|
|
|
|
infofaq.ru
Функция синуса: онлайн калькулятор, формулы, график
Тригонометрия – это раздел математики, изначально изучающий соотношения углов и сторон в прямоугольном треугольнике. Со временем тригонометрические функции расширились на числовую ось и вышли за переделы геометрии.
Из истории вопроса
Ученые полагают, что основы тригонометрии заложили древние астрономы. Еще в Древних государствах Египта, Вавилона и Китая встречались задачи на поиск углов и сторон прямоугольного треугольника. Именно тогда были введены градусы, минуты и секунды для характеристик величины углов, а также выведено знаменитое выражение, связывающее стороны прямоугольного треугольника. Позднее выражение a2 + b2 = c2 получило название теоремы Пифагора в честь самосского математика, впервые доказавшего данное утверждение.
Систематизация разрозненных знаний и гипотез о свойствах прямоугольного треугольника произошла в Древней Греции, когда впервые были четко выделены основные тригонометрические определения. В книге «Начала» Евклида приведены первые теоремы о соотношениях углов и сторон в прямоугольном треугольнике, а также выведен словесный аналог теоремы косинусов. Тригонометрия планомерно развивалась даже во времена Средневековья, а современный вид этой науке придал знаменитый ученый Леонард Эйлер, который расширил влияние тригонометрических функций на другие разделы математики.
Определение синуса
Две стороны, образующие прямой угол треугольника, называются катетами. Обозначим их буквами a и b. Самая длинная сторона треугольника носит название гипотенузы и обозначается литерой c. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами a = 3, b = 4, c = 5, при этом гипотенуза и катет образуют некий угол cb. Мы можем найти соотношение катетов к гипотенузе, которые будут равны a/c = 3/5 или b/c= 4/5. Или соотношение катетов a/b = 3/4 и b/a = 4/3. На первый взгляд эти рациональные числа не дают нам ровно никакой информации.
Но попробуем увеличить стороны так, чтобы угол cb остался неизменным. Для этого нам потребуется подобный треугольник, но больше исходного. Пусть наш новый треугольник имеет стороны m = 9, n = 12 иk = 15. Это увеличенный в три раза треугольник, угол которого nk равен углу cb. Посмотрим на те же соотношения сторон, например, катета к гипотенузе m/k = 9/15 = 3/5 и n/k = 12/15 = 4/5. Удивительно, но при неизменном угле соотношения сторон прямоугольного треугольника совершенно не изменяются, а потому они заслужили собственные названия в пантеоне математических терминов.
Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащему чему? Углу, для которого он рассчитывается. В этом кроется весь смысл тригонометрии. Как только мы изменим угол, все наши соотношения также изменятся. Неважно, какого размера катеты и гипотенузы при угле cb и равном ему nk, так как отношение сторон для него всегда будет фиксированным и равным 3/5. Это утверждение легко проверить на практике, вычисляя отношение сторон угла, равного приблизительно 37 градусов.
Угол – всему голова. Несмотря на то, что каждая тригонометрическая функция – это соотношение сторон, рассчитывает такое соотношение всегда и только для угла. Изменяется угол – изменяется и его синус. Для каждого целого градуса от 0 до 360 градусов известны значения соответствующих синусов, которые легко отыскать в известной четырехзначной таблице, созданной советским математиком Владимиром Брадисом. Можно не заморачиваться поиском значений в таблице и посчитать прямо на калькуляторе.
Применение функции
Прежде всего тригонометрические функции используются в геометрии для расчета углов или длин сторон. Например, мы знаем, что синус некоторого угла равен единице. Это важное значение, и его помнят школьники и студенты, которые сразу могут сказать, что синус, равный единице, имеет только прямой угол, равный 90 градусов. Однако синусы находят применение и в куда более интересных областях науки. Когда Леонард Эйлер расширил тригонометрию до алгебры, синусы появились в физике и механике. Волновые процессы – наиболее известная тема школьных уроков физики. Любое волновое движение описывается при помощи тригонометрических функций.
Представьте себе маятник, который пока еще находится в состоянии покоя, то есть в нулевой точке. Толчок приводит маятник в движение. Теперь мы легко можем описать это движение при помощи синусоидальной функции вида y = sinx. Однако наш маятник не может колебаться по идеальной синусоиде, у него наверняка есть амплитуда или размах колебаний, а также частота или скорость. Как это выразить математически?
Наша функция стартовала с нуля, поэтому мы можем записать y = 0 + sinx, что излишне, поэтому оставим y= sinx. Пусть маятник при движении делает 10 см то в одну сторону, то в другую. Это амплитуда, а значит наша функция преобразится в y = 10 sinx. Кроме того, маятник делает 20 шагов в обе стороны в минуту, следовательно, это частота, которая запишется как y = 10sin20x. При помощи такой простой функции мы описали движение маятника, но синусоидой легко описать любые волновые процессы.
Наша программа позволяет вычислять синусы углов или определять величину угла по известному синусу. Для этого достаточно ввести в соответствующие ячейки значение синуса или величину угла в радианах или градусах, после чего калькулятор выдаст результат. Рассмотрим пример работы программы на простой школьной задаче по тригонометрии.
Пример из жизни
Школьная задача
Существует несколько особенных значений углов, которые чаще всего встречаются не только в задачах, но и в инженерных расчетах. Прежде всего это прямой угол, равный 90 градусов, а также углы величиной 30, 45, 60, 180, 270 и 360. Давайте вычислим эти значения при помощи нашего онлайн-калькулятора:
- sin0 = 0
- sin30 = 0,5
- sin45 = 0,7071
- sin60 = 0,8660
- sin90 = 1
- sin180 = 0
- sin270 = -1
- sin360 = 0.
Естественно, данные значения рассчитаны для углов, измеренных в градусах. Для углов больше 360 градусов значения синусов циклически повторяются.
Заключение
Тригонометрия – важный раздел математической науки, который находит применение не только в геометрии или физике, но и в астрономии, экономике, механике и даже биологии. Используйте наш калькулятор для вычисления синусов любых углов.
bbf.ru
как вычислить синус любого угла без калькулятора ,таблиц и тд. есь ли какая нибудь формула?
Есть. Разложение в ряд Тейлора. sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-.. <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции</a>
для этого есть таблица Брадиса
Даже 23 на 45 не умножишь без таблицы умножения.
Существует метод приближённого вычисление через дифференциал функции.
Разложение в ряд. Вполне приемлемая точность при небольшом количестве членов разложения.
touch.otvet.mail.ru
Теорема синусов | Формулы и расчеты онлайн
Теорема синусов гласит
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
\[ \frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(β)} = \frac{c}{\sin(γ)} \]
Также отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
\[ \frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(β)} = \frac{c}{\sin(γ)} = 2R \]
Вычислить, найти сторону треугольника по теореме синусов
Пусть известно: две стороны a, b и угол между ними γ. Нужно найти сторону c и недостающие углы α и β. Используем то, что сумма углов треугольника 180°
\[ β = (180° — (α + γ)) \]
\[ \frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(180° — (α + γ))} \]
По формулам приведения
\[ \sin(180° — (α + γ)) = \sin(α + γ) \]
Подставим в (4)
\[ \frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(α + γ)} \]
по формуле синуса суммы углов разделим углы
\[ \sin(α + γ) = \sin(α)·\cos(γ) + \cos(α)·\sin(γ) \]
Получим
\[ \frac{b}{a} = \frac{\sin(α)·\cos(γ) + \cos(α)·\sin(γ)}{\sin(α)} \]
\[ \frac{b}{a} = \cos(γ) + \ctg(α)·\sin(γ) \]
Отсюда найдутся все углы треугольника α и β (см. формула (3)):
\[ \ctg(α) = \frac{\frac{b}{a} — \cos(γ)}{\sin(γ)} \]
Далее теорема синусов позволит найти оставшуюся сторону c
\[ с = b\frac{\sin(γ)}{\sin(β)} = a\frac{\sin(γ)}{\sin(α)} \]
Вычислить, найти две стороны треугольника по теореме синусов
Пусть известно: одна сторона с, и два прилегающих к ней угла α и β. Нужно найти угол γ и стороны a и b. Используем то, что сумма углов треугольника 180°
\[ γ = (180° — (α + β)) \]
Теперь когда все углы треугольника известны, а также известна одна сторона, теорема синусов позволит легко найти недостающие стороны:
\[ a = c \frac{\sin(α)}{\sin(γ)} \]
\[ b = c \frac{\sin(β)}{\sin(γ)} \]
В помощь студенту
Теорема синусов |
стр. 238 |
|---|
www.fxyz.ru
Вычисление значений синуса и косинуса — Мегаобучалка
С помощью формул приведения аргумент х можно заключить в промежуток: . Если , то имеем:
. (5.18)
Eсли же , то полагают:
, (5.19)
где и .
Сумму ряда (5.18) удобно вычислять суммированием
, (5.20)
где слагаемые последовательно находятся с помощью рекуррентного соотношения:
Т.к. ряд (5.18) знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то на основании теоремы, приведенной выше, справедлива оценка
;
.
Как только будет обнаружено, что , процесс суммирования можно прекратить; e — заданная остаточная погрешность.
Аналогично ,
где ,
;
.
Вычисление значений гиперболического синуса
Как известно,
,
причем ,
т.е. функция shx — нечетная.
Для гиперболического синуса справедливо разложение
.
Предполагая, что х > 0, вычисления удобно производить суммированием:
,
где и Rn – остаточный член. При имеем:
так как при .
Очевидно, что при .
Поэтому , то есть .
Вычисление значений гиперболического косинуса.
Как известно,
Для гиперболического косинуса справедливо разложение:
.
Вычисления удобно производить процессом суммирования:
,
где , и Rn – остаточный член. При имеем:
Так как при n ³ 1 справедливо неравенство
,
то .
Применение метода итерации для приближенного вычисления
Значений функции
Пусть требуется вычислить значение непрерывной функции
. (5.20¢)
Запишем функцию (5.20¢) в неявном виде
или , где (5.21)
Предположим, что непрерывна и имеет непрерывную частную производную . Пусть yn– приближенное значение у. Применяя теорему Лагранжа, будем иметь:
,
где — некоторое промежуточное значение между уп и у. Отсюда
. Т.к. , то
(5.22)
Значение нам неизвестно. Полагая , для вычисления значения получим итерационный процесс
. (5.23)
Формула (5.23) имеет простой геометрический смысл. Зафиксируем значение х и рассмотрим график функции (5.24)
Рис.5. 2. Графическое представление метода итераций.
Из формулы (5.23) вытекает, что наш процесс представляет собой метод Ньютона, примененный к функции (5.24), т.е. последовательные приближения уп+1 получаются как абсциссы точки пересечения с осью ОУ касательной к кривой (5.24), проведенной при (см. рис.2). Сходимость процесса обеспечивается, если и сохраняют постоянные знаки в рассматриваемом интервале, содержащем корень у.
Начальное значение у0 произвольно и выбирается по возможности близким к искомому значению у. Процесс итерации продолжается до тех пор, пока в пределах заданной точности e два последовательных значения уп и уп-1 не совпадут между собой: . При этом, строго говоря, не гарантируется, что
,
поэтому в каждом конкретном случае требуется дополнительное исследование.
megaobuchalka.ru