Рубрика: Школьная жизнь

Название вещества alpo4 – Фосфат алюминия — это… Что такое Фосфат алюминия?

alexxlab / / Школьная жизнь

Фосфат алюминия — это… Что такое Фосфат алюминия?

Фосфат алюминия (ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый) — AlPO4, неорганическое соединение, алюминиевая соль фосфорной кислоты. Твёрдое, белое кристаллическое вещество, нерастворимое в воде. Встречается в природе в виде минерала берлинита. Образуется в виде студёнистого осадка при действии на водорастворимые соли алюминия растворимых фосфатов.

Используется в качестве флюса в производстве керамики, добавки для цемента, высокотемпературного дегидратирующего агента, для выпуска специальных сортов стекла, как катализатор в органическом синтезе. Также применяется как компонент для некоторых разрыхлителей в кондитерском деле и в медицине как антацид.

Нахождение в природе и физические свойства

Белое (в аморфном виде) или бесцветное кристаллическое вещество, существующая в четырёх модификациях, среди которых устойчивы[1]:

Плотность: 2,64 г/см³, удельная теполёмкость: 93,2 Дж/(моль·К), стандартная энтальпия образования: −1733 кДж/моль, стандартная энергия Гиббса: −1617 кДж/моль, стандартная энтропия: 90,8 Дж/(моль·K).
  • β-AlPO4 — с гексагональной (580—1047 °C) или кубической (выше 1047 °C) решёткой.

Соединение плохо растворимо в воде (ПР 9,83·10−10) и спирте, хорошо растворимо в соляной и азотной кислоте[2]. Хуже всего соль растворима в воде при pH 4,07—6,93[3].

При осаждении их водных растворов выпадает в виде аморфного осадка общей формулой AlPO4•xH2O. Известны кристаллогидраты, где x=2; 3,5. Безводную соль можно получить при нагревании фосфата выше 1300 °C.

Известны основные и кислые соли фосфата алюминия: Al2(PO4)(OH)3, Al(H2PO4)3, AlH3(PO4)2 и др.

Аугелит Лазулит

В природе фосфат алюминия входит в состав следующих многочисленных минералов (список не является исчерпывающим):

  • альдерманит: Mg5Al12(PO4)8(OH)22 • 32H2O
  • амблигонит: (Li,Na)AlPO4(F,OH)
  • ахейлит: (Fe2+,Zn)Al6(PO4)4(OH)8 • 4H2O
  • аугелит: Al2(PO4)(OH)3
  • берлинит: AlPO4 • xH2O
  • бразилианит: NaAl3(PO4)2(OH)4
  • вантасселит: Al4(PO4)3(OH)3 • 9H2O
  • варисцит: AlPO4 • 2H2O
  • воксит: Fe2+Al2(PO4)2(OH)2 • 6H2O
  • лазулит: (Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2
  • скорцалит: ((Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2)
  • таранакит: (K,Na)3(Al,Fe3+)5(PO4)2([HPO4)6 • 18H2O
  • цириловит: NaFe3+3(PO4)2(OH)4 • 2(H2O)
  • чилдренит: (Fe,Mn)AlPO4(OH)2 • H2O
  • эосфорит: MnAlPO4)(OH)2 • H2O

Получение и химические свойства

Фосфат алюминия довольно устойчивое соединение, разлагающееся при температуре выше 2000 °C:

Получают нагреванием алюмината натрия с фосфорной кислотой или обменной реакцией сульфата алюминия с водорастворимыми фосфатами:

Примечания

  1. ↑ Алюминия фосфат // Химическая энциклопедия / Главный редактор И. Л. Кнунянц. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — Т. 1. — С. 217—218.
  2. ↑ Patnaik P. Handbook of Inorganic Chemicals. — McGraw-Hill, 2003. — P. 13—14. — ISBN 0-07-049439-8
  3. ↑ Тихонов В.Н. Аналитическая химия алюминия. — Серия «Аналитическая химия элементов». — М.: «Наука», 1971. — С. 17.

Шаблон:АТХ код A02

dic.academic.ru

Алюминия Фосфат: формула, инструкция по применению, цена, отзывы

Читайте нас и будьте здоровы! Пользовательское соглашение о портале обратная связь
  • Врачи
  • Болезни
    • Кишечные инфекции (5)
    • Инфекционные и паразитарные болезни (26)
    • Инфекции, передающиеся половым путем (6)
    • Вирусные инфекции ЦНС (3)
    • Вирусные поражения кожи (12)
    • Микозы (10)
    • Протозойные болезни (1)
    • Гельминтозы (5)
    • Злокачественные новообразования (8)
    • Доброкачественные новообразования (7)
    • Болезни крови и кроветворных органов (7)
    • Болезни щитовидной железы (6)
    • Болезни эндокринной системы (13)
    • Недостаточности питания (1)
    • Нарушения обмена веществ (1)
    • Психические расстройства (30)
    • Воспалительные болезни ЦНС (3)
    • Болезни нервной системы (19)
    • Двигательные нарушения (5)
    • Болезни глаза (18)
    • Болезни уха (4)
    • Болезни системы кровообращения (9)
    • Болезни сердца (10)
    • Цереброваскулярные болезни (2)
    • Болезни артерий, артериол и капилляров (8)
    • Болезни вен, сосудов и лимф. узлов (7)
    • Болезни органов дыхания (33)
    • Болезни полости рта и челюстей (15)
    • Болезни органов пищеварения (28)
    • Болезни печени (2)
    • Болезни желчного пузыря (5)
    • Болезни кожи (32)
    • Болезни костно-мышечной системы (46)
    • Болезни мочеполовой системы (13)
    • Болезни мужских половых органов (8)
    • Болезни молочной железы (3)
    • Болезни женских половых органов (27)
    • Беременность и роды (5)
    • Болезни плода и новорожденного (3)
  • Симптомы
    • Амнезия (потеря памяти)
    • Анальный зуд
    • Апатия
    • Афазия
    • Афония
    • Ацетон в моче
    • Бели (выделения из влагалища)
    • Белый налет на языке
    • Боль в глазах
    • Боль в колене
    • Боль в левом подреберье
    • Боль в области копчика
    • Боль при половом акте
    • Вздутие живота
    • Волдыри
    • Воспаленные гланды
    • Выделения из молочных желез
    • Выделения с запахом рыбы
    • Вялость
    • Галлюцинации
    • Гнойники на коже (Пустула)
    • Головокружение
    • Горечь во рту
    • Депигментация кожи
    • Дизартрия
    • Диспепсия (Несварение)
    • Дисплазия
    • Дисфагия (Нарушение глотания)
    • Дисфония
    • Дисфория
    • Жажда
    • Жар
    • Желтая кожа
    • Желтые выделения у женщин
    • …
    • ПОЛНЫЙ СПИСОК СИМПТОМОВ>
  • Лекарства
    • Антибиотики (211)
    • Антисептики (123)
    • Биологически активные добавки (210)
    • Витамины (192)
    • Гинекологические (183)
    • Гормональные (155)
    • Дерматологические (258)
    • Диабетические (46)
    • Для глаз (124)
    • Для крови (77)
    • Для нервной системы (385)
    • Для печени (69)
    • Для повышения потенции (24)
    • Для полости рта (68)
    • Для похудения (40)
    • Для суставов (161)
    • Для ушей (15)
    • Другие (306)
    • Желудочно-кишечные (314)
    • Кардиологические (149)
    • Контрацептивы (48)
    • Мочегонные (32)
    • Обезболивающие (280)
    • От аллергии (102)
    • От кашля (137)
    • От насморка (91)
    • Повышение иммунитета (123)
    • Противовирусные (113)
    • Противогрибковые (126)
    • Противомикробные (145)
    • Противоопухолевые (65)
    • Противопаразитарные (49)
    • Противопростудные (90)
    • Сердечно-сосудистые (351)
    • Урологические (89)
    • ДЕЙСТВУЮЩИЕ ВЕЩЕСТВА
  • Справочник
    • Аллергология (4)
    • Анализы и диагностика (6)
    • Беременность (25)
    • Витамины (15)
    • Вредные привычки (4)
    • Геронтология (Старение) (4)
    • Дерматология (3)
    • Дети (15)
    • Другие статьи (22)
    • Женское здоровье (4)
    • Инфекция (1)
    • Контрацепция (11)
    • Косметология (23)
    • Народная медицина (17)
    • Обзоры заболеваний (27)
    • Обзоры лекарств (34)
    • Ортопедия и травматология (4)
    • Питание (99)
    • Пластическая хирургия (8)
    • Процедуры и операции (23)

medside.ru

Фосфат алюминия — Википедия. Что такое Фосфат алюминия

Фосфат алюминия
Общие
Систематическое
наименование		 Фосфат алюминия
Традиционные названия Фосфат алюминия, ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый
Хим. формула AlPO4
Рац. формула AlPO4
Физические свойства
Состояние твёрдое
Молярная масса 121,95 г/моль
Плотность 2,566 г/см³
Термические свойства
Т. плав. 1800 °C
Мол. теплоёмк. 93,24 Дж/(моль·К)
Энтальпия образования −1735 кДж/моль
Удельная теплота испарения −
Классификация
Рег. номер CAS 7784-30-7
PubChem 16693906
Рег. номер EINECS 232-056-9
SMILES
InChI
RTECS TB6450000
ChemSpider 58204 и 21172744
Приводятся данные для стандартных условий (25 °C, 100 кПа), если не указано иного.

Фосфат алюминия (ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый) — AlPO4, неорганическое соединение, алюминиевая соль фосфорной кислоты. Твёрдое, белое кристаллическое вещество, нерастворимое в воде. Встречается в природе в виде многочисленных минералов. Образуется в виде студёнистого осадка при действии на водорастворимые соли алюминия растворимых фосфатов.

Используется в качестве флюса в производстве керамики, добавки для цемента, высокотемпературного дегидратирующего агента, для выпуска специальных сортов стекла, как катализатор в органическом синтезе. Также применяется как компонент для некоторых разрыхлителей в кондитерском деле и в медицине как антацид.

Нахождение в природе и физические свойства

Белое (в аморфном виде) или бесцветное кристаллическое вещество, существующая в четырёх модификациях, среди которых устойчивы[1]:

Плотность: 2,64 г/см³, удельная теплоёмкость: 93,2 Дж/(моль·К), стандартная энтальпия образования: −1733 кДж/моль, стандартная энергия Гиббса: −1617 кДж/моль, стандартная энтропия: 90,8 Дж/(моль·K).
  • β-AlPO4 — с гексагональной (580—1047 °C) или кубической (выше 1047 °C) решёткой.

Соединение плохо растворимо в воде (ПР 9,83·10−10) и спирте, хорошо растворимо в соляной и азотной кислоте[2]. Хуже всего соль растворима в воде при pH 4,07—6,93[3].

При осаждении из водных растворов выпадает в виде аморфного осадка общей формулой AlPO4•xH2O. Известны кристаллогидраты, где x=2; 3,5. Безводную соль можно получить при нагревании фосфата выше 1300 °C.

Известны основные и кислые соли фосфата алюминия: Al2(PO4)(OH)3, Al(H2PO4)3, AlH3(PO4)2 и др.

В природе фосфат алюминия входит в состав следующих многочисленных минералов (список не является исчерпывающим):

  • альдерманит: Mg5Al12(PO4)8(OH)22 • 32H2O
  • амблигонит: (Li,Na)AlPO4(F,OH)
  • ахейлит: (Fe2+,Zn)Al6(PO4)4(OH)8 • 4H2O
  • аугелит: Al2(PO4)(OH)3
  • берлинит: AlPO4 • xH2O
  • бразилианит: NaAl3(PO4)2(OH)4
  • вантасселит: Al4(PO4)3(OH)3 • 9H2O
  • варисцит: AlPO4 • 2H2O
  • воксит: Fe2+Al2(PO4)2(OH)2 • 6H2O
  • лазулит: (Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2
  • скорцалит: ((Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2)
  • таранакит: (K,Na)3(Al,Fe3+)5(PO4)2([HPO4)6 • 18H2O
  • цириловит: NaFe3+3(PO4)2(OH)4 • 2(H2O)
  • чилдренит: (Fe,Mn)AlPO4(OH)2 • H2O
  • эосфорит: MnAlPO4)(OH)2 • H2O

Получение и химические свойства

Фосфат алюминия довольно устойчивое соединение, разлагающееся при температуре выше 2000 °C:

4AlPO4=2Al2O3+P4O10{\displaystyle {\mathsf {4AlPO_{4}=2Al_{2}O_{3}+P_{4}O_{10}}}}

Получают нагреванием алюмината натрия с фосфорной кислотой или обменной реакцией сульфата алюминия с водорастворимыми фосфатами:

NaAlO2+h4PO4=AlPO4+NaOH+h3O{\displaystyle {\mathsf {NaAlO_{2}+H_{3}PO_{4}=AlPO_{4}+NaOH+H_{2}O}}}
2Na3PO4+Al2(SO4)3=2AlPO4+3Na2SO4{\displaystyle {\mathsf {2Na_{3}PO_{4}+Al_{2}(SO_{4})_{3}=2AlPO_{4}+3Na_{2}SO_{4}}}}

Примечания

  1. ↑ Алюминия фосфат // Химическая энциклопедия / Главный редактор И. Л. Кнунянц. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — Т. 1. — С. 217—218.
  2. ↑ Patnaik P. Handbook of Inorganic Chemicals. — McGraw-Hill, 2003. — P. 13—14. — ISBN 0-07-049439-8.
  3. ↑ Тихонов В.Н. Аналитическая химия алюминия. — Серия «Аналитическая химия элементов». — М.: «Наука», 1971. — С. 17.

wiki.sc

Фосфат алюминия

Химия — Фосфат алюминия

01 марта 2011

Оглавление:
1. Фосфат алюминия
2. Получение и химические свойства

Фосфат алюминия — AlPO4, неорганическое соединение, алюминиевая соль фосфорной кислоты. Твёрдое, белое кристаллическое вещество, нерастворимое в воде. Встречается в природе в виде минерала берлинита. Образуется в виде студёнистого осадка при действии на водорастворимые соли алюминия растворимых фосфатов.

Используется в качестве флюса в производстве керамики, добавки для цемента, высокотемпературного дегидратирующего агента, для выпуска специальных сортов стекла, как катализатор в органическом синтезе. Также применяется как компонент для некоторых разрыхлителей в кондитерском деле и в медицине как антацид.

Нахождение в природе и физические свойства

Белое или бесцветное кристаллическое вещество, существующая в четырёх модификациях, среди которых устойчивы:

  • α-AlPO4 — с гексагональной решёткой, устойчив до 580 °C;
Плотность: 2,64 г/см³, удельная теполёмкость: 93,2 Дж/, стандартная энтальпия образования: −1733 кДж/моль, стандартная энергия Гиббса: −1617 кДж/моль, стандартная энтропия: 90,8 Дж/.
  • β-AlPO4 — с гексагональной или кубической решёткой.

Соединение плохо растворимо в воде и спирте, хорошо растворимо в соляной и азотной кислоте. Хуже всего соль растворима в воде при pH 4,07—6,93.

При осаждении их водных растворов выпадает в виде аморфного осадка общей формулой AlPO4•xH2O. Известны кристаллогидраты, где x=2; 3,5. Безводную соль можно получить при нагревании фосфата выше 1300 °C.

Известны основные и кислые соли фосфата алюминия: Al23, Al3, AlH32 и др.

Аугелит

Лазулит

В природе фосфат алюминия входит в состав следующих многочисленных минералов:

  • альдерманит: Mg5Al12822 • 32H2O
  • амблигонит:AlPO4
  • ахейлит:Al648 • 4H2O
  • аугелит: Al23
  • берлинит: AlPO4 • xH2O
  • бразилианит: NaAl324
  • вантасселит: Al433 • 9H2O
  • варисцит: AlPO4 • 2H2O
  • воксит: FeAl222 • 6H2O
  • лазулит:Al22
  • скорцалит:Al22)
  • таранакит:3526 • 18H2O
  • цириловит: NaFe324 • 2
  • чилдренит:AlPO42 • H2O
  • эосфорит: MnAlPO4)2 • H2O

Просмотров: 3948

Хлорид алюминия

4108.ru

Ортофосфат алюминия Википедия

Фосфат алюминия
Общие
Систематическое
наименование		 Фосфат алюминия
Традиционные названия Фосфат алюминия, ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый
Хим. формула AlPO4
Рац. формула AlPO4
Физические свойства
Состояние твёрдое
Молярная масса 121,95 г/моль
Плотность 2,566 г/см³
Термические свойства
Т. плав. 1800 °C
Мол. теплоёмк. 93,24 Дж/(моль·К)
Энтальпия образования −1735 кДж/моль
Удельная теплота испарения −
Классификация
Рег. номер CAS 7784-30-7
PubChem 16693906
Рег. номер EINECS 232-056-9
SMILES
InChI
RTECS TB6450000
ChemSpider 58204 и 21172744
Приводятся данные для стандартных условий (25 °C, 100 кПа), если не указано иного.

Фосфат алюминия (ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый) — AlPO4, неорганическое соединение, алюминиевая соль фосфорной кислоты. Твёрдое, белое кристаллическое вещество, нерастворимое в воде. Встречается в природе в виде многочисленных минералов. Образуется в виде студёнистого осадка при действии на водорастворимые соли алюминия растворимых фосфатов.

Используется в качестве флюса в производстве керамики, добавки для цемента, высокотемпературного дегидратирующего агента, для выпуска специальных сортов стекла, как катализатор в органическом синтезе. Также применяется как компонент для некоторых разрыхлителей в кондитерском деле и в медицине как антацид.

Нахождение в природе и физические свойства

Белое (в аморфном виде) или бесцветное кристаллическое вещество, существующая в четырёх модификациях, среди которых устойчивы[1]:

Плотность: 2,64 г/см³, удельная теплоёмкость: 93,2 Дж/(моль·К), стандартная энтальпия образования: −1733 кДж/моль, стандартная энергия Гиббса: −1617 кДж/моль, стандартная энтропия: 90,8 Дж/(моль·K).
  • β-AlPO4 — с гексагональной (580—1047 °C) или кубической (выше 1047 °C) решёткой.

Соединение плохо растворимо в воде (ПР 9,83⋅10−10) и спирте, хорошо растворимо в соляной и азотной кислоте[2]. Хуже всего соль растворима в воде при pH 4,07—6,93[3].

При осаждении из водных растворов выпадает в виде аморфного осадка общей формулой AlPO4•xH2O. Известны кристаллогидраты, где x=2; 3,5. Безводную соль можно получить при нагревании фосфата выше 1300 °C.

Известны основные и кислые соли фосфата алюминия: Al2(PO4)(OH)3, Al(H2PO4)3, AlH3(PO4)2 и др.

В природе фосфат алюминия входит в состав следующих многочисленных минералов (список не является исчерпывающим):

  • альдерманит: Mg5Al12(PO4)8(OH)22 • 32H2O
  • амблигонит: (Li,Na)AlPO4(F,OH)
  • ахейлит: (Fe2+,Zn)Al6(PO4)4(OH)8 • 4H2O
  • аугелит: Al2(PO4)(OH)3
  • берлинит: AlPO4 • xH2O
  • бразилианит: NaAl3(PO4)2(OH)4
  • вантасселит: Al4(PO4)3(OH)3 • 9H2O
  • варисцит: AlPO4 • 2H2O
  • воксит: Fe2+Al2(PO4)2(OH)2 • 6H2O
  • лазулит: (Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2
  • скорцалит: ((Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2)
  • таранакит: (K,Na)3(Al,Fe3+)5(PO4)2([HPO4)6 • 18H2O
  • цириловит: NaFe3+3(PO4)2(OH)4 • 2(H2O)
  • чилдренит: (Fe,Mn)AlPO4(OH)2 • H2O
  • эосфорит: MnAlPO4)(OH)2 • H2O

Получение и химические свойства

Фосфат алюминия довольно устойчивое соединение, разлагающееся при температуре выше 2000 °C:

4AlPO4=2Al2O3+P4O10{\displaystyle {\mathsf {4AlPO_{4}=2Al_{2}O_{3}+P_{4}O_{10}}}}

Получают нагреванием алюмината натрия с фосфорной кислотой или обменной реакцией сульфата алюминия с водорастворимыми фосфатами:

NaAlO2+h4PO4=AlPO4+NaOH+h3O{\displaystyle {\mathsf {NaAlO_{2}+H_{3}PO_{4}=AlPO_{4}+NaOH+H_{2}O}}}
2Na3PO4+Al2(SO4)3=2AlPO4+3Na2SO4{\displaystyle {\mathsf {2Na_{3}PO_{4}+Al_{2}(SO_{4})_{3}=2AlPO_{4}+3Na_{2}SO_{4}}}}

Примечания

  1. ↑ Алюминия фосфат // Химическая энциклопедия / Главный редактор И. Л. Кнунянц. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — Т. 1. — С. 217—218.
  2. ↑ Patnaik P. Handbook of Inorganic Chemicals. — McGraw-Hill, 2003. — P. 13—14. — ISBN 0-07-049439-8.
  3. ↑ Тихонов В.Н. Аналитическая химия алюминия. — Серия «Аналитическая химия элементов». — М.: «Наука», 1971. — С. 17.

wikiredia.ru

Фосфат алюминия — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фосфат алюминия (ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый) — AlPO4, неорганическое соединение, алюминиевая соль фосфорной кислоты. Твёрдое, белое кристаллическое вещество, нерастворимое в воде. Встречается в природе в виде многочисленных минералов. Образуется в виде студёнистого осадка при действии на водорастворимые соли алюминия растворимых фосфатов.

Используется в качестве флюса в производстве керамики, добавки для цемента, высокотемпературного дегидратирующего агента, для выпуска специальных сортов стекла, как катализатор в органическом синтезе. Также применяется как компонент для некоторых разрыхлителей в кондитерском деле и в медицине как антацид.

Нахождение в природе и физические свойства

Белое (в аморфном виде) или бесцветное кристаллическое вещество, существующая в четырёх модификациях, среди которых устойчивы[1]:

Плотность: 2,64 г/см³, удельная теполёмкость: 93,2 Дж/(моль·К), стандартная энтальпия образования: −1733 кДж/моль, стандартная энергия Гиббса: −1617 кДж/моль, стандартная энтропия: 90,8 Дж/(моль·K).
  • β-AlPO4 — с гексагональной (580—1047 °C) или кубической (выше 1047 °C) решёткой.

Соединение плохо растворимо в воде (ПР 9,83·10−10) и спирте, хорошо растворимо в соляной и азотной кислоте[2]. Хуже всего соль растворима в воде при pH 4,07—6,93[3].

При осаждении их водных растворов выпадает в виде аморфного осадка общей формулой AlPO4•xH2O. Известны кристаллогидраты, где x=2; 3,5. Безводную соль можно получить при нагревании фосфата выше 1300 °C.

Известны основные и кислые соли фосфата алюминия: Al2(PO4)(OH)3, Al(H2PO4)3, AlH3(PO4)2 и др. В природе фосфат алюминия входит в состав следующих многочисленных минералов (список не является исчерпывающим):

  • альдерманит: Mg5Al12(PO4)8(OH)22 • 32H2O
  • амблигонит: (Li,Na)AlPO4(F,OH)
  • ахейлит: (Fe2+,Zn)Al6(PO4)4(OH)8 • 4H2O
  • аугелит: Al2(PO4)(OH)3
  • берлинит: AlPO4 • xH2O
  • бразилианит: NaAl3(PO4)2(OH)4
  • вантасселит: Al4(PO4)3(OH)3 • 9H2O
  • варисцит: AlPO4 • 2H2O
  • воксит: Fe2+Al2(PO4)2(OH)2 • 6H2O
  • лазулит: (Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2
  • скорцалит: ((Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2)
  • таранакит: (K,Na)3(Al,Fe3+)5(PO4)2([HPO4)6 • 18H2O
  • цириловит: NaFe3+3(PO4)2(OH)4 • 2(H2O)
  • чилдренит: (Fe,Mn)AlPO4(OH)2 • H2O
  • эосфорит: MnAlPO4)(OH)2 • H2O

Получение и химические свойства

Фосфат алюминия довольно устойчивое соединение, разлагающееся при температуре выше 2000 °C:

<math>\mathsf{4AlPO_4=2Al_2O_3+P_4O_{10}}</math>

Получают нагреванием алюмината натрия с фосфорной кислотой или обменной реакцией сульфата алюминия с водорастворимыми фосфатами:

<math>\mathsf{NaAlO_2+H_3PO_4=AlPO_4+NaOH+H_2O}</math>
<math>\mathsf{2Na_3PO_4+Al_2(SO_4)_3=2AlPO_4+3Na_2SO_4}</math>

Напишите отзыв о статье «Фосфат алюминия»

Примечания

  1. ↑ Алюминия фосфат // Химическая энциклопедия / Главный редактор И. Л. Кнунянц. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — Т. 1. — С. 217—218.
  2. ↑ Patnaik P. Handbook of Inorganic Chemicals. — McGraw-Hill, 2003. — P. 13—14. — ISBN 0-07-049439-8.
  3. ↑ Тихонов В.Н. Аналитическая химия алюминия. — Серия «Аналитическая химия элементов». — М.: «Наука», 1971. — С. 17.

Отрывок, характеризующий Фосфат алюминия

На обеде были Бессьер, Коленкур и Бертье. Наполеон встретил Балашева с веселым и ласковым видом. Не только не было в нем выражения застенчивости или упрека себе за утреннюю вспышку, но он, напротив, старался ободрить Балашева. Видно было, что уже давно для Наполеона в его убеждении не существовало возможности ошибок и что в его понятии все то, что он делал, было хорошо не потому, что оно сходилось с представлением того, что хорошо и дурно, но потому, что он делал это.
Император был очень весел после своей верховой прогулки по Вильне, в которой толпы народа с восторгом встречали и провожали его. Во всех окнах улиц, по которым он проезжал, были выставлены ковры, знамена, вензеля его, и польские дамы, приветствуя его, махали ему платками.
За обедом, посадив подле себя Балашева, он обращался с ним не только ласково, но обращался так, как будто он и Балашева считал в числе своих придворных, в числе тех людей, которые сочувствовали его планам и должны были радоваться его успехам. Между прочим разговором он заговорил о Москве и стал спрашивать Балашева о русской столице, не только как спрашивает любознательный путешественник о новом месте, которое он намеревается посетить, но как бы с убеждением, что Балашев, как русский, должен быть польщен этой любознательностью.
– Сколько жителей в Москве, сколько домов? Правда ли, что Moscou называют Moscou la sainte? [святая?] Сколько церквей в Moscou? – спрашивал он.
И на ответ, что церквей более двухсот, он сказал:
– К чему такая бездна церквей?
– Русские очень набожны, – отвечал Балашев.
– Впрочем, большое количество монастырей и церквей есть всегда признак отсталости народа, – сказал Наполеон, оглядываясь на Коленкура за оценкой этого суждения.
Балашев почтительно позволил себе не согласиться с мнением французского императора.
– У каждой страны свои нравы, – сказал он.
– Но уже нигде в Европе нет ничего подобного, – сказал Наполеон.
– Прошу извинения у вашего величества, – сказал Балашев, – кроме России, есть еще Испания, где также много церквей и монастырей.
Этот ответ Балашева, намекавший на недавнее поражение французов в Испании, был высоко оценен впоследствии, по рассказам Балашева, при дворе императора Александра и очень мало был оценен теперь, за обедом Наполеона, и прошел незаметно.
По равнодушным и недоумевающим лицам господ маршалов видно было, что они недоумевали, в чем тут состояла острота, на которую намекала интонация Балашева. «Ежели и была она, то мы не поняли ее или она вовсе не остроумна», – говорили выражения лиц маршалов. Так мало был оценен этот ответ, что Наполеон даже решительно не заметил его и наивно спросил Балашева о том, на какие города идет отсюда прямая дорога к Москве. Балашев, бывший все время обеда настороже, отвечал, что comme tout chemin mene a Rome, tout chemin mene a Moscou, [как всякая дорога, по пословице, ведет в Рим, так и все дороги ведут в Москву,] что есть много дорог, и что в числе этих разных путей есть дорога на Полтаву, которую избрал Карл XII, сказал Балашев, невольно вспыхнув от удовольствия в удаче этого ответа. Не успел Балашев досказать последних слов: «Poltawa», как уже Коленкур заговорил о неудобствах дороги из Петербурга в Москву и о своих петербургских воспоминаниях.
После обеда перешли пить кофе в кабинет Наполеона, четыре дня тому назад бывший кабинетом императора Александра. Наполеон сел, потрогивая кофе в севрской чашке, и указал на стул подло себя Балашеву.
Есть в человеке известное послеобеденное расположение духа, которое сильнее всяких разумных причин заставляет человека быть довольным собой и считать всех своими друзьями. Наполеон находился в этом расположении. Ему казалось, что он окружен людьми, обожающими его. Он был убежден, что и Балашев после его обеда был его другом и обожателем. Наполеон обратился к нему с приятной и слегка насмешливой улыбкой.
– Это та же комната, как мне говорили, в которой жил император Александр. Странно, не правда ли, генерал? – сказал он, очевидно, не сомневаясь в том, что это обращение не могло не быть приятно его собеседнику, так как оно доказывало превосходство его, Наполеона, над Александром.
Балашев ничего не мог отвечать на это и молча наклонил голову.
– Да, в этой комнате, четыре дня тому назад, совещались Винцингероде и Штейн, – с той же насмешливой, уверенной улыбкой продолжал Наполеон. – Чего я не могу понять, – сказал он, – это того, что император Александр приблизил к себе всех личных моих неприятелей. Я этого не… понимаю. Он не подумал о том, что я могу сделать то же? – с вопросом обратился он к Балашеву, и, очевидно, это воспоминание втолкнуло его опять в тот след утреннего гнева, который еще был свеж в нем.
– И пусть он знает, что я это сделаю, – сказал Наполеон, вставая и отталкивая рукой свою чашку. – Я выгоню из Германии всех его родных, Виртембергских, Баденских, Веймарских… да, я выгоню их. Пусть он готовит для них убежище в России!
Балашев наклонил голову, видом своим показывая, что он желал бы откланяться и слушает только потому, что он не может не слушать того, что ему говорят. Наполеон не замечал этого выражения; он обращался к Балашеву не как к послу своего врага, а как к человеку, который теперь вполне предан ему и должен радоваться унижению своего бывшего господина.
– И зачем император Александр принял начальство над войсками? К чему это? Война мое ремесло, а его дело царствовать, а не командовать войсками. Зачем он взял на себя такую ответственность?
Наполеон опять взял табакерку, молча прошелся несколько раз по комнате и вдруг неожиданно подошел к Балашеву и с легкой улыбкой так уверенно, быстро, просто, как будто он делал какое нибудь не только важное, но и приятное для Балашева дело, поднял руку к лицу сорокалетнего русского генерала и, взяв его за ухо, слегка дернул, улыбнувшись одними губами.

wiki-org.ru

Фосфат алюминия — Википедия

Фосфат алюминия (ортофосфат алюминия, алюминий фосфорнокислый) — AlPO4, неорганическое соединение, алюминиевая соль фосфорной кислоты. Твёрдое, белое кристаллическое вещество, нерастворимое в воде. Встречается в природе в виде многочисленных минералов. Образуется в виде студёнистого осадка при действии на водорастворимые соли алюминия растворимых фосфатов.

