Нововведения в математике или как правильно решать задачи
Логика продолжает удивлять. Ладно, была загадка без правильного ответа, но вот чтобы математические задачи решались с нарушением логики — сложно представить! Но есть и такое в нашей светлой действительности.
Вот такое решение математической задачи и «правильный» ответ облетели Интернет. Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал. Оказывается, что решение(даже не ответ) должно выглядеть так: 2*9=18. А если помножить 9 на 2, то неправильно. То есть надо умножать литры на покупателей, а не покупателей на литры. Разница — принципиальная.
То есть все мое поколение, которое в школах учили простой истине, что от перемены мест слагаемых(или множителей) сумма(произведение) не меняется — вкорне неверно!
В чем же логика? А логику объясняют в другом учебнике математики: В 5 чашек положили по 2 куска сахара. Сколько всего кусков сахара положили в эти чашки? И вот тут начинается самое главное: оказывается, при записи задачи с помощью умножения важен порядок множителей — от этого зависит наименование в ответе задачи. В данной задаче нельзя поменять множители местами при записи решения… Число 2 обозначает куски сахара, а число 5 обозначает количество чашек. Если поменять их местами в записи решения задачи, то в ответе будут чашки, а не куски сахара. Некоторые учителя полагают, что данное требование формально и необязательно к соблюдению. Однако оно важно для формирования осмысленного отношения к процессу решения задачи
Видимо, это учебник стереотипности мышления и невозможности поиска альтернатив. Формальный и осмысленный подход к решению важнее умения решать. То есть, если в 5 чашек положить по 2 куска сахара, а потом перемножить показатели, то получим в ответе не сахар, а чашки. Похоже, что у них какая-то особая чашка, которая умеет раздваиваться, если в нее положить 2 куска сахара.
Число 2 имеет размерность «кусков в расчёте на чашку», или «кусков/чашка».
При умножении на 5 «чашек» имеем
2 «кусков/чашка» * 5 «чашек» = (2*5) «кусков/чашка * чашка»
«Чашка» сокращается.
В итоге имеем 10 «кусков».
Если мы запишем 5 «чашек» * 2 «кусков/чашка» в ответе будут те же 10 кусков.
Насчёт мышления вообще потрясающе сказано. В таком случае, по мнению авторов пособия, перестановка слов в условии сразу будет делать задачу нерешаемой.
Вспоминается анекдот:
Захотел гаишник заработать. Останавливает женщину и спрашивает:
— Слушай, а если я у тебя свечи выкручу, у тебя какое колесо спустит?
Думала она, думала — не знает, что ответить.
— Ага, не знаешь, ну плати штраф.
Гаишнику понравилось, останавливает он мужика на грузовике и опять тот же вопрос.
Мужик думал-думал, и спрашивает у гаишника:
— Слушай, а если я тебе монтировкой по башке дам, на какой ноге шнурки развяжутся?
В общем, для таких задач рекомендуется заучить фразу: Моя мама учит меня, что не всякое оценочное суждение должно служить модификатором поведения «операция умножения над полем вещественных чисел обладает свойством коммутативности». 😉
jyrnalist.com.ua
как научить ребенка решать задачи
В статье «Ребенок в школе не понимает математику?» я рассказывал о нестандартном, то есть основанном на понимании, методе решения простейшей задачи по математике 2 класса.
Спустя полгода жизнь дала еще одно подтверждение правильности выбранного метода обучения, как бы заметив: «Это было не случайно». А заодно подтвердив правоту теории синхронизма К.Юнга.
Теории синхронизма я коснусь чуть позже, а сейчас поговорим о математике.
Школьная математика: песок на зубах
Вчера, взглянув в тетрадь сына, жена увидела там очередную «задачу,» которую детям в разных вариантах задают вот уже 2 года… Все та же задача о «Лютиках — цветочках», но теперь — о конфетах … Уже не смешно …
«От этих «задач» уже песок на зубах скрипит», — заметила она.
