Классическое определение вероятности случайного события
Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).
Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновоз-можных элементарных событий (исходов) В,, В2, …, Вп, т. е. совокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, причем пусть интересующее нас случайное событие А осуществляется тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элементарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т<п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:
Определение.
P*(A)=m/n
Поскольку в общем случае 0 < т < п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е.
0≤ Р(А)≤1
Пример 8.1. Найти вероятность того, что при извлечении наугад одного шара из корзины, в которой находятся 2 белых, 3 зеленых и 5 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.
Решение. Поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из n=10 равновозможных событий (по общему количеству шаров в корзине), из которых только т =
3 элементарных события (по количеству зеленых шаров) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через А), по формуле (8.1) получим:Р(А)=3/10
Основные свойства вероятности случайного события
1. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих невозможному событию А, равно нулю, получаем:
Р(А) = 0/п=0
2. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих достоверному событию А, равно общему количеству п этих элементарных событий, получаем:
Р(А) = п/ п=1
Лекция 1.
Цели, задачи и структура медицинской и биологической физики. Ее место и роль в системе медицинского образования, межпредметные связи с другими медико-биологическими и клиническими дисциплинами.
Вероятностный характер медико-биологических процессов. Элементы теории вероятностей. Вероятность случайного события. Закон сложения и умножения вероятностей.
Принципы вероятностных подходов к задачам диагностики и прогнозирования заболеваний.
Теория вероятностей
В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятностный характер и, как остроумно замечено, лишь патологоанатомическое исследование может достоверно определить диагноз умершего человека.
§2.1. Случайное событие. Вероятность
Наблюдая различные явления, можно заметить, что существует два типа связей между условиями S и наступлением или ненаступлением некоторого событияА. В одних случаях осуществление комплекса условийS(испытание) непременно вызывает событиеА. Так, например, материальная точка массой т0 под воздействием силы F (условие S) приобретает ускорение а = F/m0 (событие А). В других случаях многократное повторение испытания можетпривести или не привести к появлению события А. Такие события принято называть случайными: к ним можно отнести появление в кабинете врача больного с данной болезнью, выпадение определенной стороны монеты при ее бросании и др.
Не следует думать о случайных явлениях как о беспричинных, ничем не обусловленных. Известно, что многие явления связаны между собой, отдельное явление представляет следствие какого-то другого и само служит причиной последующего. Однако проследить количественно эту связь между условиями и событием часто затруднительно или даже невозможно. Так, при бросании игральной кости (однородный кубик с пронумерованнымишестью гранями: 1, 2, 3, 4, 5 и 6) окончательное положение кубика зависит от движения руки в момент бросания, сопротивления воздуха, положения кубика при попадании на поверхность, особенности поверхности, на которую упал кубик, и других факторов, которые в отдельности учесть невозможно.
В быту применительно к таким случайным событиям употребляют слова «возможно», «вероятно», «маловероятно», «невероятно». В некоторых случаях такая оценка больше характеризует желание говорящего, чем истинную степень возможности или невозможности события. Однако и случайные события, если их число достаточно велико, подчиняются определенным закономерностям. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятностей.
Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) случайным событиям.
Отдельные исторические факты, «неожиданности», «катастрофы» являются единичными, как бы неповторимыми, событиями, и количественные вероятностные суждения относительно них сделать невозможно. Исторически теория вероятностей появилась в связи с попытками подсчета возможности различных исходов в азартных играх. В настоящее же время она применяется в науке, в том числе биологии и медицине, для оценки вероятности практически важных событий. От игр остались лишь наглядные примеры, которые удобно использовать для иллюстрации теоретических положений.
Статистическое определение вероятности. ВероятностьР(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.
Допустим, при 1000 бросаний игральной
кости цифра 4 выпадает 160 раз. Отношение
160/1000 = 0,16 показывает относительную
частоту выпадания цифры 4 в данной серии
испытаний. В более общем случае,
когда случайное событие А происходит
(2.1)
При большом числе испытаний частота события примерно постоянна: увеличение числа испытаний уменьшает колебание частоты события около постоянной величины.
