Π£Π³Π»Ρ‹ тригономСтрия – ГСомСтрия. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 1. ВригономСтрия β€” ЁП

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ГСомСтрия. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 1. ВригономСтрия β€” ЁП

 

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ страницы:

 

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ.

 

Бинус ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅.

sinΞ±=ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅.

cosΞ±=ΠŸΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу).

tgΞ±=ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠŸΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса ΠΊ синусу).

ctgΞ±=ΠŸΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚

 

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC, ΡƒΠ³ΠΎΠ» C Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 90Β°:

sin∠A=CBAB

cos∠A=ACAB

tg∠A=sin∠Acos∠A=CBAC

ctg∠A=cos∠Asin∠A=ACCB

sin∠B=ACAB

cos∠B=BCAB

tg∠B=sin∠Bcos∠B=ACCB

ctg∠B=cos∠Bsin∠B=CBAC

 

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ – это ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Вакая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ пСрСсСкаСт ось Ρ… Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (βˆ’1;0) ΠΈ (1;0), ось y Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (0;βˆ’1) ΠΈ (0;1)

На Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ окруТности Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΡˆΠΊΠ°Π»Ρ‹ отсчСта – ось x, ось y ΠΈ сама ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.

Π£Π³Π»Ρ‹ Π½Π° тригономСтричСской окруТности ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (1;0), – Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния оси x, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ S (ΠΎΡ‚ слова start). ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° окруТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ A. Рассмотрим ∠SOA, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π·Π° Ξ±. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π΅Π³ΠΎ градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄ΡƒΠ³Π΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ½ опираСтся, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ∠SOA=Ξ±=βˆͺSA.

 

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ синус ΠΈ косинус этого ΡƒΠ³Π»Π°. Π”ΠΎ этого синус ΠΈ косинус ΠΌΡ‹ искали Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, сСйчас Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС. Для этого опустим пСрпСндикуляры ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A Π½Π° ось x (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B) ΠΈ Π½Π° ось ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊ (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° C).

 

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ OB являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° OA Π½Π° ось x, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ OC являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° OA Π½Π° ось y.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ AOB:

cosΞ±=OBOA=OB1=OB

sinΞ±=ABOA=AB1=AB

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ OCAB – ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, AB=CO.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, косинус ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΏΠΎ оси x (ось абсцисс), синус ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΏΠΎ оси y (ось ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚).

 

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ± β€” Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ большС 90Β°:

 

ΠžΠΏΡƒΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A пСрпСндикуляры ΠΊ осям x ΠΈ y. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B Π² этом случаС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ ΠΏΠΎ оси x.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

МоТно дальшС ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ A ΠΏΠΎ окруТности, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π² III ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ этим Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² курсС 9 класса Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 180Β°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Ρƒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ окруТности, которая Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π°Π΄ осью x. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° этой окруТности ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 0Β°,30Β°,45Β°,60Β°,90Β°,120Β°,135Β°,150Β°,180Β°. Из ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Ρƒ, опустим пСрпСндикуляры Π½Π° ось x ΠΈ Π½Π° ось y.

 

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ оси x – косинус ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ оси y – синус ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

cos150Β°=βˆ’32

sin150Β°=12

 

Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅.

Бинус Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Π° косинус – ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ.

ВангСнс – это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

ВангСнс Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса ΠΊ синусу. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

 

sin2Ξ±+cos2Ξ±=1

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ тоТдСство – Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ OAB:

 

AB2+OB2=OA2

sin2Ξ±+cos2Ξ±=R2

sin2Ξ±+cos2Ξ±=1

 

 

0Β° 30Β° 45Β° 60Β° 90Β°
sinΞ± 0 12 22 32 1
cosΞ± 1 32 22 12 0
tgΞ± 0 33 1 3 Π½Π΅Ρ‚
ctgΞ± Π½Π΅Ρ‚ 3 1 33 0

 

Если Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ рисунок,

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

sin180Β°=sin(180Β°βˆ’0Β°)=sin0Β°

sin150Β°=sin(180Β°βˆ’30Β°)=sin30Β°

sin135Β°=sin(180Β°βˆ’45Β°)=sin45Β°

sin120Β°=sin(180Β°βˆ’60Β°)=sin60Β°

 

cos180Β°=cos(180Β°βˆ’0Β°)=βˆ’cos0Β°

cos150Β°=cos(180Β°βˆ’30Β°)=βˆ’cos30Β°

cos135Β°=cos(180Β°βˆ’45Β°)=βˆ’cos45Β°

cos120Β°=cos(180Β°βˆ’60Β°)=βˆ’cos60Β°

 

