аргументом у тригонометрических функций).

А теперь пример на ту же формулу 4) (лист Интегралы), только в качестве u будет использована функция косинуса, а именно: u=cosx, отсюда du=-sinxdx.

Пример 6. 

Пример 7.

В следующих примерах мы также будем подводить функцию под знак интеграла, а затем применять формулу 2) (лист Интегралы):

Пример 8.

Пример 9.

И примеры чуть сложнее:

Пример 10.

Пример 11.

Продолжаем интегрировать тригонометрические функции по простейшим формулам 6) — 9) таблицы интегралов (лист «Интегралы«) Но вот незадача — у нас всего 4 формулы, и нужная формула не всегда сразу «видна»! Как же следует поступать в таких случаях? Нужно постараться упростить подынтегральное выражение, используя подходящие тригонометрические тождества.

Пример 1. ∫(cos²x-sin²x) dx. Такой формулы интегрирования у нас нет, но мы можем упростить подынтегральное выражение, используя тригонометрическую формулу для косинуса двойного аргумента: cos2α=cos²α-sin²α.

Решение.

∫(cos²x-sin²x) dx=∫cos2xdx=½∫cos2xd (2x)=1/2sin2x+C.

При решении мы применяем метод подведения под знак дифференциала (смотрите предыдущие занятия). Так как мы подвели под знак дифференциала 2х и получили выражение под знаком интеграла в 2 раза больше: d (2x)=2dx, то перед знаком интеграла ставим множитель ½. Сделаем проверку.

(F (x)+C)’=(1/2sin2x+C)’=½·cos2x·2=cos2x=cos²x-sin²x=f (x).

Пример 2. ∫(cos²4x-sin²4x) dx (аналогичный).

Решение.

∫(cos²4x-sin²4x) dx=∫cos8xdx=1/8∫cos8xd (8x)=1/8sin8x+C.

Пример 3. ∫(cos²x/2-sin²x/2) dx.

Решение.

∫(cos²x/2-sin²x/2) dx=∫сosxdx=sinx+C.

В примерах 2 и 3 мы так же, как и в примере 1, упрощали подынтегральное выражение по формуле для косинуса двойного аргумента,

а затем применяли формулу 6): ∫cosudu=sinu+C (лист Интегралы).

Пример 4. ∫(sin²x+cos²x) dx.

Решение.

Применяем основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1. (*)

∫(sin²x+cos²x) dx=∫1·dx=∫dx=x+C.

Пример 5. ∫2sinxcosxdx.

Решение.

Используем формулу синуса двойного аргумента: sin2α=2sinαcosα (**) и упростим подынтегральное выражение.

∫2sinxcosxdx=∫sin2xdx=½∫sin2xd (2x)=-1/2cos2x+C.

Пример 6. ∫sin3xcos3xdx. Решаем аналогично примеру 5.

Решение.

∫sin3xcos3xdx=∫1/2sin6xdx=½∫sin6xdx=(½)·(1/6)∫sin6xd (6x)=- (1/12) cos6x+C.

В примерах 5 и 6 мы использовали формулу 7): ∫sinudu=-cosu+C (лист Интегралы), причем, интегрировали путем подведения под знак дифференциала.

Пример 7. ∫(sinx+cosx)²dx.

Решение.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы двух выражений: (a+b)²=a²+2ab+b².

∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx. Теперь в подынтегральном выражении можно увидеть сразу 2 тригонометрические формулы (*) и  (**). 

∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx=∫(1+sin2x) dx=

=∫dx+∫sin2xdx=∫dx+½∫sin2xd (2x)=x-1/2cos2x+C.

Пример 8. ∫2sin²xdx.

Решение.

Применим тригонометрическую формулу понижения степени для квадрата синуса данного аргумента: 2sin²α=1-cos2α.

∫2sin²xdx=∫(1-cos2x) dx=∫dx-∫cos2xdx=∫dx-½∫cos2xd (2x)=x-1/2sin2x+C.

Пример 9. ∫2cos²xdx.

Решение.

Применяем формулу понижения степени для квадрата косинуса аргумента: 2cos²α=1+cos2α. Тогда:

∫2cos²xdx=∫(1+cos2x) dx=∫dx+∫cos2xdx=∫dx+½∫cos2xd (2x)=x+1/2sin2x+C.

Пример 10 (аналогичный примеру 8). ∫2sin²5xdx.

Решение.

∫2sin²5xdx=∫(1-cos10x) dx=∫dx- (1/10)∫cos10xd (10x)=x- (1/10) sin10x+C.

Пример 11 (аналогичный примеру 9). ∫2cos²(x/2) dx.

Решение.

∫2cos²(x/2) dx=∫(1+cosx) dx=∫dx+∫cosxdx=x+sinx+C.

Пример 12. ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx.

Решение.

Преобразуем подынтегральное выражение по формуле (**) — синуса двойного аргумента:

8sinxcosxcos2xcos4x=2·2·2·sinx·cosx·cos2x·cos4x=

=2sinxcosx·2·2·cos2x·cos4x=sin2x·2·2·cos2x·cos4x=

=2sin2xcos2x·2·cos4x=sin4x·2cos4x=sin8x.

Итак, ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx=∫sin8xdx=1/8∫sin8xd (8x)=- (1/8) cos8x+C.

Пример 1. ∫sin3xdx.

У нас есть формула 7). Интегралы:  ∫sinudu= — cos u + C.

Из этой формулы следует, что какой аргумент у синуса – такой же должна быть и переменная интегрирования. Будем считать, что в нашем случае u = 3x, тогда du = 3dx. Подведем под знак дифференциала 3х, не забыв уравнять обе части равенства.

∫sin3xdx=(1/3)∫sin3xd (3x) = — (1/3) cos 3x + C.

Проверка.

(F (x)+C)’ = ( — 1/3 cos 3x + C)’ = — (1/3) · (cos 3x)’ = — (1/3) · (-3sin 3x) = sin 3x = f (x).

Пример 2. ∫cos (4x+3) dx.

Используем формулу 6). Интегралы:  ∫cosudu=sinu+C.

Подводим под знак дифференциала (4х + 3). Так как d (4x + 3) = 4dx, то

∫cos (4x+3) dx=(¼)∫cos (4x+3) d (4x+3) =(¼)  sin (4x + 3) + C.

Проверка.

(F (x)+C)’= ( (¼) sin (4x + 3) + C)’ = (¼) · 4 cos (4x + 3) = cos (4x + 3) = f (x).

Пример 3.

Какую формулу напоминает этот пример? Правильно, формулу 8). Интегралы.

Подводим под знак дифференциала (3х+π/4).  Тогда d (3x+π/4) = 3dx, значит, чтобы значение данного выражения не изменилось, поставим перед знаком интеграла 1/3.

Пример 4.  

Чтобы применить формулу 9). Интегралы, нужно подвести под знак дифференциала (4х- π/5). Отсюда следует: d (4х-π/5)=4dx. Перед знаком интеграла поставим множитель ¼.

При интегрировании путем подведения под знак дифференциала, в предыдущих занятиях, мы подводили под знак дифференциала линейную функцию. На самом деле, вместо переменной u мы каждый раз подразумевали выражение вида kx+b, т.е. полагали: u-kx+b, получали du=kdx, а затем перед знаком интеграла ставили коэффициент 1/k, чтобы не изменилось значение данного интеграла. При решении использовали свойства и таблицу интегралов — лист Интегралы.

