Правила по геометрии – Математика — повторение. Геометрия. Справочный материал.

Теория по геометрии 7-9 класс

Поиск Лекций

Виды углов:

· острый угол – от 0 до 90 градусов;

· прямой угол – равен 90 градусам;

· тупой угол – от 90 до 180 градусов;

· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Свойство смежных углов:

· сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

Свойство вертикальных углов:

· вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

Виды треугольников:

· остроугольный треугольник – все три угла острые;

· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Свойства равных треугольников:

· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании равны;

· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

· углы равны по 60 градусов;

· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

· накрест-лежащие;

· соответственные;

· односторонние.

Свойства параллельных прямых:

· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Признаки параллельности прямых:

· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Следствия из аксиомы:

· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника:

· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

Свойства прямоугольного треугольника:

· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

· противоположные углы и стороны равны;

· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

Признаки параллелограмма:

· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

Виды трапеций:

· произвольная;

· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;

· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

· углы при основаниях равны;

· диагонали равны.

Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

Свойство ромба:

· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

Свойство прямоугольника:

· у прямоугольника диагонали равны

Признак прямоугольника:

· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

Свойство площадей:

· равные многоугольники имеют равные площади;

· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =

Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

S =

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =

Формула Герона, где р – полупериметр: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =

Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =

Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =

Площадь круга, где r – радиус: S =

Длина окружности, где r – радиус: C = 2

Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =

Свойства площадей треугольников:

· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.

Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

Пропорция – равенство нескольких дробей.

Основное свойство пропорции: *d = c*b

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество: sin2(a) + cos2(a) = 1

Тригонометрические формулы:

·

·

Табличные углы:

 

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

Синусы смежных углов равны

Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Теоремы о касательных:

1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема о хордах:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следствия из измерений центрального и вписанного углов:

1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

Четыре замечательные точки треугольника:

· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

· медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· высоты треугольника пересекаются в одной точке;

· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисе:

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Теорема о медианах:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема о серединном перпендикуляре:

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Прямой угол-угол,градусная мера которого равна 900.

Острый угол-угол,градусная мера которого меньше 900.

Тупой угол-угол,градусная мера которого больше 900,но меньше 1800.

Развёрнутый угол-угол,градусная мера которого равна 1800.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Свойство: сумма смежных углов равна 1800.

Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника— отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника— перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник— треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

  • построение отрезка, равного данному

  • построение угла, равного данному

  • построение биссектрисы угла

  • построение середины отрезка

  • построение перпендикулярных прямых

Глава III Параллельные прямые

При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:

  • накрест лежащие углы

  • односторонние углы

  • соответственные углы

Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(третий признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна углы равна 1800, то прямые параллельны.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 1800.

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: сумма внутренних углов треугольника равна 1800.

Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.

Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.

Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Свойство:сумма двух острых углов треугольника равна 900.

Свойство:катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

Свойство:если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 300.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

8 класс. Глава V Четырёхугольники

Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник— это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*1800.

Параллелограмм— это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Глава VI Площадь

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Единицы измерения площади: мм2,см2, дм2, м2, ар=100м2, км2 , га=100км2.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Глава VII Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m1и n1,если отношения их длин равны m:m1= n: n1.

Подобные треугольники— это треугольники,у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к противолежащему .

Глава VIII Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

9 класс

Средняя линия трапеции— это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.

infourok.ru

Справочник по геометрии 7-9 классы.

Справочник по геометрии для 7-9 классов.

Справочник по геометрии составили : учителя математики  Есикова Л.И. и Ушакова М.Б. МБОУ СОШ № 11 п. Раякоски.

Фрагмент справочника (страницы 2, 3, 4, 5 из 21)

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ АКСИОМЫ

2 УГЛЫ БИССЕКТРИСА УГЛА

3 ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

4 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

5 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

6 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

7 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

8 СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

9 ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

10 СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

11 ПРЯМОУГОЛЬНИК РОМБ КВАДРАТ

12 ТРАПЕЦИЯ

13 ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЙ УГОЛ

14 СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ

15 СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ

16 ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

17 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

18 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ВЕКТОРЫ

 


 


 


 

xn--80aneebgncbebxz7l.xn--p1ai

Теория по геометрии — Математика

Признаки равенства треугольников

1 признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам ): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки параллельности двух прямых

  1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;

  2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

  1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны;

  2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны;

  3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180

Треугольник

  1. Сумма углов треугольника равна 180

  2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона

  3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон

  4. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90

  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1 признак (по двум катетам): Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого , то такие треугольники равны.

2 признак (по катету и прилежащему к нему острому углу): Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3 признак (по гипотенузе и острому углу): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4 признак (по гипотенузе и катету): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Параллелограмм

Определение: Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Свойства: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны,

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Признаки: 1)Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник-параллелограмм,

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны , то этот четырёхугольник-параллелограмм

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм

Трапеция

Определение: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Свойство средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции: Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности.

Площадь

  1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

  2. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон

  3. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию

  4. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

  5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

  6. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

  7. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

  8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту, проведённую к одному из оснований

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

Подобные треугольники

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одног о треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия

Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам

Теорема о биссектрисе треугольника: Биссектрисса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Признаки подобия треугольников

1 признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2 признак (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3 признак (по трём пропорциональным сторонам ): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника

Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Свойство: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

  2. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы

  3. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника ( т.е имеющих равные площади)

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

  1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

  2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла

Окружность

Свойства касательных к окружности

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания

  2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Свойства:

  1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол равен дуге, на которую он опираетя

  2. Если вписанный и центральный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального

  3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

  4. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Своиства четырёхугольника вписанного в окружность и описанного около окружности

  1. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180

  2. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны

multiurok.ru

Геометрия с нуля

Разделы: Математика


В 21 веке, несмотря на активное развитие науки, у многих школьников Российской Федерации такая наука, как геометрия вызывает все больше затруднений, а какая-то часть детей и вовсе не может решать простейшие геометрические задачи. Поэтому необходимо признать тот факт, что восприятие у нового поколения совершенно иное, и дело тут вовсе не в их деградации. Дети все также хотят развиваться: читают книги, смотрят научные фильмы и проводят эксперименты. Но самое главное, чего они не хотят, так это заучивать то, чего не понимают. На основе этого утверждения как раз и будет построена моя программа.

Представим, что перед нами сидит человек, который вообще не представляет, что такое геометрия. А именно так и выглядит бОльшая часть детей приходящих в 7 класс. Этот человек не в состоянии накладывать треугольники друг на друга и тем более не может делать из этого какие-то выводы. Поэтому сначала его нужно долго и упорно знакомить его с геометрией, чтобы в итоге он понял, насколько она проста и полюбил ее.

Разделение на уровни

Прежде всего, необходимо понять, что должен знать ребенок на определенном этапе. Для этого нужно разделить геометрию (планиметрию 7-9 класса) на 3 уровня:

  • Базовый уровень: школьник знает(не обязательно наизусть) и понимает простейшие теоремы, а также решает незамысловатые задачи;
  • Средний уровень: школьник умеет доказывать теоремы и решать задачи, используя доказательства;
  • Высокий уровень: школьник знает сложные теоремы и умеет решать сложные задачи.

Именно эти три пункта будут подробно описаны в статье.

Базовый уровень (простейшая теория и задачи)

— понятие точки, прямой, луча, отрезка, угла, фигуры и т.д.

Прежде всего, школьник должен понять, с чем он будет иметь дело на протяжении ближайших трех лет, поэтому начинать необходимо с вводного курса. Не надо давать детям сложные задачи, а их надо просто познакомить с геометрией.

— углы (по градусам)

Углам нужно уделить особое внимание, потому что далеко не все дети могут в пространстве могут отличить тупой угол от прямого. Кроме того, максимум внимания нужно уделить развернутому углу, потому что на нем будет основан следующий пункт.

— смежные углы

Многим детям тяжело запомнить существующее определение смежных углов, и именно в большинстве случаев начинаются первые проблемы с геометрией. Поэтому мною будет предложено новое определение смежных углов: “Смежные углы – это углы, полученные в результате деления развернутого угла на две части.” Если уделить должное время развернутому углу, то получится сэкономить время на объяснении свойства смежных углов, т.к. оно итак будет понятно.

— вертикальные углы

Вертикальные углы, также как и смежные, имеют весьма непростое определение, которое можно заменить ан более просто. Достаточно ограничиться следующим: “Вертикальные углы-это углы между пересекающимися прямыми.”, а далее просто постараться разобрать как можно больше примеров, связанных с вертикальными и смежными углами.

— перпендикулярные прямые

Этой теме я не стану уделять много внимания, т.к. он итак понятен большинству школьников.

— параллельные прямые

Вместо равенства треугольников гораздо лучше рассматривать параллельные прямые, т.к., помимо получения новой информации, дети закрепляют старую, используя вертикальные и смежные углы при решении задач на параллельные прямые. Объяснять данную тему проще с признака, основанного на внутренних односторонних углах, т.к. единственное, что запоминают дети после шестого класса, это что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Опираясь на это можно представить, что прямые пересекутся и образуют с секущей треугольник, сумма углов которого равна 180 градусам. А после этого показать детям вариант, при котором треугольника не будет, т.е. когда внутренние односторонние углы заберут градусную меру третьего угла треугольника. После этого остальные признаки доказать уже будет не так и сложно. Самое главное, не надо заставлять детей учить первые доказательства, т.к. они должны их понять.

— биссектриса, высота и медиана

После всех предыдущих тем, ребенок будет понимать, что такое углы и уметь с ними работать, а также будет знаком с прямыми, отрезками, фигурами и прочим. В этот момент ему уже можно давать более-менее сложные темы, которые ему в дальнейшем будут постоянно пригождаться. В определениях ничего менять не стоит, т.к. они итак максимально доступны. Единственное, что нужно обязательно сделать, так это убедиться в том, что ребенок может провести биссектрисы, медианы и высоты в любой фигуре и из любой вершины!

— треугольники *(при объяснении свойств треугольников можно и нужно опираться на признаки равенства)

Теперь, когда школьник со знаком с основами, можно приступать к рассмотрению фигур. Начать лучше всего с треугольников, т.к. именно они используются в большинстве задач. Здесь необходимо рассмотреть все виды треугольников с их свойствами. Объяснить ребенку откуда что берется, опять же не заставляя это заучивать. Но определения и свойства школьник должен знать, т.к. именно на этапе прохождения свойств фигур, мы можем начинать спрашивать с ребенка теорию. Теперь он уже полноценно вовлечен в процесс.

четырехугольники *(при объяснении свойств четырехугольников можно и нужно опираться на признаки равенства)

Здесь я бы хотела представить Вашему вниманию увлекательный процесс эволюции параллелограмма, который детям запомнить гораздо проще, чем определения из учебника:

Здесь рассмотрены только те свойства, которые способен легко усвоить школьник на базовом уровне.

Кроме того, сюда же необходимо включить и трапецию со всеми ее свойствами и разновидностями.

Таким образом, мы сможем закрепить параллельные прямые и понять, откуда что берется в четырехугольниках.

— многоугольники

В этой теме необходимо рассмотреть разные виды многоугольников и сумму углов n-угольника.

— теорема Пифагора

Тема, которую итак все прекрасно понимают, поэтому ничего усложнять не надо.

— площади

Здесь я опять же хочу предложить удобную схему, которую необходимо объяснять с помощью бумажных фигурок.

Трапеция опять же рассматривается отдельно.

— подобие и первый признак подобия

Рассматривается исключительно в ознакомительных целях, чтобы детям легче было понимать начала тригонометрии.

— средние линии треугольника и трапеции

Средние линии лучше рассматривать вместе, потому что так они лучше усваиваются.

— тригонометрия

В самом начала тригонометрии, школьникам стоит напомнить о том, что такое соотношения, а после очень много времени посвятить самим определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса, чтобы школьники понимали, откуда взялись эти странные английские буквы. Затем необходимо рассмотреть множество задач, в которых они будут использоваться. Удобнее всего давать задачи на теорему Пифагора и площади. Желательно уже на базовом уровне ознакомить детей с таблицей, т.к. сейчас они уже максимально близки к среднему и уровню и способны усваивать информацию средней сложности.

— окружность и круг

И, наконец, последняя тема на базовом уровне. Здесь необходимо напоминать детям обо всем, что связано с окружностью и кругом, начиная с определений, т.к. никто уже ничего не помнит из курса 6 класса. А также стоит рассмотреть свойство касательной, вписанный и центральный углы, и свойство гипотенузы прямоугольного треугольника.

На этом базовый курс окончен. У рядового школьника достаточно базовых знаний, на которые он мог бы опираться при решении задач, с использованием доказательств. Пришла пора поближе с ними познакомиться.

Средний уровень (доказательства)

Расписывать программу для среднего уровня смысла нет, т.к. на этом этапе ребенок готов усваивать практически любую информацию и способен аргументированно решать задачи на доказательства. Единственное, что стоит сделать, так это перечислить темы среднего уровня:

— соотношения между сторонами и углами;

— неравенство треугольника;

— признаки равенства треугольников;

— признаки подобия треугольников;

— четыре замечательные точки;

— вписанная и описанная окружности.

Этого вполне достаточно для доказательств средней степени сложности.

Высокий уровень (сложные доказательства и решение сложных задач)

К сожалению, немногие могут достичь высокого уровня, но каждый должен хотя бы попытаться. Опять же, нет смысла все подробно расписывать, поэтому будут перечислены лишь темы:

— теорема Фалеса;

— теорема Герона;

— теорема синусов;

— теорема косинусов;

— углы при окружности;

— хорды окружности;

— и т.д.

Заключение

Из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод: прогресс любого школьника основан на его базовых знаниях. Если они есть, то их необходимо лишь грамотно развивать. Поэтому, прежде всего, необходимо упростить получение базовых знаний и сделать их максимально доступными для всех школьников без исключения.

Примечание: векторы в статье не учтены, т.к. являются дополнением ко всему вышесказанному.

14.06.2016

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 1

Глава I

Начальные геометрические сведения

Прямая простирается бесконечно в обе стороны.

Аксиома: через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Аксиома: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Отрезок – часть прямой, ограниченная с двух сторон.

Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны.

Лучи, на которые точка разбивает прямую, называются дополнительными друг другу лучами.

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Сторонами угла – называют лучи, образующие угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят стороны угла.

Развёрнутый угол – угол, образованный двумя дополнительными друг другу лучами.

Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Точка отрезка, делящая его пополам, называется серединой отрезка.

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Свойства измерения отрезков:

— равные отрезки имеют равные длины;

— меньший отрезок имеет меньшую длину;

— когда точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна

сумме длин этих двух отрезков.

Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.

Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Минута – 1/60 часть градуса. ( 10=60/ )

Секунда – 1/60 часть минуты. ( 10=60// )

Свойства измерения углов:

— равные углы имеют равные градусные меры;

— меньший угол имеет меньшую градусную меру;

— когда луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

infourok.ru

Теоремы и определения по геометрии

          Мы начинаем изучать новый предмет «Геометрия».
Сегодня первый урок, основанный на лекциях и выступлениях народного учителя СССР  Виктора Фёдоровича ШАТАЛОВА.  Урок  будет посвящён изучению теорем, аксиом и определений, которыми вы будете пользоваться на протяжении всего учебного года, т.е. геометрии 7 класса.
Их будет достаточно много, но часть из них вы уже знаете,  часть будет достаточно лёгкая, и только несколько  могут вызвать определённые затруднения, но, когда вы повторите  их неоднократно,  то и они не будут представлять для вас никакой трудности.   Итак:

1.  Свойства прямой:
– прямая бесконечна;
– через две точки можно провести только одну прямую;
– две прямые пересекаются только в одной точке.

А если бы они пересекались в двух точках, то через две точки можно провести только одну прямую.

2. Отрезок – это все точки прямой, расположенные между двумя данными точками,           которые  называются концами отрезка.

По Погорелову концы отрезка НЕ ПРИНАДЛЕЖАТ отрезку, а по Атанасяну – ПРИНАДЛЕЖАТ.

3. Свойство расположения точек:
– прямая делит плоскость на две полуплоскости;
– из трёх точек прямой одна и только одна находится между двумя другими.

4. Пересечение прямой и отрезка:
– если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то прямая пересекает отрезок.
А если концы отрезка находятся в одной полуплоскости, то прямая отрезок не пересекает.

5. Полупрямая (луч) – часть прямой, которая находится в одной полуплоскости.

6. Основные свойства измерения отрезков:
– каждый отрезок имеет свою отличную от нуля положительную линейную меру;
– если на отрезке поставить точку, то она разобьёт отрезок на 2 отрезка, сумма длин которых будет равна длине данного отрезка.

7. Угол – это фигура, которая состоит из точки и двух полупрямых (или лучей), которые  выходят из данной точки.

8. Развёрнутый угол – это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми.   Две полупрямые дополняют друг друга до прямой линии.

9. ПРОХОЖДЕНИЕ ЛУЧА МЕЖДУ СТОРОНАМИ УГЛА. Если полупрямая выходит из вершины угла и пересекает отрезок, концы которого лежат на разных сторонах угла, то тогда говорят, что полупрямая проходит внутри    угла.

10. Свойство откладываемых отрезков и углов:
–  на данной полупрямой  от её начала можно отложить только один отрезок данной линейной меры;
– от данной полупрямой в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры.

11. Основные свойства измерения углов:
– каждый угол имеет свою отличную от нуля положительную градусную меру;
– если внутри угла провести полупрямую, то она разобьёт его на угла, сумма градусных мер которых будет равна градусной мере данного угла.

12. Треугольник – это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, которые соединяют эти точки.

13. Равные треугольники:
– треугольники, которые при наложении совмещаются всеми своими точками;
– треугольники, у которых все стороны и углы соответственно равны.

14. Параллельные прямые – прямые называются параллельными, если они ЛЕЖАТ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ  и никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжали.

15. СВОЙСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ:
– через данную точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.

16. Теорема о пересечении сторон треугольника:
– если прямая не проходит через вершину треугольника и пересекает одну из его сторон, то она обязательно пересечёт ещё одну сторону треугольника и  притом только одну.

17. Аксиома – истина, которая принимается без доказательств.

18. Теорема – истина, которая принимается после некоторых умозаключений.

19. Смежные углы – углы, у которых одна сторона общая, а две другие  – дополнительные полупрямые.

20. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

21. Виды углов:
– острый угол больше 0°, но менее 90°.
– прямой угол равен 90°.
– тупой угол больше 90°, но менее 180°.

22. Вертикальные углы – это углы, у которых стороны одного являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого.

23. Свойство вертикальных углов – вертикальные углы РАВНЫ.

24. Перпендикулярные прямые – прямые, которые при пересечении образуют прямые углы.

Первый урок закончен.
2 урок

audio-skazki.com

Формулы по геометрии 9 класс векторы – Модуль вектора — урок. Геометрия, 9 класс.

Координаты вектора. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Вектором (от лат. vector – «переносчик») называется направленный отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины (см. Рис. 1).

Рис. 1. Вектор

Вектор, начало которого есть точка , а конец – точка , обозначается  (см. Рис. 1). Также векторы обозначают одной маленькой буквой, например .

 

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых:  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Коллинеарные векторы

Два коллинеарных вектора  и  называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают:  (см. Рис. 2).

Два коллинеарных вектора  и  называются противоположно направленнымивекторами, если их направления противоположны:  (см. Рис. 2).

Векторы  и  называются равными, если они сонаправлены и их абсолютные величины равны (см. Рис. 3).

, если:   1.

2.

Рис. 3. Равные векторы

Произведение ненулевого вектора начисло – это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа (см. Рис. 4).

Рис. 4. Произведение вектора на число

 

 

 (см. Рис. 5)

Рис. 5. Сложение векторов

Даны два коллинеарных вектора  и  (см. Рис. 6), причем .

Рис. 6. Коллинеарные векторы

 – это коэффициент пропорциональности (число), для нахождения этого числа необходимо:

1. Если  и  – это сонаправленные векторы:

 

2. Если  и  – это противоположно направленные векторы:

 

На плоскости для задания произвольного вектора необходимы две координаты и пара неколлинеарных векторов.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом, то есть для любых неколлинеарных ,  и для любого  найдется единственная пара действительных чисел  таких, что .

Доказательство теоремы

Дано: ,  (см. Рис. 7)

Доказать:

1. ,

2. равенство  верно для единственной пары чисел .

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

1. Из точки проведем прямую (параллельно ), на пересечении с осью  получим точку  (см. Рис. 8). Вектор  будет равен:

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Вектор  коллинеарен вектору , следовательно, найдется такое число , которое при умножении на вектор  даст нам вектор .

 

Вектор  коллинеарен вектору , следовательно, найдется такое число , которое при умножении на вектор  даст нам вектор .

 

Следовательно:

 

То есть существует такая пара чисел , что: .

2. Методом от противного докажем, что пара чисел  единственна.

Имеем:  для

Предположим, что существует другая пара чисел  такая, что . Вычтем из первого равенства второе:

 

 

Пусть , то есть . Тогда:

 

Получили, что векторы  и  коллинеарные: , а это противоречит условию (). Следовательно, .

Аналогично доказывается, что . Таким образом:

 

Что и требовалось доказать.

Теорему можно сформулировать также следующим образом:

Неколлинеарные векторы  и  образуют систему координат . Любой третий вектор  однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов  и : .

Пара действительных чисел  – это координаты вектора. То есть вектор  имеет координаты .

В системе координат с координатными  и  построить заданный  с координатами .

Решение

Вектора  и  задают ось  и . Необходимо построить вектор :

 

Эта запись означает:

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси  вектор  (см. Рис. 9). На оси  отложим вектор . Проведем из точки  прямую, параллельную оси , а из точки  – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор  – это искомый вектор.

Если задана система координат, то под координатами точки на плоскости подразумеваются координаты вектора, проведенного из начала координат в эту точку. Например, в задаче 1 точка  имеет координаты .

Построить  с координатами .

Решение

Векторы  и  задают ось  и . Необходимо построить вектор :

 

Эта запись означает:

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси  вектор  (см. Рис. 10). На оси  отложим вектор . Проведем из конца вектора  прямую, параллельную оси , а из конца вектора  – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор  – это искомый вектор.

Выписать координаты вектора.

Дано:

 

Решение

Координатами вектора  являются числа .

Ответ: .

Найти недостающие координаты  и , если известно, что .

Решение

Данное равенство означает, что это один и тот же разложенный по векторам вектор, но записанный иначе. Следовательно, этому вектору соответствует единственная пара

interneturok.ru

Справочный материал по геометрии за курс 9 класса «Основные определения и теоремы»

Ответы

к листу опроса № 3

  1. Отрезок, для которого указано, какой из его концом считается началом, а какой – концом называется направленным отрезком или вектором.

  2. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке нулевой вектор изображается одной точкой. Длина нулевого вектора равна нулю.

  3. Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB.

  4. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

  5. Коллинеарные векторы делятся на сонаправленные и противоположно направленные. Два ненулевых вектора, называются сонаправллеными, если они коллинеарны и одинаково направлены. Два ненулевых вектора, называются противоположно направленными, если они коллинеарны и противоположно направлены.

  6. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

  7. От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.

  8. Правило треугольника


  1. Правило параллелограмма

  1. Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

  1. Координаты равных векторов соответственно равны.

  2. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

  3. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

  4. Каждая координата произведения векторов на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

  5. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Если А(х1; у1) и В(х2; у2), то

  1. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Если А(х1; у1) и В(х2; у2) и С – середина отрезка АВ, то С

  1. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его соответствующих координат.

Если ;, то .

  1. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разности его соответствующих координат.

Если М11; у1) и М22; у2), то М1М2 = .

  1. Уравнение окружности радиуса r c центром в точке С (х0; у0) имеет вид ( x – x0)2 + ( y – y0)2 = r2. Уравнение окружности радиуса r c центром в начале координат имеет вид x2 + y2 = r2.

  2. Уравнение прямой имеет вид ax + by +c = 0.

  3. Для любого угла α из промежутка 00 ≤ α ≤ 1800 синусом угла α называется ордината точки M.

  4. Для любого угла α из промежутка 00 ≤ α ≤ 1800 косинусом угла α называется абсциссаточки M.

  5. Тангенсом угла α (α ≠ 900) называется отношение , т. е. .

  6. Основное тригонометрическое тождество имеет вид sin2 α + cos2 α = 1.

  7. Формулы приведения имеют вид

, при 0   90;

, при 0   180.

  1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

  2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

  3. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

  4. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

  5. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

  6. Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается 2 . Скалярный квадрат равен квадрату его длины.

  7. Скалярное произведение векторов 1; y1} и {x2 ; y2} выражается формулой

= x1x2 + y1y2.

  1. Косинус угла α между ненулевыми векторами {x1 ; y1} и {x2 ; y2} выражается формулой

x1x2 + y1y2

cos α =

x12+y12 ∙ x22+y22

  1. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.

  2. Сумма углов правильного n-угольника равна (n — 2)·1800.

  3. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

  4. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

  5. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

  6. Формула для вычисления площади правильного n-угольника.

S = , где Р – периметр правильного n-угольника, r – радиус окружности, описанной около правильного n-угольника.

  1. Формула для вычисления стороны правильного n-угольника.

, где R – радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник.

  1. Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

r =

  1. Таблица «Правильные многоугольники».

an

n = 3

R

n = 4

R

n = 6

R


  1. Формула для вычисления длины окружности. C = 2πR

  2. Формула для вычисления длины дуги окружности. l =

  3. Формула для вычисления площади круга. S = πR2

  4. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

  5. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

  6. Площадь кругового сектора. S = .

57) Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называется многогранником.

58) Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

59) Куб – один из простейших многогранников.

60) Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром.

61) Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

62) Часть пространства, отделенное от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела.

63) Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела.

64) Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью, называется сечением тела.

65) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

66) Стороны граней называются ребрами.

67) Концы ребер называются вершинами многогранника.

68) Выпуклые и невыпуклые.

69) Многогранник называется призмой.

70) n-угольной призмой называется многогранник А1А2…АnВ1В1…Вn, составленный из двух равных n-угольников А1А2…Аn и В1В2…Вn

71) Прямая, наклонная, правильная.

72) Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.

73) Прямой, прямоугольный.

74) Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

75) Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см3.

Аналогично определяется кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д.

76) 1. Равные тела имеют равные объемы.

2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этх тел.

77) 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

78) Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и этих угольников, называется пирамидой.

79) Тетраэдром – треугольная пирамида.

80) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

81) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

82) Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т. е. Sбок=2πrh.

83) Возьмем прямоугольный треугольник ABC и будем вращать его вокруг катета АВ. В результате получится тело, которое называется конусом.

84) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

85) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

86) Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки.

87) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

88) Данная точка называется центром сферы.

89) Данное расстояние называется радиусом сферы.

90) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

91) Объем шара радиуса R равен четыре третьих πR2

92) S = 4 πR2

Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(x+у), где х и у — основания трапеции.(Формула Буракова)

infourok.ru

Геометрия 9 класс справочный материал по теме: «Метод координат»

Г – 9

Справочный материал по теме:

«Метод координат»

  1. Координаты вектора АВ

А(хА; уА), В(хВ; уВ), формула: АВ{ хВ — хА; уВ — уА}

  1. Координаты О (хо; уо) — середины отрезка АВ, где А(хА; уА), В(хВ; уВ) находятся по формулам хо = (хА + хВ) : 2; уо = (уА + уВ) : 2

  2. Длина отрезка АВ А(хА; уА), В(хВ; уВ), формула: АВ =

  3. Длина вектора а а х; у} │а│=

  4. Уравнение окружности w(О; R), О(а; в) – центр окружности, R – радиус окружности (х – а)2 + (у – в)2 = R2

x – xА

 = 

y – yА

хВ – xА

уВ – yА

Уравнение прямой АВ А(хА; уА), В(хВ; уВ) (если xА ≠ xВ и yА ≠ yВ) а x + в y + с = 0

Г – 9

Справочный материал по теме:

«Метод координат»

  1. Координаты вектора АВ

А(хА; уА), В(хВ; уВ), формула: АВ{ хВ — хА; уВ — уА}

  1. Координаты О (хо; уо) — середины отрезка АВ, где А(хА; уА), В(хВ; уВ) находятся по формулам хо = (хА + хВ) : 2; уо = (уА + уВ) : 2

  2. Длина отрезка АВ А(хА; уА), В(хВ; уВ), формула: АВ =

  3. Длина вектора а а х; у} │а│=

  4. Уравнение окружности w(О; R), О(а; в) – центр окружности, R – радиус окружности (х – а)2 + (у – в)2 = R2

x – xА

 = 

y – yА

хВ – xА

уВ – yА

Уравнение прямой АВ А(хА; уА), В(хВ; уВ) (если xА ≠ xВ и yА ≠ yВ) а x + в y + с = 0

x – xА

 = 

y – yА

хВ – xА

уВ – yА

infourok.ru

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс — Технологические карты уроков по учебнику Л. С. Атанасяна

ВВЕДЕНИЕ

Урок 1. Тема: ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА

Урок 2. Тема: ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА

ГЛАВА IX. ВЕКТОРЫ

Урок 3. Тема: ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Урок 4. Тема: ОТКЛАДЫВАНИЕ ВЕКТОРА ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ

Урок 5. Тема: СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 6. Тема: СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 7. Тема: УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Урок 8. Тема: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Урок 9. Тема: СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

Урок 10. Тема: СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

ГЛАВА X. МЕТОД КООРДИНАТ

Урок 11. Тема: РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

Урок 12. Тема: КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Урок 13. Тема: СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРА И КООРДИНАТАМИ ЕГО НАЧАЛА И КОНЦА. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ

Урок 14. Тема: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 15. Тема: УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Урок 16. Тема: УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 17. Тема: УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Урок 18. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 19. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 20. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ГЛАВА XI. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 21. Тема: СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС

Урок 22. Тема: СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА

Урок 23. Тема: СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА

Урок 24. Тема: ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Урок 25. Тема: ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Урок 26. Тема: РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Урок 27. Тема: РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Урок 28. Тема: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 29. Тема: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Урок 30. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 31. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ГЛАВА XII. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

Урок 32. Тема: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Урок 33. Тема: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Урок 34. Тема: ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА, ЕГО СТОРОНЫ И РАДИУСА ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Урок 35. Тема: ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Урок 36. Тема: ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Урок 37. Тема: ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 38. Тема: ПЛОЩАДЬ КРУГА

Урок 39. Тема: ПЛОЩАДЬ КРУГОВОГО СЕКТОРА

Урок 40. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 41. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 42. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Урок 43. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЯ

Урок 44. Тема: ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ. ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ

Урок 45. Тема: СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЙ

Урок 46. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ. ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ»

Урок 47. Тема: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Урок 48. Тема: ПОВОРОТ

Урок 49. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС. ПОВОРОТ»

Урок 50. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВИЖЕНИЕ»

Урок 51. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ГЛАВА XIV. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Урок 52. Тема: ПРЕДМЕТ СТЕРЕОМЕТРИИ. МНОГОГРАННИК

Урок 53. Тема: ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Урок 54. Тема: ОБЪЕМ ТЕЛА. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Урок 55. Тема: ПИРАМИДА

Урок 56. Тема: ЦИЛИНДР

Урок 57. Тема: КОНУС

Урок 58. Тема: СФЕРА И ШАР

Урок 59. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»

Урок 60. Тема: ОБ АКСИОМАХ ПЛАНИМЕТРИИ

Урок 61. Тема: ОБ АКСИОМАХ ПЛАНИМЕТРИИ

Урок 62. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИК»

Урок 63. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИК»

Урок 64. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ»

Урок 65. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ»

Урок 66. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ»

Урок 67. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ»

Урок 68. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЯ»

Урок 69. Тема: ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Урок 70. Тема: ИТОГОВЫЙ УРОК ПО КУРСУ «ПЛАНИМЕТРИЯ»

ЛИТЕРАТУРА

compendium.su

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 9 класс — разработки уроков — авторские уроки — план-конспект урока

Урок 1–2. Повторение. Решение задач

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Урок 1. Понятие вектора. Равенство векторов

Урок 2. Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Урок 3. Сумма нескольких векторов

Урок 4. Вычитание векторов

Урок 5. Произведение вектора на число

Урок 6. Решение задач. Произведение вектора на число

Урок 7. Применение векторов к решению задач

Урок 8. Средняя линия трапеции

МЕТОД КООРДИНАТ

Урок 1. Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам

Урок 2. Координаты вектора

Урок 3. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах

Урок 4. Простейшие задачи в координатах. Решение задач

Урок 5. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности

Урок 6. Уравнение окружности. Решение задач

Урок 7. Уравнение прямой

Урок 8-9. Решение задач

Урок 10. Контрольная работа № 1

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Урок 1. Синус, косинус, тангенс. Основное тригонометрическое тождество

Урок 2. Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки

Урок 3. Решение задач

Урок 4. Теорема о площади треугольника. Теорема синусов

Урок 5. Теорема косинусов

Урок 6. Решение треугольников

Урок 7. Измерительные работы

Урок 8. Решение задач

Урок 9. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Урок 10. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов

Урок 11. Решение задач

Урок 12. Контрольная работа № 2

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Урок 1. Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Урок 2. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Урок 3. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Урок 4. Построение правильных многоугольников

Урок 5. Длина окружности

Урок 6. Площадь круга

Урок 7. Площадь кругового сектора

Урок 8. Решение задач

Урок 9-10. Решение задач по материалу главы XII

Урок 11. Контрольная работа № 3

ДВИЖЕНИЯ

Урок 1-3. Отображение плоскости на себя. Понятие движения

Урок 4. Параллельный перенос

Урок 5-6. Поворот

Урок 7. Решение задач

Урок 8. Контрольная работа № 4

НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Урок 1. Предмет стереометрии. Многогранники

Урок 2. Призма. Параллелепипед

Урок 3. Многогранники. Объем тела

Урок 4. Пирамида

Урок 5. Тела и поверхности вращения

Урок 6. Тела и поверхности вращения

Урок 7. Сфера и шар

Урок 8-9. Об аксиомах и планиметрии

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Треугольник

Окружность

Четырехугольники. Многоугольники

Векторы. Метод координат. Движения

Литература

compendium.su

Геометрия для 9 класса | Интернет — шпаргалка

1. Понятие вектора

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами.

2. Сложение и вычитание векторов

2.1 Правило треугольника

Для того чтобы сложить два вектора и , нужно переместить вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Тогда их суммой будет вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора .

2.2 Правило параллелограмма

Для того, чтобы сложить два вектора и , нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов и находились в одной точке. Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора. Тогда суммой + будет вектор , начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма.

2.3 Вычитание векторов.

Для того чтобы найти разность двух векторов и , нужно найти вектор по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

3. Синус, косинус и тангенс угла

3.1 Синус

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета треугольника к гипотенузе.

3.2 Косинус

Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета треугольника  к гипотенузе.

3.3. Тангенс

Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета треугольника к прилежащему.

4. Соотношение между сторонами и углами треугольника

4.1 Теорема  косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

4.2 Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

6. Правильные многоугольники

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.

6.1 Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и вписать в него окружность, причём центры у этих окружностей совпадают.

6.2 Сторона правильного n-угольника находится по формуле

6.3 Площадь правильного n-угольника находится по формулам и

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

inetshpora.wordpress.com

Геометрия 9 класс вектор ы



Геометрия 9 класс

  • В Е К Т О Р Ы

  • (Обобщающий урок)


Понятие вектора

  • Многие физические величины, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве.

  • Такие физические величины называются ВЕКТОРАМИ.

  • Проверь себя! Какие из данных величин являются векторными: вес, сила, отрезок, ускорение, скорость, масса ?



История

  • В 19 веке параллельно с теорией систем линейных уравнений развивалась теория векторов. Направленные отрезки использовал Жан Робер АРГАН (Argand, 1768-1822, швейцарский математик), ввел термин «модуль комплексного числа» (1814-1815) в работе «Опыт некоторого представления мнимых величин…», опубликованной в 1806 году. Эти отрезки Арган обозначал символами а ,в .

  • Одним из основателей теории векторов считается Август Фердинанд Мебиус (1790-1868, немецкий математик), он обозначал отрезок с началом в точке А и концом в точке В символом АВ.

  • Термин «вектор» ввел Вильям Роуэн Гамильтон (1805-1865, директор астрономической обсерватории Дублинского университета и президент Ирландской Академии наук) приблизительно в 1845 году. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году. Символ [а,в] для обозначения векторного произведения ввел немецкий математик и физик Герман Грасман (1809-1877).

  • В 1903 году О.Хенричи предложил обозначать скалярное произведение символом (а,в).



  • ВЕКТОР — НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК.



Р а в е н с т в о в е к т о р о в

  • ВЕКТОРЫ называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. .

  • а = в, если а в и а = в .



Д л и н а в е к т о р а

  • Длиной или модулем

  • ненулевого вектора АВ

  • называется длина отрезка АВ

  • .Обозначается длина вектора АВ (вектора а ) так :

  • АВ ( а ).

  • Длина нулевого вектора равна нулю: 0 = 0



СОНАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО ВЕКТОРЫ НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

  • СОНАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО ВЕКТОРЫ НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ



К О Л Л И Н Е А Р Н Ы Е В Е К Т О Р Ы

  • Ненулевые векторы называются к о л л и н е а р н ы м и , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.



С Л О Ж Е Н И Е В Е К Т О Р О В

  • ПРАВИЛО ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА





В Ы Ч И Т А Н И Е В Е К Т О Р О В

  • Р а з н о с т ь ю в е к т о р о в а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а .



З А К Р Е П Л Е Н И Е И З У Ч Е Н Н О Г О

  • З А Д А Н И Я (устно)

  • 1).Укажите на рисунке 1:

  • а) сонаправленные векторы

  • б) противоположно направлен-

  • ные векторы

  • в) равные векторы

  • 2).Укажите на рисунке 2:

  • а) пары коллинеарных векторов

  • б) векторы , длины которых

  • равны (трапеция равнобедренная)



3).На рис. 3 изображён треугольник МNL Найти:

  • а) MN + NL

  • б) MN — ML

  • в ) ML — MN



4).На рис.4 изображён параллелограмм MNKE. Найти:



Если векторы a и b коллинеарны и а ≠0, то существует такое число k, что в=k а.

  • Если векторы a и b коллинеарны и а ≠0, то существует такое число k, что в=k а.

  • Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным вектора, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

  • с=xа+ув, где х и у коэффициенты разложения.



Координаты вектора



Простейшие задачи в координатах:

  • 1.Координаты середины отрезка

  • 2. Вычисление длины вектора по его координатам.

  • 3. Расстояние между двумя точками.



П Р О В Е Р Ь С Е Б Я !

  • 1). Верно ли утверждение:

  • а) Если а=в , то а в

  • б) Если а=в , то а и в коллинеарны

  • в) Если а=в , то а в

  • г) Если а в , то а = в

  • 2). Дан прямоугольник PQRT. Найти:

  • а) PQ + QR

  • б) PT — PQ

  • в) RT + RQ



П Р О В Е Р Ь С Е Б Я !

  • 3) Найдите вектор х из условия:

  • EF- LM- EL+ x =MK

  • 4) Выпишите координаты вектора с, если его разложение по координатным векторам имеет вид с = -6i +2j

  • 5) Дано а{-2;4}, d{3;-1}. Найдите координаты вектора

  • к =2а –d

  • 6) OA- радиус-вектор точки А, ОА{-5;4}.Какие координаты имеет точка А?

  • 7) Найти координаты вектора RT? Если R(-1;5) , T(6;2).

  • 8) Найдите длину вектора s{3;4}



  • 1. а) да 2. а) PR 3. FK 6. A(-6;4)

  • б) да б) QT 4. c{-6;2} 7. RT{7;-3}

  • в) нет в) RP 5. k{-7;9} 8. ISI=5

  • г) нет




dok.opredelim.com

Функции в геометрии – Функции. Основные виды, графики, способы задания

Геометрическая функция — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Геометрическая функция

Cтраница 1

Геометрическая функция Н характеризует геометрию рассматриваемой системы и имеет размерность числа. Несмотря на то, что в настоящее время для расчета значений функций, входящих в выражения для взаимодействий ( например, между сферами и плоскостями), могут быть использованы компьютеры, сложность таких выражений на практике часто приводит к необходимости использовать для удобства и простоты анализа упрощенные выражения.  [1]

Учет геометрических функций существенно сказывается на точности определения времени смешения. Кроме того, учет геометрических функций позволяет обобщить экспериментальные данные, полученные различными авторами. Представляя полученные результаты в графическом виде [ 7, стр.  [2]

Для определения геометрической функции следует выбрать подходящую систему координат.  [3]

Введем — представление о геометрических функциях механизма, характеризующих зависимость между кинематическими функциями ведущего и ведомого звеньев.  [4]

Это выражение дает представление об изменении геометрической функции и потенциала притяжения с расстоянием. В целом приближенные вычисления показывают, что для типичных коллоидных систем силы притяжения между частицами могут распространяться на расстояния, превышающие несколько десятков нанометров; для расстояний меньших 1 нм они отсутствуют.  [5]

В только что приведенных оценках предполагалось, что асимптотическое разложение гипер геометрической функции, использованное при выводе ( 48.29 а), справедливо для всех углов. На самом деле это не верно. Туннельный эффект при таких углах настолько мал, что очень резкое ухудшение приближения не играет существенной роли. Проведенные выше оценки точности полуклассического приближения имеют качественный характер и не заменяют точных расчетов.  [6]

В отличие от обычного, бухгалтерского, калькулятор в AutoCAD может выполнять операции с геометрическими функциями. Он может не только проводить числовые расчеты, как обычный калькулятор, но также и вычисления, связанные с геометрическими точками и векторами. Каль — — кулятор поддерживает все объектные привязки и имеет собственные функции.  [7]

Если профиль кулачка был спроектирован по заданному закону движения толкателя или закону изменения его скорости или ускорения ( равно как по геометрическим функциям — по функции положения или передаточным функциям), то положение нормали может быть найдено по углу давления a, tg которого может быть определен при положительном эксцентриситете из формул ( 9) и ( 11) гл.  [8]

Это решение действительно для всех значений п и соответственно принимается в качестве стандартного. Так как ги пер геометрическая функция были определена только как ряд, который.  [9]

Учет геометрических функций существенно сказывается на точности определения времени смешения. Кроме того, учет геометрических функций позволяет обобщить экспериментальные данные, полученные различными авторами. Представляя полученные результаты в графическом виде [ 7, стр.  [10]

В большинстве случаев геометрические симплексы и их влияние на время смешения определяют опытным путем и представляют в виде степенных зависимостей. Однако в ряде случаев имеются аналитические выражения для определения геометрических функций, полученные из анализа простых моделей движения жидкостей в аппаратах с мешалками. Вывод этих функций осуществляется на основе представлений о времени циркуляции жидкости в аппарате, которое находится из расчетов основных потоков, вызванных данной конструкцией мешалки.  [11]

Эта проблема представляется в двух различдых видах, смотря по тому, заданы ли векторы г0 и ш ( в функции времени) относительно неподвижных осей S C или относительно подвижных осей Охуз. В обоих случаях задача заключается в том, чтобы по этим заданиям притти обратно к четырем геометрическим функциям 0 ( t), i ( t), j ( t), и ( 0 ( положение начала и основные версоры подвижного триэдра), которыми, как мы видели при изложении кинематики твердых тел ( III, рубр.  [12]

Рассмотрение с единых позиций широкого класса типов задач позволяет отчетливее уяснить особенности естественного геометрического языка и возможности его адекватного использования. При этом приходится иметь дело с несимметричным обобщением элементарной геометрии Пифагора-Евклида в теории проверки простых гипотез, дифференциальной геометрией многообразий в двух сопряженных линейных связностях — в теории параметрического оценивания, несимметричным обобщением теории емкости и поперечников Колмогорова в задачах оценивания плотностей. Правда, в единообразной постановке мы получаем только главные члены асимптотики убывания минимального риска при естественной геометрической функции потерь.  [13]

Страницы:      1

www.ngpedia.ru

Решение обратной задачи аналитической геометрии. Теория R-функций / Habr

Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.
Немного теории

Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.

Определение R-функций и основные системы R-функций

Обозначим .

Если назвать булевым знаком величины , то можно дать такое определение R-функций: функция называется R-функцией, если булевый знак этой функции равен булевой функции булевых знаков аргументов . Любую булеву функцию можно представить через (в конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных формах). Этот факт означает, что система является полной системой булевых функций (то есть множество H-реализуемых функций (M(Н)) есть множество всех булевых функций).
Рассмотрим функции:




Функции первой колонки — это R-функции. Любую непрерывную функцию любого числа аргументов можно отнести к одной из этих колонок. Какой признак отделяет R-функции от не R-функций, представленных во второй колонке?
Человек, не имеющий предварительного знакомства с R-функциями, вряд ли сможет отгадать «тайну R-функций». Между тем, этот признак очень прост: R-функции обладают тем свойством, что задание знаков аргументов однозначно определяет знак R-функции. И в этом их гениальность. Для это свойство очевидно. Для того, чтобы доказать его справедливость для , рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами . Если , то модули можно не писать, и тогда сумма катетов больше гипотенузы: . Если имеют разные знаки, то есть разность катетов, и тогда . Если отрицательны, то тем более . Знаки такие же, как и у , а знак такой же, как у . Это очевидно. Таким образом, для этих функций можно составить таблицу знаков.

Если в этой таблице заменить «–» на «0», а «+» на «1», то получим таблицы трех булевых функций. Например, функции соответствует конъюнкция , функции соответствует булева функция .

Наиболее распространенной и исторически первой является такая система R-функций:

Собственно пример

Пусть даны простые (опорные )области
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
а сложный чертеж определяется логической формулой:
Нетрудно заметить, что этот чертеж является крестообразной областью, изображенной на рисунке, при условии, что .
В результате получаем:
Немного картинок

Аппарат R-функций позволят строить объекты показанные ниже, при этом мы всегда знаем точное (аналитическое) выражение для каждого геометрического объекта, и собственно можем не терять точность на приближенном описании геометрии объекта.

А вот и программка, которая умеет визуализировать и решать задачки с помощью R-функций

Источник: Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения

habr.com

Функция расстояния. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.1. Функция расстояния.

   Буквой L будем обозначать прямую, буквой Р – плоскость, S – пространство. Полагаем, что прямая, плоскость и пространство состоит из точек, т.е. L, P и S являются множествами, элементами которых являются точки.

   Что есть точка, прямая, плоскость или пространство, никто не знает. В геометрии эти понятия вместе с их свойствами вводятся с помощью аксиом. Мы можем только строить на чертеже модели этих понятий, чтобы получить о них какое-то геометрическое представление. В дальнейшем мы полагаем, что выполняются все аксиомы элементарной геометрии, которая изучается в средней школе.

   Мы также будем полагать, что нам известно расстояние между любыми двумя точками пространства.   Обозначение. Расстояние между двумя точками А и В мы будем обозначать  или .

   Кроме того, мы считаем известным свойства расстояния как функции двух аргументов:

1. Свойство неотрицательности:

             и .

2. Свойство симметричности:

           .

3. Неравенство треугольника:

                ,

   причем равенство выполняется лишь в том случае, когда

   точка у лежит на отрезке прямой хz или zx.

п.2. Определение вектора, как направленного отрезка.

Определение. Вектором, как направленным отрезком, называется упорядоченная пара точек (А, В) и обозначается . Точка А называется началом вектора , точка В называется концом вектора .

Геометрическое изображение вектора.

Вектор изображается отрезком прямой, соединяющим точки А и В и стрелкой в точке В:

                         АВ

Определение. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка АВ, т.е. расстояние между точками А и В.

   Модуль вектора  обычно обозначается . Таким образом, по определению .

   Множество всех векторов, как направленных отрезков в пространстве точек S, будем обозначать буквой .

   Замечание. Через любые две точки можно провести единственную прямую. Проведем прямую L через начало А и конец В вектора . Тогда все точки отрезка АВ будут являться точками прямой L. Мы будем говорить, что вектор  лежит на прямой L.

Обозначение. Обозначим через  множество всех векторов, лежащих на прямой L или на любой другой прямой, параллельной прямой L.

Коллинеарные векторы.

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Обозначение. Если векторы  и  коллинеарные, то это обозначается так: .

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Треугольник

К оглавлению…

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

  • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
  • Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Свойства медиан:

  • Все три медианы пересекаются в одной точке.
  • Медианы  делят  треугольник  на  шесть  треугольников  одинаковой  площади.
  • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

  • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
  • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

  • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
  • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

 

Трапеция

К оглавлению…

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Некоторые свойства трапеций:

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
  • Отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей  трапеции,  равен  полуразности  оснований.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
  • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
  • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

 

Параллелограмм

К оглавлению…

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
  • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

 

Квадрат

К оглавлению…

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

 

Ромб и прямоугольник

К оглавлению…

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Свойства ромба:

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

 

Произвольные фигуры

К оглавлению…

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

 

Окружность

К оглавлению…

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

educon.by

Правила вектора по геометрии – . . .

Вектор (геометрия) — это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

  • Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:
  • Вектор называют противоположным вектору .
  • Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

  • Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

  1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
  2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1.  — коммутативность.
  2.  — дистрибутивность.
  3.  — линейность по отношению к умножению на число.
  4.  — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

  1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x1 = λx2 и y1 = λy2, где

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dal.academic.ru

Вектор (геометрия) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья — о понятии вектора в геометрии. Об общем понятии вектора в математике см. Вектор (математика). Вектор AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом[1].

Вектор с началом в точке A{\displaystyle A} и концом в точке B{\displaystyle B} принято обозначать как AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например a→{\displaystyle {\vec {a}}}. Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: a{\displaystyle \mathbf {a} }.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} естественно определяет перенос, при котором точка A{\displaystyle A} перейдет в точку B{\displaystyle B}, также и обратно, параллельный перенос, при котором A{\displaystyle A} переходит в B{\displaystyle B}, определяет собой единственный направленный отрезок AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} (единственный — если считать равными все направленные отрезки одинакового и длины — то есть рассматривать их как свободные векторы; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании A1B1→=A2B2→=A3B3→=…{\displaystyle {\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}={\overrightarrow {A_{2}B_{2}}}={\overrightarrow {A_{3}B_{3}}}=\dots }).

Интерпретация вектора как переноса позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию сложения векторов — как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

encyclopaedia.bid

Вектор (геометрия) Википедия

Эта статья — о понятии вектора в геометрии. Об общем понятии вектора в математике см. Вектор (математика). Вектор AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом[1].

Вектор с началом в точке A{\displaystyle A} и концом в точке B{\displaystyle B} принято обозначать как AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например a→{\displaystyle {\vec {a}}}. Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом: a{\displaystyle \mathbf {a} }.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Итак, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} естественно определяет перенос, при котором точка A{\displaystyle A} перейдет в точку B{\displaystyle B}, также и обратно, параллельный перенос, при котором A{\displaystyle A} переходит в B{\displaystyle B}, определяет собой единственный направленный отрезок AB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} (единственный — если считать равными все направленные отрезки одинакового направления и длины — то есть рассматривать их как свободные векторы; действительно, при параллельном переносе все точки смещаются в одинаковом направлении на одинаковое расстояние, так что в таком понимании A1B1→=A2B2→=A3B

ru-wiki.ru

Вектор (геометрия) — это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

  • Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:
  • Вектор называют противоположным вектору .
  • Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

  • Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

  1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
  2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1.  — коммутативность.
  2.  — дистрибутивность.
  3.  — линейность по отношению к умножению на число.
  4.  — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

  1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x1 = λx2 и y1 = λy2, где

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

3dic.academic.ru

Вектор (геометрия) — это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

  • Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:
  • Вектор называют противоположным вектору .
  • Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

  • Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

  1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
  2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1.  — коммутативность.
  2.  — дистрибутивность.
  3.  — линейность по отношению к умножению на число.
  4.  — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

  1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x1 = λx2 и y1 = λy2, где

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

biograf.academic.ru

Вектор (геометрия) — это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

  • Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:
  • Вектор называют противоположным вектору .
  • Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

  • Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

  1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
  2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1.  — коммутативность.
  2.  — дистрибутивность.
  3.  — линейность по отношению к умножению на число.
  4.  — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

  1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x1 = λx2 и y1 = λy2, где

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

brokgauz.academic.ru

Что такое соответственные углы в геометрии – Что такое соответственные углы в геометрии? Сумма соответственных углов?

Геометрия. Урок 2. Углы — ЁП

 

Содержание страницы:

 

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠AOB  или ∠BOA,  но ни в коем случае не ∠OAB,∠OBA,∠ABO,∠BAO.

Величину угла измеряют в градусах. ∠AOB=24°.

 

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

OD — биссектриса угла ∠AOB. Она делит этот угол на два равных угла.

∠AOD=∠BOD=∠AOB2

Точка D — произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон OA и OB угла ∠AOB.

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180°.

Пример:

Пары углов

(1) и (3)
(2) и (4)

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠COD=∠AOB
∠BOD=∠AOC

Пары углов

(1) и (2)
(2) и (3)
(3) и (4)
(4) и (1)

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠COD+∠DOB=180°∠DOB+∠BOA=180°∠BOA+∠AOC=180°∠AOC+∠COD=180°

 

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

(1) и (5)
(2) и (6)
(3) и (7)
(4) и (8)

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

(3) и (5)
(4) и (6)

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

(1) и (7)
(2) и (8)

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

(3) и (6)
(4) и (5)

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

(1) и (8)
(2) и (7)

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

  • Соответственные углы равны.
  • Внутренние накрест лежащие углы равны.
  • Внешние накрест лежащие углы равны.
  • Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
  • Сумма внешних односторонних углов равна 180°.

 

Сумма углов произвольного n-угольника вычисляется по формуле:

Sn=180°⋅(n−2)

где n – это количество углов в n-угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n-угольника.

Сумма углов треугольника: S3=180°⋅(3−2)=180°

Сумма углов четырехугольника: S4=180°⋅(4−2)=360°

Сумма углов пятиугольника: S5=180°⋅(5−2)=540°

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n-угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

αn=180°⋅(n−2)n

 

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

 

Скачать домашнее задание к уроку 2.

 

epmat.ru

соответственные углы — это… Что такое соответственные углы?


  • соответственность
  • соответственные части

Смотреть что такое «соответственные углы» в других словарях:

  • Стереохимия — (пространственная химия Raumchemie, chimie dans l éspace). С. занимается всеми химическими явлениями, которые должны быть сведены на пространственное расположение атомов, составляющих химические молекулы (ср. Стереоизомерия). Стереохимические… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параллелограмм — (др. греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος  параллельный и γραμμή  линия)  это четырёхуго …   Википедия

  • Дифракция — (diffraction, inflexion, Beugung, уклонение света). А) явление световой Д. Объяснение ее Ньютоном. Принцип Гюйгенса. Объяснение Д. Френелем. В) плоская дифракционная сетка. Вогнутая сетка Роуланда. С) таблица длины волн. D) явление Д. в… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параллельные прямые — Содержание 1 В Евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского …   Википедия

  • Накрест лежащие — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Параллелограм — Параллелограмм Параллелограмм (от греч. parallelos  параллельный и gramme  линия)  это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются… …   Википедия

  • Параллель (геометрия) — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства …   Википедия

  • Ультрапаралельные прямые — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Гомеоморфизм — Митчерлих считал первоначально, что соответственные углы изоморфных кристаллов абсолютно тождественны. Волластон, однако, уже ранее показал, что ромбоэдрические углекислые шпаты, признанные Митчерлихом изоморфными, обладают близко похожими, но не …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Подобие — У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения). Подобие  преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где   положительное число, называемое… …   Википедия

dic.academic.ru

Ответы@Mail.Ru: соответственные углы

Если вы встречаете в доказательстве теоремы или иных рассуждениях геометрического свойства данное сочетание — соответственные (cоответствующие) углы то это означает что речь идет о углах а) уже упоминавшихся только что до .. если кроме этой фразы ничего не произносится б) если речь идет о каких то конкретных углах и упоминаются вдруг соответственные (cоответствующие) углы то речь идет о углах имеющих какое — то логическое отношение к текущим (Обычно по умолчанию, — это могут быть углы «дополнительные, противоположные, противостоящие и др. » в зависимости от контеста) в) если вы тем не менее не уверены о чем идет речь — переспросите лектора — это его обязанность объяснить какие углы он имел в виду… . Не расстраивайтесь, отдельного определения таких углов нет, это просто форма речи выражающая какие-то углы имеющие отношение к «лектору и его лекции в данном месте» 🙂 если не понятно какие — спрашивайте в лоб.. не стесняясь. С уважением.

