Рубрика: Школьная жизнь

Трехмерная графика

Трёхмерная компьютерная графика позволяет создавать объёмные трёхмерные сцены с моделированием условий освещения и установкой точек зрения.

Для декоративно-прикладного искусства трёхмерная компьютерная графика предоставляет возможность макетирования будущих изделий с передачей фактуры и текстуры материалов, из которых эти изделия будут выполнены. Возможность увидеть с любых точек зрения макет изделия до его воплощения в материале позволяет внести изменения и исправления в его форму или пропорции, которые могут быть уже невозможны после начала работы (например, ювелирные изделия, декоративное литьё из металла и др.). В том же направлении трёхмерная компьютерная графика может быть использована для поддержки скульптуры, дизайна, художественной графики и др. Объёмная трёхмерная анимация и спецэффекты также создаются средствами трёхмерной графики. Создание учебных роликов для обучающих программ может стать основным применением этих возможностей трёхмерной компьютерной графики.

Уже тогда некоторые эксперты осторожно высказывали мнение, что МАХ может конкурировать с другими пакетами трехмерной графики. Осенью 2003 года discreet выпускает ЗD MAX 6. Новые инструменты анимации частиц в связке с модулями позволяют создавать фотореалистичные атмосферные эффекты. Появились встроенная поддержка капельно-сетчатых объектов, полноценная сетевая визуализация, импорт данных из САD-приложений, новые возможности для моделирования. Но кроме 3D Studio MAX есть и другие, не менее популярные программы трёхмерного моделирования, например Maya. Maya – это программа-аналог 3D Studio MAX, но она предназначена, в первую очередь, для анимации и для передачи мимики на лице трёхмерного актёра. Кроме того, в Maya удобнее рисовать. 3D Studio MAX направлен в первую очередь на качественную визуализацию предметов, ещё в нём можно выполнять примитивные чертежи.

Вообще для черчения существуют свои программы трёхмерного моделирования, самые известные из них AutoCAD, ArhiCAD. AutoCAD предназначен, в первую очередь, для машиностроительного черчения, а ArhiCAD для архитектурного моделирования.

Что же требует трехмерная графика от человека?

Конечно же, умение моделировать различные формы и конструкции при помощи различных программных средств, а также знания ортогонального (прямоугольного) и центрального проецирования. Последняя — называется перспективой. Очень хорошее качество моделирования достигается при помощи тщательного подбора текстур и материалов в сочетании с правильным размещением в сцене источников освещения и камер. Основой для построения любой пространственной формы является плоскость и грань объекта. Плоскость в трехмерной графике задается с помощью трех точек, соединенных отрезками прямых линий.

Именно это условие дает возможность описать с помощью получаемых плоскостей «пространственную сетку», которая представляет собой модель объекта. Затем объекту дополнительно присваиваются характеристики поверхности объекта – материал. В свою очередь, материал характеризует качество поверхности, например, полированная, шероховатая, блестящая и др. Описывается и его текстура (камень, ткань, стекло и др.). Задаются и оптические свойства, например, прозрачность, отражение или преломление световых лучей и т.д.
Наряду с этим, трехмерному объекту можно задать условия освещения и выбрать точку обзора (камеру) для получения наиболее интересного наглядного изображения. Постановка, состоящая из трехмерного объекта, условий освещения и выбранной точки зрения, называется «трехмерной сценой». А вот для описания трехмерного пространства и объекта, находящегося внутри его, используется хорошо уже знакомый Вам координатный метод.

Существуют различные методы моделирования трехмерных объектов. Например, метод текстового описания модели с помощью специальных языков программирования «Скрипт».

esate.ru

Трехмерная графика.

Этот вид компьютерной графики вобрал в себя очень много из векторной, а так же и из растровой компьютерной графики. Применяется она при разработке дизайн-проектов интерьера, архитектурных объектов, в рекламе, при создании обучающих компьютерных программ, видео-роликов, наглядных изображений деталей и изделий в машиностроении и др. Трёхмерная компьютерная графика позволяет создавать объёмные трёхмерные сцены с моделированием условий освещения и установкой точек зрения. 

Для изучения приёмов и средств композиции, таких как, передача пространства, среды, светотени, законов линейной, воздушной и цветовой перспективы здесь очевидны преимущества этого вида компьютерной графики над векторной и растровой графикой. В трехмерной графике изображения (или персонажи) моделируются и перемещаются в виртуальном пространстве, в природной среде или в интерьере, а их анимация позволяет увидеть объект с любой точки зрения, переместить в искусственно созданной среде и пространстве, разумеется, при сопровождении специальных эффектов. 

Трёхмерная компьютерная графика, как и векторная, является объектно-ориентированной, что позволяет изменять как все элементы трёхмерной сцены, так и каждый объект в отдельности. Этот вид компьютерной графики обладает большими возможностями для поддержки технического черчения. С помощью графических редакторов трёхмерной компьютерной графики, например Autodesk 3D Studio, можно выполнять наглядные изображения деталей и изделий машиностроения, а также выполнять макетирование зданий и архитектурных объектов, изучаемых в соответствующем разделе архитектурно-строительного черчения. Наряду с этим может быть осуществлена графическая поддержка таких разделов начертательной геометрии как, перспектива, аксонометрические и ортогональные проекции, т.к. принципы построения изображений в трёхмерной компьютерной графике частично заимствованы из них.

Для декоративно-прикладного искусства трёхмерная компьютерная графика предоставляет возможность макетирования будущих изделий с передачей фактуры и текстуры материалов, из которых эти изделия будут выполнены. Возможность увидеть с любых точек зрения макет изделия до его воплощения в материале позволяет внести изменения и исправления в его форму или пропорции, которые могут быть уже невозможны после начала работы (например, ювелирные изделия, декоративное литьё из металла и др.). В том же направлении трёхмерная компьютерная графика может быть использована для поддержки скульптуры, дизайна, художественной графики и др. Объёмная трёхмерная анимация и спецэффекты также создаются средствами трёхмерной графики. Создание учебных роликов для обучающих программ может стать основным применением этих возможностей трёхмерной компьютерной графики.

К средствам работы с трёхмерной графикой, относят такой графический редактор как, 3D Studio MAX. Это один из самых известных трёхмерных редакторов, он часто используется при создании фильмов. Разработка программы 3D Studio МАХ была начата в 1993 году. Версия 3D Studio МАХ 1.0 вышла в 1995 году на платформе Windows NT. 

Уже тогда некоторые эксперты осторожно высказывали мнение, что МАХ может конкурировать с другими пакетами трехмерной графики. Осенью 2003 года discreet выпускает Зd max 6. Новые инструменты анимации частиц в связке с модулями позволяют создавать фотореалистичные атмосферные эффекты. Появились встроенная поддержка капельно-сетчатых объектов, полноценная сетевая визуализация, импорт данных из САD-приложений, новые возможности для моделирования. Но кроме 3D Studio MAX есть и другие не менее популярные программы трёхмерного моделирования, например Maya. Maya – эта программа аналог 3D Studio MAX, но она предназначена в первую очередь для анимации и, например, для передачи мимики на лице трёхмерного актёра, так же в Maya удобнее рисовать. 3D Studio MAX направлен в первую очередь на качественную визуализацию предметов, ещё в нём можно выполнять примитивные чертежи.

Вообще для черчения существуют свои программы трёхмерного моделирования, самые известные из них AutoCAD, ArhiCAD. AutoCAD предназначен в первую очередь для машиностроительного черчения, а ArhiCAD для архитектурного моделирования.

Что же требует трехмерная графика от человека? 

Конечно же, умение моделировать различные формы и конструкции при помощи различных программных средств, а также знания ортогонального (прямоугольного) и центрального проецирования. Последняя — называется перспективой. Очень хорошее качество моделирования достигается при помощи тщательного подбора текстур и материалов в сочетании с правильным размещением в сцене источников освещения и камер. Основой для построения любой пространственной формы является плоскость и грань объекта. Плоскость в трехмерной графике задается с помощью трех точек, соединенных отрезками прямых линий. 

Именно это условие дает возможность описать с помощью получаемых плоскостей «пространственную сетку», которая представляет собой модель объекта. Затем объекту дополнительно присваиваются характеристики поверхности объекта – материал. В свою очередь, материал характеризует качество поверхности, например, полированная, шероховатая, блестящая и др. Описывается и его текстура (камень, ткань, стекло и др.). Задаются и оптические свойства, например, прозрачность, отражение или преломление световых лучей и т.д.

Наряду с этим, трехмерному объекту можно задать условия освещения и выбрать точку зрения (камеру) для получения наиболее интересного наглядного изображения. Постановка, состоящая из трехмерного объекта, условий освещения и выбранной точки зрения называется «трехмерной сценой». А вот для описания трехмерного пространства и объекта, находящегося внутри его, используется хорошо уже знакомый Вам координатный метод.

Существуют различные методы моделирования трехмерных объектов. Например, метод текстового описания модели с помощью специальных языков программирования «Скрипт».

studfiles.net

3D графика и ее применение

В специальной программе модель можно посмотреть со всех сторон (сверху, снизу, сбоку), встроить на любую плоскость и в любое окружение. Трёхмерная компьютерная графика, как и векторная, является объектно-ориентированной, что позволяет изменять как все элементы трёхмерной сцены, так и каждый объект в отдельности. Этот вид компьютерной графики обладает большими возможностями для поддержки технического черчения. С помощью графических редакторов трёхмерной компьютерной графики, можно выполнять наглядные изображения деталей и изделий машиностроения, а также выполнять макетирование зданий и архитектурных объектов, изучаемых в соответствующем разделе архитектурно-строительного черчения. Наряду с этим может быть осуществлена графическая поддержка таких разделов начертательной геометрии как, перспектива, аксонометрические и ортогональные проекции, т.к. принципы построения изображений в трёхмерной компьютерной графике частично заимствованы из них.

Трехмерная графика может быть любой сложности. Вы можете создать простую трехмерную модель, с низкой детализацией и упрощенной формы. Или же это может быть более сложная модель, в которой присутствует проработка самых мелких деталей, фактуры, использованы профессиональные приемы (тени, отражения, преломление света и так далее). Конечно, это всерьез влияет на стоимость готовой трехмерной модели, однако позволяет расширить применение трехмерной модели.

Где применяется трехмерная графика

3D модели очень популярны в сайтостроительстве. Для создания особенного эффекта некоторые создатели сайтов добавляют в дизайн не просто графические элементы, а трехмерные модели, иногда даже и анимированные. Программы и технологии трехмерного моделирования широко применяются и в производстве, например, в производстве корпусной мебели, и в строительстве, например, для создания фотореалистичного дизайн-проекта будущего помещения. Многие конструкторы уже давно перешли от использования линейки и карандаша к современным трехмерным компьютерным программам. Постепенно новые технологии осваивают и другие компании, прежде всего, производственные и торговые.

Конечно, в основном трехмерные модели используются в демонстрационных целях. Они незаменимы для презентаций, выставок, а также используются в работе с клиентами, когда необходимо наглядно показать, каким будет итоговый результат. Кроме того, методы трехмерного моделирования нужны там, где нужно показать в объеме уже готовые объекты или те объекты, которые существовали когда-то давно. Трехмерное моделирование это не только будущее, но и прошлое и настоящее.

Преимущества трехмерного моделирования

В трехмерную модель очень легко вносить практически любые изменения. Вы можете изменять проект, убирать одни детали и добавлять новые. Ваша фантазия практически ни чем не ограничена, и вы сможете быстро выбрать именно тот вариант, который подойдет вам наилучшим образом.

Однако трехмерное моделирование удобно не только для клиента. Профессиональные программы дают множество преимуществ и изготовителю. Из трехмерной модели легко можно выделить чертеж каких-либо компонентов или конструкции целиком. Несмотря на то, что создание трехмерной модели довольно трудозатратный процесс, работать с ним в дальнейшем гораздо проще и удобнее чем с традиционными чертежами. В результате значительно сокращаются временные затраты на проектирование, снижаются издержки.

Специальные программы дают возможность интеграции с любым другим профессиональным программным обеспечением, например, с приложениями для инженерных расчетов, программами для станков или бухгалтерскими программами. Внедрение подобных решений на производстве дает существенную экономию ресурсов, значительно расширяет возможности предприятия, упрощает работу и повышает ее качество.

Программы для трехмерного моделирования

Редактор Maya назван в честь санскритского слова, которое означает иллюзия. Maya была разработана Alias Systems. В октябре 2005 года компания Alias влилась в Autodesk. Maya чаще используется для создания анимации и трехмерных эффектов в фильмах.

fevt.ru

Трехмерные графики функций в MathСad

Графики, которые включают две переменные, в Mathcad схожи с 2D-графиками, но есть отличия, которые необходимо знать. В Mathcad существует два вида таких графиков: контурный и 3D-график поверхности в трех осях.

Контурный график

Контурный график показывает изменения поверхности по высоте. Он являет собой линии равных высот. Для интеграции контурного графика нужно выбрать в Графики -> Кривые -> Вставить график -> Контурный график.

