Рубрика: Школьная жизнь

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Ответы@Mail.Ru: sin 40 это сколько?

щас SIN 40=0.6428 Таблицы Брадиса SIN 01=0.0175 SIN 02=0.0349 SIN 03=0.0523 SIN 04=0.0698 SIN 05=0.0872 SIN 06=0.1045 SIN 07=0.1219 SIN 08=0.1392 SIN 09=0.1564 SIN 10=0.1736 SIN 11=0.1908 SIN 12=0.2079 SIN 13=0.2250 SIN 14=0.2419 SIN 15=0.2588 SIN 16=0.2756 SIN 17=0.2924 SIN 18=0.3090 SIN 19=0.3256 SIN 20=0.3420 SIN 21=0.3584 SIN 22=0.3746 SIN 23=0.3907 SIN 24=0.4067 SIN 25=0.4226 SIN 26=0.4384 SIN 27=0.4540 SIN 28=0.4695 SIN 29=0.4848 SIN 30=0.5000 SIN 31=0.5150 SIN 32=0.5299 SIN 33=0.5446 SIN 34=0.5592 SIN 35=0.5736 SIN 36=0.5878 SIN 37=0.6018 SIN 38=0.6157 SIN 39=0.6293 SIN 40=0.6428 SIN 41=0.6561 SIN 42=0.6691 SIN 43=0.6820 SIN 44=0.6947 SIN 45=0.7071 SIN 46=0.7193 SIN 47=0.7314 SIN 48=0.7431 SIN 49=0.7547 SIN 50=0.7660 SIN 51=0.7771 SIN 52=0.7880 SIN 53=0.7986 SIN 54=0.8090 SIN 55=0.8192 SIN 56=0.8290 SIN 57=0.8387 SIN 58=0.8480 SIN 59=0.8572 SIN 60=0.8660 SIN 61=0.8746 SIN 62=0.8829 SIN 63=0.8910 SIN 64=0.8988 SIN 65=0.9063 SIN 66=0.9135 SIN 67=0.9205 SIN 68=0.9272 SIN 69=0.9336 SIN 70=0.9397 SIN 71=0.9455 SIN 72=0.9511 SIN 73=0.9563 SIN 74=0.9613 SIN 75=0.9659 SIN 76=0.9703 SIN 77=0.9744 SIN 78=0.9781 SIN 79=0.9816 SIN 80=0.9848 SIN 81=0.9877 SIN 82=0.9903 SIN 83=0.9925 SIN 84=0.9945 SIN 85=0.9962 SIN 86=0.9976 SIN 87=0.9986 SIN 88=0.9994 SIN 89=0.9998 SIN 90=1.0000 cos 0= 1.0000 cos 1= 0.9998 cos 2= 0.9994 cos 3= 0.9986 cos 4= 0.9976 cos 5= 0.9962 cos 6= 0.9945 cos 7= 0.9925 cos 8= 0.9903 cos 9= 0.9877 cos 10= 0.9848 cos 11= 0.9816 cos 12= 0.9781 cos 13= 0.9744 cos 14= 0.9703 cos 15= 0.9659 cos 16= 0.9613 cos 17= 0.9563 cos 18= 0.9511 cos 19= 0.9455 cos 20= 0.9397 cos 21= 0.9336 cos 22= 0.9272 cos 23= 0.9205 cos 24= 0.9135 cos 25= 0.9063 cos 26= 0.8988 cos 27= 0.8910 cos 28= 0.8829 cos 29= 0.8746 cos 30= 0.8660 cos 31= 0.8572 cos 32= 0.8480 cos 33= 0.8387 cos 34= 0.8290 cos 35= 0.8192 cos 36= 0.8090 cos 37= 0.7986 cos 38= 0.7880 cos 39= 0.7771 cos 40= 0.7660 cos 41= 0.7547 cos 42= 0.7431 cos 43= 0.7314 cos 44= 0.7193 cos 45= 0.7071 cos 46= 0.6947 cos 47= 0.6820 cos 48= 0.6691 cos 49= 0.6561 cos 50= 0.6428 cos 51= 0.6293 cos 52= 0.6157 cos 53= 0.6018 cos 54= 0.5878 cos 55= 0.5736 cos 56= 0.5592 cos 57= 0.5446 cos 58= 0.5299 cos 59= 0.5150 cos 60= 0.5000 cos 61= 0.4848 cos 62= 0.4695 cos 63= 0.4540 cos 64= 0.4384 cos 65= 0.4226 cos 66= 0.4067 cos 67= 0.3907 cos 68= 0.3746 cos 69= 0.3584 cos 70= 0.3420 cos 71= 0.3256 cos 72= 0.3090 cos 73= 0.2924 cos 74= 0.2756 cos 75= 0.2588 cos 76= 0.2419 cos 77= 0.2250 cos 78= 0.2079 cos 79= 0.1908 cos 80= 0.1736 cos 81= 0.1564 cos 82= 0.1392 cos 83= 0.1219 cos 84= 0.1045 cos 85= 0.0872 cos 86= 0.0698 cos 87= 0.0523 cos 88= 0.0349 cos 89= 0.0175 tg 1=0.0175 tg 2=0.0349 tg 3=0.0524 tg 4=0.0699 tg 5=0.0875 tg 6=0.1051 tg 7=0.1228 tg 8=0.1405 tg 9=0.1584 tg 10=0.1763 tg 11=0.1944 tg 12=0.2126 tg 13=0.2309 tg 14=0.2493 tg 15=0.2679 tg 16=0.2867 tg 17=0.3057 tg 18=0.3249 tg 19=0.3443 tg 20=0.3640 tg 21=0.3839 tg 22=0.4040 tg 23=0.4245 tg 24=0.4452 tg 25=0.4663 tg 26=0.4877 tg 27=0.5095 tg 28=0.5317 tg 29=0.5543 tg 30=0.5774 tg 31=0.6009 tg 32=0.6249 tg 33=0.6494 tg 34=0.6745 tg 35=0.7002 tg 36=0.7265 tg 37=0.7536 tg 38=0.7813 tg 39=0.8098 tg 40=0.8391 tg 41=0.8693 tg 42=0.9004 tg 43=0.9325 tg 44=0.9657 tg 45=1.0000 tg 46=1.0355 tg 47=1.0724 tg 48=1.1106 tg 49=1.1504 tg 50=1.1918 tg 51=1.2349 tg 52=1.2799 tg 53=1.3270 tg 54=1.3764 tg 55=1.4281 tg 56=1.4826 tg 57=1.5399 tg 58=1.6003 tg 59=1.6643 tg 60=1.7321 tg 61=1.8040 tg 62=1.8807 tg 63=1.9626 tg 64=2.0503 tg 65=2.1445 tg 66=2.2460 tg 67=2.3559 tg 68=2.4751 tg 69=2.6051 tg 70=2.7475 tg 71=2.9042 tg 72=3.0777 tg 73=3.2709 tg 74=3.4874 tg 75=3.7321 tg 76=4.0108 tg 77=4.3315 tg 78=4.7046 tg 79=5.1446 tg 80=5.6713 tg 81=6.3138 tg 82=7.1154 tg 83=8.1443 tg 84=9.5144 tg 85=11.4301 tg 86=14.3007 tg 87=19.0811 tg 88=28.6363 tg 89=57.2900 tg 1=57.2900 ctg 2=28.6363 ctg 3=19.0811 ctg 4=14.3007 ctg 5=11.4301 ctg 6=9.5144 ctg 7=8.1443 ctg 8=7.1154 ctg 9=6.3138 ctg 10=5.6