Используется в качестве флюса в производстве керамики, добавки для цемента, высокотемпературного дегидратирующего агента, для выпуска специальных сортов стекла, как катализатор в органическом синтезе. Также применяется как компонент для некоторых разрыхлителей в кондитерском деле и в медицине как антацид.

Нахождение в природе и физические свойства[править]

Белое (в аморфном виде) или бесцветное кристаллическое вещество, существующая в четырёх модификациях, среди которых устойчивы[1]:

Плотность: 2,64 г/см³, удельная теполёмкость: 93,2 Дж/(моль·К), стандартная энтальпия образования: −1733 кДж/моль, стандартная энергия Гиббса: −1617 кДж/моль, стандартная энтропия: 90,8 Дж/(моль·K).
  • β-AlPO4 — с гексагональной (580—1047 °C) или кубической (выше 1047 °C) решёткой.

Соединение плохо растворимо в воде (ПР 9,83·10−10) и спирте, хорошо растворимо в соляной и азотной кислоте[2]. Хуже всего соль растворима в воде при pH 4,07—6,93[3].

При осаждении их водных растворов выпадает в виде аморфного осадка общей формулой AlPO4•xH2O. Известны кристаллогидраты, где x=2; 3,5. Безводную соль можно получить при нагревании фосфата выше 1300 °C.

Известны основные и кислые соли фосфата алюминия: Al2(PO4)(OH)3, Al(H2PO4)3, AlH3(PO4)2 и др.

В природе фосфат алюминия входит в состав следующих многочисленных минералов (список не является исчерпывающим):

  • альдерманит: Mg5Al12(PO4)8(OH)22 • 32H2O
  • амблигонит: (Li,Na)AlPO4(F,OH)
  • ахейлит: (Fe2+,Zn)Al6(PO4)4(OH)8 • 4H2O
  • аугелит: Al2(PO4)(OH)3
  • берлинит: AlPO4 • xH2O
  • бразилианит: NaAl3(PO4)2(OH)4
  • вантасселит: Al4(PO4)3(OH)3 • 9H2O
  • варисцит: AlPO4 • 2H2O
  • воксит: Fe2+Al2(PO4)2(OH)2 • 6H2O
  • лазулит: (Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2
  • скорцалит: ((Mg,Fe2+)Al2(OH,PO4)2)
  • таранакит: (K,Na)3(Al,Fe3+)5(PO4)2([HPO4)6 • 18H2O
  • цириловит: NaFe3+3(PO4)2(OH)4 • 2(H2O)
  • чилдренит: (Fe,Mn)AlPO4(OH)2 • H2O
  • эосфорит: MnAlPO4)(OH)2 • H2O

Получение и химические свойства[править]

Фосфат алюминия довольно устойчивое соединение, разлагающееся при температуре выше 2000 °C:

Получают нагреванием алюмината натрия с фосфорной кислотой или обменной реакцией сульфата алюминия с водорастворимыми фосфатами:

  1. ↑ Алюминия фосфат // Химическая энциклопедия / Главный редактор И. Л. Кнунянц. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — Т. 1. — С. 217—218.
  2. ↑ Patnaik P. Handbook of Inorganic Chemicals. — McGraw-Hill, 2003. — P. 13—14. — ISBN 0-07-049439-8.
  3. ↑ Тихонов В.Н. Аналитическая химия алюминия. — Серия «Аналитическая химия элементов». — М.: «Наука», 1971. — С. 17.

www.wikiznanie.ru

Инженерный калькулятор hex онлайн – Hex Calculator

alexxlab / / Школьная жизнь

Лучшие Hex редакторы, калькуляторы и конвертеры

У людей сложилось мнение, что работать с hex редакторами могут лишь профессионалы своего дела и программисты, а для обывателя это нечто ненужное и непонятное. На деле же это удобный инструмент, который определённо пригодится геймерам и простым пользователям, если необходимо устранить ошибку или баг в утилите. По своей сути – редактор является декодером 16-ричного кода. Мы с вами пользуемся для написания чисел 10-ричным, машина для кодирования всей информации использует 2-ичный код, а затем это всё конвертируется в 16-ричный, чтобы пользователю было проще разбираться. На деле редакторы скорее нужны именно новичкам, ведь профессионалы используют мультифункциональные утилиты с возможностью применения сразу нескольких парадигм, если те необходимы им для программирования. Давайте разберёмся, какие калькуляторы и конверторы лучше всего выбирать.

Содержимое статьи

Hex Editor Neo

Реклама Конец Рекламы

Простейший и самый популярный hex редактор в мире, притом с возможностью конвертации кода в другие системы кодировки, а также чтения бинарных файлов системы. Весь функционал Hex Editor Neo заключается в открытие файлов, произведение некоторых изменений и сохранение в том же или другом формате, по желанию пользователя. Однако присутствует одно удобство – история изменений, сохраняющаяся даже после закрытия утилиты. Таки, и не придётся вновь доходить до каких-то своих решений. Они будут м образом, вы можете завтра вернуться к той части кода, что сегодня не успели завершить прямо перед вами на экране. Такой Хекс редактор удобен новичкам и профессионалам.

Скачать Free Hex Editor Neo

HxD Hex Editor

Бесплатный, но всё ещё достаточно мощный редактор для бинарных файлов поддерживающий основные кодировки, вроде ANSI или ASCII, зачастую используется как дополнение к более функциональным калькуляторам и конверторам. Воспринимает файлы без ограничения размеров, а главное – позволяет изменять оперативную память, сразу же записывая любые нововведения на жёсткий диск. А удобный и эргономичный интерфейс, продуманный создателями, лишний раз упрощает работу пользователя. В HxD Hex Editor нет классического нагромождения инструментов и всё устроено за счёт простой системы шторок, уже за это можно скачать hex редактор.

Скачать HxD Hex Editor 

Hex Workshop

Один из простых редакторов, подходящих для компьютеров с любым железом. Именно его небольшая требовательность к ресурсам системы и удобный интерфейс, пусть и с некоторым наплывом объектного дизайна Майкрософт начала 2000-х, сделала программу столь популярной в качестве переносного редактора. Если вам необходимо подгрузить утилиту на флешку, а затем уже на месте разобраться с проблемой в коде, то лучшего решения просто не найти, ведь приложение имеет в том числе и портативную версию с ещё меньшими системными требованиями. А также имеется мобильная версия, и вы можете hex workshop скачать прямо на свой смартфон.

Скачать Hex Workshop

WinHex

Данный hex редактор условно-бесплатен, что значит, за основную часть функционала вам придётся заплатить. Однако, базовое редактирование файлов нескольких форматов и конвертирование из одной системы кодировки в другую – доступны без оплаты. Что позволяет опробовать все прелести редактора абсолютно бесплатно, а уже затем решить, покупать ли его. Основное преимущество – сборная солянка функционала, настолько богатой среды для работы вы больше нигде не найдёте.

Скачать WinHex

HexCmp

Это hex editor скачать стоит в том случае, если вам часто приходится сравнивать несколько файлов между собой, дабы найти ошибку или изменение, внесённое вашим коллегой. Помимо удобного отображения несовпадающих частей, утилита предоставляет также простой функционал обычного редактора и конвертора, а также базовый набор джентльмена в такого рода программах.

Скачать HexCmp

Hex редактор онлайн

Если вам необходимо быстро внести пару изменений в hex код и при этом не заморачиваться лишний раз с установкой приложений, то подойдут и онлайн-редакторы. Однако учитывайте, что их функционал крайне скуден. Вот ссылок на подобные онлайн решения:

https://hex-works.com/rus 

https://hexed.it/

https://www.onlinehexeditor.com/

Конвертер Hex в DEC, BIN и наоборот

В качестве конвертера hex to dec, hex to bin подойдёт любая из вышеописанных утилит. Достаточно загрузить в них файл и выбрать пункт «сохранить как», а там подобрать подходящий формат, и утилита сама преобразует все данные в нужное расширение, после чего вы сможете открыть файл уже подходящего типа.

Также есть и специализированное решение:

https://lin.in.ua/tools/numconv.html

Конвертер Hex в ASCII Text

Конвертер hex to text или его ещё называют hex decoder необходим для перевода 16-ричного кода в нормальный текст, и зачастую используется лишь новичками, так как профессионалы применяют утилиты с параллельным переводом. Подобный функционал имеется во всех описанных выше продуктах.

Hex калькулятор онлайн

Подобный калькулятор онлайн бывает крайне полезен, когда вам нужно быстро совершить расчёты в 16-ной системе исчисления. Вот ссылка на удобный и хороший онлайн Hex калькультор:

http://www.calculator.net/hex-calculator.html

Вывод

Выбирайте любую описанную утилиту по желанию или пользуйтесь онлайн-аналогами, если необходимость возникает не часто. hex editor neo – станет лучшим выбором как для новичков, так и для профессионалов.

Подписывайтесь на нас в соцсетях, чтобы не пропустить важную информацию из мира IT :

misterit.ru

Инженерный калькулятор онлайн KALKPRO.RU — самый точный калькулятор корней, степеней, синусов, косинусов, логарифмов!

Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.

Только корректные расчеты по всем правилам математики!

В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.

Всё для вашего удобства:

  • быстрые вычисления и загрузка,
  • верные расчеты по всем правилам,
  • полный функционал,
  • понятный интерфейс,
  • адаптация под любой размер устройства
  • бесплатно
  • не надо ничего устанавливать,
  • никакой всплывающей назойливой рекламы,
  • подробная инструкция с примерами

Содержание справки:

1. Комплекс операций инженерного калькулятора

2. Инструкция по функциям инженерного калькулятора

3. Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах

4. Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

  • с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
  • с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами

Инструкция по функциям инженерного калькулятора

Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн. Принцип работы с научным калькулятором такой: вводится число, с которым будет производиться вычисление, затем нажимается кнопка функции или операции, потом, если требуется, то еще цифра, например, степень, в конце — знак равенства.

  • [Inv] – обратная функция для sin, cos, tan, переключает интерфейс на другие функции
  • [Ln] – натуральный логарифм по основанию «e»
  • [ ( ] и [ ) ] — вводит скобки
  • [Int] – отображает целую часть десятичного числа
  • [Sinh] — гиперболический синус
  • [Sin] – синус заданного угла
  • [X2] – возведение в квадрат (формула x^2)
  • [n!] — вычисляет факториал введенного значения — произведение n последовательных чисел, начиная с единицы до самого введенного числа, например 4!=1*2*3*4, то есть 24
  • [Dms] – переводит из десятичного вида в формат в градусы, минуты, секунды.
  • [Cosh] — гиперболический косинус
  • [Cos] – косинус угла
  • [xy] – возведение икса в степ. игрик (формула x^y)
  • [y√x] – извлечение корня в степени y из икс
  • [Pi] – число Пи, выдает значение Pi для расчетов
  • [tanh] — гиперболический тангенс
  • [tan] – тангенс угла онлайн, tg
  • [X3] — помогает возвести в степень 3, в куб (формула x^3)
  • [3√x] — извлечь корень кубический
  • [F – E] — переключает ввод чисел в экспоненциальном представлении и обратно
  • [Exp] — позволяет вводить данные в экспоненциальном представлении.
  • [Mod] — позволяет нам вычислить остаток от деления одного числа на другое
  • [Log] – рассчитывает десятичный логарифм
  • [10^x] – возведение десяти в произвольную степень
  • [1/X] — подсчитывает обратную величину
  • [e^x] – Возведение числа Эйлера в степень
  • [Frac] – отсекает целую часть, оставляет дробную
  • [sinh-1] – обратный гиперболический синус
  • [sin-1] – арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin
  • [deg] – перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее
  • [cosh-1] — обратный гиперболический косинус
  • [cos-1] – аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos
  • [2*Pi] – рассчитывает число Пи, помноженное на два
  • [tanh-1] – обрат. гиперболический тангенс
  • [tan-1] – арктангенс или обратный тангенс, arctg

Как пользоваться MR MC M+ M- MS

Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах

Как возвести в степень

Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:

12 [xy] 3 [=]

12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=]

Ответ: 1728

Как найти корень кубический

Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:

729 [3√x] [=]

729, [3√x] «кубический корень из икс», равенства [=]

Как найти корень на калькуляторе

Задача: Найти квадратный корень 36.

Решение: всё просто, нажимаем так:

36 [y√x] 2 [=]

36, [y√x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]

Ответ: 6

При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.

Как возвести в квадрат

Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:

[xy] «икс в степени игрик», [X2] «икс в квадрате»

Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».

Например: 45 [xy] 6 [=]

Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625

Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры

Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов

Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами.

1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.

Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:

где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах.

В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:

90 [sin] [=]

Ответ: единица

Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:

60 [cos] [=]

Решение: 0,5

Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh.

Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.

Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе

[Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».

Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:

35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666

Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453

Десятичный логарифм онлайн

Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:

1 [log] [=]

Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:

100 [log] [=]

Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100.

Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln].

Как пользоваться памятью на калькуляторе

Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.

MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.

Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:

145 [MR]

После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:

[MR]

На экране отобразится снова 145.

Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60.

Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.

  

Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!

kalkpro.ru

Инженерный калькулятор. Профессиональный онлайн-калькулятор по расчету тригонометрических функций.

Клавиша Обозначение Пояснение
←удаление одного символаУдаляет последний символ
СсбросКнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»
РадианырадианыВыражение угла в радианах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg,arcctg.
ГрадусыградусыВыражение угла в градусах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg.
sinsinТригонометрическая функция синус. Обозначается как «sin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
coscosТригонометрическая функция косинус. Обозначается как «cos(x)». Угол (x) л может быть задан в радианах либо градусах.
tgtgТригонометрическая функция тангенс. Обозначается как «tg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ctgctgТригонометрическая функция котангенс. Обозначается как «ctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcsinarcsinОбратная тригонометрическая функция арксинус. Обозначается как «arcsin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arccosarccosОбратная тригонометрическая функция арккосинус. Обозначается как «arccos(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arctgarctgОбратная тригонометрическая функция арктангенс. Обозначается как «arctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcctgarcctgОбратная тригонометрическая функция арккотангенс. Обозначается как «arcctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
lnlnНатуральный логарифм. Обозначение ln(x).
loglogДесятичный логарифм.
eeЧисло «e» — основание натурального логарифма. Число «e» называют числом Эйлера или числом Непера. Приблизительно равно 2,71828.
Piчисло ПиЧисло «Пи» — математическая константа. Приблизительно равно 3,14.
√кореньИзвлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2возведение в квадратВозведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/xдробьВывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число

www.gvozdem.ru

Инженерный калькулятор (онлайн) | sonraid.ru

  Нам всем приходиться выполнять различные расчёты, удобно когда под рукой есть помощник вроде калькулятора. С помощью этого удобного в усвоении калькулятора вы сможете выполнять  такие вычисления как: извлечения корней, логарифмы, тригонометрические функции, проценты, вычисление матриц, факториалов, интегралов, дробей, векторов и комплексных чисел, решения сложных математических формул, простых уравнений и сложных систем уравнений, так дифференциальных уравнений и их систем, и еще множество других вычислений. Самое приятное из всего этого то что вам ненужно его устанавливать, а просто заходите в полную новость он загрузиться и работайте. Использовать реально удобно, так как можно использовать клавиши для ввода цифр и расчётов. Я к примеру использую на клавиатуре клавиши Num Lock. 

Кнопки и команды онлайн-калькулятора
КлавишаСимволОперация
pipiПостоянная pi
ееЧисло Эйлера
%%Процент
( )( )Открыть/Закрыть скобки
,,Запятая
sinsin(α)Синус угла
coscos(β)Косинус
tantan(y)Тангенс
sinhsinh()Гиперболический синус
coshcosh()Гиперболический косинус
tanhtanh()Гиперболический тангенс
sin-1asin()Обратный синус
cos-1acos()Обратный косинус
tan-1atan()Обратный тангенс
sinh-1asinh()Обратный гиперболический синус
x2^2Возведение в квадрат
xy^Возведение в степень
10x10^()Возведение в степень по основанию 10
exexp()Возведение в степень числа Эйлера
√xsqrt(x)Квадратный корень
y√xsqrt(x,y)Извлечение корня
loglog(x)Десятичный логарифм
lnln(x)Натуральный логарифм
logyxlog(x,y)Логарифм
modmodДеление с остатком
!!Факториал
i / ji / jМнимая единица(комплексное число)
ReRe()Выделение целой действительной части
ImIm()Исключение действительной части
|x|abs()Модуль числа
/xarg()Аргумент функции
()3()Вектор с 3 параметрами
()4()Вектор с 4 параметрами
DegГрадусы
RadРадианы
Дополнительные функции (набираются только вручную на клавиатуре)
ncr()Биноминальный коэффициент
gcd()НОД
lcm()НОК
sum()Суммарное значение всех решений
factorize()Разложение на простые множители
diff()Дифференцирование
Matrix()Матрицы
Solve()Уравнения и системы уравнений
Plot()Построение графиков
  • Онлайн калькуляторы

sonraid.ru

Калькулятор / Софт для электронщика / Сообщество EasyElectronics.ru

Замутил ту от нечего делать простенький 8-ми битный калькулятор, а то стандартный виндовский уже порядком надоел. Пока в стадии бета.



Что на данный момент реализовано:
* математические функции ‘+’, ‘-‘, ‘*’, ‘/’
* работа с бинарной, десятичной, и шестнадцатеричной системой счисления
* конвертер систем счисления включая ASCII
* функции инкремента и декремента
* функция вывода рандомного числа от 0 до 255
* отображение истории операций
* При нажатии кнопки ASCII вылезает табличка с кодами ASCII.
* Маленький блокнот для заметок, иногда удобно когда заполняешь какой нибудь массив.
* управление битом в ручную (как в студии, нажал на квадратик — бит изменился).
* Как и у всех калькуляторов возможность сохранит любое число в памяти.

Что будет допилено точно:
* управление битом в ручную (как в студии, нажал на квадратик — бит изменился).
* При нажатии кнопки ASCII будет вылезать табличка с кодами ASCII.
* Маленький блокнот для заметок, иногда удобно когда заполняешь какой нибудь массив.
* Как и у всех калькуляторов возможность сохранит любое число в памяти.
* Индикатор выхода за пределы байта.

Предлагаю всех заинтересованных посодействовать. Цель сделать простой 8-ми битный калькулятор в котором не будет лишнего барахла, будет только то что пригождается в программировании микроконтроллеров.
И так прошу помочь с:
* Протестировать на работоспособность на разных OS (я проверял только на Win 7_(64-bit) и на планшете Win 8_(64-bit).
* Попробовать потыкать все функции на предмет глюков.
* Придумать имя программы (как вариант что нибудь с easyelectronics и 8 bit ????? ).
* Придумать значок программы. Как вариант может тот что в левом верхнем углу сайта? если Di даст добро.
* Очень неплохо было бы если как можно больше людей выразится по поводу интерфейса и внешнего вида, шрифтов, размеров, цветов, расположение компонентов. На вкус и цвет как говорится… но хотелось бы найти наиболее комфортный вариант.
* Подумать какие в будущем полезные функции для микроконтроллеров еще можно реализовать.
Вообщем буду рад любой помощи и критике.

PS:
* Делить на ноль не пытайтесь ))) исправлю, пока не самая приоритетная задача.
* При умножении больших чисел можно наблюдать например такую картину

это нормально, на выходе от числа с результатом берется только последний байт, все другие отсекаются (Когда сделаю индикатор выхода за пределы байта, будет наглядней)
* Не стоит ни чего вводить в текстовые поля вручную, в рабочей версии это заблокирую (пока нужно для отладки)
Скачать: forum.easyelectronics.ru/viewtopic.php?f=13&t=20439

we.easyelectronics.ru

расчет и конвертация любой сложности. Бесплатно!

Обозначения функций калькулятора

КлавишаСимволОперция
pipiПостоянная pi
ееЧисло Эйлера
%%Процент
( )( )Открыть/Закрыть скобки
,,Запятая
sinsin(α)Синус угла
coscos(β)Косинус
tantan(y)Тангенс
sinhsinh()Гиперболический синус
coshcosh()Гиперболический косинус
tanhtanh()Гиперболический тангенс
sin-1asin()Обратный синус
cos-1acos()Обратный косинус
tan-1atan()Обратный тангенс
sinh-1asinh()Обратный гиперболический синус
cosh-1acosh()Обратный гиперболический косинус
tanh-1atanh()Обратный гиперболический тангенс
x2^2Возведение в квадрат
х3^3Возведение в куб
xy^Возведение в степень
10x10^()Возведение в степень по основанию 10
exexp()Возведение в степень числа Эйлера
√xsqrt(x)Квадратный корень
3√xsqrt3(x)Корень 3-ей степени
y√xsqrt(x,y)Извлечение корня
log2xlog2(x)Двоичный логарифм
loglog(x)Десятичный логарифм
lnln(x)Натуральный логарифм
logyxlog(x,y)Логарифм
I / IIСворачивание/Вызов дополнительных функций
UnitКонвертер величин
MatrixМатрицы
SolveУравнения и системы уравнений
изображение графикаПостроение графиков
* modmodДеление с остатком
* !!Факториал
* i / ji / jМнимая единица
* ReRe()Выделение целой действительной части
* ImIm()Исключение действительной части
* |x|abs()Модуль числа
* Argarg()Аргумент функции
* nCrncr()Биноминальный коэффициент
* gcdgcd()НОД
* lcmlcm()НОК
* sumsum()Суммарное значение всех решений
* facfactorize()Разложение на простые множители
* diffdiff()Дифференцирование
* DegГрадусы
* RadРадианы

Многие студенты, ученики и люди, работающие в разных сферах, задаются вопросом о том, где можно найти математический или инженерный калькулятор онлайн. Очень часто возникает необходимость осуществления простых или сложных математических операций.

Наш онлайн калькулятор позволяет произвести расчет, независимо от сложности. Инженерный калькулятор имеет простой и красивый интерфейс, который понятен на интуитивном уровне. Таким образом, удалось обеспечить максимальную доступность и удобство использования.

Наша администрация постаралась сделать лучший онлайн калькулятор и интегрировать его на сайт. Расчеты являются абсолютно бесплатными и их можно осуществлять без обязательной регистрации на сайте.

Функции калькулятора

Стандартные математические действия могут показаться простыми только на первый взгляд, но вызвать трудности при подсчете в уме. Инженерный калькулятор онлайн позволяет справиться с ними без особых проблем. Калькулятор может осуществлять следующие операции:

  • Сложение или вычитание.
  • Умножение или деление.
  • Вычет процентов от числа.
  • Расчет квадратичного и кубического корня.
  • Вознесение чисел в степени.

Это далеко не полный перечень функций, а лишь небольшой список основных функциональных возможностей. Каждый может выбрать подходящие для себя, ведь воспользоваться им могут абсолютно все.

Преимущества

Онлайн калькулятор, который расположен на нашем портале несколько отличается от аналогичных. Его основным преимуществом является простота и удобство – все интуитивно понятно. Комбинация использования визуальных кнопок в браузерном режиме, а также возможность применения стационарных кнопок на клавиатуре, дополнительно предоставляет удобство широкому кругу людей.

Простое и оригинальное решение позволило совместить в себе все положительные черты от стандартного математического калькулятора + самые необходимые функци для инженерных рассчетов.

Дополнительные конвертеры валют и других величин, а так же различные онлайн калькуляторы с расширенными возможностями, присутствуют в других разделах нашего сайта. Что добавляет дополнительное удобство пользователям. Правильных вам расчетов и переводов!:)

Понравилось? Поделись с друзьями ⇊

calconline.pro

Конвертер ворд в джейпег – Convert DOC (WORD) to JPG (Online & Free) — Convertio

alexxlab / / Школьная жизнь

Конвертер изображений в формат JPG

Ошибка: количество входящих данных превысило лимит в 10.

Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:

Ошибка: общий размер файла превысил лимит в 100 MB.

Чтобы продолжить, вам необходимо обновить свою учетную запись:

Ошибка: общий размер файла превысил абсолютный лимит в 8GB.

Для платных аккаунтов мы предлагаем:

Премиум-пользователь

  • Вплоть до 8GB общего размера файла за один сеанс конвертирования
  • 200 файлов на одно конвертирование
  • Высокий приоритет и скорость конвертирования
  • Полное отсутствие рекламы на странице
  • Гарантированный возврат денег

Купить сейчас

Бесплатный пользователь

  • До 100 Мб общего размера файла за один сеанс конвертирования
  • 10 файлов на одно конвертирование
  • Обычный приоритет и скорость конвертирования
  • Наличие объявлений

Мы не может загружать видео с Youtube. Для загрузки средства загрузки видео с Youtube нажмите здесь.

image.online-convert.com

DOC в JPG | Zamzar

Расширение файла .jpg
Категория Image File
Описание Формат JPG часто используется для веб-сайтов и электронной почты, поскольку они, как правило, малых размеров, но они являются файлами «с потерей качества», потому что некоторые качества изображения теряется, когда JPG сжимается и сохраняется. Полученный файл ‘с потерями’ означает, что качество уже не может быть восстановлено. Этот формат часто используется в цифровых картах памяти камер. Файл JPG – отличный формат, так как нередко удается сжимать файлы до 1/10 размера исходного файла, что особенно хорошо для экономии трафика.
Действия Convert JPG file
View other image file formats
Технические детали JPG представляет собой графический формат файла для редактирования фотоснимков, он предлагает симметричный метод сжатия, который загружает процессор и занимает время и во компрессии, и во время декомпрессии. JPEG является совместным стандартом Международного союза электросвязи (МСЭ-Т T.81) и Международной организации по стандартизации (ISO 10918-1). JPEG включает в себя механизм сжатия «с потерями» и использует дискретное косинусное преобразование (DCT). Может быть достигнута пропорция сжатия 100:1, хотя на этом уровне потери качества становятся заметны. Пропорции сжатия 10:1 или 20:01 дают незначительное ухудшение качества изображения.
Ассоциированные программы Adobe Photoshop
Apple Preview
Corel Paint Shop Pro
Microsoft Windows Photo Gallery Viewer
Разработано The JPEG Committee
Тип MIME image/jpeg
Полезные ссылки Более подробная информация о файлах JPG
Выбрать лучший способ сжать файл JPG
Convert JPG file

www.zamzar.com

JPG в DOC | Zamzar

Расширение файла .doc
Категория Document File
Описание DOC (аббревиатура от «документ») является расширением файла текстовых документов; оно связано в основном с Microsoft и их программой Microsoft Word. Исторически сложилось так, что оно было использовано для документации в текстовом формате, в частности в программах или на компьютерной технике, в широком диапазоне операционных систем. Почти все использовали формат файла DOC каждый раз, при написании письма, при работе или вообще при написании чего-либо на компьютере вы бы использовали формат файла DOC. В 1990-х годах Microsoft выбрала расширение DOC для обработки своих файлов программы Microsoft Word. По мере развития и роста технологий ПК, первоначальное использование расширения стало менее важным и в значительной степени исчезло из мира ПК.
Действия Convert DOC file
View other document file formats
Технические детали Ранние версии формата файлов DOC содержали в основном форматированный текст, однако развитие формата позволило файлам DOC включить в себя широкий спектр встроенных объектов, таких как диаграммы и таблицы из других приложений, а также медиа-файлов, таких как видео, изображения, звуки и диаграммы. DOC файлы могут также содержать информацию о слиянии, что позволяет шаблону обработки слов быть использованным в сочетании с таблицей или базой данных.
Ассоциированные программы AbiWord
Apple Pages
AppleWorks
KWord
Microsoft Word
StarOffice
Разработано Microsoft
Тип MIME application/msword
Полезные ссылки Более подробная информация о файлах DOC
Бесплатные альтернативы Microsoft для открытия файлов DOC
Microsoft Office спецификации формата в бинарном файле
Convert DOC file

www.zamzar.com

Как документ Ворд перевести в JPG

Перевести текстовый документ, созданный в редакторе Microsoft Word, в графический файл JPG несложно. Сделать это можно несколькими простыми способами, но для начала давайте разберемся, зачем вообще такое может понадобиться?

Например, вы хотите вставить изображение с текстом в другой документ или же хотите добавить это на сайт, но не хотите при этом, чтобы оттуда можно было скопировать текст. Также, готовое изображение с текстом можно установить на рабочий стол в качестве обоев (заметки, напоминания), которые вы будете видеть постоянно и перечитывать информацию, запечатленную на них.

Использование стандартной утилиты «Ножницы»

Компания Microsoft, начиная с версий Windows Vista и Windows 7, интегрировала в свою операционную систему довольно полезную утилиту — «Ножницы».

С помощью этого приложения можно быстро и удобно делать снимки экрана без необходимости вставки изображения из буфера обмена в сторонний софт и последующего экспорта, как это было на предыдущих версиях ОС. К тому же, с помощью «Ножниц» можно захватить не только весь экран, но и отдельную область.

1. Откройте документ Ворд, из которого вы хотите сделать JPG-файл.

2. Масштабируйте его таким образом, чтобы текст на странице занимал максимум пространства на экране, но помещался при этом целиком.

3. В меню «Пуск» — «Программы» — «Стандартные» найдите «Ножницы».

Примечание: Если вы используете Windows 10, найти утилиту можно и через поиск, значок которого расположен на панели навигации. Для этого просто начните вводить в поисковую строку название приложения на клавиатуре.

4. Запустив «Ножницы», в меню кнопки «Создать» выберите пункт «Окно» и укажите курсором на документ Microsoft Word. Чтобы выделить только область с текстом, а не все окно программы, выберите параметр «Область» и укажите область, которая должна будет находиться на изображении.

5. Выделенная вами область будет открыта в программе «Ножницы». Нажмите кнопку «Файл», выберите пункт «Сохранить как», а затем выберите подходящий формат. В нашем случае это JPG.

