Рубрика: Математика

Статьи по математике | Математика, которая мне нравится

14 Февраль 2018, 23:43

инж. С.В.Савич

Посвящаю
Виктору Ивановичу Поленякину,
Георгию Иосифовичу Кирьянову

В процессе решения практических расчётных задач довольно часто возникает необходимость вычисления корней разной степени. Обычно при программировании на ЭВМ для этой цели используются стандартные библиотечные функции вычисления логарифма и экспоненты или итерационные методы. Аналитические методы последовательных приближений, часто применяемые при вычислении арифметических корней, имеют универсальный характер, однако обладают некоторыми недостатками, одним из которых является зависимость времени вычисления от величины аргумента и от выбора первого приближения. Значительно лучшие характеристики при вычислении, например, квадратного корня, показывает метод, описанный в статье “Оригинальный метод извлечения квадратного корня” (www.hijos.ru/2012/04/25/), который можно отнести к группе методов “цифра за цифрой”. Особенность этого метода, основанного на свойстве суммы членов арифметической прогрессии нечётных чисел, заключается в получении на каждом циклически повторяющемся шаге одной верной цифры результата.

В ходе анализа данного метода возникла идея распространить его концепцию на процесс вычисления корней -й степени, а также провести численное исследование получаемых алгоритмов. Основанием для такого подхода является то обстоятельство, что последовательность нечётных чисел, используемая для вычисления квадратного корня — это не только арифметическая прогрессия с шагом , но, — главное в этой идее, — также ряд первых конечных разностей (далее — конечные разности) для квадратичной функции с единичным шагом изменения аргумента.

Упомянем коротко метод “цифра за цифрой”, применяемый для “ручного” вычисления квадратного корня, заключающийся в том, что из подкоренного числа, разбитого на пары, в определённом порядке последовательно вычитается выражение (здесь — целое число, составленное из уже найденных цифр корня, — искомая следующая цифра корня, определяемая подбором), при условии, чтобы значение этого выражения не превышало текущее уменьшаемое. Детально этот способ описан в учебной и справочной литературе, сейчас он имеет лишь историческое значение. Читать полностью ‘О вычислении арифметических корней’ »

10 Сентябрь 2017, 20:44

Никто не может раскрыть тайну

Число — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа .

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа . Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно , минимальное — или (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Читать полностью ‘Таинственное число 6174’ »

4 Сентябрь 2017, 23:43

«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека» (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число ; требуется всего две итерации.

Однако некоторые числа не становятся палиндромами вне зависимости от того, сколько сделано итераций записывания цифр в обратном порядке и сложения. Такие числа называются числами Лишрел. Они были названы так Уэйдом Ван Ландингхемом (Wade Van Landingham; Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил, по-английски Lychrel — Cheryl). Первое число, которое может быть числом Лишрел — . Однако нет доказательства, что это число, а также числа похожие на него, такие как и в самом деле являются числами Лишрел. Просто процедура перестановки —сложения для них не привела к получению палиндрома, хотя было сделано около миллиарда итераций.

Читать полностью ‘Числа Лишрел’ »

26 Май 2017, 23:22

Каков средний вес человека?

Основная идея статистики заключается в том, что о населении в целом можно сказать что-то, выяснив это для меньшей группы людей. Без этой идеи не было бы опросов общественного мнения или предвыборных прогнозов, не было бы возможности испытать новые медицинские препараты или исследовать безопасность мостов и т. д. В значительной степени за факт, что мы можем делать все это и уменьшать неопределенности прогнозов, отвечает центральная предельная теорема.

Чтобы понять, как работает теорема, представим, что нужно узнать средний вес жителя Великобритании. Вы выходите и измеряете вес, скажем, ста случайно выбранных людей, и находите средний вес человека для этой группы — назовем это выборочным средним. Теперь выборочное среднее должно дать достаточно точное представление о среднем по стране. Но что, если вам в выборке попались только полные люди или, наоборот, только очень худые?

Чтобы получить представление о том, насколько типичным будет полученное среднее значение, нужно знать, как средний вес выборки из 100 человек варьируется в зависимости от населения: если вы взяли очень много групп из 100 человек и нашли средний вес для каждой группы, то насколько будут различаться найденные числа? И насколько его среднее (среднее средних) будет совпадать с истинным средним весом человека в популяции? Читать полностью ‘Центральная предельная теорема’ »

26 Июнь 2015, 22:37

Турбулентность грандиозна, красива и потенциально опасна. Она возникает в жидкостях, например, в бьющихся волнах и бурных реках, а также в газах, например, в воздушных потоках вокруг машины или самолета. Турбулентность невероятно трудно поддается описанию, что связано с самой ее природой. Если измерять скорость и определять направление течения воды в турбулентном потоке, то можно получить совершенно разные значения в точках, расположенных очень близко друг к другу.

Турбулентность воды: водопады Игуасу на границе Бразилии и Аргентины

Несмотря на эту сложность, ученые считают, что течение жидкости с приемлемым уровнем точности описывается уравнениями Навье — Стокса. Читать полностью ‘Уравнения Навье — Стокса’ »

12 Март 2015, 21:51

Виктор Мишель Жан-Мари Тебо (1882–1960) — французский математик, геометр. Закончил учительский колледж города Лаваль в департаменте Майенн, преподавал математику в школе, в технической школе, затем получил право преподавания в колледжах для учителей. Однако в 1910 г. отказался от преподавания, так как скромное жалованье не позволяло ему содержать семью, в которой к тому времени было 6 детей. До 1923 г. работал фабричным суперинтендантом, а потом — главным страховым инспектором. В 1940 г. вышел на пенсию. Несмотря на занятость на работе, Тебо все время интенсивно и плодотворно занимался математикой. В 1932 г. он стал членом Американской математической ассоциации. В 1935 г. он стал Кавалером ордена бельгийской короны за деятельность в Брюссельском научном обществе и сотрудничество с журналами Annales и Mathesis. В 1943 г. он установил премию Виктора Тебо. Она присуждается раз в два года Парижской академией наук за оригинальные исследования по геометрии или теории чисел, причем предпочтение отдается учителям средних или даже начальных школ.

Первая теорема Тебо. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.

Доказательство. Обозначим через и центры больших квадратов, через и — центры малых квадратов, через — точку пересечения диагоналей параллелограмма (см. рис.).

Читать полностью ‘Теоремы Тебо’ »

hijos.ru

Математика — Молодой учёный

А

Абдрасилов Турганбай Курманбаевич

Казахстан, г. Туркестан

доктор философии (PhD) по философским наукам

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави

Авдеюк Оксана Алексеевна

Россия, г. Волгоград

кандидат технических наук, доцент

Волгоградский государственный технический университет

Айдаров Оразхан Турсункожаевич

Казахстан, г. Кызылорда

кандидат географических наук

Кызылординский государственный университет имени Коркыт Ата

Алиева Тарана Ибрагим кызы

Азербайджан, г. Баку

кандидат химических наук

Бакинский государственный университет

Ахметова Валерия Валерьевна

Россия, г. Чита

кандидат медицинских наук

Читинская государственная медицинская академия

Ахметова Мария Николаевна

Россия, г. Чита

доктор педагогических наук, профессор

Забайкальский государственный университет

Б

Брезгин Вячеслав Сергеевич

Россия, г. Чита

кандидат экономических наук, доцент

Читинский институт Байкальского государственного университета

Д

Данилов Олег Евгеньевич

Россия, г. Глазов

кандидат педагогических наук, доцент

Глазовский государственный педагогический институт имени В. Г. Короленко

Дёмин Александр Викторович

Россия, г. Архангельск

кандидат биологических наук

Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова

Дядюн Кристина Владимировна

Россия, г. Владивосток

кандидат юридических наук, доцент

Владивостокский филиал Российской таможенной академии

Ж

Желнова Кристина Владимировна

Россия, г. Ижевск

кандидат экономических наук

Ижевский государственный технический университет имени М. Т. Калашникова

Жуйкова Тамара Павловна

Россия, г. Абакан

кандидат педагогических наук, доцент

Хакасский государственный университет имени Н.Ф. Катанова

Жураев Хусниддин Олтинбоевич

Узбекистан, г. Бухара

кандидат педагогических наук, доцент

Бухарский государственный университет

И

Иванова Юлия Валентиновна

Россия, г. Чита

доктор философских наук, профессор

Забайкальский государственный университет

Игнатова Мария Александровна

Россия, г. Тында

кандидат искусствоведения

МОБУ ДОД ДМШ

И

Искаков Руслан Маратбекович

Астана

кандидат технических наук, и. о. ассоциированного профессора

Казахский агротехнический университет имени С. Сейфуллина

К

Кайгородов Иван Борисович

Бразилия, г. Санто Андрэ

кандидат физико-математических наук

Universidade Federal do ABC (Федеральный Университет АБС)

Калдыбай Кайнар Калдыбайулы

Казахстан, г. Туркестан

доктор философии (PhD) по философским наукам

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А. Ясави

Каленский Александр Васильевич

Россия, г. Кемерово

доктор физико-математических наук, профессор

Кемеровский государственный университет

Кенесов Асхат Алмасович

Казахстан, г. Алматы

кандидат политических наук, доцент

Казахский национальный университет имени Аль-Фараби

Коварда Владимир Васильевич

Россия, г. Курск

кандидат физико-математических наук, доцент

Юго-Западный государственный университет

Комогорцев Максим Геннадьевич

Россия, г. Чита

кандидат технических наук

Забайкальский институт железнодорожного транспорта

Котляров Алексей Васильевич

Россия, г. Чита

кандидат геолого-минералогических наук

Забайкальский государственный университет

Кошербаева Айгерим Нуралиевна

Алматы

доктор педагогических наук, профессор

Казахская головная архитектурно-строительная академия

Кузьмина Виолетта Михайловна

Россия, г. Курск

кандидат исторических наук, кандидат психологических наук

Юго-Западный государственный университет

Курпаяниди Константин Иванович

Узбекистан, г. Фергана

PhD in economics, профессор

Ферганский политехнический институт

Кучерявенко Светлана Алексеевна

Россия, г. Белгород

кандидат экономических наук, доцент

Белгородский государственный национальный исследовательский университет

Л

Лактионов Константин Станиславович

Россия, г. Белгород

доктор биологических наук, профессор

Белгородская государственная сельскохозяйственная академия

Лескова Екатерина Викторовна

Россия, г. Новосибирск

кандидат физико-математических наук

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А.Трофимука СО РАН

М

Макеева Ирина Александровна

Россия, г. Вологда

кандидат педагогических наук, доцент

Вологодский государственный педагогический университет

Матвиенко Евгений Владимирович

Россия, г. Кинель

кандидат биологических наук

Поволжский научно-исследовательский институт селекции и семеноводства имени П. Н. Константинова

М

Матусевич Марина Степановна

Россия, г. Санкт-Петербург

кандидат педагогических наук, доцент

Российский государственный педагогический университет имени А. И. Герцена

Мусаева Ума Алиевна

Россия, г. Махачкала

кандидат технических наук, доцент

Дагестанский государственный технический университет

Н

Насимов Мурат Орленбаевич

Казахстан, г. Кызылорда

кандидат политических наук, ассоциированный профессор, проректор по воспитательной работе и международным связям

Университет «Болашак»

П

Паридинова Ботагоз Жаппаровна

Казахстан, г. Кызылорда

магистр философии

Университет «Болашак»

Прончев Геннадий Борисович

Россия, г. Москва

кандидат физико-математических наук, доцент

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

С

Сараева Надежда Михайловна

Россия, г. Чита

доктор психологических наук, профессор

Забайкальский государственный университет

Семахин Андрей Михайлович

Россия, г. Курган

кандидат технических наук, доцент

Курганский государственный университет

Сенцов Аркадий Эдуардович

Россия, г. Томск

кандидат политических наук, доцент

Национальный исследовательский Томский политехнический университет

Сенюшкин Николай Сергеевич

Россия, г. Уфа

кандидат технических наук, доцент

Уфимский государственный авиационный технический университет

Т

Титова Елена Ивановна

Россия, г. Пенза

кандидат педагогических наук, доцент

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Ткаченко Ирина Георгиевна

Россия, ст. Ленинградская

кандидат филологических наук

Ленинградский социально-педагогический колледж (Краснодарский край)

Ф

Федорова Мария Сергеевна

Екатеринбург

кандидат архитектуры

Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Фозилов Садриддин Файзуллаевич

Узбекистан, г. Бухара

кандидат химических наук, доцент

Бухарский инженерно-технологический институт

Ш

Шуклина Зинаида Николаевна

Россия, г. Брянск

доктор экономических наук, профессор

Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского

Я

Яхина Асия Сергеевна

Россия, г. Чита

кандидат технических наук, доцент

Читинский институт Байкальского государственного университета

Ячинова Светлана Николаевна

Россия, г. Пенза

кандидат педагогических наук, доцент

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

moluch.ru

Журнал «Квант»

академик Алексей Львович Семенов
Главный редактор «Кванта»
23 ноября 2012 года

kvant.mccme.ru

Научный журнал по математике принял статью от генератора текстов Mathgen / Habr

Статья под названием «Независимые, отрицательные, канонические стрелы Тьюринга в уравнениях и задачах прикладной формальной PDE» (pdf) сопровождалась интригующей аннотацией: «Пусть ρ = A. Возможно ли расширить область изоморфизма? Мы показываем, что D′ является стохастически ортогональным и тривиально-аффинным соответствием. В [10], основным результатом стала конструкция множества Кардано, функции Эрдёша, Вейля, что может пролить важный свет на гипотезу Конвея-Д’Аламбера».

И аннотация, и весь текст, и список литературы в этой «научной статье» были сгенерированы программой Mathgen, которую написал математик Натан Элдридж (Nate Eldredge). Он с гордостью заявил, что статью в итоге приняли для публикации.

Редакторы журнала Advances in Pure Mathematics рассмотрели статью, а через 10 дней прислали поздравительное письмо: текст принят.

Впрочем, они обнаружили в статье ряд недостатков, которые попросили исправить. В частности, редакторы посоветовали переписать аннотацию для более ясного понимания и прислать список ключевых слов. Кроме того, в тексте статьи «много математических выражений и нотаций, для которых автор не даёт предисловия», а во втором разделе в разделе 2.4 приведена теорема без доказательства. Редакторы попросили более подробно описать конкретный процесс доказательства для утверждений 3.3 и 3.4, а также прислать научную работу в файле стандартного формата.

Натану Элдриджу пришлось самостоятельно писать ответ в редакцию журнала, такое дело он не мог доверить генератору. Аннотацию он переделал, но в остальном постарался защитить аутентичность работы. Он ответил, что «в научной работе действительно много математических выражений, но читатели соответствующей квалификации могут понять из контекста их смысл (или его отсутствие)».

По поводу более подробного процесса доказательств 3.3 и 3.4 автор написал: «Считаю, что приведённые доказательства для указанных положений являются вполне достаточным [для пунктов 3.3 и 3.4 написано, соответственно, «Это очевидно» и «Это понятно»]. Тем не менее, автор уважает мнение рецензента и добавит несколько дополнительных деталей».

Ну, а что касается формата, тут вообще нет никаких претензий: «работа сгенерирована в формате LaTeX, который является общепризнанным стандартом для научных статей, что нельзя сказать о шаблоне журнала APM, сделанном в Microsoft Word».

В конце концов, редакция одобрила статью и разрешила публикацию. Как известно, научные журналы нижнего уровня, как этот, требуют оплаты взноса для «обработки статьи» перед печатью. В данном случае требовалось $500, которые Натан Элдридж решил не платить, так что на бумаге произведение генератора Mathgen мы так и не увидим, к сожалению.

habr.com

Научные конференции, журналы и статьи по математике

Публикации и конференции по математике – одна из возможностей для студентов, аспирантов и ученых обменяться опытом, знаниями и навыками со своими коллегами из разных стран. Математика – одна из самых важных прикладных наук, идущая буквально рука об руку с другими научными направлениями. Для публикации математических научных статей используются различные журналы. Чтобы разместить свою работу в одном из таких журналов, можно просмотреть перечень изданий ВАК – Высшей Аттестационной Комиссии. Научные статьи в основном публикуются в таких изданиях, в то время как сборники конференций включают в себя тезисы и доклады, освещенные на мероприятии.

При выборе научного журнала для публикации математических статей желательно обращать внимание на те издания, которые входят в перечень ВАК. Чтобы отыскать их, достаточно зайти на официальный сайт Высшей Аттестационной Комиссии и в колонке поиска отыскать нужную специальность либо сузить поиск до поле углубленных направлений.

Наиболее авторитетные издания, включенные в перечень ВАК, представлены ниже:

1. «Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления»;
2. «Журнал вычислительной математики и математической физики»;
3. «Математические заметки Северо-восточного федерального университета»;
4. «Труды Санкт-Петербургского математического общества»;
5. «Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана»;
6. «Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика»;
7. «Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета»;
8. «Вестник Южно-Уральского государственного университета» и другие.

Отечественные математические журналы выпускаются не только в нашей стране, но и за ее пределами. Одними из наиболее авторитетных, входящих в перечень базы данных Web of Science, являются MOSCOW MATHEMATICAL JOURNAL, RUSSIAN JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYSICS и другие.

Многие высшие учебные заведения в нашей стране выпускают собственные журналы, включающие в себя математические статьи. Несмотря на то, что они не пользуются особой популярностью и авторитетом, многие из таких вестников внесены в список ВАК.

Организацией научных конференций по математике могут заниматься как научные организации, так и различные учебные заведения. Для публикации и участия желательно выбирать те мероприятия, которые внесены в списки РИНЦ – размещение работ ученого в таких сборниках будет учитываться при расчете наукометрических показателей исследователя.

Лучшими считаются конференции, проводимые известными учебными заведениями или организациями: «Апробация. РФ», центр научного знания «Логос», научно-издательский центр «AETERNA» и другие.

open-resource.ru

Познавательные статьи, интересные и полезные научные факты, научно-популярные статьи.

Познавательные статьи

Физика и математика очень интересные науки. Особенно это относится к физике, ведь она изучает окружающий нас мир, который еще пока полон загадок и тайн. Познавать эти тайны и узнавать все новые факты о мире вокруг нас очень занимательно. В этом разделе собраны различные научные интересные факты, которые помогут убедиться в особенной занимательности науки, полюбить физику и математику, а также отвлечься и развеяться во время трудоемкой и скучной подготовки к экзаменам. Здесь сложные научные теории излагаются простым языком, понятным даже школьникам.

Многие люди даже не подозревают о том, что вокруг нас есть множество предметов и вещей, которые имеют удивительные свойства. В этой статье обсудим твердость некоторых материалов и интересные результаты, которые получаются на основе этих свойств.

Подробнее…

Всем известно, что вода хорошо проводит электрический ток. По этой причине, например, нельзя купаться в грозу, нельзя мокрыми руками работать с электроприборами и так далее. Но проводит ли вода ток на самом деле?

Подробнее…

В этой статье приведем небольшую, с одной стороны шутливую, но с другой стороны полностью научную теорию с помощью которой можно оправдать себя в те моменты, когда над Вами взяла верх лень.

Подробнее…

В этой статье кратко рассмотрим свойства черных дыр, возникающие вследствие их колоссального гравитационного притяжения, и то как интересно эти свойства «можно» было бы использовать при решении некоторых бытовых вопросов.

Подробнее…

Существует миф, что один лист бумаги нельзя сложить более семи раз так, чтобы линия каждого последующего изгиба была перпендикулярна линии предыдущего изгиба. Однако это не правда.

Подробнее…

Провода в высоковольтных линиях электропередач не заключены в резиновую изоляцию, они просто закреплены на опорах с помощью изоляторов и таким образом электрически касаются только источника и потребителя тока.

Подробнее…

В этой статье обсудим насколько безопасны сейчас автомобили? Почему не сделать машину еще более прочной, и над чем поработали инженеры, чтобы предотвратить плачевные последствия при аварии?

Подробнее…

Всем людям, а тем более школьникам, хорошо знакомы картинки типа той, что приведена выше. Однако увидим ли мы что-то подобное если будем смотреть на молекулу или атом даже через самый крутой оптический микроскоп?

Подробнее…

В повседневной жизни, если речь заходит о форме Земли, то чаще всего можно услышать, что она шарообразная. Однако, если говорить подробнее и точнее о форме Земли, то можно сделать несколько весьма и весьма интересных замечаний.

Подробнее…

Как известно скорость света – это хоть и большая, но все же конечная величина. Существуют вполне материальные объекты (например, фотоны – частицы из которых и состоит свет), которые двигаются со скоростью света. Как же «выглядит» мир «глазами» таких быстрых объектов?

Подробнее…

Усилиями различных СМИ а также художественной и фантастической литературы черные дыры приобрели имидж очень опасных космических объектов, которые якобы поглощают всё на своем пути и могут внезапно поглотить и Землю. Разберемся так ли это?

Подробнее…

В этой статье попробуем разобраться в некоторых свойствах строения человеческого лица, и в том почему существует так много людей, которым не нравятся их собственные фотографии, и что с этим делать?

Подробнее…

Интересная статья о том, какова роль вирусов в эволюции человечества. Для отдельно взятого человека, зараженного каким-либо вирусом, этот вирус, конечно, большое зло. Но для человечества в целом, все далеко не так однозначно.

Подробнее…

Человек способен по двухмерной картинке составить весьма полное представление о расстояниях до изображенных объектов, их форме и размерах, и таким образом полностью воспринять трехмерный мир во всей его глубине. Как мы этого добиваемся?

Подробнее…

Многие из нас думают, что могут измерить температуру окружающих предметов. Но это не совсем так. В этой статье попробуем разобраться так в чем же подвох, и что на самом деле мы ощущаем?

Подробнее…

Сложные формы жизни снаружи выглядят по-разному. Но все растения, одноклеточные организмы, животные и даже люди на самом простом уровне состоят из похожего материала – из клеток, включающих ядра.

Подробнее…

Материал данной статьи ознакомит читателя с базовыми понятиями генетики, и с интересными свойствами генома человека. Генетика — это наука о закономерностях наследственности и изменчивости. В зависимости от объекта исследования классифицируют генетику растений, животных, микроорганизмов, человека и так далее.

Подробнее…

В этой статье обсудим зачем или почему листья меняют цвет перед зимой? Как происходит этот процесс? Почему цвет листьев становится именно желтым или красным?

Подробнее…

В наши дни часто можно встретиться с мнением о том, что человеческий мозг, якобы работает всего на 10% от всех своих возможностей. На основе подобного утверждения даже строится сюжет некоторых популярных фильмов. Попробуем разобраться, действительно ли каждый из нас может внезапно стать в десять раз умнее, или это миф, и если да, то откуда он взялся?

Подробнее…

Возможно, Вы читали много чего интересного, но вероятно найдется еще что-то чем можно Вас удивить. В этой статье собрано 30 интересных и достоверных фактов из биологии, истории, географии, физики и прочих наук, которые точно не оставят Вас равнодушными.

Подробнее…

В этой статье будут кратко рассмотрены некоторые промахи, в теории эволюции основанной только на естественном отборе. К слову, эволюция — это естественный процесс развития живой природы, сопровождающийся изменением генетического состава популяций, формированием адаптаций, видообразованием и вымиранием видов, преобразованием экосистем и биосферы в целом.

Подробнее…

В этой статье приводится перечисление и описание некоторых из факторов, которые прямо или косвенно повлияли или продолжают влиять на появление и поддержание жизни на нашей планете. Этих факторов оказывается так много, что порой, вся их совокупность перестает казаться случайной.

Подробнее…

После выхода на широкий экран фильма «Матрица» и его продолжений, многие люди задумались: а действительно, не живем ли мы все в матрице? Как же доказать, что это действительно не так?

Подробнее…

В этой насыщенной статье описываются все аспекты взаимоотношений между религией (на примере Христианства) и наукой, история их сосуществования, их сходства и различия. Статья наглядно, аргументированно, и на большом количестве примеров демонстрирует, что между религией и наукой нет противоречий.

Подробнее…

Многим людям кажется, что насчет данного популярного вопроса по-прежнему существует какая-то интрига. Однако наука уже давно дала ответ на него: первым было яйцо.

Подробнее…

Часто можно услышать мнение, будто бы Эйнштейн слабо понимал математику и вообще учился крайне плохо. Этот довод часто приводится как «оправдание» плохой учебы современных школьников. Но так ли это?

Подробнее…

Термин «Большой взрыв» был придуман известным британским физиком и астрономом Фредом Хойлом, который пытался с его помощью выразить свое саркастическое отношение к такой идее возникновения Вселенной.

Подробнее…

Суть науки заключается в постановке вопросов и проведении точных экспериментов чтобы найти на них ответы. Обычно опыты проводятся не слишком долго, максимум в течение нескольких лет, но некоторые эксперименты длятся столько, что изначальный вопрос почти забыт, а организаторов опыта уже нет с нами.

Подробнее…

Статья о современных ионисторах. Их особенностью является способность отдавать большое количество энергии за очень небольшой временной интервал. Устройство уже широко применяется в различных отраслях. Возможно, что ионисторы скоро повсеместно заменят обычные химические элементы питания.

Подробнее…

Обзорная статья об Искусственном Интеллекте (далее — ИИ) и некоторых страхах, связанных с ним. В статье предпринимается попытка поднять и рассмотреть вопрос о мирном сосуществовании человека и цифрового разума.

Подробнее…

educon.by

Журналы — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА

Если вы интересуетесь математикой и физикой и любите решать задачи, то вашим другом и помощником станет научно-популярный физико-математический журнал «КВАНТ». Он выходит с 1970 года и рассчитан на школьников старших классов и их учителей, а также на студентов младших курсов.
На страницах журнала – рассказы о достижениях науки и ее применениях, творческие задачи, истории замечательных идей и замечательных людей, головоломки, занятия факультативов и кружков, помощь в трудных вопросах школьной программы, интересные физические опыты, материалы для поступающих, задачи турниров и олимпиад по математике и физике (от городских до международных), полезная информация о научных обществах учащихся, физико-математических турнирах и праздниках, заочных и вечерних школах при различных вузах страны. А задачи раздела «Квант» для младших школьников» обычно интересны всем – от шестиклассников до академиков.

Журнал издается с 1970 г., выходит 12 раз в год.
Информация об отдельных номерах и приложениях

В архиве номеров журнала за прошлые годы есть доступ к статьям по рубрикам и по авторам.
Подписаться на журнал можно в любом почтовом отделении связи. Подписной индекс 90964 в каталоге агентства «Пресса России».
Номера журнала в электронном виде доступны в системе Статград, на портале pressa.ru и в магазине Литрес.

«Квантик» – ежемесячный иллюстрированный журнал для любознательных школьников самого разного возраста. Читайте на его страницах занимательные рассказы и задачи по математике, физике, лингвистике, биологии, химии…

В журнале много интересных рубрик: «Оглянись вокруг», «Математические сюрпризы», «Опыты и эксперименты», «Игры и головоломки», «Своими руками», «Наглядная математика», «Чудеса лингвистики», «Преданья старины», «Смотри!», «Искусство вычислений», «Давайте изобретать», «Великие умы», «Словечки», «Детективные истории», «Математический кружок», «Как это устроено», «Задачи в картинках», «Олимпиады», «Математические сказки», «Парадоксы», «Улыбнись», «Комиксы».

Хотите узнать, какое живое существо на Земле самое тяжёлое, как доказать теорему Пифагора с помощью ножниц, куда смотрит месяц, что такое вероятность, почему облака снизу плоские, как нагреть песок без огня и электроприборов, бывает ли абсолютно стойкий шифр – и многое-многое другое? Тогда читайте журнал «Квантик»!