Кратко: Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Подробно: <a rel=»nofollow» href=»http://www.math.ru/dic/53″ target=»_blank»>http://www.math.ru/dic/53</a>

Соответственные углы Соответственные углы — вид углов, образованный при пересечении двух прямых секущей. Один из пары соответственных углов лежит во внутренней области между прямыми, другой — во внешней, причем оба угла находятся по одну сторону от секущей. При пересечении двух прямых секущей образуется четыре пары соответственных углов. .

Это углы которые всегда равны между собой

touch.otvet.mail.ru

соответственные углы — это… Что такое соответственные углы?


соответственные углы

corresponding angles

Англо-русский словарь технических терминов. 2005.

  • соосный воздушный винт
  • соответствие

Смотреть что такое «соответственные углы» в других словарях:

  • Стереохимия — (пространственная химия Raumchemie, chimie dans l éspace). С. занимается всеми химическими явлениями, которые должны быть сведены на пространственное расположение атомов, составляющих химические молекулы (ср. Стереоизомерия). Стереохимические… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параллелограмм — (др. греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος  параллельный и γραμμή  линия)  это четырёхуго …   Википедия

  • Дифракция — (diffraction, inflexion, Beugung, уклонение света). А) явление световой Д. Объяснение ее Ньютоном. Принцип Гюйгенса. Объяснение Д. Френелем. В) плоская дифракционная сетка. Вогнутая сетка Роуланда. С) таблица длины волн. D) явление Д. в… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параллельные прямые — Содержание 1 В Евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского …   Википедия

  • Накрест лежащие — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Параллелограм — Параллелограмм Параллелограмм (от греч. parallelos  параллельный и gramme  линия)  это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются… …   Википедия

  • Параллель (геометрия) — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства …   Википедия

  • Ультрапаралельные прямые — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Гомеоморфизм — Митчерлих считал первоначально, что соответственные углы изоморфных кристаллов абсолютно тождественны. Волластон, однако, уже ранее показал, что ромбоэдрические углекислые шпаты, признанные Митчерлихом изоморфными, обладают близко похожими, но не …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Подобие — У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения). Подобие  преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где   положительное число, называемое… …   Википедия

dic.academic.ru

соответственные углы — это… Что такое соответственные углы?


соответственные углы
adj

1) eng. gleichliegende Winkel

2) math. Gegenwinkel, Stufenwinkel

Универсальный русско-немецкий словарь. Академик.ру. 2011.

  • соответственно, следовательно, таким образом
  • соответственный

Смотреть что такое «соответственные углы» в других словарях:

  • Стереохимия — (пространственная химия Raumchemie, chimie dans l éspace). С. занимается всеми химическими явлениями, которые должны быть сведены на пространственное расположение атомов, составляющих химические молекулы (ср. Стереоизомерия). Стереохимические… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параллелограмм — (др. греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος  параллельный и γραμμή  линия)  это четырёхуго …   Википедия

  • Дифракция — (diffraction, inflexion, Beugung, уклонение света). А) явление световой Д. Объяснение ее Ньютоном. Принцип Гюйгенса. Объяснение Д. Френелем. В) плоская дифракционная сетка. Вогнутая сетка Роуланда. С) таблица длины волн. D) явление Д. в… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Параллельные прямые — Содержание 1 В Евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского …   Википедия

  • Накрест лежащие — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Параллелограм — Параллелограмм Параллелограмм (от греч. parallelos  параллельный и gramme  линия)  это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются… …   Википедия

  • Параллель (геометрия) — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства …   Википедия

  • Ультрапаралельные прямые — Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского 3 См. также …   Википедия

  • Гомеоморфизм — Митчерлих считал первоначально, что соответственные углы изоморфных кристаллов абсолютно тождественны. Волластон, однако, уже ранее показал, что ромбоэдрические углекислые шпаты, признанные Митчерлихом изоморфными, обладают близко похожими, но не …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Подобие — У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения). Подобие  преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где   положительное число, называемое… …   Википедия

universal_ru_de.academic.ru

Что такое медиана треугольника в геометрии определение – 1. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник

Высоты медианы биссектрисы треугольника — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки  на отрезок , зато можем опустить его на прямую  — то есть на продолжение стороны .

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол  равен ) пересекаются в точке .

Рассмотрим треугольник .

,

, тогда

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол  смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник  — прямоугольный, то .

Тогда .

Ответ: .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть  — высота, проведенная из вершины прямого угла ,  — биссектриса угла .

Тогда

.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

Ответ: .

3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника (угол  — прямой) найдем угол . Он равен .

Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .

В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :

.

Ответ: .

4. В треугольнике угол  равен ,  и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .

Рассмотрим треугольник .

, тогда .

Из треугольника получим, что .

Тогда .

Ответ: .

5. В треугольнике угол  равен , угол  равен . , и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Найдем угол . Он равен .

Тогда .

Из треугольника найдем угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник .

, . Значит

Ответ: .

6. В треугольнике ,  — медиана, угол равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Медиана треугольника Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

  • В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
  • Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
  • У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

Окружность девяти точек
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

Основные соотношения

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

ma=2b2+2c2−a24,{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}
mb=2a2+2c2−b24,{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}
mc=2a2+2b2−c24,{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}
где ma, mb, mc{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}} — медианы к сторонам треугольника a, b, c{\displaystyle a,\ b,\ c} соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a=23−ma2+2mb2+2mc2=2(b2+c2)−4ma2=b22−c2+2mb2=c22−b2+2mc2,{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}
b=23−mb2+2ma2+2mc2=2(a2+c2)−4mb2=a22−c2+2ma2=c22−a2+2mc2,{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}
c=23−mc2+2mb2+2ma2=2(b2+a2)−4mc2=b22−a2+2mb2=a22−b2+2ma2,{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},}
где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.

Площадь S{\displaystyle S} любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}
где σ=(ma+mb+mc)/2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.

См. также

Литература

wikiredia.ru

Произвольный треугольник. Определение медианы, высоты, биссектрисы. Формулы

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков (в общем случае, разных). В физике эти отрезки классически называются буквами латинского алфавита (

и т.д.), в отличие от обозначений в геометрии.

Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен 

, называется произвольным (рис. 1).

В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.

В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.

В случае, если у треугольника один и углов прямой (

), он называется прямоугольным.

Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

  1. Биссектриса
  2. Высота
  3. Медиана

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

  • через две стороны и угол:
(1)
  • через три стороны:
(2)

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

  • через три стороны:
(3)
  • через две стороны и угол между ними:
(4)

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

 Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

  • через сторону и угол:
(5)
  • через сторону и площадь треугольника ()
(6)

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано.

Поделиться ссылкой:

www.abitur.by

Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника (центроидом).

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Длина медианы проведенной к стороне:  (док-во достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме удвоенной суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей )

Т1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.   Дано: ∆ABC, СС1, АА1, ВВ1 — медианы
ABC. Доказать: и

. Д-во: Пусть М — точка пересечения медиан СС1, АА1 треугольника ABC. Отметим A2 — середину отрезка AM и С2 — середину отрезка СМ. Тогда A2C2 — средняя линия треугольника АМС. Значит,А2 С2 || АС

и A2C2 = 0,5*АС. С1А1 — средняя линия треугольника ABC. Значит, А1С1 || АС и А1С1 = 0,5*АС.

Четырехугольник А2С1А1С2 — параллелограмм, так как его противо­положные стороны А1С1 и А2С2 равны и параллельны. Следовательно, А2М = МА1  и С2М = МC1. Это означает, что точки А2 и M делят медиану АА2 на три равные части, т. е. AM = 2МА2 . Аналогично СМ = 2MC1. Итак, точка М пересечения двух медиан АА2 и CC2 треугольника ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треу­гольника. Совершенно аналогично доказывается, что точка пересечения меди­ан АА1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вер­шин треугольника.

На медиане АА1 такой точкой является точка М, следовательно, точка М и есть точка пересечения медиан АА1 иBB1.

Таким образом, n

T2. Докажите, что отрезки, которые соединяют центроид с вер­шинами треугольника, делят его на три равновеликие части. Дано: ∆ABC ,  — его медианы.

Доказать:SAMB =SBMC =SAMC. Доказательство.  и высота, проведенная из вершины В, у них общая. т.к. равны их основания  и высота, проведенная из вершины М, у них общая. Тогда

Аналогичным образом доказывается, чтоSAMB = SAMC. Таким образом,SAMB = SAMC = SCMB .n

Биссектриса треугольника.Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Свойства

1. Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.

3. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).

Вычисление длины биссектрисы

где:

lc — длина биссектрисы, проведённой к стороне c,

a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,

p — полупериметр треугольника,

al,bl — длины отрезков, на которые биссектриса lc делит сторону c,

α,β,γ — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C соответственно,

hc — высота треугольника, опущенная на сторону c.

Метод площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

Можно выделить 2 направления этого метода:

1) Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур

2) Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

 

 

Теорема Чевы

Пусть точки A’,B’,C’ лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA’,BB’,CC’ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Обозначим через точку  пересечения отрезков   и . Опустим из точек С и А перпендикуляры на прямую ВВ1 до пересечения с ней в точках Kи L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники  и  имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL иCK :

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и  подобны по острому углу.

Аналогично получаем и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A’,B’,C’ лежат на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA’,BB’,CC’ и пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C1 – точка ее пересечения со стороной AB, A1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.

 

 

ТреугольникиAC1B1иCKB1подобны (∟C1AB1= ∟KCB1, ∟AC1B1= ∟CKB1). Следовательно,

 

ТреугольникиBC1A1иCKA1такжеподобны (∟BA1C1=∟KA1C, ∟BC1A1=∟CKA1). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C1 лежит на стороне AB, точка A1 – на стороне BC, а точка B1 – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

Тогда точки A1,B1 и C1 лежат на одной прямой.

studopedia.net

Определение медианы треугольника (в стихах) |

Определение медианы треугольника в разных источниках дается по-разному.

В некоторых (например, в Википедии) определение медианы “расширенное”:

Медиа́на треуго́льника (лат.mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

В школьных учебниках по геометрии (7 класс) встречается такое определение:

У Погорелова А.В. :

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

У Атанасяна Л.С. :

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Так или иначе,  для понимания и запоминания школьниками определения медианы треугольника  требуется одна-единственная ассоциация: середина стороны треугольника. Именно туда “устремляется” из вершины отрезок.

А чтобы легче запомнилась суть медианы треугольника, придуманы мнемонические правила и стихи . Их имеется несколько вариаций.

Определение медианы треугольника (в стихах)

Это из серии “Биссектриса – это крыса…” :

А вот этот стих создает образ медианы треугольника  более “интеллигентно” (если  можно так выразится):

И еще один вариант стишочка для запоминания определения медианы треугольника, на мой взгляд – очень трогательный и нежный.

Надеюсь, какой-то из приведенных вариантов вам, уважаемые читатели, понравился больше остальных. Поделитесь этим в комментариях ниже.

А может Вы дополните статью новым мнемоническим правилом или стихом для запоминания определения медианы треугольника?


repetitor-problem.net

Медиана треугольника — Википедия. Что такое Медиана треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

  • В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
  • Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
  • У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

Окружность девяти точек
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

Основные соотношения

mc=2a2+2b2−c22{\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}
где mc{\displaystyle m_{c}} — медиана к стороне c{\displaystyle c}; a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.
  • Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
a=232(mb2+mc2)−ma2{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}}},
где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}} медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника.
  • Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:
S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},}
где σ=(ma+mb+mc)/2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2} — полусумма длин медиан.

См. также

Литература

wiki.sc

Медиана треугольника — WiKi

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

  • В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
  • Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
  • У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

  Окружность девяти точек
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
  Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

ma=2b2+2c2−a24,{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},} 
mb=2a2+2c2−b24,{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},} 
mc=2a2+2b2−c24,{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},} 
где ma, mb, mc{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}}  — медианы к сторонам треугольника a, b, c{\displaystyle a,\ b,\ c}  соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2){\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} .

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

a=23−ma2+2mb2+2mc2=2(b2+c2)−4ma2=b22−c2+2mb2=c22−b2+2mc2,{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},} 
b=23−mb2+2ma2+2mc2=2(a2+c2)−4mb2=a22−c2+2ma2=c22−a2+2mc2,{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},} 
c=23−mc2+2mb2+2ma2=2(b2+a2)−4mc2=b22−a2+2mb2=a22−b2+2ma2,{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}},} 
где ma,mb,mc{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}  — медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c{\displaystyle a,b,c}  — стороны треугольника.

Площадь S{\displaystyle S}  любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc),{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}},} 
где σ=(ma+mb+mc)/2{\displaystyle \sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}  — полусумма длин медиан.

www.ru-wiki.org

Задачи с решением по геометрии – Задачи по геометрии с решением и ответами

Несколько способов решения одной геометрической задачи

Для успешного изучения геометрии учащиеся старших классов должны не только знать основные формулы и теоремы, но и владеть различными методами решения геометрических задач. В успешном усвоении различных методов решения может помочь рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи.

Рассмотрим несколько основных способов, которые чаще всего применяются при решении геометрических задач: координатный, векторный, аналитический (то есть сводящийся к решению уравнений и систем уравнений), тригонометрический (то есть основанный на формулах тригонометрии) и чисто геометрический.

1. Способ координат

Этот способ считается самым универсальным для решения геометрических задач.

Рассмотрим его и другие возможные способы на примере одной задачи.

Задача.

В произвольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане АD, причем ВЕ = AD = 4. Найти стороны треугольника АВС.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1).

Точка О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы АD.

Прямоугольные треугольники АВО и DВО равны по катету и острому углу. Поэтому АО = ОD = 2 и АВ = ВD, так что

ВС = 2АВ.

Пусть точка О – начало прямоугольной системы координат. Ось абсцисс совпадает с направлением вектора ОD. Будем считать, что |OD|/2 есть единичный отрезок координатной плоскости.

В введенной системе координат точки А, D, В имеют следующие координаты:

А(-2; 0), В(0; b), и D(2; 0).

Чтобы вычислить длины сторон треугольника АВС надо определить, чему равно число b.

Его можно выразить через координаты точек С и Е. Зная, что D – середина ВС, получаем, что С(4; -b). Найдем вторую координату точки Е(0; у), пользуясь тем, что она принадлежит прямой АС.

Уравнение прямой АС имеет вид: (х + 2)/6 = у/(-b).

Координаты точки E(0; у) этому уравнению удовлетворяют, поэтому, подставив в него 0 вместо х, получим,
что y = -⅓·b.Следовательно, ВЕ = 4/3 · b. По условию задачи BE = 4, значит, b = 3.

Итак, имеем A(-2; 0), В(0; 3), С(4; -3). Теперь, зная координаты вершин треугольника АВС, найдем его стороны:

АВ = √13, ВС = 2√13, АС = 3√5.

2. Векторный способ

Введем обозначения: ВА = а, ВС = с.

Теперь через а и с выразим векторы ВЕ и АD.

По свойству биссектрисы треугольника из того, что ВС = 2BD, следует, что

СЕ = 2АЕ. По формуле деления отрезка в данном отношении имеем:

ВЕ = (c + 2a)/3.

По правилу вычитания векторов АD = 1/2 · c – a. У векторов ВЕ и АD длины известны.

Пусть |a|= a,  тогда |c|= 2a. Вычислив скалярные квадраты векторов ВЕ и AD, получим уравнения:

2a2 + ac = 36;  2a2 – ac = 16.

Отсюда a2 = 13 и ac = 10.

Значит, АВ= √13, ВС=2√13.

Найдем сторону АС по теореме косинусов: AC2 = 5a2 – 2ac. Подставив вместо a2 и ас найденные выше значения, получим АС = 3√5.

3. Аналитический способ

Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через длины а, b и с сторон треугольника АВС по формулам: AD2 = (b2 + c2)/2 – a2/4 и BE2 = ac – a₁c₁, где а1 = СЕ и с1= АЕ.

Пусть АВ = х, АЕ = у, тогда ВС = 2х и СЕ = 2у. Получим систему уравнений: 

{(х2 + 9у2)/2 – х2 = 16
2 – у2 = 8.

Отсюда x2 = 13, у2 = 5.

Значит, АВ = √13, ВС = 2√13 и АС=3√5.

4. Тригонометрический способ

Обозначим АВ = х, а угол АВС = 2α. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и ВСЕ можно выразить АЕ и СЕ:

АЕ2 = х2 + 16 – 8х · cos α и CE2 = 4x2 + 16 – 16x · cos α.

Пользуясь тем, что СЕ = 2АЕ или CE2 = 4AE2, имеем: x · cos α = 3.

Но x · cos α = ВО, а значит, ВО = 3 и ОЕ = 1.

Далее, пользуясь теоремой Пифагора, остается только вычислить стороны треугольника АВС.

5. С помощью площадей

Так как АО = ОD = 2, ВЕ = 4 и АD перпендикулярно ВЕ, то площадь каждого из треугольников ВАЕ и ВDE равна 4 (рис. 2). Площадь треугольника СDE также равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС равна 12.

Так как AD – медиана треугольника АВС, то площадь треугольника ABD равна 6.

По формуле площади треугольника

SABD = АО · ВО = 6.

Но АО = 2, а значит,

ВО = 3.

Стороны треугольника АВС можно найти по теореме Пифагора.

Итак, задача может быть решена устно, если догадаться соединить точки D и Е, а затем вычислять площади треугольников. 

6. С помощью осевой симметрии

Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого  продолжим отрезок DE до пересечения с прямой АВ и обозначим через  F точку пересечения прямых АВ и DЕ.

Получим равнобедренный треугольник ВСF. Из равенства треугольников ВЕF и ВЕС следует, что ВF = ВС. 

Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с СF в точке Н.

Тогда ВН – биссектриса треугольника ВСF, а следовательно, и его медиана.

Таким образом, Е – точка пересечения медиан треугольника ВСF, и поэтому ЕН = 0,5; ВЕ = 2, а ВН = 6.

Средняя линия АD треугольника ВСF делит медиану ВН пополам, поэтому ВО = 3. Далее поступаем так же, как и при решении задачи другими способами.

Как видим, вспомогательные построения привели к простому, чисто геометрическому способу решения задачи.

7. По теореме о средней линии треугольника

Проведем среднюю линию DK треугольника ВСЕ (рис. 3).

Так как DK || ВЕ и АО = ОD, то ОЕ – средняя линия треугольника АDK. Следовательно,

ОЕ = 1/2 · DK и DK = 1/2 · ВЕ, т.е. ОЕ = 1/4 · ВЕ.

Так как ВЕ = 4, то ОЕ = 1 и ВО = 3.

Из решения видно, что  отношение ВО/ОЕ не зависит от длин отрезков  ВЕ и АD. Найти это отношение можно используя лишь тот факт, что АD – медиана треугольника АВС и

АО = ОВ, причем без всяких вспомогательных построений.

8. По теореме Менелая

Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АСD в точках Е и О.

По теореме Менелая из треугольника АСD имеем:

AE/EC · CB/BD · DO/OA = 1, а так как СВ/ВD = 2 и DО = ОА, то АЕ = ЕС.

Применив теорему Менелая к треугольнику ВСЕ и секущей АD, получим:

BO/OE · EA/AC · CD/DB = 1.

Но ЕА/АС = 1/3 и СD = DВ.

Следовательно, ВО/ОЕ = 3.

На примере одной задачи мы рассмотрели несколько способов ее решения. Кроме приведенных решений можно отыскать и другие, более сложные, чем геометрические способы. Решение этой задачи можно выполнить с помощью теоремы косинусов, формулы Герона для площади треугольника, составления и решения системы из трех уравнений. Однако, можно найти наиболее простое и красивое решение с помощью дополнительных построений.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи по геометрии?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Геометрия. Урок 7. Практические задачи по геометрии

 

Содержание страницы:

Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, а стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Подобие треугольников обозначается значком «∼». Запишем подобие двух треугольников:

△ABC∼△A1B1C1

Соответственные стороны двух подобных треугольников – это стороны, которые лежат напротив равных углов.

 

 

Пары равных углов:

∠A и ∠A1

∠B и ∠B1

∠C и ∠C1

Пары соответственных сторон:

BC и B1C1

AC и A1C1

AB и A1B1

Представьте себе, что на смартфоне или планшете вы открыли изображение треугольника. Вы захотели получше его рассмотреть и увеличили изображение. Сам треугольник увеличился, но его пропорции сохранились (он не сплюснулся, не вытянулся, просто стал больше). Вот такие два треугольника: исходный и увеличенный будут подобными. Масштаб увеличенной картинки изменился в k. Это число k будет являться коэффициентом подобия этих треугольников.

Коэффициент подобия k это число, равное отношению соответственных сторон подобных треугольников.

 

 

k=A1B1AB=A1C1AC=B1C1BC
  • Если стороны большего треугольника относить к сторонам меньшего треугольника, то коэффициент подобия k>1.
  • Если стороны меньшего треугольника относить к сторонам большего треугольника, то коэффициент подобия k<1.

 

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

P△A1B1C1P△ABC=k

 

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

S△A1B1C1S△ABC=k2

 

Первый признак подобия треугольников (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

∠A=∠A1∠B=∠B1|⇒△ABC∼△A1B1C1

 

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

 

∠A=∠A1A1B1AB=A1C1AC=k|⇒△ABC∼△A1B1C1

 

Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

 

A1B1AB=A1C1AC=B1C1BC=k⇒△ABC∼△A1B1C1

 

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых необходимо найти угол между часовой и минутной стрелкой. Давайте разберёмся, как их решать.

Часовой циферблат – это окружность.

Градусная мера всей окружности равна 360°.

Стрелки – стороны центральных углов.

На окружности 60 маленьких делений и 12 больших.

Каждое маленькое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна 360°60=6°.

Каждое большое деление отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна 360°12=30°.

Можно рассуждать, что одна большая дуга содержит пять маленьких, то есть её градусная мера равна 6°⋅5=30°.

 

 

В задании 17 ОГЭ встречаются задачи, в которых дано колесо со спицами и требуется определить либо угол между соседними спицами (если дано количество спиц), либо количество спиц (если дан угол между соседними спицами). Будем разбираться, как такие задачи решать.

Пусть у нас есть колесо, в котором n спиц. Тогда эти спицы образуют n равных центральных углов α.

 

 

Формула, которая связывает количество спиц и угол между двумя соседними:

α⋅n=360°

 

В задаче данного типа дана лестница, состоящая из n ступенек. Каждая ступенька характеризуется своей высотой (вертикальный отрезок) и длиной (горизонтальный отрезок). Сама лестница характеризуется своей длиной (отрезок AC), высотой (отрезок BC) и отрезком AB.

 

 

Высота всей лестницы – количество ступенек, умноженное на высоту одной ступеньки. Длина всей лестницы – количество ступенек, умноженное на длину одной ступеньки. Для нахождения длины лестницы необходимо применить теорему Пифагора.

 

Теоретический и практический материал по нахождению площадей треугольников и четырехугольников можно найти в уроках 3 и 4 модуля геометрия.

Перейти по ссылкам:

epmat.ru

Геометрические задачи ЕГЭ с решениями

Автор Сергей Валерьевич

Суббота, Сентябрь 3, 2016

В данной статье разобраны решения геометрических задач, встречающихся в вариантах профильного ЕГЭ по математике. Всего таких задач 5: 3 из первой части и 2 из второй. По крайней мере, такой расклад был на момент написания статьи. Представленные материалы будут полезны тем, кто только начал подготовку к предстоящему экзамену. Здесь вы найдёте геометрические задачи ЕГЭ с решениями, снабжёнными подробными и понятными комментариями от профессионального репетитора по математике. Представлен также видеоразбор решений каждого задания.

Задачи представлены под номерами, под которыми они числятся в вариантах профильного ЕГЭ по математике.

Задача 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Даже если вы забыли формулу площадь трапеции на экзамене, не спешите отчаиваться. Вы всегда может решить задачу проще, чем вас научили в школе. В данном случае можно просто посчитать площадь по клеточкам:

Искомая площадь равна половине площади синего прямоугольника, плюс площади зелёного прямоугольника, плюс половина площади красного прямоугольника. Итого, получаем .

Задача 6. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

По-хорошему, рисунок здесь не нужен. Поскольку в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований равна 8, а полусумма и, соответственно, средняя линия трапеции равны 4.

Задача 8. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Сечение конуса плоскостью, проведенной параллельно основанию конуса, делит его высоту в отношении 3:2, если считать от вершины. Вычислите площадь полной поверхности полученного отсечённого конуса.

Все линейные размеры малого конуса в раз отличаются от линейных размеров большого конуса. Следовательно, квадратичные размеры (площадь поверхности) малого конуса в  раз отличаются от квадратичных размеров большого конуса. То есть искомая площадь полной поверхности отсечённого конуса равна .

yourtutor.info

Техника поиска решений репетитором задач по геометрии

Если Вы регулярно просматриваете решения задач по математике в тех или иных источниках, то, безусловно, обращали внимание на их декларационный характер. То есть последовательность шагов просто сообщается и не разъясняется, почему она именно такая и, самое главное, как до нее догадаться обычному школьнику. При индивидуальном подходе к обучению ситуация, как правило, не улучшается. Приглашенный репетитор по математике попросту повторяет Вашему ребенку то, что написано в книжках. При таком формате работы ценность репетитора неуклонно снижается, ибо на ОГЭ/ЕГЭ обязательно подвернется какая-нибудь незнакомая задача. Кроме того при желании можно и самостоятельно прочесть кучу решений, добиваясь в итоге (с той или иной скоростью) определенного уровня знаний. Конечно, большинство школьников и этого сделать не могут. Им нужен руководитель и проверяющий в одном лице, а также привычные «инфраструктурные условия», в которых привычно вести учебную деятельность: четкое расписание и план освоения предмета, ведение тетрадей, вопросы и ответы и т.д. Но если уж говорить о репетиторе по математике как о максимальном средстве борьбы за знания и развитие, то стоит остановиться на методах обучения поиску решений.

Такое обучение под силу только профессионалу с большой буквы. Мыслительную механику чрезвычайно сложно описывать словами. Одна размытая ориентировка и ученик запутается. Глубокий анализ порой неоднозначно воспринимается и упирается в законы мироздания, но все же попытаемся разобраться в принципах на примере нескольких геометрических задач. Предположим, что ученик знает теорию и не испытывает проблем с реализацией простейших логических операций.

Пример, на котором репетитору легко показать технику поиска

Два равнобедренных треугольника ABC и DBC склеены общим основанием BC. Докажите перпендикулярность прямых BC и AD.

Прежде всего, репетитору важно научить ребенка правильно «брать старт» в решении, а для этого требуется понять, какие факторы влияют на отрезок AD и как вообще можно придти к перпендикулярности. Допустим, что ответ получен: надо придти к углу 90 градусов. Как? Перебираем в голове все известные в 7 классе приемы, теоремы и определения, связанные прямыми углами. Их не так много: 1) определение высоты 2) непосредственный поиск угла через вычисления или через уравнение. Напрягаем мозги. Вычисления нереальны – нет никаких значений в градусах. Для уравнений желательно иметь равные углы, которые можно было бы обозначить одной буквой «икс», либо иметь несколько связующих условий. А у нас только есть вертикальные и смежные углы. Значит надо либо доказывать, что смежные углы AОC и DОC равны, либо брать теорему о высоте, а ей нужен равнобедренный треугольник с медианой, либо биссектрисой. Это в свою очередь потребует объяснить то, что равны отрезки, или равны углы. То есть в любой случае надо получить какие-нибудь равные элементы рисунка. Откуда их взять? Нужно помнить о том, что в 7 классе 80% задач решается через равные треугольники. Вот и возникает с подачи репетитора по математике главный вопрос для старта: «Какие треугольники рассмотреть?»