Рассмотрим Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ²:

 

Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ²=180Β°βˆ’Ξ± всСгда Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ справСдливы ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ равСнства:

sin(180Β°βˆ’Ξ±)=sinΞ±

cos(180Β°βˆ’Ξ±)=βˆ’cosΞ±

tg(180Β°βˆ’Ξ±)=βˆ’tgΞ±

ctg(180Β°βˆ’Ξ±)=βˆ’ctgΞ±

 

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ стороны ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ синусам ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

 

asin∠A=bsin∠B=csin∠C

 

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стороны ΠΊ синусу ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ радиусам описанной Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° окруТности.

 

asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R

 

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон минус ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих сторон Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

 

a2=b2+c2βˆ’2bcβ‹…cos∠A

b2=a2+c2βˆ’2acβ‹…cos∠B

c2=a2+b2βˆ’2abβ‹…cos∠C

 

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ гСомСтрия: задания, связанныС с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ.

 

Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ домашнСС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ 1.

 

epmat.ru

ВригономСтрия

         
  Главная > Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ > ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°:  Π’ригономСтрия  
   
   
 
   1.ВригономСтрия.
   2.ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

 

     
     
  1 2 3 4 5 6 7 8 9  
     

   1.  Π’ригономСтрия – Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ зависимости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ сторонами Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

   ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” вычислСниС нСизвСстных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли извСстны значСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π’ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ вычислСнии ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли извСстны Π΅Π³ΠΎ стороны, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ вычислСнии сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Ρ‚.Π΄.

 
 

   Π”ля измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ такая  Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния, ΠΊΠ°ΠΊ градус. Вся ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ О составляСт 360Β°. Помимо градусной ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ  радианная ΠΌΠ΅Ρ€Π°. 1 Ρ€Π°Π΄ β‰ˆ 57,295779513Β° β‰ˆ 57Β°17β€²44,806β€³ β‰ˆ 206265β€³.

   Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½Π°Ρ  ΠΈ  Π³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ связаны Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 180Β°=Ο€   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.  Π£Π³ΠΎΠ»  Π² nΒ°  Ρ€Π°Π²Π΅Π½    Ο€n/ 180  Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

   Π”ля Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ±, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

                        l= Ξ±r
   Π³Π΄Π΅  
     l  β€“ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ окруТности
     Ξ± – ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…
     r  β€“ радиус окруТности.
 

   ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ S сСктора ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° радиуса r, Π΄ΡƒΠ³Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ содСрТит Ξ± Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, рассчитываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

                        S = Ξ±rΒ² / 2
    Π³Π΄Π΅
      S – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° радиуса r

 

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

 
 
   
 

2. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

   Π’ригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” матСматичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ исслСдовании пСрСодичСских процСссов Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ.  ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚  ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сторон ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°  Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

   ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° плоскости Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O ΠΈ с осями OX ΠΈ OY . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π² этой систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O ΠΈ радиусом, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ OМ поворачиваСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ± Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° O. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠžΠœΠ’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± опрСдСляСтся ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

 
     Π‘инусом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° OМ=R, Π³Π΄Π΅ R β€” радиус окруТности. Бинус ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ sinΞ±. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° OМ=1, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ sinΞ± = y.
   ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° OМ. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ cosΞ±. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ОМ=1, Ρ‚ΠΎ cosΞ± = Ρ….
   Π’ангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М ΠΊ x. ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ tgΞ±. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ y = sin Ξ± ΠΈ x = cos Ξ±, Ρ‚ΠΎ tgΞ±= sin Ξ± / cos Ξ±.
   ΠšΠΎΡ‚ангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М ΠΊ y. ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ctgΞ±. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ y = sin Ξ± ΠΈ x = cos Ξ±, Ρ‚ΠΎ ctgΞ±= cosΞ± / sinΞ±. Π˜Π· послСдних Π΄Π²ΡƒΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ слСдуСт: ctg Ξ±= 1 / tg Ξ±
 

sin, cos, tg, ctg Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

 
     
 

   y = sin x


   ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin x  β€” мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус являСтся ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [-1;1].

 

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin.