Журнал издается с 2012 г., выходит 12 раз в год.
Информация об отдельных номерах

На сайте журнала есть материалы о конкурсах журнала и о кружке Квантика, избранные статьи.
Подписаться на журнал можно в любом почтовом отделении связи. Подписной индекс 90964 в каталоге агентства «Пресса России».
Номера журнала в электронном виде доступны в системе Статград, на портале pressa.ru и в магазине Литрес.

«Математика» — методический журнал для учителей математики. До 2017 года он 24 года входил в число периодических изданий Издательского дома «Первое сентября», а теперь издается Московским центром непрерывного математического образования при участии Российской ассоциации учителей математики.

В журнале публикуются статьи о работе региональных отделений Российской ассоциации учителей математики, о международных исследованиях качества математической подготовки, по истории математики, методические материалы для подготовки к ЕГЭ (базовый и профильный уровни), для повышения квалификации учителей, для кружковых занятий, разборы уроков, головоломки.

Журнал издается с 1992 г., выходит 10 раз в год.
Информация об отдельных номерах

Подписаться на журнал можно в любом почтовом отделении связи. Подписной индекс 80506 в каталоге агентства «Пресса России».
Номера журнала в электронном виде доступны в системе Статград, на портале pressa.ru и в интернет-магазине Литрес.

Труды московского математического общества являются печатным органом Московского математического общества и одним из наиболее авторитетных российских изданий по математике, в котором публикуются оригинальные статьи по актуальным проблемам современной математики. Ежегодно в свет выходят два тома Трудов. В издании публикуются большие статьи монографического характера, а также результаты молодых математиков, выносимые ими на защиты кандидатских диссертаций. Доступен архив номеров журнала с 1952 года.
Журнал переводится на английский язык Американским математическим обществом и рецензируется в Mathematical Reviews.

Подписаться на журнал можно в любом почтовом отделении связи. Подписной индекс 84260 в каталоге агентства «Пресса России».

The Moscow Mathematical Journal (MMJ) is an international quarterly published (paper and electronic) by the Independent University of Moscow and the department of mathematics of the Higher School of Economics, and distributed by the American Mathematical Society. MMJ presents highest quality research and research-expository papers in mathematics from all over the world. Its purpose is to bring together different branches of our science and to achieve the broadest possible outlook on mathematics, characteristic of the Moscow mathematical school in general and of the Independent University of Moscow in particular.

An important specific trait of the journal is that it especially encourages research-expository papers, which must contain new important results and include detailed introductions, placing the achievements in the context of other studies and explaining the motivation behind the research. The aim is to make the articles — at least the formulation of the main results and their significance — understandable to a wide mathematical audience rather than to a narrow class of specialists.

A 30 day free trial of electronic version of Moscow Mathematical Journalis available to institutions (see http://www.ams.org/distribution/mmj/subscription.html)

Subscriptions can be placed through subscription agents, or ordered directly from AMS:

Moscow Mathematical Journal P.O. Box 845904, Boston, MA 02284-5904, U.S.A.
Tel.: (401) 331 38 42,
E-mail: [email protected]

Subscriptions are available directly from MMJ in Russia:

Moscow Mathematical Journal Independent University of Moscow,
11, B.Vlasievsky per., Moscow 119002, Russia.
Tel.: 7 (499) 241 05 00,
E-mail: [email protected]

xn--80aaitjkj2b.xn--p1ai

Нововведения в математике или как правильно решать задачи

Логика продолжает удивлять. Ладно, была загадка без правильного ответа, но вот чтобы математические задачи решались с нарушением логики — сложно представить! Но есть и такое в нашей светлой действительности. 

Вот такое решение математической задачи и «правильный» ответ облетели Интернет. Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал. Оказывается, что решение(даже не ответ) должно выглядеть так: 2*9=18. А если помножить 9 на 2, то неправильно. То есть надо умножать литры на покупателей, а не покупателей на литры. Разница — принципиальная.

То есть все мое поколение, которое в школах учили простой истине, что от перемены мест слагаемых(или множителей) сумма(произведение) не меняется — вкорне неверно!

В чем же логика? А логику объясняют в другом учебнике математики: В 5 чашек положили по 2 куска сахара. Сколько всего кусков сахара положили в эти чашки? И вот тут начинается самое главное: оказывается, при записи задачи с помощью умножения важен порядок множителей — от этого зависит наименование в ответе задачи. В данной задаче нельзя поменять множители местами при записи решения… Число 2 обозначает куски сахара, а число 5 обозначает количество чашек. Если поменять их местами в записи решения задачи, то в ответе будут чашки, а не куски сахара. Некоторые учителя полагают, что данное требование формально и необязательно к соблюдению. Однако оно важно для формирования осмысленного отношения к процессу решения задачи

Видимо, это учебник стереотипности мышления и невозможности поиска альтернатив. Формальный и осмысленный подход к решению важнее умения решать. То есть, если в 5 чашек положить по 2 куска сахара, а потом перемножить показатели, то получим в ответе не сахар, а чашки. Похоже, что у них какая-то особая чашка, которая умеет раздваиваться, если в нее положить 2 куска сахара.

Число 2 имеет размерность «кусков в расчёте на чашку», или «кусков/чашка».
При умножении на 5 «чашек» имеем
2 «кусков/чашка» * 5 «чашек» = (2*5) «кусков/чашка * чашка»
«Чашка» сокращается.
В итоге имеем 10 «кусков».

Если мы запишем 5 «чашек» * 2 «кусков/чашка» в ответе будут те же 10 кусков.

Насчёт мышления вообще потрясающе сказано. В таком случае, по мнению авторов пособия, перестановка слов в условии сразу будет делать задачу нерешаемой.

Вспоминается анекдот:

Захотел гаишник заработать. Останавливает женщину и спрашивает:
— Слушай, а если я у тебя свечи выкручу, у тебя какое колесо спустит?
Думала она, думала — не знает, что ответить.
— Ага, не знаешь, ну плати штраф.
Гаишнику понравилось, останавливает он мужика на грузовике и опять тот же вопрос.
Мужик думал-думал, и спрашивает у гаишника:
— Слушай, а если я тебе монтировкой по башке дам, на какой ноге шнурки развяжутся?

В общем, для таких задач рекомендуется заучить фразу: Моя мама учит меня, что не всякое оценочное суждение должно служить модификатором поведения «операция умножения над полем вещественных чисел обладает свойством коммутативности». 😉

jyrnalist.com.ua

как научить ребенка решать задачи

В статье «Ребенок в школе не понимает математику?» я рассказывал о нестандартном, то есть основанном на понимании, методе решения простейшей задачи по математике 2 класса.

Спустя полгода жизнь дала еще одно подтверждение правильности выбранного метода обучения, как бы заметив: «Это было не случайно». А заодно подтвердив правоту теории синхронизма К.Юнга.

Теории синхронизма я коснусь чуть позже, а сейчас поговорим о математике.

Школьная математика: песок на зубах

Вчера, взглянув в тетрадь сына, жена увидела там очередную «задачу,» которую детям в разных вариантах задают вот уже 2 года… Все та же задача о «Лютиках — цветочках», но теперь — о конфетах … Уже не смешно …

«От этих «задач» уже песок на зубах скрипит», — заметила она.

И решила как-то разнообразить досуг, научив сына решать эту задачу более общим методом.

«Я его периодически подругиваю, потому, что он не хочет записывать решения формально. Вот я и решила научить его формальному (но не школьному) способу решения таких задач», сказала мне она.

«И вот смотри, что он натворил…»

Сладкая задача по математике

Показав сыну, как решается эта задачка алгебраически, жена спросила: «Понял?»

«Понял», ответил сын.

Ну тогда решай».

«16 и 24» ответил сын не задумываясь.

«Ну а как ты решал?», спросила жена.

«Ну …, делим 8 пополам …»

Немая сцена …

«Разве так я тебя учила?..»

«Ну ладно, подумала я. В конце концов ответ верный и попросила его объяснить, как он решал задачу».

Сын недовольно надул губы и поведал ход своих мыслей.

Решение задачи: что сын думает о том, как он думал

«Если бы апельсиновых и лимонных конфет было поровну, (а это получилось бы, если бы добавили 4 апельсиновых и забрали 4 лимонных, для этого 8 и делим пополам), то их было бы по 20 штук. Апельсиновых было меньше, значит заберем из 20 апельсиновых 4 (которые добавляли раньше) и добавим к 20 лимонным 4 (которые раньше забирали). Получится 16 и 24″.

Как я думаю, как сын думал

Немного о методологии обучения …

Одна из аксиом, которую я использую в образовании (включая и самообразование):

«Если я вижу только результат — значит я ничего не вижу».

Понимание предполагает осведомленность о процессе и причинах.

Поэтому, приняв к сведению объяснение, данное сыном, я решил реконструировать реальный процесс, происходивший в его голове.

Правостороннее и левостороннее мышление

Прежде всего, я обратил внимание на то, что ответ был выдан немедленно. А это говорит о том, что работало, в основном. правое полушарие.

То есть сын видел задачу, «вертел ее в голове».

Выход в надсистему

Далее.

Обращает на себя внимание тот факт, что решение происходило не «изнутри» задачи, а «снаружи».

«Невозможно решить проблему на том же уровне,
на котором она возникла.
Нужно стать выше этой проблемы,
поднявшись на следующий уровень»
А.Эйнштейн

(Когда мы говорим о «видении» задачи, мы, опять же, по-определению, говорим о взгляде «сверху». В противоположность школьному, формальному, инвертированному подходу, основанному на шаблонизации мышления

— об этом поговорим позже).

Для быстрой оценки необходимо было взглянуть на коробку, в которой 40 конфет (50 минус 10 шоколадных).

Количество, качество и структура

«Зачем ты 8 делил пополам?»

«Но ведь если мы добавим 4 и уберем 4 — ничего не изменится!»

То есть решение происходило не в чистом виде количественно.

Когда я услышал, как сын решил задачу, я сразу увидел две пирамидки: одна выше другой.

Отрубив у одной вершину и разделив пополам я получил равные пирамидки. Но мне пришлось поразмыслить, чтобы понять, как в точности думал сын. Каюсь: мозги «зачерствели».

Он мысленно вынул из коробки 4 апельсиновых конфеты и добавил туда 4 лимонных. То есть, сохранив количество, он изменил качество, структуру.

Путь через понимание

«Воображение важнее, чем знания.
Знания ограничены, тогда как воображение
охватывает целый мир,
стимулируя прогресс, порождая эволюцию»
А.Эйнштейн

Трудно не понять, увидев и «повертев».

Обратное тоже верно.

«Прикладывая» же абстрактную формулу к конкретной задаче, мы всегда рискуем «воткнуть» ее не в то место.

«С тех пор, как математики взялись
за теорию относительности,
я сам перестал ее понимать»
А.Эйнштейн

Полагаю, что один из физико-математических гениев 20 века выразил, хотя и в шуточной форме, важную и полезную мысль.

Упрощающее усложнение

У некоторых людей в подобных случаях возникает вопрос: зачем усложнять простые вещи? Простая задача, простое решение… Какая разница, как решать?

Это как раз та категория людей, которые так и не развили так называемое «понятийное» или «концептуальное» мышление. А «думают» шаблонами. И среди них, к сожалению — огромная армия школьных учителей (см. результаты школьного образования).

Усложнение необходимо, чтобы простые вещи оставались простыми и понятными, когда они действительно усложнятся.

Иначе говоря, речь идет о подходе к обучению, о методологии.

Если бы абсолютное большинство детей понимало математику в школе — не было бы никакой нужды углубляться в этот вопрос. То, что работает — работает.

Но то, что не работает — требует выяснения глубинных причин неэффективности.

Другая причина усложнения состоит в том, что мы с помощью «левого» вторгаемся в область «правого». С помощью слов пытаемся передать изображение, да зачастую еще и то, которое сами не видели …(И тут я возвращаюсь к началу:

синхронизм К.Юнга — труднообъяснимая, но хорошо работающая гипотеза. Предыдущая статья писалась в тот момент, когда сын решал «сладкую» задачу) …

И все-таки: можно ли так научить ребенка понимать математику?

Мне известно мнение большинства учителей: такой подход вначале облегчает понимание, но потом, когда математика усложнится, возникнут серьезные проблемы.

Если бы я вообще ориентировался на «мнения», то скорее, принял бы во внимание мнение А.Эйнштейна, а не их.

Все, милые мои, с точностью до наоборот. И это знает любой, кто сталкивался с реальной жизнью, в том числе, с научной деятельностью.

Подобные возражения концептуально неверны.

Поэтому — «Будем посмотреть».

P.S. И вот, спустя полгода увидели (результаты математической олимпиады «Кенгуру-2016»

butorov.ru

Правила решения задач по математике

Задачи

Рекомендации для учителей начальных классов

1 класс

Учащиеся говорят «Эта задача на нахождении …Чтобы…»

1.Задачи на нахождение суммы.

Чтобы найти сумму чисел, нужно сложить.

2.Задачи на нахождение остатка (разности).

Чтобы найти остаток, нужно вычесть.

3.Задачи на уменьшение (увеличение) числа на несколько единиц.

Это задача на уменьшение (увеличение) числа. Чтобы решить задачу нужно вычесть (прибавить, сложить).

4.Задачи на разностное сравнение чисел.

Чтобы узнать на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

5.Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно вычесть.

2 класс

1.Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить.

2.Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно вычесть.

3.Задачи на нахождение частного.

Чтобы найти частное, нужно разделить.

4.Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого.

Чтобы найти неизвестное третье слагаемое, нужно вычесть.

5.Задачи на нахождение произведения.

Чтобы найти произведение, нужно умножить.

6.Задачи на деление на части.

Чтобы решить задачу на деление на части, нужно разделить.

7.Задачи на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз.

Это задача на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз. Чтобы решить задачу нужно разделить (умножить).

3 класс

1.Задачи на приведение к единице.

Чтобы решить задачу, нужно разделить.

2.Задачи на нахождение части числа.

Чтобы решить задачу, нужно разделить.

3.Задачи на нахождение числа по его части.

Чтобы решить задачу, нужно умножить.

4 класс

1.Задачи на нахождение скорости.

Чтобы найти скорость, нужно разделить.

2.Задачи на нахождение времени.

Чтобы найти время, нужно разделить.

3.Задачи на нахождение расстояния.

Чтобы найти расстояние, нужно умножить.

4.Задачи на нахождение площади прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину.

5.Задачи на нахождение среднего арифметического.

Чтобы найти среднее арифметическое чисел, нужно все числа сложить и разделить на их количество.

6.Задачи на пропорциональное деление.

7.Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

infourok.ru

Как научить ребенка решать задачи? | Обучение

Пока ребенок обучается в начальной школе, его надо научить выделять в задаче условие и вопрос. Условие — это то, что известно, а вопрос — это то, что надо найти. Затем в условии и вопросе Вы выделяете главные слова. Как правило, это действия: было, приехали, купили, подарили, осталось и т. п. Но главными словами могут быть и, например, два ребенка (Маша и Миша, Петя и Сережа) или два предмета (магазины, ларьки, дома) и т. п. На этом этапе важно, чтобы ребенок образно представил то, о чем говорится в задаче.

Затем надо показать ребенку смысл этих слов. Было, всего, купили, и, стало, на… больше — эти слова указывают на сложение. Продали, уехали, осталось, на… меньше — эти слова указывают на вычитание. Разложили, раздать, в … меньше — это деление. Если вопрос начинается со слов «На сколько…», то это указание на действие вычитания.

Некоторые учебники по математике оперируют терминами «часть» и «целое». Было, всего, стало — эти слова указывают на «целое», а остальные слова — на «часть». Зная об этом, Вашему маленькому ученику будет проще начертить схему к задаче.

Теперь, когда появилась схема, которая содержит условие и вопрос, подумайте вместе с ребенком: можно ли сразу ответить на поставленный вопрос, все ли нам известно для ответа на этот вопрос или что-то еще требуется узнать? Далее Вы помогаете ребенку выделить промежуточные вопросы в задаче. Ведь сколько ребенок вопросов найдет, столько и действий в этой задаче. Здесь важно обсудить, с помощью какого математического действия будете искать ответ на этот вопрос. Так составляется план решения задачи.

Особую роль в решении задач играет заключительный анализ решенной задачи, т. е. ребенку необходимо еще раз рассказать, как он решал задачу и почему выбрал то или иное математическое действие.

Предложите ребенку решить похожую задачу самостоятельно. Обсудите с ним, чем задачи похожи и чем отличаются. Как эти различия повлияли на решение задачи? Почему задачи решаются одинаково?

Попробуйте дать задачу, которая будет решаться иначе. Дайте ребенку возможность подумать, почему эта задача решается, например, сложением, когда две предыдущие Вы решали вычитанием.

Возникает вопрос, где взять «похожие» и «различные» задачи? Воспользуйтесь сборником задач О. В. Узоровой, Е. А. Нефедовой «2500 задач для начальной школы».

Уверена, что Ваши дети полюбят решать задачи. Успехов!

shkolazhizni.ru

Правила решения задач по математике

Задачи

Рекомендации для учителей начальных классов

1 класс

Учащиеся говорят «Эта задача на нахождении …Чтобы…»

1.Задачи на нахождение суммы.

Чтобы найти сумму чисел, нужно сложить.

2.Задачи на нахождение остатка (разности).

Чтобы найти остаток, нужно вычесть.

3.Задачи на уменьшение (увеличение) числа на несколько единиц.

Это задача на уменьшение (увеличение) числа. Чтобы решить задачу нужно вычесть (прибавить, сложить).

4.Задачи на разностное сравнение чисел.

Чтобы узнать на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

5.Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно вычесть.

2 класс

1.Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить.

2.Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно вычесть.

3.Задачи на нахождение частного.

Чтобы найти частное, нужно разделить.

4.Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого.

Чтобы найти неизвестное третье слагаемое, нужно вычесть.

5.Задачи на нахождение произведения.

Чтобы найти произведение, нужно умножить.

6.Задачи на деление на части.

Чтобы решить задачу на деление на части, нужно разделить.

7.Задачи на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз.

Это задача на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз. Чтобы решить задачу нужно разделить (умножить).

3 класс

1.Задачи на приведение к единице.

Чтобы решить задачу, нужно разделить.

2.Задачи на нахождение части числа.

Чтобы решить задачу, нужно разделить.

3.Задачи на нахождение числа по его части.

Чтобы решить задачу, нужно умножить.

4 класс

1.Задачи на нахождение скорости.

Чтобы найти скорость, нужно разделить.

2.Задачи на нахождение времени.

Чтобы найти время, нужно разделить.

3.Задачи на нахождение расстояния.

Чтобы найти расстояние, нужно умножить.

4.Задачи на нахождение площади прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину.

5.Задачи на нахождение среднего арифметического.

Чтобы найти среднее арифметическое чисел, нужно все числа сложить и разделить на их количество.

6.Задачи на пропорциональное деление.

7.Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

kopilkaurokov.ru

Как научиться решать задачи по математике

3 августа 2011

Автор КакПросто!

Математика является сложным предметом школьной и вузовской программы. Только при наличии активной позиции при изучении данного предмета, при условии приобретения практических умений и навыков и их реального использования, можно рассчитывать на успех.

Статьи по теме:

Инструкция

В математических пособиях, учебниках, сборниках приведены примеры решения типичных задач. Не ленитесь их внимательно рассматривать и разбирать. Обязательно извлечете для себя что-то полезное.

Эффективными являются написанные от руки справочники. При изучении нового материала обязательно дополняйте свою «шпаргалку». Не надо открывать учебники и рыться в конспектах.Достаточно по справочнику определить, можно ли им воспользоваться в данном случае и данной задаче. Подобные пособия прекрасно развивают зрительную память. Через какое-то время даже они вам не потребуются.

Старайтесь запоминать наизусть основные формулы, теоремы, таблицы значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций, графики элементарных функций. Научитесь составлять алгоритм решения. Последовательность действий всегда подразумевает логичный результат.

Видео по теме

Источники:

• как составить задачи по математике

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как научиться решать задачи? | КТО?ЧТО?ГДЕ?

Школьная жизнь ребенка постоянно сопровождается необходимостью решать задачи по математике, химии, физике, вычислять которые нужно с помощью формул, теорий и других знаний. Не только дети, но и родители задаются вопросом, как научиться решать задачи? Для этого мы поэтапно рассмотрим возможные варианты для каждой науки в отдельности.

Как научиться решать задачи по математике: практические рекомендации

Математика – королева всех наук, которая способна поставить перед учеником сложное задание. Как научиться решать задачи по математике? Этот вопрос задают многие ученики, родители и педагоги, для этого важна хорошая мотивация. Также важно убедить ребенка, что в них нет ничего сложного, главное правильно прочитать условие, выучить правила, проявить смекалку и внимательность. Если вас интересует, как быстро научиться решать задачи по математике, тогда необходимо:

1. Сделать визуализацию, создать зрительную модель задачи, чтобы ребенку было проще понять условия. Можно нарисовать рисунок, создать схему, таблицу.
2. Разбить условие на блоки.
3. Определить, решались ли ранее подобные задания.
4. Использовать теоретические знания.
5. Составить план.
6. Сделать вычисления с помощью формул.
7. Проанализировать решение, сравнить ответ.

Как видно, ничего сложного в этом нет, главное правильно найти подход.

Как научиться решать задачи по физике: рекомендации

Как научиться решать задачи по физике? Первоначально нужно успокоиться, так как условие может на первый взгляд показаться сложным. Внимательно прочитайте его, при необходимости разбейте условие на части. Далее необходимо графически отобразить условие, нарисовав схему. Определите, что дано в задаче, какие параметры и величины известны – зафиксируйте данную информацию. Напишите все формулы, которые, по вашему мнению, могут подойти, и выберете правильную. Далее нужно составить и решить уравнение, пока не найдете все неизвестные. Совет: если сразу сложно решить, отложите ее на время и решение само к вам придет.

Как научиться решать задачи по геометрии: советы

1. Прочитайте задание.
2. Отобразите визуально условие, нарисуйте график.
3. Определите, что дано и перенесите данные на рисунок.
4. Важно понимать с каким разделом геометрии вы будете иметь дело.
5. Используйте теоретические знания, учите теоремы, формулы.

Чтобы ребенок проще воспринял условие, его нужно разбить на части. В правильно записанном условии кроется решение.

Как научиться решать задачи по химии: что нужно знать

Весь окружающий мир состоит из соединений и реакций, поэтому без познаний в области химии не обойтись. Как научиться решать задачи по химии и что для этого нужно? Важно знать теорию – без нее не обойтись, так же как и без таблицы Менделеева. Необходимо выбрать алгоритм решения и можно воспользоваться таким:

1. Написать уравнение реакции. Здесь важно правильно рассчитать коэффициент. Можно записи сделать поверх реакции, определив известные и неизвестные данные.
2. Выберете способ поиска неизвестных данных, определив какое количество действий потребуется.
3. Правильно составьте пропорцию.
4. Сравните условие задачи с решением.

Как научиться решать задачи на проценты: простое правило

Если вас интересует вопрос, как научиться решать задания на проценты, тогда важно запомнить одно простое правило: 1% равен одной сотой части от данного числа. Например, если вам дано число 15, то сотая часть от данного числа будет составлять 0.15, то есть 15 делите на 100 и получаете 0.15.Таким способом вычисляются все величины, также и те, которые касаются денежного эквивалента.

Как научиться решать логические задачи: что для этого нужно

Благодаря логическим заданиям можно развивать логическое мышление, но как научиться решать логические задачи? Для этого можно использовать:

1. Рассуждения.
2. Таблицы.
3. Схемы.
4. Графики.

Хорошо помогает логический квадрат. Рекомендовано пользоваться предположениями, методом с конца. Главное правильно прочитать условие и создать визуализацию.

Как научиться решать задачи по биологии: быстро и просто

Казалось бы, биология – это теоретический предмет, но часто у людей возникает вопрос: как научиться решать задачи по биологии? Часто они встречаются в разделе генетики и для того чтобы решить ее, нужно:

1. Понять, к какому разделу задача относится. Это может быть моногибридное сокращение, дигибридное сокращение, полигибридное сокращение.
2. Выберите наследование.
3. Определите законы.
4. Выберите закономерности.

Условие нужно хорошо изучить, записать, подобрать решение, сравнить ответ.

Как научиться решать экономические задачи из ЕГЭ: рекомендации

Каждый школьник встречается с экзаменом по экономике и тогда возникает вопрос: как научиться решать экономические задачи из ЕГЭ? Важно придерживаться определенного алгоритма:

1. Владеть теоретическим материалом.
2. Проанализировать числовые данные, статистику.
3. Подобрать формулу.
4. Произвести расчеты.

Придерживаясь рекомендаций и простых правил, и вы сможете сказать: «Я тоже научился решать задачи наподобие треугольников» и без особых проблем.

kto-chto-gde.ru

в картинках и текстовые, для взрослых и детей

Математические головоломки как способ помериться интеллектуальными силами всегда увлекали людей. ЛогикЛайк рассказывает о нескольких широко известных задачках, над которыми ломали голову десятки поколений.

Разберите подборку головоломок вместе с детьми: «разомнете» мозги, весело проведете время и знание истории «прокачаете»! Мы выбрали интересные задачки, дошедшие до наших дней из «древности», и приближенные к «нашему» времени.

Папирус Ахмеса

Древние египтяне были не только опытными строителями пирамид, но и прекрасными математиками. Доказательством этому служит древнеегипетский папирус, автором которого был некий Ахмес. Как выяснили исследователи-египтологи, папирус Ахмеса — копия очень древнего математического сборника, составленного во времена фараона Аменемхета III (приблизительно 1853-1806 гг. до н.э.). Задач в сборнике много — ниже одна из них.

Задача о переправе

Не только древние египтяне упражнялись в решении задач на сообразительность. Историки обнаружили книгу, написанную на латыни, под названием «Задачи для развития молодого ума». Ирландский богослов, ученый и просветитель Алкуин, живший в IX веке, собрал в книге 53 задачи. Предлагаем одну из них — настолько «бородатую», что ее знают школьники во всем мире.

Как крестьянину перевезти все в целости и сохранности?

Печать царя Соломона

На гробнице мудрого легендарного библейского царя Соломона потомки изобразили знаменитую печать правителя.

Попробуйте сосчитать, сколько равносторонних треугольников изображено на печати.

Задача Фибоначчи о размножении кроликов

Леонардо Пизанский (около 1170 г.р.), по прозвищу Фибоначчи, — один из первых именитых математиков средневековой Европы. Он успешно участвовал в математических турнирах, а, создав себе имя, придумывал для них занимательные задачи. Ниже одна из самых известных.

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца.
Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов».

Сколько пар кроликов будет в огороженном месте через 12 месяцев с начала размножения?

Подсказка Вспомните последовательность Фибоначчи или запаситесь терпением — и считайте.

Задача Тартальи «Трудное наследство»

Никколо Тарталья (1499 г.р.), итальянский математик, обнаруживший общий алгоритм решения кубических уравнений. Описанный Никколо метод вошел в историю математики как Формула Кардано, по имени первого публикатора метода, до которого независимо друг от друга додумались Тарталья и Сципион дель Ферро.

Предлагаем решить ставшую известной задачу Тартальи о дележе лошадей.

Как выполнить завещание?

Головоломка Льюиса Кэрролла

Известный писатель Льюис Кэрролл, тот самый, который создал истории об Алисе и ее приключениях в Стране Чудес и Зазеркалье, еще и очень любил придумывать головоломки и преподавал логику.

Своим маленьким поклонникам Кэрролл часто предлагал такую головоломку:

Задача усложняется особыми условиями ее выполнения:

• карандаш от бумаги отрывать нельзя;
• дважды проводить карандашом в одном месте нельзя;
• пересекать линии нельзя.

«Безумный разрез» Мартина Гарднера

Мартин Гарднер — известный американский писатель, математик-любитель, автор множества статей и книг по занимательной математике, научно-популярных этюдов, математических фокусов, головоломок и задач на сообразительность и множества других публикаций.