Давайте пропишем построение графика параболоида:

Такая функция имеет минимум в начале осей координат и возрастает при отходе от начала осей. Цвет нашего графика будет зависим от величины z.

По стандарту в наших уроках используем диапазоны от -10 до 10 для x и у. Для оси z подбор диапазона будет автоматизирован. Изменение диапазонов возможно с изменением величины первой и последней меток, а изменение расстояния — изменением величины второй метки. Также можно выбирать одну из представленных в программе цветовых схем оформления или добавлять величины к контурным линиям.

3D-график

Давайте вначале выясним, какие есть элементы у 3D-графика.

График имеет три оси: X, Y, Z. Обычно ось зет имеет вертикальное направление. Сам график, который изображен розовой сеткой на примере выше, ограничен прямоугольной областью, сторонами которой являются оси координат. Если в 2D-графиках были места для заполнения как для оси X, так и для оси Y, то здесь есть только одно место заполнения для оси Z.

Если вы посмотрите на правый верхний угол, то увидите кнопку выбора осей. При нажатии на нужную ось, она подсветится как на кнопке, так и на графике. Вы можете менять для каждой оси значение первой, второй и последней метки. Все это справедливо настолько же, насколько и для 2D-графика. Кроме того, можно изменять диапазоны как по осям, так и по числу меток.

Вам будет доступно расширение, перемещение и сжатие области, где размещен график. Для этого существуют специальные кнопки, которые размещены на границе области. Кнопки слева сверху предназначены для перемещения, вращения или масштабирования графика. А также есть кнопка «Сбросить график», которая оп своим функциям напоминает кнопку «Отменить».

Параболоид

Попробуем построить график заданного параболоида. Разместите курсор на любое место рабочей области и нажмите Графики -> Кривые -> Вставить график -> 3D-график. В местозаполнитель введите [z(x,y] и нажмите на любое пустое место. Построится вот такой график:

Поэкспериментируйте с кнопками управления видом графика, а когда получите достаточно опыта, нажмите на кнопку «Сброс вида».

Нажмите на ось Z справа сверху на кнопке выбора оси. Поменяйте обозначение последней метки с 200 на 400, а потом нажмите на любое пустое место вне графика, чтобы изменения применились. Если вам нужно будет вернуться в исходную позицию, то придется заново вручную поменять значение на 200, так как кнопка вида здесь работать не будет.

На следующей картинке вы видите тот же график, но с изменением цвета и заливки поверхности. Это можно сделать, воспользовавшись меню Графики -> Стили:

Две функции

Для добавления еще одной функции на график, нужно выбрать местозаполнитель с легендой и в меню перейти Графики -> Кривые -> Добавить кривую. На примере вы можете видеть функции параболоида и плоскости на одном координатной сетке.

Для графиков лучше использовать отличные друг от друга цвета, чтобы их пересечение было более заметно. Вы можете повращать график, чтобы разобраться в форме этого пересечения.

Использование вектора

Мы производили построение 2D-графиков с использованием вектора. Что-то подобное можно использовать и для 3D-графиков, но нам потребуется вектор с осями X, Y, Z. Изобразим примером функцию, которая известна среди математиков под названием «мексиканская шляпа».

Сфера

Построение параметрической поверхности требует более серьезного подхода, чем 2D-графика. Все из-за того, что значение Z можно добавлять только непосредственно на графике. Расскажем, как это выполнить, используя пример построения графика сферы с помощью функции CreateMesh. Параметрические уравнения сферы выглядят так:

У параметра φ есть название — азимутальный угол. Параметр θ называется зенитным углом. Пропишем нужные нам диапазоны изменения параметров:

При использовании функции CreateMesh нам понадобится такая матрица:

Пропишите имя переменной матрицы в метозаполнитель 3D-графика и нажмите на любую пустую область вне его.

Резюме

3D-графики имеют некоторые отличия от двухмерных графиков, которые мы уже рассматривали:

1. Существует 2 вида графика для построения функций с двумя переменными: контурные графики и 3D-графики. Их вставка производится из Графики -> Кривые -> Вставить график/
2. Контурный график напоминает карту с линиями уровня.
3. По принципам построения 3D-график отличается от плоского наличием третьей оси. Для выбора осей есть специальная кнопка, каждую ось можно редактировать отдельно. Так же как и для плоских графиков, значения первой, второй и последней метки можно редактировать.
4. Управлять размерами и позицией графика на рабочей области можно с помощью перетягивания краев области графика.
5. Вращение и перемещение самого графика доступно с помощью кнопок управления в левом верхнем углу.
6. Для того, чтобы быстро построить функцию, задайте определения z(x,y), вставьте область с графиком и пропишите имя функции и место для заполнения.
7. Также доступно создание вектора, который будет содержать определения значений для осей X, Y, Z и разместить имя вектора в местозаполнитель.

archicad-autocad.com

11. Трехмерная графика. Основные понятия Основные действия. Создание изображений средствами трехмерной графики.

3D-графика предназначена для имитации фотографирования или видеосъемки трехмерных образов объектов, которые должны быть предварительно подготовлены в памяти компьютера.

В большинстве подсистем трехмерной графики применяется графический конвейер.

Конвейер – это логическая группа вычислений, выполняемых последовательно, дающих на выходе синтезируемую сцену. Конвейер разделен на множество этапов, на каждом из которых аппаратно или программно выполняется некоторая функция. Наличием переходов между этапами конвейера обеспечивается возможность выбора между программной и аппаратной реализацией очередного этапа. Такой подход к настройке конвейера позволяет приложениям трехмерной графики получать преимущества аппаратной реализации. Таким образом, реализация конвейера может быть программной, полностью аппаратной или смешанной (программно- аппаратной).

Первоначально объект представляется в виде набора точек или координат в трехмерном пространстве. Трехмерная система координат определяется тремя осями: горизонтальной, вертикальной и глубины, т.е. осями x, y и z. Объектом может быть дом, человек, машина, самолет или целый 3D мир. Координаты определяют положение вершин (узловых точек) объекта в пространстве. При помощи соединения вершин объекта линиями можно получить каркасную модель трехмерного тела. Каркасная модель определяет области, составляющие поверхности объекта, которые могут быть заполнены цветом, текстурами и освещаться лучами света.

Основные понятия

Превращения. Операции изменения позиции, размера, или ориентации объекта в пространстве. В общем случае — перемещение, масштабирование и вращение.

Деформации. Операции подобные превращениям, однако, более сложные, так как их исполнение приводят к перемене внешнего вида объекта. К деформациям можно отнести искривление,поворот, рассогласование и т.п.

Распределение- процесс назначения объекту атрибутов придающих ему реалистичность. Важнейшая характеристика для оценки трехмерных сцен — реалистичность, однако, простое

моделирование трехмерных объектов не всегда позволяет добиться реалистичности. В этом

случае, на помощь приходит распределение текстур.

Мультитекстурирование позволяет конвейеризировать наложение текстур с использованием нескольких (обычно двух) блоков текстурирования.

Конвейер рендеринга выполняется по многоступенчатому механизму, называемому конвейером рендеринга. Конвейер рендеринга может быть разделен на три стадии: тесселяция, геометрическая обработка и растеризация. Если взять произвольный 3D- ускоритель, то он не будет ускорять все стадии конвейера, и даже более того, стадии могут лишь частично ускоряться им.

Тесселяция – процесс разбиения поверхности объектов на треугольники. Эта стадия проводится полностью программно вне зависимости от технического уровня и цены 3D- аппаратуры. Геометрическая обработка делится на несколько фаз и может частично ускоряться 3D-ускорителем.

Растеризация наиболее интенсивная операция, обычно реализуемая на аппаратном уровне. Растеризатор выполняет непосредственно рендеринг и является наиболее сложной ступенью конвейера. Если стадия геометрической обработки работает с вершинами, то растеризация включает операции над пикселями. Растеризация включает в себя затенение.

Трансформация – преобразование координат (вращение, перенос и масштабирование всех объектов).

Расчет освещенности – определение цвета каждой вершины с учетом всех световых источников.

Проецирование – преобразование координат в систему координат экрана.

Коррекция перспективы. Способность корректировать текстуры таким образом, чтобы у наблюдателя создавалось впечатление перспективы.

Антиалиасинг. Т.к. цифровые изображения, в основном, представляют собой матрицу из точек, строки этой матрицы, будучи проведенными не строго по горизонтали или вертикали прорисовывают объект неровными, зубчатыми линиями. Наиболее распространенный метод борьбы с этим эффектом состоит в том, что пиксели в зубчиках заполняются цветом

Наложение рельефа. Методика моделирования рельефных поверхностей. Для того чтобы подчеркнуть бугорки и впадины рельефа с помощью светотени, надо затемнить либо осветлить стенки этих бугорков и впадин. Другой метод состоит в симуляции рельефности глянцевой или зеркальной поверхности отражением окружающей среды. Это и делает техника наложения рельефа.

Затуманивание. Один из наиболее распространенных эффектов. Отдаленные объекты или их детали, как бы скрываются в тумане и проясняются по мере приближения зрителя к ним. Эффект используется не только для моделирования атмосферного явления – уменьшая число деталей разработчики делают сцену менее сложной.

studfiles.net

6.1.3 F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления F_эмп нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

                                                                                                  (8)

где — дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние F_эмп всегда будет больше или равно единице.

Чис­ло степеней свободы определяется также просто:

k₁=n_l — 1 для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k₂=n₂ — 1 для второй выборки.

В Приложе­нии 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k₁ (верхняя строчка таблицы) и k₂ (левый столбец таблицы).

Если t_эмп>t_крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся.[3] Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в таблице:

Таблица 3.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем:

s_x²=572,83; s_y²=174,04

Тогда по формуле (8) для расчета по F критерию Фишера находим:

По таблице из Приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях равных k=10 — 1 = 9 находим F_крит=3,18 (<3.29), следовательно, в терминах статистических гипотез можно утвер­ждать, что Н₀ (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н₁. Иcследователь может утверждать, что по степени однородности такого показа­теля, как умственное развитие, имеется различие между выбор­ками из двух классов.

6.2 Непараметрические критерии

Сравнивая на глазок (по процентным соотношениям) результаты до и после какого-либо воздействия, исследователь приходит к заключению, что если наблюдаются различия, то имеет место различие в сравниваемых выборках. Подобный подход категорически неприемлем, так как для процентов нельзя определить уровень достоверности в различиях. Проценты, взятые сами по себе, не дают возможности делать статистически достоверные выводы. Чтобы доказать эффективность какого-либо воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Для решения подобных задач исследователь может использовать ряд критериев различия.  Ниже будет рассмотрены непараметрические критерии: критерий знаков и критерий хи-квадрат.

studfiles.net

Критерий Фишера и критерий Стьюдента в эконометрике

С помощью критерия Фишера оценивают качество регрессионной модели в целом и по параметрам.

Для этого выполняется сравнение полученного значения F и табличного F значения. F-критерия Фишера. F фактический определяется из отношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где n — число наблюдений;

m — число параметров при факторе х.

F табличный — это максимальное значение критерия под влиянием случайных факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости а.

Уровень значимости а — вероятность не принять гипотезу при условии, что она верна. Как правило а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл > Fфакт то признается статистическая незначимость модели, ненадежность уравнения регрессии.

Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента

Таблицы значений F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента Вы можете посмотреть здесь.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

1. Определяют k1, которое равно количеству факторов (Х). Например, в однофакторной модели (модели парной регрессии) k1=1, в двухфакторной k=2.
2. Определяют k2, которое определяется по формуле n — m — 1, где n — число наблюдений, m — количество факторов. Например, в однофакторной модели k2 = n — 2.
3. На пересечении столбца k1 и строки k2 находят значение критерия Фишера

Для нахождения табличного значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле n — m — 1 и находят его значение при определенном уровне значимости (0,10, 0,05, 0,01).

Критерии Стьюдента

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт

Видео лекциий по расчету критериев Фишера и Стьюдента

Для более подробного изучения расчетов критериев Фишера и Стьюдента советуем посмотреть это видео

Лекция 1. Критерии и Гипотезы

Лекция 2. Критерии и Гипотезы

Лекция 3. Критерии и Гипотезы

Определение доверительных интервалов

Для построения доверительного интервала определяется предельная ошибка А для обоих показателей:

Формулы для нахождения доверительных интервалов выглядят так

Прогнозное значение у определяется с помощью подстановки в
уравнение регрессии прогнозного значения х. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

и находится доверительный интервал

Задача регрессионного анализа в предмете эконометрика состоит в анализе дисперсии изучаемого показателя y:

общая сумма квадратов отклонений (TSS)

сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (RSS)

остаточная сумма квадратов отклонений (ESS)

Долю дисперсии, обусловленную регрессией, в общей дисперсии показателя у характеризует коэффициент детерминации R, который должен превышать 50% (R² > 0,5). В контрольных по эконометрике в ВУЗах этот показатель рассчитывается всегда.

