Геометрическая функция — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Геометрическая функция
Cтраница 1
Геометрическая функция Н характеризует геометрию рассматриваемой системы и имеет размерность числа. Несмотря на то, что в настоящее время для расчета значений функций, входящих в выражения для взаимодействий ( например, между сферами и плоскостями), могут быть использованы компьютеры, сложность таких выражений на практике часто приводит к необходимости использовать для удобства и простоты анализа упрощенные выражения. [1]
Учет геометрических функций существенно сказывается на точности определения времени смешения. Кроме того, учет геометрических функций позволяет обобщить экспериментальные данные, полученные различными авторами. Представляя полученные результаты в графическом виде [ 7, стр. [2]
Для определения геометрической функции следует выбрать подходящую систему координат. [3]
Введем — представление о геометрических функциях механизма, характеризующих зависимость между кинематическими функциями ведущего и ведомого звеньев. [4]
Это выражение дает представление об изменении геометрической функции и потенциала притяжения с расстоянием. В целом приближенные вычисления показывают, что для типичных коллоидных систем силы притяжения между частицами могут распространяться на расстояния, превышающие несколько десятков нанометров; для расстояний меньших 1 нм они отсутствуют. [5]
В только что приведенных оценках предполагалось, что асимптотическое разложение гипер геометрической функции, использованное при выводе ( 48.29 а), справедливо для всех углов. На самом деле это не верно. Туннельный эффект при таких углах настолько мал, что очень резкое ухудшение приближения не играет существенной роли. Проведенные выше оценки точности полуклассического приближения имеют качественный характер и не заменяют точных расчетов. [6]
В отличие от обычного, бухгалтерского, калькулятор в AutoCAD может выполнять операции с геометрическими функциями. Он может не только проводить числовые расчеты, как обычный калькулятор, но также и вычисления, связанные с геометрическими точками и векторами. Каль — — кулятор поддерживает все объектные привязки и имеет собственные функции. [7]
Если профиль кулачка был спроектирован по заданному закону движения толкателя или закону изменения его скорости или ускорения ( равно как по геометрическим функциям — по функции положения или передаточным функциям), то положение нормали может быть найдено по углу давления a, tg которого может быть определен при положительном эксцентриситете из формул ( 9) и ( 11) гл. [8]
Это решение действительно для всех значений п и соответственно принимается в качестве стандартного. Так как ги пер геометрическая функция были определена только как ряд, который. [9]
Учет геометрических функций существенно сказывается на точности определения времени смешения. Кроме того, учет геометрических функций позволяет обобщить экспериментальные данные, полученные различными авторами. Представляя полученные результаты в графическом виде [ 7, стр. [10]
В большинстве случаев геометрические симплексы и их влияние на время смешения определяют опытным путем и представляют в виде степенных зависимостей. Однако в ряде случаев имеются аналитические выражения для определения геометрических функций, полученные из анализа простых моделей движения жидкостей в аппаратах с мешалками. Вывод этих функций осуществляется на основе представлений о времени циркуляции жидкости в аппарате, которое находится из расчетов основных потоков, вызванных данной конструкцией мешалки. [11]
Эта проблема представляется в двух различдых видах, смотря по тому, заданы ли векторы г0 и ш ( в функции времени) относительно неподвижных осей S C или относительно подвижных осей Охуз. В обоих случаях задача заключается в том, чтобы по этим заданиям притти обратно к четырем геометрическим функциям 0 ( t), i ( t), j ( t), и ( 0 ( положение начала и основные версоры подвижного триэдра), которыми, как мы видели при изложении кинематики твердых тел ( III, рубр. [12]
Рассмотрение с единых позиций широкого класса типов задач позволяет отчетливее уяснить особенности естественного геометрического языка и возможности его адекватного использования. При этом приходится иметь дело с несимметричным обобщением элементарной геометрии Пифагора-Евклида в теории проверки простых гипотез, дифференциальной геометрией многообразий в двух сопряженных линейных связностях — в теории параметрического оценивания, несимметричным обобщением теории емкости и поперечников Колмогорова в задачах оценивания плотностей. Правда, в единообразной постановке мы получаем только главные члены асимптотики убывания минимального риска при
Страницы: 1
www.ngpedia.ru
Решение обратной задачи аналитической геометрии. Теория R-функций / Habr
Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.Немного теории
Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.
Определение R-функций и основные системы R-функций
Обозначим .
Если назвать булевым знаком величины , то можно дать такое определение R-функций: функция называется R-функцией, если булевый знак этой функции равен булевой функции булевых знаков аргументов . Любую булеву функцию можно представить через (в конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных формах). Этот факт означает, что система является полной системой булевых функций (то есть множество H-реализуемых функций (M(Н)) есть множество всех булевых функций).