Предлагаем решить одну из самых популярных головоломок Гарднера.

Сделайте один разрез (или нарисуйте одну линию) — не обязательно, прямую — чтобы разделить нарисованную фигуру на две одинаковые части.

Сингапурская головоломка

Благодаря социальным сетям некоторые головоломки распространяются, как вирус, и становятся известными. Так случилось с головоломкой, которую телеведущий Кеннет Конг из Сингапура разместил на своей странице в фейсбуке, и вскоре ею поделились 4400 человек.

Альфред и Бернард только что познакомились с Шерил и хотят выяснить, когда у нее день рождения.

Шерил показала поклонникам 10 возможных дат:

Затем она показала Альфреду месяц своего рождения, а Бернарду — день.

Чтобы решить головоломку, друзья обменялись парой реплик:

Так когда же у Шерил день рождения?

Танграм

Согласно легенде, головоломка была создана несколько тысяч лет назад тремя древнекитайскими мудрецами для сына императора. Правитель хотел чтобы через простую игру его сын постиг начала математики, научился видеть окружающий мир глазами художника, стал терпеливым, как философ, и осознал, что сложные вещи состоят из простых.

Так появился «Ши-Чао-Тю» — квадрат, разрезанный на семь частей:
5 треугольников (2 больших, 2 маленьких, 1 средний), квадрат и параллелограмм.

Суть «свободной» игры в танграм — собирать из имеющихся деталей по принципу мозаики всевозможные фигурки: животных, птиц, человека, что угодно. Младшим дошкольникам предлагают простой вариант развивающей игры, когда фигурки танграма нужно просто наложить на готовый образец-ответ.

Многие дети в 5-7 лет складывают модели из фигурок рядом с изображением-ответом, даже если размеры вырезанных фигур и деталей на картинке отличаются.

Танграм как головоломка обычно по силам ребенку начиная с 6-7 лет. Все так же — из элементов танграма нужно сложить готовую модель, но на карточке изображен лишь силуэт фигуры.

Вырежьте элементы танграма из бумажного, картонного или другого квадрата, и для начала предлагаем собрать одну из популярных фигурок — бегущего человека, как на рисунке выше.

Помните 2 правила головоломки:
1) необходимо использовать все 7 фигурок головоломки;
2) фигуры не должны накладываться друг на друга.

Среди поклонников танграма были Льюис Кэрролл и Наполеон Бонапарт. Считается, что именно «танграмом» назвал игру американский шахматист, изобретатель «пятнашек» и многих других головоломок, Самюэль Лойд.
В 21 веке самые интересные проявления танграма встречаются в дизайне мебели, одежды, ландшафтном дизайне и архитектуре.

logiclike.com

Занимательные задачи по математике для начальной школы

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Из гнезда вылетели три ласточки. Какова вероятность того, что через 15 секунд они будут находиться в одной плоскости? (Ответ: 100%, так как три точки всегда образуют одну плоскость)

2. На столе лежат две монеты, в сумме они дают 3 рубля. Одна из них — не 1 рубль. Какие это монеты? (Ответ: 2 рубля и 1 рубль. Одна-то не 1 рубль, а вот другая — 1 рубль)

3. С какой скоростью должна бежать собака, чтобы не слышать звона сковородки, привязанной к ее хвосту? (Ответ: Если вы думаете, что ей нужно бежать со сверхзвуковой скоростью, то вы ошибаетесь — собаке достаточно стоять на месте)

4. Один оборот вокруг Земли спутник делает за 1 час 40 минут, а другой — за 100 минут. Как это может быть? (Ответ: 1 ч 40 мин = 100 мин)

5. Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой — угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо — в сторону более пологого или крутого ската? (Ответ: Петухи не кладут яйца)

6. В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое. Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других? (Ответ: Независимо от распределения жильцов по этажам, кнопка «1»)

7. В двух кошельках лежат две монеты, причем в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть? (Ответ: Один кошелек лежит внутри другого)

8. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть? (Ответ: Да, может, если профессор — женщина).

9. Два сына и два отца съели 3 яйца. Сколько яиц съел каждый? (По одному яйцу каждый)

10. На складе было 5 цистерн с горючим, по 6 тонн в каждой. Из двух цистерн горючее выдали. Сколько цистерн осталось? (5)

11. Вообрази, что ты капитан футбольной команды. В районе 8 футбольных команд, по 11 человек в каждой. Игроки вашей команды на 2 года моложе своего капитана, а игроки других — только на 1 год. Сколько лет капитану вашей команды? (Столько, сколько лет отвечающему)

12. Пара лошадей пробежала 20 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь? (20 км)

13. Когда сороке исполнится 4 года, что с ней произойдет? (Будет жить пятый год)

14. Если в 11 часов ночи идет дождь, то возможно ли через 48 часов солнечная погода? (Нет, так как будет ночь)

15. Чтобы сварить 1 кг мяса, требуется один час. Сколько времени потребуется для варки х кг мяса? (1 час)

16. У Марины было целое яблоко, две половинки и 4 четвертинки. Сколько было у нее яблок? (3)

17. На грядке сидели 6 воробьев, к ним прилетели еще 5. Кот подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьев осталось на грядке? (Один, которого схватил кот. Остальные улетели)

18. Мальчик написал на бумажке число 86 и говорит своему товарищу: «Не производя никакой записи, увеличь это число на 12 и покажи мне ответ». Недолго думая, товарищ показал ответ. А вы это сделать сумеете? (Перевернуть бумажку «вверх ногами»)

19. В клетке находились 4 кролика. Четверо ребят купили по одному из этих кроликов и один кролик остался в клетке. Как это могло получиться? (Одного кролика купили вместе с клеткой)1

20. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток? (Три утки, одна за другой)

21. У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть? (Этот человек родился 29 февраля, т. е. день рождения у него бывает один раз в четыре года)

22. Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну? (Повар сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу)

23. Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов? (Количество ударов равняется 1+2+3+…+12…= 78. Суммы членов, равноотстоящих от концов (1+12, 2+11, 3+10,…) равны между собой — 13. Таких пар, равноотстоящих от концов чисел, имеется 6. Значит, 1+2+3+…+12=6 х 13=78).

24. Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занятым. Сколько было скворцов и сколько деревьев? (Предположим, что, после того как скворцы сели на деревья по два, с каждого дерева взлетело по одному скворцу. Один из взлетевших скворцов может сесть на незанятое дерево, тогда на каждом дереве будет сидеть по одному скворцу. По условию если на каждое дерево сядет по одному скворцу, то один скворец останется в воздухе. Значит, взлетело 2 скворца. Тогда общее число скворцов равно 4, а число деревьев 3.

Задачи-эксперименты.

Задача 1. Предложите учащимся взять произвольно три различные цифры, кроме нуля, а затем составить из них всевозможные трехзначные числа, сложить их и полученную сумму разделить на сумму первоначально взятых цифр. Учащимся можно сразу сообщить ответ — 222.

Например, учащиеся взяли цифры 2, 3, 7. Они составили из них шесть трехзначных чисел: 237, 273, 327, 372, 723, 732. Сумма их равна: 237 + 273 + 327 + 372 + 723 + 732 = (237 + 723) + (273 + + 327) + (372 + 732) = 960 + 600+1104 = 2664.

Разделив это число на сумму цифр 7 + 3 + 2, учащиеся получают ответ: 2664 : 12 = 222.

Эта задача очень интересна. Удивление вызывает угадывание ответа учителем. Особенно удивительно то, что учитель угадал ответ у каждого из учеников. Несмотря на то, что цифры были взяты ими совершенно произвольно и в весьма разнообразных сочетаниях. Но это эмоциональная сторона дела, хотя ее роль в обучении математике младших школьников представляется весьма важной. В задаче немало и поучительных математических моментов.

Во-первых, обратим внимание учащихся на то, что из трех цифр можно составить именно шесть чисел. Это несложно, на первое место можно поставить любую из трех цифр, а на оставшиеся — две другие в разном порядке. Значит, всего таких чисел 3×2 = 6.

Во-вторых, при сложении чисел чрезвычайно полезными оказываются навыки рационального выполнения действий, что приводит к результату значительно быстрее, и уменьшает возможность допущения ошибок.

В-третьих, и это главное, весьма интересно решение задачи в общем виде. Итак, пусть взяты цифры a, b, с (различные, ни одна из цифр не равна нулю). Составим из них шесть трехзначных чисел. Каждая цифра, например, а, будет дважды означать число сотен, дважды — десятков, дважды — единиц. Значит, сумма всех шести чисел будет равна.

100 (2а + 2b + 2с) + 10 (2а + 2b + 2с) + (2а + 2b + 2с) = 222 (а + b + с), и результат от деления этой суммы на сумму цифр (а + b + с) будет равен 222.

Учащимся будут интересны и другие задачи такого типа.

Задача 2. Возьмите любое трехзначное число, не оканчивающееся нулем. Переставьте в нем цифры в обратном порядке. ц3 большего числа вычтите меньшее и полученную разность разделите на разность первых цифр слева этих двух чисел. У вас получится 99. Почему?

Например, взяли число 285, переставили в нем цифры, получили 582. Из большего вычли меньшее 582 — 285 = 297 и разделили на разность первых цифр 5-2 = 3, получили 297 : 3 = 99.

Задача 3. Задумайте число, которое делилось бы на 6. Разделите его пополам, полученное число запомните. Теперь задуманное число разделите на 3, результат запомните. А теперь разделите задуманное число на 2. Результаты всех трех делений сложите. У вас получилось задуманное число. Почему?

Например, взяли число 72, получили три числа:

первое — 72 : 2 = 36,

второе — 72 : 3 = 24,

третье — 72 : 6 = 12.

Сложили их: 36 + 24 + 12 = 72. Получили задуманное число.

Задача 4. Возьмите любое двузначное число, которое не оканчивается нулем. Переставьте в нем цифры, получите новое число. Сложите эти два числа и разделите их на сумму цифр любого из этих чисел. Докажите, что в ответе получается 11.

Например, взяли число 53. Переставили в нем цифры, получили число 35. Сложили их и получили 35 + 53 = 88.

Сумму разделили на сумму цифр первого числа 5 + 3 = 8 (у второго она та же), получили 88 : 8 = 11.

Задача «Четвертый лишний».

В каждом ряду три числа обладают общим свойством, а одно число этим свойством не обладает. Укажите, что это за свойство и какое число лишнее.

Нестандартные задачи на деление

Задача 1. Трехметровый брусок надо разрезать на полуметровые. Сколько разрезов надо сделать?

Решение: в трехметровом бруске 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Получится: 300 : 50 = 6 (брусков). А сколько же надо сделать разрезов? Рассуждать будем так: чтобы разделить брусок пополам, то есть на 2 части, надо сделать один разрез, на три части — два разреза, и так далее, на шесть частей — пять разрезов. Итак, надо сделать 6-1=5 (разрезов).

Ответ: 5 разрезов.

При решении подобных задач возможны различные варианты. Рассмотрим их на следующих примерах.

Задача 2. Пятидесятиметровый шнур надо разрезать на части, длина каждой из которых 2 м. Сколько разрезов надо сделать?

Решение: 50 : 2 — 1 = 24 (разреза).

Ответ: 24 разреза.

Задача 3. Шестиметровый брус разрезали на равные части, сделав при этом 5 разрезов. Какой длины получились каждая часть?

Решение: 6 : (5 + 1) = 1 (м).

Ответ: 1 метр.

Задача 4. Вдоль участка длиной 100 м поставили столбы для ограды на расстоянии друг от друга -4 м. Сколько столбов поставили?

Решение: 100 : 4 + 1 = 25 + 1 = 26 (столбов).

Ответ: 26 столбов.

Задача 5. Вдоль прямой дороги на расстоянии 150 м поставили 51 столб. Столбы ставились на равном расстоянии друг от Друга. Каково это расстояние?

Решение: 150 : (51 — 1) = 3 (м).

Ответ: на расстоянии 3 метра друг от друга.

Задачи-ребусы.

1. Найдите цифры, обозначенные буквами А и В в примере:

Решение основано на том, что переноса единиц из одного разряда в другой нет. Значит А + В = 3.

Поскольку число не может начинаться с 3 3 нуля, то возможны случаи: А = 1, В = 2 или А = 2, В = 1, то есть

Ответ: А = 1, В = 2 или А = 2, В = 1.

Учитель, однако, может пояснить учащимся, что А = 2, В = 1 не дает принципиально нового решения. Это обстоятельство очень важно, поскольку в элементарной форме подготавливает учащихся к восприятию такого свойства, как симметричность.

После этого учащимся могут быть предложены такие задачи:

Задача 1. Найдите цифры, обозначенные буквами А, В, С в примере:

Задача 2. Какие цифры надо поставить вместо звездочек в примере?

Задача 3. Какие цифры надо поставить в примере вместо звездочек?

Задача 4. Какие цифры скрываются за звездочками?

Задачи на внимание

1. Подумай и скажи — кто быстрее переплывет речку — утята или цыплята?

2. Подумай и скажи — какого цвета волосы у колобка?

3. Отгадай загадку: Лежали конфетки в кучке. Две матери, две дочки Да бабушка с внучкой Взяли конфет по штучке, И не стало этой кучки. Сколько конфет было в кучке?

4. Росли 5 берез. На каждой березе по 5 больших веток. На каждой ветке по 5 маленьких веток. На каждой маленькой ветке — по 5 яблок. Сколько всего

яблок?

5. Подумай и скажи — что помогает выжить белым медведям в пустыне, где нет воды?

6. На каких деревьях вьют свои гнезда страусы?

7. На столе лежит 2 яблока и 4 груши. Сколько всего овощей лежит на столе?

8. Подумай и скажи — кто громче рычит: тигр или буйвол?

9. Посмотрел Ваня утром в окно и говорит: — А на улице, оказывается, очень сильный ветер. Нужно теплее одеваться. Как он догадался, что на улице ветер? Что он увидел?

10. Пошли 2 девочки в лес за грибами, а навстречу 2 мальчика. Сколько всего детей идет в лес?

11. Бревно распилили на 4 части. Сколько сделали распилов?

12. У мамы есть братья Николай и Виктор, сестра Маргарита, сын Олег и дочь Мария. Сколько всего детей у мамы?

13. Шли 2 старухи в Москву, а навстречу им три старика. Сколько человек шло в Москву? (2 старухи). 

14. Может ли при делении получиться ноль? (Да) 

15. У прямоугольника отрезали один угол. Сколько углов стало? (5) 

16. Бежала тройка лошадей. Каждая пробежала 5км. Сколько км проехал ямщик? (5км.) 
17. На дереве сидело 23 птицы. Охотник прицелился, выстрелил и промахнулся. Сколько птиц осталось на дереве?

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1. У Лёвы, Гены, Васи, Толи и Миши были три барабана и две трубы.
   Какой музыкальный инструмент был у каждого мальчика, если у Гены и Васи, а также у Лёвы и Толи были разные инструменты,
   а у Гены и Левы – как у Миши?

2. На весах, которые находятся в равновесии, на одной чашке лежит 1 морковка и 2 одинаковые редиски.
   На другой чашке – 2 такие же морковки и 1 такая же редиска. Что легче: морковка или редиска?

3. У бабушки два внука: Коля и маленький Олег. Бабушка купила им 16 конфет и сказала Коле, чтобы он дал Олегу на 2 конфеты больше, чем взял себе. Как Коля должен разделить конфеты?

4. Отца одного гражданина зовут Николай Петрович, а сына – Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?

5. Тетрадь дешевле ручки, но дороже карандаша. Что дешевле?

6. Имеется перекрёсток двух дорог. Вдоль каждой из дорог, по одну сторону на этом перекрёстке надо посадить по 11 деревьев.
   Каково наименьшее количество деревьев, которые можно посадить, выполняя это задание?

7. Какие три числа, если их сложить или перемножить, дают один и тот же результат?

8. Ваня живет выше Пети, но ниже Сени, а Коля живет ниже Пети. На каком этаже четырёхэтажного дома живёт каждый из них?

9. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена.
   Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?

10. Двое подошли к реке. Лодка, на которой можно переправиться, вмещает одного человека.
    И все же, без посторонней помощи, они переправились на этой лодке. Как им это удалось?

11. Стоят двое. Один смотрит на юг, другой на север.
    Могут ли они увидеть друг друга, не поворачивая головы, не употребляя зеркал или каких – либо приспособлений?

12. Полтора лимона стоят полтора рубля. Сколько стоят десять лимонов?

13. За книгу заплатили один рубль и ещё половину стоимости книги. Сколько стоит книга?

14. Каждую минуту от бревна отпиливают метровый кусок. Во сколько минут распилят на такие куски бревно длиной 6 метров?

15. Даша и Маша получили в школе пятёрки: одна – по математике, другая – по чтению.
    По какому предмету получила пятёрку Даша, если Маша получила эту оценку не по математике?

16. Два друга – Федя и Костя – получили в школе двойку и тройку.
    Федины родители обычно ругают сына за тройки, а привыкшие к тройкам Костины родители ругают его только за двойки.
    Кому попадет на этот раз, если известно, что Федя не получил тройку?

17. В школьном буфете Наташа, Яна и Алёна покупали пирожные – бисквитное с вареньем, бисквитное с кремом и трубочку с кремом. Кто что купил, если каждая девочка съела по одному пирожному,
    Яна и Алёна любят пирожные с кремом, а Наташа и Алёна купили себе по бисквитному пирожному?

18. У трёх подружек – Вики, Ани и Лены – очень красивые куртки – синяя и красная с капюшонами и синяя без капюшона.
    У кого какая куртка, если Аня и Лена ходят с капюшонами, а у Ани и Вики куртки синего цвета?

19. Бегемот тяжелее носорога, а носорог тяжелее быка. Кто из этих друзей самый лёгкий?

20. Вите, Пете и Андрею подарили по видеокассете: одну – с комедией, другую с веселыми мультфильмами,
    а третью с фантастическим фильмом. Кто что получил в подарок, если известно, что Петя и Витя не любят смотреть мультфильмы,
    а Андрей и Петя в процессе просмотра хохотали до упаду?

21. Три девочки – Таня, Катя и Марина – занимаются в трёх различных кружках – вышивки, танцев и хорового пения.
    Катя не знакома с девочкой занимающейся танцами. Таня часто ходит в гости к девочке, занимающейся вышивкой.
    Подружка Кати -–Марина, хочет в следующем году добавить к своим увлечениям занятия пением.
    Кто из девочек чем занимается?

22. Миша, Коля и Настя решили помочь маме собрать урожай – смородину, крыжовник и вишню.
    Каждый из них собирал что – то одно. Кто что собирал, если известно, что больше всего было собрано смородины,
    Миша не собирал крыжовник, а Миша и Коля вдвоём набрали ягод меньше чем Настя?

23. Трое друзей – Игорь, Андрей и Владимир – имеют собак – овчарку, пуделя и добермана.
    Игорь живет в одном подъезде с владельцем пуделя.
    Доберман, выходя вечером гулять со своим хозяином, всегда очень радуется, встречая Владимира с его собакой,
    но не переваривает пуделя и всегда злобно облаивает его при встрече. У кого из мальчиков какая собака?

24. У паука 4 пары ног, а у козлёнка 2 пары ног. На сколько ног меньше у козлёнка, чем у паука?

25. К числу 67 прибавить 2 однозначных числа и получить 75. Какие числа прибавили?

26. Разбей восемь восьмёрок на числа, которые в сумме дадут одну тысячу.

27. Если некоторые двузначные числа разделить на сумму его цифр, то в результате получится снова сумма цифр делимого.
    Найти это число.

28. У Пети, Саши и Вовы было два ранца и один портфель.
    У кого из мальчиков какой предмет был, если известно, что у Пети и Саши были одинаковые предметы?

29. У Марины, Кати и Нади было две ручки и один карандаш.
    Какой предмет был у каждой девочки, если у Кати и Нади были разные предметы?

30. Что за число, на которое можно умножить и делить, но при этом множитель и делимое не изменяются?

31. На столе лежали две линейки. Жёлтая была длиннее зелёной на 2 см. Синяя короче зелёной на 3 см. Найти длину жёлтой линейки, если длина синей – 15 см.

32. В ряду 8 стульев. Маша села на пятое место слева, а Даша – на пятое место справа. Может быть они сели на один и тот же стул?

33. 9 февраля был вторник. Какой день недели будет 25 февраля?

34. Квадрат стороной 5 см. Распилили на квадратики со стороной 1 см. Из полученных квадратов составили ленту. Какова длина ленты?

35. На участке дороги длиной 90 м. Школьниками поручено посадить деревья так, чтобы между ними были расстояния в 9 метров. Сколько деревьев должны посадить школьники?

36. 10 насосов за 10 минут выкачивают 1 тонну воды. За сколько минут 20 таких насосов выкачивают 2 тонны воды?

37. Осёл, козёл и косолапый Мишка, за исполнение хорошей музыки, получили призы: мёд, сено и капусту.
    Какой приз получил каждый музыкант, если осёл выбрал себе не сено и не капусту, а козёл тоже не взял себе капусту?

38. На одной чашке весов находятся две одинаковые коробки с макаронами, и стоит гиря в 4 кг., а на другой – 2 гири по 5 кг.
    Весы в равновесии. Найдите массу каждой коробки.

39. Прямоугольник, стороны которого 8 и 5 см., разделили на одинаковые полосы шириной 1 см. Из этих полосок составили ленту. Найдите его длину.

40. В одном ряду 8 камешков на расстоянии 2 см. один от другого. В другом ряду 15 камешков на расстоянии 1 см. один от другого. Какой ряд длиннее

Занимательные задания повышенного уровня

Задание: вставьте в квадраты необходимые числа таким образом, чтобы их сумма по каждой прямой равнялась числу в середине звёздочки, при этом числа не должны повторяться

ИСПРАВЬТЕ ОШИБКУ

Возьмите 12 спичек и выложите из них «равенство»

Равенство неверное, так как получается, что 6 – 4 = 9. Переложите одну спичку так, чтобы получилось правильное равенство.

ИЗ ТРЕХ — ЧЕТЫРЕ

(шутка)

На столе лежат 3 спички. Не прибавляя ни одной спички, сделайте из трех – четыре. Ломать спички нельзя.

ТРИ ДА ДВА — ВОСЕМЬ

( шутка)

Положите на стол 3 спички и предложите товарищу добавить к ним еще 2 так, чтобы получилось восемь. Разумеется, ломать спички нельзя.

ТРИ КВАДРАТА

Из 8 палочек, четыре из которых вдвое короче остальных четырех. Составьте 3 равных квадрата.

СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ

ПЕРЕПРАВА ЧЕРЕЗ РЕКУ

Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков – не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?

Решайте эту задачу «в уме» или практически, – используя шашки, спички, или что-либо в этом роде и передвигая их по столу через воображаемую реку.

ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА

Это тоже старинная задача; встречается в сочинениях VIII века. Она имеет сказочное содержание.

Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза. Или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. А в присутствии человека «никто никого не ел». Человек все-таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал?

infourok.ru

Занимательные задачи

1 260

Занимательные задачи!

Чем хороши занимательные задачи  — ими можно интересно занять детей по в дороге, по пути в школу или устроить конкурс на школьном празднике. Обратите внимание, что мало кто сможет дать правильный ответ сразу, потому  не забывайте о маленьких подсказках, разгадывание задачек от этого будет не менее интересным.

Занимательные задачи по математике

1.В каждом из 4 углов комнаты сидит кошка. Напротив каждой из этих кошек сидят три кошки. Сколько всего в этой комнате кошек?

2. У отца шесть сыновей. Каждый сын имеет сестру. Сколько всего детей у этого отца?

3. В мастерской по пошиву одежды от куска сукна в 200 м ежедневно, начиная с 1 марта, отрезали по 20 м. Когда был отрезан последный кусок?

4. В клетке находятся 3 кролика. Три девочки попросили дать им по одному кролику. Каждой девочке дали кролика. И все же в клетке остался один кролик. Как так получилось?

5. 6 рыбаков съели 6 судаков за 6 дней. За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 судаков?

6. На одном дереве сидело 40 сорок. Проходил охотник, выстрелил и убил 6 сорок. Сколько сорок осталось на дереве?

7.Два землекопа за 2 часа работы выкопают 2 м канавы. Сколько нужно землекопов, чтобы они за 100 часов работы выкопали 100 м такой же канавы?

8. Два отца и два сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как это могло получиться?

9. По стеблю растения, высота которого 1 м, от земли ползет гусеница. Днем она поднимается на 3 дм, а ночью опускается на 2 дм. Через сколько суток гусеница доползет до верхушки растения?

10. Есть два ведра емкостью 4 и 9 литров. Как с их помощью принести из речки ровно 6 литров воды?

Ответы:

1.4

2.Одной девочке дали клетку с кроликом.

3.9марта

4.7

5. 6 рыбаков за день едят 1 судака.
Один рыбак есть 1/6 судака в день.
10 рыбаков едят за день 10/6 судака.
10 судаков делим на 10/6 судака = 6 дней

6.Все улетели

7. 2

8. Дед, отец и внук = 2 отца и 2 сына

9.Через 7/12 суток.

10. Из полного девятилитрового ведра нужно вылить в реку 8литров воды, пользуясь ведром в 4 литра. Затем литр, оставшийся в большом ведре, нужно перелить в пустое четырехлитровое ведро. Если в него теперь добавить три литра из полного большого ведра, то в девятилитровом ведре как раз останется шесть литров воды.

Подумай и сосчитай

Чтоб одеть тепло сыночков,
Не хватает двух носочков.
Сколько же в семье сынков,
Если в доме шесть носков?
Ответ:четверо

Столько книжек у ребяток,
Сколько у Алеши пяток.
Принесла ребяткам Галя
Мячик, книжку, мишек.
Вы, ребята, посчитали,
Сколько стало книжек?
Ответ: три
******************
К трем лягушкам у болота
Прибежали два енота,
Прискакала тетя жаба
И пришла наседка Ряба.
Сколько в камышах болотных
Оказалось земноводных?
Ответ: четверо

Задачи на внимание

1. Подумай и скажи — кто быстрее переплывет речку — утята или цыплята?

2. Подумай и скажи — какого цвета волосы у колобка?

3. Отгадай загадку:
Лежали конфетки в кучке.
Две матери, две дочки
Да бабушка с внучкой
Взяли конфет по штучке,
И не стало этой кучки.
Сколько конфет было в кучке?

4. Росли 5 берез. На каждой березе по 5 больших веток. На каждой ветке по 5 маленьких веток. На каждой маленькой ветке — по 5 яблок. Сколько всего яблок?

5. Подумай и скажи — что помогает выжить белым медведям в пустыне, где нет воды?

6. На каких деревьях вьют свои гнезда страусы?

7. На столе лежит 2 яблока и 4 груши. Сколько всего овощей лежит на столе?

8. Подумай и скажи — кто громче рычит: тигр или буйвол?

9. Посмотрел Ваня утром в окно и говорит:
— А на улице, оказывается, очень сильный ветер. Нужно теплее одеваться.
Как он догадался, что на улице ветер? Что он увидел?

10. Пошли 2 девочки в лес за грибами, а навстречу 2 мальчика. Сколько всего детей идет в лес? (подсказка: 2 — остальные идут обратно)

11. В комнате горело 5 свечей. Зашел человек, потушил 2 свечи. Сколько осталось? ( подсказка: 2- остальные сгорели)

12. Бревно распилили на 4 части. Сколько сделали распилов?

13. Прочитай слова и скажи — какое слово лишнее в каждом ряду?
— диван, стул, шкаф, конура, тумбочка,
— гвоздика, ромашка, камыш, лилия, астра,
— боровик, мухомор, сыроежка, подберезовик, лисичка.

14. Подумай и скажи — сколько земли будет в яме глубиной 1 метр, длиной 1 метр и шириной 1 метр?

