Второй признак – 2 признак равенства треугольников | Треугольники

Содержание

Второй признак равенства треугольников / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Второй признак равенства треугольников

Теорема

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A1B1C1, так как AB = A1B1A = A1B = B1.


Доказательство:

Дано: ABC, A1B1C1

, AB = A1B1A = A1B = B1.

Доказать: ABC = A1B1C1

Доказательство:

Рассмотрим ABC и A1B1C1. Наложим их друг на друга так, чтобы совместились: вершины A и A1 и равные стороны AB и A1B1. При этом вершины C и C1 должны быть по одну сторону от прямой A1B1.

Поскольку A = A1 и B = B1, то сторона

AC наложится на луч A1C1, а сторона BC - на луч B1C1. Поэтому общая точка сторон  AC и BC, вершина C, окажется лежащей как на луче A1C1, так и на луче B1C1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной C1. Значит, совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1.

Таким образом, ABC и A1B1C1 полностью совместятся, поэтому они равны, что и требовалось доказать.


Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 129, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 131, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 179, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 204, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 329, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 342, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 522, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© 2019 - budu5.com, Буду отличником!

budu5.com

Второй и третий признаки равенства треугольников — урок. Геометрия, 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

MN=PR;∡N=∡R;∡M=∡P.

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?


1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

 

2. Так как ∡N=∡R и ∡M=∡P, то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

 

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

 

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PR;KN=TR;MK=PT.

 

Опять попробуем совместить треугольники ΔMNK и ΔPRT наложением и убедиться, что соответственно равные стороны гарантируют и равенство соответственных углов этих треугольников, и они полностью совпадут.

 

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и \(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.


Пусть \(O\) — середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN=PR, KN=TR. Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

 

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит, перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

 

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).

  

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

 

 

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

 

Об этом говорят сказки.

Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросёнка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

 

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

 

 

И в заключение ещё раз вспомним все признаки равенства треугольников.

 

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

  

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

www.yaklass.ru

math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Определение

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.

Определение

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

Теорема

Пусть на прямой $AB$ точка $O$ лежит между точками $A$ и $B$. Если от лучей $OA$ и $OB$ в разные полуплоскости отложить лучи $OC$ и $OD$ соответственно так, чтобы $\angle COA=\angle DOB$, то точки $C, O$ и $D$ лежат на одной прямой.

Доказательство

Предположим противное.

Тогда продолжим луч $CO$ за точку $O$: получим луч $OC_1$

Тогда $\angle COA=\angle BOC_1$, как вертикальные, и от луча $OB$ отложены два равных угла $\angle DOB$ и $\angle COC_1$, что противоречит аксиоме.

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1$.

Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$, то согласно аксиоме треугольник $ABC$ можно наложить на треугольник $A_1B_1C_1$ так, что вершина $A$ совместиться с вершиной $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ наложатся соответственно на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

В силу аксиомы, так как $AB=A_1B_1$ и $AC=A_1C_1$, то стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$ совместиться.

В частности совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$.

Следовательно, по аксиоме совместятся и стороны $BC$ и $B_1C_1$.

Итак, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместились.

Следовательно, согласно определению, они равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Наложим треугольник $ABC$ на треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A$, сторона $AB$ – с равной ей стороной $A_1B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по одну сторону от прямой $A_1B_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по сторона $AC$ наложится на луч $A_1C_1$, а сторона $BC$ – на луч $B_1C_1$.

Поэтому вершина $C$ – общая точка сторон $AC$ и $BC$ – окажется как лежащей на луче $A_1C_1$, так и на луче $B_1C_1$ и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной $C_1$.

Значит, совместятся стороны $AC$ и $A_1C_1$, $BC$ и $B_1C_1$.

Итак треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ полностью совместятся.

Следовательно, они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$.

Докажем, что $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Приложим треугольник $ABC$ к треугольнику $A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с вершиной $A_1$, вершина $B$ – C вершиной $B_1$, а вершины $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой $A_1B_1$.

Возможны три случая:

  1. луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$

  2. луч $C_1C$ совпадает с одной из сторон этого угла

  3. луч $C_1C$ проходит вне угла $A_1C_1B_1$.

Рассмотрим первый случай.

По условию теоремы $AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1$, следовательно, треугольники $A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ – равнобедренные.

По теореме $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, поэтому $\angle A_1CB_1=\angle A_1C_1B_1$.

Итак, $AC=A_1C_1, BC=B_1C_1, \angle C=\angle C_1$.

Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим второй случай.

Пусть луч $C_1C$ совпадает со стороной $C_1B$ угла $A_1C_1B_1$.

Тогда, так как $AC=A_1C_1$, то треугольник $СA_1C_1$ равнобедренный, и ,следовательно, $\angle C=\angle C_1$.