И решила как-то разнообразить досуг, научив сына решать эту задачу более общим методом.
«Я его периодически подругиваю, потому, что он не хочет записывать решения формально. Вот я и решила научить его формальному (но не школьному) способу решения таких задач», сказала мне она.
«И вот смотри, что он натворил…»
Сладкая задача по математике
«В коробке 50 конфет трех видов: апельсиновые, лимонные и шоколадные. Шоколадных конфет — 10 шт. А лимонных — на 8 больше, чем апельсиновых.Сколько в коробке апельсиновых и лимонных конфет?»
Показав сыну, как решается эта задачка алгебраически, жена спросила: «Понял?»
«Понял», ответил сын.
Ну тогда решай».
«16 и 24» ответил сын не задумываясь.
«Ну а как ты решал?», спросила жена.
«Ну …, делим 8 пополам …»
Немая сцена …
«Разве так я тебя учила?..»
«Ну ладно, подумала я. В конце концов ответ верный и попросила его объяснить, как он решал задачу».
Сын недовольно надул губы и поведал ход своих мыслей.
Решение задачи: что сын думает о том, как он думал
«Если бы апельсиновых и лимонных конфет было поровну, (а это получилось бы, если бы добавили 4 апельсиновых и забрали 4 лимонных, для этого 8 и делим пополам), то их было бы по 20 штук. Апельсиновых было меньше, значит заберем из 20 апельсиновых 4 (которые добавляли раньше) и добавим к 20 лимонным 4 (которые раньше забирали). Получится 16 и 24″.
Как я думаю, как сын думал
Немного о методологии обучения …
Одна из аксиом, которую я использую в образовании (включая и самообразование):
«Если я вижу только результат — значит я ничего не вижу».
Понимание предполагает осведомленность о процессе и причинах.
Поэтому, приняв к сведению объяснение, данное сыном, я решил реконструировать реальный процесс, происходивший в его голове.
Правостороннее и левостороннее мышление
Прежде всего, я обратил внимание на то, что ответ был выдан немедленно. А это говорит о том, что работало, в основном. правое полушарие.
Правостороннее, образное мышление значительно — в тысячи раз — быстрее левостороннего, логического.То есть сын видел задачу, «вертел ее в голове».
Выход в надсистему
Далее.
Обращает на себя внимание тот факт, что решение происходило не «изнутри» задачи, а «снаружи».
«Невозможно решить проблему на том же уровне,
на котором она возникла.
Нужно стать выше этой проблемы,
поднявшись на следующий уровень»А.Эйнштейн
(Когда мы говорим о «видении» задачи, мы, опять же, по-определению, говорим о взгляде «сверху». В противоположность школьному, формальному, инвертированному подходу, основанному на шаблонизации мышления
— об этом поговорим позже).
Для быстрой оценки необходимо было взглянуть на коробку, в которой 40 конфет (50 минус 10 шоколадных).
Количество, качество и структура
«Зачем ты 8 делил пополам?»
«Но ведь если мы добавим 4 и уберем 4 — ничего не изменится!»
То есть решение происходило не в чистом виде количественно.
Когда я услышал, как сын решил задачу, я сразу увидел две пирамидки: одна выше другой.
Отрубив у одной вершину и разделив пополам я получил равные пирамидки. Но мне пришлось поразмыслить, чтобы понять, как в точности думал сын. Каюсь: мозги «зачерствели».
Он мысленно вынул из коробки 4 апельсиновых конфеты и добавил туда 4 лимонных. То есть, сохранив количество, он изменил качество, структуру.
Путь через понимание
«Воображение важнее, чем знания.
Знания ограничены, тогда как воображение
охватывает целый мир,
стимулируя прогресс, порождая эволюцию»
А.ЭйнштейнТрудно не понять, увидев и «повертев».
Обратное тоже верно.
«Прикладывая» же абстрактную формулу к конкретной задаче, мы всегда рискуем «воткнуть» ее не в то место.
