Факториал в математике – Факториал — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы[править]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[8]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

где для и

Субфакториал[править]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

www.wikiznanie.ru

Тема урока: «Факториал числа». 5-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (302,2 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

Дидактические:
- ввести определение факториала числа;
- показать использование факториала при решении примеров.
Воспитательные:
- формирование системного мышления;
- создание у школьников положительной мотивации к выполнению умственной деятельности;
- повышение общей культуры учащихся.
Развивающие:
- развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся;
- развитие внимания, памяти.

Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.

Оборудование – презентация к уроку.

План урока:

Организационный момент – 1 мин.
Объяснение – 7 мин.
Закрепление – 33 мин.
Итог – 2 мин.
Постановка домашнего задания – 2 мин.

ХОД УРОКА

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Организационый момент	Проверяется готовность учеников к уроку.
2. Объяснение (слайды 1-4).	Сегодня у нас с вами очень интересная тема «Факториал числа». Быль: «Однажды на экзамене…» Преподаватель: Прочитайте выражение: . Студент: Единица, деленная на два-а-а!.. Плюс единица, деленная на три-и-и!..Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре!.. Преподаватель: Постойте, постойте…Почему вы кричите? Студент: Но там же написаны восклицательные знаки?!.. Давайте узнаем, что обозначает символ восклицательного знака в математике. Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n: (n! читается: «эн факториал»).	Записывают тему урока в тетрадь. Записывают определение в тетрадь.
3. Закрепление (слайды 5-9).	Давайте решим следующие примеры: 1. Вычисли: 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 10!. 2. Сравни: , , . 3. Приведи к несократимому виду дроби: , , , , , . 4. Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю: , , , . 5. Найди значение разностей: , , , . Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность ?	Решают примеры, опираясь на введенное определение.
4. Итог	Итак, что такое факториал числа?	Отвечают на поставленный вопрос.
5. Постановка домашнего задания.	Придумайте 5 примеров с использованием факториала числа.	Записывают домашнее задание.

Использованная литература:

Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.

5.05.2012

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Факториал

факториал это, факториал числа
Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Содержание

1 Свойства
- 1.1 Рекуррентная формула
- 1.2 Комбинаторная интерпретация
- 1.3 Связь с гамма-функцией
- 1.4 Формула Стирлинга
- 1.5 Разложение на простые числа
- 1.6 Связь с производной от степенной функции
- 1.7 Другие свойства
2 Обобщения
- 2.1 Двойной факториал
- 2.2 Кратный факториал
- 2.3 Неполный факториал
  - 2.3.1 Убывающий факториал
  - 2.3.2 Возрастающий факториал
- 2.4 Праймориал или примориал
- 2.5 Суперфакториалы
- 2.6 Субфакториал
3 См. также
4 Примечания

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

Связь с гамма-функцией

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Формула Стирлинга

Основная статья: Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое.

При этом можно утверждать, что

100! ≈ 9,33×10157;
1000! ≈ 4,02×102567;
10 000! ≈ 2,85×1035 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства

Для натурального числа n:

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке , имеющих ту же чётность, что и n.

Для нечётного n:

Для нечётного n:

Выведение формул

Формула для чётного n:

Выведение формулы:

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

Формула для нечётного n:

Выведение формулы: Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного n. Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде (n-1)!!) и осуществим некоторые тождественные алгебраические преобразования над знаменателем: Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для :

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так:

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением:

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

Например:

n = 7; k = 4, (n − k) + 1 = 4, 3k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Сюда перенаправляется запрос «Праймориал». На эту тему нужна отдельная статья.