15. У шестилетней девочки была кошка с коротким хвостом. Она съела мышку с длинным хвостом, а мышка проглотила 2 зернышка и съела тонкий кусочек сыра. Скажи, сколько лет было девочке, у которой была кошка?

16. На одном берегу реки стоит петух, а на другом индюк. Посреди реки — островок. Кто из этих птиц быстрее долетит до островка?

17. Скажи сколько грибов можно вырастить из 5 семечек?

18. Скажи, кто обитает в море на большей глубине: щука, рак или форель?

19. Гусь на двух ногах весит 2 кг. Сколько он будет весить, стоя на одной ноге?

20. На клене 5 веток. На каждой ветке по 2 яблока. Cколько яблок на клене?

Мой блог находят по следующим фразам

xn--d1acjua1a.xn--p1ai

Задания по математике в картинках для детей 5-7 лет

Задания для детей старшей — подготовительной группы. Математическое развитие

Задание 1. Считалочка на кухне

Сколько предметов в каждом прямоугольнике?

Ответ напиши словами.

Задание 2. Считалочка

Сколько картинок в каждой рамке?

Соедини линиями рамки и соответствующие флажки

Задание 3. Веселый счет

Реши примеры

Задание 4. Фруктовый счет

Раскрась пары фруктов, сумма чисел на которых равна 9

Задание 5. Считалочка

Реши примеры.

Задание 6. Считалочка

Реши примеры

Задание 7. Большой и маленький

В каждом ряду пронумеруй картинки от самой маленькой до самой большой

Задание 8. Вкусная считалочка

Реши примеры, используя подсказки в рамках.

Задание 9. Считалочка

Соедини кружочек с цифрой и картинку, на которой написана такая же цифра.

Задание 10. Считалочка

Реши примеры и соедини линиями стрекоз и лягушек.

Задание 11. Считалочка

Реши примеры.

Соедини ответы с соответствующим количеством картинок

Задание 12. Кроссовки

Реши примеры и найди Мишины кроссовки.

Подсказка: ему нужна пара кроссовок, на каждой из которых в сумме получается 6

Задание 13. Веселый счет

Реши примеры и соедини их с ответами.

Задание 14. Считалочка

На каждом цветке раскрась красным цветом лепесток с самым большим числом и жёлтым – с самым маленьким.

Задание 15. Облака

Сосчитай картинки в облаках.

Ответы впиши в окошки.

Задание 16. На дне океана

Сколько здесь морских звёзд и сколько осьминогов?

Задание 17. Считалочка

Сосчитай картинки в каждом прямоугольнике и соедини их линиями с соответствующими цифрами.

Задание 18. Большой и маленький

Раскрась больших животных и обведи маленьких

Задание 19. Воздушные шарики

Сколько воздушных шариков в каждой связке?

Задание 20. Фруктовая считалочка

Сколько здесь фруктов каждого вида?

Задание 21. Считалочка

Реши примеры на яблоках и на морских звёздах.

Соедини линиями яблоки и звёзды, на которых получились одинаковые ответы.

Задание 22. Считалочка

Угадай последовательности и впиши пропущенные цифры

Задание 23. Морковка на тарелках

Нарисуй на каждой тарелке столько морковок, сколько не хватает до десяти.

Задание 24. Считалочка

Реши примеры и впиши ответы в окошки

Задание 25. Веселый счет

Раскрась три яблока так, чтобы сумма, написанная на них цифр равнялась 8.

Задание 26. Считалочка

Соедини линиями прямоугольники с одинаковым количеством предметов на картинках.

Задание 27. Считалочка

Сколько картинок в каждом прямоугольнике?

Соедини их с соответствующими цифрами.

Задание 28. Мыльные пузыри

Сколько здесь мыльных пузырей?

Задание 29. Считаем палочки

Сколько палочек в каждом стаканчике с мороженым?

Ответы впиши в окошки.

Задание 30. Считалочка

Сосчитай жёлуди. Ответы впиши в окошки.

Задание 31. Воздушные змеи

Реши примеры на катушках и соедини их со змеями.

Задание 32. Ракеты

Впиши пропущенные числа.

Задание 33. Пятнистая лягушка

Сколько пятнышек разного размера на лягушке?

Задание 34. Олененок потерялся

Помоги оленёнку попасть к маме.

Он может идти только мимо тех листиков, на которых сумма равняется 10.

azbyka.ru

Занимательная математика: 5 секретных приемов

Воспользуйтесь нашими советами, чтобы заинтересовать изучением математики даже тех, кто уверен, что ему с лихвой хватит знаний, полученных в начальной школе!

Среди школьников и их родителей бытует мнение, что есть ученики, которые легко понимают математику, и те, кому «не дано». Так ли это на самом деле? И, если так, что делать учителю, который в идеале обязан дотянуть каждого хотя бы до троечки?

Мы считаем, что понять и полюбить математику может каждый. Конечно, кому-то это сделать значительно легче, а от кого-то потребуется немало усилий. И вот тут без дополнительной мотивации не обойтись.

Давайте разберемся, как прорекламировать математику и пробудить интерес любого ученика.

Совет 1. Приведите интересные примеры из жизни.

Докажите, что математика — наука о реальной жизни, а не об абстрактных формулах, функциях и графиках. Хотите продемонстрировать наглядную связь математики, биологии и архитектуры? Расскажите ребятам о золотом сечении.

Правило золотого сечения проявляется во всем вокруг нас: начиная от структуры ДНК и заканчивая творениями древних архитекторов, художников и композиторов или современных кутюрье и фотографов.

Совет 2. Расскажите о великих математиках.

Докажите, что математика — это наука, которую создают и развивают неординарные личности. Чтобы прочувствовать гармонию и закономерность в числах, нужно быть необычным человеком.

Пифагор

Великий мудрец и философ, известный школьникам как автор теоремы, устанавливающей соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, был незаурядной личностью. Обосновавшись в Кротоне (одной из греческих колоний в Южной Италии), Пифагор создал тайное общество, которое фактически пришло к власти.

Кстати, в 2014 году авторитетное издание Businessinsider составило список величайших уравнений и равенств, изменивших историю. Догадались, какое равенство заслуженно получило первое место? Конечно же, теорема Пифагора! 

 Алан Тьюринг

Жизнь этого математика — сюжет приключенческого фильма. Он раскодировал легендарную «Энигму» — шифровальную машину немецкой армии. Коды к ней менялись каждое утро, а алгоритм кодировки был не по зубам английским математикам, инженерам связи несколько лет. Алан Тьюринг не только разгадал секрет немецкого чуда шифровальной техники, но и создал первые прообразы современных компьютеров.

Ада Лавлейс

Дочь самого Байрона и величайший математик викторианской Англии. Она ввела понятия «цикл» и «рабочая ячейка», создала первые проекты вычислительных машин. Не зря эта дама носит почетный титул первого «программиста». 

Льюис Кэрролл

Этого детского писателя знают все. «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» заняли достойное место среди шедевров мировой литературы. Но писатель в первую очередь был математиком. И даже преподавал 26 лет студентам линейную алгебру. 

Григорий Перельман

Именно он решил «загадку тысячелетия», доказав теорему Пуанкаре, но остается замкнутым и не любит шума вокруг своего имени. Великий математик отказался от Премии тысячелетия размером в миллион долларов, а позднее — и от Филдсовской премии, известной также как Нобелевская премия для математиков. 

Совет 3. Предложите ученикам прочитать увлекательные математические книги.

Прививать любовь и интерес к дисциплине необходимо не только на уроках.  Для этого воспользуйтесь подборкой тематических, развлекательных книг для школьников разного возраста. Уверены, эти произведения будут интересны самому широкому кругу читателей.

• Владимир Левшин «Новые рассказы рассеянного магистра». Автор умеет интересно в жанре приключенческой литературы описать разделы математики. Простота подачи информации, занимательный сюжет — за это произведения В. Левшина любят школьники и взрослые.
• Эвгения Кац «Необычная математика». Эта книга — реальный конкурент учебникам по математике для 1–2 класса. Интересные задачи не потребуют помощи родителей при их решении.
• А. Звонкина «Математика и малыши». Рекомендуем школьникам младших классов и их родителям. Пусть и взрослые поймут, что математика — не только арифметические действия со статичными цифрами.
• Яков Перельман «Занимательная арифметика». Автор популярной детской литературы воспитал любовь к математике не у одного поколения школьников.

• Леонард Млодинов «(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью. Эта книга просто и доступно для всех, даже для гуманитариев,  объясняет теорию вероятности, показывает связь между точной дисциплиной и  естественными науками.
• Иэн Стюарт «Истина и красота. Всемирная история симметрии». О связи математики с точными науками знают все. Но влияние дисциплины ощутимо в архитектуре и мировых шедеврах. Заинтересовались? Тогда советуем прочитать книгу.
• Курант Р., Роббинс Г.  «Что такое математика?». Книга устраняет разрыв между сухим материалом школьных уроков математики и реальной жизнью, естественными науками.
• Н. Я. Виленкин «Функции в природе и технике». Автор подробно объясняет, как знания о функциях в реальной жизни помогают не только инженерам, но и людям самых разных профессий.

Совет 4. Расскажите ученикам о математических приложениях для смартфонов.

Они смогут играть и заниматься по ним дома или на перемене. Вы проявите себя как современного учителя, который не отстает от жизни и легко работает с современными гаджетами.

Для владельцев планшетов и смартфонов под управлением Android:

• «Математейка» поможет выучить таблицу умножения без зубрежки.
• «Математически игры» научат школьников быстро считать в уме. Для игроков предусмотрена система достижений, которая дополнительно мотивирует учеников к совершенствованию.
• «MalMath» — верный друг и помощник старшеклассника. Это приложение помогает решать задачи и подробно расписывает ход решения. Для самостоятельных и ответственных школьников «MalMath» может частично заменить репетитора по математике.
• «Пифагория» и «Пифагория 60°» заинтересуют школьников увлекательными геометрическим задачами на построение.
• «Euclidea» — это электронный сборник увлекательных интерактивных задач по геометрии. Авторы рекомендуют это приложение учителям, школьникам и всем любителям математики.

Для владельцев iPhone и iPad:

• «МатематУМ» научит школьников быстро и точно считать в уме. Регулярные занятия помогут улучшить внимательность и скорость мышления.
• «Math academy» — сборник увлекательных математических игр с приятным визуальным оформлением.
• «Правила математики» — это сборник правил, формул и теорем. Незаменимый помощник для тех, кто хочет изучить алгебру, геометрию, тригонометрию, элементы математического анализа, статистики и теории вероятности.
• «Мобильная математика» — это приложение, которым пользуются старшеклассники и студенты вузов. В приложении собраны основные формулы, а также представлены около 30 калькуляторов.
• «Пифагория», «Пифагория 60°» и «Euclidea» — это увлекательные сборники интерактивных геометрических задач на построение.

Совет 5. Участвуйте в наших конкурсах и олимпиадах по математике.

Задания наших образовательных мероприятий создают методисты с практическим опытом преподавания математики. В заданиях мы делаем упор на прикладной характер математических знаний и учитываем возрастные особенности школьников.

Организаторам дистанционных олимпиад и конкурсов мы дарим комплекты рабочих листов «Математика с Лантиком». Оцените качество наших рабочих листов прямо сейчас.

Скачать рабочие листы «Математика с Лантиком»

Скачайте рабочие листы, распечатайте их на цветном принтере и докажите, что математика — это весело и увлекательно. Ждем ваших учеников на наших образовательных мероприятиях!

Вам слово: 

С грамотным использованием интересных приемов даже математика станет понятной и увлекательной. Что вы используете для повышения интереса своих учеников к дисциплине?

Понравилась статья?

Подпишитесь и мы будем присылать вам статьи на почту

mega-talant.com

Интересные задачи по математике.

Задания «Встречи с тремя неизвестными.»

1.Расшифруйте записи в арифметических действий, в которых некоторые цифры заменены буквами (в каждой из трех записей по отдельности разные цифры заменены разными буквами, одинаковые-одинаковыми, а в первой шифровке А=Т):

а) КОРОВА+ТРАВА=МОЛОКО;

б)СТОЛ+СТУЛ=КЛАСС;

в)БЕ* РУ * 4= БУЕР

2.Рядом с большой бочкой с водой стоят два бидона. В один входит 12 литров, в другой — 17.Воду можно набирать из бочки и выливать обратно в бочку. Кто быстрее принесет нам 6 литров воды?

3.Верните сбежавшие цифры:

4.Начертите два шестиугольника, делящие плоскость на возможно большее число частей. А если дополнительно потребовать, чтобы шестиугольники были выпуклыми? Попробуйте доказать, что на большее, чем у вас, число частей разделить плоскость не удастся.

5.Нашли произведение 666 множителей, каждый из которых равен 777.Какая цифра стоит на конце?

6.В комнате 10 живых существ — людей, собак и мух, у них вместе 46 ног. У каждого человека 2 ноги, у каждой собаки 4 и у мухи 6 ног. Как это могло получиться? Найти все возможности.

7.Поле имеет форму четырехугольника. Шоссейные дороги- они идут по диагоналям- разбивают его на четыре участка. Площади трех из них- 2 гектара, 4 гектара,6 гектаров. Какой может быть площадь четвертого?

8.В одной из московских школ есть удивительный шестой класс. Судите сами. В классе 35 учеников, и все они либо играют на скрипке, либо разводят хомяков, либо плавают в бассейне «Москва», либо занимаются сразу несколькими из этих дел. Плавают или разводят хомяков 28 человек. Разводят хомяков, но не играют на скрипке 22 ученика. И тем и другим, и третьим занимаются 3 школьника. Есть пловец и скрипач, ненавидящий хомяков. Есть и такой, который не плавает, но зато прекрасный скрипач, а хомяков разводит с 1-го класса. Может быть, таких не по одному, а много. Сколько в классе скрипачей? можно ли определить ,сколько ребят разводят хомяков, а на скрипке не играют и не плавают? Если да, то сколько если нельзя определить, то почему?

Ответы «Встречи с тремя неизвестными.»

1. а) 186 859 + 96 959= 283 818; 385 869+ 95 969

= 481 838 ; 387 869 + 97 969= 485 838

б) 6923+6943=13 866; 6943=6923=13 866; 6523+6543=13 066; 6543+6523=13 066;

в)БУЕР- это 1972,5472 или 8632.

2.Будем производить следующий цикл действий:

а) наливаем воду в 17-ти литровый бидон;

б) наполняем из него 12-ти литровый; воду из 12-ти литрового выливаем в бочку.

в) то, что осталось в 17-ти литровом, переливаем в 12-ти литровый

Шесть раз наполнив большой сосуд, наберем в общей сложности 102 литра. Из малого бидона вода будет вылита 8 раз, всего 96 литров. Останется ровно 6 литров.

3. 7980 : 95 = 84 или 7030 : 95 = 74

4.Два шестиугольника могут разделить плоскость на 38 частей (смотреть на рисунок), а два выпуклых- только на 14.Докажите, что число частей, на которые делят плоскость два многоугольника , равно числу точек пересечения их сторон, увеличенному на 2.

5. Последняя цифра произведения определяется по последним цифрам множителей:

7*7*7*7*7*7*7*7*7*7*7*7*7,. . .

эти числа оканчиваются на 7,9,3,1,7,9,…. соотвественно, последние цифры повторяются через три на четвертую. ответ: 9.

6.Ноги естественно считать парами. Перевяжем красной ленточкой по одной паре ног у каждого из «присутствующих».Тогда неперевязанных останется 13 пар — по одной паре у каждой собаки , по две пары у каждой мухи. Понятно, что мух не больше шести. И если в комнате 1,2,3,4,5,6 мух, то собак соответственно 11,9,7,5,3,1.Первые три случая не подходят (Люди-то есть!), остальные дают три решения- 1,2,3 человека соответственно.

7. Участки можно разбить на пары не имеющих друг с другом общих сторон. Докажите, что произведения площадей участков каждой пары равны между собой. ответ: площадь четвертого участка может быть равна 4/3 га,3 га,12 га (участок, входящий в пару с четвертым, имеет площадь 6 га,4 га, 2 га соответственно) .

8. Ответ: в этом классе 12 скрипачей; плавают, но разводят хомяков 2 ученика; ребят, разводящих хомяков, но не плавающих и не играющих на скрипке, может быть 0,1,2….,22. Для наглядности полезно нарисовать три пересекающихся круга — один для скрипачей, второй- для пловцов, третий- для разводящих хомячков. Тогда плавающие скрипачи будут стоять в пересечении первого и второго округов , а 3 человека, занимающиеся всеми тремя видами полезной деятельности- в пересечении всех трех кругов и.т.д.

infourok.ru

Приложение PhotoMath решает уравнения по фотографии

Это мечта всех школьников! PhotoMath решает математические примеры, сканируя написанное с помощью камеры смартфона.

PhotoMath — первый “экстрасенс” в мире математики. Мобильное приложение дает правильный ответ по фото. Достаточно поднести смартфон с запущенным приложением и работающей камерой к примеру, напечатанному на бумаге или выведенному на другой экран. Результат появляется мгновенно. К сожалению, с рукописным текстом приложение пока не работает.

Необычный калькулятор поддерживает базовые арифметические операции (сложение, вычитание, деление, умножение), в том числе с простыми и десятичными дробями, находит решения простых линейных уравнений, извлекает корни и возводит в степени. Кроме того, PhotoMath показывает пошаговые инструкции для решения примеров. Все действия сохраняются на смартфоне.

Сегодня доступны версии для iOS и Windows Phone, в начале 2015 ожидается выход на платформу Android. Приложение бесплатно.

Стартап MicroBlink, разработавший это мобильное приложение, специализируется на программном обеспечении по распознаванию текста. «Мы начали разработку технологии три года назад. Сегодня наша технология является достаточно зрелой, поэтому мы будем развивать ее для более широкого применения», — рассказывает со-основатель и генеральный директор компании Дамир Сабол. Теперь сотрудники надеются на рост и развитие проекта.

apptractor.ru

Приложение PhotoMath решит примеры по математике с помощью камеры смартфона

Компания MicroBlink представила приложение PhotoMath, которое умеет распознавать текст математических примеров и помогать с их решением.

Бесплатное приложение PhotoMath представлено в версиях для iOS и Windows Phone, версия для Android ожидается в начале 2015 года. Для того, чтобы с его помощью решить пример, достаточно выбрать необходимый участок задачи с помощью камеры смартфона, причем границы выделения можно изменять вручную. 

Решённые примеры сохраняются в специальный раздел, где можно просмотреть не только конечный результат, но и все промежуточные этапы решения. 

Приложение умеет сканировать задачи как с бумаги, так и с экрана, но во втором случае ему может потребоваться больше времени на обработку. С рукописным текстом PhotoMath пока не работает.

MicroBlink занимается проблемой машинного распознавания текста, и, по словам её представителей, приложение PhotoMath не столько преследует образовательные задачи, сколько призвано продвигать конкретные технологии. Ранее компания представила похожий по механике сервис PhotoPay, упрощающий оплату счетов. 

Мы начали разработку нашей технологии три года назад. Теперь она достаточно зрелая, и мы собираемся находить для неё различные возможности использования. Дамир Сабол (Damir Sabol), сооснователь и генеральный директор MicroBlink

За наводку спасибо Хорошоу.

#Новость #приложения_для_iOS #приложения_для_Windows_Phone #распознавание_текста #PhotoMath #MicroBlink

tjournal.ru

AutoMath Photo Calculator решит за вас домашнее задание по математике

В жизни каждого родителя однажды наступает момент, когда в ответ на просьбу своего ребёнка о помощи с решением задачи ему приходится развести руками и растерянно признаться, что все эти иксы, дроби и интегралы уже безвозвратно им забыты. Однако теперь есть чудо-калькулятор для Android, который поможет вашему школьнику с математикой лучше любого родителя.

AutoMath Photo Calculator представляет из себя приложение, которое способно распознать пример с помощью камеры вашего мобильного устройства и тут же выдать его решение. При этом ему знакомо более 250 математических функций, и оно умеет работать без подключения к интернету. Вот так это выглядит на практике.

Приложение может решать примеры на сложение, вычитание, умножение, дроби, деление, неравенства, квадратные корни, тригонометрические выражения, уравнения, упрощения многочленов и так далее.

Но самое прекрасное, что AutoMath Photo Calculator способен продемонстрировать вам пошаговый алгоритм решения. А в скором обновлении программы автор обещает нам добавить решение систем уравнений, построение графиков и даже распознавание написанных от руки примеров!

Хотя в настоящее время приложение частенько ошибается с распознаванием математических выражений, пользоваться им вполне можно. К тому же в AutoMath Photo Calculator имеется встроенный редактор, с помощью которого можно подправить неправильно понятые программой символы.

В целом, программа является настоящей находкой для тех учащихся и студентов, которым необходима помощь в освоении математики, алгебры, тригонометрии и связанных с ними дисциплин.

Цена: Бесплатно

lifehacker.ru

PhotoMath – решение уравнений по фото

PhotoMath – решение уравнений по фото

Книги по занимательной математике. | Club.Umnitsa.ru

Я тут обнаружила шикарный список книг по занимательной математике для всех возрастов. Все они довольно старого года издания, но это как раз внушает оптимизм — ибо в советские времена к изданию книг и учебников относились более серьезно, чем сейчас, и ляпов и ошибок там наверняка меньше, чем в современных изданиях, а разнообразия, хочется верить — побольше будет.
            Я стала искать — и оказалось, что некоторые из указанных книг переиздавались и переиздаются, некоторые можно купить у букинистов, а что-то из того, что купить не получится — можно скачать.
            Там, где возможно — я дала ссылки на места, где книги можно купить, то, что не продается — по ссылке можно скачать. То, что не получится купить и скачать — думаю, можно будет поискать в библиотеках, главное — есть теперь фамилии, названия и даже годы издания, и найти эти книги даже в самой захудалой библиотеке — шансов больше, чем новые, потому что тогда библиотеки комплектовались гораздо лучше, чем сейчас.

1. Абашин Э.А. Весёлые задачки: Арифметика для малышей /Ч.1-3. – М.: Дрофа, Наталис, 1998.

2. Агафонов В.В., Соболева О.Л. Приключения Великого Нуля: Сказка-подсказка. – М.: Новая школа, 1996.

Купить букинистическую книгу  — здесь

3. Агафонов В.В., Соболева О.Л. Учусь считать до десяти: Математика для самых маленьких. – СПб.: АОЗТ «ВИС», 1995.

4. Агеева С.И. Обучение с увлечением: Часть 1. – М.: ВО «Совэкспорткнига», ИГ «Истоки», 1991.

Скачать можно здесь

5. Акентьев В.В. Весёлые тайны. – Л.: Детгиз, 1964.

Скачать можно здесь

6. Акентьев В.В. Со второго взгляда. – Л.: Детгиз, 1969

Букинистическое издание:

7. Александрова Э.Б., Лёвшин В.А. В лабиринте чисел: Путешествие от А до Я со всеми остановками. – М.: Детская литература, 1977. (переиздание 2014 года)

Купить: в Лабиринте:   В май-шопе:

В Озоне:

8. Александрова Э.Б., Лёвшин В.А. Стол находок утерянных чисел: Математический

детектив. – М.: Детская литература, 1988.(Переиздание 2015 года)

Купить: в Лабиринте:  в Май-шопе:
в Озоне:

9. Аллан Р., Вилльямс М. Математика на 5: Пособие для 1-3 классов начальной школы. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1996.

Скачать можно здесь

10. Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П. Забавная арифметика: Хрестоматия для развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и в школе. – М.: Издание Товарищества И.Д.Сытина, 1909. (Переиздание 2008 года)

Купить: в Май-шопе:     в Лабиринте:
 в Озоне:

11. Антонович Н.К. Как научиться решать задачи: 180 занимательных задач. – Новосибирск: РИПЭЛ, 1994.

12. Антонович Н.К. 100 математических игр для учащихся 5-8 классов. – Новосибирск, 1963.

13. Аренс В. Математические игры и развлечения. – СПб.: Физика, 1911.

Купить букинистическое издание можно здесь

14. Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г. Занимательная математика: Книга для учащихся, учителей и родителей /1-5 класс. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1999.

Скачать можно здесь

15. Афонькин С.Ю. Учимся мыслить логически: Увлекательные задачи для развития логического мышления. – СПб.: Литера, 2002.

Купить букинистическое издание можно здесь

16. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: Владос, 1999.

Купить букинистическое издание можно в Озоне:

17.Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. — М.: Просвещение, 1994

Букинистическое издание:

18. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. — М. Просвещение, 1971

Скачать можно здесь

19. Баранова Н.П. Кое-что о… Клубе Весёлых Математиков. – Смоленск: Смядынь, 2001.

20. Барр Ст. Россыпи головоломок. – М.: Мир, 1984.
Букинистические издания разных лет:

21. Барташников А.А., Барташникова И.А. Учись мыслить: Игры и тесты для детей 7-10 лет. – Харьков: Фолио, 1998

Букинистическое издание купить можно здесь

22. Бахтина Е.Н. Таблица умножения. – М.: Эксмо-Пресс, 2001.

Купить в Озоне

23. Баше К. Игры и задачи, основанные на математике. – СПб.- М.: Издание М.О.Вольфа, 1877.
Книга по требованию:

24.Беденко М.В. Ну, очень … задачник! – М.: МЦНМО, 1999.

Букинистическое издание можно купить здесь

25. Беженова М.А. Весёлая математика. – Донецк: Сталкер, 1998.

26. Белов В.Н. 13 x 13: Квадрат головоломок. – СПб.: Лениздат, 1996.
Букинистическое издание:

27. Бененсон Е.П., Вольнова Е.В. Математика для малышей. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Скачать можно здесь

28. Береславский Л.Я. Азбука логики: Как помочь ребёнку учиться легко и с удовольствием. – М.: Астрель, АСТ, 2001.

29. Береславский Л.Я. Интеллектуальная мастерская. – М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 2000.

30. Береславский Л.Я. Логические задачи: Соотношение фигур /Выпуски 1-2. – М.: Правление общества «Знание», 1995.

31. Беррондо М. Занимательные задачи. – М.: Мир, 1983.

Букинистические издания купить можно здесь

32. Бирнов З.М. На досуге. – Сталинград: СКИ, 1956.
Букинистическое издание:

33. Блехер Ф.Н. Дидактические игры и занимательные упражнения в 1 классе. – М.: Просвещение, 1964.

34. Бобров С.П. Архимедово лето /В двух книгах. – М.: Детгиз, 1959-1962.
Обе книги по услуге «Книга по требованию»
В Май-шопе:

В Озоне:

35. Бобров С.П. Волшебный двурог, или Правдивая история небывалых приключений нашего отважного друга Ильи Алексеевича Камова в неведомой стране, где правят: Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие и которая в то же время есть пресветлое царство весёлого, но совершенно таинственного существа, чьё имя очень похоже на название этой удивительной книжки, которую надлежит читать не торопясь. – М.-Л.: Детская литература, 1949.

Книга по требованию:
в Май-шопе:

в Озоне:

36. Богданович М.В. Математическая радуга. – Киев: Радянська школа, 1991.

Купить букинистическое издание можно здесь

37. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.

Букинистическое издание в Озоне:

38. Болховитинов В.Н., Колтовой Б.И., Лаговский И.К. Твоё свободное время: Занимательные задачи, опыты, игры. – М.: Детская литература, 1970.

Купить букинистическое издание можно здесь

39.Брайант-Моул К. Сложение и вычитание: Занимательная математика. – М.: Махаон, 1998.

40. Буданков Л.Ф. 200 логических и занимательных задач. – Тула: Приокское книжное издательство, 1972.

41. Бурау И.Я. Загадки мира цифр и чисел. – Донецк: Сталкер, 1996. (переиздание 2013 года)
Купить:
в Май-шопе:        

в Озоне:

42. Буттер И. Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером. – М.: Типография Августа Семёна при Императорской Медико-Хирургической Академии, 1831.