Любые задачи по эконометрике решаются здесь

univer-nn.ru

7.5. Критерий Фишера

Критерий Фишера (F) основан на том же принципе, что и критерий Стьюдента, т. е. предполагает вычисление средних значений и дисперсий в сравниваемых выборках. Чаще всего используется при сравнении между собой неравноценных по объему (разных по численности) выборок. Критерий Фишера является несколько более жестким, чем критерий Стьюдента, а потому более предпочтителен в тех случаях, когда возникают сомнения в достоверности различий (например, если по критерию Стьюдента различия достоверны при нулевом и недостоверны при первом уровне значимости).

Формула Фишера выглядит следующим образом:

(7.4)

где и(7.5, 7.6)

В рассматриваемой нами задаче d² = 5,29; σ_z² = 29,94.

Подставляем значения в формулу:

В табл. ХI Приложений находим, что для уровня значимости β₁ = 0,95 и ν = n_x + n_y – 2 = 28 критическое значение составляет 4,20.

Вывод

F = 1,32 < F_кр. = 4,20. Различия между выборками статистически недостоверны.

Примечание

При использовании критерия Фишера должны соблюдаться те же условия, что и для критерия Стьюдента (см. подраздел 7.4). Тем не менее допускается различие в численности выборок более чем в два раза.

Таким образом, при решении одной и той же задачи четырьмя различными методами с использованием двух непараметрических и двух параметрических критериев мы пришли к однозначному выводу о том, что различия между группой девушек и группой юношей по уровню реактивной тревожности недостоверны (т. е. находятся в пределах случайных вариаций). Однако могут встретиться и такие случаи, когда сделать однозначный вывод не представляется возможным: одни критерии дают достоверные, другие – недостоверные различия. В этих случаях приоритет отдается параметрическим критериям (при условии достаточности объема выборок и нормального распределения исследуемых величин).

7. 6. Критерий j*-угловое преобразование Фишера

Критерий j* Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Он оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект. Допускается также сравнение процентных соотношений и в пределах одной выборки.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол j, а меньшей доле – меньший угол, но отношения здесь нелинейные:

(7.7)

где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.

При увеличении расхождения между углами j₁ и j₂ и увеличении численности выборок значение критерия возрастает.

Критерий Фишера вычисляется по следующей формуле:

(7.8)

где j₁ – угол, соответствующий большей процентной доле; j₂ – угол, соответствующий меньшей процентной доле; n₁ и n₂ – соответственно, объем первой и второй выборок.

Вычисленное по формуле значение сравнивается со стандартным (j*_ст = 1,64 для b₁ = 0,95 и j*_ст =2,31 для b₂ = 0,99. Различия между двумя выборками считаются статистически достоверными, если j* > j*_ст для данного уровня значимости.

Пример

Нас интересует, различаются ли между собой две группы студентов по успешности выполнения достаточно сложной задачи. В первой группе из 20 человек с ней справилось 12 студентов, во второй – 10 человек из 25.

Решение

1. Вводим обозначения: n₁ = 20, n₂ = 25.

2. Вычисляем процентные доли Р₁ и Р₂: Р₁ = 12 / 20 = 0,6 (60%), Р₂ = 10 / 25 = 0,4 (40%).

3. В табл. XII Приложений находим соответствующие процентным долям значения φ: j₁ = 1,772, j₂ = 1,369.

Отсюда:

Вывод

Различия между группами не являются статистически достоверными, поскольку j* < j*_ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.

studfiles.net

Точный критерий Фишера

​Точный критерий Фишера – это критерий, который используется для сравнения двух относительных показателей, характеризующих частоту определенного признака, имеющего два значения. Исходные данные для расчета точного критерия Фишера обычно группируются в виде четырехпольной таблицы.

1. История разработки критерия

Впервые критерий был предложен Рональдом Фишером в его книге «Проектирование экспериментов». Это произошло в 1935 году. Сам Фишер утверждал, что на эту мысль его натолкнула Муриэль Бристоль. В начале 1920-х годов Рональд, Муриэль и Уильям Роуч находились в Англии на опытной сельскохозяйственной станции. Муриэль утверждала, что может определить, в какой последовательности наливали в ее чашку чай и молоко. На тот момент проверить правильность ее высказывания не представлялось возможным.

Это дало толчок идее Фишера о «нуль гипотезе». Целью стала не попытка доказать, что Муриэль может определить разницу между по-разному приготовленными чашками чая. Решено было опровергнуть гипотезу, что выбор женщина делает наугад. Было определено, что нуль-гипотезу нельзя ни доказать, ни обосновать. Зато ее можно опровергнуть во время экспериментов.

Было приготовлено 8 чашек. В первые четыре налито молоко сначала, в другие четыре – чай. Чашки были помешаны. Бристоль предложили опробовать чай на вкус и разделить чашки по методу приготовления чая. В результате должно было получиться две группы. История говорит, что эксперимент прошел удачно.

Благодаря тесту Фишера вероятность того, что Бристоль действует интуитивно, была уменьшена до 0.01428. То есть, верно определить чашку можно было в одном случае из 70. Но все же нет возможности свести к нулю шансы того, что мадам определяет случайно. Даже если увеличивать число чашек.

Эта история дала толчок развитию «нуль гипотезы». Тогда же был предложен точный критерий Фишера, суть которого в переборе всех возможных комбинаций зависимой и независимой переменных.

2. Для чего используется точный критерий Фишера?

Точный критерий Фишера в основном применяется для сравнения малых выборок. Этому есть две весомые причины. Во-первых, вычисления критерия довольно громоздки и могут занимать много времени или требовать мощных вычислительных ресурсов. Во-вторых, критерий довольно точен (что нашло отражение даже в его названии), что позволяет его использовать в исследованиях с небольшим числом наблюдений.

Особое место отводится точному критерию Фишера в медицине. Это важный метод обработки медицинских данных, нашедший свое применение во многих научных исследованиях. Благодаря ему можно исследовать взаимосвязь определенных фактора и исхода, сравнивать частоту патологических состояний между двумя группами исследуемых и т.д.

3. В каких случаях можно использовать точный критерий Фишера?

1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в номинальной шкале и иметь только два значения, например, артериальное давление в норме или повышено, исход благоприятный или неблагоприятный, послеоперационные осложнения есть или нет.
2. Точный критерий Фишера предназначен для сравнения двух независимых групп, разделенных по факторному признаку. Соответственно, фактор также должен иметь только два возможных значения.
3. Критерий подходит для сравнения очень малых выборок: точный критерий Фишера может применяться для анализа четырехполных таблиц в случае значений ожидаемого явления менее 5, что является ограничением для применения критерия хи-квадрат Пирсона, даже с учетом поправки Йейтса.
4. Точный критерий Фишера бывает односторонним и двусторонним. При одностороннем варианте точно известно, куда отклонится один из показателей. Например, во время исследования сравнивают, сколько пациентов выздоровело по сравнению с группой контроля. Предполагают, что терапия не может ухудшить состояние пациентов, а только либо вылечить, либо нет.
   Двусторонний тест оценивает различия частот по двум направлениям. То есть оценивается верятность как большей, так и меньшей частоты явления в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой.

Аналогом точного критерия Фишера является Критерий хи-квадрат Пирсона, при этом точный критерий Фишера обладает более высокой мощностью, особенно при сравнении малых выборок, в связи с чем в этом случае обладает преимуществом.

4. Как рассчитать точный критерий Фишера?

Допустим, изучается зависимость частоты рождения детей с врожденными пороками развития (ВПР) от курения матери во время беременности. Для этого выбраны две группы беременных женщин, одна из которых — экспериментальная, состоящая из 80 женщин, куривших в первом триместре беременности, а вторая — группа сравнения, включающая 90 женщин, ведущих здоровый образ жизни на протяжении всей беременности. Число случаев ВПР плода, установленных по данным УЗИ в экспериментальной группе, составило 10, в группе сравнения — 2.

Вначале составляем четырехпольную таблицу сопряженности:

Точный критерий Фишера рассчитывается по следующей формуле:

где N — общее число исследуемых в двух группах; ! — факториал, представляющий собой произведение числа на последовательность чисел, каждое из которых меньше предыдущего на 1 (например, 4! = 4 · 3 · 2 · 1)

В результате вычислений находим, что P = 0,0137.

5. Как интерпретировать значение точного критерия Фишера?

Достоинством метода является соответствие полученного критерия точному значению уровня значимости p. То есть, полученное в нашем примере значение 0,0137 и есть уровень значимости различий сравниваемых групп по частоте развития ВПР плода. Необходимо лишь сопоставить данное число с критическим уровнем значимости, обычно принимаемым в медицинских исследованиях за 0,05.

• Если значение точного критерия Фишера больше критического, принимается нулевая гипотеза и делается вывод об отсутствии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от наличия фактора риска.
• Если значение точного критерия Фишера меньше критического, принимается альтернативная гипотеза и делается вывод о наличии статистически значимых различий частоты исхода в зависимости от воздействия фактора риска.

В нашем примере P < 0,05, в связи с чем делаем вывод о наличии прямой взаимосвязи курения и вероятности развития ВПР плода. Частота возникновения врожденной патологии у детей курящих женщин статистически значимо выше, чем у некурящих.

Презентация на тему «Методы непараметрического анализа»

Расчетные задачи по теме «Точный критерий Фишера»

Онлайн-калькулятор для расчета точного критерия Фишера

medstatistic.ru

8.5.2. F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов наблюдений. Для вычисления нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова:

Где

и

Поскольку, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значение всегда будет больше или равно единице, т.е.. Число степеней свободы определяется также просто:для первой (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) идля второй выборки. В таблице 18 Приложения 6 критические значения критерия Фишеранаходятся по величинам(верхняя строчка таблицы) и(левый столбец таблицы).

Пример: В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Для критерия Фишера необходимо сравнить дисперсии тестовых оценок в обоих классах. Результаты тестирования представлены в табл. 11.

Таблица 11

Как видно из табл. 11, величины средних в обеих группах практически совпадают между собой 60,6 63, 6 и величина t — критерия Стьюдента оказалась равной 0, 347 и незначимой.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем

Тогда, по формуле для расчета по F — критерию Фишера находим:

По табл. 18 приложения 6 для F — критерия при степенях свободы в обоих случаях равных df= 10 — 1 = 9 находим:

3,18 для P 0,05

5,35 для P 0,01

Строим «ось значимости»:

Таким образом, полученная величина попала в зону неопределенности. В терминах статистических гипотез можно утверждать, что Н(гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н. Психолог может утверждать, что по степени однородности такого показателя, как умственное развитие, имеется различие между выборками из двух классов.

Для применения критерия F Фишера необходимо соблюдать следующие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

8.6. Корреляционный анализ

Корреляцией называют зависимость между двумя переменными величинами.

Переменная — это любая величина, которая может быть измерена и чье количественное выражение может варьировать.

При изучении корреляций стараются установить, существует ли какая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей или между уровнем IQ и школьной успеваемостью) либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то увеличение одного показателя сопровождается возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Коэффициент корреляции — это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен +1, а при полной отрицательной -1.

В случаи, если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

В гуманитарных науках корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной.

Можно выделить несколько видов корреляционного анализа: линейный, ранговый, парный и множественный. Мы рассмотрим два вида корреляционного анализа — линейный и ранговый.

studfiles.net

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону. Он является параметрическим критерием.

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий.

Пусть в результате наблюдений получены две выборки. По ним вычислены дисперсии и , имеющие и степеней свободы. Будем считать, что первая выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией , а вторая – из генеральной совокупности с дисперсией . Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве двух дисперсий, т.е. H₀: или . Для того, чтобы отвергнуть эту гипотезу нужно доказать значимость различия при заданном уровне значимости .

Значение критерия вычисляется по формуле:

.

Очевидно, что при равенстве дисперсий величина критерия будет равна единице. В остальных случаях она будет больше (меньше) единицы.

Критерий имеет распределение Фишера . Критерий Фишера – двусторонний критерий, и нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной если . Здесь , где – объем первой и второй выборки соответственно.

В системе STATISTICA реализован односторонний критерий Фишера, т.е. в качестве всегда берут максимальную дисперсию. В этом случае нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативы , если .

Пример

Пусть поставлена задача, сравнить эффективность обучения двух групп студентов. Уровень успеваемости — характеризует уровень управления процессом обучения, а дисперсия качество управления обучением, степень организованности процесса обучения. Оба показателя являются независимыми и в общем случае должны рассматриваться совместно. Уровень успеваемости (математическое ожидание) каждой группы студентов характеризуется средними арифметическими и , а качество характеризуется соответствующими выборочными дисперсиями оценок: и . При оценке уровня текущей успеваемости оказалось, что он одинаков у обоих учащихся: = = 4,0. Выборочные дисперсии: и . Числа степеней свободы, соответствующие этим оценкам: и . Отсюда для установления различий в эффективности обучения мы можем воспользоваться стабильностью успеваемости, т.е. проверим гипотезу .

Вычислим (в числителе должна быть большая дисперсия), . По таблицам (STATISTICA – Probability Distribution Calculator) находим , которое меньше вычисленного, следовательно нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы . Это заключение может не удовлетворить исследователя, поскольку его интересует истинная величина отношения (у нас в числителе всегда большая дисперсия). При проверке одностороннего критерия получим , что меньше вычисленного выше значения. Итак, нулевая гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативы .

Критерий Фишера в программе STATISTICA в среде Windows

Для примера проверки гипотезы (критерий Фишера) используем (создаем) файл с двумя переменными (fisher.sta):

Рис. 1. Таблица с двумя независимыми переменными

Чтобы проверить гипотезу необходимо в базовой статистике (Basic Statistics and Tables) выбрать проверку по Стьюденту для независимых переменных. (t-test, independent, by variables).

Рис. 2. Проверка параметрических гипотез

После выбора переменных и нажатия на клавишу Summary производится подсчет значений среднеквадратичных отклонений и критерия Фишера. Кроме этого определяется уровень значимости p, при котором различие несущественно.

Рис. 3. Результаты проверки гипотезы (F- критерий)

Используя Probability Calculator и задав значение параметров можно построить график распределения Фишера с пометкой вычисленного значения.

Рис. 4. Область принятия (отклонения) гипотезы (F- критерий)

Источники.

1. Проверка гипотез об отношениях двух дисперсий

URL: /tryphonov3/terms3/testdi.htm

2. Лекция 6. :8080/resources/math/mop/lections/lection_6.htm

3. F – критерий Фишера

URL: /home/portal/applications/Multivariatadvisor/F-Fisheer/F-Fisheer.htm

4. Теория и практика вероятностно-статистических исследований.

URL: /active/referats/read/doc-3663-1.html

5. F – критерий Фишера

URL: /stat/s04.html

gigabaza.ru

Критерий Фишера

Критерий Фишера (F-критерий, φ*-критерий, критерий наименьшей значимой разности) — является параметричесикм критерием и используется для сравнения дисперсий двух вариационных рядов.

Рассмотрим две выборки объемом m и n соответственно случайных величин X и Y, имеющих нормальное распределение. Необходимо проверить равенство их дисперсий. Статистика теста:

Где — выборочная дисперсия.

Если статистика больше критического, то дисперсии не одинаковы. В противном случае дисперсии выборок одинаковы.

Таблицы критических значений F-критерия для уровня значимости 0.05:

См. также:

ISmFisherTest | Библиотека методов и моделей

help.prognoz.com

Определитель матрицы 3 на 3. Калькулятор

Найти определитель матрицы 3*3 можно быстро по правилу треугольника

Определители обозначают следующими знаками

Примеры вычисления определителей

Пример 1. Найти определитель матрицы

Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

Определитель равен 11.
Приведенная схема пригодиться Вам для вычисления определителя матрицы 3 * 3. Все что Вам нужно — подставить свои значения.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

Решение: В целях научить Вас чему-то новому, найдем определитель матрицы по правилу Саррюса.

Схема вычислений приведена выше поэтому копировать ее не будем, а лишь распишем в деталях. Для этого дописываем к стандартному определителю два первых столбца и выполняем следующие расчеты.

В результате вычислений определитель равен нулю.

Пример 3. Найти определитель матрицы 3*3
Решение: Применяем правило треугольника для нахождения определителя

Определитель равен -161.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы

Решение: Находим определитель матрицы 3*3 по правилу треугольников

Пример 5. Найти определитель матрицы

Решение: Матрица имеет несколько нулевых элементов. Такие матрицы называют разреженными. Для уменьшения количества операций вычислим определитель через алгебраические дополнения ко второму строки или столбца.

Проще уже не может быть.

Пример 6. Доказать что определитель матрицы А равен 3

Решение: Матрица содержит два нулевых элементы, поэтому можем найти определитель через алгебраические дополнения. Разложим определитель по элементам первого столбца.

Определитель равен 3 что и требовалось доказать.

Пример 7. Найти определитель матрицы
Решение:По предварительной схеме определитель матрицы вычисляем через алгебраические дополнения первой строки или третьего столбца. выполняем вычисления

Определитель равен 39.

Пример 8. При каких значениях параметра а определитель матрицы равен нулю

Решение: По правилу треугольников находим определитель

По условию приравниваем определитель к нулю и находим параметр

Параметры при которых определитель обращается в нуль уровне a=-3;a=3.

Пример 9. Найти определитель матрицы

Решение: Найдем определитель матрицы по правилу треугольников и через алгебраические дополнения. По первой схеме получим

Теперь разложим с помощью алгебраических дополнений, например, третьим столбцом. Он удобен тем, что содержит самые элементы матрицы. Находим определитель
Сравнением количества расчетов убеждаемся, что в таких случаях целесообразнее использовать правило треугольников. Вычисления проще и меньше вероятность сделать ошибку.

Для разреженных матриц или большего порядка блочных стоит применять расписание определителя по строке или столбцу.
И напоследок бонус от нас — калькулятор YukhymCalc.

С его помощью Вы легко проверите правильность исчисления основных операций с матрицами, а также сможете найти определитель матрицы и обратную матрицу. Для матриц 3*3 используется правило треугольников, для 4*4 — расписание определителя через элементы первой строки. Меню довольно простое и интуитивно понятное.
Определитель 7 задачу через матричный калькулятор иметь следующий вид

Как видите преимущество матричного калькулятора перед другими, в том числе онлайн калькуляторами, в том, что Вы видите все промежуточные операции. А это важно для проверки и контроля ошибок.

Используйте приведенные схемы вычислений определителей в обучении. Если возникают трудности в вычислениях и есть возможность, то можете проверить найдены определители калькулятором. Скачать матричный калькулятор YukhymCalc Вы можете без регистрации по этой ссылке.

yukhym.com

Определитель матрицы 2×2, 3×3, 4×4…

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Свойства определителя

1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

   Пример 12
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$

2. Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.

   Пример 13
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$

3. Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.

   Пример 14
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (две первые строки пропорциональны)
   или
   $\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (два первых столбца пропорциональны)

4. Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.

   Пример 15
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или

   $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$

5. При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.

   Пример 16
   В определителе
   $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, можно вынести множитель 3 из первой строки $(R_{1})$, тогда получаем:
   $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, затем выносим 2 из третьего столбца $(C_{3})$:
   $6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$

6. При вычислении определителя можно прибавлять (отнимать) строки к другим строкам и столбцы к другим столбцам; определитель матрицы при этом не меняется.

   Пример 17
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   Пример 18
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$

7. При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент.

   Пример 19
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$

   Пример 20
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$

8. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Один из миноров матрицы A есть $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Один из миноров матрицы B есть $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Пусть $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Можно определить минор $\Delta_{i,j}$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_{i,j}$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Пример 23
$ A =

www.math10.com

Определитель матрицы.

Навигация по странице:

Определение.

Обозначение

Свойства определителя матрицы

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

   det(A) = det(A^T)

7. Определитель обратной матрицы:

   det(A^-1) = det(A)^-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….k·a_i1k·a_i2…k·a_in….a_n1a_n2…a_nn = k·a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….a_i1a_i2…a_in….a_n1a_n2…a_nn

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kⁿ·det(A)

    где A матрица n×n, k — число.
13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….b_i1 + c_i1b_i2 + c_i2…b_in + c_in….a_n1a_n2…a_nn = a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….b_i1b_i2…b_in….a_n1a_n2…a_nn + a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n….c_i1c_i2…c_in….a_n1a_n2…a_nn

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

∆ = |a₁₁| = a₁₁

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Пример 1.

Решение:

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

=  a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ — a₁₃·a₂₂·a₃₁ — a₁₁·a₂₃·a₃₂ — a₁₂·a₂₁·a₃₃

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

=  a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ — a₁₃·a₂₂·a₃₁ — a₁₁·a₂₃·a₃₂ - a₁₂·a₂₁·a₃₃

Пример 2.

Решение:

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Правило:

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

A = 2411020021134023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Пример 5.

A = 2411021021134023

Решение:

det(A) = 2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 241102102 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2·20 — 4·22 — 1·23 — 1·2 = 241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = — 2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = — 214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81 = — 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Присоединяйтесь

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне [email protected]

ru.onlinemschool.com

Как найти определитель матрицы 3 порядка

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Матрицы существуют для отображения и решения систем линейных уравнений. Одним из шагов в алгоритме поиска решения является нахождение определителя, или детерминанта. Матрица 3 порядка – это квадратная матрица размерностью 3х3.

Статьи по теме:

Инструкция

Диагональ от левого верхнего элемента к правому нижнему называется главной диагональю квадратной матрицы. От правого верхнего элемента к нижнему левому – побочной. Сама матрица 3 порядка имеет вид:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Для нахождения определителя матрицы третьего порядка существует четкий алгоритм. Сначала просуммируйте элементы главной диагонали: a11+a22+a33. Затем – нижний левый элемент a31 со средними элементами первой строки и третьего столбца: a31+a12+a23 (визуально получается треугольник). Еще один треугольник – правый верхний элемент a13 и срединные элементы третьей строки и первого столбца: a13+a21+a32. Все данные слагаемые перейдут в детерминант со знаком «плюс». Теперь можно перейти к слагаемым со знаком «минус». Во-первых, это побочная диагональ: a13+a22+a31. Во-вторых, два треугольника: a11+a23+a32 и a33+a12+a21. Конечная формула для поиска определителя выглядит так: Δ=a11+a22+a33+a31+a12+a23+a13+a21+a32-(a13+a22+a31)-(a11+a23+a32)-(a33+a12+a21). Формула довольно громоздкая, но после некоторого времени практики она становится привычной и «срабатывает» на автомате.

В ряде случаев нетрудно сразу увидеть, что определитель матрицы равен нулю. Детерминант нулевой, если какие-либо две строки или два столбца совпадают, пропорциональны или линейно зависимы. Если хотя бы одна из строк или один из столбцов полностью состоит из нулей, определитель всей матрицы равен нулю.

Иногда, чтобы найти определитель матрицы, удобнее и проще использовать преобразования матриц: алгебраическое сложение строк и столбцов между собой, вынесение общего множителя строки (столбца) за знак детерминанта, домножение всех элементов строки или столбца на одно и то же число. Для преобразования матриц важно знать их основные свойства.

Видео по теме

Полезный совет

Для вычисления определителя существует множество специфических методов, но, как правило, в случае матриц третьего порядка применять их нецелесообразно.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти определитель матрицы 3Х3 Как? Так!

Содержимое:

2 метода:

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. ^{Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.}

Шаги

Метод 1 Поиск определителя

1. 1 Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:
   • M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462) 2 Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберите. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.
     • Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a₁₁ a₁₂ a₁₃.
   • 3 Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.
     • В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2:
     •  1  5 3
     •  2  4 7
     •  4  6 2
   • 4 Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы (abcd) Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: ). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: / ). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.
     • В нашем примере определитель матрицы (4762) Другими словами, мы только что нашли минор a₁₁.
   • 5 Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2×2, которую мы обозначили X).
     • В нашем примере мы выбирали элемент a₁₁, который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2×2), и у нас получится 1*-34 = -34.
   • 6 Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3×3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:
     • + — +
     • — + —
     • + — +
     • Поскольку мы работали с элементом a₁₁, для которого стоит знак +, то мы будем умножать полученное значение на +1 (то есть оставим его как есть). Алгебраическое дополнение нашего элемента будет равно -34.
     • Вы также можете найти знак алгебраического дополнения по формуле (-1)^{i+j, где i и j — номер столбца и строки выбранного элемента соответственно.}
   • 7 Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3×3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:
     • Вычеркните строку и столбец с этим элементом. В нашем примере мы должны выбрать элемент a₁₂ (равный 5). Вычеркнем первую строку (1 5 3) и второй столбец (546) 8 Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a₁₃ в нашем примере:
       • Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу (2446) 9 Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3×3.
         • В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74.

Метод 2 Как упростить задачу

1. 1 Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:
   • Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a₂₁, a₂₂, and a₂₃. Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2×2. Давайте назовем их A₂₁, A₂₂, and A₂₃.
   • То есть определитель матрицы 3×3 равен a₂₁|A₂₁| — a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
   • Если оба элемента a₂₂ и a₂₃ равны 0, то наша формула становится намного короче a₂₁|A₂₁| — 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| — 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.
2. 2 Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.
   • Например, у нас есть матрица из трех строк: (9−1231075−2) 3 Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a₁₁ в верхнем левом углу до a₃₃ в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3×3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:
     • Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
     • Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
     • Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.

Советы

• Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4×4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3×3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную – очень трудоемкая задача!
• Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.

Похожие статьи

Прислал: Новикова Ксения . 2017-11-06 17:22:56

kak-otvet.imysite.ru

Обратная матрица 3*3. Калькулятор

Как найти обратную матрицу подробно описано в предыдущих уроках. Напомню лишь последовательность вычислений:

• находим определитель главной матрицы;
• дальше вычисляем алгебраические дополнения к матрице;
• последним шагом нужно транспонировать матрицу алгебраических дополнений и разделить на определитель.

Результатом вычислений и будет обратная матрица.

Ниже приведены примеры пошагового вычисления матрицы 3х3.