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается pn# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так:

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

где для и

Субфакториал

Основная статья: Субфакториал

См. также

В Викисловаре есть статья «факториал» Имеется викиучебник по теме
«Реализация факториала на языке Си» Имеется викиучебник по теме
«Примеры реализации функции факториал»

Примечания

↑ Статья A000142 в OEIS
↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
↑ Статья A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com.
↑ Статья A002110 в OEIS
↑ Статья A000178 в OEIS
↑ Статья A055462 в OEIS

Математические знаки
Плюс ( + ) • Минус ( − ) • Знак умножения ( · или × ) • Знак деления ( : или / ) • Знак корня ( √ ) • Знак равенства ( =, ≈, ≡ и др.) • Знаки неравенства ( ≠, >, < и др.) • Знак бесконечности ( ∞ ) • Знак интеграла ( ∫ ) • Факториал ( ! ) • Вертикальная черта ( \| ) • Знак градуса ( ° ) • Минута градуса ( ′ ) • Секунда градуса ( ″ ) • Штрих ( ′ ) • Звёздочка ( * ) • Обратная косая черта, бэкслеш ( \ ) • Процент ( % ) • Промилле ( ‰ ) • Тильда ( ~ ) • Карет ( ^ ) • Циркумфлекс ( ̂ ) • Плюс-минус ( ± ) • Обелюс ( ÷ ) • Десятичный разделитель ( , или . )
Математика • История математических обозначений

Математические знаки

Плюс ( + ) • Минус ( − ) • Знак умножения ( · или × ) • Знак деления ( : или / ) • Знак корня ( √ ) • Знак равенства ( =, ≈, ≡ и др.) • Знаки неравенства ( ≠, >, < и др.) • Знак бесконечности ( ∞ ) • Знак интеграла ( ∫ ) • Факториал ( ! ) • Вертикальная черта ( | ) • Знак градуса ( ° ) • Минута градуса ( ′ ) • Секунда градуса ( ″ ) • Штрих ( ′ ) • Звёздочка ( * ) • Обратная косая черта, бэкслеш ( \ ) • Процент ( % ) • Промилле ( ‰ ) • Тильда ( ~ ) • Карет ( ^ ) • Циркумфлекс ( ̂ ) • Плюс-минус ( ± ) • Обелюс ( ÷ ) • Десятичный разделитель ( , или . )

Математика • История математических обозначений

факториал, факториал актобе, факториал в матлабе, факториал вычислить, факториал домофон, факториал примеры, факториал харьков, факториал челябинск, факториал числа, факториал это

Факториал Информацию О

Факториал Комментарии

Факториал
Факториал
Факториал Вы просматриваете субъект

Факториал что, Факториал кто, Факториал описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Факториал • ru.knowledgr.com

В математике, факториале неотрицательного целого числа n, обозначенный n!, продукт всех положительных целых чисел, меньше чем или равных n. Например,

Ценность 0! 1, согласно соглашению для пустого продукта.

операцией по факториалу сталкиваются во многих областях математики, особенно в комбинаторике, алгебре и математическом анализе. Его самое основное возникновение — факт, что есть n! способы устроить n отличные объекты в последовательность (т.е., перестановки набора объектов). Этот факт был известен, по крайней мере, уже в 12-м веке индийским ученым. Фабиан Стедмен в 1677 описал факториалы в применении к звону изменения. После описания рекурсивного подхода Стедмен дает заявление факториала (использующий язык оригинала):

Теперь природа этих методов — такой, что изменения на одном числе постигают [включает] изменения на всех меньших числах… настолько, что умелый Перезвон изменений на одном числе seemeth, чтобы быть сформированным, объединяясь умелых Перезвонов на всех меньших числах в одно все тело;

Примечание n было введено Кристианом Крэмпом в 1808.

Определение функции факториала может также быть расширено на аргументы нецелого числа, сохраняя его самые важные свойства; это включает более передовую математику, особенно методы от математического анализа.

Определение

Функция факториала формально определена продуктом

или отношением повторения

1 & \text {если} n = 0, \\

(n-1)! \times n & \text {если} n> 0

\end {случаи }\

Функция факториала может также быть определена при помощи правила власти как

Все вышеупомянутые определения включают случай

в первом случае в соответствии с соглашением, что продукт никаких чисел вообще равняется 1. Это удобно потому что:

Есть точно одна перестановка нулевых объектов (ни с чем, чтобы переставить, «все» оставляют в месте).
Отношение повторения, действительное для n> 0, распространяется на n = 0.
Это допускает выражение многих формул, таких как показательная функция, как ряд власти:

Это делает много тождеств в комбинаторике действительными для всех применимых размеров. Число способов выбрать 0 элементов из пустого набора. Более широко число способов выбрать (все) n элементы среди ряда n.

