Как найти площадь треугольника формула 9 класс – Все формулы площади треугольника — найти онлайн

Теорема о площади треугольника. Формулы для нахождения площадей параллелограмма и треугольника

На этом уроке мы выведем формулу площади треугольника через синус его угла.

Сформулируем, проанализируем и докажем теорему о площади треугольника.

Теорема звучит так:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем данную теорему в стандартных для треугольника обозначениях.

Рис. 1. Площадь треугольника

Формула площади треугольника (рис. 1) имеет такой вид:

 

Докажем данную теорему.

Дано: (рис. 2)

Доказать:

Доказательство:

Любой треугольник АВС имеет не менее двух острых углов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Пусть острыми являются угол  и угол . Тогда высота АН= находится внутри треугольника АВС, потому что иначе сумма углов в треугольнике  (рис. 2) превышала бы 180 градусов (угол  прямой, так как  – высота; а угол при вершине В тупой, так как угол  (по условию).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Получили два прямоугольных треугольника общим катетом АН=. Для нахождения данного катета мы используем свойство сторон и углов прямоугольного треугольника: гипотенузу умножаем на синус противолежащего угла:     

 

Подставим данное значение в формулу площади треугольника:

 

Получаем:

 

Мы доказали две формулы из трёх через острые углы . Если угол α острый, доказательство будет аналогичное. Если угол α будет прямым, доказательство очевидное (. При  высота С= находится вне треугольника АВС (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим треугольник  . В нём угол . Чтобы найти катет , нужно гипотенузу умножить на синус противолежащего угла:

 

 

          

Подставляем в формулу для площади треугольника  () значение катета :

 

Мы доказали и третью формулу. Следовательно, доказали теорему.

Также эту теорему можно доказать координатным методом (рис. 4).

Дано: треугольник АВС, ,

Доказать:

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Координаты вершины А определяются через длину АС=b и угол γ. В предыдущих уроках мы выяснили, что координаты точки А будут . А  – это высота , то есть ордината точки А.

   

Подставляем в формулу площади треугольника:

 

Формула доказана независимо от величины углов треугольника – за начало координат была взята точка С. Остальные 2 формулы получаются аналогично, если за начало координат взять точку А или В.

Полученные формулы можно использовать во многих задачах.

Дано: треугольник АВС, АВ= см, АС=4 см, ⦟А=(рис. 5)

Найти: площадь треугольника АВС

Решение:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Для решения данной задачи воспользуемся ранее доказанной теоремой.

 

Подставляем известные значения:

 

 

Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма. Диагональ BD рассекает параллелограмм на два треугольника.  (рис. 6) по трём равным сторонам (противоположные стороны в параллелограмме равны, следовательно, АВ=CD, AD=BC. Сторона BD – общая для двух треугольников.). Отсюда следует, что площади этих двух треугольников тоже равны.

Площадь параллелограмма

 

Согласно теореме о площади треугольника

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

 

Значит, площадь параллелограмма равна

 =

Можно рассмотреть и угол В. Он равен , следовательно, . Поэтому площадь параллелограмма можно рассчитать через :

 

Формула для площади параллелограмма доказана.

Треугольники ADB и ADC параллелограмма ABCD . Доказать, что площади этих треугольников равны.

Доказательство:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Площади первого и второго треугольника есть произведение половины основания на высоту (рис. 7). Основание у них одинаковое (AD), высота, опущенное на это основание, также одинаковая, следовательно:

 

Дано:, АС15 см,

Найти: сторону АВ (рис. 8)

Решение:

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Найдём сторону АВ через формулу площади треугольника

 

Подставляем известные величины:

 

 см

 

Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.

Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 9)

Доказать:

Доказательство: первый способ:

Учтём, что угол α и угол  имеют один и тот же синус:

 

Площадь треугольника АОВ (согласно теореме о площади треугольника):

 

Площадь треугольника ВОС: 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

 

Так как синусы равны, то и . Учитывая, что , а , мы доказали, что диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника.

Поэтому для нахождения площади параллелограмма достаточно найти площадь одного из треугольников и умножить на 4.

   

Так как , то

Что и требовалось доказать.

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Из точки С диагонали АС проводим прямую CР, параллельную другой диагонали (BD). Получаем параллелограмм BDPC, треугольник ABD равновелик треугольнику DCP, так как

Основания и высота у них одинаковы.

Таким образом, отнимая от параллелограмма ABCD треугольник ABD и прибавляя треугольник DCP, получаем треугольник АСР с такой же площадью, как у исходного параллелограмма. И площадь этого треугольника равна:

 

 

    

Так как СРBD и  , то

  

Что и требовалось доказать.

Дано: , , высота ВН=h

Найти: площадь треугольника АВС (рис. 11)

Решение:

                                           

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Согласно теореме о площади треугольника

 

Выражаем АВ и ВС через h и другие известные величины. АВ является

гипотенузой в прямоугольном треугольнике АВН, поэтому:

, при  (рис. 11 а)

, при  (рис. 11 б)

Аналогично находим ВС (). В обоих случаях:

Подставляем данные значения в формулу площади треугольника:

 

На данном уроке мы доказали теорему о площади треугольника через синус его

угла и решили задачи по данной теме.

           

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. 2mb.ru (Источник).
3. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. В треугольнике ABC AB = 1 см, BC = 2 см, , . Найдите площадь треугольника. 
2. Для определения площади треугольника АВС измерили две его стороны a и b и угол между ними γ. Вычислить площадь (a= 125 мм, b= 160 мм, γ = 52).
3. Площадь треугольника АВС равна 18. АС = ВС = 3. Найдите сторону АВ.

interneturok.ru

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Геометрия 8 класса — это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.

$S=\frac{1}{2}ab$

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $\beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.

$S=\frac{1}{2}a^2 tg \beta$

Если же известен противолежащий угол, то площадь треугольника можно вычислить как полупроизведение квадрата этого катета на котангенс противолежащего угла.
$S=\frac{1}{2}a^2 ctg \alpha$

6. Формула площади равностороннего треугольника по его стороне

Если дан равносторонний треугольник со стороной a, то площадь его равна квадрату сторону, умноженному на корень из трёх и раделённому на 4.