Скачать можно здесь

43. В часы досуга /Сост. В.Г.Компаниец. – М.: Госкультпросветиздат, 1948.

44. В часы досуга: Кроссворды, ребусы, шарады, задачи и другие развлечения /Сост. А.П.Щетинин. – М.-Л.: Главсевморпуть, 1940.

45. Вагурина Л.М. Логические операции: Тестовые задания: 5-7 лет. – М.: Карапуз, 2001.

46. Вайблум Р. Занимательный мир математики. – СПб.: Дельта, 1998.

Купить букинистическое издание можно здесь

47. Вебер А.Ф. Хитрые загадки – нехитрые отгадки: В мире чисел. – Пг.-М.: Мысль, 1924.

48. Весёлые уроки: Пишем и считаем. – М.: Эгмонт Россия Лтд, 1997.

49. Весёлый спутник /Сост. Г.Флит, И.Длугач. – Вологда: ВКИ, 1960.

Купить букинистическое издание можно здесь

50. Весёлый час: Игры, задачи, головоломки, фокусы, юмор, занимательная смесь /Сост. Н.Тужилин. – Симферополь: Крымиздат, 1964.

Купить букинистический сборник можно здесь

51. Вечера занимательных наук: Методическое письмо для проведения вечеров занимательных наук с учащимися 6-8 классов /Сост. Я.Михайловская, М.Ерманок. – Могилёв: МОДБ, 1960.

52.Вилкова И.Б. Игровая математика для дошкольников и младших школьников /Комплект тетрадей. – М.: Веды, 1995.

53. Винокурова Н.К. 5000 игр и головоломок для школьников. – М.: АСТ, 2001

Купить букинистическое издание можно здесь

54. Виола И. Математические софизмы. – М.: Университетская типография, 1883.

55. Волина В.В. Игра – дело серьёзное. – СПб.: Дидактика Плюс, 1999.

Купить букинистическое издание можно здесь

56. Волина В.В. Праздник числа: Занимательная математика для детей. – М.: Знание, 1993.
Букинистическое издание в Озоне:

57. Волина В.В. Учимся играя. – М.: Новая школа, 1994.

Скачать можно здесь

58. Володкович В.А. Сборник логических задач. – М.: Дом педагогики, 1998.

Купить букинистическое издание можно здесь

59. Воронец А.М., Попов Г.Н. Математические развлечения /Библиотека «В помощь школьнику». Серия по математике. Выпуск II. – М.-Л.: Госиздат, 1928.

60. Воронина Т.П. 100 головоломок, игр, занимательных задач, викторин: 1-5 класс. – М.: Аквариум, 2001. (Переиздание 2008 года)
Купить в Лабиринте:

Вот пока только одна часть списка, будут еще части, сколько — пока не знаю. Сразу все опубликовать не обещаю — очень уж много, но постепенно — обязательно сделаю.

club.umnitsa.ru

Учебники, которые я часто использую

В моей библиотеке — огромное множество различных книг, учебников и задачников по математике. К сожалению, репетитор лишен возможности выбирать учебники для (как это делает школьный преподаватель) и поэтому приходится работать с широким спектром пособий. И чем больше их количество, тем лучше. Кроме базовых книжек репетитор по математике обязан иметь в арсенале достаточное количество дополнительных дидактических материалов и сборников задач. Школьный преподаватель часто берет из них контрольные работы, к которым приходится готовиться. Кроме этого в планы урока любой репетитор математики отбирает упражнения «под ученика», параметры которых могут не соответствовать стандартным базовым. Интересные, содержательные и красивые задачи приходится искать по всему спектру учебной литературы. Поэтому чем длиннее ее список у репетитора, тем гибче и эффективнее можно подготовиться к уроку.

Привожу список книг, которые чаще всего используются в работе. Отмечу, что примерно треть номеров для урока я или составляю самостоятельно (иногда это можно сделать быстрее, чем найти соответствующее готовое упражнение) или беру из авторских комплектов упражнений. В кратких комментариях к каждой позиции отдельно выделена моя оценка пособию и рейтинг ее популярности у репетиторов математики. Он составляется на основании опроса преподавателей моего сайта и статистики собственного использования книг на занятиях. В описаниях базовых учебников я также указываю примерную частоту их использования школами (в процентах).

Алгебра, сборник заданий для 7 — 9 класса. Книжка увидела свет еще в то время, когда ни о каком ГИА и ЕГЭ по математике и слышно не было. Несколько лет она была стандартом для подготовки к выпускному экзамену за курс неполной средней школы. Главным достоинством сборника является методическая выверенность систем упражнений. В маленькие блоки собраны однотипные задачи, а соседние блоки отличаются другог от друга (как и надо) на одно-два изменения. Поэтому их можно использовать не только для контроля знаний, но и для обучения. Имеется отличная база несложных математических заданий по всем темам 7-9 класса кроме тригонометрии и корней n-ных степеней. Регулярно беру оттуда текстовые задачи на работу и движение. Сборник рассчитан на среднего ученика, с которым как раз репетитор по математике чаще всего и работает. Все задания грамотно отобраны и отсортированы. К недостаткам я бы отнес отсутствие по-настоящему сильных номеров конкурсного уровня.
Оценка репетитора: 8,5 баллов из 10

1) Атанасян Л.С. Геометрия 7-9кл. Школьный учебник.
Комментарий репетитора: Классический и лучший на сегодняшний день учебник геометрии для школ. Дидактика каждого раздела дает возможность репетитору по математике заниматься с минимальным привлечением задач из других источников. Учебник имеет слабую точку в самом начале построения теоретического курса (в теме «наложение»). В остальном нареканий нет.
Оценка популярности использования учебника в школах и среди репетиторов по математике : 60-70%
Оценка репетитора (по 10 бальной системе): 9 баллов

2) Атанасян Л.С. Геометрия 10-11кл. Школьный учебник.
Мой отзыв: Изложение теории в учебнике заслуживает самой высокой оценки, однако дидактика у него слабая. Практические типовые задания в нем представлены в ограниченном количестве. Состав упражнений в основном направлен на отработку понимания теории. Не часто беру из него задачи.
Рекомендуется в качестве базового учебника стереометрии для математических классов.
Оценка репетитора: 7,5 баллов из 10

3) Погорелов А.В. 7-9кл. Комментарий репетитора: Старинный учебник, по которому я сам учился в школе. Несмотря на очень хорошее начало, неважная дидактика в целом и не лучшее построение курса. Однако, очень хорош в самом начале 7-го класса. В школах он встречается все реже и реже. Рекомендуется для изучения аксиом планиметрии и признаков равенства треугольников.
Оценка репетитора: 5 баллов из 10

4) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 7класс. 17-е издание. Лучший на мой взгляд учебник по алгебре для работы репетитора. Последовательное и доступное изложение материала и очень хорошая и грамотно выстроенная последовательность упражнений. Незаменмм для среднестатистического школьника.
Оценка частоты использования учебника в школах и репетиторами по математике: 60%
Оценка репетитора :10 баллов из 10

5) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 8 класс. 17-е и 18-е издание издание. Лучший учебник по алгебре для работы репетитора со средним или слабым учеником. Последовательное, доступное изложение материала. Очень хорошая и грамотно выстроенная последовательность упражнений. Не зря учебники Макарычева еще в советские времена занимали только первые места в всесоюзных конкурсах учебников. Особо хочется отметить представленые темы «квадратные корни» и «квадратные уравнения».
Оценка частоты использования учебника в школах и репетиторами по математике: 60%
Оценка репетитора: 10 баллов из 10.

6) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9класс. 17-е издание издание. Очень хороший учебник. Особенно хочется отметить четкое изложение тригонометрии. Ничего лишнего и никакого шатания из стороны в сторону. Структурно грамонтно составлен. Достаточная база задач, рассчитанная на среденго и слабого ученика. Есть некоторе несовешенство в заданиях на сложение дробей с разными знаменателями и качеттве задач на прогрессии. В остальном продуманное, последовательное и доступное изложение материала.
Оценка частоты использования учебника в школах и репетиторами по математике в процентах : 60%
Оценка репетитора: 9 баллов из 10

Список имеет длинное продолжение и постепенно будет перенесен на сайт.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва

Метки: Работа репетитора, Учебники

ankolpakov.ru

Книги и ресурсы по математике для школьника — резюме

Книги Владимира Левшина и Эмилии Александровой.
— Приключения Нулика — геометрия;
— Стол находок утерянных чисел;
— В лабиринте чисел.
— Три дня в Карликании — арифметика;
— Магистр Рассеянных Наук: Математическая трилогия — арифметика, переходящая в простейшую алгебру.

Книги Якова Перельмана
— Живая математика;
— Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел;
— Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома;
— Занимательная алгебра.

Книги Мартина Гарднера:
— Не всегда математическая, но безумно любимая Есть идея;
— Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок;
— Лучшие математические игры и головоломки, или Самый настоящий математический цирк

Для более старшего возраста есть книга Сергея Боброва Волшебный двурог по истории развития математики.

В мире чисел. От арифметики до высшей математики — книга по истории математики от великого фантаста-популяризатора науки Айзека Азимова.

История с узелками — математика глазами Льюиса Кэрролла. И продолжение дани уважения миру Алисы:
Алиса в стране математики, автор Лев Генденштейн и Алиса в Стране Смекалки (Alice in Puzzle-Land), автор Рэймонд М. Смаллиан.

Классика жанра Математическая смекалка Бориса Кордемского. Помните «Волка, Козу и Капусту»? Это оттуда.

Более современный подход Тысяча и одна задача по математике. 5-7 класс Александра Спивака.

Для младших школьников есть серия книг Жени Кац, например Математика в твоих руках. Можно по автору поискать, довольно много книг выдается.

Из современных — серия книг Мир Математики. Про него, правда есть неоднозначные отзывы. Ребенку может быть скучно, ориентировано скорее на старших школьников. Тут нужна помощь родителя.

Еще читатели рекомендуют книгу Страна математических чудес с описанием занимательных математических моделей.

Новые поступления от читателей:
Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы и другие киги Игоря Шарыгина,
Семь старух идут в Рим… Книга о математике Самуила Лабзовского.
Мир чисел, Рассказы о старой и новой алгебре, Рассказы о решении задач и другие книги Ивана Депмана

Из онлайн ресурсов childrenscience — сообщество по живой науке для детей.
Сайт Турнира Архимеда. На нем можно поискать занимательные задачи.
Сайт МЦНМО. Там есть онлайн-библиотека для скачивания. Так же у них выходит серия книг Школьные Математические Кружки.
Сайт журнала Квантик. Есть библиотека номеров с задачами.
Сайт Малого Мех-мата. Опять же есть библиотека с задачами.
Сайт Математика, которая мне нравится — блог о математике для студентов и старших школьников, в том числе библиотека.
Сайт математические этюды — визуализация математических задач.
Сайт заочного математического кружка — подборка задач.
Лекции доктора физ-мат наук Савватеева Алексея Владимировича:
— на сайте Байкальских чтений
— на YouTube
Тема кажется мне важной, поэтому ссылочка для удобства распространения:

vorobiev.livejournal.com

Лучшие книги по математике для детей детского сада и начальной школы

Все списки литературы

На этой странице я собираю книги, учебники и пособия по математике для детей, которые мне нравятся и которыми я пользуюсь для занятий с Кирой и Андреем.

Учебники и пособия по математике Людмилы Георгиевны Петерсон

Все, что я видела по математике этого автора — замечательно. Мне очень нравится ее подход к обучению, нравится разнообразие и уровень задач, нравится манера подачи материала. Мне нравится, что Людмила Георгиевна пытается научить ребенка думать самостоятельно, а не дает сразу готовые шаблоны «Делай раз, делай два…». В интернете очень много критики этого автора, вплоть до полного неприятия… Но я пока что не вижу ровным счетом ничего плохого. Не вижу криминала ни в раннем изучении уравнений и теории множеств, ни в задачах-шутках, ни в чем другом… В общем, я целиком за методику этого автора и жалею, что с Андреем начала по ней заниматься только перед школой. С Кирой  начала заниматься с «Игралочке» для 3-4 лет… Надеюсь, с ней мы пройдем все пособия от и до 🙂

Пособия по математике для дошкольников

Серия «Игралочка» от 3-х до 6-и лет

Серия «Раз — ступенька, два — ступенька…» для подготовки к школе на 5-7 лет

Принципиальных отличий с четвертой частью «Игралочки» я не заметила: темы одинаковые, но сами задания отличаются. Мне кажется, лучше, если ребенок изучит и то и другое пособие — в голове больше останется 🙂

Еще одно интересное пособие для подготовки к школе:

Учебники по математике для начальной школы

Если в школе Ваш ребенок изучает математику по методике другого автора, то, возможно, имеет смысл купить учебники и рабочие тетради Петерсон, чтобы дополнительно заниматься дома. Учебники объективно сильные и хорошие. Заказать в «Лабиринте» : 1 класс, 2 класс, 3 класс, 4 класс.

Пособия по математике Наталии Борисовны Истоминой

Пособия по математике для подготовки к школе

Истомина, Муртазина «Готовимся к школе»

В пособиях представлены задания на пространственное ориентирование, поиск пары, поиск «лишнего», состав числа, форма-цвет-размер. Рассчитано на возраст от 5 лет.

Истомина «Готовимся к школе. Математическая подготовка детей старшего дошкольного возраста»

Эти пособия мне очень понравилось тем, что в них огромное внимание уделено комбинаторике (перестановка, сочетание, размещение предметов), что вообще большая редкость для подобного рода материалов. Обычно, если комбинаторика и есть, то очень вскользь. А я считаю, чем раньше начать заниматься комбинаторикой, тем лучше и легче она воспринимается. Помимо комбинаторики есть задания на ориентирование в пространстве и во времени, последовательности, форма-цвет-размер и т.д. Непосредственно счету здесь уделяется мало внимания, так что эти пособия замечательны, но в плюс к чему-то еще. Возраст от 5 лет, вторая часть скорее 6-7 лет.

Пособия по математике для начальной  школы

Я не смотрела подробно сами учебники Истоминой — возможно они хороши, но я не могу рекомендовать то, что я сама не знаю. Но мне посоветовали ее дополнительные тематические тетради по математике для начальной школы и они мне очень понравились.

Истомина, Виноградова «Учимся решать комбинаторные задачи»

Моя любимая комбинаторика:

Истомина, Редько «Наглядная геометрия»

Для развития пространственного мышления:

Книга «Математика в твоих руках»

Книга «Математика в твоих руках» вышла совсем недавно, в 2012-ом году. Ее авторы: Калинина Анастасия Борисовна, Кац Евгения Марковна, Тилипман Антон Михайлович.Книга потрясающая. Просто удивительная.Кстати, я познакомилась (по сети) с одним из авторов (Антоном Тилипманом) — он оказался очень приятным и интересным человеком  Оказалось, у нас есть несколько общих знакомых — мир тесен… Про Евгению Кац очень наслышана, исключительно в восторженном ключе. Про Калинину Анастасию, к сожалению, ничего на знаю, но уверена, что в такой хорошей компании недостойных людей оказаться не может 🙂 Но вернемся к книге…

Очень грамотное построение материала — каждая задача является ступенькой к следующей. И если последние задачи в теме могут выглядеть сложными и страшными, то решая из одну за другой начиная с элементарных, ребенок часто и не замечает того, как нарастает сложность…Книга «Математика в твоих руках» вышла совсем недавно, в 2012-ом году. Ее авторы: Калинина Анастасия Борисовна, Кац Евгения Марковна, Тилипман Антон Михайлович.Книга потрясающая. Просто удивительная.Кстати, я познакомилась (по сети) с одним из авторов (Антоном Тилипманом) — он оказался очень приятным и интересным человеком 🙂 Оказалось, у нас есть несколько общих знакомых — мир тесен… Про Евгению Кац очень наслышана, исключительно в восторженном ключе. Про Калинину Анастасию, к сожалению, ничего на знаю, но уверена, что в такой хорошей компании недостойных людей оказаться не может 🙂 Но вернемся к книге… Очень, очень здорово. Даже не верится, что такая книга наконец-то существует… С ее помощью можно показать ребенку, что математика может быть интересной, необычной, нешаблонной… Антон рассказывал, что им присылают много отзывов про нее… В основном восторженные, но был и один обиженный 🙂 Ребенку купили эту книгу перед тем, как ехать в отпуск. В итоге ребенок, не проявлявший ранее особой тяги к математике, байкотировал море — сидел, решал задачи 🙂 Если Вы решите приобрести эту книгу, то рекомендую зайти в ЖЖ Антона, там написано о нескольких опечатках.

«Математика в твоих руках» отлично подойдет для подготовки детей к олимпиадам по математике.

Книги по математике Шарыгина Игоря Федоровича

Игорь Федорович Шарыгин блестящий геометр и просто потрясающий педагог. Все его книги безусловно заслуживают внимания.

«Наглядная геометрия»

Тут практически нет скучных формул. Все обучение построено на играх, интересных штуках… Например танграм, о котором я писала в блоге — одна из тем этого учебника… А еще там есть тема про оригами… И еще много чего интересного, во что можно поиграть с ребенком практически любого возраста 🙂

«Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы»

«Живая математика» Якова Исидоровича  Перельмана

«Приключения Нулика. Математическая трилогия» Левшина Владимира Артуровича

«Как я учила мою девочку таблице умножения» Шкляровой Татьяны Васильевны

Ваша задача — помочь ребенку выучить таблицу умножения с наилучшими результатами и с наименьшими затратами сил, времени и нервов. Эта книжка поможет вам справиться с этой непростой задачей.

Пособия Узоровой

Видит бог, я не люблю Узорову… Точнее ее пособия не люблю, автора я не знаю, чтобы испытывать к ней какие-то чувства 🙂 А пособия не люблю… Но порой приходится наступить песне на горло… Иногда надо… Надо отработать базовые навыки… Без этого сложно двигаться дальше… И вот тогда Узорова может выручить… Но мне кажется, использовать эти пособия надо строго по необходимости и очень дозировано… Потому что они способны напрочь убить не только интерес к математике, но и вообще какое-либо творческое начало… Примеры… Столбиками… Страницами… Тысячами… А порой и десятками тысяч… В тоску вгонят кого угодно… Но порой действительно надо… Есть отдельные пособия по счету в пределах десяти, двадцати, ста, тысячи… Табличное умножение и деление, внетабличное… Задачи… В общем есть отработка навыков счета по всем направлениям. Но я Вас умоляю, поосторожнее с этими пособиями… Они реально страшные… Посмотреть и заказать можно в «Лабиринте».

Посмотрите другие списки литературы:

Если Вам понравился список, советую добавить его в закладки. И расскажите, пожалуйста, о нем друзьям с помощью социальных кнопок. Спасибо!

4curious-eyes.ru

Математические словари, словари по математике

• Книги, задачники и учебники по математике
• Обучение математике, презентации по математике
• ГДЗ по Математике
• ГДЗ по Алгебре
• ГДЗ по Геометрии
• ГИА, ОГЭ, экзаменационные билеты по Геометрии
• ГИА, ОГЭ, экзаменационные билеты по Алгебре
• ГИА, ОГЭ, экзаменационные билеты по Математике
• ГИА, ОГЭ, экзаменационные билеты по Стереометрии
• ЕГЭ по математике
• Все книги по математике

• Математика, Школьный справочник, 7-11 классы, Определения, формулы, схемы, теоремы, алгоритмы, Черняк А.А., Черняк Ж.А., 2018

• Алгебра, 9 класс, Практический справочник с видеосопровождением, Лукина Л., 2015
• Алгебра, 9 класс, Практический справочник с видеосопровождением, Лукина Л., 2015
• Справочник школьника по математике, 1-4 классы, Марченко И.С., 2015
• Элементарная математика, Краткие сведения, Справочник, Ринчино А.Л., 2015

• Высшая математика, Мини-справочник для ВУЗов, Галабурдин А.В., 2014
• Математический словарь, Марченко И.С., Жубр М.С., 2014
• Мини-справочник для ВУЗов, Высшая математика, Галабурдин А.В., 2014
• Справочник по математике для бакалавров, 2014
• Справочник по математике и физике, Жавнерчик В.Э., Майсеня Л.И., Савилова Ю.И., 2014
• Справочник по математике и физике, Жавнерчик В.Э., Майсеня Л.И., Савилова Ю.И., 2014
• Справочник по математике, Геометрия, 5-9 классы, Саламатова А.Г., 2014

• Краткий справочник по математике для абитуриентов и студентов, Формулы, Алгоритмы, Примеры, Судавная О., 2013
• Математика, Гусев В.А., 2013
• Математика, Сборник формул, Карманный справочник, 2013
• Математика, Справочник школьника, Гусев В.А., Мордкович А.Г., 2013
• Математика, Справочник, Вербицкий В.И., 2013
• Математика, Справочник, Гусев В.А., Мордкович А.Г., 2013
• Математические формулы, Краткий справочник, 2013

• Краткий справочник по математике для средней школы, 5-11 класс, Власова Ю., 2012
• Математика, Практический справочник, 1-4 класс, Марченко И.С., 2012
• Справочник по математике, Основные понятия и формулы, Майсеня Л.И., 2012
• Справочник по математике, Основные понятия и формулы, Майсеня Л.И., 2012
• Формулы по математике, Справочник в кармане, Шумихин С.А., 2012

• Краткий справочник и индивидуальные задания по элементарной математике, Маджитова Ф.Ш., Маджитов Д.Ф., 2011
• Математика в таблицах, 5-11 класс, Справочные материалы, 2011
• Математика, 5 класс, Решения задач с подробными объяснениями, Справочное пособие, Часть 1, Скалабова А.Д., 2011
• Сборник основных формул по аналитической геометрии и линейной алгебре, Стандо В.В., 2011

• Вся геометрия 7 класса в кратком изложении, Горина Д.А., 2009
• Вся геометрия 8 класса в кратком изложении, Горина Д.А., 2009
• Вся геометрия 9 класса в кратком изложении, Горина Д.А., 2009
• Наглядный справочник по математике с примерами, Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С., 2009
• Наглядный справочник по математике с примерами, Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С., 2009
• Наглядный справочник по математике с примерами. Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С., 2009
• Справочник по математике для экономистов. Ермаков В.И., 2009
• Справочник по математическим формулам и графикам функций для студентов, Старков С.Н., 2009
• Справочник по математическим формулам и графикам функций, Старков С.Н., 2009

• Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах, Евдокимова Н.Н., 2008
• Геометрия, 7-11 класс, Справочные материалы, Безрукова Г.К., Литвиненко В.Н., 2008
• Инженерная математика. Карманный справочник. Джон Берд. 2008
• Справочник школьника по математике, 5-11 класс, Маслова Т.Н., 2008
• Справочник школьника по математике, 5-11 класс, Маслова Т.Н., Суходский А.М., 2008
• Справочник школьника по математике, 5-11 класс, Маслова, Суходский, 2008

• Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах — Евдокимова Н.Н.
• Весь курс школьной программы в схемах и таблицах: математика, Коноплева О. А., 2007
• Иллюстрированный словарь, Математика, Банкрашкова А., 2007
• Математика, Весь курс школьной программы в схемах и таблицах, 2007
• Математический словарь, Каазик Ю.Я., 2007
• Мир в цифрах — 2007 — Карманный справочник.
• Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в ВУЗы, Цыпкин А.Г., Пинский А.И., 2007

• Антидемидович — Справочное пособие по высшей математике — Том 2 — Боярчук А.К.
• Математика от А до Я, Справочное пособие, Романов А.М., Попова А.С., Леонов Г.П., Дегтерева Р.В., 2003
• Математика, Справочное пособие, Для школьников старших классов и поступающих в ВУЗы, Рывкин А.А., Рывкин А.З., 2003
• Математика, Справочное пособие, Рывкин А.А., Рывкин А.З., 2003
• Математический анализ и дифференциальные уравнения, Справочное пособие к решению задач, Гусак А.А., 2003
• Сборник формул по математике — карманный справочник
• Сборник формул по математике. Карманный справочник. 2003
• Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка — Зайцев В.Ф., Полянин А.Д.
• Справочное пособие по высшей математике, Том 2, Математический анализ, Ряды, функции векторного аргумента, Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., 2003
• Теория вероятностей, Справочное пособие к решению задач, Гусак А.А., Бричикова Е.А., 2003
• Теория вероятностей, Справочное пособие к решению задач, Гусак, Бричикова, 2003

• Антидемидович — Справочное пособие по высшей математике — Том 1 — Боярчук А.К.
• Антидемидович — Справочное пособие по высшей математике — Том 3 — Боярчук А.К.
• Антидемидович — Справочное пособие по высшей математике — Том 4 — Боярчук А.К.
• Антидемидович — Справочное пособие по высшей математике — Том 5 — Боярчук А.К.
• Дифференциальные уравнения в примерах и задачах — Справочное пособие по высшей математике. Том 5 — Боярчук А.К., Головач Г.П. — 2001
• Математичесий анализ: кратные и криволинейные интегралы — Справочное пособие по высшей математике. Том 3 — Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. — 2001
• Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл — Справочное пособие по высшей математике. Том 1 — Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. — 2001
• Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента — Справочное пособие по высшей математике. Том 2 — И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г. П.Головач — 2001
• Справочник по вероятностным распределениям, Вадзинский Р.Н., 2001
• Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям — Зайцев В.Ф., Полянин А.Д.
• Справочное пособие по высшей математике, Математический анализ, кратные и криволинейные интегралы, 3 том, Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 1, Математический анализ, Введение в анализ, Производная, Интеграл, Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 1, Математический анализ, Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 3, Математический анализ, Кратные и криволинейные интегралы, Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 4, Функции комплексного переменного, Теория и практик, Боярчук А.К., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 4, Функции комплексного переменного, Теория и практика, Боярчук А.К., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 5, Дифференциальные уравнения в примерах и задачах, Боярчук А.К., Головач Г.Г., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 5, Дифференциальные уравнения в примерах и задачах, Боярчук А.К., Головач Г.П., 2001
• Справочное пособие по высшей математике, Том 5, Дифференциальные уравнения в примерах и задачах, Боярчук А.К., Головач Г.П., 2001
• Функции комплексного переменного: теория и практика — Справочное пособие по высшей математике. Том 4 — Боярчук А.К. — 2001

• Вероятность и математическая статистика, Энциклопедия, Прохоров Ю.В., 1999
• Математика, 1-5 класс, Энциклопедия, Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г., 1999
• Справочник по высшей математике — Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А.
• Справочник по высшей математике, Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А., 1999
• Справочник по высшей математике, Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А., 1999

• Математика в формулах, 5-11 класс, справочное пособие, 1998
• Математика, Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы, Аверьянов Д.И., 1998
• Справочник по интегральным уравнениям, Точные решения, Полянин А.Д., Манжиров А.В., 1998
• Справочное пособие по высшей математике, Том 2, Математический анализ, Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П., 1998

• Математика, Справочник, Куринной Г.Ч., 1997
• Наглядный справочник по алгебре и началам анализа, 7-11 класс, Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С., 1997
• Наглядный справочник по алгебре и началам анализа, 7-11 класс, Генденштейн, Ершова, Ершова, 1997
• Наглядный справочник по алгебре и началам анализа, 7-11 классы, Генденштейн Л.Э., Ершова А.П., Ершова А.С., 1997
• Справочник по математике для экономистов — Ермаков В.И.
• Справочник, Уравнения и неравенства, Нестандартные методы решения, Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И., 1997
• Уравнения и неравенства, Нестандартные методы решения, Справочник, Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И., 1997

• Графики функций, Справочное пособие для ВУЗов, Райхмист Р.Б., 1991
• Нестандартные методы решения уравнений и неравенств, Справочник, Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И., 1991
• Опорные конспекты по математике школьнику, учителю, абитуриенту, Справочник по теории и методам решения задач алгебры и начал анализа, Савченко Ю.С., 1991
• Школьный математический словарь, Воднев В.Т., Наумович Н.Ф., Наумович А.Ф., 1991
• Школьный математический словарь, Воднев В.Т., Наумович Н.Ф., Наумович А.Ф., 1991