Пример 1. Найти обратную матрицу

Решение: Вычисляем определитель матрицы 3 * 3 по правилу треугольников

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица А не вырожденная и существует обратная к ней.
Алгебраические дополнения равны минорам умноженным на (-1) в степени суммы номера строки и столбца элемента матрицы.
Для простоты можно использовать приведенную ниже схему знаков миноров

Миноры равны определителю на единицу меньшего порядка чем матрица и образуются вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится элемент.
Более понятно станет с вычислений алгебраических дополнений









Из найденных значений выписываем матрицу алгебраических дополнений

Транспонирует ее чтобы получить присоединенную (союзное) матрицу

На этом этапе будьте внимательны — можно выполнить правильно приведенные выше вычисления и из-за неумения транспонировать получить неверный результат.
Делим на определитель и получаем обратную матрицу

Найти обратную матрицу Вам поможет калькулятор обратной матрицы YukhymCalc. Для этого заходите в меню калькулятора и выбираете вычисления обратных матриц

Далее задаете размер матрицы

и вводить элементы матрицы.

После вычислений Вы получите элементы матрицы дополнений

союзной матрицы, и обратной, а также определитель.

Все действия расписаны подробно в отдельном окне

и результаты вычислений можно сохранить в текстовый файл

Используйте калькулятор для нахождения обратной матрицы и проверки правильности вычислений.

Пример 2. Найти обратную матрицу

Решение: Вычисляем определитель матрицы разложив его по первой строке. Это довольно удобно так как имеем два элемента которые равны нулю

Алгебраические дополнения находим воспользовавшись приведенной выше схемой знаков миноров




Если в определителе строка или столбец содержит элементы = 0 то он равен 0.





Записываем матрицу алгебраических дополнений

Присоединенную матрицу находим транспонированием найденной

Находим обратную матрицу по известной формуле

Калькулятор обратной матрицы дает следующий результат

Сравнением убеждаемся что обратную матрицу найдено правильно. Используйте приведенную методику в обучении и с опытом у Вас не будет проблем с обратной матрицей.

yukhym.com

Определитель, детерминант матрицы

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

   

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

   

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

1. определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
2. при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
3. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

   

определитель равен

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Простой калькулятор онлайн. Очень простой и удобный калькулятор, которым можно пользоваться бесплатно прямо в браузере

На этой странице вы можете воспользоваться простым калькулятором онлайн и абсолютно бесплатно.  Простой калькулятор выполняет сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Проще этого калькулятора только деревянные счеты.

Как пользоваться простым калькулятором?

Пользоваться простым калькулятором можно с помощью мыши или с помощью клавиатуры, в зависимости от того, как вам удобнее. Он работает в режиме онлайн прямо в вашем браузере. С помощью калькулятора очень решать самые простые задачи, не требующие сложных вычислений. Чтобы начать работу, нажмите на любую клавишу с цифрой. После этого вы увидите ее на табло калькулятора, а также чуть ниже, на панели вычислений. Теперь нажмите на одно из математических действий, кнопки которых находятся справа от цифр. Затем снова введите одно из чисел и щелкните на кнопку = (равно). На экране отобразится результат вычислений простого калькулятора, а чуть ниже вы увидите весь математический пример целиком.

Управление калькулятором с помощью клавиатуры:

Цифры 0-9 — любые цифры на клавиатуре. Действия +-*/ — аналогичные клавиши в правой части клавиатуры. Удалить символ — клавиша Backspace. Удалить все — клавиша Del (или Delete).

Преимущества простого онлайн калькулятора?

Главными преимуещствами данного калькулятора являются его простота и доступность. Если вам требуется провести простые вычисления, то вам достаточно всего лишь зайти на эту страницу и без лишних проблем все посчитать. Рассчеты можно производить на любом калькуляторе и даже в уме, но здесь вам не нужно совершать лишних телодвижений: просто откройте страницу и работайте с калькулятором абсолютно бесплатно.

Интерфейс калькулятора действительно очень прост. В него заложены все основные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Это золотой стандарт, позволяющий производить большинство бытовых калькуляций, потребность в которых возникает оченьч часто. Благодаря такому минимализму ничто не будет вас отвлекать от основной задачи. Именно поэтому простейший калькулятор является наиболее эффективным способом посчитать несложные примеры.

Дополнительные возможности простого калькулятора

Во время работы с виртуальным калькулятором вы можете изменить его размер. В левом верхнем углу онлайн приложения его можно изменить с помощью кнопок плюс и минус. Всего доступно три размера: маленький (буква «М»), средний (буква «С») и большой (буква «Б»). По умолчанию установлен средний размер. Также, математический пример, который автоматически пишется под основным дисплеем калькулятора, можно скопировать с помощью правой кнопкой мыши. Для этого его надо выделить и нажать «Копировать» в соответствующем меню. Чтобы пользоваться простым калькулятором регулярно, вам будет удобно добавить его в закладки браузера или в закладки социальной сети с помощью специальных кнопок в левой части экрана.

simplecalc.ru

Обычный инженерный калькулятор онлайн. ¼ + ½ = ¾.

Обычный калькулятор

Обычный калькулятор позволяет выполнять простые операции на калькуляторе, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

Вы можете воспользоваться быстрым математическим калькулятором

Инженерный калькулятор позволяет выполнять плюсом более сложные операции на калькуляторе, такие как синус, косинус, арксинус, арккосинус, тангенс, арктангенс, возведение в степень, экспонента, логарифм, проценты, также есть операции в памяти калькулятора онлайн. Можно набирать прямо с клавиатуры, для этого предварительно кликните на область с калькулятором.

Выполняет простые операции с числами, а также более сложные как
математический калькулятор онлайн.
¼ + ½ = ¾.
Здесь представлены два калькулятора:

1. Первый вычисляет как обычный
2. Второй вычисляет как инженерный

Правила относятся к калькулятору, который вычисляет на сервере

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Зачем нужен этот он-лайн калькулятор?

Калькулятор онлайн — чем отличается от обычного калькулятора? Во-первых, обычный калькулятор не удобно носить с собой, во-вторых — уже сейчас интернет есть практически везде, по-этому не составить проблем зайти на наш сайт и воспользоваться онлайн калькулятором.
Калькулятор он-лайн — чем он отличается от java-калькулятора, а также от других калькуляторов для операционных систем? — опять же — мобильность. Если Вы находитесь за другим компьютером, то не надо снова устанавливать
Итак, пользуйтесь этим онлайн!

www.kontrolnaya-rabota.ru

Инженерный калькулятор онлайн | Дорога к Бизнесу за Компьютером

Вашему вниманию представлен лучший инженерный калькулятор онлайн, который только можно себе вообразить. Впрочем, не только инженеры могут им воспользоваться. Его можно применять в самых разных областях человеческой деятельности, там, где требуются вычисления.

Этот калькулятор поможет школьникам и студентам, которые на нем могут проверить правильность своих расчетов, а также преподавателям, которым приходится порой проверять за вечер сотни домашних заданий.

Данный калькулятор онлайн будет очень полезен людям, которые по роду своей деятельности постоянно занимаются расчетами и вычислениями: инженерам, финансистам, бухгалтерам, бизнесменам.

И главное его преимущество перед другими аналогичными калькуляторами в том, что он позволяет не только производить различные математические действия, но делать это, рассчитывая результат целых формул.

Например, как Вам такая формула? И сколько времени уйдет на ее решение на обычном калькуляторе?

А на данном калькуляторе онлайн задача решается довольно просто, за несколько минут — Вы просто начинаете прописывать цифры и производить с ними определенные действия, и формируете нужную Вам формулу, используя скобки.

Если Вы не вполне себе представляете, как это сделать — видео внизу Вам в помощь.

На этом калькуляторе онлайн Вы можете работать со степенями и корнями, извлекать логарифмы, и использовать тригонометрические функции.

Экран калькулятора онлайн отображает введенное выражение привычным для нас образом, так, как мы его записываем на бумаге.

В поле ввода данные можно вводить как с помощью кнопок калькулятора, так и с помощью клавиатуры компьютера. Например, можно нажать кнопку cos, а можно прописать это слово с помощью клавиатуры буквами. Вместо кнопки Равно можно нажать клавишу Enter, вместо кнопки С — клавишу Esc, а чтобы убрать символы по одному, можно нажать верхнюю правую клавишу калькулятора со стрелкой, или использовать клавишу Backspace.

Формулы можно корректировать — Вы просто ставите курсор в нужное место на поле ввода, затем убираете или добавляете символы или цифры.

При вводе чисел вместо десятичной запятой используйте точку.

Старайтесь также закрывать все скобки. В большинстве случаев это некритично, и калькулятор сам подставит нужные скобки, но иногда возможны ошибки. Впрочем, Вы сами легко увидите неточность в отображаемой формуле, и ее исправите.

О точности калькулятора онлайн можно судить, решив древнюю задачу о зернах на шахматной доске. Кто не помнит — изобретатель шахмат запросил с царя, которому шахматы понравились, следующую награду: на одну клетку шахматной доски нужно было положить одно пшеничное зернышко, на вторую — два, на третью — четыре, и так далее, увеличивая каждый раз количество зернышек вдвое, пока не закончатся все 64 клетки. Изобретатель сказал, что заберет эти зерна себе. Вы можете подсчитать, сколько зерен должно было быть на последней клетке. Решение — не что иное, как 2 в степени 64. Даже Excel выдает при вычислении этого количества округленный результат. А этот калькулятор подсчитает Вам все точно:

Или, например, сложение большого количества чисел. Особенно это актуально для бухгалтеров, которым иногда приходится складывать целые ряды чисел. Если это делать на обычном калькуляторе — вычисления превращаются в утомительный и выматывающий труд. Кроме того, никогда нет уверенности в правильности результата, недаром бухгалтера обычно пересчитывают все по два раза. А с этим калькулятором задача становится довольно простой — все числа видны на экране, и правильность их ввода легко проверить, и если надо, ввод исправить.

Одним словом, возможности данного инженерного калькулятора онлайн удовлетворят даже самого взыскательного пользователя. Потому — пользуйтесь, и желаю Вам комфортных и правильных расчетов.

Видео о том, как вводить формулы в инженерном калькуляторе онлайн

Более подробные сведения Вы можете получить в разделах «Все курсы» и «Полезности», в которые можно перейти через верхнее меню сайта. В этих разделах статьи сгруппированы по тематикам в блоки, содержащие максимально развернутую (насколько это было возможно) информацию по различным темам.

Также Вы можете подписаться на блог, и узнавать о всех новых статьях.
Это не займет много времени. Просто нажмите на ссылку ниже:
    Подписаться на блог: Дорога к Бизнесу за Компьютером

Проголосуйте и поделитесь с друзьями анонсом статьи на Facebook:  

pro444.ru

Калькулятор онлайн. Бесплатный калькулятор

Калькулятор онлайн — это столь необходимый, всегда доступный в вашем браузере инструмент для широкого круга людей, которым необходимо быстро произвести расчеты, не обращаясь к каким-либо прикладным программам. Этот онлайн калькулятор, который мы предлагаем использовать прямо на нашем сайте, лишен недостатков многих подобных сервисов и прикладных приложений, таких как неверные результаты вычислений или недостаточный математический функционал. Наш один из лучших и самых мощных калькуляторов предназначен для любых, простых и сложных вычислений: проценты, тригонометрические функции, логарифмы, извлечение корней и многое другое из области высшей математики.

Если калькулятор не отображается — обновите страницу!

Одна из главных особенностей нашего калькулятора — это способность построения графиков, эта редкая функция пригодится как школьникам и студентам, так и людям занимающимся научной деятельностью. Наш сервис рассчитан не только на студентов и научных сотрудников, он может быть полезен и представителям бизнеса, бухгалтерам, финансистам и многим другим людям, чья профессиональная деятельность сопряжена с частыми математическими вычислениями. Теперь вам не надо искать на компьютере программу для вычислений, или носить с собой счетную машинку, достаточно перейти на этот сайт и воспользоваться калькулятором онлайн

Бесплатный калькулятор — это наш новый онлайн сервис, в основе которого — идея предоставить всем посетителям сайта неограниченный доступ к калькулятору бесплатно с любого компьютера, планшета или смартфона. Круглосуточно, в любом месте где есть Интернет! На сайт предлагает воспользоваться этим бесплатным калькулятором с широчайшими возможностями без регистрации пользователя.

Этот бесплатный калькулятор достаточно прост и легок в освоении, но далеко не все смогут использовать все функциональные возможности калькулятора без специальной инструкции, которую мы подготовили для вас. Инструкция подробно проинформирует вас о правильных обозначениях математических действий и обо всех функциях калькулятора на конкретных примерах. Все это для того, чтобы вам было легко и удобно пользоваться нашим калькулятором.

В зависимости от ваших требований и уровня сложности вычислений, калькулятор можно использовать как обычный калькулятор — для выполнения основных арифметические операции, или как инженерный калькулятор — для математических вычисления повышенной сложности с привлечением дополнительных функций. Для всех видов операций с бесплатным калькулятором найдутся примеры в инструкции.