6. Укажите место для сохранения файла, задайте ему имя.

Готово, мы с вами сохранили текстовый документ Ворд в качестве картинки, но пока что лишь одним из возможных методов.

Создание скриншота на Windows XP и более ранних версиях ОС

Данный метод подойдет в первую очередь для пользователей старых версий операционной системы, на которых нет утилиты «Ножницы». Однако, при желании им могут воспользоваться абсолютно все.

1. Откройте и масштабируйте документ Word так, чтобы текст занимал большую часть экрана, но не вылазил при этом за его пределы.

2. Нажмите клавишу «PrintScreen» на клавиатуре.

3. Откройте «Paint» («Пуск» — «Программы» — «Стандартные», или же «Поиск» и ввод названия программы в Windows 10).

4. Захваченное изображение с текстового редактора сейчас находится в буфере обмена, откуда нам его нужно вставить в Paint. Для этого просто нажмите «CTRL+V».

5. Если это необходимо, отредактируйте изображение, изменив его размер, отрезав ненужную область.

6. Нажмите кнопку «Файл» и выберите команду «Сохранить как». Выберите формат «JPG», укажите путь для сохранения и задайте имя файла.

Это еще один способ, благодаря которому можно быстро и удобно перевести текст Ворд в картинку.

Использование возможностей пакета Microsoft Office

Майкрософт Офис — это полнофункциональный пакет, состоящий из ряда программ. В числе таковых не только текстовый редактор Word, табличный процессор Excel, продукт для создания презентаций PowerPoint, но и инструмент для создания заметок — OneNote. Именно он нам и понадобится для того, чтобы преобразовать текстовый файл в графический.

Примечание: Данный метод не подойдет для пользователей устаревших версий ОС Windows и Microsoft Office. Чтобы иметь доступ ко всем возможностям и функциям софта от Майкрософт, рекомендуем своевременно его обновлять.

Урок: Как обновить Ворд

1. Откройте документ с текстом, который нужно перевести в изображение, и нажмите кнопку «Файл» на панели быстрого доступа.

Примечание: Ранее это кнопка называлась «MS Office».

2. Выберите пункт «Печать», а в разделе «Принтер» выберите параметр «Отправить в OneNote». Нажмите кнопку «Печать».

3. Текстовый документ будет открыт в виде отдельной страницы заметочника OneNote. Убедитесь в том, что в программе открыта только одна вкладка, что слева и справа от нее нет ничего (если есть — удалите, закройте).

4. Нажмите кнопку «Файл», выберите пункт «Экспорт», а затем выберите «Документ Word». Нажмите кнопку «Экспорт», а затем укажите путь сохранения файла.

5. Теперь снова откройте этот файл в Ворде — документ будет отображен в качестве страниц, на которых вместо обычного текста будут содержаться изображения с текстом.

6. Все, что вам остается — сохранить изображения с текстом в качестве отдельных файлов. Просто поочередно кликайте по картинкам правой кнопкой мышки и выбирайте пункт «Сохранить как рисунок», укажите путь, выберите формат JPG и задайте имя файла.

О том, как еще можно извлечь изображение из документа Word, вы можете прочесть в нашей статье.

Урок: Как в Ворде сохранить изображение

Несколько советов и примечаний напоследок

Делая из текстового документа картинку, следует учитывать тот факт, что качество текста в конечном итоге может оказаться отнюдь не таким высоким, как в Word. Все дело в том, что каждый из вышеописанных методов, конвертирует векторный текст в растровую графику. Во многих случаях (зависит от многих параметров) это может привести к тому, что текст, преобразованный в картинку, окажется размытым и плохо читаемым.

Наши простые рекомендации помогут вам добиться максимально возможного, положительного результата и обеспечить удобство работы.

1. Масштабируя страницу в документе перед ее преобразованием в изображение, увеличьте по возможности размер шрифта, которым этот текст напечатан. Это особенно хорошо для случаев, когда в Ворде у вас содержится какой-то список или небольшое напоминание.

2. Сохраняя графический файл через программу Paint, вы можете не видеть всю страницу целиком. В данном случае необходимо уменьшить масштаб, в котором файл отображается.

На этом все, из этой статьи вы узнали о самых простых и доступных методах, с помощью которых можно конвертировать документ Word в файл JPG. На случай, если вам понадобится выполнить диаметрально противоположную задачу — преобразовать изображение в текст — рекомендуем ознакомиться с нашим материалом на эту тему.

Урок: Как перевести текст с фото в документ Ворд

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

ДА НЕТ

lumpics.ru

Конвертация DOC в JPG с помощью Фотоконвертера

DOC — это формат Майкрософт, используемый для создания файлов документов с помощью Microsoft Word, одного из самых популярных текстовых процессоров для пользователей ПК и Mac. DOC был основным расширением Microsoft Word до версии 2007, сейчас он все еще может быть открыт и отредактирован с помощью более поздних версий этой программы. Самыми известными преимуществами файлов DOC являются возможность проверки орфографии, наличие словарей и тезауруса для большого числа языков, а также ряд функций для обработки текста, такие как WordArt, нумерация и т.д.

JPG — один из самых популярных форматов изображений, которые используются в настоящее время. Главным его преимуществом является возможность хранить изображения хорошего качества в файлах небольшого размера. Это возможно за счет используемого типа сжатия. Механизм этого вида сжатия устанавливает приоритетность одних частей изображения перед другими, сохраняя высококачественные участки изображения наиболее заметные для человеческого глаза.

Как конвертировать DOC в JPG?

Самый простой способ — это скачать хорошую программу конвертации, например Фотоконвертер. Он работает быстро и эффективно, позволяя конвертировать любое количество DOC файлов за раз. Вы сможете довольно быстро оценить, что Фотоконвертер способен сэкономить массу времени которое вы будете тратить при работе вручную.

Скачайте и установите Фотоконвертер

Фотоконвертер легко скачать, установить и использовать — не нужно быть специалистом в компьютерах, чтобы понять как он работает.

Установить Фотоконвертер

Добавьте DOC файлы в Фотоконвертер

Запустите Фотоконвертер и загрузите .doc файлы, которые вы хотите конвертировать в .jpg

Вы можете выбрать DOC файлы через меню Файлы → Добавить файлы либо просто перекинуть их в окно Фотоконвертера.

Выберите место, куда сохранить полученные JPG файлы

В секции Сохранить вы можете выбрать папку для сохранения готовых .jpg файлов. Можно так же потратить пару дополнительных минут и добавить эффекты для применения во время конвертации, но это не обязательно.

Выберите JPG в качестве формата для сохранения

Для выбора JPG в качестве формата сохранения, нажмите на иконку JPG в нижней части экрана, либо кнопку + чтобы добавить возможность записи в этот формат.

Теперь просто нажмите кнопку Старт и конвертация начнется мгновенно, а JPG файлы сохранятся в указанное место с нужными параметрами и эффектами.

Попробуйте бесплатную демо-версию

Видео инструкция

Интерфейс командной строки

Профессиональные пользователи могут конвертировать DOC в JPG используя командную строку в ручном или автоматическом режиме. За дополнительными консультациями по использованию cmd интерфейса обращайтесь в службу поддержки пользователей.

Скачать Фотоконвертер Про

Рассказать друзьям

www.photoconverter.ru

Несколько способов как перевести документ из ворда в jpg

Как перевести документ из ворда в jpg при помощи ножниц

Самый простой и доступный всем способ перевода — это открыть страницу в ворде на экране и при помощи инструмента «Ножницы» вырезать видимую часть и сохранить в формате jpg. При этом  каждая страница документа будет отдельным файлом. Чтобы это сделать:

1. Откройте необходимый документ при помощи редактора Word и с помощью кнопок изменения масштаба отмасштабируйте чтобы весь лист или необходимая вам часть документа помещалась на экране (можно использовать колесико прокрутки на вашей мышке с нажатой одновременно клавишей Ctrl). Чем крупнее отображается документ, тем более качественной получится изображение.

Необходимо выбрать масштаб документа таким образом, чтобы весь поместился на экране

2. Запустите инструмент «Ножницы». Найти его всегда можно через поиск или же в меню через: Пуск -> Все программы -> Стандартные -> Ножницы. Обратите внимание, что этот инструмент присутствует в операционной системе начиная от Home Premium для Windows 7.

В инструменте «Ножницы» выберите тип выделения — Прямоугольник и затем «Создать»

3. Выделите при помощи курсора область в документе, которую вы хотите преобразовать в файл jpg.

C помощью инструмента выделите прямоугольную область , которую вы хотите преобразовать в JPG

4. Открывшийся снимок экрана вашего документа сохраните при помощи кнопки Файл -> Сохранить как.. Формат для файла вы можете выбрать любой из доступных для сохранения (в том числе и jpg).

Нажмите «Сохранить как…» или сочетание клавиш CTRL+S для сохранения

Как при помощи OneNote перевести документ из Word в jpg

Второй способ конвертировать документ word в jpg подойдет тем, у кого установлено приложение OneNote. OneNote — это своеобразный блокнот с помощью которого можно создавать заметки с иерархической структурой или же ведение своих дел по аналогии с обычным канцелярским блокнотом. Очень удобно (по заявлению самого разработчика) пользователям планшетов. Если у вас не установлено это приложение (OneNote идет вместе с пакетом Microsoft Office), его можно бесплатно установить с сайта Microsoft.

1. Открытый документ в Ворд, вам необходимо передать в приложение OneNote при помощи печати через виртуальный принтер, который создается при установке OneNote. Для этого нажмите Файл -> Печать или сочетание клавиш Ctrl + P.

При помощи диалога печати отправляем документ в OneNote

2. В качестве принтера выберите из списка «Отправить в OneNote» и нажмите «Печать».

Вsбираем OneNote в качестве источника для передачи текста

3. Документ откроется в приложении «OneNote» одной страницей. Следующим шагом необходимо экспортировать открывшийся документ. Для этого нажмите «Файл -> Экспорт

Экспорт документа из OneNote в качестве картинки

4. В качестве формата выберите «Документ Word (*.docx)» и нажмите кнопку «Экспорт».

5. Открыв получившийся файл, вы получите необходимый текст в jpg формате

 

Поделиться «Как перевести документ из ворда в jpg»

sprosivideo.com

Решения тригонометрических неравенств формулы – тригонометрические неравенства | математика-повторение

alexxlab / / Школьная жизнь

тригонометрические неравенства | математика-повторение

Записи с меткой «тригонометрические неравенства»

На предыдущих трех занятиях по решению тригонометрических неравенств графическим способом мы рассмотрели неравенства вида:

Рассмотрим тригонометрические неравенства вида: cost>a.

Используем алгоритм решения, как в предыдущем уроке 10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функции y=cosx также называют синусоидой!) Построение синусоиды y=cosx  рассматривается подробно в предыдущем уроке 10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.

Пример 1.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t, при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х.

Пример 2.

Выделяем промежуток значений t, при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем в виде двойного неравенства значения t, удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен 2π. Возвращаемся к переменной х, постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Пример 3.

Нас будет интересовать промежуток значений t, при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2х и выразим х. Ответ запишем в виде числового промежутка.

Смотрите видео: «10.2.4. Решение тригонометрических неравенств. Часть 4.»

И снова формула, которой вам следует воспользоваться на экзамене ЕНТ или ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost>a.

Если  cost>a, (-1≤а≤1), то — arccos a + 2πn < t < arccos a + 2πn, nєZ.

Применяйте  формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы  сэкономите время на экзаменационном тестировании.

На предыдущих двух занятиях по решению тригонометрических неравенств графическим способом мы рассмотрели решения неравенств вида:

Продолжаем решать тригонометрические неравенства графическим способом. Рассмотрим неравенства вида cost<a:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функции y=cosx также называют синусоидой!)

Первое неравенство.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функции y=sinx. (10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1), т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

 а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx.

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

Второе неравенство.

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства  для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Выразим х.

Ответ запишем в виде промежутка.

Третье неравенство.

Смотрите видео: «10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.»

А теперь формула, которой вам следует воспользоваться на экзамене ЕНТ или ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost<a.

Если  cost<a, (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Примените эту формулу для решения рассмотренных в этой статье неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!    

На прошлом занятии «10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1» мы решили три неравенства вида sint<a. На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a, где -1≤а≤1.

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем первое неравенство:

Построение графика синуса мы рассмотрели подробно в занятии  «10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1».

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t, удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х. Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида: sint≥a. Далее  мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

Смотрите видео: «10.2.2. Решение тригонометрических неравенств. Часть 2.»

Дорогие выпускники и абитуриенты! Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга)  применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута. Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Если sint>a, где  -1≤a≤1, то  arcsin a + 2πn < t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Учите формулы! 

 

На этом и последующих занятиях мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических неравенства вида sint<a. Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса.  Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

 

Смотрите видео: 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств вида: sinx<a  графическим способом.

И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint<a (-1≤а≤1) справедлива формула:

— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!

Страница 1 из 11

www.mathematics-repetition.com

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения и неравенства

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

 

Уравнение cos x = a

  

 

 

Примеры решения задач

 

 

Уравнение sin x = a

 

Примеры решения задач

 

Уравнение tg x = a и ctg x = a

 

 

Примеры решения задач

  

Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром:

  1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

  2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

  3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.

  4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение ил используем специальные приемы решения.

Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции

 

Решение простейших тригонометрических неравенств

 

 

 

ya-znau.ru

Тригонометрические неравенства. Разбор и примеры решения

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹  1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

  1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
  2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
  3. Отметить точки пересечения двух графиков.
  4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: 

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

  1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
  2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
  3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
  4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
  5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2.  На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти.  Углы

 являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Простейшие тригонометрические неравенства | Формулы с примерами

sin x > a, | a |

Множество решений неравенства : x (arcsin a + 2?n; ? — arcsin a + 2?n), n Z

2. sin x

Множество решений неравенства: x (-? — arcsin a + 2?n; arcsin a + 2?n), n Z

3. cos x > a, | a |

Множество решений неравенства: x (-arccos a + 2?n; arccos a + 2?n), n Z

4. cos x

Множество решений неравенства: x (arccos a + 2?n; 2? — arccos a + 2?n), n Z

5. tg x > a, a R

Множество решений неравенства: x (arctg a + ?n; ?2 + ?n), n Z

6. tg x R

Множество решений неравенства: x (- ?2 + ?n; arctg a + ?n), n Z

7. ctg x > a, a R

Множество решений неравенства: x (?n; arcctg a + ?n), n Z

8. ctg x R

Множество решений неравенства: x (arcctg a + ?n; ? + ?n), n Z

formula-xyz.ru

Решение простейших тригонометрических неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

Часть 1. 

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

,

 ,

 ,

,

где – один из знаков , .

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство:

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов

Все значения , меньшие – левее точки на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки до .

Обратите внимание, многие, назвав первую точку вместо второй точки    указывают точку , что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов

Все значения , большие или равные – правее точки , включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы отвечают тому условию, что  .

Пример 3.

Решить неравенство:

Решение:

Отмечаем на оси синусов

Все значения , большие или равные – выше точки , включая саму точку.

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

 

Пример 4.

Решить неравенство:

Решение:

Кратко:

или все , кроме

Пример 5.

Решить неравенство:

Решение:

Неравенство равносильно уравнению , так как область значений функции –

Пример 6.

Решить неравенство:

Решение:

Действия  – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Согласны с таким вариантом (одним из) названия углов, соответствующих тому, что синус в них равен

А теперь мы должны позаботиться о том, чтобы правый конец промежутка, являющего собой решение неравенства, был бы больше левого конца.

Поэтому

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так:

 

1. Решить неравенство:

Ответ: + показать

2. Решить неравенство:

Ответ: + показать

3. Решить неравенство:

Ответ: + показать

4. Решить неравенство:

Ответ: + показать

5. Решить неравенство:

Ответ: + показать


Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

egemaximum.ru

Вывод формул для решения тригонометрических неравенств. 10-й класс

Разделы: Математика

Тип урока: комбинированный урок.

Цели урока:

  • образовательные — научить учащихся решать тригонометрические неравенства с помощью графиков тригонометрических функций, вывести формулы для решения этих неравенств
  • развивающие — развивать речь учащихся через обогащение и усложнение её словарного запаса, развивать мышление учащихся через умение анализировать, обобщать и систематизировать материал
  • воспитательные — формирование гуманного отношения у учащихся к участникам образовательного процесса

Оборудование урока:

  • интерактивная доска
  • плакаты с графиками тригонометрических функций

Структура урока

№ Основные фрагменты урока Время
1 Организационный момент, вводная часть 2 мин
2 Повторение 5 мин
3 Изучение нового материала 19 мин
4 Закрепление нового материала 10 мин
5 Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой 6 мин
6 Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания 3 мин

Организационный момент, вводная часть.

Учитель объявляет тему урока, цели урока и основные моменты урока. Проверяет готовность класса к работе.

Повторение.

На доске вывешены плакаты с графиками тригонометрических функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Рядом написаны вопросы для повторения.

Вопросы:

  1. Назовите область определения функции.
  2. Назовите область значений функции.
  3. Определите чётность функции (вид симметричности графика функции)
  4. Определите периодичность функции .
  5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции. В каких точках они достигаются?
  6. Найдите асимптоты для графика функции.

Изучение нового материала.

На интерактивную доску выводится <Рисунок1>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства cos ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. cos t >a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок2>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства cos ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. cos t <a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок3>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства sin ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. sin t >a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок4>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства sin ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. sin t <a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок5>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства tg ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. tg t >a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок6>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства tg ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. tg t <a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок7>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства ctg ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е. ctg t >a.

На интерактивную доску выводится <Рисунок8>. Разбирается вывод формулы для решения неравенства сtg ta. Следует обратить внимание учащихся на запись ответа, если знак неравенства будет строгий, т.е.сtg t <a.

IV. Закрепление нового материала.

Решите неравенства.

Решение неравенств.

V. Самостоятельная работа.

Решите неравенство.

1 вариант:

2 вариант:

Решение самостоятельной работы показывается на интерактивной доске.

VI. Подведение итогов урока.

Во время подведения итогов урока ещё раз следует обратить внимание учащихся на строгие и нестрогие тригонометрические неравенства. Особо следует отметить неравенства с тангенсом и котангенсом.

3.07.2011

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Тригонометрические неравенства и их решения — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла есть ординатой точки единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Рис. 1

Примеры решения тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1

  • Задание

    • Решить неравенство

  • Решение

    • Поскольку

    , то это неравенство имеет решение и его можно решить двумя способами

    .

    Первый способ. Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса (рис. 2) и прямой

    Рис. 2

    Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой . Найдем абсциссы и точек пересечения этих графиков:

    Получили интервал но так как функцию периодическая и имеет период , то ответом будет объединение интервалов:

    Второй способ. Построим единичную окружность и прямую , точки их пересечения обозначим и (рис. 3). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше . Найдем значение и , совершая обход против часовой стрелки, ^

    Рис. 3

    Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы

  • Ответ
  • Задание

    • Решить неравенство

  • Решение

    • Синус – функция ограниченная: , а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.

  • Ответ
    • решений нет.

    ПРИМЕР 3

  • Задание

    • Решить неравенство

  • Решение

    • Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

    Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть и . Выделим промежутки, на которых график функции косинус расположен выше графика прямой (рис. 4).

    Рис. 4

    Найдем абсциссы точек и – точек пересечения графиков функций и , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство.

    Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом , ответом будет значения x из промежутков

    Рис. 5

    Второй способ. Построим единичную окружность и прямую (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим и (рис. 5) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше . Найдем значение и , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы :

    Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы

  • Ответ

    • ПРИМЕР 4

  • Задание

    • Решить неравенство

  • Решение

    • Построим в одной системе координат графики функций

    Выделим промежутки, на которых график функции расположен не выше графика прямой (рис. 6).

    Рис. 6

    Найдем абсциссу точки , которая является концом одного из промежутков, на котором неравенство

    Другим концом этого промежутка есть точка , а функция в этой точке неопределенна. Таким образом, одним из решением данного неравенства является промежуток . Учитывая, что котангенс функция периодическая, с периодом , то окончательно получим

  • Ответ

    • Тригонометрические неравенства со сложным аргументом

    Тригонометрические неравенства со сложным аргументом можно свести к простейшим тригонометрическим неравенствам с помощью замены. После его решения делается обратная замена и выражается исходная неизвестная.

    ПРИМЕР 5

  • Задание

    • Решить неравенство

  • Решение

    • Выразим в правой части данного неравенства косинус:

    Ведем замену , после чего данное неравенство преобразуется к простейшему неравенству

    Рис. 7

    Решим его, используя единичную окружность. Построим единичный круг и прямую . Обозначим и – точки пересечения прямой и единичной окружности (рис. 7).

    Решением исходного неравенства будет множество точек абсциссы, которых не больше . Точке соответствует угол , а точке . Таким образом, учитывая период косинуса, получим

    Сделаем обратную замену

    Выразим x, для сначала этого из каждой части неравенства вычтем

    а затем, разделим на 2

  • Ответ

    • Двойные тригонометрические неравенства

    ПРИМЕР 6

  • Задание

    • Решить двойное тригонометрическое неравенство

  • Решение

    • Введем замену , тогда исходное неравенство примет вид

    Рис. 8

    Решим его, используя единичную окружность. Так как на единичной окружности синусу соответствует ось ординат, выделим на ней множество ординаты которых больше и меньше или равно . На рисунке 8 эти точки будут расположены на дугах и . Найдем значение , совершая обход против часовой стрелки, причем :

    Таким образом, получаем два интервала, которые, учитывая периодичность функции синус, можно записать следующим образом

    Сделаем обратную замену

    Выразим x, для этого умножим все стороны обои неравенств на 2, получим

  • Ответ

    • sciterm.ru

    Таблица брадиса онлайн косинусы – синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

    alexxlab / / Школьная жизнь

    тангенсы, котангенсы, синусы и косинусы с инструкцией.

    Как бы не совершенствовалась вычислительная техника, определение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов с помощью таблицы Брадиса будет всегда актуально.
    Таблица Брадиса создана выдающимся педагогом-математиком Владимиром Модестовичем Брадисом. Чтобы вы научились пользоваться таблицами Брадиса, которые представлены ниже, рекомендуем сначала прочесть инструкцию.

    Таблица брадиса — инструкция

    1. Возьмите саму таблицу Брадиса. Если у вас нет её в напечатанной виде, то воспользуйтесь нашими таблицами брадиса. Откройте соответствующую главу: тангенсы-котангенсы или синусы-косинусы. Для примера возьмем синус.

    2. Убедитесь, какой угол нужен Вам для решения задачи. Таблицу Брадиса можно и без проблем применить в том разе, даже когда угол является дробным, то есть его расчет происходит в градусах и минутах. Если величина угла подаётся в радианах, преобразуйте её значения в градусы. Оно будет равняться произведению размера ( считают в радианах) , помноженному на отношение 180-ти градусов на значение π и подаётся общей формулой, а именно : αград=αрад*180°/π, при этом — αград величина нужного угла (подаётся в градусах), αрад — величина, которая подаётся в радианах.
    3. В таблице Брадиса, Вам будут видны некие рядки, которые будут находиться и по горизонтали, и по вертикали. Обратите внимание на самый крайний ряд, находящийся слева. Вверху левого угла находится слово sin, а под ним расположился столбец из цифр с наименованием градуса. Это целая величина градусов. Отыщите число, которое будет напрямую соответствовать величине целых градусов в уже заданном Вами угле. К примеру, вам дан в задании угол равный 27°18′. Обратите внимание, что в крайнем левом столбце имеется число 27. Потом в самой верхней строчку отыщите число 18. На перекрёстке строчки и столбика Вы сможете увидеть нужное для Вас значение.
    4. Сделайте акцент на то, что градусы в таблице Брадиса идут между собой подряд, а минуты чередуются через шесть. К примеру, 18 минут в таблице подаваться будут, а 19 найти Вы уже не сможете . Чтобы высчитать синус нужного угла, величину минут которого непосредственно не будет кратно 6ти, применяются некие поправки. Они расположились в правой части таблицы. Посчитайте разницу между количеством заданных минут в нужном угле и самом ближайшем угле, где величина минут будет кратна 6ти. Если это различие будет составлять приблизительно 1, 2, 3 минуты, то Вы просто добавьте требуемое значение к конечной цифре величины синуса самого малого угла. Если разность будит близиться к 4 или 5, возьмите величину самого близкого большого угла и вычтите от конечного числа величину первой или второй поправки.

    Таблица Брадиса: тангенсы — котангенсы


    Таблица Брадиса: Косинусы-синусы






    Если по пользованию таблицами Брадиса у вас возникли какие то вопросы, то пишите их в комментариях.
    Спасибо за пользование нашим сервисом.

    Москвичей возможно заинтересует — дистанционное образование в москве. Учиться дистанционно — шикарная возможность стать свободнее уже сейчас.

    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    reshit.ru

    Таблица Брадиса, с примерами

    Правила пользования таблицами: таблицы дают значения синусов (косинусов) любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса, на пересечении строки, имеющей в заголовке слева (справа) соответствующее число градусов, и столбца, имеющего в заголовке сверху (снизу) соответствующее число минут.

    Тригонометрические функции sin x и cos x от аргумента в градусах




    Таблица Брадиса тригонометрические функции tg x, ctg x от аргумента в градусах



    Таблица Брадиса – тангенсы углов, близких к 90°, котангенсы малых углов



    Тригонометрические функции от аргумента в радианах




    Примеры решения задач

    Если же нужно найти значение угла, которого нет в таблице, то выбирается наиболее близкое к нему значение, а на разницу берется поправочное значение из столбца поправок справа (возможная разница – 1′, 2′, 3′).

    Замечание. Для косинусов поправка имеет отрицательный знак.

    Эти правила справедливы и для нахождения значений тангенсов и котангенсов углов.

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Таблица Брадиса

    Таблица Брадиса

    Четырехзная математическая таблица Брадиса синусы, косинусы в градусах и минутах с точностью до одной минуты. Как пользоваться таблицей Брадиса sin cos пример. Значения синусов и косинусов для углов от 0 до 90 градусов.

    Четырехзначная таблица Брадиса тангенсы, котангенсы от 0 до 90 градусов с точностью до одной минуты. Значения tg ctg таблица. Как пользоваться таблицей брадиса примеры. Таблица разбита на две части. В первой части таблицы Брадиса тангенсы от 0 до 75 и котангенсы от 15 до 90 градусов находятся при помощи дополнительных столбцов для 1, 2 и 3 минут. Во второй части тангенсы от 75 до 90 градусов и котангенсы от 0 до 15 градусов записаны прямо в таблицу с точностью до 1 минуты угла.

    Математическая четырехзначная таблица синусов, косинусов, тангенсов в радианах. Значения sin, cos, tg от 0 до 3,14 радиан с точностью до 0,01 радиана.

    Смотрите так же:

    Таблица значений тригонометрических функций — синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы значения с дробями и корнями, тригонометрический круг картинка и знаки тригонометрических функций.

    Тригонометрическая таблица и тригонометрический круг — интерактивная карта, угол вращаете курсором и смотрите значания функций для этого угла.

    Таблица синусов от 0 до 360 градусов.

    Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

    07 февраля 2012 года — 28 февраля 2017 года.

    © 2006 — 2018 Николай Хижняк. Все права защишены.

    ndspaces.narod.ru

    Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.


    Техническая информация тут
  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
    • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление


    		Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов.

    Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Версия для печати.

    cos(0°)=cos(360°)=1; точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь.

    Углы
    1° — 90°

    Углы
    91 ° — 180°

    Углы
    181° — 270°

    Углы
    271 ° — 360°

    Угол

    Cos
    1° cos= 0.9998
    2° cos= 0.9994
    3° cos= 0.9986
    4° cos= 0.9976
    5° cos= 0.9962
    6° cos= 0.9945
    7° cos= 0.9925
    8° cos= 0.9903
    9° cos= 0.9877
    10° cos= 0.9848
    11° cos= 0.9816
    12° cos= 0.9781
    13° cos= 0.9744
    14° cos= 0.9703
    15° cos= 0.9659
    16° cos= 0.9613
    17° cos= 0.9563
    18° cos= 0.9511
    19° cos= 0.9455
    20° cos= 0.9397
    21° cos= 0.9336
    22° cos= 0.9272
    23° cos= 0.9205
    24° cos= 0.9135
    25° cos= 0.9063
    26° cos= 0.8988
    27° cos= 0.891
    28° cos= 0.8829
    29° cos= 0.8746
    30° cos= 0.866
    31° cos= 0.8572
    32° cos= 0.848
    33° cos= 0.8387
    34° cos= 0.829
    35° cos= 0.8192
    36° cos= 0.809
    37° cos= 0.7986
    38° cos= 0.788
    39° cos= 0.7771
    40° cos= 0.766
    41° cos= 0.7547
    42° cos= 0.7431
    43° cos= 0.7314
    44° cos= 0.7193
    45° cos= 0.7071
    46° cos= 0.6947
    47° cos= 0.682
    48° cos= 0.6691
    49° cos= 0.6561
    50° cos= 0.6428
    51° cos= 0.6293
    52° cos= 0.6157
    53° cos= 0.6018
    54° cos= 0.5878
    55° cos= 0.5736
    56° cos= 0.5592
    57° cos= 0.5446
    58° cos= 0.5299
    59° cos= 0.515
    60° cos= 0.5
    61° cos= 0.4848
    62° cos= 0.4695
    63° cos= 0.454
    64° cos= 0.4384
    65° cos= 0.4226
    66° cos= 0.4067

    dpva.ru

    Углы тригонометрия – Геометрия. Урок 1. Тригонометрия — ЁП

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Геометрия. Урок 1. Тригонометрия — ЁП

     

    Содержание страницы:

     

    Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

     

    Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    sinα=Противолежащий катетгипотенуза

    Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    cosα=Прилежащий катетгипотенуза

    Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

    tgα=Противолежащий катетПрилежащий катет

    Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

    ctgα=Прилежащий катетПротиволежащий катет

     

    Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

    sin∠A=CBAB

    cos∠A=ACAB

    tg∠A=sin∠Acos∠A=CBAC

    ctg∠A=cos∠Asin∠A=ACCB

    sin∠B=ACAB

    cos∠B=BCAB

    tg∠B=sin∠Bcos∠B=ACCB

    ctg∠B=cos∠Bsin∠B=CBAC

     

    Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

    Такая окружность пересекает ось х в точках (−1;0) и (1;0), ось y в точках (0;−1) и (0;1)

    На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

    Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=∪SA.