На старт, внимание, марш

Как правило, ученики видят по рисунку равенство ABО и ACО и зависают над ними. В чем принципиальная ошибка? В разрезании верхнего треугольника на интересующие нас части участвует линия AD, положение которой зависит от точки D. Если в рассмотренных треугольниках не будет вершины D – мы получим произвольное разрезание на части, которое не гарантирует нам их равенство, поэтому доказательство зайдет в тупик. Аналогичная история и с нижней парой треугольников. Здесь уже тупиком будет выброс точки A. Получается, что в паре искомых треугольников должны участвовать обе точки A и D, а значит AD — сторона хотя бы одного из треугольников.
У нас имеется только два треугольника со стороной AD, подозрительно похожих на равные: ABD и ACD. Вот мы и вышли на старт. Любой хорошист укажет репетитору по математике на третий признак в обосновании их равенства.
Далее собираем урожай с нашего поиска – любые соответствующие элементы в треугольниках равны. Какие взять? Помним о том, что нам нужны либо отрезки, либо углы. И то, и другое есть. Например, BO=CO или угол BAD равен углу CAD. В первом случае мы имеем медиану AO, во втором – биссектрису AO. А тогда AO – высота.

«Ясновидение» по математике

Как Вы видите, никакого ясновидения со стороны репетитора. Все действия подкрепляются целесообразностью шагов и логически продиктованы ситуацией. Умению «вскрывать» математику можно и нужно учить, с раннего возраста на систематических занятиях, начиная с подобных простых примеров. В последние годы я резко снизил на своих занятиях процент деклараций решений. Все чаще открываю ученику сам процесс размышлений, озвучивая свои мысли. Говорю: «Если был я не был репетитором и учился математике на твоем месте, то размышлял бы следующим образом …». И начинаю подробно описывать все этапы поиска, вместе с возможными тупиковыми ходами и даже ошибками, то есть ровно так, я должен размышлять обычный человек. Постепенно ученик проникается идеями и каким-то волшебным образом начинает чувствовать математику интуитивно. В каждом человеке живет некое разумное начало, надо только до него достучаться и заставить работать во благо получения знаний. Что я и делаю на своих уроках в Строгино.

С уважением, Колпаков А.Н. Репетитор. Москва.

Метки: Методики для репетиторов, Примеры объяснений, Репетиторам по математике

ankolpakov.ru

Как решать задачи по геометрии: практические советы и рекомендации

Как решать задачи по геометрии? Многие учащиеся задаются этим вопросом на протяжении многих лет. Иногда даже сам предмет вызывает страх и отвращение из-за непонимания отдельных тем. Потом бывает очень сложно преодолеть неприязнь к геометрии и снова с заинтересованностью посещать уроки.

В чем причина

Во многом все зависит от того, как преподаватель объясняет свой предмет. Если учитель сможет заинтересовать учеников, дальше дело пойдет по накатанной, и каждый урок будет захватывающим. Дети даже будут оставаться на переменке, чтобы успеть решить как можно больше задач.

Если вам плохо объясняли этот предмет или есть еще какие-то причины, по которым у вас совершенно не получается вникнуть в тему, эта статья поможет разобраться.

Как научиться решать задачи по геометрии?

Для начала нужно понять, что за один день вы вряд ли далеко продвинетесь в своих знаниях, так что настраивайтесь на длительный процесс обучения.

Также нужно определиться с целью. Если вам нужно просто решить задачу по геометрии, чтобы не получить плохую оценку за контрольную работу, достаточно лишь выучить определенную тему и потренироваться в практических аспектах.

Что делать?

Возьмите учебник и пролистайте последние несколько параграфов, которые вы изучили. Постарайтесь вникнуть в информацию, поймите, что от этого зависит то, как будут оценены ваши знания. Теперь можете взять листочек и изучить несколько задач, обязательно смотрите в текст учебника и пытайтесь понять алгоритм решения.

Если что-то не получается, обратитесь к решебнику, который выпущен специально под ваш учебник. Только не списывайте абсолютно все, старайтесь понять, как решать задачи по геометрии.

Вспомните, о чем говорил преподаватель на занятиях, возможно, какая-то информация окажется полезной.

Не стоит пренебрегать и человеческим фактором. Хорошо знающие предмет школьники или студенты не откажут вам в помощи. Некоторые из них могут объяснить гораздо доходчивее преподавателей.

А тем, кто решил не просто разобраться в отдельных темах, а научиться решать задачи и как орешки их щелкать, нужно основательно потрудиться.

Во-первых, главное – это мотивировать себя на дальнейшие занятия. Бывает так, что вопрос о том, как научиться решать задачи по геометрии, встает лишь один раз, а потом начинается просто списывание примеров из интернета. Так делать крайне нежелательно.

Развивайте усидчивость. Посмотреть в решебник намного проще, разумеется, но подумайте, какое наслаждение вы испытаете, когда самостоятельно решите сложную задачку. Поэтому лучше лишние полчаса посидеть за учебником, чем стараться списать побыстрее чье-то решение.

Может быть, геометрия вам понадобится для будущей профессии. Тогда тем более не стоит откладывать дело в долгий ящик, нужно приниматься за задачи прямо сейчас.

Во-вторых, практика, и только она, поможет вам стать на шаг ближе к своей цели!

Заведите привычку узнавать что-то новое каждый день. Просто старайтесь с утра решать одну задачу, а потом проверяйте по ключам ее правильность. Позже заметите, что с каждым днем процесс идет все быстрее и качественнее.

Самое главное здесь – не сдаваться и не обращать внимания на мелкие трудности. Если вы включите в распорядок дня этот совет, то вопрос о том, как решать задачи по геометрии, отпадет сам собой.

В-третьих, обращайтесь за помощью к знакомым.

Не бойтесь в школе лишний раз поднять руку и выйти к доске, чтобы решить сложный пример, который никто не отважился постичь. Даже если что-то пойдет не так, и вам не удастся сделать задание, ничего страшного в этом нет. Преподаватель объяснит решение примера и даже похвалит вас за смелость. Также это неплохой способ показать свои знания одноклассникам.

Ребята могут помочь с выполнением заданий, когда узнают, что вы настроены серьезно в изучении предмета.

Не вешаем нос!

Не отчаивайтесь, если никто не откликнулся на вашу просьбу. Всегда можно обратиться за помощью к репетитору, который точно объяснит, как решить задачу по геометрии. Даже при ограничении в денежных средствах хорошим выходом станут занятия по скайпу, которые ничем не хуже уроков, проходящих при личной встрече.

Вот и все советы. Будем надеяться, что вы все-таки поняли, как решать задачи по геометрии. В любом случае старайтесь применять эти методы на практике, и вы осуществите задуманное!

fb.ru

Примеры по геометрии 7 класс. | Геометрия

Примеры по геометрии 7 класс. | Геометрия — просто!
Добрый день!
Сегодня мы с вами разберём несколько примеров по геометрии 7 класса, которые даются в ОГЭ-2015.
Ведь действительно, Основной Государственный Экзамен — ОГЭ, рассчитан не только на знания 9 класса, но и на те знания, которые ученики получают в 7 и 8 классах по геометрии, и, начиная с 5 класса, по математике и алгебре.
Поэтому, в модуле «Геометрия» есть задачи из курса 7 класса.
Задача 1.  В треугольнике АВС точка D на стороне АВ выбрана так, что АС=AD. Угол А  треугольника АВС равен 16°, а угол АСВ равен 134°. Найти угол DCB.
Решение: Из треугольника ADC видно, что он равнобедренный, поскольку 2 боковые стороны его равны.
А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит, угол ADC равен углу АСВ.
Но сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Отсюда, сумма двух углов при основании равна 180-16=164°.
Углы, как мы уже сказали, равны. Поэтому, каждый из них равен 164:2 = 82°.
Угол АСВ по условию равен 134°.
А если внутри угла провести луч, то он разделит угол на 2 угла, сумма градусных мер которых будет равна градусной мере первоначального угла.
Т.е. Угол АСВ равен сумме углов АCD и DCB.
Отсюда, угол DCB равен 134 — 82 = 52°.
Ответ: угол DCB равен 52°.
Задача 2. Два отрезка АС  и BD пересекают в точке О. Причём, АО=СО и ∠А=∠С. Доказать, что треугольники АОВ и OC равны.
Доказательство: В искомых треугольниках есть по одной равной стороне и одному равному углу. Значит, согласно признакам равенства треугольников, нам необходимо ещё либо по одной равной стороне, либо по одному равному углу.
Стороны как-то не проглядываются, а вот по равному углу можно ещё найти.
Углы АОВ и DOC  — вертикальные.
А вертикальные углы, как мы знаем, равны.
В каждом из треугольников мы имеем по равной стороне и двум равным углам, прилежащим к ней.
Треугольники равны по 2 признаку.
Задача 3.  В треугольнике АВС проведена биссектриса АК.  Угол АКС равен 94°, а угол АВС равен 62°.  Найти угол С треугольника АВС.
Решение: Угол АКС является внешним для треугольника АВК и равным сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е. сумме углов В и ВАК.
Отсюда мы можем найти угол ВАК.
Он равен 94 — 62 = 32°.
Поскольку АК — биссектриса угла А, то угол КАС тоже равен 32°.
А теперь, рассматривая треугольник АКС и зная в нём 2 угла, можно найти третий.
∠С = 180 — 32 — 94 = 54°.
Ответ: угол С равен 54°.
Задача 4. В треугольнике АВС боковые стороны АС и АВ равны между собой. Внешний угол при вершине В равен 110°.  Найти угол С.
Решение:  Внешний угол В равен 110°, значит, смежный с ним внутренний угол в треугольнике  равен
180-10 = 70°.
Но внутренний угол В равен углу А, как углы при основании равнобедренного треугольника. Значит, угол А равен 70°.
А сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
И если 2 из них равны по 70, то на долю третьего угла С приходится 180 — 70 — 70 = 40°.
Ответ: угол с равен 40°.
Задача 5. В треугольнике АВС проведены высоты, которые пересекаются в точке О.  Угол СОВ равен 119°. Найти угол А.
Решение: Угол ВОМ смежный углу СОМ и равен 180-119 = 61°.
Угол СМА внешний в треугольнике СМВ и равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Отсюда, угол ОВМ равен 90-61 = 29°.
А из прямоугольного треугольника ВКА можно найти угол А, т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Значит, угол А равен 90 — 29 = 61°.
Ответ: угол А равен 61°. 
На сегодня всё. В следующий раз мы продолжим решение геометрических задач для подготовки к ОГЭ.

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

geometriyaprosto.ru

Задачи по геометрии

Дата: января 10, 2019 Автор: balu

На прямой AG отмечен отрезок AB длиной 2a. Из точек А и B перпендикулярно прямой AG по разные её стороны проведены отрезки AC и BD, причем AC=BD=b.
Из точки C и точки D проведены отрезки СM и DM так, что CM пересекает AB, обозначим точку их пересечения через K, DM пересекает прямую AG вне отрезка AB, обозначим точку их пересечения через E, причем угол MKB равен углу MEB. Найти геометрическое место точек M (составить уравнение кривой).

Дата: марта 14, 2018 Автор: balu

На сколько частей делит пространство лента Мёбиуса бесконечной ширины?

Дата: декабря 5, 2017 Автор: balu

С помощью циркуля и линейки построить окружность, касающуюся двух данных окружностей, причем одной из них в данной точке.

Дата: апреля 21, 2017 Автор: balu

Город имеет форму круга радиуса R. По всей площади города магазины торговой сети расположены равномерно. Расстояние от центра города до распределительного центра сети равно r. Найти среднее расстояние от распределительного центра до магазина сети.

Дата: апреля 15, 2017 Автор: balu

Квадрат ABCD и правильный пятиугольник BEFGC имеют общую сторону BC. Вершины квадрата A и D лежат вне пятиугольника. Найти угол между отрезками AG и FD.

http://blog.kknop.com/2017/03/blog-post.html

Дата: марта 5, 2017 Автор: balu

Метеорит падает на сферическую Землю радиусом R под углом ѳ к отвесу со скоростью V и упруго (без потери энергии) отскакивает. В каком случае (при каком соотношении параметров) метеорит, попрыгав. вернётся в точку падения? (Допустим, g не меняется с высотой).

Е.Скляревский

Дата: февраля 26, 2017 Автор: balu

Проведем прямую AQ. С центром в точке O на ней построим окружность диаметром 3 так, что |AO|=1,5 (красная окружность). Отметим на прямой точку K так, что |AK|=1. Проведем через точку K под произвольным углом прямую, пересекающую окружность в точках G и E. Очевидно, в любом случае |GK|*|GE|=2. Построим с центром на прямой AQ окружность диаметром 17, касающуюся первой окружности в точке A (фиолетовая окружность). Пусть прямая GE пересекает вторую окружность в точках B и C. Очевидно, в любом случае |BK|*|CK|=16. Вращая прямую GE вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KE|=2^(1/3), а |GK|=2^(2/3), т.е. |GK|=|EK|^2. Вращая прямую BC вокруг точки K можно найти такое ее положение, что |KC|=2*2^(1/3), а |GE|=4*2^(2/3). С помощью гомотетии с коэффициентом 2 и центром в точке K построим синюю окружность. Точка C пересечения синей и фиолетовой окружности будет обладать замечательным свойством |KE|=|CK|=2^(1/3). Проверим наше построение с помощью окружности, полученной с помощью гомотетии с центром в точке K и коэффициентом 4 (зеленая окружность). На её пересечении с фиолетовой окружностью находится точка B такая, что |BK|=4*|GK|=4*2^(2/3), т.е. |BK|=|CK|^2. Легко убедиться, что точки B, K и E лежат на одной прямой.
Однако, почему не ликуют древние греки? Ведь мы построили отрезок, равный кубическому корню из 2, решив таким образом задачу об удвоении куба! Возможно, в наше построение вкралась ошибка? Найдите её.

Дата: февраля 6, 2017 Автор: balu

Дана окружность с отмеченной на ней точкой А и точка В вне окружности. Найти параболу (построив ее директрису) с фокусом в точке В, касающуюся окружности в точке А.

Дата: ноября 9, 2016 Автор: balu

В просторном зале, стоя на полу, вы видите на полу отражение светильника, подвешенного под потолком. Пусть ваш рост h, высота потолка H, расстояние между вами и точкой на полу под светильником S. Вы двигаетесь в направлении светильника со скоростью V. С какой скоростью вы догоняете отражение светильника? С какой скоростью отражение светильника движется к точке под светильником?

Дата: июня 30, 2016 Автор: balu

На плоскости построены два отрезка длинами a и b. С помощью циркуля и двух прямых углов (например, в виде школьных угольников) построить отрезки длинами c и d — два средних пропорциональных отрезка к данным a и b, т.е. чтобы выполнялось соотношение a:c = c:d = d:b.

Дата: июня 26, 2016 Автор: balu

Из точки, где плоскость, наклоненная под углом α к горизонту, сопрягается с горизонтальной плоскостью, выстрелили шариком под углом β к горизонту. Каким должен быть угол β, чтобы шарик, отскочив от наклонной плоскости, вернулся в точку выстрела?

Е. Скляревский

Дата: июня 23, 2016 Автор: balu

Две окружности равного радиуса с центрами в точках О и О1 имеют общую хорду АВ. Из точки О проведен в произвольном направлении отрезок, пересекающий хорду AB, затем пересекающий окружность O в точке С и окружность О1 в точке D. Пусть М – середина отрезка CD. Доказать (или опровергнуть), что геометрическим местом точек M является дуга окружности.

Дата: июня 18, 2016 Автор: balu

Дана окружность и в ней центральный острый угол альфа. Построить угол, равный третьей части альфа, используя циркуль и линейку, на которой можно делать засечки, так, чтобы все построения не выходили за пределы окружности.

Дата: января 2, 2016 Автор: balu

В горизонтальной плите имеются два параллельных желоба полукруглого сечения радиуса R. Центры полукружий находятся в плоскости поверхности плиты на расстоянии L

Дата: января 2, 2016 Автор: balu

На наклонной плоскости два ткача придерживают два совершенно одинаковых рулона ткани. Одновременно отпускают. Один рулон скатывается со склона как цельный цилиндр, а второй во время спуска разматывается. Скольжение отсутствует. Какой рулон скатится быстрее?

geom.uz

Композиция из букв т по геометрии – Презентация к уроку (5, 6 класс) на тему: Конструирование из Т

Наглядная геометрия

 

Разработчик проекта-Константинова Т.Г.- учитель математики и информатики  МОУ лицея № 6 г. Ессентуки

Программист — Григорьян А.К.-студент СевКавГТУ

 

   XXI век по праву считают веком высоких компьютерных технологий. Это заставляет по-новому  рассматривать вопрос о том, чему и как учить в современной школе. Требования высокой степени дифференциации обучения пришли в противоречие с традиционными методиками обучения. Введение новых информационных технологий позволяет решать эти проблемы, учить детей жить в современном информационном обществе, использовать возможности компьютерной техники при решении самых различных проблем. Нам, учителям, внедрение ИКТ в процесс обучения позволяет сделать уроки интересными, высокоэффективными.    Министерство образования РФ  очень чётко обозначило задачи, которые стоят перед школой сегодня. И самой первой проблемой была названа проблема информатизации школьного образования.  Очень многие школы страны уже получили современную компьютерную технику. А сегодня перед  работниками образования стоит очень серьёзная и трудная задача – научиться использовать эту технику, как можно быстрее внедрить её в учебный процесс. Эта задача для российских школ совершенно новая, нет опыта работы в этом вопросе, приходиться много экспериментировать, искать, познавать новое и отказываться от привычного, пересматривать некоторые позиции и двигаться вперёд. Сегодня ИКТ должен владеть каждый школьник.

   Конечно же это  работа требует  постоянного творческого поиска. В результате накопился определённый опыт и свой взгляд на эту проблему. Используются готовые программные продукты, однако не все из них соответствуют целям и задачам конкретного урока, взглядам преподавателя на методику изложения той или иной темы. Поэтому  предпринимаются попытки создать свои программные продукты.

    Представляем Вам наш скромный опыт в создании программного продукта по геометрии. Ни для кого не секрет, что изучение геометрии в 7 классе  всегда вызывает у учащихся определённые трудности: непонимание необходимости доказательств, отсутствие геометрической зоркости, интуиции, геометрического воображения, неумение выстраивать чёткие логические рассуждения, а в старших классах ещё добавляется проблема пространственного мышления.  Это одна из самых актуальных проблем современного математического образования. Академик А.Д.Александров говорил о том, что задача преподавания геометрии ­– развивать у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление, причём пространственное мышление ставил на первое место. Психологи утверждают, что именно в 5- 6 классе следует уделить этому вопросу особое внимание, это самый благоприятный период для достижения поставленной цели.

     Именно поэтому в нашей школе уже не первый год ведётся преподавание в 5-6 классах курса «Наглядная геометрия». Преподавание этого курса ведётся по учебнику И.Ф.Шарыгина и Л.Н.Ерганжиевой «Наглядная геометрия». Это прекрасный пропедевтический курс геометрии. Практика показывает, что изучение геометрии в 7-11 классах вызывает гораздо меньше затруднений и проблем, если в 5-6 классах изучалась «Наглядная геометрия». Основной принцип этого курса – метод геометрической наглядности. Учебник написан ярко, живо, интересно, снабжён большим количеством практических  упражнений и нестандартных задач. Оригинальность методики заключается в том, что ученик познаёт геометрические закономерности через практическую работу с фигурами, измерительными приборами, моделями. При этом рассматриваются проблемы, как из курса планиметрии, так и из курса стереометрии. Вот почему курс «наглядная геометрия» так необходим сегодня в школе. И  такой подход не только даёт возможности для использования компьютерных технологий, но просто как будто специально создана в расчёте на них.

     Учителем математики и информатики Константиновой Т.Г. в содружестве с учащимся 11 класса  Григорьян Амаяком, ныне студентом,  создана  программа, которая, на наш взгляд, поможет учителю сделать уроки наглядной геометрии интересными, динамичными, поставит на качественно новую ступень практическую деятельность учащихся на уроке. На сегодняшний день она имеет следующую структуру:

1. Задачи на разрезание и складывание фигур:

· Т-конструктор

· Конструктор Пентамино

· Шахматная доска

· Конструктор Танграм

Эти задачи относятся к разделу комбинаторной геометрии. Разъединение целого объекта на составляющие и объединение этих составляющих в одно целое (пусть даже в пределах одной плоскости) — это задача, развивающая геометрическое видение учащихся, пропедевтика воспитания пространственного мышления. В этом разделе созданы несколько конструкторов, в каждом из которых необходимо сложить  картинку, выбранную в библиотеке, с помощью специального набора фигурок (в конструкторе «Танграм» эти фигурки называются танами, и мы в дальнейшем будем использовать это образное название и в других конструкторах). При этом каждый тан можно вращать (шаг поворота 450), переворачивать и ставить в нужное положение. Предусмотрена отмена любого количества ходов, а также возможность изменять цвет любого тана по своему усмотрению. В библиотеке каждого из конструкторов имеется 8-10 картинок. Такие конструкторы как «Пентамино» или древняя китайская головоломка «Танграм» уже не одно поколение детей учат изобретательности,  логическому мышлению с помощью геометрических объектов. Мы попробовали сделать их ещё более занимательными  и увлекательными, добавив к ним информационные технологии.

   

2. Задачи со спичками:

 

Задачи 1 – 9

Задачи со спичками давно завоевали популярность у математиков, они позволяют развивать нестандартное мышление, геометрическую зоркость, а также практическое понимание учащихся. В этом разделе представлены 9 таких  задач. Щелчок мыши по спичке – убирает её, щелчок по пустому месту ­- ставит туда спичку, при этом идёт контроль, чтобы количество взятых спичек  равнялось количеству установленных спичек, т.е. осуществляется перекладывание спичек.

 

  3. Игральный кубик.

 

Задачи с игральным кубиком — одни из самых интересных. Эти задачи уже заставляют учащегося подняться на качественно новую ступень, поскольку приходится уже от плоскостного рассмотрения объектов перейти к пространственным объектам. В большинстве случаев при их решении приходится обращаться к развёртке этого кубика, представлять себе его движение в пространстве, рассматривать, изменяя точку наблюдения. Этот блок задач призван развивать интуицию, пространственные представления  и воображение учащихся.  Он выполнен в форме теста с выбором ответа.

 

4. Метод трёх проекций.

·  Задачи 1 – 6

·  Обратные задачи 1 – 6

  

Этот цикл задач продолжает работу с пространственными объектами. Ребята продолжают изучать пространственные геометрические объекты путём переноса точки наблюдения, впервые знакомятся с понятием трёх проекций геометрического объекта. На прозрачный куб с помощью цветной проволоки нанесена ломаная линия, необходимо определить каким будет вид этого куба  спереди, сверху, сбоку. Требуется уметь решить и обратную задачу: по трем проекциям куба найти, какому именно кубу они принадлежат. В случае затруднения учащихся с этой задачей, имеется возможность повернуть  куб  так, чтобы лучше рассмотреть вид сверху или сбоку.

 

5.      Координаты точки:

  Основной целью этого раздела является первоначальное овладение методом координат на плоскости. Учащимся предлагается клеточный лист с нанесённой на него системой координат. В окне записываются координаты очередной точки, которую необходимо указать на чертеже мышью. Точки по порядку соединяются между собой отрезком, таким образом, на чертеже появляется какой-то рисунок. Когда работа окончена, можно попросить показать правильное решение, оно будет дано другим цветом, что позволит учащимся сразу же обнаружить свои ошибки. В этом разделе есть возможность добавления учителем задач в библиотеку.

  

      В заключение хочется добавить, что все разделы этой программы уже были опробованы на уроках наглядной геометрии.  Нам кажется, что эта программа может быть использована как компьютерная составляющая некоторых уроков наглядной геометрии. Кроме того, эта программа может служить интересной геометрической головоломкой в компьютерном исполнении всем любителям математики.

 

Техническая документация к программе «Наглядная геометрия».

 

Программа «Наглядная геометрия» состоит из 4 основных разделов:

  •     Конструирование
  •      Куб
  •      Игры со спичками
  •      Координаты точки

 

Конструирование.

 

В разделе Конструирование есть 4 подраздела:

  •     Конструирование из T
  •      Конструктор Танграм
  •      Конструктор Пентамино
  •      Шахматная доска.

 

1.1.  Конструирование из Т.


Рисунок 1. Т-конструктор.

 

Т-конструктор – это заполнение определенного контура цветными фигурками в виде буквы «Т», варианты которых (рис. 1) расположены в левой части экрана. Каждая фигурка имеет определенный цвет (красный, жёлтый, синий, зеленый) и  получена поворотом на 90°, 180° и 270первой (красной) фигурки.

Выбор заполняемого контура осуществляется из библиотеки Т-конструктора. Вызвать её можно нажатием кнопки «Библиотека» (рис. 2).

Рисунок 2. Кнопки «Отменить» и  «Библиотека»

В открывшемся окне (рис. 3) одинарным щелчком левой кнопки мыши по имени файла-контура (1-01, 1-02 и т.п.) можно просмотреть этот контур через окно предварительного просмотра, и двойным щелчком разместить контур для заполнения (рис. 4).

После установки контура можно начинать размещать на нём фигурки. Для выбора фигурки необходимо щёлкнуть по соответствующей кнопке слева, а затем перевести курсор мыши на контур так, чтобы он указывал на ту клетку контура, в которой будет расположен направляющий элемент (рис. 5). Остальная фигура будет расположена относительно этого направляющего элемента на контуре.

 

Рисунок 3. Выбор контура для Т-конструктора.

 

При вставке любой фигурки счётчик использованных элементов изменится (рис. 6). Любую вставленную фигурку можно удалить, нажав кнопку «Отменить» (рис. 2). Если на контуре расположены несколько фигур, по удаление будет идти в порядке, обратном порядку вставки (т.е. удалится сначала последний, потом предпоследний и т.д.) Можно вставлять бесконечное количество фигур.

  

 

 

 

 


Рисунок 5. Направляющий элемент и фигурка.

 Рисунок 4. Вставленный контур

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6. Вставленная фигурка.

 

Рисунок 7. Полностью заполненный контур.

 

В результате работы должен получиться контур без белых (пустых) клеток

Использование другого контура автоматически обнуляет все счетчики и очищает область вставки элементов.

 1.2.   Конструктор Танграм

Цели этого конструктора совпадает с Т-конструктором. Отличием является следующее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8. Конструктор «Танграм»

 

o        Кнопка «Библиотека» (рис. 10) вызывает библиотеку контуров танграмов.

o        В этом конструкторе уже 7 фигурок-танов (рис. 9).

 

 

Рисунок 9. Таны   

 

Каждый тан можно перед вставкой на контур повернуть на 45°. Для этого необходимо сначала левой кнопкой мыши щелкнуть по нужному тану (при этом его контурная рамка станет красной). Затем для поворота тана правой кнопкой необходимо щелкнуть по любой точке окна. В «области поворота» (ярко-зеленая контурная рамка) тан при каждом очередном нажатии правой кнопки мыши будет поворачиваться. Выбрав нужный вид, необходимо вставить тан на контур (щелчок левой кнопки мыши по контуру). При этом необходимо учитывать, что для всех танов «направляющим» является верхний (в некоторых случаях левый верхний) угол.

Для того, чтобы таны на контуре не были монотонными, предусмотрена кнопка «Цвет» (рис. 10).

 

Рисунок 10. Кнопки «Библиотека», «Цвет» и «Отмена»

 

  

 

 

 

При нажатии кнопки «Цвет» появляется цветовая палитра (рис. 11). С её помощью можно выбрать цвет поворачиваемого тана (цвет изменится после поворота). Поэтому лучше всего сразу изменить цвет, а потом вращать объект. Если пользователь не поменял цвет, то компьютер сам предложит другой цвет тана (иногда цвета нескольких танов могут совпадать).

 

 

 

 

 Рисунок 11. Цветовая палитра.

 

 

Кнопка «Отменить» (рис. 10) работает также, как и в Т-конструкторе.

Задание считается выполненным, если весь контур танграма правильно заполнен танами.

