Рубрика: Школьная жизнь

Чему равен косинус 180° градусов

Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилегающего к углу катета к гипотенузе. Это школьное определение иногда не очень удобно. Если использовать житейские аналогии, то определение можно упростить и сделать более наглядным.

Закопаем колесо обозрения наполовину в землю (чтобы ось вращения лежала на поверхности). Пусть солнце стоит в зените, так что тень от кабинки падает вертикально вниз. Сначала кабинка на земле справа, затем по мере вращения колеса взлетает до высшей точки, затем опять оказывается на земле слева (см. рис.):

При вращении колеса угол β между кабинкой, осью вращения и точкой старта сначала нулевой. Затем, когда кабинка в высшей точке, он возрастает до 90°. А когда кабинка опять на земле в конце пути, он равен 180° («подземную» часть движения кабинки тут не рассматриваем).

Обратим внимание, что тень от кабинки движется по земле справа налево. Расстояние Х от оси вращения до тени сначала равно радиусу колеса, затем нулю, а затем опять радиусу колеса, но со знаком минус (минус потому, что тень убегает от точки старта в противоположном отосительно оси вращения направлении):

Косинус угла β в тригонометрии — это доля расстояния Х в радиусе R, то есть Cos(β) = Х/R. Несложно сообразить, что это определение в точности совпадает со «школьным «: ось вращения, кабинка и тень образуют прямоугольный треугольник, в котором Х — длина прилегающего катета, а радиус R — гипотенуза.

Но теперь значения косинуса при некоторых углах становятся очевидны, достаточно просто понаблюдать за положением тени:

В начальный момент времени Х = R, так что Cos(0°) = 1.

Когда кабинка в высшей точке, X = 0, а следовательно, Cos(90°) = 0.

Наконец, когда кабинка снова оказывается на земле, Х = — R, и мы получаем искомый ответ Cos(180°) = — 1.

vovet.ru

Таблица косинусов

Главная > к >

Таблица косинусов для основных углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Таблица косинусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.

Таблица косинусов — это посчитанные значения косинусов от 0° до 360°.

Если не под рукой калькулятора — таблица косинусов может пригодиться.
Для того, чтобы узнать чему равен косинус от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице:

tab.wikimassa.org

Таблица косинусов (полная, градусы и значения)

В данной таблице представлены значения косинусов от 0° до 360°. Таблица косинусов нужна, чтобы узнать, чему равен косинус угла. Нужно только найти его в таблице. Для начала короткая версия таблицы.

https://uchim.org/matematika/tablica-kosinusov — uchim.org

Таблица косинусов для 0°-180°

Таблица косинусов для 181°-360°

uchim.org

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Чему равен cos -П ? помогите пожалуиста,нигде не могу найти..

если это Дз то поищи в Спиши. ру

если я не ошибаюсь то минус единица

-π это -180 градусов Тоесть если нарисовать координатную окружность то мы увидим что косинус угла -180 градусов равен -1.

смотря как решать. . 1 или -1

Ответ соы (-ПИ) =Cos(ПИ) =cos(180)=cos(-180)=-1

:))))))))))))))))))))))) Ой Наталья Суворова — вы просто издеваетесь?)))) ) === вот <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Cos» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Cos</a> и на крайний случай у вас есть на компе калькулятор. Выбирете инженерный и посмотрите чему будет равен ваш кос — пи т. е. cos -180 😉

Это надо ЗНАТЬ! Уже пора, раз жмете на клаву.

touch.otvet.mail.ru

Чему равен косинус 150 градусов?))

минус корень из трех на два)

Посмотри в учебнике формулы приведения cos(180-150)=?

это косинус 180-30. Косинус во второй четверти отрицателен, функция при 180 не меняется. Значит = -косинус30. (который равняется минус корень из трёх на два, как уже написали до меня, но вдруг Вам нужно ещё и объяснение)

0,865 Это решается устно.

Juliya! Вот решать ты можешь устно, а объяснить.. . Удач тебе!

touch.otvet.mail.ru

Как определить протоны и нейтроны по таблице. Как найти нейтроны

Под запросом «Как найти нейтроны» понимается метод поиска числа нейтронов в атоме. Нейтрон — это тяжелая частица, которая не имеет электрического заряда и вместе с протоном составляет атомное ядро элемента. Число нейтронов в атоме определяется с помощью таблицы Менделеева.

Как найти нейтроны — ищем число нейтронов в атомах

• Берем таблицу Менделеева и находим нужный элемент.
• Как вы знаете, химические элементы расположены не случайным образом. Порядковый номер элемента соответствует числу протонов, находящихся в одном атоме элемента — атомному номеру. Вот он нам и нужен. Это самое крупное число в ячейке, его нетрудно обнаружить, так как элементы следуют друг за другом практически по порядку (по возрастанию).
• Запоминаем атомный номер.
• Находим массу атома. Это значение также располагается в ячейке элемента периодической системы, чье количество нейтронов мы ищем. Как правило, масса записана более мелким шрифтом, чем номер атома, в виде десятичной дроби. У более сложных элементов заключена в квадратные скобки.
• Для расчетов атомную массу округляем до целого числа.
• Так как ядро атома состоит из нейтронов и протонов, то путем вычитания из массы атома протонов (атомного номера), мы получим величину содержания нейтронов в атоме данного элемента.

Как найти нейтроны — пример

• Например, нам нужно найти, сколько нейтронов находится в атоме Циркония.
• Будем использовать формулу: N = M — n, где:

М — атомная масса, n — атомный номер (число протонов), N — число нейтронов.

• Находим Цирконий в таблице Менделеева, для химических расчетов она всегда должна быть под рукой.
• Его атомная масса равна 91,22, округляем до 91.
• Атомный номер равен 40.
• Получаем, что в атоме Циркония находится 51 (N = 91 — 40) нейтрон.

Как найти нейтроны — находим сколько нейтронов у изотопов

• Изотопы — это разновидности одного и того же элемента, но имеющие различную массу атомов. Но атомный номер, который мы научились искать выше, у них совпадает.
• Нужно знать, что все изотопы определенного элемента помещаются в одну ячейку в таблице Менделеева.
• Раз атомный номер у изотопов одного и того же элемента совпадает, значит нам нужно лишь найти атомную массу для расчета величины нейтронов.
• Атомную массу изотопа найти очень просто — она заключена в самом названии изотопа. Например, О-16, О-17, О-18 — изотопы кислорода с атомной массой 16, 17 и 18 соответственно. Иногда атомную массу записывают как верхний индекс слева от символа хим. элемента.
• Таким образом, нам известны все составляющие для формулы. Нам не составит труда вычислить, какое количество нейтронов находится в изотопе.

Как найти нейтроны — пример, изотоп О-17

• Атомный номер всех изотопов кислорода, как и самого элемента равен 8.
• Атомная масса указана в названии изотопа — она равна 17.
• Вычисляем по формул

crazylike.ru

Как определить протон, нейтрон, электрон 🚩 количество протонов нейтронов электронов 🚩 Естественные науки

Опыты великого ученого, «отца» современной ядерной физики, помогли создать планетарную модель атома. Согласно ей, атом представляет собой ядро, вокруг которого по орбитам вращаются электроны. Датский физик Нильс Бор немного доработал эту модель в рамках квантовых представлений. Получается, что электрон — одна из частиц, входящих в состав атома.

Эта частица была открыта Дж.Дж. Томсоном (лордом Кельвином) в 1897 году в опытах с катодными лучами. Великий ученый обнаружил, что при прохождении электрического тока через емкость с газом в нем образуются отрицательно заряженные частицы, впоследствии названные электронами.

Электрон — самая маленькая частица, имеющая отрицательный заряд. Это делает его стабильным (время жизни порядка иотта лет). Его состояние описывается несколькими квантовыми числами Электрон обладает собственным механическим моментом — спином, который может принимать значения +1/2 и -1/2 (спиновое квантовое число). Наличие спина было подтверждено в опытах Уленбека и Гаудсмита.

Эта частица подчиняются принципу Паули, согласно которому два электрона не могут иметь одни и те же квантовые числа в одно и то же время, то есть не могут одновременно находиться в одинаковых квантовых состояниях. По этому принципу заполняются электронные орбитали атомов.

Ядро, согласно принятой планетарной модели, состоит из протонов и нейтронов. Эти частицы имеют почти одинаковую массу, но у протона положительный заряд, нейтрон же его вообще не имеет.

Протон был открыт Эрнестом Резерфордом в результате его опытов с альфа-частицами, которыми он бомбардировал атомы золота. Была подсчитана масса протона. Она оказалась почти в 2000 раз больше массы электрона. Протон — самая стабильная частица во Вселенной. Ученые считают, что время ее жизни приближается к бесконечности.

Гипотеза о существовании нейтрона была высказана еще Резерфордом, но экспериментально подтвердить ее он не смог. Это было сделано Дж. Чедвиком в 1932 году. Нейтрон «живет» около 900 секунд. Через это время нейтрон распадется на протон, электрон и электронное нейтрино. Он способен вызывать ядерные реакции, так как легко может проникнуть в ядро, минуя действие сил электростатического взаимодействия, и вызвать его деление.

И протон, и нейтрон не являются целостными частицами. Согласно современным представлениям, они состоят из групп кварков, которые связывают их в ядре. Именно кварки осуществляют сильное и ядерное взаимодействие между составляющими ядра.

www.kakprosto.ru

Как определить количество протонов и нейтронов

Атом всякого химического элемента состоит из ядерного ядра и, обращающихся вокруг него, электронов. А из чего состоит ядерное ядро? В 1932 году было установлено, что ядерное ядро состоит из протонов и нейтронов .

Вам понадобится

• – периодическая таблица химических элементов Д.И. Менделеева.

Инструкция

1. Протон представляет собой одобрительно заряженную частицу с массой превышающей в 1836 раз массу электрона. Электрический заряд протона совпадает по модулю с зарядом электрона, а значит, заряд протона равен 1,6*10 ^ (-19) Кулон. Ядра различных атомов содержат различное число протонов . К примеру, в ядре атома водорода только один протон, а в ядре атома золота – семьдесят девять. Число протонов в ядре совпадает с порядковым номером данного элемента в таблице Д.И. Менделеева. Следственно для того, дабы определить число протонов в ядре химического элемента, надобно взять таблицу Менделеева, обнаружить в ней необходимый элемент. Указанное вверху целое число является порядковым номером элемента – это и есть число протонов в ядре. Пример1. Пускай необходимо определить число протонов в ядре атома полония. Обнаружьте в таблице Менделеева химический элемент полоний, он размещен под номером 84, значит в его ядре находится 84 протона.

2. Увлекательно, что число протонов в ядре совпадает с числом электронов, движущихся вокруг ядра. То есть число электронов в атоме элемента определяется так же, как и число протонов – порядковым номером элемента. Пример 2. Если порядковый номер полония – 84, то в нем 84 протона (в ядре) и столько же – 84 электронов.

3. Нейтрон представляет собой незаряженную частицу с массой, которая огромнее массы электрона в 1839 раз. Помимо порядкового номера, в периодической таблице химических элементов для всего вещества указано еще одно число, которое, если его округлить, показывает всеобщее число частиц (протонов и нейтронов ) в ядерном ядре. Это число именуется массовым числом. Для определения числа нейтронов в ядре необходимо вычесть из массового числа число протонов . Пример 3. Число протонов в атоме полония – 84. Его массовое число равно 210, значит, для определения числа нейтронов обнаружьте разность массового числа и порядкового номера: 210 – 84 = 126.

Атом химического элемента состоит из ядерного ядра и электронов. В состав ядерного ядра входят два типа частиц – протоны и нейтроны. Примерно каждая масса атома сфокусирована в ядре, потому что протоны и нейтроны гораздо тяжелее электронов.

Вам понадобится

• атомный номер элемента, изотопы

Инструкция

1. В различие от протонов, нейтроны не имеют электрического заряда, то есть их электрический заряд равен нулю. Следственно, зная ядерный номер элемента, невозможно однозначно сказать, сколько нейтронов содержится в его ядре. К примеру в ядре атома углерода неизменно содержится 6 протонов, впрочем протонов в нем может быть 6 и 7. Разновидности ядер химического элемента с различным числом нейтронов в ядре именуются изотопами этого элемента. Изотопы могут быть как природными, так и полученными неестественно.

2. Ядерные ядра обозначаются буквенным символом химического элемента из таблицы Менделеева. Справа от символа вверху и внизу стоят два числа. Верхнее число A – это массовое число атома, A = Z+N, где Z – заряд ядра (число протонов),а N – число нейтронов . Нижнее число – это Z – заряд ядра. Такая запись дает информацию о числе нейтронов в ядре. Видимо, оно равно N = A-Z.

3. У различных изотопов одного химического элемента число A меняется, что отражено в записи этого изотопа. Определенные изотопы имеют свои подлинные наименования. Скажем, обыкновенное ядро водорода не имеет нейтронов и имеет один протон. Изотоп водорода дейтерий имеет один нейтрон (A = 2), а изотоп тритий – два нейтрона (A = 3).

4. Связанность числа нейтронов от числа протонов отражена на N-Z диаграмме ядерных ядер. Стабильность ядер зависит от отношения числа нейтронов и числа протонов. Ядра легких нуклидов особенно устойчивы при N/Z = 1, то есть при равенстве числа нейтронов и протонов. С ростом массового числа область стабильности сдвигается к величинам N/Z>1, достигая величины N/Z ~ 1,5 для особенно тяжелых ядер.

Видео по теме

Атом химического элемента состоит из ядерного ядра и электронной оболочки. В состав ядерного ядра входят два типа частиц – протоны и нейтроны. Примерно каждая масса атома сконцентрирована в ядре, так как протоны и нейтроны гораздо тяжелее электронов.

Вам понадобится

• атомный номер элемента, N-Z диаграмма.

Инструкция

1. Нейтроны не имеют электрического заряда, то есть их электрический заряд равен нулю. Это и представляет основную трудность при определении числа нейтронов – ядерный номер элемента либо его электронная оболочка не дают однозначного результата на данный вопрос. Скажем, в ядре атома углерода неизменно содержится 6 протонов, впрочем протонов в нем может быть 6 и 7. Разновидности ядер химического элемента с различным числом нейтронов в ядре именуются изотопами этого элемента. Изотопы могут быть природными, а могут быть и получены неестественно.

2. Ядра атомов обозначают буквенным символом химического элемента из таблицы Менделеева. Справа от символа вверху и внизу стоят два числа. Верхнее число A – это массовое число атома. A = Z+N, где Z – заряд ядра (число протонов), а N – число нейтронов. Нижнее число – это Z – заряд ядра. Такая запись дает информацию о числе нейтронов в ядре. Видимо, что оно равно N = A-Z.

3. У различных изотопов одного химического элемента число A меняется, что дозволено увидеть в записи этого изотопа. Определенные изотопы имеют свои подлинные наименования. Скажем, обыкновенное ядро водорода не имеет нейтронов и имеет один протон. Изотоп водорода дейтерий имеет один нейтрон (A = 2, цифра 2 сверху, 1 снизу), а изотоп тритий – два нейтрона (A = 3, цифра 3 сверху, 1 снизу).

4. Связанность числа нейтронов от числа протонов отражена на так называемой N-Z диаграмме ядерных ядер. Стабильность ядер зависит от отношения числа нейтронов и числа протонов. Ядра легких нуклидов особенно устойчивы при N/Z = 1, то есть при равенстве числа нейтронов и протонов. С ростом массового числа область стабильности сдвигается к величинам N/Z>1, достигая величины N/Z ~ 1,5 для особенно тяжелых ядер.

Видео по теме

Дабы обнаружить число протонов в атоме, определите его место в таблице Менделеева. Обнаружьте его порядковый номер в периодической таблице. Он будет равен числу протонов в ядерном ядре. Если изучается изотоп, посмотрите на пару чисел, описывающие его свойства, нижнее число будет равно числу протонов. В том случае, если знаменит заряд ядерного ядра, дозволено узнать число протонов, поделив его значение на заряд одного протона.

Вам понадобится

• Для того дабы обнаружить число протонов, узнайте значение заряда протона либо электрона, возьмите таблицу изотопов, периодическую таблицу Менделеева.

Инструкция

1. Определение числа протонов вестимого атома.В том случае, когда знаменито, какой атом изучается, обнаружьте его расположение в периодической таблице. Определите его номер в этой таблице, обнаружив ячейку соответствующего элемента. В данной ячейке обнаружьте порядковый номер элемента, тот, что соответствует постигаемому атому. Данный порядковый номер и будет соответствовать числу протонов в ядерном ядре.