Вопрос: 40 — в каких единицах (градусах или радианах)

touch.otvet.mail.ru

Таблица синусов углов (градусы, значения)

В данной таблице представлены значения синусов от 0° до 360°. Таблица синусов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен синус угла, просто найдите нужный градус в таблице. Для начала короткая версия таблицы.

https://uchim.org/matematika/tablica-sinusov — uchim.org

Таблица синусов для 0°-180°

Таблица синусов для 181°-360°

uchim.org

Ответы@Mail.Ru: Помогите с тригонометрией! sin16+sin24+sin40

sin16+sin24=2sin((16+24)/2)*cos((16-24)/2)=2sin20*cos(-4)=2sin20*cos4 sin40=sin(2*20)=2sin20*cos20 тогда получаем: 2sin20*cos4+2sin20*cos20=2sin20(cos4+cos20)=2sin20*2cos12*soc8=4sin20*cos12*cos8

<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/iq5P?0=118019″ target=»_blank»>Артем посмотри здесь, страница 225</a>

<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/4huK?0=261165″ target=»_blank»>Артем посмотри здесь, страница 324</a>

<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/4huK?0=222733″ target=»_blank»>Артем посмотри здесь, страница 319</a>

touch.otvet.mail.ru

Второй признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Треугольники
5. Второй признак равенства треугольников

Теорема

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, так как AB = A₁B₁,  A = A₁, B = B₁.

Доказательство:

Дано: ABC, A₁B₁C₁, AB = A₁B₁,  A = A₁, B = B₁.

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Рассмотрим ABC и A₁B₁C₁. Наложим их друг на друга так, чтобы совместились: вершины A и A₁ и равные стороны AB и A₁B₁. При этом вершины C и C₁ должны быть по одну сторону от прямой A₁B₁.