А можно ли под знак дифференциала подводить нелинейную функцию? Да, если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух множителей: один множитель — сложная функция от какой-то нелинейной функции, а другой множитель есть производная от этой нелинейной функции. Рассмотрим сказанное на примерах.

Найти неопределенные интегралы.

Пример 1. ∫(2x + 1)(x² + x + 2)⁵ dx = ∫(x² + x + 2)⁵ d (x² + x + 2) =(x²+x+2)⁶:6  + C.

Что представляет собой данное подынтегральное выражение? Произведение степенной функции от (х² + х + 2) и множителя (2х + 1), который равен производной от основания степени: (х² + х + 2)’ = 2х + 1.

Это и позволило нам подвести (2х + 1) под знак дифференциала:

(2x + 1) dx =  d (x² + x + 2). А далее мы применили формулу:

∫u⁵du=u⁶:6+ C.   (Формула 1). Интегралы)

Проверка. (F (x)+ C)’ =((x²+x+2)⁶:6  + C)′=1/6 · 6 (x² + x + 2)⁵ · (x² + x + 2)’ =

=(x² + x + 2)⁵ · (2x + 1) = (2x + 1)(x² + x + 2)⁵ = f (x).

Пример 2. ∫(3x² – 2x + 3)(x³ —  x² + 3x + 1)⁵ dx = ∫(x³ – x² + 3x + 1)⁵ d (x³ – x² + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1)⁶:6  + C

И чем этот пример отличается от примера 1? Да ничем! Та же пятая степень с основанием  (х³ – х² + 3х + 1) умножается на трехчлен (3х² – 2х + 3), который является производной основания степени: (х³ – х² + 3х + 1)’ = 3х² – 2х + 3. Это основание степени мы и подвели под знак дифференциала, от чего значение подынтегрального выражения не изменилось, а затем применили ту же формулу 1). (Интегралы)

Пример 3.  

Здесь производная от (2х³ – 3х) даст (6х² – 3), а у нас

имеется (12х² – 6), то есть выражение в 2 раза большее, значит, подведем (2х³ – 3х) под знак дифференциала, а перед интегралом поставим множитель 2. Применим формулу 2) (лист Интегралы).

Вот что получится:

Сделаем проверку, учитывая, что:

Итак,

Что такое непосредственное интегрирование? Это интегрирование с использованием свойств и простейшей таблицы интегралов (Интегралы). Рассмотренный метод подведения под знак дифференциала (занятие 11.1.3) также относится к непосредственному интегрированию, так как нашей новой переменной служила линейная функция вида u=kx+b, но никаких новых букв мы не использовали, а просто применяли свойство VI (Интегралы), а именно:

 Это свойство значительно расширяет таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией. В занятии 11.1.3. мы учились применять метод подведения переменной под знак дифференциала, используя формулы 1) и 2) (Интегралы), причем, прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, мы приводили данный интеграл к виду:

∫f (φ(x))φ′(x) dx=∫f (u) du, где u=φ(x).     

Далее, продолжим непосредственное интегрирование с помощью остальных формул таблицы интегралов.

Рассмотрим пример на применение формулы 5) (Интегралы), а именно формулы:

В примере 1 неявно подразумевалось u=9x-2, что и позволило нам применить свойство VI и формулу 5), в результате чего под знак дифференциала мы подвели (9х-2). Перед знаком интеграла стоит множитель 1/9, так как d (9x-2)=9dx.

Рассмотрим пример на применение формулы 4) (Интегралы), а именно, формулы:

В примере 2 неявно подразумевается u=25x-1, поэтому, под знак дифференциала подвели 25х-1, отсюда du=25dx. Вот почему перед интегралом стоит множитель 1/25.

www.mathematics-repetition.com

Материалы школьной программы по математике за 11 класс

В 11 классе заканчивается школьный курс алгебры и основ анализа, а в заключении выпускники сдают экзамен в формате ЕГЭ. Программа 11 класса по математики включает в себя углубленное изучение понятий степени и корня. Кроме того рассматриваются степенная, показательная и логарифмическая функции. Исследуются их графики и выясняются основные свойства.

Минорский сборник задач по высшей математике ответы

Минорский решебник. >>> Минорский решебник

Минорский решебник >>> Минорский решебник Минорский решебник Общее уравнение линии второго порядка. Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшей математике. Огибающая семейства плоских

Сборник задач по высшей математике для экономистов | Ермаков В.И.

Main Сборник задач по высшей математике для экономистов Ермаков В.И.

Учебное пособие, включающее различные задания с ответами по курсу высшей математики. Разделы: Линейная алгебра, Аналитическая геометрия, Математический анализ, Теория вероятностей и математическая статистика, Линейное программирование. Изучение каждого раздела заканчивается практикумом (30 индивидуальных вариантов). Сборник включает экономические задачи и примеры их решения. Коллектив авторов РЭА им. Г. В. Плеханова: В. И. Ермаков, Г. И. Бобрик, Р. К. Гринчявичюс, В. И. Матвеев, Р. В. Сагитов и др.

Year: 2003

Language: russian

Pages: 575

ISBN 10: 5-16-000301-0

File: RAR, 73.83 MB

The file will be sent to selected email address. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.

The file will be sent to your Kindle account. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
Please note you’ve to add our email [email protected] to approved e-mail addresses. Read more.

 

1

2

 

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/analiticheeskaia_geometriia.pdf
  



  

 



  



  



 



  



  

 



  

 



  



  

 



 

 



  

 



  



  



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  



  



  



  



  

 



  



  



  



  



  



  

 



 

 



  



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/lineinaia_algebra.pdf
  



  



  



  

 



 

 



  

 



  



  

 



  



  

 



  



 

 



  



  



  



  

 



  

55 



  

 



  



  

 



  



  



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  



  



 



  

 



  



 

 



  



  



  

 



  



  



  



  

 



  



  



  



  

 



 



 

 

88 



  



  

 



  



  



 



   

 



  



  

 



  



  

 



  



  



  



 

 



  



  

 



  



  

 



 

 



 

 



 

 



  



  



  

 



  



  

 



  



 



  

 



 

 



  



  



  



  

 



  



  

 



  



  

 



 

 



  

 



  



 

 



  



  



  



  



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/lineinoe_programmirovanie.pdf
  

 



  



  

 



Л-i 

 



  

 



 

 



  

 



  



  

 



  



  

 



 

 



  



  



  



  



 

 



 

 



 

 



 

 



  

 



  



  



 



 



 



 



 



  



 



  



 



  

 



  



 



 



  



 



 



 



  



 



  

 



 



  

 



 



  



 



 



 



  



 



  



 



  

 



 



 



 



  



 



 



 



  



 



 



 



 



 



 



 



  



 



 



 



  



 



 



 



  



 



  



 



  



 



   

 



 



 



  



 



  



 



  

 



 



 



 



  



 



 



 



  



 



 



 



 



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/matematicheeskaia_statistika.pdf
 

 



  



  



 

 



 

 



  

 



 

f 



 

 



 

 



  

 



  



  



  



  

 



 

 



  