 
     
 

   y = cos x


   ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos x  β€” мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус являСтся ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [-1;1].

 

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos.

 
     
 

   y = tg x


   ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ tg x  β€” (-Ο€/2 + Ο€n, Ο€/2 + Ο€n) nΟ΅Z;
ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (-∞; ∞)

 

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ tg.

 
     
 

  y = ctg x


   ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ctg x  β€” (Ο€n, Ο€ + Ο€n) nΟ΅Z;
ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ (-∞; ∞)

 

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сtg.

 
     
 

 
     
   
     
 

    ЗначСния синуса ΠΈ косинуса для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

 
   
   
     Π—начСния тангСнса ΠΈ котангСнса для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² 30, 45 ΠΈ 60 находятся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ.  
 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

 
   
  ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2      
   
 
     
  1 2 3 4 5 6 7 8 9  
     

www.mathtask.ru

ΠžΡ‚ΡΡ‡Ρ‘Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. РаспрСдСлСниС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ чСтвСртям.

        Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ освоили (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ – ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ) ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ понятия всСй Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, синус ΠΈ косинус этого ΡƒΠ³Π»Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ освоили Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ чСтвСртям. Освоили ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ. На ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°Ρ…, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

        Но этого ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΠ°Π»ΠΎ. Для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ практичСского примСнСния всСх этих простых понятий Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊ. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π‘Π΅Π· этого умСния Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ – Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π² самых ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? Π”Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» – ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Π°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π²ΠΎ всСй Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ! НСт, Π½Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ синус с косинусом, Π½Π΅ тангСнс с котангСнсом Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ сам ΡƒΠ³ΠΎΠ». НСт ΡƒΠ³Π»Π° – Π½Π΅Ρ‚Ρƒ ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, да…

        Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅? Для этого Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π΅Π·Π½ΠΎ ΡƒΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°.

        1) Как ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅?

        2) Π’ Ρ‡Ρ‘ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ (ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ)?

        ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ вопрос – ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° сСгодняшнСго ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. Π‘ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ вопросом ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ разбСрёмся прямо здСсь ΠΈ сСйчас. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ вопрос здСсь Π½Π΅ Π΄Π°ΠΌ. Ибо достаточно Ρ€Π°Π·Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½. Как ΠΈ сам Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ вопрос ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ скользкий, Π΄Π°.) Π’Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² подробности ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎ – Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

        ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΠΌ?

 

Как ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅? ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.

        Π£ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ… Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π°, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡƒΠΆΠ΅ волосы встали Π΄Ρ‹Π±ΠΎΠΌ. Как Ρ‚Π°ΠΊ?! ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹? Π Π°Π·Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ?

        К ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ. На числовой оси ΠΈΡ… ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: справа ΠΎΡ‚ нуля ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, слСва ΠΎΡ‚ нуля ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. Π”Π° ΠΈ Π½Π° градусник Π·Π° ΠΎΠΊΠ½ΠΎΠΌ поглядываСм пСриодичСски. ОсобСнно Π·ΠΈΠΌΠΎΠΉ, Π² ΠΌΠΎΡ€ΠΎΠ·.) И Π΄Π΅Π½Π΅ΠΆΠΊΠΈ Π½Π° Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π΅ Π² «минус» (Ρ‚.Π΅. Π΄ΠΎΠ»Π³) ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° уходят. Π­Ρ‚ΠΎ всё Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎ.

        А Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ? ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚! Всё зависит ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ этот самый угол… Π½Π΅Ρ‚, Π½Π΅ Π½Π° числовой прямой, Π° Π½Π° числовой окруТности! Π’ΠΎ бишь, Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅. ΠšΡ€ΡƒΠ³ – Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ числовой прямой Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ!

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅? НичСго Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, придётся Π½Π°ΠΌ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° этот самый ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.

        Π― Π½Π°Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΊΡ€Π°ΡΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ:

        Она ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. Π•ΡΡ‚ΡŒ оси, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ». Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ новая информация.

        Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, я Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ» Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²). Напоминаю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ всСгда Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки.

        Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ я Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ» Ρ†ΠΈΡ„Π΅Ρ€ΠΊΠΈ 0Β°, 90Β°, 180Β°, 270Β° ΠΈ 360Β° Π½Π° осях. Π’ΠΎΡ‚ это ΡƒΠΆΠ΅ поинтСрСснСС.) Π§Ρ‚ΠΎ это Π·Π° Ρ†ΠΈΡ„Π΅Ρ€ΠΊΠΈ? ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ! Π­Ρ‚ΠΎ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², отсчитанныС ΠΎΡ‚ нашСй Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ стороны, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ оси. ВспоминаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСподвиТная сторона ΡƒΠ³Π»Π° Ρƒ нас всСгда ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΊΠΎ-Π½Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΊΠΎ привязана ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ полуоси ОΠ₯. И любой ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ отсчитываСтся ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ этой полуоси. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчёта ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ΠΎ Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ ΠΆΠ΅Π»Π΅Π·Π½ΠΎ. А оси – ΠΎΠ½ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ? Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ прибавляСм ΠΏΠΎ 90Β° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.

        И Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π° красная стрСлочка. Π‘ плюсом. ΠšΡ€Π°ΡΠ½Π°Ρ – это ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² Π³Π»Π°Π·Π° Π±Ρ€ΠΎΡΠ°Π»Π°ΡΡŒ. И Π² ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π½ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ€Π΅Π·Π°Π»Π°ΡΡŒ. Ибо это Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π΄Ρ‘ΠΆΠ½ΠΎ.) Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ эта стрСлочка?

        Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ оказываСтся, Ссли наш ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ стрСлочкС с плюсом (ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, ΠΏΠΎ Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ Π½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΉ), Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ! Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π° рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» +45Β°. ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ осСвыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 0Β°, 90Β°, 180Β°, 270Β° ΠΈ 360Β° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² плюс! По красной стрСлочкС.

        А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ посмотрим Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ:

        Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всё Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС. Волько ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° осях ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ сторону. По часовой стрСлкС. И ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊ «минус».) Π•Ρ‰Ρ‘ нарисована синяя стрСлочка. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ с минусом. Π­Ρ‚Π° стрСлочка – Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ отсчёта ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅. Она Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ наш ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎ Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ часовой стрСлки, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° я ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΡƒΠ³ΠΎΠ» -45Β°.

        ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡƒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нумСрация Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΉ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ мСняСтся! НСваТно, Π² плюс ΠΈΠ»ΠΈ Π² минус ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. ВсСгда строго ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки.)

        Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ:

        1. Начало отсчёта ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² – ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ полуоси ОΠ₯. По часам – «минус», ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часов – «плюс».

        2. НумСрация Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΉ всСгда ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки Π²Π½Π΅ зависимости ΠΎΡ‚ направлСния исчислСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

 

        ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ говоря, ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° осях 0Β°, 90Β°, 180Β°, 270Β°, 360Β°, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· рисуя ΠΊΡ€ΡƒΠ³ – вовсС Π½Π΅ обязаловка. Π­Ρ‚ΠΎ чисто для понимания сути сдСлано. Но эти Ρ†ΠΈΡ„Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² вашСй Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ любой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? Π”Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти элСмСнтарныС знания Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ вопросы Π²ΠΎ всСй Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ! Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ вопрос – Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ нас ΡƒΠ³ΠΎΠ»? Π₯ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° этот вопрос Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π»ΡŒΠ²ΠΈΠ½ΡƒΡŽ долю всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ занятиСм (распрСдСлСниСм ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ чСтвСртям) ΠΌΡ‹ займёмся Π² этом ΠΆΠ΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅, Π½ΠΎ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.

        Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° осях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0Β°, 90Β°, 180Β°, 270Β° ΠΈ 360Β°), Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ! Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΊΠΎ, Π΄ΠΎ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΌΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π² плюс, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² минус.

        А Π²ΠΎΡ‚ с этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΡΡŽΡ€ΠΏΡ€ΠΈΠ·Ρ‹. И вмСстС с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°Π²Π΅Ρ€Π·Π½Ρ‹Π΅ вопросы Π² ΠΌΠΎΠΉ адрСс, да…) А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ совпадёт с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ? Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ???

        Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ! Π’Π°ΠΊ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ.) НапримСр, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» +270Β° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -90Β°. Или, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» +45Β° Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π·Π°ΠΉΠΌΡ‘Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -315Β°.

        Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΠΉ рисунок ΠΈ всё Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ:

        Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» +150Β° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Ρ‘Ρ‚ Ρ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΆΠ΅, ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -210Β°, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» +230Β° – Ρ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΆΠ΅, ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -130Β°. И Ρ‚Π°ΠΊ далСС…

        И Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? Как ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Ссли ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ сяк? Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ?

        ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΠΎ-всякому ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ! Ни ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ отсчёта ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚. А Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния зависит ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ задания. Если Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ сказано прямым тСкстом ΠΏΡ€ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Π° (Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Β«ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ наибольший ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ»Β» ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.), Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ с Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ.

        ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΡ€ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ тригономСтричСскиС уравнСния ΠΈ нСравСнства Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ исчислСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ колоссально Π²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. И Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ… ΠΌΡ‹ эти ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°ΠΌΠ½ΠΈ рассмотрим.

 

        Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ:

        Π›ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Π›ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ! Каким Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ.

 

        А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ призадумаСмся Π²ΠΎΡ‚ Π½Π°Π΄ Ρ‡Π΅ΠΌ. ΠœΡ‹ выяснили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β° Π² точности совпадаСт с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ -315Β°? Как ΠΆΠ΅ я ΡƒΠ·Π½Π°Π» ΠΏΡ€ΠΎ эти самыС 315Β°? НС Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ? Π”Π°! Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.) Π’ 360Β°. Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β°. Бколько Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°? ΠžΡ‚Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ 45Β° ΠΎΡ‚ 360Β° – Π²ΠΎΡ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 315Β°. ΠœΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ сторону – ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -315Β°. Всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ нСпонятно? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° смотрим Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π·.

        И Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ всСгда ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ (ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚) – рисуСм ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», считаСм, сколько градусов Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, ΠΈ ΠΌΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΡƒΡŽΡΡ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону. И всё.)

        Π§Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ интСрСсны ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅? А Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ синус, косинус, тангСнс ΠΈ котангСнс! ВсСгда!

        НапримСр:

        sin45Β° = sin(-315Β°)

        cos120Β° = cos(-240Β°)

        tg249Β° = tg(-111Β°)

        ctg333Β° = ctg(-27Β°)

        И Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, Π²Ρ‹ поняли… ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡƒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² этих ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. Π—Π°Ρ‚ΠΎ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ Π½ΠΈΡ… – ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹! ИдСя ясна?

        А Π²ΠΎΡ‚ это ΡƒΠΆΠ΅ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ! Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ? Π”Π° всё Π·Π° Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅!) Для упрощСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Ибо ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ – ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. И ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС.

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, с ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ отсчёта ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ. Ну Π° ΠΊΠΎΠ»ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΡƒΡ‚ Π·Π°ΠΈΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ€Π° Π±Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти самыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹. ΠŸΠΎΡ€ΠΈΡΡƒΠ΅ΠΌ?)

        Начнём ΠΏΠΎΠΊΠ° с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Они ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π² рисовании Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚.

 

РисуСм ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° (ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0Β° ΠΈ 360Β°).

        НарисуСм, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. Π’ΡƒΡ‚ всё просто, Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°ΠΌΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. РисуСм ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ оси, ΠΊΡ€ΡƒΠ³. МоТно прямо ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, Π±Π΅Π·ΠΎ всякого циркуля ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ. РисуСм схСматично: Ρƒ нас Π½Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π²Π°ΠΌΠΈ. Никаких Π“ΠžΠ‘Π’ΠΎΠ² ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ, Π½Π΅ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΆΡƒΡ‚.)

        МоТно (для сСбя) ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° осях ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ стрСлочку Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часов. Π’Π΅Π΄ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΆΠ΅ Π² плюс ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ собираСмся?) МоТно этого ΠΈ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ всяко Π½Π°Π΄ΠΎ.

        И Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ (ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΡƒΡŽ) сторону ΡƒΠ³Π»Π°. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ? Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ, разумССтся! Ибо 60 градусов – это строго ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0Β° ΠΈ 90Β°. Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ рисуСм Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Под ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 60 градусов ΠΊ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ сторонС. Как ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 60 градусов Π±Π΅Π· транспортира? Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ! 60Β° – это Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ прямого ΡƒΠ³Π»Π°! Π”Π΅Π»ΠΈΠΌ мыслСнно ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ части, Π·Π°Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ сСбС Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ. И рисуСм… Π‘колько Ρƒ нас Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ получится (Ссли ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ транспортир ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ) – 55 градусов ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ 64 – Π½Π΅Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ! Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 60Β°.

        ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ:

        Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ всё. И инструмСнтов Π½Π΅ понадобилось. Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π³Π»Π°Π·ΠΎΠΌΠ΅Ρ€! Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ пригодится.) Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ нСказистый рисунок Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ†Π°Ρ€Π°ΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ, Π½Π΅ особо Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°ΡΡΡŒ ΠΎ красотС. Но ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π°Ρ†Π°Ρ€Π°ΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Π±Π΅Π· ошибок, со всСй Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ. НапримСр, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ срСдство ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств.