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.

$S=\frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).

$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $\beta$ и $\gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.

$S=\frac{1}{2}a^2\frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}$

10. Формула площади равнобедренного треугольника

Если в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по a, а основание равно b, то его площадь можно вычислить по следующей формуле:

$S=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:

$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:

$\frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:

$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma — m_a)(\sigma — m_b)(\sigma — m_c)}$,
где $\sigma$ — полусумма медиан.

14. Формула площади треугольника по трём высотам

Если у треугольника известны все высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$, то можно сначала найти величину $H = \frac{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}{2}$ (она в полтора раза больше среднего гармонического высот), а затем найти площадь по формуле:

$S=\frac{1}{4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}}$

15. Формула площади треугольника по радиусу описанной окружности и всем углам

Если у треугольника известны все углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и радуис описанной окружности R, то площадь треугольника можно найти как одну восьмую произведения квадрата радиуса вписанной окружности на произведение синусов углов.

$S = \frac{1}{8}R^{2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

evolventa.blogspot.com

Конспект урока по геометрии «Площадь треугольника», 9 класс

Бородина Т.П. учитель МБОУ СОШ №1

Тема: Площадь треугольника.

Цель:

Знать теорему о площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Уметь применять теорему в решениях задач.

Задачи:

Образовательная:

-закрепить умение проводить доказательства теорем.

— формировать навыки решение задач, используя свойства геометрических фигур и разнообразные методы решения задач.

Развивающая:

— развить внимание, память, умение выражать свои мысли

— активизировать умение анализировать, делать выводы.

Воспитывающая:

-воспитывать интерес к предмету.

План урока:

1-й этап. Актуализация знаний.

1. Проверка домашнего задания.

— доказательство теоремы о площади треугольника S=∙с ∙в ∙ sinα,

с использованием координатного метода.

— доказательство теоремы о площади параллелограмма S=∙с ∙в ∙ sinα ,

с использованием формулы площади треугольника.

2. Повторение изученного раннее.

— решение задач на «готовых чертежах» с применением формулы площади треугольника.

2-этап. Формирование умений и навыков в решении задач по геометрии.

Решение сложных задач с применением формулы

площади треугольника S=∙с ∙в ∙ sinα.

— использование рекомендаций по выбору метода решения

— использование алгоритма решения.

3-й этап. Учебная самостоятельная работа.

Творческая работа: «открытие» новых формул.

-вывод формул площадей: параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата через диагонали этих фигур, с использованием формулы площади треугольника.

— самостоятельно, по заданному плану, выполнить решение задач на доказательство новых правил.

4-й этап. Подведение итогов.

Х о д у р о к а:

1-й этап. Актуализация знаний.

Цель: Проверить умение проводить доказательства теорем. Умение использовать формулу площади треугольника через синус угла.

Отработать понятие «две стороны и угол между ними», названия градусных мер углов «альфа, бетта, гамма», закрепить использование элементов треугольника при составлении формулы площади треугольника.

Повторить значения синусов углов в.Повторить формулы приведения. Проверить умение применять формулы площадей данных фигур по заданным элементам. Закрепить вычислительные навыки.

1. Проверка домашнего задания.

Доказательство теоремы о площади треугольника.

Используя «координатный метод», доказать: если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь треугольника вычисляется как половина произведения этих сторон, умноженная на синус угла, заключенного между этими сторонами.

Теорема: площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство теоремы о площади параллелограмма.

Задача №1021
Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух его
смежных сторон на синус угла между ними.

Дано: ABCD параллелограмм

AB = a AD = b

S − площадь параллелограмма

Доказать: S = a ∙b ∙sinA

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ∆ABD и ∆СДВ.

Данные треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников, значит

площади треугольников также равны,

S_∆ABD = S_∆СДВ

S_∆АВД =∙ АВ ∙ АD ∙ sinA

Площадь параллелограмма

S_ABCD= S_∆ABD + S_∆СДВ= 2 ∙ S_∆АВД =

2∙∙а∙в∙SinA= a ∙b ∙sinA

S_ABCD = a ∙ b ∙ sinA

2. Повторение изученного раннее. Решение задач на «готовых чертежах» с применением формулы площади треугольника.

Задание. Зная в треугольнике длины двух сторон и угол между ними, составьте формулу площади треугольника через синус угла, заключенного между этими сторонами

Ответы учащихся:

S= ∙с ∙ в ∙ sinα.

S= ∙с ∙ а ∙ sinβ

S= ∙с ∙ в ∙ sinγ

Зная длины двух сторон и угол между ними, вычислите площади данных фигур по формуле S=∙с ∙в ∙ sinα.

Ответ:5 Ответ:9

Ответ:12

Ответ:6,25

2-этап. Формирование умений и навыков в решении сложных задач

Цель:

-Отработать умение в задаче, с несколькими условиями, увидеть все данные для применения какой-либо формулы (особенно площади треугольника через синус угла).

-Использовать знания свойств фигур в решении задачи

-Развить умение проговаривать правила, формулы, теоремы, свойства фигур.

— Развивать навыки в умении связывать, заданные условием задачи, элементы со свойствами этих элементов.

-Уметь распознавать метод, который необходимо применить к данной задаче.

Задача №1

В треугольнике АВС АВ=4, АД=6, уголВАД=60®, ВД=2√7. Найти АН.

Алгоритм решения и рекомендации:

1.Вычислить площадь ∆АВД по известным двум сторонам и углу между ними.

2.Использовать формулу площади ∆АВД через высоту АН.

3. Применить «метод опорного элемента»: где один и тот же элемент — « площадь», выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются.

4. Ответ:

Задача №2.

В треугольнике АВС АВ=4, ВС=6, ВД- биссектриса трейгольника, ∟АВС=45®. Найдите площади треугольников АВД и СВД.

Алгоритм решения и рекомендации: 1.Вычислить площадь ∆АВС, используя теорему о площади треугольника

2.Использовать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. «Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы». 

3.Составить отношения площадей треугольников АВД и СВД и найти его значение через стороны АВ и ВС.

4.Использовать «метод площадей»: площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей (SАВС равна сумме площадей каких треугольников?)

