Обозначение действительных чисел в математике – . .

Содержание

определение, примеры, представления, координатная прямая

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Определение 1

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Определение 2

Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа — это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

zaochnik.com

Некоторые символы математического языка — урок. Алгебра, 8 класс.

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой &naturals;.

Если к натуральным числам присоединить число \(0\) и все целые отрицательные числа: \(-1, -2, -3, -4…\) — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой &integers;.

Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: 13,5152,−85… и т. д. — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой &Qopf;.

Множество &Qopf; рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;−mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).

Понятно, что &naturals; — часть множества &integers;, а &integers; — часть множества &Qopf;. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: &naturals;⊂&integers;;&integers;⊂&Qopf;.

Математический символ ⊂ называют знаком включения (одного множества в другое).

Запись x∈X означает, что \(x\) — один из элементов множества \(X\).

А запись A⊂B означает, что множество \(A\) представляет собой часть множества \(B\). Математики чаще говорят так: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является частью (подмножеством) множества \(B\), используют те же символы, но перечёркнутые косой чертой: x∉X,A⊄B.

Приведём несколько примеров использования введённых математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также истинными высказываниями.

Пример:

7∈&naturals;;7∈&integers;;7∈&Qopf;;−5∉&naturals;;&naturals;⊂&Qopf;;&integers;⊄&naturals;;2∈1;6;1;3⊂−2;8.

Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

722=0,3181818…=0,3(18);4=4,000…=4,(0);7,3777=7,37770000…=7,3777(0).

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.

Пример:

1,(23)=12399=12399;1,5(23)=1523−5990=1518990=1259495.

www.yaklass.ru

Что такое число, Определение, Виды чисел

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел , не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Простые числа — натуральные числа, которые в качестве множителей имеют только себя и единицу. Ряд простых чисел имеет вид: Любое натуральное число N можно представить в виде произведения степеней простых чисел: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Это свойство широко используется в практической криптографии.

www.terminologija.ru

Примеры действительных чисел

Вопрос-Ответник
В: — Что будет, если скрестить Кенгуру и Слона?
О: — Большие ямы по всей Австралии…

В предыдущей статье мы ввели определение действительного числа. Мы узнали какие числа называются действительными рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении действительных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах.

Вопрос-ответ:

В: Какие числа называются действительными?
О: Действительное число (также его часто называют вещественным ) — это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

В: Что такое отрицательное действительное число?
О: Отрицательным действительным числом (вещественным) называют бесконечную десятичную дробь вида «α» = — N, n₁n₂… n_k. . . не оканчивающуюся последовательностью девяток.

В: Является ли ноль действительным числом?
О: Да, согласно определению ноль — действительное число.

В: Назовите примеры действительных чисел.
О: -100, -1,25686, 0, 1.7272727…, 7/8, 3,14…, 100500 — все это действительные числа.

В: Какие действительные числа не являются рациональными?
О: Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — натуральные числа. Также иногда говорят, что иррациональное число — это число, не являющееся рациональным (ИМХО бред). В связи с данной неопределенность вопрос с иррациональными числами представляется несколько запутанным.

Запомните ~~народную примету~~ простое правило: рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной непериодической дробью.

Примеры иррациональных чисел:

√2=1,41421…….
Π = 3,14159……..
0,10100100010000100…….

У этих чисел нет последней цифры и нет периодического повторения групп цифр в «хвосте»

В: Что такое целая часть действительного числа?
О: Чем объяснять проще показать на примере:

2,12156 — целая часть = 2
7,01245 — целая часть = 7
0,1 — целая часть = 0
100 — целая часть = 100
15/2 — целая часть = 7 (15/2=7,5)

В: Что такое модуль действительного числа?
О: 1.Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Модуль числа a обозначается|a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

__2.Модулем действительного число называется расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей данному числу (заметьте, расстояние не может быть отрицательным — на мой взгляд самое удачное определение)

__Вообще говоря, действительные числа — понятие достаточно абстрактное. Основной смысл использования в математике всего множества действительных чисел заключается в необходимости измерения непрерывных величин. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

Понятие числа принадлежит к фундаментальным, основным понятиям современной математики. С помощью числа человек познаёт количественные отношения реального мира. Понятие числа возникло из практической деятельности людей.

Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

Исторически за натуральными числами возникают положительные дробные числа, затем отрицательные, иррациональные, мнимые числа и вместе с ними комплексные и гиперкомплексные числа (кватернионы).

Если обозначить множество натуральных чисел и нуль N₀, Q⁺— множество положительных дробных (рациональных) чисел, Q – множество всех рациональных чисел (дробных как положительных так и отрицательных), R – множество действительных чисел, С – множество комплексных чисел, то историческую схему развития понятия числа можно представить в виде N

0ÌQ⁺ÌQÌRÌС ® гиперкомплексные числа и кватернионы.

При этом каждое расширение имеющегося класса чисел происходило либо под влиянием практики, либо внутренних потребностей самой математики, связанных с необходимостью введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций.

Логическая схема развития понятия числа предполагает рассмотрение числовых систем в такой последовательности: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа (NÌZÌQÌRÌС).

При этом потребность расширения имеющегося класса чисел обосновывается необходимостью выполнимости операций.

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В ШКОЛЕ

В установившейся школьной практике используется историческая последовательность развития понятия числа. Однако в результате экспериментального исследования возможностей реализации в школе логической схемы развития понятия числа были получены положительные результаты.

Ниже представлена последовательность изучения числовых систем в современной школе.

Натуральные числа (1 – 5 классы).

Рациональные числа:

положительные дробные числа, представленные обыкновенными и десятичными дробями (5, 6 классы), положительные и отрицательные дробные числа (6 класс).

Действительные числа (8 класс).

При изучении каждой из числовых систем обосновывается необходимость введения новых чисел, рассматриваются формы их записи, изображение точками координатного луча или прямой, сравнение, правила (алгоритмы) выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления, законы сложения и умножения.

ИЗУЧЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Натуральные числа изучаются в 5 и 6 классах.

Основная цель: обобщить и систематизировать знания учащихся о натуральных числах, полученные в начальной школе, развить вычислительные умения и навыки.

Содержание учебного материала:

5 класс.

1. Обозначение натуральных чисел.

2. Изображение натуральных чисел точками координатного луча.

3. Сравнение натуральных чисел.

4. Сложение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства сложения натуральных чисел.

5. Вычитание натуральных чисел.

6.Умножение натуральных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения натуральных чисел.

7. Деление натуральных чисел, в том числе, деление с остатком.

6 класс.

8. Делители и кратные.

9. Признаки делимости натуральных чисел на 10, 5 и 2; на 3 и 9.

10. Простые и составные числа.

11. Разложение натурального числа на простые множители.

12.Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.

13. Наименьшее общее кратное (НОК).

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Вводятся натуральные числа как числа для счёта предметов.

. . . . . . .

Остаётся заполнить подготовленные места цифрами. Обучение записи чисел может сопровождаться вопросами: какой старший класс и высший разряд содержит данное число, сколько цифр потребовалось для записи числа, какие классы и разряды отсутствуют в данном числе.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Изучение каждого действия над натуральными числами предполагает установить:

1)смысл действия;

2) название компонентов и результата;

3) правило (алгоритм) его выполнения;

4) способы проверки результата;

5) зависимость между компонентами и результатом;

6) зависимость изменения результата в зависимости от изменения компонентов;

7) результаты действия с 0 и 1;

8) законы (свойства) действия;

9) приёмы устного выполнения действия.

В качестве примера рассмотрим умножение натуральных чисел.

1)Смысл действия: умножить число т на натуральное число п – значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т.

2)Название компонентов и результата: множители, произведение.