Функция факториала может также быть определена для ценностей нецелого числа, используя более передовую математику, детализированную в секции ниже. Это более обобщенное определение используется современными калькуляторами и математическим программным обеспечением, такими как Maple или Mathematica.

Заявления

Хотя у функции факториала есть свои корни в комбинаторике, формулы, включающие факториалы, происходят во многих областях математики.

Есть n! различные способы устроить n отличные объекты в последовательность, перестановки тех объектов.
Часто факториалы, кажется, в знаменателе формулы составляют факт, что заказ должен быть проигнорирован. Классический пример считает k-комбинации (подмножества k элементов) от набора с n элементами. Можно получить такую комбинацию, выбрав k-перестановку: последовательно выбирая и удаление элемента набора, k времена, для в общей сложности

:possibilities. Это, однако, производит k-комбинации в особом заказе, который каждый хочет проигнорировать; так как каждая k-комбинация получена в k! различный путем правильное число k-комбинаций —

Число:This известно как двучленный коэффициент, потому что это — также коэффициент X в.

Факториалы происходят в алгебре по различным причинам, такой как через уже упомянутые коэффициенты двучленной формулы, или посредством усреднения по перестановкам для symmetrization определенных операций.
Факториалы также поднимаются в исчислении; например, они происходят в знаменателях условий формулы Тейлора, где они используются в качестве условий компенсации из-за энной производной x быть эквивалентным n.
Факториалы также используются экстенсивно в теории вероятности.
Факториалы могут быть полезными, чтобы облегчить манипуляцию выражения. Например, число k-перестановок n может быть написано как

:while это неэффективно как средство вычислить то число, это может служить, чтобы доказать собственность симметрии двучленных коэффициентов:

Теория чисел

факториалов есть много применений в теории чисел. В частности n обязательно делимый всеми простыми числами до и включая n. Как следствие n> 5 — сложное число если и только если

Более сильный результат — теорема Уилсона, которая заявляет этому

если и только если p главный.

Формула Лежандра дает разнообразие главного p, происходящего в главной факторизации как

или, эквивалентно,

где обозначает сумму стандартных основных-p цифр n.

Единственный факториал, который является также простым числом, равняется 2, но есть много начал формы n! ± 1, названный началами факториала.

Все факториалы, больше, чем 1! даже, как они — вся сеть магазинов 2. Кроме того, все факториалы от 5! вверх сеть магазинов 10 (и следовательно имейте тянущийся ноль как их заключительную цифру), потому что они — сеть магазинов 5 и 2.

Серия аналогов

Аналоги факториалов производят сходящийся ряд: (см. e)

Хотя сумма этого ряда — иррациональное число, возможно умножить факториалы на положительные целые числа, чтобы произвести сходящийся ряд с рациональной суммой:

Сходимость этого ряда к 1 может быть замечена по факту, что его частичные суммы — меньше чем один обратным факториалом.

Поэтому, факториалы не формируют последовательность нелогичности.

Темп роста и приближения для большого n

Когда n растет, факториал n увеличивается быстрее, чем все полиномиалы и показательные функции (но медленнее, чем дважды показательные функции) в n.

Большинство приближений для n! основаны на приближении его естественного логарифма

Граф функции f (n) = регистрирует n! показан в числе справа. Это выглядит приблизительно линейным для всей рыночной стоимости n, но эта интуиция ложная.

Мы получаем одно из самых простых приближений для регистрации n! ограничивая сумму с интегралом сверху и ниже следующим образом:

который дает нам оценку

Следовательно регистрация n! Θ (n, регистрируют n) (см. Большое примечание O). Этот результат играет ключевую роль в анализе вычислительной сложности сортировки алгоритмов (см. вид сравнения). От границ на регистрации n! выведенный выше мы получаем это

Это иногда практично, чтобы использовать более слабые но более простые оценки. Используя вышеупомянутую формулу легко показано, что для всего n мы имеем

Для большого n мы получаем лучшую оценку для номера n, используя приближение Стерлинга:

Фактически, можно доказать, что для всего n у нас есть

Другое приближение для дано Srinivasa Ramanujan

Таким образом это еще меньше, чем следующий срок исправления формулы Стерлинга.