        НарисуСм Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 265Β°. ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠΈΠ΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ? Ну, ясноС Π΄Π΅Π»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ: ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π° 90 ΠΈ Π½Π° 180 градусов ΠΎΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. МоТно ΡΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 265Β° β€” это 180Β° плюс Π΅Ρ‰Ρ‘ 85Β°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ полуоси ОΠ₯ (Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ 180Β°) Π½Π°Π΄ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 85Β°. Или, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 265Β° Π½Π΅ дотягиваСт Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ полуоси OY (Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ 270Β°) ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Ρ‚ΠΎ нСсчастных 5Β°. Одним словом, Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ». ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ полуоси OY, ΠΊ 270 градусам, Π½ΠΎ всё-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ!

        РисуСм:

        ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡŽΡΡŒ, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ здСсь Π½Π΅ трСбуСтся. ΠŸΡƒΡΠΊΠ°ΠΉ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ» получился, скаТСм 263 градуса. Но Π½Π° самый Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ вопрос (какая Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ?) ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ Π±Π΅Π·ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ этот вопрос самый Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ? Π”Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Π½Π΅Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ) начинаСтся с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° этот вопрос! ВсСгда. Если этот вопрос ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ³Π½ΠΎΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ мыслСнно, Ρ‚ΠΎ ошибки ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ½Ρ‹, да… Оно Π²Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ?

        Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ:

        Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ (Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ рисованиС этого самого ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅) всСгда начинаСтся с опрСдСлСния Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ».

        Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, я надСюсь, Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Π΅Π·ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 182Β°, 88Β°, 280Β°. Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чСтвСртях. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ, Ссли что…)

        ЧСтвёртая Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ заканчиваСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 360Β°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. ЯсСн ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ†, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ 0Β° (Ρ‚.Π΅. Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчёта). Но ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° этом Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, да…

 

Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, большими 360Β°?

        «А Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²Π΅ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚?Β» – спроситС Π²Ρ‹. Π‘Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΊΠ°ΠΊ! Π‘Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡƒΠ³ΠΎΠ» 444Β°. А Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, скаТСм, ΡƒΠ³ΠΎΠ» 1000Β°. ВсякиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚.) ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ экзотичСскиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ слоТнСС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Но Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ, Π΄Π°.

        Для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ рисования Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ всё Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС – Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ нас ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π·ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ΄Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Π΅ΠΌ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β°! Π‘Π°ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° опрСдСлСния Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ услоТняСтся всСго ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ шагом. Каким, скоро ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅.

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 444Β°. НачинаСм ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. ΠšΡƒΠ΄Π°? Π’ плюс, разумССтся! Π£Π³ΠΎΠ»-Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ! +444Β°. ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΠΌ, крутим… ΠšΡ€ΡƒΡ‚Π°Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ – дошли Π΄ΠΎ 360Β°.

        Ну ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΠΌ сСбС дальшС!

        Бколько Ρ‚Π°ΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎ 444Β°? Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ хвостик:

        444Β°-360Β° = 84Β°.

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, 444Β° β€” это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ (360Β°) плюс Π΅Ρ‰Ρ‘ 84Β°. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, это пСрвая Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» 444Β° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ. ПолдСла сдСлано.

        ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ». Как? ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто! Π”Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ красной (плюсовой) стрСлкС ΠΈ добавляСм Π΅Ρ‰Ρ‘ 84Β°.

        Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

        Π—Π΄Π΅ΡΡŒ я ΡƒΠΆ Π½Π΅ стал Π·Π°Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ рисунок – ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° осях. Π­Ρ‚ΠΎ всё Π΄ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ.)

        Π—Π°Ρ‚ΠΎ я Β«ΡƒΠ»ΠΈΡ‚ΠΊΠΎΠΉΒ» ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ складываСтся ΡƒΠ³ΠΎΠ» 444Β° ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² 360Β° ΠΈ 84Β°. ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Π°Ρ красная линия – это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. К ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ 84Β° (сплошная линия). ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли этот самый ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ это Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ повлияСт Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нашСго ΡƒΠ³Π»Π°!

        А Π²ΠΎΡ‚ это Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ! ПолоТСниС ΡƒΠ³Π»Π° 444Β° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ совпадаСт с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° 84Β°. Никаких чудСс Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ получаСтся.)

