Рубрика: Математика

Обобщение понятия о показателе степени

Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.

 – степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;

                 n штук

Кроме того, напомним, что:

 и ;

Выражение  не существует.

Основные свойства степеней:

1.      ;

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

2.      ;

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

3.      ;

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4.      ;

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

5.      ;

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Напомним основные числовые множества:

 – натуральные числа;

 – целые числа;

 – рациональные числа;

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби , назвали иррациональными, например . Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел

 – действительные числа;

Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.

Рис. 1. Числовая ось

Определение:

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число

Например:

Пример 1 – вычислить:

Пример 2 – вычислить:

Пример 3 – вычислить:

Пример 4 – представить в виде степени:

Пример 5 – представить в виде степени:

Пример 6 – представить в виде степени:

Пример 7 – представить в виде степени:

Определение:

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Например:

Пример 8 – вычислить:

Пример 9 – вычислить:

Пример 10 – вычислить:

Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:

Ответ: не существует

Пояснение:

 – выражение 1;

Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:

 – выражение 2;

Из выражений 1 и 2 получили , неверное числовое равенство.

Запомним:

 определено только при .

Пример 11 – построить графики функций:

График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения .

График второй функции по определению соответствует графику функции  при .

Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.

Рис. 2. График функции

Рис. 3. График функции

Пример 12 – найти область определения выражения:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

По определению положительного рационального показателя степени:

По определению отрицательного рационального показателя степени:

Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения. На следующем уроке мы рассмотрим свойства таких степеней.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematika.mpt.ru (Источник).
2. Nado5.ru (Источник).
3. Terver.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 430, 431, 436, 437;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з)

3. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г)

interneturok.ru

История возникновения степени числа

История возникновения степени числа

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль.

«Сумма знаний…» Луки Пачоли была одним из первых опубликованных  сочинений.  Но математики продолжали искать более простую систему обозначений так как его обозначения были не удобны.

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке (? — около 1500 г.) смело ввёл в свою сим­волику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

В XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре» использовал ту же идею. Он обозначал неизве­стное специальным символом 1, а символами 2, 3,… — его степени. Обозначе­ния Бомбелли  также оказали влияние и на символику нидерландского математика Симона Стевина (1548—1620). Он обозначал неиз­вестную величину кружком О,  внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям — четвёртой, пятой и т. Д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».

У Рене Декарта в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,… Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а² и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей. Немецкий ученый Лейбниц считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей  и применял знак а².

mirurokov.ru

Степень числа. Степень с натуральным показателем

Правило чтения и записи степеней с натуральным показателем

Краткую запись произведения одинаковых сомножителей очень удобно использовать, — длинная строка описания математических действий сокращается до записи нескольких шагов:

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 — основание степени,

5 — показатель степени,

1419857 — значение степени.

Степень с нулевым показателем равна 1, при условии, что a \neq 0:

a^0=1.

Например: 2^0=1

Когда нужно записать большое число обычно используют степень числа 10.

Например, один из самых древних динозавров на Земле жил около 280 млн. лет назад. Его возраст записывается следующим образом: 2,8 \cdot 10^8.

Каждое число большее 10 можно записать в виде a \cdot 10^n, при условии, что 1 < a < 10 и n является положительным целым числом. Такую запись называют стандартным видом числа.

Примеры таких чисел: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Можно говорить как и «a в n-ой степени», так и «n-ая степень числа a» и «a в степени n».

4^5 — «четыре в степени 5 » или «4 в пятой степени» или также можно сказать «пятая степень числа 4»

В данном примере 4 — основание степени, 5 — показатель степени.

Приведем теперь пример с дробями и отрицательными числами. Для избежания путаницы принято записывать основания, отличные от натуральных чисел, в скобках:

(7,38)^2, \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 и др.

Заметьте также разницу:

(-5)^6 — означает степень отрицательного числа −5 с натуральным показателем 6.

-5^6 — соответствует числу противоположному 5^6.

Свойства степеней с натуральным показателем

Основное свойство степени

a^n \cdot a^k = a^{n+k}

Основание остается прежним, а складываются показатели степеней.

Например: 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5

Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

a^n : a^k=a^{n-k}, если n > k.

Показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.

Данное ограничение n > k вводится для того, чтобы не выходить за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при n > k показатель степени a^{n-k} будет являться натуральным числом, иначе он будет либо отрицательным числом (k < n), либо нулем (k-n).

Например: 2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1

Свойство возведения степени в степень

(a^n)^k=a^{nk}

Основание остается прежним, перемножаются лишь показатели степеней.

Например: (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6}=2^{18}

Свойство возведения в степень произведения

В степень n возводится каждый множитель.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Например: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Свойство возведения в степень дроби

\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b} \right) ^n, b \neq 0

В степень возводится и числитель и знаменатель дроби. \left(\frac{2}{5} \right)^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

academyege.ru

Слово СТЕПЕНЬ — Что такое СТЕПЕНЬ?

Задачи тысячелетия. Просто о сложном / Habr

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Также существуют NP-задачи (Non-deterministic Polynomial time), найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга — Миллса

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

habr.com

7 математических загадок тысячелетия. Просто о сложном

Только для мыслящих людей!

НИКОМУ не дано владеть вселенским разумом и знать ВСЁ. Тем не менее, у большинства ученых, да и тех, кто просто любит размышлять и исследовать, всегда есть стремление узнать больше, разгадать загадки. Но остались ли еще неразгаданные темы у человечества? Ведь, кажется, все уже ясно и нужно только применять полученные веками знания?

НЕ стоит отчаиваться! Еще остались нерешенные проблемы из области математики, логики, которые в 2000 году эксперты Математического института Клэя в Кембридже (Массачусетс, США) объединили в список, так называемые, 7 загадок тысячелетия (Millennium Prize Problems). Эти проблемы волнуют ученых всей планеты. С тех пор и по сей день любой человек может заявить, что нашел решение одной из задач, доказать гипотезу и получить от бостонского миллиардера Лэндона Клэя (в честь которого и назван институт) премию. Он уже выделил на эти цели 7 миллионов долларов. К слову сказать, на сегодняшний день одна из проблем уже решена.

Итак, вы готовы узнать о математических загадках?

Уравнения Навье — Стокса (сформулированы в 1822 году)

Уравнения о турбулентных, воздушных потоках, а также течении жидкостей известны как уравнения Навье — Стокса. Если, к примеру, плыть по озеру на чем-либо, то неизбежно вокруг возникнут волны. Это касается и воздушного пространства: при полете на самолете в воздухе также будут образовываться турбулентные потоки.
Данные уравнения как раз производят описание процессов движения вязкой жидкости и являются стержневой задачей всей гидродинамики. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых части уравнений отбрасываются, как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений не найдены.
Необходимо найти решение уравнениям и выявить гладкие функции.

Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Известно, что распределение простых чисел (Которые делятся только на себя и на единицу: 2,3,5,7,11…) среди всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности.
Над этой проблемой задумался немецкий математик Риман, который сделал свое предположение, теоретически касающееся свойств имеющейся последовательности простых чисел. Уже давно известны так называемые парные простые числа — простые числа-близнецы, разность между которыми равна 2, например 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например, 101, 103, 107, 109 и 113.
Если такие скопления будут найдены и выведен определенный алгоритм, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году. Решена в 2002 году.)

Суть проблемы заключается в топологии и состоит в том, что если натягивать резиновую ленту, к примеру, на яблоко (сферу), то будет теоретически возможным сжать ее до точки, медленно перемещая без отрыва от поверхности ленту. Однако если эту же ленту натянуть вокруг бублика (тора), то сжать ленту без разрыва ленты или разлома самого бублика не представляется возможным. Т.е. вся поверхность сферы односвязна, в то время как тора – нет. Задача состояла в том, чтобы доказать, что односвязной является только сфера.

Представитель ленинградской геометрической школы Григорий Яковлевич Перельман является лауреатом премии тысячелетия математического института Клэя (2010 г.) за решение проблемы Пуанкаре. От знаменитой Фильдсовской премии он отказался.

Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В реальности существуют множество как простых, так и куда более сложных геометрических объектов. Чем сложнее объект, тем труднее его изучать. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основанный на использовании частей одного целого («кирпичики») для изучения этого объекта, как пример — конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта. Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков», так и объектов.
Это очень серьезная проблема алгебраической геометрии: найти точные пути и методы анализа сложных объектов с помощью простых «кирпичиков».

Уравнения Янга — Миллса (сформулированы в 1954 году)

Физики Янг и Миллс описывают мир элементарных частиц. Они, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения в области квантовой физики. Тем самым был найден путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
На уровне микрочастиц возникает «неприятный» эффект: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Это происходит по причине того, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля.
Хотя и уравнения Янга — Миллса приняты всеми физиками мира, экспериментально теория, касающаяся предсказывания массы элементарных частиц, не доказана.

Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений. В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Задача в том, что нужно описать ВСЕ решения в целых числах x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами.

Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Ее еще называют «Равенство классов P и NP», и она является одной из наиболее важных задач теории алгоритмов, логики и информатики.
Может ли процесс проверки правильности решения какой-либо задачи длиться дольше, чем время, затраченное на само решение этой задачи (независимо от алгоритма проверки)?
На решение одной и той же задачи, порой, нужно разное количество времени, если изменить условия и алгоритмы. К примеру: в большой компании вы ищете знакомого. Если вы знаете, что он сидит в углу или за столиком — то вам понадобится доли секунд, чтобы его увидеть. Но если вы не будете знать точно, где находится объект, то затратите больше времени на его поиски, обходя всех гостей.
Основным вопросом является: все или не все задачи, которые можно легко и быстро проверить, можно также легко и быстро решить?

Математика, как может показаться многим, не так далека от реальности. Она является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир и многие явления. Математика всюду. И прав был В.О. Ключевский, который изрек: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

И в заключение….

Так что, дерзайте, великие умы!

www.ufamama.ru

Задачи тысячелетия, Нерешенные математические проблемы

Всем привет!

Бытует мнение, что сегодня наукой заниматься не выгодно – богатым не стать! Но надеюсь, что сегодняшний пост покажет вам, что это далеко не так. Сегодня я расскажу вам как, занимаясь фундаментальными исследованиями, можно заработать кругленькую сумму.

На любом этапе развития перед любой из наук всегда стоял ряд нерешенных проблем и задач, которые не давали покоя ученым. Физика – холодный термоядерный синтез, математика – гипотеза Гольдбаха, медицина – лекарство от рака и тд. Некоторые из них настолько важны (по тем или иным причинам), что за их решение полагается вознаграждение. И порой это вознаграждение весьма и весьма приличное.

В ряде наук этим вознаграждением может служить Нобелевская премия. Но за математические открытия ее не дают, а поговорить сегодня хотелось бы именно о математике.

Математика – царица наук, предлагает вашему вниманию море нерешенных проблем и интереснейших задач, но поговорим мы сегодня только о семи. Их еще называют «Задачами тысячелетия».

Казалось бы, задачи, да и задачи? Что в них особенного? Дело в том, что решение их не найдено на протяжении уже многих лет, да и за решение каждой из них институт имени Клэя пообещал вознаграждение в размере 1 миллиона долларов! Согласитесь, не мало. Конечно не «Нобелевка», размер которой, примерно, 1,5 миллиона, но тоже сойдет.

Вот их список:

• Равенство классов P и NP
• Гипотеза Ходжа
• Гипотеза Пуанкаре (решена)
• Гипотеза Римана
• Квантовая теория Янга — Миллса
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Итак, давайте рассмотрим подробнее каждую из них.

1.Равенство классов P и NP

Эта задача является одной из важнейших задач в теории алгоритмов, и, держу пари, многие из вас хоть и косвенно о ней слышали. Что это за проблема и в чем ее суть? Представьте, что есть некий класс задач, на которые мы можем быстро давать ответ, то есть быстро находить для них решение. Этот класс задач в теории алгоритмов называю P классом. А есть класс задач, для которых мы можем быстро проверить правильность их решения – это NP класс. И доселе, не известно равны ли эти классы или нет. То есть не известно, можно ли, хоть в теории, найти такой алгоритм по которому мы сможем так же быстро находить решение поставленной задачи, как и проверять его правильность.

Классический пример. Пусть дано множество чисел, например: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Задача: можно ли подобрать среди этих чисел такие, что их сумма даст 100? Ответ: можно, например 50+47+2+1 = 100. Проверить верность решения просто. Четыре раза применим операцию сложения и все. Толи дело подобрать эти числа. На первый взгляд это сделать гораздо сложнее. То есть найти решение задачи сложнее, чем его проверить. С точки зрения банальной эрудиции так оно и есть, но математически это не доказано, и остается надежда на то что это не так.

И что с этого? Что с того, если окажется что классы P и NP  окажутся равны? Все просто. Равенство классов означает то, что существуют алгоритмы решения многих задач, которые работают гораздо быстрее, чем ныне известные (как было сказано выше).

Естественно, была предпринята далеко не одна попытка доказать или опровергнуть эту гипотезу, но ни одна не увенчалась успехом. Последней была попытка индийского математика Винэя Деолаликара. По мнению автора формулировки проблемы, Стивена Кука, это решение было «относительно серьёзной попыткой решить проблему P vs NP». Но, к сожалению, в представленном доказательстве был найден ряд ошибок, которые автор пообещал исправить.

2.Гипотеза Ходжа

Сложное есть сумма простых составляющих. В результате изучения сложных объектов математики разработали методы их аппроксимации посредствам склеивания объектов возрастающей размерности. Но пока не выяснено, до какой степени можно проводить подобного рода аппроксимацию, и остается неясна геометрическая природа некоторых объектов, которые используются при аппроксимации.

3.Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. Отрадно заметить, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман, по совместительству гений-затворник. О нем можно много и интересно рассказывать, но сосредоточимся на самой гипотезе.

Формулировка:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Или обобщенная гипотеза Пуанкаре:

Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

По-простому, суть проблемы в следующем. Если взять яблоко и обтянуть его резиновой пленкой, то мы, с помощью деформаций, не разрывая пленку, можем превратить яблоко в точку или кубик, но никоим образом не сможем превратить его в бублик. Кубик, трехмерная сфера и даже трехмерное пространство идентичны друг другу, с точностью до деформации.

Не смотря на столь простую формулировку, гипотеза оставалась не доказанной на протяжении сотни лет. Хотя в математике, порой, чем проще формулировка, тем сложнее доказательство (все помним о Великой теореме Ферма).

Вернемся к товарищу Перельману. Этот господин знаменит еще тем, что отказался от положенного ему миллиона, заявив следующее: «Зачем мне ваши деньги, если у меня в руках вся Вселенная?» Я бы так не смог. Вследствие отказа выделенный миллион был пожалован молодым французским и американским математикам.

Напоследок хотелось бы заметить, что гипотеза Пуанкаре не имеет совершенно никакого практического применения(!!!).

4.Гипотеза Римана.

Гипотеза Римана является, наверное, самой известной (на ряду с гипотезой Пуанкаре) из семи задач тысячелетия. Одной из причин ее известности среди людей профессионально не занимающихся математикой в том, что она имеет весьма простую формулировку.

Все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть равную ?.

Согласитесь, весьма просто. И кажущаяся простота являлась причиной многих попыток доказать сею гипотезу. К сожалению, пока безрезультатно.

Большое количество безрезультатных попыток доказать гипотезу Римана породило сомнение о ее справедливости среди некоторых математиков. Среди них Джон Литлвуд. Но ряды скептиков не столь много числены и большая часть математического сообщества склонны считать, что гипотеза Римана, все же, верна. Косвенным подтверждением этого является справедливость ряда схожих утверждений и гипотез.

Многие алгоритмы и утверждения в теории чисел были сформулированы с допущением, что вышеуказанная гипотеза верна. Таким образом доказательство справедливости гипотезы Римана утвердит фундамент теории чисел, а ее опровержение теорию чисел «пошатнет» в самом основании.

И, напоследок, один довольно известный, но весьма интересный факт. Однажды у Давида Гильберта спросили: «Каковы будут ваши первые действия, если вы проспите 500 лет и проснетесь?» — «Я спрошу, доказана ли гипотеза Римана».

5.  Теория Янга — Миллса

Одна из калибровочных теорий квантовой физики с неабелевой калибровочной группой. Данная теория была предложена в середине прошлого века, но долгое время рассматривалась как чисто математический прием, не имеющий никакого отношения к реальной природе вещей. Но позже на основе теории Янга-Миллса были построены основные теории Стандартной модели — квантовая хромодинамика и теория слабых взаимодействий.

Формулировка проблемы:

Для любой простой компактной калибровочной группы  квантовая теория Янга — Миллса для пространства  существует и имеет ненулевой дефект массы.

Теория отлично подтверждается результатами экспериментов и результатам компьютерного моделирования, но теоретического доказательства не получила.

6.  Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Одна из самых важных задач гидродинамики, и последняя из нерешенных проблем классической механики.

Уравнение Навье—Стокса дополненное уравнениями Максвелла, уравнениями переноса тепла и тд, используется при решении многих задач электрогидродинамики, магнитогидродинамики, конвекции жидкосте и газов, теплодифузии и тд.

Сами уравнения представляют из себя систему уравнений в частных производных. Уравнения состоят из двух частей:

• уравнения движения
• уравнения неразрывности

Нахождение полного аналитического решения уравнений Навье—Стокса сильно осложняется их нелинейностью и сильной зависимостью от граничных и начальных условий.

7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Последняя из проблем тысячелетия — это гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера.

Гипотеза утверждает, что

ранг эллиптической кривой r над Q равен порядку нуля дзета-функции Хассе—Вейля

E(L,s) в точке s = 1.

Данная гипотеза единственный относительно простой способ определения ранга эллиптических кривых, которые, в свою очередь, являются основными объектами изучения современной теории чисел и криптографии.

Вот и все проблемы тысячелетия. Прошу прощения, за то, что некоторые проблемы освещены гораздо меньше остальных. Это связано с отсутствием информации по данным проблемам и невозможностью довольно просто (без привлечения громоздкой и сложной математики) изложить их суть.  За решение каждой из проблем институт Клея объявил награду в 1 миллион долларов. Дерзайте! Есть шанс неплохо заработать, двигая вперед фундаментальную науку, ведь шесть из семи проблем пока так и не дождались своего решения.

neudoff.net

Одну из знаменитых «проблем тысячелетия» решил математик из Казахстана

71-летний профессор Мухтарбай Отелбаев может стать обладателем премии в один миллионов долларов

 71-летний профессор Мухтарбай Отелбаев (Mujtarbay Otelbayev) может стать обладателем премии в один миллионов долларов, которую в 2000 году учредил частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) в Массачусетсе за решение математической задачи из списка, определенного институтом как «проблемы тысячелетия» (Millenium Prize Problems). Это, как сказано в положении о премии, «важные классические задачи, решение которых не найдено в течение многих лет».

Мухтарбай Отелбаев в настоящее время – директор математического института при Евразийском национальном университете имени Л.Гумилева в Алматы. В распространенном 10 января пресс-релизе университета сообщается о том, что он завершил и опубликовал в казахстанском «Математическом журнале» работу под названием «Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса».

Эта задача считается одной из самых важных задач гидродинамики, и последней из нерешенных проблем классической механики. Мухтарбай Отелбаев начал заниматься ею еще в 1980 году, то есть задолго до возникновения института Клэя. Решение, представленное казахским ученым, должно будет пройти экспертизу математического сообщества, на что, возможно, уйдет около года. В случае его подтверждения дополнительный математический аппарат получат многие инженерные области, в частности, аэронавтика. Вариации уравнений Навье-Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности при формировании прогноза погоды. Одним из применений системы уравнений Навье-Стокса также является описание течений в мантии Земли (это «проблема динамо»).

В своей статье Мухтабар Отелбаев отмечает большое количество работ, посвященных существованию и гладкости решений уравнений Навье-Стокса задолго до того, как эта проблема вошла в список института Клэя. В частности, он обращает внимание на глубокие результаты, полученные советским-российским математиком Ольгой Ладыженской. Свой труд профессор Отелбаев посвятил учителям.

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем  институтом Клэя предложен приз в 1 миллион долларов США.

1.Равенство классов P и NP

Эта задача является одной из важнейших задач в теории алгоритмов. В чем ее суть? 
Предположим, что вы организуете размещение группы из четырехсот студентов университета. Количество мест ограничено, и только сто студентов получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список пар студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы ни одна пара из этого списка не попала в окончательный вариант. Это пример того, что ученые-компьютерщики называют NP-задачей. Легко проверить, будет ли данный выбор ста студентов, предложенный сотрудником, удовлетворительным (т.е. никакая пара студентов из списка вашего коллеги не фигурирует в списке из деканата), однако задача создания такого списка с нуля, кажется абсолютно невыполнимой. Действительно, общее число способов выбора ста студентов из четырехсот претендентов больше, чем количество атомов в известной вселенной! Таким образом, никакая будущая цивилизация не может даже надеяться построить суперкомпьютер, способный решить эту задачу с помощью грубой силы, то есть проверяя все возможные комбинации 100 студентов. Однако эта кажущаяся трудность может только отражать отсутствие изобретательности вашего программиста. В самом деле, одной из нерешенных проблем в области компьютерной науки является определение того, существуют ли вопросы, ответы на которые можно быстро проверить, но которые требуют невозможно долгого времени для решения любым прямым методом. Задачи, подобные той, что указана выше, конечно, кажутся задачами такого рода, но до сих пор никто не смог доказать, что какая-то из них на самом деле так сложна, как кажется, т.е. что действительно нет возможности получить ответ с помощью компьютера. Стивен Кук и Леонид Левин сформулировали задачу сравнения классов P (то есть легко найти) и NP (то есть легко проверить) в 1971 году.

Последней из многочисленных попыток решить эту задачу была попытка индийского математика Винэя Деолаликара. По мнению автора формулировки проблемы, Стивена Кука, это решение было «относительно серьёзной попыткой решить проблему P vs NP». Но, к сожалению, в представленном доказательстве был найден ряд ошибок, которые автор пока не смог исправить.

2.Гипотеза Ходжа

В ХХ веке математики открыли мощный способ исследовать формы сложных объектов. Основная идея метода состоит в том, чтобы выяснить, в какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта склеиванием простых геометрических блоков возрастающей размерности. Эта методика оказалась настолько полезной, что ее обобщали различными способами, в конечном счете давшими мощные инструменты, который позволили математикам сильно продвинуться в каталогизации различных объектов, с которыми они сталкиваются в своих исследованиях. К сожалению, геометрическое происхождение метода стало скрытым в этом обобщении. В некотором смысле было необходимо добавить кусочки, которые не имели геометрической интерпретации. Гипотеза Ходжа утверждает, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, части, называемые циклами Ходжа, являются на самом деле (рациональными линейными) комбинациями геометрических частей, называемых алгебраическими циклами.

3.Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. Отрадно заметить, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман. По-простому, суть проблемы в следующем. Если взять яблоко и обтянуть его резиновой пленкой, то мы, с помощью деформаций, не разрывая пленку, можем превратить яблоко в точку или кубик, но никоим образом не сможем превратить его в бублик. Кубик, трехмерная сфера и даже трехмерное пространство идентичны друг другу, с точностью до деформации.

Почти столетие прошло между формулировкой вопроса в 1904 году Анри Пуанкаре и ответом на него Григорием Перельманом, который был дан в 2002 году. Решение Перельмана было основано на теории Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, и использовало результаты на пространстве метрик, принадлежащие Чигеру, Громову и самому Перельману. В своих работах Перельман доказал также геометрическую гипотезу Уильяма Терстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.

4.Гипотеза Римана.

Однажды у знаменитого математика Давида Гильберта спросили: «Каковы будут ваши первые действия, если вы проспите 500 лет и проснетесь?» — «Я спрошу, доказана ли гипотеза Римана». Гипотеза Римана является, наверное, самой известной (наряду с гипотезой Пуанкаре) из семи задач тысячелетия.  Многие алгоритмы и утверждения в теории чисел были сформулированы с допущением, что вышеуказанная гипотеза верна. Таким образом, доказательство справедливости гипотезы Римана

 5.  Теория Янга — Миллса.