  



  



  



  

 



  



  

 



  



  



  



 

 



 

 



  

 



 

 



  

 



  



  

 



  



  

 



 

 



 

 



  



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



 

 



  



 

 



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



 

410 



  



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/matematicheeskii_analiz.pdf
 

 



  

 



 

 



  



  



  



  



 
 

 
 



  



  



  



  

 



  



  

 



  



  

 



 

 



  

 



  



  

 



  



 



  

 



  



  



  

 



  



  

 



  



  



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  



  



  

 



  



  

 



 

 



  

 



  



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



 

 



 

 



  

 



  



  

 



  



  

 



 

 



  



  

 



  

 



 

 



  



 

 



  

 



  



  

 



  



  



 

 



  

 



 



  

 



  



  

 



  



 

 



  



  

 



  



  



 

 



  

 



  



  

 



 



   

 



  



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



  



  

 



  



  

 



  



  

 



 

 



  



  



  

 



 

 



 

 



  



  

 



  



  

 



  



  

 



  



 

 



  



  

 



 



  

 



  



  



  



  

 



  



 

 



 

 



 

 



  



  

 



  



  

 



 

 



 

 



 

 



  



 

 



  

 



 

 



 



  

 



 

 



 

 



  



 

 



 



  

 



  

 



 



   

 



 

 



 



  

 



  

 



 



   

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/oglavlenie.pdf
 

 



  



 



  



 



  



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/otvet.pdf
  



 



 



 



  



 



 



 



 



 



  



 



  



 



 



 



  



 



  



 



  



 



  



 



 



 



 



 



  



 



 



 



  



 



  



 



  



 



  



 



  



 



 



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/poslednii_list.pdf
 



  



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/predislovie.pdf
  



  



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/prilojeniia.doc[image: image1.jpg]
[image: image2.jpg]
[image: image3.jpg]
[image: image4.jpg]
[image: image5.jpg]
[image: image6.jpg]
[image: image7.jpg]
[image: image8.jpg]
[image: image9.jpg]

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/teoriia_veroiatnosti.pdf
 

 



 

 



 

 



  



  

 



  

 



 

 



  

 



 

 



  

 



 

 



 



  

 



  



 

 



 



  

 



  

 



  



  

 



 

 



  

 



 

 



 

 



  



 

 



 

 



  

 



  



  

 



 

 



  

 



 

 



  



 

 

  
 



 

 

  

  
 



  



  

 



 

 



 

 



  



  

 



 

 



 

 



Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И_2003 -575с/titulni_list.pdf
  



  

b-ok.org

Сборник задач по высшей математике для экономистов | Под ред. Ермакова В.И.

Main Сборник задач по высшей математике для экономистов Под ред. Ермакова В.И.

В соответствии с учебной программой подготовки экономистов в сборник включены задачи по основным разделам общего курса высшей математики: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование. Специально выделен раздел, посвященный применению аналитической геометрии и математического анализа в экономике.
Предназначен для студентов экономических специальностей.

Year: 2003

Language: russian

ISBN 10: 5-16-000301-0

Series: Высшее образование

File: DJVU, 13.94 MB

The file will be sent to selected email address. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.

The file will be sent to your Kindle account. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
Please note you’ve to add our email [email protected] to approved e-mail addresses. Read more.

 

1

2

                                                                    
b-ok.org
Сборник задач высшая математика
Учебные пособия сборник задач высшая математика содержат объединенный курс линейной алгебры
и многомерной аналитической геометрии, а также специальные вопросы:
теорию систем линейных разностных и дифференциальных уравнений пер?
первого порядка с постоянными коэффициентами, метод наименьших квад?
татов, вычислительные методы линейной алгебры.
Учебное пособие предназначено для студентов инженерно? Тех? ночных, экономических и других нематематических специальностей. Он может быть полезно аспирантам и научным указанных специальных?
Междисциплинарные связи: Изучение курса сборник задач высшая математика опирается на знания, полученные в процессе изучения дисциплины «Математика». Материал курса «Высшая математика» является основой для изучения дисциплин «Экономическая статистика», «Экономика предприятия» и «Финансы». Математический аппарат, усвоен студентами при изучении дисциплины «Высшая математика» позволяет им успешно овладевать количественными методами в фундаментальных и прикладных экономических дисциплинах.
 Программа учебной дисциплины состоит из следующих содержательных модулей:
1. Линейная и векторная алгебра и аналитическая геометрия.
2. Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных.
3. Интегральное исчисление.
4. Дифференциальные уравнения и комплексные числа
1. Цели и задачи учебной дисциплины
1.1. Целью преподавания учебной дисциплины «Высшая математика» является овладение студентами основными понятиями и методами высшей математики, используемых в процессе решения теоретических и практических задач.
1.2. Основными задачами изучения дисциплины «Высшая математика» являются:
  Проследить внутреннюю логику развития понятия числа, функции, теории пределов, теории дифференциального и интегрального исчисления функций одной и многих переменных, теории рядов сборник задач высшая математика;
  Показать применение понятий и фактов высшей математики к решению конкретных задач;

 Подготовить базу для дальнейшего изучения курсов «Политической экономии», «Экономики предприятиям,» Экономической статистики «,» Бухгалтерский учет «,» Финансы «и др.. 1.3. Согласно требованиям образовательно-профессиональной программы студенты должны:
знать:

 основные математические понятия, значение математических законов и их применения;
  приемы розьязку математических задач;
  математический аппарат, позволяющий эффективно решать финансовые, технические, экономические и управленческие задачи;
  основные области применения известных понятий и фактов.
 уметь:
 основні математичні поняття, значення математичних законів та їх застосування;  
 
newgdz.com

Тренажеры по математике 1 класс. Примеры на сложение и вычитание, задачи

Тренажеры могут быть использованы для дополнительной работы с первоклассниками учителями и родителями в классе и дома как для индивидуальной, так и коллективной подготовки. Они способствуют автоматизации вычислительных навыков у ребенка, отработке умений складывать, вычитать, сравнивать и решать простые задачи.

Основа математики 1 класса — состав числа. Зная состав числа, а начать следует с домиков, ребенок гораздо быстрее сможет решить абсолютно любой пример на сложение или вычитание. Поэтому составу числа мы отводим целую страницу, кликните по картинке, чтобы посмотреть и скачать тренажеры на состав числа:

Освоили домики? Теперь можно браться за настоящие примеры на сложение и вычитание сначала в пределах десятка, а затем и в пределах 20. Такие примеры собраны у нас тут >>

Если есть необходимость повторить всю программу первого класса, начиная с азов, посмотрите тренажеры, размещенные ниже.

Чтобы посмотреть и скачать полную версию тренажера, кликните на картинку.

Примеры по математике за 1 класс

Пособие соответствует ФГОС второго поколения для начальной школы. Каждая работа в пособии рассчитана на недельную нагрузку. Систематическое выполнение заданий закрепит учебные навыки и умения по изучаемым темам курса математики, доведет до автоматизма умение решать задачи, числовые выражения, равенства и неравенства. 12 листов на 12 недель.

 Тренажер по математике для 1 класс . Обучение решению задач. А.В.Белошистая

Пособие составлено в соответствии с базовой программой по математике для начальных классов и содержит задания для обучения решению задач в 1 классе. Такие задачи могут использоваться как учителем в школе, так и родителями для обучения и закрепления материала дома.