Функции первой колонки — это R-функции. Любую непрерывную функцию любого числа аргументов можно отнести к одной из этих колонок. Какой признак отделяет R-функции от не R-функций, представленных во второй колонке?
Человек, не имеющий предварительного знакомства с R-функциями, вряд ли сможет отгадать «тайну R-функций». Между тем, этот признак очень прост: R-функции обладают тем свойством, что задание знаков аргументов однозначно определяет знак R-функции. И в этом их гениальность. Для это свойство очевидно. Для того, чтобы доказать его справедливость для , рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами . Если , то модули можно не писать, и тогда сумма катетов больше гипотенузы: . Если имеют разные знаки, то есть разность катетов, и тогда . Если отрицательны, то тем более . Знаки такие же, как и у , а знак такой же, как у . Это очевидно. Таким образом, для этих функций можно составить таблицу знаков.
Если в этой таблице заменить «–» на «0», а «+» на «1», то получим таблицы трех булевых функций. Например, функции соответствует конъюнкция , функции соответствует булева функция .
Наиболее распространенной и исторически первой является такая система R-функций:
Собственно пример
Пусть даны простые (опорные )области
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
а сложный чертеж определяется логической формулой:
Нетрудно заметить, что этот чертеж является крестообразной областью, изображенной на рисунке, при условии, что .
В результате получаем:
Немного картинок
Аппарат R-функций позволят строить объекты показанные ниже, при этом мы всегда знаем точное (аналитическое) выражение для каждого геометрического объекта, и собственно можем не терять точность на приближенном описании геометрии объекта.
А вот и программка, которая умеет визуализировать и решать задачки с помощью R-функций
Источник: Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения
habr.com
Функция расстояния. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru
п.1. Функция расстояния.
Буквой L будем обозначать прямую, буквой Р – плоскость, S – пространство. Полагаем, что прямая, плоскость и пространство состоит из точек, т.е. L, P и S являются множествами, элементами которых являются точки.
Что есть точка, прямая, плоскость или пространство, никто не знает. В геометрии эти понятия вместе с их свойствами вводятся с помощью аксиом. Мы можем только строить на чертеже модели этих понятий, чтобы получить о них какое-то геометрическое представление. В дальнейшем мы полагаем, что выполняются все аксиомы элементарной геометрии, которая изучается в средней школе.
Мы также будем полагать, что нам известно расстояние между любыми двумя точками пространства. Обозначение. Расстояние между двумя точками А и В мы будем обозначать или .
Кроме того, мы считаем известным свойства расстояния как функции двух аргументов:
1. Свойство неотрицательности:
и .
2. Свойство симметричности:
.
3. Неравенство треугольника:
,
причем равенство выполняется лишь в том случае, когда
точка у лежит на отрезке прямой хz или zx.
п.2. Определение вектора, как направленного отрезка.
Определение. Вектором, как направленным отрезком, называется упорядоченная пара точек (А, В) и обозначается . Точка А называется началом вектора , точка В называется концом вектора .
Геометрическое изображение вектора.
Вектор изображается отрезком прямой, соединяющим точки А и В и стрелкой в точке В:
АВ
Определение. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ, т.е. расстояние между точками А и В.
Модуль вектора обычно обозначается . Таким образом, по определению .
Множество всех векторов, как направленных отрезков в пространстве точек S, будем обозначать буквой .
Замечание. Через любые две точки можно провести единственную прямую. Проведем прямую L через начало А и конец В вектора . Тогда все точки отрезка АВ будут являться точками прямой L. Мы будем говорить, что вектор лежит на прямой L.
Обозначение. Обозначим через множество всех векторов, лежащих на прямой L или на любой другой прямой, параллельной прямой L.
Коллинеарные векторы.
Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.
Обозначение. Если векторы и коллинеарные, то это обозначается так: .
Возможно найдутся ответы здесь:
fxdx.ru
Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Основные теоретические сведения
Треугольник
К оглавлению…
При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:
- Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
- Вертикальные углы равны между собой.
Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):
Свойства медиан:
- Все три медианы пересекаются в одной точке.
- Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
- В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.
Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):
Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):
Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:
- Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
- В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
- Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:
- По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
- По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
- По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Трапеция
К оглавлению…
Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Некоторые свойства трапеций:
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
- В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
- Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
- У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- У равнобедренной трапеции диагонали равны.
- В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
Параллелограмм
К оглавлению…
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Некоторые свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
- Противоположные углы параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
- Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
Квадрат
К оглавлению…
Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.
Ромб и прямоугольник
К оглавлению…
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Свойства ромба:
- Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
- Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
- Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Произвольные фигуры
К оглавлению…
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Окружность
К оглавлению…
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
educon.by