2. Как обнаружить протоны в изотопе.Многие атомы имеют изотопы, отличающиеся массами ядер. Именно следственно только лишь массы ядра неудовлетворительно для однозначного определения ядерного ядра. При изложении изотопа перед записью его химического обозначения неизменно записывается пара чисел. Верхнее число показывает массу атома в ядерных единицах массы, а нижнее обозначает заряд ядра. Вся единица заряда ядра в такой записи соответствует одному протону. Таким образом, число протонов равно нижнему числу в записи данного изотопа.

3. Как обнаружить протоны, зная заряд ядра.Зачастую свойства атома характеризуется зарядом его ядра. Для того дабы определить число протонов в нем, нужно перевести его в кулоны (если он подан в кратных единицах). После этого поделите заряд ядра на модуль заряда электрона. Это связано с тем, что от того что атом электрически нейтрален, то число протонов в нем равно числу электронов. Причем заряды их равны по модулю и противоположны по знаку (протон имеет правильный заряд, электрон – негативный). Следственно заряд ядра атома поделите на число 1,6022•10^(-19) кулон. В итоге получится число протонов. От того что способы измерения заряда атома неудовлетворительно точны, в том случае, если при делении получилось дробное число, округлите его до целого.

Видео по теме

Атомы состоят из субатомных частиц — протонов, нейтронов и электронов. Протоны представляют собой позитивно заряженные частицы, которые находятся в центре атома, в его ядре. Вычислить число протонов изотопа дозволено по ядерному номеру соответствующего химического элемента.

Модель атома

Для изложения свойств атома и его конструкции применяется модель, знаменитая под наименованием «Модель атома по Бору». В соответствии с ней конструкция атома напоминает ясную систему — весомый центр (ядро) находится в центре, а больше легкие частицы движутся по орбите вокруг него. Нейтроны и протоны образуют позитивно заряженное ядро, а негативно заряженные электроны движутся вокруг центра, притягиваясь к нему электростатическими силами.Элементом называют вещество, состоящее из атомов одного типа, он определяется числом протонов в всем из них. Элементу присваивают свое имя и символ, скажем, водород (H) либо кислород (О). Химические свойства элемента зависят от числа электронов и, соответственно, числа протонов, содержащихся в атомах. Химические колляции атома не зависят от числа нейтронов, потому что нейтроны не имеют электрического заряда. Впрочем их число влияет на устойчивость ядра, изменяя всеобщую массу атома.

Изотопы и число протонов

Изотопами называют атомы отдельных элементов с разным числом нейтронов. Данные атомы химически одинаковым, впрочем владеют различной массой, также они отличаются своей способностью испускать излучение.Ядерный номер (Z) — это порядковый номер химического элемента в периодической системе Менделеева, он определяется числом протонов в ядре. Всякий атом характеризуется ядерным номером и массовым числом (А), которое равно суммарному числу протонов и нейтронов в ядре. Элемент может иметь атомы с разным числом нейтронов, но число протонов остается постоянным и равно числу электронов нейтрального атома. Для того, дабы определить, сколько протонов содержится в ядре изотопа, довольно посмотреть на его ядерный номер. Число протонов равно номеру соответствующего химического элемента в периодической таблице Менделеева.

Примеры

В качестве примера дозволено разглядеть изотопы водорода. В природе особенно распространены атомы водорода с одним протоном и без нейтронов. В то же время существуют изотопы водорода с одним либо двумя нейтронами, они имеют соответствующие наименования. Впрочем у них у всех один протон, что соответствует порядковому номеру водорода в периодической таблице. Изотоп водорода с одним нейтроном и массовым числом 2 называют дейтерием либо тяжелым водородом, он стабилен. Тритий, изотоп водорода с массовым числом 3 и двумя нейтронами, радиоактивен. Его изредка называют сверхтяжелым водородом, а ядро трития — тритоном.

Полоний — радиоактивный химический элемент VI группы периодической системы Менделеева, он относится к халькогенам. Полоний представляет собой мягкий серебристо-белый металл. Стабильных изотопов у данного элемента нет, но вестимо 27 радиоактивных.

Инструкция

1. Полоний был одним из первых открытых радиоактивных элементов, его нашли Пьер Кюри и Мария Склодовская-Кюри в 1898 году. Свое наименование он получил в честь Польши — родины Марии Склодовской-Кюри. Впервой полоний был выделен из урановой смоляной руды.

2. Полоний — редкий элемент, знамениты две его кристаллические модификации: низкотемпературная форма с кубическая решеткой, при температуре выше 36°С устойчива форма с ромбоэдрической решеткой.

3. Полоний присутствует в маленьких числах в морской воде, его могут накапливать разные морские организмы. Данный элемент попадает в тело человека совместно с пищей, позже чего равномерно распределяется по отдельным органам.

4. В высоких концентрациях полоний исключительно токсичен, для работы с ним применяют особые боксы. Токсичность полония была исследована в навыках на звериных, он вызывал метаморфозы состава периферической крови и уменьшал длительность жизни. У звериных прогрессировали опухоли разных органов. Биологическое влияние полония в мелких концентрациях неудовлетворительно изучено.

5. По своим химическим свойствам полоний близок к теллуру, в соединениях данный элемент проявляет степени окисления -2, +2, +4 и +6. Полоний окисляется на воздухе, он реагирует с растворами кислот с образованием ионов. При взаимодействии с водородом данный элемент дает летучий гидрид.

6. Нагревая металлы с парами полония при температуре 400-1000°С, получают полониды. Диоксид полония может существовать в 2-х кристаллических модификациях: при температуре ниже 54°С стабильна желтая форма с гранецентрированной кубической решеткой, при нагревании диоксид переходит в красную форму с тетрагональной решеткой. Монооксид полония представляет собой твердое вещество черного цвета, он образуется при беспричинном разложении селенита либо сульфита полония.

7. В граммовых числах полоний получают при помощи облучения металлического висмута нейтронами, процесс проходит в ядерных реакторах. В микроскопичных числах он может быть выделен из отходов переработки урановых руд. Его получают экстракцией, электроосаждением, возгонкой и ионным обменом. Полоний также образуется при облучении висмута протонами в циклотроне.

8. Полоний применяют в качестве источника энергии в ядерных батареях космических агрегатов, а также в переносных устройствах. Его используют для изготовления ампульных источников нейтронов.

Видео по теме

jprosto.ru

Как определить число электронов в атоме

6 октября 2011

Автор КакПросто!

Атом состоит из чрезвычайно плотного ядра, окруженного электронным «облаком». Ядро ничтожно мало по сравнению с внешними размерами облака, и состоит из протонов и нейтронов. Атом в обычном состоянии нейтрален, а электроны несут отрицательный заряд. Но атом может также перетянуть чужие электроны, или отдать свои. В таком случае он уже будет являться отрицательно заряженным или положительно заряженным ионом. Как определить, сколько электронов содержится в атоме?

Статьи по теме:

Инструкция

Ну а как определить количество электронов в атоме, если атом, в свою очередь, входит в состав какой-либо более сложной молекулы? Например, каково количество электронов в атомах натрия и хлора, если они образуют молекулу всем вам хорошо известной обычной поваренной соли?

И тут нет ничего сложного. Начните с того, что напишите формулу этого вещества, она будет иметь следующий вид: NaCl. Из формулы вы увидите, что молекула поваренной соли состоит из двух элементов, а именно: щелочного металла натрия и газа-галогена хлора. Но это уже не нейтральные атомы натрия и хлора, а их ионы. Хлор, образуя ионную связь с натрием, тем самым «перетянул» к себе один из его электронов, а натрий, соответственно, его «отдал».

Снова посмотрите в Таблицу Менделеева. Вы увидите, что натрий имеет порядковый номер 11, хлор – 17. Следовательно, теперь у иона натрия будет 10 электронов, у иона хлора – 18.

Действуя по такому же алгоритму, легко можно определить количество электронов у любого химического элемента, будь то в виде нейтрального атома или иона.

Полезный совет

Протоны – это положительно заряженные частицы, нейтроны же не несут какого-либо заряда.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти число протонов и нейтронов

Протоны и нейтроны, содержащиеся в ядерном ядре, называют нуклонами. От того что фактически каждая масса атома сконцентрирована в его ядре, то массовое число атома обозначает число нуклонов в ядре. С поддержкой периодической таблицы химических элементов Менделеева дозволено обнаружить число протонов и нейтронов. Для этого также дозволено применять другие методологии.

Вам понадобится

• — периодическая таблица химических элементов Менделеева;
• — заряд протона;
• — обозначения химических элементов.

Инструкция

1. Всякому атому вещества соответствует элемент периодической таблицы Менделеева. Обнаружьте такой элемент для атома, число протонов и нейтронов в ядре которого надобно обнаружить. Определите ядерную массу этого элемента. Она находится в нижней части ячейки, где размещен химический элемент. Если массовое число представлено дробным значением, округлите его до целых. Это число будет равно числу нуклонов в атоме. Скажем, определите ядерную массу магния. Обнаружьте данный элемент в периодической таблице, он имеет обозначение Mg. Его массовое число равно 24,305. Округлите его до целого и получите 24. Это значит, что число протонов и нейтронов (нуклонов) в ядре атома этого элемента равно 24.

2. Определите число протонов в ядре атома. Для этого обнаружьте его в периодической таблице химических элементов. В верхней части ячейки элемента подмечен его порядковый номер по счету в таблице. Это и есть число протонов в ядре атома исследуемого элемента. Скажем, порядковый номер магния (Mg) равен 12. Это значит, что в его ядре содержится 12 протонов.

3. Изредка вестим только заряд ядра в Кулонах, тогда, для того дабы обнаружить число протонов, поделите это число на заряд одного протона, тот, что равен 1,6022•10^-19 Кулона. Скажем, если знаменито, что заряд ядра составляет 35,2•10^-19 Кулона, то поделив его на 1,6022•10^-19 получите число , примерно равное 22. Это значит, что в ядре данного атома находится 2 протона.

4. Позже определения числа протонов обнаружьте число нейтронов в ядре. Для этого от относительной ядерной массы ядра, обнаруженной при помощи периодической таблицы химических элементов, отнимите число протонов, содержащихся в ядре. От того что помимо нейтронов других тяжелых частиц в ядре атома не содержится, это и будет число нейтронов. Скажем, если необходимо обнаружить число протонов и нейтронов в ядре фосфора (Р), обнаружьте его в периодической таблице, определите массовое число и порядковый номер элемента. Массовое число фосфора равно 30,97376?31, а порядковый номер 15. Это значит, что в ядре атома этого химического элемента содержится 15 протонов и 31-15=16 нейтронов.

Атом химического элемента состоит из ядерного ядра и электронов. В состав ядерного ядра входят два типа частиц – протоны и нейтроны. Примерно каждая масса атома сконцентрирована в ядре, потому что протоны и нейтроны гораздо тяжелее электронов.

Вам понадобится

• атомный номер элемента, изотопы

Инструкция

1. В различие от протонов, нейтроны не имеют электрического заряда, то есть их электрический заряд равен нулю. Следственно, зная ядерный номер элемента, невозможно однозначно сказать, сколько нейтронов содержится в его ядре. К примеру в ядре атома углерода неизменно содержится 6 протонов, впрочем протонов в нем может быть 6 и 7. Разновидности ядер химического элемента с различным числом нейтронов в ядре именуются изотопами этого элемента. Изотопы могут быть как природными, так и полученными неестественно.

2. Ядерные ядра обозначаются буквенным символом химического элемента из таблицы Менделеева. Справа от символа вверху и внизу стоят два числа. Верхнее число A – это массовое число атома, A = Z+N, где Z – заряд ядра (число протонов),а N – число нейтронов . Нижнее число – это Z – заряд ядра. Такая запись дает информацию о числе нейтронов в ядре. Видимо, оно равно N = A-Z.

3. У различных изотопов одного химического элемента число A меняется, что отражено в записи этого изотопа. Определенные изотопы имеют свои подлинные наименования. Скажем, обыкновенное ядро водорода не имеет нейтронов и имеет один протон. Изотоп водорода дейтерий имеет один нейтрон (A = 2), а изотоп тритий – два нейтрона (A = 3).

4. Связанность числа нейтронов от числа протонов отражена на N-Z диаграмме ядерных ядер. Стабильность ядер зависит от отношения числа нейтронов и числа протонов. Ядра легких нуклидов особенно устойчивы при N/Z = 1, то есть при равенстве числа нейтронов и протонов. С ростом массового числа область стабильности сдвигается к величинам N/Z>1, достигая величины N/Z ~ 1,5 для особенно тяжелых ядер.

Видео по теме

Атом химического элемента состоит из ядерного ядра и электронной оболочки. В состав ядерного ядра входят два типа частиц – протоны и нейтроны. Примерно каждая масса атома сконцентрирована в ядре, так как протоны и нейтроны гораздо тяжелее электронов.

Вам понадобится

• атомный номер элемента, N-Z диаграмма.

Инструкция

1. Нейтроны не имеют электрического заряда, то есть их электрический заряд равен нулю. Это и представляет основную трудность при определении числа нейтронов – ядерный номер элемента либо его электронная оболочка не дают однозначного результата на данный вопрос. Скажем, в ядре атома углерода неизменно содержится 6 протонов, впрочем протонов в нем может быть 6 и 7. Разновидности ядер химического элемента с различным числом нейтронов в ядре именуются изотопами этого элемента. Изотопы могут быть природными, а могут быть и получены неестественно.

2. Ядра атомов обозначают буквенным символом химического элемента из таблицы Менделеева. Справа от символа вверху и внизу стоят два числа. Верхнее число A – это массовое число атома. A = Z+N, где Z – заряд ядра (число протонов), а N – число нейтронов. Нижнее число – это Z – заряд ядра. Такая запись дает информацию о числе нейтронов в ядре. Видимо, что оно равно N = A-Z.

3. У различных изотопов одного химического элемента число A меняется, что дозволено увидеть в записи этого изотопа. Определенные изотопы имеют свои подлинные наименования. Скажем, обыкновенное ядро водорода не имеет нейтронов и имеет один протон. Изотоп водорода дейтерий имеет один нейтрон (A = 2, цифра 2 сверху, 1 снизу), а изотоп тритий – два нейтрона (A = 3, цифра 3 сверху, 1 снизу).

4. Связанность числа нейтронов от числа протонов отражена на так называемой N-Z диаграмме ядерных ядер. Стабильность ядер зависит от отношения числа нейтронов и числа протонов. Ядра легких нуклидов особенно устойчивы при N/Z = 1, то есть при равенстве числа нейтронов и протонов. С ростом массового числа область стабильности сдвигается к величинам N/Z>1, достигая величины N/Z ~ 1,5 для особенно тяжелых ядер.

Видео по теме

Дабы обнаружить число протонов в атоме, определите его место в таблице Менделеева. Обнаружьте его порядковый номер в периодической таблице. Он будет равен числу протонов в ядерном ядре. Если изучается изотоп, посмотрите на пару чисел, описывающие его свойства, нижнее число будет равно числу протонов. В том случае, если знаменит заряд ядерного ядра, дозволено узнать число протонов, поделив его значение на заряд одного протона.

Вам понадобится

• Для того дабы обнаружить число протонов, узнайте значение заряда протона либо электрона, возьмите таблицу изотопов, периодическую таблицу Менделеева.

Инструкция

1. Определение числа протонов знаменитого атома.В том случае, когда знаменито, какой атом изучается, обнаружьте его расположение в периодической таблице. Определите его номер в этой таблице, обнаружив ячейку соответствующего элемента. В данной ячейке обнаружьте порядковый номер элемента, тот, что соответствует постигаемому атому. Данный порядковый номер и будет соответствовать числу протонов в ядерном ядре.

2. Как обнаружить протоны в изотопе.Многие атомы имеют изотопы, отличающиеся массами ядер. Именно следственно только лишь массы ядра неудовлетворительно для однозначного определения ядерного ядра. При изложении изотопа перед записью его химического обозначения неизменно записывается пара чисел. Верхнее число показывает массу атома в ядерных единицах массы, а нижнее обозначает заряд ядра. Вся единица заряда ядра в такой записи соответствует одному протону. Таким образом, число протонов равно нижнему числу в записи данного изотопа.

3. Как обнаружить протоны, зная заряд ядра.Зачастую свойства атома характеризуется зарядом его ядра. Для того дабы определить число протонов в нем, нужно перевести его в кулоны (если он подан в кратных единицах). После этого поделите заряд ядра на модуль заряда электрона. Это связано с тем, что от того что атом электрически нейтрален, то число протонов в нем равно числу электронов. Причем заряды их равны по модулю и противоположны по знаку (протон имеет правильный заряд, электрон – негативный). Следственно заряд ядра атома поделите на число 1,6022•10^(-19) кулон. В итоге получится число протонов. От того что способы измерения заряда атома неудовлетворительно точны, в том случае, если при делении получилось дробное число, округлите его до целого.