Математический лабиринт

Необходимо провести дорожку по тем ячейкам, сумма чисел в которых равна 10. Задание развивает не только математические способности, но и внимание, и умение удерживать внимание.

Ответ:

А еще у нас есть отличный онлайн тренажер по математике! Родителям не нужно ничего распечатывать и проверять, все это за вас совершенно бесплатно сделаем мы! Выбирайте режим и вперед >>

7gy.ru

Тесты онлайн по математике для 1 класса

Здесь выложены онлайн тесты по математике, в которых ребенок сможет решить задачи для 1 класса, а также выполнить задания на сложение и вычитание.

Математические задачи составлены с учетом школьной программы для 1 класса. В задачах представлены действия на сложение и вычитание однозначных чисел: 5+3, 8-4, 2+2, и действия на сложение и вычитание двузначных чисел с однозначными: 10 + 7, 17 – 7, 17 – 10. 

Среди представленных тестов есть задачи для 1 класса, как с одним действием, так и с двумя действиями. Конечно же, сначала ребенку нужно потренировать свои математические способности в задачах с одним действием. А когда уже ребенок сможет решать их легко — смело переходите к более сложным задачам в два действия. Главное — чтобы обучение шло по нарастающей, тогда результат будет гораздо выше и эффективнее.

Для любого ребенка задачи всегда сложнее, чем примеры. Так как в них нужно не только решить пример, но и составить этот пример на основе заданного условия. А для этого уже требуется логическое и образное мышление. 

Тесты на сложение и вычитание отлично тренируют математические способности ребенка и его умение считать в уме. Чем чаще ребенок будет тренироваться, тем выше будет его успеваемость в школе. Тесты составлены на основе того, что должен знать и уметь ребенок в 1 классе. Сюда входит: Числа от 1 до 10, Нумерация чисел, Сложение и вычитание от 0 до 10 и от 10 до 20, Сравнение чисел, Единица времени: час, Единицы длины: сантиметр, дециметр, Соотношение меж­ду ними, Единица массы: килограмм, Единица вместимости: литр, Знаки + (плюс), – (минус), = (равно), Названия компонентов и результатов сложения и вычи­тания (их использование при чтении и записи числовых выражений).

А теперь можете по порядку проходить все онлайн тесты по математике для 1 класса. Будьте внимательны!

Сборник задач по математике для втузов. Том 2 / Ефимов А.В. , Поспелов А.С. / 2001г — 25 Февраля 2015

Аннотация:  Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. — 4-е изд. перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-мате-матической литературы, 2001.—432 е.—ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2).

Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам. Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения. Для студентов высших технических учебных заведений.

ЧАСТЬ 2.   ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ б
Глава 5. Введение в анализ 7
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 7
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика
§ 2. Функции действительной переменной 17
1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики
§ 3. Предел последовательности действительных чисел …. 25 1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности
§ 4. Предел функции. Непрерывность 28
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность
§ 5. Комплексные числа 39
1. Алгебраические операции над комплексными числами. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел последовательности комплексных чисел
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 51
§ 1. Производная 51
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных не¬явно или параметрически. 3. Производные высших порядков. 4. Геометрические и механические приложения производной
§ 2. Дифференциал 72
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших порядков
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 77
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Формула Тейлора
§ 4. Исследование функций и построение графиков 86
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение графиков функций
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной 99
1. Определение вектор-функции действительной переменной. 2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых, б. Комплексные функции действительной переменной
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены переменной. 3. Метод интегрирования по частям
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 126
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование 142
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления …. 144
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла. 4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегрирование по частям
§ 5. Несобственные интегралы 156
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от неограниченных функций
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла . . 162
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь поверхности вращения. 4. Объем тела
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 177
1. Моменты и центры масс плоских кривых. 2. Физические задачи
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 185
§ 1. Основные понятия 185
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции и его применение
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций …. 199
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выражениях
§ 3. Приложения частных производных 214
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Геометрические приложения частных производных
§ 4. Приближенные числа и действия над ними 230
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над приближенными числами
Глава 9. Кратные интегралы 236
§ 1. Двойной интеграл 236
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Приложения двойных интегралов
§ 2. Тройной интеграл 254
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в тройном интеграле. 3. Приложения тройных интегралов
§ 3. Несобственные кратные интегралы 263
1. Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной функции
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра …. 267
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 10. Дифференциальные уравнения 276
§ 1. Уравнения 1-го порядка 276
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин). 3. Уравнения с разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные уравнения, б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го порядка. 11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 304
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения. 4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, б. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 7. Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физического характера
§ 3. Системы дифференциальных уравнений 331
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями п-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы
§ 4. Элементы теории устойчивости 349
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближению
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 358

mirsmartbook.ru

сборник задач для втузов ефимов ч.1 решебник

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный лингвистический

Подробнее

Б1.В.ОД.1 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВПО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

ЛИТЕРАТУРА КУРСОВ МАТЕМАТИКИ КАФЕДРЫ

ЛИТЕРАТУРА КУРСОВ МАТЕМАТИКИ КАФЕДРЫ Данко, Павел Ефимович. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. 6-е изд. Москва : Оникс 21 век : Мир и Образование,

Подробнее

Теория функций комплексного переменного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный химико-технологический

Подробнее

Результат запроса: А митяев книги

Результат запроса: А митяев книги Лучшие и новые книги 2016 автора: Митяев Анатолий Васильевич в интернет-магазине Лабирит читать книги бесплатно онлайн а. митяев опасный суп -. Последний фильм, в котором

Подробнее

Кафедра «Математика и моделирование»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный технический университет» им. Гагарина Ю.А. Кафедра «Математика и моделирование» РАБОЧАЯ

Подробнее

Перечень учебников на учебный год

Перечень учебников на 2014-2015 учебный год Класс Название учебника Автор Издательство Год издания учебника 5 1 Математика Виленкин Н.Я. Мнемозина 2012 2 Русский язык. Часть 1, 2 Ладыженская Т.А. Просвещение

Подробнее

ÊÓÐÑ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ

Ë. Ä. Êóäðÿâöåâ ÊÓÐÑ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ Òîì 1 Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ 6-å èçäàíèå Ðåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â êà åñòâå ó åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó åáíûõ çàâåäåíèé,

Подробнее

Цель дисциплины. Задачи изучения дисциплины

Цель дисциплины Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Математический анализ» относится к циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин и имеет своей целью овладение студентами необходимым математическим

Подробнее

Результат запроса: Резисторы книги

Результат запроса: Резисторы книги резисторы. спра… Скачать книгу. АУДИО КНИГИ Название: Резисторы. Массовая радиобиблиотека, выпуск 591 Автор: Малинин Роман Михайлович. Название: Полупроводниковые резисторы

Подробнее

Результат запроса: Олейник книги

Результат запроса: Олейник книги Олейник Андрей. Книги онлайн перейти к книгам (1) Андрей Александрович Олейник — специалист. Борис Олейник. В нашей электронной библиотеке можно скачать книги автора Борис

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ, ГИА И ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ. ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЛЕГИОН» НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА Тихонова Т. Е. Английский язык. 4 класс. Универсальная подготовка к

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ

Титульный лист методических рекомендаций и указаний, методических рекомендаций, методических указаний Форма Ф СО ПГУ 7.18.3/40 Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный

Подробнее

Результат запроса: Журнал ваши рецепты

Результат запроса: Журнал ваши рецепты Журнал создан по лучшим рецептам, присланным в редакцию читателями и одобрен ими и их. Название: Ваши рецепты Издательство: ООО НАПИ-М Год: 2014 Номер: 01 Формат:

Подробнее

Программа дисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Институт

Подробнее

АВТОР: доц. Даишев А.Ю.