Чтобы воспользоваться калькулятором — необходимо вводить числа и знаки с помощью манипулятора (мышки), нажимая на кнопочную панель самого калькулятора. Последовательность введенных математических выражений будет отображаться на виртуальном дисплее, а после нажатия на кнопку «равно» калькулятор моментально произведет расчеты и выдаст требуемый результат, не удаляя с «дисплея» саму последовательность. Можно производить расчеты и с клавиатуры, для этого, прежде всего, щелкните один раз левой кнопкой мыши на поле ввода данных. После этого начинайте ввод данных с цифровой панели клавиатуры. Нажатие на клавишу «enter» равносильно кнопки «равно». Подробнее об управлении математическим калькулятором смотрите в инструкции с примерами.

Надеемся, вам понравится наш бесплатный онлайн калькулятор!

Калькулятор онлайн was last modified: Апрель 9th, 2019 by Admin

compuzilla.ru

Калькулятор онлайн ⚙ бесплатно с процентами, корнями и дробями

Вводить цифры и знаки можно с помощью клавиатуры или мышки. С его помощью можно произвести как самые простые, так и более сложные арифметические действия (возведение в квадрат, расчет квадратного корня, определение процента и т.п.). Калькулятор работает онлайн, имеет временную память и экран для отображения вычислений.

Инструкция для работы с нашим онлайн калькулятором

Основные функции кнопок

[ 0 ], [ 1 ],… [ 8 ], [ 9 ] — цифровые клавиши;
[ 00 ] — клавиша для одновременного ввода двух нулей;
[ → ] — удаление последнего введенного Вами знака на экране;
[ +/- ] – смена знака числового выражения на экране на противоположный;
[ X^Y ] — возведение числа X в степень Y;
[ + ] — сложение, [ — ] — вычитание, [ х ] — умножение, [ ÷ ] — деление;
[ √ ] — вычисление квадратного корня;
[ % ] — определение процентов;
[ M+ ] — сохранение в памяти калькулятора числа со знаком [ + ];
[ M- ] — сохранение в памяти калькулятора числа со знаком [ — ];
[ MR ] — отображение содержимого памяти на дисплей;
[ MC ] — очистка содержимого памяти;
[ AC ] — сброс калькулятора включая память;
[ C ] — сброс калькулятора, без сброса памяти.

Ввод команд в наш онлайн-калькулятор с клавиатуры ПК

Работа с калькулятором довольно проста и не вызовет сложностей ни у кого. Для ввода цифр используются клавиши компьютерной клавиатуры с цифрами или цифровые клавиши справа на дополнительной панели.

Чтобы стереть неправильно введенный символ используйте клавишу [Backspace].

Чтобы получить результат сложения или вычитания, жмите клавишу равно – используйте для этого [Enter].

Чтобы использовать знак «плюс», жмите на клавиатуре клавишу [ + ]. Она расположена на дополнительной клавиатуре справа вверху.

Чтобы использовать знак «минус», жмите на клавиатуре клавишу [ — ]. Она расположена сверху или на дополнительной клавиатуре.
Для умножения или деления используйте знаки [ * ] и [ / ] соответственно, которые расположены на боковой клавиатуре.

Чтобы обнулить все расчеты или начать подсчет сначала, нажмите [Del], [Esc] на верхней клавиатуре или же используйте кнопку [End] на боковой клавиатуре.

Простые примеры вычислений, используя калькулятор онлайн
Возвести число 2 в степень 3: 2[ X^Y ]3. Результат — 8.
Вычисление квадратного корня числа 625: 625 [ √ ]. Результат — 25.
Вычисление процента от числа: 1000 [ х ] 20 [ % ]. Результат — 200.
Прибавление процента к числу: 800 [ + ] 25 [ % ]. Результат — 1000.
Вычитание процента из числа: 800 [ — ] 25 [ % ]. Результат — 600.

Часто задаваемые вопросы

У пользователей достаточно часто возникает вопрос: почему если на калькуляторе посчитать 3+3х3=18, то калькулятор, вероятно, считает неверно? Нет, калькулятор считает абсолютно правильно. При вводе очередного математического действия онлайн калькулятор делает подитог. Рекомендуем при проведении подсчетов обращать внимание на дисплей текущих действий. Он расположен справа под основным дисплеем. А теперь попробуем посчитать:

3+3=6, подитог 6. Далее: 6х3=18. Правильный ответ – 18. Ошибок в данном случае нет.

Из истории возникновения калькуляторов

Основным прародителем современного калькулятора считается абак – доска со специальными углублениями, по которым перемещали счетные метки (в большинстве случаев это были косточки или камни). Впервые абак был замечен у Древнем Вавилоне около 3000 лет до н.э. В Древней Греции такой вычислительный прибор появился только в V веке до н.э.

В России абак появился только в 16 веке. Первые русские счеты были выполнены из натуральной древесины. Счетными метками были вишнёвые косточки.

calculator365.ru

Инженерный калькулятор онлайн. Научный калькулятор бесплатно и без регистрации

Инженерный калькулятор: инструкция.

На данной странице находится лучший инженерный калькулятор онлайн. Он предназначен для решения инженерных, научных и других математических задач. Вы можете пользоваться им бесплатно и без регистрации. Этот калькулятор будет полезен инженерам, строителям, ученым, математикам, школьникам, студентам, аспирантам и экономистам. Он поможет вычислить синус и косинус, тангенс и котангенс, возвести число  в квадрат, в степень или  решить логарифм.

Управление: мышь / клавиатура (в т.ч. «Backspace», «Del» и «Enter»).

Расшифровка стандартных кнопок:

«M+» — добавить число в память (либо прибавить к тому, которое уже в памяти).

«M-» — вычесть число, которое на экране из числа, которое в памяти.

«MR» — вывести число из памяти на экран.

«MC» — очистить память.

«+/-» — преобразовать положительное число в отрицательное и наоборот.

«AC» — общий сброс (вместе с памятью).

«C» — простой сброс (без памяти).

«Xy» — возвести в степень (например, 10 ^ 4 = 10000).

Расшифровка кнопок левого блока (слева направо):

«sin» — синус угла.

«asin» — арксинус угла.

«π» — число Пи.

«cos» — косинус угла.

«acos» — арккосинус угла.

«e» — число Эйлера (основание натурального логарифма).

«tg» — тангенс угла.

«atg» — арктангенс угла.

«ctg» — котангенс угла.

«actg» — арккотангенс угла.

«x2» — возвести число в квадрат.

«log2x» — двоичный логарифм.

«10x» — возвести число 10 в степень, находящуюся на экране.

«logyx» — логарифм по основанию «y».

«1/x» — разделить число 1 на текущее число.

Зачем нужен инженерный калькулятор?

Многофункциональный инженерный онлайн калькулятор, предназначенный для выполнения сложных инженерных и научно-технических расчетов. Очень удобный и точный. Доступна функция памяти. Калькулятор управляется с помощью мыши или клавиатуры. При желании можно изменять размер кальулятора («+» и «-» в углу).

Калькулятор выполняет все базовые инженерные и математические действия. Помимо стандартной арифметики и алгебры, вычисляются следующие функции: синус угла, косинус угла, арксинус угла, арккосинус угла, тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс угла, число «пи», основание Эйлера, двоичные логарифм, логарифм по основанию, возведение в кадрат, возведение в степень и многое другое.

engineer-calc.ru

Калькулятор онлайн, бесплатный многофункциональный калькулятор

Кнопки калькулятора

В списке ниже указаны все клавиши калькулятора и выполняемые ими операции.

5urokov.ru

Числовые множества N,Z,Q,R

Текст 1.           Числовые множества

N = {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.

Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел. Q = {    (m∈Z, n∈ N)} – множество всех рациональных чисел.

R – множество всех действительных чисел.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Задание 1. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте текст 1.

2) Читайте текст.     3) Пишите текст. 4) Выучите текст.

Задание 2. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

1 – натуральное число.

1, 2, 3, … , n, … – натуральные числа.

N= {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.

1∈ N,     2∈N,    0∉N,    – 2 ∉ N.

2) Читайте.     3) Пишите.     4) Ответьте на вопросы:

а) Какой буквой обозначают множество всех натуральных чисел?

б)   Какое   множество   обозначают   буквой   N?   в)   Какое   самое маленькое  натуральное  число?  г)  Какое  самое  большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?

Задание 3. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

-2 – целое число.

2; 0; 2 – целые числа.

Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел.

1∈ Z,  — 1∈Z, 0∈Z,   ½∉Z.

2)  Читайте.    3)  Пишите.  4)  Ответьте  на  вопросы:  а)  Какой буквой          обозначают    множество            всех     целых чисел? б)         Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?

Задание 4. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

½ рациональное число.

3½; ⅔; 1,215; 0; — 7 рациональные числа.

Числа вида     (m∈Z, n∈N) это рациональные числа. Рациональные числа можно записать в виде            (m∈ Z, n∈N). Q = { (m∈Z, n∈N)} – множество всех рациональных чисел.

-1⅔∈Q; 6,723∈Q; 5∈Q;     3 (корень из трёх)∉Q.

2) Читайте.     3) Пишите.   4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество           обозначают   буквой   Q?   в)   Какие   числа   называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?

Задание 5. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

Если    число  нельзя записать         в          виде    (m∈Z,            n∈N), то        это

иррациональное число.        3 = 1, 73205…;           —           2 = — 1,41421…;

е          =          2,71828…;      π (пи)            =          3,14159…–     иррациональные       числа.

Иррациональные      числа  –          бесконечные  непериодические

десятичные дроби.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел R.

2) Читайте.     3) Пишите.   4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех действительных чисел? б) Какое множество   обозначают   буквой   R?   в)   Какие   числа   образуют

множество R? г) Какие из следующих чисел действительные: 0; 5⅜;

-9,02; — ;           −        ; е; 10; 12,5?

Задание 6. Рассмотрите схему и опишите её:

√3

-√2

π

Задание 7. Поставьте знак Ѓ или ∉:

-2 … Z 4  16 … Z        π …R            –          … R

0 … N 3 …Q  –          … Q    0,175 … Q

100 … N         5,5 …Q           −        …R     е          …        R

Задание 8. Выпишите: 1) рациональные числа;  2) иррациональные числа:

25 ;      17 ;

3

;           0;         – 6;      —           2 ;        3,6;      0,6666… ;        0,313131… ;

7

0,272272227… ; 5       .

Задание 9. Выполните действия:

1) N ∩ Z;        2) N U Z;        3) Q ∩ Z;        4) Z U Q; 5) N U R;   6)R∩N;

7) N ∩ Q;        8) R∩ Q;         9) Q U R; 10) Z ∩ Q.

Задание 10. Ответьте на вопросы:

1) Чему           равно  пересечение   множеств       рациональных           и иррациональных чисел?

2) Чему           равно  объединение  множеств       рациональных           и иррациональных чисел?

Задание 11. Назовите несколько элементов множества:

1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных

чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел; 8) недействительных чисел.

Задание 12. Скажите, верны или нет следующие утверждения.

Приведите примеры.

1)  Целые  числа  состоят  из  натуральных  чисел,  нуля  и  чисел,

противоположных натуральным. 2) Рациональные числа состоят из

p

целых чисел и дробей вида

, где р – целое, q – натуральное. q

3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.

Слова и словосочетания:

натуральное число    действительное число целое число            периодическая дробь рациональное число            десятичная дробь иррациональное число

Материал взят из книги Начальный   курс   по   математике   для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (Т.А. Полевая)

studik.net

Целые числа. Определение целого числа

Латинской буквой \mathbb{Z} обозначается множество целых чисел.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел.

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … . 

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+», если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «−», если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел:

+ \cdot + = +

+ \cdot — = —

— \cdot + = —

— \cdot — = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+», если количество множителей с отрицательным знаком четное и «−», если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+», а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «−».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a, b и c:

1. a + b = b + a – переместительное свойство сложения;
2. (a + b) + c = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения;
3. a \cdot b = b \cdot a – переместительное свойство умножения;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) – сочетательное свойства умножения;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c – распределительное свойство умножения.

academyege.ru

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные

Калькулятор Дни в Часы | Сколько часов в днях

Сколько часов в днях — дни равно часы

1 День (д)
=
24 Часа (ч)

Онлайн калькулятор: Умножение матриц

Продолжаем серию калькуляторов про матрицы (cсылки на предыдущие калькуляторы: Определитель (детерминант) матрицы и Транспонирование матрицы).

Калькулятор ниже выполняет перемножение двух матриц. Под ним, если кто забыл, определение операции умножения.

-1 2 5 3 4 6 -8 2 12Матрица А-2 2 5 7 -1 4Матрица BТочность вычисления

Знаков после запятой: 2

Сохранить share extension

Приведем определение операции умножения, например, из Википедии:

Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности и соответственно:
.

Тогда матрица C размерностью называется их произведением:
,

где:
.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Следует заметить, что из существования произведения AB вовсе не следует существование произведения BA.

planetcalc.ru

Умножение матриц, онлайн калькулятор с решением

Наш онлайн калькулятор позволяет умножить матрицы всего за пару минут. Для умножения двух матриц выберите их размеры (количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы), введите все элементы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый этап решения будет подробно расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ и закрепить пройденный материал.