Видео по теме

Атомы состоят из субатомных частиц — протонов, нейтронов и электронов. Протоны представляют собой правильно заряженные частицы, которые находятся в центре атома, в его ядре. Вычислить число протонов изотопа дозволено по ядерному номеру соответствующего химического элемента.

Модель атома

Для изложения свойств атома и его конструкции применяется модель, вестимая под наименованием «Модель атома по Бору». В соответствии с ней конструкция атома напоминает ясную систему — весомый центр (ядро) находится в центре, а больше легкие частицы движутся по орбите вокруг него. Нейтроны и протоны образуют позитивно заряженное ядро, а негативно заряженные электроны движутся вокруг центра, притягиваясь к нему электростатическими силами.Элементом называют вещество, состоящее из атомов одного типа, он определяется числом протонов в всем из них. Элементу присваивают свое имя и символ, скажем, водород (H) либо кислород (О). Химические свойства элемента зависят от числа электронов и, соответственно, числа протонов, содержащихся в атомах. Химические колляции атома не зависят от числа нейтронов, потому что нейтроны не имеют электрического заряда. Впрочем их число влияет на устойчивость ядра, изменяя всеобщую массу атома.

Изотопы и число протонов

Изотопами называют атомы отдельных элементов с разным числом нейтронов. Данные атомы химически одинаковым, впрочем владеют различной массой, также они отличаются своей способностью испускать излучение.Ядерный номер (Z) — это порядковый номер химического элемента в периодической системе Менделеева, он определяется числом протонов в ядре. Весь атом характеризуется ядерным номером и массовым числом (А), которое равно суммарному числу протонов и нейтронов в ядре. Элемент может иметь атомы с разным числом нейтронов, но число протонов остается непоколебимым и равно числу электронов нейтрального атома. Для того, дабы определить, сколько протонов содержится в ядре изотопа, довольно посмотреть на его ядерный номер. Число протонов равно номеру соответствующего химического элемента в периодической таблице Менделеева.

Примеры

В качестве примера дозволено разглядеть изотопы водорода. В природе особенно распространены атомы водорода с одним протоном и без нейтронов. В то же время существуют изотопы водорода с одним либо двумя нейтронами, они имеют соответствующие наименования. Впрочем у них у всех один протон, что соответствует порядковому номеру водорода в периодической таблице. Изотоп водорода с одним нейтроном и массовым числом 2 называют дейтерием либо тяжелым водородом, он стабилен. Тритий, изотоп водорода с массовым числом 3 и двумя нейтронами, радиоактивен. Его изредка называют сверхтяжелым водородом, а ядро трития — тритоном.

jprosto.ru

Как определить протон, нейтрон, электрон

Атом – это мельчайшая частица, которую поделить на комбинированные части химическим путем немыслимо. Атом состоит из одобрительно заряженного ядра за счет протонов (р) с зарядом + и нейтральных частиц нейтронов (n). Вокруг него вращаются электроны (?), имеющие негативный заряд.

Вам понадобится

• Периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева.

Инструкция

1. Вследствие знанию положительно вычислять число протонов , нейтронов либо электронов, дозволено определить валентность химического элемента, а также составить электронную формулу. Для этого понадобится только периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева, которая является непременным справочным материалом.

2. Таблица Д.И. Менделеева поделена на группы (располагаются вертикально), которых каждого восемь, а также на периоды, расположенные горизонтально. Всякий химический элемент имеет свой порядковый номер и относительную ядерную массу, что указано в всякой клетке периодической таблицы. Число протонов (р) и электронов (?) численно совпадает с порядковым номером элемента. Для определения числа нейтронов (n) нужно из относительной ядерной массы (Ar) вычесть номер химического элемента.

3. Пример № 1. Вычислите число протонов , электронов и нейтронов атома химического элемента № 7.Химический элемент № 7 – это азот (N). Вначале определите число протонов (р). Если порядковый номер 7, значит, будет 7 протонов . Рассматривая, что это число совпадает с числом негативно заряженных частиц, электронов (?) тоже будет 7. Для определения числа нейтронов (n) из относительной ядерной массы (Ar (N) = 14) вычтите порядковый номер азота (№ 7). Следственно, 14 – 7 = 7. В всеобщем виде каждая информация выглядит таким образом:р = +7;? = -7;n = 14-7 = 7.

4. Пример № 2. Вычислите число протонов , электронов и нейтронов атома химического элемента № 20.Химический элемент № 20 – это кальций (Са). Вначале определите число протонов (р). Если порядковый номер 20, следственно, будет 20 протонов . Зная, что это число совпадает с числом негативно заряженных частиц, значит электронов (?) тоже будет 20. Для определения числа нейтронов (n) из относительной ядерной массы (Ar (Са) = 40) вычтите порядковый номер кальция (№ 20). Следственно, 40 – 20 = 20. В всеобщем виде каждая информация выглядит таким образом:р = +20;? = -20;n = 40-20 = 20.

5. Пример № 3. Вычислите число протонов , электронов и нейтронов атома химического элемента № 33.Химический элемент № 33 – это мышьяк (As). Вначале определите число протонов (р). Если порядковый номер 33, значит, будет 33 протона. Рассматривая, что это число совпадает с числом негативно заряженных частиц, электронов (?) тоже будет 33. Для определения числа нейтронов (n) из относительной ядерной массы (Ar (As) = 75) вычтите порядковый номер азота (№ 33). Следственно, 75 – 33 = 42. В всеобщем виде каждая информация выглядит таким образом:р = +33;? = -33;n = 75 -33 = 42.

Азот – газ, обширно применяемый в производстве, наравне с десятком другие инертных соединений. Транспортировать либо беречь данный газ в чистом виде не неизменно рационально, а порой требуется легко определить присутствие его в веществе. Для этого применяют способ Кьельдаля. Метод Кьельдаля заключается в том, что азот, тот, что содержится в безбелковой отфильтрованной жидкости, при реакции сжигания с серной кислотой переводится в аммоний. Полученный аммиак вольно выдается позже щелочной реакции.

Инструкция

1. Для обзора возьмите в объеме 4мл кровь, плазму либо сыворотку, разводите ее 8мл дистиллированной воды. В ту же колбу добавьте 8мл трихлоруксусной кислоты. Отлично перемешайте раствор и отфильтруйте.

2. В колбу для перегонки, влейте 5 мл отфильтрованной жидкости, которая по умолчанию будет содержать 1 мл анализируемой крови. Туда же добавьте 1 мл реактива №2, нагревайте колбу на слабеньком пламени до тех пор, пока не появится белый пар.

3. Колбу установите таким образом, дабы дно ее чуть-чуть касалось языков пламени. Процесс сжигания считайте завершенным, когда жидкость приобретет голубоватый цвет либо станет бесцветной.

4. Колбу отставьте в сторону для остывания. Довольно полторы-две минуты. В отвратном случае образуется нерастворимый осадок.

5. Лейте по стенке воду, промывая ею воронку. Взболтайте до полного смешивания, подогревая колбу при необходимости.

6. Соберите агрегат, присоедините приемник. В приемник пустите 10 мл 0,01 н. раствора серной кислоты. Внесите одну либо две капли метилрота. Позже соединения всех ингредиентов, пристройте водоструйный насос к приемнику.

7. Начните пропускать через препарат воздух, влейте в перегонную часть 33% резкого натрия, пока жидкость из бесцветной превратится в темно-синюю либо темно-бурую. Это свидетельствует о щелочной реакции.

8. По истечении десяти минут перегонку прекратите. Закройте кран водоструйного насоса, откройте пробку приемника, смойте серную кислоту с конца холодильной трубки. Замените иным приемником с таким же объемом 0,01 н. раствора серной кислоты, сделайте вторую перегонку.

9. В 1-й приемник добавьте резкий натр до приобретения устойчивого, в течение 30 сек, желтого цвета.

10. Итог: 1 мл 0,01 н. серной кислоты либо резкого натрия соответствует 0,14 мг азота.Разность между числом серной кислоты, размещенной в приемник, и числом резкого натрия, взятого при титровании, произведенная на 0,14 мг, равна числу остаточного азота в исследуемом 1 мл крови. Чтоб показать число азота в миллиграмм-процентах, нужно итог умножить на 100.

Валентность – это способность химических элементов держать определенное число атомов других элементов. В то же самое время, это число связей, образуемое данным атомом с другими атомами. Определить валентность довольно легко.

Инструкция

1. Возьмите на заметку, что обозначается показатель валентности римскими цифрами и ставится над знаком элемента.

2. Обратите внимание: если формула двухэлементного вещества написана верно, то,при умножении числа атомов всего элемента на его валентность, у всех элементовдолжны получиться идентичные произведения.

3. Примите к сведению, что валентность атомов одних элементов непрерывна, а других – переменна, то есть, имеет качество меняться. Скажем, водород во всех соединениях одновалентен, от того что образует только одну связь. Кислород горазд образовывать две связи, являясь при этом двухвалентным. А вот у серы валентность может быть II, IV либо VI. Все зависит от элемента, с которым она соединяется. Таким образом, сера – элемент с переменной валентностью.

4. Подметьте, что в молекулах водородных соединений вычислить валентность дюже легко. Водород неизменно одновалентен, а данный показатель у связанного с ним элемента будет равняться числу атомов водорода в данной молекуле. К примеру, в Cah3 кальций будет двухвалентен.

5. Запомните основное правило определения валентности: произведение показателя валентности атома какого-нибудь элемента и числа его атомов в какой-нибудь молекуле неизменно равно произведению показателя валентности атома второго элемента и числа его атомов в данной молекуле.

6. Посмотрите на буквенную формулу, обозначающую это равенство: V1 x K1 = V2 x K2, где V – это валентность атомов элементов, а К – число атомов в молекуле. С ее поддержкой легко определить показатель валентности всякого элемента, если вестимы остальные данные.

7. Разглядите пример с молекулой оксида серы SО2. Кислород во всех соединениях двухвалентен, следственно, подставляя значения в пропорцию: Vкислорода х Кислорода = Vсеры х Ксеры, получаем: 2 х 2 = Vсеры х 2. От сюда Vсеры = 4/2 = 2. Таким образом, валентность серы в данной молекуле равна 2.

Видео по теме

Электрон – самая легкая электрически заряженная частица, которая участвует фактически во всех электрических явлениях. Он, вследствие своей малой массе, особенно привлечен в становление квантовой механики. Эти стремительные частицы обнаружили широкое использование в области нынешней науки и техники.

Слово ???????? – греческое. Именно оно дало имя электрону. Переводится это слово как «янтарь». В древние времена греческие естествоиспытатели проводили разные эксперименты, которые заключались в натирании шерстью кусков янтаря, которые после этого начинали притягивать к себе различные мелкие предметы. Электрон ом названа негативно заряженная частица, которая является одной из основных единиц, составляющих конструкцию вещества. Электрон ные оболочки атомов состоят из электронов, при этом их расположение и число являются определяющими химических свойств вещества.О числе электронов в атомах разных веществ дозволено узнать из таблицы химических элементов, составленной Д.И. Менделеевым. Число протонов в ядре атома неизменно равно числу электронов, которое должно быть в электронной оболочке атома данного вещества. Электрон ы вращаются вокруг ядра с большой скоростью, и следственно они не «падают» на ядро. Это наглядно сравнимо Луной, которая не падает, невзирая на то, что Земля ее притягивает.Современные представления физики элементарных частиц свидетельствуют о бесструктурности и неделимости электрона. Движение этих частиц в полупроводниках и металлах разрешает легко переносить и руководить энергией. Это качество повсюду применяется в электронике, быту, промышленности, информатике и связи. Невзирая на то, что в проводниках скорость движения электронов дюже крошечная, электрическое поле способно распространяться со скоростью света. Вследствие этому ток по каждой цепи устанавливается мгновенно.Электрон ы, помимо корпускулярных, владеют еще и волновыми свойствами. Они участвуют в гравитационном, слабом и электромагнитном взаимодействиях. Стабильность электрона следует из законов сохранения энергии и сохранения заряда. Эта частица – самая легкая из заряженных, и следственно не может ни на что распасться. Распад на частицы больше легкие запрещен законом сохранения заряда, а распад на больше тяжелые, чем электрон частицы запрещен законом сохранения энергии. О точности, с которой исполнен закон сохранения заряда, судить дозволено по тому, что электрон, по крайней мере, за десять лет, своего заряда не теряет.

Видео по теме

Обратите внимание!
Относительную ядерную массу, указанную в таблице Д.И. Менделеева, нужно округлять до целого числа.

jprosto.ru

Структура атома: что такое нейтрон?

Что такое нейтрон? Каковы его структура, свойства и функции? Нейтроны — это самые большие из частиц, составляющих атомы, являющиеся строительными блоками всей материи.

Структура атома

Нейтроны находятся в ядре — плотной области атома, также заполненной протонами (положительно заряженными частицами). Эти два элемента удерживаются вместе при помощи силы, называем ядерной. Нейтроны имеют нейтральный заряд. Положительный заряд протона сопоставляется с отрицательным зарядом электрона для создания нейтрального атома. Несмотря на то что нейтроны в ядре не влияют на заряд атома, они все же обладают многими свойствами, которые влияют на атом, включая уровень радиоактивности.

Нейтроны, изотопы и радиоактивность

Частица, которая находится в ядре атома — нейтрон на 0,2% больше протона. Вместе они составляют 99,99% всей массы атома. Атомы одного и того же элемента могут иметь различное количество нейтронов. Когда ученые ссылаются на атомную массу, они имеют в виду среднюю атомную массу. Например, углерод обычно имеет 6 нейтронов и 6 протонов с атомной массой 12, но иногда он встречается с атомной массой 13 (6 протонов и 7 нейтронов). Углерод с атомным номером 14 также существует, но встречается редко. Итак, атомная масса для углерода усредняется до 12,011.

Когда атомы имеют различное количество нейтронов, их называют изотопами. Ученые нашли способы добавления этих частиц в ядро ​​для создания больших изотопов. Теперь добавление нейтронов не влияет на заряд атома, так как они не имеют заряда. Однако они увеличивают радиоактивность атома. Это может привести к очень неустойчивым атомам, которые могут разряжать высокие уровни энергии.

Что такое ядро?

В химии ядро ​​является положительно заряженным центром атома, который состоит из протонов и нейтронов. Слово «ядро» происходит от латинского nucleus, которое является формой слова, означающего «орех» или «ядро». Этот термин был придуман в 1844 году Майклом Фарадеем для описания центра атома. Науки, участвующие в исследовании ядра, изучении его состава и характеристик, называются ядерной физикой и ядерной химией.

Протоны и нейтроны удерживаются сильной ядерной силой. Электроны притягиваются к ядру, но двигаются так быстро, что их вращение осуществляется на некотором расстоянии от центра атома. Заряд ядра со знаком плюс исходит от протонов, а что такое нейтрон? Это частица, которая не имеет электрического заряда. Почти весь вес атома содержится в ядре, так как протоны и нейтроны имеют гораздо большую массу, чем электроны. Число протонов в атомном ядре определяет его идентичность как атома определенного элемента. Число нейтронов означает, какой изотоп элемента является атомом.

Размер атомного ядра

Ядро намного меньше общего диаметра атома, потому что электроны могут быть отдалены от центра. Атом водорода в 145 000 раз больше своего ядра, а атом урана в 23 000 раз больше своего центра. Ядро водорода является наименьшим, потому что оно состоит из одиночного протона.

Расположение протонов и нейтронов в ядре

Протон и нейтроны обычно изображаются как уплотненные вместе и равномерно распределенные по сферам. Однако это упрощение фактической структуры. Каждый нуклон (протон или нейтрон) может занимать определенный уровень энергии и диапазон местоположений. В то время как ядро ​​может быть сферическим, оно может быть также грушевидным, шаровидным или дисковидным.

Ядра протонов и нейтронов представляют собой барионы, состоящие из наименьших субатомных частиц, называемых кварками. Сила притяжения имеет очень короткий диапазон, поэтому протоны и нейтроны должны быть очень близки друг к другу, чтобы быть связанными. Это сильное притяжение преодолевает естественное отталкивание заряженных протонов.

Протон, нейтрон и электрон

Мощным толчком в развитии такой науки, как ядерная физика, стало открытие нейтрона (1932 год). Благодарить за это следует английского физика Д. Чедвика, который был учеником Резерфорда. Что такое нейтрон? Это нестабильная частица, которая в свободном состоянии всего за 15 минут способна распадаться на протон, электрон и нейтрино, так называемую безмассовую нейтральную частицу.