Законы квантовой физики в мире элементарных частиц играют ту же роль, что и законы Ньютона классической механики в макроскопическом мире. Почти полвека назад Янг и Миллс ввели новую замечательную концепцию для описания элементарных частиц с помощью структур, которые встречаются также в геометрии. Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой большей части теории элементарных частиц, и ее предсказания были проверены во многих экспериментальных лабораториях, но ее математическая основа остается неясной. Успешное применение теории Янга-Миллса для описания сильных взаимодействий элементарных частиц зависит от тонкого квантово-механического свойства, которое называют дефектом массы: квантовые частицы имеют положительную массу, хотя классические волны распространяются со скоростью света. Это свойство было обнаружено физиками в экспериментах и подтверждено компьютерным моделированием, но оно до сих пор непонятно с теоретической точки зрения. Прогресс в создании теории Янга-Миллса и дефекта массы потребует новых фундаментальных идей как в физике, так и в математике.

6.  Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Одна из самых важных задач гидродинамики, и последняя из нерешенных проблем классической механики. Волны следуют за нашей лодкой, когда мы плывем по озеру, и турбулентные потоки воздуха сопровождают наш полет в современном самолете. Математики и физики полагают, что объяснение и предсказание таких явлений, как ветер и турбулентность, могут быть найдены на основе понимания решения уравнений Навье-Стокса. Хотя эти уравнения были получены в 19-м веке, наше понимание их остается минимальным. Задача состоит в том, чтобы добиться существенного прогресса на пути к математической теории, которая откроет тайны, скрытые в уравнении Навье-Стокса.

7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Последняя из проблем тысячелетия — это гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Математики всегда были увлечены задачей описания всех целочисленных решений простых алгебраических уравнений, для которых полное решение дал еще Евклид. Однако для более сложных уравнений это сделать крайне тяжело. Действительно, в 1970 году Ю.В. Матиясевич показал, что десятая проблема Гильберта неразрешима, т. е. не существует общего метода определения, когда такие уравнения имеют решения в целых числах. Но в некоторых случаях можно надеяться что-то получить. Данная гипотеза единственный относительно простой способ определения ранга эллиптических кривых, которые, в свою очередь, являются основными объектами изучения современной теории чисел и криптографии.

scientificrussia.ru

Задачи тысячелетия ≪ Scisne?

По состоянию на 2014 год только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена Филдсовская премия за её решение была присуждена Григорию Перельману, который от неё отказался.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Попробуем объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Также существуют NP-задачи (Non-deterministic Polynomial time), найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

scisne.net

7 величайших математических загадок тысячелетия.

Часто, беседуя со старшеклассниками об исследовательских работах по математике, слышу следующее: «Что можно нового открыть в математике?» А действительно: может быть все великие открытия сделаны, а теоремы доказаны?

По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем — по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких «кирпичиков» и объектов.

5. Уравнения Навье — Стокса (сформулированы в 1822 году)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика — нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.

7. Уравнения Янга — Миллса (сформулированы в 1954 году)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга — Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга — Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

Думаю, что этот материал, опубликованный в блоге

интересен не только студентам, но и школьникам, серьёзно занимающимся математикой. Есть над чем подумать, выбирая темы и направления исследовательских работ.

matematika88888.blogspot.com

Семь задач тысячелетия или как заработать миллион.: moris_levran

По сравнению с прошлым столетием количество таких проблем сократилось почти в четыре раза. Когда в самом начале XX века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт выступил на международном математическом конгрессе в Париже, оглашенный им список математических и логических задач, которые предстояло решить в ближайшие сто лет, насчитывал 23 позиции. Плюс еще три проблемы, с которых он начал свою речь,- они не вошли в список, поскольку необхо-димость их решения казалась ученому сама собой разумеющейся,- итого 26.
К концу века математики выполнили 20 заданий. Последним павшим бастионом стала знаменитая теорема Ферма. Две из оставшихся проблем были решены частично, две ждут своих «героев» до сих пор. Проблема математического описания физических аксиом признана нематематической. Задача о прямой как кратчайшем соединении двух точек была объявлена слишком расплывчатой: невозможно было понять, решена она или нет (вряд ли эти математики прощают такие отговорки своим студентам!).
Составленный уже в начале этого века новый список проблем насчитывает всего семь пунктов. Коренное отличие нынешнего списка, названного Millennium Prize Problems («Призовые задачи тысячелетия»), состоит в том, что за решение каждой из них Математическим институтом Клэя назначена премия в $1 млн. Вернее сказать, наоборот: проблем было выбрано именно семь по числу выделенных на их решение миллионов. Решение задач Гилберта никакого вознаграждения, кроме вечной научной славы и глубокого научного же удовлетворения, не приносило.

• Гипотеза Пуанкаре.
Введение
Гипотеза Пуанкаре — одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.
Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха].
Пончики, бублики и прочие сласти
Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин — от Солнца. На самом деле, конечно, топология — очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!
Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна — ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое важное понятие — гомеоморфизм — также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм — это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин — в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера — поверхность трехмерного шара).
Ошибка на ошибке: история вопроса
Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки — теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность — сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.
Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.
Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед[Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C. Whitehead, 1904–1960) — выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica], который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Как вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине — в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.
Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях — так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.
Алгоритмическая версия
К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики — вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.
Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом — конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу («алгоритмическая проблема Пуанкаре»). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов [Володин И.А., Кузнецов В.Е., Фоменко А.Т., «О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы», Успехи математических наук, 1974, т. 29, N 5, с. 71-168.]. Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако строго доказать им удалось только, что наличие «волны» гарантирует — перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна» никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход — провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы — и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла — веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно — спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…
Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен[Abigail Thompson. Thin position and the recognition problem for S3. Math. Res. Lett., 1(5):613–630, 1994.]. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.

Анри Пуанкаре
Анри Пуанкаре — один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, — пост президента страны.
За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе «Измерение времени» сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.
Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика — интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах — вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре — возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая — топологическая — к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.

Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре
Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.
История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, — препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 , http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.
В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава — тяготит.
Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана[См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.

А вот шесть еще не решенных задач…

• Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
Чем сложнее объект, тем труднее исследовать его. Поэтому математики обычно сначала пытаются разложить такой объект на более простые составляющие (анализ). Но иногда при этом возникают новые части, неизвестно откуда взявшиеся и непонятно что собой представляющие. Либо, наоборот, при более детальном исследовании выясняется, что каких-то деталей явно не хватает. Например, исследуя просто кирпичи, мы не можем себе представить, каков составленный из них дом. Для этого нужно как минимум учесть еще и заключенное между кирпичами пустое пространство — комнаты. Профессор Кембриджа Уильям Ходж в своих трудах описал правила ана-лиза, при которых, как ему кажется, такие метаморфозы с лишними или недостающими частями не должны возникать. В этом случае любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть его ученые не могут уже более 60 лет.

• Уравнения Янга-Миллза (сформулированы в 1954 году)
Свои квантовые уравнения американские физики Чжэнь-Нин Янг и Роберт Миллз составили, наблюдая за движением элементарных частиц. Выведенные на основе практически одной только интуиции, они тем не менее замечательно описывают почти все виды взаимодействия этих объектов. С помощью уравнений даже было предсказано открытие новых частиц, которые потом действительно были найдены физиками-ядерщиками крупнейших мировых лабораторий — Брукхейвенской, Стэнфордской и европейской CERN. Правда, с помощью теории Янга-Миллза невоз¬можно правильно предсказать массу частиц, однако, несмотря на это, уравнениями смело пользуются почти все ядерщики мира. Хотя до сих пор непонятно, как они работают и так ли уж они верны. Из всех вышеперечисленных уравнений эти — наиболее сложные, поэтому мы их приводить не будем. Но если вам не хватит пяти миллионов, которые можно получить за решение предыдущих пяти проблем, никто не запретит решить еще и эту.

• Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера (сформулирована в I960 году)
«Философским камнем» математики можно назвать уравнения вида х в степени n + у в степени n + z в степени n +….= t в степени n . Наиболее простое — х в степени 2 + у в степени 2 = z в степени 2 — полностью исследовал еще за 300 лет до рождества Христова Евклид. Самое знаменитое из подобных уравнений стало основой для теоремы Ферма. А одно из самых больших решений (в докомпьютерную эпоху) предложил в 1769 Году Эйлер. Методом подстановки ему удалось соорудить следующее равенство:
2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734. Однако универсального метода вычисления для подобных уравнений не существует. Известно, что у каждого из них может быть либо конечное, либо бесконечное число решений. Математики Берч и Суиннертон-Дайер создали метод, по которому каждое такое уравнение можно свести к более простому, называемому дзета-функцией. Согласно их предположению, обоснованному экспериментально, но теоретически недоказанному, если эта функция в точке 1 будет равна О, то число решений будет бесконечным. В противном случае их либо вообще не будет, либо будет какое-то ограниченное число. Ни доказать, ни опровергнуть это утверждение пока никто не смог.

• Проблема решения-проверки (проблема Кука-Левина, сформулирована в 1971 году)

Если перед человеком ставят задачу найти в лесу закопанный там в прошлом веке клад, он может потратить на поиски и год, и два, и десятилетие, а то и всю жизнь. Все происходит гораздо быстрее, когда ему говорят: «Клад зарыт под единственной в лесу осиной. Пойди и проверь». Примерно то же происходит при решении любой задачи: на проверку решения уходит меньше вре-мени, чем на само решение. Но очевидность этого факта математиков не убеждает. Поэтому они задались вопросом: существует ли задача, проверка правильности решения которой будет занимать больше времени, чем само решение? Положительный ответ на этот вопрос приведет, например, к появлению нового поколения систем шифрования. Ведь частью взлома шифра является проверка правильности взлома, а сформулировать задачу, решение которой проверяется дольше, чем ищется,- значит сформулировать принципы составления такого шифра, чей ключ будет проверятся дольше, чем искаться.

• Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Среди всей массы чисел особое место занимают числа, которые невозможно разделить на что-то более мелкое, чем они сами (не считая единицы): 2,3,5,7,11, 13,17 и так далее. Такие числа называ-ются простыми. Как они распределяются по числовому ряду — пока известно одному богу. Проверить, является ли число простым, можно, только разделив его на все меньшие числа. Самое большое из известных на сегодняшний день простых чисел было найдено в марте этого года и состоит из 7 816 230 цифр. Риман же нашел метод, по которому можно определить максимальное количество простых чисел, не превышающих некое заданное число. На сегодня математики проверили этот метод с полутора триллионами простых. Сбоев пока не было. Однако это вовсе не говорит о том, что метод не споткнется на первом после полутора триллионов простом числе. А поскольку гипотеза Римана, перешедшая в новый список еще из списка Гилберта, активно используется для расчета систем безопасности передачи данных, в сотовых сетях, в интернете, ее доказательство имеет заметный практический смысл. И миллион здесь платить есть за что.

• Уравнения Навье-Стокса (сформулированы в 1822 году)

Когда вы плывете по озеру на лодке, от нее разбегаются волны. Вслед за летящим самолетом или мчащимся автомобилем возникают турбулентные потоки. Все эти явления описываются уравнениями Навье-Стокса. Проблема заключается в следующем: несмотря на то, что уравнения созданы уже достаточно давно, как их решать, до сих пор никто не знает. Мало того, никто пока даже не знает, существует ли вообще способ их решения. В то же время ими весьма активно пользуются не только математики, но и конструкторы самолетов, автомобилей и кораблей. Правда, использовать их можно пока только «в одну сторону»: подставлять полученные в ходе аэродинамических испытаний значения скорости, времени, давления, плотности и т. д. и вычислять по ним неизвестные характеристики, например, летательного аппарата. Если кто-нибудь из математиков найдет решение, пользоваться уравнениями можно будет и в противоположном направлении, вычисляя всё необходимые параметры без испытаний.

Комментарий эксперта. Анатолий Фоменко, математик, академик РАН:
«В наше время назначение денежных премий будет безусловно способствовать более быстрому решению „проблем тысячелетия». Сейчас занимающаяся наукой молодежь интересуется не только научными, но и довольно прагматичными вопросами. И назначение таких премий для науки — благо. Эти проблемы довольно сложны, и ситуация, какая получилась с теоремой Ферма, когда решить ее пытались все, кому не лень, здесь возникнуть не должна. Непрофессионал за такую работу просто не возьмется: он ее не поймет. Вообще, выбор проблем в призовом списке довольно случаен. Есть много очень интересных вопросов. И мода на них постоянно меняется. Какие-то вопросы были интересны раньше, какие-то стали интересными только сейчас. Однако на авторитет клэевских задач работает фактор времени. Проблемы сформулированы давно, считаются до сих пор актуальными, поэтому дело это полезное. И потом, значение имеет даже не сам факт решения проблемы, а методы, которые при этом возникают. Поэтому для математики, для науки сам факт наличия такого списка очень важен».

p.s.
На самом деле то, что мы более трех веков называли «теоремой Ферма», получило право называться таковой лишь 10 лет назад. После того, как было официально доказано профессором Принстона Эндрю Уайлсом. До того времени теорема, будучи недоказанной, должна была именоваться гипотезой. Запись о том, что выражение х в степени п + y в степени n = z в степени n не имеет решения в целых числах при п > 2, Пьер Ферма оставил на полях книги Диофанта «Арифметика» в 1637 году. Тут же он написал, что знает, как доказать это, но для доказательства слишком мало места на полях. Больше трех веков над секретом бились не только ученые математики, но и студенты, инженеры, учителя и даже люди, совсем далекие от науки, настолько простой и красивой казалась задача. Еще большей популярности теоремы способствовала назначенная в 1908 году за ее доказательство премия в 100 тыс. немецких марок (около $1,5 млн по-современному).

ПО МАТЕРИАЛАМ
1. СЕРГЕЙ НИКОЛЕНКО ОПУБЛИКОВАНО В ЖУРНАЛЕ «КОМПЬЮТЕРРА» №1-2 ОТ 18 ЯНВАРЯ 2006 ГОДА
2. ЖУРНАЛ Ё 14 – 20 НОЯБРЯ 2005Г.
Дополнения http://www.tphs.info/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:serov:2010_07_topology.pdf

moris-levran.livejournal.com

5 книг о математике

«Математика — это искусство давать одно и то же имя разным вещам», — уверен влюблённый в эту дисциплину Микаэль Лонэ. В своей книге он делится историей становления и развития математики с древнейших времён до нашего века. Автор рассказывает множество любопытных фактов, древних задач и мини-биографий математиков — так почему бы не начать знакомство именно с книги Лоне?

В 1999 году в своём последнем выпуске журнал Time назвал «Симпсонов» лучшим телевизионным сериалом столетия. В этом самом длинном мультсериале на американском ТВ (аж 30 сезонов!) про математику речь заходит множество раз. И не мудрено: главный сценарист мультистории получил в Гарварде степень бакалавра математики.

Британский журналист Саймон Сингх легко и увлечённо рассказал о сериях «Симпсонов», в которых встречаются отсылки к важнейшим математическим идеям, открытиям и загадкам. Если вы поклонник сериала, то книга придётся вам точно по вкусу. А если математик, или, как считает автор, «автомат по переработке кофе в теоремы», то, возможно, книга подтолкнёт вас к решению важнейшей задачи во Вселенной.

Как перемножать римские числа, сколько рисовых зёрен поместится на шахматной доске, как Архимед вычислил самое большое число — ответы на эти и многие другие неожиданные вопросы даёт в своей книге австрийский популяризатор науки Рудольф Ташнер.

Он весьма подробно рассказывает об истории математической мысли и учёных, открывших важнейшие математические законы. Автор уверен в большой значимости математики в наш цифровой век и страница за страницей увлекательно доказывает это.

Профессор математики Лондонского университета Ханна Фрай пишет: «Математика может предложить новый взгляд на очень многие явления — даже на такую загадочную и эфемерную вещь, как любовь». В своей книге она утверждает, что строгие математические формулы вполне применимы к иррациональному. Например, используя математику, можно быстро систематизировать огромный массив информации, которым оперируют сайты знакомств. Если с помощью уравнения Дрейка возможно вывести число внеземных цивилизаций, с которыми у людей есть шанс встретиться, то почему бы не просчитать так своих потенциальных партнеров? Автор смело использует строгую науку, чтобы разобраться в межличностных отношениях. Получается это у неё легко, интересно и с юмором.

«Почему почти у всех крупных поисковиков онлайн-реклама выглядит именно так, как сегодня на нашем экране? Почему вы видите именно эти объявления и в этом порядке? За каждым объявлением скрываются глубокие математические идеи и не одна, а целых три Нобелевские премии».

Если математика пока ещё не вызывает трепета в вашем сердце, срочно принимайтесь за чтение, а если же вы уже верный поклонник этой науки, в этой книге вы найдёте новые поводы для своих возвышенных чувств.

Скопировать ссылку

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

newtonew.com

Классные и необычные книги о математике для детей и родителей

Математика окружает нас со всех сторон. Именно она помогает нам путешествовать по миру, строить дома и дороги, писать картины и сочинять музыку. Какую профессию ни выберешь — она нужна везде. Анна Федулова предлагает вам подборку из семи книг, которые обязательно заинтересуют ребёнка царицей наук.

Рассылка «Мела»

Мы отправляем нашу интересную и очень полезную рассылку два раза в неделю: во вторник и пятницу

1. «Фигуры в математике, физике и природе. Квадраты, треугольники и круги», Кэтрин Шелдрик-Росс и Билл Славин

А вы знали, что когда-то люди верили в то, что квадрат приносит удачу и обладает магической силой? В XIV веке жители Европы носили на шее серебряные круглые диски с чеканным квадратом посередине. Многие думали, что такой талисман защитит их от чумы. Или что равнобедренный треугольник — идеальная форма для бумажных самолётиков, дротиков для дартса и наконечников стрел. Благодаря острому концу треугольника фигура будет обтекаемой, а сопротивление воздуха — небольшим. Ещё треугольники защищают высотные здания от ветра, чтобы люди на верхних этажах не ощущали качку.

В некоторых небоскрёбах шахта лифта окружена металлической клеткой. Она состоит из четырёх треугольных каркасов, которые идут от нижних этажей до самого верха.

Купол — одна из самых прочных фигур. Самые древние дома были хижинами куполообразной формы, построенными из глины и соломы. Впрочем, и в наше время мы по-прежнему используем эту фигуру, чтобы создавать высокотехнологичные строения и крыши спортивных арен.

Обо всём этом и многих других удивительных фигурах можно прочитать в этой книге. Как говорится, век живи — век учись!

Что внутри

• более 75 необычных мастер-классов для изучения геометрии в форме игре;
• подробное описание основных геометрических фигур: квадраты, круги и треугольники;
• описание способов рисования фигур с идеальными пропорциями;
• примеры и правила определения площади квадрата, величины углов треугольника, длины и высоты окружности.

Для кого эта книга. Для всех любителей геометрии и стереометрии от шести лет и старше.

2. «Представь себе. Новый взгляд на гигантские числа и необъятные величины», Дэвид Дж. Смит

Согласитесь, надо обладать немалым талантом, чтобы суметь доступно объяснить маленьким детям такие понятия, как галактика, парад планет, эволюция, пропорция, континенты, биосфера, деньги. Взрослые, разговаривая между собой, употребляют в речи все эти слова, не задумываясь. А дети? Для них это просто «большой», «много», «очень давно»… И как часты вопросы: «Мам, а что такое деньги, какого размера наша планета, сколько лет назад жили динозавры?». Причём чаще всего наши, казалось бы, правильные ответы порождают целый ряд дополнительных вопросов. Для детей огромные числа — это что-то очень далёкое и настолько непонятное, что назвав сухие цифры с шестью нулями, мы запутываем их ещё больше.

Как быть? Есть способ! И уверена, что вы все его знаете, просто забыли. Нужно перенести границы измерений в понятные ребёнку масштабы. Например, объяснить, что такое галактика и какого она размера гораздо проще, сравнив её с обычной тарелкой. Конечно же, если галактика — это тарелка, то вся Солнечная система будет меньше пылинки, а вся видимая Вселенная — размером с Рязанскую область, то есть больше, чем квартира или даже парк, в котором вы гуляете.

А приходила ли вам когда-нибудь в голову идея сравнить планеты Солнечной системы с мячами? Да-да, с разными видами мячей.

А как вам мысль о том, что всю историю Земли можно сопоставить с двухчасовым фильмом, а люди появятся в нём лишь на последней секунде?

В общем, перед вами очень полезная и нужная книга. Её авторы Дэвид Дж. Смит и Стив Адамс уже всё давно придумали за вас. На простых и понятных детям примерах они объясняют ребятам: каких размеров наша галактика, хронология и история жизни на земле, зачем нужны деньги и почему их так много, что такое энергия, виды живых организмов, продолжительность жизни… Смит вот уже 25 лет преподаёт в школе. По его мнению, понимание масштаба помогает детям осознать, что каждый из нас является малой частью целого. На уроках он применяет простые способы обучения, приводит множество наглядных примеров, чтобы помочь ученикам лучше понять соотношения крупных объектов между собой. Все свои наработки он и изложил в этой книге, а художник-иллюстратор Стив Адамс помог визуализировать его представления на бумаге.

Для кого эта книга. Для детей от пяти-шести лет, а также для родителей, которые иногда не знают, как объяснять всё на свете.

3. «Умножариум. Математическое домино», Флавио Фогароло

Когда взрослые говорят, что математика есть везде и повсюду, то дети обычно удивляются и с недоверием крутят головой, как бы вопрошая: «Где? Ну, где же она?». Взять хотя бы музыкальные ноты, осенние листья или окна домов. Математические законы есть законы самой природы, и человеку остаётся только разгадать искусно спрятанный внутри неё шифр. Именно для этого придумывают различные игры и задачки, решение которых тренирует мозг и даёт возможность развиваться дальше.

Домино — любимая математическая игра всех времён и народов, корни которой уходят в Индию и Китай. Только на Востоке известно более 40 различных игр с использованием домино. Есть и игровые версии, предназначенные исключительно для детей.

Это домино создано для лёгкого и увлекательного изучения таблицы умножения вместе с детьми. Вместо традиционных точек на каждой карточке есть математические примеры и цифры. Совмещая клетку с примером (например, 5×8) и результат умножения (40). Благодаря цветовому паттерну, который должен совпасть на двух клетках, ребёнок может оценить результат и понять, правильно он посчитал или нет. То есть в него можно играть без взрослых. А самое главное, для того чтобы начать играть в него, не нужно знать таблицу умножения в совершенстве, можно выучить её в процессе.

В игре есть три уровня сложности. Можно использовать карточки каждого уровня по отдельности или перемещать и играть сразу со всеми. Здесь всем понятные правила (немного изменённая механика обычного домино).

Для кого эта игра. Для детей и взрослых, которые любят весёлый и познавательный досуг; для сотрудников детских садов и начальных школ -игра прекрасно подойдёт в качестве учебного материала.

4. «Математическая пицца», Анна Людвицкая

В книге известного математика и графика Анны Людвицкой содержится огромное количество любопытных фактов и увлекательных заданий, благодаря которым читатели поймут, что математика, помимо самой науки, может быть отличным развлечением и даже своего рода искусством.

Внутри книги много разнообразных заданий: на рисование, головоломки, кодировку сообщений (информатика), на работу с числами и многое другое. Благодаря ей дети научатся выращивать бинарное дерево, рисовать картины с помощью игрового кубика, проектировать математический ковёр, помогут улитке пройти по ленте Мёбиуса и даже нарисуют невозможную фигуру. Вот какая она на вкус, «Математическая пицца»!

Для кого эта книга. Для детей в возрасте от семи лет и старше, которым нравится всё интересное и необычное.

5. «Знакомьтесь, математика!», Карина Луар, Флоранс Пино

Это книга не о математике в привычном для нас понимании. Здесь нет длинных формул, уравнений и теорем. Её авторы на простом и понятном языке расскажут детям о периоде возникновения царицы всех наук, о том, как появились цифры, как древние люди определяли стоимость товаров и измеряли объекты. Эта книга как минимум позволит взглянуть на эту науку по-другому, а, может быть, полюбить её. Здесь много наглядных иллюстраций, есть даже небольшие задачки. Не бойтесь, они не сложные и очень познавательные.

Например, можно самому построить фрактал или найти последовательность Фибоначчи в обычном холодильнике, научиться шифровать свои сообщения

Что может быть увлекательнее? Издание подготовлено и выпущено совместно с Политехническим музеем.

Для кого эта книга. Для всех детей младшего и среднего школьного возраста и взрослых, которым интересно узнать о математике чуть больше.

6. «Математика. История идей и открытий», Иосиф Рыбаков, Мария Астрина

Эта книга удивительна тем, что совмещает историю и математику. Несмотря на то, что охватываемый временной период действительно велик, читателю не составит труда понять и структурировать суть изложенного.

