Формулы по геометрии 9 класс векторы – Модуль вектора — урок. Геометрия, 9 класс.

Координаты вектора. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Вектором (от лат. vector – «переносчик») называется направленный отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины (см. Рис. 1).

Рис. 1. Вектор

Вектор, начало которого есть точка , а конец – точка , обозначается  (см. Рис. 1). Также векторы обозначают одной маленькой буквой, например .

 

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых:  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Коллинеарные векторы

Два коллинеарных вектора  и  называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают:  (см. Рис. 2).

Два коллинеарных вектора  и  называются противоположно направленнымивекторами, если их направления противоположны:  (см. Рис. 2).

Векторы  и  называются равными, если они сонаправлены и их абсолютные величины равны (см. Рис. 3).

, если:   1.

2.

Рис. 3. Равные векторы

Произведение ненулевого вектора начисло – это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа (см. Рис. 4).

Рис. 4. Произведение вектора на число

 

 

 (см. Рис. 5)

Рис. 5. Сложение векторов

Даны два коллинеарных вектора  и  (см. Рис. 6), причем .

Рис. 6. Коллинеарные векторы

 – это коэффициент пропорциональности (число), для нахождения этого числа необходимо:

1. Если  и  – это сонаправленные векторы:

 

2. Если  и  – это противоположно направленные векторы:

 

На плоскости для задания произвольного вектора необходимы две координаты и пара неколлинеарных векторов.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом, то есть для любых неколлинеарных ,  и для любого  найдется единственная пара действительных чисел  таких, что .

Доказательство теоремы

Дано: ,  (см. Рис. 7)

Доказать:

1. ,

2. равенство  верно для единственной пары чисел .

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

1. Из точки проведем прямую (параллельно ), на пересечении с осью  получим точку  (см. Рис. 8). Вектор  будет равен:

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Вектор  коллинеарен вектору , следовательно, найдется такое число , которое при умножении на вектор  даст нам вектор .

 

Вектор  коллинеарен вектору , следовательно, найдется такое число , которое при умножении на вектор  даст нам вектор .

 

Следовательно:

 

То есть существует такая пара чисел , что: .

2. Методом от противного докажем, что пара чисел  единственна.

Имеем:  для

Предположим, что существует другая пара чисел  такая, что . Вычтем из первого равенства второе:

 

 

Пусть , то есть . Тогда:

 

Получили, что векторы  и  коллинеарные: , а это противоречит условию (). Следовательно, .

Аналогично доказывается, что . Таким образом:

 

Что и требовалось доказать.

Теорему можно сформулировать также следующим образом:

Неколлинеарные векторы  и  образуют систему координат . Любой третий вектор  однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов  и : .

Пара действительных чисел  – это координаты вектора. То есть вектор  имеет координаты .

В системе координат с координатными  и  построить заданный  с координатами .

Решение

Вектора  и  задают ось  и . Необходимо построить вектор :

 

Эта запись означает:

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси  вектор  (см. Рис. 9). На оси  отложим вектор . Проведем из точки  прямую, параллельную оси , а из точки  – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор  – это искомый вектор.

Если задана система координат, то под координатами точки на плоскости подразумеваются координаты вектора, проведенного из начала координат в эту точку. Например, в задаче 1 точка  имеет координаты .

Построить  с координатами .

Решение

Векторы  и  задают ось  и . Необходимо построить вектор :

 

Эта запись означает:

 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси  вектор  (см. Рис. 10). На оси  отложим вектор . Проведем из конца вектора  прямую, параллельную оси , а из конца вектора  – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор  – это искомый вектор.

Выписать координаты вектора.

Дано:

 

Решение

Координатами вектора  являются числа .

Ответ: .

Найти недостающие координаты  и , если известно, что .

Решение

Данное равенство означает, что это один и тот же разложенный по векторам вектор, но записанный иначе. Следовательно, этому вектору соответствует единственная пара

interneturok.ru

Справочный материал по геометрии за курс 9 класса «Основные определения и теоремы»

Ответы

к листу опроса № 3

1. Отрезок, для которого указано, какой из его концом считается началом, а какой – концом называется направленным отрезком или вектором.

2. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке нулевой вектор изображается одной точкой. Длина нулевого вектора равна нулю.

3. Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB.

4. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

5. Коллинеарные векторы делятся на сонаправленные и противоположно направленные. Два ненулевых вектора, называются сонаправллеными, если они коллинеарны и одинаково направлены. Два ненулевых вектора, называются противоположно направленными, если они коллинеарны и противоположно направлены.

6. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

7. От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.

8. Правило треугольника

9. Правило параллелограмма

10. Разностью векторов

    и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

11. Координаты равных векторов соответственно равны.

12. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

13. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

14. Каждая координата произведения векторов на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

15. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂), то

16. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) и С – середина отрезка АВ, то С

17. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его соответствующих координат.

Если ;, то

.

18. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разности его соответствующих координат.

Если М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), то М₁М₂ = .

19. Уравнение окружности радиуса r c центром в точке С (х₀; у₀) имеет вид ( x – x₀)² + ( y – y₀)² = r². Уравнение окружности радиуса r c центром в начале координат имеет вид x² + y² = r².

20. Уравнение прямой имеет вид ax + by +c = 0.

21. Для любого угла α из промежутка 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ синусом угла α называется ордината точки M.

22. Для любого угла α из промежутка 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ косинусом угла α называется абсциссаточки M.

23. Тангенсом угла α (α ≠ 90⁰) называется отношение , т. е. .

24. Основное тригонометрическое тождество имеет вид sin² α + cos² α = 1.

25. Формулы приведения имеют вид

, при 0   90;

, при 0   180.

26. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

27. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

28. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

29. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

30. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

31. Скалярное произведение ∙ называется скалярным квадратом вектора и обозначается ² . Скалярный квадрат равен квадрату его длины.

32. Скалярное произведение векторов {х₁; y₁} и {x₂ ; y₂} выражается формулой

∙ = x₁x₂ + y₁y₂.

33. Косинус угла α между ненулевыми векторами {x₁ ; y₁} и {x₂ ; y₂} выражается формулой

x₁x₂ + y₁y₂

cos α =

x₁²+y₁² ∙ x₂²+y₂²

34. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.

35. Сумма углов правильного n-угольника равна (n — 2)·180⁰.

36. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

37. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

38. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

39. Формула для вычисления площади правильного n-угольника.

S = , где Р – периметр правильного n-угольника, r – радиус окружности, описанной около правильного n-угольника.

40. Формула для вычисления стороны правильного n-угольника.

, где R – радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник.

41. Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

r =

42. Таблица «Правильные многоугольники».

a_n

n = 3

R

n = 4

R

n = 6

R

43. Формула для вычисления длины окружности. C = 2πR

44. Формула для вычисления длины дуги окружности. l =

45. Формула для вычисления площади круга. S = πR²

46. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

47. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

48. Площадь кругового сектора. S = .

57) Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называется многогранником.

58) Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

59) Куб – один из простейших многогранников.

60) Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром.

61) Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

62) Часть пространства, отделенное от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела.

63) Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела.

64) Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью, называется сечением тела.

65) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

66) Стороны граней называются ребрами.

67) Концы ребер называются вершинами многогранника.

68) Выпуклые и невыпуклые.

69) Многогранник называется призмой.

70) n-угольной призмой называется многогранник А₁А₂…А_nВ₁В₁…В_n, составленный из двух равных n-угольников А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n

_{71) Прямая, наклонная, правильная.}

72) Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.

73) Прямой, прямоугольный.

74) Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

75) Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см³.

Аналогично определяется кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

76) 1. Равные тела имеют равные объемы.

2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этх тел.

77) 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

78) Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂…А_n и этих угольников, называется пирамидой.

79) Тетраэдром – треугольная пирамида.

80) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

81) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

82) Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т. е. S_бок=2πrh.

83) Возьмем прямоугольный треугольник ABC и будем вращать его вокруг катета АВ. В результате получится тело, которое называется конусом.

84) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

85) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

86) Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки.

87) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

88) Данная точка называется центром сферы.

89) Данное расстояние называется радиусом сферы.

90) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

91) Объем шара радиуса R равен четыре третьих πR²

92) S = 4 πR²

Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(x+у), где х и у — основания трапеции.(Формула Буракова)

infourok.ru

Геометрия 9 класс справочный материал по теме: «Метод координат»

Г – 9

Справочный материал по теме:

«Метод координат»

1. Координаты вектора АВ

А(х_А; у_А), В(х_В; у_В), формула: АВ{ х_В — х_А; у_В — у_А}

2. Координаты О (х_о; у_о) — середины отрезка АВ, где А(х_А; у_А), В(х_В; у_В) находятся по формулам х_о = (х_А + х_В) : 2; у_о = (у_А + у_В) : 2

3. Длина отрезка АВ А(х_А; у_А), В(х_В; у_В), формула: АВ =

4. Длина вектора а а х; у} │а│=

5. Уравнение окружности w(О; R), О(а; в) – центр окружности, R – радиус окружности (х – а)² + (у – в)² = R²

x – x_А

 = 

y – y_А

х_В – x_А

у_В – y_А

Уравнение прямой АВ А(х_А; у_А), В(х_В; у_В) (если x_А ≠ x_В и y_А ≠ y_В) а x + в y + с = 0

Г – 9

Справочный материал по теме:

«Метод координат»

1. Координаты вектора АВ

А(х_А; у_А), В(х_В; у_В), формула: АВ{ х_В — х_А; у_В — у_А}

2. Координаты О (х_о; у_о) — середины отрезка АВ, где А(х_А; у_А), В(х_В; у_В) находятся по формулам х_о = (х_А + х_В) : 2; у_о = (у_А + у_В) : 2

3. Длина отрезка АВ А(х_А; у_А), В(х_В; у_В), формула: АВ =

4. Длина вектора а а х; у} │а│=

5. Уравнение окружности w(О; R), О(а; в) – центр окружности, R – радиус окружности (х – а)² + (у – в)² = R²

x – x_А

 = 

y – y_А

х_В – x_А

у_В – y_А

Уравнение прямой АВ А(х_А; у_А), В(х_В; у_В) (если x_А ≠ x_В и y_А ≠ y_В) а x + в y + с = 0

x – x_А

 = 

y – y_А

х_В – x_А

у_В – y_А

infourok.ru

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс — Технологические карты уроков по учебнику Л. С. Атанасяна

ВВЕДЕНИЕ

Урок 1. Тема: ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА

Урок 2. Тема: ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА

ГЛАВА IX. ВЕКТОРЫ

Урок 3. Тема: ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Урок 4. Тема: ОТКЛАДЫВАНИЕ ВЕКТОРА ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ

Урок 5. Тема: СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 6. Тема: СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 7. Тема: УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Урок 8. Тема: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Урок 9. Тема: СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

Урок 10. Тема: СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

ГЛАВА X. МЕТОД КООРДИНАТ

Урок 11. Тема: РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

Урок 12. Тема: КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Урок 13. Тема: СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРА И КООРДИНАТАМИ ЕГО НАЧАЛА И КОНЦА. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ

Урок 14. Тема: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 15. Тема: УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Урок 16. Тема: УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 17. Тема: УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Урок 18. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 19. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 20. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ГЛАВА XI. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 21. Тема: СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС

Урок 22. Тема: СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА

Урок 23. Тема: СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА

Урок 24. Тема: ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Урок 25. Тема: ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Урок 26. Тема: РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Урок 27. Тема: РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Урок 28. Тема: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Урок 29. Тема: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Урок 30. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 31. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ГЛАВА XII. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

Урок 32. Тема: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Урок 33. Тема: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Урок 34. Тема: ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА, ЕГО СТОРОНЫ И РАДИУСА ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

Урок 35. Тема: ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Урок 36. Тема: ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Урок 37. Тема: ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 38. Тема: ПЛОЩАДЬ КРУГА

Урок 39. Тема: ПЛОЩАДЬ КРУГОВОГО СЕКТОРА

Урок 40. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 41. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Урок 42. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Урок 43. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЯ

Урок 44. Тема: ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ. ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ

Урок 45. Тема: СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЙ

Урок 46. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ. ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ»

Урок 47. Тема: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Урок 48. Тема: ПОВОРОТ

Урок 49. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС. ПОВОРОТ»

Урок 50. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВИЖЕНИЕ»

Урок 51. Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ГЛАВА XIV. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Урок 52. Тема: ПРЕДМЕТ СТЕРЕОМЕТРИИ. МНОГОГРАННИК

Урок 53. Тема: ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Урок 54. Тема: ОБЪЕМ ТЕЛА. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Урок 55. Тема: ПИРАМИДА