Заполните элементы матриц  

Первая матрица:

Вторая матрица:

A×B=?

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Как умножить матрицы онлайн

Умножать две матрицы можно только при условии, что в первой из них ровно такое же количество столбцов, сколько строк во второй. Сами же значения при этом могут быть не только целыми, но и дробными. Получив расшифровку вычисления этой задачи, вы сможете понять, как происходит перемножение. Это сэкономит ваше время и поможет лучше разобраться в вычислительных тонкостях.

Допустим, у вас имеется две матрицы, и вам предстоит найти их произведение. Сделать это оперативно и с наивысшей точностью вам поможет данный онлайн-калькулятор. Он не просто умножит две матрицы без затруднений за пару минут, но и позволит вам детальнее разобраться в самом алгоритме этих расчётов. Таким образом, применение онлайн-калькулятора способствует закреплению пройденного в теории материала. Можно также сначала производить вычисления вручную, а затем проверять их здесь, это превосходная тренировка для мозга.

Инструкция пользования данным онлайн-калькулятором не представляет сложности. Чтобы умножить матрицы онлайн для начала укажите количество имеющихся столбцов и строк в первой матрице посредством нажатия на иконки «+» или «-» слева от матрицы и под ней. Затем введите числа. Повторите те же операции для второй матрицы. Далее остаётся лишь кликнуть кнопку «Вычислить» — и перед вами откроется искомое значение вместе с детальным алгоритмом вычислений.

ru.solverbook.com

Умножение матрицы на матрицу онлайн

Умножение матрицы на матрицу

Операция умножения двух матриц А и В представляет собой вычисление результирующей матрицы С, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первой матрицы aik и элементов в столбце второй матрицы bkj.

Две матрицы можно умножать между собой только тогда, когда количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице. Другими словами первая матрица обязательно должна быть согласованной со второй матрицей. Таким образом, результатом операции умножения матрицы размера m×n на матрицу размером n×k является матрица размером m×k.

Итак, произведение матрицы Аm×n на матрицу Вn×k – это матрица Сm×k, элемент cij которой, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

Каждый элемент матрицы Сm×k равен:

где k принимает значение от 1 до n.

Рассмотрим пример умножения двух матриц.

Даны две матрицы А и В.

Найти произведение матриц А × В.
Решение.

Свойства умножения матриц (свойства справедливы, если матрицы подходящего порядка):

1. Ассоциативность
   (А × В) × С = А × (В × С)
2. Дистрибутивность
   А × (В+С) = А×В + А×С
(А+В) × С = А×С + В×С
3. Ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число
   (k×A) × B = k × (A×B) = A × (k×B)
4. В общем случае умножение матриц не коммутативно
   А×В ≠ В×А
5. Произведение коммутативно в случае умножения на единичную матрицу
   Em × Am×n = Am×n × En = Am×n

Вы также можете

в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)).
Полный список доступных функций можно найти в справке.

www.yotx.ru

Умножение матриц онлайн

www.matcabi.net позволяет найти произведение матриц онлайн. Сайт производит умножение матриц онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Умножением матриц онлайн будет являться матрица, каждый элемент которой вычисляется как скалярное произведение строк первой матрицы на соответствующие столбцы второй матрицы по правилу умножения матриц. При умножении матриц онлайн, каждый элемент полученной матрицы будет результатом умножения строк одной матрицы на столбцы другой матрицы согласно правилу произведения матриц. Найти онлайн произведение двух матриц допустимых размерностей сводится к нахождению матрицы соответствующей им размерности. Операция умножения онлайн двух матриц размерностей NxK и KxM сводится к нахождению матрицы размерности MxN. Элементы этой матрицы составляют скалярное произведение соответствующих строк и столбцов умножаемых матриц, это результат умножения матриц онлайн. Задача по нахождению произведения матриц онлайн или операция умножения матриц онлайн заключается в умножении строк на столбцы матриц согласно правилу умножения матриц. www.matcabi.net находит произведение матриц заданных размерностей в режиме онлайн. Умножение матриц онлайн заданной размерности — это нахождение соответствующей размерности матрицы, элементами которой будут скалярные произведения соответствующих строк и столбцов умножаемых матриц. Нахождение произведения матриц онлайн широко распространено в теории матриц, а так же линейной алгебры. Произведение матриц онлайн используется для определения результирующей матрицы от умножения заданных матриц. Для того, чтобы вычислить произведение матриц или определить умножение матриц онлайн, необходимо затратить не мало времени, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет произведение матриц онлайн от умножения двух заданных матриц онлайн. При этом ответ по нахождению произведения матриц будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при умножении матриц онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть произведение матриц онлайн может быть представлено в общем символьном виде при умножении матриц онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи на умножение матриц онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции умножения матриц онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему умножение матриц онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки умножения матриц онлайн.

www.matcabi.net

Умножение матриц

Произведением двух матриц A порядка m×n и B порядка n×k называется матрица C такая, что

	n
cij=	∑	aiq ·bqj	(i=1,2,…,m; j=1,2,…k),
	q=1

где c_ij элементы матрицы C стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

 

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C=A·B или C=AB.

Из сформулированного выше определения вытекает, что для умножения матрицы A на матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения следует,что эта операция обладает следующими свойствами:

1. (AB)C=A(BC).
2. (A+B)C=AC+BC.
3. A(B+C)=AB+AC.
4. (αA)B=A(αB)=α(AB)=(AB)α.

Здесь α вещественное число.

Пример умножения двух матриц

Пусть заданы матрица A размера 2×3 и матрица B размера 3×3.

Тогда

где

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁, c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₃b₃₂, c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃+a₁₃b₃₃, c₂₁=a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+a₂₃b₃₁, c₂₂=a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₃b₃₂, c₂₃=a₂₁b₁₃+a₂₂b₂₃+a₃₂b₃₃.

Умножение матрицы в общем случае не обладает свойством коммутативности:

AB≠BA.

Пример:

 

Если AB=BA, то матрицы A и B называются коммутативными.

Умножение матриц онлайн

Для умножения матриц пользуйтесь матричным онлайн калькулятором.

matworld.ru

Умножение матриц.

Определение.

Результатом умножения матриц A_m×n и B_n×k будет матрица C_m×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + … + a_in · b_nj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 4290 и B = 31-34

Решение:

С = A · B = 4290· 31-34 = 612279

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 21-304-1 и B = 5-16-307.

Решение:

C = A · B = 21-304-1· 5-16-307 = 7-219-153-1823-417

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 2·5 + 1·(-3) = 10 — 3 = 7

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c₁₃ = a₁₁·b₁₃ + a₁₂·b₂₃ = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c₂₃ = a₂₁·b₁₃ + a₂₂·b₂₃ = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c₃₁ = a₃₁·b₁₁ + a₃₂·b₂₁ = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c₃₂ = a₃₁·b₁₂ + a₃₂·b₂₂ = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c₃₃ = a₃₁·b₁₃ + a₃₂·b₂₃ = 4·6 + (-1)·7 = 24 — 7 = 17

ru.onlinemschool.com

Как найти произведение матриц онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Даны две матрицы A и B. Сначала рассмотрим матрицы размером 3 на 3.

2. Введём первую матрицу А, как показано на рис. ниже:

Нажмём кнопку «Далее»

3. Далее, ввести вторую матрицу B (как на картинке ниже) — она размером 2 на 3:

Если у вас матрица B размера 3 на 3, то изменять размер матрицы вам не  надо!

Чтобы изменить размер матрицы, то двигайте за нижний правый уголок форма матрицы, который указан коричневой стрелкой.

После того, как изменили размер умножаемой матрицы, то вводите элементы матрицы B:

4. после того, как вы ввели матрицу B, то в итоге получите след. результат:

 

Даны матрицы A =

[1 2 -1] [ ] [3 4 0 ] [ ] [-1 2 -2]

и B =

[3 -2] [ ] [1 0 ] [ ] [4 -3]

. Найдем произведение A*B

Рассмотрим произведение A*B. Число столбцов в первом сомножителе A равен 3, число строк во втором сомножителе B тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено. Результатом умножения будет матрица C = A*B, у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрицы C имеет размеры 3 x 2

Находим:

Элемент c1 1. В его вычислении участвует 1-ая строка [1 2 -1] первого сомножителя A и 1—й столбец	[3] [1] [4]	второго сомножителя B:
c1 1 = (1) * (3) + (2) * (1) + (-1) * (4) = 1;
Элемент c1 2. В его вычислении участвует 1-ая строка [1 2 -1] первого сомножителя A и 2—й столбец	[-2] [0] [-3]	второго сомножителя B:
c1 2 = (1) * (-2) + (2) * (0) + (-1) * (-3) = 1;
Элемент c2 1. В его вычислении участвует 2-ая строка [3 4 0] первого сомножителя A и 1—й столбец	[3] [1] [4]	второго сомножителя B:
c2 1 = (3) * (3) + (4) * (1) + (0) * (4) = 13;
Элемент c2 2. В его вычислении участвует 2-ая строка [3 4 0] первого сомножителя A и 2—й столбец	[-2] [0] [-3]	второго сомножителя B:
c2 2 = (3) * (-2) + (4) * (0) + (0) * (-3) = -6;
Элемент c3 1. В его вычислении участвует 3-ая строка [-1 2 -2] первого сомножителя A и 1—й столбец	[3] [1] [4]	второго сомножителя B:
c3 1 = (-1) * (3) + (2) * (1) + (-2) * (4) = -9;
Элемент c3 2. В его вычислении участвует 3-ая строка [-1 2 -2] первого сомножителя A и 2—й столбец	[-2] [0] [-3]	второго сомножителя B:
c3 2 = (-1) * (-2) + (2) * (0) + (-2) * (-3) = 8;

Итак, C =

[1 1 ] [ ] [13 -6] [ ] [-9 8 ]

www.kontrolnaya-rabota.ru

Обратная матрица. Примеры вычисления

Нахождение обратной матрицы является важной составляющей в разделе линейной алгебры. С помощью таких матриц, если они существуют, можно быстро найти решение системы линейных уравнений.

Матрицаназывается обратной к матрице,если выполняются следующие равенства.

.

Если определитель матрицыотличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной.

Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть имеем квадратную матрицу

и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Найти определитель матрицы. Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы . Они равны минорам, умноженным на в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается .

4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант . Полученная матрица будет обратной и иметь свойства, которые изложены в начале статьи.

———————————————

Пример 1.

Найти матрицу, обратную к матрице (Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)

1) (1.127)

2) (1.130)

3) (1.133)

Решение.

1)Находим определитель матрицы

Так как детерминант не равен нулю (), то обратная матрица существует. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений

Матрица дополнений примет вид

Транспонируем ее и получаем присоединенную

Разделим ее на определитель и получим обратную

Видим, что в случае, когда определитель равен единице присоединена и обратная матрицы совпадают.

2) Вычисляем определитель матрицы

Находим матрицу алгебраических дополнений

Конечный вид матрицы дополнений

Транспонируем ее и находим союзную матрицу

Находим обратную матрицу

3) Вычислим детерминант матрицы. Для этого разложим его на первую строчку. В результате получим два отличны от нуля слагаемые

Находим матрицу алгебраических дополнений. Расписание определителя проводим по строкам и столбцам, в которых больше нулевых элементов (обозначены черным цветом).

Конечный вид матрицы дополнений следующий

Транспонируем ее и находим присоединенную матрицу

Поскольку определитель матрицы равен единице то обратная матрица совпадает с присоединенной. Данный пример назад.

При вычислениях обратной матрицы типичными являются ошибки связанные с неправильными знаками при вычислении определителя и матрицы дополнений.

———————————————

——————————

yukhym.com

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Нахождение обратной матрицы — задача, которая чаще решается двумя методами:

• методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
• методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
.                (1)

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
.                (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение a и b равно единице: ab = 1. Число b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

,  (2)

где — определитель матрицы А, а — матрица, союзная с матрицей А.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Следовательно, матрица , союзная с матрицей A, имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы. Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование — это система линейных уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование — систему линейных уравнений вида

,

где aij — элементы матрицы A.

2. Решить полученную систему относительно y — найти для предыдущего линейного преобразование обратное линейное преобразование

,

в котором Aij — алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ — определитель матрицы A. Внимание! Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки — в столбце, а для элементов столбца — в строке.