Вычисление

Если эффективность не беспокойство, вычислительные факториалы тривиально с алгоритмической точки зрения: последовательно умножение переменной, инициализированной к 1 целыми числами 2 до n (если таковые имеются), вычислит n, если результат помещается в переменную. На функциональных языках рекурсивное определение часто осуществляется непосредственно, чтобы иллюстрировать рекурсивные функции.

Главная практическая трудность в вычислительных факториалах — размер результата. Гарантировать, что точный результат соответствует для всех юридических ценностей даже самого маленького обычно используемого составного типа (8 битов подписали целые числа) потребует больше чем 700 битов, таким образом, никакая разумная спецификация функции факториала, используя типы фиксированного размера не сможет избежать вопросов переполнения. Ценности 12! и 20! самые большие факториалы, которые могут быть сохранены в, соответственно, 32-битные и 64-битные целые числа, обычно используемые в персональных компьютерах. Представление с плавающей запятой приближенного результата позволяет идти немного далее, но это также остается довольно ограниченным возможным переполнением. Большинство калькуляторов использует научное примечание с десятичными образцами с 2 цифрами и самый большой факториал, который судороги равняется тогда 69!, потому что 69! для ценностей n до 249 999 и до 20 000 000! для целых чисел.

Если точные ценности больших факториалов необходимы, они могут быть вычислены, используя арифметику произвольной точности. Вместо того, чтобы делать последовательное умножение, программа может разделить последовательность в две части, продукты которых — примерно тот же самый размер и умножают их использующий метод делить-и-побеждать. Это часто более эффективно.

Асимптотически лучшая эффективность получена, вычислив n от ее главной факторизации. Как зарегистрировано Питером Борвейном, главная факторизация позволяет n быть вычисленным вовремя O (n (зарегистрируйтесь, регистрация n регистрируют n)), при условии, что быстрый алгоритм умножения используется (например, алгоритм Schönhage-Штрассена). Питер Лушни представляет исходный код и оценки для нескольких эффективных алгоритмов факториала, с или без использования главного решета.

Расширение факториала к ценностям нецелого числа аргумента

Функции Гаммы и Пи

Помимо неотрицательных целых чисел, функция факториала может также быть определена для ценностей нецелого числа, но это требует более современных инструментов от математического анализа. Одна функция, которая «заполняет» ценности факториала (но с изменением 1 в аргументе) вызвана Гамма функция, обозначил Γ (z), определенный для всех комплексных чисел z кроме неположительных целых чисел, и данный, когда реальная часть z положительная

Его отношение к факториалам то, что для любого натурального числа n

Оригинальная формула Эйлера для Гамма функции была

Альтернативное примечание, первоначально введенное Гауссом, иногда используется. Функция Пи, обозначенный Π (z) для действительных чисел z не менее чем 0, определена

С точки зрения Гамма функции это —

Это действительно расширяет факториал в этом

В дополнение к этому функция Пи удовлетворяет то же самое повторение, как факториалы делают, но в каждой сложной стоимости z, где это определено

Фактически, это больше не отношение повторения, а функциональное уравнение.

Выраженный с точки зрения Гамма функции это функциональное уравнение принимает форму

Так как факториал расширен функцией Пи для каждой сложной стоимости z, где это определено, мы можем написать:

Ценности этих функций в полуцелочисленных значениях поэтому определены единственным из них; у каждого есть

от который из этого следует, что для n ∈ N,

Например,

Это также следует за этим для n ∈ N,

Например,

Функция Пи — конечно, не единственный способ расширить факториалы на функцию, определенную в почти всех сложных ценностях, и даже единственной, которая аналитична везде, где это определено. Тем не менее, это обычно считают самым естественным способом расширить ценности факториалов к сложной функции. Например, Боровская-Mollerup теорема заявляет, что Гамма функция — единственная функция, которая берет стоимость 1 в 1, удовлетворяет функциональное уравнение Γ (n + 1) = nΓ (n), мероморфна на комплексных числах и выпукла регистрацией на положительной реальной оси. Подобное заявление держится для функции Пи также, используя Π (n) = nΠ (n − 1) функциональное уравнение.