Что внутри. Первобытная математика Древнего мира, практическая математика Древнего Египта, расчёты и таблички Древнего Вавилона, настоящая математика Древней Греции, искусство шифрования Древнего Китая, ноль и бесконечность из колыбели цивилизации Индии, философские споры и размышления европейского Средневековья, великие открытия Нового времени, математика воображаемого и информатика XIX–XXI века; цифры и числа, арифметика, алгебра, геометрия, астрономия и логика, и многое другое.

Для кого эта книга. Для детей в возрасте от семи лет и взрослых.

7. «Как объяснить ребёнку математику. Иллюстрированный справочник для родителей», Кэрол Вордерман

Всем известен факт, что участие родителя в процессе обучения ребёнка очень важно. Но, к сожалению, во многих семьях выполнение домашней работы по математике вызывает лишь неприятные эмоции, а многие родители просто не в состоянии помочь своим детям справиться со сложными задачами.

Эта книга вам поможет. В ней доступно объясняются основные понятия арифметики, геометрии, тригонометрии, алгебры, статистики и теории вероятности. Благодаря наглядным схемам, диаграммам и иллюстрациям, а также пошаговым решениям, вы вместе с ребёнком без проблем разберётесь с задачами, которые раньше казались сложными.

Что внутри

• каждый разворот посвящён одной теме: определённому понятию или математическому действию;
• для каждой темы даны краткое теоретическое объяснение, основные формулы, примеры решения задач;
• ёмкие объяснения, наглядные схемы, диаграммы и иллюстрации помогают легко разобраться в материале;
• наглядные и яркие примеры применения математических приёмов в реальной жизни;
• справочные материалы в конце книги позволят быстро найти определение неизвестного термина или формулы.

Для кого эта книга. Для родителей, которые хотят освежить в памяти математические знания; для учеников начальной и средней школы; для родителей, которые хотят усовершенствовать знания ребёнка по математике.

mel.fm

Книги о математике и математиках / math5school.ru

Почти двадцать пять столетий математика существует не как сборник практических рецептов, а как дедуктивная наука, в которой огромное количество содержательных ре­зультатов выводится логическим путем из ничтожного количества предложений – аксиом. Естественно, что и в самой математике и в философии с древних времен воз­никали и обсуждались многочисленные животрепещущие проблемы:

Каков предмет математики?

Каково ее отношение к действительности?

Как возникают ее понятия?

Каким образом математическое абстрагирование есте­ственнонаучной или инженерной проблемы позволяет про­никать глубже и точнее в течение явлений, чем непосред­ственное их наблюдение и экспериментальное изучение?

Какое значение имеет разработка специфического научного языка для развития самой математики и ее приме­нений к реальным Проблемам?

Альфред Реньи, будучи убежденный материалистом, превосходным знатоком естествознания и современной ма­тематики, дает на многие философские вопросы матема­тики определенные и обоснованные ответы. 

Фрагмент для ознакомления

Альфред Реньи. Диалоги о математике (2,9 Мb)

Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике. 

«Сейчас больше чем когда-либо существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями, – истинное существо и содержание математики. Именно для тех, кто видит глубже, была написана эта книга, и отклики на первое издание поддерживают в авторах надежду, что она принесет пользу,» – Р. Курант. 

Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

Фрагмент для ознакомления

Рихард Курант, Герберт Роббинс. Что такое математика? (5,55 Мb)

Книга состоит из оригинально задуманных и увлекательно состав­ленных жизнеописаний великих математиков прошлого – от времен Древ­ней Греции до середины прошлого столетия. Автор стремится нарисо­вать живой портрет каждого из своих героев, показать его как чело­века, живущего среди людей и своей деятельностью способствующего прогрессу цивилизации.

Изложение, как правило, увязывается с взаимо­отношениями между людьми, учеными, правителями, странами, часто проводятся сравнения деятельности ученых, оригинальное сопоставле­ние фактов, любопытные параллели. Книга обращена к современности. В ней описывается возникновение и развитие многих основных понятий, методов, идей, сыгравших роль в формировании современной математики.

Кинга иллюстрирована. Она предназначена широкому кругу чита­телей, интересующихся математикой и ее историей.

Фрагмент для ознакомления 

Эрик Темпл Белл. Творцы математики. (3.14 Mb)

А.Н. Колмогорову принадлежат фундаментальные открытия во многих областях математики и естествознания, роль его в развитии математики уникальна. Но помимо собственно математического творчества, потребовавшего от него колоссального духовного напряжения, в жизни Андрея Николаевича огромное место заняло служение Просвещению, воспитанию подрастающих поколений.  

Книга представляет собой сборник избранных статей выдающегося советского математика, посвященных школьной математике и ее приложениям. В книгу включен большой и разнообразный материал о профессии математика, о фундаментальных понятиях школьной математики, о теории вероятностей, алгоритме Евклида, о решении 10-й проблемы Гильберта, о связи математики с другими науками и техникой и т. д.; приведен ряд интересных задач.

В книге имеется специальный раздел для учителей, в котором содержатся лекции по научным основам школьного курса математики. Для школьников, учителей, студентов.

Фрагмент для ознакомления 

Андрей Николаевич Колмогоров. Математика – наука и профессия. (4 Mb)

Книга раскрывает существо многих математических идей и явно представляет собой новый шаг в области популяризации науки. Неожиданно просто и коротко передается смысл фундаментальных результатов.

«В любой области полезно оказаться в подходящей среде устного общения, где осыпается книжная шелуха. Там иногда ничего не меняется по сути, зато возникает чувство попадания в колею и освобождения от догм. Для науки, которая всегда в маске, это особенно важно. Суть за кадром, перед глазами — кружева. И вечно чего-то не хватает. То простоты, то сложности, да точно и не определишь — чего. Что-то куда-то шагает, ты — на обочине, а время уходит в песок, не говоря о жизни.

Далее предпринимается попытка сдвинуть ситуацию с места, моделируя письменную среду, где «спадают покровы». Внешняя канва содержания более-менее неясна из оглавления, но главная цель — та, что за кадром. Снять вуаль, грим, убрать декорации. Переупростить, даже приврать слегка, ибо дозирование правды — краеугольный камень объяснения. Результаты, перегруженные деталями, не пролезают куда надо. Озарение случается, когда пухнущая голова проваливается на уровень «дважды два», в то время как счет идет на миллионы. Такая уж тут диалектика.
Диапазон читателей предполагается самый широкий, но каждый, естественно, действует на свой страх и риск. Примерно 80% текста опираются лишь на среднее образование, главы независимы друг от друга. Соотношение понятного и непонятного — как в жизни,» – из предисловия автора.

Фрагмент для ознакомления

В. Босс. Интуиция и математика. (0,8 Mb) 

«Писать о математике – печальное занятие для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики. Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают аналогичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного, чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняющим. Изложение чужих результатов, критика, оценка – работа для умов второго сорта,» – так начинается эта книга.

Профессор Харди – выдающийся английский математик, его научное творчество совместно с Литлвудом привело к ряду замечательных открытий.

В этой небольшой книге в живой и увлекательной форме рассказано о специальности математика, математической теории, научной атмосфере Кембриджа начала века.

Для широкого круга читателей – математиков, историков, философов, студентов, научных работников и даже для школьников.

Фрагмент для ознакомления

Годфри Гарольд Харди. Апология математика. (5,44 Mb)

Из предисловия: «Основное содержание нашей книги составляют восемь очерков, рассказывающих о жизни и деятельности шести самых выдающихся ученых-математиков России: Эйлера, Лобачевского, Чебышева, Ковалевской, Стеклова, Колмогорова, великого геометра древности Архимеда и гениального юноши, творца современной алгебры — Эвариста Галуа. 

Композиция текста каждого очерка такова, что позволяет легко обратить его в сценарий тематического вечера, посвященного ученому — «герою» очерка. Для примера текст одного очерка (о Лобачевском) дан в форме готового сценария.
После каждого очерка дан «Уголок…», содержащий дополнительные сообщения и красивые задачи с решениями. Материал «Уголка…» доставит вам много удовольствия, будете ли вы «штурмовать» его организованно в проведении второй части тематического вечера или индивидуально в условиях домашнего уюта.
Любите ли вы математику? Вовлечены ли ею в удивительный мир абстракций и задач, шлифующих разум и логику мышления? Ответившим «да» общение, хотя бы и книжное, с великими, посвятившими свою жизнь математике, доставит радость от ощущения как бы сотворчества.

Для ответивших «нет» такое общение еще нужнее. Ведь не исключено, что при чтении возникнет восхищение жизненными свершениями ученых, появится собственное чувство сопереживания, и это может побудить вас к переоценке своего отношения к математике.»

Фрагмент для ознакомления

Борис Анастасьевич Кордемский. Великие жизни в математике. (5,87 Mb)

Книга выдающегося американского математика и педагога Д. Пойи, автора таких известных книг, как «Математическое открытие», «Как решать задачу», «Математика и правдоподобные рассуждения», и Д. Килпатрика, содержит оригинальные задачи повышенной трудности по элементарной математике, которые предлагались американским школьникам США.

В течение двадцати лет, с 1946 по 1965 год, Департамент Математики Стэнфордского университета проводил конкурсные экзамены для выпускников старших классов средней школы. Непосредственной и принципиальной целью экзаменов было определить среди выпускников средней школы каждого года особенно способных и одаренных студентов и привлечь их в Стэнфордский университет. Более широкой целью было стимулировать интерес к математике среди учащихся старших классов средних школ и учителей.

Все задачи снабжены подсказками к решениям и подробными решениями. Для широких кругов читателей, учителей и всех любителей математики.

Фрагмент для ознакомления

Дж. Пойа, Д. Килпатрик. Сборник задач по математике Стэнфордского университета. (1 Mb)

От редактора русского перевода: «В США и в Западной Европе книга Пойа выдержала уже целый ряд изданий — на языке оригинала и в переводе на другие языки — и приобрела себе многочисленных друзей. Один из них, видный современный алгебраист Б. Л. Ван-дер-Варден в своей вступительной лекции в Цюрихском университете (2 февраля 1952 г.) сказал, что «эту увлекательную книгу должен прочитать каждый студент, каждый ученый, а особенно каждый учитель».»

Из предисловия автора: «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы.

Такие эмоции, пережитые в восприимчивом возрасте, могут пробудить вкус к умственной работе и на всю жизнь оставить свой отпечаток на уме и характере.»

Фрагмент для ознакомления

Дьёрдь Пойа. Как решать задачу.(4.9 Mb)

Эта брошюра рассказывает об одном из самых замечательных математиков XX века.

История математики знает не много учёных, равных Г. Вейлю по своим заслугам; он принадлежит к числу классиков математической науки, о которых пишутся исследования и защищаются диссертации. При этом поражает разносторонность Вейля: и в арифметику (теорию чисел), и в алгебру, и в геометрию, и в анализ этот великий «математический полиглот» внёс вклад, который будут помнить многие поколения учёных. И когда сегодня мы вспоминаем Германа Вейля, то прежде всего приходит на память его колоссальная разносторонность, его умение в каждой частности видеть «математику в целом» и в «математике в целом» различать всё многообразие задач и методов, тенденций и идей — с присущей этим идеям способностью то мирно взаимодействовать, дополняя и исправляя друг друга, то яростно противоборствовать и вытеснять одна другую. 

Для широкого круга читателей, интересующихся математикой и её историей.

Фрагмент для ознакомления

Исаак Моисеевич Яглом. Герман Вейль (html) 

1   2   3   4   5   6   7   8   9

math4school.ru

10 книг, которые помогут вам лучше понять математику и физику — T&P

Когда технологии телепортации и путешествий во времени станут возможными? Сможет ли неподготовленный читатель понять сочинения Энштейна? Правда ли, что рост населения и мировой экономики за последние 100 лет — это прямое следствие роста объема накопленных нами знаний о Вселенной? Об этом и многом другом — в обзоре книг, которые помогут вам лучше понять математику и физику.

В центре внимания американского математика и публициста Джона Дербишира гипотеза Римана — одна из семи проблем тысячелетия, за решение которой полагается награда в 1 миллион долларов. Денег за решение никто пока не получил, но за 152 года с тех пор, как немецкий математик Бернхард Риман обнаружил, что количество простых чисел выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции, попыток доказать или опровергнуть эту гипотезу было предостаточно. «Простая одержимость» —история вопроса, написанная понятным и нескучным языком и рассчитанная на любознательного, но математически неподкованного читателя.

Сначала Митио Каку смотрел телесериал «Флэш Гордон», потом узнал, что многие успешные ученые тоже начинали с увлечения научной фантастикой, затем погрузился в мир высшей математики и теоретической физики. А в 2008 году знаменитый американский популяризатор науки написал ставшую бестселлером книгу «Физика невозможного»: про технологии, которые сегодня считаются невозможными, но, по убеждению ученого, через несколько десятков или сотен лет могут стать обычными. Из наиболее реальных «невозможностей» — телепортация, телепатия, роботы. Сложнее, по мнению Каку, дело обстоит с путешествиями во времени и изобретением вечного двигателя.

«Мы не писали учебник по физике. Здесь нет систематического изложения элементарных физических фактов и теорий. Скорее наше стремление состояло в том, чтобы широкими штрихами обрисовать попытки человеческого разума найти связь между миром идей и миром явлений», — так начинают свой совместный текст «Эволюция физики» Эйнштейн и польский физик Леопольд Инфельд. Собственно он, а также знаменитые эйнштейновские работы по теории относительности — и есть суть этого сборника. Вступительная статья — авторства звездного английского ученого Стивена Хокинга.

На 512 страницах собраны три научно-популярных бестселлера британского ученого Стивена Хокинга. Его самая первая книга — «Краткая история времени» о происхождении и развитии космоса и Вселенной. «Черные дыры и молодые вселенные» — на ту же тему по сути, а по форме — сборник автобиографических тире философских эссе, написанных Хокингом с 1976 по 1992 год. «Теория всего» — еще один сборник, но уже семи хокинговских лекций, в которых он пытается объединить разрозненные физические теории в единую теорию всего.

Почему на дорогах возникают пробки? Почему в бары ходят одни и те же люди? В чем причина победного шествия монокультуры по миру? Британский ученый, редактор-консультант журнала «Nature» Филип Болл пытается ответить на эти и другие удивительные вопросы с помощью законов физики. Автор книги пытается объяснить поведение человеческих масс через «социальную физику», причем в качестве доказательств Болл приводит факты, модели и истории не только из физической и экономической науки.

Как случайность управляет нашей жизнью? Таков подзаголовок книги профессора Калифорнийского технологического института, исследователя в области квантовой механики и теоретической физики и соавтора хокинговской «Кратчайшей истории времени» Леонарда Млодинова. Впрочем, многочисленные примеры из жизни на тему случайностей — это только яркая обертка, которая скрывает историю зарождения теории вероятности.

«Законы природы — скелет Вселенной. Они служат ей опорой, придают форму, связывают воедино. Вместе они воплощают в себе качественную картину нашего мира. В эпоху, когда мы перестаем верить в свою способность управлять окружающими вещами, они не дают забыть: даже самые сложные системы повинуются простым законам, понятным обычному человеку», — так считает профессор физики американского Университета Джорджа Мэйсона, автор более 30 научно-популярных книг Джеймс Трефил. Его «200 законов мироздания» — это энциклопедия, объясняющая в том числе, почему рост населения и мировой экономики за последние 100 лет — это прямое следствие роста объема накопленных нами знаний о Вселенной.

Мартин Гарднер родился в 1914 году, закончил философский факультет, но после службы на флоте во время Второй мировой войны, пришел в журналистику, став известным благодаря рассказам и головоломкам на развитие логики у дошкольников. Затем этот американский популяризатор науки начал издавать и книги, объясняющие уже не только детям многие математические задачи. «Теория относительности для миллионов» — как раз из таких.

Автобиография знаменитого американского физика, читая которую не знаешь, чему больше удивляться: фейнмановскому критическому уму, способному сформулировать свое меткое суждение не только на научные темы, умению иронично относится к окружающему миру (и главное к себе), таланту рассказчика, неутомимости в желании освоить максимум навыков или списку его профессиональных достижений. А достижения у Ричарда Фейнмана действительно впечатляющие: он — один из создателей атомной бомбы и Нобелевский лауреат (за работы по квантовой электродинамике).

Еще одна книга, в центре которой находится фигура ученого, на сей раз — российского. Это даже не столько биография Григория Перельмана, сколько описание нашумевшей истории, связанной с решением им одной из семи задач тысячелетия. В 2002 году Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, но потом не только отказался получить за это полагающуюся премию, но заявил о своем уходе из математики и во всех смыслах закрылся от всего мира. Журналист Маша Гессен в своей книге не только пытается понять, в чем же состоит феномен Перельмана (она не смогла взять с ним интервью, поэтому берет за основу разговоры с его учителями и коллегами), но и доступным языком старается объяснить суть доказанной им гипотезы. А в интервью T&P Гессен рассказала о сложностях работы над книгой.

Материалы по теме:

10 лучших книг по астрономии по мнению Стюарта Кларка

5 книг о фотографии, недавно переведенных на русский язык

5 книг, которые изменят ваше представление о дизайне

theoryandpractice.ru

Что почитать? Рекомендации факультета математики НИУ ВШЭ

Преподаватели факультета математики НИУ ВШЭ очень советуют прочесть перечисленные книги всем, кто интересуется или занимается математикой. Список не является (и не может быть) полным – мы знаем, что есть книги, не менее достойные, чем эти. Список будет меняться со временем по итогам обсуждений на факультете. В целях повышения объективности, факультет не рассматривал книги, написанные его сотрудниками, несмотря на то, что некоторые из них, по мнению факультета, достойны включения в подобный список. Ни категории, ни конкретные книги внутри категорий не упорядочены по уровню сложности. Например, неверно, что «серьезные книги для начинающих» проще, чем учебники начальных курсов.

Популярные книги по математике

В. И. Арнольд. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук.

М. Гарднер. Математические досуги.

С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках.

Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии.

Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?

Дж. И. Литлвуд. Математическая смесь.

Серьезные книги для начинающих

В. И. Арнольд. Математические методы классической механики.

Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализe.

Ю. И. Манин. Доказуемое и недоказуемое.

Ю. И. Манин. Вычислимое и невычислимое.

А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии (начальные главы).

Учебники начальных курсов

И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры.

В. А. Зорич. Математический анализ.

Э. Б. Винберг. Курс алгебры.

М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру.

А. А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа.

Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ.

Дж. Милнор, А. Уоллес. Дифференциальная топология.

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп.

W. Fulton, J. Harris. Representation Theory. A First Course.

А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

Общезначимые книги для подготовленных читателей

В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В.И. Арнольд. Лекции об уравнениях с частными производными.

М. Атья. Лекции по K-теории.

Э.Б. Винберг, В.Л. Попов. Теория инвариантов.

Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.

С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1

Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии.

М. Громов. Гиперболические группы.

S.K. Donaldson, P.B. Kronheimer. The geometry of 4-manifolds.

Г. Клеменс. Мозаика теории комплексных кривых.

Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики.

Ю. И. Манин. Введение в аффинные схемы и квантовые группы.

Дж. Милнор. Теория Морса.

Дж. Милнор. Введение в алгебраическую K-теорию.

Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы.

М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики.

Ж.-П. Серр. Курс арифметики.

Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.

Я.Г. Синай. Введение в эргодическую теорию.

В. Феллер. Теория вероятностей.

Дж. Харрис. Алгебраическая геометрия. Начальный курс.

И. Р. Шафаревич. Основы алгебраической геометрии.

А.Н. Ширяев. Вероятность.

М.А.Шубин. Лекции об уравнениях математической физики.

math.hse.ru

Занимательная математика. Отбираем лучшее. — Детская библиотека интересов

Формирование «научного мышления», которое на самом деле в современной культуре является довольно тривиальным, исподволь начинает формироваться с самых ранних этапов развития ребёнка. Ещё с пелёнок мы даём детям ощупывать предметы разной фактуры, формы и расцветки, делая простейший массажик, считаем пальчики, рассказываем сказки, читаем книжки…

Во многих из этих сказок и книжек на самом деле содержится масса самой настоящей математической информации. Самый тривиальный пример «математической» сказки — это конечно «Репка«. С помощью этой сказки формируется, например, такое важное представления из мат. анализа, как «приращение бесконечно малого», или, скажем, философское понятие «о переходе количества в качество». 🙂 Ещё вот напоминают сказку про Трёх медведей, да и вообще, надо сказать, что числа 3, 4 и 7 в сказках очень и очень популярны!

Среди авторских сказок тоже есть такие, в которых большое внимание отводится математическим представлениям:
Альф Прейсен «Про козлёнка, который умел считать до десяти» — классика жанра, можно сказать. По сказке снят мульфильм, также есть и диафильм. 

Константин Шевелев «Ювентик в стране чисел и цифр», «Приключения треугоши: математическая сказка для детей от 2-ух до 4-ех лет».

Жемчужиной среди математических книг для самых маленьких является, конечно же знаменитая серия про Кубарика и Томатика — книга первая и вторая.
Левинова, Сапгир «Кубарик и Томатик или Месёлая математика» и «Приключения Кубарика и Томатика или Весёлая математика. Часть II. Как искали Лошарика» (смотрите также здесь).

Джовани Рабони  «Тетрадь по арифметике кота Котангенса«.

Ирина Токмакова «Может, ноль не виноват?» Продолжение книги «Аля, Кляксич и буква А», в котором Аля отправляется со своим другом в новое путешествие, чтобы найти пропавшего солдатика из задачи по математике. История рассказывается по схеме предыдущей книги, только на сей раз ребята знакомятся не с буквами, а в цифрами и математическими знаками.

Георгий Юдин «Заниматика»: «Занимательная математика для девочек и мальчиков 4-7 лет. «Заниматика» — весёлая младшая сестра арифметики. Она поможет вашим детям не только быстро запоминать цифры и решать с ними несложные задачи, но и даст первые представления о теории относительности, пространстве, времени и, самое главное, научит творчески мыслить и находить правильные решения как в арифметике, так и в жизни.» И ещё один отзыв: «Великолепная книга — написано просто о сложном — легко, весело. Право-лево, низ-верх… А еще я просто поразилась как изящно, буквально на пальцах, Юдин объясняет детям сложную теорию относительности. И плюс великолепные яркие картинки.
Ребенок в восторге.»

И парочка познавательных мультфильмов для этого возраста:
«Арифметика для малышей»
«Геометрия для самых маленьких».

Предваряя следующий раздел, хочу остановиться на очень хорошей книге 9пока только одну выбрали) для родителей:

Александр Калманович Звонкин «Малыши и математика»: «Автор этой книги — профессиональный математик — рассказывает о своём опыте занятий математикой с дошкольниками. Жанр книги смешанный: дневниковые записи перемежаются рассуждениями о математике или о психологии, наблюдения за детьми и за их реакцией на происходящее служат источником для новых задач, а те в свою очередь позволяют углубить и развить как бы намеченные пунктиром идеи. Книга будет интересна родителям дошкольников (а также их бабушкам и дедушкам), воспитателям детских садов, учителям начальных классов, и вообще всем тем, кого интересует процесс развития детского интеллекта. «

Занимательная математика для ребят постарше — от 6-7 лет и далее… до бесконечности 😉

Генденштейн Л.Э., Мадышева Е.Л. «Энциклопедия развивающих игр: игры и истории на развитие сообразительности для детей 6-8 лет»

Владимир Житомирский и Лев Шеврин «Геометрия для малышей», «Путешествие по стране Геометрии», «Математическая азбука«.

Надежда Шабалина «Приключения точки» — совсем крохотная сказка, насколько я поняла, но зато она даёт малышам представление о самых элементарных понятиях геометрии.

Ф. Папи, Ж. Папи «Дети и графы»

Николай Олейников «Кружок умных ребят».

Возможно, ребятам младшей школы понравятся также и смешные задачки из «Задачника» от Григория Остера.

Конечно же, мы никак не можем здесь пройти мимо книг Льюиса Кэролла, как про Алису (см. в разных переводах), так и его же «История с узелками» в переводе Юрия Данилова, «Логическая игра«.

Лев Генденштейн «Алиса в стране математики»: «Книга является продолжением знаменитой сказки Льюиса Кэрола. Алиса, путешествуя по стране математики, встречает знаменитых персонажей из «Алисы в стране чудес» и «Алисы в Зазеркалье»: Шляпника, Зайца, Соню, Кролика, Шалтая-Болтая, жителей карточного и шахматного королевств. На каждом шагу Алису поджидают интересные математические задачи и парадоксы, которым в занимательной форме дается подробное объяснение. В книге содержится много экскурсов в историю математики, приведены интересные факты из жизни известных ученых.»

