Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) , (x + y)3 = (x + y)2(x + y) , (x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) суммы | (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы | (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы | (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) суммы (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
Куб (третья степень) суммы (x + y)3 = |
Четвертая степень суммы (x + y)4 = x4 + 4x3y + |
Пятая степень суммы (x + y)5 = x5 + 5x4y + |
Шестая степень суммы (x + y)6 = x6 + 6x5y + |
| … |
Общая формула для вычисления суммы
(x + y)n
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень) разности | (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности | (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности | (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности | (x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … | … |
Квадрат (вторая степень) разности (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
Куб (третья степень) разности (x – y)3 = |
Четвертая степень разности (x – y)4 = x4 – 4x3y + |
Пятая степень разности (x – y)5 = x5 – 5x4y + |
Шестая степень разности (x – y)6 = x6 – 6x5y + |
| … |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
(x + y + z)3 =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+ 3x2z + 3xy2 +
+ 3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Сумма нечетных степеней
Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.
Таблица 3. – Сумма нечетных степеней
| Название формулы | Формула |
| Сумма кубов | x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) |
| Сумма пятых степеней | x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) |
| Сумма седьмых степеней | x7 + y7 = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6) |
| … | … |
| Сумма степеней порядка 2n + 1 | x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n – x2n – 1y + x2n – 2 y2 – …– xy2n – 1 + y2n) |
Сумма кубов x3 + y3 = | |
Сумма пятых степеней x5 + y5 = | |
Сумма седьмых степеней x7 + y7 = | |
| … | |
Сумма степеней порядка 2n + 1
|
Разность нечетных степеней
Если в формулах из Таблицы 3 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):
Таблица 4. – Разность нечетных степеней
| Название формулы | Формула |
| Разность кубов | x3– y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) |
| Разность пятых степеней | x5– y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) |
Разность седьмых | x7– y7 = (x – y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6) |
| … | … |
| Разность степеней порядка 2n + 1 | x2n + 1– y2n + 1 = (x – y) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + …+ xy2n – 1 + y2n) |
Разность кубов x3– y3 = | |
Разность пятых степеней x5– y5 = | |
Разность седьмых x7– y7 = | |
| … | |
Разность степеней порядка 2n + 1
|
Разность четных степеней
Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.
Таблица 5. – Разность четных степеней
| Название формулы | Формула | |
| Разность квадратов | x2– y2 = (x + y) (x – y) | |
| Разность четвертых степеней |
| |
| Разность шестых степеней |
| |
| Разность восьмых степеней |
| |
| … | … | |
| Разность степеней порядка 2n | x2n– y2n = (x + y) (x2n – 1 – x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – …+ xy2n – 2 – y2n – 1) , x2n– y2n = (x – y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + …+ xy2n – 2 + y2n – 1) |
Разность квадратов x2– y2 = (x + y) (x – y) | |||
Разность четвертых степеней
| |||
Разность шестых степеней
| |||
Разность восьмых степеней
| |||
| … | |||
Разность степеней порядка 2n
|
Замечание. Оба разложения на множители двучлена:
x2n– y2n ,
приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.
Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения| Номер | Название формулы | Короткая запись | Раскрытие скобок/разложение на множители |
| (1) | Разность квадратов | a2-b2 | (a-b)(a+b) |
| (2) | Квадрат суммы/разности | (a±b)2 | a2±2ab+b2 |
| (3) | Квадрат суммы для n переменных | (a1+a2+…+an)2 | a12+a22+…+an2+2∑i,jaiaj |
| (4) | Сумма/разность кубов | a3±b3 | (a±b)(a2∓ab+b2) |
| (5) | Куб суммы/разности | (a±b)3 | a3±3a2b+3ab2±b3 |
| (6) | Куб суммы для n переменных | (a1+a2+…+an)3 | a13+a23+…+an3+3∑i,jai2aj+6∑i,j,kaiajak |
| (7) | Разность четвертых степеней | a4-b4 | (a-b)(a+b)(a2+b2) |
| (8) | Четвертая степень суммы/разности | (a±b)4 | a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4 |
| (9) | Сумма/разность nх степеней | an-bn | (a±b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-3a2 +bn-2a+bn-1) |
| (10) | Сумма (2n+1)х степеней | a2n+1+b2n+1 | (a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2+…+b2n-2a2-b2n-1a+b2n) |
| (11) | Nая степень суммы/разности | (a±b)n | an±(n1)an-1b+(n2)an-2b2±..+(nn-2)a2bn-2±(nn-1)abn-1+bn |
— версия для печати
- Определение
- Nая степень числа — результат умножения числа на себя n раз. Также квадратом числа называется результат возведения числа в степень n (в nую степень).