Задача №3.

В треугольнике АВС медианы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О.
АА₁ =15см, СС₁ =18см, угол АОС₁ =60®. Найти площадь треугольника АВС.

Алгоритм решения и рекомендации:

1.Найти площадь ∆АОС_1. Для этого найдем ОС₁ –часть медианы СС₁ и ОА –часть медианы АА₁.

2.Провести медиану ВВ₁ Использовать «метод ключевых задач» —-свойства медиан треугольника:

а)медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

б)медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

3.Для нахождения площади треугольника АВС, нужно площадь ∆АОС₁ умножить на шесть.

3-й этап. Учебная самостоятельная работа.

Творческая работа: «открытие» новых формул.

Цель:

-Вывести формулы площадей параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата через диагонали этих фигур с использованием формулы площади треугольника.

—Научить, по заданному плану решения, проводить самостоятельные рассуждения, делать выводы, формулировать определения, применять формулу площади треугольника для создания нового правила.

-Показать знания определений и свойств прямоугольника, ромба, квадрата. Провести учащимися самостоятельно несколько доказательств.

Индивидуальная карточка учащегося__________________________

Ребята, запишите свою фамилию и имя.

Познакомьтесь последовательно с условием задач.

Решайте, рассуждайте, выводите формулы по рекомендованному вам плану, внимательно читая и разбирая его пункты.

Записывайте свои ответы в правом столбце.

Задание: Решите самостоятельно задачи с целью вывода новых формул для площадей параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата через диагонали этих фигур с использованием формулы площади треугольника.

Задача №1. В параллелограмме АВСД диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Угол между диагоналями равен α. Найти площадь параллелограмма через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения:

Ответы учащегося

1.Запишите формулу площади ∆СОД по сторонам ОС и ОД и через синус угла между ними.

2.Обозначить диагонали параллелограмма через d₁ и d₂ , а угол СОД через α

3.Выразить ОС через диагональ d₁ и

ОД через диагональ d₂

4.Поставьте найденные значения для ОС и ОД, выраженные через диагонали d₁ и d₂

в формулу для площади ∆СОД

5.Докажите, что диагонали разбили площадь параллелограмма на четыре равных по площади треугольника.

6.Площадь ∆СОД умножить на четыре, упростите.

7.Запишите получившуюся формулу

8. Сформулируйте правило площади параллелограмма через его диагонали и угол между ними.

Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей параллелограмма, умноженная на на синус угла между ними.

Задача №2.

В прямоугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются в точке О. Угол между диагоналями равен α. Найти площадь параллелограмма через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения:

Ответы учащегося

1.Дайте определение прямоугольника

Прямоугольник это параллелограмм, у которого углы прямые

2.Свойства диагоналей прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

3.Обозначить диагонали прямоугольника через d_{, а угол между диагоналями СОД через α}

АС=ВД=d,

4.Примените формулу площади параллелограмма S= d₁ ∙ d₂ ∙sinα для вывода новой формулы площади прямоугольника, учитывая, что d₁ = d_2. Обозначьте равные диагонали через d.

5. Запишите получившуюся формулу и сформулируйте правило площади прямоугольника через диагонали и угол между ними.

Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями.

Задача №3.

Вывести формулу площади ромба через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения

Ответы учащегося

1.Запишите определение ромба

Свойства диагоналей ромба.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, и точкой пересечения делятся пополам

2. Запишите через d₁ и d₂ диагонали АС и ВД, обозначьте угол между диагоналями α

АС=d₁ и ВД=d₂ ,∟СОД=α

3.Примените формулу площади параллелограмма S= ∙d₁ ∙ d₂∙ sinα для вывода формулы площади ромба. Помните, что у ромба α=90

4.Запишите формулу площади ромба и сформулируйте правило

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

Задача №4.

Вывести формулу площади квадрата через его диагонали и угол между диагоналями.

План решения

Ответы учащегося

1.Определение квадрата

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны

2.Свойства диагоналей квадрата

В квадрате диагонали равны, взаимно перперпендикулярны

3.Примените формулу площади прямоугольника S=d² ∙ sinα. Помните, что у квадрата угол между диагоналями α=90

4.Запишите формулу площади квадрата и сформулируйте правило

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

4-й этап. Подведение итогов.

Карточка для этапа рефлексии

                   Ответьте на вопросы:

1. Данная тема мне понятна.

2. Я хорошо понял теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

3. Я знаю, как пользоваться формулой для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу меду ними

4. Я  сумею найти______________________________________________________

5. При решении задач у меня все получилось_________________________

6. Я понял теорему, но допустил ошибки при выводе формул площадей четырехугольников через диагонали__________________________________________________________

7. Я доволен своей работой на уроке_______________________________________

8. Я на уроке узнал новое——————————————————————————

9. Я научился———————————————————————————————

Домашнее задание: решение задач по учебнику Атанасяна Л.С. № 1057, 1058 стр.272.

infourok.ru

Разработка урока по математике для учащихся 9 класса по теме «Формулы площади треугольника»

Горшкова Гузель Мингалеевна

Учитель математики

МБОУ «Гимназия №3»

Класс: 9

Тема урока: «Формулы площади треугольника»

Тип урока: урок открытия новых знаний

Цель: формирование практических навыков вычисления площадей различных треугольников

Задачи:

1. Обучающая – расширить знания о формулах площади треугольников; учить применять формулы Герона и Пика при решение задач на площадь треугольника с опорой на готовые чертежи, изображенные на клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см или треугольника, заданного на координатной плоскости.

2. Развивающая – развивать логическое мышление, развивать навыки и умения работать в парах и группах; творческие способности учащихся.

3. Воспитательная – повышать интерес к изучению математики, сознательное отношение к учебе, уважительное отношение друг к другу, умение слушать ответы товарищей, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, билеты для лото, задания для практической работы, карточки с рисунками к задачам, карточки с формулами площади треугольника и карточки с треугольниками и наглядности.

Ход урока

I. Мотивирование к учебной деятельности

Цель: создание положительного эмоционального настроя на работу, включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне

(1мин)

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

Организационная минутка. Проверка готовности к уроку. Учащиеся разделены на три группы. В каждой группе по 8 человек разного уровня знаний.