Рабочая программа дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» предназначена для студентов 2 курса по специальности: 010701.65 — Физика АВТОР: доц. Даишев А.Ю. КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Курс

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

с. 2 из 6 1 ВВЕДЕНИЕ В соответствии с п. 40 «Положения о подготовке научно-педагогических и научных кадров в системе послевузовского профессионального образования в Российской Федерации», утвержденного

Подробнее

Вышла новая версия очень мощной программы для конвертирования большого количества видео форматов. Ее плюс заключается в быстрой работе,. 17560317340234 Xilisoft Video Converter — удобный, мощный и универсальный

Подробнее

Результат запроса: Книги финансы

Результат запроса: Книги финансы Финансы и кредит книги Экономика и финансы — публикции. Публикации, книги, финансовые. В категории «Книги по. Финансы произошли от латинского financia — наличность, доход.

Подробнее

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Результат запроса: Конвертер из rtf в pdf

Результат запроса: Конвертер из rtf в pdf Как конвертировать rtf в pdf? Лично я использую Док Конвертер от Софтплисити.. главное из. Бесплатный онлайн конвертер документов. rtf в pdf, odt в. из pdf документа….

Подробнее

Определенный интеграл

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ФИЗИКА Физика (общие курсы)

Уважаемые преподаватели! Порекомендуйте по своей дисциплине электронные книги издательства «Лань» своим студентам и сообщите об этом в библиотеку! В списке учебники последних лет изданий (2007-2011) Тел.

Подробнее

Результат запроса: Журнал химия жизнь

Результат запроса: Журнал химия жизнь Химия и Жизнь — Ежемесячный научно-популярный журнал, который в доступной форме объясняет. «Химия и жизнь» сле… >> Что бы такого съесть? Подборка о питании,. Про

Подробнее

Результат запроса: Iq книга тестов

Результат запроса: Iq книга тестов Книга тестов Книга тестов воинской обязанности и военной службе, а также о времени службы. Книга тестов Всегда знает, какое количество книга тестов фактов нужно смешать

Подробнее

Учебный план 5 класса на учебный год

Предметные области Приложение 1 к приказу 192-1 от 29.05.2015 Учебный план 5 класса на 2015-16 учебный год Учебные предметы Количество часов в неделю V класс Обязательная часть Филология Русский язык 6

Подробнее

docplayer.ru

Сборник задач по математике для втузов. Том 4 / Ефимов А.В. , Поспелов А.С. / 2004г — 25 Февраля 2015

Аннотация:  Ефимов А.В. (ред.), Поспелов А.С. (ред.) Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. — М.: Физматлит. т.4 — 2004. -432с.

Часть 4. Содержит задачи по специальным курсам математики: теории вероятностей и математической статистике. Во всех разделах приводятся необходимые теоретические сведения. Все задачи снабжены ответами, а наиболее сложные — решениями.

 Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.

 Для студентов высших технических учебных заведений.

ЧАСТЬ 4.   ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие титульных редакторов 5
Глава 18. Теория вероятностей 7
§ 1. Случайные события 7
1. Понятие случайного события. 2. Алгебраические операции над событиями. 3. Аксиоматическое определение вероятности события. 4. Классическая вероятностная схема — схема урн. 5. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме, б. Геометрические вероятности. 7. Условные вероятности. Независимость событий. 8. Вероятности сложных событий. 9. Формула полной вероятности. 10. Формула Байеса
§ 2. Случайные величины 56
1. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин. 2. Распределения, связанные с повторными независимыми испытаниями. 3. Распределение Пуассона. 4. Нормальный закон распределения
§ 3. Случайные векторы 85
1. Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов. 2. Нормальный закон на плоскости
§ 4. Функции случайных величин 106
1. Числовые характеристики функций случайных величин. 2. Характеристические функции случайных величин. 3. Законы распределения функций случайной величины. 4. Задача композиции
§ 5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей 130
1. Закон больших чисел. 2. Предельные теоремы теории вероятностей. 3. Метод статистических испытаний
§ 6. Случайные функции (корреляционная теория) 143
1. Законы распределения и осредненные характеристики случайных функций. 2. Дифференцирование и интегрирование случайных функций. 3. Стационарные случайные функции. 4. Спектральное разложение стационарных случайных функций. 5. Преобразование стационарных случайных функций линейными динамическими системами с постоянными коэффициентами
Глава 19. Математическая статистика 185
§ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений 185
1. Выборка и способы ее представления. 2. Числовые характеристики выборочного распределения. 3. Статистическое описание и выборочные характеристики двумерного случайного вектора.
§ 2. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке 218
1. Точечные оценки и их свойства. Метод подстановки. 2. Метод максимального правдоподобия. 3. Метод моментов. 4. Распределения х2) Стьюдента и Фишера
§ 3. Интервальные оценки 237
1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Доверительные интервалы для параметров нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли и параметра А распределения Пуассона. 3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции р
§ 4. Проверка статистических гипотез 247
1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. 2. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения. 3. Проверка гипотез о коэффициенте корреляции р. 4. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез
§ 5. Одно факторный дисперсионный анализ 279
§ 6. Критерий х2 и ег0 применение 286
1. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. 2. Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин. 3. Проверка гипотезы о равенстве параметров двух биномиальных распределений
§ 7. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших квадратов 298
1. Линейная регрессия. 2. Линейная регрессионная модель общего вида (криволинейная регрессия). 3. Использование ортогональных систем функций. 4. Некоторые нелинейные задачи, сводящиеся к линейным моделям. 5. Множественная линейная регрессия (случай двух независимых переменных), б Вычисление и статистический анализ оценок параметров линейной модели при коррелированных и неравноточных наблюдениях
§ 8. Непараметрические методы математической статистики . 339
1. Основные понятия. Критерий знаков. 2. Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни. 3. Критерий для проверки гипотезы Но о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. 4. Критерий серий 5. Ранговая корреляция
Ответы и указания 358
Приложения 411
Список литературы 431

mirsmartbook.ru

Решение задач онлайн

Решение Ваших математических задач в онлайн режиме. Бесплатная версия программы предоставляет Вам только ответы. Если вы хотите увидеть полное решение, Вы должны зарегистрироваться для бесплатной полной пробной версии.

Основы математики

Онлайн программа решения математических задач предлагает Вам решение в режиме онлайн задач с дробями, корнями, метрическими преобразованиями.
Вы можете найти площадь и объем прямоугольника, окружности, треугольника, трапеции, куба, цилиндра, конуса, пирамиды, шара.
Вы можете упростить, найти значение, объединять и умножать выражения.