1.3. Конструктор «Пентамино»

 

 

Рисунок 12. Пентамино

 

 

 

 

 

 

 

 

 В

 

В этом конструкторе фигурок уже двенадцать 

 (рис. 13).

Рисунок 13. Фигурки Пентамино.

 

Каждую фигурку можно вставлять только один раз. Поворот осуществляется с помощью щелчка правой кнопки мыши. В «области поворота» (ярко-зеленая контурная рамка) фигурка при каждом очередном нажатии правой кнопки мыши будет поворачиваться на 90°.

Для начала работы необходимо загрузить с помощью кнопки «Библиотека» (рис. 10) контур Пентамино. Поле размещения контура на экране (синяя контурная рамка) можно вставлять фигурки. Направляющим элементом в Пентамино является маленький ярко-зеленый квадрат на фигурке и «области поворота» (рис. 14). После щелчка по контуру на  нём появится фигура так, что в клетке контура, по которой производился щелчок, установится направляющая клетка, и от неё будет строиться остальная фигура (рис. 15)

 

 

 

 

 

 

 Рисунок 14. Направляющий

ярко-зеленый квадратик.

 Рисунок 15. Фигурка на контуре.

В Пентамино также работают кнопки «Отмена» и «Цвет» (рис. 10) для очистки фигур в обратном порядке и смены цвета соответственно. Задание считается выполненным, если все белые клетки контура заполнены фигурками.

1.4. Шахматная доска.

 

 

Рисунок 16. «Шахматная доска»

 

 

В этом конструкторе 14 фигурок. Из них необходимо составить стандартную шахматную доску (т.е. поле A1 – черное, h2 – белое)  на контуре (синяя контурная рамка). Каждую фигуру можно использовать один раз. Вращение в «области поворота» (ярко-зеленая контурная рамка) на 90° производится щелчком правой кнопки мыши. Направляющий элемент – ярко-зеленый квадратик (рис. 17).

 

 

 

Рисунок 17. «Область поворота»

 

 

 

Рисунок 18. Законченная шахматная доска.

 

 

 

 

Задание считается выполненным, если на контуре полностью будет выложена шахматная доска (рис. 18).

 

 

2. Куб.

В разделе «Куб» имеются 2 типа заданий:

?     Метод трёх проекций

?     Игральный кубик

 

2.1. Метод трёх проекций.

 

2.1.1. Определить проекцию куба.

 

Рисунок 19. Определить проекцию куба    

 

Для начала работы необходимо нажать на кнопку «Новая задача» (рис. 25). Также эта кнопка служит для запуска следующей задачи. Откроется (рис. 20) вид спереди куба, 3 проекции которого необходимо выбрать.

 

Рисунок 20. Вид спереди.

 

 

Если пользователю тяжело сразу определиться с решением, то программой предусмотрены дополнительные кнопки (рис. 21) «Вид сверху» и «Вид слева».

Рисунок 21. Кнопки дополнительного вида.

 

После их нажатия появятся соответствующие виды (рис. 22)

 

Рисунок 22. Дополнительные виды

 

 

 

Решить такую задачу нужно, выбрав одну из шести проекций видов спереди, сверху и слева. Проекции расположены в правой части экрана (рис. 23).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 23. Проекции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Чтобы выбрать проекцию, необходимо щелкнуть по нужной левой кнопкой мыши (рис. 24). После щелчка проекция будет помечена желтым квадратом.

  

 

Рисунок 24. Выбранные проекции.

 

Для того чтобы снять пометку, необходимо опять щелкнуть по уже выделенной проекции – квадрат исчезнет.

 

 

  

Проверка производится нажатием кнопки  «Проверить решение» (рис. 25).

 

 

 

 

 

Рисунок 25. Кнопки «Новая задача» и «Проверка».

         

 

 

 Правильно выделенные проекции

 будут помечены зелеными квадратами, неправильно выделенные – красными (рис. 26).

 

 

Рисунок 26. Проверенное решение.

 

 

 

 

 

 

2.1.2. Определить куб по проекциям.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

Рисунок 27. Три проекции куба

   

Даны три проекции  куба (рис. 27). Определить соответствующий им куб.

Для начала работы нужно щелкнуть на кнопку «Новая задача». Решение сводится к выбору одного из шести рисунков куба. Для выбора необходимо щелкнуть по нужному рисунку левой кнопкой мыши. Появится желтый квадрат. Снять выделение можно также щелчком левой кнопки мыши (желтый квадрат пропадет).

Проверка осуществляется нажатием кнопки «Проверить ответ». Если ответ пользователя правильный, то цвет квадрата изменится с желтого на зеленый, если же ответ не правильный, то цвет изменится на красный.

 

2.2. Задачи с кубиками.

В этом подразделе собраны девять задач. На экране появляются задание, рисунок и вопросы к нему (рис. 28).

 

Рисунок 28. Пример задачи с кубиком.

В поля ниже (сбоку) рисунка необходимо ввести целое число. Проверка введенных ответов осуществляется нажатием кнопки «Проверить» (в некоторых заданиях требуется произвести щелчок по полям, уже содержащим введенные ответы (рис. 29)). Таким образом, выбирается и сразу же проверяется ответ.

 

Рисунок 29. В этой задаче нужно щелкнуть по полю с числом.

 

3. Игры со спичками.

 

В этом разделе программы от пользователя требуется переложить несколько спичек так, чтобы получилась требуемая заданием фигура, выложенная из спичек (рис. 30). Задание располагается в левой части экрана. Ниже задания находится начальное положение спичек. Сами же спички для перемещения – по центру.

Количество спичек всегда остаётся постоянным. Спички можно убирать и вставлять. Для того чтобы убрать спичку, нужно щелкнуть по ней левой кнопкой мыши. Чтобы вставить спичку, нужно щелкнуть левой кнопкой мыши по пустому (белому) месту, куда и вставится спичка. Если после щелчка спичка не появилась, то необходимо установить курсор мыши более точно (расстояние между спичками должно быть равно длине спички) и заново щелкнуть левой кнопкой мыши.

 

 

Рисунок 30. Игры со спичками.

 

Рисунок 31. Выбор задач и кнопка «Отмены»

 

 

 

 

 

 

 

Задачи выбираются щелчком левой кнопки мыши по номера соответствующего задания (рис. 30).

Кнопка «Отмена» (рис. 31) служит для отмены выбора данного задания.

 

Задание считается выполненным, если не останется ни одной неиспользованной спички и требуемая фигура будет построена.

4. Координаты точки.

 

«Координаты точки» — программ для изучения декартовых координат (рис. 32).

 

Рисунок 32. Общий вид программы «Координаты точки».

 

Пользователю необходимо производить последовательные щелчки в области построения (рис. 33). Координаты точек также последовательно выводятся на экран (рис. 34). Между двумя последовательно нарисованными точками компьютер рисует прямую линию. Цвет этой линии определяется щелчком левой кнопки мыши по квадрату справа от надписи «Выберете цвет пера» (рис. 34) в области «Параметры». В открывшейся цветовой палитре (рис. 11) выбирается нужный цвет.

 

Рисунок 33. Область построения.

 

После вывода последней координаты рисунка и последовавшего за этим соответствующего щелчка по области построения задание завершено. Компьютер другим цветом выводит правильный контур задуманного рисунка (рис. 35). Цвет этого «правильного рисунка» определяется щелчком левой кнопки мыши по квадрату справа от надписи «Выберете цвет правильного рисунка» (рис. 33) в области «Параметры». В открывшейся цветовой палитре (рис. 11) выбирается нужный цвет. Имеет смысл выбирать разные цвета для пера и правильного рисунка для последующей визуальной проверки результата работы (рис. 34).

 

Рисунок 34. Установка параметров программы и инструкция для пользователя.

 

Запуск (перезапуск) задачи производится в следующей последовательности:

1)      Выбирается номер фигуры из открывающегося списка (рис. 34) последовательностью щелчков.

2)      Выбирается или оставляется цвет пера для пользовательского рисунка (рис. 34).

3)      Выбирается или оставляется цвет правильного рисунка компьютера (рис. 34).

4)      Нажимается кнопка «Запустить» (рис. 34), после чего начинается решение задачи.

 

 

 

Рисунок 35. Показан правильный (фиолетовый) и пользовательский (зеленый) рисунки.

           

 

 

Задание считается решенным верно, если пользовательский рисунок совпадает более чем на 99% с рисунком компьютера.

 

matemkonst.narod.ru

Дидактические карточки-задания «Геометрическое конструирование»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №14»

муниципального образования города Братска

Дидактические карточки – задания

по наглядной геометрии

для учащихся 5-6 классов

«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ»

Автор:

Рослякова Ирина Анатольевна,

учитель математики

первой квалификационной категории

2015г., Братск

Целью данного материала является оказание помощи учителю в организации на уроке или внеклассном занятии коллективной, групповой, индивидуальной и дифференцированной работы обучающихся как при изучении нового материала, закреплении и организации повторения, так и при проведении текущего и итогового контроля знаний, умений и навыков.

Дидактические карточки – задания могут быть использованы в качестве дополнения к курсу наглядной геометрии по любому действующему учебнику. 

Преподавание наглядной геометрии подразумевает использование различных видов моделирования, доступных детям: перекраивание фигур, построение фигур путем перегибания листа бумаги, конструирование подвижных бумажных моделей, построение всевозможных фигур из частей квадрата и т.д. Составляя комбинации фигур, дети учатся различать их, называть элементы, находить равные углы и стороны, составлять из острых углов прямые, конструировать заданные фигуры.

Использование дидактических карточек – заданий поможет не только пополнить и закрепить полученные знания, но и получить удовольствие от учебного процесса.

Карточка 1

  1. На фигуру кто-то вылил белую краску. Известно, что фигура состоит из букв Т. Восстановите ее вид.

  1. Сложить из всех элементов Пентамино прямоугольник.

Из элементов Танграма составить фигуру Бегущего гуся.

Карточка 2

  1. На фигуру кто-то вылил белую краску. Известно, что фигура состоит из букв Т. Восстановите ее вид.

  1. Сложить из всех элементов Пентамино Утку.


  1. Из элементов Танграма составить фигуру Бегущего человека.


Карточка 3

  1. Заполнить фигуру максимальным количеством букв Т четырех цветов.



  1. Сложить из всех элементов Пентамино Бабочку.

  2. Из элементов Танграма составить фигуру сидящего человека.

Карточка 4

  1. Составьте рисунок или орнамент, используя 20 букв Т.


  1. Из элемента Пентамино нужно с помощью девяти из оставшихся элементов, построить подобную большую фигуру.

  2. Из элементов Танграма составить треугольник.

Карточка 5

  1. Имеется кусок клетчатой бумаги размером 8 × 8 клеток. Вырежьте из нее как можно больше букв Т такой формы, как показано на рисунке.


  1. Из элемента Пентамино нужно с помощью девяти из оставшихся элементов, построить подобную фигуру.

  2. Из элементов Танграма составить фигуру Верблюда.

Карточка 6

  1. Разрежьте фигуру на буквы Т.


  1. Из элемента Пентамино нужно с помощью девяти из оставшихся элементов, построить подобную фигуру.


  1. Из элементов Танграма составить Кораблик.

Карточка 7

  1. Разрежьте фигуру на буквы Т.

  1. Из фигуры, составленной в виде бабочки составить фигуру Петуха.

  1. Из элементов Танграма составить фигуру Утки.


infourok.ru

Обозначение геометрических фигур буквами. Видеоурок. Математика 3 Класс

Поговорим о геометрических фигурах. В математике часто на одном чертеже может быть изображено несколько одинаковых геометрических фигур. Например, вы видите геометрические фигуры – точки (рис. 1).

Рис. 1. Точки

Соединим эти точки прямыми линиями. Получим разные ломаные линии (рис. 2). 

Рис. 2. Ломаные линии

Почему получились разные ломаные линии?

Дело в том, что мы не договорились, по какому правилу будем соединять точки. И это было невозможно сделать, так как все точки одинаковые.

Попробуем выделить каждую точку определенным цветом (рис. 3).

Рис. 3. Разноцветные точки

Теперь соединим точки прямыми линиями по правилу: от красной к зелёной, от зелёной к желтой, от желтой к синей, от синей к чёрной, от чёрной к коричневой. Получилась вот такая ломаная линия (рис. 4).

Рис. 4. Ломаная

Можем точки пронумеровать и соединить их в порядке возрастания чисел. Получится другая ломаная линия (рис. 5).

Рис. 5. Ломаная

Математики всего мира договорились обозначать геометрические фигуры заглавными буквами латинского алфавита. Точки на чертеже обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, E, F и другими (рис. 6).

Рис. 6. Обозначение точек

Понаблюдаем за другими геометрическими фигурами.

Узнаем, как можно обозначить буквами другие геометрические фигуры – отрезки (рис. 7).

Рис. 7. Обозначение отрезков

Чтобы назвать отрезок, обозначим буквами две точки – его концы. Например, отрезок AB, отрезок CD.

Какой из них длиннее?

Правильный ответ: отрезок АВ длиннее отрезка CD.

Как обозначают буквами многоугольники?

В многоугольнике обозначают буквами его вершины и называют, например, так: квадрат ABCD, треугольник ABC (рис. 8).

Рис. 8. Обозначение многоугольников

Применение полученных знаний при выполнении заданий

Потренируемся обозначать буквами геометрические фигуры.

Рассмотрим рисунок и ответим на вопросы: какая точка лежит на прямой? Какие точки на этой прямой не лежат (рис. 9)?

Рис. 9. Иллюстрация к заданию

Трудно ответить на эти вопросы, пока не обозначим точки буквами.

Назовем точки буквами латинского алфавита: N, P, M (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к заданию

Теперь ответим на вопросы: точка М лежит на прямой, а точки N, P не лежат на прямой.

Выполним следующее задание.

Ответим на вопрос: сколько отрезков на этом чертеже? Назовем их (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Задание нетрудно выполнить, так как концы отрезков обозначены буквами латинского алфавита.

Правильный ответ: на чертеже имеются отрезки RS, ST, TF, RT, SF, RF.

 

Незнайка тоже обозначил геометрические фигуры буквами. Проверим, правильно ли выполнил задание Незнайка (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Рассмотрим первый отрезок. Незнайка обозначил его концы строчными буками. Это неверно, так как нужно обозначать заглавными буквами. Исправим эту ошибку.

Рассмотрим треугольник. Незнайка обозначил буквами не вершины сторон, а их середины. Это неправильно. Исправим его ошибку: напишем буквы около вершин треугольника.

Рассмотрим пятиугольник. Незнайка забыл, что нужно обозначать буквами латинского, а не русского алфавита, и написал букву Ю. Исправим: заменим эту букву на букву Z.

Выполним еще одно задание.

Рассмотрим два треугольника ABN и CMZ. Определим, в каких треугольниках расположены точки D, S, F, R (рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к заданию

Правильный ответ: точка D находится внутри треугольника ABN, точка S – внутри треугольников ABN и CMZ, точка F – вне треугольников, точка R – внутри треугольника CMZ.

Сегодня на уроке мы узнали, что геометрические фигуры обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

     

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Nsportal.ru (Источник).
  2. Prosv.ru (Источник).
  3. Do.gendocs.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Поставь на листе бумаги пять точек. Назови их буквами латинского алфавита.
  2. Начерти два отрезка. Длина первого отрезка 5 см, второго – 7 см. Обозначь отрезки буквами латинского алфавита.
  3. Начерти треугольники ABC, DLK, PHS. Раскрась треугольник ABC красным цветом, треугольник DLK синим цветом, треугольник PHS – зеленым.

 

interneturok.ru

Создаем эффектный текст из геометрических фигур в Фотошоп

В этом уроке программы Photoshop, вы узнаете, как создать текст из простых геометрических фигур. Это очень простой и интересный урок. В этом уроке вы узнаете, как использовать инструмент Фигура (Shape Tool).

Примечание: Данный урок выполнен в программе Photoshop CC – поэтому, некоторые скриншоты могут слегка отличаться от предыдущих версий программы. Некоторые кисти имеются только в данной версии программы Photoshop CS6.

ОК. Давайте приступим!

Скачать архив с материалами к уроку

Итоговый результат

Шаг 1

Создайте новый документ 1400 x 720 px в программе Adobe Photoshop. Залейте задний фон светло-серым оттенком. Далее, с помощью большой мягкой кисти белого цвета, нарисуйте пятно в центре изображения.

Шаг 2

Слово, которое мы напишем, — это ‘МЕТRО’. Мы начнём с буквы ‘М’.

Выберите инструмент Прямоугольник (Rectangle Tool) в панели инструментов.

Шаг 3

Чтобы нарисовать чёрный прямоугольник, установите следующие настройки.

Шаг 4

Нарисуйте следующую фигуру.

Шаг 5

Активируйте инструмент Свободная трансформация (Free Transform Tool), чтобы применить Искажение (Distort). Примените искажение к прямоугольнику, создав следующую фигуру, для этого, потяните за нижний правый угол прямоугольника в сторону центра фигуры.

Результат должен быть, как на скриншоте ниже.

Шаг 6

Продублируйте слой с искажённой фигурой, а затем отразите по горизонтали (flip horizontally) дубликат слоя. Создайте следующую фигуру.

Шаг 7

Далее, выберите инструмент Многоугольник (Polygon Tool) в панели инструментов.

Шаг 8

Установите следующие настройки для данного инструмента Многоугольник (Polygon Tool).

Шаг 9

Нарисуйте треугольник, как показано на скриншоте ниже.

Шаг 10

Теперь ещё раз выберите инструмент Прямоугольник (Rectangle Tool). Нарисуйте розовый прямоугольник в центре, чтобы получилась буква. Результат должен быть, как на скриншоте ниже.

Шаг 11

Далее, мы создадим букву ‘Е’. Используя тот же самый инструмент Прямоугольник (Rectangle Tool), нарисуйте следующую фигуру прямоугольника.

Шаг 12

Тем же самым инструментом Прямоугольник (Rectangle Tool), нарисуйте 2 розовых прямоугольника, как показано на скриншоте ниже.

Добавьте ещё один розовый прямоугольник сверху.

Шаг 13

Далее, мы создадим букву ‘T’. Нарисуйте следующую фигуру прямоугольника, как показано на скриншоте ниже.

Шаг 14

Нарисуйте ещё один прямоугольник, чтобы завершить букву ‘Т’.

Шаг 15

Добавьте треугольник за буквой ‘Т’, залейте этот треугольник свето-серым оттенком, чтобы выделялась буква ‘Т’.

Шаг 16

Далее, мы создадим букву ‘R’. С помощью инструмента Прямоугольник (Rectangle Tool), нарисуйте следующую фигуру серого цвета.

Шаг 17

Продублируйте слой с нарисованной фигурой. Активируйте инструмент Свободная трансформация (Free Transform Tool), чтобы применить наклон Наклон (Srew). Наклоните дубликат слоя, как показано на скриншоте ниже.

Шаг 18

Далее, нарисуйте розовый круг с помощью инструмента Эллипс (Ellipse Tool), чтобы завершить букву ‘R’.

Шаг 19

Теперь мы создадим букву ‘О’. Нарисуйте круг с чёрной заливкой, как показано на скриншоте ниже.

Шаг 20

Нарисуйте другой круг розового цвета внутри чёрного круга, чтобы получилась буква ‘О’.

Шаг 21

Далее, мы завершим создание текста путём добавления гранжевого эффекта. Создайте новый слой поверх слоя с задним фоном. Установите кисти, которые вы можете скачать по ссылке вначале этого урока. Нарисуйте гранжевый узор за текстом.

Сгруппируйте все слои с буквами в одну группу. Создайте новый слой поверх созданной группы в качестве обтравочной маски.

Добавьте гранжевый эффект поверх букв, как показано на скриншоте ниже.

Шаг 22

Данный шаг является выборочным.

Вы можете применить фильтр Пластика (Liquify Filter) к тексту. Для этого, создайте объединённый слой из всех видимых слоёв (Alt+Ctl+Shift+E). Продублируйте полученный объединённый слой, а затем идём Фильтр – Пластика (Filter — Liquify) и в появившемся окне настроек данного фильтра выберите инструмент Скручивание по часовой стрелке (Twirl Clockwise Tool).

Установите следующие настройки.

Примените инструмент Скручивание по часовой стрелке (Twirl Clockwise Tool) на следующих участках текста.

В заключение, я провёл небольшую цветовую коррекцию текста с помощью корректирующего слоя Цветовой Баланс (Color Balance).

Поздравляю вас! Мы завершили урок! Надеюсь, вам понравился этот урок, и он был для вас полезным. До следующей встречи, удачного дня!

Итоговый результат

Автор: James Qu

photoshop-master.ru

Шрифтовые композиции

6 — 2004

Николай Дубина [email protected]

Важнейшим элементом в шрифтовой композиции всегда является текст — его смысловое содержание и грамматический строй, причем особенно ярко это проявляется в заголовках. Композиция шрифтовой надписи, выбранная в соответствии с ее содержанием, выявляет смысловое значение фразы и облегчает ее понимание. Если же дизайнер старается втиснуть текст в заранее придуманную схему, это неизбежно приводит как к формальным ошибкам, так и к несоответствиям между формой и содержанием.

Общая форма надписи, как правило, определяется уже при ее разбивке на строки. Тексты из трех или более слов при членении на строки дают несколько вариантов, одинаково правильных грамматически, но различающихся смысловыми оттенками и акцентированием того или иного слова. Например, название «Новые цифровые технологии» можно скомпоновать четырьмя способами (рис. 1).

Рис. 1. Основные варианты разбивки заголовка

Можно заметить, что слова приобретают различную значимость в зависимости от их расположения в строке. Первый вариант довольно нейтрален, во втором варианте внимание привлекает слово «новые», в третьем — особняком стоит слово «технологии». Эти, казалось бы, малоразличимые нюансы могут быть усилены рисунком шрифта, его размерами или цветом (рис. 2).

Рис. 2. Акцентирование размером и насыщенностью

В некоторых случаях грамматическая правильность компоновки слов может вступать в противоречие с их содержанием. Показательный пример — название книги В.Катаева «Белеет парус одинокий» (рис. 3). Все четыре варианта грамматически имеют право на существование, но именно композиция из одной строки в смысловом отношении более правильна, так как в качестве названия повести взята первая строка известного стихотворения М.Ю.Лермонтова. Это же обстоятельство заставляет использовать для всех слов шрифт одинакового размера, насыщенности и цвета.

Рис. 3. Варианты разбивки заголовка

Для больших заголовков, например полного названия «Слова о великом князе Дмитрии Ивановиче», возможно еще большее число вариантов группировки текста. Композиция надписи, представленной в верхней части рис. 4, явно не сбалансирована, отсутствует акцент на главном в этом названии. После небольшой доработки композиция становится более приемлемой (рис. 4, внизу).

Рис. 4. Вариант разбивки большого заголовка

Переносы слов в титульных элементах разрушают цельность композиции, поэтому их стараются избегать. Но в принципе переносы могут употребляться в художественной литературе при многострочном заголовке, а также в научной и технической литературе в многозначных и составных словах. Использование переносов всегда должно быть мотивировано как в смысловом, так и в композиционном отношениях.

Пропуск знаков препинания (точки, запятой, скобок и пр.) давно уже стал традицией при оформлении титульных элементов. Обычно подобное нарушение правил синтаксиса всегда компенсируется какими-либо композиционными приемами: красной строкой, изменением рисунка шрифта, вторым цветом, разделительными украшениями и т.п.

Органичность букв в слове — не только эстетическое требование. Она закономерно проистекает из особенностей чтения текста, когда человек читает не по буквам, а охватывает взглядом целое слово или даже несколько слов.

В некоторых «самодеятельных» руководствах по созданию шрифта, коих сейчас великое множество в Интернете, организация ритма в словах рассматривается очень ограниченно и часто сводится всего лишь к выравниванию пробелов между знаками. Однако ритмичность зависит еще и от начертания самих букв, поэтому в процессе создания гармоничного заголовка часто приходится опробовать несколько гарнитур, прежде чем будет найдена оптимальная.

Оптическое равенство пробелов между буквами является важнейшим условием легкой читаемости шрифта любого рисунка и вида. Дело в том, что не все пространство между буквами составляет межбуквенный пробел — часть этого пространства принадлежит самому изображению буквы и входит в ее оптическое поле, размер которого можно установить только визуально. Указанное обстоятельство не позволяет свести процесс выравнивания пробелов к механическому выравниванию свободных площадей между буквами даже в простых шрифтах, не говоря уже о шрифтах сложного рисунка. По этой причине опытный дизайнер при выравнивании межбуквенных пробелов все делает на глаз.

На размер каждого пробела в слове влияют не только конфигурации букв, но и засечки, и размеры штрихов, и характер внутрибуквенного просвета. При определенном расположении букв их оптические поля не сливаются, разделяясь при этом минимальным по величине пробелом. Такая расстановка знаков характерна для наборных текстовых шрифтов и обеспечивает наилучшую удобочитаемость текста (рис. 5 а ) — эти пробелы между буквами в слове будем называть «нормальными». В результате правильной установки величины пробелов достигается такая слитность слова, при которой связь между всеми буквами будет равнозначна. Неточная расстановка букв приводит к нарушению этих связей.

Изменение нормальных пробелов в сторону их уменьшения или увеличения может привести к резкому снижению удобочитаемости. При небольшом сближении букв произойдет соединение засечек соседних букв и слияние оптических полей некоторых знаков (рис. 5 б ). При дальнейшем сближении букв слово будет все более походить на орнаментальный узор, степень декоративности которого определяется самим рисунком шрифта (рис. 5 в ). Одновременно с этим будет ухудшаться читаемость шрифта.

По мере удаления букв друг от друга и увеличения пробелов между ними будет происходить обратный процесс — связь между буквами будет слабеть. При небольшом увеличении нормальных пробелов связь между буквами останется тесной, но средняя цветовая насыщенность слова уменьшится, что скажется на общей композиции (рис. 5 г ). При значительном увеличении пробелов слово распадается на отдельные буквы, связь между которыми теряется.

Для поддержания линии строки при большой разрядке прибегают к дополнительным средствам: подчеркиванию слова линейкой, применению шрифта с длинными горизонтальными засечками, помещению разреженной строки рядом с плотной строкой, с орнаментом или рисунком (рис. 5 д ).

При применении декоративных гарнитур изменение величины пробелов не слишком заметно благодаря особому композиционному построению и иному ритму чтения таких шрифтов.

Рис. 5. Зависимость ритмического строя от величины межбуквенных пробелов

Очень важную роль в ритмической организации шрифтов играют выносные элементы букв или штрихи, вводимые с декоративной целью. Буквы с такими элементами включают в свое оптическое поле соседние знаки, что придает шрифтовой надписи особую монолитность (рис. 6).

Рис. 6. Суперобложка. Художник С. Телингатер

Надо отметить, что буквы алфавита имеют различную динамику, то есть направленность по горизонтали. Каждое слово состоит из определенной комбинации знаков с разной направленностью, что оказывает влияние на его зрительное восприятие (рис. 7). Подбирая начертание шрифта, дизайнер может изменять и усиливать динамику букв в слове, создавая тот или иной ритмический эффект. Сочетая направленность каждой буквы с общей направленностью слова, а движение слова и строки — с общим направлением, можно получать самые разнообразные ритмические эффекты.

Рис. 7. Динамика букв в ритмическом строе слова

Большими возможностями в отношении динамики обладают курсивные шрифты с их композиционной подвижностью. В шрифтах с большим углом наклона направленность каждой отдельной буквы снимается единым движением слова по направлению строки (рис. 8).

Рис. 8. Общая динамика слова

В прямых шрифтах направленность каждого отдельного знака проявляется сильнее, но и в этом случае дизайнер всегда сможет найти объединяющее начало для разнонаправленных букв. Можно, например, придать всему слову вертикальное или горизонтальное движение, изменив пропорции букв. Объединение строк с различной направленностью — один из способов создания интересной и выразительной композиции.

Некоторые буквы шрифтов, которые можно отнести к гуманистической антикве, имеют интересную особенность — их вертикальные оси не совпадают с направлением основных штрихов в знаках с овалами и полуовалами («Р», «О», «З» и т.п.). Обычно такие наклоны вертикальных осей почти не влияют на ритм в слове, однако их увеличение может быть использовано как средство изменения ритма. Шрифты, в которых буквы резко отличаются по своей ширине, также образуют своеобразный ритм.