«С тех пор, как математики взялись
за теорию относительности,
я сам перестал ее понимать»
А.ЭйнштейнПолагаю, что один из физико-математических гениев 20 века выразил, хотя и в шуточной форме, важную и полезную мысль.
Упрощающее усложнение
У некоторых людей в подобных случаях возникает вопрос: зачем усложнять простые вещи? Простая задача, простое решение… Какая разница, как решать?
Это как раз та категория людей, которые так и не развили так называемое «понятийное» или «концептуальное» мышление. А «думают» шаблонами. И среди них, к сожалению — огромная армия школьных учителей (см. результаты школьного образования).
Усложнение необходимо, чтобы простые вещи оставались простыми и понятными, когда они действительно усложнятся. Иначе говоря, речь идет о подходе к обучению, о методологии.
Если бы абсолютное большинство детей понимало математику в школе — не было бы никакой нужды углубляться в этот вопрос. То, что работает — работает.
Но то, что не работает — требует выяснения глубинных причин неэффективности.
Другая причина усложнения состоит в том, что мы с помощью «левого» вторгаемся в область «правого». С помощью слов пытаемся передать изображение, да зачастую еще и то, которое сами не видели …(И тут я возвращаюсь к началу:синхронизм К.Юнга — труднообъяснимая, но хорошо работающая гипотеза. Предыдущая статья писалась в тот момент, когда сын решал «сладкую» задачу) …
И все-таки: можно ли так научить ребенка понимать математику?
Мне известно мнение большинства учителей: такой подход вначале облегчает понимание, но потом, когда математика усложнится, возникнут серьезные проблемы.
Если бы я вообще ориентировался на «мнения», то скорее, принял бы во внимание мнение А.Эйнштейна, а не их.
Все, милые мои, с точностью до наоборот. И это знает любой, кто сталкивался с реальной жизнью, в том числе, с научной деятельностью.
Подобные возражения концептуально неверны.
Поэтому — «Будем посмотреть».
P.S. И вот, спустя полгода увидели (результаты математической олимпиады «Кенгуру-2016»
butorov.ru
Правила решения задач по математике
Рекомендации для учителей начальных классов
1 класс
Учащиеся говорят «Эта задача на нахождении …Чтобы…»
1.Задачи на нахождение суммы.
Чтобы найти сумму чисел, нужно сложить.
2.Задачи на нахождение остатка (разности).
Чтобы найти остаток, нужно вычесть.
3.Задачи на уменьшение (увеличение) числа на несколько единиц.
Это задача на уменьшение (увеличение) числа. Чтобы решить задачу нужно вычесть (прибавить, сложить).
4.Задачи на разностное сравнение чисел.
Чтобы узнать на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
5.Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно вычесть.
2 класс
1.Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить.
2.Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно вычесть.
3.Задачи на нахождение частного.
Чтобы найти частное, нужно разделить.
4.Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого.
Чтобы найти неизвестное третье слагаемое, нужно вычесть.
5.Задачи на нахождение произведения.
Чтобы найти произведение, нужно умножить.
6.Задачи на деление на части.
Чтобы решить задачу на деление на части, нужно разделить.
7.Задачи на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз.
Это задача на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз. Чтобы решить задачу нужно разделить (умножить).
3 класс
1.Задачи на приведение к единице.
Чтобы решить задачу, нужно разделить.
2.Задачи на нахождение части числа.
Чтобы решить задачу, нужно разделить.
3.Задачи на нахождение числа по его части.
Чтобы решить задачу, нужно умножить.
4 класс
1.Задачи на нахождение скорости.
Чтобы найти скорость, нужно разделить.
2.Задачи на нахождение времени.
Чтобы найти время, нужно разделить.
3.Задачи на нахождение расстояния.
Чтобы найти расстояние, нужно умножить.
4.Задачи на нахождение площади прямоугольника.
Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину.