     

    Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

     

    Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

    Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

    cosα=OBOA=OB1=OB

    sinα=ABOA=AB1=AB

    Поскольку OCAB – прямоугольник, AB=CO.

    Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

     

    Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α — тупой, то есть больше 90°:

     

    Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x.Косинус тупого угла отрицательный.

    Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x. Отметим на этой окружности углы 0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

     

    Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

    Пример:

    cos150°=−32

    sin150°=12

     

    Ещё одно замечание.

    Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

    Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

     

    sin2α+cos2α=1

    Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике OAB:

     

    AB2+OB2=OA2

    sin2α+cos2α=R2

    sin2α+cos2α=1

     

     

    		 0° 30° 45° 60° 90°
    sinα 0 12 22 32 1
    cosα 1 32 22 12 0
    tgα 0 33 1 3 нет
    ctgα нет 3 1 33 0

     

    Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

    можно заметить, что:

    sin180°=sin(180°−0°)=sin0°

    sin150°=sin(180°−30°)=sin30°

    sin135°=sin(180°−45°)=sin45°

    sin120°=sin(180°−60°)=sin60°

     

    cos180°=cos(180°−0°)=−cos0°

    cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°

    cos135°=cos(180°−45°)=−cos45°

    cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°

     

    Рассмотрим тупой угол β:

     

    Для произвольного тупого угла β=180°−α всегда будут справедливы следующие равенства:

    sin(180°−α)=sinα

    cos(180°−α)=−cosα

    tg(180°−α)=−tgα

    ctg(180°−α)=−ctgα

     

    В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

     

    asin∠A=bsin∠B=csin∠C

     

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

     

    asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R

     

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

     

    a2=b2+c2−2bc⋅cos∠A

    b2=a2+c2−2ac⋅cos∠B

    c2=a2+b2−2ab⋅cos∠C

     

    Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

     

    Скачать домашнее задание к уроку 1.

     

    epmat.ru

    Тригонометрия

             
      Главная > Учебные материалы > Математика:  Тригонометрия  
       
       
     
       1.Тригонометрия.
       2.Тригонометрические функции.

     

    		      
         
      1 2 3 4 5 6 7 8 9  
         

       1.  Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости между углами и сторонами в треугольниках и тригонометрические функции.

       Основная задача тригонометрии — вычисление неизвестных величин треугольника, если известны значения других его величин. В тригонометрии также решают задачу о вычислении углов треугольника, если известны его стороны, задачу о вычислении сторон треугольника и т.д.

    		  
     

       Для измерения углов между сторонами треугольника используется такая  единица измерения, как градус. Вся окружность с центром в точке О составляет 360°. Помимо градусной меры углов, также используется  радианная мера. 1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

       Радианная  и  градусная меры связаны зависимостью 180°=π   радиан.  Угол  в n°  равен    πn/ 180  радиан.

       Для того, чтобы рассчитать длину дуги угла α, используется следующая формула:

                            l= αr
       где  
         l  – длина дуги окружности
         α – угол в радианах
         r  – радиус окружности.
     

       Площадь S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, рассчитывается так:

                            S = αr² / 2
        где
          S – площадь сектора круга радиуса r

    		  

    Площадь сектора круга.

    		  
     
       
     

    2. Тригонометрические функции.

       Тригонометрические функции — математические функции от величины угла. Они используются при изучении геометрии, а также при исследовании переодических процессов в разных областях науки.  Тригонометрические функции определяют  отношения сторон прямоугольного треугольника  в единичной окружности.

       Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке O и с осями OX и OY . Возьмем в этой системе координат окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Пусть отрезок OМ поворачивается на произвольный угол α вокруг центра O. Так как треугольник ОМВ прямоугольный, то тригонометрические функции угла α определяется из соотношений в прямоугольном треугольнике. Тогда:

    		  
         Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе или отношение координаты y точки М к длине отрезка OМ=R, где R — радиус окружности. Синус угла α обозначают sinα. Так как длина отрезка OМ=1, следовательно sinα = y.
       Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе или отношение координаты х точки М к длине отрезка OМ. Косинус угла α обозначают cosα. Так как ОМ=1, то cosα = х.
       Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему или координаты y точки М к x. Тангенс угла α обозначают tgα. Так как y = sin α и x = cos α, то tgα= sin α / cos α.
       Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему или отношение координаты х точки М к y. Котангенс угла α обозначают ctgα. Так как y = sin α и x = cos α, то ctgα= cosα / sinα. Из последних двух соотношений следует: ctg α= 1 / tg α    		  

    sin, cos, tg, ctg на тригонометрическом круге.

    		  
         
     

       y = sin x


       Область определения функции sin x  — множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].

    		  

    График функции sin.

    		  
         
     

       y = cos x


       Область определения функции cos x  — множество всех действительных чисел. Областью значений функции синус является отрезок [-1;1].

    		  

    График функции cos.

    		  
         
     

       y = tg x


       Область определения функции tg x  — (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ;
    область значений (-∞; ∞)

    		  

    График функции tg.

    		  
         
     

      y = ctg x


       Область определения функции ctg x  — (πn, π + πn) nϵZ;
    область значений (-∞; ∞)

    		  

    График функции сtg.

    		  
         
     

    		 
         
       
         
     

        Значения синуса и косинуса для некоторых углов.

    		  
       
       
         Значения тангенса и котангенса для углов 30, 45 и 60 находятся аналогично.  
     

    Пример 1

    		  
       
      Пример 2      
       
     
         
      1 2 3 4 5 6 7 8 9  
         

    www.mathtask.ru

    Отсчёт углов на тригонометрическом круге. Положительные и отрицательные углы. Распределение углов по четвертям.

            В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили – кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг, угол на круге, синус и косинус этого угла, а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям. Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.

            Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно – правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии – никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол – ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол. Нет угла – нету и тригонометрических функций, да…

            Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.

            1) Как отсчитываются углы на круге?

            2) В чём они считаются (измеряются)?

            Ответ на первый вопрос – и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это – тема следующего отдельного урока.

            Приступим?

     

    Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.

            У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?

            К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в «минус» (т.е. долг) иногда уходят. Это всё знакомо.

            А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг – вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!

            Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.

            Я нарисую вот такую красивую картинку:

            Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.

            Во-первых, я добавил номера четвертей (или квадрантов). Напоминаю, что четверти всегда нумеруются против часовой стрелки.

            Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее.) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси – они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.

            И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная – это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?

            Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.

            А теперь посмотрим на другую картинку:

            Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак «минус».) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка – направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.

            Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)

            Запоминаем:

            1. Начало отсчёта углов – от положительной полуоси ОХ. По часам – «минус», против часов – «плюс».

            2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

     

            Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг – вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос – в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.

            Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.

            А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да…) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???

            Совершенно верно! Так и есть.) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение, что и отрицательный угол -315°.

            Смотрим на очередной рисунок и всё видим:

            Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° – туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…

            И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?

            Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа «определите наибольший отрицательный угол» и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.

            Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.

     

            Запоминаем:

            Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.

     

            А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315°? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45° от 360° – вот и получаем 315°. Мотаем в отрицательную сторону – и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.

            И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) – рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)

            Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!

            Например:

            sin45° = sin(-315°)

            cos120° = cos(-240°)

            tg249° = tg(-111°)

            ctg333° = ctg(-27°)

            И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли… Кстати, прошу заметить, что углы в этих парочках различны. Зато тригонометрические функции у них – одинаковы! Идея ясна?

            А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений – ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.

            Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)

            Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.

     

    Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).

            Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично: у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)

            Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.

            И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов – это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° – это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем… Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) – 55 градусов или же 64 – неважно! Важно, что всё равно где-то около 60°.

            Получаем картинку:

            Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно, без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

            Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° — это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!

            Рисуем:

            Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?

            Запоминаем:

            Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.

            Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)

            Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…

     

    Что делать с углами, большими 360°?

            «А такие разве бывают?» – спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.

            Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое – выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.

            Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот – дошли до 360°.

            Ну и крутим себе дальше!

            Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:

            444°-360° = 84°.

            Итак, 444° — это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.

            Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.

            Вот так:

            Здесь я уж не стал загромождать рисунок – подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)

            Зато я «улиткой» или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия – это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!

            А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)

            А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?

            А почему – нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге – никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?

            Запоминаем:

            Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!

     

            Например:

            В какую четверть попадает угол 1000°?

            Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот — это 360°, ещё один – уже 720°, третий — 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:

            1000° — 2·360° = 280°

            Значит, положение угла 1000° на круге то же самое, что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.

            Рисуем:

            Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля, отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)

            И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° – разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы – одинаковые!

            Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?

            Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.

            Например:

            В какую четверть попадает угол 31240° ?

            И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!

            Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!

            Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко :)) на калькуляторе.)

            Получим 31240:360 = 86,777777….

            То, что число получилось дробным – не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо.)

            Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…

            В градусах это будет 86·360° = 30960°

            Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:

            31240° — 30960° = 280°

            Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)

     

            Итак, мораль сей басни такова:

            Если нам задан страшный здоровенный угол, то:

            1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.

            2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.

            3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.

     

    Как работать с отрицательными углами?

            Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону, в минус! По ходу часовой стрелки.)

            Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов – оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

            Картинка станет вот такой:

            При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось – это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…

            Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)

            Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.

            Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?

            Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!

            А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить – в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!

            Например:

            В какую четверть попадает угол -2000°?

            Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:

            5·360° = 1800°

            Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.

            Считаем оставшийся хвостик:

            2000° – 1800° = 200°

            А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)

            -2000° = -1800° — 200°

            Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.

            Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.

            Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:

            Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак «минус» на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов. 

            Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.

            Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!

            

            А вот теперь — самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие — полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться…

            Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных — всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да…) Именно поэтому обратная задача — найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу — решается неоднозначно. И куда сложнее. В отличие от прямой задачи — по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки, тригонометрические уравнения и неравенства) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)

     

            Итак, будем считать, что самые-самые азы работы с углами на круге мы с вами освоили. Можно и на вопросы поотвечать. Самостоятельно.)

            1. В какую четверть попадает угол -345°?

            2. В какую четверть попадает угол 666°?

            3. В какую четверть попадает угол 5555°?

            4. В какую четверть попадает угол -3700°?

     

            Всё хорошо? Поехали дальше.

            5. Какой знак имеет cos999°?

            6. Какой знак имеет ctg999°?

            И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам сюда.

     

            Ответы:

            1. 1

            2. 4

            3. 2

            4. 3

            5. «+»

            6. «-«

            В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)

            В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число «пи», научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!

    abudnikov.ru

    Тригонометрия: синус, косинус, тангенс, котангенс

    История тригонометрии

    Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

    Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

    В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

    Основные величины тригонометрии

    Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

    В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

    Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

    Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

    Тригонометрический круг

    Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

    Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

    Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

    Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

    Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π  в таблицах стоит для радиан. Рад  — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

    Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

    Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

    Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

    Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

    Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

    СинусоидаКосинусоида
    y = sin xy = cos x
    ОДЗ [-1; 1]ОДЗ [-1; 1]
    sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Zcos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
    sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Zcos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
    sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Zcos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
    sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетнаяcos (-x) = cos x, т. е. функция четная
    функция периодическая, наименьший период — 2πфункция периодическая, наименьший период — 2π
    sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
    sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
    возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
    убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]убывает на промежутках [2πk, π + 2πk]
    производная (sin x)’ = cos xпроизводная (cos x)’ = — sin x

    Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

    Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

    Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x =  π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

    Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

    Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

    Основные свойства котангенсоиды:

    1. Y = tg x.
    2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
    3. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
    4. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
    5. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
    6. Tg x = 0, при x = πk.
    7. Функция является возрастающей.
    8. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
    9. Tg x ‹ 0, при x ϵ ( — π/2 + πk, πk).
    10. Производная (tg x)’ = 1/cos2⁡x .

    Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

     

    Основные свойства котангенсоиды:

    1. Y = ctg x.
    2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
    3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
    4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
    5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
    6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
    7. Функция является убывающей.
    8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
    9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
    10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin2⁡x Исправить

    Похожие статьи

    Рекомендуем почитать:

    karate-ege.ru

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Тригонометрия

    Справочник по математикеТригонометрия
    Связи между тригонометрическими функциями одного угла
    Тригонометрические функции суммы и разности двух углов
    Тригонометрические функции двойного угла
    Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
    Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
    Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла
    Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
    Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
    Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
    Тригонометрические функции тройного угла

    Связи между тригонометрическими функциями одного угла

    sin2α + cos2α = 1

    Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

    ФормулаНазвание формулы
    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin βСинус суммы
    sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin βСинус разности
    cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βКосинус суммы
    cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin βКосинус разности
    Тангенс суммы
    Тангенс разности
    Синус суммы
    sin (α + β) = sin α cos β +
    + cos α sin β
    Синус разности
    sin (α – β) = sin α cos β –
    – cos α sin β
    Косинус суммы
    cos (α + β) = cos α cos β –
    – sin α sin β
    Косинус разности
    cos (α – β) = cos α cos β +
    + sin α sin β
    Тангенс суммы
    Тангенс разности

    Тригонометрические функции двойного угла

    ФормулаНазвание формулы
    sin 2α = 2 sin α cos αСинус двойного угла

    cos 2α = cos 2α – sin2α

    cos 2α = 2cos 2α – 1

    cos 2α = 1 – 2sin 2α

    		Косинус двойного угла
    Тангенс двойного угла
    Синус двойного угла
    sin 2α = 2 sin α cos α
    Косинус двойного угла

    cos 2α = cos 2α – sin2α

    cos 2α = 2cos 2α – 1

    cos 2α = 1 – 2sin 2α

    Тангенс двойного угла

    Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

    ФормулаНазвание формулы
    Выражение квадрата синуса
    через косинус двойного угла
    Выражение квадрата косинуса
    через косинус двойного угла
    Выражение квадрата тангенса
    через косинус двойного угла
    Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
    Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
    Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

    Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

    ФормулаНазвание формулы
    Выражение куба синуса через
    синус угла и синус тройного угла
    Выражение куба косинуса через
    косинус угла и косинус тройного угла
    Выражение куба синуса через
    синус угла и синус тройного угла
    Выражение куба косинуса через
    косинус угла и косинус тройного угла

    Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

    Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

    ФормулаНазвание формулы
    Сумма синусов
    Разность синусов
    Сумма косинусов
    Разность косинусов
    Сумма тангенсов
    Разность тангенсов
    Сумма синусов
    Разность синусов
    Сумма косинусов
    Разность косинусов
    Сумма тангенсов
    Разность тангенсов

    Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

    ФормулаНазвание формулы
    Произведение синусов
    Произведение косинусов
    Произведение синуса и косинуса
    Произведение синусов
    Произведение косинусов
    Произведение синуса и косинуса

    Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

    ФормулаНазвание формулы
    Выражение синуса угла через
    тангенс половинного угла
    Выражение косинуса угла через
    тангенс половинного угла
    Выражение тангенса угла через
    тангенс половинного угла
    Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
    Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
    Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

    Тригонометрические функции тройного угла

    ФормулаНазвание формулы
    sin 3α = 3sin α – 4sin3αСинус тройного угла
    cos 3α = 4cos3α –3cos αКосинус тройного угла
    Тангенс тройного угла
    Синус тройного угла
    sin 3α = 3sin α – 4sin3α
    Косинус тройного угла
    cos 3α = 4cos3α –3cos α
    Тангенс тройного угла

          На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

        Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

    Запись по телефону (495) 509-28-10

          Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

    подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

          У нас также для школьников организованы

    индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

    МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

    www.resolventa.ru

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Тригонометрия

          Рассмотрим тригонометрические круги, изображенные на рисунке 1 и рисунке 2.

    Рис.1

    Рис.2

          На тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 1, центральные углы измерены в градусах, а на тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 2, те же центральные углы измерены в радианах.

          Углом в   1   градус называют угол, составляющий     полного угла. Углом в   k°   называют угол в   k   раз больший угла в   1° .

          Углом в   1   радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной   1 .   Углом в   k   радиан называют центральный угол тригонометрического круга в   k   раз больший угла в   1   радиан.

          Следствие 1. Углом в   k   радиан является центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной   k .

          Следствие 2. Полный угол является углом в   2π   радиан.

          Для того, чтобы найти формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, рассмотрим рисунки 3 и 4

    Рис.3Рис.4
    Рис.3
    Рис.4

    На этих рисунках изображены прямые углы, причем на рисунке 3 прямой угол измерен в градусах и равен   90° ,   а на рисунке 4 прямой угол измерен в радианах и равен  радиан. Следовательно,

    Таким образом, формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, имеют вид

    Поскольку , то

    По этой причине углы, составляющие целое число радиан, изображаются на тригонометрическом круге так, как это показано на рисунке 5.

    Рис.5

          Замечание. Тригонометрическая формула sin α означает, что рассматривается синус угла в   α   радиан, а тригонометрическая формула   sin α°   означает, что рассматривается синус угла в   α   градусов. По такому же правилу определяются значения косинуса, тангенса и котангенса.

          Пример. Найти наименьшее из чисел:

          Решение. Поскольку

    то наименьшим числом является число     cos 3 .

          На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

        Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

    Запись по телефону (495) 509-28-10

          Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

          У нас также для школьников организованы

    МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

    www.resolventa.ru

    Тригонометрические функции

    Величины углов (аргументы функций): α, x 
    Тригонометрические функции: sinα, cosα, tanα, cotα, secα, cscα
    Множество действительных чисел: R 
    Координаты точки окружности: x, y 

    Радиус круга: r 
    Целые числа: k 

    1.      Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

    2.      К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

    3.      Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

    4.      Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: 
    sinα=y/r. 
    Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

    5.      Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: 
    cosα=x/r 

    6.      Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: 
    tanα=y/x,x≠0 

    7.      Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: 
    cotα=x/y,y≠0 

    8.      Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): 
    secα=r/x=1/x,x≠0 

    9.      Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): 
    cscα=r/y=1/y,y≠0 

    10.  В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: 
    Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
    Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 
    Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. 
    Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему. 
    Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету. 
    Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету. 

    11.  График функции синус 
    y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1 

    12.  График функции косинус 
    y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1 

    13.  График функции тангенс 
    y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞<tanx<∞ 

    14.  График функции котангенс 
    y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞<cotx<∞ 

    15.  График функции секанс 
    y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪[1,∞) 

    16.  График функции косеканс 
    y=cscx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: cscx∈(−∞,−1]∪[1,∞) 

     

     

    Где применяется тригонометрия

    Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

    Тригонометрия в астрономии:

    Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

    Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

    Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

    Достижения Виета в тригонометрии 
    Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
    Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

     

    Тригонометрия в физике:

    В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

    Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

    Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,   — полная фаза колебаний, r  — начальная фаза колебаний.

    Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

    Механические колебания . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

    Тригонометрия в природе.

    Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

    Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

    Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

    Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

    Многофункциональная тригонометрия

    ·         Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

    ·         К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

    ·         Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

    Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

    ·         Одно из фундаментальных свойств живой природы — это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

    ·         Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

    ·         Основной земной ритм – суточный.

    ·         Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

    Тригонометрия в биологии

    Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

    ·         Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

    ·         Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

    Связь биоритмов с тригонометрией

    ·         Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза

    Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

    При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

    Возникновение музыкальной гармонии

    ·         Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

    ·         Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

    ·         диатоническая гамма 2:3:5

    Тригонометрия в архитектуре

    ·         Детская школа Гауди в Барселоне

    ·         Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

    ·         Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

     

    Значения тригонометрических функций

    Ключевые слова: радиан, радианная мера угла, тригонометрическая окружность, знаки тригонометрических функций

    В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. 
    При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. 
    Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. 
    Пусть одна сторона угла  с вершиной в начале координат O идет по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. 
    Из геометрии известно, что отношение длины дуги l , на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла: =lR.

    Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. 
    Говорят, что угол равен определенному числу радиан. 
    Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. 
    В самом деле: =RR=1 радиан. Обозначение радиана – «рад». 
    Так как длина всей окружности радиуса R равна 2R , то всей окружности соответствует угол =R2R=2 радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует 2360=180 градусов: 
    1рад=1805717. И наоборот, 1=180рад.

    Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному: 
    =180рад 

    и от радианного измерения к градусному: 
    =180 .

    Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° =  рад пишут просто 180° = .

    Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

    Угол, градусы

    0°

    30°

    45°

    60°

    90°

    180°

    270°

    360°

    Угол, радианы

    0

    6

    4

    3

    2

    		  

    23

    2

    Так как, синус по определению равен ординате точки на единочной окружности, а косинус — абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

     

    I

    II

    III

    IV

    sin

    +

    +

    —

    —

    cos

    +

    —

    —

    +

    tg

    +

    —

    +

    —

    ctg 

    +

    —

    +

    —

    Вычисление тригонометрических функций некоторых углов.

     

    Тригонометрические функции числового и углового аргументов

     

    Тригонометрические функции числового аргумента.

    Тригонометрические функции числового аргумента t  – это функции вида y = cos t, 
    y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

    С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

    Пояснения.

    1) Возьмем формулу cos2 t + sin2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

    Для этого разделим обе части формулы на cos2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk). Итак:

      cos2 t        sin2 t             1
    ——— + ———  =  ———
     cos2 t        cos2 t          cos2 t

    Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

                                                              1                        π
                                      1 + tg2 t  =  ———,     где t ≠ — + πk, k – целое число.
                                                           cos2 t                    2

     

    2) Теперь разделим cos2 t + sin2 t = 1 на sin2 t (при t ≠ πk):

      cos2 t        sin2 t             1
    ——— + ———  =  ———,   где t ≠ πk + πk, k – целое число
      sin2 t         sin2 t          sin2 t

    Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

                                                              1
                                     1 + ctg2 t  =  ———,   где t ≠ πk, k – целое число.
                                                            sin2 t


    Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

                               sin2 t         1         sin2 t          cos2 t + sin2 t             1
    1 + tg2 t  =  1 + ———  =  —  +  ———  =  ——————  =  ———
                              cos2 t         1          cos2 t               cos2 t                cos2 t

    Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

     

    Тригонометрические функции углового аргумента.

    В функциях  у = cos t, у = sin t, у = tg t, у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

    С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия: 
    1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

    2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x.

    В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

    Пояснение. Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x, а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

       √3       1
     ——; ——
        2        2

      А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

    Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

     

    Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

                                                      πα
                                 sin αº = sin ——
                                                     180

                                                      πα
                                cos αº = cos ——
                                                      180

    Пример: найти синус и косинус угла, равного 60º.

    Решение:

                            π · 60                π         √3
    sin 60º  =  sin ———  =  sin —— = ——
                             180                  3          2

                               π        1
    cos 60º  =  cos —— = —
                               3        2

     

    ya-znau.ru

    Зависит число степеней свободы в распределении стьюдента зависит от – .

    alexxlab / / Школьная жизнь

    7. Распределение Стьюдента с степенями свободы

    (t-распределение)

    В нормальном распределении средняя арифметическая зависит от дисперсии слагаемых величин. Однако на практике дисперсия исследуемой величины, как правило, неизвестна. В этой связи возникла задача определения закона распределения , не зависящего от, которую решил английский статистик В. Госсет, публиковавшийся под псевдонимом Стьюдент. Дадим следующее определение:

    Если случайная величина Z имеет нормальное нормированное распределение N(0,1), а величина U2 имеет распределение сстепенями свободы, причемZ и U взаимно независимы, то случайная величина

    имеет t-распределение с степенями свободы. Плотность распределения описывается формулой

    .

    Функция плотности является унимодальной и симметричной относительно . Основные числовые характеристики:

    среднее, мода, медиана: ;

    дисперсия: ;

    асимметрия: ;

    эксцесс: .

    Ниже на рисунке приведены сравнительные графики функции плотности t-распределения при и стандартного нормального распределенияN(0,1).

    Рис. 9.2.График t-распределения при и нормального нормированного распределения

    Если из генеральной совокупности Х с нормальным законом распределения взята случайная выборка объёмаn, то статистика

    имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. ЗдесьS-выборочное среднее квадратическое отклонение.

    Распределение Стьюдента используется при интервальной оценке математического ожидания при неизвестном значении среднего квадратического отклонения .

    8. Распределение Фишера-Снедекора (f-распределение).

    Пусть имеются две независимые случайные величины иимеющие-распределение соответственно со степенями свободыи. Тогда величина

    имеет F-распределение с истепенями свободы, причем, так что.

    Это распределение впервые было построено английским статистиком Р. Фишером. Американский статистик Дж. Снедекор составил таблицы для данного распределения, поэтому его часто называют распределением Фишера-Снедекора.

    Используется в дисперсионном анализе при проверке статистических гипотез.

    Раздел II математическая статистика Лекция 1. Генеральная совокупность. Выборка. Способы образования выборки. Статистическая оценка параметров распределения.

    В математической статистике множество возможных значений случайной величины Х называют генеральной совокупностью случайной величины Х или просто генеральной совокупностью Х.

    Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности являются экспериментальные (статистические) данные, под которыми понимают значения случайной величины, полученные в результате независимых повторных наблюдений (имеется ввиду, что эксперимент может, хотя бы теоретически, быть повторен сколько угодно раз в одних и тех же условиях).

    Совокупность независимых случайных величин Х1, … , Хn , имеющих на множествах исходов 1, … , n-го экспериментов (наблюдений) то же распределение, что и случайная величина Х, называется случайной выборкой. При этом число n называют объемом выборки. Любое возможное значение (х1 , … , хn) случайной выборки — эмпирическим рядом, а числа хi его вариантами. При этом некоторые варианты могут повторяться. Число повторений вариант называют эмпирической частотой и обозначают ni (или mi). Таблица, в которой варианты записаны по одному разу и в порядке возрастания, а также указаны их частоты или частости , называемыевесами, называется вариационным дискретным рядом.

    Пример 1. В течении суток измеряют напряжение Х тока в электросети в вольтах. В результате опыта получена выборка объема n = 30:

    107 108 110 109 110 111 109 110 111 107

    108 109 110 108 107 110 109 111 111 110

    109 112 113 110 106 110 109 110 108 112

    Построим вариационный ряд этой выборки.

    Наименьшее значение в выборке х1 = 106, наибольшее – х8 = 113. Подсчитываем частоту каждого хi, i = 1,…, 8 и строим таблицу 1.1.

    хi

    106

    107

    108

    109

    110

    111

    112

    113

    ni

    1

    3

    4

    6

    9

    4

    2

    1

    При большом объеме выборки ( свыше 50 ) исходные данные рассматривают на интервале J = ( х1, хn). Этот интервал разбивают на m промежутков равной длины . При этом считают, что каждый промежуток содержит свой левый конец, но лишь последний содержит и правый. При таком соглашении каждая точка отрезкаJ содержится в одном и только в одном интервале Jk. Далее, для каждого промежутка Jk, k = 1,…, m подсчитывается число элементов выборки попавших в него, а результаты представляют в виде таблицы 1.2., которую называют интервальным рядом.

    Таблица 1.2.

    J1

    J2

    . . .

    Jm

    n1

    n2

    . . .

    nm

    В зависимости от того, является ли генеральная случайная величина Х дискретной или непрерывной, результаты выборки записывают в виде вариационного или интервального рядов. Для интервального ряда вводят понятие эмпирической плотности распределения, как функции, определяемой формулой:

    и равна 0, если .

    График функции плотности называют гистограммой.

    studfiles.net

    О степенях свободы в статистике / Stepik.org corporate blog / Habr

    В одном из предыдущих постов мы обсудили, пожалуй, центральное понятие в анализе данных и проверке гипотез — p-уровень значимости. Если мы не применяем байесовский подход, то именно значение p-value мы используем для принятия решения о том, достаточно ли у нас оснований отклонить нулевую гипотезу нашего исследования, т.е. гордо заявить миру, что у нас были получены статистически значимые различия.

    Однако в большинстве статистических тестов, используемых для проверки гипотез, (например, t-тест, регрессионный анализ, дисперсионный анализ) рядом с p-value всегда соседствует такой показатель как число степеней свободы, он же degrees of freedom или просто сокращенно df, о нем мы сегодня и поговорим.



    Степени свободы, о чем речь?


    По моему мнению, понятие степеней свободы в статистике примечательно тем, что оно одновременно является и одним из самым важных в прикладной статистике (нам необходимо знать df для расчета p-value в озвученных тестах), но вместе с тем и одним из самых сложных для понимания определений для студентов-нематематиков, изучающих статистику.

    Давайте рассмотрим пример небольшого статистического исследования, чтобы понять, зачем нам нужен показатель df, и в чем же с ним такая проблема. Допустим, мы решили проверить гипотезу о том, что средний рост жителей Санкт-Петербурга равняется 170 сантиметрам. Для этих целей мы набрали выборку из 16 человек и получили следующие результаты: средний рост по выборке оказался равен 173 при стандартном отклонении равном 4. Для проверки нашей гипотезы можно использовать одновыборочный t-критерий Стьюдента, позволяющий оценить, как сильно выборочное среднее отклонилось от предполагаемого среднего в генеральной совокупности в единицах стандартной ошибки:

    Проведем необходимые расчеты и получим, что значение t-критерия равняется 3, отлично, осталось рассчитать p-value и задача решена. Однако, ознакомившись с особенностями t-распределения мы выясним, что его форма различается в зависимости от числа степеней свобод, рассчитываемых по формуле n-1, где n — это число наблюдений в выборке:


    Сама по себе формула для расчета df выглядит весьма дружелюбной, подставили число наблюдений, вычли единичку и ответ готов: осталось рассчитать значение p-value, которое в нашем случае равняется 0.004.

    Но почему n минус один?


    Когда я впервые в жизни на лекции по статистике столкнулся с этой процедурой, у меня как и у многих студентов возник законный вопрос: а почему мы вычитаем единицу? Почему мы не вычитаем двойку, например? И почему мы вообще должны что-то вычитать из числа наблюдений в нашей выборке?

    В учебнике я прочитал следующее объяснение, которое еще не раз в дальнейшем встречал в качестве ответа на данный вопрос:

    “Допустим мы знаем, чему равняется выборочное среднее, тогда нам необходимо знать только n-1 элементов выборки, чтобы безошибочно определить чему равняется оставшейся n элемент”. Звучит разумно, однако такое объяснение скорее описывает некоторый математический прием, чем объясняет зачем нам понадобилось его применять при расчете t-критерия. Следующее распространенное объяснение звучит следующим образом: число степеней свободы — это разность числа наблюдений и числа оцененных параметров. При использовании одновыборочного t-критерия мы оценили один параметр — среднее значение в генеральной совокупности, используя n элементов выборки, значит df = n-1.

    Однако ни первое, ни второе объяснение так и не помогает понять, зачем же именно нам потребовалось вычитать число оцененных параметров из числа наблюдений?