Частица получила свое название из-за того, что она не имеет электрического заряда, она нейтральна. Нейтроны являются чрезвычайно плотными. В изолированном состоянии один нейтрон будет иметь массу всего 1,67·10^—27, а если взять чайную ложку плотно упакованную нейтронами, то получившийся кусок материи будет весить миллионы тонн.

Количество протонов в ядре элемента называется атомным номером. Это число дает каждому элементу свою уникальную идентичность. В атомах некоторых элементов, например углерода, число протонов в ядрах всегда одинаково, но количество нейтронов может различаться. Атом данного элемента с определенным количеством нейтронов в ядре называется изотопом.

Опасны ли одиночные нейтроны?

Что такое нейтрон? Это частица, которая наряду с протоном входит в состав ядра атома. Однако иногда они могут существовать сами по себе. Когда нейтроны находятся вне ядер атомов, они приобретают потенциально опасные свойства. Когда они двигаются с высокой скоростью, они производят смертельную радиацию. Так называемые нейтронные бомбы, известные своей способностью убивать людей и животных, при этом оказывают минимальное влияние на неживые физические структуры.

Нейтроны являются очень важной частью атома. Высокая плотность этих частиц в сочетании с их скоростью придает им чрезвычайную разрушительную силу и энергию. Как следствие, они могут изменить или даже разорвать на части ядра атомов, которые поражают. Хотя нейтрон имеет чистый нейтральный электрический заряд, он состоит из заряженных компонентов, которые отменяют друг друга относительно заряда.

Нейтрон в атоме — это крошечная частица. Как и протоны, они слишком малы, чтобы увидеть их даже с помощью электронного микроскопа, но они там есть, потому что это единственный способ, объясняющий поведение атомов. Нейтроны очень важны для обеспечения стабильности атома, однако за пределами его атомного центра они не могут существовать долго и распадаются в среднем всего лишь за 885 секунд (около 15 минут).

fb.ru

Тесты по Математике для 5 класса

Тесты по «Математике» для 5 класса

Перевод единиц длины

Математика 5 класс  |  Дата: 12.5.2019

В этом тесте мы будем закреплять тему «Степень числа»,то есть надо число умножить на себя столько раз,сколько указано над цифрой и записать ответ. Надеюсь всё понятно! Если это так, тогда начинай этот тест!!!)))

Математика 5 класс  |  Дата: 25.4.2019

Тест по теме «Углы. Виды углов»

Математика 5 класс  |  Дата: 18.4.2019

виды треугольников

Математика 5 класс  |  Дата: 17.4.2019

Проверка знаний нахождения делителей и НОД.

Математика 5 класс  |  Дата: 3.4.2019

Тест по теме уравнение

Математика 5 класс  |  Дата: 23.2.2019

Проверка знаний и навыков. Задания А оцениваются в 1 балл, задания В оцениваются в 2 балла, а задания С оцениваются в 3 или 4 балла.

Математика 5 класс  |  Дата: 30.1.2019

Математика 5 класс  |  Дата: 22.12.2018

Тест содержит 5 заданий для итогового контроля по темам: «Отыскание части от целого», «Основное свойство дроби» и «Правильные и неправильные дроби». Каждый вопрос оценивается 1 баллом.

Математика 5 класс  |  Дата: 16.12.2018

математика М.Н.Перова 8 вид 5 класс стр.66

Математика 5 класс  |  Дата: 21.11.2018

Страница 1 из 19

testedu.ru

Олимпиада по математике для 5 класса. Онлайн участие.

Математика 5 класс (Уравнения)

Лимит времени: 0

Информация

Примите участие и узнайте свой результат.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 10

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

• 

  Поздравляем!
  Вы отлично выполнили задание.
  Ваш результат соответствует 1 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 1 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы хорошо справились с заданием.
  Ваш результат соответствует 2 месту.
  Вы можете заказать оформление диплома 2 степени перейдя по ссылке.

• 

  Поздравляем!
  Вы выполнили задние допустив незначительное количество ошибок.
  Ваш результат соответствует 3 месту.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и не допустить ошибок.
  Вы можете заказать оформление диплома 3 степени перейдя по ссылке.

• 

  Сделайте работу над ошибками.
  Попробуйте пройти тестирование еще раз и добиться хорошего результата.
  Ваш результат может стать значительно лучше.

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

source2016.ru

Бесплатные онлайн тесты по математике

metaschool.ru

Тесты по Русскому языку для 5 класса

Тесты по «Русскому языку» для 5 класса

Редкий луч солнца пробъется здесь сквозь кроны дубов-великанов.

Русский язык 5 класс  |  Дата: 15.5.2019

Тест состоит из 15 вопросов

Русский язык 5 класс  |  Дата: 17.4.2019

Проверочная работа предназначена для проверки знаний и умений в рамках проведения недели русского языка по теме «Лексика и фразология». Включает 15 вопросов и заданий.

Русский язык 5 класс  |  Дата: 14.4.2019

В заданиях представлены вопросы повышенного уровня для 5-6 классов

Русский язык 5 класс  |  Дата: 17.3.2019

Использую ресурс для личных целей. Можно использовать для рефлексии на уроке русского языка в 5 классе по синтаксису.

Русский язык 5 класс  |  Дата: 14.3.2019

Данный тест поможет учащимся проверить свои знания по предлагаемой теме

Русский язык 5 класс  |  Дата: 3.3.2019

Может быть от одного до четырех правильных ответов. Содержит вопросы по прошлым темам

Русский язык 5 класс  |  Дата: 18.11.2018

Может быть от одного до нескольких правильных ответов. Тест содержит вопросы по прошлым темам

Русский язык 5 класс  |  Дата: 16.11.2018

Может быть от одного до четырех правильных ответов

Русский язык 5 класс  |  Дата: 15.11.2018

В тесте от одного до четырех правильных ответов

Русский язык 5 класс  |  Дата: 15.11.2018

Страница 1 из 21

testedu.ru

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Цели:

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)² = a² — 2ab + b²

a² — b² = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) (40+1)²

б) 98²

Решение:

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)² = 40² + 2 · 40 · 1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98² = (100 – 2)² = 100² — 2 · 100 · 2 + 2² = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Решение

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)² + (х + у)²

Решение

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)² + (х + у)² = х² — 2ху + у² + х² + 2ху + у² = 2х² + 2у²

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a — b)² = a² — 2ab + b²
a² — b² = (a — b) (a+b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³
a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)
a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

mirurokov.ru

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничи

zaochnik.com

Формулы сокращенного умножения

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x — y)² = x² — 2xy + y²

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)² = 10² + 2.10.5a + (5a)² = 100 + 100a + 25a²
(10 — 4)² = 10² — 2.10.4 + 4² = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a² = 5² + 2.2.5 + (2a)² = (5 + 2a)²

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x — y)³ = x³ — 3x²y + 3xy² — y³

Пример: (1 + a²)³ = 1³ + 3.1².a² + 3.1.(a²)² + (a²)³ = 1 + 3a² + 3a⁴ + a⁶

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)² = x² + y² + z² — 2xy — 2xz + 2yz

x² + y² = (x + y)² — 2xy
или
x² + y² = (x — y)² + 2xy

Пример: 9a² — 25b² = (3a)² — (5b)² = (3a — 5b)(3a + 5b)

x³ — y³ = (x — y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² — xy + y²)

xⁿ — yⁿ = (x — y)(x^n-1 + x^n-2y +…+ y^n-2x + y^n-1)

Если n есть чётное (n = 2k)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 — x^n-2y +…+ y^n-2x — y^n-1)

Если n есть нечётное (n = 2k + 1)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 — x^n-2y +…- y^n-2x + y^n-1)

Более формулы

2(a² + b²) = (a +

www.math10.com

Младшие Формулы — кто есть кто?

15 января 2011 (21:10) / просмотров: 3340

Чем дальше в лес, тем больше в мире существует младших автогоночных чемпионатов. Большинство из них претендует на самый высший уровень — «кузницу кадров» для Формулы 1. В давние времена, лет 30 назад, все было просто. В европейских гонках была Формула 1 — королева, собственно, такой же она и остается на сегодняшний день. Была Формула 2 — чемпионат для будущих гонщиков Ф1, молодых и талантливых. Существовало несколько национальных чемпионатов в классе Формула 3 — это для самых младших профессионалов. Ну и более мелкие Формулы Форд, Formula Vee, Формулы 1600 национальных уровней — эти гонки служили для перехода из картинга во взрослые чемпионаты. Как просто все было! А теперь даже профессионалы не всегда смогут сказать, какой из чемпионатов находится выше в сложной иерархии автоспорта.

Мы решили описать вкратце основные чемпионаты формульного класса (оупен-виллс, гонки на машинах с открытыми колесами). Предупреждаем сразу — многие моменты тут спорные, и мы даже близко не касались американских формул. Комментируйте, мы с удовольствием обсудим! А также нужно предупредить, что информация более-менее верна на начало 2011 года, а что будет дальше — покажет время и расскажет наш сайт!

Осколки

Младшие европейские автогонки в целом можно описать одним словом: осколки без единого целого. Мы опишем лишь самые основные гоночные чемпионаты Европы. Короткий экскурс в историю «лестницы к вершинам»: раньше было просто — Формула Форд, Формула 3, Формула 2 (которая позже сменила название на Ф3000, а потом и на GP2), и — Формула 1, королева автоспорта. Сейчас же Формула Форд окончательно превратилась в мало кому нужный полулюбительский чемпионат для самых младших. Вместо нее на настоящую подготовительную ступень пришли многочисленные национальные двухлитровые Формулы Renault (не путать с Мировой серией Рено — о ней позже), Ф4, Формула Abart (которую, по слухам, скоро переименуют в GP4), национальные чемпионаты Формулы BMW. К ним же стоит отнести и категории Ф3 «второго дивизиона» — немецкую, японскую, финскую, испанскую и итальянскую.

Следующий уровень гоночных Формул — это классика жанра в виде Ф3 (британской и Евросерии), а с 2011 года к ним же добавляется и Международный Трофей Формулы 3. До недавнего времени здесь же существовали и Формула Мастер (аналог Ф3, закрывшийся в 2009 году), и Формула Палмер Ауди — британская попытка энтузиастов автоспорта сделать гонки более доступными — прекратила существование в конце 2010 года.

А в 2010 году появился еще один престижный чемпионат — GP3. Причины возникновения этой, в общем-то никому не нужной серии, хорошо понятны. Эти машины почти такие же быстрые и большие, как в Формуле 3, однако моносерия GP3 гораздо более контролируемая, нежели разрозненные «тройки». Да и пилотам лучше набираться опыта на трассах Гран-при, нежели на заштатных овалах Снеттертона или Рокингхэма. Еще в этом чемпионате представлено большинство команд из GP2. Всем хороша GP3, вот если бы все в ней не было настолько коммерциализованным… Да и вместо загадочной аббревиатуры  GP многим хотелось бы видеть заветную «Ф» перед тройкой. На самом деле, централизованный чемпионат Ф3 смотрелся бы гораздо лучше.

Она стала причиной закрытия многих чемпионатов. Причины такого престижа и конкурентоспособности заключаются в двух вещах — серия GP3 является гонкой поддержки для GP2 и Формулы 1, а также в прямой связи GP3 и GP2. Несмотря на то, что GP3 использует менее мощную и более примитивную технику, чем некоторые другие чемпионаты, стоимость участия в ней очень высока — до 600-700 тыс. евро за сезон.

В настоящее время четкая ступень для подготовки и последующего перехода в чемпионаты высокого уровня перед Формулой 1 не существует. GP3 становится стандартом де-факто, однако раздаются голоса в поддержку альтернативного, более дешевого пути для младших гонщиков по дороге в Формулу 1. А пока что таланты вынуждены пробиваться через запутанные серии, надеясь на то, что их заметят команды Ф1 и не забудут спонсоры.

Высшие «младшие» гоночные Формулы на конец 2010 года: GP2, Мировая серия Рено (Formula Renault 3,5), и Формула 2 — именно в таком порядке. Эти три чемпионата великолепно дополняют друг друга, и именно сюда приходят выпускники Ф3, GP3 и многих-многих других гонок.

GP2 (Гран-при 2) — на сегодняшний день безоговорочный лидер, молодежный чемпионат высшей категории, с самыми мощными и быстрыми машинами, а также с самой широкой поддержкой в СМИ. Почти все чемпионы этой серии, за исключением Джорджо Пантано, переходили в Ф1, а всего таких «выпускников» набралось уже 17 человек — всего за 6 лет истории. Всем хорош GP2, лишь один недостаток может погубить его — это стоимость участия. Предшественники GP2 — классическая Ф2, затем Формула 3000, прекращали свое существование из-за того, что расходы команд непомерно росли, а практически единственным источником дохода служили гонщики и их спонсоры. Когда расходы возрастают до астрономических величин, то происходит коллапс, и серия умирает — никто не хочет участвовать в таком чемпионате за сумасшедшие деньги. Примечательно, что Ф3000 заменила собой «классическую» Формулу 2 именно по этой причине — обеспечить гонки для молодых пилотов за приемлемые деньги. Спустя 20 лет Формула 3000 точно так же прекратила свое существование в пользу GP2. И вот теперь для участия в этой серии гонщику придется выложить до 2 млн. фунтов стерлингов спонсорских средств, что выглядит крайне дорого.

Именно в чемпионат GP2 переходят топ-пилоты еще более младших классов — Европейской Ф3, GP3, иногда Мировой серии Рено и Формулы 2. Однако далеко не все. Причина банальна и хорошо описана одним абзацем ранее — деньги. В GP2 гонщик должен быть не только и не столько быстр, но, скорее, обеспечен в финансовом отношении. За его спиной чаще всего присутствуют серьезные спонсоры — транснациональные корпорации, нефтяные магнаты, или даже целые страны.

Что делать быстрым гонщикам, у которых просто нет такой поддержки? Для них существуют другие классы — Мировая серия Renault, и, с 2009 года, Формула 2. Мировая Серия Рено стоит гораздо дешевле, чем GP2, потому и конкуренция в ней весьма высока. Да и далеко не каждый чемпион Формулы Рено 3,5 может перейти прямо в Формулу 1 — чаще всего их дорога лежит через GP2. Мировая серия Рено идеальна для тех гонщиков, которым нужно набраться чуть больше опыта, а за душой у них нет серьезных спонсоров, могущих потянуть бюджеты GP2. Итак, Мировая серия — отличное место для обучения без прессинга и непомерных расходов GP2.

Мировая серия Рено — чемпионат, серьезно уступающий по уровню GP2, но успешно доказавший, что может выпускать пилотов экстра-класса: Себастьян Феттель и Хайме Альгерсуари — двое из таких гонщиков. Казалось, что каждый из них слишком молод для Формулы 1, однако первый уже чемпион мира. Однако большинство экспертов уверены, что топ-пилотам этой серии надо бы выступить еще год в GP2, в отличие от 2-3 обычных лет в этом чемпионате.

Формула 2 — новый чемпионат, который был задуман международной автоспортивной федерацией (ФИА), как альтернативный путь в Ф1. Очень мощные и быстрые машины (быстрее Мировой серии), и годовой бюджет на уровне Ф3. Концепция выглядит почти идеально, вот только престиж этот чемпионат еще не успел набрать.

Формула 2 была возрождена в 2009 году, и первый сезон прошел достаточно успешно. Этот чемпионат — отчаянная попытка ФИА сделать хоть что-то с GP2 и ее «младшими братьями-сестрами» с их космическими бюджетами. Но хотя в первый год чемпионом стал быстрый и стабильный Энди Соучек, вполне востребованный в Формуле 1, он все же так и не смог стать боевым пилотом Гран-при. В 2010 году дела пошли еще хуже, и Дин Стоунмен, новый чемпион Ф2, даже не пытался попасть в Формулу 1. Похоже, в ближайший год-два выпускники второй Формулы могут рассчитывать лишь на попадание в GP2 — еще одна «кузница кадров». Критики говорят, что этот чемпионат создан для тех, у кого совсем нет спонсоров. Критики же спрашивают — а может быть эти пилоты не настолько хороши, чтобы ими интересовались серьезные спонсоры? Посмотрим.

