Калькулятор линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений
Как решать линейные уравнения
Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.
Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.
В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.
Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.
Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел. В системе линейных алгебраических уравнений не допускается возведение в степень и извлечение корня, иначе они перестанут быть линейными.
Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.
«Решение системы линейных уравнений методом Крамера»
«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»
Также читайте нашу статью «Калькулятор матриц онлайн»
Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений
Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решение систем линейных уравнений методом подстановки онлайн
Самым простым методом решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ) является
Требуется её решить, т.е. найти такие значения переменных x1, x2, чтобы при подстановке их в исходную СЛУ, последняя обращалась в верное тождество. Метод подстановки заключается в следующем:
1. Решим первое уравнение относительно переменной x1:
2. Подставим полученное для переменной x1 выражение во второе уравнение системы:
3. Упростим второе уравнение системы:
4. Решим второе уравнение системы относительно x2:
5. Подставим полученное для переменной x2 выражение в первое уравнение системы:
6. Упростим первое уравнение системы:
Данный онлайн калькулятор решает СЛУ методом методом подстановки с описанием пошагового хода решения на русском языке. Коэффициенты СЛУ могут быть не только числами или дробями, но также и параметрами. Для работы калькулятора необходимо ввести уравнения и выбрать переменные СЛУ, которые необходимо найти.
www.mathforyou.net
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн
Одним из популярных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является
Введем обозначения: A — матрица СЛАУ, которая имеет вид:
X — вектор столбец неизвестных, которые нам нужно найти:
B — вектор столбец свободных коэффициентов:
В результате, исходную СЛАУ можно записать в матричной форме:
Решим это матричное уравнение, для чего домножим его обе части слева на матрицу A-1:
Здесь, A-1 — это матрица, обратная к матрице A. Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. такой, определитель которой не равен нулю).
Эти условия показывают границы применимости метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Во-первых: матрица СЛАУ A должна быть квадратной. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Во-вторых: определитель матрицы A должен быть отличен от нуля:
Кроме того, обратная матрица обладает ещё одним замечательным свойством: её произведение на исходную матрицу коммутативно и равно единичной матрице:
Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:
Таким образом, для того, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, сначала нам нужно убедиться, что обратная матрица существует, затем найти её и умножить на вектор B.
Наш онлайн калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом обратной матрицы. Калькулятор выдаёт пошаговое решение с описанием действий на русском языке. Уравнения СЛАУ вводятся в калькулятор в естественном виде. В качестве коэффициентов уравнения можно вводить не только числа и дроби, но и параметры — в этом случае калькулятор выдаст решение в общем виде.
www.mathforyou.net
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выберите количество неизвестных величин: 2345Заполните систему линейных уравнений
Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.
Решить системуВоспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса
Это классический метод решения системы линейных уравнений, в основе которого лежат элементарные преобразования системы (сложение, вычитание уравнений, умножение на коэффмцменты) для приведения к равносильной системе уравнений треугольного типа, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные неизвестные. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.
На нашем сайте решение происходит в режиме онлайн, каждый шаг решения имеет подробное описание, поэтому вы с легкость сможете освоить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Также мы применяем наиболее полную форму метода Гаусса, когда матрица приводится не к диагональному виду, а к единичной форме. В этом случае правая колонка и будет представлять значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.
matematikam.ru
Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений онлайн (СЛУ онлайн) методом подстановки.Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки онлайн выберите количество неизвестных величин: 2345
Заполните систему линейных уравнений
Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.
Решить системуВоспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
Решение системы линейных уравнений онлайн
Метод подстановки
Решение системы линейных уравнений методом подстановки осуществляется следующим образом: сперва в одном из уравнений произвольная переменная выражается через остальные. Затем данное выражение подставляется во все остальные уравнения системы. Тем самым система из n уравнений превращается в систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными. Затем аналогичные действия повторяются до тех пор, пока мы не приходим к конечному выражению для одной из переменных системы. Получив её значения, мы через неё выражаем пошагово все остальные неизвестные.
Данный метод решения СЛАУ называется методом подстановки (мы вместо некоторой переменной подставляем её выражение через другие переменные). Метод классический и простой в понимании, но на практике для больших систем уравнений очень громоздкий и сложный в вычислениях. Поэтому на практике при решении систем уравнений с большим количеством уравнений применяют более удобные методы, наподобие метода Гаусса, в котором преобразования уже выполняются в матрице, без лишних записей.
matematikam.ru
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения
Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.
Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:
Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.
Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.
В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).
Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.
Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).
Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:
Количество решений
Коэффициенты решения
Сохранить share extension
1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Откуда обратным ходом находим единственное решение:
Система совместна и определена.
2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
В результате приходим к системе:
Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
поэтому их можно отбросить.
Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения
Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.
3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.
4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.
5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система имеет вид:
Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
которые можно отбросить.
Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
planetcalc.ru
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Система линейных уравнений вида:
может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.
Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:
Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.
Знаков после запятой: 2
Количество решений
Вектор решения системы уравнений
Сохранить share extension
Метод Гаусса
Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).
Приведение матрицы к ступенчатому виду
На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:
Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних строк матрицы, помноженных на , верхних строк , помноженных на коэффициент , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.
Выражение базисных переменных
Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент , затем производится обратное вычитание из верхних строк , этой строки , помноженных на коэффициент , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.
skokaskoka.ru