Отношения и пропорции в математике
В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.
Таким образом, сам смысл термина «отношение» был несколько иной, чем термина «деление»: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление» и «отношение» по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п. При этом многие
В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?
400 – общее число товара
200 – РФ
Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.
200 : 400 = 0,5 или 50%
В математике делимым принято называть предыдущий член отношения, а делителем – последующий член отношения. В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.
Два равных отношения образуют пропорциюВ современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения. К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:
1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
200 : 400 = 0,5 или 50%
2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
300 : 600 = 0,5 или 50%
В данном случае имеется пропорция, которую можно записать следующим образом:
Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести
Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:
Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;
200 × 600 = 120 000
Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.
300 × 400 = 120 000
Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.
Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции, то:
Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.
Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.
simple-math.ru
примеры на отношение 6 класс
Записи с меткой «примеры на отношение 6 класс»
I. Частное двух чисел называют отношением этих чисел.
так с помощью букв записывают отношение чисел a
Примеры.
1) Найти отношения: а) 9 : 5; б) 0,21 : 0,3; в) 51 : 7.
Решение. Выполняем деление.
2) Найти неизвестные члены отношений: а) х : 6 = 24; б) 35 : х = 0,07.
Решение.
а) х : 6 = 24. Делимое равно х, делитель равен 6, частное равно 24. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
х = 24 · 6;
х = 144.
б) 35 : х = 0,07. Делимое равно 35, делитель равен х , частное равно 0,07. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
х = 35 : 0,07;
х = 3500 : 7;
х= 500.
II. Если члены данного отношения переставить местами, то получившееся отношение называют обратным для данного отношения.
III. Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
В самом деле, отношение означает деление.
Члены отношения — это числитель и знаменатель обыкновенной дроби.
А мы знаем основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Примеры.
3) Сократите отношение: а) 80 : 5; б) 42 : 45.
а) 80 : 5. Разделим оба члена этого отношения на 5. Тогда вместо числа 80 получим число 16 (80:5=16), а вместо числа 5 получим число 1 (5:5=1). Запишем: 80 : 5 = 16 : 1. Читают: восемьдесят так относится к пяти, как шестнадцать относится к единице.
б) 42 : 45. Каждый член этого отношения разделим на 3,
тогда получим равенство: 42 : 45 = 14 : 15. Читают: сорок два так относится к сорока пяти, как четырнадцать относится к пятнадцати.
www.mathematics-repetition.com
Отношения
Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же величины – массы, расстояния, времени, скорости, стоимости, объёма, площади и т.д.
Для сравнения чисел и величин существуют, как вы знаете, два способа:
1-ый: вычисление разности и 2-ой: вычисление частного.
Оба этих способа используют часто при решении практических задач, но служат они для разных целей. К делению прибегают в тех случаях, когда хотят получить качественную оценку или относительную оценку той или иной ситуации.
Задача
На экране изображены два отрезка. Отрезок AB длиной 15 см и отрезок CD, длина которого 6 см. Во сколько раз отрезок АВ больше или длиннее отрезка CD?
Решение:
Решение:
Обе рассмотренные задачи решаются делением, и ответ даётся в виде частного. В таких случаях частное двух чисел называют их отношением.
Определение
Частное двух не равных нулю чисел (или двух величин) называют отношением.
Сами эти числа (величины) называют членами отношения.
Иными словами, отношение двух чисел – это другое название их частного. Отношение чисел записывают с помощью знака деления, а также с помощью черты обыкновенной дроби.
Частные чисел читают так:
Напомним, что отношение двух чисел показывает, во сколько раз
одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.Черта дроби используется для записи отношения и тогда, когда его члены не являются натуральными числами.
Задача
Рост дяди Степы 2 м 10 см, а рост мальчика Васи – 105 см. Во сколько раз дядя степа выше мальчика Васи?