Поскольку A = A₁ и B = B₁, то сторона AC наложится на луч A₁C₁, а сторона BC — на луч B₁C₁. Поэтому общая точка сторон  AC и BC, вершина C, окажется лежащей как на луче A₁C₁, так и на луче B₁C₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной C₁. Значит, совместятся стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁.

Таким образом, ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, поэтому они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 129, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 131, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 179, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 204, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 329, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 342, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 522, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

budu5.com

Второй и третий признаки равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PR;&angmsd;N=&angmsd;R;&angmsd;M=&angmsd;P.

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

2. Так как &angmsd;N=&angmsd;R и &angmsd;M=&angmsd;P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PR;KN=TR;MK=PT.

Опять попробуем совместить треугольники ΔMNK и ΔPRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).
  

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

Об этом говорят сказки.

Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросёнка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

www.yaklass.ru

math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Определение

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.

Определение

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

Теорема

Пусть на прямой $AB$ точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Если от лучей $OA$ и $OB$ в разные полуплоскости отложить лучи $OC$ и $OD$ соответственно так, чтобы $\angle COA=\angle DOB$, то точки $C, O$ и $D$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Предположим противное.

Тогда продолжим луч $CO$ за точку $O$: получим луч $OC_1$

Тогда $\angle COA=\angle BOC_1$, как вертикальные, и от луча $OB$ отложены два равных угла $\angle DOB$ и $\angle COC_1$, что противоречит аксиоме.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1$.

Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$, то согласно аксиоме треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник $A_1B_1C_1$ так, что вершина $A$ совместиться с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

В силу аксиомы, так как $AB=A_1B_1$ и $AC=A_1C_1$, то стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$ совместиться.

В частности совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$.

Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны $BC$ и $B_1C_1$.

Итак, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместились.

Следовательно, согласно определению, они равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A$, сторона $AB$ – с равной ей стороной $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по сторона $AC$ наложится на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ – на луч $B_1C_1$.

Поэтому вершина $C$ – общая точка сторон $AC$ и $BC$ – окажется как лежащей на луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$ и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной $C_1$.

Значит, совместятся стороны $AC$ и $A_1C_1$, $BC$ и $B_1C_1$.

Итак треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместятся.

Следовательно, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$.

Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ – C вершиной $B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой $A_1B_1$.

Возможны три случая:

1. луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$

2. луч $C_1C$ совпадает с одной из сторон этого угла

3. луч $C_1C$ проходит вне угла $A_1C_1B_1$.

Рассмотрим первый случай.

По условию теоремы $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$, следовательно, треугольники $A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ – равнобедренные.

По теореме $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, поэтому $\angle A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$.

Итак, $AC=A_1C_1, BC=B_1C_1, \angle C=\angle C_1$.

Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим второй случай.

Пусть луч $C_1C$ совпадает со стороной $C_1B$ угла $A_1C_1B_1$.

Тогда, так как $AC=A_1C_1$, то треугольник $СA_1C_1$ равнобедренный, и ,следовательно, $\angle C=\angle C_1$.

Тогда треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим третий случай.

Третий случай доказывается аналогично первому.

math-public/priznaki-ravenstva-treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/05/06 11:15 — labreslav

wiki.sch239.net

Второй признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть АВС и А₁В₁С₁ — треугольники, у которых АВ=А₁В₁, ∠А=∠А₁, ∠В=∠В₁. Доказать, что ∆ АВС= ∆ А₁В₁С₁.

Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ — с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Так как ∠А=∠А1 и ∠В=∠В1, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС — на луч В₁С₁. Поэтому вершина С (общая точка сторон АС и ВС) окажется лежащей на лучах А₁С₁ и В₁С₁, а следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной С₁. Значит, совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁. Получаем, что ∆ АВС и ∆ А₁В₁С₁ полностью совместятся, то есть они равны.

Пример.

Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, поведённые к боковым сторонам, равны между собой.

Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=ВС. АМ и CN — биссектрисы. Рассмотрим треугольники АМВ и CNB. У них угол В — общий, АВ=ВС по условию, углы NСВ и МАВ равны как половинки двух равных углов при основании равнобедренного треугольника.

Тогда получаем, что ∆ АМВ=∆ CNB по второму признаку. Откуда следует, что АМ=СN.

Пример.

Точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD квадрата ABCD так, что ∠FВС=∠ЕDА. Доказать, что ∆ СBF= ∆ ADE.

Рассмотрим ∆ СBF и ∆ ADE. У них сторона ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, ∠ВСF=∠DAE, так как все углы квадрата прямые, ∠FВС=∠ЕDА по условию задачи. А следовательно, ∆ СBF и ∆ ADE равны по второму признаку равенства треугольников.

Пример.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠EAD и ∠EBC — равны. Доказать, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ=7 см?