5.Задачи на нахождение среднего арифметического.
Чтобы найти среднее арифметическое чисел, нужно все числа сложить и разделить на их количество.
6.Задачи на пропорциональное деление.
7.Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.
infourok.ru
Как научить ребенка решать задачи? | Обучение
Пока ребенок обучается в начальной школе, его надо научить выделять в задаче условие и вопрос. Условие — это то, что известно, а вопрос — это то, что надо найти. Затем в условии и вопросе Вы выделяете главные слова. Как правило, это действия: было, приехали, купили, подарили, осталось и т. п. Но главными словами могут быть и, например, два ребенка (Маша и Миша, Петя и Сережа) или два предмета (магазины, ларьки, дома) и т. п. На этом этапе важно, чтобы ребенок образно представил то, о чем говорится в задаче.
Затем надо показать ребенку смысл этих слов. Было, всего, купили, и, стало, на… больше — эти слова указывают на сложение. Продали, уехали, осталось, на… меньше — эти слова указывают на вычитание. Разложили, раздать, в … меньше — это деление. Если вопрос начинается со слов «На сколько…», то это указание на действие вычитания.
Некоторые учебники по математике оперируют терминами «часть» и «целое». Было, всего, стало — эти слова указывают на «целое», а остальные слова — на «часть». Зная об этом, Вашему маленькому ученику будет проще начертить схему к задаче.
Теперь, когда появилась схема, которая содержит условие и вопрос, подумайте вместе с ребенком: можно ли сразу ответить на поставленный вопрос, все ли нам известно для ответа на этот вопрос или что-то еще требуется узнать? Далее Вы помогаете ребенку выделить промежуточные вопросы в задаче. Ведь сколько ребенок вопросов найдет, столько и действий в этой задаче. Здесь важно обсудить, с помощью какого математического действия будете искать ответ на этот вопрос. Так составляется план решения задачи.
Особую роль в решении задач играет заключительный анализ решенной задачи, т. е. ребенку необходимо еще раз рассказать, как он решал задачу и почему выбрал то или иное математическое действие.
Предложите ребенку решить похожую задачу самостоятельно. Обсудите с ним, чем задачи похожи и чем отличаются. Как эти различия повлияли на решение задачи? Почему задачи решаются одинаково?
Попробуйте дать задачу, которая будет решаться иначе. Дайте ребенку возможность подумать, почему эта задача решается, например, сложением, когда две предыдущие Вы решали вычитанием.
Возникает вопрос, где взять «похожие» и «различные» задачи? Воспользуйтесь сборником задач О. В. Узоровой, Е. А. Нефедовой «2500 задач для начальной школы».
Уверена, что Ваши дети полюбят решать задачи. Успехов!
shkolazhizni.ru
Правила решения задач по математике
Задачи
Рекомендации для учителей начальных классов
1 класс
Учащиеся говорят «Эта задача на нахождении …Чтобы…»
1.Задачи на нахождение суммы.
Чтобы найти сумму чисел, нужно сложить.
2.Задачи на нахождение остатка (разности).
Чтобы найти остаток, нужно вычесть.
3.Задачи на уменьшение (увеличение) числа на несколько единиц.
Это задача на уменьшение (увеличение) числа. Чтобы решить задачу нужно вычесть (прибавить, сложить).
4.Задачи на разностное сравнение чисел.
Чтобы узнать на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
5.Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно вычесть.
2 класс
1.Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить.
2.Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно вычесть.
3.Задачи на нахождение частного.
Чтобы найти частное, нужно разделить.
4.Задачи на нахождение неизвестного третьего слагаемого.
Чтобы найти неизвестное третье слагаемое, нужно вычесть.
5.Задачи на нахождение произведения.
Чтобы найти произведение, нужно умножить.
6.Задачи на деление на части.
Чтобы решить задачу на деление на части, нужно разделить.
7.Задачи на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз.
Это задача на уменьшение (увеличение) числа в несколько раз. Чтобы решить задачу нужно разделить (умножить).