Вероятностью случайного события назовем предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:
(2.2)
Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неограниченное число испытаний для того, чтобы определить вероятность. В этом нет и надобности. Практически за вероятность [см. (2.2)] можно принять относительную частоту события при большом числе испытаний. Так, например, из статистических закономерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивают в 0,515.
Классическое определение вероятности. Если при испытаниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайноесобытие появлялось бы чаще других (равновозможные события), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадания герба (событиеА). Разными экспериментаторамипри нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к0,5. Учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А) = Р(В) = 0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.
Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно из
Р(А) = m/n . (2.3)
Это классическое определение вероятности.
Рассмотрим несколько примеров.
1. В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероятность того, что вынутый наугад один шар будет черным.
Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: т = 10. Общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равно полному числу шаров в урне: п = 40. Эти события несовместны, так как вынимается один и только один шар. По формуле (2.3) имеем:
Р(А) = 10/40 = 1/4.
2. Найти вероятность выпадания четного числа при бросании игральной кости.
При бросании кости реализуются шесть равновозможных несовместных событий: появление одной цифры 1, 2, 3, 4, 5 или 6, т. е. п = 6.Благоприятствующими случаями являются выпадания одной из цифр 2, 4 или 6: т = 3. Искомая вероятность:
Р(А) = m/n – 3/6 = 1/2.
Как видно из определений вероятности события (2.2) и (2.3), для всех событий 0 Р(А) 1.
События, которые при данных испытаниях не могут произойти, называются невозможными: их вероятность равна
Так, например, невозможно из урны с белыми и черными шарами вытащить красный шар, невозможно на игральной кости получить цифру 7.
Событие, которое при данном испытании обязательно произойдет, называется достоверным, его вероятность равна 1.
Примером достоверного события является извлечение белого шара из урны, в которой находятся только белые шары.
В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событий. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Для двух несовместных событий
Р(А илиВ) = Р(А) + Р(В).(2.4)
Докажем эту теорему. Пусть п — общее число испытаний, т1 — число случаев, благоприятствующих событию А,т2 — число случаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 +m2. ТогдаР(А илиВ) = (т1 + т2)/п = т1/п + т2/п. Отсюда, учитывая (2.3), имеем
Р(А илиВ) = Р(А) + Р(В).
* Найти вероятность выпадания 1 или 6 при бросании игральной кости.
События А (выпадание 1) иВ (выпадание 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому из (2.4) находимР(А илиВ) =1/6 + 1/6 = 1/3.
Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.
* В урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.
Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) — Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного (событие С) — Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/5 + 2/5 + + 1/10= 7/10.
Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными.
Такие
события принято обозначать, например, А и 
.
Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:
(2.5)
*Проиллюстрируем справедливость (2.5) на
предыдущем примере.
Пусть
вынимание белого, или черного, или
красного шара будет событиемА1 , Р(А1) = 7/10.Противоположным событием
является доставание
синего шара. Так как синих шаров 15, а
общее количество шаров 50, то получаемР(
)
= 15/50 = 3/10 иР(А1) + Р(
) = 7/10 + 3/10 = = 1.
*В урне находятся белые, черные и красные шары. Вероятность доставания черного или красного шара равна 0,4. Найти вероятность доставания из урны белого шара.
Обозначим А событие
вынимания черного или красного шара, Р(А) = 0,4;
противоположным событием 
будет изъятие
белого шара,
тогда на основании (2.5) вероятность этого
события Р()
= 1 — Р(А)
= = 1
— 0,4 = 0,6.
Систему событий (А1, А2, … Ak) называют полной, если при испытаниях наступит одно и только одно из этих событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице.