Серия книг, написанная Владимиром Артуровичем Лёвшиным, частично в соавторстве с его женой, Эмилией Борисовной Александровой. Эти книги рассчитаны на разный возраст школьников, ниже они приведены в порядке возрастания предполагаемого возраста читателей. Впрочем, как всегда, просьба не забывать, что все дети разные.

Серия про Нулика:
Александрова Эм., Левшин В. «Три дня в Карликании»: «Читатели этой книги вместе со школьниками Таней, Севой и Олегом совершают занятное путешествие в Арифметическое государство, где живут числа-карлики и числа великаны и знакомятся с его столицей Арабеллой, посещают карликанский цирк, представление на льду, Зеркальную улицу и узнают много интересного и полезного о числах, об их истории и свойствах.» и «Чёрная маска из Аль-Джебры«: «Действие сказки происходит в соседнем с Карликанией государстве Аль-Джебре. Житель Арифметического государства Нулик случайно очутился у входа в таинственную пещеру. Здесь он увидел странное существо в чёрной маске. Незнакомец сообщает Нулику, что он заколдован и обречён носить маску до тех пор, пока его не расколдуют. Но Нулик ещё слишком мал для такого серьёзного дела. Поэтому он вызывает в Карликанию своих друзей. Ребята попадают в незнакомую им страну Аль-Джебру. Там с ними происходят всевозможные приключения, о которых они рассказывают Нулику в письмах.»
А также книга «Нулик-мореход», которая исходно издавалась под названием «Фрегат капитана Единицы«: «Правдивые рассказы, записанные в судовом журнале союственноручно юнгой Нуликом, обо всем, что он увидел, услышал, понял и не понял во время плавания по геометрическим морям и океанам.»
Внимание! Так же про Нулика есть радиоинсценировки!) Так же про Нулика вышло новое издание книги, но пока что только одна — «Три дня в Карликании», без продолжения.

Также этим замечательным автором был создан такой персонаж как «Магистр Рассеянных Наук«, про которого и написана одноимённая трилогия, в состав которой входят следующие занимательные, весёлые, увлекательные и познавательные повествования:
«Диссертация рассеянного магистра»
«Путевые заметки рассеянного магистра»
«В поисках похищенной марки»
«Герой книги — пылкий поклонник математики, неутомимый путешественник и путаник Магистр Рассеянных Наук — колесит по свету в погоне за математическими загадками и казусами. Его рассказы, полные самых невероятных приключений и ещё более невероятных ошибок, развивают наблюдательность, совершенствуют математическую логику и убедительно подтверждают справедливость древней истины: на ошибках учатся.» Рассеянный магистр, который делает ошибки и все путает, путешествует с девочкой Единичкой. А Клуб Рассеянного Магистра читает путевые заметки и разбирает ошибки.
Внимание! Серию про Магистра рассеянных наук тоже уже можно приобрести в новом переиздании: вот эту книгу под названием «Магистр рассеянных наук» (куда входит «Диссертация рассеянного магистра» и «Путевые заметки рассеянного Магистра») и «В поисках похищенной марки».

Александрова Эм., Левшин В. «В лабиринте чисел: Путешествие от А до Я со всеми остановками«: «Замечательная книга о приключениях мальчика Чита в Лабиринте Чисел и о его проводнице — Арифметике. В увлекательной форме знакомит детей со многими математическими и логическими понятиями.»
«Стол находок утерянных чисел: Математический детектив«: «Жители города Энэмска очень любят математику. Даже стол находок утерянных чисел у себя организовали. Потому что энэмчане знают — числа живут особенной жизнью и дружба с ними сулит приятные неожиданности и нечаянные открытия. Разумеется тем, кто знает их законы.»
Александрова Эм., Левшин В. «Искатели необычайных автографов, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков«: «Любитель изящной словесности Филарет Филаретович Филаретов, или сокращенно Фило, и признающий только красоту математики Матвей Матвеевич Матвеев, или сокращенно Мате, отправляются в путешествие по прошедшим эпохам в поисках автографов великих писателей и математиков. Каково же их удивление, когда оказывается, что они разыскивают одних и тех же людей! На страницах этой удивительной книги вы повстречаетесь с Омаром Хайямом, Блезом Паскалем, Эратосфеном, Фибоначчи, Пифагором и многими другими великими людьми, которые, возможно, предстанут в новом, незнакомом для вас качестве. Немаловажно, что книга написана авторами Левшиным В. и Александровой Э. простым понятным языком и не требует специальных знаний в области математики.»

Иван Депман «Мир чисел»: «Когда речь идет о чем-нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два — четыре!»
А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два — четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет.
Конечно, это учение шло не за партой. Человек постепенно учился жить: строить жилища, находить дорогу в дальних походах, обрабатывать землю. И одновременно он учился считать. Потому что даже в самые далёкие времена, когда люди жили в пещерах и одевались в звериные шкуры, они не могли обойтись без счета и меры.
О том, как люди учились считать и мерить, расскажет вам эта книжка. Из нее вы узнаете, что многие правила из ваших школьных учебников арифметики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад. Другие древние народы — египтяне, вавилоняне, китайцы, народы Индии — в третьем тысячелетии до нашего летосчисления имели сведения по геометрии и арифметике, которых не хватает некоторым ученикам пятого или шестого класса.
И вот эта книжка расскажет об истории математики — той самой науки о числах, величинах и фигурах, без которой… Впрочем, что было бы с людьми без математики, даже представить себе трудно!»
У этого автора вообще очень много работ по математике и истории математике, в том числе и для ребят: «За страницами учебника математики» (в соавторстве с Н.Я. Виленкиным), «История арифметики», «Рассказы о решении задач», «Рассказы о старой и новой алгебре».

Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров «Забавная арифметика»: «Книга замечательных русских педагогов начала XX века представляет собой сборник занимательных задач, упражнений, фокусов и шуток.» В современном издании издатели сохранили структуру книги ещё дореволюционного издания — дано предисловие авторов, написанное в 1910-ом году и схоранено деление книги на три части, адресованные детям младшего, среднего и старшего возрастов, сохраняя авторское деление. Поэтому некоторые задачи в книге повторяются, например, задачка «Остроумный делёж» про крест с брильянтами есть и в разделе для малышей, и для среднего возраста, но что забавно, текст задачи немного меняется, да и сама задачка незаметно усложнилась. Так, для малышей она звучит так: «У одного человека был золотой крест, украшенный брильянтами. Этот человек никогда не интересовался тем, сколько всего брильянтов вставлено в крест. Он знал лишь одно: если начать считать с одного из боковых концов или с верхнего конца вниз до основания креста, то всегда окажется 6 бриллиантов. Однажды этот крест был отдан в починку золотых дел мастеру. Мастер потерял два бриллианта и, не вставляя на их место других, вернул крест починенным, лишь расположив бриллианты по-другому. Владелец пересчитал бриллианты по-своему и ничего не заметил. Как мастер ухитирлся расположить бриллианты?» а для ребят среднего возраста вот как: «У одного вельможи был крест, украшенный крупными бриллиантами. Они никогда не интересовался тем, сколько бриллиантов вставлено в крест. Вельможа знал лишь одно: если он начинал считать с одного из боковых концов или с верхнего конца вниз до основания креста, то всегда насчитывал 9 бриллиантов. Как-то раз понадобилось отдать крест в починку. Вельможа призмал мастера и, отдавая ему крест, сказал: «Прошу вас, чтобы все бриллианты были в целости. Давайте вместе проверим их.» И вельможа стал вслух по-своему считать бриллианты. мастер заметил это и, так как он не отличался особой честностью, при починке вынул два камня и возвратил крест вельможе, не подменив, однако, настоящих камней фмальшивыми. Тот пересчитал камни и нашёл, что они все целы. Как мастер ухитрился провести вельможу?»

Сергей Павлович Бобров «Волшебный двурог»: «В этой книге в занимательной форме рассказывается немало интересного для тех, кто любит точные науки и математику. Читатель узнает о развитии математики с ее древнейших времен, о значении математики в технике, а особенно об одной из важнейших отраслей математики — так называемом математическом анализе. На доступных примерах читатель познакомится с элементами дифференциального и интегрального исчислений. В книге также говорится о неевклидовых геометриях и о той, которая связана с открытиями великого русского геометра Н.И. Лобачевского. Читателю предлагается немало занимательных задач, многие из которых сопровождаются подробным разбором. «

О. И. Мельников «Незнайка в стране графов«: » В настоящей книге в занимательной форме изложены основы одного из интенсивно развивающихся разделов математики — теории графов. Книга написана как продолжение известных сказок о Незнайке и его друзьях. Главы объединены единым сюжетом, элементы теории графов органично введены в занимательные игровые ситуации. В книге содержится около 130 задач с подробными решениями.»

Эбботт Э., Бюргер Д. «Флатландия. Сферландия»: «вторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.»

Ещё один замечательный популяризатор науки (не только математики, и не только для детей) — Яков Исидорович Перельман. Собственно по математике им были написаны следующие книги: 
«Живая математика» — считается наиболее «элементарной» из всей серии, потому что для решения головоломок, записанных в увлекательной живой форме, не требуется особенно глубоких познаний в алгебре или геометрии.
«Занимательная арифметика» — ещё одна серия занимательных задач, развивающих воображение, познавательные способности, и даже… знания по истории! Например, в самом начале книги мы узнаём, что в дореволюционном Петербурге было много дворников-китайцев, которые пользовались собственной системой записывания чисел, и соответственно, номеров квартир в домах. Никогда бы не подумала…
 «Занимательная математика» напоминает сборник фантастических рассказов, будит воображение, и отлично вводит ребят в мир современных научных представлений. Вокруг этих историй есть много о чём поговорить! Например, небольшой рассказ про мыльный пузырь — здесь и относительность времени и пространства, относительность прежде всего для нашего восприятия, и иллюстрация того, как могут развиваться наши представления об устройстве мира, и сопоставление с реальной историей развития нашей науки.
Небольшая по объёму брошюра «Быстрый счёт» будет очень полезна при отработке навыков счёта.
«Занимательная геометрия» — «…Эта книга предназначается для тех читателей, которые обучались (или сейчас обучаются) геометрии только у классной доски и поэтому не привыкли замечать знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире вещей и явлений, не приучились пользоваться приобретенными геометрическими знаниями на практике…» (Я.И.Перельман). Некоторые разделы книги: Геометрия в лесу; Геометрия у реки; Геометрия в открытом поле; Геометрия Робинзонов; Геометрия впотьмах.

Также Перельман написал две книги с математическими головоломками: «Для юных математиков. Первая сотня головоломок» (Первоначально книга называлась «Веселые задачи. 101 головоломка для юных математиков») и «Для юных математиков. Вторая сотня головоломок». «Фактически это сборники занимательных задач, вопросов, опытов, игр, фокусов и т.п., как заимствованных из других сочинений этого жанра, так и придуманных самим Перельманом. В сборниках содержатся задачи разного уровня сложности: от самых простых, адресованных тем, кто пока не начал всерьез изучать математику, до достаточно сложных, требующих кое-каких специальных знаний. Задачи собраны в разделы: «Искусное разрезание и сшивание», «Вес и взвешивание», «Десять задач о Земле и небе», «Неожиданные подсчеты» и др., внутри которых упорядочены по уровню сложности. Несмотря на то, что некоторые задачи не назовешь «чисто математическими», автор включил их в книги как обладающие хорошим потенциалом для развития логики (некоторые головоломки, затруднительные положения), наблюдательности (обманы зрения), воображения и геометрической интуиции (игры со спичками, «Танграм», построение фигур одним росчерком). «

И.Ф. Шарыгин «Уроки дедушки Гаврилы или Развивающие каникулы»: «Данная книга является рассказом о летних каникулах мальчика, проведенных в деревне у дедушки, в сюжетную линию которого вплетены занимательные задачи различной степени трудности. Ко всем задачам имеются объяснения, указания или решения. Книга адресована учащимся 4-6 классов.» «Наглядная геометрия» (правда, это уже «просто» учебник…)

Емельян Игнатьевич Игнатьев «В царстве смекалки» Книга (вернее, три книги) написана в начале прошлого века и до сих пор считается одной из лучших популярных книг по математике. Книгу можно приобрести, вот например, и вот…

Продвинутым школьникам советуют почитать И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы».

Если говорить о головоломках, то также сейчас несложно приобрести книги знаменитого популяризватора математики Мартина Гарднера:
«Математические головоломки»
«Математические досуги»
«Математические новеллы»
«Крестики-нолики»

А также Рэймонда Смаллиана «Как же называется эта книга?«, «Принцесса или тигр?«, «Приключения Алисы в стране головоломок» (я так понимаю, что это ничто иное, как та же самая книга, что и «Алиса в стране Смекалии», только под другим заголовком, возможно, из-за разницы в переводах). Можно сказать, что книга про Алису (да, да, ту самую, Кэрролловскую) уже больше про логику, чем про математику, но оставим всё же её в этом разделе, так… для затравки. 🙂
«- Могу предложить вам одну интересную задачу, — сказал я. — Представьте себе, что перед вами двое совершенно неотличимых близнецов. Один всегда лжет, другой всегда говорит правду.
— А как их зовут?
— Одного из близнецов зовут Джон, — сообщил я.
— Не очень-то редкое имя! — заявил Тони. — Почти каждого встречного, как говорится, Тома, Дика и Гарри, непременно зовут Джоном. Замечание Тони несколько озадачило меня.
— А как зовут другого брата? — спросил Тони.
— Не помню, — признался я.
— А почему вы не помните? — поинтересовался Майкл.
— Не знаю почему, — ответил я, — да к тому же, как зовут второго брата, совершенно несущественно.
— А кто Джон — тот, кто лжет, или его брат? — вмешалась в разговор Лиллиан.
— Хороший вопрос, — одобрительно заметил я, — жаль только, что никто не знает, кто лжет — Джон или его брат.
— А в чем задача? — спросила Алиса.
— Задача вот в чем. Предположим, что вам встретились близнецы и вы хотите узнать, кто из них Джон. Каждому из них вам разрешается задать только один вопрос, на который можно ответить односложно: «да» или «нет». Сам вопрос должен состоять из трех слов. Какой вопрос вы задали бы?
— Всего три слова! — вскричал в изумлении Майкл.
— Совершенно верно, — подтвердил я. — На самом деле это условие сильно облегчает задачу: не так уже много найдется вопросов, состоящих всего из трех слов.
— Я знаю! — сказал один из гостей Алисы. — Нужно спросить у одного из близнецов: «Твое имя Джон?»
— Ничего не выйдет, — возразил Майкл. — Предположим, что на твой вопрос близнец ответит «да». Что это даст? Ровным счетом ничего: ведь он может и лгать, и говорить правду.»

… Впрочем, кажется, что следует сделать остановку. Книг с головоломками существует много, и не наша задача описать все. Да и всяческих занимательных и популярных математик тоже немало. Предлагаю всё-таки отобрать для нашего списка самые-самые!

Для тех, кто хочет ещё глубже углубиться в тему, рекомендуем интернет-библиотеку по математике (часть ссылок на книги в нашем обзоре ведут непосредственно в эту библиотеку) московского центра непрерывного математического образования, а также, пожалуй, самый полный в ин-ете список книг по занимательной математике от Сухина.

kid-home-lib.livejournal.com

Книги о математике и математиках / math5school.ru

В 1980 году в первом издании книги «Математика. Утрата определённости», М. Клайн написал: «В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них по ряду причин не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин — величественной математике начала XIX в., гордости человека — не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришли неуверенность и сомнения в будущем математики.»

Что такое математика? Каковы ее происхождение и история? Чем занимаются математики сегодня и каков ныне статус науки, которая составляет предмет их интересов и профессиональной деятельности? Ответы на эти и многие другие вопросы читатель найдет в книге известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета Морриса Клайна. В этой работе автор в увлекательной и популярной манере описывает историю развития и становления современной математики от античности до наших дней, а также рассказывает о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на существо математической науки и ее роль в современном мире. Книга рассчитана на широкий круг читателей с общенаучными интересами.

Книга содержит задачи, предлагавшиеся на киевских городских математических олимпиадах, проводимых Киевским университетом, в 1935 – 1983 годах. 
Материал книги охватывает все разделы школьного курса, – делимость чисел, решение уравнений и систем уравнений, свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве, геометрические построения, метод координат, векторная алгебра, числовые последовательности, исследование функций с помощью производной. 
К наиболее сложным задачам даны подробные решения. 
Для учителей общеобразовательных школ, руководителей школьных математических кружков, а также для школьников и всех тех, кто любит решать интересные математические задачи. Книга может быть использована также при подготовке к конкурсным экзаменам.

В книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского собраны наиболее важные, интересные и доступные широкому кругу читателей результаты, относящиеся к теории простых чисел. Приводятся многочисленные указания на нерешенные проблемы.

Как сказал сам автор в предисловии: «Цель этой книги – сообщить в наиболее доступной форме о том, что мы знаем и чего не знаем о простых числах.»

Доказательства теорем даются лишь в тех случаях, когда они элементарны и не очень утомительны.

Книга не является учебником по теории простых чисел и носит, в основном, информационный характер.

Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в это книге большой материал для занятий математического кружка.

Фрагмент для ознакомления

В. Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах (1,64 Mb) 

Задачи, рассматриваемые в книге выдающегося польского математика Вацлава Серпинского, принадлежат элементарной теории чисел и, как правило, являются элементарными и в обычном смысле этого слова. Поэтому значительная часть книги доступна широкому кругу читателей.

Эта книга не является задачником по теории чисел, она не содержит тренировочных примеров и задач, необходимых для усвоения каких-то разделов учебной программы. Однако задачи и краткие решения, помещенные здесь, учат очень многому, так как, формируя математическое мышление, они создают известные предпосылки для самостоятельной работы в элементарной теории чисел и способствует приобретению таких навыков, которые будут полезны в любой отрасли математики.

Книга может быть использована учащимися старших классов средней школы, имеющими склонность к математике, студентами и учителями. Последние найдут в это книге большой материал для занятий математического кружка.

Фрагмент для ознакомления 

 В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел (1.7 Mb)

Из вступительного слова Рихарда Куранта:

Давид Гильберт был одним из истинно великих математиков своего времени. Его проникновенная интуиция, его творческая мощь и неповторимая оригинальность математического мышления, широта и разносторонность интересов сделали его первооткрывателем во многих областях математики. Это была единственная в своем роде личность, глубоко погружённая в свою работу и полностью преданная науке, учитель и руководитель самого высокого класса…

Мне всегда казалось очень желательным, чтобы была опубликована его биография. Однако, принимая во внимание огромную научную широту работ Гильберта, я считал практически невозможным, чтобы одному биографу удалось воздать должное всем сторонам жизни Гильберта как учёного и неотразимому воздействию его яркой личности. Поэтому, когда я узнал о планах миссис Рид относительно настоящей книги, я вначале был настроен скептически, сомневаясь в возможности кого-либо, не очень хорошо знакомого с математикой, написать приемлемую книгу. Тем не менее при чтении рукописи мой скептицизм исчез и меня стало охватывать всё большее и большее восхищение успехом автора. Я верю, что эта книга очарует не только математиков, но и всех тех, кого интересует тайна происхождения великих учёных в нашем обществе.

Фрагмент для ознакомления

Констанс Рид. Гильберт (html) 

Предлагаемая читателю небольшая книга одного из крупнейших современных английских математиков Джона Иденсора Литлвуда (род. в 1885 г.) принадлежит к редкому жанру собрания математических очерков-миниатюр. Некоторые из составляющих её очерков были впервые опубликованы в других изданиях, остальные написаны автором специально для этого сборника. Само название книги (в английском оригинале – «Разные заметки одного математика») указывает на непринужденный характер подбора материала и его изложения.

Тематика очерков весьма разнообразна. Она включает математические анекдоты, моменты математической автобиографии, небольшие историко-математические исследования, интересные задачи, оригинальные и неожиданные доказательства, вопросы баллистики и небесной механики.

Профессору Литлвуду принадлежит много важных и глубоких результатов в теории функций, аналитической теории чисел и других областях математики. Он известен также как остроумный собеседник с широким кругом интересов, живо реагирующий на любой математический вопрос.

Стиль Литлвуда нельзя назвать лёгким, он всегда предъявляет высокие требования к логическому мышлению читателя и умеет лаконичный сам по себе английский язык конденсировать до предела.

Фрагмент для ознакомления

Дж. Литлвуд. Математическая смесь (1,38 Mb)

Предлагаемая книга посвящена изложению в занимательной форме элементов одного из важных разделов дискретной математики — теории графов. За последние десятилетия теория графов превратилась в один из наиболее бурно развивающихся разделов математики. Это связано с тем, что теория графов, родившаяся при решении головоломок и занимательных задач, стала в настоящее время простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем. В виде графов можно интерпретировать, например, схемы дорог и электронные схемы, географические карты и молекулы химических соединений, связи между людьми и многое другое. Это привело к широкому использованию теории графов в физике и кибернетике, химии и биологии, экономике и статистике и других науках. Особенна важна роль теории графов в современном программировании.

В книге предлагается более ста занимательных задач и их решение. В начале книги задано условное деление задач по степеням трудности. Большинство из этих задач придумано или интерпретировано автором. Некоторые задачи (например, три дома и три колодца, обход мостов, задача о рукопожатиях и т.д.) относятся к математическому фольклору. Есть в сборнике задачи, заимствованные автором из различных книг. Для некоторых из них предложены новые решения.

Изучение элементов теории графов, по мнению автора, повысит общую математическую культуру школьников и облегчит им освоение вычислительной техники. Кроме того, книга будет полезна учителям математики для использования на кружках, факультативах и олимпиадах.

Фрагмент для ознакомления 

О.И. Мельников. Занимательные задачи по теории графов (1,13 Mb)

Гёста Миттаг-Леффлер был выдающимся математиком и научным деятелем международного масштаба. Личное творчество Миттаг-Леффлера в области математики значительно, его вклад в анализ стал классическим и оказал большое влияние на последующие изыскания.
В теории аналитических функций есть теоремы, носящие имя Миттаг-Леффлера, относящиеся к основам анализа. Его изящные исследования по теории целых трансцендентных функций вызвали ряд работ других авторов.
Миттаг-Леффлер был предан математике, которую считал «наукой всех наук», способной объединять людей разной национальности. Главное детище его жизни, основанный им журнал «Акта математика», он хотел сделать интернациональным и добился этого благодаря своим широким связям с математиками всего мира и благодаря дипломатическим способностям в привлечении к работе в журнале наряду с уже знаменитыми математиками талантливой молодежи. Миттаг-Леффлер был участником математических конгрессов и активным деятелем в организации первых из них. 

Большую помощь Миттаг-Леффлер оказал нашей соотечественнице С.В. Ковалевской, пригласив ее преподавать в Высшую школу Стокгольма, где она получила звание профессора.

Фрагмент для ознакомления

П.Я. Кочина. Гёста Миттаг-Леффлер (4,73 Mb)

Карл Вейерштрасс был одним из крупнейших математиков XIX века, оставившим глубокий след в науке. Его именем названы многие теоремы математического анализа, вариационного исчисления, линейной алгебры.

Вейерштрасс был профессором Берлинского университета, и его лекции пользовались огромным успехом, привлекая математиков из разных стран. О Вейерштрассе говорили, что он приучил математиков к математической строгости.

Для нас Вейерштрасс дорог еще тем, что он помог нашей соотечественнице С.В. Ковалевской выйти на пионерскую по тем временам дорогу женщины-ученой и профессора высшей школы, открывая новый путь женщинам.

Фрагмент для ознакомления

 П.Я. Кочина. Карл Вейерштрасс (4,28 Mb)

В книге собраны задачи, предлагавшиеся на знаменитых Венгерских математических олимпиадах с 1894 по 1974 годы. К составлению задач привлекались лучшие математические силы страны. Задачи отличаются оригинальностью, неожиданностью постановки, глубиной и, как правило, допускают простые и ясные решения.