Рассмотрим ∆ СВЕ и ∆ ADE. У них сторона АЕ=ВЕ, так как Е — середина отрезка АВ. ∠EAD и ∠EBC равны по условию задачи. А ∠СЕВ и ∠AED равны как вертикальные. Получаем, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны по второму признаку. Следовательно, у них соответственные стороны равны. Значит, сторона AD=СВ. То есть AD=7 см.

videouroki.net

Второй и третий признаки равенства треугольников. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Для начала вспомним из материалов предыдущих уроков, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке указаны два равных отрезка и два равных угла.

Рис. 1. Углы А и А₁ равны, АВ = CD

Рассмотрим теперь равенство треугольников. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В таком случае совместятся все стороны и углы треугольников.

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

Теперь мы готовы сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .      

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А₁, , отрезки АС и А₁С₁ совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадет с .

Теорема доказана.

Рис. 3. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и . 

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате

данного действия имеем три случая:

1. Луч СС₁ внутри .

interneturok.ru

Второй признак равенства треугольников — Мегаобучалка

Билет № 1

Первый признак равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольника по двум сторонам и углу между ними формулируется в виде:

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁, у которых AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, А= А₁. Докажем, что ΔABC=ΔA₁B₁C₁. Так как A= A₁ то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной A₁ а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Поскольку АВ=A₁B₁, AC=A₁C₁ то сторона АВ совместится со стороной A₁B₁ а сторона АС — со стороной A₁C₁ в частности, совместятся точки В и В₁ С и С₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, А= А₁.

Доказать: ΔABC=ΔA₁B₁C₁

Доказательство. A= A₁ ═> ΔABC можно наложить на ΔА₁В₁С₁ так, что А→A₁ а АВ и АС наложатся на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

АВ=A₁B₁, AC=A₁C₁ ═> АВ → A₁B₁ а АС → A₁C₁ В частности, В → В₁ С → С₁. Следовательно, ВС → В₁С₁. Итак, ΔABC → ΔA₁B₁C₁ полностью, значит, ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.

Определение. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Четырехугольник ABCD имеет стороны AB║DC, а сторона BC║AD. Следовательно ABCD –параллелограмм. АС и ВD – диагонали параллелограмма.

Свойства:

1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD).

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (BF=FD, AF=FC).

3) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰ (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180⁰)

Признаки:

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

Запись на доске:

Свойства:

1) AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD.

2) BF=FD, AF=FC.

3) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180⁰)

Признаки:

1) Если ABСD — четырёхуг., и AB║DC и AB=DC, то – ABСD парал-м.

2) Если ABСD — четырёхуг., и AB=DC, BC=AD, то – ABСD парал-м.

3) Если ABСD — четырёхуг., и BF=FD, AF=FC, то – ABСD парал-м..

Задача.

Билет № 2

Второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам формулируется в виде теоремы.

Теорема: Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.

Доказательство:РассмотримΔABC и ΔA₁B₁C₁, у которых AB=A₁B₁, А= А₁, ÐB=ÐB_1. Докажем, что ΔABC=ΔA₁B₁C_1. Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, сторона AB – со стороной A₁B₁, а вершины C и C₁ оказались по одну сторону со стороны A₁B₁. Поскольку ÐA=ÐA₁, ÐB=ÐB₁, то сторона AC наложится на сторону A₁C₁, а сторона BC – на B₁C₁. Вершина C общая точка сторон AC и BC окажется как на стороне A₁C₁ так и на стороне B₁C₁, т.е. совместится с общей точкой этих сторон C₁. Значит стороны AC и A₁C₁, BC и B₁C₁ совместятся, следовательно, и совместятся треугольники ABC и A₁B₁C₁. Отсюда следует, что они равны: ∆ABC=∆A₁B₁C₁

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁, AB=A₁B₁, А= А₁, ÐB=ÐB_1.

Доказать: ΔABC=ΔA₁B₁C₁

Доказательство:Наложим ΔABC на ΔA₁B₁C₁ так, чтобы A → A₁, AB → A₁B₁, а вершины C и C₁ оказались по одну сторону со стороны A₁B₁.

ÐA=ÐA₁, ÐB=ÐB₁ ═>AC наложится на A₁C₁, а сторона BC – на B₁C₁.

C AC, C BC ═> C A₁C₁, C B₁C₁, ═> С→C₁.

Значит стороны AC → A₁C₁, BC → B₁C₁, ═> ΔABC → ΔA₁B₁C₁.

Значит, ∆ABC=∆A₁B₁C₁

megaobuchalka.ru

Задачи на второй признак равенства треугольников

Рассмотрим некоторые задачи на второй признак равенства треугольников.