• Задачи по математике — Начала анализа — Часть 1 — Вавилов В.В. Мельников И.И. Олехник С.Н.
• Задачи по математике — Начала анализа — Часть 2 — Вавилов В.В. Мельников И.И. Олехник С.Н.
• Задачи по математике, Начала анализа, Справочное пособие, Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И., 1990
• Математика — Справочные материалы — Гусев В.А., Мордкович А.Г.
• Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, Баутин Н.Н., Леонтович Е.А., 1990
• Общая алгебра, Том 1, Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., 1990

• Асимптотика, Интегралы и ряды, Федорюк М.В., 1987
• Задачи по математике — Алгебра — Вавилов В.В. Мельников И.И. Олехник С.Н.
• Задачи по математике — Уравнения и неравенства — Вавилов В.В. Мельников И.И. Олехник С.Н.
• Справочник по математике, Рыбкин А.А., Рыбкин А.З., Хренов Л.С., 1987
• Справочник по математике, Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С., 1987
• Элементарные функции, Формулы, Таблицы, Графики, Рыбасенко В.Д., Рыбасенко И.Д., 1987

• Математика, Письменные экзаменационные работы, Справочное пособие, Макуха А.С., Покровский В.С., Ушаков Р.П., 1985
• Математические формулы, Алгебра, Геометрия, Математический анализ, Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г., 1985
• Математические формулы, Справочник, Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г., 1985
• Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ. Справочник. Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. 1985
• Справочник по теории вероятностей и математической статистике, Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф., 1985

• Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М.В., 1983
• Математики, Механики, Биографический справочник, Боголюбов А.Н., 1983
• Математическая теория планирования эксперимента, Ермаков С.М., Бродский В.З., Жиглявский А.А., 1983
• Представления групп Ли, Желобенко Д.П., Штерн А.И., 1983
• Справочная книга по математической логике, Часть 4, Теория доказательств и конструктивная математика, Барвайс Дж., 1983
• Справочник по математике для средних учебных заведений, Цыпкин А.Г., 1983

• Математическая энциклопедия, Том 3, Виноградов И.М., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 1, Теория моделей, Барвайс Д., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 1, Теория моделей, Барвайс Дж., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 2, Теория множеств, Барвайc Дж., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 2, Теория множеств, Барвайс Д., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 3, Теория рекурсии, Барвайс Д., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 3, Теория рекурсии, Барвайс Дж., 1982
• Справочная книга по математической логике, Часть 4, Теория доказательств и конструктивная математика, Барвайс Д., 1982

• Графики функций — Справочник — Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.
• Математическая энциклопедия, Том 2, Виноградов И.М., 1979
• Справочник по специальным функциям, С формулами, графиками и математическими таблицами, Абрамовиц М., Стиган И., 1979

• Высшие трансцендентные функции, Том 3, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967
• Высшие трансцендентные функции, Часть 3, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967
• Теория вероятностей, Основные понятия, Предельные теоремы, Случайные процессы, Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А., 1967

• Высшие трансцендентные функции, Том 2, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1966
• Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка — Э. Камке
• Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, Камке Э., 1966
• Справочник по элементарной математике, Выгодский М.Я., 1966
• Энциклопедия элементарной математики, Том 5, Геометрия, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1966

• Высшие трансцендентные функции, Том 1, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1965
• Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л., 1965
• Справочник по элементарной математике, Швецов К.И., Бевз Г.П., 1965
• Толковый словарь математических терминов, Диткин В.А., Мантуров О.В., 1965

• Линейные уравнения математической физики, Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г., 1964
• Специальные функции, Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., 1964
• Функциональный анализ, Виленкин Н.Я., Горин Е.А., Костюченко А.Г., 1964

• Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Градштейн, Рыжик
• Таблицы неопределенных интегралов, Смолянский
• Функции математической физики, Справочное руководство, Кампе Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т., 1963
• Элементы теории функций, Функции действительного переменного, Приближение функций, Почти-периодические функции, Гутер Р.С., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М., 1963
• Энциклопедия элементарной математики, Том 4, Геометрия, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1963

• Интегральные преобразования и операционное исчисление, Диткин В.А., Прудников А.П., 1961
• Математический анализ, Вычесление элементарных функций, Люстерник Л.А., Червоненкис О.А., Янпольский А.Р., 1961
• Математический анализ, Дифференцирование и интегрирование, Араманович И.Г., Гутер Р.С., Люстерник Л.А., 1961
• Математический анализ, Функции, Пределы, Ряды, Цепные дроби, Данилов В.Л., Иванова А.Н., Исакова Е.К., 1961
• Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика, Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я., 1961

Описание раздела «Математика»

     Для всех кто учится в высших учебных заведениях и изучает высшую математику, рекомендуем скачать «Справочник по высшей математике» автора Выгодский М.Я.. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам.

     А для тех кто еще учится в школе идеально подойдет «Справочник по элементарной математике» — Выгодский М.Я.. Справочник содержит все определения, правила, формулы и теоремы элементарной математики, а также математические таблицы. Предметный указатель и подробное содержание позволяет легко и быстро получать необходимую информацию. Книга адресована учащимся и учителям общеобразовательных учреждений, колледжей и лицеев. Это общеизвестный справочник по математике.  Он имеет двоякое значение. Во-первых, здесь можно получить моментальную справку. Все определения, правила, формулы и теоремы сопровождаются примерами. Во-вторых, этот справочник, по замыслу автора, мог бы служить пособием для обучения элементарной математике.

     А для тех, кто собирается поступать в ВУЗ нужно скачать «Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в ВУЗы» авторов Цыпкин А.Г., Пинский А.И.. Данное справочное пособие включает все основные разделы школьной программы по математике. Книга содержит необходимые теоретические сведения и методы решения задач, иллюстрируемые подробно разобранными примерами. Упражнения для самостоятельного решения включают задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Приводятся ответы, указания или решения ко всем упражнениям. Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики.

     Так же скачивайте справочники по математике авторов Евдокимова Н.Н., Бейтмен Г., Эрдейи А., Нелин Е.П., Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И., Диткин В.А., Прудников А.П., Полянин А.Д., Полянин В.Д., Попов В.А., Путятин Б.В., Сафрай В.М., Черноуцан А.И., Якушева Г., Куринна Г.Ч., Александрова Н.В., Генденштейн Л.Э., Булгаков Н.А., Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Барвайс Д., Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А., Э. Камке, Пинский А.И., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. и другие.

nashol.com

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

• Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

• Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

• для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

.

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы[править]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[8]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

где для и

Субфакториал[править]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

www.wikiznanie.ru

Тема урока: «Факториал числа». 5-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (302,2 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• Дидактические:
  • ввести определение факториала числа;
  • показать использование факториала при решении примеров.
• Воспитательные:
  • формирование системного мышления;
  • создание у школьников положительной мотивации к выполнению умственной деятельности;
  • повышение общей культуры учащихся.
• Развивающие:
  • развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся;
  • развитие внимания, памяти.

Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.

Оборудование – презентация к уроку.

План урока:

• Организационный момент – 1  мин.
• Объяснение – 7 мин.
• Закрепление – 33 мин.
• Итог – 2 мин.
• Постановка домашнего задания  – 2 мин.

ХОД УРОКА

Использованная литература:

Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.

5.05.2012

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Факториал

Например:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Содержание

• 1 Свойства
  • 1.1 Рекуррентная формула
  • 1.2 Комбинаторная интерпретация
  • 1.3 Связь с гамма-функцией
  • 1.4 Формула Стирлинга
  • 1.5 Разложение на простые числа
  • 1.6 Связь с производной от степенной функции
  • 1.7 Другие свойства
• 2 Обобщения
  • 2.1 Двойной факториал
  • 2.2 Кратный факториал
  • 2.3 Неполный факториал
    • 2.3.1 Убывающий факториал
    • 2.3.2 Возрастающий факториал
  • 2.4 Праймориал или примориал
  • 2.5 Суперфакториалы
  • 2.6 Субфакториал
• 3 См. также
• 4 Примечания

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое.

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10157;
• 1000! ≈ 4,02×102567;
• 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства

• Для натурального числа n:

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке , имеющих ту же чётность, что и n.

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

• Для нечётного n:

• Формула для чётного n:

• Формула для нечётного n:

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

• для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так:

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением:

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

Например:

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так:

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так:

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

где для и

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

Примечания

1. ↑ Статья A000142 в OEIS
2. ↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
3. ↑ Статья A006882 в OEIS
4. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
5. ↑ wolframalpha.com.
6. ↑ Статья A002110 в OEIS
7. ↑ Статья A000178 в OEIS
8. ↑ Статья A055462 в OEIS

факториал, факториал актобе, факториал в матлабе, факториал вычислить, факториал домофон, факториал примеры, факториал харьков, факториал челябинск, факториал числа, факториал это

Факториал Информацию О

Факториал Комментарии

Факториал
Факториал
Факториал Вы просматриваете субъект

Факториал что, Факториал кто, Факториал описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Факториал • ru.knowledgr.com

В математике, факториале неотрицательного целого числа n, обозначенный n!, продукт всех положительных целых чисел, меньше чем или равных n. Например,

:

Ценность 0! 1, согласно соглашению для пустого продукта.

операцией по факториалу сталкиваются во многих областях математики, особенно в комбинаторике, алгебре и математическом анализе. Его самое основное возникновение — факт, что есть n! способы устроить n отличные объекты в последовательность (т.е., перестановки набора объектов). Этот факт был известен, по крайней мере, уже в 12-м веке индийским ученым. Фабиан Стедмен в 1677 описал факториалы в применении к звону изменения. После описания рекурсивного подхода Стедмен дает заявление факториала (использующий язык оригинала):

Теперь природа этих методов — такой, что изменения на одном числе постигают [включает] изменения на всех меньших числах… настолько, что умелый Перезвон изменений на одном числе seemeth, чтобы быть сформированным, объединяясь умелых Перезвонов на всех меньших числах в одно все тело;

Примечание n было введено Кристианом Крэмпом в 1808.

Определение функции факториала может также быть расширено на аргументы нецелого числа, сохраняя его самые важные свойства; это включает более передовую математику, особенно методы от математического анализа.

Определение

Функция факториала формально определена продуктом

:

или отношением повторения

:

1 & \text {если} n = 0, \\

(n-1)! \times n & \text {если} n> 0

\end {случаи }\

Функция факториала может также быть определена при помощи правила власти как

:

Все вышеупомянутые определения включают случай

:

в первом случае в соответствии с соглашением, что продукт никаких чисел вообще равняется 1. Это удобно потому что:

• Есть точно одна перестановка нулевых объектов (ни с чем, чтобы переставить, «все» оставляют в месте).
• Отношение повторения, действительное для n> 0, распространяется на n = 0.
• Это допускает выражение многих формул, таких как показательная функция, как ряд власти:

::

• Это делает много тождеств в комбинаторике действительными для всех применимых размеров. Число способов выбрать 0 элементов из пустого набора. Более широко число способов выбрать (все) n элементы среди ряда n.

Функция факториала может также быть определена для ценностей нецелого числа, используя более передовую математику, детализированную в секции ниже. Это более обобщенное определение используется современными калькуляторами и математическим программным обеспечением, такими как Maple или Mathematica.

Заявления

Хотя у функции факториала есть свои корни в комбинаторике, формулы, включающие факториалы, происходят во многих областях математики.

• Есть n! различные способы устроить n отличные объекты в последовательность, перестановки тех объектов.
• Часто факториалы, кажется, в знаменателе формулы составляют факт, что заказ должен быть проигнорирован. Классический пример считает k-комбинации (подмножества k элементов) от набора с n элементами. Можно получить такую комбинацию, выбрав k-перестановку: последовательно выбирая и удаление элемента набора, k времена, для в общей сложности

::

:possibilities. Это, однако, производит k-комбинации в особом заказе, который каждый хочет проигнорировать; так как каждая k-комбинация получена в k! различный путем правильное число k-комбинаций —

::

Число:This известно как двучленный коэффициент, потому что это — также коэффициент X в.

• Факториалы происходят в алгебре по различным причинам, такой как через уже упомянутые коэффициенты двучленной формулы, или посредством усреднения по перестановкам для symmetrization определенных операций.
• Факториалы также поднимаются в исчислении; например, они происходят в знаменателях условий формулы Тейлора, где они используются в качестве условий компенсации из-за энной производной x быть эквивалентным n.
• Факториалы также используются экстенсивно в теории вероятности.
• Факториалы могут быть полезными, чтобы облегчить манипуляцию выражения. Например, число k-перестановок n может быть написано как

::

:while это неэффективно как средство вычислить то число, это может служить, чтобы доказать собственность симметрии двучленных коэффициентов:

::

Теория чисел

факториалов есть много применений в теории чисел. В частности n обязательно делимый всеми простыми числами до и включая n. Как следствие n> 5 — сложное число если и только если

:

Более сильный результат — теорема Уилсона, которая заявляет этому

:

если и только если p главный.

Формула Лежандра дает разнообразие главного p, происходящего в главной факторизации как

:

или, эквивалентно,

:

где обозначает сумму стандартных основных-p цифр n.

Единственный факториал, который является также простым числом, равняется 2, но есть много начал формы n! ± 1, названный началами факториала.

Все факториалы, больше, чем 1! даже, как они — вся сеть магазинов 2. Кроме того, все факториалы от 5! вверх сеть магазинов 10 (и следовательно имейте тянущийся ноль как их заключительную цифру), потому что они — сеть магазинов 5 и 2.

Серия аналогов

Аналоги факториалов производят сходящийся ряд: (см. e)

:

Хотя сумма этого ряда — иррациональное число, возможно умножить факториалы на положительные целые числа, чтобы произвести сходящийся ряд с рациональной суммой:

:

Сходимость этого ряда к 1 может быть замечена по факту, что его частичные суммы — меньше чем один обратным факториалом.

Поэтому, факториалы не формируют последовательность нелогичности.

Темп роста и приближения для большого n

Когда n растет, факториал n увеличивается быстрее, чем все полиномиалы и показательные функции (но медленнее, чем дважды показательные функции) в n.

Большинство приближений для n! основаны на приближении его естественного логарифма

:

Граф функции f (n) = регистрирует n! показан в числе справа. Это выглядит приблизительно линейным для всей рыночной стоимости n, но эта интуиция ложная.

Мы получаем одно из самых простых приближений для регистрации n! ограничивая сумму с интегралом сверху и ниже следующим образом:

:

который дает нам оценку

:

Следовательно регистрация n! Θ (n, регистрируют n) (см. Большое примечание O). Этот результат играет ключевую роль в анализе вычислительной сложности сортировки алгоритмов (см. вид сравнения). От границ на регистрации n! выведенный выше мы получаем это

:

Это иногда практично, чтобы использовать более слабые но более простые оценки. Используя вышеупомянутую формулу легко показано, что для всего n мы имеем

Для большого n мы получаем лучшую оценку для номера n, используя приближение Стерлинга:

:

Фактически, можно доказать, что для всего n у нас есть

:

Другое приближение для дано Srinivasa Ramanujan

:

:

Таким образом это еще меньше, чем следующий срок исправления формулы Стерлинга.

Вычисление

Если эффективность не беспокойство, вычислительные факториалы тривиально с алгоритмической точки зрения: последовательно умножение переменной, инициализированной к 1 целыми числами 2 до n (если таковые имеются), вычислит n, если результат помещается в переменную. На функциональных языках рекурсивное определение часто осуществляется непосредственно, чтобы иллюстрировать рекурсивные функции.

Главная практическая трудность в вычислительных факториалах — размер результата. Гарантировать, что точный результат соответствует для всех юридических ценностей даже самого маленького обычно используемого составного типа (8 битов подписали целые числа) потребует больше чем 700 битов, таким образом, никакая разумная спецификация функции факториала, используя типы фиксированного размера не сможет избежать вопросов переполнения. Ценности 12! и 20! самые большие факториалы, которые могут быть сохранены в, соответственно, 32-битные и 64-битные целые числа, обычно используемые в персональных компьютерах. Представление с плавающей запятой приближенного результата позволяет идти немного далее, но это также остается довольно ограниченным возможным переполнением. Большинство калькуляторов использует научное примечание с десятичными образцами с 2 цифрами и самый большой факториал, который судороги равняется тогда 69!, потому что 69! для ценностей n до 249 999 и до 20 000 000! для целых чисел.

Если точные ценности больших факториалов необходимы, они могут быть вычислены, используя арифметику произвольной точности. Вместо того, чтобы делать последовательное умножение, программа может разделить последовательность в две части, продукты которых — примерно тот же самый размер и умножают их использующий метод делить-и-побеждать. Это часто более эффективно.

Асимптотически лучшая эффективность получена, вычислив n от ее главной факторизации. Как зарегистрировано Питером Борвейном, главная факторизация позволяет n быть вычисленным вовремя O (n (зарегистрируйтесь, регистрация n регистрируют n)), при условии, что быстрый алгоритм умножения используется (например, алгоритм Schönhage-Штрассена). Питер Лушни представляет исходный код и оценки для нескольких эффективных алгоритмов факториала, с или без использования главного решета.

Расширение факториала к ценностям нецелого числа аргумента

Функции Гаммы и Пи

Помимо неотрицательных целых чисел, функция факториала может также быть определена для ценностей нецелого числа, но это требует более современных инструментов от математического анализа. Одна функция, которая «заполняет» ценности факториала (но с изменением 1 в аргументе) вызвана Гамма функция, обозначил Γ (z), определенный для всех комплексных чисел z кроме неположительных целых чисел, и данный, когда реальная часть z положительная

:

Его отношение к факториалам то, что для любого натурального числа n

:

Оригинальная формула Эйлера для Гамма функции была

:

Альтернативное примечание, первоначально введенное Гауссом, иногда используется. Функция Пи, обозначенный Π (z) для действительных чисел z не менее чем 0, определена

:

С точки зрения Гамма функции это —

:

Это действительно расширяет факториал в этом

:

В дополнение к этому функция Пи удовлетворяет то же самое повторение, как факториалы делают, но в каждой сложной стоимости z, где это определено

:

Фактически, это больше не отношение повторения, а функциональное уравнение.

Выраженный с точки зрения Гамма функции это функциональное уравнение принимает форму

:

Так как факториал расширен функцией Пи для каждой сложной стоимости z, где это определено, мы можем написать:

:

Ценности этих функций в полуцелочисленных значениях поэтому определены единственным из них; у каждого есть

:

от который из этого следует, что для n ∈ N,

:

Например,

:

Это также следует за этим для n ∈ N,

:

Например,

:

Функция Пи — конечно, не единственный способ расширить факториалы на функцию, определенную в почти всех сложных ценностях, и даже единственной, которая аналитична везде, где это определено. Тем не менее, это обычно считают самым естественным способом расширить ценности факториалов к сложной функции. Например, Боровская-Mollerup теорема заявляет, что Гамма функция — единственная функция, которая берет стоимость 1 в 1, удовлетворяет функциональное уравнение Γ (n + 1) = nΓ (n), мероморфна на комплексных числах и выпукла регистрацией на положительной реальной оси. Подобное заявление держится для функции Пи также, используя Π (n) = nΠ (n − 1) функциональное уравнение.

Однако там существуйте сложные функции, которые, вероятно, более просты в смысле аналитической теории функции и которые интерполируют ценности факториала. Например, ‘Гамма ‘-функция Адамара, которая, в отличие от Гамма функции, вся функция.

Эйлер также развил сходящееся приближение продукта для факториалов нецелого числа, которые, как может замечаться, эквивалентны формуле для Гамма функции выше:

:

Однако эта формула не обеспечивает практическое средство вычисления функции Пи или Гаммы, поскольку ее темп сходимости медленный.

Применения Гамма функции

Объем n-мерной гиперсферы радиуса R является

:

Факториал в комплексной плоскости

Представление через Гамма функцию позволяет оценку факториала сложного аргумента. Equilines амплитуды и фазу факториала показывают в числе. Позволить. Несколько уровней постоянного модуля (амплитуда) и постоянной фазы показывают. Сетка покрывает диапазон

с шагом единицы. Поцарапанная линия показывает уровень.

Тонкие линии показывают промежуточные уровни постоянного модуля и постоянной фазы. В полюсах не определены фаза и амплитуда. Equilines плотные около особенностей вдоль отрицательных целочисленных значений аргумента.

Для

:

Первые коэффициенты этого расширения —

где постоянный Эйлер и функция дзэты Риманна. Компьютерные системы алгебры, такие как Сейдж могут произвести много условий этого расширения.

Приближения факториала

Для больших ценностей аргумента,

факториал может быть приближен через интеграл

функция digamma, используя длительное представление части.

Этот подход происходит из-за Т. Дж. Стилтьеса (1894). Написание z! = exp (P (z)), где P (z) является

:

Стилтьес дал длительную часть для p (z)

:

p (z) = \cfrac {a_0} {z+

\cfrac {a_1} {z+

\cfrac {a_2} {z+

\cfrac {a_3} {z +\ddots}}} }\

Первые несколько коэффициентов

Есть неправильное представление это или

для любого комплекса z ≠ 0. Действительно, отношение через логарифм действительно только для определенного диапазона ценностей z около реальной оси, в то время как

Non-extendability к отрицательным целым числам

Отношение n! = n × (n − 1)! позволяет вычислять факториал для целого числа, данного факториал для меньшего целого числа. Отношение может быть инвертировано так, чтобы можно было вычислить факториал для целого числа, данного факториал для большего целого числа:

:

Отметьте, однако, что эта рекурсия не разрешает нам вычислять факториал отрицательного целого числа; использование формулы, чтобы вычислить (−1) потребовало бы деления на нуль, и таким образом блокирует нас от вычисления стоимости факториала для каждого отрицательного целого числа. (Точно так же Гамма функция не определена для неположительных целых чисел, хотя она определена для всех других комплексных чисел.)

Подобные факториалу продукты и функции

Есть несколько других последовательностей целого числа, подобных факториалу, которые используются в математике:

Двойной факториал

Продукт всех странных целых чисел до некоторого странного положительного целого числа n называет двойным факториалом n и обозначает n. Таким образом,

:

Например, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

Последовательность двойных факториалов для n = 1, 3, 5, 7… начинается как

: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135….

Двойное примечание факториала может использоваться, чтобы упростить выражение определенных тригонометрических интегралов, обеспечить выражение для ценностей Гамма функции в аргументах полуцелого числа и объеме гиперсфер, и решить много проблем подсчета в комбинаторике включая подсчет двоичных деревьев с маркированными листьями и прекрасным matchings в полных графах.

Мультифакториалы

Общее связанное примечание должно использовать многократные восклицательные знаки, чтобы обозначить многофакторное, продукт целых чисел в шагах два , три , или больше. Двойной факториал — обычно используемый вариант, но можно так же определить тройной факториал и так далее. Можно определить k-th факториал, обозначенный, рекурсивно для неотрицательных целых чисел как

:

1 & \text {если} n = 0 \\

n & \text {если} 0

хотя см. альтернативное определение ниже.

Некоторые математики предложили альтернативное примечание для двойного факториала и так же для других мультифакториалов, но это не вошло в общее употребление.

Таким же образом это не определено для отрицательных целых чисел и не определено для отрицательных ровных целых чисел, не определен для отрицательных целых чисел, делимых.

Альтернативное расширение многофакторного

Альтернативно, многофакторный z! может быть расширен на наиболее действительные числа и комплексные числа z, отметив это, когда z — еще один, чем положительное кратное число k тогда

:

Это последнее выражение определено намного более широко, чем оригинал; с этим определением, z! определен для всех комплексных чисел кроме отрицательных действительных чисел, равномерно делимых k. Это определение совместимо с более ранним определением только для тех целых чисел z удовлетворяющий z ≡ 1 ультрасовременный k.

В дополнение к распространению z! к наиболее комплексным числам z, у этого определения есть особенность работы для всех положительных реальных ценностей k. Кроме того, когда k = 1, это определение математически эквивалентно Π (z) функция, описанная выше. Кроме того, когда k = 2, это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала.

Primorial

primorial подобен факториалу, но с продуктом, взятым только по простым числам.

Учетверенный факториал

Учетверенный факториал не многофакторный n!; это — намного большее число, данное (2n)!/n!, старт как

:1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280….

Это также равно

:

\begin {выравнивают }\

2^n\frac {(2n)!} {n! 2^n} & = 2^n \frac {(2\cdot 4\cdots 2n) (1\cdot 3\cdots (2n-1))} {2\cdot 4\cdots 2n} \\[8 ПБ]

& = (1\cdot 2) \cdot (3 \cdot 2) \cdots ((2n-1) \cdot 2) = (4n-2)! ^ {(4)}.

\end {выравнивают }\

Суперфакториал

Нил Слоан и Саймон Плуфф определили суперфакториал в Энциклопедии Последовательностей Целого числа (Академическое издание, 1995), чтобы быть продуктом первых факториалов. Таким образом, суперфакториал 4 является

:

В общем

:

\mathrm {sf} (n)

= \prod_ {k=1} ^n k! = \prod_ {k=1} ^n k^ {n-k+1 }\

=1^n\cdot2^ {n-1 }\\cdot3^ {n-2 }\\cdots (n-1) ^2\cdot n^1.

Эквивалентно, суперфакториал дан формулой

:

\mathrm {sf} (n)

= \prod_ {0 \le i

который является детерминантом матрицы Vandermonde.

Последовательность запусков суперфакториалов (от) как

:1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000…

Альтернативное определение

Клиффорд Пиковер в его 1 995 книгах Ключи к Бесконечности использовал новое примечание, n$, чтобы определить суперфакториал

:

ru.knowledgr.com

Контрольная работа №14. Итоговая контрольная работа. Вариант №1

Самостоятельная работа №1. Обозначение натуральных чисел:

Самостоятельная работа №2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник:

Самостоятельная работа №3. Плоскость. Прямая. Луч:

Самостоятельная работа №4. Шкалы и координаты:

Самостоятельная работа №5. Меньше или больше:

Самостоятельная работа №6. Сложение натуральных чисел и его свойства:

Самостоятельная работа №7. Вычитание:

Самостоятельная работа №8. Числовые и буквенные выражения:

Самостоятельная работа №9. Буквенная запись свойств сложения и вычитания:

Самостоятельная работа №10. Уравнения:

Самостоятельная работа №11. Умножение натуральных чисел и его свойства:

Самостоятельная работа №12. Деление:

Самостоятельная работа №13. Деление с остатком:

Самостоятельная работа №14. Упрощение выражений:

Самостоятельная работа №15. Порядок выполнения действий:

Самостоятельная работа №16. Квадрат и куб числа:

Самостоятельная работа №17. Формулы:

Самостоятельная работа №18. Площадь. Формула площади прямоугольника:

Самостоятельная работа №19. Единицы измерения площадей:

Самостоятельная работа №20. Прямоугольный параллелепипед:

Самостоятельная работа №21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда:

Самостоятельная работа №22. Окружность и круг:

Самостоятельная работа №23. Доли. Обыкновенные дроби:

Самостоятельная работа №24. Сравнение дробей:

Самостоятельная работа №25. Правильные и неправильные дроби:

Самостоятельная работа №26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Самостоятельная работа №27. Деление и дроби:

Самостоятельная работа №28. Смешанные числа:

Самостоятельная работа №29. Сложение и вычитание смешанных чисел:

Самостоятельная работа №30. Десятичная запись дробных чисел:

Самостоятельная работа №31. Сравнение десятичных дробей:

Самостоятельная работа №32. Сложение и вычитание десятичных дробей:

Самостоятельная работа №33. Приближенные значения чисел. Округление чисел:

Самостоятельная работа №34. Умножение десятичных дробей на натуральные числа:

Самостоятельная работа №35. Деление десятичных дробей на натуральные числа:

Самостоятельная работа №36. Умножение десятичных дробей:

Самостоятельная работа №37. Деление на десятичную дробь:

Самостоятельная работа №38. Среднее арифметическое:

Самостоятельная работа №39. Микрокалькулятор:

Самостоятельная работа №40. Проценты:

Самостоятельная работа №41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник:

Самостоятельная работа №42. Измерение углов. Транспортир:

Самостоятельная работа №43. Круговые диаграммы:

gdzplus.me

Контрольные работы по математике

Контрольные работы по математике для 4 класса

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по изученным темам;

развивать логическое мышление, память, внимание;

воспитывать сознательное отношение к учебе.