3 класс
1.Задачи на приведение к единице.
Чтобы решить задачу, нужно разделить.
2.Задачи на нахождение части числа.
Чтобы решить задачу, нужно разделить.
3.Задачи на нахождение числа по его части.
Чтобы решить задачу, нужно умножить.
4 класс
1.Задачи на нахождение скорости.
Чтобы найти скорость, нужно разделить.
2.Задачи на нахождение времени.
Чтобы найти время, нужно разделить.
3.Задачи на нахождение расстояния.
Чтобы найти расстояние, нужно умножить.
4.Задачи на нахождение площади прямоугольника.
Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину.
5.Задачи на нахождение среднего арифметического.
Чтобы найти среднее арифметическое чисел, нужно все числа сложить и разделить на их количество.
6.Задачи на пропорциональное деление.
7.Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.
kopilkaurokov.ru
Как научиться решать задачи по математике
Автор КакПросто!
Математика является сложным предметом школьной и вузовской программы. Только при наличии активной позиции при изучении данного предмета, при условии приобретения практических умений и навыков и их реального использования, можно рассчитывать на успех.
Статьи по теме:
Инструкция
Внимательно выслушивайте материал, который объясняет учитель. Аксиомы и теоремы нужно понять, а поняв, научиться доказывать. Прочитав доказательство какой-то теоремы, воспроизведите его на бумаге, а затем сверьте с учебником. Помните, что умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. Всегда выполняйте домашнее задание. На обычных уроках математики закладывается лишь фундамент математических знаний. Все, что задают на дом, является обязательным для усвоения. Прочитав условие задачи, не спешите немедленно его записывать. Сначала поймите, о чем идет речь, что просят найти. Сделайте небольшую иллюстрацию, подпишите необходимые данные. Немаловажным фактором являются устные вычисления. Если задача вызывает затруднение, отложите ее, немного отвлекитесь, а потом вновь приступайте к размышлениям. Если известен ответ задачи, появляется возможность не мучиться в догадках, правильно вы решили или нет.В математических пособиях, учебниках, сборниках приведены примеры решения типичных задач. Не ленитесь их внимательно рассматривать и разбирать. Обязательно извлечете для себя что-то полезное.
Эффективными являются написанные от руки справочники. При изучении нового материала обязательно дополняйте свою «шпаргалку». Не надо открывать учебники и рыться в конспектах.Достаточно по справочнику определить, можно ли им воспользоваться в данном случае и данной задаче. Подобные пособия прекрасно развивают зрительную память. Через какое-то время даже они вам не потребуются.
Старайтесь запоминать наизусть основные формулы, теоремы, таблицы значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций, графики элементарных функций. Научитесь составлять алгоритм решения. Последовательность действий всегда подразумевает логичный результат.
Видео по теме
Источники:
- как составить задачи по математике
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Как научиться решать задачи? | КТО?ЧТО?ГДЕ?
Школьная жизнь ребенка постоянно сопровождается необходимостью решать задачи по математике, химии, физике, вычислять которые нужно с помощью формул, теорий и других знаний. Не только дети, но и родители задаются вопросом, как научиться решать задачи? Для этого мы поэтапно рассмотрим возможные варианты для каждой науки в отдельности.
Как научиться решать задачи по математике: практические рекомендации
Математика – королева всех наук, которая способна поставить перед учеником сложное задание. Как научиться решать задачи по математике? Этот вопрос задают многие ученики, родители и педагоги, для этого важна хорошая мотивация. Также важно убедить ребенка, что в них нет ничего сложного, главное правильно прочитать условие, выучить правила, проявить смекалку и внимательность. Если вас интересует, как быстро научиться решать задачи по математике, тогда необходимо:
- Сделать визуализацию, создать зрительную модель задачи, чтобы ребенку было проще понять условия. Можно нарисовать рисунок, создать схему, таблицу.
- Разбить условие на блоки.