Овладение ритмом дает возможность влиять на процесс чтения, делать его медленным или быстрым, плавным или скачкообразным. Ритм не только организует процесс чтения, но и придает слову характерный облик, долго сохраняющийся в зрительной памяти.

На восприятие текста влияет и расположение строк в надписи. Некоторые надписи легко приобретают компактную и вполне завершенную форму, другие же выглядят как механическое соединение строк, не связанных между собой композиционным единством. Работа дизайнера как раз и заключается в том, чтобы преодолеть графическую разрозненность строк, подчеркнуть при необходимости смысловое значение некоторых важных слов, добиваясь ясного выражения мысли. При этом механически применять какие-либо правила нельзя, а следует исходить из конкретного смыслового содержания и состава слов в надписи. Схематическое представление строк в виде прямоугольников, о котором будет сказано ниже, создается на основе реальных, а не воображаемых строк.

Усиление смыслового значения слов путем изменения ритма букв и размера шрифта выполняется таким образом, чтобы важность слов в надписи была видна сразу и трактовалась однозначно (рис. 9).

Рис. 9. Смысловое акцентирование размером шрифта

Еще более резкое разделение слов по смысловой значимости получается при применении в одной надписи двух или трех шрифтов. Такой прием часто используется при оформлении обложек. Если чисто шрифтовые средства не позволяют сделать надпись на обложке выразительной, можно прибегнуть к другим средствам: рисунку, орнаменту, цвету, блинтовому тиснению и т.п.

Расстояния между словами в строке должны быть такими, чтобы каждое слово отчетливо отделялось от других и чтобы строка не распадалась на отдельные части, теряя при этом свою цельность. Абсолютная величина расстояния между строками может сильно колебаться от слитного начертания строк до расстояния, превышающего высоту строк в несколько раз. Ритмическое чередование строк и межстрочных интервалов должно всегда согласовываться с содержанием надписи.

Слитное или очень близкое расположение строк друг к другу часто превращает надпись в своего рода орнаментальный узор, составленный из букв. Удобочитаемость таких надписей обеспечивается контрастностью в длинах строк, при которой четко выделяется начало каждой строки (рис. 10), или сравнительно крупным размером шрифта (рис. 11).

Рис. 10. Контраст в длине строк при их слитном расположении

Рис. 11. Крупный размер шрифта при слитном расположении строк

Если разместить строки одной надписи на большом расстоянии друг от друга, то они будут читаться в замедленном ритме. Такие композиции характерны для титульного набора XVIII — начала XIX века и соответ-ствуют самим текстам старинных заглавий.

Нормальными расстояниями между строками можно считать такие, когда при четком отделении одной строки от другой сохраняется един-ство надписи в целом. В этом случае зрительная тяжесть строки полностью уравновешивается окружающими ее полями. Оптимальные соотношения между величиной интервала и высотой строки лежат в интервале от 3:5 до 1:1, а их точные размеры зависят от рисунка шрифта и длины строк. Большое влияние на величину межстрочных расстояний в надписи оказывают надстрочные и подстрочные элементы букв. При сильной разрядке слов в двух соседних строках расстояние между ними тоже должно увеличиваться — иначе произойдет объединение отдельных букв в вертикальные ряды, при которых горизонтальная линия строки разрушится.

Объединение в одной надписи разнородных по рисунку и резко контрастных по размеру шрифтов требует особо точного ритмического по-строения надписи, при котором расстояния между строками могут немного отличаться. Интервалы в таких надписях определяются, как правило, на глаз.

Иногда в шрифтовых композициях союзы, предлоги и короткие слова выносятся в отдельную строку, вслед-ствие чего можно достигнуть значительного усиления смыслового значения заголовка, например при противопоставлении слов-антонимов. К этому приему прибегают в поисках ясной и красивой формы надписи, для сокращения размеров слишком длинной строки, в случае усиления вертикальной направленности всей композиции и т.д. Однако выделение союзов и предлогов в отдельную строку приводит к тому, что они начинают мешать смысловому выделению главных слов. Поэтому рекомендуется делать их по высоте несколько меньшими, чем соседние с ними строки. Уменьшение высоты коротких строк и интервалов вокруг них необходимо и для того, чтобы сблизить основные строки во избежание оптического разрыва надписи на несколько частей (рис. 12).

Рис. 12. Уменьшение строки с предлогом и межстрочных интервалов снизу и сверху

Выбор способа группировки строк в надпись выполняется исходя из общего композиционного замысла. Из двух принципиально различных систем компоновки надписей — симметричной и асимметричной — первая имеет наибольшее распространение, поскольку придает надписи спокойную, уравновешенную форму.

Разновидностью симметричной композиции являются надписи, внешний абрис которых имеет вид прямоугольника, треугольника, круга или других геометрических фигур. В таких надписях мы видим прежде всего их внешний контур и только потом осмысливаем содержание. Геометрические построения строк могут оказаться полезными при перегруженности композиции текстовым и изобразительным материалом, когда несколько элементов объединяются в один сложный рисунок.

Симметричный баланс надписи может нарушаться большими просветами между словами, а также элементами букв, выходящими за линии шрифта. Во избежание этого расстояния между словами сокращаются до минимума, а начертания строчных и курсивных букв выбираются такие, чтобы выносные элементы распределились по всей надписи равномерно.

Инициал, начинающий текст, также нарушает симметрию надписи. И если небольшой инициал частично уравновешивается той смысловой нагрузкой, которую он несет (акцентировка начала текста), то крупная буквица настолько сильно смещает центр тяжести строк, что вся надпись может быть отнесена к разряду асимметричных.

Асимметричные надписи сами по себе не имеют той завершенности формы, коей обладают симметричные тексты, а свою композиционную завершенность получают благодаря связи с другими изобразительными элементами. Наиболее четким принципом построения обладают асимметричные надписи с флаговой и ступенчатой композициями строк. Подобной компоновке особенно хорошо поддаются строки, мало отличающиеся по количеству знаков и по ритму.

Шрифтовые композиции нередко используются вместе с графическими элементами, например с орнаментами. Для того чтобы все эти элементы объединить в одно целое, необходимо разбираться в общих закономерностях построения изобразительно-шрифтовых композиций. Об этом мы и поговорим в следующих статьях.

КомпьюАрт 6’2004

compuart.ru

Пропедевтический курс «Наглядная геометрия»

Поурочное планирование 5 класс «Наглядная геометрия» И.Ф. Шарыгин

уро

ка

Дата

проведения

Тема урока

Тип урока

Технологии

Рассматриваемые понятия

Виды деятельности (элементы содержания, контроль)

Планируемые результаты

план

факт

Предметные

УУД

Личностные

1. Введение (2ч)

1

Пространство и размерность. Простейшие геометрические фигуры: прямая, луч, отрезок, многоугольник

Урок освоения новых знаний

Здоровьесбережения, проблемного обучения, развивающего обучения, развития исследовательских навыков

Первые шаги в геометрии. Зарождение и развитие геометрической науки. Простейшие геометрические фигуры. Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч

Презентация.Фронтальная работа с классом, работа с учебником

Работа с математическими инструментами. Научиться читать, распознавать и обозначать на чертежах простейшие геометрические фигуры

Коммуникативные: построение речевых высказываний, постановка вопросов.

Регулятивные: контроль в форме сличения способа действия и его результата с эталоном.

Познавательные: логические – анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков

Развитие интереса к предмету, желание изучать предмет

2

Углы, их построение и измерение. Треугольник, квадрат

Урок закрепления знаний

Здоровьесбережения, поэтапного формирования умственных действий, развития исследовательских навыков

Смежные и вертикальные углы, биссектриса угла. Свойства треугольников и квадратов.

Фронтальная.

Практическое выполнение заданий

Научиться строить и обозначать различные виды углов. Развитие навыков работы с чертежными инструментами

Коммуникативные: учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

Регулятивные: контроль в форме сличения способа действия и его результатов.

Познавательные: логические – анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков.

Формирование навыков составления алгоритма выполнения задачи

Фигуры на плоскости (6ч)

3

Задачи со спичками

Урок овладения новыми знаниями, умениями, навыками

Здоровьесбережения, компьютерного урока, развивающего обучения

Занимательные задачи на

составление геометрических фигур

из спичек. Трансформация фигур

при перекладывании спичек

Слайды по теме урока

Уметь видеть фигуры на плоскости и в пространстве

Коммуникативные: учитывать разные мнения, стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

Регулятивные: контроль в виде сличения с эталоном; планирование в виде построения последовательности промежуточных целей.

Познавательные: Анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков, установление причинно – следственных связей.

Формирование познавательного интереса к изучению нового

4

Задачи на разрезание и складывание:

«рамки и вкладыши Монтессори»; «край в край» и другие

Урок-практикум

Здоровьесбережения, развития исследовательских навыков

Какие типы многоугольников нас окружают? Какие из них чаще встречаются?

Фронтальная работа с классом, проектирование домашнего задания

Расширить представления учащихся о геометрических фигурах в окружающем нас мире, научиться классифицировать многоугольники

Коммуникативные: формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации по теме «Треугольник»

Регулятивные: выстраивать последовательности необходимых операций (алгоритм действий).

Познавательные: выделять общее и частное, целое и часть, общее и различное в изучаемых объектах; классифицировать объекты

Формирование мотивации к аналитической деятельности

5

Танграм Пентамино

Урок изучения нового

Здоровьесбережения, личностно-ориентированного обучения

Равновеликость фигур. Конструкции из треугольников, прямоугольников и квадратов.

Фронтальная работа с классом, работа у доски. Творческая работа «Изготовление игры «Пентамино»

Развивать пространственные представления учащихся. Придумать свои фигурки из

пентамино.

Коммуникативные: воспринимать текст с учетом поставленной учебной задачи, находить в тексте информацию, необходимую для решения.

Регулятивные: определять последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата.

Познавательные: выполнять учебные задачи, не имеющие однозначного решения

Формирование навыков анализа, творческой инициативности и активности

6

Конструирование из «Т»

Урок — практикум

Здоровьесбережения, развития исследовательских навыков, развивающего обучения

Конструирование

на плоскости и в

пространстве из частей буквы Т.

Творческая работа «Составление композиции из Т»

Научиться конструированию

Коммуникативные: планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

Регулятивные: коррекция в виде внесения необходимых дополнений в план в случае расхождения результата от эталона. Познавательные: логические – анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков, синтез, как составление целого из частей.

Формирование устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового

7

Геометрия клетчатой бумаги – игры; головоломки

Урок изучения нового

Здоровьесбережения, личностно-ориентированного обучения, групповой деятельности

Конструирование на клетчатой бумаге. Геометрические головоломки

Презентация. Фронтальная работа с классом. Творческая работа «Головоломки».

Научиться видеть в различных конструкциях уже известные фигуры, использовать свойства фигур

Коммуникативные: формировать навыки учебного сотрудничества в ходе индивидуальной и групповой работы.

Регулятивные: контроль и оценка объединения в группы.

Познавательные: логические – анализ элементов, объединение в группы, выделение общих свойств.

Формирование познавательного интереса к изучению нового

8

Паркеты и бордюры

Комбинированный урок

Здоровьесбережения, развития исследовательских навыков

Окружность, радиус, диаметр, треугольник, вписанный в окружность, многоугольник

Фронтальный опрос, работа у доски

Научиться видеть геометрию в окружающем нас мире

Коммуникативные: способствовать формированию научного мировоззрения учащихся.

Регулятивные: оценивать весомость приводимых доказательств и рассуждений.

Познавательные: формировать умение выделять закономерность

Формирование интереса к познавательной деятельности

Топологические опыты (2ч)

9

Фигуры росчерком пера

Урок изучения нового

Здоровьесбережения, проблемного обучения, развития исследовательских навыков

Вычерчивание

геометрических

фигур одним

росчерком

Фронтальная работа с классом, работа в группах

Научиться видеть в различных конструкциях уже известные фигуры

Коммуникативные: определять цели и функции участников, способы взаимодействия; планировать общие способы работы.

Регулятивные: контроль и оценка объединения в группы.

Познавательные: логические – анализ элементов, объединение в группы, выделение общих свойств.

Формирование мотивации к коллективной исследовательской деятельности

10

Листы Мебиуса

Урок ознакомления с новым материалом

Здоровьесбережения, поэтапного формирования умственных действий

Лист Мебиуса. Опыты с листом

Мебиуса

Практическая работа «Лист Мёбиуса»

Научиться проводить опыты

Коммуникативные: управлять своим поведением.

Регулятивные: контроль и оценка объединения в группы.

Познавательные: логические – анализ элементов, объединение в группы, выделение общих свойств.

Формирование навыков самоанализа и самоконтроля

Фигуры в пространстве (4ч)

11

Многогранники, их элементы. Куб, его свойства

Урок ознакомления с новым материалом

Здоровьесбережения, личностно-ориентированного обучения

Многогранники.

Куб: вершины, ребра,

грани, диагональ

Фронтальная. Практическое выполнение заданий. Творческая работа «Изготовление куба»

Научиться изготовлять из плотной

бумаги правильные

многогранники

Коммуникативные: определять цели и функции участников.

Регулятивные: планирование работы, прогнозирование результата, коррекция выполненной работы.

Познавательные: логические – анализ объектов, выделение существенных признаков.

Развитие пространственного воображения

12

Фигурки из кубиков, его частей. Движение кубиков. Уникуб

Комбинированный урок

Здоровьесбережения, индивидуально-личностного обучения

Развертка куба. Неоднозначные фигуры

Фронтальная работа с классом, работа у доски

Научиться изображать

объемные фигуры на

плоскости. Развитие пространственного воображения

Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

Регулятивные: вносить необходимые дополнения и коррективы в план и способ действия.

Познавательные: использовать знаково-символические средства

Формирование устойчивого интереса к изучению нового

13

Игры и головоломки с кубом, параллелепипедом

Урок обобщения и систематизации знаний

Здоровьесбережения, самодиагностики и самокоррекции результатов

Занимательные задачи

Работа у доски, самостоятельная работа

Научиться решать головоломки с кубом, параллелепипедом

Коммуникативные: находить в тексте информацию, необходимую для решения задачи.

Регулятивные: формировать способность к волевому усилию.

Познавательные: создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач

Формирование мотивации к самосовершенствованию

14

Оригами

Урок изучения нового

Здоровьесбережения, поэтапного формирования умственных действий

Слайды по теме урока. Бумага для изготовления моделей. Изготовление различных фигурок из бумаги

Фронтальная робота с классом, работа с текстом учебника. Практическая работа «Мой журавлик»

Развитие пространственного воображения и творческого мышления

Коммуникативные: уметь точно и грамотно выражать свои мысли.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности, выстраивать алгоритм действий.

Познавательные: уметь устанавливать аналогии

Формирование творческой инициативности и активности

Измерения геометрических величин (3ч)

15

Измерение длин, вычисление площадей и объемов

Урок изучения нового

Здоровьесбережения, личностно-ориентированного обучения

Единицы

измерения длины.

Старинные единицы измерения. Эталон измерения длины

– метр.

Единицы

измерения приборов.

Сообщение с презентацией на тему «Старинные меры длины и история их появления». Фронтальная работа с классом, работа у доски и в тетрадях

Научиться применять полученные знания при измерении отрезков

Коммуникативные: формировать навыки учебного сотрудничества, формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации по данной теме.

Регулятивные: формировать способность к мобилизации сил и энергии, осознавать самого себя как движущую силу своего научения.

Познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения, произвольно и осознанно владеть общим приемом решения задач

Формирование навыка осознанного выбора способа решения

17

Развертки куба, параллелепипеда

Урок проверки, оценки и коррекции знаний

Здоровьесбережения, проблемного обучения, развивающего обучения

Единицы измерения. Площадь фигуры

Практическая работа «Измерение площади фигуры разными способами»

Научиться нахождению площадей необычных фигур

Коммуникативные: управлять своим поведением.

Регулятивные: осознавать учащимся уровень и качество усвоения результата.

Познавательные: ориентироваться на разнообразие способов решения задач

Формирование навыков самоанализа и самоконтроля

18

Объем куба и параллелепипеда

Итоговый урок

Здоровьесбережения, развитие исследовательских навыков

Нахождение объема прямоугольного параллелепипеда

Практическая работа «Вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда»

Научиться проводить диагностику учебных достижений

Коммуникативные: организовывать и планировать сотрудничество.

Регулятивные: определять новый уровень отношения к самому себе как субъекту деятельности.

Познавательные: произвольно и осознанно владеть общим приемом решения задач

Формирование целостного восприятия окружающего мира

multiurok.ru

Рисуем геометрический алфавит в Adobe Illustrator

В этом уроке мы будем рисовать крутой геометрический алфавит в Adobe Illustrator. В уроке показан стиль и способ создания основных букв, но все остальные буквы алфавита вам предстоит нарисовать самостоятельно. Это отличное упражнение на креативность и владение программой.

 

Результат

Шаг 1

Начнем алфавит с буквы A. Возьмите инструмент Polygon/Многоугольник и нарисуйте треугольник. Укажите фигуре заливку розового цвета и Blending Mode/Режим наложения Multuply/Умножение. Каждый объект, который мы будем создавать для этого урока должен быть в Blending Mode/Режиме наложения Multiply/Умножение. Копируйте треугольник и вставьте копии дважды. Scale/Масштабируйте каждую копию треугольника примерно на 50% и поместите треугольники как показано ниже.

Шаг 2

Буква V очень похожа на букву A. Только вместо того, чтобы выровнять треугольники по центру, сместите их немного вправо.

Шаг 3

Перейдем к букве E. Нарисуйте прямоугольник инструментом Rectangle/Прямоугольник. Затем нарисуйте два меньших и более тонких прямоугольника и выровняйте их по правому краю большого прямоугольника. Нарисуйте еще два небольших прямоугольника и разместите как показано ниже.

Шаг 4

Приступим к букве R. По тому же принципу вы сможете нарисовать буквы схожего строения, например P, B, D, и т. д.  Нарисуйте прямоугольник и выделите правые точки инструментом Direct Selection/Прямое выделение. Потяните манипуляторы функции Live Corners/Живые углы, чтобы скруглить их. Если у вас старая версия программы, воспользуйтесь любой функцией скругления углов. Нарисуйте тонкий высокий прямоугольник и выровняйте его по левому краю предыдущей фигуры.

Шаг 5

Нарисуйте еще один более тонкий прямоугольник и при помощи инструмента Rotate/Поворот разместите его диагонально. Выделите все три объекта и при помощи инструмента Shape Builder/Создание фигур выделите левую лишнюю часть диагонального прямоугольника. Затем нарисуйте в нижней части буквы прямоугольник, касающийся верхней стороной нижней стороны вертикального прямоугольника. Выделите инструментом Shape Builder/Создание фигур часть диагонального прямоугольника, пересекающуюся с нижним прямоугольником. Удалите все ненужные фигуры.

Шаг 6

Повторите действия из предыдущего шага, чтобы завершить букву R. Также дублируйте большую закгругленную фигуру, масштабируйте копию и разместите ее в центре оригинала.

Шаг 7

Буква Y такая же как буква V, только с прямоугольником в качестве оси. Нарисуйте вертикальный прямоугольник и два треугольника, повернутых вниз углом, как при создании буквы V.

Шаг 8

Теперь приступим к букве N. Нарисуйте прямоугольник и выделите правый верхний угол инструментом Direct Selection/Прямое выделение. Потяните манипулятор функции Live Corner/Живые углы внутрь до конца.

Шаг 9

Дублируйте созданную в предыдущем шаге фигуру и масштабируйте копию на 40% или около того. Поместите копию в нижнюю часть оригинала. Нарисуйте два вертикальных прямоугольника и разместите по обеим сторонам большей фигуры.

Шаг 10

Наконец возьмемся за букву Z. По тому же принципу вы сможете нарисовать схожие буквы, вроде I, L, K, и т. д. Нарисуйте прямоугольник и срежьте у него правый угол при помощи инструмента Shape Builder /Создание фигур, так же как мы обрезали букву R. Сделайте такой же прямоугольник с таким же срезанным углом и Rotate/Поверните его диагонально.

Шаг 11

Дублируйте две фигуры, созданный в предыдущем шаге и Reflect/Отразите их как показано ниже.

Результат

Создавайте оставшиеся буквы по тому же принципу. Попробуйте нарисовать в этом стиле русский алфавит!

Автор урока Mary Winkler

Перевод — Дежурка

Смотрите также:

www.dejurka.ru

6 класс задачи по геометрии – Задания по геометрии 6 класс

Задания по геометрии 6 класс

Тема: СИММЕТРИЯ

Задача 1

Посмотрите, какой занимательный рисунок может проиллюстрировать центральную симметрию. Придумайте рисунок, иллюстрирующий центральную симметрию и изобразите его на отдельном листе.

.

Задача 2

Придумайте и нарисуйте окружающие предметы, которые имеют оси симметрии.

Например:

Задача 3

Нарисуйте окружность и прямоугольник так, чтобы они имели общую ось симметрии

Задача 4

Запишите номера фигур , симметричных относительно

а) оси OY

б) оси OX

в) начала координат

Задача 5

Придумайте рисунок из жизни, иллюстрирующий осевую симметрию, и изобразите его на отдельном листе.

Перед нами занимательная иллюстрация осевой симметрии

Задача 6

Разгадайте ребуса)

б)

Тема: ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Задача 1

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед Запишите название его…

А) вершин

Б) ребер

В) граней

Задача 2

Определите объем прямоугольного параллелепипеда

Задача 3

Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения а=7 см, b=6 см, с=4 см.

Задача 4

Измерения прямоугольного параллелепипеда 3см, 2 см и 4,5 см. Вычислите его объем. Попробуйте определить , чему равна длина ребра куба, равновеликого данному прямоугольному параллелепипеду.

Задача 5

Разгадайте ребусы.

Тема: ФИГУРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Задача 1

Обозначьте данную на рисунке треугольную пирамиду и укажите…

А) вершины

Б) ребра

В) грани

Задача 2

Постройте две пирамиды, в основании которых лежат

А) четырехугольник

Б) пятиугольник

Выделите другим цветом основания пирамид. Перечислите названия боковых граней и ребер.

А) Название пирамиды………………….

Боковые ребра………………………….

Боковые грани………………………….

Б) Название пирамиды………………….

Боковые ребра………………………….

Боковые грани………………………….

Задача 3

Дорисуйте пирамиду, в основании которой лежит шестиугольник.

Задача 4

Форму пирамид имели гробницы фараонов в Древнем Египте. Они сохранились до наших дней. Одна из самых знаменитых- пирамида Хеопса, высота которой достигает 147 м. Дорисуйте пирамиду до:

А) четырехугольной

Б) треугольной

Задача 5

Ответьте на вопросы.

А) У пирамиды 12 вершин, сколько вершин в основании пирамиды?

Б) У пирамиды 15 граней, сколько у нее вершин?

В) У пирамиды 16 ребер, какая это пирамида?

Тема : Тела вращения

Задача 1

Названия некоторых геометрических тел идут из глубокой древности , причем произошли они от соответствующих предметов. Например, из Древней Греции пришли термины «конус» (conus- предмет, которым затыкали бочку), «пирамида» (pura- огонь, костер), «цилиндр»( cylindrus-валик)

Из изображенных геометрических тел укажите…

А) номера многогранников:_____________________________

Б) названия по номерам остальных тел:___________________

Задача 2

Электролампами А и В освещают заштрихованные площадки. Какая из заштрихованных областей освещается:

А) лампой А_______________________

Б) только лампой А_________________

В) лампами А и В___________________

Г) одновременно лампами А и В______

Задача 3

Разгадайте ребусы.

infourok.ru

Методическая разработка по геометрии (6 класс) по теме: тестовые задания по геометрии

Министерство науки и образования Р.Б.

МОУ    Баргузинская средняя общеобразовательная школа

Т е м а т и ч е с к и е

т е с т ы                                           п о     г е о м е т р и и

             

  К   учебнику  Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсона

«Математика. 6 класс. Часть 3»

  Разработчик  Ухинова С.Б., учитель математики.

Эксперт по предметной части                  Эксперт по теории тестов

                                                                                               

2008

Введение

В комплект включены тематические тесты по геометрии для текущего контроля знаний, умений и навыков учащихся 6-х классов по разделу «Геометрия», изучаемому в III – IV четвертях.

Продолжительность тестирования по всем тестам составляет 20 минут.

В ходе выполнения теста учащиеся фиксируют ответы в специальной таблице ответов. Отсутствие необходимости оформлять решение заданий приводит к существенной экономии времени учащихся.  Наличие таблицы ответов обеспечивает оперативность контроля и проверки.

Разработанные тесты рекомендуется использовать для диагностики усвоения основных понятий после изучения соответствующих тем.

Рубежный контроль  по разделу «Геометрия» осуществляется в виде письменной контрольной работы.

ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ РАЗДЕЛОВ.

        Раздел № 1. Геометрические фигуры на плоскости.

 Тест №1. Варианты 1 и 2.

Тема 1. Свойства геометрических фигур.

Тема 2. Замечательные точки в треугольнике.

Тема 3. Рисунки и определения геометрических понятий.  

КОНТРОЛИРУЕМЫЕ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ.

  1. Умение распознавать виды треугольников по сторонам и по углам.
  2. Умение различать медиану, высоту и серединные перпендикуляры в треугольнике.
  3. Умение распознавать замечательные точки в треугольнике.
  4. Знание определений геометрических понятий и фигур.
  5. Умение соотносить геометрические понятия и их графическое изображение.

 Раздел № 2. Геометрические фигуры в пространстве.

 Тест №2. Варианты 1 и 2.

 Тема «Пространственные фигуры и их изображение».

 Тест №3. Варианты 1 и 2.

 Тема «Многогранники».

 Тест №4. Варианты 1 и 2.

 Тема «Тела вращения».  

КОНТРОЛИРУЕМЫЕ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ

Тест №2.

  1. Умение различать пространственные и плоские фигуры.
  2. Знание элементов пространственных фигур.
  3. Умение различать понятия проекции, развертки и секущей.
  4. Умение различать полные и усеченные пространственные фигуры.

Тесты  №3 и №4.

  1. Различать многогранники и тела вращения.
  2. Знание элементов многогранников и тел вращения.
  3. Умение определять видимые и невидимые элементы многогранников и тел вращения.
  4. Умение строить развертки многогранников.
  5. Умение узнавать в предметах окружающего мира многогранники и тела вращения.
  6. Знать определение основных понятий тел вращения.

Раздел №3. Геометрические величины и их измерения.        

         Тест №5. Варианты 1 и 2.

Тема 1. Измерение величин.

Тема 2. Измерение углов.

КОНТРОЛИРУЕМЫЕ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ

  1. Умение выделять среди различных величин геометрические величины.
  2. Знание единиц измерения длины, площади и углов.
  3. Умение переводить одни единицы измерения в другие.
  4. Умение измерять длину отрезка в различных единицах измерения, включая условные.
  5. Умение вычислять площади сложных плоских фигур.
  6. Умение вычислять объемы куба и параллелепипеда.
  7. Умение различать углы по видам.
  8. Умение вычислять величину углов в плоских фигурах.

  Раздел №4. Симметрия фигур.        

         Тест №6. Варианты 1 и 2.

Тема 1. Преобразование плоскости.

Тема 2. Правильные многоугольники.

Тема 3. Правильные многогранники.

  КОНТРОЛИРУЕМЫЕ ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И НАВЫКИ

  1. Умение различать симметрии по видам.
  2. Знание свойств симметрии.
  3. Умение различать правильные многогранники от правильных многоугольников.
  4. Уметь вычислять периметры правильных многоугольников.
  5. Уметь вычислять величину угла правильных многоугольников.

6. Умение узнавать в предметах окружающего мира симметричные фигуры.

                                         

 Геометрические фигуры на плоскости

Т е с т 1.                 

 Вариант 1.

Ребята! Вам предлагается выполнить 8 заданий , состоящих из частей А, В, С. На его выполнение отводится 15 минут.

Инструкция к выполнению заданий А1-А3: к каждому заданию даны варианты ответов, из которых только один верный. Выберите правильный ответ и  запишите в таблицу ответов.

 А 1.  На рисунке изображенный треугольник является                              

                                                                                                 

                                                                                                 

1) равнобедренным           2) прямоугольным            3) равносторонним.

А 2. В изображенном треугольнике проведена

        

1)  высота                   2) медиана                   3) серединный перпендикуляр.

А 3. В точке О пересекаются

                            о

1) высоты                   2) медианы                   3) серединные  перпендикуляры.

Инструкция  к заданиям В1-В3: допишите  пропущенное слово и запишите  в таблицу ответов.

В 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется  ________  _______.

В 2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется  __________.

В 3. Часть круга, ограниченная двумя радиусами,  называется ___________.  

Инструкция к заданию С 1-С 2:  установите  соответствие между геометрическими понятиями и их изображениями. Одному элементу левого списка соответствует один элемент правого списка. В таблице ответов запишите  к номерам  геометрических понятий индексы изображений, например: 1г,2в.

С 1. Геометрические понятия                       графические изображения  

1) луч                                                                                 а)

2) прямая                                                                         б)    

3) прямоугольник                                                          в)

4) окружность                                                                 г)

                                                                                           д)

                                                                                       

Вариант 2.

Ребята! Вам предлагается выполнить 8 заданий , состоящих из частей А, В, С. На его выполнение отводится 15 минут.

Инструкция к выполнению заданий А1-А3: к каждому заданию даны варианты ответов, из которых только один верный. Выберите правильный ответ и  запишите в таблицу ответов.

А 1. На рисунке изображенный треугольник является                              

1) равнобедренным           2) прямоугольным            3) равносторонним.

А 2. В изображенном треугольнике проведена

1) высота                   2) медиана                    3) серединный  перпендикуляр.

А 3. В точке О пересекаются

                                                                             О

1) высоты                  2) медианы                   3) серединные  перпендикуляры.

Инструкция  к заданиям В1-В3: допишите  пропущенное слово и запишите  в таблицу ответов.

В 1. Хордой  называется отрезок, соединяющий две точки ____________.

В 2. Треугольник называется прямоугольным, если у него один из _______ прямой.

В 3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется _________.

Инструкция к заданию С 1:  установите  соответствие между геометрическими понятиями и их изображениями. Одному элементу левого списка соответствует один элемент правого списка. В таблице ответов запишите  к номерам  геометрических понятий индексы изображений, например: 1г,2в.

С 1.Геометрические понятия                                       графические изображения

1) угол                                                                                  а)

2) отрезок                                                                           б)

3) квадрат                                                                           в)

4) прямая                                                                             г)

                                                                                   д)

Эталоны ответов.

Вариант 1.

№ заданий

А 1

А 2

А 3

В 1

В 2

В 3

С 1

ответ

2

1

2

Средней линией

медианой

сектором

1б, 2г, 3а, 4в.

Вариант 2.

№заданий

А 1

А 2

 А 3

 В 1

В 2

В 3

С 1

ответ

1

2

2

окружности

углов

медианой

1г, 2б, 3а, 4в.

Геометрические фигуры в пространстве.

                       

Т е с т 2. Пространственные фигуры и их изображение..

Вариант 1.

Инструкция к выполнению заданий А1-А5: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запишите  в таблицу ответов.

А 1. Запишите индексы пространственных фигур в таблицу ответов 

 

                                                                               

1)                           2)                   3)               4)               5)    

               

А 2. В изображенной пирамиде выберите  количество ребер 

  1) 6             2) 7            3) 8

А 3. Дана фигура и ее проекция. Определите  вид проекции.

1) сверху             2) слева             3)   спереди.

А 4. Треугольник  MNK для куба является

1) проекцией              2) секущей                3)  разверткой.

А 5. Усеченная пирамида- это

       1)                   2)                3)              4)

Вариант 2.

Инструкция к выполнению заданий А1-А5: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запиши в таблицу ответов.

А 1. . Запишите индексы пространственных фигур в таблицу ответов

                                                                         

        1)                             2)                     3)                   4)                       5)  

А 2. В изображенной пирамиде выберите  количество граней 

  1) 5             2) 6            3) 8

А 3. Дана фигура и ее проекция. Определите вид проекции.

1) сверху             2) слева             3)   спереди.

А 4. Треугольник  MNK для куба является

1) проекцией              2) секущей                3)  разверткой.

А 5. Усеченный конус- это

       1)                   2)                3)              4)

Эталоны ответов.

Вариант 1.

№ заданий

А 1

А 2

А 3

А 4

А 5

ответы

1; 3; 5.

3

1

2

4

Вариант 2.

№ заданий

А 1

А 2

 А 3

А 4

А 5

ответы

1; 3; 5.

1

1

2

2

Тест 3.  Многогранники.

Вариант 1.

Инструкция к выполнению заданий А1-А5: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запиши в таблицу ответов.

А 1. Многогранниками являются 

                                   

     1)                       2)                3)               4)

А 2.Выберите количество граней параллелепипеда

                                                                                                                                          1) 8              2)  4                  3)   6

А 3. Выберите количество невидимых ребер из задания А2:

1) 6                    2)  3                    3)  9

А 4. Выберите  правильную развертку пирамиды 

                     

                                     

               1)                        2)                     3)

А 5. Выберите  многогранники в предметах вашего класса:

1) глобус       2) доска       3) аквариум         4) стол          5) шкаф

Вариант 2.

Инструкция к выполнению заданий А1-А5: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запиши в таблицу ответов.

А 1. Многогранниками являются 

    1)                            2)                              3)                    4)                         5)

А 2. Выберите количество ребер параллелепипеда                                                                                                                                                                  

1) 6                       2) 8                           3)12

А 3. Выберите количество невидимых граней из задания А2:

1) 6                    2)  3                    3)  9

А 4. Выберите  правильную развертку параллелепипеда 

                   1)                                                     2)                                                3)

А 5. Выберите  многогранники в предметах  ваших учебных принадлежностей:

1) пенал                2) книга              3) ранец              4) карандаш             5) циркуль

Эталоны ответов.

Вариант 1.

№ заданий

А 1

А 2

А 3

А 4

А 5

ответы

2; 4

3

2

2

3; 5

Вариант 2.

№ заданий

А 1

А 2

А 3

А 4

А 5

ответы

3; 5

3

2

1

1; 2

Т е с т 4. Тела вращения.

Вариант 1.

Инструкция к выполнению задания А 1: к  заданию даны варианты ответов, из которых только один верный. Выберите правильный ответ и  запишите в таблицу ответов.

А 1.Телом   вращения является

               

              1)                             2)                                3)

 

Инструкция к выполнению  заданий В1-В5: допишите  пропущенное слово и запишите  в таблицу ответов.

В1. Осевым сечением конуса является _________.

В2. Запиши элементы конуса:

         ?                                 ?

             1)                                                                2)

В3. Глобус, звезды, яблоко имеют форму ________.

В4. Большие полуокружности, котрые получаются при пересечении поверхности Земли плоскостями, проходящими через полюса, называются ______________.

В5. Запишите элементы шара:

        1) АВ-________               2) ОС-_________

Вариант 2.

Инструкция к выполнению задания А 1: к  заданию даны варианты ответов, из которых только один верный. Выберите правильный ответ и  запишите в таблицу ответов.

А1. Телом вращения является:

       1)                                                   2)                                    3)

Инструкция к выполнению  заданий В1-В5: допишите  пропущенное слово и запишите  в таблицу ответов.

В1. Осевым сечением цилиндра является _________.

В2. Запишите  элементы цилиндра:

                                ?

                                                                                   ?

                1)                                                         2)

В3. Арбуз, мяч, планеты имеют форму _________.

В4. Сечения поверхности  Земли параллельными плоскостями, называются________.

В5. Поверхность шара называется ________.

Эталоны ответов.

Вариант 1.

№ заданий

А1

В1

В2

В3

В4

В5

ответы

3

треугольник

1)  основание 2) боковая поверхность

шара

меридианами

1) диаметр 2)радиус

Вариант 2.

№ заданий

А1

В1

В2

В3

В4

В5

ответы

3

прямоугольник

1)основание

2)боковая поверхность

шара

параллелями

сферой

§3 Геометрические величины и их измерения.

        a

        b

        c

        

        

       
                                 

        a

Тест 5.

Вариант 1.

Инструкция к выполнению заданий А1-А6: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запишите в таблицу ответов.

А1. Выберите геометрические величины:

1) градус           2) длина            3)  масса                 4) площадь             5) работа

А2. Площадь квартиры измеряется в  :

1) м                       2) м2                    3)м3

А3. Высота дерева измеряется в :

1) м                          2)м2                   3) м3

А4. Найдите объем куба с высотой   5 см:

1) 12см                           2) 125см             3) 125см3

А5. Укажите формулу объема прямоугольного параллелепипеда:

1) S=4              2) C=2          3) V=                4) V= abc

А6. Величина угла С равна

                                    В

                             45          

   А         35                    С                                  1) 80°                    2) 90°                3) 100°

Инструкция к выполнению заданий В1-В5: выполните  необходимые вычисления и запишите  в таблицу ответов.

В1.Вычислите  длину отрезка АВ в единицах измерения е1..         е1        

А                                                                              В

1)  7                   2) 1                     3)  4                  4) 5

     

В2.Переведите  заданные величины в указанные:   

1)  2м4см=___см               2)  2м24см2=___см2                3)2м34см3=___см3

В3. Вычислите  площадь фигуры:                                                                                                                                                                      

                     1) 12см 2              2) 16см 2                3) 24см2                                                                                                     

В4. Подсчитайте  количество острых углов:

                                               1)  3                  2) 4                   3) 5

В5. Вычислите  величину угла АОС, если известно, что ОВ- биссектриса:

                            А

     О             22°      В                             1)44°                  2) 22°                    3) 88°

                                   С

Вариант 2.

Инструкция к выполнению заданий А1-А5: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запишите  в таблицу ответов.

А1. Выберите  геометрические величины:

1) площадь            2) скорость               3)  температура              4) объем.

А2.Площадь поля измеряется в :

1) см2                       2)га                               3) км3                               4)м

А3. Объем аквариума измеряется в :

1) м2                          2)  см3                         3) км3                                 4) мм

А4.Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с высотой 3м., длиной 4м., шириной 5м.

1)12м3                      2)60м3                        3) 60см3                         4) 60м2

А5. Укажите  формулу длины окружности:

1)                 2)                         4) C=2r

А6. Величина угла Д равна:

1)150°                     2)  30°                           3) 120°                             4)180°

Инструкция к выполнению заданий В1-В5: выполните  необходимые вычисления и запишите  в таблицу ответов.

В1. Вычислите  длину отрезка АВ в единицах измерения е1..         е1        

А                                                        В

     

1)  5                 2) 2                    3) 1                4)  4

В2. Переведите  заданные величины в указанные:

1) 3 м 5 см =___см               2) 3 м2 5 см2  = ___               3) 3 м3 5 см3 = ___см3

В3.  Вычислите  площадь заштрихованной фигуры, если сторона квадрата 3 см.

1) 4 см2                2) 9 см2              3) 8 см2

В4. Подсчитайте  количество тупых углов

1) 1              2) 2                   3) 3                       4) 4

В5.  Вычислите величину угла ВОС, если известно, что угол АОВ = 110°

                                              В

                                          110°

                  А                  О               С

1) 70°                 2) 80°                 3)180°                 4) 60°

Эталоны ответов.

Вариант 1.

№ заданий

А1

А2

А3

А4

А5

А6

В1

В2

В3

В4

В5

ответы

1,2,4.

2

1

3

4

3

7

1) 204

2)20004

3) 2000004

2

1

1

Вариант 2.

№ заданий

А1

А2

А3

А4

А5

А6

В1

В2

В3

В4

В5

ответы

1, 4

2

2

2

4

1

1

1) 305

2) 30005

3)3000005

3

3

1

             

§4. Симметрия фигур

                

                                                                                                         

        

        

Тест 6.

                                                      Вариант 1.

  Инструкция к выполнению заданий А1-А7: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запишите в таблицу ответов.

А1.Количество граней, которые сходятся в вершине тетраэдра, равно

1) 3                                2) 4                          3) 5                         4) 6

А2. Правильные многогранники – это

1) икосаэдр           2) гексаэдр             3) пирамида            4) тетраэдр

А3. Составить паркет из одинаковых ромбов

1) можно                    2) невозможно                    3) не могу ответить

А4. Величина угла правильного пятнадцатиугольника равна

1) 150°                   2) 156°               3) 210°             4) 24°

А5. Периметр правильного шестиугольника со стороной 4,5 см равен

1) 20,25 см2                2) 27 см                 3) 22,5 см2                  4) 18 см

А6. Ось симметрии имеют буквы

1) А                      2) Б                   3) Г                  4) О              5) Т

А7. Центральную симметрию имеют

1) отрезок                        2) прямая                  3) луч              4) квадрат

        Инструкция  к заданию  А8: установите соответствие между рисунками первого столбца и понятиями второго столбца. Ответ запишите в виде связанных индексов элементов. Например, 1а, 2с и тд.

А8.         рисунки:                                                                   виды симметрии:

1)                                                             а)   поворот

  2)                                                                                    б)   параллельный перенос

3)                                                                                     в)  осевая симметрия

4)                                                                                       г)    центральная симметрия

Вариант 2.

  Инструкция к выполнению заданий А1-А7: к каждому заданию дано от 3 до 5 вариантов ответов, из которых верными могут быть 1 и более ответов. Индексы верных ответов запишите в таблицу ответов.

 

А1. Количество ребер, которые сходятся в вершине тетраэдра, равно

1) 3                       2)4                  3)5                      4)6

А2.  Правильные многогранники – это

1) тетраэдр             2) октаэдр               3) додекаэдр                4) параллелепипед

А3. Составить паркет из одинаковых треугольников

1) можно                       2) невозможно                        3) не могу ответить

А4. Величина угла правильного двенадцатиугольника:

1) 120°                             2) 210°                          3) 150°                      4) 135°

А5.Периметр правильного пятиугольника со стороной 1,8 см равен:

1) 9см                            2) 3,24см2                      3) 10,8см                   4) 90см

А6.Осевую симметрию имеют:

1) отрезок                     2) прямая                      3) луч                         4) квадрат

А7. Центр симметрии имеют буквы:

1) А                    2) О                  3) М                    4) Х                      5) К

        Инструкция  к заданию  А8: установите соответствие между рисунками первого столбца и понятиями второго столбца. Ответ запишите в виде связанных индексов элементов. Например, 1а, 2с и тд.

А8.       Действия :                                                             Виды симметрии:

1) совмещение двух половинок                           а) поворотная

одной фигуры

2) поворот на 180°                                                   б) параллельный перенос

3) поворот на 20°                                                     в) осевая

4) сдвиг на расстояние                                           г) центральная

Эталоны ответов.

Вариант1.

№ заданий

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

ответы

1

3,4

1

2

2

1,4,5

1,2,4

1в, 2а, 3г, 4б

Вариант2

№ заданий

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

ответы

1

1,2,3

1

3

1

1,2,4

2,4

1в, 2г, 3а, 4б

 

nsportal.ru

Презентация урока по наглядной геометрии 6 класс «Геометрические задачи со спичками»

.

1

Есть 13 спичек по 5 см длиной каждая. Нужно ухитриться выложить из них метр.

2

Переложите 3 спички, чтобы стрела поменяла своё направление на противоположное.

3

  Из четырех спичек легко сложить один квадрат. Добавим еще две — сломанные пополам.

Сколько квадратов ты сможешь из них сложить? Как — всего два?!

А у нас вышло три.. .

4

Из 9 спичек необходимо собрать 6 квадратов .

5

    Из 10 спичек составьте три квадрата двумя способами.

                                                                                    

6

Двенадцать спичек лежат так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов?      Выполните следующее задание:

а) уберите 2 спички так, чтобы образовалось 2 неравных квадрата;

                                                                                    

Двенадцать спичек лежат так, как показано на рисунке.      Выполните следующее задание: б) переложите 3 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата;

6

6

Двенадцать спичек лежат так, как показано на рисунке.      Выполните следующее задание: в) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 3 одинаковых квадрата;

6

Двенадцать спичек лежат так, как показано на рисунке.      Выполните следующее задание: г) переложите 2 спички так, чтобы образовалось 7 квадратов;

                                                                                    

6

Двенадцать спичек лежат так, как показано на рисунке. Выполните следующее задание: д) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 10 квадратов.

7

  Переложите четыре спички из шестнадцати, чтобы получилось три квадрата.

 

8

  Фасад дома выложен из 11 спичек.

  Задания: 1) переложите 2 спички, получив

при этом 11 квадратов. 2) переложите 4 спички, чтобы

получить фигуру с 15 квадратами.

9

    И «бокал» (см. левый рисунок), и «рюмка» (см. правый рисунок) составлены из четырех спичек. Внутри каждого «сосуда» — вишенка. Как нужно переместить «бокал» и «рюмку», переложив по две спички в каждом из них, чтобы вишенки оказались снаружи?

10

Переложив четыре спички, превратить топор в три равных треугольника.

11

В лампе, составленной из двенадцати спичек, переложить три спички так, чтобы получилось пять равных треугольников.

                                                                                    

                                                                                      

12

На рисунке вы видите корову, у которой есть все, что полагается: голова, туловище, ноги, рога и хвост. Корова на рисунке смотрит влево.   Переложите ровно две спички так, чтобы она смотрела вправо .

Вот теперь корова смотрит вправо:

13

Спичечный рак ползет вверх. Переложить три спички так, чтобы он ополз вниз.

14

8 квадратов лежат так как показано на рисунке. Задания: 1) переложите 2 спички так, чтобы получилось 7 одинаковых квадратов. 2) из полученной фигуры отнимите 2 спички так, чтобы осталось 5 квадратов.

  Из 24 спичек выложите квадрат и

разделите его на девять маленьких

ячеек так, как показано на рисунке.

Задания: 1. Уберите 4 спички так, чтобы осталось

4 маленьких и 1 большой квадраты. 2. От исходного квадрата убрать поочередно 4, 6, 8 спичек так, чтобы всегда оставалось по 5 равных квадратов. 3. Снова исходный квадрат. Забрать двумя способами по 8 спичек так, чтобы в обоих случаях осталось по 4 одинаковых квадрата. 4. Убрать из нашего 24-спичечного квадрата 6 спичек так, чтобы осталось 2 квадрата и 2 неправильных, но одинаковых шестиугольника.

До новых встреч с занимательными задачами

multiurok.ru

Методическая разработка по геометрии (5, 6 класс) на тему: Задания для самостоятельной работы учащихся по самостоятельному изучению геометрического материала в 5-6 классах.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Обобщение опыта по теме «Изучение геометрического материала в школе VIII вида»

В работе описываются методы и приемы применяемые учителем в ходе работы над данной темой. В опыте используются упражнения для учащихся 5-9 классов коррекционной школы….

Задания для самостоятельной работы учащихся по теме «Простейшие»

Работа включает 5 заданий разного уровня сложности для проверки знаний учащихся по теме «Простейшие»…

Задания для самостоятельной работы учащихся по теме «Кишечнополостные. Многообразие кишечнополостных»

Работа включает 6 заданий разного уровня сложности для проверки знаний учащихся по теме «Кишечнополостные. Многообразие кишечнополостных»…

демонстрационный материал для практических и самостоятельных работ учащихся по темам «Введение», «План и карта» (география, 6 класс)

Часто учащиеся спрашивают учителя:  за что поставлена та или иная оценка? Данная методическая разработка  содержит некоторые практические и самостоятельные работы учащихся 6 класса с коммент…

Задания для самостоятельной работы учащихся по теме «Биология – наука о животных» 7 класс

Задания  для самостоятельной работы учащихся по теме «Биология – наука о животных» 7 класс. По программе Пономаревой, концентрический курс «Алгоритм успеха»….

Задание для самостоятельной работы учащихся по ОВС «Мотострелковое отделение в обороне»

Задание для самостоятельной работы учащихся по ОВС «Мотострелковое отделение в обороне»…

Задание для самостоятельной работы учащихся по ОВС «Мотострелковое отделение в наступлении»

Задание для самостоятельной работы учащихся по ОВС «Мотострелковое отделение в наступлении»…

nsportal.ru

Учебник Наглядная геометрия 6 класс Ходот

Учебник Наглядная геометрия 6 класс Ходот — 2014-2015-2016-2017 год:

Читать онлайн (cкачать в формате PDF) — Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?> Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа — СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа — СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения — просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

Текст из книги:

Т. г. Ходот А. Ю. Ходот В. Л. Велиховская Т. г. Ходот А. Ю. Ходот Наглядная геометрия Учебник ДЛЯ учащихся 6 классов общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение» 2007 УДК 373.167.1:51 ББК 22.151я72 Х69 Ходот Т. Г. Х69 Математика : наглядная геометрия : учеб, для учащихся 6 кл. общеобразоват. учреждений / Т. Г. Ходот, А. Ю. Ходот. — М. : Просвещение, 2007. — 143 с. : ил. — ISBN 978-5-09-015973-9. Предлагаемый учебник содержит вторую часть курса «Наглядная геометрия», главная цель которого, кроме развития пространственных представлений и логического мышления, подготовить учащихся 6 классов к успешному усвоению систематического курса геометрии средней школы: создать целостные представления об этом курсе, на конструктивном уровне познакомить со всеми геометрическими фигурами, встречающимися в школьном курсе, способствовать развитию навыков изображения фигур, формированию правильной математической речи. УДК 373.167.1:51 ББК 22.151я72 ISBN 978-5-09-015973-9 Издательство «Просвещение», 2007 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищены Дорогой шестиклассник! Мы продолжаем заниматься геометрией. В прошлом году мы занимались геометрическими фигурами: мы использовали их для изображения формы предмета, научились конструировать их модели, рисовать и некоторые из них строить с помощью чертёжных инструментов. Кроме того, мы занимались измерением фигур: ты знаешь, как определить длину линии, площадь плоской фигуры, объём тела, меру угла. В этом году мы будем рассматривать комбинации известных тебе фигур, обсуждать различные варианты взаимного расположения этих фигур и их частей. Мы сможем теперь обсуждать более серьёзные вопросы, в том числе и связанные с творческим конструированием. Ты познакомишься с симметричными фигурами и поймёшь, чем они интересны и как можно их использовать для создания новых, приятных для глаза форм и конструкций. И конечно, мы предложим тебе новые интересные задачи, которые помогут развить сообразительность, гибкость ума, внимание, память. Полистай учебники пятого и шестого классов и найди в них иллюстрации ко всему тому, о чём мы сейчас говорили. Интересно посоревноваться с друзьями: кто больше найдёт таких иллюстраций и придумает соответствующих примеров. А начнём мы с повторения. Мы повторим материал, в основном, решая задачи. При этом ты будешь узнавать об известных фигурах что-нибудь новое. Повторяя какую-нибудь тему, сначала постарайся решить задачи, а затем обязательно найди соответствующий материал в учебнике пятого класса. Здесь появятся новые важные задачи. Весь новый материал в главе 1 мы отмечаем знаком * ~ >. Мы советуем тебе внимательно относиться к повторению, так как в дальнейшем при изучении нового материала все изложенные здесь факты будут использованы. Глава 1__________________ Повторение. Знакомые и новые понятия ^ 4 4 Какие геометрические фигуры бывают 1.1. Самые общие воспоминания. 1.1. Разбей на две группы фигуры, изображённые на pHcjTHKe 1. Объясни своё решение. Назови каждую из этих фигур. 1.2. Нарисуй какую-нибудь конструкцию из плоских фигур. Является ли твоя конструкция плоской фигурой? 1.3. Нарисуй какую-нибудь конструкцию из пространственных фигур. Является ли твоя конструкция пространственной фигурой? 1.4. Нарисуй геометрические фигуры, описывающие форму предметов, изображённых на рисунке 2. 1.5. Нарисуй какие-нибудь предметы, форма которых изображена фигурами рисунка 3. 1.0. Верно ли, что если одна окружность проходит через центр другой окружности такого же радиуса, то они пересекаются? Подсказка. Рассмотри случай, когда окружности не лежат в одной плоскости. Рис. 1 Рис. 2 Глава 1 Повторение Знакомые и новые понятия Рис. 4 1.7. Какую из следующих фраз иллюстрирует рисунок 4? а) Круг лежит между прямоугольником и треугольником. б) Круг отличается от треугольника тем, что не имеет углов. в) Три замкнутые линии, одна из которых — пятизвенная ломаная, имеют только одну общую точку. 1.8. Определи закономерность (рис. 5) и вьгаи-ши номера рисунков в порядке, соответствующем этой закономерности. tSJ 1.2. Новые задачи. Мы начали изучение геометрии с игры: со спичками, с танграмом, с кубиками. Но есть игры, участвуя в которых можно потренироваться в способах размышления и поисках ответа. Можно сказать, что эти игры почти математические задачи. Одна из таких игр — игра «Да и нет». В ней надо отгадать задуманный объект, задавая вопросы, на которые ведущий может отвечать только «да» или «нет». Приведём пример такой игры. Предположим, ведущий загадал призму. Игроки спрашивают: «Это геометрическая фигура?» — «Да». «Это плоская фигура?» — «Нет». «Имеет основание?» — «Да». «Можно ли её увидеть как круг?» — «Нет». «Имеет рёбра?» — «Да». Один игрок «отгадывает»: «Это пирамида!» На основании информации, полученной из ответов ведущего, нельзя однозначно утверждать, что загадана пирамида. Игрок не учёл того, что среди фигур, обладающих всеми этими свойствами, могут быть и призмы. Для уточнения можно задать вопрос: «У этой фигуры больше одного основания?» Подумай, нельзя ли задать более точный вопрос, ответ на который даёт возможность точно определить загаданную фигуру. 1 Рис. 5 § 1. Какие геометрические фигуры бывают в задачах мы будем предлагать готовый набор признаков геометрического объекта. Нужно будет по этим признакам определить объект. Приведём пример такой задачи. 1.9. Про фигуру известно, что она: 1) плоская; 2) имеет один конец; 3) может быть сконструирована из отрезков. Нарисуй эту фигуру. Есть ещё одна игра, которая называется «Ассоциации». Слово ассоциация (от лат. associare — соединять) имеет корень socius — товарищ. Ты знаком с распределительным законом сложения чисел: складывая числа, можно объединять их в группы, например: а+ Ь + с = а + {Ь + с). Математики говорят, что сложение обладает свойством ассоциативности. В другом значении — это связь между какими-то предметами или явлениями, возникающая при восприятии человеком одного из них. Например, шелест листвы может ассоциироваться с шёпотом. В игре «Ассоциации» ведущий должен назвать человека, загаданного остальными игроками. Ведущий может задавать вопросы: «С каким деревом этот человек ассоциируется?», или «Какое животное он напоминает?», или «С каким атмосферным явлением он связывается?» и так далее. На основании ответов ведущий строит гипотезу (делает предположение) о росте человека, цвете его волос и глаз, любимых занятиях и даже о характере. Понятно, что можно загадывать не только известного человека, но и предметы, явления, абстрактные понятия, в том числе и геометрические. Поиграй с друзьями в эти игры: они интересны, полезны и очень увлекательны. Мы предложим задачи, основанные на принципах этой игры: те, в которых требуется указать какие-нибудь (чаще всего конкретные) геометрические ассоциации, возникающие при рассматривании картинки или чтении слова. Вот две такие задачи. 1.10. Какие из следующих слов или словосочетаний ты можешь связать с картинкой (рис. 6): а) объединение; б) пересечение; в) штриховая линия; г) многогранный угол; д) общая вершина; е) сфера; ж) пятиугольники? В каждом случае объясни причину установленной тобой связи. 1.11. Выбери картинки (рис. 7), которые ты связываешь со всеми следующими словами и словосочетаниями: 1) круг; 2) взаимное расположение; 3) класс. 6 Глава 1 Повторение. Знакомые и новые понятия Отрезки. Конструкции из отрезков 2.1. Отрезки, лучи, прямые. ^ 2.1. На рисунке 8 изображены точки М, N, Р, Q. Определи, пересекаются ли: а) отрезки MN и PQ; РМ и NQ\ б) лучи MN и PQ; ^ в) прямые РМ и NQ. Если возможно, укажи точку пересечения. Q 2.2. Определи закономерность (рис. 9) и вы- пиши номера рисунков в порядке, соответствующем этой закономерности. р* 2.2. Ломаные и многоугольники. Рис. 8 2.3. Какая картинка лишняя (рис. 10)? 2.4. Какие ломаные плоские, какие — пространственные (рис. 11)? 2.5. Звенья замкнутой ломаной ABCD совпадают с рёбрами тетраэдра ABCD. Сделай рисунок. Является ли ABCD четырёхугольником? 2.6*. Нарисуй какой-нибудь многогранник, имеющий 6 граней. Какую форму имеют его грани? §2. Отрезки. Конструкции из отрезков Рис. 12 2.7. Объедини фигуры (рис. 12) в группы. Объясни своё решение. Возможно ли другое объединение фигур? 2.8. Имеются рейки длиной 29 см, 15 см, 6 см, 15 см, 10 см. Из каких реек молено сделать модель треугольни

uchebnik-skachatj-besplatno.com

Материал (геометрия, 5 класс) по теме: Сборник задач для учащихся 5-6 классов на развитие мышления, логики и пространственного мышления.