Тогда треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим третий случай.

Третий случай доказывается аналогично первому.

math-public/priznaki-ravenstva-treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/05/06 11:15 — labreslav

wiki.sch239.net

Второй признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть АВС и А1В1С1 - треугольники, у которых АВ=А1В1, ∠А=∠А1, ∠В=∠В1. Доказать, что ∆ АВС= ∆ А1В1С1.

Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ - с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.

Так как ∠А=∠А1 и ∠В=∠В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС - на луч В1С1. Поэтому вершина С (общая точка сторон АС и ВС) окажется лежащей на лучах А1С1 и В1С1, а следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С1. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. Получаем, что ∆ АВС и ∆ А1В1С1 полностью совместятся, то есть они равны.

Пример.

Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, поведённые к боковым сторонам, равны между собой.

Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=ВС. АМ и CN - биссектрисы. Рассмотрим треугольники АМВ и CNB. У них угол В - общий, АВ=ВС по условию, углы NСВ и МАВ равны как половинки двух равных углов при основании равнобедренного треугольника.

Тогда получаем, что ∆ АМВ=∆ CNB по второму признаку. Откуда следует, что АМ=СN.

Пример.

Точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD квадрата ABCD так, что ∠FВС=∠ЕDА. Доказать, что ∆ СBF= ∆ ADE.

Рассмотрим ∆ СBF и ∆ ADE. У них сторона ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, ∠ВСF=∠DAE, так как все углы квадрата прямые, ∠FВС=∠ЕDА по условию задачи. А следовательно, ∆ СBF и ∆ ADE равны по второму признаку равенства треугольников.

Пример.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠EAD и ∠EBC - равны. Доказать, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ=7 см?

Рассмотрим ∆ СВЕ и ∆ ADE. У них сторона АЕ=ВЕ, так как Е - середина отрезка АВ. ∠EAD и ∠EBC равны по условию задачи. А ∠СЕВ и ∠AED равны как вертикальные. Получаем, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны по второму признаку. Следовательно, у них соответственные стороны равны. Значит, сторона AD=СВ. То есть AD=7 см.

videouroki.net

Второй и третий признаки равенства треугольников. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Для начала вспомним из материалов предыдущих уроков, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке указаны два равных отрезка и два равных угла.

              

Рис. 1. Углы А и А1 равны, АВ = CD

Рассмотрим теперь равенство треугольников. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В таком случае совместятся все стороны и углы треугольников.

 

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А1В1С1

         

Теперь мы готовы сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .      

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А1, , отрезки АС и А1С1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадет с .

Теорема доказана.

Рис. 3. Равные треугольники АВС и А1В1С1

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и . 

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате

данного действия имеем три случая:

1. Луч СС1 внутри .

interneturok.ru

Второй признак равенства треугольников — Мегаобучалка

Билет № 1

Первый признак равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольника по двум сторонам и углу между ними формулируется в виде:

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1, у которых AB=A1B1, AC=A1C1, А= А1. Докажем, что ΔABC=ΔA1B1C1. Так как A= A1 то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной A1 а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=A1B1, AC=A1C1 то сторона АВ совместится со стороной A1B1 а сторона АС — со стороной A1C1 в частности, совместятся точки В и В1 С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB=A1B1, AC=A1C1, А= А1.

Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1

Доказательство. A= A1 ═> ΔABC можно наложить на ΔА1В1С1 так, что А→A1 а АВ и АС наложатся на лучи А1В1 и А1С1.

АВ=A1B1, AC=A1C1 ═> АВ → A1B1 а АС → A1C1 В частности, В → В1 С → С1. Следовательно, ВС → В1С1. Итак, ΔABC → ΔA1B1C1 полностью, значит, ΔABC=ΔA1B1C1.

Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.

Определение. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Четырехугольник ABCD имеет стороны AB║DC, а сторона BC║AD. Следовательно ABCD –параллелограмм. АС и ВD – диагонали параллелограмма.

Свойства:

1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD).

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (BF=FD, AF=FC).

3) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 1800 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=1800)

Признаки:

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.



3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

Запись на доске:

Свойства:

1) AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD.

2) BF=FD, AF=FC.

3) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=1800)

Признаки:

1) Если ABСD - четырёхуг., и AB║DC и AB=DC, то – ABСD парал-м.

2) Если ABСD - четырёхуг., и AB=DC, BC=AD, то – ABСD парал-м.

3) Если ABСD - четырёхуг., и BF=FD, AF=FC, то – ABСD парал-м..

Задача.

Билет № 2

Второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам формулируется в виде теоремы.

Теорема: Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.