Онлайн программа решения задач курса предварительной алгебры (геометрии)

Вы можете решать все задачи с основного раздела математики а также координатных задач, простых уравнений, неравенств, упрощать выражения.
Вы можете подсчитывать выражения, объединить выражения и умножать / делить выражения.

Онлайн программа решения задач по алгебре

Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться для этой онлайн программы.
Решите Ваши задачи (уравнения, неравенства, радикалы, построение графиков, решение полиномов) в онлайн режиме.
Если Ваша домашняя работа включает в себя математические уравнения, неравенства, функции, многочлены, матрицы, значит регистрация для тестовой версии — это правильный выбор.

Онлайн программа решения задач по тригонометрии

Находит значения всех типов выражений (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс), уравнений, неравенств.
Строит графики тригонометрических функций.
Тригонометрия прямоугольного треугольника.

Онлайн программа решения задач курса предварительной алгебры

Включает в себя все вышеперечисленное функции плюс нахождение пределов (LIM), сумм, матриц.

Онлайн программа решения задач курса высшей математики

Решение задач c определенными, неопределенными интегралами.

Онлайн программа решения статистических задач

Решайте задач с нахождением вероятности, комбинаторные задачи. Статистические задачи — найти среднее (арифметическое, геометрическое, квадратическое) значение, распределение, нормальное распределение, т-распределение.
Онлайн программа успешно проводит тестирование статистических гипотез

www.math10.com

Все онлайн калькуляторы для решения задач · Контрольная Работа РУ · Теперь вы можете задать любой вопрос!

Решение интегралов

Это сервис, где можно вычислить определенные, неопределенные интегралы, а также двойные, несобственные, кратные.

Производная функции

Это сервис, где можно вычислить производную функции, частную производную функции, а также производную неявно заданной функции

Системы уравнений

Позволяет решать системы линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса, а также вообще любые системы уравнений.

Решение систем уравнений »

Решение неравенств

Решает неравенство, а также строит решённое неравенство на графике для наглядности

Решение неравенств »

Решение уравнений

Это сервис позволяет решать уравнения, в том числе получить подробное решение, а также увидеть решение уравнения на графике

Решение пределов

Этот сервис позволяет найти предел функции. Также рассматривается подробное решение правилом Лопиталя.

Комплексные числа

Здесь можно вычислить комплексные выражения: находить формы: алгебраическую, тригонометрическую, показательную; модуль и аргумент, сопряжённое, геометрическую интерпретацию

Комплексные числа »

Разложение в ряд

Здесь можно выполнить разложение в ряд Тейлора, Фурье, найти сумму ряда.

Здесь приведены последние статьи про использование калькуляторов

Теория вероятности

Теория вероятности онлайн позволяет вычислять без проблем математическое ожидание, дисперсию, число перестановок, сочетаний, размещений и факториал.

Теория вероятности »

Другое

Здесь представлены различные онлайн калькуляторы, и в том числе:
обычный инженерный математический калькулятор калькулятор онлайн

Другие онлайн калькуляторы »

Физика онлайн

Физика онлайн позволяет посмотреть физические эксперименты он-лайн!

Физика онлайн

www.kontrolnaya-rabota.ru

Генератор примеров по математике

В помощь родителям — генератор примеров по математике, и заданий по русскому языку Вы можете сгенерировать примеры любой сложности, а затем распечать их или решать в интерактивном режиме Генератор примеров на сложение и вычитание. Можно настроить диапазон числел и ответов: до 10, до 20, до 100, примеры с трёхзначными, четёрыхзначными и пятизначными сичлами. Настраивается сложность примеров: с переходом через десяток или без перехода, сложение или вычитание, действия с «удобными» числами или примеры повышенной сложности… Генератор примеров с пропусками значений: нужно найти не просто сумму или разность, а слагаемые или вычитаемые. Протитип задач с иксами. Можно настроить диапазон чисел и сложность примеров… Генератор неравенств: сравнение результатов примеров. Кроме диапазона чисел настраивается сложность примеров: на сколько отличаются правая и левая части, а также операции могут быть с «удобными» или «неудобными» числами… Генератор примеров на умножение и деление. Умножение на любые числа или на выбранное значение. Примеры на деление с остатком… Уравнения с одним неизвестным — действия с умножением на скобку, с множителем у наизвестных. Уравнения для 4 класса — с целыми числами. Задачи на: — расстояние, скорость и время — вычисление периметра и площади Задачи на то, как зная один параметр вычислить другой в различных вариациях. Генератор заданий на словарные слова. Можно выбрать набор словарных слов (для 1 или 2 класса), добавить собственный набор словарных слов, и вывести их с прочерками вместо букв. Для каждого примера словарные слова перемешиваются.     Примеры онлайн   Назначение генератора примеров Назначение генератора — выдавать в автоматическом режиме примеры по математике и задания по русскому языку по заданным параметрам. Выводятся примеры в 3 видах: Готовый форматированный файл, готовый к печати из любого текстового редактора; Вывод примеров для переноса в другие приложения, или для печати из браузера — с настриваемыми параметрами форматирования; Интерактивные примеры для устного счёта с использованием, например, планшета, мобильного телефона, и т.п. Настройка сложности примеров Вы можете выбрать арифметические действия: только сложение, вычитание, или все действия. Вы можете выбрать, какие числа используются будут использоваться в примерах и в ответах. Например: только однозначные числа, или числа до 20, до 100. Так же можно регулировать «сложность» примеров — этот параметр отвечает за то, насколько «неудобными» в примерах будут числа. Печать и вывод примеров Готовые файлы для распечатки Вы можете скачать примеры в виде готовых к распечатке файлов. Для этого в блоке «Готовый файл для распечатки» установите количество страниц для вывода, нажмите «Изменить» и пройдите по ссылками «Файл заданий» или «Файл ответов». В файле заданий будут только задания с прочерками вместо ответов, а в файле ответов — примеры с ответами. На каждой странице — 3 колонки по 34 примеров в каждой. Для удобства, наверху у каждой колонки указан номер варианта (случайное число) — это номер совпадает в Файле заданий и Файле ответов. Просто сохраните два файла на компьютере, а затем распечатайте их. Печать из браузера или перенос в другое приложение Вы можете распечатать примеры прямо из браузера. Для этого в блоке «Свой формат печати» задайтие количество примеров, и нажмите «Изменить». На открывшейся странице вы можете выбрать шрифт для печати, задать количество столбцов и примеров для вывода. Воспользуйтесь меню «Файл > Предварительный просмотр» вашего браузера для контроля расположения примеров, а затем распечатайте примеры прямо из браузера. Вы можете выбрать вариант «для ученика» — только задания или «для учителя» с ответами. Интерактивная проверка устного счёта Вы можете считывать примеры прямо с экрана планшета, мобильного телефона, и сразу проверять правильность решения. Для этого в блоке «Интерактивные примеры» задайтие количество примеров, и нажмите «Изменить». На открывашейся странице вы можете задать параметры для комфортного отображения примеров, настроив шрифт, количество колонок и выводимых примеров. После того, как пример будет решён устно, правильность решения можно проверить щёлкнув на нём — откроется ответ. Мобильная версия Для мобильных телефонов есть специальная — мобильная версия генератора примеров, которая позволяет решать примеры в интерактивном режиме: после решения ребёнок может сразу проверить правльность решения. См. проект «Примеры онлайн»

l1158.ru

Решение задач по математике онлайн

Данный сайт обращён к учащимся в том или ином объеме изучающим математику и/или геометрию и призван помочь школьникам и студентам в изучении курса математики, освободить их от многих рутинных вычислений, и подсказать метод решения.
Основу сайта составляют математические программы (калькуляторы) для решения задач онлайн.
Все вычисления производятся на сайте, программы не нужно скачивать и устанавливать на компьютер.
На каждую задачу приводится поэтапный процесс получения ответа, т.е. подробное решение с объяснениями этапов решения данной задачи.
Решение задач приводится в виде, принятом в большинстве школ и вузов, некоторые задачи решаются двумя способами.
Все математические программы (калькуляторы) бесплатные.
Полный список математических и геометрических задач для решения вы можете найти в меню справа.