* В урне имеется 40 шаров: 20 белых, 15 черных и 5 красных. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А) = 20/40 = 1/2, для черного шара (событие В) — Р(В) = 15/40 = 3/8 и для красного шара (событиеС) — Р(С) = 5/40 = 1/8. В этом случае система событийА1, А2, А3 является полной; можно убедиться, что Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/2 + 3/8 + + 1/8 = 1.
Теорема умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий
Р(А и В) = Р(А) • Р(В). (2.6)
Докажем эту теорему. Так как события А и В независимы, то каждому из т1 случаев, благоприятствующих А, соответствуют т2 случаев, благоприятствующих В. Таким образом, общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В, равно т1 т2. Аналогично, общее число равновозможных событий равно п1 п2, где п1 и п2 — числа равновозможных событий соответственно для А и В. Имеем
(2.7)
* В одной урне находится 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся:
1) черными; 2) белыми; 3) в первой урне будет вынут черный шар, а во второй — белый; 4) в первой урне будет вынут белый шар, а во второй — черный.
Вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А)равна Р(А) =
= 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) — Р(В) = 3/20, белого шара из первой урны (событие А’) — Р(А’) = 10/15 = 2/3 и белого шара из первой урны (событиеВ’) —Р(В’) = 17/20. Находим вероятность совместного появления двух независимых событий по формуле (2.6):
1) Р(А и В) = Р(А) • Р(В) = (1/3) (3/20) = 3/60 — оба шара черные;
2) Р(А’ и В’) = Р(А’) • Р(В’) = (2/3) (17/20) = 17/30 — оба шара белые;
3) Р(А’ и В’) = Р(А) • Р(В’) = (1/3) (17/20)= 17/60 — в первой урне будет вынут черный шар, а во второй — белый;
4) Р(А’ и В) = Р(А’) • Р(В) = (2/3) (3/20) = 1/10 — в первой урне будет вынут белый шар, а во второй — черный.
Все четыре возможных случая А и В, А’ и В’, А и В’, А’ и В образуют полную систему событий, поэтому
Р(А и В) + Р(А’ и В’) + Р(А и В’) + Р(А’ и В)= 3/60 + 17/30 + 17/60 + 1/10 = 1.
* Найти вероятность того, что в семье с тремя детьми все трое сыновья. Считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,515 и по каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущих детей.
По теореме умножения вероятностей, Р(А и В иС) = 0,515• 0,515 • 0,515 0,14.
Теорема умножения вероятностей усложняется, если определяется вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что событие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна
Р(А и В) = Р(А) • Р(В/А), (2.8)
где Р(В/А) —условная вероятность, т. е. вероятность событияВ при условии, что событиеА состоялось.
* В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты черный и белый шары.
Вероятность того, что первым будет изъят черный шар (событие А),равна Р(А) = т/п = 2/5. После удаления черного шара в урне остается 4 шара: 3 белых и 1 черный. В этом случае вероятность вынимания белогошара (событие В после выполнения события А) равна Р(В/А) = 3/4. Используя (2.8), получаем
Р(А и В) = (2/5) • (3/4) = 3/10.
studfiles.net
Основные понятия теории вероятностей | LAMPA
Как считать вероятность события
Само понятие вероятность кажется интуитивно понятным: например, если идёт снег, то гораздо вероятнее, что на улице зима, чем лето. Но как выразить эту вероятность числом? И по какой шкале её мерить? Нередко говорят «вероятность этого 50%50\%50%» — но что это значит? И что будет означать «стопроцентная» или «нулевая» вероятность ? Чтобы ответить на этот вопрос, мы дадим классическое определение вероятности, которое будет применимо во всех школьных задачах. Для этого нам понадобится вспомогательное определение.
Исходы, входящие в событие, называются благоприятными для этого события.