3)Правило (алгоритм) его выполнения: умножение “в столбик”.

4)Способы проверки результата: выполнение обратного действия — разделить произведение на один из множителей, чтобы получить другой множитель (после изучения деления).

5) Множитель равен произведению, делённому на другой множитель.

6) Если один из множителей увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз.

7) т× 0=0, т× 1=т.

8) Переместительный, сочетательный, распределительный относительно сложения и вычитания.

9) Приемы, основанные на законах действий.

Отметим, что сложение натуральных чисел вводится аксиоматически, то есть посредством задач, которые интуитивно решаются сложением. Вычитание и деление как действие, обратное сложению и умножению соответственно. Так, делением называется действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.

Отметим, что наиболее трудным для учащихся является действие деление. Ученики допускают ошибки, беря цифру в частном, которая меньше требуемой, либо пропуская нуль в частном.

Для предупреждения ошибок первого типа необходимо приучить сравнивать полученный остаток с делителем, а избежать пропуск нуля в частном может помочь приём с точками. Например, при делении 317984:523.

317984 ∟523

3138 608

4184 . . .

При изучении действий над натуральными числами следует формировать прочные навыки их выполнения, так как эти действия составляют основу вычислительных алгоритмов в других числовых системах.

ЗАКОНЫ (СВОЙСТВА) АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

В справедливости законов сложения и умножения учащиеся убеждаются, решая целесообразно подобранные задачи. Примеры таких задач приведены при описании метода обобщения (см. общую методику). Они должны знать формулировки законов, уметь записывать их в буквенной форме и знать, что изученные ими законы находят применение

· для обоснования правил арифметических действий: сложения и умножения “в столбик”;

· для рационализации вычислений;

· для упрощения выражений.

Приведём примеры.

№1.

276+652=(2×100+7×10+6)+(6×100+5×10+2)= (2×100+6×100)+(7×10+5×10)+(6+2)=

=(2+6)×100+(7+5)×10+(6+2).

+ 652

№2.

43×12=(10+2)×43=(2+10)×43=43×2+10×43.

´ 12

№3.

Найдите значение выражения (х+342)+129 при х=371.

№4. Упростите запись выражения 38+5а+75+6а.

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ

Существуют историческая и логическая схемы развития понятия числа.

infopedia.su

ЧИСЛО — это… Что такое ЧИСЛО?