Доказательство:РассмотримΔABC и ΔA1B1C1, у которых AB=A1B1, А= А1, ÐB=ÐB1. Докажем, что ΔABC=ΔA1B1C1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – со стороной A1B1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону со стороны A1B1. Поскольку ÐA=ÐA1, ÐB=ÐB1, то сторона AC наложится на сторону A1C1, а сторона BC – на B1C1. Вершина C общая точка сторон AC и BC окажется как на стороне A1C1 так и на стороне B1C1, т.е. совместится с общей точкой этих сторон C1. Значит стороны AC и A1C1, BC и B1C1 совместятся, следовательно, и совместятся треугольники ABC и A1B1C1. Отсюда следует, что они равны: ∆ABC=∆A1B1C1

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB=A1B1, А= А1, ÐB=ÐB1.

Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1

Доказательство:Наложим ΔABC на ΔA1B1C1 так, чтобы A → A1, AB → A1B1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону со стороны A1B1.

ÐA=ÐA1, ÐB=ÐB1 ═>AC наложится на A1C1, а сторона BC – на B1C1.

C AC, C BC ═> C A1C1, C B1C1, ═> С→C1.

Значит стороны AC → A1C1, BC → B1C1, ═> ΔABC → ΔA1B1C1.

Значит, ∆ABC=∆A1B1C1

megaobuchalka.ru

Задачи на второй признак равенства треугольников

Рассмотрим некоторые задачи на второй признак равенства треугольников.

1)

     Дано:

∠AMK=∠BKM,

∠AKB=∠BMA

Доказать: ∆AKM=∆BMK.

Сначала проведем анализ задачи.

    Выделим треугольники, равенство которых надо доказать, разными цветами.

Цветовая визуализация сразу же дает подсказку — треугольники имеют общую сторону MK.

Кроме того, по условию, данные треугольники имеют равные углы AMK и BKM.

Для доказательства равенства треугольников не хватает равенства еще одной пары элементов.

В условии сказано, что углы AKB и BMA равны. Угол AKM равен сумме углов AKB и BKM, угол BMK —  сумме углов BMA и AMK. Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы. Значит, углы AKM и BMK равны.

Теперь запишем доказательство.

Доказательство:

Рассмотрим ∆AKM и ∆BMK.

1) MK — общая сторона.

2) ∠AMK=∠BKM (по условию).

 

 

Следовательно, ∆AKM=∆BMK (по стороне и двум прилежащим к ней углам, то есть, по второму признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

2)

     Дано:

AB∥CD,

AB=CD

Доказать: ∆AOB=∆DOC.

Анализ задачи.

     Выделим треугольники AOB и DOC разными цветами.

По условии, данные треугольники имеют одну пару равных элементов — стороны AB и CD равны.

Видим пару равных вертикальных углов AOB и DOC. Однако, они нам не подходят — раз равные   стороны AB и CD, углы должны быть рядом с ними.

Чтобы определить равные углы этих треугольников, можно воспользоваться подсказкой.

Так как прямые AB∥CD, ищем и находим две пары равных внутренних накрест лежащих углов.

Все три пары равных элементов для второго признака равенства треугольников имеются. Теперь можно перейти к записи доказательства.

Доказательство:

1) AB=CD (по условию).

2) ∠ABO=∠DCO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BC).

3) ∠BAO=∠CDO (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей AD).

Следовательно, ∆AOB=∆DOC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

3)

     Дано:

∆CFD — равнобедренный с основанием CD,

∠AFC=∠BFD

Доказать: ∆AFB — равнобедренный.

Анализ задачи:

     Чтобы доказать, что треугольник AFB — равнобедренный, нужно доказать либо равенство двух      его сторон: AF=BF, либо равенство двух углов: ∠A=∠B.

Равенство сторон и углов следует из равенства треугольников.

Значит, нужно доказать равенство пары треугольников со сторонами AF и BF и углами A и B. Подходят треугольники AFC и BFD.

Выделим эти треугольники разными цветами.

Их углы AFC и BFD равны по условию. Также из условия известно, что ∆CFD — равнобедренный с основанием CD. Из этого следует, что его боковые стороны CF и DF равны и углы при основании равны ∠FCD=∠FDC. Равенство сторон CF и DF можно использовать для доказательства равенства треугольников AFC и BFD, а что делать с углами?

Углы ACF и BDF смежные с углами FCD и FDC. А так как ∠FCD=∠FDC, то и смежные с ними углы ACF и BDF тоже равны.

Три пункта для второго признака равенства треугольников получили. Переходим к записи доказательства.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  AFC и BFD.

1) ∠AFC =∠BFD (по условию).

2) CF=DF (как боковые стороны равнобедренного треугольника CFD).

3) ∠ACF=∠BDF (как смежные с равными углами: ∠FCD=∠FDC как углы при основании равнобедренного треугольника CFD).

Следовательно, ∆AFC = ∆BFD (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF. Значит, ∆AFB — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *