Правила по геометрии – Математика — повторение. Геометрия. Справочный материал.

Виды углов:

· острый угол – от 0 до 90 градусов;

· прямой угол – равен 90 градусам;

· тупой угол – от 90 до 180 градусов;

· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Свойство смежных углов:

· сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

Свойство вертикальных углов:

· вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

Виды треугольников:

· остроугольный треугольник – все три угла острые;

· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Свойства равных треугольников:

· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании равны;

· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

· углы равны по 60 градусов;

· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

· накрест-лежащие;

· соответственные;

· односторонние.

Свойства параллельных прямых:

· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Признаки параллельности прямых:

· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Следствия из аксиомы:

· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника:

· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

Свойства прямоугольного треугольника:

· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

· противоположные углы и стороны равны;

· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

Признаки параллелограмма:

· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

Виды трапеций:

· произвольная;

·

· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

· углы при основаниях равны;

· диагонали равны.

Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

Свойство ромба:

· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

Свойство прямоугольника:

· у прямоугольника диагонали равны

Признак прямоугольника:

· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

Свойство площадей:

· равные многоугольники имеют равные площади;

· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =

Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

S =

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =

Формула Герона, где р – полупериметр: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =

Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =

Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =

Площадь круга, где r – радиус: S =

Длина окружности, где r – радиус: C = 2

Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =

Свойства площадей треугольников:

· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.

Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

Пропорция – равенство нескольких дробей.

Основное свойство пропорции: *d = c*b

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество: sin²(a) + cos²(a) = 1

Тригонометрические формулы:

·

·

Табличные углы:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

Синусы смежных углов равны

Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Теоремы о касательных:

1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема о хордах:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следствия из измерений центрального и вписанного углов:

1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

Четыре замечательные точки треугольника:

· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

· медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· высоты треугольника пересекаются в одной точке;

· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисе:

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Теорема о медианах:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема о серединном перпендикуляре:

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Прямой угол-угол,градусная мера которого равна 90⁰.

Острый угол-угол,градусная мера которого меньше 90⁰.

Тупой угол-угол,градусная мера которого больше 90⁰,но меньше 180⁰.

Развёрнутый угол-угол,градусная мера которого равна 180⁰.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Свойство: сумма смежных углов равна 180⁰.

Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника— отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника— перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник— треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

• построение отрезка, равного данному

• построение угла, равного данному

• построение биссектрисы угла

• построение середины отрезка

• построение перпендикулярных прямых

Глава III Параллельные прямые

При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:

• накрест лежащие углы

• односторонние углы

• соответственные углы

Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(третий признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна углы равна 180⁰, то прямые параллельны.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰.

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰.

Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.

Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.

Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Свойство:сумма двух острых углов треугольника равна 90⁰.

Свойство:катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

Свойство:если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 30⁰.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

8 класс. Глава V Четырёхугольники

Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник— это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*180⁰.

Параллелограмм— это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Глава VI Площадь

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Единицы измерения площади: мм²,см², дм², м², ар=100м², км² , га=100км².

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Глава VII Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m₁и n₁,если отношения их длин равны m:m₁= n: n_1.

Подобные треугольники— это треугольники,_{у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.}

Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к противолежащему .

Глава VIII Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

9 класс

Средняя линия трапеции— это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема:средняя линия трапеции равна полусумме её оснований и параллельна им.

infourok.ru

Справочник по геометрии 7-9 классы.

Справочник по геометрии для 7-9 классов.

Справочник по геометрии составили : учителя математики  Есикова Л.И. и Ушакова М.Б. МБОУ СОШ № 11 п. Раякоски.

Фрагмент справочника (страницы 2, 3, 4, 5 из 21)

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ АКСИОМЫ

2 УГЛЫ БИССЕКТРИСА УГЛА

3 ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

4 ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

5 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

6 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

7 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

8 СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

9 ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

10 СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

11 ПРЯМОУГОЛЬНИК РОМБ КВАДРАТ

12 ТРАПЕЦИЯ

13 ОКРУЖНОСТЬ. ВПИСАННЫЙ УГОЛ

14 СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ

15 СВОЙСТВА КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ

16 ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

17 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

18 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ВЕКТОРЫ

 

xn--80aneebgncbebxz7l.xn--p1ai

Теория по геометрии — Математика

Признаки равенства треугольников

1 признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам ): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки параллельности двух прямых

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны;

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны;

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180

Треугольник

1. Сумма углов треугольника равна 180

2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона

3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон

4. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90

5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1 признак (по двум катетам): Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого , то такие треугольники равны.

2 признак (по катету и прилежащему к нему острому углу): Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3 признак (по гипотенузе и острому углу): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4 признак (по гипотенузе и катету): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Параллелограмм

Определение: Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Свойства: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны,

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Признаки: 1)Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник-параллелограмм,

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны , то этот четырёхугольник-параллелограмм

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм

Трапеция

Определение: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Свойство средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции: Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности.

Площадь

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

2. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон

3. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию

4. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

6. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

7. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту, проведённую к одному из оснований

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

Подобные треугольники

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одног о треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия

Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам

Теорема о биссектрисе треугольника: Биссектрисса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Признаки подобия треугольников

1 признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2 признак (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3 признак (по трём пропорциональным сторонам ): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника

Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Свойство: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

2. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы

3. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника ( т.е имеющих равные площади)

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла

Окружность

Свойства касательных к окружности

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания

2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Свойства:

1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол равен дуге, на которую он опираетя

2. Если вписанный и центральный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

4. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Своиства четырёхугольника вписанного в окружность и описанного около окружности

1. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180

2. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны

multiurok.ru

Геометрия с нуля

Разделы: Математика

В 21 веке, несмотря на активное развитие науки, у многих школьников Российской Федерации такая наука, как геометрия вызывает все больше затруднений, а какая-то часть детей и вовсе не может решать простейшие геометрические задачи. Поэтому необходимо признать тот факт, что восприятие у нового поколения совершенно иное, и дело тут вовсе не в их деградации. Дети все также хотят развиваться: читают книги, смотрят научные фильмы и проводят эксперименты. Но самое главное, чего они не хотят, так это заучивать то, чего не понимают. На основе этого утверждения как раз и будет построена моя программа.

Представим, что перед нами сидит человек, который вообще не представляет, что такое геометрия. А именно так и выглядит бОльшая часть детей приходящих в 7 класс. Этот человек не в состоянии накладывать треугольники друг на друга и тем более не может делать из этого какие-то выводы. Поэтому сначала его нужно долго и упорно знакомить его с геометрией, чтобы в итоге он понял, насколько она проста и полюбил ее.

Разделение на уровни

Прежде всего, необходимо понять, что должен знать ребенок на определенном этапе. Для этого нужно разделить геометрию (планиметрию 7-9 класса) на 3 уровня:

• Базовый уровень: школьник знает(не обязательно наизусть) и понимает простейшие теоремы, а также решает незамысловатые задачи;
• Средний уровень: школьник умеет доказывать теоремы и решать задачи, используя доказательства;
• Высокий уровень: школьник знает сложные теоремы и умеет решать сложные задачи.

Именно эти три пункта будут подробно описаны в статье.

Базовый уровень (простейшая теория и задачи)

— понятие точки, прямой, луча, отрезка, угла, фигуры и т.д.

Прежде всего, школьник должен понять, с чем он будет иметь дело на протяжении ближайших трех лет, поэтому начинать необходимо с вводного курса. Не надо давать детям сложные задачи, а их надо просто познакомить с геометрией.

— углы (по градусам)

Углам нужно уделить особое внимание, потому что далеко не все дети могут в пространстве могут отличить тупой угол от прямого. Кроме того, максимум внимания нужно уделить развернутому углу, потому что на нем будет основан следующий пункт.

— смежные углы

Многим детям тяжело запомнить существующее определение смежных углов, и именно в большинстве случаев начинаются первые проблемы с геометрией. Поэтому мною будет предложено новое определение смежных углов: “Смежные углы – это углы, полученные в результате деления развернутого угла на две части.” Если уделить должное время развернутому углу, то получится сэкономить время на объяснении свойства смежных углов, т.к. оно итак будет понятно.

— вертикальные углы

Вертикальные углы, также как и смежные, имеют весьма непростое определение, которое можно заменить ан более просто. Достаточно ограничиться следующим: “Вертикальные углы-это углы между пересекающимися прямыми.”, а далее просто постараться разобрать как можно больше примеров, связанных с вертикальными и смежными углами.

— перпендикулярные прямые

Этой теме я не стану уделять много внимания, т.к. он итак понятен большинству школьников.

— параллельные прямые

Вместо равенства треугольников гораздо лучше рассматривать параллельные прямые, т.к., помимо получения новой информации, дети закрепляют старую, используя вертикальные и смежные углы при решении задач на параллельные прямые. Объяснять данную тему проще с признака, основанного на внутренних односторонних углах, т.к. единственное, что запоминают дети после шестого класса, это что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Опираясь на это можно представить, что прямые пересекутся и образуют с секущей треугольник, сумма углов которого равна 180 градусам. А после этого показать детям вариант, при котором треугольника не будет, т.е. когда внутренние односторонние углы заберут градусную меру третьего угла треугольника. После этого остальные признаки доказать уже будет не так и сложно. Самое главное, не надо заставлять детей учить первые доказательства, т.к. они должны их понять.