    Причем тут распределение Хи-квадрат Пирсона?


    Давайте двинемся чуть дальше в поисках ответа. Сначала обратимся к определению t-распределения, очевидно, что все ответы скрыты именно в нем. Итак случайная величина:

    имеет t-распределение с df = ν, при условии, что Z – случайная величина со стандартным нормальным распределением N(0; 1), V – случайная величина с распределением Хи-квадрат, с ν числом степеней свобод, случайные величины Z и V независимы. Это уже серьезный шаг вперед, оказывается, за число степеней свободы ответственна случайная величина с распределением Хи-квадрат в знаменателе нашей формулы.

    Давайте тогда изучим определение распределения Хи-квадрат. Распределение Хи-квадрат с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

    Кажется, мы уже совсем у цели, по крайней мере, теперь мы точно знаем, что такое число степеней свободы у распределения Хи-квадрат — это просто число независимых случайных величин с нормальным стандартным распределением, которые мы суммируем. Но все еще остается неясным, на каком этапе и зачем нам потребовалось вычитать единицу из этого значения?

    Давайте рассмотрим небольшой пример, который наглядно иллюстрирует данную необходимость. Допустим, мы очень любим принимать важные жизненные решения, основываясь на результате подбрасывания монетки. Однако, последнее время, мы заподозрили нашу монетку в том, что у нее слишком часто выпадает орел. Чтобы попытаться отклонить гипотезу о том, что наша монетка на самом деле является честной, мы зафиксировали результаты 100 бросков и получили следующий результат: 60 раз выпал орел и только 40 раз выпала решка. Достаточно ли у нас оснований отклонить гипотезу о том, что монетка честная? В этом нам и поможет распределение Хи-квадрат Пирсона. Ведь если бы монетка была по настоящему честной, то ожидаемые, теоретические частоты выпадания орла и решки были бы одинаковыми, то есть 50 и 50. Легко рассчитать насколько сильно наблюдаемые частоты отклоняются от ожидаемых. Для этого рассчитаем расстояние Хи-квадрат Пирсона по, я думаю, знакомой большинству читателей формуле:

    Где O — наблюдаемые, E — ожидаемые частоты.

    Дело в том, что если верна нулевая гипотеза, то при многократном повторении нашего эксперимента распределение разности наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из наблюдаемой частоты, может быть описано при помощи нормального стандартного распределения, а сумма квадратов k таких случайных нормальных величин это и будет по определению случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат.

    Давайте проиллюстрируем этот тезис графически, допустим у нас есть две случайные, независимые величины, имеющих стандартное нормальное распределение. Тогда их совместное распределение будет выглядеть следующим образом:

    При этом квадрат расстояния от нуля до каждой точки это и будет случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат с двумя степенями свободы. Вспомнив теорему Пифагора, легко убедиться, что данное расстояние и есть сумма квадратов значений обеих величин.

    Пришло время вычесть единичку!


    Ну а теперь кульминация нашего повествования. Возвращаемся к нашей формуле расчета расстояния Хи-квадрат для проверки честности монетки, подставим имеющиеся данные в формулу и получим, что расстояние Хи-квадрат Пирсона равняется 4. Однако для определения p-value нам необходимо знать число степеней свободы, ведь форма распределения Хи-квадрат зависит от этого параметра, соответственно и критическое значение также будет различаться в зависимости от этого параметра.

    Теперь самое интересное. Предположим, что мы решили многократно повторять 100 бросков, и каждый раз мы записывали наблюдаемые частоты орлов и решек, рассчитывали требуемые показатели (разность наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из ожидаемой частоты) и как и в предыдущем примере наносили их на график.


    Легко заметить, что теперь все точки выстраиваются в одну линию. Все дело в том, что в случае с монеткой наши слагаемые не являются независимыми, зная общее число бросков и число решек, мы всегда можем точно определить выпавшее число орлов и наоборот, поэтому мы не можем сказать, что два наших слагаемых — это две независимые случайные величины. Также вы можете убедиться, что все точки действительно всегда будут лежать на одной прямой: если у нас выпало 30 орлов, значит решек было 70, если орлов 70, то решек 30 и т.д. Таким образом, несмотря на то, что в нашей формуле было два слагаемых, для расчета p-value мы будем использовать распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы! Вот мы наконец-то добрались до момента, когда нам потребовалось вычесть единицу. Если бы мы проверяли гипотезу о том, что наша игральная кость с шестью гранями является честной, то мы бы использовали распределение Хи-квадрат с 5 степенями свободы. Ведь зная общее число бросков и наблюдаемые частоты выпадения любых пяти граней, мы всегда можем точно определить, чему равняется число выпадений шестой грани.

    Все становится на свои места


    Теперь, вооружившись этими знаниями, вернемся к t-тесту:

    в знаменателе у нас находится стандартная ошибка, которая представляет собой выборочное стандартное отклонение, делённое на корень из объёма выборки. В расчет стандартного отклонения входит сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения — то есть сумма нескольких случайных положительных величин. А мы уже знаем, что сумма квадратов n случайных величин может быть описана при помощи распределения хи-квадрат. Однако, несмотря на то, что у нас n слагаемых, у данного распределения будет n-1 степень свободы, так как зная выборочное среднее и n-1 элементов выборки, мы всегда можем точно задать последний элемент (отсюда и берется это объяснение про среднее и n-1 элементов необходимых для однозначного определения n элемента)! Получается, в знаменателе t-статистики у нас спрятано распределение хи-квадрат c n-1 степенями свободы, которое используется для описания распределения выборочного стандартного отклонения! Таким образом, степени свободы в t-распределении на самом деле берутся из распределения хи-квадрат, которое спрятано в формуле t-статистики. Кстати, важно отметить, что все приведенные выше рассуждения справедливы, если исследуемый признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности (или размер выборки достаточно велик), и если бы у нас действительно стояла цель проверить гипотезу о среднем значении роста в популяции, возможно, было бы разумнее использовать непараметрический критерий.

    Схожая логика расчета числа степеней свободы сохраняется и при работе с другими тестами, например, в регрессионном или дисперсионном анализе, все дело в случайных величинах с распределением Хи-квадрат, которые присутствуют в формулах для расчета соответствующих критериев.

    Таким образом, чтобы правильно интерпретировать результаты статистических исследований и разбираться, откуда возникают все показатели, которые мы получаем при использовании даже такого простого критерия как одновыборочный t-тест, любому исследователю необходимо хорошо понимать, какие математические идеи лежат в основании статистических методов.

    Онлайн курсы по статистике: объясняем сложные темы простым языком


    Основываясь на опыте преподавания статистики в Институте биоинформатики , у нас возникла идея создать серию онлайн курсов, посвященных анализу данных, в которых в доступной для каждого форме будут объясняться наиболее важные темы, понимание которых необходимо для уверенного использования методов статистики при решении различного рода задача. В 2015 году мы запустили курс Основы статистики, на который к сегодняшнему дню записалось около 17 тысяч человек, три тысячи слушателей уже получили сертификат о его успешном завершении, а сам курс был награждён премией EdCrunch Awards и признан лучшим техническим курсом. В этом году на платформе stepik.org стартовало продолжение курса Основы статистики. Часть два, в котором мы продолжаем знакомство с основными методами статистики и разбираем наиболее сложные теоретические вопросы. Кстати, одной из главных тем курса является роль распределения Хи-квадрат Пирсона при проверке статистических гипотез. Так что если у вас все еще остались вопросы о том, зачем мы вычитаем единицу из общего числа наблюдений, ждем вас на курсе!

    Стоит также отметить, что теоретические знания в области статистики будут определенно полезны не только тем, кто применяет статистику в академических целях, но и для тех, кто использует анализ данных в прикладных областях. Базовые знания в области статистики просто необходимы для освоения более сложных методов и подходов, которые используются в области машинного обучения и Data Mining. Таким образом, успешное прохождение наших курсов по введению в статистику — хороший старт в области анализа данных. Ну а если вы всерьез задумались о приобретении навыков работы с данными, думаем, вас может заинтересовать наша онлайн — программа по анализу данных, о которой мы подробнее писали здесь. Упомянутые курсы по статистике являются частью этой программы и позволят вам плавно погрузиться в мир статистики и машинного обучения. Однако пройти эти курсы без дедлайнов могут все желающие и вне контекста программы по анализу данных.

    habr.com

    Степени свободы Стьюдента распределение — Справочник химика 21


        В основе статистических оценок нормально распределенных случайных величин по выборочным параметрам лежит распределение Стьюдента, связывающее три важнейших характеристики выборочной совокупности — ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки п (или число степеней свободы выборки / = [c.833]

        Распределение Стьюдента. Пусть 2 нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а V — независимая от Г случайная величина, которая распределена по закону «хи-квадрат» с К степенями свободы. Тогда величина [c.14]

        Таким образом, распределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы /, с которым была определена выборочная дисперсия (рис. 18). На рис. 18 приведены графики плотности t-распределения для /=1, f = 5 и нормальная кривая. Кривые рас-пре/.еления по своей форме напоминают нормальную кривую, но [c.41]

        Распределение величины I по = п—степеням свободы носит название распределения Стьюдента. Сравним его с распределением Лапласа. Если мера отклонения среднего результата измерений от математического ожидания в единицах генерального стандартного отклонения среднего о(л ), то коэффициент Стьюдента — аналогичная мера в единицах выборочного стандартного отклонения среднего результата и- = (Х — ц)/а (Г) = АХ- л/п/а-, 1- = (Х — ц)/5 (X) = АХ- / 3 . [c.833]

        Попытка подставить выборочное д в изложенное выше решение задачи приводит к уменьшению по сравнению с истинными доверительных интервалов. Это объясняется тем, что величина (х — МУб распределена уже не нормально, а по распределению Стьюдента с N—1 степенью свободы. Плотность распределения Стьюдента имеет вид  [c.175]

        Распределением Стьюдента (или распределением) с п степенями свободы называется распределение, которым обладает с. в. [c.292]

        Если число измерений мало п 20 для практических целей), то распределение Гаусса дает слишком оптимистичные оценки в этом случае применяют распределение Стьюдента. В этом распределении учитывается число степеней свободы V = га — 1. При V -> оо нормальное распределение и распределение Стьюдента совпадают. Кривая плотности распределения Стьюдента более размазана , чем кривая распределения Гаусса. [c.38]

        Можно доказать, что при исходных нормальных совокупностях величина 1-) имеет расиределение Стьюдента с / = /п—2 степенями свободы. При проверке гипотезы нормальности по большому числу малых выборок из каждой выборки случайным образом отбирается по одному значению. Здесь возможно некоторое упрощение — можно отобрать только первые измерения, только вторые и т. д. Такой отбор также можно рассматривать как случайный. Если число элементов в выборках велико, например т>10, то мой- ет быть сделано несколько самостоятельных проверок гипотезы, например, по первым и последним элементам каждой выборки. Затем, если т==4, для каждого отобранного значения по формуле (П. 131) вычисляется т, если тфА, по формуле (П. 134) т). После перехода к величинам т и т) для проверки гипотезы равномерного распределение т илп распределения Стьюдента т] (и, следовательно, нормальности исходного распределения) может быть применен любой из ра смотренных ранее критериев согласия. [c.68]

        Кроме того, необходимо отметить, что при числе степеней свободы V = N — уИнормальной кривой распределения [функция Лапласа Ф(i)], а по распределению Стьюдента [141] в зависимости от V и Р. [c.275]

        Здесь /р, I — квантиль распределения Стьюдента ири числе степеней свободы I = п — 1 и двухсторонней доверительной вероятности Р (значения 1р, / см. в табл. 2.3). [c.30]

        Чем меньше число

    www.chem21.info

    Распределение Стьюдента и малые выборки

    Если среднее рассчитывается по данным малой выборки, то отклонение имеет распределение Стьюдента, называемое также t-распределением. Распределение Стьюдента близко к нормальному распределению, но отличается от него: концентрация отклонений в центральной части распределения меньше.

    Если случайная величина X1 распределена по нормальному закону, а случайная величина X2 распределена по закону Хи-квадрат с v степенями свободы, тогда случайная величина, получаемая как

    ,

    имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с v степенями свободы.

    Преимущество распределения Стьюдента заключается в его независимости от параметров генеральной совокупности: оно зависит только от объёма выборки n. В случае малых выборок (с объёмом менее 30 наблюдений) для определения доверительного интервала среднего значения нельзя использовать критические значения стандартизированного нормального распределения, так как это приводит к грубым оценкам.

    Нередко проведение каждого наблюдения настолько сложно, трудоёмко и связано с высокой стоимостью, что невозможно многократное повторение эксперимента. Чтобы оценить среднее значение малой выборки, нужно учитывать, что дисперсия малой выборки рассчитывается по формуле несмещённой оценки дисперсии:

    .

    Функцию плотности распределения Стьюдента в рассчётах непосредственно не используют, обычно используют таблицы интегральных функций, которые есть в приложениях почти ко всем книгам по статистике, или же её значение выдаёт программа, в которой выполняются рассчёты, например, STATISTICA. В таблицах значения интегральной функции даны для тех же пределов интегрирования, что и у функции нормального распределения. Функция нормального распределения рассчитана для определённого значения аргумента z, а интегральная функция распределения Стьюдента — для аргумента t и числа степеней свободы v = n — 1. Если число степеней свободы стремится к бесконечности, то распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

    Числом степеней свободы в статистике называют число взаимно независимых элементов информации, используемых для вычисления стандартной ошибки. Число степеней свободы равно числу элементов выборки, из которого вычтено число условий, связывающих данные.

    Если объём выборки мал и стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, то доверительный интервал оценки среднего рассчитывается следующим образом:

    ,

    где — критическое значение распределения Стьюдента для уровня значимости α = 1 — P и числа степеней свободы v

    s — стандартное отклонение выборки.

    Распределение Стьюдента названо в честь Уильяма Госсета, который впервые использовал свойства этого распределения и публиковал свои работы под псевдонимом Стьюдент.

    Пример. Производитель кваса решил выяснить, каков доверительный интервал 95% незаполненного уровня в бутылках с квасом (в миллимитрах от пробки). Рассчитать этот доверительный интервал.

    Решение.

    Случайно выбраны 20 бутылок с квасом, по которым собраны значения незаполненного уровня. С помощью функций MS Excel рассчитаны сумма этих значений и сумма отклонений . Тогда среднее , а стандартное отклонение .

    Так как для проверки выбраны только 20 бутылок, то для определения доверительного интервала среднего следует использовать распределение Стьюдента:

    ,

    где 2,093 — критическое значение распределения Стьюдента для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 19 (найдено по статистической таблице, которые есть в приложениях почти во всех книгах по статистике).

    Таким образом, доверительный уровень 95% незаполненного уровня бутылок с квасом составил от 46,44 до 53,76 миллиметров.

    Всё по теме «Математическая статистика»

    function-x.ru

    Распределение Стьюдента, Распределение Пирсона, Распределение Фишера-Снедекора

    . Теоретические положения по оценке выборочных характеристик на основе малых выборок (п 30) впервые (1908) разработал английский математик-статистик. ВГоссет (что печатал свои работы под псевдонимом. Стьюди дент). Позже (1925). РФишер дал более строгое доказательство этого распределения, которое получило названиео назву и — распределения. Стьюдента

    . Отклонение выборочных средних от генеральной средней. Стьюдент выразил в единицах стандартного отклонения

    где в знаменателе используется среднее квадратическое отклонение выборки, тогда как в нормальном распределении — среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности (сто). РФишер выразил эти отклонения в од диницях. Стандартная ошибкаки

    __ 5_

    где ~ — средняя ошибка в малых выборках

    . Среднее квадратическое отклонение в малых выборках определяется с учетом числа степеней свободы вариации (п — 1):

    . Теоретический и-распределение. Стьюдента не зависит от параметров генеральной совокупности, он связан только с величинами, которые определяются непосредственно по данным выборки

    . В литературе по математической статистике доказывается, что дифференциальная функцияі — распределения. Стьюдента (плотность распределения вероятностей) имеет вид

    где. А — величина, определяемая с учетом числа степеней свободы вариации (к = п — 1) с помощью гамма-функции (Г — функции):

    где. Г (п) | х е сих -. Гамма-функция

    0

    . Как видно, величина. А зависит только от объема выборки и соответствует максимальной ординате кривой распределения при и = 0. Вероятность того, что ошибка выборки будет не больше заданной величины. Премьер = и. М. определяется интегральной функцией

    . Иначе говоря, п) =. Р (и табл и факг) где и табл и и факг — табличное (теоретическое) и фактическое значение нормированного отклонения

    и-распределение. Стьюдента справедлив только для выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным распределением случайной величины

    . На рис 62 сравнивается кривая и-распределения. Стьюдента с кривой нормального распределения

    . Рис 22. Сравнение и — распределения. Стьюдента и нормального распределения: 1 — нормальное распределение; второй-распределение. Стьюдента

    Кривая t — распределения. Стьюдента симметрична относительно оси ординат. В отличие от нормального распределения под концами кривой t — распределения. Стьюдента при тех же значениях t размещена значительно большая часть площади. Так ким образом, на долю больших отклонений от генеральной средней приходится значительная часть площади. Это означает, что для малых выборок вероятность допущения больших ошибок существенно повышаетсяься.

    При увеличении объема выборкиt — распределение. Стьюдента приближается к нормальному распределению (практически считается достаточным и 30), а при и ^ й он становится нормальным

    Для определения значений функции S (t, и) распределения. Стьюдента составлен ряд специальных таблиц, в которых приводятся расчетные значения S (t, и) при соответствующем числе степеней свободы вариации. По этим и аблиц можно найти вероятность ошибки выборки при заданном значении нормированного отклонения t или значение t при заданном уровне вероятности суждения. Р

    Приведем выдержку из таблицы вероятностей S (t, и) для значений nit, которые наиболее часто применяются (табл. 62)

    . Таблица 62. Извлечение из таблицы значений функции S (t n) распределения. Стьюдента (вероятности умноженные на 1000)

    и

    t

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    12

    15

    20

    00

    1

    608

    626

    636

    644

    650

    654

    656

    662

    666

    670

    683

    2

    860

    884

    902

    908

    914

    920

    924

    930

    936

    940

    954

    3

    942

    960

    970

    976

    980

    984

    984

    988

    992

    992

    997

    Как видно из данных таблицы, вероятность различия между выборочной средней малой выборки и генеральной средней зависит от двух величин: численности выборкип и нормированного отклонения и можно увидеть, что при увеличениип это распределение стремится к нормальному и при п = 20 уже мало от него отличается. При п ^ й в таблице приведены значения для функции нормального распределения

    . Другой аспект применения распределения. Стьюдента приведен в приложении 3, в котором данные значения и — критерия. Стьюдента при разном уровне значимости (а) и числе степеней свободы вариации (к)

    Распределение Пирсона

    . Для оценки различий между эмпирическими и теоретическими частотами разработан ряд критериев согласия, среди которых наиболее широкое применение получил критерий% г — хи-квадрат. На основе сопоставления фактического в и теоретического (табличного) значения% г — критерия можно выяснить принадлежность данного эмпирического распределения некотором известном теоретическом типа распределения (например, есть или ни исследуемый распределение нор мальным, биномиальным и др..).

    . Кривая, характеризующая распределение% г описывается уравнением

    гдек — число степеней свободы вариации

    . Учитывая, что для целых положительных чисел гамма-функция. Г (п) = п — 1, можно записать

    . Из уравнения плотности вероятности видно, что распределение х 2 зависит только от числа степеней свободы вариации (к = п — 1). Распределение% г не зависит от генеральной средней и генеральной дисперсии. При большой численности выборки (прип = 30 — 40) распределение% г практически становится нормальным

    . Для% г критерия составлены специальные таблицы, в которых приведены его значение при определенном числе степеней свободы вариации и заданном уровне вероятности (доп 6)

    . Изложение аспектов прикладного применения% г — критерия дается в разделе, посвященном вопросам проверки статистических гипотез (раздел 7)

    Распределение Фишера-Снедекора

    . При решении ряда задач корреляционно-регрессионного и дисперсионного анализа используется распределение. Е, названный так по первой букве фамилии английского математика-статистика. РФишера

    . Еслии иV — независимые случайные величины, распределенные по закону% г с степенями свободы к1 и к2 то величина

    подчиняется распределения. Е. Фишера-Снедекора с степенями свободы к1 и к2 . Принимая, что и V, величина. Е будет иметь значение не менее единицы. Плотность распределенияЕ имеет вид

    . Из формулы видно, что распределение. Е определяется двумя параметрами, то есть числами степеней свободы вариации к1 и к2. Это позволяет составить таблицы распределения случайной величины. Е, в которых различным значением уровня значимости и различным сообще нием величин к1 и к2 соответствуют определенные значения. Е-критерия (доп 4 и 55).

    . Использование. Е-критерия в статистическом анализе подробно рассмотрен в разделе 8″Дисперсионный анализ»

    uchebnikirus.com

    18. Основные распределения в статистике. Распределение хи-квадрат. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера.

    Распределение ²

    Пусть независимые случ.величины ξi где распределены по нормальному закону распределения, причемM[ξi]=0, а средн.квадратич. отклонение=1, тогда величина ξi распределена по закону ² с n степенями свободы.

    ξi распределено по норм.закону-это значит,что:

    -гамма функция

    m-положительна Г(m+1)=Г(m)

    m-целое Г(m)=(m-1)!

    Распределение ² опред.одним параметром — числом степеней свободы n

    f(x) — называется графиком Пирснона

    Они ассиметричны и начинаются с n>2, имею один максимум в значении x=n-2

    Характериситческая ф-ция

    Распределение Стьюдента:

    Пусть V не зависит от Z и V распределена по закону ², и есть n степеней свободы, тогда вводим величину

    , тогда величина T имеет распределение Стьюдента t с n-степенями свободы.

    Плотность распределения:

    Графики fT(x) наз.кривыми Стьюдента, симметрична при всех n = 1,2,… относительно оси ординат.

    С возрастанием числа степеней свободы распр-е Стьюдента быстро приближается к нормальному.

    Распределение Фишера:

    -независимые случ.величины, распределены по нормальному закону ² с n и m степенями свободы,

    тогда

    распределение Фишера с n и m степенями свободы.

    Плотность этого распределения:

    где

    Распределение Фишера определяется 2-мя параметрами – числами степеней свободы.

    19. Статистические оценки. Точечные оценки. Метод максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Интервальные оценки.

    Стат.оценкой неизвестного параметра теоретического распределения нзв ф-цию от наблюдаемых случайных величин.

    Несмещенной нзв стат.оценку, мат.ожид.к-рой равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки, т.е. M[*]=.

    Смещенной нзв оценку, мат.ожид.к-рой не равно оцениваемому параметру.

    Эффективной нзв оценку, к-рая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

    Состоятельной нзв оценку, к-рая при n∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n∞ стремится к 0, то такая оценка оказывается и состоятельной.

    Точечные оценки

    Точечной нзв оценку, к-рая опред-ся одним числом, например: генеральная средняя, выборочная средняя, групповая и общая средние, генеральная дисперсия, выборочная дисперсия и др.

    xi – значения выборки

    При выборке малого объема точечная оценка может знач.отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

    Несмещенной оценкой генеральной средней (мат ожидания) служит выборочная средняя

    ,где xi–варианта выборки, ni-частота

    варианты xi, —объем выборки.

    Замечание1.Если первоначальные варианты xi-большие числа,то для упрощения расчета из каждой варианты одно и то же число С,т.е. перейти к условным вариантам ui=xi-C, тогда .

    Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

    ,эта оценка является смещенной, т к

    Замечание2.Если первоначальные варианты xi-большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число C,равное выборочной средней или близкое к ней,т.е. перейти к условным вариантам ui=xi-C (дисперсия при этом не изменится).

    Тогда

    Замечание 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с k десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями,умножают первоначальные варианты на постоянное число C=10k,т.е. переходят к условным вариантам ui=Cxi. При этом дисперсия увеличится в C2 раз. Поэтому, найдя дисперсию условных вариант, надо разделить ее на C2:

    Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

    В условных вариантах она имеет вид

    Причем если ui=xi-C,то s2x=; еслиui=Cxi, то s2x=,то s2x=/C2.

    Примечание 4. При большом числе данных используют метод произведений или метод сумм.

    Метод максимального правдоподобия.

    Метод м.п. точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума ф-ции одного или нескольких оцениваемых параметров.

    А) Дискретные случ величины. Пусть Х-дискретная случ величина,кот в результате n опытов приняла возможные значения х1,х2..хn.Допустим,что вид закона распределения случ велич Х задан,но неизвестен параметр ,которым определяется этот закон;требуется найти его точечную оценку *=*( х1,х2..хn).

    Обозначим вероятность того,что в результате испытания величина Х примет значение хi через p(xn; ).

    Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х назыв ф-цию аргумента :

    L(х1,х2..хn; )=p(x1; )* p(x2; )… p(xn; ) .

    Оценкой наибольшего правдоподобия параметра  назыв такое его значение *,при кот ф-ция правдоподобия достигает максимума.Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении ,поэтому вместо отыскания максимума ф-ции L ищут,что удобнее,максимум ф-ции lnL.

    Логарифмической ф-цией правдоподобия назыв ф-цию lnL.Точку максимума ф-ции lnL аргумента  можно искать,например,так:

    1.найти производную

    2.приравнять производную 0 и найти критич точку *-корень получ ур-ия (ур-ия правдоподобия)

    3.найти вторую производную ,если вторая производная при=* отрицательна,то *-точка максимума. Найденную точку максимума * принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра .

    Б) Непрерывные случайные величины. Пусть Х-непрерывн случ велич,которая в результате n испытаний приняла значения х1,х2..хn. Допустим,что вид плотности распределения-ф-ции f(x) – задан,но неизвестен параметр θ,которым определяется эта ф-ция. Ф-ией правдоподобия непрерывной случ величины Х назыв ф-цию аргумента :

    L(х1,х2..хn; )=f(x1; )* f(x2; )… f(xn; ).

    Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случ величины ищут также,как в случае дискретной случ величины.

    Если плотность распределения f(x) непрерывной случ величины определяется двумя неизвестными параметрами 1и 2,то ф-ция правдоподобия есть ф-ция двух независ аргументов 1и 2:

    L= f(x1; 1, 2)* f(x2; 1, 2)… f(xn; 1, 2). Далее находят логарифмическую ф-цию правдоподобия и для отыскания ее максимума составл и решают систему

    Метод наименьших квадратов

    а0, а1,…,an

    (m+1) уравнений

    y=ax+b

    (x1, y1), (x2, y2)…

    Интервальные оценки

    Интервальной нзв оценку, к-рая определяется двумя числами – концами интервала. Инт.оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

    Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по * нзв вер-ть γ, с к-рой осуществл.нерав-во | — *|<δ. Заменив нерав-во | — *|<δ равносильным ему двойным нерав-вом -δ< — *<δ или *-δ<<δ+* имеем

    Доверительным нзв интервал (*-δ, *+δ), к-рый покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

    1.Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

    Где — точность оценки,n-объем выборки, t-значение аргумента ф-ции Лапласа Ф(t),при котором Ф(t)=γ/2; при неизвестном σ (и объеме выборки n<30)

    где s-«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, tγ находят по таблице по заданным n и γ.

    2. Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит довер. инт-л

    (при q<1)

    (при q>1)

    Где q находят по таблице по заданным n и γ

    3. Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вер-ти p биноминального распред-я по относ. частоте ω служит довер.инт-л (с приближ. концами p1 и p2)

    где

    Где n-общее число испытаний; m-число появлений событий; ω-относ.частота, равная отношению m/n;t-значение аргумента ф-ции Лапласа, при к-ром Ф(t)=γ/2(γ-заданная надежность).

    Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в кач-ве приближ.границ довер.инт-ла

    20. Статистическая проверка гипотез. Основные понятия. Статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го родов, уровень значимости и мощность критерия. Критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины.

    Статистическая проверка гипотез. Основные понятия. Уровень значимости и мощности критерия

    Статистической гипотезой наз всякое непротиворечивое множество утверждений относительно закона распределения случайной величины.

    Статистикой нзв произвольная функция Z = φ(Zn) выборки Zn, для значений к-рой известны условные плотности распределения f(z|H0) и f(z|H1) относительно проверяемой гипотезы H0 и конкурирующей с ней альтернативной гипотезы H1. Из опред следует, что Z есть СВ. Практическое применение мат. статистики состоит в проверке соответствия результатов экспериментов предполагаемой гипотезе. С этой целью строится процедура (правило) проверки гипотезы. Критерием согласия называется правило, в соответствии с которым по реализации статистики Z, вычисленной на основании апостериорной выборки zn, гипотеза H0 принимается или отвергается. Критической областью G называется область реализаций z статистики Z, при которых гипотеза H0 отвергается. Доверительной областью G называется область значений z статистики Z, при которых гипотеза H0 принимается. Уровнем значимости α критерия согласия называется вероятность события, стоящего в том, что гипотеза H0 отвергается, когда она верна, т.е.

    α =P{ZG|H0}

    где вероятность P соответствует условной плотности распределения f(z|H0). Мощностью γ критерия согласия называется вероятность события, состоящего в том, что гипотеза H0 отвергается, когда она неверна, т.е.

    γ=P{ZG|H1}

    где вероятность P соответствует условной плотности f(z|H1). Критической точкой zβ называется точка на оси Oz, являющаяся квантилем уровня

    β=1 – α

    распределения F(z|H0), соответствующего плотности распределения f(z|H0). На рис. показана графическая интерпретация введенных понятий, где β + α = 1, δ + γ = 1.

    Статистический критерий, ошибки 1-го и 2-го родов

    Ошибка 1-го рода состоит в отклонении гипотезы, если она верна (пропуск цели).

    Вероятность совершения ошибки 1-го рода обозначается α и наз. Уровнем значимости.

    Ошибка 2-го рода – гипотеза принимается, если она неверна – β (ложное срабатывание).

    Вероятность не совершить ошибку 2-го рода (1-β) наз. ложностью критерия.

    Критерием (статистическим критерием) наз. случайная величина , которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу.

    Проверка гипотез о законе распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона.

    Пусть имеется апостериорная выборка zn и требуется проверить гипотезу H0, состоящую в том, что непрерывная СВ X имеет определенный закон распределения f(x) (например, нормальный, равномерный и т.д.). Истинный закон распределения f(x) неизвестен. Для проверки такой гипотезы обычно используют критерий согласия хи-квадрат χ² (критерий Пирсона).