ЧИСЛО — одно из основных понятий математики, в которой обычно выделяют натуральное, порядковое, количественное, рациональное, иррациональное, комплексное числа. Традиция философского осмысления числа была заложена в пифагорейской школе. Пифагорейцы, согласно свидетельству Аристотеля, полагали числа “причиной и началом” вещей, а отношения чисел основой всех отношений в мире. Числа сообщают миру упорядоченность и делают его космосом. Обращение к числу, как к организующему принципу бытия, было воспринято Платоном, а позднее неоплатониками. Платон рассматривает числа при различении подлинного и неподлинного бытия, т. е. того, что существует и мыслимо само по себе, и того, что существует лишь благодаря другому и познается только в отношении. Первое есть Благо, а второе — все чувственно воспринимаемые вещи. Число занимает срединное положение между тем и другим. Оно дает меру и определенность вещам, делая их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть ясно отличимы друг от друга (подвергнуты пересчету) и, таким образом, мыслимы, а не только ощущаемы. Но само число зависимо от Блага и существует только благодаря ему Неоплатоники (прежде всего Ямвлих и Прокл) почитали числа столь высоко, что даже не называли их сущими. Устроение мира исходит от числа, но не непосредственно. По мысли неоплатоников, числа посредством эма нации передают организующее начало от Единого к Уму, который в свою очередь есть первое мыслимое и первое сущее, сообщающее мыслимость и бытие всему остальному. Сами числа сверхсущны и, пребывая выше Ума, недоступны знанию. В неоплатонизме принято (возможно, заимствованное от пифагорейцев) мистическое отношение к числу. Прокл прямо отождествляет числа с богами. Но неоплатоники проводят строгое различение между божественными числами (прямой эманацией Единого) и математическими числами (составленными из единиц). Последние суть несовершенные подобия первых. Совершенно иной подход развивает Аристотель, который отказывает числу в столь высоком онтологическом статусе. Он приводит целый ряд аргументов, показывающих, по его мнению, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к многочисленным нелепостям. Числа, по Аристотелю, являются лишь особым аспектом в рассмотрении вещей. Арифметика, будучи (как и любая другая наука) наукой о реально сущих вещах, выделяет в этих вещах только одну сторону и рассматривает их с точки зрения их количества. Результатом такого рассмотрения и являются числа и их свойства. В античности числом считались только натуральные числа. Евклид определял число, как “множество, составленное из единиц”. (Начала Евклида, кн. VII. М.—Л., 1949, с. 10). Пифагорейцы (по свидетельству Прокла) сделали важное различение между числом и величиной, заметив, что все числа имеют общую меру и делимы до определенного предела. Величины же могут быть несоизмеримы (как, например, сторона и диагональ квадрата) и делимы до бесконечности. Наряду с различением между числом и величиной в античности числа отделяли также от отношения. Поэтому дроби числом не считались. Евклид строит в книгах V—VI “Начал” особую теорию отношений, даже не упоминая о ее возможной связи с теорией чисел (книги VII—К), несмотря на то что предложения обеих теорий очень часто дублируют друг друга. Такое сходство операций, по-видимому, не имело большого значения для античной мысли, которая рассматривала число и отношение как две различные категории, по-разному описывающие сущность. Последующее развитие математики вело к сглаживанию различий между тремя выделенными понятиями (число, величина, отношение). Для алгебраического подхода, ставшего в известный момент доминирующим в европейской математике, наибольшую важность имел именно характер операций, а не свойства сущностей. Одинаковость операций, производимых над числами, величинами и отношениями, позволяет рассматривать их как объекты одного рода с общим названием — число. Ньютон прямо писал, что под числами следует понимать не множество единиц, а отношение одной величины к другой, принятой за единицу. Операциональный подход сделал возможным введение в математику своего рода псевдосущностей — математических объектов, которые не всегда соотносятся с реальностью, но позволяют унифицировать проводимые операции. Так, еще в Средние века для унификации коммерческих расчетов были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток. Точно так же для унификации вычислительных процедур при решении алгебраических уравнений были введены иррациональные, а затем мнимые числа, с которыми оказалось возможным оперировать точно так же, как с целыми или рациональными. Философия Нового времени рассматривает число как принцип познания и инструмент мысли. Яснее всего эта позиция выражена у Канта, показавшего, что явление познано тогда, когда сконструировано согласно априорным понятиям — формальным условиям опыта. Число — одно из таких условий. Оно задает определенный принцип или схему конструирования. Всякий объект потому является исчислимым и измеряемым, что сконструирован сообразно схеме числа (или величины). Вследствие такого конструирования всякое явление становится предметом математики или математического естествознания. Рассудок не может мыслить природу