Ниже этих чемпионатов традиционно находятся различные серии Формулы 3 — Евросерия, британская Ф3, испанская (так называемый «открытый чемпионат Европы»), итальянская и немецкая. В Южной Америке свой класс — (SudAm F3), а еще существует достаточно серьезная японская категория. С 2011 года на арену выходит некий «чемпионат мира в классе Ф3», который будет создан не на пустом месте, а на базе лучших команд различных национальных «трешек», а гонки будут проходить на самых престижных трассах — Гран-при По, Гран-при Макао, Спа. Вместе с Формулой 3 последние годы серьезной популярности добились многочисленные (даже слишком уж многочисленные) Формулы Рено 2,0 с двухлитровым двигателем. Основным преимуществом Ф3 перед другими сериями этого класса (Формула Палмер Ауди, Формула Мастер и Формулы Рено 2,0) в том, что этот класс — лучший для обучения настройкам машины для молодых пилотов.

Революционеры-бизнесмены

А еще есть новое поколение чемпионатов, большинство из которых создано (и даже успели прекратить свое существование) за последние годы. В основном, они не слишком известны за пределами когорты болельщиков. Зачем они создаются? Чтобы владельцы чемпионатов могли заработать деньги? Политика? И то, и это. Но не всегда.

Когда умерла серия Формула 3000, то на ее замену пришел чемпионат GP2. А многочисленные болиды Ф3000 выкупили итальянские промоутеры, где и создали чемпионат под названием Евросерия 3000. Этот чемпионат провозгласил себя альтернативным путем в Формулу 1. В 2010 году серия была переименована в AutoGP, и с прошлого же года выкупила болиды чемпионата A1GP. Сложно описать нишу, которую занял этот чемпионат. Вообще-то после реструктуризации и обновления технопарка он явно повысил свой рейтинг. Туда пришли некоторые команды из GP2. Вероятно, правильнее всего назвать эту категорию в ближайшем будущем, как поставщика пилотов в GP2, хотя владельцы вряд ли согласятся со мной. Да и гонщикам-выпускникам Ф3, Формулы Рено 3,5, Ф2 вряд ли нужна еще одна ступень. Очень интересно было бы, если организаторы дистанцируют чемпионат от «лестницы автоспорта на пути в Формулу 1», а чемпионат станет самодостаточным событием с европейским статусом, как отдельный чемпионат со своими правами — наподобие Формулы Суперлига. Вот эта ниша еще совсем не занята, и пока что пустеет. Вместе с тем, Формула 1 постепенно мигрирует из Европы, и многие великолепные трассы остались без должного внимания. Европе нужна «домашняя» формульная серия высшего класса, и AutoGP вполне может стать такой автогоночной категорией.

Формула Мастер пришла и ушла. Ничего, толком, не оставив после себя. Вкратце — это была альтернатива для многочисленных Формул 3, которая «работала» почти до самого конца серией поддержки для WTCC (позже ее заменила возрожденная Формула 2, а затем ). Единственный сколь-нибудь заметный выпускник «мастерского чемпионата» — Жером д’Амброзио, действующий гонщик GP2 и тестер Ф1 в командах Renault и Virgin.

Что нас ждет? Или — как бы было идеально?

Я часто размышляю о различных чемпионатах автогонок и их несогласованности между собой. И вот что я думаю о некоторых молодежных сериях.

Формула Master  была бесполезной серией, которая год назад тихо ушла в небытие. Никто особо и не переживает.

Формула Палмер Ауди была отличным стартом для малобюджетных пилотов. Очень жаль, что ее существование было прервано в конце 2010 года. Так или иначе, конец назревал уже некоторые время, и очень здорово, что организаторы сами решили уйти, а банкротство не коснулось этой замечательной концепции.

Формула 2 в нынешнем своем виде не делает погоды вообще — еще ни один ее выпускник не перешел в Ф1, за исключением полугодовой карьеры Энди Соучека в Virgin в качестве запасного пилота. Однако уже в 2011 году ожидается некоторое оживление в этом чемпионате из-за небывало низкой стоимости участия. Также известно, что Ф2 — серьезный козырь в рукаве ФИА в их набирающем обороты противостоянии с GP2. А пока что в 2010 году уровень гонщиков Формулы 2 был далек от желаемого. А вообще было бы идеально переименовать GP2 в Формулу 2, хотя это вряд ли когда-либо произойдет.

GP3 — неплохая бизнес-идея. Им бы чуть более мощные машины (а в идеале — объединение с  Евросерией Ф3), и была бы великолепно выстроенная лестница в Формулу 1. При таком (пока далеком от реальности) объединении Евросерии Ф3 с GP3, существующие национальные «трешки» в Британии, Испании, Италии и Германии великолепно справлялись бы с подготовкой гонщиков в эту гипотетическую серию, или в Мировую серию, или в Ф2 (которой вряд ли нашлось бы место под солнцем при таком раскладе).

GP2 должна существовать так или иначе, под каким угодно именем. Подобная серия была всегда — в прошлом это Ф2, затем Ф3000. Другой вопрос, что  со своей задачей — поставлять гонщиков в Формулу 1 — этот чемпионат справляется все хуже. Количество возрастает, а качество страдает. По сути, GP2 превращается в сборище богатых гонщиков. Не столько талантливых, сколько обеспеченных. Концепция чемпионата GP2 должна быть пересмотрена в самое ближайшее время  — иначе в существующем виде Гран-при 2 стремится к краху. Dallara и Renault не могут больше продолжать развиваться по пути сильного удорожания (и увеличения мощности) каждые 3 года. Место под солнцем с радостью займет та же самая Ф2. Тем более что с 2013 года техника Ф1 значительно потеряет свое преимущество.

Мировая серия Рено (FR3,5) — хороший чемпионат, который должен продолжить существование. На позицию лидера  эта серия не претендует вообще, однако в качестве альтернативы GP2 она должна быть.

AutoGP серьезно развивается — и пусть им сопутствует удача. Со временем, вероятно, эта серия перестанет поставлять гонщиков в GP2, а станет самодостаточной автогоночной серией, а не поставщиком пилотов для других чемпионатов. Собственно, этот процесс уже происходит. Европе очень не хватает своеобразной «домашней Ф1», топовой автогоночной категории  континента. Вообще этот чемпионат — тема для  отдельной будущей статьи, к которой мы обязательно вернемся.

Касательно дюжины (или даже больше!) самых различных чемпионатов в категории Formula Renault 2,0. На самом деле, такое количество даром никому не нужно. Существует двухлитровая Евросерия двухлитрвых ФРено — вот и хватит. Со временем большинство этих чемпионатов попросту отомрет.

Ну и самое главное — не надо больше никаких младших автогоночных серий! Существующих и так слишком много. Автогонки младших классов должны служить интересам пилотов, команд и  инженеров, а не собственным коммерческим целям. Существующая экономическая ситуация в мире, все менее адекватные цены участия в чемпионатах обязательно забьют последний гвоздь в крышку гроба умирающих ныне чемпионатов. В Европе достаточно серий для того, чтобы не проявлять излишнюю сентиментальность.

Напоследок

Как все просто и легко в американских формульных сериях! Еще год назад местная автоспортивная ассоциация запустила великолепно работающий проект под названием «Лестница в Indy». Там иерархия выражена очень четко — есть главный чемпионат IndyCar, есть «Инди-2» — серия Indy Lights, молодежная USF2000, и серия для самых молодых гонщиков — Star Mazda. Таким образом, IndyCar обеспечил себе стабильное, быстрое и красивое будущее.

formula-2.ru

Formula 2 — Автогоночная серия болидов формульного типа

Гоночная серия автомобилей с открытыми колесами, занимающая промежуточное место между Формулой-1 и Формулой-3. Идея организовать гонки малолитражных авто появилась в 20-30-е годы ХХ века, но окончательно утвердилась в 1948 году. Пережив несколько трансформаций, Формула-2 существует и сейчас.

 История

В 20-30-е годы ХХ века для популяризации автогонок было предложено проводить соревнования малолитражных авто. В них брали участие частные пилоты, не обладающие профессиональной лицензией и небольшие автопроизводители, финансы которых не позволяли создавать болиды для Гран-При. Двигатели машин не должны были превышать 1,5 л, в то время как техника для Гран-При имела моторы 4,5 л или силовые агрегаты с турбинами объемом 3 л.

В 1946 году была создана Formula-A трансформировавшаяся в F1. Регламент позволил оставить атмосферники объемом 4,5 л, а турбомоторы ограничили 1,5 л. Это расширило число желающих участвовать в Гран-При и в 1948 году силовые агрегаты приблизились к серийным версиям, а объемы ограничились 2 л для атмосферных двигателей и 0,75 л для турбированных. Подобные изменения, не оставив места соревнованиям класса ниже Формулы-1, привели к рождению регламента Формулы-2 (изначально – Formula B), допускавшему использование 2-х литровых двигателей с нагнетателем в 0,75 куб.см. Желающих принять участие в гонках становилось все больше, на этот класс обратили внимание производители второго ряда и он стал кузницей кадров для “Королевских гонок”. В 50-е годы такой формат стал столь популярен, что многие гонки проходили в составе чемпионата Формулы-2.

Решение F1 перейти к 2,5-литровым двигателям с нагнетателем стало причиной спада популярности Формулы-2, но в 1957 году технический регламент Ф2 изменили в пользу моторов объемом 1,5 л. Здесь доминировал Cooper с задним расположением моторного отсека – новой в те времена идеей и независимой подвеской, вскоре его сменила обновленная Феррари. К концу 50-х сближение требований фактически объединило оба чемпионата, а в 1961 году Formula Junior стала новым младшим классом.

К 1964 году Формула Юниор была разбита на несколько отдельных серий. Старшими были однолитровые атмосферные двигатели от Cosworth и Honda к которым присоединились другие производители. К 1967 году был организован чемпионат Европы и ФИА разрешила увеличить объем двигателей до 1,6 л с возможностью доработки заводских образцов. В 1972-м были разрешены 6-цилиндровые двухлитровые силовые агрегаты, что привело к увеличению числа участников, но уменьшило популярность соревнований, поскольку слишком многое зависело от опыта команды и пилота.

С 1976 года началось доминирование двигателей Рено, созданных специально для гонок, но к концу 70-х они были потеснены БМВ и Феррари. В начале 80-х в серию вернулась Хонда с V6, обладающим повышенной мощностью. Это привело к снижению конкуренции и очередному упадку Формулы-2.

В сезоне 1985 года Формулу-2 заменили Формулой 3000, использующей схожие шасси и наддувные двигатели V8 объемом 3,0 л от Cosworth. В 2009-м организаторы решили вернуться к Формуле-2 с использованием единого мотора Ауди 1,5 л с наддувом и шасси от Williams. Их обслуживание в течение сезона обходилось в 195 тыс. фунтов стерлингов, но серию упразднили в 2013 году. В рамках развития ФИА в 2017 году Формула-2 возродилась на основе закрытой гоночной серии GP2.

Описание соревнований

Этап гонок Формулы-2 проводится в пятницу, субботу и воскресенье, согласно утвержденному заранее календарю. Во время пятничной сессии отводится полчаса на свободную практику, затем дается 30 минут на квалификационные заезды. По итогам квалификации болиды выстраиваются на стартовой решетке.

Первая часть заездов проводится в субботу, старт дается с места, дистанция составляет 170 км. Исключениями являются этап в Будапеште, с дистанцией в 160 км и в Монако, где автомобили проезжают 140 км. Если в течение часа дистанция не преодолена заезд прекращается, в зачет идет положение машин в момент остановки гонки. В заезде нужно сделать минимум один пит-стоп и сменить пару колес.

Вторая часть соревнований проходит в воскресенье и называется спринт. Машины устанавливаются на стартовой решетке согласно показанным в субботу результатам, но первая восьмерка меняется номерами стартовой решетки. Пилот, занявший 8 место, стартует с 1 места, 7 – со 2 места и так далее. Дистанция заезда составляет 120 км, кроме Монако где он ограничен 100 км. Предельный показатель времени для заезда 45 минут.

Гонщик, завоевавший поул-позишн получает 4 очка. Далее очки распределяются по таблице:

Участник, установивший лучшее время в заезде, дополнительно получает 2 очка. За один этап можно заработать 48 очков. Чемпионами становятся пилот и команда с наибольшим количеством очков в сезоне.

Техника

В 2017 году болид комплектовался бензиновым атмосферным Mecachrome V8, объемом 4,0 л и максимальной мощностью 612 л.с., с крутящим моментом 500 Н∙м. Масса машины составляла 688 кг. С 2018 года планируется установить турбированную версию мотора от того же производителя объемом 3,4 л. Он обеспечит 620 л.с. с крутящим моментом 600 Н∙м. Это позволит разгонять болид до 200 км/ч за 6,6 секунд. Максимальной скорость составит 335 км/ч при оптимальных настройках аэродинамики. Новый мотор будет иметь ресурс 8000 км, а масса машины увеличится до 720 кг.

Аэродинамический обвес машин остается классическим с системой антикрыльев и днищем с диффузором, создающим дополнительную прижимную силу за счет граундэффекта – создания зоны низкого давления непосредственно под автомобилем. Полуавтоматическася трансмиссия разработана GearTek и включает 6 передних и 1 заднюю передачу. КПП оснащена системой электронного управления и дифференциалом пониженного трения.

Регламент соревнований предусматривает единого поставщика покрышек, с 2011 года это компания Pirelli. До 2005 года автомобили ездили на шинах с канавками, что ухудшало аэродинамику и сцепление с трассой. В 2006 году эта резина была заменена на слики.

Болид оборудован системами активной и пассивной безопасности. С 2018 года Формула-2, как и F1, получит новую систему защиты кокпита Halo, снижающую вероятность травмирования при аварии. Это важно, поскольку по скорости болиды серии уступают только F1 и IndyCar. Согласно правилам команды могут изменять настройки, добиваясь локального преимущества. Шасси традиционно поставляется Dallara Automobili – последняя действующая модель GP2/11, которая заменена в 2018-м.

drivecontact.ru

Формула 2 2019 | Results

ru.motorsport.com

Формулы сокращенного умножения

Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.

а² — b² = (а — b)(a + b)

Разберем для наглядности:

22² — 4² = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а² — 4b²c² = (3a — 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
112² = (100+12)²
3) Применяя формулу, получаем:
112² = (100+12)² = 100² + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.

(а +b)² = а² — 2аb + b²

где (а — b)² равняется (b — а)². В доказательство чему, (а-b)² = а²-2аb+b² = b²-2аb + а² = (b-а)²

Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

(а+b)³ = а³ + 3а²b + 3аb² + b³

Пятая, как вы уже поняли называется куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.

(а-b)³ = а³ — 3а²b + 3аb² — b³

Шестая называется — сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

а³ + b³ = (а+b)(а²-аb+b²)

По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!

reshit.ru

Калькулятор линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений

Как решать линейные уравнения

Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.

Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.

В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.

Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.

Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел. В системе линейных алгебраических уравнений не допускается возведение в степень и извлечение корня, иначе они перестанут быть линейными.

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

«Решение системы линейных уравнений методом Крамера»

«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»

Также читайте нашу статью «Калькулятор матриц онлайн»

Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений

Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решение систем линейных уравнений методом подстановки онлайн

Самым простым методом решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ) является метод подстановкиили метод исключения. Рассмотрим его более подробно, предположим, нам дана СЛУ вида:

Требуется её решить, т.е. найти такие значения переменных x₁, x₂, чтобы при подстановке их в исходную СЛУ, последняя обращалась в верное тождество. Метод подстановки заключается в следующем:

1. Решим первое уравнение относительно переменной x₁:

2. Подставим полученное для переменной x₁ выражение во второе уравнение системы:

3. Упростим второе уравнение системы:

4. Решим второе уравнение системы относительно x₂:

5. Подставим полученное для переменной x₂ выражение в первое уравнение системы:

6. Упростим первое уравнение системы:

Данный онлайн калькулятор решает СЛУ методом методом подстановки с описанием пошагового хода решения на русском языке. Коэффициенты СЛУ могут быть не только числами или дробями, но также и параметрами. Для работы калькулятора необходимо ввести уравнения и выбрать переменные СЛУ, которые необходимо найти.

www.mathforyou.net

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн

Одним из популярных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является метод обратной матрицы. Рассмотрим этот метод подробнее на примере решения СЛАУ, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными.

Введем обозначения: A — матрица СЛАУ, которая имеет вид:

X — вектор столбец неизвестных, которые нам нужно найти:

B — вектор столбец свободных коэффициентов:

В результате, исходную СЛАУ можно записать в матричной форме:

Решим это матричное уравнение, для чего домножим его обе части слева на матрицу A^-1:

Здесь, A^-1 — это матрица, обратная к матрице A. Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. такой, определитель которой не равен нулю).

Эти условия показывают границы применимости метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Во-первых: матрица СЛАУ A должна быть квадратной. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Во-вторых: определитель матрицы A должен быть отличен от нуля:

Кроме того, обратная матрица обладает ещё одним замечательным свойством: её произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:

Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:

Таким образом, для того, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, сначала нам нужно убедиться, что обратная матрица существует, затем найти её и умножить на вектор B.