    Критерием согласия называется критерий, использованный для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения.

    Проверка состоит в следующем:

    1)Строится интервал — статистический ряд и гистограмма

    2) По виду гистограммы

    3) На основе выборки находим точечные оценки

    4) Интервал возможных значений разбиваем на m непересекаемых интервалов. В каждом из них фиксируем число показаний

    5) Вычисляем вероятность показаний ξ в каждом интервале

    6) Строим критерий χ²

    Аналитическое выражение плотности ²- сложное, поэтому задаем уровень значимости α; k; находим

    Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения.

    Пусть известно, что СВ X имеет нормальное распределение. Требуется проверить гипотезу H0, состоящую в том, что mX = m (m — некоторое фиксированное число), используя апостериорную выборку zn. Возможны два случая: дисперсия (σX)2 известна или неизвестна.

    1) Дисперсия известна

    2) Дисперсия неизвестна

    В качестве оценки вводим выборочную дисперсию

    В качестве статистики:

    Гипотезы о значении дисперсии

    studfiles.net

    Распределение Стьюдента

    Распределение Стьюдента (t- распределение) имеет важное значение при статических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда среднеквадратичное отклонение не известно и еще подлежит определению по опытным данным.

    Пусть X и X1, X2, …Xn – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами:

    M[X] = M[X1] = M [X2] = … = M[Xn] = 0

    И

    Случайная величина:

    являющаяся функцией нормально распределенных случайных величин, называется безразмерной дробью Стьюдента. Распределения случайной величины T не зависит от параметров распределения независимых случайных величин X и X1, X2, …Xn, а зависит только от одного параметра – числа степеней свободы r.

    Математическое ожидание и дисперсия случайной величины T соответственно равны:

    M[T] = 0 D[T] = r > 2

    При неограниченном увеличении числа степеней свободы распределения Стьюдента асимптотически переходит в нормальное распределение Гаусса с параметрами

    M[T] = 0 и D[T] = 1.

    В математической статистике часто используется квантили распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы r и заданного уровня вероятности.

    С геометрической точки зрения нахождение квантилей распределения Стьюдента , заключается в таком выборе значения, при котором суммарная площадь под кривой плотностина участкахибыла бы равно.

    2.2 Расчеты

    Дана выборка:

    41,77

    41,81

    41,64

    41,54

    41,91

    41,67

    41,55

    41,84

    41,61

    41,80

    42

    62

    86

    65

    70

    85

    60

    69

    95

    62

    71

    50

    76

    73

    66

    43

    68

    52

    70

    46

    58

    89

    56

    32

    53

    99

    83

    35

    61

    37

    95

    57

    87

    75

    82

    50

    41

    78

    42

    98

    64

    80

    65

    58

    72

    80

    60

    72

    70

    62

    70

    92

    53

    60

    74

    69

    61

    55

    38

    51

    82

    44

    97

    78

    80

    34

    70

    49

    60

    63

    75

    63

    70

    48

    52

    73

    69

    71

    78

    47

    58

    74

    55

    65

    78

    54

    51

    68

    56

    64

    Количество интервалов Nint=6

    Минимальное и максимальное значение выборки:

    Ширина подынтервала:

    Граничные точки подынтервалов

    Чтобы найти полигон частот отсортируем выборку с помощью функции sort() и запустим цикл для данной выборки.

    Проверим данные частоты с помощью функции hist()

    Значения верны. Построим гистограмму:

    Найдем оценки для математического ожидания и дисперсии:

    Для этого найдем середины отрезков данных интервалов

    Доверительный интервал для мат.ожидания:

    Надёжность равна 0.95

    Квантили распределения Стьюдента найденные по таблице:

    Левая и правая границы доверительного интервала:

    Доверительный интервал для дисперсии при той же надежности:

    Квантили распределения Пирсона найденные по таблице:

    Левая и правая границы доверительного интервала:

    Для того чтобы проверить гипотезу о том, что наша выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, найдем теоретические частоты.

    Функция распределения Лапласа

    Найденные частоты:

    Проверим данную гипотезу с помощью критерия Х2 Пирсона:

    По таблице найдем критическую точку для данной выборки при уровне значимости равным 0.05 и степенями свободы равным k:

    Где S –количество интервалов, т.е равно 6 и r– количество параметров, для нормального распределения их 2.

    Значит, гипотезу о нормальном распределении выборки отвергаем.

    2.3. Выводы

    В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан теоретический обзор по точечному и интервальному оцениванию. В работе выполнены расчеты, связанные с нахождение доверительных интервалов для математического ожидания, дисперсии и вероятности. Для заданной генеральной совокупности построены гистограмма и полигон, найдены оценки математического ожидания и дисперсии, а также доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. С помощью критерия согласия Пирсона проверена гипотеза о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности. В результате анализа, гипотеза не подтвердилась, т.к. получилось, что. Отсюда следует вывод, что гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности должна быть отвергнута.

    studfiles.net

    Y sin 1 2x график – Mathway | Популярные задачи

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
    2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
    3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
    4 Найти производную — d/dx e^x
    5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
    6 Найти производную — d/dx 1/x
    7 Найти производную — d/dx x^2
    8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
    9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
    10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
    11 Найти производную — d/dx sec(x)
    12 Вычислить интеграл e^x относительно x
    13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
    14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
    15 Вычислить натуральный логарифм 1
    16 Вычислить e^0
    17 Вычислить sin(0)
    18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
    19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
    20 Вычислить cos(0)
    21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
    22 Найти производную — d/dx x^3
    23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
    24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
    25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
    26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
    27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
    28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
    29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
    30 Найти производную — d/dx sin(2x)
    31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
    32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
    33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
    34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
    35 Найти производную — d/dx 2^x
    36 График натуральный логарифм a
    37 Вычислить e^1
    38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
    39 Вычислить натуральный логарифм 0
    40 Найти производную — d/dx cos(2x)
    41 Найти производную — d/dx xe^x
    42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
    43 Вычислить интеграл 2x относительно x
    44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
    45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
    46 Найти производную — d/dx 3x^2
    47 Вычислить натуральный логарифм 2
    48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
    49 Найти производную — d/dx 2e^x
    50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
    51 Найти производную — d/dx -sin(x)
    52 Вычислить tan(0)
    53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
    54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
    55 Найти производную — d/dx 2x^2
    56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
    57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
    58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
    59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
    60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
    61 Вычислить sec(0)
    62 Вычислить e^infinity
    63 Вычислить 2^4
    64 Найти производную — d/dx x/2
    65 Вычислить 4^3
    66 Найти производную — d/dx -cos(x)
    67 Найти производную — d/dx sin(3x)
    68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
    69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
    70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
    72 Вычислить интеграл e^x относительно x
    73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
    74 Вычислить интеграл 1 относительно x
    75 Найти производную — d/dx x^x
    76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
    77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
    78 Найти производную — d/dx x^4
    79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
    80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
    81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
    82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
    83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
    84 Найти производную — d/dx 3e^x
    85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
    86 Найти производную — d/dx y=x^2
    87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
    88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
    89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
    90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
    91 Вычислить 2^5
    92 Найти производную — d/dx e^2
    93 Найти производную — d/dx x^2+1
    94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
    95 Вычислить 2^3
    96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
    97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
    98 Вычислить e^2
    99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
    100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

    www.mathway.com

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(60)
    4 Найти точное значение sin(30 град. )
    5 Найти точное значение sin(60 град. )
    6 Найти точное значение tan(30 град. )
    7 Найти точное значение arcsin(-1)
    8 Найти точное значение sin(pi/6)
    9 Найти точное значение cos(pi/4)
    10 Найти точное значение sin(45 град. )
    11 Найти точное значение sin(pi/3)
    12 Найти точное значение arctan(-1)
    13 Найти точное значение cos(45 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение tan(60)
    16 Найти точное значение csc(45 град. )
    17 Найти точное значение tan(60 град. )
    18 Найти точное значение sec(30 град. )
    19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    20 График y=sin(x)
    21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    22 Найти точное значение cos(60 град. )
    23 Найти точное значение cos(150)
    24 Найти точное значение tan(45)
    25 Найти точное значение sin(30)
    26 Найти точное значение sin(60)
    27 Найти точное значение cos(pi/2)
    28 Найти точное значение tan(45 град. )
    29 График y=sin(x)
    30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    31 Найти точное значение csc(60 град. )
    32 Найти точное значение sec(45 град. )
    33 Найти точное значение csc(30 град. )
    34 Найти точное значение sin(0)
    35 Найти точное значение sin(120)
    36 Найти точное значение cos(90)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 Найти точное значение sin(45)
    39 Найти точное значение tan(30)
    40 Преобразовать из градусов в радианы 45
    41 Найти точное значение tan(60)
    42 Упростить квадратный корень x^2
    43 Найти точное значение cos(45)
    44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    46 Найти точное значение cot(30 град. )
    47 Найти точное значение arccos(-1)
    48 Найти точное значение arctan(0)
    49 График y=cos(x)
    50 Найти точное значение cot(60 град. )
    51 Преобразовать из градусов в радианы 30
    52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
    53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    57 Найти точное значение tan(pi/2)
    58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
    59 Найти точное значение sin(300)
    60 Найти точное значение cos(30)
    61 Найти точное значение cos(60)
    62 Найти точное значение cos(0)
    63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    64 Найти точное значение cos(135)
    65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    66 Найти точное значение cos(210)
    67 Найти точное значение sec(60 град. )
    68 Найти точное значение sin(300 град. )
    69 Преобразовать из градусов в радианы 135
    70 Преобразовать из градусов в радианы 150
    71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    74 Преобразовать из градусов в радианы 60
    75 Найти точное значение sin(135 град. )
    76 Найти точное значение sin(150)
    77 Найти точное значение sin(240 град. )
    78 Найти точное значение cot(45 град. )
    79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
    81 Найти точное значение sin(225)
    82 Найти точное значение sin(240)
    83 Найти точное значение cos(150 град. )
    84 Найти точное значение tan(45)
    85 Вычислить sin(30 град. )
    86 Найти точное значение sec(0)
    87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    89 Найти точное значение csc(30)
    90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    92 Найти точное значение tan(0)
    93 Вычислить sin(60 град. )
    94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    96 Вычислить arcsin(-1)
    97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    100 Найти точное значение csc(45)

    www.mathway.com

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(60)
    4 Найти точное значение sin(30 град. )
    5 Найти точное значение sin(60 град. )
    6 Найти точное значение tan(30 град. )
    7 Найти точное значение arcsin(-1)
    8 Найти точное значение sin(pi/6)
    9 Найти точное значение cos(pi/4)
    10 Найти точное значение sin(45 град. )
    11 Найти точное значение sin(pi/3)
    12 Найти точное значение arctan(-1)
    13 Найти точное значение cos(45 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение tan(60)
    16 Найти точное значение csc(45 град. )
    17 Найти точное значение tan(60 град. )
    18 Найти точное значение sec(30 град. )
    19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    20 График y=sin(x)
    21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    22 Найти точное значение cos(60 град. )
    23 Найти точное значение cos(150)
    24 Найти точное значение tan(45)
    25 Найти точное значение sin(30)
    26 Найти точное значение sin(60)
    27 Найти точное значение cos(pi/2)
    28 Найти точное значение tan(45 град. )
    29 График y=sin(x)
    30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    31 Найти точное значение csc(60 град. )
    32 Найти точное значение sec(45 град. )
    33 Найти точное значение csc(30 град. )
    34 Найти точное значение sin(0)
    35 Найти точное значение sin(120)
    36 Найти точное значение cos(90)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 Найти точное значение sin(45)
    39 Найти точное значение tan(30)
    40 Преобразовать из градусов в радианы 45
    41 Найти точное значение tan(60)
    42 Упростить квадратный корень x^2
    43 Найти точное значение cos(45)
    44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    46 Найти точное значение cot(30 град. )
    47 Найти точное значение arccos(-1)
    48 Найти точное значение arctan(0)
    49 График y=cos(x)
    50 Найти точное значение cot(60 град. )
    51 Преобразовать из градусов в радианы 30
    52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
    53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    57 Найти точное значение tan(pi/2)
    58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
    59 Найти точное значение sin(300)
    60 Найти точное значение cos(30)
    61 Найти точное значение cos(60)
    62 Найти точное значение cos(0)
    63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    64 Найти точное значение cos(135)
    65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    66 Найти точное значение cos(210)
    67 Найти точное значение sec(60 град. )
    68 Найти точное значение sin(300 град. )
    69 Преобразовать из градусов в радианы 135
    70 Преобразовать из градусов в радианы 150
    71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    74 Преобразовать из градусов в радианы 60
    75 Найти точное значение sin(135 град. )
    76 Найти точное значение sin(150)
    77 Найти точное значение sin(240 град. )
    78 Найти точное значение cot(45 град. )
    79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
    81 Найти точное значение sin(225)
    82 Найти точное значение sin(240)
    83 Найти точное значение cos(150 град. )
    84 Найти точное значение tan(45)
    85 Вычислить sin(30 град. )
    86 Найти точное значение sec(0)
    87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    89 Найти точное значение csc(30)
    90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    92 Найти точное значение tan(0)
    93 Вычислить sin(60 град. )
    94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    96 Вычислить arcsin(-1)
    97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    100 Найти точное значение csc(45)

    www.mathway.com

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(60)
    4 Найти точное значение sin(30 град. )
    5 Найти точное значение sin(60 град. )
    6 Найти точное значение tan(30 град. )
    7 Найти точное значение arcsin(-1)
    8 Найти точное значение sin(pi/6)
    9 Найти точное значение cos(pi/4)
    10 Найти точное значение sin(45 град. )
    11 Найти точное значение sin(pi/3)
    12 Найти точное значение arctan(-1)
    13 Найти точное значение cos(45 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение tan(60)
    16 Найти точное значение csc(45 град. )
    17 Найти точное значение tan(60 град. )
    18 Найти точное значение sec(30 град. )
    19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    20 График y=sin(x)
    21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    22 Найти точное значение cos(60 град. )
    23 Найти точное значение cos(150)
    24 Найти точное значение tan(45)
    25 Найти точное значение sin(30)
    26 Найти точное значение sin(60)
    27 Найти точное значение cos(pi/2)
    28 Найти точное значение tan(45 град. )
    29 График y=sin(x)
    30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    31 Найти точное значение csc(60 град. )
    32 Найти точное значение sec(45 град. )
    33 Найти точное значение csc(30 град. )
    34 Найти точное значение sin(0)
    35 Найти точное значение sin(120)
    36 Найти точное значение cos(90)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 Найти точное значение sin(45)
    39 Найти точное значение tan(30)
    40 Преобразовать из градусов в радианы 45
    41 Найти точное значение tan(60)
    42 Упростить квадратный корень x^2
    43 Найти точное значение cos(45)
    44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    46 Найти точное значение cot(30 град. )
    47 Найти точное значение arccos(-1)
    48 Найти точное значение arctan(0)
    49 График y=cos(x)
    50 Найти точное значение cot(60 град. )
    51 Преобразовать из градусов в радианы 30
    52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
    53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    57 Найти точное значение tan(pi/2)
    58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
    59 Найти точное значение sin(300)
    60 Найти точное значение cos(30)
    61 Найти точное значение cos(60)
    62 Найти точное значение cos(0)
    63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    64 Найти точное значение cos(135)
    65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    66 Найти точное значение cos(210)
    67 Найти точное значение sec(60 град. )
    68 Найти точное значение sin(300 град. )
    69 Преобразовать из градусов в радианы 135
    70 Преобразовать из градусов в радианы 150
    71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    74 Преобразовать из градусов в радианы 60
    75 Найти точное значение sin(135 град. )
    76 Найти точное значение sin(150)
    77 Найти точное значение sin(240 град. )
    78 Найти точное значение cot(45 град. )
    79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
    81 Найти точное значение sin(225)
    82 Найти точное значение sin(240)
    83 Найти точное значение cos(150 град. )
    84 Найти точное значение tan(45)
    85 Вычислить sin(30 град. )
    86 Найти точное значение sec(0)
    87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    89 Найти точное значение csc(30)
    90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    92 Найти точное значение tan(0)
    93 Вычислить sin(60 град. )
    94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    96 Вычислить arcsin(-1)
    97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    100 Найти точное значение csc(45)

    www.mathway.com

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение cos((5pi)/12)
    3 Найти точное значение arctan(-1)
    4 Найти точное значение sin(75)
    5 Найти точное значение arcsin(-1)
    6 Найти точное значение sin(60 град. )
    7 Найти точное значение sin(pi/3)
    8 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    9 Найти точное значение cos(pi/3)
    10 Найти точное значение sin(0)
    11 Найти точное значение cos(pi/12)
    12 Найти точное значение sin(30 град. )
    13 Найти точное значение cos(60 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение sin((2pi)/3)
    16 Найти точное значение arcsin(1)
    17 Найти точное значение sin(pi/2)
    18 График f(x)=x^2
    19 Найти точное значение sin(45 град. )
    20 Найти точное значение sin(15)
    21 Упростить квадратный корень x^2
    22 Найти точное значение arccos(-1)
    23 Найти точное значение tan(60 град. )
    24 Найти точное значение cos(45 град. )
    25 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
    26 Упростить квадратный корень x^3
    27 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    28 Найти точное значение cos(45)
    29 Найти точное значение tan(30 град. )
    30 Найти точное значение tan(30)
    31 Найти точное значение arcsin(1)
    32 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    33 Найти точное значение sin(45)
    34 Найти точное значение cos(0)
    35 Найти точное значение tan(45 град. )
    36 Найти точное значение arctan(0)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 График y=x^2
    39 Вычислить натуральный логарифм 1
    40 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
    41 Найти точное значение cos(15)
    42 Вычислить логарифм по основанию 5 от 125
    43 Упростить кубический корень из квадратного корня 64x^6
    44 Вычислить логарифм по основанию 3 от 81
    45 Вычислить логарифм по основанию 2 от 8
    46 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    47 Найти точное значение cos(75)
    48 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    49 Упростить (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h
    50 Упростить кубический корень x^3
    51 Найти точное значение sin((5pi)/12)
    52 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    53 Найти точное значение sin(30)
    54 Найти точное значение sin(105)
    55 Найти точное значение tan((3pi)/4)
    56 Упростить квадратный корень s квадратный корень s^7
    57 Упростить корень четвертой степени x^4y^2z^2
    58 Найти точное значение sin(60)
    59 Найти точное значение arccos(-( квадратный корень 2)/2)
    60 Найти точное значение tan(0)
    61 Найти точное значение sin((3pi)/2)
    62 Вычислить логарифм по основанию 4 от 64
    63 Упростить корень шестой степени 64a^6b^7
    64 Вычислить квадратный корень 2
    65 Найти точное значение arccos(1)
    66 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
    67 График f(x)=2^x
    68 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    69 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    70 Вычислить логарифм по основанию 5 от 25
    71 Найти точное значение tan(pi/2)
    72 Найти точное значение cos((7pi)/12)
    73 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    74 Найти точное значение sin((5pi)/6)
    75 Преобразовать из градусов в радианы 150
    76 Найти точное значение tan(pi/2)
    77 Множитель x^3-8
    78 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
    79 Упростить корень пятой степени 1/(x^3)
    80 Найти точное значение sin(135)
    81 Преобразовать из градусов в радианы 30
    82 Преобразовать из градусов в радианы 60
    83 Найти точное значение sin(120)
    84 Найти точное значение tan((2pi)/3)
    85 Вычислить -2^2
    86 Найти точное значение tan(15)
    87 Найти точное значение tan((7pi)/6)
    88 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 3)/2)
    89 Найти точное значение sin(pi/2)
    90 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    91 Упростить кубический корень 8x^7y^9z^3
    92 Упростить arccos(( квадратный корень 3)/2)
    93 Упростить i^2
    94 Вычислить кубический корень 24 кубический корень 18
    95 Упростить квадратный корень 4x^2
    96 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    97 Найти точное значение tan((7pi)/6)
    98 Найти точное значение tan((3pi)/4)
    99 Найти точное значение arccos(-1/2)
    100 Упростить корень четвертой степени x^4

    www.mathway.com

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(60)
    4 Найти точное значение sin(30 град. )
    5 Найти точное значение sin(60 град. )
    6 Найти точное значение tan(30 град. )
    7 Найти точное значение arcsin(-1)
    8 Найти точное значение sin(pi/6)
    9 Найти точное значение cos(pi/4)
    10 Найти точное значение sin(45 град. )
    11 Найти точное значение sin(pi/3)
    12 Найти точное значение arctan(-1)
    13 Найти точное значение cos(45 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение tan(60)
    16 Найти точное значение csc(45 град. )
    17 Найти точное значение tan(60 град. )
    18 Найти точное значение sec(30 град. )
    19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    20 График y=sin(x)
    21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    22 Найти точное значение cos(60 град. )
    23 Найти точное значение cos(150)
    24 Найти точное значение tan(45)
    25 Найти точное значение sin(30)
    26 Найти точное значение sin(60)
    27 Найти точное значение cos(pi/2)
    28 Найти точное значение tan(45 град. )
    29 График y=sin(x)
    30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    31 Найти точное значение csc(60 град. )
    32 Найти точное значение sec(45 град. )
    33 Найти точное значение csc(30 град. )
    34 Найти точное значение sin(0)
    35 Найти точное значение sin(120)
    36 Найти точное значение cos(90)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 Найти точное значение sin(45)
    39 Найти точное значение tan(30)
    40 Преобразовать из градусов в радианы 45
    41 Найти точное значение tan(60)
    42 Упростить квадратный корень x^2
    43 Найти точное значение cos(45)
    44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    46 Найти точное значение cot(30 град. )
    47 Найти точное значение arccos(-1)
    48 Найти точное значение arctan(0)
    49 График y=cos(x)
    50 Найти точное значение cot(60 град. )
    51 Преобразовать из градусов в радианы 30
    52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
    53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    57 Найти точное значение tan(pi/2)
    58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
    59 Найти точное значение sin(300)
    60 Найти точное значение cos(30)
    61 Найти точное значение cos(60)
    62 Найти точное значение cos(0)
    63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    64 Найти точное значение cos(135)
    65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    66 Найти точное значение cos(210)
    67 Найти точное значение sec(60 град. )
    68 Найти точное значение sin(300 град. )
    69 Преобразовать из градусов в радианы 135
    70 Преобразовать из градусов в радианы 150
    71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    74 Преобразовать из градусов в радианы 60
    75 Найти точное значение sin(135 град. )
    76 Найти точное значение sin(150)
    77 Найти точное значение sin(240 град. )
    78 Найти точное значение cot(45 град. )
    79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
    81 Найти точное значение sin(225)
    82 Найти точное значение sin(240)
    83 Найти точное значение cos(150 град. )
    84 Найти точное значение tan(45)
    85 Вычислить sin(30 град. )
    86 Найти точное значение sec(0)
    87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    89 Найти точное значение csc(30)
    90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    92 Найти точное значение tan(0)
    93 Вычислить sin(60 град. )
    94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    96 Вычислить arcsin(-1)
    97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    100 Найти точное значение csc(45)

    www.mathway.com

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(60)
    4 Найти точное значение sin(30 град. )
    5 Найти точное значение sin(60 град. )
    6 Найти точное значение tan(30 град. )
    7 Найти точное значение arcsin(-1)
    8 Найти точное значение sin(pi/6)
    9 Найти точное значение cos(pi/4)
    10 Найти точное значение sin(45 град. )
    11 Найти точное значение sin(pi/3)
    12 Найти точное значение arctan(-1)
    13 Найти точное значение cos(45 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение tan(60)
    16 Найти точное значение csc(45 град. )
    17 Найти точное значение tan(60 град. )
    18 Найти точное значение sec(30 град. )
    19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    20 График y=sin(x)
    21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    22 Найти точное значение cos(60 град. )
    23 Найти точное значение cos(150)
    24 Найти точное значение tan(45)
    25 Найти точное значение sin(30)
    26 Найти точное значение sin(60)
    27 Найти точное значение cos(pi/2)
    28 Найти точное значение tan(45 град. )
    29 График y=sin(x)
    30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    31 Найти точное значение csc(60 град. )
    32 Найти точное значение sec(45 град. )
    33 Найти точное значение csc(30 град. )
    34 Найти точное значение sin(0)
    35 Найти точное значение sin(120)
    36 Найти точное значение cos(90)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 Найти точное значение sin(45)
    39 Найти точное значение tan(30)
    40 Преобразовать из градусов в радианы 45
    41 Найти точное значение tan(60)
    42 Упростить квадратный корень x^2
    43 Найти точное значение cos(45)
    44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    46 Найти точное значение cot(30 град. )
    47 Найти точное значение arccos(-1)
    48 Найти точное значение arctan(0)
    49 График y=cos(x)
    50 Найти точное значение cot(60 град. )
    51 Преобразовать из градусов в радианы 30
    52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
    53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    57 Найти точное значение tan(pi/2)
    58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
    59 Найти точное значение sin(300)
    60 Найти точное значение cos(30)
    61 Найти точное значение cos(60)
    62 Найти точное значение cos(0)
    63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    64 Найти точное значение cos(135)
    65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    66 Найти точное значение cos(210)
    67 Найти точное значение sec(60 град. )
    68 Найти точное значение sin(300 град. )
    69 Преобразовать из градусов в радианы 135
    70 Преобразовать из градусов в радианы 150
    71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    74 Преобразовать из градусов в радианы 60
    75 Найти точное значение sin(135 град. )
    76 Найти точное значение sin(150)
    77 Найти точное значение sin(240 град. )
    78 Найти точное значение cot(45 град. )
    79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
    81 Найти точное значение sin(225)
    82 Найти точное значение sin(240)
    83 Найти точное значение cos(150 град. )
    84 Найти точное значение tan(45)
    85 Вычислить sin(30 град. )
    86 Найти точное значение sec(0)
    87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    89 Найти точное значение csc(30)
    90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    92 Найти точное значение tan(0)
    93 Вычислить sin(60 град. )
    94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    96 Вычислить arcsin(-1)
    97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    100 Найти точное значение csc(45)

    www.mathway.com

    Формула сумма 4 степени – Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

          Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

    Степень суммы

          Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

    (x + y)2 = (x + y)(x + y) ,
    (x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,
    (x + y)4 = (x + y)3(x + y)

    и т.д.

          Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

          Таблица 1. – Степень суммы

    Название формулыФормула
    Квадрат (вторая степень)
    суммы    		(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
    Куб (третья степень) суммы(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
    Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
    Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
    Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
    ……

    Квадрат (вторая степень) суммы

    (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

    Куб (третья степень) суммы

    (x + y)3 =
    = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

    Четвертая степень суммы

    (x + y)4 = x4 + 4x3y +
    + 6x2y2 + 4xy3 + y4

    Пятая степень суммы

    (x + y)5 = x5 + 5x4y +
    + 10x3y2 +
    + 10x2y3 +
    + 5xy4 + y5

    Шестая степень суммы

    (x + y)6 = x6 + 6x5y +
    + 15x4y2 +
    + 20x3y3 +
    + 15x2y4 + 6xy5 + y6

    …

          Общая формула для вычисления суммы

    (x + y)n

    с произвольным натуральным значением   n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

    Степень разности

          Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

          Таблица 2. – Степень разности

    Название формулыФормула
    Квадрат (вторая степень)
    разности    		(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
    Куб (третья степень) разности(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
    Четвертая степень разности(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
    Пятая степень разности(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
    Шестая степень разности(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
    ……

    Квадрат (вторая степень) разности

    (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

    Куб (третья степень) разности

    (x – y)3 =
    = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

    Четвертая степень разности

    (x – y)4 = x4 – 4x3y +
    + 6x2y2 – 4xy3 + y4

    Пятая степень разности

    (x – y)5 = x5 – 5x4y +
    + 10x3y2 –
    – 10x2y3 +
    + 5xy4– y5

    Шестая степень разности

    (x – y)6 = x6 – 6x5y +
    + 15x4y2 –
    – 20x3y3 +
    + 15x2y4 – 6xy5 + y6

    …

    Квадрат многочлена

          Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

          Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

    Куб трехчлена

          Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

    (x + y + z)3 =
    = x3 + y3 + z3 + 3x2y +
    + 3x2z + 3xy2 +
    + 3xz2 +
    + 3y2z + 3yz2 + 6xyz .

         Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

          На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

          Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

          У нас также для школьников организованы

        Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

    Запись по телефону (495) 509-28-10

    МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

    www.resolventa.ru

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

          Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

    Сумма нечетных степеней

          Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.

          Таблица 3. – Сумма нечетных степеней

    Название формулыФормула
    Сумма кубовx3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
    Сумма пятых
    степеней    		x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)
    Сумма седьмых
    степеней    		x7 + y7 = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6)
    ……
    Сумма степеней
    порядка  2n + 1      		x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n – x2n – 1y + x2n – 2 y2 – …– xy2n – 1 + y2n)

    Сумма кубов

    x3 + y3 =
    = (x + y) (x2 – xy + y2)

    Сумма пятых степеней

    x5 + y5 =
    = (x + y) (x4 – x3y +
    + x2y2 – xy3 + y4)

    Сумма седьмых степеней

    x7 + y7 =
    = (x + y) (x6 – x5y +
    + x4y2 – x3y3 +
    + x2y4 – xy5 + y6)

    …

    Сумма степеней порядка  2n + 1  

    x2n + 1 + y2n + 1 =
    = (x + y) (x2n –
    – x2n – 1y +
    + x2n – 2 y2 –
    – …– xy2n – 1 + y2n)

    Разность нечетных степеней

          Если в формулах из Таблицы 3 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):

          Таблица 4. – Разность нечетных степеней

    Название формулыФормула
    Разность кубовx3– y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
    Разность пятых
    степеней    		x5– y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)

    Разность седьмых
    степеней

    		x7– y7 = (x – y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)
    ……
    Разность степеней
    порядка  2n + 1    		x2n + 1– y2n + 1 = (x – y) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + …+ xy2n – 1 + y2n)

    Разность кубов

    x3– y3 =
    = (x – y) (x2 + xy + y2)

    Разность пятых степеней

    x5– y5 =
    = (x – y) (x4 + x3y +
    + x2y2 + xy3 + y4)

    Разность седьмых
    степеней

    x7– y7 =
    = (x – y) (x6 + x5y +
    + x4y2 + x3y3 +
    + x2y4 + xy5 + y6)

    …

    Разность степеней порядка  2n + 1

    x2n + 1– y2n + 1 =
    = (x – y) (x2n +
    + x2n – 1y +
    + x2n – 2 y2 +
    + …+ xy2n – 1 + y2n)

    Разность четных степеней

          Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.