Однако там существуйте сложные функции, которые, вероятно, более просты в смысле аналитической теории функции и которые интерполируют ценности факториала. Например, ‘Гамма ‘-функция Адамара, которая, в отличие от Гамма функции, вся функция.

Эйлер также развил сходящееся приближение продукта для факториалов нецелого числа, которые, как может замечаться, эквивалентны формуле для Гамма функции выше:

Однако эта формула не обеспечивает практическое средство вычисления функции Пи или Гаммы, поскольку ее темп сходимости медленный.

Применения Гамма функции

Объем n-мерной гиперсферы радиуса R является

Факториал в комплексной плоскости

Представление через Гамма функцию позволяет оценку факториала сложного аргумента. Equilines амплитуды и фазу факториала показывают в числе. Позволить. Несколько уровней постоянного модуля (амплитуда) и постоянной фазы показывают. Сетка покрывает диапазон

с шагом единицы. Поцарапанная линия показывает уровень.

Тонкие линии показывают промежуточные уровни постоянного модуля и постоянной фазы. В полюсах не определены фаза и амплитуда. Equilines плотные около особенностей вдоль отрицательных целочисленных значений аргумента.

Для

Первые коэффициенты этого расширения —

где постоянный Эйлер и функция дзэты Риманна. Компьютерные системы алгебры, такие как Сейдж могут произвести много условий этого расширения.

Приближения факториала

Для больших ценностей аргумента,

факториал может быть приближен через интеграл

функция digamma, используя длительное представление части.

Этот подход происходит из-за Т. Дж. Стилтьеса (1894). Написание z! = exp (P (z)), где P (z) является

Стилтьес дал длительную часть для p (z)

p (z) = \cfrac {a_0} {z+

\cfrac {a_1} {z+

\cfrac {a_2} {z+

\cfrac {a_3} {z +\ddots}}} }\

Первые несколько коэффициентов

Есть неправильное представление это или

для любого комплекса z ≠ 0. Действительно, отношение через логарифм действительно только для определенного диапазона ценностей z около реальной оси, в то время как

Non-extendability к отрицательным целым числам

Отношение n! = n × (n − 1)! позволяет вычислять факториал для целого числа, данного факториал для меньшего целого числа. Отношение может быть инвертировано так, чтобы можно было вычислить факториал для целого числа, данного факториал для большего целого числа:

Отметьте, однако, что эта рекурсия не разрешает нам вычислять факториал отрицательного целого числа; использование формулы, чтобы вычислить (−1) потребовало бы деления на нуль, и таким образом блокирует нас от вычисления стоимости факториала для каждого отрицательного целого числа. (Точно так же Гамма функция не определена для неположительных целых чисел, хотя она определена для всех других комплексных чисел.)

Подобные факториалу продукты и функции

Есть несколько других последовательностей целого числа, подобных факториалу, которые используются в математике:

Двойной факториал

Продукт всех странных целых чисел до некоторого странного положительного целого числа n называет двойным факториалом n и обозначает n. Таким образом,

Например, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

Последовательность двойных факториалов для n = 1, 3, 5, 7… начинается как

: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135….

Двойное примечание факториала может использоваться, чтобы упростить выражение определенных тригонометрических интегралов, обеспечить выражение для ценностей Гамма функции в аргументах полуцелого числа и объеме гиперсфер, и решить много проблем подсчета в комбинаторике включая подсчет двоичных деревьев с маркированными листьями и прекрасным matchings в полных графах.

Мультифакториалы

Общее связанное примечание должно использовать многократные восклицательные знаки, чтобы обозначить многофакторное, продукт целых чисел в шагах два , три , или больше. Двойной факториал — обычно используемый вариант, но можно так же определить тройной факториал и так далее. Можно определить k-th факториал, обозначенный, рекурсивно для неотрицательных целых чисел как

1 & \text {если} n = 0 \\

n & \text {если} 0

хотя см. альтернативное определение ниже.

Некоторые математики предложили альтернативное примечание для двойного факториала и так же для других мультифакториалов, но это не вошло в общее употребление.