Эта книга заинтересует самые раз­ные категории читателей. Старшеклассник встретит здесь немало интересных задач и сможет, хотя и заочно, померяться силами со своими сверстниками прошлых лет, многие из которых стали известными учеными. Ветеран олимпиад сравнит эти задачи с теми, которые были «в его время», и с удовольствием отметит неожиданные пово­роты в решениях или занимательное оформление усло­вий. Преподаватель математики найдет разнообразный материал для классных и внеклассных занятий. Нако­нец, педагог-исследователь сможет проследить за эволю­цией идей в задачах, отражающей сменяющиеся веяния как в самой математике, так и в ее преподавании.

Фрагмент для ознакомления

Кюршак Й., Нейкомм Д., Хайош Д., Шурани Я. Венгерские математические олимпиады (5,64 Mb)

 1   2   3   4   5   6   7   8   9

math4school.ru

Отношения и пропорции в математике

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Таким образом, сам смысл термина «отношение» был несколько иной, чем термина «деление»: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление» и «отношение» по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах.

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

400 – общее число товара

200 – РФ

Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.

200 : 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения, а делителем – последующий член отношения. В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения. К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:

1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

200 : 400 = 0,5 или 50%

2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

300 : 600 = 0,5 или 50%

В данном случае имеется пропорция, которую можно записать следующим образом:

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции, а четыреста и триста – средними членами пропорции.

Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:

Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;

200 × 600 = 120 000

Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.

300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции, то:

Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.

Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.

simple-math.ru

примеры на отношение 6 класс

Записи с меткой «примеры на отношение 6 класс»

I. Частное двух чисел называют отношением этих чисел. 

так с помощью букв записывают отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член. (Напоминание: дробная черта означает знак деления).

Примеры. 

1) Найти отношения: а) 9 : 5; б) 0,21 : 0,3; в) 51 : 7.

Решение. Выполняем деление.

2) Найти неизвестные члены отношений: а) х : 6 = 24; б) 35 : х = 0,07.

Решение.

а) х : 6 = 24.  Делимое равно х, делитель равен 6, частное равно 24. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. 

х = 24 · 6;

х = 144.

б) 35 : х = 0,07.  Делимое равно 35, делитель равен х, частное равно 0,07. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

х = 35 : 0,07;

х = 3500 : 7;

х= 500.

 II. Если члены данного отношения переставить местами, то получившееся отношение называют обратным для данного отношения. 

 III. Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

В самом деле, отношение означает деление.

Члены отношения — это числитель и знаменатель обыкновенной дроби.

А мы знаем основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число. 

Примеры.

3) Сократите отношение: а) 80 : 5; б) 42 : 45.

а) 80 : 5. Разделим оба члена этого отношения на 5. Тогда вместо числа 80 получим число 16 (80:5=16), а вместо числа 5 получим число 1 (5:5=1). Запишем: 80 : 5 = 16 : 1.  Читают: восемьдесят так относится к пяти, как шестнадцать относится к единице.

б) 42 : 45. Каждый член этого отношения разделим на 3,

тогда получим равенство: 42 : 45 = 14 : 15. Читают: сорок два так относится к сорока пяти, как четырнадцать относится к пятнадцати.

www.mathematics-repetition.com

Отношения

Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же величины – массы, расстояния, времени, скорости, стоимости, объёма, площади и т.д.

Для сравнения чисел и величин существуют, как вы знаете, два способа:

1-ый: вычисление разности и 2-ой: вычисление частного.

Оба этих способа используют часто при решении практических задач, но служат они для разных целей. К делению прибегают в тех случаях, когда хотят получить качественную оценку или относительную оценку той или иной ситуации.

Задача

На экране изображены два отрезка. Отрезок AB длиной 15 см и отрезок CD, длина которого 6 см. Во сколько раз отрезок АВ больше или длиннее отрезка CD?

Решение:

Вторая задача: на экране изображены эти же два отрезка. Отрезок AB длиной 15 см и отрезок CD, длина которого 6 см. Но поставим вопрос по-другому: какую часть отрезок CD составляет от отрезка АВ?

Решение:

Обе рассмотренные задачи решаются делением, и ответ даётся в виде частного. В таких случаях частное двух чисел называют их отношением.

Определение

Частное двух не равных нулю чисел (или двух величин) называют отношением.

Сами эти числа (величины) называют членами отношения.

Иными словами, отношение двух чисел – это другое название их частного. Отношение чисел записывают с помощью знака деления, а также с помощью черты обыкновенной дроби.

Частные чисел читают так:

Напомним, что отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.

Черта дроби используется для записи отношения и тогда, когда его члены не являются натуральными числами.

Задача

Рост дяди Степы 2 м 10 см, а рост мальчика Васи – 105 см. Во сколько раз дядя степа выше мальчика Васи?

Решение:

Но ведь дробную черту мы использовали для записи дробей! А сейчас записана не дробь. Верно. Но вы давно знаете, что при записи деления натуральных чисел вместо знака деления можно использовать дробную черту. Так вот, договариваются о том же и при записи деления любых чисел.

Итак, если а и b – любые числа, то

Сделаем важное замечание:

Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т.д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число. Такие величины называют однородными.

Отношение величин разных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объема и т.д.) есть новая величина.

Вот, например, в предыдущей задаче мы находили во сколько раз дядя Степа выше мальчика Васи.

Рост Васи и рост дяди Степы – это однородные величины, т.е. длина. Поэтому отношение их роста выраженно натуральным числом.

А теперь давайте разберёмся, почему отношение разноимённых величин – это новая величина.

Задача

Муравей за 20 секунд пробегает 240 сантиметров. Определите скорость движения муравья.

Решение:

Отметим, что обозначения км/ч, м/с и т.п. приняты именно потому, что расстояние делят на время. Их обычно записывают с наклонной чертой.

В виде отношений определяются и другие величины:

Из основного свойства частного следует свойство отношения.

Давайте вспомним основное свойство частного:

если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Следовательно, получаем свойство отношения:

отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример

Мы с вами убедились, что свойство отношения действует. Мы умножили числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, само же отношение не изменилось.

Итоги       

Итак, сегодня на уроке мы узнали, что частное двух не равных нулю чисел (или двух величин) называют отношением.

Сами эти числа (величины) называют членами отношения.

Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

И свойство отношения: отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

videouroki.net

как решить задачу 6 класса на отношение чисел?

Подумать и решить

Если человек спрашивает, значит он не знает

НУ, К ПРИМЕРУ » ДЛЯ КОМПОТА ВЗЯЛИ ЯБЛОКИ И СЛИВЫ В ОТНОШЕНИИ 4 К 3 . ВОПРОС : СКОЛЬКО ВЗЯЛИ ЯБЛОК, ЕСЛИ СЛИВ ВЗЯЛИ 6 КГ. ?» РЕШЕНИЕ : 1) 6 : 3 =2 КГ. СЛИВ. 2) 4 * 2 = 8 КГ. ЯБЛОК. ОТВЕТ : 8 КГ. ЯБЛОК, 6 КГ. СЛИВ .

НАПРИМЕР: ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЕ ФАРФОРА СМЕШИВАЮТ БЕЛУЮ ГЛИНУ, ПЕСОК И ГИПС В ОТНОШЕНИИ 25 : 2 : 1. ОПРЕДЕЛИТЕ МАССУ КАЖДОГО ИЗ ЭТИХ ВЕЩЕСТВ, НЕОБХОДИМУЮ ДЛЯ ПРИГОТОВЛЕНИЯ 700КГ ТАКОЙ СМЕСИ. 25X+2X+1X=700 28X=700 X=700:28 X=25 ( ГЛИНА ) 1) 25 * 2 = 50 (ПЕСОК) 2) 25 * 25 = 625 ( ГИПС) ПРОВЕРЯЕМ: 625+50+25=700. ЕСЛИ ПОМОГ ПАЛЕЦ ВВЕРХ 😉

touch.otvet.mail.ru

Отношение (математика) — это… Что такое Отношение (математика)?

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

Отношение может также означать результат операции деления, например:

Формальное определение

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

.

Арность

Примеры

• Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначаемое символом «=». Ему принадлежат все пары вида , и только они.

• Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ». Состоит из пар вида , где x делит y нацело.

Отношения и предикаты

Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение , то отношением называется прообраз единицы в . Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.

Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов.^[1]

Операции с отношениями

Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).

Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.

См. также

Примечания

1. ↑ Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982.

dic.academic.ru

Математика 4 класс | Онлайн олимпиада. Примите участие бесплатно.

Задание по математике для 4 класса (Уравнения)

Лимит времени: 0

Информация

Примите участие и узнайте свой результат.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 10

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

• 

  Поздравляем!
  Вы отлично выполнили задание.
  Ваш результат соответствует 1 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 1 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы хорошо справились с заданием.
  Ваш результат соответствует 2 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 2 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы выполнили задние допустив незначительное количество ошибок.
  Ваш результат соответствует 3 месту.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и не допустить ошибок.
  Вы можете заказать оформление диплома 3 степени перейдя по ссылке.

• 

  Сделайте работу над ошибками.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и добиться хорошего результата.
  Ваш результат может стать значительно лучше.

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

source2016.ru

Тест: Решение задач для 4 класса

Решение задач с выбором одного ответа на движение, на порпорциональное деление, меру времени.

Математика 4 класс | Автор: Степанова Татьяна Николаевна | ID: 1288 | Дата: 14.2.2014

Получение сертификата
о прохождении теста

testedu.ru

Тесты по Математике для 4 класса

Тесты по «Математике» для 4 класса

Тест применяется на этапе актуализации на уроке «Сложение и вычитание величин»

Математика 4 класс  |  Дата: 13.5.2019

Вопросы по математике для подготовки к ГКР

Математика 4 класс  |  Дата: 27.3.2019

Цель: проверить сформированность представлений о скорости движения, умение решать задачи на встречное движение.

Математика 4 класс  |  Дата: 22.2.2019

Проверить знания учащихся

Математика 4 класс  |  Дата: 29.1.2019

Тестовая работа с выбором ответа за курс начальной школы

Математика 4 класс  |  Дата: 27.12.2018

Задания для проведения олимпиады по математике в 4 классе

Математика 4 класс  |  Дата: 26.12.2018

Ответь на 5 вопросов теста правильно и получи отметку «5».

Математика 4 класс  |  Дата: 17.10.2018

Проверка владения устными вычислениями, сложение и вычитание многозначных чисел, названия компонентов действий сложения и вычитания

Математика 4 класс  |  Дата: 10.10.2018

Тест содержит основные вопросы за курс математики в начальной школе.

Математика 4 класс  |  Дата: 11.6.2018

Входящий тест по математике, который поможет определить знания полученные в 3 классе.

Математика 4 класс  |  Дата: 20.10.2017

Страница 1 из 12

testedu.ru

Тесты по математике (4 класс, по четвертям) с ответами онлайн

1. Повторение

2. Числа от 1 до 1000

3. Числа, которые больше 1000

4. Другие

Онлайн тесты по математике (4 класс) с ответами составлены в соответствии с действующей программой, утвержденной министерством. Они рассчитаны на учеников выпускного класса младшей школы, которые хотят проверить или закрепить свои знания разделов за каждую четверть, хорошо написать итоговые контрольные работы. Данная подборка заданий – отличный помощник в процессе домашней подготовки к уроку. Ответы можно использовать в качестве подсказок, если возникают трудности при решении какого-либо задания. Вопросы касаются правил, выученных в не только в 4-м, но и предыдущих классах. Они проверяют умение применять элементарные математические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) для решения задач и уравнений, работать с дробными числами и разными единицами измерения. Некоторые тесты посвящены теме «Уравнения и неравенства», они включают и более сложные вопросы, посвященные решению показательных неравенств и уравнений.

Прохождение теста занимает всего 10-15 минут, но его вопросы проверяют все необходимые знание всех разделов. Проверочные задания содержат несколько вариантов ответов, лишь один из которых правильный, поэтому ребенок без труда справиться с тестом. Если с первого раза не получилось добиться идеального результата, значит, нужно ознакомиться с ответами, еще раз повторить проблемные разделы и попробовать пройти тест заново. Вопросы разного уровня сложности, что позволяет объективно оценить знания. Тесты можно просматривать в электронном виде с любого устройства, проходить в удобное время.

Итоговые тесты по математике (4 класс) целесообразно использовать  в процессе подготовки к итоговым урокам, проверочным работам (в том числе и годовой), так как это один из самых эффективных методов самооценивания.

obrazovaka.ru

Тест: Развивающие задачи по математике (4 класс)

Проверка способности к анализу, обобщению, классификации

Математика 4 класс | Автор: Ливанова Ирина Георгиевна | ID: 2202 | Дата: 12.5.2014

Получение сертификата
о прохождении теста

testedu.ru

ГДЗ ЕУРОКИ — контрольные, самостоятельные, рабочие тетради

Решебники и готовые домашние задания (ГДЗ): как ими пользоваться?

Стремительное развитие общества привело к существенному усложнению школьных программ и общеобразовательным реформам. Информационная нагрузка на современного школьника постоянно растет, и сегодня, чтобы выучить весь необходимый материал, ребенку приходится проводить за партой по 8 часов: целый рабочий день, и это без учета времени, затрачиваемого на подготовку домашних заданий. Такая нагрузка приводит к усталости, снижению эффективности, потере мотивации. Помочь справиться с увеличивающимся объемом информации, научиться анализировать и логически мыслить, повысить успеваемость помогут ГДЗ – готовые домашние задания.

ГДЗ, или «решебники» – это учебные пособия, активно использующиеся в качестве методичек, дополняющих образовательную программу по таким предметам, как русский язык, математика (алгебра), химия, физика и ряду других. В настоящее время функционирует множество ресурсов, созданных для помощи школьникам и их родителям: Ставкур, Спиши.Ру, ГДЗ от Путина и других, но как их использовать для получения реальных знаний?

Методические пособия, получившие название ГДЗ, разрабатываются опытными педагогами, в первую очередь, для помощи родителям. На протяжении всей школьной жизни многие взрослые стремятся контролировать образовательный процесс, чтобы быть в курсе успехов и неудач ребенка, помогать ему в освоении новых знаний. Однако это не всегда возможно.

Во-первых, из-за того, что современная образовательная программа претерпела значительные изменения – это легко отметить, посетив такой сайт, как Megabotan, ГДЗ Путина. Во-вторых, не каждый родитель сможет вспомнить теоретические знания, заложенные в школе, а значит, и проконтролировать правильность выполнения домашнего задания своим ребенком. В-третьих, у взрослых может просто не хватать времени для того, чтобы разбирать домашние задания самостоятельно вместе с ребенком (особенно в многодетных семьях). Но это не значит, что надо пустить учебный процесс «на самотек»: иногда родительская помощь просто необходима для того, чтобы ребенок не потерял интерес к предмету, приобрел знания, разобрался в сложном для него материале. И в этом в полной мере могут помочь ГДЗ. С их помощью:

• Родители быстро разберутся в решении сложной задачи и объяснят ее ребенку;
• Взрослые могут проконтролировать правильность выполнения домашних заданий школьником;
• Учащийся средних и старших классов может самостоятельно проверить себя и в случае обнаружения ошибок проанализировать причину их возникновения, лучше усвоить материал и не допускать появления ошибок в дальнейшем.

Таким образом, использование решебников направлено, в первую очередь, на помощь школьникам в усвоении сложного материала.

Как известно, школьная программа нацелена на «среднего ученика», а как же быть тем, кто по какой-либо причине отстал от программы (например, из-за продолжительной болезни) или, наоборот, развивается быстрее, чем подавляющее большинство его одноклассников? В обоих случаях «решаки» станут универсальным ответом.

Отстающий ученик с помощью ГДЗ сможет разобраться в неусвоенном им материале и «нагнать» весь остальной класс, а для учеников, чей уровень выше среднего, ГДЗ станет «волшебной палочкой», с помощью которой он сможет двигаться в своем развитии дальше, усваивая материал, опережающий школьную программу. Более того, часто такие ресурсы, как Megabotan и Ответ.Ру, используются родителями для того, чтобы дать своему ребенку знания сверх школьной программы, расширить кругозор ребенка.

ГДЗ – это также уникальный инструмент для репетиторов и учителей. Не секрет, что усложнение школьной программы привело к тому, что практически каждый школьник для подготовки к выпускным экзаменам и тестам посещает репетиторов. Решебники активно используются учителями для того, чтобы помочь освоить своим студентам весь школьный курс, а также проверять знания школьников и контролировать их успехи.

Кстати, поскольку ресурсы типа «Спиши онлайн» или «Списывай.Ру» изучаются и используются преподавателями, ученики не могут просто списать домашнее задание из решебника – преподаватель сразу заметит это. Поэтому ГДЗ не могут быть использованы в таком ключе.

Несмотря на вышесказанное, мнения специалистов относительно готовых домашних заданий разделились. Часть считает, что такие пособия приносят скорее вред, чем пользу. Поэтому были проведены многочисленные исследования о влиянии решаков на общеобразовательный процесс. И выводы поражают: американские ученые Стивенс и Льонсон доказали, что при применении ГДЗ мозг ребенка работает практически в два раза активнее для анализа изучаемой информации, что повышает коэффициент усвоения материала в 1,4 раза и, соответственно, повышает успеваемость школьника.

Позитивное влияние ГДЗ – это, в первую очередь:

• Развитие аналитических способностей ребенка: готовые домашние задания учат школьника анализировать собственную домашнюю работу и приведенные в методическом пособии ответы, искать ошибки, выбирать из нескольких вариантов решения оптимальные.
• Развитие самостоятельности: ГДЗ способствуют выработке навыка научения и самостоятельного поиска информации.
• Постоянное стимулирование любознательности: если материал слишком сложный или слишком простой, ребенок быстро теряет мотивацию к обучению – как правило, именно это становится причиной того, что даже преуспевающий в прошлом ученик вдруг «скатывается» на двойки. Использование ГДЗ позволяет поддерживать в ребенке интерес к процессу обучения, защищает его от переутомления, облегчает восприятие сложного материала и не позволяет потерять веру в свои силы.

Именно по этим причинам каждый год становится все больше решаков, самые популярные среди которых собраны для удобства учителей, учеников и их родителей на этом ресурсе.

www.euroki.org

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

• Школьные домашние задания – это проблемы не только для детей, но и для их родителей, особенно если дети учатся в 5-м классе. В этот период родители в большинстве случаев делают уроки вместе со своими детьми, а если школьники и выполняют задания самостоятельно, то родители после решения проверяют их правильность. Что касается понимания, то одним из сложных предметов в школе в этом отношении является математика. У многих детей возникают трудности с решением уравнений и задач. Далеко не всегда в этом случае могут помочь родители. Во-первых, учились в школе они давно. Во-вторых, во времена их учебы была совсем другая программа. Чтобы справиться без проблем с заданием на дом, предлагаем готовые домашние задания, в том числе и для учебника Математика 5 класс (Виленкин Н.Я.). Именно в этот школьный период дети начинают изучать новые незнакомые предметы, получать более объемные домашние задания. Одновременно с этим у ребенка появляется много дополнительных интересов, не связанных со школой.
• ГДЗ по математике за пятый класс в доступной форме
• В этом возрасте дети еще ответственно относятся к выполнению домашних заданий, а решение задач и уравнений по математике отнимает много времени и не всегда получается их выполнить правильно. Готовые задания по математике для пятого класса к учебнику Виленкина помогут не только найти правильный ответ, но и разобраться со сложными заданиями. Решения изложены доступно для ребенка, чтобы он смог понять их без помощи посторонних. Если школьник сам уяснит, как это решается, то в дальнейшем выполнение заданий такого рода не составят ему никакого труда. И впоследствии ни самостоятельные, ни контрольные работы не будут ему страшны.
• Математика 5 класс, разложенная по полочкам в готовых домашних заданиях, поможет ребенку разобраться с непонятными темами, а родителям, в случае необходимости, объяснить ему, как правильно решается то или иное задание. Также благодаря ГДЗ по математике для учащихся 5-х классов можно просмотреть пройденный материал, подготовится по ним к ответственным контрольным работам или просто к ответам у доски. Даже если ребенок хорошо разбирается в математике, то все равно будет не лишним знать правильный ответ и при необходимости исправить ошибки. Нумерация ГДЗ по математике за для 5 класса соответствует очередности в учебнике, что исключает возможность путаницы и недоразумений.

www.euroki.org

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин, Жохов

Учебник
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.
Мнемозина

Здесь вы найдете полные ответы на задания популярного учебника математики Наума Яковлевича Виленкина для учащихся 5 класса. Решебник Виленкина поможет пропустившим уроки школьникам выполнять домашняя работу по ключевому предмету — математике. В свою очередь родители пятиклассников смогут проконтролировать правильность хода решения упражнений из учебника.

Ответы по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд:

Устные вопросы к параграфам:

← Предыдущая

1

Следующая →

Cегодня в большинстве школ используется учебник Математика 5 класс Виленкин, как одно из самых качественных изданий по освоению предмета. Предусматривается в первую очередь развитие мышления ребенка, которое закрепляется при применении полученных знаний на примерах. Специальные задания с высоким уровнем сложности помогут определить математический склад ума вашего ребенка.

Ко всем задачам должны быть и ответы, поэтому и к данному учебнику они прилагаются. Решебник (ГДЗ) поможет детям полностью усвоить материал, разъясняя непонятные моменты, а родителям — не потерять авторитет в глазах ребенка, когда нужно что-то подсказать. Следите, чтобы ребенок не списывал ответы, а путем размышления и анализа сам постепенно приходил к нему.

Прежде всего представленные ответы по математике на 1 и 2 части учебника Виленкина лучше всего использовать родителям. Вам остается только проверить выполнение, что существенно сохранит время, если бы вы решали это сами. К тому же гораздо проще найти ошибку и указать на нее, если ученик затрудняется самостоятельно определить метод решения задачи.

Математика для пятиклассников – один из самых сложных предметов. На 5 год обучения значительно усложняется программа и ученики к этому оказываются не готовы. Поэтому онлайн решебник по математике за 5 класс Виленкина является эффективным способом повысить успеваемость, предлагая правильно выполненные домашние задания бесплатно. Сэкономьте время на домашку и подсмотрите верный ответ на gdzlol.online.

Еще решебники из раздела Математика 5 класс

gdzlol.online

ГДЗ по математике для 6 класс от Путина

• • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Белорусский язык
    • Украинский язык
    • Информатика
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык

gdzputina.ru

Подборка заданий №1 из ОГЭ математика

Задания 1. Числа и вычисления

2. Задание 1 № 314264. Вычислите:  

1. Задание 1 № 188. Найдите значение выражения  

2. Задание 1 № 203745. Запишите в ответе номера тех выражений, значение которых равно −5.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2) 

3) 

4) 

3. Задание 1 № 203748. Для каждой десятичной дроби укажите ее разложение в сумму разрядных слагаемых.

Номера запишите без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Б. 0,7401

В. 7,401

2) 

3) 

4) 

4. Задание 1 № 287946. Найдите значение выражения .

1. Задание 1 № 203739. Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

2) 

3) 

4) 

2. Задание 1 № 203741. Запишите в ответе номера верных равенств.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2) 

3) 

4) 

Задания 1. Числа и вычисления

3. Задание 1 № 203742. Каждому выражению поставьте в соответствие его значение:

Б. 

В. 

1) 3,2

2) 1,75

3) 0,45

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Б

В

4. Задание 1 № 203743. Запишите в ответе номера выражений, значения которых положительны.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2) 

3) 

4) 

1. Задание 1 № 110. Найдите значение выражения  

2. Задание 1 № 136. Найдите значение выражения  

3. Задание 1 № 203744. Запишите в ответе номера тех выражений, значение которых равно 0.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2) 

3) 

4) 

4. Задание 1 № 203747. Запишите десятичную дробь, равную сумме .

5. Задание 1 № 311395. Найдите значение выражения   .

3. Задание 1 № 314265. Вычислите:  

4. Задание 1 № 314288. Найдите значение выражения

5. Задание 1 № 314203. Найдите значение выражения  

6. Задание 1 № 314231. Найдите значение выражения  

7. Задание 1 № 314236. Найдите значение выражения  

8. Задание 1 № 316314. Найдите значение выражения: 

Задания 1. Числа и вычисления

 5. Задание 1 № 203746. Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными.

Б. 

В. 

Г. 

1) 0,5

2) 0,02

3) 0,12

4) 0,625

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Б

В

Г

6. Задание 1 № 287932. Расположите в порядке возрастания числа 0,1439; 1,3; 0,14.

2) 1,3; 0,14; 0,1439

3) 0,1439; 1,3; 0,14

4) 0,14; 0,1439; 1,3

7. Задание 1 № 287933. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.