Наш онлайн калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом обратной матрицы. Калькулятор выдаёт пошаговое решение с описанием действий на русском языке. Уравнения СЛАУ вводятся в калькулятор в естественном виде. В качестве коэффициентов уравнения можно вводить не только числа и дроби, но и параметры — в этом случае калькулятор выдаст решение в общем виде.

www.mathforyou.net

Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Это классический метод решения системы линейных уравнений, в основе которого лежат элементарные преобразования системы (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффмцменты) для приведения к равносильной системе уравнений треугольного типа, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные неизвестные. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.

На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.

matematikam.ru

Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений онлайн (СЛУ онлайн) методом подстановки.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки онлайн выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Решение системы линейных уравнений онлайн

Метод подстановки

Решение системы линейных уравнений методом подстановки осуществляется следующим образом: сперва в одном из уравнений произвольная переменная выражается через остальные. Затем данное выражение подставляется во все остальные уравнения системы. Тем самым система из n уравнений превращается в систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными. Затем аналогичные действия повторяются до тех пор, пока мы не приходим к конечному выражению для одной из переменных системы. Получив её значения, мы через неё выражаем пошагово все остальные неизвестные.

Данный метод решения СЛАУ называется методом подстановки (мы вместо некоторой переменной подставляем её выражение через другие переменные). Метод классический и простой в понимании, но на практике для больших систем уравнений очень громоздкий и сложный в вычислениях. Поэтому на практике при решении систем уравнений с большим количеством уравнений применяют более удобные методы, наподобие метода Гаусса, в котором преобразования уже выполняются в матрице, без лишних записей.

matematikam.ru

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.

Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:

Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.

Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.

В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).

Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.

Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).

Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:

Количество решений

Коэффициенты решения

Сохранить share extension

1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Откуда обратным ходом находим единственное решение:

Система совместна и определена.

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

В результате приходим к системе:

Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:

поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.

При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:

не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим

Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:

Полученная эквивалентная система имеет вид:

Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:

которые можно отбросить.

Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:

planetcalc.ru

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений вида:

может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.

Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:

Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.

Знаков после запятой: 2

Количество решений

Вектор решения системы уравнений

Сохранить share extension

Метод Гаусса

Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).

Приведение матрицы к ступенчатому виду

На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:

Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.

Выражение базисных переменных

Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.

skokaskoka.ru

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A⁻¹. Тогда

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A⁻¹A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

или, учитывая, что Ex=x:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где A_ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A⁻¹b. Тогда

Ответ:

Круги Эйлера онлайн — 4 Июля 2016 — Примеры решений задач

Круги Эйлера, диаграммы Венна

Геометрическое моделирование множеств. Калькулятор.

Для наглядного представления множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество,  –  в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга.

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.

Калькулятор для построения кругов Эйлера.

Правила вввода основных обозначений операций над множествами:

Пример. Изобразить множество D с помощью кругов Эйлера  (нарисовать диаграмму Эйлера-Венна):

В таблице показано: как правильно вводить в калькулятор выражения  для операций над множествами.

www.reshim.su

Круги Эйлера на примере решения задачи

При решении многих задач, связанных с множествами, незаменимым оказывается приём, основанный на использовании так называемых «кругов Эйлера». Эти диаграммы впервые появились в работах одного из величайших математиков в истории Леонарда Эйлера, который в течение продолжительного времени жил и работал в России и был членом Петербургской академии наук. Использование кругов Эйлера добавляет наглядности при решении сложных задач, делая многие вещи буквально очевидными. Предлагаю вам в этом убедиться самостоятельно на примере решения следующей задачи.

Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера

Тут нужно понимать, что если сказано, что «42 человека используют метро», то это вовсе не означает, что кроме метро они не используют никаких других видов транспорта. Кто-нибудь из них может быть и использует. Может быть ещё какой-то один вид транспорта, трамвай или автобус. А может и сразу оба! Вопрос задачи как раз и состоит в том, чтобы посчитать людей, которые используют все три вида транспорта.

С первого взгляда даже непонятно, с чего начинать решение. Но если немного поразмыслить, становится ясно, что действовать нужно по следующему алгоритму. Будем стараться расписать всех людей (58 человек) через известные из условия данные. Нам известно, что автобус используют 44 человека. Прибавим к этому количество людей, которые используют метро. Их всего 42 человек. С помощью кругов Эйлера эту операцию можно изобразить наглядно в следующем виде:

То есть пока что мы имеем дело с выражением 58 = 44 + 42… Знак «…» означает, что выражение ещё не закончено. Проблема в том, что мы посчитали людей на пересечении этих кругов дважды. Соответствующая область на диаграмме выделена тёмно-зелёным цветом. Поэтому один раз их нужно вычесть. Это люди, которые пользуются автобусом и метро. Их, как известно, 31. То есть наше «неоконченное» выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31… И на диаграмме при этом пропадает тёмно-зелёный цвет:

Пока всё хорошо. Прибавляем теперь людей, которые ездят на трамвае. Таких людей 32. Выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31 + 32… Диаграмма с кругами Эйлера, в свою очередь, становится следующей:

Проблема в том, что опять мы хватанули лишку. Люди, которых мы вновь посчитали дважды, отмечены на диаграмме тёмно-зелёным цветом. Эта область находится на пересечении множества, которое мы получили на предыдущем этапе, и множества людей, пользующихся трамваем.

Нужно вычесть людей, которых мы посчитали дважды. Но как это сделать? Единственное, что мы можем сделать, — это разом вычесть людей, которые передвигаются на трамвае и автобусе (их 22 человека), а также на трамвае и метро (таких людей 21). После этого наше неоконченное выражение для общего количества людей примет вид: 58 = 44 + 42 — 31 + 32 — 22 — 21…, а диаграмма с кругами Эйлера окажется с дыркой в центре, потому что центральную часть мы вычли дважды:

К счастью в незакрашенной области как раз и находятся те люди, число которых нам нужно посчитать. Действительно, эти бедняги используют ежедневно все три вида транспорта для того, чтобы добраться до работы, ведь они находятся на пересечении всех трёх множеств. Обозначим количество этих бедолаг за . Тогда диаграмма примет следующий вид:

А уравнение станет следующим:

Расчёты дают . Это и есть ответ к задаче. Столько людей используют все три вида транспорта каждый день, чтобы добраться на работу.

Вот такое вот простое решение. Фактически, в одно уравнение. Просто удивительно, не правда ли?! А теперь представьте, как пришлось бы решать эту задачу без использования кругов Эйлера. Это было бы настоящее мучение. Так что в очередной раз убеждаемся, что любые методы визуализации чрезвычайно полезны при решении задач по математике. Используйте их, это поможет вам в решении сложных задач как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах по математике в лицеи и вузы.

Чтобы проверить, хорошо ли вы поняли решение данной задачи, ответьте на следующие вопросы:

1. Сколько человек используют только один вид транспорта для того, чтобы добраться до работы?
2. Сколько человек используют для этого ровно два вида транспорта?

Свои ответы и варианты решения присылайте в комментариях.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

yourtutor.info

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ «КРУГОВ ЭЙЛЕРА»

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  С  ПОМОЩЬЮ  «КРУГОВ  ЭЙЛЕРА»

Рыбина  Ангелина

Класс  5  «Д»,  МОУ  «СОШ  №  59  с  УИП»,  РФ,  г.  Саратов

Багаева  Ирина  Викторовна

научный  руководитель,  педагог  высшей  категории,  преподаватель  математики,  МОУ  «СОШ  №  59  с  УИП»,  РФ,  г.  Саратов

«…  круги  очень  подходят  для  того,  чтобы  облегчить  наши  размышления»

Леонард  Эйлер

Нет  ученого,  имя  которого  упоминалось  бы  в  учебной  математической  литературе  столь  же  часто,  как  имя  Эйлера.  Даже  в  средней  школе  логарифмы  и  тригонометрию  изучают  до  сих  пор  в  значительной  степени  «по  Эйлеру».

В  1741  году  Эйлер  пишет  «Письма  о  разных  физических  и  философических  материях,  написанные  к  некоторой  немецкой  принцессе…»,  где  появились  впервые  «круги  Эйлера».  Эйлер  писал  тогда,  что  «круги  очень  подходят  для  того,  чтобы  облегчить  наши  размышления». 

При  решении  целого  ряда  задач  Леонард  Эйлер  использовал  идею  изображения  множеств  с  помощью  кругов  и  они  получили  название  «круги  Эйлера». 

С  помощью  этих  кругов  Эйлер  изобразил  и  множество  всех  действительных  чисел: 

·     N  —  множество  натуральных  чисел, 

·     Z  —  множество  целых  чисел, 

·     Q  —  множество  рациональных  чисел, 

·     R  —  множество  всех  действительных  чисел. 

Рисунок  1.  Изображение  множества  действительных  чисел

Что  такое  множество?

В  математике  нет  точного  определения  этого  понятия.  Понятие  «множество»  не  определяется,  оно  поясняется  примерами:  множество  яблок  в  корзине;  множество  точек  отрезка  прямой.  Множество  состоит  из  элементов.  В  приведенных  примерах  —  это  яблоки,  буквы,  точки. 

Множества  обозначаются  заглавными  буквами  латинского  алфавита:  А,  В,  С,  …  K,  M,  N  …  Х,  …;  элементы  множества  —  строчными  буквами  алфавита:  а,  в,  с,  …  k,  m,  n  …  х,  у,  ….  А={а;  в;  с;  d}  —  множество  А  состоит  из  элементов  а,  в,  с,  d,  или,  говорят,  что  элемент  а  принадлежит  множеству  А,  записывается:  аА  (знак    читается:  «принадлежит»).  Элемент  5  не  входит  в  множество  А,  говорят,  что  «5  не  принадлежит  А»:  5  А,  или  .  Если  множество  В  не  содержит  ни  одного  элемента,  то  говорят,  что  оно  пустое,  обозначается:  В=.

Под  множеством  можно  понимать  совокупность  каких-либо  объектов,  называемых  элементами  множества  [1,  с.  18].  Примерами  множеств  могут  быть  и  дома  на  нашей  улице,  и  алфавит  —  совокупность  букв,  и  наш  5  «Д»  класс  —  множество  учеников.

Множества  могут  быть:

·     Конечное  (элементы  которого  можно  пересчитать;  например  —  множество  цифр)

·     Бесконечное  (пересчитать  нельзя;  например  —  песчинки  в  пустыне)

·     Пустое  (не  содержащее  ни  одного  элемента;  например  —  множество  зайцев,  которые  учатся  в  нашем  классе).

Множество  K  называется  подмножеством  множества  N,  если  каждый  элемент  множества  K  является  элементом  множества  N.  Обозначается:  KÍN.  Говорят,  что  множество  K  включается  в  множество  N.

Подмножества  можно  проиллюстрировать  кругами  Эйлера. 

Рисунок  2.  Изображение  подмножества

Действия  с  множествами

В  математике  существуют  несколько  операций  над  множествами.  Мы  разберем  два  из  них:  пересечение  и  объединение.

1.  Пересечение  множеств

Пересечением  множеств  M  и  N  называется  множество,  состоящее  из  элементов,  одновременно  принадлежащих  M  и  N.  Пересечение  множеств  M  и  N  обозначается    [1,  с.  23].

Пример.  Множество  N  =  {  А  Н  Д  Р  Е  Й  }; 

множество  K  =  {  А  Л  Е  К  С  Е  Й  };  множество  M  =  {  Д  М  И  Т  Р  И  Й  }

Рисунок  3.  Пример  пересечения  множеств

2.  Объединение  множеств

Объединение  множеств  —  это  множество,  содержащее  в  себе  все  элементы  исходных  множеств.  Объединение  множеств  M  и  N  обозначается  .

Пример  ;  2)  объединение  множества  всех  пород  собак  и  множества  мопсов  есть  множество  всех  собак.

Операции  объединения  и  пересечения  множеств  очень  удобно  показывать  с  помощью  кругов  Эйлера.

По  определению  в  пересечение  двух  множеств  M  и  N  входят  элементы,  принадлежащие  множествам  M  и  N  одновременно

Пример.  Пусть  D  —  множество  из  12  самых  хороших  девочек,  M  —  множество  из  12  самых  умных  мальчиков.  Получили  наш  класс.

Рисунок  4.  Пример  объединения  множеств

3.  Вложенные  множества. 

Пример.  Имеется  три  множества:  «дети»,  «школьники»,  «учащиеся  начальной  школы».  Мы  видим,  что  эти  3  множества  находятся  одно  внутри  другого.  Про  множество,  находящееся  внутри  другого  множества,  говорят,  что  оно  вложенное.

Рисунок  5.  Пример  вложенных  множеств

Задачи,  которые  можно  решить  с  помощью  диаграмм  Эйлера

Задача  №  1

На  стол  бросили  две  салфетки  10  см  х  10  см.  Они  покрыли  площадь  стола,  равную  168.  Какова  площадь  перекрытия?

Решение

1)168  –  10  х  10  =  68;

2)10  х  10  –  68  =  32.

Ответ:  32  см

Рисунок  6.  Рисунок  к  задаче  №  1

Задача  №  2 

В  поход  ходили  80  %  учеников  класса,  а  на  экскурсии  было  60  %,  причем  каждый  был  в  походе  или  на  экскурсии.  Сколько  процентов  класса  были  и  там,  и  там?

Решение

А  —  множество  учеников,  которые  ходили  в  поход

В  —  множество  учеников,  которые  были  на  экскурсии

100  %  –  80  %  =  20  %

60  %  –  20  %  =  40  %

Ответ:  40  %

Рисунок  7.  Рисунок  к  задаче  №  2

Задача  №  3

В  нашем  классе  24  ученика.  Все  они  хорошо  провели  зимние  каникулы.10  человек  катались  на  лыжах,  16  ездили  на  каток,  а  12  —  лепили  снеговиков.  Сколько  учеников  смогли  покататься  и  на  лыжах,  и  на  коньках,  и  слепить  снеговика?

А  —  множество  ребят,  катающихся  на  лыжах

В  —  множество  ребят,  катающихся  на  коньках

С  —  множество  ребят,  лепивших  снеговиков

Решение

Пусть  х  —  число  ребят, 

которые  успели  за  эти  каникулы  всё!

(12  —  х)  +  (16  —  х)  +  (10  —  х)  +  х  =  24

Ответ:  7  ребят

Рисунок  8.  Рисунок  к  задаче  №  3

Задача  №  4

9  моих  друзей  любят  бананы,  8  –  апельсины,  а  7  –  сливы,  5  –  бананы  и  апельсины,  3  –  бананы  и  сливы,  4  –  апельсины  и  сливы,  2  –  бананы,  апельсины  и  сливы.  Сколько  у  меня  друзей?

Решение

5  –  2  =  3  3  –  2  =  1  4  –  2  =  2

9  –  6  =  3  8  –  7  =  1  7  –  5  =  2

3  +  1  +  2  +  3  +  2  +  1  +  2  =  14

Ответ:  14  друзей

Рисунок  9.  Рисунок  к  задаче  №  4

Задача  №  5

В  пионерском  лагере  «Дубки»  в  смене  актива  отдыхали:  30  отличников,  28  победителей  олимпиад  и  42  спортсмена.  10  человек  были  и  отличниками  и  победителями  олимпиад,  5  —  отличниками  и  спортсменами,  8  —  спортсменами  и  победителями  олимпиад,  3  —  и  отличники,  и  спортсмены,  и  победители  олимпиад.

Сколько  ребят  отдыхали  в  лагере? 

А  —  множество  отличников

В  —  множество  победителей  олимпиад 

С  —  множество  спортсменов

Решение

10  –  3  =  7  5  –  3  =  2  8  –  3  =  5

30  –  12  =  18  28  –  15  =  13  42  –  10  =  32

18  +  13  +  32  +  7  +  2  +  5  +  3  =  80

Ответ:  80  ребят

Рисунок  10.  Рисунок  к  задаче  №  5

3.  Заключение

Диаграммы  Эйлера  —  это  общее  название  целого  ряда  способов  графической  иллюстрации ,  широко  используемых  в  различных  областях  математики:  теория  множеств,  теория  вероятностей,  логика,  статистика,  компьютерные  науки,  и  др.  Применение  кругов  Эйлера  позволяет  даже  пятикласснику  легко  решать  задачи,  которые  обычным  путем  решаются  только  в  старших  классах.

Список  литературы:

1.Александрова  Р.А.,  Потапов  А.М.  Элементы  теории  множеств  и  математической  логики.  Практикум  /  Калининград.  1997.  —  66  с. 