Таким же образом это не определено для отрицательных целых чисел и не определено для отрицательных ровных целых чисел, не определен для отрицательных целых чисел, делимых.

Альтернативное расширение многофакторного

Альтернативно, многофакторный z! может быть расширен на наиболее действительные числа и комплексные числа z, отметив это, когда z — еще один, чем положительное кратное число k тогда

Это последнее выражение определено намного более широко, чем оригинал; с этим определением, z! определен для всех комплексных чисел кроме отрицательных действительных чисел, равномерно делимых k. Это определение совместимо с более ранним определением только для тех целых чисел z удовлетворяющий z ≡ 1 ультрасовременный k.

В дополнение к распространению z! к наиболее комплексным числам z, у этого определения есть особенность работы для всех положительных реальных ценностей k. Кроме того, когда k = 1, это определение математически эквивалентно Π (z) функция, описанная выше. Кроме того, когда k = 2, это определение математически эквивалентно альтернативному расширению двойного факториала.

Primorial

primorial подобен факториалу, но с продуктом, взятым только по простым числам.

Учетверенный факториал

Учетверенный факториал не многофакторный n!; это — намного большее число, данное (2n)!/n!, старт как

:1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280….

Это также равно

\begin {выравнивают }\

2^n\frac {(2n)!} {n! 2^n} & = 2^n \frac {(2\cdot 4\cdots 2n) (1\cdot 3\cdots (2n-1))} {2\cdot 4\cdots 2n} \\[8 ПБ]

& = (1\cdot 2) \cdot (3 \cdot 2) \cdots ((2n-1) \cdot 2) = (4n-2)! ^ {(4)}.

\end {выравнивают }\

Суперфакториал

Нил Слоан и Саймон Плуфф определили суперфакториал в Энциклопедии Последовательностей Целого числа (Академическое издание, 1995), чтобы быть продуктом первых факториалов. Таким образом, суперфакториал 4 является

В общем

\mathrm {sf} (n)

= \prod_ {k=1} ^n k! = \prod_ {k=1} ^n k^ {n-k+1 }\

=1^n\cdot2^ {n-1 }\\cdot3^ {n-2 }\\cdots (n-1) ^2\cdot n^1.

Эквивалентно, суперфакториал дан формулой

\mathrm {sf} (n)

= \prod_ {0 \le i

который является детерминантом матрицы Vandermonde.

Последовательность запусков суперфакториалов (от) как

:1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000…

Альтернативное определение

Клиффорд Пиковер в его 1 995 книгах Ключи к Бесконечности использовал новое примечание, n$, чтобы определить суперфакториал

ru.knowledgr.com

Факториал — Википедия

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

Связь с гамма-функцией[править]

Формула Стирлинга[править]

Разложение на простые числа[править]

Связь с производной от степенной функции[править]

Другие свойства[править]

Двойной факториал[править]

Кратный факториал[править]

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Возрастающий факториал[править]

Праймориал или примориал[править]

Суперфакториалы[править]

Субфакториал[править]

Тема урока: «Факториал числа». 5-й класс

Презентация к уроку

Факториал

Содержание

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

Связь с гамма-функцией

Формула Стирлинга

Разложение на простые числа

Связь с производной от степенной функции

Другие свойства

Обобщения

Двойной факториал

Кратный факториал

Неполный факториал

Убывающий факториал

Возрастающий факториал

Праймориал или примориал

Суперфакториалы

Субфакториал

См. также

Примечания

Факториал Информацию О

Факториал Комментарии

Факториал • ru.knowledgr.com

Определение

Заявления

Теория чисел

Серия аналогов

Темп роста и приближения для большого n

Вычисление

Расширение факториала к ценностям нецелого числа аргумента

Функции Гаммы и Пи

Применения Гамма функции

Факториал в комплексной плоскости

Приближения факториала

Non-extendability к отрицательным целым числам

Подобные факториалу продукты и функции

Двойной факториал

Мультифакториалы

Альтернативное расширение многофакторного

Primorial

Учетверенный факториал

Суперфакториал

Альтернативное определение

Добавить комментарий Отменить ответ