- Определить, решались ли ранее подобные задания.
- Использовать теоретические знания.
- Составить план.
- Сделать вычисления с помощью формул.
- Проанализировать решение, сравнить ответ.
Как видно, ничего сложного в этом нет, главное правильно найти подход.
Как научиться решать задачи по физике: рекомендации
Как научиться решать задачи по физике? Первоначально нужно успокоиться, так как условие может на первый взгляд показаться сложным. Внимательно прочитайте его, при необходимости разбейте условие на части. Далее необходимо графически отобразить условие, нарисовав схему. Определите, что дано в задаче, какие параметры и величины известны – зафиксируйте данную информацию. Напишите все формулы, которые, по вашему мнению, могут подойти, и выберете правильную. Далее нужно составить и решить уравнение, пока не найдете все неизвестные. Совет: если сразу сложно решить, отложите ее на время и решение само к вам придет.
Как научиться решать задачи по геометрии: советы
- Прочитайте задание.
- Отобразите визуально условие, нарисуйте график.
- Определите, что дано и перенесите данные на рисунок.
- Важно понимать с каким разделом геометрии вы будете иметь дело.
- Используйте теоретические знания, учите теоремы, формулы.
Чтобы ребенок проще воспринял условие, его нужно разбить на части. В правильно записанном условии кроется решение.
Как научиться решать задачи по химии: что нужно знать
Весь окружающий мир состоит из соединений и реакций, поэтому без познаний в области химии не обойтись. Как научиться решать задачи по химии и что для этого нужно? Важно знать теорию – без нее не обойтись, так же как и без таблицы Менделеева. Необходимо выбрать алгоритм решения и можно воспользоваться таким:
- Написать уравнение реакции. Здесь важно правильно рассчитать коэффициент. Можно записи сделать поверх реакции, определив известные и неизвестные данные.
- Выберете способ поиска неизвестных данных, определив какое количество действий потребуется.
- Правильно составьте пропорцию.
- Сравните условие задачи с решением.
Как научиться решать задачи на проценты: простое правило
Если вас интересует вопрос, как научиться решать задания на проценты, тогда важно запомнить одно простое правило: 1% равен одной сотой части от данного числа. Например, если вам дано число 15, то сотая часть от данного числа будет составлять 0.15, то есть 15 делите на 100 и получаете 0.15.Таким способом вычисляются все величины, также и те, которые касаются денежного эквивалента.
Как научиться решать логические задачи: что для этого нужно
Благодаря логическим заданиям можно развивать логическое мышление, но как научиться решать логические задачи? Для этого можно использовать:
- Рассуждения.
- Таблицы.
- Схемы.
- Графики.
Хорошо помогает логический квадрат. Рекомендовано пользоваться предположениями, методом с конца. Главное правильно прочитать условие и создать визуализацию.
Как научиться решать задачи по биологии: быстро и просто
Казалось бы, биология – это теоретический предмет, но часто у людей возникает вопрос: как научиться решать задачи по биологии? Часто они встречаются в разделе генетики и для того чтобы решить ее, нужно:
- Понять, к какому разделу задача относится. Это может быть моногибридное сокращение, дигибридное сокращение, полигибридное сокращение.
- Выберите наследование.
- Определите законы.
- Выберите закономерности.
Условие нужно хорошо изучить, записать, подобрать решение, сравнить ответ.
Как научиться решать экономические задачи из ЕГЭ: рекомендации
Каждый школьник встречается с экзаменом по экономике и тогда возникает вопрос: как научиться решать экономические задачи из ЕГЭ? Важно придерживаться определенного алгоритма:
- Владеть теоретическим материалом.
- Проанализировать числовые данные, статистику.
- Подобрать формулу.
- Произвести расчеты.
Придерживаясь рекомендаций и простых правил, и вы сможете сказать: «Я тоже научился решать задачи наподобие треугольников» и без особых проблем.
kto-chto-gde.ru