        А ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π° Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ большС?

        А ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ – Π½Π΅Ρ‚? Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π·Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ просто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π° Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ! Π£Π³ΠΎΠ»-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ измСнится! Π’ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, сам-Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, измСнится. А Π²ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ – Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ‚!) На Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сколько экзСмпляров Π½ΠΈ добавляй, сколько Π½ΠΈ убавляй, всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΡˆΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚Π½ΠΎ, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°?

        Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ:

        Π•ΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ (ΠΎΡ‚Π½ΡΡ‚ΡŒ) любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ исходного ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ НЕ измСнится!

 

        НапримСр:

        Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 1000Β°?

        Никаких ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ! Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² сидит Π² тысячС градусов. Один ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ β€” ΡΡ‚ΠΎ 360Β°, Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ – ΡƒΠΆΠ΅ 720Β°, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ β€” 1080°… Π‘Ρ‚ΠΎΠΏ! ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€! Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² ΡƒΠ³Π»Π΅ 1000Β° сидит Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. ВыбрасываСм ΠΈΡ… ΠΈΠ· 1000Β° ΠΈ считаСм остаток:

        1000Β° β€” 2Β·360Β° = 280Β°

        Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° 1000Β° Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π° 280Β°. Π‘ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ приятнСС.) И ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ»? Π’ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚: 270Β° (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒ OY) плюс Π΅Ρ‰Ρ‘ дСсяточка.

        РисуСм:

        Π—Π΄Π΅ΡΡŒ я ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ рисовал ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒΠΊΠΎΠΉ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°: ΡƒΠΆ больно длинная ΠΎΠ½Π° получаСтся. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ нарисовал ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ хвостик ΠΎΡ‚ нуля, отбросив всС лишниС ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹. Как Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΈΡ… ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ вовсС.)

        И Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π·. По-Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΌΡƒ, ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 444Β° ΠΈ 84Β°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ 1000Β° ΠΈ 280Β° – Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅. Но для синуса, косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹ – ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅!

        Как Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, большими 360Β°, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² сидит Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ большом ΡƒΠ³Π»Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ самый Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ шаг, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ. НичСго слоТного, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°?

        ΠžΡ‚Π±Ρ€Π°ΡΡ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, занятиС приятноС.) Но Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с совсСм ΡƒΠΆ ΠΊΠΎΡˆΠΌΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ затруднСния.

        НапримСр:

        Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 31240Β° ?

        И Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ-ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ 360 градусов? МоТно, Ссли Π½Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ особо. Но ΠΌΡ‹ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ.) Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π΅ΠΌ!

        Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ наш Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π° 360 градусов!

        Π­Ρ‚ΠΈΠΌ дСйствиСм ΠΌΡ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² запрятано Π² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… 31240 градусах. МоТно ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ (ΡˆΠ΅ΠΏΠ½Ρƒ Π½Π° ΡƒΡˆΠΊΠΎ :)) Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅.)

        ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 31240:360 = 86,777777….

        Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ – Π½Π΅ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎ. Нас ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚! Π‘Ρ‚Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ.)

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² нашСм Π»ΠΎΡ…ΠΌΠ°Ρ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π΅ сидит Π°ΠΆ 86 ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ². УТас…

        Π’ градусах это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 86Β·360Β° = 30960Β°

        Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ. ИмСнно ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ градусов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅Π·Π±ΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΊΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° 31240Β°. ΠžΡΡ‚Π°Π½Π΅Ρ‚ΡΡ:

        31240Β° β€” 30960Β° = 280Β°

        Всё! ПолоТСниС ΡƒΠ³Π»Π° 31240Β° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ! Π’Π°ΠΌ ΠΆΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΈ 280Β°. Π’.Π΅. чСтвёртая Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ.) ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π»ΠΈ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π½Π΅Π΅? Когда ΡƒΠ³ΠΎΠ» 1000Β° рисовали?) Π’Π°ΠΌ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° 280 градусов Π²Ρ‹ΡˆΠ»ΠΈ. Π‘ΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.)

 

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΠΎΡ€Π°Π»ΡŒ сСй басни Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Π°:

        Если Π½Π°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‚ΠΎ:

        1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² сидит Π² этом ΡƒΠ³Π»Π΅. Для этого Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ исходный ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π° 360 ΠΈ отбрасываСм Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

        2. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ, сколько градусов Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ количСствС ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ². Для этого ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ число ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² Π½Π° 360.