На каждом столе лежит пакет с материалами к уроку, три отрезка разной длины. Доска развешана разноцветными многоугольниками и разного вида треугольниками.

Приветствие гостей и учащихся.

Ребята, поздоровайтесь друг с другом за руки. Давайте возьмемся за руки и пожелаем друг другу взаимоуважения, поддержки и хороших знаний. Впереди нас ждут экзамены. Наша задача успешно сдать ГИА. Каждый из вас должен уметь решать задачи базового уровня. Чтобы решить задачи надо учиться их решать различными способами. Определим, на какую тему будем решать задачи.

Давайте, ребята, послушаем математическую сказку, которую сочинила ученица 8 класса.

Учащиеся стоя здороваются друг с другом за руки.

Учащиеся внимательно слушают сказку.

Личностные — формирование положительного отношения к учебе и развитие мотивации к дальнейшему изучению математики

II. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии

Цель: активизация изученного материала необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого ученика

(2мин)

Устный рассказ сказки.

В математическом царстве, планиметрическом государстве,…(Приложение 1.)

Личностные – развитие мотивации к дальнейшему изучению математики

III. Постановка учебной задачи

Цель: обсуждение затруднения и развитие у учащихся умения самостоятельно сформулировать тему и цели урока.

(4 мин)

Вот такая сказка. А вы догадались, о каком «простаке» сегодня на уроке пойдет речь?

А что вы знаете о треугольниках?

Знания о треугольниках проверим при выполнение практической работы (проверка д/з).

У вас на столах лежат три отрезка. Составьте из них треугольник. У третьей группы треугольник не существует. Значит, есть условия, когда три отрезка дают треугольник.

Учитель показывает произвольный треугольник, изображенный на рисунке (Приложение 2).

Ребята, помогите мне. Я хочу покрасить этот треугольник. Но не знаю сколько нужно краски. Что для этого нужно знать?

А как мы можем вычислить площадь треугольников?

Ребята, как бы назвали тему нашего урока?

Слайд 1. (1 мин)

Да, сегодня у нас урок повторения и получения знаний на тему «Формулы площадей треугольников». Зная формулы для вычисления площади треугольника, можно посчитать площадь любого многоугольника, предварительно разбив его на треугольники. Эта тема является одной из важнейших тем геометрии.

Здесь заканчивается текст первого слайда

Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

На магнитной доске даны формулы площади треугольника и треугольники. Установить соответствие. По рисунку найти формулу (приложение 3-7).

Один треугольник остается без формулы.

А где же формула для площади моего треугольника? Какую цель мы поставим перед собой?

Ответы детей (о треугольнике).

Мы знаем много о треугольниках.

Дети составили треугольники.

Ученики дают правильные ответы (длина любой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон).

Дети дают совет вычислить площадь этого треугольника.

По различным формулам.

Каждый ряд дает свою формулировку темы урока (Решение задач на вычисления площади треугольника по формулам).

(Закрыть экран мультипроектора)

Из каждой группы по одному ученику выбирают билет с номером рисунка, и находят формулу для вычисления площади по данным элементам треугольника. Вторые ученики читают формулу (что означает каждая буква формулы).

Найти формулу, для вычисления площади произвольного треугольника по трем сторонам.

Регулятивные – уметь ставить цели, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.

IV Открытие нового знания

Цель: построение проекта выхода из затруднения и формирование первичных практических навыков.

(5 мин)

Значит, приведенные формулы для площади треугольника не исчерпывают все формулы, с помощью которых можно эту площадь находить.

Да, ребята. Если разумно провести необходимые преобразования при вычислении длины высоты, то мы получим эту формулу. Эту задачу решил еще в I в.н.э. выдающийся древнегреческий математик – Герон Александрийский. Он не знал заранее, что открыл(!) формулу, выражающую площадь треугольника через его три стороны. Несмотря на то, что эта формула достаточно длинная, она является одной из самых красивых и древних формул геометрии.

На доске открываем таблицу с формулой Герона (приложение 8).

Доказательство этой формулы очень громоздкое и мы не будем на нём подробно останавливаться. Если оно вас заинтересует, то можно разобрать его после урока или изучить самостоятельно по материалам факультатива электронном портале интернета.

Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до нашей эры. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник.

Слайд 2

Ученица. Во всех известных формулах есть высота треугольника. Поэтому проведем одну из трех высот. Вычислим длину высоты из двух прямоугольных треугольников по теореме Пифагора. Эту формулу я изучила по материалам виртуального факультатива «ГИА и ЕГЭ в математике» из интернета (автор учитель математики Горшкова Г.М.). И эта формула называется формулой Герона.

Здесь заканчивается текст второго слайда (Слайд 3)

Прочитали формулу – что означает каждая буква формулы.

По этой формуле мы и сможем вычислить площадь вашего треугольника.

Здесь заканчивается текст третьего слайда. Закрыть мультипроектор.

Познавательные

Коммуникативные

V. Первичное закрепление

Цель: проговаривание нового знания и применение формулы Герона для вычисления площади треугольника

(7 мин)

Давайте решим одну замечательную задачу на применение формулы площади треугольника.

На доске изображен треугольник на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Вычислить площадь треугольника.

Рис.1

У каждого ученика на столе есть карточка с условием задачи. (Приложение 9).

2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона.

Слайд 4

З. Задачи из ГИА.

А как посчитать площадь треугольника, изображенного в системе координат?

А нет ли еще какой- нибудь формулы для вычисления площади треугольника?

Т. е. как посчитать площадь треугольника, если хотя бы одна сторона выражена квадратным корнем?

Да, есть такая формула. Эта II формула Герона.

На доске появляется еще одна формула площади треугольника (приложение 10).

Здесь заканчивается текст пятого слайда (Слайд 6)

Рассмотрим решение задачи на применение этой формулы

Правильность выполнения вычислений проверяем по слайду 7.

Итак, теперь мы знаем 7 формул для нахождения площади треугольника.

Но оказывается это не все формулы.

Существуют ещё формулы и следствия из предыдущих формул.