Прежде чем перейти к классическому определению вероятности, заметим, что для его применения требуется выполнение определённого условия — равновозможности всех исходов. Это условие может быть недостаточно строго определено, но интуитивно оно понятно. Например, если в качестве исходов при бросании монеты выбрать «орёл», «решка» и «ребро», то классическое определение вероятности применять нельзя, так как шансы на последний исход меньше, чем на первые два. А если выбрать только «орёл» и «решка», то можно — ведь нет никаких оснований считать один исход более частым, чем другой.
Итак, пусть у нас есть испытание с определённым набором равновозможных исходов. Вероятностью некоторого случайного события называется отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания.
P{Событие A}=Число исходов, благоприятных для AОбщее число исходовP\{\text{Событие }A\}=\frac{\text{Число исходов, благоприятных для } A}{\text{Общее число исходов}}P{Событие A}=Общее число исходовЧисло исходов, благоприятных для A
Из классического определения видно, что вероятность — числовая величина, принимающая значения от 000 до 111. Вероятность никогда не бывает отрицательной и никогда не бывает больше 111. На практике вероятность иногда выражают в процентах, в этом случае 100%100\%100% соответствуют вероятности 111.
Конечно, «в жизни» в основном встречаются ситуации, когда одни исходы встречаются чаще других, и тогда нужно использовать скорректированное определение вероятности. Но в школьных задачах исходы всегда одинаково ожидаемы, так что для нахождения вероятности нужно только правильно посчитать количество исходов, входящих в событие, и общее количество исходов испытания, после чего поделить одно на другое.
Рассмотрим пример. Из стандартной колоды карт (от двойки до туза) наугад вытащили одну карту. Какова вероятность, что эта карта — с цифрой?
Для начала нужно определить набор равновозможных исходов. В данном случае естественно будет взять его совпадающим с набором карт. Тогда всего исходов будет 52,52,52, и никаких оснований считать какие-либо более вероятными, чем другие, у нас нет. Осталось узнать число благоприятных исходов, то есть карт с цифрами. Всего таких карт в каждой масти девять: 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 и 101010. Мастей в свою очередь четыре, значит всего карт с цифрами 363636. Следовательно, искомая вероятность равна 3652=913\frac{36}{52}=\frac{9}{13}5236=139.
Отметим, что вероятность невозможного события будет равна нулю, поскольку числитель дроби (число благоприятных исходов) будет равен 000.
lampa.io
| Знак (символ, сокращение) |
Пояснения (расшифровка, легенда) |
|
|
|
т.о. |
|
|
|
| ЧТД QED | Конец доказательства = «Что и требовалось доказать» = quod erat demonstrandum |
| Что и требовалось доказать = окончание доказательства | |
| Что и требовалось доказать = окончание доказательства | |
| Что и требовалось доказать = окончание доказательства | |
|
= |
Равенство |
|
|
| По определению равно | |
| По определению равно | |
| По определению равно | |
| По определению равно | |
| По определению равно | |
|
|
| По определению логически эквивалентно | |
|
|
|
|
| Неравенство | |
| Меньше | |
| Больше | |
| Много меньше | |
| Много больше | |
| <= | Меньше или равно |
| >= | Больше или равно |
| Сведение по Карпу (Karp reduction) — теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое «не сложнее правого», естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать) | |
|
|
|
|
|
|
dpva.ru
Основы теории вероятностей для актуариев
Вероятность: основные правила
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Случайные величины и их характеристики
Время жизни как случайная величина
Функция выживания
Характеристики продолжительности жизни
Аналитические законы смертности
Все на свете происходит детерминировано или случайно…
Аристотель
Вероятность: основные правила
Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.
Например, вы бросаете монету, она случайным образом падает на герб или решку. Заранее вы не знаете, на какую сторону монета упадет. Вы заключаете договор страхования, заранее вы не знаете, будут или нет проводиться выплаты.
В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.
Рассмотрим более подробно подбрасывание монеты. Имеется 2 взаимно исключающих исхода: выпадение герба или выпадение решки. Исход бросания является случайным, так как наблюдатель не может проанализировать и учесть все факторы, которые влияют на результат. Какова вероятность выпадения герба? Большинство ответит ½, но почему?