2.Депман  И.Я.,  Виленкин  Н.Я.  За  страницами  учебника  математики.  Пособие  для  учащихся  5—6  кл.  М.:  Просвещение,  1999.  с.  189—191,  231.

3.Задачи  для  внеклассной  работы  по  математике  в  V—VI  классах:  Пособие  для  учителей  /  Сост.  В.Ю.  Сафонова.  Под  ред.  Д.Б.  Фукса,  А.Л.  Гавронского.  М.:  МИРОС,  1993.  —  с.  42. 

4.Занимательная  математика.  5—11  классы.  Как  сделать  уроки  нескучными  /  Авт.  сост.  Т.Д.  Гаврилова.  Волгоград:  Учитель,  2005.  —  с.  32—38. 

5.Смыкалова  Е.В.  Дополнительные  главы  по  математике  для  учащихся  5  класса.  СПб:  СМИО  Пресс,  2009.  —  с.  14—20. 

6.Энциклопедия  для  детей.  Т.  11.  Математика  Глав.ред.  М.Д.  Аксёнова.  М.:  Аванта  +,  2001.  —  с.  537—542.

sibac.info

Множества и классы понятий, основные операции над нами. Круги Эйлера.

Чтобы как-то описать, о чем все же идет речь, говорят, что множество – это совокупность некоторых объектов, которые называются элементами множества. Однако такое описание не мо- жет считаться определением, так как совокупность – это просто другое на- звание множества. Множество, которому не при- надлежит ни один элемент, называется пустым.
Универсальным нзывают все остальные множества и обозначают U.
Операции над множествами:
1) Множество A называется дополнением множества A, если A состоит из
элементов, которые не принадлежат A: A =△ {x : x ∈/ A}
2)Множество A ∪ B называется объединением множеств A и B, если оно состоит из элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству
B(операция«или»)
3)Множество A ∩ B называется пересечением множеств A и B, если оно состоит из элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B
(операция «и»)
4) Множество A − B = A B =△ A ∩ B называется разностью множеств A и B, оно состоит из элементов, которые принадлежат множеству A, но не
принадлежат множеству B

Круги Эйлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления

Прямое (декартово) произведение множеств. Комбинаторные структуры.

Прямое (декартово) произведение множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, первый компонент принадлежит А, а второй принадлежит В.

, соответственно

Понятие отношения. Обратное отношение. Графическое представление бинарных отношений.

Бинарным отношением из множества А в множество В называется всякое подмножество прямого произведения А на В; если А=В, то говорят о бинарном отношении на множестве А. Обозначение:

Множество точек плоскости, координаты которых (x,y), образуют упорядоченные пары некоторого бинарного отношения называется графиком данного бинарного отношения.

Бинарные отношения – это множества, их можно объединять, пересекать, дополнять и т. д.

Бинарное отношение указывает на наличие определенной связи между некоторыми парами объектов.

Отношением, обратным к отношению , называют подмножество прямого произведения , такое, что .

Отношение эквивалентности. Свойства отношений. Разбиение множеств на классы.

Отношение рна множестве М называется отношением эквивалентности, если обладает отношениями:

1.Рефлексивности

2. Симметричности

3.Транзитивности

Отношения могут обладать рядом свойств, которые определяются через условия, которым должны удовлетворять их элементы

Пусть рна множестве А, тогда р называется:

· рефлексивным, если

· симметричным, если

· транзитивным, если

Отношение порядка. Свойства отношений.

Отношением р на множестве М называется отношением строгого порядка:

1.Иррефлексивность

2.Асиметричность

3.Транзитивность

Отношения могут обладать рядом свойств, которые определяются через условия, которым должны удовлетворять их элементы

Пусть рна множестве А, тогда р называется:

1) иррефлексивным, если

2) транзитивным, если

3)ассимметричным, если

Отношением р на множестве М называется отношением нестрогого порядка:

1.Рефлексивность

2.Антисимметричность

3.Транзитивность

Пусть рна множестве А, тогда р называется:

1) рефлексивным, если

2)антисимметричным, если

3)транзитивным, если

Отображения и их основные свойства. Виды отображений.

Мн-во F(x) первых компонент мн-ва F (мн-во всех прообразов) называется областью определения отображения N.

Мн-во F(y) вторых компонент мн-ва F (мн-во всех образов) называется областью значений отображения N.

Виды:

1) F(x)=x – всюду определённое;

2) F(y)=y – называется отображением х на у.

3) Если каждый элемент х из мн-ва х имеет не более 1 образа в у, то отображение N называется функциональным (однозначным) отображением или функцией.

4) Отображение N в минус первой степени является обратным отображению N.

5) Отображение N называется взаимно однозначным, если N является всюду определённым функциональным отображением х на у, а N в минус первой степени – всюду определённым отображением у на х.

infopedia.su

Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера (презентация)

На языке мудрости ЗНАТЬ – это значит УМЕТЬ , а ПОНИМАТЬ – это значит ДЕЙСТВОВАТЬ .

Тема урока:

Множества.

Операции над множествами.

Круги Эйлера.

Цель урока:

• обобщить и систематизировать знания студентов по теме: «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера.»

МНОЖЕСТВО

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

основатель теории множеств

Георг Кантор (1845 -1918 гг.) – немецкий математик

Понятие теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так:

• Множество-совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D ,…, Z

Объекты , из которых образовано множество, называются элементами множества.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c ,…, z .

в

z

d

а

с

е

множество людей на Солнце

множество прямых углов

равностороннего треугольника

множество точек пересечения

двух параллельных прямых

Пустое множество-множество,

не содержащее ни одного элемента.

НАБОР КАРАНДАШЕЙ

КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК

СТАЯ ПТИЦ

СТАДО КОРОВ

ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ

БУКЕТ ЦВЕТОВ

множество

элемент

Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник

Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр

Натуральные числа

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ..

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двузначные четные числа

Множество четырехугольников

Пространственные тела

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Квадраты чисел

Цифры десятичной системы счисления

10, 12, 14, 16 … 96, 98

Обозначения числовых множеств

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Стандартные обозначения

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

Запишите множества букв слов

КОНИ И КИНО

{ К, О, Н, И }

{ К, И, Н, О }

Равные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};

{х | 5

Конечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

{1; 4; 9; 16; 25; …};

{10; 20; 30; 40; 50; …};

Бесконечные множества

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

Охарактеризуйте множество А:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9};

б) А = {- 2, — 1, 0, 1, 2};

в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Даны множества:

М = {5, 4, 6};

Р = {4, 5, 6};

Т = {5, 6, 7};

S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

М

Р

T

S

Отношения между множествами

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Даны множества:

А = {2; 3; 8};

В = {2; 3; 8; 11};

С = {5; 11}.

Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

Даны множества:

А = { a , b , c , d };

B = { c , d , e , f };

C = { c , e , g , k }.

Найдите: (АUВ)UС.

Даны множества:

А – множество всех натуральных чисел, кратных 10;

В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

Решение задачи

с помощью кругов Эйлера

K

Леона́рд Э́йлер ( 1707-1783 гг.)  — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

k

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Всего 30

6

13

11

поют 17

танцуют 19

17+19=36, всего 30

36-30= 6

Решение

Пусть А — это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В — множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём — m = 19. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. — это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k .

Согласно формуле доказанной выше

n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.

Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

18

Немецкий 27

Английский 25

Только немецкий

27 – 18 = 9

Только английский

25 – 18 = 7

7

9

7 + 9 + 18 = 34

Ответ: в классе 34 ученика

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было

по 3 элемента

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Объединение содержит 9 элементов

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион — 3; цирк и стадион — 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

САМООЦЕНКА

10 – хорошо знаю весь фактический материал, и

участвовал в организации группы;

9 – хорошо  знаю свой вопрос, и участвовал в работе на

уроке;

8 – хорошо знаю весь фактический материал;

7 – хорошо  знаю свой вопрос;

6 – знаю свой вопрос;

5 – знаю свой вопрос, но был пассивен;

4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов;

3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен;

1,2 – не знаю свой вопрос, и был пассивен.

Подведение итогов занятия

— оценка степени реализации поставленных

целей; — оценка работы студентов; — самооценка работы студентов в группах.

Домашнее задание

М.С. Спирина,

«Дискретная математика»

§§1.1.-1.2, с.14-20.

Спасибо за работу на уроке, урок окончен!

videouroki.net

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера / Хабр

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».

Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».

Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».

Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.

Почему уравнение Эйлера так важно?

• Константа e связана со степенными функциями.
• Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
• Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

e в степени i, умноженного на ϕ (phi) = cos ϕ (phi) + sin ϕ (phi)

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 1 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:

1001 = (2³) + (0²) + (0¹) + (2⁰) = [9 в системе с основанием 10]

Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?

Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.

В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.

Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.

Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.

В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.

Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

0: число для обозначения ничего

Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.

Пи (π): самое известное иррациональное число

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²

Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).

На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.

Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к длине описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.

Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).

Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.

Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разряда пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.

Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 2⁶²-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи. Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.

Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!

В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.

С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.

А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.

e: история экспоненциального роста

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.

Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 2⁰ зерна на первую клетку шахматной доски, 2¹ зерна на вторую клетку доски, 2² зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 2⁶³ зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.

Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.

Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).

В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением. Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Рисунок 39: открытие тождества Эйлера

Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.

habr.com

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера

Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».

Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».

Рисунок 2.0: обложка журнала The Mathematical Intelligencer

Рисунок 3.0: опрос Дэвида Уэллса из журнала

Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».

Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».

Рисунок 4.0: в этой сцене уравнение Эйлера можно заметить на второй книге в самой правой стопке.

Рисунок 5.0: в этой сцене уравнение Эйлера написано на футболке второстепенного персонажа.

Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.

Рисунок 6.0: купюра, выпущенная в 1983 году в Германии в память о двухсотлетии со смерти Эйлера.

Рисунок 7.0: марка, выпущенная Швейцарией в 1957 году в честь 250-й годовщины Эйлера.

Почему уравнение Эйлера так важно?

Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.

• Константа e связана со степенными функциями.
• Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
• Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

Впервые тождество Эйлера появилось в 1748 году в его книге Introductio in analysin infinitorum. Позже другие люди увидели, что эта формула связана с тригонометрическими функциями синуса и косинуса, и эта связь удивительна, ведь степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от — 1 до -1.

e в степени i, умноженного на ϕ (phi) = cos ϕ (phi) + sin ϕ (phi)

Рисунок 8.0: экспоненциальная функция y=ex.

Рисунок 8.1: график тождества Эйлера.

Рисунок 8.2: частоты, испускаемые LC-цепью.

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.

Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 1 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:

1001 = (2³) + (0²) + (0¹) + (2⁰) = [9 в системе с основанием 10]

Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?

Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.

Рисунок 11: показанные здесь иероглифы образуют число 4622; это одно из чисел, вырезанных на стене в храме в Карнаке (Египет).

Рисунок 12: иероглифы — это изображения, обозначающие слова, а в данном случае — числа.

В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.

Рисунок 13: вавилонские числа из шестидесятиричной системы счисления (с основанием 60).

Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.

Рисунок 14: романский абакус в шестнадцатеричной (с основанием 16) системе счисления

Рисунок 15: таблица преобразования из арабских в римские числа

Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.

Рисунок 15: таблица букв древних греков.

В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.

Рисунок 16: китайский способ счёта с числами-палочками. Использовался как минимум с 400 года до нашей эры. Квадратная счётная доска использовалась примерно до 1500 года, когда её заменил абакус.

Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами

Рисунок 18: ещё один способ записи чисел майя.

0: число для обозначения ничего

Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.

Рисунок 19: вырезанный на стене храма в Гвалиоре круг обозначает ноль. Ему примерно 1500 лет.

Рисунок 20: чёрные точки в манускрипте Бакхшали обозначают нули; это самый старый письменный пример использования числа, ему примерно 1800 лет.

Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.

Рисунок 21: на этой схеме показана эволюция чисел, происходящих от чисел брахми и заканчивающаяся числами, которыми мы используем и сегодня.

Рисунок 22: классическая гравюра «Арифметика» из Margarita Philosophica Грегора Рейша, на которой изображено соревнование между Боэцием, улыбающимся после открытия индо-арабских чисел и письменных вычислений, и нахмуренным Пифагором, до сих пор пытающимся пользоваться счётной доской.

Пи (π): самое известное иррациональное число

Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²

Рисунок 22: анимированная связь между окружностью и диаметром в отношении пи.

Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).

Рисунок 23: данные опроса 941 респондентов для определения процента людей, способных запомнить знаки пи после запятой.

Рисунок 24: На стене станции метро Karlsplatz в Вене записаны сотни разрядов пи.

На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.

Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к длине описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.

Рисунок 24: вавилонская глиняная табличка с отношением периметра шестигольника к длине описанной окружности.

Рисунок 25: Numberwarrior

Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).

Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.

Рисунок 26: математический папирус Ахмеса.

Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разряда пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.

Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 2⁶²-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи. Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.

В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно

Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.

Рисунок 29: Формула Мэчина для пи

Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!

Рисунок 30: Juliabloggers

В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.

Рисунок 31: комната пи

С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.

Рисунок 32: Science Friday

А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.

Рисунок 32: бросание 1000 иголок для оценки приблизительного значения пи

e: история экспоненциального роста

e — это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть e тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем e, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.

Рисунок 33: источник

Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 2⁰ зерна на первую клетку шахматной доски, 2¹ зерна на вторую клетку доски, 2² зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 2⁶³ зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.

Рисунок 34: источник: Wikipedia

Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.

Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.

Рисунок 35: закон Ньютона-Рихмана

Рисунок 36: мальтузианская катастрофа

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом i, был Эйлер.

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i² будет равно -1.

После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).

Рисунки 37 и 38: комплексные числа

В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением. Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти вязь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений

Рисунок 39: открытие тождества Эйлера

Рисунок 40: тождество Эйлера

Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.

Автор: PatientZero

Источник

www.pvsm.ru

Калькулятор дат

Калькулятор дат, лет, дней, времени поможет рассчитать количество времени между двумя любыми произвольными датами.

Калькулятор может вычислить время в годах, месяцах, неделях, днях, часах, секундах.

С помощью калькулятора времени, вы в режиме онлайн можете рассчитать время до предстоящего события или определить возраст человека.

Начальная дата

Введите дату:

Выбранная дата:

12.05.2018 — это xx

xx день в году, xx неделя

Конечная дата

Введите дату:

Выбранная дата:

12.05.2018 — это Вторник

212 день в году, 26 неделя

Показаны результаты времени между выбранными датами:

Рассчитать время до предстоящего события или определить возраст человека

Если необходимо рассчитать время до предстоящего события или определить возраст человека, введите начальную дату (или дату рождения) в строке, которая размещена ниже. Дата будет рассчитана от веденого дня до сегодняшнего дня. Дополнительно будет рассчитано количество оставшихся дней с сегодняшнего дня до следующего дня рождения.

Укажите дату рождения (события):

ууу лет, zzz месяцев, ххх дней

До ближайшего дня рождения (или до события):

Описание калькулятора

С помощью нашего калькулятора, вы в режиме онлайн можете рассчитать время до предстоящего события или определить возраст человека.

Чтобы воспользоваться калькулятором, просто введите начальную и конечную даты и вычисление произойдёт автоматически.

Чтобы воспользоваться калькулятором, просто введите начальную и конечную даты и вычисление произойдёт автоматически.

doza.pro

Калькулятор дней

Инструкции для Калькулятора дней

Калькулятор дней считает количество дней, недель, месяцев, лет и даже часов, минут и секунд между двумя указанными датами.
По умолчанию Калькулятор дней считает дни между сегодняшней датой и 1 января 2000 года

Выберите Дату 1 и Дату 2 в выпадающих меню настройки дат.
Если нужно изменить Век, выберите нужный век, щелкнув мышью по названию века.
Выберите необходимый вариант расчетов: дни, недели, месяцы, годы и т. д.
Расчеты производятся сразу, по мере изменения настроек.

Калькулятор дней может считать дни в диапазоне от 40 века Н.Э. до 40 века до Н.Э.
Выполненные расчеты можно сохранить в памяти калькулятора нажав на кнопку «Сохранить». Возможно сохранение до 30 значений.
Вы можете удалять или корректировать сохраненные результаты.
Сохраненные результаты можно подставить в основные расчеты, щелкнув мышью по нужной строке.

Скопировав ссылку на результат можно отправить ссылку на расчеты другу.

Часто задаваемые вопросы

Учитывает ли Калькулятор дней количество дней в високосных годах ?

Да, конечно, учитывает. Учитывается не просто количество дней в году, но и количество дней в каждом отдельном месяце. Это легко проверить немного поэкспериментировав с настройками Калькулятора дней.