Здесь заканчивается текст восьмого слайда (Слайд 9)

Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Итак, мы теперь знаем 9 формул. Но это ещё не предел. С таким же успехом можно получить ещё новые формулы, например, через тригонометрические формулы половинного угла, двойного угла. Такие исследования могут стать стартовой площадкой для написания научно-исследовательской работы.

Ученики в тетрадях записывают число, классная работа и тему урока. Записывают формулу Герона.

Ученики предлагают вычислить площадь этого треугольника различными способами.

1. Способом вычитания (дополнить до прямоугольника, из площади прямоугольника вычесть площади лишних прямоугольных треугольников).

2. Способ сложения (треугольник разбить на два прямоугольных треугольника и сложить площади этих треугольников).

3. По формуле

4. По формуле Герона.

Один ученик работает у доски, а все остальные решают на местах. Цветными карандашами выполняют дополнительные построения.

Каждая группа получает задание. Вычислить площадь данного треугольника различными способами.

Записывают вычисления в тетради.

Сравнивают ответы. Ответ один и тот же.

У доски работает ученик по желанию.

Вычислить длины сторон треугольника. Каждая группа объясняет, как можно вычислить длины сторон треугольника.

а) Задача 1. Длины катетов равны: 9-1=8; 9-6=3; длина гипотенузы равна квадратный корень из 73.

б) Задача 2. Длину каждой стороны вычисляем как длину гипотенузы из прямоугольных треугольников или по правилу вычисления расстояния между двумя точками.

Учащиеся записывают правила в тетради.

Каждая группа вычисляет длину определенной стороны данного треугольника. Стороны этого треугольника выражены не целочисленными числами, поэтому вычисления получаются громоздкими и без калькулятора не обойтись.

Здесь заканчивается текст четвертого слайда (Слайд 5)

Ученики записывают эту формулу в тетради.

Ученики замечают, что в этой формуле нет полупериметра.

Текст задачи есть у каждого ученика.

Один ученик выполняет задание у доски.

Здесь заканчивается текст седьмого слайда (Слайд 8)

Учащиеся получают оценки за работу у доски и ученики, принимавшие активное участие в разборе решения задач по различным способам.

Учащиеся записывают эти формулы в тетради. Отмечают, что это темы проектных работ.

Здесь заканчивается текст девятого слайда. Выключить мультипроектор.

Ученики приводят свои рабочие места в порядок.

Регулятивные

Коммуникативные

Познавательные

Личностные

Динамическая пауза

(1 мин)

Физкультминутка

Ученики встают, хлопают в ладошки, пожимают друг другу руки и благодарят друг друга за дружную работу, взаимопомощь. Группы меняются местами, перемещаясь по кругу.

Регулятивные

Познавательные

Личностные

VI . Cамостоятельная работа с самопроверкой по образцу

(5 мин)

Цель: создание ситуации успеха, мотивирующей его к включению в дальнейшую познавательную деятельность

Игра-лотерея, посвященная ко дню Космонавтики (приложение 11).

Ребята, обратите внимание на номера ваших билетов. Постарайтесь найти, по каким правилам эти номера составлены.

На доске вывешивается таблица с правильными ответами.

Каждый ученик получает билет-лотерею на удачу, карточки вопросы с четырьмя ответами и рисунки чертежи. Ученики, отвечая на вопросы, вычеркивают номера правильных ответов. Выписывают номера не вычеркнутых ответов, считают их количество и заполняют линейку успешности. Если остались номеров: 8 – «5»; 9 – 11 – «4»; 12 – 13 – «3». Ученики билеты подписывают и записывают результаты успешности на обратной стороне билета.

Ученики довольно быстро нашли секреты номеров. Эти числа выражают: арифметическую или геометрическую прогрессии, число, месяц и год дня Космонавтики, продолжительность полета космического корабля «Восток-1» вокруг Земли. Каждый ученик получает оценку за ответы на вопросы и плюс за секреты номера билета.

Ученики обмениваются билетами с соседними группами и выполняют взаимопроверку. Сравниваются ответы.

Регулятивные Личностные Познавательные

VII. Включение нового знания в систему знаний и повторение

Цель: выявление границ применимости нового знания.

(10 мин)

Ребята, а так ли уж важно изучать формулы треугольника и знать их для применения? В каких житейских ситуациях можно встретиться с треугольниками?

Слайд 10

Ребята, я хочу вам дать еще одну полезную информацию для успешной сдачи ГИА, а потом и ЕГЭ.

На помощь приходит еще один практически полезный, красивый и точный прием, основанный на использовании формулы Пика.

Формула Пика позволяет найти площадь любого многоугольника, вершинами которого являются узлы клеток. Часть узлов он содержит на своих сторонах (мы обозначим их количество буквой Г), а часть внутри себя (это количество обозначим буквой В). Тогда площадь такого многоугольника можно вычислить по формуле

S=Г+В/2-1. Ее и называют формулой Пика.

Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…

Формулу Пика открываю и на доске (приложение 12).

Презентация. Формула Пика.

Посмотрим, как применить формулу для вычисления площади.

Слайд 11.

Устная практическая работа по группам. Вычислить площадь по формуле Пика

Учащиеся считают, что важно знать формулы площади треугольников, так как треугольники встречаются очень часто в швейном деле, в столярном деле, в строительном деле и т. д.

Ребята перечисляют еще, где нужны знания о треугольниках.

А самое главное задачи на вычисления площади включены в задания ГИА и ЕГЭ.

Здесь заканчивается текст десятого слайда

Ученики записывают эту формулу в тетради.

Ученики внимательно наблюдают за тем, как правильно считать узловые точки. Заканчивается презентация «Формула Пика»

От каждой группы по два ученика работают у доски. Один считает узловые точки на границе, а другой внутренние точки. Остальные ученики подсчитывают площадь.

Так и загорелись, глаза учеников, увидев практическую пользу формулы Пика.

Здесь заканчивается текст одиннадцатого.

Коммуникативные Познавательные Личностные

Усиление мотивации обучения и практической значимости знаний, воспитание устойчивого интереса к геометрии и

VIII Информация о домашнем задании и инструкция по его выполнению (2 мин)

А дома я предлагаю вам выполнить творческий эксперимент. Проверить формулу Пика на задачах по чертежу.