Контрольная работа №1 4 класс

Математический диктант

— Записать числа цифрами: 136 тыс. 854, 12тыс. 061

— 15 ед. 2 класса и 750 ед. 1 класса

— Увеличить в 100 раз число 520

— Уменьшить в 10 раз число 4000

— Записать соседей числа 1000.

Контрольная работа по математике №1 4 класс Контрольная работа по математике №1 4 класс

1 вариант 2 вариант

1. Решить задачу. 1. Решить задачу.

В одном доме живет 817 жителей, В одной городской школе учится 750 учеников,

во втором – на 39 жителей больше, чем в первом, во второй – на 95 учеников меньше, чем в первой,

а в третьем – на 108 жителей меньше, чем во втором. а в третьей – на 119 учеников больше, чем во второй.

Сколько жителей живет в третьем доме? Сколько учеников учится в третьей школе?

2. Вычислить: 2. Вычислить:

657 – (360 – 96) 724 – (430 – 87)

830 : 10 ∙ 1000 9100 ∙ 10 : 100

45 : 5 + 9 – (13 – 7) 36 : 4 + 2 – ( 17 -8)

3. Разложить число 380410 на разрядные слагаемые. 3. Разложить число 103059 на разрядные слагаемые.

4. Длина прямоугольника 12 см, 4. Длина прямоугольника 24 см,

ширина в 3 раза больше. ширина в 2 раза меньше.

Найти периметр прямоугольника. Найти периметр прямоугольника.

Контрольная работа по математике №2 4 класс Контрольная работа по математике №2 4 класс

1 вариант 2 вариант

1. Решить задачу 1. Решить задачу

С одного участка собрали 967кг помидоров, Одно предприятие закупило 742кг муки,

со второго на 89кг больше, чем с первого, другое на 395кг меньше, чем первое,

а с третьего на 298кг меньше, чем со второго. а третье на 476кг муки больше, чем второе.

с трёх участков всего? Сколько килограммов муки закупили три

предприятия всего?

2 .Выполнить действия

2. Выполнить действия

1513 – (365 + 278) 1504 — 975

(670 + 230) – 480 : 10 2632 + 685 398 + ( 1302 – 671) 1432 — 853

(720 + 280) – 320 : 10 2259 + 987

3. Составить уравнение и решить

3. Составить уравнение и решить

Если из 6350 вычесть с, то получим 638. Если из а вычесть 578, то получим 1605.

4. Сравнить и поставить знаки ˃, ˂, =

4. Сравнить и поставить знаки ˃, ˂, =.

7км 680м * 7км 068м 5ц 18кг * 518кг

5м 4 дм * 5м 40см 2кг 630г * 2ц 63кг

Контрольная работа №3 4 класс математика Контрольная работа №3 4 класс

1 вариант 2 вариант

1. Решить задачу: 1. Решить задачу:

С трёх участков собрали 19670кг помидоров. Фермерское хозяйство с трёх полей

С первого и второго было собрано 12180кг, собрало 21680кг свеклы. С первого и второго было

а со второго и третьего — 11840кг помидоров. собрано 16700кг, а со второго и третьего – 13280кг

Сколько килограммов помидоров собрали свеклы. Сколько килограммов свеклы собрало

с каждого участка? хозяйство с каждого поля?

Выполнить проверку задачи. Выполнить проверку задачи.

2. Выполнить действия: 2. Выполнить действия:

11261 – (5528 + 1462) 9098 + (4453 – 2564)

3. Найти сумму 6км 528м и 4км 920м 3. Найти сумму 9км 493м и 2км 680м.

Найти разность 23ц 49кг и 7ц 05кг. Найти разность 26ц 86кг и 9ц 08кг.

4. Решить примеры, вставив пропущенные 4. Решить примеры, вставив пропущенные числа.

числа. 3*7 62*

*56 3*4 *43 3*9

2*6 *78 91* *59

62* 14*

5. Найти периметр треугольника со сторонами

5. Найти периметр треугольника со сторонами 6дм 7см, 3дм 4см и 3дм 4см.

4см 8мм, 3см 5мм и 4см 8мм.

**Дополнительное задание

**Дополнительное задание Решить уравнение

Решить уравнение 5340 – с = 1657 + 945

в + 2439 = 6004 — 2650

Контрольная работа №4 4 класс

1 вариант

1. Составить и решить задачу.

2. Выполнить действия:

32098 + (11435 – 8064)

3. Вычислить письменно:

231*5 1045*7

4. Решить уравнение:

с – 143=91:7

Контрольная работа №4 4 класс

2 вариант

1. Составить и решить задачу.

2. Выполнить действия:

11 261 – (5528 + 1362)

3. Вычислить письменно:

312*7 1305*4

4. Решить уравнение:

в+115=43*3

Контрольная работа №5 4 класс

1 вариант

1. Реши задачу.

Девочка купила 13 открыток по 3грн., а мальчик – 15 открыток. За свои открытки мальчик заплатил на 21грн. больше, чем девочка. Найди цену открытки.

2. Найди значение выражения:

78504 — 2403·8 + 30915

3. Вычисли:

20м 18см · 6 7т 057кг·8

4. Найди периметр треугольника СВК.

Контрольная работа №5

2 вариант

1. Реши задачу.

Богдан купил 13 тетрадей, за которые заплатил 52грн., а Костик – 12 тетрадей. Одна тетрадь Костика была на 2грн. дороже, чем у Богдана. Сколько денег заплатил Костик за свои тетради?

2. Найди значение выражения:

62 470 – 5031 · 7 + 18906

3. Вычисли:

5т 048кг · 7 10м 27см · 9

4. Найти периметр треугольника АВС.

Контрольная работа № 8 по математике 4 класс

1 вариант

1. Разность чисел 10003 и 2285 умножь на частное чисел 2700 и 36.

2. Найди правильный ответ при действии 21т 6ц : 9.

а) 24; б) 2т 4ц; в) 24кг.

3. Начерти два одинаковых прямоугольника со сторонами 6см и 4см. Закрась в одном прямоугольнике 1/3, в другом 4/6 часть.

4. За 3ч электропоезд прошёл 255км. Какое расстояние он пройдёт за 9ч при той же скорости?

а) 760км 500м; б) 765км; в) 756км.

5. Чему равны 3/8 числа 560.

а) 21; б) 210; в) 2100.

6. Занятия спортивной секции продолжались 1ч 15мин. Сколько минут продолжались занятия?

а) 115мин; б) 85мин; в) 75мин.

Контрольная работа № 8 по математике 4 класс

2 вариант

1. Сумму чисел 1563 и 2079 умножь на частное чисел 8250 и 15.

2. Найди правильный ответ при действии 1кг 015г : 7.

а) 1кг 45г; б) 145г; в) 1045г.

3. Начерти два одинаковых квадрата со стороной 4см. Закрась в одном квадрате ¼, в другом 3/8 часть.

4. За 5ч катер проплыл расстояние в 365км. Какое расстояние он преодолеет за 4ч при той же скорости?

а) 29км 200м; б) 209км; в) 292км.

5. Чему равны 4/6 числа 540.

а) 36; б) 360; в) 3600.

6. Брату 12 лет 7 месяцев. Он старше сестры на 3 года 5 месяцев.

сколько лет сестре?

а) 15 лет 2 месяца; б) 16 лет; в) 9 лет 2 месяца.

videouroki.net

Контрольнаяльная работа №10. Итоговая контрольная работа. Вариант 4. Номер №4

Самостоятельная работа №1. Делители и кратные:

Самостоятельная работа №2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2:

Самостоятельная работа №3. Признаки делимости на 9 и на 3:

Самостоятельная работа №4. Простые и составные числа:

Самостоятельная работа №5. Разложение на простые множители:

Самостоятельная работа №6. Наибольший общий делитель Взаимно простые числа:

Самостоятельная работа №7. Наименьшее общее кратное:

Самостоятельная работа №8. Основное свойство дроби:

Самостоятельная работа №9. Сокращение дробей:

Самостоятельная работа №10. Приведение дробей к общему знаменателю:

Самостоятельная работа №11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:

Самостоятельная работа №12. Сложение и вычитание смешанных чисел:

Самостоятельная работа №13. Умножение дробей:

Самостоятельная работа №14. Нахождение дроби от числа:

Самостоятельная работа №15. Применение распределительного свойства:

Самостоятельная работа №16. Взаимно обратные числа:

Самостоятельная работа №17. Деление:

Самостоятельная работа №18. Нахождение числа по его дроби:

Самостоятельная работа №19. Дробные выражения:

Самостоятельная работа №20. Отношения:

Самостоятельная работа №21. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости:

Самостоятельная работа №22. Масштаб:

Самостоятельная работа №23. Длина окружности и площадь круга. Шар:

Самостоятельная работа №24. Координаты на прямой:

Самостоятельная работа №25. Противоположные числа:

Самостоятельная работа №26. Модуль числа:

Самостоятельная работа №27. Сравнение чисел. Изменение величин:

Самостоятельная работа №28. Сложение чисел с помощью координатной прямой. Сложение отрицательных чисел:

Самостоятельная работа №29. Сложение чисел с разными знаками:

Самостоятельная работа №30. Вычитание:

Самостоятельная работа №31. Умножение:

Самостоятельная работа №32. Деление:

Самостоятельная работа №33. Рациональные числа:

Самостоятельная работа №34. Раскрытие скобок:

Самостоятельная работа №35. Коэффициент. Подобные слагаемые:

Самостоятельная работа №36. Решение уравнений:

Самостоятельная работа №37. Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые. Координатная плоскость:

Самостоятельная работа №38. Столбчатые диаграммы. Графики:

gdzplus.me

ГДЗ решебник по Алгебре Контрольные работы 10 класс Мордкович Тульчинская 2000-2005

Авторы: Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е.
Класс: 10
Предмет: Алгебра

Выберите подходящее издание решебника

1. Алгебра 10 класс Контрольные работы Мордкович Тульчинская 2000-2005
2. Алгебра 10 класс Задачник Мордкович Денищева 2001
3. Алгебра 10 класс Задачник Мордкович Денищева Корешкова 2004
4. Английский язык 10 класс Мордкович 2004
5. Алгебра 10 класс Задачник Мордкович 2009
6. Алгебра 10 класс Контрольные работ Сапожников Мордкович Тульчинская 2009
7. Алгебра 10 класс Сапожников Мордкович 2012
8. Алгебра 10 класс Сапожников Мордкович 2012
9. Алгебра 10 класс Задачник Мордкович Часть 2

Готовые задания

Контрольная работа №1

Контрольная работа №2

Контрольная работа №3

Контрольная работа №4

Контрольная работа №5

Контрольная работа №6

Контрольная работа №7

Контрольная работа №8

Контрольная работа №9

Контрольная работа №10

Контрольная работа №11

Контрольная работа №12

Контрольная работа №13

gdzmonster.net

Контрольные работы по математике 10 класс.

Контрольная работа № 1

1 вариант

1). Основание АD трапеции АВСD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

а). Каково взаимное расположение прямых

ЕF и АВ?

б). Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ,

если АВС = 150⁰?

Ответ обоснуйте.

2). Дан пространственный четырехугольник АВСD, в котором диагонали АС и ВD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.

а). Выполните рисунок к задаче;

б). Докажите, что полученный четырех –

угольник – ромб.

2 вариант

1). Треугольники АВС и АDС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны АD, точка К – середина DС.

а). Каково взаимное расположение прямых

РК и АВ?

б). Чему равен угол между прямыми РК и

АВ, если АВС = 40⁰ и ВСА = 80?

Ответ обоснуйте.

2). Дан пространственный четырехугольник АВСD, М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно, Е СD, К D, DА : ЕС = 1 : 2, DК : КА = 1 : 2.

а). Выполните рисунок к задаче;

б). докажите, что четырехугольник МNЕК –

трапеция.

Контрольная работа № 2

1 вариант

1). Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:

а). Параллельными;

б). Скрещивающимися?

Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2). Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂ соответственно, прямая m – в точках В₁ и В₂. Найдите длину отрезка А₂В₂, если А₁В₁ = 12 см, В₁О : ОВ₂ = 3 : 4.

3). Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K, являющиеся серединами ребер АВ, ВС и DD₁.

2 вариант

1). Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:

а). Параллельными;

б). Скрещивающимися?

Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2). Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂ соответственно, прямая m – в точках В₁ и В₂. Найдите длину отрезка А₁В₁, если А₂В₂ = 15 см, ОВ₁ : ОВ₂ = 3 : 5.

3). Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, АK : KD = 1 : 3.

Контрольная работа № 3

1 вариант

1). Диагональ куба равна 6 см. Найдите:

а). Ребро куба;

б). Косинус угла между диагональю куба и

плоскостью одной из его граней.

2). Сторона АВ ромба ABCD равна a, один из углов равен 60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии от точки D.

а). Найдите расстояние от точки С до плоскости α;

б). Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, М α.

в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.

2 вариант

1). Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите:

а). Измерения параллелепипеда;

б). Синус угла между диагональю параллеле –

пипеда и плоскостью его основания.

2). Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии от точки В.

а). Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

б). Покажите на рисунке линейный угол

двугранного угла BADM, М α.

в). Найдите синус угла между плоскостью

квадрата и плоскостью α.

Контрольная работа № 4

1 вариант

1). Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол в 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2). Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60°. Плоскость AD₁C₁ составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите:

а) высоту ромба;

б) высоту параллелепипеда;

в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г) площадь поверхности параллелепипеда.

2 вариант

1). Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DM = a. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2). Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, стороны которого равны и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:

а). меньшую высоту параллелограмма;

б). угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания;

в). площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г). площадь поверхности параллелепипеда.

infourok.ru

Контрольная работа по математике с решением. Вариант 1 [DOC IMAGE]

20 хорошо решённых задач по теме предел последовательности.

• 196,46 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 20.11.2008 20:07

Очень подробное описание всех решений в контрольной работе помогают студентам аналогично справиться с подобными заданиями. В контрольной более 15 различных примеров по темам: Матрицы, Линейная алгебра, Аналитическая геометрия, Нахождение производных, Пределы, Исследование функции и построение графика, Интегралы.

• 150,05 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 19.02.2009 00:23

Пределы, исследование функций, производная, интегралы

• 65,61 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 23.07.2009 05:14

37 задач по начертательной геометрии. Задачи, начиная с построения недостающей проекции и заканчивая пересечением поверхностей. Скан (фото) листов тетради с подробными графическими решениями.

• 5,59 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 06.02.2008 18:03

Матрицы, прямая и плоскость, поверхности, поверхности 2-го порядка, пределы функций, эквивалентность функции, исследование графиков функции, классификация точек разрыва, правило Лопиталя.

• 531,82 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 12.01.2008 12:32

www.twirpx.com

Решебник Контрольные и самостоятельные работы по математике к учебнику Н.Я. Виленкина, Попов М.А. 5 класс гдз

Задание не найдено

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Самостоятельная работа № 1. Обозначение натуральных чисел

Самостоятельная работа № 4. Шкалы и координаты

Самостоятельная работа № 5. Меньше или больше

Самостоятельная работа № 6. Сложение натуральных чисел и его свойства

Самостоятельная работа № 7. Вычисления

Самостоятельная работа № 8. Числовые и буквенные выражения

Самостоятельная работа № 9. Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Самостоятельная работа № 10. Уравнение

Самостоятельная работа № 11. Умножение натуральных чисел и его свойства

Самостоятельная работа № 12. Деление

Самостоятельная работа № 13. Деление с остатком

Самостоятельная работа № 14. Упрощение выражений

Самостоятельная работа № 15. Порядок выполнения действий

Самостоятельная работа № 16. Квадрат и куб числа

Самостоятельная работа № 17. Формулы

Самостоятельная работа № 18. Площадь. Формула площади прямоугольника

Самостоятельная работа № 19. Единицы измерения площадей

Самостоятельная работа № 20. Прямоугольный параллелепипед

Самостоятельная работа № 21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Самостоятельная работа № 22. Окружность и круг

Самостоятельная работа № 23. Доли. Обыкновенные дроби

Самостоятельная работа № 24. Сравнение дробей ….

Самостоятельная работа № 25. Правильные и неправильные дроби

Самостоятельная работа № 26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Самостоятельная работа № 27. Деление и дроби

Самостоятельная работа № 28. Смешанные числа

Самостоятельная работа № 29. Сложение и вычитание смешанных чисел

Самостоятельная работа № 30. Десятичная запись дробных чисел

Самостоятельная работа № 31. Сравнение десятичных дробей

Самостоятельная работа № 32. Сложение и вычитание десятичных дробей

Самостоятельная работа № 33. Приближенные значения чисел. Округление чисел

Самостоятельная работа № 34. Умножение десятичных дробей на натуральные числа

Самостоятельная работа № 35. Деление десятичных дробей на натуральные числа

Самостоятельная работа № 36. Умножение десятичных дробей

Самостоятельная работа № 37. Деление на десятичную дробь

Самостоятельная работа № 38. Среднее арифметическое

Самостоятельная работа № 39. Микрокалькулятор

Самостоятельная работа № 40. Проценты

Самостоятельная работа № 41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Самостоятельная работа № 42. Измерение углов. Транспортир

Самостоятельная работа № 43. Круговые диаграммы

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольная работа № 1. Обозначение натуральных чисел. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник. Плоскость. Прямая. Луч. Шкалы и координаты. Меньше или больше

Контрольная работа № 2. Сложение натуральных чисел и его свойства. Вычитание

Контрольная работа № 3. Числовые и буквенные выражения. Буквенная запись свойств сложения и вычитания. Уравнение

Контрольная работа № 4. Умножение натуральных чисел и его свойства. Деление. Деление с остатком

gndak.org

определение, примеры, представления, координатная прямая

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. 

Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

zaochnik.com

Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

Если к натуральным числам присоединить число \(0\) и все целые отрицательные числа: \(-1, -2, -3, -4…\) — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой &integers;.

Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: 13,5152,−85… и т. д. — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой &Qopf;.

Множество &Qopf; рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;−mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).

Понятно, что &naturals; — часть множества &integers;, а  &integers; — часть множества &Qopf;. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: &naturals;⊂&integers;;&integers;⊂&Qopf;.

Математический символ ⊂ называют знаком включения (одного множества в другое).

Запись x∈X означает, что \(x\) — один из элементов множества \(X\).

А запись A⊂B означает, что множество \(A\) представляет собой часть множества \(B\). Математики чаще говорят так: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является частью (подмножеством) множества \(B\), используют те же символы, но перечёркнутые косой чертой: x∉X,A⊄B.

Приведём несколько примеров использования введённых математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также  истинными высказываниями.

Пример:

7∈&naturals;;7∈&integers;;7∈&Qopf;;−5∉&naturals;;&naturals;⊂&Qopf;;&integers;⊄&naturals;;2∈1;6;1;3⊂−2;8.

Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

722=0,3181818…=0,3(18);4=4,000…=4,(0);7,3777=7,37770000…=7,3777(0).

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.

Пример:

1,(23)=12399=12399;1,5(23)=1523−5990=1518990=1259495.

www.yaklass.ru

Что такое число, Определение, Виды чисел

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел , не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Простые числа — натуральные числа, которые в качестве множителей имеют только себя и единицу. Ряд простых чисел имеет вид: Любое натуральное число N можно представить в виде произведения степеней простых чисел: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Это свойство широко используется в практической криптографии.

www.terminologija.ru

Примеры действительных чисел

 Вопрос-Ответник

В:  — Что будет, если скрестить Кенгуру и Слона?
О:  — Большие ямы по всей Австралии…

 _

_

В предыдущей статье мы ввели определение действительного числа. Мы узнали какие числа называются действительными рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении действительных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах.

Вопрос-ответ:

В: Какие числа называются действительными?
О: Действительное число (также его часто называют вещественным ) — это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

В: Что такое отрицательное действительное число?
О: Отрицательным действительным числом (вещественным) называют бесконечную десятичную дробь вида «α» = — N, n₁ n₂… n_k. . . не оканчивающуюся последовательностью девяток.

В: Является ли ноль действительным числом?
О: Да, согласно определению ноль — действительное число.

В: Назовите примеры действительных чисел.
О: -100, -1,25686, 0, 1.7272727…, 7/8, 3,14…, 100500 — все это действительные числа.

В: Какие действительные числа не являются рациональными?
О: Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — натуральные числа. Также иногда говорят, что иррациональное число — это число, не являющееся рациональным (ИМХО бред). В связи с данной неопределенность вопрос с иррациональными числами представляется несколько запутанным.

Запомните народную примету простое правило: рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной непериодической дробью.

 Примеры иррациональных чисел:

√2=1,41421…….
Π = 3,14159……..
0,10100100010000100…….

 У этих чисел нет последней цифры и нет периодического повторения групп цифр в «хвосте»

В: Что такое целая часть действительного числа?
О: Чем объяснять проще показать на примере:

 2,12156 — целая часть = 2
7,01245 — целая часть = 7
0,1 — целая часть = 0
100 — целая часть = 100
15/2 — целая часть = 7 (15/2=7,5)

В: Что такое модуль действительного числа?
О:  1.Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Модуль числа a обозначается|a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

__2.Модулем действительного число называется расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей данному числу (заметьте, расстояние не может быть отрицательным — на мой взгляд самое удачное определение)

__Вообще говоря, действительные числа — понятие достаточно абстрактное. Основной смысл использования в математике всего множества действительных чисел заключается в необходимости измерения непрерывных величин. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N₀, Q⁺— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N₀ÌQ⁺ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.

Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В ШКОЛЕ

В установившейся школьной практике используется историческая последовательность развития понятия числа. Однако в результате экспериментального исследования возможностей реализации в школе логической схемы развития понятия числа были получены положительные результаты.

Ниже представлена последовательность изучения числовых систем в современной школе.

Натуральные числа (1 – 5 классы).

Рациональные числа:

положительные дробные числа, представленные обыкновенными и десятичными дробями (5, 6 классы), положительные и отрицательные дробные числа (6 класс).

Действительные числа (8 класс).

При изучении каждой из числовых систем обосновывается необходимость введения новых чисел, рассматриваются формы их записи, изображение точками координатного луча или прямой, сравнение, правила (алгоритмы) выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления, законы сложения и умножения.

ИЗУЧЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Натуральные числа изучаются в 5 и 6 классах.

Основная цель: обобщить и систематизировать знания учащихся о натуральных числах, полученные в начальной школе, развить вычислительные умения и навыки.

Содержание учебного материала:

5 класс.

1. Обозначение натуральных чисел.

2. Изображение натуральных чисел точками координатного луча.

3. Сравнение натуральных чисел.

4. Сложение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения натуральных чисел.

5. Вычитание натуральных чисел.

6.Умножение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения натуральных чисел.

7. Деление натуральных чисел, в том числе, деление с остатком.

6 класс.

8. Делители и кратные.

9. Признаки делимости натуральных чисел на 10, 5 и 2; на 3 и 9.

10. Простые и составные числа.

11. Разложение натурального числа на простые множители.

12.Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.

13. Наименьшее общее кратное (НОК).

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Вводятся натуральные числа как числа для счёта предметов.

. . . . . . .

Остаётся заполнить подготовленные места цифрами. Обучение записи чисел может сопровождаться вопросами: какой старший класс и высший разряд содержит данное число, сколько цифр потребовалось для записи числа, какие классы и разряды отсутствуют в данном числе.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Изучение каждого действия над натуральными числами предполагает установить:

1)смысл действия;

2) название компонентов и результата;

3) правило (алгоритм) его выполнения;

4) способы проверки результата;

5) зависимость между компонентами и результатом;

6) зависимость изменения результата в зависимости от изменения компонентов;

7) результаты действия с 0 и 1;

8) законы (свойства) действия;

9) приёмы устного выполнения действия.

В качестве примера рассмотрим умножение натуральных чисел.

1)Смысл действия: умножить число т на натуральное число п – значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т.

2)Название компонентов и результата: множители, произведение.

3)Правило (алгоритм) его выполнения: умножение “в столбик”.

4)Способы проверки результата: выполнение обратного действия — разделить произведение на один из множителей, чтобы получить другой множитель (после изучения деления).

5) Множитель равен произведению, делённому на другой множитель.

6) Если один из множителей увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз.

7) т× 0=0, т× 1=т.

8) Переместительный, сочетательный, распределительный относительно сложения и вычитания.

9) Приемы, основанные на законах действий.

Отметим, что сложение натуральных чисел вводится аксиоматически, то есть посредством задач, которые интуитивно решаются сложением. Вычитание и деление как действие, обратное сложению и умножению соответственно. Так, делением называется действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.

Отметим, что наиболее трудным для учащихся является действие деление. Ученики допускают ошибки, беря цифру в частном, которая меньше требуемой, либо пропуская нуль в частном.

Для предупреждения ошибок первого типа необходимо приучить сравнивать полученный остаток с делителем, а избежать пропуск нуля в частном может помочь приём с точками. Например, при делении 317984:523.

317984 ∟523

3138 608

4184 . . .

При изучении действий над натуральными числами следует формировать прочные навыки их выполнения, так как эти действия составляют основу вычислительных алгоритмов в других числовых системах.

ЗАКОНЫ (СВОЙСТВА) АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

В справедливости законов сложения и умножения учащиеся убеждаются, решая целесообразно подобранные задачи. Примеры таких задач приведены при описании метода обобщения (см. общую методику). Они должны знать формулировки законов, уметь записывать их в буквенной форме и знать, что изученные ими законы находят применение

· для обоснования правил арифметических действий: сложения и умножения “в столбик”;

· для рационализации вычислений;

· для упрощения выражений.

Приведём примеры.

№1.

276+652=(2×100+7×10+6)+(6×100+5×10+2)= (2×100+6×100)+(7×10+5×10)+(6+2)=

=(2+6)×100+(7+5)×10+(6+2).

+ 652

№2.

43×12=(10+2)×43=(2+10)×43=43×2+10×43.

´ 12

43

№3.

Найдите значение выражения (х+342)+129 при х=371.

№4. Упростите запись выражения 38+5а+75+6а.

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N₀, Q⁺— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N₀ÌQ⁺ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.

Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.

infopedia.su

ЧИСЛО — это… Что такое ЧИСЛО?

    Г. Б. Гутнер

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

dic.academic.ru

Число — это… Что такое Число?

        важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч. определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч. становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч. определяется потребностями этой науки.

         Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального Ч. протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого Ч. отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

         Источником возникновения понятия отвлечённого Ч. является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени Ч. становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших Ч. стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Ч. (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

         Важным шагом в развитии понятия натурального Ч. является осознание бесконечности натурального ряда Ч., т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч., в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч., в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».

         Натуральные Ч., кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Ч. (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Ч. является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

         Дальнейшие расширения понятия Ч. обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.

         Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного Ч. возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч. необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Ч. систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

         Ч. целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных Ч. обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч. является снова рациональным Ч. Совокупность рациональных Ч. упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Ч. обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч. находится бесконечно много рациональных Ч. Это даёт возможность при помощи рациональных Ч. осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч. оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч. было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч., принципиальных затруднений.