Исторические факты

В связи с несовершенством Юлианского календаря итальянским астрономом Лилием Алоизием был создан новый вариант летоисчисления. Его отличие заключалось в том, что високосными годами в конце века были только те, которые кратны 400.

Новый вариант календаря был принят в обращение 15 октября 1582 папой Григорием XIII и получил название Григорианский в честь его имени. Из-за неточностей предыдущего Юлианского календаря образовалось 10 лишних дней. Поэтому переход на новое летоисчисление перескочил этот лишний промежуток времени.

calculator888.ru

Калькулятор лет онлайн. Математические действия с датами.

Калькулятор лет для математических действий с датами онлайн.

Калькулятор лет поможет вам произвести математические расчеты, связанные с датами и временными величинами. В частности,  калькулятор позволяет выполнять следующие вычисления:

1. Определить количество дней между датами. А в случае с большими промежутками определяется также количество месяцев, лет и веков. Функция часто может пригодится в рамках исторических вычислений, а также в деловом документообороте.
2. Прибавить дни к определенной дате. Например, можно определить дату окончания отпуска и т.п. Прибавлять можно не только дни, но и месяцы, годы и даже века.
3. Вычесть из даты определенное количество дней. Данная функция будет очень полезна для различных ретроспективных вычислений.

Инструкция по использованию калькулятора лет.

Пользоваться калькулятором очень просто. Интерфейс разделен на три условных области. В левой части калькулятора находятся кнопки для ввода дат в формате ДД.ММ.ГГГГ (например, 01.01.2016). В центре находятся действия, которые можно производить с датами: сложение (прибавить к дате временную величину), вычитание (вычесть из даты временную величину) и промежуток (узнать разницу между двумя датами). А в правой части вводятся временные величины, то есть количество дней, месяцев, лет и веков, которые необходимо прибавить или вычесть из той или иной даты.

Калькулятор принимает и обрабатывает только простые арифметические выражения, состоящие из двух чисел (дат или временных величин) и одного действия. Операции сложения и вычитания могут производиться только между датой и величиной. Операция нахождения промежутка может производиться только между двумя датами.

В случае, если производится заведомо ошибочный ввод данных, то в верхней части калькулятора (над экраном) будет выведена соответствующая подсказка, а в области набора будут подсвечены те кнопки, которые допустимы для ввода в данном месте выражения. Это очень просто и удобно. Допустим, вы ввели дату и сразу же пробуете ввести величину из правой части. В данной ситуации калькулятор напишет наверху «Пожалуйста, выберите действие» и подсветит средний столбец кнопок. Ровно по той же самой логике выводятся все остальные подсказки. Поначалу это может показаться непривычным, но подобные подсказки для усвоения и соблюдения принципа работы калькулятора лет. Как показывает практика, пользователи осваивают его очень быстро, а сообщения об ошибках находят весьма полезными. Далее будут рассмотрены примеры действий на калькуляторе лет.

Как найти разницу между двумя датами?

Найти количество дней между двумя датами на нашем калькуляторе очень просто. Ввод осуществляется по формуле «дата-промежуток-дата». Допустим, вам необходимо найти разницу между 1 сентября 1997 года и 23 августа 2017 года. Чтобы узнать, сколько времени прошло между этими датами, следуйте следующим шагам:

1. В левой части калькулятора (в области дат) введите по очереди цифры 0, 1, 0, 9, 1, 9, 9, 7. По мере ввода надпись «Д.Д.М.М.Г.Г.Г.Г.» будет постепенно подсвечиваться оранжевым цветом, показывая полноту ввода даты. Таким образом, на экране вы увидите первую дату выражения: 01.09.1997.
2. После того, как первая дата введена, в центральной области калькулятора выберите действие «Промежуток». На экране отобразится символический знак промежутка в виде отрезка с точками a и b, посередине которого располагается знак вопроса.
3. Теперь снова вернитесь к левой части калькулятора и введите вторую дату: 23.08.2017. После чего нажмите на кнопку «Равно», которая находится в правой части калькулятора прямо под табло.

В результате, на экран будет выведена разница между этими двумя датами: 19 лет 11 месяцев и 22 дня.

Если вы ошиблись в процессе ввода, то всегда можно воспользоваться клавишей Backspace на клавиатуре или нажать на соответствующую кнопочку под цифрой 9 на интерфейсе калькулятора. Также, обратите внимание, что вы можете использовать «горячие» кнопки для быстрого ввода даты сегодняшнего дня, вчерашнего дня, даты начала текущего месяца и текущего года. Если вам необходимо узнать промежуток между датами до нашей эры (или одной датой до нашей эры, а другой обычной датой), то после ввода даты нажмите на кнопку «до н.э» под цифрой 8 и на экране автоматически добавится соответствующая пометка.

Как прибавить к дате дни, месяцы, года или века?

Чтобы прибавить к дате дни или любые другие временные величины, необходимо ввести выражение по формуле «дата+величина». Допустим, вам необходимо прибавить 28 дней к 1 января 2017 года. Для этого, следуйте следующим шагам:

1. В левой части калькулятора введите следующие цифры: 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 7. На экране отобразится дата 01.01.2017.
2. В столбце действий нажмите на кнопку «+».
3. В правой части калькулятора (в области величин) введите цифру 28 и нажмите на кнопку «Дн». Таким образом, полное выражение на табло калькулятора будет выглядеть так: 01.01.2017+28 дней.

После нажатия на кнопку «Равно» вы получите следующий результат:  29.01.2017. Точно таким же образом вы можете прибавлять к дате месяцы, года и века.

Кстати, вы можете вводить выражение и наоборот, то есть формула «величина+дата» также является вполне рабочей. То же самое касается и вычитания.

Как вычесть из даты дни, месяцы, года, века?

Вычесть из даты дни и любые другие величины так же просто, как и прибавить. Допустим, вам требуется вычесть из 26 октября 2015 года ровно 30 лет. Чтобы, подобно Марти Макфлаю  из фильма «Назад в будущее» вернуться на 30 лет назад. Для этого, произведите следующий ввод:

1. В левой части экрана введите цифры: 2, 6, 1, 0, 2, 0, 1, 5. Получится – 26.10.2015.
2. Затем выберите действие «-» в среднем столбце операций.
3. После этого в правой части введите цифру 30 и нажмите кнопку «лет».

После нажатия на кнопку «Равно» вы получите дату 26.10.1985.

Работа на калькуляторе лет с помощью клавиатуры компьютера.

Работать с калькулятором можно не только с помощью мышки, но и с помощью клавиатуры вашего компьютера. Далее приведена таблица соответствия клавиш компьютера и кнопок калькулятора.

datacalc.ru

Калькулятор Дни в Месяцы | Сколько месяцев в днях

Сколько месяцев в днях — дни равно месяцев

1 День (д)
=
0.033333333 (мес)

Рациональное и иррациональное число: описание и чем они отличаются?

Откуда же произошли следующие термины такие, как:

• Рациональное число.
• Иррациональное число.

А свои корни они извлекли из латинского слова «ratio», что означает «разум». Исходя из дословного перевода:

• Рациональное число — это «разумное число».
• Иррациональное число, соответственно, «неразумное число».

Общее понятие рационального числа

Рациональным числом считается то число, которое можно записать в виде:

1. Обыкновенной положительной дроби.
2. Отрицательной обыкновенной дроби.
3. В виде числа нуль (0).

Иными словами, к рациональному число подойдет следующие определения:

• Любое натуральное число является по своей сути рациональным, так как любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
• Любое целое число, включительно число нуль, так как любое целое число можно записать как ввиде положительной обыкновенной дроби, в виде отрицательной обыкновенной дроби, так и ввиде числа нуль.
• Любая обыкновенная дробь, и здесь не имеет значение положительная она или отрицательная, тоже напрямую подходит к определению рационального числа.
• Так же в определение можно отнести и смешанное число, конечную десятичную дробь либо бесконечную периодическую дробь.

Примеры рационального числа

Рассмотрим примеры рациональных чисел:

• Натуральные числа — «4», «202», «200».
• Целые числа — «-36», «0», «42».
• Обыкновенные дроби.

Из вышеперечисленных примеров совершенно очевидно, что рациональные числа могут быть как положительными так и отрицательными. Естественно, число 0 (нуль), которое тоже в свою очередь является рациональным числом, в тоже время не относится к категории положительного или отрицательного числа.

Отсюда, хотелось бы напомнить общеобразовательную программу с помощью следующего определения: «Рациональными числами» — называются те числа, которые можно записать в виде дроби х/у, где х (числитель) — целое число, а у (знаменатель) — натуральное число.

Общее понятие и определение иррационального числа

Помимо «рациональных чисел» нам известны и так называемые «иррациональные числа». Вкратце попробуем дать определение данным числам.

Еще древние математики, желая вычислить диагональ квадрата по его сторонам, узнали о существовании иррационального числа.
Исходя из определения о рациональных числах, можно выстроить логическую цепь и дать определение иррациональному числу.
Итак, по сути, те действительные числа, которые не являются рациональными, элементарно и есть иррациональными числами.
Десятичные дроби же, выражающие иррациональные числа, не периодичны и бесконечны.

Примеры иррационального числа

Рассмотрим для наглядности небольшой пример иррационально числа. Как мы уже поняли, бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными, к примеру:

• Число «-5,020020002… (прекрасно видно, что двойки разделены последовательностью из одного, двух, трех и т.д. нулей)
• Число «7,040044000444… (здесь ясно, что число четверок и количество нулей каждый раз цепочкой увеличивается на единицу).
• Всем известное число Пи (3,1415…). Да, да — оно тоже является иррациональным.

Вообще все действительные числа являются как рациональными так и иррациональными. Говоря простыми словами, иррациональное число нельзя представить ввиде обыкновенной дроби х/у.

Общее заключение и краткое сравнение между числами

Мы рассмотрели каждое число по отдельности, осталось отличие между рациональным числом и иррациональным:

1. Иррациональное число встречается при извлечении квадратного корня, при делении окружности на диаметр и т.д.
2. Рациональное число представляет обыкновенную дробь.

Заключим нашу статью несколькими определениями:

• Арифметическая операция, произведенная над рациональным числом, кроме деления на 0 (нуль), в конечном результате приведет тоже к рациональному числу.
• Конечный результат же, при совершении арифметической операции над иррациональным числом, может привести как к рациональному так и к иррациональному значению.
• Если же в арифметической операции принимают участие и те и другие числа (кроме деления или умножения на нуль), то результат нам выдаст иррациональное число.

vchemraznica.ru

Рациональные и иррациональные числа

Ранее мы уже показали, что $1\frac25$ — близко к $\sqrt2$. Если бы оно точно равнялось $\sqrt2$, задача была бы решена. Тогда соотношение — $\frac{1\frac25}{1}$, которое можно превратить в соотношение целых чисел $\frac75$, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.

Но, к сожалению, $1\frac25$ не является точной величиной $\sqrt2$. Более точный ответ $1\frac{41}{100}$, дает нам соотношение $\frac{141}{100}$. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем $\sqrt2$ к $1\frac{207}{500}$. В этом случае соотношение в целых числах будет равно $\frac{707}{500}$. Но и $1\frac{207}{500}$ не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение $\sqrt2$, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение $\frac{\sqrt2}{1}$ в виде соотношения целых чисел.

Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение $\sqrt2$ невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.

Но если число $\frac{\sqrt2}{1}$ не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая дробь, содержащая $\sqrt2$, например $\frac{\sqrt2}{2}$ или $\frac{4}{\sqrt2}$ также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в $\frac{\sqrt2}{1}$, умноженное на какое нибудь число. Так $\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{1} \times \frac12$. Или $\frac{\sqrt2}{1} \times 2=2\frac{\sqrt2}{1}$, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на $\sqrt2$, и получить $\frac{4}{\sqrt2}$. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число $\sqrt2$, если мы умножим его на $\sqrt2$, то получим 2.)

Поскольку число $\sqrt2$ нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа. С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными.

Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.

Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у чисел, входящих в ряд квадратных чисел. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, $\sqrt{1\frac79}$ является рациональным числом, так как $\sqrt{1\frac79}=\frac{\sqrt16}{\sqrt9}=\frac43$ или $1\frac13$ ( 4 — это корень квадратный из 16, а 3 — корень квадратный из 9).

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

2. $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

spravochnick.ru

натуральный, рациональный, иррациональный, действительные числа, комплексный

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4… \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения «меньше» ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

При

www.math10.com

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Арифметика

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

      Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

      Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

      При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

      Числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

      Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

      При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

      Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

      Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа

      Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

,

удовлетворяющая равенству

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

      Используя данное равенство, получаем:

      Отсюда вытекает, что число   m² является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m² = (2k + 1)² =
= 4m² + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

      Отсюда вытекает, что число   n² является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

      Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

.

      Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число  является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел
с недостатком и с избытком

      Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

      Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

      Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

      Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

      Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

      Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

и т.д.

      Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Иррациональное число — это… Что такое Иррациональное число?

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби , где  — целые числа, . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.^[1]

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и  — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и  — целые числа. Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a² = 2b².
• Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y.
• Тогда a² = 4y² = 2b².
• b² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

Наше время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

dic.academic.ru

Иррациональные числа: понятие и особенности

Множество всех натуральных чисел обозначают буквой N. Натуральные числа, это числа которые мы используем для счета предметов: 1,2,3,4, … В некоторых источниках, к натуральным числам относят также число 0.

Ответы@Mail.Ru: Домашка по химии

порядковый номер элемента указывает на число электронов, число протонов и заряд ядра атома. Найдите в периодической системе элемент серебро. Чему равны его порядковый номер и массовое число? Оказывается, порядковый номер 47, а массовое число 108. Какие выводы можно сделать из этого? Число электронов в атоме серебра 47, число протонов также 47, заряд ядра +47. Масса атома (масса ядра) равна 108 а. е. м. Напомним, что ядро образовано протонами и нейтронами. Чтобы найти число нейтронов, необходимо из 108 вычесть 47. В атоме серебра 61 нейтрон. номер периода указывает на число энергетических уровней в атоме, а номер группы — на кол-во электронов на внешнем (последнем) уровне. Атом натрия имеет порядковый номер 11, массовое число 23. Ядро содержит 11 протонов и 12 нейтронов. Заряд ядра +11. Около ядра движется 11 электронов. Натрий находится в третьем периоде, поэтому 11 его электронов распределены на трех энергетических уровнях (2е, 8е, 1е) . Атом калия – порядковый номер 19, массовое число 39. В ядре – 19 протонов и 20 нейтронов. Заряд ядра +19. Около ядра движется 19 электронов. Калий находится в четвертом периоде, поэтому 19 его электронов распределены на четырех энергетических уровнях (2е, 8е, 8е, 1е) . Сколько электронов на ВЭУ у атома серебра? Чтобы ответить на этот вопрос, уточните положение серебра в периодической системе. Серебро находится в первой группе, значит, на внешнем энергетическом уровне его атомов – один электрон. на внешнем энергетическом уровне не может быть более 8 электронов Сколько же электронов может находиться на различных энергетических уровнях? На ближайшем к ядру (первом) энергетическом уровне может находиться не более двух электронов. Вместимость других электронных слоев показана на схеме. <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/babuba/_answers/i-6.jpg» >

присоединяюсь к предыдущему ответившему. если же коротко и быстро — так. берем таблицу Менделеева. нас интересуют: 1) порядковый номер 2) атомный вес 3) группа (номер столбца, если считать слева) порядковый номер = числу протонов = общему числу электронов номер группы = числу электронов на последнем слое атомный вес — порядковый номер = числу нейтронов

touch.otvet.mail.ru

Химические элементы в организме человека их роль (Таблица)

В организме человека обнаружено 86 элементов периодической системы Менделеева, которые постоянно присутствуют, из них 25 необходимы для нормальной жизнедеятельности, 18 из которых абсолютно, а 7 полезны. Профессор В.Р. Вильямс назвал их элементами жизни.

В состав веществ, участвующих в реакциях, связанных с жизнью клетки, входят все известные химические элементы, большинство из них это кислород (65 — 75%), углерод (15 — 18%), водород (8 — 10%) и азот (1,5 — 3,0%). Остальные элементы делятся на 2 группы: макроэлементы (около 1,9%) и микроэлементы (около 0,1%). Макроэлементы — это сера, фосфор, хлор, калии, натрий, магний, кальций и железо, к микроэлементам — цинк, медь, иод, фтор, марганец, селен, кобальт, молибден, стронций, никель, хром, ванадий и др. Микроэлементы хоть и малочислены, но играют важную роль — влияют на обмен веществ. Без них невозможна нормальная жизнедеятельность каждой клетки в отдельности и организма как целого.

Таблица химические элементы в организме человека их роль