2) 0,014; 0,13; 0,1327

3) 0,1327; 0,13; 0,014

4) 0,13; 0,014; 0,1327

8. Задание 1 № 287934. Расположите в порядке возрастания:   

2) ;  

3)   

4)   

6. Задание 1 № 314132. Найдите значение выражения  

7. Задание 1 № 314144. Найдите значение выражения  

8. Задание 1 № 314204. Найдите значение выражения  

9. Задание 1 № 314207. Найдите значение выражения  

10. Задание 1 № 314209. Найдите значение выражения  

5. Задание 1 № 337273. Найдите значение выражения 

6. Задание 1 № 337375. Найдите значение выражения  

9. Задание 1 № 316340. Найдите значение выражения: 

10. Задание 1 № 337309. Найдите значение выражения 

11. Задание 1 № 337331. Найдите значение выражения 

Задания 1. Числа и вычисления

9. Задание 1 № 287936. Расположите в порядке возрастания:     

2)   

3)   

4)   

10. Задание 1 № 287937. Расположите в порядке убывания:   

2)   

3)   

4)   

11. Задание 1 № 287938. Какому из данных промежутков принадлежит число ?

2) [0,2; 0,3]

3) [0,3; 0,4]

4) [0,4; 0,5]

12. Задание 1 № 287939. Укажите наибольшее из следующих чисел:

2) 

3) 

4) 

11. Задание 1 № 314211. Найдите значение выражения  

12. Задание 1 № 314212. Найдите значение выражения  

13. Задание 1 № 314222. Найдите значение выражения  

14. Задание 1 № 314225. Найдите значение выражения  

15. Задание 1 № 314237. Найдите значение выражения  

16. Задание 1 № 314242. Найдите значение выражения  

7. Задание 1 № 337385. Найдите значение выражения 

8. Задание 1 № 337528. Найдите значение выражения  

9. Задание 1 № 341664. Найдите значение выражения 

12. Задание 1 № 337334. Найдите значение выражения 0,007 · 7 · 700.

Задания 1. Числа и вычисления

13. Задание 1 № 337376. Найдите значение выражения  

13. Задание 1 № 287940. Укажите наименьшее из следующих чисел:

2) 

3) 

4) 

14. Задание 1 № 287943. Расположите в порядке возрастания:

2) , , 

3) , , 

4) , , 

15. Задание 1 № 287944. Расположите в порядке убывания:     

2)   

3)   

4)   

16. Задание 1 № 311948. Укажите выражения, значения которых равны 0,25.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2) 

3) 

4) 

17. Задание 1 № 337268. Найдите значение выражения 

18. Задание 1 № 337295. Найдите значение выражения 

19. Задание 1 № 337318. Найдите значение выражения 

20. Задание 1 № 337402. Найдите значение выражения 

21. Задание 1 № 338038. Найдите значение выражения (4,9 · 10^− 3)(4 · 10^− 2).

22. Задание 1 № 341487. Найдите значение выражения 

1 задание

№ п/п

Номер

Правильный ответ

1

314127

-2

2

314264

3,91

3

314265

-0,3

4

314288

31,6

5

337273

0,8

6

337375

1,35

7

337385

79,2

8

337528

0,44

9

341664

126

1

188

1,6

2

203745

24

3

203748

412

4

287946

12,5

5

314203

2,25

6

314231

2,1

7

314236

3,2

8

316314

4,4

9

316340

270

10

337309

55

11

337331

1

12

337334

34,3

13

337376

-1

1 203739 3

2 203741 23

3 203742 132

4 203743 3

5 203746 4312

6 287932 4

7 287933 3

8 287934 2

9 287936 4

10 287937 3

11 287938 2

12 287939 3

13 287940 1

14 287943 1

15 287944 2

16 311948 13

110

-550

2

136

-820

3

203744

14

4

203747

0,3105

5

311395

81

6

314132

-320

7

314144

-30

8

314204

35

9

314207

-15

10

314209

-720

11

314211

20

12

314212

-790

13

314222

105

14

314225

-380

15

314237

-550

16

314242

-820

17

337268

0,5604

18

337295

-3,86

19

337318

-3786,7

20

337402

3328

21

338038

0,000196

22

341487

0,0000335

infourok.ru

Решение заданий ОГЭ 1 по математике

Раздел сайта ШпаргалкаЕГЭ, посвященный ОГЭ (ГИА) часть 1, освещает одну из наиболее сложных математических тематик. Речь идет о таком подразделе, как Вычисления. Преобразование алгебраических выражений. При этом следует отметить, что специфика ресурса позволяет не просто ознакомиться с текстом задания и найти ответы и решения. В распоряжении пользователей находится целый арсенал приспособлений, позволяющий максимально освоить материал, которому посвящено 1 задание ОГЭ по математике.

Во-первых, к каждой задаче прикреплен качественный видеоролик, в котором подробно разъяснен определенный вариант решения. Во-вторых, на сайте размещены специальные инструменты, позволяющие ускорить проведение подсчетов. Кроме того, каждый учащийся может поработать с тренировочными заданиями, которые позволяют прочно закрепить изученный материал.

Таким образом, если вас интересует любая информация по ОГЭ (ГИА) 2016/2017 – задание No 1, сайт ШпаргалкаЕГЭ станет вашим незаменимым помощником и путеводителем по бескрайним просторам алгебраических выражений.

Отзывы учеников

• Светлана Иванова

  К ЕГЭ по математике я готовилась сама, без репетитора. Ничего сверхъестественного я не делала: зубрила формулы и решала задачи на сайте ШпаргалкаЕГЭ.

  Вообще к части В я готовилась в основном в конце 10-го класса, в 11-ом я занималась только частью С. Мой результат — 75 баллов.

• Влад Долгорукий

  Большое спасибо! Сервис нереально помог. К ЕГЭ готовился с репетитором. На занятиях использовали сайт для закрепления навыков решения различных типов задач, особенно части С. Всем рекомендую Генератор Вариантов.

• Александр Шпик

  Hello People. Я продвигаю свою идеологию «Втопку книжки». Зайди в ВК или на сайт ShpargalkaEGE смотри ролики по задачам. Все, что не знаешь, включая самые мелочи конспектируй и учи. Не ленись закреплять результат. Мои баллы ЕГЭ — 82.

shpargalkaege.ru

Тест №1 ОГЭ по математике

В задании №1 необходимо произвести элементарные арифметические операции — с дробями или без, со степенями или корнями. Ниже Вы можете потренироваться в заданиях из открытого банка заданий ФИПИ и проверить свой уровень подготовки. В комментариях можете обсуждать задания, задавать вопросы. Удачи в подготовке!

Лимит времени: 0

Информация

Тестовые задания №1 ОГЭ по математике.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 10

   1. Найдите значение выражения:

   Правильно

   3 • 4,5 = 13,5

   Числа умножаем, не обращая внимания на запятую, затем в результате справа налево отсчитываем столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе и ставим запятую.

   54 ÷ 13,5 = 4

   Так как в делителе одна цифра после запятой, то и числитель и знаменатель умножаем на 10, получаем 540÷135, получаем 4.

   Неправильно

   3 • 4,5 = 13,5

   Числа умножаем, не обращая внимания на запятую, затем в результате справа налево отсчитываем столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе и ставим запятую.

   54 ÷ 13,5 = 4

   Так как в делителе одна цифра после запятой, то и числитель и знаменатель умножаем на 10, получаем 540÷135, получаем 4.

   3 • 4,5 = 13,5

   Числа умножаем, не обращая внимания на запятую, затем в результате справа налево отсчитываем столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе и ставим запятую.

   54 ÷ 13,5 = 4

   Так как в делителе одна цифра после запятой, то и числитель и знаменатель умножаем на 10, получаем 540÷135, получаем … 🙂

2. Задание 2 из 10

   2. Найдите значение выражения:

   18,1 • 6,3

   Правильно

   Числа умножаем, не обращая внимания на запятую, затем справа налево отсчитываем столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе и ставим запятую. В данном случае после запятой в двух множителях – две цифры.

   Неправильно

   Числа умножаем, не обращая внимания на запятую, затем справа налево отсчитываем столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе и ставим запятую. В данном случае после запятой в двух множителях – две цифры.

   Числа умножаем, не обращая внимания на запятую, затем справа налево отсчитываем столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе и ставим запятую. В данном случае после запятой в двух множителях – две цифры.

3. Задание 3 из 10

   3. Найдите значение выражения:

   Правильно

   Чтобы выполнить деление обыкновенных дробей, необходимо делимое оставить без изменения, деление заменить на умножение, а для делимого найти взаимно обратную дробь и выполнить умножение. Перемножаем числители и записываем результат в числитель, умножаем знаменатели и результат записываем в знаменатель. При необходимости дробь сокращаем, т.е. и числитель, и знаменатель делим на одно и то же число. Записываем результат в виде десятичной дроби.

   Неправильно

   Чтобы выполнить деление обыкновенных дробей, необходимо делимое оставить без изменения, деление заменить на умножение, а для делимого найти взаимно обратную дробь и выполнить умножение. Перемножаем числители и записываем результат в числитель, умножаем знаменатели и результат записываем в знаменатель. При необходимости дробь сокращаем, т.е. и числитель, и знаменатель делим на одно и то же число. Записываем результат в виде десятичной дроби.

   Чтобы выполнить деление обыкновенных дробей, необходимо делимое оставить без изменения, деление заменить на умножение, а для делимого найти взаимно обратную дробь и выполнить умножение. Перемножаем числители и записываем результат в числитель, умножаем знаменатели и результат записываем в знаменатель. При необходимости дробь сокращаем, т.е. и числитель, и знаменатель делим на одно и то же число. Записываем результат в виде десятичной дроби.

4. Задание 4 из 10

   4. Найдите значение выражения:

   — 7 • (- 10) ⁴ — 5 • (-10)³ — 32

   Правильно
   
   1. Сначала возведем в степень числа в скобках, (–10) в четвертой степени, т.к. степень четная результат будет со знаком “+”; (–10) в третье степени, т.к. показатель степени нечетное число, то результат будет со знаком “–“. 10 возводим в степень легко: ставим 1 и столько же нулей, каков показатель степени.
   2. Выполняем умножение –7×10000 = –70000 и –5×(–1000) = 5000.
   3. Выполняем сложение чисел с разными знаками. Сначала можно сложить отрицательные числа –70000 и –32, а затем прибавить 5000.

   — 7 • (- 10) ⁴ — 5 • (-10)³ — 32 = – 7 • 10000 – 5 • (–1000) – 32 = –70000 + 5000 — 32 = – 65032

   Неправильно
   
   1. Сначала возведем в степень числа в скобках, (–10) в четвертой степени, т.к. степень четная результат будет со знаком “+”; (–10) в третье степени, т.к. показатель степени нечетное число, то результат будет со знаком “–“. 10 возводим в степень легко: ставим 1 и столько же нулей, каков показатель степени.
   2. Выполняем умножение –7×10000 = –70000 и –5×(–1000) = 5000.
   3. Выполняем сложение чисел с разными знаками. Сначала можно сложить отрицательные числа –70000 и –32, а затем прибавить 5000.

   — 7 • (- 10) ⁴ — 5 • (-10)³ — 32 = – 7 • 10000 – 5 • (–1000) – 32 = –70000 + 5000 — 32 = – 65032

   • Сначала возведем в степень числа в скобках, (–10) в четвертой степени, т.к. степень четная результат будет со знаком “+”; (–10) в третье степени, т.к. показатель степени нечетное число, то результат будет со знаком “–“. 10 возводим в степень легко: ставим 1 и столько же нулей, каков показатель степени.
   • Выполняем умножение –7×10000 = –70000 и –5×(–1000) = 5000.
   • Выполняем сложение чисел с разными знаками. Сначала можно сложить отрицательные числа –70000 и –32, а затем прибавить 5000.

5. Задание 5 из 10

   5. Найдите значение выражения:

   Правильно
   
   1. Переводим 2/5 в десятичную дробь, для этого делим 2 на 5, получаем 0,4.
   2. Выполняем сложение десятичных дробей. Важно: слагаемые записывать запятая под запятой. В результате запятая ставится тоже под запятыми.

   0,4

   +

   0,7

   ——

   1,1

   Неправильно
   
   1. Переводим 2/5 в десятичную дробь, для этого делим 2 на 5, получаем 0,4.
   2. Выполняем сложение десятичных дробей. Важно: слагаемые записывать запятая под запятой. В результате запятая ставится тоже под запятыми.

   0,4

   +

   0,7

   ——

   1,1

   1. Переводим 2/5 в десятичную дробь, для этого делим 2 на 5, получаем 0,4.
   2. Выполняем сложение десятичных дробей. Важно: слагаемые записывать запятая под запятой. В результате запятая ставится тоже под запятыми.

6. Задание 6 из 10

   6. Найдите значение выражения:

7. Задание 7 из 10

   7. Найдите значение выражения:

8. Задание 8 из 10

   8. Найдите значение выражения:

9. Задание 9 из 10

   9. Найдите значение выражения:

10. Задание 10 из 10

    10. Найдите значение выражения:

spadilo.ru

ИДЗ решебник Рябушко 1,2,3 и 4 часть

Решебник ИДЗ Рябушко содержит все готовые индивидуальные задания по высшей математике. Выберите необходимый номер ИДЗ из списка, а затем требуемый вариант.

Решебник часть 1

• ИДЗ №: 1.1,
• 1.2,
• 2.1,
• 2.2,
• 3.1,
• 3.2,
• 4.1.
• 4.2,
• 5.1,
• 5.2,
• 6.1,
• 6.2,
• 6.3,
• 6.4
• — все варианты!

1 часть решебника ИДЗ Рябушко А.П. Содержит решение ИДЗ по темам: Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений; Векторная алгебра; Плоскости и прямые; Линии и поверхности; Функции. Пределы. Непрерывность функций; Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения.

Решебник часть 2

• ИДЗ №: 8.1,
• 8.2,
• 8.3,
• 8.4,
• 9.1,
• 9.2,
• 9.3.
• 10.1,
• 10.2,
• 11.1,
• 11.2,
• 11.3,
• 11.4
• — все варианты!

2 часть решебника ИДЗ Рябушко А.П. Содержит решение ИДЗ по темам: Неопределенный интеграл; Определенный интеграл; Дифференциальное исчисление функций многих переменных; Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решебник часть 3

3 часть решебника ИДЗ Рябушко А.П. Содержит решение ИДЗ по темам: Ряды; Кратные интегралы; Криволинейные интегралы; Элементы теории поля.

Решебник часть 4

4 часть решебника ИДЗ Рябушко А.П. Содержит решение ИДЗ по темам: Операционное исчисление; Элементы теории устойчивости; Теория вероятностей; Элементы математической статистики.

idz-ryabushko.ru

Решения ИДЗ Рябушко. Часть 1

Меню Решебник Рябушко

• Задачники
• Контакты

• Корзина 0
• Войти

Решения ИДЗ Рябушко. Часть 1 Решения ИДЗ Рябушко. Часть 2 Решения ИДЗ Рябушко. Часть 3 Решения ИДЗ Рябушко. Часть 4

• Решение ИДЗ 1.1
• Решение ИДЗ 1.2
• Решение ИДЗ 2.1
• Решение ИДЗ 2.2
• Решение ИДЗ 3.1
• Решение ИДЗ 3.2
• Решение ИДЗ 4.1
• Решение ИДЗ 4.2
• Решение ИДЗ 5.1
• Решение ИДЗ 5.2
• Решение ИДЗ 6.1
• Решение ИДЗ 6.2
• Решение ИДЗ 6.3
• Решение ИДЗ 6.4

xn--90aakaqmbunlg1b7ci6h.xn--p1ai

Решения ИДЗ Рябушко. Часть 2

Меню Решебник Рябушко

• Задачники
• Контакты

• Корзина 0
• Войти

Решения ИДЗ Рябушко. Часть 1 Решения ИДЗ Рябушко. Часть 2 Решения ИДЗ Рябушко. Часть 3 Решения ИДЗ Рябушко. Часть 4

• Решение ИДЗ 8.1
• Решение ИДЗ 8.2
• Решение ИДЗ 8.3
• Решение ИДЗ 8.4
• Решение ИДЗ 9.2
• Решение ИДЗ 9.3
• Решение ИДЗ 10.1
• Решение ИДЗ 10.2
• Решение ИДЗ 11.1
• Решение ИДЗ 11.2
• Решение ИДЗ 11.3
• Решение ИДЗ 11.4
• Решение ИДЗ 9.1

xn--90aakaqmbunlg1b7ci6h.xn--p1ai

Как решать дроби 5 класса 🚩 Основные задачи на дроби 🚩 Математика

9 июня 2011

Автор КакПросто!

В 5 классе средней школы вводится понятие дроби. Дробь – это число, состоящее из целого количества долей единиц. Обыкновенные дроби записываются в виде ±m/n, число m называют числителем дроби, число n – его знаменателем.
Если модуль знаменателя больше модуля числителя, например 3/4, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Дробь может содержать целую часть, например 5 * (2/3).
К дробям можно применять различные арифметические операции.

Статьи по теме:

Инструкция

Приведение к общему знаменателю.

Пусть даны дроби a/b и c/d.

— В первую очередь находится число НОК(наименьшее общее кратное) для знаменателей дробей.

— Числитель и знаменатель первой дроби умножается на НОК/b

— Числитель и знаменатель второй дроби умножается на НОК/d

Пример приведён на рисунке.

Для сравнения дробей их необходимо привести к общему знаменателю, затем сравнить числители. Например, 3/4 < 4/5, см. рисунок.

Сложение и вычитание дробей.

Для нахождения суммы двух обыкновенных дробей их необходимо привести к общему знаменателю, после чего сложить числители, оставив знаменатель без изменений. Пример сложения дробей 1/2 и 1/3 приведён на рисунке.

Разность дробей находится аналогичным образом, после нахождения общего знаменателя, числители дробей вычитаются, см. пример на рисунке.

Умножение и деление дробей.

При умножении обыкновенных дробей, числители и знаменатели перемножаются между собой.

Для того, чтобы разделить две дроби, необходимо получить дробь обратную второй дроби, т.е. поменять его числитель и знаменатель местами, после чего произвести умножение полученных дробей.

Чтобы решить задачу с дробями, нужно научиться делать с ними арифметические действия. Они могут быть десятичные, но чаще всего используются натуральные дроби с числителем и знаменателем. Только после этого можно переходить на решения математических задач с дробными величинами.

Вам понадобится

• — калькулятор;
• — знания свойств дробей;
• — умение производить действия с дробями.

Инструкция

Дробью называют запись деления одного числа на другое. Зачастую это сделать нацело нельзя, поэтому и оставляют это действие «неоконченным . Число, которое является делимым (оно стоит над или перед знаком дроби), называются числителем, а второе число (под знаком дроби или после него) – знаменателем. Если числитель больше знаменателя, дробь называется неправильной, и из нее можно выделить целую часть. Если числитель меньше знаменателя, то такая дробь называется правильной, и ее целая часть равна 0.

Задачи с дробями делятся на несколько видов. Определите, к какому из них относится задача. Простейший вариант – нахождение доли числа, выраженной дробью. Для решения этой задачи достаточно умножить это число на дробь. Например, на склад завезли 8 т картошки. В первую неделю было продано 3/4 от ее общего количества. Сколько картошки осталось? Чтобы решить эту задачу, число 8 умножьте на 3/4. Получится 8∙3/4=6 т. Если нужно найти число по его части, умножьте известную часть числа на дробь, обратную той, которая показывает какова доля данной части в числе. Например, 8 человек из класса составляют 1/3 от общего количества учеников. Сколько детей учится в классе? Поскольку 8 человек это часть, которая представляет 1/3 от всего количества, то найдите обратную дробь, которая равна 3/1 или просто 3. Затем для получения количества учеников в классе 8∙3=24 ученика.

Когда нужно найти какую часть числа составляет одно число от другого, поделите число, которое представляет часть на то, которое является целым. К примеру, если расстояние между городами 300 км, а автомобиль проехал 200 км, какую часть этот составит от всего пути? Поделите часть пути 200 на полный путь 300, после сокращения дроби получите результат. 200/300=2/3.

Чтобы найти часть неизвестную долю от числа, когда есть известная, возьмите целое число за условную единицу, и отнимите от нее известную долю. Например, если уже прошло 4/7 части урока, сколько еще осталось? Возьмите весь урок как условную единицу и отнимите от нее 4/7. Получите 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Источники:

• решение задачи с дробями

Дробь представляет собой число, состоящее из одной или нескольких равных долей единицы. С дробями можно выполнять те же арифметические действия, что и с целыми числами: сложение, вычитание, умножение и деление.

Инструкция

Посмотрите, какие дроби имеются в решаемом вами примере: правильные, неправильные, десятичные. Для удобства расчетов с разными дробями, целесообразно перевести десятичные в правильные или неправильные, записав значение после запятой в числитель, а в знаменатель поставив 10.

Дроби с выделяемой целой частью приведите к неправильному виду, умножив число на знаменатель и полученное произведение прибавив к числителю. И, наоборот, чтобы выделить целое число из изначальной неправильной дроби, поделите числитель на знаменатель. Остаток от деления станет новым числителем. Кроме того, для таких дробей возможно выполнения арифметических действий сначала с целой частью, а потом – с дробной.

Чтобы выполнить арифметические действия сложения и вычитания с дробями, приведите их к общему знаменателю. Для этого нужно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй. В числителе той дроби, чей знаменатель был изначально меньше, укажите значение знаменателя второй дроби и наоборот. Вычислите сумму двух дробей, просто сложив их новые числители. Например: 1/3 + 1/5 = 8/15 (общий знаменатель равен 15, 1/3 = 5/15; 1/5 = 3/15; 5 + 3 = 8). Точно так же выполняется и вычитание.

Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби. После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в знаменателе новой дроби. Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).

Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же действие произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3 : 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Источники:

• Основные задачи на дроби

Решение дробных задач в курсе школьной математике – это начальная подготовка учеников к изучению математического моделирования, являющегося более сложным, но имеющим широкое приложение понятием.

Инструкция

Дробными являются задачи, которые решаются с помощью рациональных уравнений обычно с одной неизвестной величиной, которая и будет итоговым или промежуточным ответом. Такие задачи удобнее решать табличным методом. Составляется таблица, строки в которой – объекты задачи, а столбцы – характеризующие величины. Решите задачу: от вокзала в аэропорт, расстояние между которыми 120 км, отправился поезд-экспресс. Пассажир, опоздавший на поезд на 10 минут, поехал на такси со скоростью, большей скорости экспресса на 10 км/ч. Найдите скорость поезда, если он прибыл по назначению одновременно с такси.

Составьте таблицу из двух строк (поезд, такси – объекты задачи) и трех столбцов (скорость, время и проделанный путь – физические характеристики объектов).

Заполните первую строку для поезда. Его скорость – неизвестная величина, которую требуется определить, поэтому она равна x. Время, которое экспресс был в пути, по формуле равно отношению всего пути к скорости. Это дробь с 120 в числителе и x в знаменателе – 120/х. Впишите характеристики такси. Скорость по условию задачи превышает скорость поезда на 10, значит, она равна x+10. Время в пути, соответственно, 120/(х+10). Путь объекты проделали одинаковый, 120 км.

Вспомните еще одну часть условия: вам известно, что пассажир опоздал на вокзал на 10 минут, а это 1/6 часа. Значит, разница между двумя значениями второго столбца равна 1/6.

Составьте уравнение: 120/х – 120/(х + 10) = 1/6. У этого равенства должно быть ограничение, а именно x>0, но поскольку скорость – это заведомо положительная величина, то в данном случае эта оговорка несущественна.

Решите уравнение относительно х. Дроби приведите к общему знаменателю х·(х+10), тогда получится квадратное уравнение:x² + 10·x – 7200 = 0D = 100 + 4·7200 = 28900×1 = (-10+170)/2 = 80; x2 = (-10-170)/2 = -90.

Для решения задачи подходит только первый корень уравнения x = 80.Ответ: скорость поезда равна 80 км/ч.

Видео по теме

Источники:

• Дробные рациональные уравнения

www.kakprosto.ru

Материал по алгебре (5 класс) на тему: Правила по теме «Обыкновенные дроби»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок-игра по математике: Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби.

Урок посвящен  году  российской истории.Методическая разработка занятия содержит план-конспект и презентацию к уроку….

Презентация к открытому уроку по теме «Дроби.Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби»

Презентация к открытому уроку в 5 классе….