Вычислить: $$x^2+2x-1=0$$ $$2\frac{1}{3} \cdot \left( 2\frac{3}{4}-1\frac{3}{8} \right) $$ Решение: $$2\frac{1}{3} \cdot \left( 2\frac{3}{4}-1\frac{3}{8} \right) = $$

Промежуточные результаты:

$$2\frac{3}{4}-1\frac{3}{8} = \frac{2\cdot(2\cdot4+3)-1\cdot8-3}{8} = \frac{11}{8}$$

$$ = 2\frac{1}{3} \cdot \frac{11}{8} = \frac{2\cdot3+1}{3} \cdot \frac{11}{8} = \frac{7}{3} \cdot \frac{11}{8} = \frac{77}{24} = 3\frac{5}{24} $$ Ответ: $$ 3\frac{5}{24} $$ Найти корни квадратного уравнения: $$x^2+2x-1=0$$ Решение.

Вычислим дискриминант.

$$D = b^2-4ac = 8$$ $$x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $$ x_1 = -1+\sqrt{2},\; x_2 = -1-\sqrt{2} $$ Решить неравенство: $$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geq x-1$$ Решение: $$\frac{4 x^2-7 x+3}{3 x-1} \geq x-1\Rightarrow $$ $$\frac{4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) }{3 x-1} \geq 0$$

Упрощение выражения \(4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) \)

$$4 x^2-7 x+3- \left( x-1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$ Раскрытие скобок: $$4 x^2-7 x+3+ \left( -x+1 \right) \left( 3 x-1 \right) = $$ Раскрытие скобок: $$4 x^2-7 x+3-3 x^2+x+3 x-1= $$ $$x^2-3 x+2$$ Ответ: \( x^2-3 x+2 \) Решим квадратное уравнение \( x^2-3 x+2= 0 \)

Решение квадратного уравнения \( x^2-3 x+2= 0 \)

Вычислим дискриминант. $$D = b^2-4ac = 1$$ $$x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2} = \frac{3\pm1}{2} $$ Ответ: \( x_1 = 2,\; x_2 = 1 \)

Решение по теореме Виета

Т.к. \( \left| a \right|=1 \), то можно воспользоваться теоремой Виета: $$x^2+px+q=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=3 \\ x_1 \cdot x_2=2 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1=2 \\ x_2=1 \end{array}\right.$$ Ответ: \( x_1= 2,\; x_2= 1 \) Корни квадратного уравнения: $$ x_1 = 1 ;\; x_2 = 2 $$ Решим линейное уравнение \( 3 x-1= 0 \) Корень линейного уравнения: \( x = \frac{1}{3}\)

$$ \frac{1}{3} $$

$$ 1 $$

$$ 2 $$

Ответ: $$ x \in \left( \frac{1}{3} ;\; 1 \right] \cup \left[ 2 ;\; +\infty \right) $$ или $$ \frac{1}{3}

Нахождение производной функции

Найти производную функции $$ f(x) = \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) ^{2}$$ Решение $$ f'(x) = \left( \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) ^{2}\right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot \left( sin \left( 2 \cdot x\right) \right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) \cdot \left( 2 \cdot x\right) ‘= $$ $$ = 2 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) \cdot 2= $$ $$ = 4 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) $$ Ответ: $$ f'(x) = 4 \cdot \left( 1+sin \left( 2 \cdot x\right) \right) \cdot cos \left( 2 \cdot x\right) $$

В разделе Книги вы найдете большой список книг, учебников, решебников, ГДЗ, тестов и контрольных работ с ответами по математике и геометрии для всех классов общеобразовательных школ.
Все книги в электронном виде и доступны для скачивания бесплатно.

Отдельно стоит упомянуть программу для построения графиков функций онлайн.
Программа работает в вашем браузере, её не нужно устанавливать на компьютер.
Для её работы нужен только установленный Adobe Flash Player.

Возможности программы:
— можно строить несколько графиков в одном окне
— можно менять цвет и толщину линии постоения графика
— можно скрывать и отображать как сетку так и графики
— можно изменять масштаб отображения
— можно трассировать графики
— можно сохранять построение графиков в виде картинки

www.math-solution.ru

Решебник и калькулятор с решениями примеров и уравнений онлайн

Инновационный калькулятор, позволяющий наглядно разложить любой пример или уравнение на пошаговое руководство по решению

Нет смысла искать калькулятор, когда уже есть ЛовиОтвет

Калькулятор ЛовиОтвет решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления «в столбик». Вас приятно удивит результат решения — на разлинованном тетрадном листе вы увидите все что должен написать ученик или студент для решения примера. Отлично подходит как для проверки уже выполненных заданий, так и для, непосредственно, их выполнения.

Видеоинструкция к программе «Лови Ответ»

Калькулятор остался в прошлом… Лови ответ не просто калькулятор!

ЛовиОтвет на Apple AppStore
Помимо версии под Android(Google Play), программа ЛовиОтвет доступна для использования на платформах iOS версии 5.1 и выше. Работает на всех устройствах Apple: iPhone 3GS, iPhone 4, iPhone 4S, iPod touch (3rd generation), iPod touch (4th generation) и iPad.

Новое в версии 6.0.80:

• Для работы программы больше не требуется системный сервис
• Улучшен механизм обновления программы

Новое в версии 6.00:

• Улучшенный интерфейс программы в новом дизайне
• Добавлены новые математические функции
• Еще лучше решает домашние задания
• Повышенная стабильность работы

Новое в версии 5.00:

• Обновленный дизайн интерфейса программы
• Решение практически любых математических задач
• Возможность выбора уровня детализации решения при просмотре результатов
• Вывод решения как со столбиками, так и в сокращенном виде
• ри варианта решения — Стандартное, с обыкновенными дробями и решение «в столбик»

Новое в версии 4.00:

• Решение уравнений
• Упрощение выражений
• Дроби
• Точность расчетов до 80 знаков

Новое в версии 2.01:

• Добавлено более 50 математических функций и теперь позволит использовать калькулятор не только школьникам, но и студентам и инженерам, в том числе тригонометрические функции (от sin() — синуса до arccsch() — гиперболического арккосеканса), факториалы, логарифмы и много-много полезных функций.
• Возможность копирования решения или ответа в буфер обмена
• Возможность отключения подсчета «в столбик» идеально для проффесионального вычисления

Используя Лови Ответ вы сможете проверить правильность решения домашних заданий по математике вашим ребенком.