Решение:
Но ведь дробную черту мы использовали для записи дробей! А сейчас записана не дробь. Верно. Но вы давно знаете, что при записи деления натуральных чисел вместо знака деления можно использовать дробную черту. Так вот, договариваются о том же и при записи деления любых чисел.
Итак, если а и b – любые числа, то
Сделаем важное замечание:
Если значения двух величин выражены разными
единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо
предварительно
Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т.д., выраженных одинаковыми единицами измерения) есть число. Такие величины называют однородными.
Отношение величин разных наименований (пути и времени, стоимости товара и его количества, массы тела и его объема и т.д.) есть новая величина.
Вот, например, в предыдущей задаче мы находили во сколько раз дядя Степа выше мальчика Васи.
Рост Васи и рост дяди Степы – это однородные величины, т.е. длина. Поэтому отношение их роста выраженно натуральным числом.
А теперь давайте разберёмся, почему отношение разноимённых величин – это новая величина.
Задача
Муравей за 20 секунд пробегает 240 сантиметров. Определите скорость движения муравья.
Решение:
Отметим, что обозначения км/ч, м/с и т.п. приняты именно потому, что расстояние делят на время. Их обычно записывают с наклонной чертой.
В виде отношений определяются и другие величины:
Из основного свойства частного следует свойство отношения.
Давайте вспомним основное свойство частного:
если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Следовательно, получаем свойство отношения:
отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Пример
Мы с вами убедились, что свойство отношения действует. Мы умножили числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, само же отношение не изменилось.
Итоги
Итак, сегодня на уроке мы узнали, что частное двух не равных нулю чисел (или двух величин) называют отношением.
Сами эти числа (величины) называют членами отношения.
Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.
И свойство отношения: отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
videouroki.net
как решить задачу 6 класса на отношение чисел?
Подумать и решить
Если человек спрашивает, значит он не знает
НУ, К ПРИМЕРУ » ДЛЯ КОМПОТА ВЗЯЛИ ЯБЛОКИ И СЛИВЫ В ОТНОШЕНИИ 4 К 3 . ВОПРОС : СКОЛЬКО ВЗЯЛИ ЯБЛОК, ЕСЛИ СЛИВ ВЗЯЛИ 6 КГ. ?» РЕШЕНИЕ : 1) 6 : 3 =2 КГ. СЛИВ. 2) 4 * 2 = 8 КГ. ЯБЛОК. ОТВЕТ : 8 КГ. ЯБЛОК, 6 КГ. СЛИВ .
НАПРИМЕР: ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЕ ФАРФОРА СМЕШИВАЮТ БЕЛУЮ ГЛИНУ, ПЕСОК И ГИПС В ОТНОШЕНИИ 25 : 2 : 1. ОПРЕДЕЛИТЕ МАССУ КАЖДОГО ИЗ ЭТИХ ВЕЩЕСТВ, НЕОБХОДИМУЮ ДЛЯ ПРИГОТОВЛЕНИЯ 700КГ ТАКОЙ СМЕСИ. 25X+2X+1X=700 28X=700 X=700:28 X=25 ( ГЛИНА ) 1) 25 * 2 = 50 (ПЕСОК) 2) 25 * 25 = 625 ( ГИПС) ПРОВЕРЯЕМ: 625+50+25=700. ЕСЛИ ПОМОГ ПАЛЕЦ ВВЕРХ 😉
touch.otvet.mail.ru
Отношение (математика) — это… Что такое Отношение (математика)?
У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение.Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.
Отношение может также означать результат операции деления, например:
Формальное определение
n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.
Иногда понятие отношения определяется только для частного случая для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:
- .
Арность
Примеры
- Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначаемое символом «=». Ему принадлежат все пары вида , и только они.
- Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ». Состоит из пар вида , где x делит y нацело.
Отношения и предикаты
Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение , то отношением называется прообраз единицы в . Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.
Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов.[1]
Операции с отношениями
Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).
Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.
См. также
Примечания
- ↑ Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982.
dic.academic.ru