1)

     Дано:

∠AMK=∠BKM,

∠AKB=∠BMA

Доказать: ∆AKM=∆BMK.

Сначала проведем анализ задачи.

    Выделим треугольники, равенство которых надо доказать, разными цветами.

Цветовая визуализация сразу же дает подсказку — треугольники имеют общую сторону MK.

Кроме того, по условию, данные треугольники имеют равные углы AMK и BKM.

Для доказательства равенства треугольников не хватает равенства еще одной пары элементов.

В условии сказано, что углы AKB и BMA равны. Угол AKM равен сумме углов AKB и BKM, угол BMK —  сумме углов BMA и AMK. Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы. Значит, углы AKM и BMK равны.

Теперь запишем доказательство.

Доказательство:

Рассмотрим ∆AKM и ∆BMK.

1) MK — общая сторона.

2) ∠AMK=∠BKM (по условию).

Следовательно, ∆AKM=∆BMK (по стороне и двум прилежащим к ней углам, то есть, по второму признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

2)

     Дано:

AB∥CD,

AB=CD

Доказать: ∆AOB=∆DOC.

Анализ задачи.

     Выделим треугольники AOB и DOC разными цветами.

По условии, данные треугольники имеют одну пару равных элементов — стороны AB и CD равны.

Видим пару равных вертикальных углов AOB и DOC. Однако, они нам не подходят — раз равные   стороны AB и CD, углы должны быть рядом с ними.

Чтобы определить равные углы этих треугольников, можно воспользоваться подсказкой.

Так как прямые AB∥CD, ищем и находим две пары равных внутренних накрест лежащих углов.

Все три пары равных элементов для второго признака равенства треугольников имеются. Теперь можно перейти к записи доказательства.

Доказательство:

1) AB=CD (по условию).

2) ∠ABO=∠DCO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BC).

3) ∠BAO=∠CDO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей AD).

Следовательно, ∆AOB=∆DOC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

3)

     Дано:

∆CFD — равнобедренный с основанием CD,

∠AFC=∠BFD

Доказать: ∆AFB — равнобедренный.

Анализ задачи:

     Чтобы доказать, что треугольник AFB — равнобедренный, нужно доказать либо равенство двух      его сторон: AF=BF, либо равенство двух углов: ∠A=∠B.

Равенство сторон и углов следует из равенства треугольников.

Значит, нужно доказать равенство пары треугольников со сторонами AF и BF и углами A и B. Подходят треугольники AFC и BFD.

Выделим эти треугольники разными цветами.

Их углы AFC и BFD равны по условию. Также из условия известно, что ∆CFD — равнобедренный с основанием CD. Из этого следует, что его боковые стороны CF и DF равны и углы при основании равны ∠FCD=∠FDC. Равенство сторон CF и DF можно использовать для доказательства равенства треугольников AFC и BFD, а что делать с углами?

Углы ACF и BDF смежные с углами FCD и FDC. А так как ∠FCD=∠FDC, то и смежные с ними углы ACF и BDF тоже равны.

Три пункта для второго признака равенства треугольников получили. Переходим к записи доказательства.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  AFC и BFD.

1) ∠AFC =∠BFD (по условию).

2) CF=DF (как боковые стороны равнобедренного треугольника CFD).

3) ∠ACF=∠BDF (как смежные с равными углами: ∠FCD=∠FDC как углы при основании равнобедренного треугольника CFD).

Следовательно, ∆AFC = ∆BFD (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF. Значит, ∆AFB — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

PPTX в JPG | Zamzar

www.zamzar.com

Бесплатный он-лайн конвертер PPTX

Общий коэффициент рождаемости, общий коэффициент смертности, коэффициент естественного прироста, коэффициент миграционного прироста, специальный коэффициент рождаемости

Численность населения города на начало года составляла 81 тыс. чел. За год родилось 840 чел, умерло 790 чел. Сальдо миграции составило 155 чел. Удельный вес женщин в возрасте 15-49 лет составляет 39% от общей численности населения. Определите общий коэффициент рождаемости, общий коэффициент смертности, коэффициент естественного прироста, коэффициент миграционного прироста, специальный коэффициент рождаемости.

Общий коэффициент рождаемости определяется по формуле

Область значений функции

Всем здравствуйте! Тренируемся находить область значений функции! Кто еще не понял, что такое область определения (а она нам тоже понадобится непременно), тому сюда.

Что же такое область значений функции? Это та “часть” оси ординат, та область, где можно наткнуться на какие-либо точки, принадлежащие функции. То есть можно сказать, что если область значений найдена, то все точки функции находятся в ней, не выше и не ниже. Это почти тоже самое, что и область определения, только теперь это “область определения по оси ординат”. Здесь никаких особых ограничений нет, поэтому, чтобы найти область значений, нужно иметь представление об элементарных функциях – например, как выглядят парабола или гипербола, как определить, направлены ли ветви параболы вверх или вниз и т.п. Все это рассказано и показано здесь.