          Таблица 5. – Разность четных степеней

    Название формулыФормула
    Разность квадратовx2– y2 = (x + y) (x – y)
    Разность четвертых
    степеней
    x4– y4 =
    = (x + y) (x3 – x2y + xy2 –y3) =
    = (x + y) (x – y) (x2 + y2)
    Разность шестых
    степеней
    x6– y6 =
    = (x + y) (x5 – x4y + x3y2 – x2y3 + xy4 –y5) =
    = (x + y) (x – y) (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2)
    Разность восьмых
    степеней
    x8– y8 =
    = (x + y) (x7 – x6y + x5y2 – x4y3 + x3y4 – x2y5 + xy6 –y7) =
    = (x + y) (x – y) (x2 + y2) (x4 + y4)
    ……
    Разность степеней
    порядка  2n    		x2n– y2n = (x + y) (x2n – 1 – x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – …+ xy2n – 2 – y2n – 1) ,
    x2n– y2n = (x – y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + …+ xy2n – 2 + y2n – 1)

    Разность квадратов

    x2– y2 = (x + y) (x – y)

    Разность четвертых степеней

    x4– y4 =
    = (x + y) (x3 – x2y +
    + xy2 –y3) =
    = (x + y) (x – y) (x2 +
    + y2)

    Разность шестых степеней

    x6– y6 =
    = (x + y) (x5 – x4y +
    + x3y2 –
    – x2y3 +
    + xy4 –y5) =
    = (x + y) (x – y) (x2 –
    – xy     + y2) (x2 +
    + xy + y2)

    Разность восьмых степеней

    x8– y8 =
    = (x + y) (x7 – x6y +
    + x5y2 – x4y3 +
    + x3y4 –
    – x2y5 + xy6 –y7) =
    = (x + y) (x – y) (x2 +
    + y2) (x4 + y4)
    …

    Разность степеней порядка  2n

    x2n– y2n =
    = (x + y) (x2n – 1 –
    – x2n – 2 y +
    + x2n – 3 y2 –
    – …+ xy2n – 2 –
    – y2n – 1)

    * * *

    x2n– y2n =
    = (x – y) (x2n – 1 +
    + x2n – 2 y +
    + x2n – 3 y2 +
    + …+ xy2n – 2 +
    + y2n – 1)

          Замечание. Оба разложения на множители двучлена:

    x2n– y2n ,

    приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.

          Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.

          На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

          Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

          У нас также для школьников организованы

        Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

    Запись по телефону (495) 509-28-10

    МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

    www.resolventa.ru

    Формулы сокращенного умножения

    Формулы сокращенного умножения
    НомерНазвание формулыКороткая записьРаскрытие скобок/разложение на множители
    (1) Разность квадратовa2-b2(a-b)(a+b)
    (2) Квадрат суммы/разности(a±b)2a2±2ab+b2
    (3) Квадрат суммы для n переменных(a1+a2+…+an)2a12+a22+…+an2+2∑i,jaiaj
    (4) Сумма/разность кубовa3±b3(a±b)(a2∓ab+b2)
    (5) Куб суммы/разности(a±b)3a3±3a2b+3ab2±b3
    (6) Куб суммы для n переменных(a1+a2+…+an)3a13+a23+…+an3+3∑i,jai2aj+6∑i,j,kaiajak
    (7) Разность четвертых степенейa4-b4(a-b)(a+b)(a2+b2)
    (8) Четвертая степень суммы/разности(a±b)4a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
    (9) Сумма/разность nх степенейan-bn(a±b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-3a2+bn-2a+bn-1)
    (10) Сумма (2n+1)х степенейa2n+1+b2n+1(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2+…+b2n-2a2-b2n-1a+b2n)
    (11) Nая степень суммы/разности(a±b)nan±(n1)an-1b+(n2)an-2b2±..+(nn-2)a2bn-2±(nn-1)abn-1+bn

    — версия для печати
    Определение
    Nая степень числа — результат умножения числа на себя n раз. Также квадратом числа называется результат возведения числа в степень n (в nую степень).
    Пример:
    (4a—3b)3 = 64a3 — 144a2b + 108ab2 — 27b3
    Пояснение
    Под (nk) подразумевается биномиальный коэффициент, равный
    Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

    © Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

    scolaire.ru

    Суммы степеней — арифметические прогрессии, геометрические прогрессии, суммы степеней, различные прогрессии

    Арифметические прогрессии

    $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\{a+(n-1)d\}=\left(\frac{1}{2}\right)n\{2a+(n-1)d\}=\left(\frac{1}{2}\right)n(a+l)$
    где $l=a+(n-1)d$ есть последним членом.

    Некоторые особые случаи есть
    $1+2+3+\cdots+n=\left(\frac{1}{2}\right)n(n+1)$
    $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

    Геометрические прогрессии

    $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a-rl}{1-r}s$
    где $l=ar^{n-1}$ есть последним членом и $r\neq1$.

    Если $-1 $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n=\frac{a}{1 — r}$

    Арифметическо-геометрические прогрессии

    $a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots+\{a+(n-1)d\}r^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}+\frac{rd\{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n\}}{(1-r)^2}$
    где $r\neq1$.

    Если $-1$a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots=\frac{a}{1-r}+\frac{rd}{(1-r)^2}$

    Суммы степеней натуральных чисел

    $1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p=\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{1}{2}n^p+\frac{B_1pn^{p-1}}{2!}-\frac{B_2p(p-1)(p-2)n^{p-3}}{4!}+\cdots$
    где последовательность чисел заканчивается в $n^2$ или $n$ соответственно когда $p$ есть нечетное или четное и $B_k$ есть числа Бернулли.

    Некоторые особые случаи есть

    $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

    $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

    $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+3+\cdots+n)^2$

    $1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

    If $S_k=1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k$ где $k$ и $n$ есть натуральные числа, тогда
    $\binom{k+1}{1}S_1+\binom{k+1}{2}S_2+\cdots+\binom{k+1}{k}S_k=(n+1)^{k+1}-(n+1)$

    Прогрессии с обратными степенями натуральных чисел

    $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots=\ln2$

    $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\pi}{4}$

    $1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{13}-\cdots=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}+\frac{1}{3}\ln2$

    $1-\frac{1}{5}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\cdots=\frac{\pi\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})}{4}$

    $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+\frac{1}{14}-\cdots=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}-\frac{1}{3}\ln2$

    $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$

    $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{90}$

    $\frac{1}{1^6}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{4^6}+\cdots=\frac{\pi^6}{945}$

    $\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{12}$

    $\frac{1}{1^4}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\cdots=\frac{7\pi^4}{720}$

    $\frac{1}{1^6}-\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}-\frac{1}{4^6}+\cdots=\frac{31\pi^6}{30,240}$

    $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}$

    $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{96}$

    $\frac{1}{1^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+\cdots=\frac{\pi^6}{960}$

    $\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots=\frac{\pi^3}{32}$

    $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots=\frac{3\pi^3\sqrt{2}}{128}$

    $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\cdots=\frac{1}{2}$

    $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{4\cdot6}+\cdots=\frac{3}{4}$

    $\frac{1}{1^2\cdot3^2}+\frac{1}{3^2\cdot5^2}+\frac{1}{5^2\cdot7^2}+\frac{1}{7^2\cdot9^2}+\cdots=\frac{\pi^2-8}{16}$

    $\frac{1}{1^2\cdot2^2\cdot3^2}+\frac{1}{2^2\cdot3^2\cdot4^2}+\frac{1}{3^2\cdot4^2\cdot5^2}+\cdots=\frac{4\pi^2-39}{16}$

    $\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}+\frac{1}{a+2d}-\frac{1}{a+3d}+\cdots=\int\limits_0^1\frac{u^{a-1}\ du}{1+u^d}$

    $\frac{1}{1^{2p}}+\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{4^{2p}}+\cdots=\frac{2^{2p-1}\pi^{2p}B_p}{(2p)!}$

    $\frac{1}{1^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{5^{2p}}+\frac{1}{7^{2p}}+\cdots=\frac{(2^{2p}-1)\pi^{2p}B_p}{2(2p)!}$

    $\frac{1}{1^{2p}}-\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}-\frac{1}{4^{2p}}+\cdots=\frac{(2^{2p-1}-1)\pi^{2p}B_p}{(2p)!}$

    $\frac{1}{1^{2p+1}}-\frac{1}{3^{2p+1}}+\frac{1}{5^{2p+1}}-\frac{1}{7^{2p+1}}+\cdots=\frac{\pi^{2p+1}E_p}{2^{2p+2}(2p)!}$

    Различные прогрессии

    $\frac{1}{2}+\cos\alpha+\cos2\alpha+\cdots+\cos n\alpha=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$

    $\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha+\cdots+\sin n\alpha=\frac{\sin\left[\frac{1}{2}(n+1)\right]\alpha\sin\frac{1}{2}n\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}$

    $1+r\cos\alpha+r^2\cos2\alpha+r^3\cos3\alpha+\cdots=\frac{1-r\cos\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$,   $|r|

    $r\sin\alpha+r^2\sin2\alpha+r^3\sin3\alpha+\cdots=\frac{r\sin\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$,   $|r|

    $1+r\cos\alpha+r^2\cos2\alpha+\cdots+r^n\cos n\alpha=\frac{r^{n+2}\cos n\alpha-r^{n+1}\cos(n+1)\alpha-r\cos\alpha+1}{1-2r\cos\alpha+r^2}$

    $r\sin\alpha+r^2\sin2\alpha+\cdots+r^n\sin n\alpha=\frac{r\sin\alpha-r^{n+1}\sin(n+1)\alpha+r^{n+2}\sin n\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$

    Формулы суммирования Эйлера — Маклорена

    $\sum\limits_{k=1}^{n-1}F(k)=\int\limits_0^nF(k)dk-\frac{1}{2}\{F(0)+F(n)\}+\frac{1}{12}\{F'(n)-F'(0)\}-\frac{1}{720}\{F»'(n)-F»'(0)\}+\frac{1}{30,240}\{F^{(v)}(n)-F^{(v)}(0)\}-\frac{1}{1,209,600}\{F^{(vii)}(n)-F^{(vii)}(0)\}$
    $+\cdots(-1)^{p-1}\frac{B_p}{(2p)!}\{F^{(2p-1)}(n)-F^{(2p-1)}(0)\}+\cdots$

    Формула суммирования Пуассона

    $\sum\limits_{k=-\infty}^\infty F(k)=\sum\limits_{m=-\infty}^\infty\left\{\ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{2\pi imx}F(x)\ dx\right\}$

    www.math10.com

    Сумма пятой степени | Формулы с примерами

    1. 25 + 35 = (2 + 3) • (23 • 3 + 22 • 32 — 2 • 33 + 34) =
    5 • (16 — 8 • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
    5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
    5 • 55 = 275 ;
    a = 25 ;
    b = 35 ;

    2. 75 + 55 = (7 + 5) • (74 — 73 • 5 + 72 • 52 — 7 • 53 + 54) =
    12 • (2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
    12 • (2 401 — 1 715 + 1 225 — 875 + 625) =
    12 • 1 661 = 19 932 ;
    a = 75 ;
    b = 55 ;

    3. 35 + 35 = (3 + 5) • (34 — 33 • 5 + 32 • 52 — 3 • 53 + 54) =
    8 • (81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
    8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
    8 • 421 = 3 368 ;
    a = 35 ;
    b = 55 ;

    formula-xyz.ru

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.





    		 Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов
    и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.  Вариант для печати.

    Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
    Разность квадратов a2-b2 = (a-b)(a+b)
    Квадрат суммы (a+b)2 = a2+2ab+b2
    Квадрат разности (a-b)2 = a2-2ab+b2
    Куб суммы (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
    Куб разности (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
    Сумма кубов a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
    Разность кубов a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
    Разность четвертых степеней a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2)

    Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=
    Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

    dpva.ru

    Сумма седьмой степени | Формулы с примерами

    1. 17 + 37 = (1 + 3) • (16 — 15 • 3 + 14 • 32 — 13 • 33 + 12 • 34 — 1 • 35 + 36) =
    4 • (1 — 3 + 9 — 27 + 81 — 243 + 729) =
    4 • 547 = 2 188 ;
    a = 17 ;
    b = 37 ;

    2. 27 + 37 = (2 + 3) • (26 — 25 • 3 + 24 • 32 — 23 • 33 + 24 • 34 — 2 • 35 + 36) =
    5 • (64 — 32 • 3 + 16 • 9 — 8 • 27 + 4 • 81 — 2 • 243 + 729) =
    5 • (64 — 96 + 144 — 216 + 324 — 486 + 729) =
    5 • 463 = 2 315 ;
    a = 27 ;
    b = 37 ;

    3. 37 + 57 = (3 + 5) • (36 — 35 • 5 + 34 • 52 — 33 • 53 + 32 • 54 — 3 • 55 + 56) =
    8 • (729 — 125 • 5 + 81 • 25 — 27 • 125 + 9 • 625 — 3 • 3 125 + 15 625) =
    8 • (729 — 625 + 2 025 — 3 375 + 5 625 — 9 375 + 15 625) =
    80 312 ;
    a = 37 ;
    b = 57 ;

    formula-xyz.ru

    Как решать примеры по информатике – 404 Not Found

    alexxlab / / Школьная жизнь

    ЕГЭ по информатике задания с пояснением и пробные варианты 2019


    поддержать

    Решение задач

     
    *** КАНАЛ ЮТЬЮБ ***

    Выберите номер задания ЕГЭ с разбором примеров:

    Структура заданий ЕГЭ по информатике

    • Задания ЕГЭ по информатике делятся на два типа:
    • Задания первого типа (таких заданий 23: с 1 по 23) предусматривают краткий ответ (например, последовательность цифр или букв).
    • Для решения заданий второго типа (часть 2 ЕГЭ) необходим развернутый ответ (таких заданий 4: с 24 по 27).
    • По уровню сложности: Базовый – 12, Повышенный – 11, Высокий – 4.
    • Максимальный первичный балл за работу – 35.
    • Общее время выполнения работы – 235 мин

      

    Дата проведения (ГИА) ЕГЭ по информатике в 2019 году

    Основной период: 13 июня (чт)
    Резерв: 20 июня (чт)

    Шкала перевода баллов ЕГЭ по информатике

    Таблица перевода первичных баллов в отметки по пятибалльной шкале для проведения ЕГЭ в 2019 году:

    Первич
    балл    		1234567891011121314151617181920
    Тестов
    балл    		714202734404244464850515355575961626466
    Первич
    балл    		212223242526272829303132333435
    Тестов
    балл    		6870727375777981838488919497100

    Объяснения к заданиям ЕГЭ

    labs-org.ru

    ОГЭ по информатике: Логические операции

    Пример 1.

    Для какого из приведённых чисел ложно высказывание: 

    НЕ(число > 50) ИЛИ (число чётное)?
    1) 9    2) 56     3) 123     4) 8

    Решение. Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операция НЕ, в последнюю очередь — операция ИЛИ.

    1) Подставим число 9 в выражение:
    НЕ (9 > 50) ИЛИ (9 чётное)
    НЕ (ложь) ИЛИ (ложь) = истина ИЛИ ложь = истина

    9 нам не подходит, так как по условию мы должны получить ложь.

    2) Подставим число 56 в выражение:
    НЕ (56 > 50) ИЛИ (56 чётное)
    НЕ (истина) ИЛИ (истина) = ложь ИЛИ истина = истина

    56 тоже не подходит.

    3) Подставим 123:
    НЕ (123 > 50) ИЛИ (123 чётное)
    НЕ (истина) ИЛИ (ложь) = ложь ИЛИ ложь = ложь 

    Число 123 подошло.

    Эту задачу можно было решить и по-другому:
    НЕ(число > 50) ИЛИ (число чётное)

    Нам надо получить ложное значение. Мы видим, что операция ИЛИ будет выполняться в последнюю очередь. Операция ИЛИ даст ложь, когда оба выражения НЕ(число) и (число чётное) будут ложны.

    Так как условие (число чётное) должно быть равно ложному значению, то сразу отвергаем варианты с числами 56, 8.

    Далее, условие НЕ (число > 50) = ложь, соответственно условие (число > 50) = истина. Из двух оставшихся чисел 9 и 123 этому условию подходит число 123. 

    Итак, можно решать прямой подстановкой, что долго и может дать ошибку при вычислении выражения; или же можно решать задачу быстро, проанализировав все простые условия.

    Ответ: 3)

     

    Пример 2

    Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:

    НЕ(Первая цифра чётная) И НЕ(Последняя цифра нечётная)?

    1) 6843       2)  4562       3) 3561       4) 1234

    Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операции НЕ над скобками, в последнюю очередь — операция И. Все это выражение должно принимать истинное значение.

    Так как операция НЕ меняет смысл высказывания на противоположный, мы может переписать это сложное выражение так:

    (Первая цифра нечётная) И (Последняя цифра чётная) = истина 

    Как известно, логическое умножение И дает истину только тогда, когда истинны все простые высказывания. Таким образом, оба условия должны быть истинными:

    (Первая цифра нечётная) = истина       (Последняя цифра чётная) = истина

    Как видно, подходит только число 1234

    Ответ: 4)  

     

    Пример 3

    Для какого из приведённых имён истинно высказывание:
    НЕ(Первая буква гласная) И (Количество букв > 5)?

    1) Иван      2) Николай      3) Семён      4) Илларион

    Перепишем выражение:
    (Первая буква не гласная) И (Количество букв > 5) = истина 
    (Первая буква согласная)  И (Количество букв > 5) = истина 

    Оба условия должны выполняться (команда И дает истину когда оба входящих простых условия истинны).

    Подходит имя «Николай» (первая буква не гласная и число букв 7>5).

    Ответ: 2)

     

    Пример 4

    Для какого из приведённых значений числа X истинно высказывание:
    НЕ (X > 5) И (X > 4)?

    1) 4     2) 5     3) 6     4) 7

    Первой выполняется операция НЕ, второй — И.

    Перепишем выражение: (X ≤ 5) И (X > 4) = истина

    Оба условия должны быть верными. Подходит число 5

    Ответ: 2)

    ОГЭ по информатике

    www.rassyhaev.ru

    12.3. Качественные задачи по информатике

    По степени трудности задачи делят на: простые, более сложные, повышенной сложности, творческие. Про стые задачи требуют для решения одну формулу и форму лирование одного двух выводов. С простых задач начина ют закрепление нового материала, поэтому их иногда на зывают тренировочными. Более сложные задачи требуют для решения использования нескольких формул, привле чения сведений из других разделов курса информатики, формулировки нескольких выводов.

    Творческие задачи различаются большим разнооб разием, но среди них можно выделить исследовательские, которые требуют ответа на вопрос «почему?», и конструк торские, требующие ответа на вопрос «как сделать?».

    По используемым для решения программным сред ствам можно выделить задачи, требующие применения: операционной системы, текстового редактора, графиче ского редактора, электронной таблицы, системы управле ния базами данных, других прикладных программ.

    По используемым для решения аппаратным сред ствам можно выделить задачи, требующие применения различных средств вычислительной техники и внешних устройств, например, принтера, графопостроителя, скане ра, цифрового фотоаппарата, локальной сети и др.

    Комбинированные задачи отличаются большим раз нообразием и предполагают: сочетание учебного мате риала различного содержания, часто из разных разделов курса, формулирования нескольких выводов, использова ния для решения нескольких формул и закономерностей.

    Качественной называют такую задачу, в которой главной особенностью является акцент на качественную

    305

    сторону процесса или явления. Их ещё называют задачи вопросы. Решаются такие задачи путём логических умо заключений, с помощью графиков, рисунков или экспери ментально, обычно без применения математических вы числений.

    Качественные задачи по информатике разнообразны по содержанию и используются учителем на большинстве уроков. Они служат средством проверки знаний и умений, способствуют их закреплению и углублению. Умело по ставленные задачи вопросы поддерживают активность учащихся на уроке, повышают интерес к информатике. Ис пользовать качественные задачи особенно необходимо при изучении тех разделов, где нет возможности решать количественные задачи, например, при изучении моде лей, истории информатики, текстового редактора и др. Ка чественные задачи позволяют учителю быстро провести проверку усвоения материала, выявить отсутствие его формального понимания.

    Основной способ решения качественных задач – это аналитико синтетический, когда описываемое явление или процесс расчленяется на ряд простых, а затем путём син теза конструируется вывод следствий и получается ответ. С помощью дедукции и индукции строятся логическая це почка рассуждений, умозаключения.

    Графический приём решения качественных задач часто подходит при решении задач на построение изобра жений с помощью средств графического редактора, по строения таблицы сложной формы с разновеликими боко виками и головками и др.

    Экспериментальный приём решения заключается в получении ответа на основании проведённого опыта. Например:

    306

    •Что произойдет с выравниванием содержимого ячейки электронной таблицы, если вы введёте в

    неё: последовательность чисел и букв; последо вательность букв и чисел?

    •В какой из поисковых систем Google, Rambler или Яndex, на запрос по ключевым словам «Информа тика. Базовый курс» будет выдан наибольший список адресов документов?

    Впоследней задаче ученикам придется потратить достаточно много времени на подключение к Интернету и проведение поиска в поисковых системах, а затем подсчё та числа выданных адресов.

    Следует избегать сложных качественных задач, ре шение которых требует строить длинные цепи умозаклю чений, проследить за которыми по силу лишь немногим учащимся.

    12.4. Количественные задачи по информатике

    Количественные задачи обычно решаются по сле дующим темам:

    •количество и единицы измерения информации; сис темы счисления;

    •передача информации по линиям связи, кодирова ние информации;

    •хранение информации в памяти компьютера;

    •форматы машинных команд;

    •представление символьной, числовой, графической и звуковой информации.

    Пример решения задачи на количество информации

    [6].Условие задачи: Два текста содержат одинаковое количество символов. Первый текст составлен в алфавите

    307

    мощностью 32 символа, второй – мощностью 64 символа. Во сколько раз отличается количество информации в этих текстах?

    Решение: В равновероятном приближении информаци онный объём текста равен произведению числа симво лов на информационный вес одного символа:

    I = K x i

    Поскольку оба текста имеют одинаковое количество символов (K), то различие информационных объёмов определяется только разницей в информативности сим волов алфавита (i). Найдемi1 для первого алфавита иi2 для второго алфавита:

    2 i1 = 32; отсюдаi1 = 5 битов; 2i2 = 64; отсюдаi2 = 6 битов;

    Следовательно, информационные объёмы первого и второго текстов:

    I1 = Kx 5битов; I2 = Kx 6битов

    Отсюда следует, что количество информации во втором тексте больше, чем в первом в 6/5 раз или в 1,2 раза.

    Ответ: во втором тексте информации больше в 1,2 раза.

    Приведём пример записи условия и решения задачи, способ оформления которого близок к принятому для за дач по физике [41].

    Условие задачи: Если сообщение несёт 4 бита информа ции, то во сколько раз была уменьшена неопределён ность?

    Дано: Решение

    308

    i = 4 бита

    1.

    Неопределённость – это количество воз

    Найти:

    можных вариантов.

    N = ?

    2.

    2i =N

    N= 24 = 16 (вариантов).

    3.В данном случае возможно 16 вариан тов. А произошло только одно событие.

    16 / 1 = 16 (раз).

    Ответ: Неопределённость в результате сообщения уменьшилась в 16 раз.

    Такая форма записи условия и решения имеет пре имущество перед свободной записью, так как обладает определённым формализмом, знакома по урокам физики, дисциплинирует учащихся, выстраивает для них чёткий алгоритм решения.

    В задачах на подсчёт количества информации можно выделить следующие основные этапы решения [41]:

    1)Осмысление условия задачи: определение, однозначно ли сформулирована задача, понимание всех слов и фраз, например «из 256 символьного алфавита», выявление су щественных элементов задачи, определение исходных данных и искомых результатов.

    2)Запись краткого условия задачи: записать условное обозначение исходных данных и искомых величин.

    3)Поиск пути решения задачи: выявление теоретических положений, связанных с задачей, соотнесение задачи с известным способом решения, разделение задачи на от дельные составляющие части.

    4)Осуществление плана решения и получение искомого результата: записать решение словесным способом, по лучить конечную формулу в буквенном выражении и лишь затем подставить в формулу конкретные значения, полу

    309

    чить правильную единицу измерения искомой величины, записать развёрнутую формулировку ответа на вопрос за дачи после слова «Ответ».

    5) Изучение и интерпретация найденного решения: уча щиеся демонстрируют осмысление полученного ответа; верифицируют результат; выполняют проверку путем со ставления и решения задачи, обратной данной, находят другой способ решения.

    Как можно заметить, такой порядок во многом соот ветствует тому, что принят при решении задач по физике, поэтому он знаком учащимся и это обстоятельство следует использовать учителю. Приведём образец решения задачи на расчёт объёма памяти для хранения звуковой инфор мации [22, том 1]:

    Условие задачи: Определить размер (в байтах) цифрового аудиофайла, время звучания которого со ставляет 10 секунд при частоте дискретизации 22,05 кГц и разрешении 8 бит. Файл сжатию не подвержен.

    Решение: Формула для расчёта размера (в бай тах) цифрового аудиофайла (монофоническое звуча ние):(частота дискретизации в Гц) х (время записи в секундах) х (разрешение в битах) / 8.

    Таким образом, размер файла вычисляется так: 22050 х 10х 8 / 8 = 220500 байт.

    Ответ: 220500 байт.

    12.5. Задачи на моделирование явлений и про­ цессов

    Задачи по этой теме занимают важное место в базо вом курсе, так как направлены на формирование умений и навыков владения информационно коммуникационными технологиями. Эти задачи обычно называют практически

    310

    ми заданиями из за их объёма и длительности решения. Часть задач на моделирование в среде текстового и графи ческого редактора относительно просты для исполнения. Задачи на моделирование в среде электронных таблиц и баз данных могут быть достаточно сложными и громозд кими, потребовать для решения несколько уроков.

    Обычно в задачах моделируются физические, хими ческие и биологические явления и процессы, а также ма тематические и экономические расчёты, но есть и приме ры для моделирования литературных произведений. За дачи этого раздела представлены в учебнике Н.Д. Угрино вича по базовому курсу для 9 класса [28], в практикум задачнике под редакцией Н.В. Макаровой [34] и задачни ке практикуме под редакцией И.Г. Семакина и Е.К. Хенне ра [22]. Число имеющихся в них заданий с избытком пере крывает потребности базового курса, а учитель имеет воз можность выбора, исходя из своих предпочтений и вкуса.

    Впрактикум задачнике по моделированию под ре дакцией профессора Н.В. Макаровой [34] представлены такие важные и сложные темы курса как:

    •моделирование в среде графического редактора;

    •моделирование в среде текстового редактора;

    •моделирование в электронных таблицах;

    •информационные модели в базах данных.

    Вэтом практикум задачнике по каждой теме курса дано большое число заданий и приведены подробные указания по их решению, включая выделение таких этапов как: постановка задачи, разработка модели, компьютер ный эксперимент, анализ результатов моделирования. Рассмотрим кратко пример задания по моделированию движения парашютиста. Выполнение задания разбивается на четыре этапа.

    311

    I этап. Постановка задачи. Описание задачи.

    Парашютист при падении к земле испытывает действие силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Экспериментально установлено, что сила сопротивле ния зависит от скорости движения: чем больше ско рость, тем больше сила. При движении в воздухе эта сила пропорциональна квадрату скорости с некоторым коэффициентом сопротивления k, который зависит от конструкции парашюта и веса человекаRсопр = k V2 . Каково должно быть значение этого коэффициента, чтобы парашютист приземлился на землю со скоро стью не более 8 м/с, не представляющей опасности для здоровья?

    Определите цели моделирования и проведите формализацию задачи.

    II этап. Разработка модели.

    На этом этапе сначала составляется информаци онная модель, а затем – математическая модель с записью уравнений движения парашютиста и выво дом формул для скорости парашютиста и пройденно го пути. После чего составляется компьютерная мо дель в среде электронной таблицы. Таблица содер жит три области: для исходных данных, для промежу точных расчётов, для результатов.

    III этап. Компьютерный эксперимент.

    Он включает план эксперимента и собственно проведение исследования.

    IV этап. Анализ результатов моделирования.

    Анализ состоит в формулировки ответов на по ставленные вопросы.

    В учебнике Н.Д. Угриновича по базовому курсу моде лированию и формализации посвящена одна глава, а в

    312

    компьютерном практикуме моделированию процессов и явлений посвящены 3 практические работы из 23 х. Это проект «Движение Земли», биологическая модель разви тия популяций «Жертва хищник» и модель экспертной системы для лабораторной работы по химии «Распознава ние пластмасс». Причём для выполнения первой и третьей работы применяется система объектно ориентированного программирования Визуал Бейсик.

    Моделирование развития биологической популяции проводится с использованием среды электронной табли цы. При этом вначале подробно описывается формальная модель процесса, вводятся коэффициенты роста числа жертв и хищников, коэффициент частоты их встреч. Затем записывается формулы для уменьшения числа жертв и увеличения числа хищников в ходе развития популяции. Потом строится компьютерная модель, которая визуали зируется путём построения графика изменения популяции на несколько лет вперёд.

    В задачнике практикуме под редакцией И.Г. Семаки на и Е.К. Хеннера по данной теме в теоретическом введе нии подробно рассмотрено моделирование физических процессов на разнообразных примерах – движение с уче том сопротивления среды, свободное падение, взлёт раке ты, движение заряженных частиц, колебание маятника, теплопроводность в стержне. Моделирование биологиче ских процессов проводится на примере роста популяций, межвидовой конкуренции, системы жертва хищник. Инте рес представляет задание на моделирование случайных процессов – очереди в магазине.

    Следует отметить, что подход к моделированию в этом задачнике основан на строгом и точном описании яв ления или процесса, использовании точных физических и

    313

    studfiles.net

    Решение заданий ЕГЭ по информатике с использованим элементов алгебры логики

    Разделы: Информатика

    В настоящее время на вступительных экзаменах по информатике есть много заданий по теме “алгебра логики”. Цель данного урока – закрепление навыков решения заданий ЕГЭ по информатике с использованием элементов алгебры логики.

    Цели урока:

    • Формирование умения применять полученные знания на практике;
    • Развитие умения построения таблиц истинности по заданным формулам;
    • Развитие умения решать текстовые задачи с использованием законов логики.

    Задачи урока:
    • Воспитательная – развитие познавательного интереса, логического мышления.
    • Образовательная – повторение основ математической логики, выполнение практических заданий.
    • Развивающая –  развитие логического мышления, внимательности.