- Пример:
- (4a—3b)3 = 64a3 — 144a2b + 108ab2 — 27b3
- Пояснение
- Под (nk) подразумевается биномиальный коэффициент, равный
| Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью. |
© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016
scolaire.ru
Суммы степеней — арифметические прогрессии, геометрические прогрессии, суммы степеней, различные прогрессии
Арифметические прогрессии
$a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\{a+(n-1)d\}=\left(\frac{1}{2}\right)n\{2a+(n-1)d\}=\left(\frac{1}{2}\right)n(a+l)$
где $l=a+(n-1)d$ есть последним членом.
Некоторые особые случаи есть
$1+2+3+\cdots+n=\left(\frac{1}{2}\right)n(n+1)$
Геометрические прогрессии
$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a-rl}{1-r}s$
где $l=ar^{n-1}$ есть последним членом и $r\neq1$.
Если $-1 $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n=\frac{a}{1 — r}$
Арифметическо-геометрические прогрессии
$a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots+\{a+(n-1)d\}r^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}+\frac{rd\{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n\}}{(1-r)^2}$
где $r\neq1$.
Если $-1$a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots=\frac{a}{1-r}+\frac{rd}{(1-r)^2}$
Суммы степеней натуральных чисел
$1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p=\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{1}{2}n^p+\frac{B_1pn^{p-1}}{2!}-\frac{B_2p(p-1)(p-2)n^{p-3}}{4!}+\cdots$
где последовательность чисел заканчивается в $n^2$ или $n$ соответственно когда $p$ есть нечетное или четное и $B_k$ есть числа Бернулли.
Некоторые особые случаи есть
$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+3+\cdots+n)^2$
$1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
If $S_k=1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k$ где $k$ и $n$ есть натуральные числа, тогда
$\binom{k+1}{1}S_1+\binom{k+1}{2}S_2+\cdots+\binom{k+1}{k}S_k=(n+1)^{k+1}-(n+1)$
Прогрессии с обратными степенями натуральных чисел
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots=\ln2$
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\pi}{4}$
$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{13}-\cdots=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}+\frac{1}{3}\ln2$
$1-\frac{1}{5}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\cdots=\frac{\pi\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})}{4}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+\frac{1}{14}-\cdots=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}-\frac{1}{3}\ln2$
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$
$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{90}$
$\frac{1}{1^6}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{4^6}+\cdots=\frac{\pi^6}{945}$
$\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{12}$
$\frac{1}{1^4}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\cdots=\frac{7\pi^4}{720}$
$\frac{1}{1^6}-\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}-\frac{1}{4^6}+\cdots=\frac{31\pi^6}{30,240}$
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}$
$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{96}$
$\frac{1}{1^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+\cdots=\frac{\pi^6}{960}$
$\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots=\frac{\pi^3}{32}$
$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots=\frac{3\pi^3\sqrt{2}}{128}$
$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\cdots=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{4\cdot6}+\cdots=\frac{3}{4}$
$\frac{1}{1^2\cdot3^2}+\frac{1}{3^2\cdot5^2}+\frac{1}{5^2\cdot7^2}+\frac{1}{7^2\cdot9^2}+\cdots=\frac{\pi^2-8}{16}$