Ученики записывают домашнее задание в дневник. Карточка — задачи на формулу Пика (приложение 9). Задачи для подготовки к ГИА (варианты 1-7)

Регулятивные

IX. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цель: осознание обучающимися своей учебной деятельности, самооценка

результатов своей деятельности и всего класса

(2 мин)

Определение площадей геометрических фигур — одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.

Надеюсь, что вся эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит правильно решить задачи на площади.

Ребята, какой прием на ваш взгляд самый простой, практичный и полезный?

Ученики заполняют таблицу -рефлексия. Оценивают уровень своих знаний по данной теме. Какие цели были поставлены в начале урока? Что узнали нового? Что было интересного? Что не поняли? (приложение 13)

Коммуникативные

Регулятивные

Личностные

Познавательные

Итоги урока (1мин)

Спасибо за работу на уроке. Составьте памятки по новым формулам. Посещайте факультативы, пользуйтесь дополнительной информацией и применяйте знания на практике.

Слайд 12.

Сдают билеты, отзыв об уроке. Выставляют оценки за урок.

Личностные

Литература

1. Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учредений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2011.:384 с.

Интернет-ресурсы:

2. http://ru.wikipedia.org

3. http://dcs.isa.ru

4. http://www.webmath.ru

5. http://hijos.ru

6. http://festival.1september.ru

7. http://morina71.my1.ru

infourok.ru

«Формулы для нахождения площади треугольника».

Просмотр содержимого документа
«Тема урока: «Формулы для нахождения площади треугольника».»

Добро пожаловать! МБОУ СОШ №1 с. НОГИР

Тема урока: «Формулы для нахождения площади треугольника» .

Учитель математики

МОУ-СОШ №1

С.Ногир

Качмазова Ира Даниловна

Тип урока

• Урок обобщения и систематизации знаний

Формируемые результаты

• Предметные: формировать навыки применения формул для нахождения площади треугольника
• Личностные: развивать навыки самостоятельной работы, анализа своей работы
• Метапредметные: формировать умение осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата

Планируемые результаты

• Учащийся научится применять формулы для нахождения площади треугольника

Основные понятия

1. Организационный этап

• Итак, урок я начинаю
• Всем успехов пожелаю
• Думать, мыслить не зевать,
• Быстро все в уме считать!

2. Мотивация урока

«Недостаточно овладеть премудростью,

Нужно также уметь пользоваться ею »

Цицерон

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з

• Как можно найти площадь треугольника, зная его основание и высоту?
• Как можно найти площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними?
• Запишите формулу Герона для вычисления площади треугольника.
• Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности?
• Как можно найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

4. Обобщение и систематизация знаний

Решаем № 134 из учебника

Два ученика решают у доски №138 (1,2)

Ответы: №134 — 20см²

№ 138 (1)- 84 см²

№ 138 (2)- 3√15 см²

4

5. Работа в парах

• Решите уравнение:

6. Упражнения для глаз

• Закрыв глаза, мысленно представить по очереди как можно отчетливее все цвета радуги. «Нарисовать» глазами спираль в одном направлении, затем в другом направлении.

7. Самостоятельная работа . (Новые подходы в преподавании и обучении).

• Решение тестовых заданий.
• 1. Если стороны треугольника 4 см, 6 см, 6 см, то его площадь равна:
• А) 80 √2 см 2 , В) 18 см 2 , С) 24 см 2 , Д) 8 √2 см 2 .
• 2. В треугольнике АВС угол ВАС=30º . Если АВ=3 см, АС=8 см, то площадь треугольника АВС равна:
• А) 6 √3 см 2 , В) 6 см 2 , С) 12 см 2 , Д) 12 √3 см 2 .
• 3. Катеты прямоугольного треугольника равны. Найдите их длину, если площадь треугольника равна 20 см 2 .
• А) 5 см , В) √10 см , С) 4√10 см , Д) 2 √10 см .
• 4. Если стороны треугольника равны 5 см, 6 см, 9 см, то его площадь равна:
• А) 10 √2 см 2 , В) 10 см 2 ,
• С) 20 см 2 , Д) 6 √2 см 2 .

8. Рефлексия

На уроке мне было все понятно

Немного затруднялся в решении задач

Я узнал, запомнил формулы для нахождения площади треугольника

Я все понял, но ошибался в решении задач

Мне все понятно и было интересно решать задачи

9. Домашнее задание

• пар. 5 № 141,143,145,165

multiurok.ru

План-конспект урока математики по теме «Формулы площадей треугольников». 9-й класс

Разделы: Математика

---

Цели урока: повторение и систематизация знаний и умений учащихся, необходимых для применения в практической деятельности по данной теме; формирование практических навыков вычисления площадей различных треугольников

Задачи:

1. Обучающая – расширить знания о формулах площади треугольников; учить применять формулы Герона и Пика при решение задач на площадь треугольника с опорой на готовые чертежи, изображенные на клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см или треугольника, заданного на координатной плоскости.
2. Развивающая – развивать логическое мышление, развивать навыки и умения работать в парах и группах; развивать навыков самоорганизации и участия в работе группы и творческие способности учащихся.
3. Воспитательная – повышать интерес к изучению математики, сознательное отношение к учебе, уважительное отношение друг к другу, умение слушать ответы товарищей, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, билеты для лото, задания для практической работы, карточки с рисунками к задачам, карточки с формулами площади треугольника и карточки с треугольниками и наглядности.

Тип урока: урок открытия новых знаний и совершенствования знаний, умений и навыков.

Формы работы учащихся: индивидуальная, групповая.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, презентация, билеты для лото, задания для практической работы, карточки с рисунками к задачам, карточки с формулами площади треугольника и карточки с треугольниками и наглядности.

Структура и ход урока

I. Мотивирование к учебной деятельности (1 мин).

Цель: создание положительного эмоционального настроя на работу, включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне.