Ну, поехали!

Примеры.

1. Найдите область значений функции

Решение: функция – квадратичная, представляет собой параболу с положительным старшим коэффициентом, ветви направлены вверх. Понятно тогда, что весь график располагается выше координаты своей вершины (вершина – самая низшая точка). Ордината вершины: , тогда .

2. Найдите область значений функции

Решение: область определения функции ( ] [).

В точках (-7) и (3) двучлен обращается в ноль. Поскольку результат извлечения корня – величина положительная, то вся функция располагается выше оси абсцисс, и ее область значений [)

3. Найти область значений функции

Область определения – вся числовая ось, кроме ноля. Можем подставить любое число из области определения, при этом функция всегда отрицательна.

Из графика также видно, что

4. Найти область значений функции:

Решение. Область определения:

На концах отрезка функция принимает значение 1, под корнем имеем квадратный двучлен, наибольшее значение он принимает в вершине, при , значит, функция будет принимать в этой точке наименьшее значение.

Подставив 1, получаем

Ответ:

 

5. Найдите область значений функции:

Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы , область значений которой легко найти: ветви направлены вверх, поэтому низшая точка – вершина параболы. Однако заметим также, что если аргумент функции под знаком модуля, то график такой функции может быть построен с помощью отражения части  графика, лежащей в правой вертикальной полуплоскости, в левую полуплоскость(см. рисунок). Тогда от нашей параболы останется только часть, лежащая правее оси ординат, и именно она будет отражена относительно оси y, и тогда низшей точкой окажется та, в которой график пересечет ось ординат, а это – значение свободного члена (коэффициента с), который у нас равен (-6).

Область значений нашей функции [)

6. Найдите область значений функции:

Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы . Так как все выражение находится под знаком модуля, то для  того, чтобы построить такой график, нужно отразить всю часть графика, расположенную ниже оси х, вверх, поэтому [).

7. Найдите область значений функции:

Данная функция получена преобразованием обычной гиперболы. Данная функция не существует при , или .  При  второе слагаемое обращается в ноль, и функция стремится к  значению , причем можно заметить, что при положительных больших значениях х данная функция приближается к 2 снизу, а при отрицательных  – сверху.

Ответ:

8. Найти область значений функции:

Решение. Область определения:

При  функция принимает наибольшее значение ,

При x, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю. Но мы запишем область значений от меньшего к большему:

Ответ: (]

easy-physic.ru

Область значений функции, теория и примеры

Область значений основных элементарных функций

1. Для линейной функции область значений .
2. Для обратной пропорциональности, то есть функции заданной формулой , область значений: .
3. Значение , где дискриминант, называется ординатой вершины параболы, задаваемой уравнением .

Действительно, абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле , тогда

Итак, для квадратичной функции : если , то ветки параболы направлены вниз и значение является наибольшим значением функции, то есть ; если , то ветки направлены вверх и значение является наименьшим значением функции, то есть .

1. Для логарифмической функции область значений .
2. Для показательной функции область значений .
3. Для тригонометрических функции область значений , для область значений — множество всех действительных чисел.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х 

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х.            (наз.гипербола)

2. у=х^2.          (наз. парабола)

3.у=3х+7.         (наз. прямая)

4. у= √ х.           (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. 

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

 Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим  Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти  D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

 

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7], 

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Графический способ решения уравнений: алгоритм и примеры графиков
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства функции: разбираем на примере

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Функция, область определения, множество значений, четность, периодичность, график, монотонность: возрастание, убывание, нули. Тесты

Тестирование онлайн

Понятие функции

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y — зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения:

D(f) — значения аргумента. E(f) — значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x₀ соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «взбираться» вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «скатываться» вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четные и нечетные функции

Четная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T — это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

fizmat.by

Область определения и область значения функции.

Тема урока: «Область определения и область значения функции».

Лаврентьева Н. С.

МБОУ «Гимназия»

г. Протвино

Что такое «функция»?

Определение функции:

Функцией называется зависимость между двумя переменными (У и Х) в которой каждому значению независимой переменной (Х) соответствует единственное значение зависимой переменной (У).

Независимую переменную называют — аргумент .

Значения зависимой переменной называют значениями функции .

Запись У=f (X) читается: У – функция от Х.

Область определения и область значений функции

Х

Y

x

y

Е(f) – область значений функции

D(f) – область определения функции

у

12

10

У=f (X)

8

6

4

2

0

х

-12

4

-2

-6

-10

2

-8

-4

6

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

Область определения и множество значений функции.

• Все значения независимой переменной образуют область определения функции — D (f).

• Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции – E (f).

у

12

10

8

6

4

D (f) = [-9; 11].

2

0

х

-10

4

-2

-12

-6

2

-8

-4

6

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

у

12

10

8

E (f) = [-5;12].

6

4

2

0

х

-12

4

-2

-10

-6

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

у

12

10

8

6

4

2

0

х

-12

-10

-6

4

-2

2

-8

-4

6

8

10

12

-2

E (f).

-4

-6

-8

D (f).

-10

Область определения функции

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (х) D(х)

Все действительные числа

Все действительные числа

Х+1 ≠0 ⇒ Х≠-1

2х-6 ≥0 ⇒ 2х≥6 ⇒ х≥3

Множество значений функции

Множеством значений функции называют множество всех значений которые может принимать переменная у Е(у)

Все действительные числа

у ≥0

у ≠0

у≥0

у

у

у=х-2

у= |х|

0 1 х

0 1 х

у

у

у

0 1 х

0 1 х

0 1 х

Тема урока: «Свойства функций».

16.09.2016 г.

1.Возрастание и убывание

функции

Функция называется возрастающей на

множестве Х , если большему значению

аргумента из множества Х соответствует

большее значение функции.

Если

Х 1 , то У 2 У 1. -10 «

Возрастающая функция.

у

у 2

у 1

х 1

х 2

х

0

Х 2 Х 1 , то У 2 У 1.

-10

Возрастание и убывание

функции

Функция называется убывающей на

множестве Х , если большему значению

аргумента из множества Х соответствует

меньшее значение функции.

Если

Х 1 , то У 2 1. -10 «

Убывающая функция.

у

у 1

х 2

х

0

х 1

у 2

Х 2 Х 1 , то У 2 1.

-10

1. -4 Возрастание и убывание квадратичной функции «

Возрастание и убывание квадратичной функции

5

у

Х

у

-2

-1

0

1

-3

-4

0

5

Функция убывает

при x

1

0

1

2

4

3

-1

-2

х

Х

у

4

2

1

3

5

-4

-3

0

-3

Функция возрастает

при x 1.

-4

Возрастание и убывание квадратичной функции

у

12

10

8

6

4

2

0

х

4

-12

-2

-6

-10

2

-8

-4

6

8

10

12

-2

-4

-6

-8

-10

Назовите промежутки возрастания и убывания функции

0 (график расположен выше оси ОХ) при х  (- ∞; 1) U (3; +∞) , y (график расположен ниже OX) при х  (1;3) «

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.

y 0 (график расположен выше оси ОХ) при х  (- ∞; 1) U

(3; +∞) ,

y (график расположен ниже OX) при х  (1;3)

0 10 8 6 4 2 0 х -12 -2 -10 4 -6 2 -8 -4 6 8 12 10 -2 -4 -6 -8 -10 «

у

12

У0

10

8

6

4

2

0

х

-12

-2

-10

4

-6

2

-8

-4

6

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

у

12

У

10

8

6

4

2

0

х

-2

4

-12

-6

-10

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

3. Нули функции

Нулем функции y = f (x ) называется такое значение аргумента x 0 , при котором функция обращается в нуль :

f (x 0 ) = 0 . Нули функции — абсциссы точек пересечения с Ох

x 1 ,x 2 — нули функции

у

У=0

Нули

функции

12

10

8

6

4

2

х

0

-6

-12

-10

-2

4

2

-8

6

-4

8

12

10

-2

-4

-6

-8

-10

4. Наибольшее и наименьшее значения

Найдите наименьшее и наибольшее

значения функции

y

y = f(x)

3

x

-1

-3

0

2

1

-1

-2

y наиб = 3

y наим = -2

№ 35

№ 36

Домашняя работа 1) пункт 2 ( Знать определения ) 2) Составить ОК

Спасибо за урок! Всем удачи!

multiurok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

      Определение. Пусть   X   – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве   X   задана числовая функция,  если указано правило, с помощью которого каждому числу   x   из множества   X   ставится в соответствие некоторое число.

      Это принято обозначать так:

y = f (x),

причем в этой записи   x   называют аргументом функции  или независимой переменной, а   y   называют значением функции,  соответствующим аргументу   x .

      Множество   X   называют областью определения функции   f   и обозначают   D ( f ) .   Множество   Y   всех возможных значений функции   y = f (x)   называют множеством значений функции   f   и обозначают   E ( f )   (рис. 1).

Рис.1

Примеры решения задач

      Часто в задачах известна формула, задающая функцию   f ,   и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции   y = f (x)». В некоторых задачах требуется найти не только область опредения функции, но и множество ее значений.

      Задача 1. Найти область определения функции

      Решение. Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа   x⁴   на число   (3 + x) .   Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число   0 ,   то число   (3 + x)   не может равняться   0 ,   то есть   .