Пусть формально А обозначает выпадение герба. Пусть монета бросается n раз. Тогда вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:
(1)
где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.
Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.
Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших n группируется около некоторой постоянной величины Р(А). Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р – сокращение от английского слова probability – вероятность.
Формально имеем:
(2)
Этот закон называется законом больших чисел.
Если монета правильная (симметричная), то вероятность выпадения герба равняется вероятности выпадения решки и равняется ½.
Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А, события В, или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А, так и события В.
Основные правила исчисления вероятностей событий следующие:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
2. Пусть А и В два события, тогда:
(3)
Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей.
Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А. Для этого вводится условная вероятность:
(4)
Читается так: вероятность наступления А при условии В равняется вероятности пересечения А и В, деленной на вероятность события В.
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В больше нуля.
Формулу (4) можно записать также в виде:
(5)
Это формула умножения вероятностей.
Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А – вероятность наступления А после наступления В.
В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.
Формула полной вероятности
Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимно исключающие друг друга предположения (гипотезы):
Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:
Тогда имеет место формула полной вероятности:
(6)
Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.
Формула Байеса
Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А.
Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.
(7)
Рассмотрим следующую практическую задачу.
Задача 1
Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:
При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:
Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?
Вычислим вероятности причин при условия наступления события А.
Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.
Задача 2
Рассмотрим посадку самолета на аэродром.
При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.
Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .
Найти вероятность благополучной посадки самолета.
Имеем:
Нужно найти вероятность .
Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:
Отсюда по формуле полной вероятности:
Задача 3
Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01 Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.
Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?
Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.
Решение
Введём события:
-
= {застрахованный – курильщик}
-
= {застрахованный – не курильщик}
-
= {застрахованный умер в течение года}
Условие задачи означает, что
Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность – это .
Используя формулу Байеса, мы имеем:
поэтому верным является вариант (В).
Задача 4
Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.
50% всех застрахованных являются стандартными, 40% — привилегированными и 10% — ультрапривилегированными.
Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного – 0.005, а для ультра привилегированного – 0.001.
Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?
Решение
Введем в рассмотрение следующие события:
-
= {застрахованный является стандартным}
-
= {застрахованный является привилегированным}
-
= {застрахованный является ультрапривилегированным}
-
= {застрахованный умер в течение года}
В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это . По условию:
Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:
Случайные величины и их характеристики
Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.
Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ.
Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a<b выполнено
,
то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x).
Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .
Такое решение может быть не единственным.
Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой, квантили уровней ¼ и ¾ — нижней и верхней квартилями соответственно.
В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:
при любом
— символ математического ожидания.
Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .
Время жизни как случайная величина
Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.
Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.
Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.
Функция выживания
В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x:
.
В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.
Функция
называется функцией выживания (survival function):
Функция выживания обладает следующими свойствами:
- убывает при ;
- ;
- ;
- непрерывна.
В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age) (как правило, лет) и соответственно при x >.
При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.
Функция выживания имеет простой статистический смысл.
Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.
Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:
.
Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.
Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.
В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).
Функция выживания может быть восстановлена по плотности:
Характеристики продолжительности жизни
С практической точки зрения важны следующие характеристики:
1. Среднее время жизни
,
2. Дисперсия времени жизни
,
где
,
Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением (standard deviation). Это более удобная величина, чем дисперсия, так как имеет ту же размерность, что исходные данные.
3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения
.
Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.
Аналитические законы смертности
Для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.д. естественно попытаться описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смертности с помощью простых аналитических формул.
Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где — предельный возраст.
В модели де Муавра при 0<x<
Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.
Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.
В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид
,
а кривая смертей:
.
Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида .
Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.
В этой модели
,
.
Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели
,
.
Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели
, .
В практике страхования эти параметры неизвестны и оцениваются по реальным данным.
Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события
В начало
Содержание портала
statistica.ru