Деятельность учителя	Деятельность ученика	УУД
Организационная минутка. Проверка готовности к уроку. Учащиеся разделены на три группы. В каждой группе по 8 человек разного уровня знаний. На каждом столе лежит пакет с материалами к уроку, три отрезка разной длины. Доска развешана разноцветными многоугольниками и разного вида треугольниками. Приветствие гостей и учащихся. Ребята, поздоровайтесь друг с другом за руки. Давайте возьмемся за руки и пожелаем друг другу взаимоуважения, поддержки и хороших знаний. Впереди нас ждут экзамены. Наша задача успешно сдать ГИА. Каждый из вас должен уметь решать задачи базового уровня. Чтобы решить задачи надо учиться их решать различными способами. Определим, на какую тему будем решать задачи. Давайте, ребята, послушаем математическую сказку, которую сочинила ученица 8 класса.	Учащиеся стоя здороваются друг с другом за руки. Учащиеся внимательно слушают сказку.	Личностные – формирование положительного отношения к учебе и развитие мотивации к дальнейшему изучению математики.

II. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии (2 мин).

Цель: активизация изученного материала необходимого для “открытия нового знания”, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого ученика.

Устный рассказ сказки. В математическом царстве, планиметрическом государстве,…(Приложение 1.)

Личностные – развитие мотивации к дальнейшему изучению математики.

III. Постановка учебной задачи (4 мин)

Цель: обсуждение затруднения и развитие у учащихся умения самостоятельно сформулировать тему и цели урока.

Вот такая сказка. А вы догадались, о каком “простаке” сегодня на уроке пойдет речь? А что вы знаете о треугольниках Знания о треугольниках проверим, выполнив практическую работу (проверка д/з). У вас на столах лежат три отрезка. Составьте из них треугольник. У третьей группы треугольник не существует. Значит, есть условия, когда три отрезка дают треугольник. Учитель показывает произвольный треугольник, изображенный на рисунке (Приложение 2, 2а). Ребята, помогите мне. Я хочу покрасить этот треугольник. Но не знаю сколько нужно краски. Что для этого нужно знать? А как мы можем вычислить площадь треугольников? Ребята, как бы назвали тему нашего урока? Слайд 1. (Приложение 14) Да, сегодня у нас урок повторения и получения знаний на тему “Формулы площади треугольника”. Зная формулы для вычисления площади треугольника, можно посчитать площадь любого многоугольника, предварительно разбив его на треугольники. Эта тема является одной из важнейших тем геометрии. Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете? На магнитной доске даны формулы площади треугольника и треугольники. Установить соответствие. По рисунку найти формулу (Приложение 3, 4, 5, 6, 7). Один треугольник остается без формулы. А где же формула для площади моего треугольника? Какую цель мы поставим перед собой?

Ответы детей о треугольнике. Мы знаем много о треугольниках. Дети составили треугольники. Ученики дают правильные ответы (длина любой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон). Дети дают совет вычислить площадь этого треугольника. По различным формулам. Каждый ряд дает свою формулировку темы урока (Решение задач на вычисления площади треугольника по формулам). Учащиеся записывают в тетрадях число и тему урока. Из каждой группы по одному ученику выбирают билет с номером рисунка, и находят формулу для вычисления площади по данным элементам треугольника. Вторые ученики читают формулу (что означает каждая буква формулы). Найти формулу, для вычисления площади произвольного треугольника по трем сторонам.

Регулятивные – уметь ставить цели, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.

IV. Открытие нового знания (5 мин).

Цель: построение проекта выхода из затруднения и формирование первичных практических навыков.

Значит, приведенные формулы для площади треугольника не исчерпывают все формулы, с помощью которых можно эту площадь находить. Слайд 2. Да, ребята. Если разумно провести необходимые преобразования при вычислении длины высоты, то мы получим эту формулу. Эту задачу решил еще в I в.н.э. выдающийся древнегреческий математик – Герон Александрийский. Он не знал заранее, что открыл(!) формулу, выражающую площадь треугольника через его три стороны. Несмотря на то, что эта формула достаточно длинная, она является одной из самых красивых и древних формул геометрии. На доске открываем таблицу с формулой Герона. (Приложение 8). Слайд 3. Доказательство этой формулы очень громоздкое и мы не будем на нём подробно останавливаться. Если оно вас заинтересует, то можно разобрать его после урока или изучить самостоятельно по материалам факультатива электронном портале интернета. Слайд 4. Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до нашей эры. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в “Метрике” Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Ученица. Во всех известных формулах есть высота треугольника. Поэтому проведем одну из трех высот. Вычислим длину высоты из двух прямоугольных треугольников по теореме Пифагора. Эту формулу я изучила по материалам виртуального факультатива “ГИА и ЕГЭ в математике” из интернета (автор учитель математики Горшкова Г.М.). И эта формула называется формулой Герона. Прочитали формулу – что означает каждая буква формулы. По этой формуле мы и сможем вычислить площадь вашего треугольника.

Познавательные. Коммуникативные.

V. Первичное закрепление (7 мин).

Цель: проговаривание нового знания и применение формулы Герона для вычисления площади треугольника.