иначе как подчиненной числовым закономерностям именно потому, что сам строит ее в соответствии с ними. Тем самым оказывается объяснена сама возможность применения математики в изучении природы. Расширение понятия числа ставит вопрос о его общем определении. Коль скоро все числа суть объекты одного рода, должна существовать возможность сведения одних к другим — прежде всего иррациональных к натуральным. В этой связи необходимо найти строгое определение самого натурального числа. Попытка определить действительное число была предпринята в кон. 19 в. Вейерштрассом, Кантором и Дедекиндом. Три построенные ими определения, весьма различные между собой, одинаково подразумевали необходимость прибегнуть для определения иррационального числа к актуально бесконечной совокупности рациональных чисел. Возможность конструктивной определяющей процедуры была, следовательно, исключена для иррациональных чисел. Это обстоятельство можно интерпретировать и так, что натуральные и рациональные числа, с одной стороны, и иррациональные — с другой, являются объектами разной природы, принципиально несводимыми друг к другу Тем самым в известном смысле восстанавливается противопоставление числа и величины, введенное в античной математике. Определение натурального числа было предложено Пеано (1900). Однако разработанные в 19 в. определения были серьезно переосмыслены в ходе дискуссии по основаниям математики в начале 20 в. Важно заметить, что неудовлетворенность предложенными ранее определениями была связана не с математическими, а скорее с философскими проблемами. Определения, данные Пеано, Дедекиндом или Кантором (которые используются в математике и по сей день), нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Следует выделить три таких философско-математических подхода, называемых логицизм, интуиционизм и формализм. Рассел, разработавший философскую базу логицизма, полагал, что истинность математических аксиом (в том числе аксиом Пеано) неочевидна. Она (как и истинность любого знания) обнаруживается сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым некоторой “суперинтуицией” (выражение Лакатоса) фактам. Выражением таких фактов Рассел счел аксиомы логики, которые он (совместно с Уайтхедом) положил в основание определения числа, основываясь при этом на работах Фреге. Одним из главных в логической теории Рассела и Уайтхеда является понятие класса, отождествляемого с понятием свойства, а также с введенной Фреге пропозициональной функцией. Натуральное число η есть класс всех классов, содержащих η элементов. Этот класс классов (или свойство классов) устанавливается через отношение взаимно-однозначного соответствия, что позволяет избежать круга в определении. Дробь — отношение на туральных чисел — это уже не класс, а отношение классов. Действительное число оказывается при этом классом отношений классов (т. е. классом дробей). Основатель интуиционистского направления Брауэр исходил из прямо противоположной установки: логику он считал лишь абстракцией от математики, которая сама в себе содержит достаточные основания. Брауэр (вслед за Кронекером и Пуанкаре) рассматривал натуральный ряд как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности. Последнюю он представлял в виде последовательности различимых между собой актов, определяющих дискретные моменты времени. Внутреннее представление временного ряда, как основной формы интеллектуальной активности, и есть представление натурального ряда чисел. Сведение к числовой последовательности является наиболее надежным обоснованием всякого математического понятия, т. к. представляет собой его редукцию к самым основам человеческого интеллекта. В частности, редукция понятия действительного числа к натуральным достигается Брауэром введением свободно становящихся последовательностей — последовательностей натуральных чисел, в которых каждый очередной элемент находится не по правилу, а в результате свободного выбора. Глава формальной школы Гильберт видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в рамках которой было бы возможно формальное обоснование любого математического понятия. В частности, он разработал аксиоматическую теорию действительных чисел, включающую как частный случай аксиоматику Пеано. В рамках этой теории представление о числе лишается всякой глубины и может быть сведено лишь к графическому символу, подставляемому по определенным правилам в формулы теории. Такой подход коррелятивен взгляду Кассирера на образование понятий в математике и естествознании, согласно которому числа суть не имеющие никакого собственного определения элементы в системе отношений. “Логическая определенность числа “четыре” дана благодаря его нахождению в ряду идеальной — и потому вневременно-значащей совокупности отношений, благодаря его месту в математически определенной числовой системе” (Кассирер Э. Познание и действительность. СПб., 1912, с. 39). Для Гильберта, однако, было важно еще и то, что указанная совокупность отношений представляется в виде завершенной графической конструкции. Все аксиомы и выводы из них должны быть представлены единому созерцанию. Такая непосредственная обозримость и завершенность и дает обоснованность математическим понятиям.