Сборник  задач для учащихся 5-6 классов на развитие мышления, логики и пространственного мышления.

  § 1. Задачи на разрезание и складывание фигур

Задача 1. На рисунке 1, показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части. Найдите пять других способовсколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями, идущими по сторонам маленьких квадратиков?

Рис. 1

Задача 2. Эта задача посложнее, так как фигура на рисунке, которую также нужно разрезать на две равные части, не такая простая.

Рис. 2

Задача 3. Над разрезанием этих фигурок (рис. 3) на две равные части подумайте на досуге. Это очень хороший и полезный отдых, гораздо лучше сидения перед телевизором.

Замечание. Разрезать можно не только по сторонам, но и по диагоналям клеточек.

                                                Рис. 3

Задача 4. 

  М.Артемьев .Разрезалка.  Разрежьте фигуру с вырезанным квадратиком на две одинаковые части, из которых можно составить вторую фигуру. Части разрешается и поворачивать, и переворачивать.

             Рис. 5

Задача 5. Д.Калинин. Цветной куб. Найдите наибольшее число цветов, в которые можно покрасить ребра куба (каждое ребро одним цветом) так, чтобы для каждой пары цветов нашлись два соседних ребра, покрашенные в эти цвета. Соседними считаются ребра , имеющие общую вершину.

Задача 6.  Д Шноль, А. Хачатурян. Квадрат. Квадрат разрезали на двенадцать прямоугольных треугольников. Могут ли десять из них оказаться равными друг другу, а два оставшихся- отличаться от них, и друг от друга?

Задача 7.  Д. Шноль. Жесть. Иван Иванович построил сруб, квадратный в основании, и собирается покрывать его крышей. Он выбирает между двумя крышами одинаковой высоты: двускатной и четырехскатной. На какую из этих крыш понадобиться больше жести?

Задача 8.  А.В. Шевкин.  Фигура изображена на клетчатой бумаге ( рис. 1).

Рис. 6

а) Покажите, как можно разрезать ее на 4 равные части, если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.

б)  Найдите все возможные фигуры, которые можно получить при таком разрезании.

в) Можно ли ту же фигуру разрезать на 5 равных частей по тем же правилам?

Задача 9. А.В. Шевкин.

а) Покажите, как можно разрезать прямоугольник 9 х 4 (рис. 7) на 2 равные части, если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.

б)  В каком из найденных случаев из полученных частей можно сложить квадрат?

   Рис. 7

Задача  10.  А.В. Шевкин.

Фигура изображена на клетчатой бумаге  (рис.8)

а) Покажите, как можно разрезать ее на 2 равные части. Если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.

б) Найдите все возможные способы разрезания.

Рис. 8

Задача 11. А.В. Шевкин.

а) Покажите, как можно разрезать на 2 равные части фигуру, изображенную на клетчатой бумаге рис. 9, если резать разрешается только по линиям клетчатой бумаги.

б) В каком из найденных случаев из двух полученных равных частей можно сложить квадрат?

Рис. 9

Задача 12. А.В. Фарков.

Квадрат разрезали по ломаной линии, состоящей из трех равных отрезков. Начало разреза в точке А . Получили две равные фигуры. Как это сделали?

Рис. 10

Задача 13. А.В. Фарков.

Как разрезать квадрат 5 х 5 прямыми линиям 

Задача 14. 

А теперь мы предлагаем вам не задачу, а игру. И она называется ПЕНТАМИНО.

Эта игра была придумана в 50-х годах ХХ в. американским математиком С. Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора ПЕНТАМИНО. Набор ПЕНТАМИНО содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе  с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Составьте из пяти квадратов все 12 фигур ПЕНТАМИНО. Сравните свои результаты с рисунком 4.

Изготовьте из картона набор ПЕНТАМИНО со стороной квадратика, равной 2 см.

Уложите все 12 фигур ПЕНТАМИНО в прямоугольник 6 х 10. Сколько разных вариантов вы можете предложить? Фигурки ПЕНТАМИНО можно переворачивать.[1]

 Перемешайте фигуры ПЕНТАМИНО на столе, чтобы они лежали произвольно, а затем сложите прямоугольник 6 х 10, не переварачивая ни одной фигурки.[2]

Постройте два прямоугольника 5 х 6.

                              Рис.4

Задача 15. Головоломка «Танграм»

Задача I. Можно ли составить  треугольник, используя только две фигуры танграма? Три? Пять? Шесть? Все семь фигур?

Задача II.   Сложите такой же треугольник , используя:

а) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм.

в) один большой треугольник, один треугольник средний и два маленьких.

Задача III.   Очевидно, что из всех семи фигур составляется квадрат. Можно ли составить квадрат из двух фигур? Из трех?

Задача IV.     Из каких различных фигур танграма можно составить прямоугольники? Какие еще многоугольники можно составить? [3]

Задача V. Соберите предложенные фигуры из элементов танграма  

(приложение  4).

§ 2 Занимательные и старинные задачи.

Задача 1. Основание Карфагена.

Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город.

Попробуйте вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, а ширину ремешков, на которые Дидона ее разрезала, принять равной 1 мм

Задача 2. Четыре куба.

Из одного и того же материала изготовлено четыре сплошных куба различной высоты (рис. 1), а именно в 6 см, 8 см, 10 см и 12 см. надо разместить их на весах так, что бы чашки были в равновесии.

 

Рис. 1

Какие кубы или какой куб положите вы на одну чашку и какие (или какой) на другую?

 

Задача 3. Кирпичик.

 

Строительный кирпич весит 4 кг.

Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в четыре раза меньше?

Задача 4. Путь мухи

 

На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля меда в 3 см от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха (рис. 2).

Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.

Высота банки 20 см; диаметр 10 см.

                                                                                                                Рис. 2

 Задача 5. Путь жука. 

У дороги лежит тесаный гранитный камень в 30 см длины, 20 см высоты и такой же толщины (рис. 3). В точке А — жук, намеревающийся кратчайшим путем направиться к углу В. Как пролегает этот кратчайший путь и какой он длины?

 

 

 

                                                                    Рис. 3

 

 Задача 6. Число граней

Вот вопрос, который, без сомнения, покажется многим слишком наивным или, напротив, чересчур хитроумным: сколько граней у шестигранного карандаша?

Задача 7.Сколько прямоугольников?

Сколько прямоугольников можете вы насчитать в этой фигуре (рис.4)?

Не спешите с ответом. Обратите внимание на то, что спрашивается не о числе квадратов, а о числе прямоугольников вообще — больших и малых, — какие

Рис.4

можно насчитать в этой фигуре.

 

Задача 8.  Путешествие шмеля

Шмель отправляется в дальнее путешествие. Из родного гнезда он летит прямо на юг, пересекает речку и наконец после целого часа пути спускается на косогор, покрытый душистым клевером. Здесь, перелетая с цветка на цветок, шмель остается полчаса.

Теперь надо посетить сад, где шмель вчера заметил цветущие кусты крыжовника. Сад лежит на запад от косогора, и шмель спешит прямо туда. Спустя 3/4 часа он был уже в саду. Крыжовник в полном цвету, и, чтобы посетить все кусты, понадобилось шмелю 1 1/2 часа.

А затем, не отвлекаясь в стороны, шмель кратчайшей дорогой полетел домой, в родное гнездо.

Сколько времени шмель пробыл в отсутствие родного гнезда?                                                                                                                                  

 Рис. 5

Задача 9. ЛЕНТА МЕБИУСА

Рис. 6

Но известно, что лист Мёбиуса — поверхность односторонняя. Пройдя вдоль всей его с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону (рис. 8)! Это значит, что флажок, не пересекая проективную плоскость, попал из «внешности» во «внутренность» дополнения к ней.[4] 

         Задача 1. Вырежьте из бумаги три одинаковые полоски в форме прямоугольника  со сторонами  200 мм  и  20 мм и

а) склейте кольцо, повернув один из концов полоски на 180 ;

б) склейте кольцо,  дважды повернув один из концов полоски на 180 ;

в)склейте кольцо , трижды повернув один из концов полоски на 180 .

        Маршрут движения мухи начинается и заканчивается на месте склейки кольца, причем она всегда ползет на ровном расстоянии от краев кольца.Для каждого из пунктов а — в определите расстояние, которое проползла муха.[5]

Задача 10. Индийского математика XII века Бхаскары.

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Задача 11.  Из китайской «Математики в девяти книгах»

    «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Задача 12. Из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

    «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

    И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти иметь.»

Задача № 13.  Парадокс с разрезанием ковра.

Один фокусник (имя его за давностью забылось) нашел способ, как разрезать квадратный ковер на 4 части, а затем сложить из этих частей прямоугольный ковер большей площади.

Способ этот такой: разобьем каждую сторону квадрата (квадратного ковра) на 8 равных частей, проведем прямые линии, как указано на рис. 7 и разрежем по ним квадрат на 4 части. Затем сложим эти части так, как показано на рис. 8, получим прямоугольный ковер. Площадь прямоугольного ковра больше площади квадратного ковра, т. к. 13 х 5 = 65, а 8 х 8 = 64. В чем же дело? Почему увеличилась площадь?

Вы сможете ответить на этот вопрос самостоятельно, если нарисуете большой квадрат (чем больше, тем лучше), разрежете его по «выкройке» рис.7 и сложите по «выкройке» рис. 8.

Задача 14. Пифагорова головоломка.

    Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ⊥ EF, NF ⊥ EF.[6]

§ 3.Задачи на   неравенство треугольника и геометрические преобразования

Задача 1: Грибник выходит из леса в заданной точке. Ему надо дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, и зайти обратно в лес в другой заданной точке. Как ему сделать это, пройдя по самому короткому пути?
       Задача 2. Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом   по самому короткому пути?

Задача 3. Точку A, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично относительно сторон угла. Полученные точки B и C соединили и точки пересечения отрезка BC со сторонами угла обозначили через D и E. Докажите, что BC/2 > DE.

 Задача 4. Точка C лежит внутри данного прямого угла, а точки A и B лежат на его сторонах. Докажите, что периметр треугольника ABC не меньше удвоенного расстояния OC, где O – вершина данного прямого угла.
        Задача 5. Муха сидит в вершину X деревянного куба. Как ей переползти в противоположную вершину куба Y, двигаясь по самому короткому пути?
       Задача 6. На середине ребра молочного пакета сидит паук, которому необходимо добраться до середины противоположного ребра. Как ему это сделать за наименьшее время?[7]

Список используемой литературы

1. Ресурсы интернет, ru.wikipedia.org

2. Гершинзон М.А. Головоломки профессора Головоломки. М. дет.лит., 1994, с-10.

3. Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада. илекса 2008, с 28-

4. Перельман Я.И. Живая математика, Пилигрим, 1999 г., с-76-150.

5. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. Дрофа, 2002 г.  

6. Фарков А.В. готовимся к олимпиаде оп математике. Экзамен, Москва, 2007.

7. А.Д.Блинков, А.В.Семенов, Т.А.Баранова, М.М.Горшкова, К.П.Кочетков, М.Г.Потапова Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои. Изд.»Первое сентября» 2003,с.69.


[1]  Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада. илекса 2008, с 28-35.

[2] Шарыгин И.Ф. Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5-6 классы, Дрофа, М., 2010 с. 22-25.

[3] Гершинзон М.А. Головоломки профессора Головоломки. М. дет.лит., 1994, с-10.

[4] Перельман Я.И. Живая математика, Пелегрим, 1999 г., с-76-150.

[5] А.Д.Блинков, А.В.Семенов, Т.А.Баранова, М.М.Горшкова, К.П.Кочетков, М.Г.Потапова Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои. Изд.»Первое сентября» 2003,с.69.

[6] Олехник С.Н., Нистеренко Ю.В. Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. Дрофа, 2002 г.  

[7] Фарков А.В. готовимся к олимпиаде по математике. Экзамен, Москва, 2007.

nsportal.ru

Сборник задач по геометрии для 6-8 классов. Пособие для учителей

Автор(ы):Великина П. Я.

11.06.2010

Год изд.:1971
Издание:2
Описание: При составлении и подготовке сборника ко второму изданию автор ставил перед собой цель не только тренировать учащихся в усвоении программного материала, но и развивать их сообразительность, находчивость, конструктивные способности и математическое мышление. Также стоит цель посредством задач познакомить учащихся с идеями движения, соответствия и функциональной зависимости и тем самым несколько приблизить школьный курс геометрии к современной геометрии. Каждая тема сборника содержит устные упражнения и задачи, решение которых экономит время урока и развивает внимание учащихся.
Оглавление: Предисловие [3]
Глава I. Прямая, луч, отрезок, угол [6]
  § 1. Прямая, луч, отрезок [6]
  § 2. Углы смежные, вертикальные и развернутые [9]
Глава II. Треугольники [12]
  § 1. Треугольник и его элементы [12]
  § 2. Признаки равенства треугольников [14]
  § 3. Зависимость между сторонами и углами треугольника [18]
  § 4. Примерные контрольные работы [19]
Глава III. Параллельность [20]
  § 1. Параллельные прямые [20]
  § 2. Примерные контрольные работы [22]
  § 3. Сумма углов треугольника и многоугольника [25]
  § 4. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами [26]
  § 5. Примерные контрольные работы [26]
Глава IV. Четырехугольники [27]
  § 1. Параллелограмм [27]
  § 2. Прямоугольник [30]
  § 3. Квадрат [31]
  § 4. Ромб [31]
  § 5. Средняя линия треугольника. Трапеция [32]
  § 6. Замечательные точки треугольника [34]
  § 7. Примерные контрольные работы [35]
Глава V. Площади многоугольников [36]
  § 1. Теорема Пифагора [36]
  § 2. Площадь многоугольника [38]
  § 3. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве [42]
  § 4. Поверхность и объем прямой призмы [42]
  § 5. Примерные контрольные работы [43]
Глава VI. Окружность и круг. Цилиндр [45]
  § 1. Основные понятия. Вписанные углы [45]
  § 2. Длина окружности. Площадь круга [50]
  § 3. Поверхность и объем цилиндра [51]
  § 4. Примерные контрольные работы [53]
Глава VII. Повторение [55]
Глава VIII. Упражнения для развития математической речи учащихся [60]
  § 1. Вписать пропущенные слова [60]
  § 2. Составление текстов задач по чертежу [61]
  § 3. Формулировка обратных теорем [65]
Глава IX. Пропорциональные отрезки. Подобие в [67]
  § 1. Пропорциональные отрезки [67]
  § 2. Подобие треугольников и многоугольников [67]
  § 3. Свойство биссектрисы угла треугольника [72]
  § 4. Примерные контрольные работы [73]
Глава X. Тригонометрические функции острого и тупого угла [76]
  § 1. Решение прямоугольного треугольника [76]
  § 2. Решение остроугольных и тупоугольных треугольников [80]
  § 3. Примерные контрольные работы [82]
Глава XI. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники [84]
  § 1. Вписанные и описанные многоугольники [84]
  § 2. Правильные многоугольники [85]
  § 3. Примерные контрольные работы в [88]
Глава XII. Вычисление объемов и поверхностей геометрических тел [90]
  § 1. Призма и пирамида [90]
  § 2. Конус и цилиндр [92]
  § 3. Шар [94]
  § 4. Примерные контрольные работы [96]
Глава XIII. Задачи на применение геометрических преобразований [98]
  § 1. Осевая симметрия [98]
  § 2. Центральная симметрия [100]
  § 3. Параллельный перенос [102]
  § 4. Вращение [103]
  § 5. Гомотетия и подобие [105]
Глава XIV. Задачи по курсу VI—VIII классов [106]
Глава XV. Примерные годовые контрольные работы [112]
  VI класс [112]
  VII класс [115]
  VIII класс [117]
Глава XVI. Задачи для внеклассной работы [119]
  VII класс [119]
  VIII класс [123]
Ответы, указания, решения [133]
Формат: djvu
Размер:8686308 байт
Язык:РУС
Рейтинг: 31
Открыть: Ссылка (RU) Ссылка (FR)

www.nehudlit.ru

Что такое вектор в геометрии 9 класс – Векторы — урок. Геометрия, 9 класс.

Векторы ( геометрия 9 класс)

Просмотр содержимого документа
«Векторы ( геометрия 9 класс)»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа №4»

Презентации к урокам математики

Заслуженный учитель РФ

Кулиашвили Елена Николаевна

Историческая справка

  • Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор ?

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами .

скалярные

векторные

Сила, скорость, ускорение

Время, путь,масса

ВЕКТОР или направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом

В

А

Конец вектора

Начало вектора

Вектор АВ

  • векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними или одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней
  • любая точка плоскости является нулевым вектором
  • длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ

Длина вектора

  • Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается |а| или |АВ|.
  • Длина нулевого вектора считается равной нулю.

A

B

|AB| = 6 |CD| = 5

|a| = 5 |NN| = 0

(каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

C

a

D

N

g

От любой точки можно отложить вектор равный данному , притом только один .

f = g

M

B

f

  • ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых
  • коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково и называются сонаправленными или противоположно направлены и называются противоположно направленными

Коллинеарные векторы

  • Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
  • Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

O

b

CD, KF, O, a, b – коллинеарные

O, a – коллинеарные

O, NP – коллинеарные

NP, m – не коллинеарные

N

D

a

K

P

F

C

m

a

f

f = a

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны .

h

n

n = h

Задача

  • Какие из векторов, изображенных на рисунке:
  • коллинеарны;
  • сонаправлены;
  • противоположно направлены;
  • имеют равные длины?

Отложите эти векторы от одной точки.

d

c

a

b

Задача

  • На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.

а) Укажите сонаправленные, противоположно направленные, равные вектора.

б) Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы?

L

M

K

N

Задачи

  • Даны вектор BC и точка D(1;-2). Отложите от точки D вектор, равный вектору BC.
  • Как должен быть расположен ненулевой вектор a относительно прямой k , чтобы нашлись лежащие на этой прямой векторы, равные a ? Сколько таких векторов найдется? Отметьте на чертеже три из них.
  • Векторы AB и DC равны. Докажите, что если точки A, B, C и D не лежат на одной прямой, то четырехугольник ABCD параллелограмм.
  • На рисунке изображен параллелограмм ABCD.Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы?
  • В ромбе ABCD l AC l = 12см, l BD l = 16см. От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC.

B

C

A

D

Для любых чисел k , l и любых векторов a , b справедливы равенства :

Для любых чисел k , l и любых векторов a , b справедливы равенства :

  • (kl )a = k (la ) ( сочетательный закон )
  • (k+l) a = ka + la ( первый распределительный закон )
  • K ( a+b ) = ka + kb (второй распределительный закон ) .
  • (kl )a = k (la ) ( сочетательный закон )
  • (k+l) a = ka + la ( первый распределительный закон )
  • K ( a+b ) = ka + kb (второй распределительный закон ) .

а

multiurok.ru

Векторы. Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания.

Вход на портал Вход на портал Регистрация Начало Поиск по сайту ТОПы Учебные заведения Предметы Проверочные работы Обновления Подписка Я+ Новости Переменка Отправить отзыв
  • Предметы
  • Геометрия
  • 9 класс
  1. Понятие вектора

  2. Сложение и вычитание векторов

  3. Умножение векторов на число

  4. Применение векторов к решению задач

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2019 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

www.yaklass.ru

Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания

  • Векторы

    1. Понятие вектора
    2. Сложение и вычитание векторов
    3. Умножение векторов на число
    4. Применение векторов к решению задач
  • Метод координат

    1. Координаты вектора
    2. Простейшие задачи в координатах
    3. Уравнение окружности. Уравнение прямой
  • Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

    1. Синус, косинус, тангенс угла
    2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
    3. Скалярное произведение векторов
  • Длина окружности и площадь круга

    1. Правильные многоугольники
    2. Длина окружности и площадь круга
  • Движение

    1. Понятие движения. Симметрия
    2. Параллельный перенос и поворот
  • Начальные сведения о стереометрии

    1. Многогранники
    2. Тела и поверхности вращения
  • www.yaklass.ru

    геометрия 9 класс тема»векторы» | Социальная сеть работников образования

    Слайд 1

    Выполнил ученик 9 «Б» класса МОАУ «Гимназия № 7» Бабин Сергей Учитель Негодяева Елена Владимировна Векторы

    Слайд 2

    Оглавление Понятие вектора Коллинеарные вектора Сонаправленные вектора Противоположно направленные вектора Равные вектора Противоположные вектора Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Сложение нескольких векторов Вычитание векторов Вычитание векторов II случай Произведение вектора на число

    Слайд 3

    Понятие вектора Многие физические величины характеризуются не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называют векторными величинами.

    Слайд 4

    Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором AB Конец вектора Начало вектора — вектор B A

    Слайд 5

    Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору Коллинеарные вектора Коллинеарные вектора – это вектора которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. c a b a||b, b||c, a||c

    Слайд 6

    Сонаправленные вектора Сонаправленные вектора – это вектора, которые коллинеарны и имеют одинаковые направления. c b a d a b, b d, a d

    Слайд 7

    Противоположно направленные вектора Противоположно направленные вектора – это вектора, которые коллинеарны и имеют разное направление. c b a d a c, b c, d c

    Слайд 8

    Равные вектора Равные вектора – это сонаправленные вектора, имеющие одинаковые длины. a b a=b : 1) a b 2) |a|=|b|

    Слайд 9

    Противоположные вектора Противоположные вектора – противоположно направленные вектора, имеющие одинаковые длины. a b a = — b : 1) a b 2) |a| = |b|

    Слайд 10

    Сложение векторов Правило треугольника Дано: a, b Построить: c = a + b Построение: a b b a a + b = c c Вектор суммы – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (при условии, если конец первого вектора совпадает с началом второго).

    Слайд 11

    Сложение векторов Правило параллелограмма a + b = c Дано: a, b Построить: c = a + b Построение: a b a b c b

    Слайд 12

    Сумма нескольких векторов a + b + c + d + e + f = k a b c d e f Построение: Дано: a, b , с , d, e, f k Построить: a + b + c + d + e + f = k a b c d e f

    Слайд 13

    Вычитание векторов a — b = c Построение: Дано: a, b Построить: c = a — b b a a b c Вектор разности – вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора, а конец – с концом первого (при условии, если начало первого вектора совпадает с началом второго).

    Слайд 14

    Вычитание векторов II случай Дано: a, b Построить: c = a — b a b Построение: a — b c a + (- b ) = c = > a — b = c

    Слайд 15

    Произведение вектора a на число k k· a = b если k> 0, то a ↑↑ b если k

    Слайд 16

    СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

    nsportal.ru

    Вектор в системе координат — урок. Геометрия, 9 класс.

    Вспомним, что при умножении вектора на число k≠0 мы получаем два коллинеарных (параллельных) вектора, которые или сонаправлены, если k>0, или противоположно направлены, если k<0. Длины векторов различаются \(k\) раз.

    Справедливо и обратное суждение.

    Если ненулевые векторы коллинеарны, то обязательно можно найти число k≠0 так, что b→=k⋅a→.

    Для неколлинеарных векторов справедливо суждение, что каждый вектор на плоскости можно представить в виде c→=k⋅a→+m⋅b→. Говорят, что вектор c→ разложен по векторам a→ и b→, а числа \(k\) и \(m\) называют коэффициентами разложения.

    Это справедливо для любого вектора на плоскости, причём коэффициенты определяются единственным образом.

    Выберем два не коллинеарных вектора на осях системы координат. Пусть длина каждого из них будет равна единичному отрезку в этой системе координат. Эти векторы называют координатными векторами и обозначают i→ и j→.

     

     

    Если от начала координат отложить вектор a→, то его можно разложить по векторам i→ и j→ следующим образом: a→=3⋅i→&plus;2⋅j→.

    В этом разложении коэффициенты координатных векторов называют координатами вектора a→.

    Это записывают как a→3;2.

     

    Любой вектор, который равен с вектором a→, можно переместить и отложить от начала координат. Следовательно, можем сделать вывод.

    Равные векторы имеют равные координаты.

    Но в то же время в координатной системе можно переместить векторы i→ и j→, таким образом определить координаты векторов независимо от их места расположения в координатной системе.

     

    Легко понять, что разница между абсциссами (координатами x) конечной и начальной точки вектора и есть абсцисса вектора, а разница между ординатами (координатами y) конечной и начальной точки вектора есть ордината вектора.

     

    Связь между координатами противоположных векторов следует из того, что, если умножить вектор на \(-1\), результатом будет противоположный вектор.

    У противоположных векторов противоположные координаты.

    Важно понять ещё несколько интересных связей между координатами векторов одинаковой длины.

     

    www.yaklass.ru

    Координаты вектора. Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания.

    1. Координаты вектора

    Сложность: лёгкое

    3
    2. Сложение и вычитание векторов с координатами

    Сложность: лёгкое

    2
    3. Определение координат вектора по координатам его начала и конца

    Сложность: лёгкое

    6
    4. Координаты вектора

    Сложность: среднее

    3
    5. Математические операции с координатами векторов

    Сложность: среднее

    2
    6. Сумма, разность и произведение вектора на число

    Сложность: среднее

    3
    7. Равенство разложений по координатными векторами

    Сложность: среднее

    6
    8. Действия с векторами в координатной форме

    Сложность: среднее

    2
    9. Одинаково и противоположно направленные векторы

    Сложность: среднее

    2
    10. Разложение вектора по данным векторам

    Сложность: среднее

    2
    11. Разложение векторов по данным координатным векторам

    Сложность: сложное

    4,5
    12. Определение координат вектора по данным координатным векторам

    Сложность: сложное

    5

    www.yaklass.ru

    Векторы — 9 класс

    Векторы — 9 класс:

    Векторы — это направленные отрезки прямой, у которых обозначено направление, т.е. имеется начало и конец.

    Векторы всегда изображены в виде отрезка со стрелочкой.

    На письме обозначаются так:  — 1-я буква — начало, вторая — конец.

    Векторы (или векторные величины) широко используются в геометрии и физике. С помощью векторов легко показать какие-либо изменения в пространстве, например, скорость, силу и др.

    По сути, любая точка на плоскости — это тоже вектор, который может быть направлен в другую сторону. Такой вектор называют нулевым и обозначают так: 

    Если вектор ненулевой, то он имеет определенную длину и эта длина записывается так: 

    Векторы могут лежать на одной прямой, в таком случае они называются коллинеарными.

    Нулевой вектор будет коллинеарным любому другому вектору.

    Если векторы коллинеарные и вдобавок направлены в одну сторону, то они сонаправленные (обозначаются так: ↑↑). Если же в разные стороны, то противоположно направленные (обозначаются так: ↑↓).

    Равные векторы всегда сонаправлены и равны по длине (часто их обозначают одинаковыми буквами).

    Если векторы неколлинеарны, то между ними есть угол, который обозначается так:  = 35°, если угол прямой, то это перпендикулярные векторы и их можно обозначить так: ​​​​​​​

    Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

    Добавить новость и получить деньги

    Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

    uchilegko.info