         По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

         Совокупность всех рациональных Ч. свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных Ч. разбить на два класса так, что каждое Ч. первого класса будет меньше каждого Ч. второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего Ч., а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные Ч., нуль и все положительные Ч., квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные Ч., квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального Ч.: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных Ч. сопоставляется иррациональное Ч., которое считается большим, чем любое Ч. первого класса, и меньшим, чем любое Ч. верхнего класса. Совокупность всех действительных Ч., рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

         Обоснование Кантора понятия действительного Ч. отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч. определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч., которая мыслится как данная вся целиком.

         В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых» Ч., т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Ч. определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.

         Совокупность всех комплексных Ч. обладает так же, как совокупность действительных Ч. и совокупность рациональных Ч., свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Ч. обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Ч. Совокупность всех действительных Ч. (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х²+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч. не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Ч. так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч.

         Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1972.

         Д. К. Фаддеев.

dic.academic.ru

Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновоз-можных элементарных событий (исходов) В,, В₂, …, В_п, т. е. со­вокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, при­чем пусть интересующее нас случайное событие А осуществляет­ся тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элемен­тарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т<п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благо-приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P^*(A)=m/n

Поскольку в общем случае 0 < т < п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е.

0≤ Р(А)≤1

Пример 8.1. Найти вероятность того, что при извлечении наугад одного шара из корзины, в которой находятся 2 белых, 3 зеленых и 5 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.

Решение. Поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из n=10 равновозможных событий (по общему количеству шаров в корзине), из которых только т = 3 элементарных события (по количеству зеленых шаров) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через А), по формуле (8.1) получим:

Р(А)=3/10

Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих невозможному событию А, равно нулю, получаем:

Р(А) = 0/п=0

2. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих достоверному событию А, равно общему количе­ству п этих элементарных событий, получаем:

Р(А) = п/ п=1

Лекция 1.

Цели, задачи и структура медицинской и биологической физики. Ее место и роль в системе медицинского образования, межпредметные связи с другими медико-биологическими и клиническими дисциплинами.

Вероятностный характер медико-биологических процессов. Элементы теории вероятностей. Вероятность случайного события. Закон сложения и умножения вероятностей.

Принципы вероятностных подходов к задачам диагностики и прогно­зирования заболеваний.

Теория вероятностей

В теории вероятностей исследуются закономерности, относя­щиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятно­стный характер и, как остроумно замечено, лишь патологоанатомическое исследование может достоверно определить ди­агноз умершего человека.

§2.1. Случайное событие. Вероятность

Наблюдая различные явления, можно заметить, что существу­ет два типа связей между условиями S и наступлением или ненас­туплением некоторого событияА. В одних случаях осуществление комплекса условийS(испытание) непременно вызывает событиеА. Так, например, материальная точка массойт₀ под воздействи­ем силы F (условие S) приобретает ускорение а = F/m₀ (событие А). В других случаях многократное повторение испытания можетпривести или не привести к появлению события А. Такие события принято называть случайными: к ним можно отнести появление в кабинете врача больного с данной болезнью, выпадение опреде­ленной стороны монеты при ее бросании и др.

Не следует думать о случайных явлениях как о беспричинных, ничем не обусловленных. Известно, что многие явления связаны между собой, отдельное явление представляет следствие како­го-то другого и само служит причиной последующего. Однако проследить количественно эту связь между условиями и событи­ем часто затруднительно или даже невозможно. Так, при броса­нии игральной кости (однородный кубик с пронумерованнымишестью гранями: 1, 2, 3, 4, 5 и 6) окончательное положение куби­ка зависит от движения руки в момент бросания, сопротивления воздуха, положения кубика при попадании на поверхность, осо­бенности поверхности, на которую упал кубик, и других факто­ров, которые в отдельности учесть невозможно.

В быту применительно к таким случайным событиям употреб­ляют слова «возможно», «вероятно», «маловероятно», «невероятно». В некоторых случаях такая оценка больше характеризует желание говорящего, чем истинную степень возможности или не­возможности события. Однако и случайные события, если их чис­ло достаточно велико, подчиняются определенным закономернос­тям. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие мас­совым (статистическим) случайным событиям.

Отдельные исторические факты, «неожиданности», «катастро­фы» являются единичными, как бы неповторимыми, событиями, и количественные вероятностные суждения относительно них сделать невозможно. Исторически теория вероятностей появи­лась в связи с попытками подсчета возможности различных исхо­дов в азартных играх. В настоящее же время она применяется в науке, в том числе биологии и медицине, для оценки вероятности практически важных событий. От игр остались лишь наглядные примеры, которые удобно использовать для иллюстрации теоре­тических положений.

Статистическое определение вероятности. ВероятностьР(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика сте­пени возможности появления какого-либо определенного случай­ного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпа­дает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относитель­ную частоту выпадания цифры 4 в данной серии испытаний. В бо­лее общем случае, когда случайное событие А происходитт раз в сериип независимых испытаний,относительной частотой со­бытия в данной серии испытаний или просто частотой события А называют отношение

(2.1)

При большом числе испытаний частота события примерно по­стоянна: увеличение числа испытаний уменьшает колебание час­тоты события около постоянной величины.

Вероятностью случайного события назовем предел, к ко­торому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

(2.2)

Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неогра­ниченное число испытаний для того, чтобы определить вероят­ность. В этом нет и надобности. Практически за вероятность [см. (2.2)] можно принять относительную частоту события при боль­шом числе испытаний. Так, например, из статистических законо­мерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивают в 0,515.

Классическое определение вероятности. Если при испыта­ниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайноесобытие появлялось бы чаще других (равновозможные собы­тия), можно определить вероятность исходя из теоретических со­ображений. Например, выясним в случае бросания монеты часто­ту выпадания герба (событиеА). Разными экспериментаторамипри нескольких тысячах испытаний было показано, что относи­тельная частота такого события принимает значения, близкие к0,5. Учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, ес­ли монета симметрична, суждение Р(А) = Р(В) = 0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе по­нятия «равновозможности» событий формулируется другое опре­деление вероятности.

Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно изп равновозможных несовместных событий(несов­местными называют события, если их одновременное осуществ­ление невозможно). Пусть рассматриваемое событие А происхо­дит вт случаях, которые называются благоприятствующими А, ине происходит при остальных п — т, неблагоприятствующих А. Тогдавероятностью можно назвать отношение благоприят­ствующих случаев к общему числу равновозможных несов­местных событий:

Р(А) = m/n . (2.3)

Это классическое определение вероятности.

Рассмотрим не­сколько примеров.

1. В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероят­ность того, что вынутый наугад один шар будет черным.

Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: т = 10. Общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равно полному числу шаров в урне: п = 40. Эти события несовмест­ны, так как вынимается один и только один шар. По формуле (2.3) имеем:

Р(А) = 10/40 = 1/4.

2. Найти вероятность выпадания четного числа при бросании играль­ной кости.

При бросании кости реализуются шесть равновозможных несов­местных событий: появление одной цифры 1, 2, 3, 4, 5 или 6, т. е. п = 6.Благоприятствующими случаями являются выпадания одной из цифр 2, 4 или 6: т = 3. Искомая вероятность:

Р(А) = m/n – 3/6 = 1/2.

Как видно из определений вероятности события (2.2) и (2.3), для всех событий 0  Р(А)  1.

События, которые при данных испытаниях не могут про­изойти, называются невозможными: их вероятность равна нулю.

Так, например, невозможно из урны с белыми и черными ша­рами вытащить красный шар, невозможно на игральной кости получить цифру 7.

Событие, которое при данном испытании обязательно произойдет, называется достоверным, его вероятность рав­на 1.

Примером достоверного события является извлечение белого шара из урны, в которой находятся только белые шары.

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых со­бытий. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятнос­тей.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несов­местных событий равна сумме их вероятностей. Для двух несовместных событий

Р(А илиВ) = Р(А) + Р(В).(2.4)

Докажем эту теорему. Пусть п — общее число испытаний, т₁ — число случаев, благоприятствующих событию А,т₂ — число слу­чаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благопри­ятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ +m₂. ТогдаР(А илиВ) = (т₁ + т₂)/п = т₁/п + т₂/п. Отсюда, учитывая (2.3), имеем

Р(А илиВ) = Р(А) + Р(В).

* Найти вероятность выпадания 1 или 6 при бросании игральной кости.

События А (выпадание 1) иВ (выпадание 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому из (2.4) находимР(А илиВ) =1/6 + 1/6 = 1/3.

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

* В урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 си­них. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) — Р(В) = 20/50 = 2/5 и крас­ного (событие С) — Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения ве­роятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/5 + 2/5 + + 1/10= 7/10.

Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными.

Такие события принято обозначать, например, А и .

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна еди­нице:

(2.5)

*Проиллюстрируем справедливость (2.5) на предыдущем примере. Пусть вынимание белого, или черного, или красного шара будет событи­емА₁ , Р(А₁) = 7/10.Противоположным событиемявляется доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаемР() = 15/50 = 3/10 иР(А₁) + Р() = 7/10 + 3/10 = = 1.

*В урне находятся белые, черные и красные шары. Вероятность доставания черного или красного шара равна 0,4. Найти вероятность доставания из урны белого шара.

Обозначим А событие вынимания черного или красного шара, Р(А) = 0,4; противоположным событием будет изъятие белого ша­ра, тогда на основании (2.5) вероятность этого события Р() = 1 — Р(А) = = 1 — 0,4 = 0,6.

Систему событий (А₁, А₂, … A_k) называют полной, если при испытаниях наступит одно и только одно из этих собы­тий. Сумма вероятностей событий, образующих полную сис­тему, равна единице.

* В урне имеется 40 шаров: 20 белых, 15 черных и 5 красных. Вероят­ность появления белого шара (событие А) равна Р(А) = 20/40 = 1/2, для черного шара (событие В) — Р(В) = 15/40 = 3/8 и для красного шара (со­бытиеС) — Р(С) = 5/40 = 1/8. В этом случае система событийА₁, А₂, А₃ является полной; можно убедиться, что Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/2 + 3/8 + + 1/8 = 1.

Теорема умножения вероятностей: вероятность совместно­го появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий

Р(А и В) = Р(А) • Р(В). (2.6)

Докажем эту теорему. Так как события А и В независимы, то каждому из т₁ случаев, благоприятствующих А, соответствуют т₂ случаев, благоприятствующих В. Таким образом, общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В, равно т₁ т₂. Аналогично, общее число равновозможных собы­тий равно п₁ п₂, где п₁ и п₂ — числа равновозможных событий со­ответственно для А и В. Имеем

(2.7)

* В одной урне находится 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 чер­ных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании ша­ров из каждой урны оба шара окажутся:

1) черными; 2) белыми; 3) в пер­вой урне будет вынут черный шар, а во второй — белый; 4) в первой урне будет вынут белый шар, а во второй — черный.

Вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А)равна Р(А) =

= 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) — Р(В) = 3/20, белого шара из первой урны (событие А’) — Р(А’) = 10/15 = 2/3 и белого шара из первой урны (событиеВ’) —Р(В’) = 17/20. Нахо­дим вероятность совместного появления двух независимых событий по формуле (2.6):

1) Р(А и В) = Р(А) • Р(В) = (1/3) (3/20) = 3/60 — оба шара черные;

2) Р(А’ и В’) = Р(А’) • Р(В’) = (2/3) (17/20) = 17/30 — оба шара белые;

3) Р(А’ и В’) = Р(А) • Р(В’) = (1/3) (17/20)= 17/60 — в первой урне бу­дет вынут черный шар, а во второй — белый;

4) Р(А’ и В) = Р(А’) • Р(В) = (2/3) (3/20) = 1/10 — в первой урне будет вынут белый шар, а во второй — черный.

Все четыре возможных случая А и В, А’ и В’, А и В’, А’ и В образуют полную систему событий, поэтому

Р(А и В) + Р(А’ и В’) + Р(А и В’) + Р(А’ и В)= 3/60 + 17/30 + 17/60 + 1/10 = 1.

* Найти вероятность того, что в семье с тремя детьми все трое сыновья. Считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,515 и по каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущих детей.

По теореме умножения вероятностей, Р(А и В иС) = 0,515• 0,515 • 0,515  0,14.

Теорема умножения вероятностей усложняется, если оп­ределяется вероятность события, состоящего из совместно­го появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что собы­тие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна

Р(А и В) = Р(А) • Р(В/А), (2.8)

где Р(В/А) —условная вероятность, т. е. вероятность событияВ при условии, что событиеА состоялось.

* В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Найти вероятность того, что по­следовательно один за другим будут вынуты черный и белый шары.

Вероятность того, что первым будет изъят черный шар (событие А),равна Р(А) = т/п = 2/5. После удаления черного шара в урне остается 4 шара: 3 белых и 1 черный. В этом случае вероятность вынимания белогошара (событие В после выполнения события А) равна Р(В/А) = 3/4. Ис­пользуя (2.8), получаем

Р(А и В) = (2/5) • (3/4) = 3/10.

studfiles.net

Основные понятия теории вероятностей | LAMPA

Как считать вероятность события

Само понятие вероятность кажется интуитивно понятным: например, если идёт снег, то гораздо вероятнее, что на улице зима, чем лето. Но как выразить эту вероятность числом? И по какой шкале её мерить? Нередко говорят «вероятность этого 50%50\%50%» — но что это значит? И что будет означать «стопроцентная» или «нулевая» вероятность ? Чтобы ответить на этот вопрос, мы дадим классическое определение вероятности, которое будет применимо во всех школьных задачах. Для этого нам понадобится вспомогательное определение.

Исходы, входящие в событие, называются благоприятными для этого события.

Прежде чем перейти к классическому определению вероятности, заметим, что для его применения требуется выполнение определённого условия — равновозможности всех исходов. Это условие может быть недостаточно строго определено, но интуитивно оно понятно. Например, если в качестве исходов при бросании монеты выбрать «орёл», «решка» и «ребро», то классическое определение вероятности применять нельзя, так как шансы на последний исход меньше, чем на первые два. А если выбрать только «орёл» и «решка», то можно — ведь нет никаких оснований считать один исход более частым, чем другой.

Итак, пусть у нас есть испытание с определённым набором равновозможных исходов. Вероятностью некоторого случайного события называется отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания.
P{Событие A}=Число исходов, благоприятных для AОбщее число исходовP\{\text{Событие }A\}=\frac{\text{Число исходов, благоприятных для } A}{\text{Общее число исходов}}P{Событие A}=Общее число исходовЧисло исходов, благоприятных для A​

Из классического определения видно, что вероятность — числовая величина, принимающая значения от 000 до 111. Вероятность никогда не бывает отрицательной и никогда не бывает больше 111. На практике вероятность иногда выражают в процентах, в этом случае 100%100\%100% соответствуют вероятности 111.

Конечно, «в жизни» в основном встречаются ситуации, когда одни исходы встречаются чаще других, и тогда нужно использовать скорректированное определение вероятности. Но в школьных задачах исходы всегда одинаково ожидаемы, так что для нахождения вероятности нужно только правильно посчитать количество исходов, входящих в событие, и общее количество исходов испытания, после чего поделить одно на другое.

Рассмотрим пример. Из стандартной колоды карт (от двойки до туза) наугад вытащили одну карту. Какова вероятность, что эта карта — с цифрой?

Для начала нужно определить набор равновозможных исходов. В данном случае естественно будет взять его совпадающим с набором карт. Тогда всего исходов будет 52,52,52, и никаких оснований считать какие-либо более вероятными, чем другие, у нас нет. Осталось узнать число благоприятных исходов, то есть карт с цифрами. Всего таких карт в каждой масти девять: 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 и 101010. Мастей в свою очередь четыре, значит всего карт с цифрами 363636. Следовательно, искомая вероятность равна 3652=913\frac{36}{52}=\frac{9}{13}5236​=139​.

Отметим, что вероятность невозможного события будет равна нулю, поскольку числитель дроби (число благоприятных исходов) будет равен 000.

lampa.io

Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Сокращённая и символьная запись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись.

dpva.ru

Основы теории вероятностей для актуариев

Вероятность: основные правила

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Случайные величины и их характеристики

Время жизни как случайная величина

Функция выживания

Характеристики продолжительности жизни

Аналитические законы смертности

 

Все на свете происходит детерминировано или случайно…
Аристотель

Вероятность: основные правила

Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.

Например, вы бросаете монету, она случайным образом падает на герб или решку. Заранее вы не знаете, на какую сторону монета упадет. Вы заключаете договор страхования, заранее вы не знаете, будут или нет проводиться выплаты.

В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.

Рассмотрим более подробно подбрасывание монеты. Имеется 2 взаимно исключающих исхода: выпадение герба или выпадение решки. Исход бросания является случайным, так как наблюдатель не может проанализировать и учесть все факторы, которые влияют на результат. Какова вероятность выпадения герба? Большинство ответит ½, но почему?

Пусть формально А обозначает выпадение герба. Пусть монета бросается n раз. Тогда вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:

(1)

где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.

Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.

Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших n группируется около некоторой постоянной величины Р(А). Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р – сокращение от английского слова probability – вероятность.

Формально имеем:

(2)

Этот закон называется законом больших чисел.

Если монета правильная (симметричная), то вероятность выпадения герба равняется вероятности выпадения решки и равняется ½.

Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А, события В, или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А, так и события В.

Основные правила исчисления вероятностей событий следующие:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Пусть А и В два события, тогда:

(3)

Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей.

Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А. Для этого вводится условная вероятность:

(4)

Читается так: вероятность наступления А при условии В равняется вероятности пересечения А и В, деленной на вероятность события В.
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В больше нуля.

Формулу (4) можно записать также в виде:

(5)

Это формула умножения вероятностей.

Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А – вероятность наступления А после наступления В.

В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.

Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимно исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

(6)

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А.

Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

(7)

Рассмотрим следующую практическую задачу.

Задача 1

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:

Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?

Вычислим вероятности причин при условия наступления события А.

Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.

Задача 2

Рассмотрим посадку самолета на аэродром.

При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Найти вероятность благополучной посадки самолета.

Имеем:

Нужно найти вероятность .

Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:

Отсюда по формуле полной вероятности:

Задача 3

Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01 Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.

Решение

Введём события:

1. = {застрахованный – курильщик}

2. = {застрахованный – не курильщик}

3. = {застрахованный умер в течение года}

Условие задачи означает, что

Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность – это .

Используя формулу Байеса, мы имеем:

поэтому верным является вариант (В).

Задача 4

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.

50% всех застрахованных являются стандартными, 40% — привилегированными и 10% — ультрапривилегированными.

Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного – 0.005, а для ультра привилегированного – 0.001.

Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?

Решение

Введем в рассмотрение следующие события:

1. = {застрахованный является стандартным}

2. = {застрахованный является привилегированным}

3. = {застрахованный является ультрапривилегированным}

4. = {застрахованный умер в течение года}

В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это . По условию:

Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:

Случайные величины и их характеристики

Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ.

Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a<b выполнено

,

то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x).

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

Такое решение может быть не единственным.

Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой, квантили уровней ¼ и ¾ — нижней и верхней квартилями соответственно.

В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:

при любом

— символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

Время жизни как случайная величина

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.

Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.

Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.

Функция выживания

В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x:

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

Функция

называется функцией выживания (survival function):

Функция выживания обладает следующими свойствами:

1. убывает при ;
   
2. ;
   
3. ;
4. непрерывна.

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age) (как правило, лет) и соответственно при x >.

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1. Среднее время жизни

,
2. Дисперсия времени жизни

,
где
,

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением (standard deviation). Это более удобная величина, чем дисперсия, так как имеет ту же размерность, что исходные данные.

3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения
.

Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.

Аналитические законы смертности

Для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.д. естественно попытаться описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смертности с помощью простых аналитических формул.

Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где — предельный возраст.

В модели де Муавра при 0<x<

Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.

Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид

,

а кривая смертей:

.

Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида .

Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.

В этой модели
,
.

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели
,
.

Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели
, .

В практике страхования эти параметры неизвестны и оцениваются по реальным данным.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

statistica.ru

Пособие к решению задач по высшей математике. Гусак А.А.

Мн.: БГУ, 1973.— 532 с. 

Пособие включает следующие разделы: аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, векторная алгебра, определители и матрицы, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных , дифференциальные уравнения. Пособие содержит определения основных понятий, соответствующие формулы, около 700 примеров и задач с подробными решениями. В конце каждого параграфа помещены задачи для самостоятельного решения, приведены ответы, к некоторым задачам даны указания.

Формат: pdf       

Размер:  7,6 Мб

Смотреть, скачать: 

docs.google.com  ; 

Учебный центр — английский язык   

Оглавление

I. Аналитическая геометрия, векторная алгебра, определители, матрицы

Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости

§ 1.1. Система прямоугольных декартовых координат на плоскости. Простейшие задачи 3,

§ 1.2. Уравнение линии в прямоугольных декартовых координатах 12′

§ 1.3. Прямая линия на плоскости 20

1.3.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках . . 20

1.3.2. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пересечение двух прямых 26

1.3.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 32

1.3.4. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой 34

§ 1.4. Линии второго порядка 44…

---

Отдохни — посмотри картинки,приколы и смешные статусы  

Разные афоризмы

Не порно, да задорно

---

Цитаты и Статусы со смыслом

Художники копируют, великие художники — воруют.

---

Приколы из школьных сочинений

Мои лучшие подруги-ровесницы — это Оля, Катя и бабушка.

---

Фото приколы

---

---

Смотрим еще приколы и все для учебы (на новой странице)   

advice-me.ru

Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев | Высшая математика | Математика | Естественные науки. Математика | Студентам и аспирантам | Учебная литература

Список литературы Генератор кроссвордов Генератор титульных листов Таблица истинности ONLINE Прочие ONLINE сервисы

Список источников >Учебная литература >Студентам и аспирантам >Естественные науки. Математика >Математика >Высшая математика > Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев Автор: Туганбаев А. А. Год: 2017 Издание: Флинта Страниц: [не указано] ISBN: 9785976502390, 9785977000093, 9785976514034 Пособие соответствует программам курсов высшей математики для студентов нематематических специальностей. Содержит задачи и примеры по следующим важнейшим разделам: пределы, производные, построение графиков, функции нескольких переменных, линейная алгебра, аналитическая геометрия, интегрирование, числовые и функциональные ряды, дифференциальные уравнения, кратные интегралы, функции комплексного переменного, теория вероятностей. Приведены основные теоретические сведения, решения типовых примеров и задач, задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и решениями, а также задачи для контрольных заданий. Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных заведений. Ознакомительный фрагмент: Похожие книги Видео о книгах:

В нашем каталоге Околостуденческое Это интересно… Наши контакты

spisok-literaturi.ru

Высшая математика. Том 1 — Алексей Гусак

Просмотров: 3694

Ты покоришься мне (СИ)

Ксения Громова

Он жесток. Он опасен. И он похитил меня. Я его пленница. Нет ни единого шанса, что я смогу…

Просмотров: 3205

Снежный Король (СИ)

Вероника Волчецкая

Он её возненавидел с их первой встречи, с самого первого мимолётного взгляда. Зина отчётливо видела…

Просмотров: 3169

Новая ученица в волчьей долине (СИ)

Виктория Свободина

Из-за нового места работы родителей я переезжаю в элитный поселок для семей сотрудников волчьей…

Просмотров: 3000

Забракованная невеста (СИ)

Ирина Смирнова

Когда твой работодатель — фея, не обязательно все будет как в сказке. Принц рядом не всегда к…

Просмотров: 2906

Эскортница по поручительству

Оксана Ильина

Бросил муж? Не беда! Была бы для героини этой истории, если бы он не бросил ее с огромным кредитом,…

Просмотров: 2400

Невеста (СИ)

Юлия Келлер

В королевстве действует два основных правила:1. Когда мужчина проводит ночь с женщиной — она…

Просмотров: 2074

Цена на материнство (СИ)

Эмилия Грант

Я любил ее со школьной скамьи, но она считала меня недостойным. Я — простой парень из…

Просмотров: 2048

Там высоко, высоко (СИ)

Эн Варко

Мне оставалось закончить последний курс университета, чтобы получить вольную от хозяина и стать…

Просмотров: 1985

Возвращение домой (СИ)

Ольга Аматова

Она покинула отчий дом и сбежала на другой конец страны, лишь бы оказаться подальше от него. Но…

Просмотров: 1780

Фокус (СИ)

Айя Субботина

— Расскажи мне сказку, Фенек…— О чем, выдумщица? О Прекрасном Принце?— Прекрасные Принцы лгут, и…

Просмотров: 1608

Невеста поневоле (СИ)

Алисия Эванс

Спокойной и размеренной жизни внезапно приходит конец. Старые враги не дремлют, друзья предают, но…

Просмотров: 1448

Переселенка, или Реалити-шоу &quot;Хутор&quot; (СИ)

Виктория Свободина

Хорошо там, где нас нет. Эту простую истину я поняла почти сразу, как только оказалась на хуторе.…

Просмотров: 1412

Рунический маг (СИ)

Виктория Свободина

Казалось бы, свое место в мире уже давно завоевано. Тиррания добилась всего, чего когда-то желала.…

Просмотров: 1271

Из другого теста (СИ)

Александра Сергеева

Прошла пара сотен лет. На Земле сами собой улеглись все старые конфликты. Люди вырвались в космос и…

Просмотров: 1204

(Не)случайная переписка (СИ)

Адалин Черно

Жизнь Насти не похожа на сказку. У неё есть сын и бывший муж, а ещё подруга, уверенная, что…

Просмотров: 1119

Ловушка (ЛП)

Беверли Кендалл

Оглядываясь на события тех дней, я понимаю, что должен был это предвидеть.Пейдж не нравилось, что я…

Просмотров: 1102

Вляпалась&#33; (СИ)

Татьяна Новикова

Для начала меня выгнали с работы. Взамен предложили новую, но… в другом мире, и теперь я должна…

Просмотров: 1092

Похищенная любовь (СИ)

Наталья Волошина

Разве я могла предугадать нашу встречу? Мальчик со сложной судьбой. Его любовь, как тяжелая…

Просмотров: 1055

Практикантка

Надежда Нелидова

Был выработан следующий план. По прибытии в Кисловодск я сообщаю в письме родным, что произошло…

Просмотров: 1046

Желанный (СИ)

Александра Дюран

После смерти мамы, шестнадцатилетняя Влада вынуждена переехать к богатому отцу и его молодой…

Просмотров: 1040

Игра в дружбу (СИ)

Карина Фант

Мы познакомились быстро, страстно и горячо и расстались незнакомцами следующим утром. Макс Власов —…

Просмотров: 968

Как найти королеву Академии (СИ)

Анна Одувалова

Казалось бы, какие проблемы могут быть, если ты серая мышка третьекурсница? Но на Вирену Дарион…

Просмотров: 954

Мужчина на все руки (ЛП)

Т. Э.

Он вставляет «болт» в сумасбродную комедию… БРИННВ свои тридцать четыре, я ещё не оправилась от…

Просмотров: 844

Связанные Ненавистью

Кора Рейли

Когда Джианна увидела, как ее сестра Ария выходит замуж за человека, которого она едва знала, она…

Просмотров: 801

Следом за судьбой (СИ)

Эми Мун

Развлечь себя на купальскую ночь гаданием — обыкновенная забава для юных девушек. Вот и Светлана…

Просмотров: 764

Чернокнижник в Мире Магов (ЛП)

The Plagiarist / Wen Chao Gong

Лейлин, живший в эпохе передовых технологий, переродился в средневековом мире, наполненным магией.…

Просмотров: 638

Пить с ним вино

neisa

Камен Мунс, начальник департамента информационной безопасности федеральной контрразведки, повидал…

Просмотров: 609

Избранница урха (СИ)

Анна Клевир

Я никогда не мечтала о любви и всегда была неправильной девочкой. Вместо семейной жизни я грезила о…

itexts.net