Урок математики в 5 классе по теме «Правило сравнения десятичных дробей» (авторы учебника И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович)

Данный урок  по типу является уроком изучения новой темы. Урок соответствует требованиям ФГОС, использованы информационно-коммуникативные технологии. Этапы урока были тесно взаимо…

Правила по теме «Десятичные дроби»

Материал для проверки знаний правил действий с десятичными дробями….

Методическая разработка контрольной работы по математике 6 класса по теме: «Деление обыкновенных дробей. Нахождение числа по его дроби.»

Тема: «Деление обыкновенных дробей. Нахождение числа по его дроби.».Форма: Контрольная  работаЦель: проверить знания учащихся по теме: «Деление обыкновенных дробей. Нахождение числа по его дроби….

Методическая разработка, план конспект урока по теме:»Понятие об обыкновенной дроби.Нахождение дроби от числа и числа по его дроби».

Методическая разработка, план конспект урока по теме:»Понятие об обыкновенной дроби.Нахождение дроби от числа и числа по его дроби»….

Конспект урока по математике в 6 классе по теме «Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби»

На данном уроке по математике ученики тренируются в решении задач и развивают умение относить задачу к тому или иному типу….

nsportal.ru

Памятка (формулы по математике 5 класс)

Просмотр содержимого документа
«Памятка (формулы по математике 5 класс)»

1. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое

Х+45=90 45+(Х+12)=90

Х= 90-45 Х+12= 90-45

Х=45 Х+12=45

Х=33

1. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое

Х-45=90 (70-Х)-20=40

Х= 90+45 70-Х=40-20

Х=135 70-Х=20

Х=70-20

Х=50

1. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность

70-Х=30 40-(Х+12)=90

Х= 70-30 Х+12= 90+40

Х=40 Х+12=130

Х=130-12

Х=118

1. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

x·25=50

x=50:25

x=2

1. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель

X:2=14

X=14·2

X=28

1. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное

28:x=14

X=28:14

X=2

Свойства сложения и вычитания

1. а+b=b+a

2. (a+b)+c=a+b+c=a+c+b=a+(b+c)

3. a-b+c=a+c-b (переставляем вместе со знаками)

4. a+b-c=a-c+b (переставляем вместе со знаками)

5. a-(b+c)= a-b-c (минус перед скобкой меняет знаки на противоположные)

6. a-(b-c)= a-b+c (минус перед скобкой меняет знаки на противоположные)

7. a-b-c=a-(b+c)

8. а-0=а

9. а+0=а

10. а-а=0

11. (a+b)c=ac+bc

12. (a-b)c=ac-bc

Свойства умножения

1.

2.

3.

4.

Площадь прямоугольника S=ab Периметр прямоугольника P=2(a+b)	Объем прямоугольного параллелепипеда V=abc Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Sпов= 2(ab+bc+ac) Сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда l = 4(a+b+c)
Площадь квадрата S=a2 Периметр квадрата P=4a	Объем куба V=a3 Площадь поверхности куба Sпов= 6a2 Сумма длин всех ребер куба l=12a
Единицы измерения площадей 1га=10 000 1а=100

Формула деления с остатком

Формула деления с остатком: n = mk + r, где n — делимое, m — делитель, k — частное, r – остаток.

Формула степени числа

– квадрат числа а

– куб числа а

Формула пути

S=v·t

v=S:t

t=S:v

где S – расстояние, v – скорость, t – время

Формула радиуса

r = 2d, где r – радиус, d – диаметр

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

1. Разделить с остатком числитель на знаменатель;

2. Неполное частное будет целой частью;

3. Остаток от деления (если он есть) дает числитель, а делитель — знаменатель

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно

1. Умножить его целую часть на знаменатель дробной части

2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части

3. Записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения

Пример:

Формула среднего арифметического

Среднее арифметическое = (сумма чисел) : (количество слагаемых)

Средняя скорость = (весь пройденный путь) : (все время движения)

Сумма чисел = (среднее арифметическое) * (количество чисел)

Прямой угол – равен 90°

Острый угол – меньше 90°

Тупой угол – больше 90°

Разряды числа

Целая часть

Дробная часть

Классы

Миллиарды

Миллионы

Тысячи

единицы

разряды

Сотни

Десятки

единицы

Сотни

Десятки

единицы

Сотни

Десятки

единицы

Сотни

Десятки

единицы

Десятые

Сотые

Тысячные

десятитысячные

стотысячные

миллионные

число

8

7

0

0

5

9

1

3

1

4

,

1

5

9

6

7

6

multiurok.ru

десятичные дроби в 5 классе

I.  Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление: 1) 16,38:0,7;   2) 15,6:0,15;    3) 3,114:4,5;   4) 53,84:0,1.

Решение. 

Пример 1)  16,38:0,7.

В делителе 0,7 после запятой стоит одна цифра, поэтому, перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо.

Тогда нам нужно будет разделить 163,8 на 7.

Выполним деление по правилу деления десятичной дроби на натуральное  число.

Делим так, как делят натуральные числа. Как снесем цифру 8 — первую цифру после запятой (т.е. цифру в разряде десятых), так сразу поставим в частном запятую и продолжим деление.

Ответ: 23,4.

 

Пример 2) 15,6:0,15.

Переносим запятые в делимом (15,6) и делителе (0,15) на две цифры вправо, так как в делителе 0,15 после запятой стоят две цифры.

Помним, что справа к десятичной дроби можно приписать сколько угодно нулей, и от этого десятичная дробь не изменится.

Тогда:

15,6:0,15=1560:15.

Выполняем деление натуральных чисел.

Ответ: 104.

 

Пример 3) 3,114:4,5.

Перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо и разделим 31,14 на 45 по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

Итак:

3,114:4,5=31,14:45.

В частном поставим запятую сразу, как сносим цифру 1 в разряде десятых. Затем продолжаем деление.

Чтобы закончить деление нам пришлось приписать нуль к числу 9 — разности чисел 414 и 405. (мы знаем, что справа к десятичной дроби можно приписывать нули)

 

Ответ: 0,692.

Пример 4)  53,84:0,1.

Переносим запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо.

Получаем: 538,4:1=538,4. 

Проанализируем равенство: 53,84:0,1=538,4. Обращаем внимание на запятую в делимом в данном примере и на запятую в полученном частном. Замечаем, что запятая в делимом перенесена на 1 цифру вправо, как если бы мы умножали 53,84 на 10. (Смотрите видео «Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.») Отсюда правило деления десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

II. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)

Примеры.

Выполнить деление: 1) 617,35:0,1;  2) 0,235:0,01;  3) 2,7845:0,001;  4) 26,397:0,0001.

Решение.

Пример 1) 617,35:0,1.

Согласно правилу II деление на 0,1 равносильно умножению на 10, и запятую в делимом перенесем на 1 цифру вправо:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Пример 2) 0,235:0,01.

Деление на 0,01 равносильно умножению на 100, значит, запятую в делимом перенесем на 2 цифры вправо:

2) 0,235:0,01=23,5.

Пример 3) 2,7845:0,001.

Так как деление на 0,001 равносильно умножению на 1000, то перенесем запятую на 3 цифры вправо:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Пример 4) 26,397:0,0001.

Разделить  десятичную дробь на 0,0001 — это все равно, что умножить ее на 10000 (переносим запятую на 4 цифры вправо). Получаем:

4) 26,397:0,0001=263970.

Смотрите видео «Деление на десятичную дробь»

 I.  Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число, как делят натуральные числа и поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.

Примеры. 

Выполнить деление: 1) 96,25:5;  2) 4,78:4;  3) 183,06:45.

Решение.

Пример 1) 96,25:5.

Делим «уголком» так, как делят натуральные числа. После того, как сносим цифру 2 (число десятых — первая цифра после запятой в записи делимого 96,25), в частном ставим запятую и продолжаем деление.

Ответ: 19,25.

 

 

Пример 2) 4,78:4.

Делим так, как делят натуральные числа. В частном поставим запятую сразу, как снесем 7 — первую цифру после запятой в делимом 4,78. Продолжаем деление дальше. При вычитании 38-36 получаем 2, но деление не окончено. Как поступаем? Мы знаем, что в конце десятичной дроби можно приписывать нули — от этого значение дроби не изменится. Приписываем нуль и делим 20 на 4. Получаем 5 — деление окончено.

Ответ: 1,195.

 

Пример 3) 183,06:45.

Делим как 18306 на 45. В частном поставим запятую как только снесем цифру 0 — первую цифру после запятой в делимом 183,06. Так же, как в примере 2) нам пришлось приписать нуль к числу 36 — разности чисел 306 и 270.

Ответ: 4,068.

Вывод: при делении десятичной дроби на натуральное число в частном ставим запятую сразу после того, как сносим цифру в разряде десятых делимого. Обратите внимание: все выделенные красным цветом цифры в этих трех примерах относятся к разряду десятых долей делимого.

Смотрите видео: «Как разделить десятичную дробь на натуральное число».

II. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Примеры.

Выполнить деление: 1) 41,56:10;  2) 123,45:100;  3) 0,47:100;  4) 8,5:1000;  5) 631,2:10000.

Решение.

Перенос запятой влево зависит от того, сколько в делителе нулей после единицы. Так, при делении десятичной дроби на 10 мы будем переносить в делимом запятую влево на одну цифру; при делении на 100 — перенесем запятую влево на две цифры; при делении на 1000 перенесем  в данной десятичной дроби запятую на три цифры влево. 

В примерах 3) и 4) пришлось приписать нули перед десятичной дробью, чтобы удобнее было переносить запятую. Однако, приписывать нули можно мысленно, и вы будете это делать, когда хорошо научитесь применять правило II для деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

Смотрите видео: «Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.»

 

www.mathematics-repetition.com

5 класс. Математика — Part 2

Рубрика «5 класс. Математика»

I.  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

II.  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

III.  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

Примеры.

IV.  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры.

V.  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Примеры.

Да, складывать нужно отдельно целые части и отдельно дробные части смешанного числа.

Нет, не нужно расписывать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности.

Важно: не начинайте выполнять сложение, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Помним, что единицу можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель и знаменатель которой, являются любыми равными друг другу числами.

Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете  дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?

Тогда «занимаете» у целой части уменьшаемого одну целую единицу, представляете ее в виде неправильной дроби с таким же знаменателем (НОЗ),  и добавляете эту неправильную дробь (раздробленную единицу) к дробной части уменьшаемого.

• Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
•  Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
•  Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Примеры. Разложить составное число столбиком на простые множители:

1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
Запишем число 48, справа от него проведем вертикальную линию. Начинаем перебирать простые делители числа 48, начиная с самого меньшего — числа 2. Записываем 2 справа от линии. Под числом 48 запишем частное от деления числа 48 на 2. Это число 24, которое тоже делится на 2. Справа от числа 24 записываем 2, а под числом 24 — результат деления 24 на 2. Это число 12, которое опять делим на 2. Число 2 пишем справа, а под числом 12 ставим 6. Число 6 опять делим на 2, получаем число 3, которое пишем под числом 6. Число 3 делим на 3 и, наконец, под числом 3 пишем 1. Таким образом, получаем разложение числа 48 на простые множители: 48=2·2·2·2·3 или 48=2⁴∙3.

Наименьший простой делитель числа 75 — это число 3, его ставим справа от вертикальной линии. В результате деления числа 75 на 3 получаем 25. Число 25 запишем под числом 75. Число 25 делится на 5, поэтому, число 5 пишем справа от числа 25, а под числом 25 запишем число 5 — результат от деления 25 на 5. Число 5 делится на 5, под ним ставим  число 1. Результат: 75=3·5·5 или 75=3∙5².

Число 80 оканчивается нулем, значит, делится на 10. Число 10 — составное, он равно произведению простых чисел 2 и 5, поэтому, удобно записать справа от вертикальной черты произведение 2·5. тогда под числом 80 запишем число 8. Число 8 делим на 2 (пишем справа 2), под числом 8 записываем число 4. Снова делим на 2, получаем 2, делим на 2, остается 1. Результат: 80=2⁴∙5.

 

 

Число 120 разделим сразу на 10. Так как 10=2·5, то справа от вертикальной черты запишем 2·5. Под числом 120 записываем 12. Число 12 делим на 2, записываем под числом 12 число 6, которое делим на 2, а затем полученное число 3 делим на 3, получив в результате число 1. Результат: 120=2³∙3∙5.

 

 

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Закрашенные области всех трех кругов равны между собой, но над кругами записаны различные обыкновенные дроби. Почему? И все ли верно? Да, все верно, ведь можно разделить круг на:

• 4 части и закрасить 3 такие части;
• 8 частей и закрасить 6 таких частей;
• 12 частей и закрасить 9 таких частей.

Следовательно,

Мы убедились в правильности высказывания: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Примеры. Используя основное свойство дроби, замените звездочку таким числом, чтобы равенство было верным.

Рассуждаем так: числитель нужно увеличить во столько же раз, во сколько увеличили знаменатель дроби, т. е. в 4 раза (16:4=4). Вместо звездочки запишем значение 3·4=12.

Еще такие примеры.

Рассуждаем так: знаменатель нужно уменьшить во столько же раз, во сколько уменьшили числитель дроби, т. е. в 7 раз (21:3=7). Вместо звездочки запишем значение 28:7=4.

Еще такие примеры.

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b. В наших примерах обыкновенные дроби можно было бы записать так:

• У правильной дроби числитель меньше знаменателя.

Примеры правильных дробей.

• У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

Примеры неправильных дробей.

Задача. В классе 24 учащихся,  5/8 из них составляют мальчики. Сколько мальчиков в классе?

 Решение.

Решить задачу можно, составив выражение:  (24:8)·5=15.

Ответ: 15 мальчиков в классе.

Задача.  Олово составляет 5/6 частей сплава. Найти массу сплава, если олова в нем содержится 250 г.

Решение.

Решить задачу можно, составив выражение: (250:5)·6=300.

Ответ: масса сплава 300 г.

•  Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
•  Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
•  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Примеры.

Представить неправильную дробь в виде смешанного числа:

Дробная часть означает знак деления. В столбик разделим числитель 9 на знаменатель 2. Частное 4 будет целой частью смешанного числа, остаток 1 станет числителем дробной части, а знаменатель 2 останется тот же.

 

Еще такие примеры.

Записать смешанное число в виде неправильной дроби:

Число 2 — целую часть смешанного числа умножают на знаменатель 4 дробной части, к полученному произведению прибавляют число 3 — числитель дробной части смешанного числа; результат 11 станет числителем неправильной дроби, а знаменатель 4 останется тот же.

Еще такие примеры.

 

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

 

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

 

 

Сокращаем дробь на 7.

 

 

 

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

 

 

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

 

 

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

 

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7².

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5).

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7.

 

 

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14.

А можно было записать разложения числителя и знаменателя  в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14.

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3.

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3. Сокращаем дробь на 3.  Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7. Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14.

• Луч Ох с началом отсчета в точке О,  на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
• Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.

Примеры.

1) Отметить на координатном луче точки А(4), В(8), С(12).

Выбираем единичный отрезок — одну клетку.

• Тогда 1 клетка будет соответствовать числу 1;
• 4 клетки от начала отсчета будут соответствовать числу 4;
• 8 клеток — числу 8, а 12 клеток — числу 12.

Читают: точка А с координатой 4. Точка В с координатой 8. Точка С с координатой 12.

 

 

2) Изобразить на координатном луче все правильные дроби со знаменателем, равным 12.

Выбираем единичный отрезок — 12 клеток. Тогда одна клетка будет равна одной двенадцатой доли единичного отрезка, равного 12 клеткам.

Любому числу координатного луча соответствует единственная точка. И если под и над  точкой стоят два числа, то это означает, что эти два числа равны между собой (смотрите тему: «Сокращение обыкновенных дробей»).

 

3) Начертить координатный луч, выбрать единичный отрезок, равный 6 клеткам и отметить точки: А( 1/6), В(2/3), С(1½), D (2¹/₃).

За единичный отрезок мы взяли 6 клеток.

• 1 клетка — это одна шестая часть единичного отрезка, т. е дробь 1/6.
• 2 клетки — две шестые части единичного отрезка или дробь 1/3 (2/6=1/3).
• 3 клетки — три шестые части единичного отрезка или дробь ½ (3/6=½).
• 4 клетки — четыре шестые части единичного отрезка или дробь 2/3 (4/6=2/3).
• 5 клеток — пять шестых частей единичного отрезка или несократимая дробь 5/6.
• 6 клеток — шесть шестых или один единичный отрезок (6/6=1).

Число 1½ означает, что ½ единичного отрезка (3 клетки) следует откладывать не от нуля, а от 1 целой.

Число 2¹/₃ изображаем так: отсчитываем 2 целые единицы (2·6=12 клеток) и еще 2 клетки.

 

4) На координатном луче отметить точки: А(5/8), В(1¾), С(2½).

Смотреть видео в хорошем разрешении на моём канале.

Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей, нужно: 1) уравнять количество десятичных знаков в уменьшаемом и вычитаемом; 2) подписать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, и в полученном результате поставить запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

Примеры. Выполнить вычитание десятичных дробей.

1) 24,538-18,292.

Решение. Записали вычитаемое под уменьшаемым так, что запятая оказалась под запятой. Выполнили вычитание, не обращая внимания на запятые и в полученном результате поставили запятую под запятыми в данных дробях.

24,538-18,292=6,246.

 

2) 145,723-98,943.

Решаем аналогично. Получили разность 46,780. Если убрать нуль на конце десятичной дроби, то значение дроби не изменится.

145,723-98,943=46,78.

 

 

3) 18-7,61.

Решение. Уравняем количество знаков после запятых в уменьшаемом и вычитаемом. Подписываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой. Выполняем вычитание, не обращая внимания на запятые, и в полученной разности ставим запятую под запятыми в данных дробях.

18-7,61=10,39.

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество десятичных знаков; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых дробях.

Примеры. Сложить десятичные дроби.

1) 0,07+13,23.

Решение. Применим переместительный закон сложения: 0,07+13,23=13,23+0,07 и запишем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Складываем, не обращая внимания на запятую. В полученной сумме поставим запятую под запятыми в слагаемых. Нуль на конце полученного результата 13,30 можно отбросить.

13,23+0,07=13,3.

 

2) 11,21+9,3.

Решение. Записываем данные дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Уравниваем количество знаков после запятых в слагаемых. Для этого припишем справа нуль к дроби 9,3. Складываем, не обращая внимания на запятые и ставим в сумме запятую под запятыми в слагаемых.

11,23+9,3=20,51.

 

3) Вычислить рациональным способом. 1,245+(0,755+3,02).

Решение. Используем переместительный и сочетательный законы сложения.

1,245+(0,755+3,02)=(1,245+0,755)+3,02=2+3,02=5,02.

Пояснение: у слагаемых 1,245 и 0,755 одинаковое количество знаков после запятых (по три цифры), поэтому, удобно сложить их устно, как складывают целые числа, а затем отделить справа запятой три цифры, как было в слагаемых. Получилось 2,000. Три нуля после запятой отбрасываем, получается число 2. Прибавили 3,02 и получили 5,02.

1,245+(0,755+3,02)=5,02.

 

•  Десятичной дробью называют число, записанное в десятичной системе и имеющее разряды меньше единицы. (3,25; 0,1457 и т. д.)
•  Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками.
•  Десятичная дробь не изменится, если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нули.

Обыкновенную дробь со знаменателем, записанным в виде единицы с последующими нулями, можно записать в виде десятичной дроби.

123,4567 — десятичная дробь. Читают: сто двадцать три целых, четыре тысячи пятьсот шестьдесят семь десятитысячных.

Разряды:

• 1 — сотни;
• 2 — десятки;
• 3 — единицы;
• 4 — десятые;
• 5 — сотые;
• 6 — тысячные;
• 7 — десятитысячные.

4,017 — десятичная дробь. Читают: четыре целые, семнадцать тысячных.

Разряды:

• 4 — единицы;
• 0 — десятые;
• 1 — сотые;
• 7 — тысячные.

Пример 1. Сравнить десятичные дроби 0,893 и 0,9.

Решение.

Уравняем число знаков после запятых, приписав к дроби 0,9 справа два нуля. Сравниваем поразрядно  десятичные дроби 0,893 и 0,900.

0,893<0,900.     Ответ: 0,893<0,9.

Пример 2. Сравнить числа 2/5 и 0,39.

Запишем обыкновенную дробь 2/5 в виде десятичной дроби. Сравниваем 0,4 и 0,39. Припишем к дроби 0,4 справа один нуль и сравним 0,40 и 0,39.

0,40>0,39.     Ответ: 2/5>0,39.

Пример 3. Изобразить на координатном луче десятичные дроби 0,5; 0, 3; 0,9.

Меньшее число будет располагаться на координатном луче левее, а большее — правее.

Так как 0,3<0,5<0,9, то крайним слева будет число 0,3, а крайним справа число 0,9.

Выберем единичный отрезок, равный 10 клеткам.

Одна клетка — это 1/10 единичного отрезка.

Тогда числу 0,3 будут соответствовать три клетки,

числу 0,5 — пять клеток, а числу 0,9 — девять клеток.

 

Страница 2 из 3«123»

www.mathematics-repetition.com

Правила в стихах по курсу математики 5-6 класс

Противоположные числа

1)        Жили на свете близнецы-братья,

Были похожи собой.

Из-за нелепого проклятья

Разделены судьбой.

Братья имели разные знаки,

  С ними по жизни шли,

Если ж случалось им повстречаться

В ноль превращались они.

***

           Два числа лишь знаками

Друг от друга отличные

Называются издавна

Противоположными числами

                

Раскрытие скобок

Много скобок в примерах,

Много скобок в задачах.

Как же нам поступить?

А, раскрыть!

Если увидишь перед скобками плюс,

То скобки опустишь просто.

Если же минус — насторожись

Знаки менять там нужно.

                Подобные слагаемые

      Приведу подобные, переводя буквы на предметы.

Посчитаю, получу верные ответы

(5m+1m=6m)

Пять морковок да одна будет шесть морковок.

(7s-2s=5s)

Семь свеколок минус две будет пять свеколок.

Модуль числа

     -Что такое модуль?- спросите меня.

Я отвечу вам:

-Модуль- расстояние от точки О до точки А.

Помните  друзья!

                 

Умножение и деление обыкновенных дробей

    1.  Кто умножать собрался

Дроби обыкновенные?

Подходи! Расскажу!

Ты числители бери- умножай,

Знаменатели бери-умножай.

Результат получай.

2.   Ведь дробь делить – пустяк,

Делители перевернет ведь всяк,

А дальше действуй, как при умножении,

И результат готов в одно мгновенье.

                 Умножение и деление рациональных чисел

 Умножение, деление — операции трудны.

Нужно и считать, и думать

Где поставить знак какой?

Плюс на минус будет минус,

Минус на минус будет плюс.

Правилом этим воспользуйся ты,  примени.

                 Квадрат и прямоугольник 

1.  Я — квадрат!

Ведь у меня четыре стороны

И все они равны.

Найду периметр свой я быстро,

Вот только сторону умножу на четыре.

2. Я – квадрат!

У меня равны диагонали,

Углы они мне делят пополам

На части равные разбившись.

   2. Я – прямоугольник!

      Ведь у меня четыре стороны,

      Противоположные равны.

      Сложу длину и ширину,

      Умножу сумму на два.

      Периметр свой я получу.

      А если вдруг умножу длину на ширину,

      То площадь я свою найду.

Формула пути

        Как нам вычислить пройденный путь?

Знаем факт и по этой теме!

Ты, дружочек, его не забудь:

Надо скорость умножить на время!

Объем куба

       -Кубик, кубик, где ты был?

-Я объем свой находил!

-И нашел? Сумел? Ура!

-Перемножил три ребра!

Пропорция

1.   Кто с задачами постарается,

Тот не упустит решений.

А пропорцией называется

Равенство отношений.

2.  Возьмём и приведём в пример пропорцию:

Произведение  крайних членов.

Чтоб не обидеть средних членов

Возьмём в пропорции и их.

Когда решим заданье с ними,

Увидим, что они равны.

3.  Крайний член пропорции

Я хочу найти.

Что мне делать? Как мне быть?

Как мне поступить?

Основное свойство применю:

Перемножу средние,

Разделю на крайний,

Крайний член найду.

Обыкновенная дробь

  Каждый может за версту.

Видеть дробную черту.

Над чертой — числитель, знайте,

Под чертой – знаменатель.

Дробь такую, непременно,

Надо звать обыкновенной.