3. Находим коэффициенты при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований — это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании — это элементы обратной матрицы для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:

Начало темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

function-x.ru

Нахождение обратной матрицы с примеры решения. Описание основных методов вычисления обратной матрицы

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $ A=\left( \begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {-1} & {1} \\ {1} & {3} & {-1}\end{array}\right) $

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$$ \Delta=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \\ {2} & {-1} & {1} \\ {1} & {3} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot(-1) \cdot(-1)+2 \cdot 3 \cdot 2+0 \cdot 1 \cdot 1- $$

$$ -1 \cdot(-1) \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 \neq 0 $$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице $A$ находится по формуле:

$$ A^{-1}=\frac{1}{\Delta} \cdot \widetilde{A}^{T} $$

Найдем союзную матрицу $ \tilde{A} $ , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы $A$ :

$$ A_{11}=(-1)^{1+1} \left| \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {3} & {-1}\end{array}\right|=(-1) \cdot(-1)-3 \cdot 1=1-3=-2 $$

$$ A_{12}=(-1)^{1+2} \left| \begin{array}{rr}{2} & {1} \\ {1} & {-1}\end{array}\right|=-[2 \cdot(-1)-1 \cdot 1]=-(-2-1)=3 $$

$$ A_{13}=(-1)^{1+3} \left| \begin{array}{rr}{2} & {-1} \\ {1} & {3}\end{array}\right|=2 \cdot 3-1 \cdot(-1)=6+1=7 $$

$$ A_{21}=(-1)^{2+1} \left| \begin{array}{rr}{0} & {2} \\ {3} & {-1}\end{array}\right|=-[0 \cdot(-1)-3 \cdot 2]=-(0-6)=6 $$

$$ A_{22}=(-1)^{2+2} \left| \begin{array}{rr}{1} & {2} \\ {1} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot(-1)-1 \cdot 2=-1-2=-3 $$

$$ A_{23}=(-1)^{2+3} \left| \begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {1} & {3}\end{array}\right|=-[1 \cdot 3-1 \cdot 0]=-(3-0)=-3 $$

$$ A_{31}=(-1)^{3+1} \left| \begin{array}{rr}{0} & {2} \\ {-1} & {1}\end{array}\right|=0 \cdot 1-(-1) \cdot 2=0+2=2 $$

$$ A_{32}=(-1)^{3+2} \left| \begin{array}{cc}{1} & {2} \\ {2} & {1}\end{array}\right|=-[1 \cdot 1-2 \cdot 2]=-(1-4)=3 $$

$$ A_{33}=(-1)^{3+3} \left| \begin{array}{rr}{1} & {0} \\ {2} & {-1}\end{array}\right|=1 \cdot(-1)-2 \cdot 0=-1-0=-1 $$

Таким образом, $ \tilde{A}=\left( \begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \\ {6} & {-3} & {-3} \\ {2} & {3} & {-1}\end{array}\right) $

Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

$$ \widetilde{A}^{T}=\left( \begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \\ {3} & {-3} & {3} \\ {7} & {-3} & {-1}\end{array}\right) $$

Итак, $ A^{-1}=\frac{1}{12} \left( \begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \\ {3} & {-3} & {3} \\ {7} & {-3} & {-1}\end{array}\right) $

Ответ. $ A^{-1}=\frac{1}{12} \left( \begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \\ {3} & {-3} & {3} \\ {7} & {-3} & {-1}\end{array}\right) $

www.webmath.ru

Обратная матрица и методы ее вычисления

Таблица степеней

Возведение в степень — бинарная операция, происходящая из сокращения для множественного умножения числа на самого себя. Обозначение: a^b называется степенью с основанием a и показателем b. Логарифм — обратная к возведению в степень функция.

Ниже представлена таблица степеней от 1 до 10.

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

Таблица степеней степеней. Степени натуральных чисел от 2 до 25 (включая от «2 до 10» и от «2 до 20»). Степени от 2 до 10. Таблица степеней.

dpva.ru

Ответы@Mail.Ru: 10 в -2 степени

Это 0,01 — за правильность отвечаю!! ! А то что тебе написали 100, это если бы 10 во 2 степени было, поэтому можешь даже не сомневаться

К вечеру все так сложно? — 100

1/100 -одна сотая

10 в -2 это значи 1 разделить на 10 во 2. т. е. 0,01

Это значит 10х10=100

100, странно как вы считаете что получается 0,01???

я не поняла какая степень 2 или -2. если 2 до ответ 100, если -2 то 0,01

10 во 2 степени значит 100 10 в 1 степени 10 если степень понижать на единицу, то результат уменьшается в данном случае в 10 раз, следовательно 10 в степени 0 будет 1 (10/10) 10 в степени -1 будет 1/10 10 в степени -2 будет 1/100 или 0,01 желаю удачи!

1/100 1E-2 0.01 0,01 1/(10^2) Всё это десять в минус второй степени

10^2 = 10*10 = 100 10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01 =) Темная говоришь? ..хэх (из «Белое солнце пустыни»)

10 в -2 степени это тоже самое, что 1/10во 2 степени, возводишь 10 в квадрат и получается 1/100,а это равно 0,01.

10 на 10 умнож! 100 будет! я в 7 классе! а ты?

touch.otvet.mail.ru

Калькулятор степеней онлайн | umath.ru

Калькулятор степеней поможет просто и быстро возвести число в степень онлайн. При этом показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным!

Что такое степень числа?

Как возвести число в степень?

Чтобы понять, как возводить число в степень, рассмотрим несколько простых примеров.

Возведём в пятую степень число то есть вычислим значение выражения По определению, данному выше,

Вычислим, чему равно то есть чему равно число возведённое в третью степень.

Отрицательный показатель степени

Показатели степени могут быть не только положительными, но и отрицательными.

Например,

а

Как пользоваться калькулятором степеней

Калькулятор помогает возводить число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью, однако следует помнить о том, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.

При записи дробных чисел можно использовать как точку, так и запятую. В ответе большие числа записываются в так называемом «научном формате», то есть число выглядит как <число>e<количество нулей>. Например, , а

umath.ru

Чему будет равно 10 в минус 6 степени?? 10 в минус 10 степени?? Скажите пожалуйста!!!!))

10 в 6 степени (просто прибавляей 6 нулей к 10) 10000000 а так как степень четная, то минус опускается)

Десять в минус какой-то степени, это 1 деленная на 1 с количеством нулей равным степени. Например, 10 в минус 2 степени = 0,01

Если единицу разделить на миллион это и будет 10 в минус шестой степени. А вам зачем столько мало надо? Берите миллион, не мелочитесь..

10 в минус 6 степени равно 1/10^6 10 в минус 10 степени равно 1/10^10

десять в минус шестой степени, это одна десятая в шестой степени, т. е. 1/1000000 а десять в минус десятой, это одна десятая в десятой степени, т. е. 1/10000000000

touch.otvet.mail.ru

Кто шарит в степенях? Сколько будет 5*10-4 степени и 3*10-3 степени

число в минусовой степени — это значит, сто оно стоит В ЗНАМЕНАТЕЛЕ В Вашем случае в минусовой степени десятка — значит вместо умножить нужно разделить на 10 в положительной степени, т. е. 5/10в четвертой, а 3/10 в третьей, ну а 10 в какой-то степени — это 1 со столькими нулями, какая степень, т. е. получаем 5/10000 и 3/1000, ну а нули говорят о том — сколько знаков в числе после запятой, т. е. 5 — 4й знак после запятой (0,0005), а 3 — третий (0,003)

5 в десятой это 50000000000-4=49999999996 3 в десятой это 30000000000-3=29999999997

Я думаю, вас интересует 5*10^(-4)=0.0005 и 3*10^(-3)=0.003 Если вы имели в виду 5^(10-4) и 3^(10-3) степени, т. е. 5^6 и 3^7, то это равно 15625 и 2187.

touch.otvet.mail.ru

Сколько будет 10 в 17 степени?

калькулятор уже изобрели, даун

Так и будет 10^17 Это более понятно, чем сто миллионов миллиардов..

10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10*10= умнож

Это не считается. Это запись такая. Никто не пишет единичку с 17 нулями.

По-современному, так и будет: 10 в 17. Название числа ни кому не нужно, колышник.

Венгрия 100 000 000 000 000 000 пенго 1946 года тоже говорить 10^17 ?

touch.otvet.mail.ru

Стороны треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Зная стороны треугольника, можно найти все остальные его параметры по выведенным для треугольника формулам, просто подставив их значения. Периметр треугольник будет представлять собой сумму всех его сторон, а площадь выводится по формуле Герона, как квадратный корень из произведения полупериметра на его разность с каждой стороной по очереди, и деленному на два. P=a+b+c S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)/2)

Все углы в треугольнике, зная стороны, можно найти через теорему косинусов. (рис.75) cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc

В произвольном треугольнике также есть три медианы m (делящие противоположную сторону пополам), три биссектрисы l (делящие угол пополам) и три высоты h (перпендикуляры из угла к стороне или ее проекции). Все их можно вычислить, имея в распоряжении значения трех сторон. Формула медианы, которая опущена на сторону c.(рис.75.1) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2

Найти медиану, опущенную на сторону a или b, можно заменив необходимые стороны в формуле так, чтобы сторона, поделенная медианой пополам, была со знаком «–». m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2

Формула биссектрисы, которая выходит из угла γ и опущена на сторону с. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)

Чтобы найти биссектрисы, которые выходят из двух других углов, нужно преобразовать формулу аналогично формуле медианы, где противоположная сторона со знаком «–». l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)

Формула высоты, которая опущена на сторону a, b или c видоизменяется таким образом, чтобы в знаменателе была нужная сторона.(рис.75.3) h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c

Также в любом треугольнике можно провести среднюю линию, которая также как медиана обозначается буквой m, поэтому для их разделения, будем использовать заглавную M для средней линии. Средняя линия параллельна той стороне, которая выбрана основанием треугольника, и равна ее половине. Среди свойств средней линии можно отметить, что боковые стороны она делит на две равные части, поэтому если начертить все три средние линии в треугольнике, то получится еще один треугольник, подобный первому, в два раза меньше. (рис. 75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2

В каждый треугольник можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Центр вписанной в треугольник окружности будет находиться на пересечении его биссектрис, а радиус будет опущен под прямым углом к любой стороне и его формула выводится также по Герону. (рис.75.5) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Центр описанной вокруг произвольного треугольника окружности находится на пересечении его медиатрисс (срединных перпендикуляров, радиус опущен в любую вершину или угол, и вычисляется по следующей формуле. (рис.75.6) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

geleot.ru

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором. Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений. С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Выберите способ расчета площади:

через основание и высотучерез две стороны и уголпо трем сторонам (формула Герона)через радиус вписанной окружностичерез радиус описанной окружности

Рассчитать

Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника. В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).

Как найти площадь треугольника?

Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов:

1) через основание и высоту

a – основание треугольника,
h – высота треугольника.

2) через две стороны и угол

a, b – стороны треугольника,
α – угол между сторонами.

3) По трем сторонам. Формула Герона.

a, b, с – стороны треугольника,
p – полупериметр треугольника.

4) Через радиус вписанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника,
p – полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной окружности.

5) Через радиус описанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Вы всегда сможете проверить правильность расчета площади треугольника с помощью нашего калькулятора.

calc.by

Катеты прямоугольного треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2

Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

geleot.ru

Площадь треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a₁ и a₂, а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника, площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:

---

Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника: Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.

---

Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.

---

Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе:

geleot.ru

Решение прямоугольного треугольника | Формулы и расчеты онлайн

Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам

Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме Пифагора. Острые углы определяются по формулам тригонометрических функций острого угла — Синус угла — sin(A), Косинус угла — cos(A), Тангенс угла — tg(A), Котангенс угла — ctg(A), Секанс угла — sec(A), Косеканс угла — cosec(A).

Решение прямоугольного треугольника

Если известны катет a и гипотенуза c

Второй катет b определится по теореме Пифагора:

\[ b = \sqrt{c^2 — a^2} \]

Угол A определится по формуле синуса:

\[ \sin(A) = \frac{a}{c} \]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

\[ B = 180° — 90° — A \]

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и гипотенуза)

Если известны катеты a и b

Гипотенуза с определится по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Угол A определится по формуле тангенса:

\[ \tg(A) = \frac{a}{b} \]

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

\[ B = 180° — 90° — A \]

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и катет)

Решение прямоугольного треугольника по стороне и острому углу

Если дан острый угол A, то B найдется по формуле:

\[ B = 90° — A \]

Стороны можно найти по следующим формулам:

\[ a = c · \sin(A) \]	\[ b = c · \cos(A) \]	\[ a = b · \tg(A) \]
\[ b = c · \sin(B) \]	\[ a = c · \cos(B) \]	\[ b = a · \tg(B) \]
\[ c = \frac{a}{\sin(A)} \]	\[ c = \frac{b}{\cos(A)} \]	\[ b = \frac{a}{\tg(A)} \]

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника если известны катет a и противолежащий угол A

Здесь все углы мы найдем по формуле (7). Гипотенузу по формуле (14) и второй катет по формуле (16).

В помощь студенту

Решение прямоугольного треугольника	стр. 237

www.fxyz.ru

онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

Геометрия треугольника

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник — это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник — оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

• Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
• Катеты — отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник в реальности

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм — трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник — наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник — это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь треугольника

Площадь геометрической фигуры — это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

S = 0,5 a × h,

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

S = 0,5 a × b,

где a и b – катеты.

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

• два катета;
• катет и прилежащий угол;
• катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

S = 180,5

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол — это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

S= 21,65

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Заключение

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

bbf.ru