Г. Б. Гутнер

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

dic.academic.ru

Число — это… Что такое Число?

важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч. определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч. становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч. определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального Ч. протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого Ч. отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия отвлечённого Ч. является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени Ч. становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших Ч. стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Ч. (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения Ч. значительно расширились. Сначала Ч. стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших Ч. Вавилонские клинописные обозначения Ч., так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для Ч. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления (См. Счисление), позволяющая записать любое натуральное Ч. при помощи десяти знаков — цифр (См. Цифры). Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Ч. принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие Ч., воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального Ч. является осознание бесконечности натурального ряда Ч., т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч., в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч., в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».

С развитием понятия натурального Ч. как результата счёта предметов в обиход включаются действия над Ч. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части (см. Умножение, Деление). Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Ч. — арифметики (См. Арифметика). В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Ч. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Ч., выделяются классы чётных и нечётных Ч., простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Ч. продолжается и составляет раздел математики, носящий название Чисел теория.

Натуральные Ч., кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Ч. (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Ч. является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального Ч. долгое время в науке не ставился. Понятие натурального Ч. столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода (См. Аксиоматический метод) в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Ч. Отчётливое определение понятия натурального Ч. на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Ч. как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Ч.), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Ч. в направлении количественной характеристики бесконечных множеств. Другое обоснование понятия натурального Ч. базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано. Следует отметить, что перенесение понятия порядкового Ч. на бесконечные совокупности [порядковые Трансфинитные числа и более общо́ — порядковые типы (см. Множеств теория)] резко расходится с обобщённым понятием количественного Ч.; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами. Исторически первым расширением понятия Ч. является присоединение к натуральным Ч. дробных чисел. Введение в употребление дробных Ч. связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Ч. созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Ч. как о частном при делении двух натуральных Ч., из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).

Дальнейшие расширения понятия Ч. обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного Ч. возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч. необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Ч. систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные Ч. окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Ч. как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

Ч. целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных Ч. обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч. является снова рациональным Ч. Совокупность рациональных Ч. упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Ч. обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч. находится бесконечно много рациональных Ч. Это даёт возможность при помощи рациональных Ч. осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч. оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч. было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч., принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных Ч. оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия Ч., заключающееся в переходе от множества рациональных Ч. к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным Ч. т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Ч. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Ч., у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно бо́льшую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Ч. как Ч., выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков. В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного Ч. даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Ч., рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного Ч. было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

Совокупность всех рациональных Ч. свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных Ч. разбить на два класса так, что каждое Ч. первого класса будет меньше каждого Ч. второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего Ч., а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные Ч., нуль и все положительные Ч., квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные Ч., квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального Ч.: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных Ч. сопоставляется иррациональное Ч., которое считается большим, чем любое Ч. первого класса, и меньшим, чем любое Ч. верхнего класса. Совокупность всех действительных Ч., рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного Ч. отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч. определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч., которая мыслится как данная вся целиком.

В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых» Ч., т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Ч. определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.

Заключительный этап в развитии понятия Ч. — введение комплексных чисел (См. Комплексные числа). Источником возникновения понятия комплексного Ч. явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Ч. возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Ч., невыполнимому в области действительного Ч. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Ч., по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Ч. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Ч. Однако комплексные Ч. и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» Ч. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Ч. в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Ч. в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные Ч. начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Совокупность всех комплексных Ч. обладает так же, как совокупность действительных Ч. и совокупность рациональных Ч., свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Ч. обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Ч. Совокупность всех действительных Ч. (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х²+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч. не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Ч. так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч.

Наряду с основной линией развития понятия Ч. (натуральные Ч. → рациональные Ч. → действительные Ч. → комплексные Ч.), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия Ч. в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Ч. В современной теории Ч. получили большое значение т. н. р-адические Ч., системы которых получаются из систем рациональных Ч. посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Ч. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Ч. — группы (См. Группа), кольца (См. Кольцо), поля (См. Поле), алгебры (см. также ст. Гиперкомплексные числа).

Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1972.

Д. К. Фаддеев.