Программа предназначена для школьников и студентов всех курсов. Также отлично зарекомендовала себя среди родителей, в качестве отличного инструмента для проверки домашних заданий.

Домашние задания по математике — это просто!

• Все арифметические действия по желанию выполняются «в столбик»
• Отлично подходит в качестве для быстрой проверки уже выполненных заданий
• Поможет при обучении устному и письменному счету без калькулятора
• Начиная с версии 2.01 программа подходит для учеников старших классов и студентов

Решебник по математике ?

Он больше вам не понадобится. Если только записать на нем адрес сайта LoviOtvet.ru и подарить вашему лучшему другу или однокласснику

Блог : Благодарности и предложения

loviotvet.ru

Лови Ответ для решения примеров и уравнений

Бесплатная программа ЛовиОтвет — функциональный калькулятор для решения примеров и уравнений. В программе Лови Ответ происходит автоматическое решение математических примеров и уравнений с выводом действий и этапов их решения.

Для чего нужна такая программа? Программа Лови Ответ — это своего рода математический решебник, который выводит ответ, с пошаговым решением выполненного задания.

Программа Лови Ответ будет интересна школьникам и их родителям. С помощью этой программы родители могут проверять домашние задания, которые выполнил учащийся. Также школьники и студенты могут решать примеры и уравнения при помощи этого математического калькулятора.

Взрослые, которые уже не помнят многого из школьного курса, а также учащиеся смогут при помощи данной программы, быстро решить математический пример любой степени сложности.

В программе ЛовиОтвет можно будет выполнять такие математические действия:

• Совершать действия с натуральными числами.
• Производить действия с дробями (десятичными, обыкновенными, смешанными).
• В программе можно будет упрощать выражения, производить действия с многочленами.
• Решать линейные и квадратные уравнения.

Примеры и уравнения будут решены в программе Лови Ответ пошагово, с последовательными действиями. Визуально, в окне программы, вы увидите решение примера или уравнения. Ответ и пошаговые действия для его решения, будут записаны на своеобразном тетрадном листе. Все этапы решения можно будет записывать в программе в столбик.

Скачать программу ЛовиОтвет можно с официального сайта производителя. Программа доступна для работы на компьютерах с операционной системой Windows. Есть версии программы для устройств на операционной системе Android, для Aplle устройств (iPad, iPhone/iPod), для мобильных телефонов (java, java-mini).

Лови Ответ скачать

После загрузки, вам можно будет установить программу на свой компьютер.

Установка программы Лови Ответ

Запустите процесс установки программы LoviOtvet на своем компьютере.

При установке программы будьте внимательны! Снимите флажки в тех пунктах, где вам предложат установить дополнительные программы, для того, чтобы не устанавливать на свой компьютер постороннее программное обеспечение.

По завершению установки программы на компьютер, будет открыто главное окно программы ЛовиОтвет.

Обзор программы Лови Ответ

В верхней части окна программы расположены кнопки меню для управления программой.

С помощью кнопки меню «Правка» вы можете скопировать решение на свой компьютер, выбрав необходимый вариант копирования из контекстного меню. Из меню «Настройки» вы можете выбрать размер листа, клеток, очистить историю. Здесь вы можете изменить цвет отображения окна программы, передвинув в нужное место ползунок, по шкале цвета.

Под панелью меню расположено поле, в которое вводится задание.

В левой части окна расположены кнопки и переключатели для ввода данных. Здесь находится основная и дополнительная панель.

Вам также может быть интересно:

Дополнительную панель можно будет скрыть с помощью кнопки «Скрыть дополнительную панель». Отсюда, в случае необходимости, вы можете изменить размер листа и размер клеток в рабочей области.

Остальную часть окна программы занимает рабочая область, в которой будет отображено решение задания.

Для решения примера, с помощью соответствующих кнопок введите выражение, а затем нажмите на кнопку «Ответ». Решение можно будет выводить в нескольких вариантах: стандартное решение, обыкновенные дроби, решение «в столбик».

После клика по треугольнику в крайней правой части поля, в котором вводится пример или уравнение, откроется дополнительное поле, в котором будут отображена история расчетов. В этом поле можно будет очистить историю расчетов.

Подробнее о том, как пользоваться математическим калькулятором, можно будет прочитать на официальном сайте производителя программы ЛовиОтвет, на странице сайта «Как пользоваться».

Лови Ответ онлайн

Производитель запустил онлайн версию программы ЛовиОтвет, которая доступна по такому адресу: https://calc.loviotvet.ru/.

По заявлению производителя, версия Лови Ответ онлайн менее функциональна, чем программа, которая устанавливается на компьютер или мобильное устройство. Но, все равно, онлайн калькулятор может быть полезен в некоторых случаях, для выполнения решения поставленных задач.

Выводы статьи

Бесплатная программа Лови Ответ — математический решебник и калькулятор, который помогает школьникам, студентам и родителям выполнять или проверять решение примеров и уравнений любой степени сложности.

ЛовиОтвет — программа для решения примеров и уравнений (видео)

Похожие публикации:

vellisa.ru

15 лучших приложений для безупречной учебы в школе

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Знания усвоятся гораздо проще и легче, если с умом подойти в выбору помощников-приложений. Сейчас не нужно носить с собой кучу учебников и ночами корпеть над шпаргалками. Достаточно загрузить в смартфон эти программы — и всё в легкой и доступной форме само уложится в голове. Но их так много, что глаза разбегаются, и не знаешь, с чего начать.

Чтобы не дать вам утонуть в море информации, AdMe.ru отобрал только самые лучшие приложения для школьников и студентов.

Математика

PhotoMath

PhotoMath — это калькулятор, использующий камеру смартфона — просто наведите камеру на математическую задачу, и PhotoMath сразу же выдаст ответ, с поэтапным решением задачи.

MalMath

Программа для решения математических задач с пошаговым описанием и графическим изображением. Генерирует случайные математические задачи в нескольких категориях и уровнях сложности. Работает автономно. Можно сохранить или поделиться решениями и графиками.

Решение уравнений по шагам

Калькулятор может решить все типы уравнений (кроме дифференциальных), исправляет ошибки в выражениях и предлагает для ввода свои варианты. Показывает подробное решение квадратных, простейших тригонометрических уравнений.

Физика

Это сборник всех формул физики, которые сортированы по разделам. Есть возможность поделится любой формулой со своими друзьями или одноклассниками простым свайпом влево и быстро искать формулы по их названию.

Химия

Приложение решает химические уравнения реакций, поможет с органической и неорганической химией. Есть интерактивная таблица Менделеева и таблица растворимости веществ. Реакции отображены в обычном и ионном виде. И даже нарисованы формулы органической химии.

Химия X10

Химия X10 — это универсальный помощник по химии — решает задачи, содержит шпаргалки, расстанавливает коэффиценты в уравнениях. Здесь есть встроенный калькулятор молярных масс.

Иностранные языки

Duolingo: Учим языки бесплатно

Одно из лучших, полностью бесплатных приложений для изучения английского. Обучение проходит в игровой форме, незаметно и увлекательно. В случае неправильных ответов теряются жизни, а при усвоении небольших уроков вы продвигаетесь вперёд.

www.adme.ru