1) Давайте решим одну замечательную задачу на применение формулы площади треугольника. На доске изображен треугольник на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Вычислить площадь треугольника. Рис. 1 У каждого ученика на столе есть карточка с условием задачи. (Приложение 9, 9а).	Ученики в тетрадях записывают число, классная работа и тему урока. Записывают формулу Герона. Ученики предлагают вычислить площадь этого треугольника различными способами. 1. Способом вычитания (дополнить до прямоугольника, из площади прямоугольника вычесть площади лишних прямоугольных треугольников). 2. Способ сложения (треугольник разбить на два прямоугольных треугольника и сложить площади этих треугольников). 3. По формуле 4. По формуле Герона. Один ученик работает у доски, а все остальные решают на местах. Цветными карандашами выполняют дополнительные построения. Каждая группа получает задание. Вычислить площадь данного треугольника различными способами. Записывают вычисления в тетради. Сравнивают ответы. Ответ один и тот же. У доски работает ученик по желанию. Вычислить длины сторон треугольника. Каждая группа объясняет, как можно вычислить длины сторон треугольника.	Регулятивные. Коммуникативные. Познавательные. Личностные.
2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. З. Слайд 5. Задачи из ГИА. А как посчитать площадь треугольника, изображенного в системе координат?	а) Задача 1. Длины катетов равны: 9 – 1 = 8; 9 – 6 = 3; Длина гипотенузы равна квадратный корень из 73. б) Задача 2. Длину каждой стороны вычисляем как длину гипотенузы из прямоугольных треугольников или по правилу вычисления расстояния между двумя точками. Учащиеся записывают правила в тетради. Каждая группа вычисляет длину определенной стороны данного треугольника. Стороны этого треугольника выражены не целочисленными числами, поэтому вычисления получаются громоздкими и без калькулятора не обойтись.
А нет ли еще какой-нибудь формулы для вычисления площади треугольника? Т. е. как посчитать площадь треугольника, если хотя бы одна сторона выражена квадратным корнем? Да, есть такая формула. Эта II формула Герона. Слайд 6.	Ученики записывают эту формулу в тетради.
На доске появляется еще одна формула площади треугольника (Приложение 10). Рассмотрим решение задачи на применение этой формулы Правильность выполнения вычислений проверяем по Слайдам 7и 8. Слайд 9. Итак, теперь мы знаем 7 формул для нахождения площади треугольника. Но оказывается это не все формулы. Существуют ещё формулы и следствия из предыдущих формул. Слайд 10. Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Итак, мы теперь знаем 9 формул. Но это ещё не предел. С таким же успехом можно получить ещё новые формулы, например, через тригонометрические формулы половинного угла, двойного угла. Такие исследования могут стать стартовой площадкой для написания научно-исследовательской работы.	Ученики замечают, что в этой формуле нет полупериметра. Текст задачи есть у каждого ученика. Один ученик выполняет задание у доски. Учащиеся получают оценки за работу у доски и ученики, принимавшие активное участие в разборе решения задач по различным способам. Учащиеся записывают эти формулы в тетради. Отмечают, что это темы проектных работ. Ученики приводят свои рабочие места в порядок.

Динамическая пауза (1 мин).

Физкультминутка.

Ученики встают, хлопают в ладошки, пожимают друг другу руки и благодарят друг друга за дружную работу, взаимопомощь. Группы меняются местами, перемещаясь по кругу.

Регулятивные. Познавательные. Личностные.

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу (5 мин).

Цель: создание ситуации успеха, мотивирующей его к включению в дальнейшую познавательную деятельность

Игра-лотерея, посвященная ко дню Космонавтики (Приложение 11, 11а ). Ребята, обратите внимание на номера ваших билетов. Постарайтесь найти, по каким правилам эти номера составлены. На доске вывешивается таблица с правильными ответами.

Каждый ученик получает билет-лотерею на удачу, карточки вопросы с четырьмя ответами и рисунки чертежи. Ученики, отвечая на вопросы, вычеркивают номера правильных ответов. Выписывают номера не вычеркнутых ответов, считают их количество и заполняют линейку успешности. Если остались номеров: 8 – “5”; 9 – 11 – “4”; 12 – 13 – “3”. Ученики билеты подписывают и записывают результаты успешности на обратной стороне билета. Ученики довольно быстро нашли секреты номеров. Эти числа выражают: арифметическую или геометрическую прогрессии, число, месяц и год дня Космонавтики, продолжительность полета космического корабля “Восток-1” вокруг Земли. Каждый ученик получает оценку за ответы на вопросы и плюс за секреты номера билета. Ученики обмениваются билетами с соседними группами и выполняют взаимопроверку. Сравниваются ответы.

Регулятивные. Личностные. Познавательные.

VII. Включение нового знания в систему знаний и повторение (10 мин).

Цель: выявление границ применимости нового знания.

Ребята, а так ли уж важно изучать формулы треугольника и знать их для применения? В каких житейских ситуациях можно встретиться с треугольниками? Слайды 11и 12. Ребята, я хочу вам дать еще одну полезную информацию для успешной сдачи ГИА, а потом и ЕГЭ. На помощь приходит еще один практически полезный, красивый и точный прием, основанный на использовании формулы Пика. Формула Пика позволяет найти площадь любого многоугольника, вершинами которого являются узлы клеток. Часть узлов он содержит на своих сторонах (мы обозначим их количество буквой Г), а часть внутри себя (это количество обозначим буквой В). Тогда площадь такого многоугольника можно вычислить по формуле S= Г + В/2 – 1. Ее и называют формулой Пика.	Учащиеся считают, что важно знать формулы площади треугольников, так как треугольники встречаются очень часто в швейном деле, в столярном деле, в строительном деле и т. д. Ребята перечисляют еще, где нужны знания о треугольниках. А самое главное задачи на вычисления площади включены в задания ГИА и ЕГЭ. Ученики записывают эту формулу в тетради.	Коммуникативные Познавательные Личностные Усиление мотивации обучения и практической значимости знаний, воспитание устойчивого интереса к геометрии.
Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить… Формулу Пика открываю и на доске (Приложение 12). Презентация. Формула Пика. (Приложение 15) Посмотрим, как применить формулу для вычисления площади. Устная практическая работа по группам. Вычислить площадь по формуле Пика.	Ученики внимательно наблюдают за тем, как правильно считать узловые точки. От каждой группы по два ученика работают у доски. Один считает узловые точки на границе, а другой внутренние точки. Остальные ученики подсчитывают площадь. Так и загорелись, глаза учеников, увидев практическую пользу формулы Пика.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции. — Повторение темы «Площадь». Решение задач.

Комментарии преподавателя

Повторение темы «Площадь». Решение задач

1. Повторение теоретической части главы «Площадь»

Вначале уделим внимание тому, что вспомним все основные теоремы, формулы и факты, полученные нами при изучении главы «Площадь», и акцентируем внимание на их особенностях. Затем рассмотрим сложный пример на комплексное применение нескольких из упомянутых фактов, касающихся площадей фигур.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны (см. Рис. 1). .

Рис. 1. Квадрат

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (см. Рис. 2).  .

Рис. 2. Прямоугольник

          3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 3). .

Рис. 3. Параллелограмм

4. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 4). .

Рис. 4. Произвольный треугольник

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (см. Рис. 5). .

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

6. Если у двух треугольников высоты равны (), то их площади относятся, как основания (см. Рис. 6). . Полезный факт, необязательный к изучению.

Рис. 6

7. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 7).  .

Рис. 7

8. 

www.kursoteka.ru