Неизвестный делитель

       Чтобы найти неизвестный делитель,

Вы на делимое сразу взгляните:

Пусть оно фыркает, быстро за дело!

Делим его на частное смело!

Неизвестное делимое

       Пусть неизвестно делимое, дети,

Как же его получить нам в ответе?

Частное быстро за чубчик берите

И умножайте его на делитель.

Основное свойство частного

       И делимое, и делитель

На одно число разделите,

Тогда можете вы надеяться,

Ваше частное не изменится.

Коль делимое и делитель

На одно число вдруг умножатся.

Не волнуйтесь, и в этом случае

Ваше частное не потревожится.

Задачи на дроби

        Дробь от числа хотим найти,

Не надо мам тревожить.

Нам надо данное число

На эту дробь умножить.

Коль число по части вдруг

Отыскать решите,

То на данную вам дробь

Часть ту разделите.    

Сокращение дробей

        Дробь поменьше — и считать полегче.

Если знаменатель,

А за ним числитель

Разделить на общий их делитель,

Дробь мы сократили,

Счёт мы упростили.

НОД

   1.   Делитель есть простой

И наибольший общий,

Который получить

Совсем не сложно, в общем;

Числа натуральные

На простые множители

Разложите старательно,

Подумав, по возможности.

Сравните разложения

И выберите множители

Для чисел одинаковые,

Потом их перемножьте.

А произведение оставшихся сомножителей

И будет искомым

Делителем общим наибольшим.

2.    Умножая дробь на дробь.

Перемножь числители-

Запиши в числителе,

А потом так же точно и со знаменателем.

Десятичные дроби

1.    Чтобы дроби десятичные сравнить,

Вам много и не надобно учится.

Число знаков десятичных уравнять,

К одной из них справа нули приписать,

И, отбросив запятую потом,

Правое с левым сравнить числом.

2.    Чтобы нас вычесть, или сложить,

Вам не следует спешить.

Тут совет мы можем дать:

Друг под другом нас записать.

Запятая чтоб была под запятой,

А складывать надо так,

Как будто нет их ни одной.

А потом обратите внимание,

Что в самом конце, в ответе, её

Просто поставить на место свое.

3.    А вот ещё правило, оно не сложней:

Если в конце десятичных дробей

Нули отбросить или приписать,

Да хоть всю тетрадь нулями исписать!

Дробь, равная данной получится;

Так зачем же тогда мучиться?

4.    Как делить на десятичную дробь? Что вы смотрите кисло?

Мы сейчас это правило вместе поймем.

Вправо сдвинь запятую в двух числах настолько,

Сколько цифр у делителя за запятой.

А теперь и деленье возможно, поскольку

Это нацело делать есть способ простой.

5.   Милейшие дроби, к тому ж десятичные,

Взобрались на крышу по шаткой трубе.

— Мы здесь посидим, ведь погода отличная,

И кое о чём расскажу я тебе.

Ты знаешь, как нас перемножить, дражайшая?

Умножь, как натуральные числа, а дальше я,

Чтоб лучше запомнилось, песню спою:

Где же будет запятая?

Вот задача непростая!

Мы решим её, однако,

Показав высокий класс.

Отсчитаем столько знаков,

Сколько вместе есть у нас!

Сложение рациональных чисел

1.    Если уж захочется очень вам сложить

Числа отрицательные, нечего тужить:

Надо сумму модулей быстренько узнать

К ней потом знак «минус» взять да приписать.

2.   Если числа с разными знаками дадут,

Чтоб найти их сумму, все мы тут как тут,

Больший модуль быстро очень выбираем

Из него мы меньший модуль вычитаем,

Самое главное – знак не позабыть!

Вот какой поставить? – мы хотим спросить.

Вам секрет откроем, проще дела нет

Знак, где модуль больше, запиши в ответ.

3.   Хочу сложить я отрицательные числа,

Но не уверен, что верный получу ответ.

Пусть эти числа – долг,

Сложив долги, я больший получу должок,

А значит, минус получу в ответе.

Всё сходится, ура! Нашёл я верный путь решения.

4.   Правило сложения чисел отрицательных

И чисел положительных очень трудно.

Но запомнить его можно легко:

Ты должен мне — число отрицательное,

Деньги твои —  число положительное.

Сложить ты можешь и узнать, с деньгами ты,

Или они мои.

Решение уравнений

1.  При решении уравнения

Если в части одной,

Безразлично в какой

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям

Равный член придадим,

Только  со знаком другим,

И найдем результат положительный.

2.  При решении уравнений

Правило такое применю:

Части обе на число разделю,

На любое, но не равное нулю.

3.  Стали числа танцевать:

2 плюс 3, конечно – 5!

3 плюс 2 – тоже 5

Получается опять…

3 плюс 5 равно восьми.

Получилось 5 плюс 3 –

8, что не говори!

Водят числа круглый год

Вокруг плюса хоровод:

Кружатся, стараются –

А сумма не меняется!

4.  Легко запомнить, друзья,

Признак делимости на 2.

Делю без остатка на 2

Лишь натуральные чётные числа.

Объём параллелепипеда

       Жил да был Параллелепипед

Парень не простой, прямоугольный, деловой.

С высотой, длиной и шириной.

Захотел найти объём он свой.

Перемножил измеренья, больше ничего.

Получил объём свой, вот и всё.

Перпендикуляр

       Однажды отрезок гулял по кривой,

От точки хотел он дойти до прямой.

А выбрать путь не знал какой,

Но хотел короткий и простой.

Чертёжный угольник ему помог.

Он встал на прямую и точку завлёк.

Отрезок увидел короткий свой путь.

– Перпендикуляром ты будь!

Среднее арифметическое

        Коля, Оля, Света и Макар

Делили общий гонорар.

Каждый сумму иметь хотел свою.

Коля предложил среднее арифметическое определить:

Все суммы сложить

И на четыре поделить.

Порядок выполнения действий

        При решении примеров

Расставь порядок действий.

Умножь или раздели – на первом месте –

Сильные действия.

Займись сложением потом или вычитанием –

Слабые действия.

Ответ получишь –

Запиши на своём месте.

Окружность и круг

1.    Меня зовут окружность,

Горожусь я нужностью.

Все до единой точки мои

От центра равноудалены.

Про радиус запомни скорей-

Это отрезок от центра до точки моей.

Всегда диаметр со мной,

Знай, это радиус двойной.

2.   Но что всего важней: диаметр мой (окружности)

Почти в 3 раза с одной седьмой

Меня короче.  Это отношение

Окружности к диаметру за двести лет

До нашей эры вывел Архимед

Что справедливо это заключение,

Ни в ком не может вызвать сомнения.

3.    Это я знаю и помню прекрасно:

Пи многие знаки мне лишни, напрасны

(3,14159265358…)

4.   У круга есть одна подруга,

Знакома всем её наружность.

Она идет по краю круга

И называется – окружность.

5.   Вы мне (кругу) должны на слово верить:

Площадь круга можно мерить.

Скажу собравшимся гостям:

Дели окружность пополам,

И множь на радиус. Тогда, как говорится,

Ты площадь выразишь в квадратных единицах.

6.   Чтоб  площадь круга нам найти

Не надо мучится часами.

Ты r в квадратик возведи

И умножь  его на  π,

А  π  знает каждый

Равно приближенно три.

7.     Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз;

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам собраться,

Оказать старинке честь.

Чтобы нам не ошибаться,

Чтоб  окружность верно счесть.

Надо только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть!

Треугольник

1.    Зовусь я треугольник,

Со мной хлопот не оберётся школьник…

По-разному  всегда я называюсь,

Когда углы иль стороны даны:

С одним тупым углом — тупоугольный

Коль острых два, а третий — прям – прямоугольный.

Бывало я равносторонний,

Когда мои все стороны равны.

Когда все разные даны,

То я зовусь разносторонним.

И если, наконец, равны две стороны,

То равнобедренным я называюсь.

2.   Медиана — отрезок не простой,

А в треугольнике вершину,

Соединившей с серединой,

Той, что напротив, стороны.

3.    Медиана — это обезьяна,

Которая бегает по сторонам

И делит

Сторону пополам.

4.    Биссектриса — это крыса,

Она шныряет по углам

И делит их пополам.

Углы

1.    Лишь только мы точку возьмём на прямой,

Тотчас два луча от неё побежали.

Развёрнутый угол ужель не узнали?

Напомним: его половина — прямой.

А градус? Нам выучить проще простого:

Одна девяностая часть от прямого.

2.    Углы запомнить очень просто:

Угол меньше девяносто зовется острым.

Тот, что равен девяносто, называется прямым.

А развернутый, среди прочих,

Самым выглядит большим,

Ста восьмидесяти равна у него величина.

Свойство 0

  1.   Ах, я толь, ах, я ноль,

Очень этим горжусь,

И злодействовать очень люблю.

Кто забыл мою власть,

А потом ещё и разделю,

И опять себя получу.

2.    Коль нуль к числу ты прибавляешь,

Иль отнимаешь от него,

В ответе тотчас получаешь

Опять — то самое число.

Попав как множитель средь чисел,

Он сводит мигом всех на нет.

И потому в произведенье

Один за всех несёт ответ.

А относительно деления

Во-первых, нужно помнить то,

Что уж давно  в научном мире

Делить на нуль запрещено.

Проценты

       Мой дружок меня спросил про проценты,

Как проценты записать в виде дроби.

Я ответил: «Очень просто,

Раздели число на 100, получи что нужно»

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

1.   При сравнении дробей с одинаковыми числителями

Ошибиться не сумей.

Больше та подруга дробь,

У которой меньший знаменатель.

2.    Два числа-близнеца

Отличаются на 2

Да ещё они простые,

А не составные.

Прямопропорциональная зависимость

      У Макса  было две величины.

Одну решил он увеличить.

И увеличил так отлично,

Что стали равными они.

Решил Максим одну величину

Уменьшить раза в два.

Другая, вдруг, не стала думать-

Уменьшилась сама.

Вот и ходят друг за дружкой

Прямопропорциональные подружки.

Прямая

       Отвечайте сей же час:

Пересечься сколько раз

Две различные прямые

Могут в плоскости у нас?

Если речь о двух прямых,

Точка общая у них

Может лишь одна существовать.

Или вовсе нет. Вот и правильный ответ.

И ещё вопрос вам всем:

Ну, а если нет совсем

Общей точки у прямых?

Как же назовём мы их?

Если прямые не пересекаются,

Они параллельными называют.

 

obrazbase.ru

Графики важнейших функций и их преобразования — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

На этой странице представлены графики важнейших функций, изучаемых в школьном курсе математики. Также представлены примеры преобразования этих графиков в различных типичных ситуациях (рассмотрены случаи когда графики смешаются вдоль осей, симметрично отражаются относительно различных осей). Представлен также вид некоторых графиков функций с модулями. Знание того, как выглядят графики основных математических функций, а также того, как они преобразовываются в различных ситуациях, может очень помочь при решении различных сложных задач на экзаменах.

Изучать графики основных функций и их преобразования онлайн:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

educon.by

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ – Репетитор по математике

Решим задачу: Первичная информация разделяется по серверам и №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме Гб входящей в него информации выходит , а с сервера №2 при объеме Гб входящей в него информации выходит Гб обработанной информации; . Каков наибольший объем выходящей информации при общем объеме входящей информации 3364 Гб?

Итак, мы имеем два преобразователя, в которых подаем на вход некоторый объем данных, и получаем на выходе некоторый объем данных. Другими словами, мы имеем дело с числовой функцией:

То, что мы подаем на вход преобразователя — аргумент функции, или независимая переменная, а то, что получается на выходе — значение функции. Выразим значение функции через значение аргумента. Пусть , тогда . Получаем:

По условию задачи информация разделяется по серверам и №1 и №2, причем общий объеме входящей информации 3364 Гб. Пусть на первый сервер попадает Гб  информации, тогда на второй попадает Гб:

Тогда весь объем информации, выходящей с обоих серверов равен

По условию задачи нужно найти наибольший объем выходящей информации. Введем функцию .

По условию задачи , следовательно . Отсюда

Найдем наибольшее значение  функции на отрезке [].

Будем следовать стандартному алгоритму.

1. Найдем производную функции

2. Найдем нули производной.

Дробь  равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

. Легко проверить, что это значение принадлежит отрезку [].

3. Определим знаки производной на отрезке []. Для этого найдем ее значение в правом конце отрезка:

Получаем, что справа от точки производная меньше нуля. Получили, что в точке производная функции меняет знак с «+» на «-«, следовательно это точка максимума функции, и функция принимает в этой точке наибольшее значение на отрезке [].

Найдем значение функции в точке .

Ответ: 1682

ege-ok.ru

Проект по математике «Графики улыбаются»

Введение:

Данная исследовательская работа позволит углубить мои знания по построению графиков линейной, квадратичной функции, а также раскроет новые знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.

Задачи:

• Раскрыть возможности простейших преобразований для построения довольно сложных графиков;

• Формировать умения по построению графиков с модулем;

• Закрепить умение строить графики кусочно-элементарных функций;

• Освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль, научиться применять его в простых ситуациях.

Оглавление:

1. Титульный лист

2. Оглавление

3. Основная часть

4. Заключение

5. Литература

6. Приложения

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности. С помощью графиков наиболее естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других.

Графический способ — один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

Например, метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа (специального прибора, отмечающего температуру на движущейся ленте или на экране дисплея) график температуры.

Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики-сейсмограммы) геологи могут предсказывать приближение землетрясения или цунами.

Врачи выявляют болезни сердца, изучая графики, полученные с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

Широко применяются графики в экономике, в частности кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

Я поставила перед собой следующую проблему: как, используя графики некоторых функций, с помощью простейших преобразований (осевой и центральной симметрии, параллельного переноса и т.п.) научиться строить графики более сложных функций. Так как квадратичная функция дает больше возможностей для «накручивания» нескольких преобразований, поэтому в моих проектах в большей мере присутствуют графики именно квадратичной функции, но вместе с тем я брала также преобразования линейной функции.

Я повторила известные мне правила геометрических преобразований функций, построила несколько более сложных графиков.(см. приложение лист). Начальными графиками являлись прямая у =х и парабола у =х².

Правило1. График функции у=f(х)+к получается параллельным переносом графика f(х) в положительном направлении оси Ох на к единиц при к>0 и в отрицательном направлении этой оси на |к | при к<0

Правило2. График функции аf(х) получается растяжением графика f(х) вдоль оси Оу в а раз при а >1 и сжатием вдоль этой оси в 1/а раз при

0 < а <1.

Правило3. График функции у = -f(х)получается симметричным отображением графика f(х) относительно оси Ох.

Правило4. График функции у = f(-х)получается симметричным отображением графика f(х) относительно оси Оу.

Правило5. График функции у=f(х+с) получается параллельным переносом графика f(х) в положительном направлении оси Ох на |с| единиц при с<0 и в отрицательном направлении этой оси на |с| при с > 0.

Затем, закрепив свои знания о геометрических преобразованиях, я познакомилась с правилами построения графиков, содержащих модуль и научилась применять их к построению графиков с модулем.

Правило6. График функции у= | f(х) | получается из графика функции

у= f(х) так: часть графика у= f(х), лежащая над осью Ох сохраняется, часть его , лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

Правило7. График функции у= f(| х | ) получается из графика функции

у= f(х) так: при х ≥0 график у= f(х) сохраняется, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу.

Правило 8. График зависимости | у | = f(х ) получается из графика

у= f(х) , если все точки , для которых f(х) ≥0 сохраняются и они же переносятся симметрично относительно оси абцисс.

Правда, то, что в итоге получается, нельзя назвать графиком некоторой функции. Так как для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке. Но поскольку мой проект называется «Графики улыбаются», в результате получаются оригинальные картинки .(см приложение лист)

Одно из основных назначений функций- описание реальных процессов, происходящих в природе. Но издавна ученые- философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания этих процессов: постепенное(непрерывное) и скачкообразное. Так, при падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление(знак) при «отскоке» тела от земли.

Переход от одной формулы к другой при описании реальных явлений обычно связан с нарушениями, возмущениями течения процесса в отдельные моменты. Со скачкообразным изменением тех или иных его характеристик. Такой переход иногда может сохранить непрерывность изменения величины,но вызвать излом ее графика. В последнем случае скачком меняется не величина. А скорость ее изменения.

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы и средства для их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы. Таковой является кусочно-заданная функция.

Используя полученные знания, я научилась с помощью простейших геометрических преобразований строить графики кусочно- заданных функций. (см приложение лист)

Подобная сложная конфигурация приводит к мысли, что графиками можно рисовать. Правда, фигуру в координатной плоскости уже нельзя будет называть графиком функции, но зато отдельные ее части этому определению соответствуют.

Итогом моей работы явились презентации следующих проектов : Лицо», «Человечек», «Цыпленок». (см. приложение лист)

При построении графиков можно пофантазировать и достроить рисунок. Можно придумать свои формулы, чтобы картинка получилась оригинальной. Так я . рисуя цыпленка, дорисовала некоторые детали. В результате получился симпатичный цыпленок. Эта картинка построена с помощью 3 графиков, каждый из которых получен из графика у =х² и с помощью простейших геометрических преобразований.

Проект «Лицо» представляет собой изображение лица человека, которое построено с помощью 12 сложных графиков. Для всех их исходным также является графики у =х² и у=х. Ход построения изложен ниже.

Проект «Человечек»построен из 11 графиков. (см приложение лист)В основном рисунок построен с помощью графиков, которые содержат сразу несколько модулей. Начальными графиками я брала у=х, у =х², х² +у² =r².

Заключение:

Итогом моей исследовательской работы явились проекты «Графики улыбаются»: картинки «Лицо», «Человечек», «Цыпленок». Я научилась применять метод геометрических преобразований на примере линейной функции и обратной пропорциональности, строить графики, содержащие модуль, строить графики кусочно — заданных формул.. Я сделала вывод, что графиками можно рисовать. И мои проекты это иллюстрируют..

Геометрические преобразования графиков, построение кусочно-заданной функции, графики, содержащие переменную под знаком модуля, позволили мне передать всю красоту математики.

Литература:

Факультативный курс по математике 7-9 класс. Учебное пособие для средней школы М. Просвещение, 1991.

Математика 8-9 классы Сборник элективных курсов М.Е.Козина .Волгоград.

Построение картинки «Лицо»

У=1/4 х ² -5 -6≤ х ≤ 6

• Сжатие вдоль оси Оу

• Параллельный перенос графика вдоль оси Оу на 5 единиц в отрицательном направлении

У=1/4 х ² -3 -2≤ х ≤ 2

• Сжатие вдоль оси Оу в ¼ раза

• Параллельный перенос вдоль оси Оу на 3 ед. в отрицательном направлении

У=-х ² +2 -1≤ х ≤ 1

У=1/3(х+3) ² +2 -5≤ х ≤ 1

• Сжатие вдоль оси Ох в 1/3 раза

• Сдвиг влево на 3 единицы

• Сдвиг вверх на 2 единицы

У=1/5(х-3) ² +2 1≤ х ≤ 5

• Сжатие вдоль оси Оу в 1/3 раза

• Сдвиг влево на 3 единицы

• Сдвиг вверх на 2 единицы

У=1/5(х+3) ² +4 -5≤ х ≤ -1

• Сдвиг влево на 3 единицы

• Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

• Сдвиг вверх на 4 единицы

У=-1/5(х-3) ² +4

• Симметрия относительно оси абцисс 1≤ х ≤ 5

• Сдвиг вправо на 3 единицы

• Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

• Сдвиг вверх на 4 единицы

(х+3) ² +(у-3) ² =1

(х-3) ² +(у-3) ² =1

Окружность(3,3) радиус=1

У=-1/5(х+3) ² +5

• Симметрия относительно оси абцисс -5≤ х ≤ -1

• Сдвиг влево на 3 единицы

• Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

• Сдвиг вверх на 5 единиц

У=-1/5(х-3) ² +5

• Симметрия относительно оси абцисс -1≤ х ≤ 5

• Сдвиг вправо на 3 единицы

• Сжатие вдоль оси Оу в 1/5 раза

• Сдвиг вверх на 5 единиц

У=-15х ² +10 -6≤ х ≤ 6

• Симметрия относительно оси абцисс

• Растяжение вдоль оси Оу в 15 раз

• Сдвиг вверх на 10 единиц.

Построение картинки «Человечек»

У²+х ² =36 окружность (0,0) радиус=6

оси 0х

сдвиг вниз на 4 единицы

прямая || оси 0х

симметрия точек, для

которых у≥0

относительно оси Ох

прямая || оси Оу

симметрия относительно

Оу

сдвиг вверх на 14 ед.

симметрия точек, для

которых у ≥0 относительно оси Ох

сдвиг вверх на 14 единиц

симметрия точек , для которых у≥0

относительно оси Ох

симметрия точек , для которых

у≥0

относительно оси Ох

симметрия

относительно оси абцисс

сдвиг вверх на 10 единиц

прямая || оси Ох

Построение картинки «Цыпленок»

У=1/5х²-6 -5≤ х ≤ 5

У=3-(х+3)² -1≤ х ≤ -5

• Сдвиг влево на 3 единицы

• Симметрия относительно оси Ох

• Сдвиг вверх на 3 единицы

У=1/2(х-1) ² — 5 — 3/2 ≤ х ≤ 7/2

• Сжатие вдоль оси Ох в ½ раза

• Сдвиг вправо на 1 единицу

• Сдвиг вниз на 5 единиц

infourok.ru

Урок по математике «Функции. Графики. Свойства»

«ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ. СВОЙСТВА»

Цели урока:

1. систематизировать знания учащихся по теме «Функции. Графики. Свойства»;

2. закрепить умения определять функции по заданным формулам;

3. закрепить умения находить соответствия данных графиков функций с формулами;

4. закрепить умения учащихся выполнять построение графиков различных функций.

5. развивать логическое мышление.

Оборудование:

1. экран;

2. компьютер;

3. мультимедийный проектор;

4. приложение к уроку: ( Презентация) – на электронном носителе;

Ход урока:

1. Оргмомент. Сообщение темы и целей урока. Начало показа слайдов.

2. Актуализация знаний.

Ответить на вопросы:

1. 1. Какие из данных графиков являются графиками каких – либо функций? (Слайд)

Дайте определение функции.

1. 2. Каковы способы задания функции?

   3. Функции заданы формулами. Назовите формулы, задающие линейную функцию (Слайд); функцию прямой пропорциональности (Слайд); функцию обратной пропорциональности (Слайд); квадратичную функцию (Слайд).

   4. Что называется графиком функции?

   5. Выберите описание каждой математической модели (Слайд).

   6. Найдите соответствия графиков линейных функций заданным формулам (Слайд). Какой график является графиком прямой пропорциональности?

9) Найдите соответствия графиков функций обратной пропорциональности

заданным формулам (Слайд).

10) Найдите соответствия графиков квадратичной функций заданным

формулам (Слайд).

3. Повторение.

На доске изображены графики функций:

В процессе повторения свойств функций ученики отмечают их на доске для

данных графиков.

1) Область определения и область значения функции (Слайд).

2) Монотонность функции (Слайд).

3) Ограниченность функции. Наибольшее и наименьшее значение функции

(Слайд).

4) Непрерывность функции (Слайд).

5) Выпуклость функции (Слайд).

4. Прочитать график кусочной функции:

Самостоятельно с взаимопроверкой.

5. Сопоставить жизненную ситуацию с графиком функции:

а) Человек периодически стрижёт волосы, которые растут на голове.

б) Через каждый час на склад сдают новые детали.

в) Поднятый мяч выпускают из рук.

г) Процесс сушки яблок.

6. Построить и прочитать график кусочной функции: (Слайды)

Самостоятельно с проверкой.

6. Домашнее задание.

1. Подобрать пословицы, которые можно изобразить в виде графика функции

2. Построить и прочитать график функции:

7. Итоги урока.

(раздаточный материал)

Тема: «ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ. СВОЙСТВА»

1. Заполнить таблицу:

Д(у)

Е(у)

Монотонность

Ограни чен ность

Наиб. и наим. значе ние функ ции

Непре рыв ность

Выпуклость

2. Прочитать график:

3. Сопоставить жизненную ситуацию с графиком функции:

а) Человек периодически стрижёт волосы, которые растут на голове.

б) Через каждый час на склад сдают новые детали.

в) Поднятый мяч выпускают из рук.

г) Процесс сушки яблок.

4. Построить и прочитать график кусочной функции:

5. Подобрать пословицы, которые можно изобразить в виде графика функции

infourok.ru