Урок 56. Тема: ЦИЛИНДР

Урок 57. Тема: КОНУС

Урок 58. Тема: СФЕРА И ШАР

Урок 59. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»

Урок 60. Тема: ОБ АКСИОМАХ ПЛАНИМЕТРИИ

Урок 61. Тема: ОБ АКСИОМАХ ПЛАНИМЕТРИИ

Урок 62. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИК»

Урок 63. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ТРЕУГОЛЬНИК»

Урок 64. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ»

Урок 65. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ»

Урок 66. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ»

Урок 67. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ»

Урок 68. Тема: ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЯ»

Урок 69. Тема: ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Урок 70. Тема: ИТОГОВЫЙ УРОК ПО КУРСУ «ПЛАНИМЕТРИЯ»

ЛИТЕРАТУРА

compendium.su

ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО ГЕОМЕТРИИ 9 класс — разработки уроков — авторские уроки — план-конспект урока

Урок 1–2. Повторение. Решение задач

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Урок 1. Понятие вектора. Равенство векторов

Урок 2. Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Урок 3. Сумма нескольких векторов

Урок 4. Вычитание векторов

Урок 5. Произведение вектора на число

Урок 6. Решение задач. Произведение вектора на число

Урок 7. Применение векторов к решению задач

Урок 8. Средняя линия трапеции

МЕТОД КООРДИНАТ

Урок 1. Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам

Урок 2. Координаты вектора

Урок 3. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах

Урок 4. Простейшие задачи в координатах. Решение задач

Урок 5. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности

Урок 6. Уравнение окружности. Решение задач

Урок 7. Уравнение прямой

Урок 8-9. Решение задач

Урок 10. Контрольная работа № 1

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Урок 1. Синус, косинус, тангенс. Основное тригонометрическое тождество

Урок 2. Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки

Урок 3. Решение задач

Урок 4. Теорема о площади треугольника. Теорема синусов

Урок 5. Теорема косинусов

Урок 6. Решение треугольников

Урок 7. Измерительные работы

Урок 8. Решение задач

Урок 9. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Урок 10. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов

Урок 11. Решение задач

Урок 12. Контрольная работа № 2

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Урок 1. Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Урок 2. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Урок 3. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Урок 4. Построение правильных многоугольников

Урок 5. Длина окружности

Урок 6. Площадь круга

Урок 7. Площадь кругового сектора

Урок 8. Решение задач

Урок 9-10. Решение задач по материалу главы XII

Урок 11. Контрольная работа № 3

ДВИЖЕНИЯ

Урок 1-3. Отображение плоскости на себя. Понятие движения

Урок 4. Параллельный перенос

Урок 5-6. Поворот

Урок 7. Решение задач

Урок 8. Контрольная работа № 4

НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Урок 1. Предмет стереометрии. Многогранники

Урок 2. Призма. Параллелепипед

Урок 3. Многогранники. Объем тела

Урок 4. Пирамида

Урок 5. Тела и поверхности вращения

Урок 6. Тела и поверхности вращения

Урок 7. Сфера и шар

Урок 8-9. Об аксиомах и планиметрии

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Треугольник

Окружность

Четырехугольники. Многоугольники

Векторы. Метод координат. Движения

Литература

compendium.su

Геометрия для 9 класса | Интернет — шпаргалка

1. Понятие вектора

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами.

2. Сложение и вычитание векторов

2.1 Правило треугольника

Для того чтобы сложить два вектора и , нужно переместить вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Тогда их суммой будет вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора .

2.2 Правило параллелограмма

Для того, чтобы сложить два вектора и , нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов и находились в одной точке. Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора. Тогда суммой + будет вектор , начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма.

2.3 Вычитание векторов.

Для того чтобы найти разность двух векторов и , нужно найти вектор по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

3. Синус, косинус и тангенс угла

3.1 Синус

Синусом угла α называется отношение противолежащего катета треугольника к гипотенузе.

3.2 Косинус

Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета треугольника  к гипотенузе.

3.3. Тангенс

Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета треугольника к прилежащему.

4. Соотношение между сторонами и углами треугольника

4.1 Теорема  косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

4.2 Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

6. Правильные многоугольники

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.

6.1 Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и вписать в него окружность, причём центры у этих окружностей совпадают.

6.2 Сторона правильного n-угольника находится по формуле

6.3 Площадь правильного n-угольника находится по формулам и

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

inetshpora.wordpress.com

Геометрия 9 класс вектор ы

Геометрия 9 класс В Е К Т О Р Ы (Обобщающий урок) Понятие вектора Многие физические величины, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются ВЕКТОРАМИ. Проверь себя! Какие из данных величин являются векторными: вес, сила, отрезок, ускорение, скорость, масса ? История В 19 веке параллельно с теорией систем линейных уравнений развивалась теория векторов. Направленные отрезки использовал Жан Робер АРГАН (Argand, 1768-1822, швейцарский математик), ввел термин «модуль комплексного числа» (1814-1815) в работе «Опыт некоторого представления мнимых величин…», опубликованной в 1806 году. Эти отрезки Арган обозначал символами а ,в . Одним из основателей теории векторов считается Август Фердинанд Мебиус (1790-1868, немецкий математик), он обозначал отрезок с началом в точке А и концом в точке В символом АВ. Термин «вектор» ввел Вильям Роуэн Гамильтон (1805-1865, директор астрономической обсерватории Дублинского университета и президент Ирландской Академии наук) приблизительно в 1845 году. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году. Символ [а,в] для обозначения векторного произведения ввел немецкий математик и физик Герман Грасман (1809-1877). В 1903 году О.Хенричи предложил обозначать скалярное произведение символом (а,в). ВЕКТОР — НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК. Р а в е н с т в о в е к т о р о в ВЕКТОРЫ называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. . а = в, если а в и а = в . Д л и н а в е к т о р а Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ .Обозначается длина вектора АВ (вектора а ) так : АВ ( а ). Длина нулевого вектора равна нулю: 0 = 0 СОНАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО ВЕКТОРЫ НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ СОНАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО ВЕКТОРЫ НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ К О Л Л И Н Е А Р Н Ы Е В Е К Т О Р Ы Ненулевые векторы называются к о л л и н е а р н ы м и , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. С Л О Ж Е Н И Е В Е К Т О Р О В ПРАВИЛО ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА В Ы Ч И Т А Н И Е В Е К Т О Р О В Р а з н о с т ь ю в е к т о р о в а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а . З А К Р Е П Л Е Н И Е И З У Ч Е Н Н О Г О З А Д А Н И Я (устно) 1).Укажите на рисунке 1: а) сонаправленные векторы б) противоположно направлен- ные векторы в) равные векторы 2).Укажите на рисунке 2: а) пары коллинеарных векторов б) векторы , длины которых равны (трапеция равнобедренная) 3).На рис. 3 изображён треугольник МNL Найти: а) MN + NL б) MN — ML в ) ML — MN 4).На рис.4 изображён параллелограмм MNKE. Найти: Если векторы a и b коллинеарны и а ≠0, то существует такое число k, что в=k а. Если векторы a и b коллинеарны и а ≠0, то существует такое число k, что в=k а. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным вектора, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. с=xа+ув, где х и у коэффициенты разложения. Координаты вектора Простейшие задачи в координатах: 1.Координаты середины отрезка 2. Вычисление длины вектора по его координатам. 3. Расстояние между двумя точками. П Р О В Е Р Ь С Е Б Я ! 1). Верно ли утверждение: а) Если а=в , то а в б) Если а=в , то а и в коллинеарны в) Если а=в , то а в г) Если а в , то а = в 2). Дан прямоугольник PQRT. Найти: а) PQ + QR б) PT — PQ в) RT + RQ П Р О В Е Р Ь С Е Б Я ! 3) Найдите вектор х из условия: EF- LM- EL+ x =MK 4) Выпишите координаты вектора с, если его разложение по координатным векторам имеет вид с = -6i +2j 5) Дано а{-2;4}, d{3;-1}. Найдите координаты вектора к =2а –d 6) OA- радиус-вектор точки А, ОА{-5;4}.Какие координаты имеет точка А? 7) Найти координаты вектора RT? Если R(-1;5) , T(6;2). 8) Найдите длину вектора s{3;4} 1. а) да 2. а) PR 3. FK 6. A(-6;4) б) да б) QT 4. c{-6;2} 7. RT{7;-3} в) нет в) RP 5. k{-7;9} 8. ISI=5 г) нет

dok.opredelim.com