$\frac{1}{1^2\cdot2^2\cdot3^2}+\frac{1}{2^2\cdot3^2\cdot4^2}+\frac{1}{3^2\cdot4^2\cdot5^2}+\cdots=\frac{4\pi^2-39}{16}$
$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}+\frac{1}{a+2d}-\frac{1}{a+3d}+\cdots=\int\limits_0^1\frac{u^{a-1}\ du}{1+u^d}$
$\frac{1}{1^{2p}}+\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{4^{2p}}+\cdots=\frac{2^{2p-1}\pi^{2p}B_p}{(2p)!}$
$\frac{1}{1^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{5^{2p}}+\frac{1}{7^{2p}}+\cdots=\frac{(2^{2p}-1)\pi^{2p}B_p}{2(2p)!}$
$\frac{1}{1^{2p}}-\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}-\frac{1}{4^{2p}}+\cdots=\frac{(2^{2p-1}-1)\pi^{2p}B_p}{(2p)!}$
$\frac{1}{1^{2p+1}}-\frac{1}{3^{2p+1}}+\frac{1}{5^{2p+1}}-\frac{1}{7^{2p+1}}+\cdots=\frac{\pi^{2p+1}E_p}{2^{2p+2}(2p)!}$
Различные прогрессии
$\frac{1}{2}+\cos\alpha+\cos2\alpha+\cdots+\cos n\alpha=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$
$\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha+\cdots+\sin n\alpha=\frac{\sin\left[\frac{1}{2}(n+1)\right]\alpha\sin\frac{1}{2}n\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}$
$1+r\cos\alpha+r^2\cos2\alpha+r^3\cos3\alpha+\cdots=\frac{1-r\cos\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$, $|r|
$r\sin\alpha+r^2\sin2\alpha+r^3\sin3\alpha+\cdots=\frac{r\sin\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$, $|r|
$1+r\cos\alpha+r^2\cos2\alpha+\cdots+r^n\cos n\alpha=\frac{r^{n+2}\cos n\alpha-r^{n+1}\cos(n+1)\alpha-r\cos\alpha+1}{1-2r\cos\alpha+r^2}$
$r\sin\alpha+r^2\sin2\alpha+\cdots+r^n\sin n\alpha=\frac{r\sin\alpha-r^{n+1}\sin(n+1)\alpha+r^{n+2}\sin n\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$
Формулы суммирования Эйлера — Маклорена
$\sum\limits_{k=1}^{n-1}F(k)=\int\limits_0^nF(k)dk-\frac{1}{2}\{F(0)+F(n)\}+\frac{1}{12}\{F'(n)-F'(0)\}-\frac{1}{720}\{F»'(n)-F»'(0)\}+\frac{1}{30,240}\{F^{(v)}(n)-F^{(v)}(0)\}-\frac{1}{1,209,600}\{F^{(vii)}(n)-F^{(vii)}(0)\}$
$+\cdots(-1)^{p-1}\frac{B_p}{(2p)!}\{F^{(2p-1)}(n)-F^{(2p-1)}(0)\}+\cdots$
Формула суммирования Пуассона
$\sum\limits_{k=-\infty}^\infty F(k)=\sum\limits_{m=-\infty}^\infty\left\{\ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{2\pi imx}F(x)\ dx\right\}$
www.math10.com
Сумма пятой степени | Формулы с примерами
1. 25 + 35 = (2 + 3) • (23 • 3 + 22 • 32 — 2 • 33 + 34) =
5 • (16 — 8 • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
5 • 55 = 275 ;
a = 25 ;
b = 35 ;
2. 75 + 55 = (7 + 5) • (74 — 73 • 5 + 72 • 52 — 7 • 53 + 54) =
12 • (2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
12 • (2 401 — 1 715 + 1 225 — 875 + 625) =
12 • 1 661 = 19 932 ;
a = 75 ;
b = 55 ;
3. 35 + 35 = (3 + 5) • (34 — 33 • 5 + 32 • 52 — 3 • 53 + 54) =
8 • (81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
8 • 421 = 3 368 ;
a = 35 ;
b = 55 ;
formula-xyz.ru
| | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)n=
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: | | ||||||||||||||||||||
dpva.ru
Сумма седьмой степени | Формулы с примерами
1. 17 + 37 = (1 + 3) • (16 — 15 • 3 + 14 • 32 — 13 • 33 + 12 • 34 — 1 • 35 + 36) =
4 • (1 — 3 + 9 — 27 + 81 — 243 + 729) =
4 • 547 = 2 188 ;
a = 17 ;
b = 37 ;
2. 27 + 37 = (2 + 3) • (26 — 25 • 3 + 24 • 32 — 23 • 33 + 24 • 34 — 2 • 35 + 36) =
5 • (64 — 32 • 3 + 16 • 9 — 8
5 • (64 — 96 + 144 — 216 + 324 — 486 + 729) =
5 • 463 = 2 315 ;
a = 27 ;
b = 37 ;
3. 37 + 57 = (3 + 5) • (36 — 35 • 5 + 34 • 52 — 33 • 53 + 32 • 54 — 3 • 55 + 56) =
8 • (729 — 125 • 5 + 81 • 25 — 27 • 125 + 9 • 625 — 3 • 3 125 + 15 625) =
8 • (729 — 625 + 2 025 — 3 375 + 5 625 — 9 375 + 15 625) =
a = 37 ;
b = 57 ;
formula-xyz.ru