      Ответ.   .

      Задача 2. Найти область определения функции

      Решение. Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

которое эквивалентно неравенству

и может быть записано в виде

.

      Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

      Ответ.   .

      Задача 3. Найти область определения функции

      Решение. Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

(1)

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

получим

      Таким образом, система (1) эквивалентна системе

      Решением этой системы является интервал

      Ответ. .

      Задача 4 . Найти множество значений функции

y = 3sin x + 4cos x

      Решение. Воспользовавшись формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента), получим

y = 5 sin (x + φ) ,

где

      Поскольку множеством значений функции   y = sin (x + φ)   является отрезок   [–1, 1],   то множеством значений функции   y = 5 sin (x +φ)   будет отрезок   [–5, 5].

      Ответ. .

      Задача 5 . Найти множество значений функции

y = x² + 6x + 8

      Решение. Поскольку

и для каждого числа существуют решения уравнения

x² + 6x + 8 = y ,

определяемые формулой

то множеством значений функции   y = x² + 6x + 8   будет множество   .

      Ответ. .

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Понятие функции. Область определения и область значений функции. Свойства функций

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные сведения о координатной плоскости, функции;

·  повторить основные свойства функции.

Материал урока

Начнём мы с вами с координатной плоскости.

Таким образом, мы задали на плоскости прямоугольную систему координат.

Определение.

Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Повторим определение функции.

Определение.

Зависимость одной переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х из определённого множества D соответствует одно определённое значение у, называется функцией от переменной х.

Перед нами графики двух зависимостей.

Мы должны определить, какая из них является функцией, а какая нет. В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Давайте посмотрим на первый график.

В общем виде любую функцию можно записать так y = f(x). Например, для функции y= 7x – 14 можно записать, что f(x) = 7x – 14, это одно и тоже. Под буквой f понимают некоторый набор действий над переменной x, в данном случае умножение на 7 и вычитание 14.

Переменную x называют независимой или аргументом функции, а y — зависимой (она зависит от x).

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции и аргументы названы разными буквами. Действительно, функцию и аргумент можно называть любой буквой латинского или греческого алфавитов.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Возьмём, например, функцию y = 7x – 4. Можно записать f(x) = 7x – 4. Это линейная функция, графиком которой, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек. Найдём значение этой функции, например, при x = 1 и x = -1. Для этого подставим в функцию вместо x сначала 1, затем -1. Тогда получим, что:

f(1) = 7 · 1 – 4 = 7 – 4 =3

Получаем точку с координатами (1; 3).

f(-1) = 7 · (-1) – 4 = -7 – 4 =-11

Получаем точку с координатами (-1; -11).

Проведём прямую через полученные точки. Мы изобразили график функции y = 7x – 4.

Взяв некоторое x, мы получаем соответствующее y. Эти значения и являются координатами точек графика. Если перебрать все возможные значения x, то мы получим множество точек, изображение которых на координатной плоскости и называют графиком.

Вспомним определение.

Определение.

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Существует три способа задания функции.

Функция может быть задана формулой.

Например, f(x) = 5x + 1.

Функция может быть задана таблицей значений аргумента и функции.

Например,

Здесь сразу указаны координаты точек графика функции.

Функция можно задать словесно.

Например, каждому натуральному числу x, из отрезка [10; 20], поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на пять. Построить график такой функции не составит труда. Для этого составим таблицу значений аргумента и функции.

Аргументами этой функции будут натуральные числа из отрезка от десяти до двадцати. А значениями функции будут остатки от деления соответствующих аргументов на пять.

Теперь давайте поговорим об основных свойствах функции.

Первое свойство о котором мы поговорим – это область определения.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции (пишут D(f)),

Следующее свойство – область значений функции. Все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции (пишут E(f)). В скобках указывают букву, которой названа функция.

Пример.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Пример.

Следующее свойство, которое мы рассмотрим – нули функции.

Определение.

Значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное нулю, называют нулями функции.

Рассмотрим пример.

Пример.

В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.

Пример.

Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.

Например, функция y = x² + 6.

На графике это будет выглядеть так.

График не пересекает ось икс ни в одной точке.

Теперь поговорим о промежутках знакопостоянства функции.

Определение.

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки из области определения, на которых данная функция принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.

Выполните задание. Запишите промежутки знакопостоянства функции.

Осталось рассмотреть ещё одно свойство. Промежутки монотонности функции.

Определение.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Определение.

Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Определение.

Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

Пример.

Найдём промежутки монотонности данной функции.

Выполним задание, где нужно описать свойства функции.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили такие понятия как координатная плоскость, функция, график функции, повторили основные свойства функции.

videouroki.net