    Ход урока
    Повторение логических операций и законов.
  • Применение логических операций и законов на практике.
  • Объяснение домашнего задания.

    • Сегодня мы с вами завершаем тему “Основы логики” и применим основные логические операции, законы преобразования для решения заданий ЕГЭ по информатике.

    Урок идет параллельно с презентацией. <Приложение1>

    1. Повторение логических операций и законов.

    Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

    Вопросы:

    1. Основоположник формальной логики?

    Аристотель.

    2. Основоположник алгебры логики?

    Джордж Буль.

    3. Перечислите логические операции:

    ¬ отрицание (инверсия)
    &, /\ конъюнкция (“И”)
    V дизъюнкция (“ИЛИ”)
    логическое следование (импликация)
    равнозначность (эквивалентность)

    4. В чем смысл закона двойного отрицания?

    Двойное отрицание исключает отрицание.

    5. Законы де Моргана (законы общей инверсии).

    Отрицание дизъюнкции является конъюнкцией отрицаний:

    ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

    Отрицание конъюнкции является дизъюнкцией отрицаний:

    ¬(A /\B) = ¬A V ¬B

    6. Закон идемпотентности (одинаковости).

    A V A = A

    A /\ A = A

    7. В чём смысл закона исключения третьего?

    Из двух противоречащих высказываний об одном и том же одно всегда истинно, второе ложно, третьего не дано:

    A V ¬А= 1

    8. О чём закон противоречия?

    Не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание:

    A /\ ¬А= 0

    9. Закон исключения констант.

    Для логического сложения:

    A V 1 = 1 A V 0 = A

    Для логического умножения:

    A /\ 1 = A A /\ 0 = 0

    10. Как выразить импликацию через дизъюнкцию?

    А В = ¬A V В

    2. Примение логических операций и законов на практике.

    Пример 1. (Задание А11 демоверсии 2004 г.)

    Для какого имени истинно высказывание:

    ¬ (Первая буква имени гласная -> Четвертая буква имени согласная)?

    1) ЕЛЕНА

    2) ВАДИМ

    3) АНТОН

    4) ФЕДОР

    Решение. Сложное высказывание состоит из двух простых высказываний:

    А – первая буква имени гласная,

    В – четвертая буква имени согласная.

    ¬ (А В) = ¬ (¬A V В) = (¬ (¬А) /\ ¬B) = A /\ ¬B

    Применяемые формулы:

    1. Импликация через дизъюнкцию А ? В = ¬A V В

    2. Закон де Моргана ¬(A V B) = ¬A /\ ¬B

    3. Закон двойного отрицания.

    (Первая буква имени гласная /\ Четвертая буква имени гласная)

    Ответ: 3

    Пример 2. (Задание А12 демоверсии 2004 г.)

    Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (А \/ ¬B)?

    1) A \/ B

    2) A /\ B

    3) ¬A \/ ¬B

    4) ¬A /\ B

    Решение. ¬ (А \/ ¬B)= ¬ А \/ ¬ (¬B)= ¬ А \/ B

    Ответ: 4

    Пример 3.

    Составить таблицу истинности для формулы

    ¬ (B /\ C) V (A/\C B)

    Порядок выполнения логических операций:

    ¬ (B /\ C) V (A/\C B)

    2   1   5   3   4

    Составить таблицу истинности.

    Сколько строк будет в вашей таблице? 3 переменных: А, В, С; 23=8

    Сколько столбцов? 5 операций + 3 переменных = 8

    Решение:

    A B C (B /\ C) ¬ (B /\ C) A/\C (A/\C ? B) ¬ (B /\ C) V (A/\C B)
    0 0 0 0 1 0 1 1
    0 0 1 0 1 0 1 1
    0 1 0 0 1 0 1 1
    0 1 1 1 0 0 1 1
    1 0 0 0 1 0 0 1
    1 0 1 0 1 1 1 1
    1 1 0 0 1 0 0 1
    1 1 1 1 0 1 1 1

    Какие ответы получились в последнем столбце?

    Ответ: 1

    Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Тождественно-истинные формулы называют тавтологиями.

    Решим этот пример аналитическим методом:

    упрощаем выражение

    ¬ (B /\ C) V (A/\C B)= (применим формулу для импликации)

    ¬ (B /\ C) V ¬ (A /\ C) V B = (применим 1 и 2 законы де Моргана)

    (¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B = (уберём скобки)

    ¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B= (применим переместительный закон)

    ¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A = (закон исключения третьего, закон идемпотентности)

    1 V ¬С V ¬A = 1 V ¬A = 1 (закон исключения констант)

    Ответ: 1, означает, что формула является тождественно-истинной или тавтологией.

    Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний.

    (задание 3 домашнего задания)

    Пример 4.

    В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдёт поисковый сервер по каждому запросу.

    Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ I, а для логической операции “И” – символ &.

    А Законы & Физика
    Б Законы I (Физика & Биология)
    В Законы & Физика & Биология & Химия
    Г Законы I Физика I Биология

    Решение:

    Первый способ основан на рассуждении. Рассуждая логически, мы видим, что больше всего будет найдено страниц по запросу Г, так как при его исполнении будут найдены и страницы со словом “законы”, и страницы, со словом “физика”, и страницы со словом “биология”. Меньше всего будет найдено страниц по запросу В, так как в нем присутствие всех четырех слов на искомой странице. Осталось сравнить запросы А и Б. По запросу Б будут найдены все страницы, соответствующие запросу А, (так как в последних обязательно присутствует слово “законы”), а также страницы, содержащие одновременно слова “физика” и “биология”. Следовательно по запросу Б будет найдено больше страниц, чем по запросу А. Итак, упорядочив запросы по возрастанию страниц, получаем ВАБГ.

    Ответ: ВАБГ.

    Второй способ предполагает использование графического представления операций над множествами. (Смотри презентацию)

    Пример 5. (Задание А16 демоверсии 2006 г.)

    Ниже в табличной форме представлен фрагмент базы данных о результатах тестирования учащихся (используется стобалльная шкала)

    Фамилия Пол Математика Русский язык Химия Информатика Биология
    Аганян ж 82 56 46 32 70
    Воронин м 43 62 45 74 23
    Григорчук м 54 74 68 75 83
    Роднина ж 71 63 56 82 79
    Сергеенко ж 33 25 74 38 46
    Черепанова ж 18 92 83 28 61

    Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию

    “Пол=’м’ ИЛИ Химия>Биология”?

    1) 5

    2) 2

    3) 3

    4) 4

    Решение:

    Выбираем записи: Мальчики (двое) и Химия>Биология (трое, но один мальчик, уже взялся 1 раз). В итоге 4 записи удовлетворяют условию.

    Ответ: 4

    Задание 6. (Задание В4 демоверсии 2007 г)

    В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях.

    Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй.

    Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место.

    Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

    Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

    Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?

    (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

    Решение:

    Обозначим высказывания:

    Н1 = “первой будет Наташа”;

    М2 = “второй будет Маша”;

    Л2 = “второй будет Люда”;

    Р4 = “четвертой будет Рита”;

    Р3 = “третьей будет Рита”;

    Н2 = “второй будет Наташа”.

    Согласно условию:

    из высказываний 1 болельщика следует, что Н1VМ2 истинно;

    из высказываний2 болельщика следует, что Л2VР4 истинно;

    из высказываний 3 болельщика следует, что Р3VН2 истинно.

    Следовательно, истинна и конъюнкция

    (Н1VМ2) /\ (Л2VР4) /\ (Р3VН2) = 1.

    Раскрыв скобки получим:

    (Н1VМ2) /\ (Л2VР4) /\ (Р3VН2) = (Н1/\Л2V Н1/\Р4 V М2/\Л2 V М2/\Р4) /\ (Р3VН2)=

    Н1/\ Л2/\Р3 V Н1/\Р4/\Р3 V М2/\Л2/\Р3 V М2/\Р4/\Р3 V Н1/\Л2/\Н2 V Н1/\Р4/\Н2 V М2/\Л2/\Н2 V М2/\Р4/\Н2 = Н1/\ Л2/\Р3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V= Н1/\ Л2/\Р3

    Наташа-1, Люда-2, Рита-3, а Маша-4.

    Ответ: 1423

    3. Объяснение домашнего задания.

    Задание 1. (Задание В8 демоверсии 2007г)

    В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

    Для обозначения логической операции “ИЛИ” в запросе используется символ |, а для логической операции “И” – &.

    А волейбол | баскетбол | подача
    Б волейбол | баскетбол | подача | блок
    В волейбол | баскетбол
    Г волейбол & баскетбол & подача

    Задание 2 (Задание В4 демоверсии 2008г)

    Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

    A) Макс победит, Билл – второй;

    B) Билл – третий. Ник – первый;

    C) Макс – последний, а первый – Джон.

    Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

    Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?

    (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

    Оценки за урок.

    26.02.2008

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Информатика ЕГЭ 5 задание разбор и объяснение

    Урок посвящен тому, как решать 5 задание ЕГЭ по информатике


    Кодирование информации

    5-я тема характеризуется, как задания базового уровня сложности, время выполнения – примерно 2 минуты, максимальный балл — 1

    • Кодирование — это представление информации в форме, удобной для её хранения, передачи и обработки. Правило преобразования информации к такому представлению называется кодом.
    • Кодирование бывает равномерным и неравномерным:
    • при равномерном кодировании всем символам соответствуют коды одинаковой длины;
    • при неравномерном кодировании разным символам соответствуют коды разной длины, это затрудняет декодирование.
    Пример: Зашифруем буквы А, Б, В, Г при помощи двоичного кодирования равномерным кодом и посчитаем количество возможных сообщений:

    Таким образом, мы получили равномерный код, т.к. длина каждого кодового слова одинакова для всех кодов (2).

    Кодирование и расшифровка сообщений

    Декодирование (расшифровка) — это восстановление сообщения из последовательности кодов.

    Для решения задач с декодированием, необходимо знать условие Фано:

    Условие Фано: ни одно кодовое слово не должно являться началом другого кодового слова (что обеспечивает однозначное декодирование сообщений с начала)

    Префиксный код — это код, в котором ни одно кодовое слово не совпадает с началом другого кодового слова. Сообщения при использовании такого кода декодируются однозначно.

    • если сообщение декодируется с конца, то его можно однозначно декодировать, если выполняется обратное условие Фано:

      • Обратное условие Фано: никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова

      Постфиксный код — это код, в котором ни одно кодовое слово не совпадает с концом другого кодового слова. Сообщения при использовании такого кода декодируются однозначно и только с конца.


    • условие Фано – это достаточное, но не необходимое условие однозначного декодирования.

    Однозначное декодирование обеспечивается:

    Однозначное декодирование


    Декодирование

    Егифка ©:

    Решение 5 заданий ЕГЭ

    ЕГЭ 5.1: Для кодирования букв О, В, Д, П, А решили использовать двоичное представление чисел 0, 1, 2, 3 и 4 соответственно (с сохранением одного незначащего нуля в случае одноразрядного представления).

    Закодируйте последовательность букв ВОДОПАД таким способом и результат запишите восьмеричным кодом.


    ✍ Решение:
    • Переведем числа в двоичные коды и поставим их в соответствие нашим буквам:
    
О -> 0 -> 00
В -> 1 -> 01
Д -> 2 -> 10
П -> 3 -> 11
А -> 4 -> 100
  • Теперь закодируем последовательность букв из слова ВОДОПАД:
    • 
010010001110010
  • Разобьем результат на группы из трех символов справа налево, чтобы перевести их в восьмеричную систему счисления:
    • 
010 010 001 110 010
 ↓   ↓   ↓   ↓   ↓
 2   2   1   6   2

    Результат: 22162

    Решение ЕГЭ данного задания по информатике, видео:

    Рассмотрим еще разбор 5 задания ЕГЭ:

    ЕГЭ 5.2: Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв — из двух бит, для некоторых — из трех). Эти коды представлены в таблице:
    abcde
    0001100100110

    Какой набор букв закодирован двоичной строкой 1100000100110?


    ✍ Решение:
    
110 000 01 001 10
 ↓   ↓   ↓  ↓  ↓
 b   a  c   d  e

    Результат: b a c d e.

    ✎ 2 вариант решения:

      Этот вариант решения 5 задания ЕГЭ более сложен, но тоже верен.
    • Сделаем дерево, согласно кодам в таблице:

    • Сопоставим закодированное сообщение с кодами в дереве:
    
110 000 01 001 10

    Результат: b a c d e.

    Кроме того, вы можете посмотреть видео решения этого задания ЕГЭ по информатике:

    Решим следующее 5 задание:

    ЕГЭ 5.3:
    Для передачи чисел по каналу с помехами используется код проверки четности. Каждая его цифра записывается в двоичном представлении, с добавлением ведущих нулей до длины 4, и к получившейся последовательности дописывается сумма её элементов по модулю 2 (например, если передаём 23, то получим последовательность 0010100110).

    Определите, какое число пе­ре­да­ва­лось по ка­на­лу в виде 01100010100100100110.


    ✍ Решение:
    • Рассмотрим пример из условия задачи:
    
Было 2310
Стало 00101001102
  • Где сами цифры исходного числа (выделим их красным цветом):
    •  0010100110  (0010 - 2, 0011 - 3)
  • Первая добавленная цифра 1 после двоичной двойки — это проверка четности (1 единица в 0010 — значит нечетное), 0 после двоичной тройки — это также проверка нечетности (2 единицы в 0011, значит — четное).
  • Исходя из разбора примера решаем нашу задачу так: поскольку «нужные» нам цифры образуются из групп по 4 числа в каждой плюс одно число на проверку четности, то разобьем закодированное сообщение на группы по 5, и отбросим из каждой группы последний символ:
  • разбиваем по 5:
    • 01100 01010 01001 00110
  • отбрасываем из каждой группы последний символ:
    • 0110 0101 0100 0011
  • Результат переводим в десятичную систему:
    • 
0110 0101 0100 0011
 ↓    ↓     ↓    ↓
 6    5     4    3

    Ответ: 6 5 4 3

    Вы можете посмотреть видео решения этого задания ЕГЭ по информатике:



    ЕГЭ 5.4:
    Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв К, Л, М, Н решили использовать неравномерный двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы Н использовали кодовое слово 0, для буквы К — кодовое слово 10.

    Какова наименьшая возможная суммарная длина всех четырёх кодовых слов?


    ✍ Решение: ✎ 1 вариант решения основан на логических умозаключениях:
    • Найдём самые короткие возможные кодовые слова для всех букв.
    • Кодовые слова 01 и 00 использовать нельзя, так как тогда нарушается условие Фано (начинаются с 0, а 0 — это Н).
    • Начнем с двухразрядных кодовых слов. Возьмем для буквы Л кодовое слово 11. Тогда для четвёртой буквы нельзя подобрать кодовое слово, не нарушая условие Фано (если потом взять 110 или 111, то они начинаются с 11).
    • Значит, надо использовать трёхзначные кодовые слова. Закодируем буквы Л и М кодовыми словами 110 и 111. Условие Фано соблюдается.
    • Суммарная длина всех четырёх кодовых слов равна:
    (Н)1 + (К)2 + (Л)3 + (М)3 = 9

    ✎ 2 вариант решения:

    • Будем использовать дерево. Влево откладываем 0, вправо — 1:

    • Теперь выпишем соответствие каждой буквы ее кодового слова согласно дереву:
    
(Н) -> 0   -> 1 символ
(К) -> 10  -> 2 символа
(Л) -> 110 -> 3 символа
(М) -> 111 -> 3 символа
  • Суммарная длина всех четырёх кодовых слов равна:
    • (Н)1 + (К)2 + (Л)3 + (М)3 = 9

    Ответ: 9

    ЕГЭ по информатике 5 задание 2017 ФИПИ вариант 2 (под редакцией Крылова С.С., Чуркиной Т.Е.):

    По каналу связи передаются сообщения, содержащие только 4 буквы: А, Б, В, Г; для передачи используется двоичный код, допускающий однозначное декодирование. Для букв А, Б, В используются такие кодовые слова: А: 101010, Б: 011011, В: 01000.

    Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Г, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.


    ✍ Решение:
    • Наименьшие коды могли бы выглядеть, как 0 и 1 (одноразрядные). Но это не удовлетворяло бы условию Фано (А начинается с единицы — 101010, Б начинается с нуля — 011011).
    • Следующим наименьшим кодом было бы двухбуквенное слово 00. Так как оно не является префиксом ни одного из представленных кодовых слов, то Г = 00.

    Результат: 00

    ЕГЭ по информатике 5 задание 2017 ФИПИ вариант 16 (под редакцией Крылова С.С., Чуркиной Т.Е.):

    Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, решили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать двоичную последовательность, появляющуюся на приемной стороне канала связи. Использовали код: А — 01, Б — 00, В — 11, Г — 100.

    Укажите, каким кодовым словом должна быть закодирована буква Д. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.


    ✍ Решение:
    • Так как необходимо найти кодовое слово наименьшей длины, воспользуемся деревом. Влево будем откладывать нули, а вправо — единицы:

    • Поскольку у нас все ветви завершены листьями, т.е. буквами, кроме одной ветви, то остается единственный вариант, куда можно поставить букву Д:

    • Перепишем сверху вниз получившееся кодовое слово для Д: 101

    Результат: 101

    Подробней разбор урока можно посмотреть на видео ЕГЭ по информатике 2017:

    ЕГЭ по информатике 5 задание 2017 ФИПИ вариант 17 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

    Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г, Д и Е, решили использовать неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать двоичную последовательность, появляющуюся на приемной стороне канала связи. Использовали код: А — 0, Б — 111, В — 11001, Г — 11000, Д — 10.

    Укажите, каким кодовым словом должна быть закодирована буква Е. Длина этого кодового слова должна быть наименьшей из всех возможных. Код должен удовлетворять свойству однозначного декодирования. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.


    ✍ Решение:
    • Для того, чтобы выполнялось условие Фано, необходимо, чтобы код буквы Е не совпадал с началом кода любого кодового слова.
    • Поскольку кодовые слова достаточно длинные, то использовать для решения дерево не совсем удобно. Воспользуемся таблицей:

    • Теперь, начиная с однобитных кодов, и, двигаясь сверху вниз, подбираем такой код, который бы удовлетворял условию Фано. С 0 можно не начинать, так как уже есть код 0 для буквы А:
    
1   - не подходит (все буквы кроме А начинаются с 1)
10  - не подходит (соответствует коду Д)
11  - не подходит (начало кодов Б, В и Г)
100 - не подходит (код Д - 10 - является началом данного кода)
101 - не подходит (код Д - 10 - является началом данного кода)
110 - не подходит (начало кода В и Г)
111 - не подходит (соответствует коду Б)
1000 - не подходит (код Д - 10 - является началом данного кода)
1001 - не подходит (код Д - 10 - является началом данного кода)
1010 - не подходит (код Д - 10 - является началом данного кода)
1011 - не подходит (код Д - 10 - является началом данного кода)
1100 - не подходит (начало кода В и Г)
1101 - подходит

    Результат: 1101

    Более подробное решение данного задания представлено в видеоуроке:

    5 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика (ФИПИ):

    По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только десять букв: А, Б, Е, И, К, Л, Р, С, Т, У. Для передачи используется неравномерный двоичный код. Для девяти букв используются кодовые слова.

    Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Б, при котором код будет удовлетворять условию Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.

    Похожие задания для тренировки


    ✍ Решение:
    • Для решения будем использовать дерево. Ветви, соответствующие нулю, будем откладывать влево, единице — вправо.

    • При рассмотрении дерева видим, что все ветви «закрыты» листьями, кроме одной ветви — 1100:

    Результат: 1100

    Подробное решение данного 5 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

    Задание 5_9. Типовые экзаменационные варианты 2017. Вариант 4 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

    По каналу связи передаются шифрованные сообщения, содержащие только четыре букв: А, Б, В, Г; для передачи используется двоичный код, допускающий однозначное декодирование. Для букв А, Б, В используются кодовые слова:

    
А: 00011 
Б: 111 
В: 1010

    Укажите кратчайшее кодовое слово для буквы Г, при котором код будет допускать однозначное декодирование. Если таких кодов несколько, укажите код с наименьшим числовым значением.


    ✍ Решение:
    • Для решения будем использовать дерево. Ветви, соответствующие нулю, будем откладывать влево, единице — вправо.
    • Поскольку в задании явно не указано о том, что код должен удовлетворять условию Фано, то дерево нужно построить как с начала (по условию Фано), так и с конца (обратное условие Фано).

      • Дерево по условию Фано (однозначно декодируется с начала):

    • Получившееся числовое значение кодового слова для буквы Г — 01.

      • Дерево по обратному условию Фано (однозначно декодируется с конца):

    • Получившееся числовое значение кодового слова для буквы Г — 00.
    • После сравнения двух кодовых слов (01 и 00), код с наименьшим числовым значением — это 00.

    Результат: 00

    Задание 5_10. Тренировочный вариант №3 от 01.10.2018 (ФИПИ):

    По каналу связи передаются сообщения, содержащие только буквы: А, Е, Д, К, М, Р; для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Известно, что используются следующие коды:

    
Е – 000
Д – 10
К – 111

    Укажите наименьшую возможную длину закодированного сообщения ДЕДМАКАР.
    В ответе напишите число – количество бит.


    ✍ Решение:
    • С помощью дерева отобразим известные коды для букв:

    • В результирующем слове — ДЕДМАКАР — вде буквы А. Значит, для получения наименьшей длины необходимо для буквы А выбрать наименьший код в дереве. Учтем это и достроим дерево для остальных трех букв А, М и Р:

    • Расположим буквы в порядке их следования в слове и подставим их кодовые слова:
    
Д   Е   Д   М   А   К   А   Р
10 000 10  001 01  111 01  110
  • Посчитаем количество цифр в итоговом коде и получим 20.

    • Результат: 20

    Смотрите виде решения задания:

    labs-org.ru

    Решение задач и примеров по информатике


    Вы решаете задачи по информатике онлайн?

    Тогда добавьте объявление, чтобы найти заказы для решения задач по информатике и заработать на этом.

    Добавить решателя

    Вам нужна помощь в решении задач по информатике?

    Тогда оставьте заявку для поиска решателя и ждите, когда решатель свяжется с вами, чтобы предложить свои услуги.

    Найти решателя

    Услуги решателя по информатике

    Информатика — это одна из самых молодых и наиболее востребованных в современном обществе наук. Огромное количество компьютерных систем на производстве, в офисах и квартирах требует от юношей и девушек соответствующей подготовки. Пользователи должны не просто знать, когда какую кнопку нажать, а понимать то, что они делают. Кроме того, успешное освоение дисциплины открывает дорогу к получению престижной и высокооплачиваемой профессии программиста.

    Однако, на пути к вершинам всегда возникают непредвиденные трудности. Одна из них заключается в том, что процесс решения задач для многих школьников становится непреодолимым препятствием по причине отсутствия должных навыков по практическому применению полученных знаний. Веб-сервис «КтоРешит?» предлагает один из лучших вариантов устранения проблемы. Любой школьник получает возможность заказать решение задачи по информатике профильному специалисту, не сомневаясь в том, что получит пошагово выполненное задание со всеми необходимыми пояснениями.

    В организационном плане сделать это можно двумя способами. Если надо побыстрее, то лучше всего — ознакомиться с объявлениями решателей, которые опубликованы на нашем сайте. Затем следует выбрать из них то, которое больше всего подходит. После чего останется только связаться со специалистом, изложить условие задачи и оговорить технические детали.

    Если задание не слишком срочное, то ученик может опубликовать на страницах веб-ресурса заявку на выполнение услуг. В ней надо кратко описать условие задачи и дать свой контактный номер телефона. У этого варианта тоже есть преимущество. В данном случае со школьником будут связываться только те учителя, которые уже определили, что данный заказ им, безусловно, подходит.

    Преподаватели средних и высших учебных заведений также могут воспользоваться услугами сайта «КтоРешит?». С нашей помощью появляется возможность более полно, притом, за дополнительную плату, реализовать свои умственные способности и высокий уровень профессиональной подготовки. В этом нет никакого противоречия с общественной моралью, поскольку в рыночном обществе любой труд должен быть достойно оплачен.

    Чтобы мы могли найти дополнительных клиентов для любого преподавателя, который желает принимать заказы на решение задач, достаточно подать объявление. В нем желательно указать следующую информацию: фамилия, имя, отчество, образование, педагогический стаж и расценки за решение одной задачи. В заключение необходимо указать контактные данные. Это может быть не только телефон, но также электронная почта, скайп и т.д. При наличии опыта работы по решению задач на заказ, об этом можно сообщить отдельной строкой.

     

    ktoreshit.ru

    Задания ЕГЭ по информатике / Habr

    В России все больше внедряется практика оценивания выпускников школ методом сдачи единого государственного экзамена (ЕГЭ).

    Уже несколько лет в экспериментах по всей стране сдавали ЕГЭ по самым разным предметам. В этом году впервые массово будет сдаваться ЕГЭ по информатике.

    Что же внутри?

    ЕГЭ сдается 4 часа, содержит довольно много вопросов (в данной версии 32) и требует приличного уровня знаний для сдачи его на высокую оценку.

    Перед рассказом собственно о заданиях хочу поделиться двумя соображениями.
    1.     У ЕГЭ есть недостатки, однако главный положительный момент в том, что вводится почти объективная оценка реальных знаний ученика. Раньше в пределах школы учитель/директор имел возможность нарисовать любые оценки почти без ответственности за реальный уровень знаний. Случаи непоступления в ВУЗы были редки (ну в крайнем случае – другой ВУЗ/факультет) и мало кого волновали. Теперь же для учителя страшно поставить 5 и столкнуться с ЕГЭ, сданным на 3. Это резко изменило саму атмосферу подготовки.
    Впрочем, есть и недостатки. Пример: по утверждениям многих экспертов, в школах почти перестали преподавать геометрию, т.к. в ЕГЭ она представлена только тремя заданиями.
    2. Основная цель ЕГЭ – проранжировать учеников по уровню знаний. Дополнительная – поставить оценку по школьной 4-хбалльной системе.
    Для ранжирования большого числа учеников НЕ ВАЖНО, какого уровня в среднем будет экзамен. Надо лишь, чтобы самые слабые решили хоть что-то, а самые сильные решили почти все. Допустим, экзамен слишком сложен, и подавляющее большинство решат лишь половину заданий. Что ж, лучшие 20% из них смогут попасть в ВУЗ на соответствующий факультет.
    ЕГЭ не столько оценивает (абсолютная оценка), сколько ранжирует (относительная оценка).

    Задания
    Далее приведены с моими комментариями некоторые примерные задания, предлагаемые Федеральным институтом педагогических измерений (ФИПИ).
    Ссылка на полный вариант заданий 2009 года: fipi.ru/binaries/731/infZIP%20-%20WinRAR.zip и 2008 года: fipi.ru/binaries/518/inform.rar (там mime-type неправильно указан, сохраните как rar и откройте).

    На мой взгляд, задания сложные (напомню, в среднем выделяется по 7,5 минут на задание). Предлагаю оценить и вам.

    I. В велокроссе участвуют 119 спортсменов. Специальное устройство регистрирует прохождение каждым из участников промежуточного финиша, записывая его номер с использованием минимально возможного количества бит, одинакового для каждого спортсмена. Каков информационный объем сообщения, записанного устройством, после того как промежуточный финиш прошли 70 велосипедистов?
    1) 70 бит 2) 70 байт 3) 490 бит 4) 119 байт

    Требует понимания информационной емкости последовательности нескольких бит, умения оперировать степенями двойки, просто понимания сути термина «информация» и принципов его измерения.
    Средний школьник, как мне кажется, его решит, только если занимался информатикой сверх школьного минимума.

    II. Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает». Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?

    Требует понимания существования систем счисления с любыми основаниями и принципов кодирования такими сигналами. В данном случае — троичной системы.
    Средний школьник, как мне кажется, его не решит. Можно решать и перебором все вариантов и их подсчетом, но это долго и велик риск ошибиться.
    III. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
    (50<X•X) → (50>(X+1) •(X+1))?

    Требует знания логических операций (функции алгебры логики) и неплохих аналитических способностей (проверьте, сколько времени вы будете его решать сами и дайте любому школьнику или студенту младших курсов).
    IV. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

    Задание на первый взгляд не особо сложное, но решать его приходится или перебором (то есть сделать множество переводов в системы счисления типа семеричной или одиннадцатеричной, что крайне утомительно), или выработать систему и понять, что
    23 mod X = 2, где mod – остаток от деления, а Х – ответ.
    Догадались из моих знакомых ИТ-шников далеко не все.
    V. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

    Напоминает задачи на смекалку, не правда ли?
    Можно решать с помощью логического аппарата, который школьникам заведомо неизвестен (например, исчисления высказываний/предикатов) или логикой.
    Мне, честно говоря, непонятно, какое отношение это задание имеет к информатике.
    VI. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале игры фишка находится в точке с координатами (5,2). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех точек: или в точку с координатами (x+3,y), или в точку с координатами (x,y+3), или в точку с координатами (x,y+4). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0,0) не меньше 13 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

    Задание интересное. Предлагаю вам его решить. В решениях авторов его предлагается решать перебором всех возможных ходов каждого игрока.
    Опять же вопрос, какое отношение это непростое задание имеет к информатике? Проверяем логическое мышление?
    VII.

    Парадокс, но многие не понимают, что именно делает программа и считают все квадраты 2х2, не содержащие линий.

    VIII.

    Задание требует внимательности и опыта. Например, далеко не все видят, что тут 2 ошибки, обе из которых надо исправить.

    Эти примерные задания обнародованы и активно изучаются всеми, кому предстоит сдавать ЕГЭ.
    Многие учителя информатики в шоке от заданий. Напомню, что сейчас во многих школах изучают Word, Paint, набирают тексты или слушают рассказы про машину Чарльза Беббиджа и первую программистку-дочь Байрона. Все это хорошо и полезно, но никак не поможет сдаче этого экзамена.

    Многие школьники, кому сдавать этот ЕГЭ, бросились искать репетитора.
    Но на мой взгляд, средней сообразительности школьнику, учившему информатику просто как школьный предмет (я так учил географию, что даже примерно не представлял себе карту Европы к 11 классу – так учили), практически нереально подготовиться за жаркие 3 месяца к сдаче этого экзамена на приличную оценку.

    Ваше мнение, ИТ-шники? Сколько заданий вы бы решили из расчета 7,5 минут в среднем на каждое?

    habr.com

    1 … 332 333 334 335 336 … 343