        3. ΠžΡ‚Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ эти ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ исходного ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β°.

 

Как Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ?

        НС вопрос! Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ СдинствСнным ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ΠΌ. Каким? Π”Π°! ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π°Π΄ΠΎ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ сторону, Π² минус! По Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ часовой стрСлки.)

        НарисуСм, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡƒΠ³ΠΎΠ» -200Β°. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° всё ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² – оси, ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Π•Ρ‰Ρ‘ синюю стрСлочку с минусом ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π΄Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° осях ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ подпишСм. Π˜Ρ…, СстСствСнно, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ придётся ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всё Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ самыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΡˆΠ°Π³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 90Β°, Π½ΠΎ отсчитанныС Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ сторону, Π² минус: 0Β°, -90Β°, -180Β°, -270Β°, -360Β°.

        ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° станСт Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ:

        ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ часто Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ чувство Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΎΠ³ΠΎ нСдоумСния. Как Ρ‚Π°ΠΊ?! ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ ось – это ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, скаТСм, ΠΈ +90Β° ΠΈ -270Β°? НССС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΡƒΡ‚ нСчисто…

        Π”Π° всё чисто ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ·Ρ€Π°Ρ‡Π½ΠΎ! ΠœΡ‹ вСдь ΠΆΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π² курсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ! Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ. Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй. Π’ нашСм случаС Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ‰Ρ‘Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π² минус всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹.)

        Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -200Β° Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° Π½Π΅ составляСт. Π­Ρ‚ΠΎ -180Β° ΠΈ минус Π΅Ρ‰Ρ‘ 20Β°. НачинаСм ΠΌΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ нуля Π² минус: Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π°Π΅ΠΌ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΈΠΌΠΎ, Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΠΎ -180Β°. ΠšΡƒΠ΄Π° ΠΌΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΊΡƒ? Π”Π° всё Ρ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΆΠ΅! По часам.) Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -200Β° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ.

        Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, насколько Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° осях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚?

        Π£Π³Π»Ρ‹ Π½Π° осях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0Β°, 90Β°, 180Β°, 270Β°, 360Β°) Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Π΅Π·ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ, ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ»!

        А Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» большой, с нСсколькими ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ? НичСго ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ! Какая Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π°, ΠΊΡƒΠ΄Π° эти самыС ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ – Π² плюс ΠΈΠ»ΠΈ Π² минус? Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°-Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ своСго полоТСния!

        НапримСр:

        Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -2000Β°?

        Всё Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС! Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° считаСм, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² сидит Π² этом Π·Π»ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ…, оставим минус ΠΏΠΎΠΊΠ° Π² ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ просто ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ 2000 Π½Π° 360. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 5 с хвостиком. Π₯востик нас ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΡƒΠ΅Ρ‚, Π΅Π³ΠΎ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ сосчитаСм, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² Π² градусах:

        5Β·360Β° = 1800Β°

        Π’ΠΎΠΎΡ‚. ИмСнно ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π»ΠΈΡˆΠ½ΠΈΡ… градусов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ смСло Π²Ρ‹ΠΊΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· нашСго ΡƒΠ³Π»Π° Π±Π΅Π· ΡƒΡ‰Π΅Ρ€Π±Π° для Π·Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΡŒΡ.

        Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ хвостик:

        2000Β° – 1800Β° = 200Β°

        А Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ минус Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ.) ΠšΡƒΠ΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ хвостик 200Β°? Π’ минус, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅! Нам ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π·Π°Π΄Π°Π½.)

        -2000Β° = -1800Β° β€” 200Β°

        Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ рисуСм ΡƒΠ³ΠΎΠ» -200Β°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Π΅Π· Π»ΠΈΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ². Волько Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ рисовали, Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, накалякаю Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π·ΠΎΠΊ. ΠžΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ.

        ЯсСн ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ†, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -2000Β°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ -200Β°, ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ.

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ сСбС Π½Π° кру… ΠΏΠ°Ρ€Π΄ΠΎΠ½β€¦ Π½Π° ус:

        Π•ΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ большой ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‚ΠΎ пСрвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π½ΠΈΠΌ (поиск числа ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… отбрасываниС) Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ самая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Π—Π½Π°ΠΊ «минус» Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ этапС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ. УчитываСтся Π·Π½Π°ΠΊ лишь Π² самом ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΌΡΡ послС удалСния ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ². 

        Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π½ΠΈΡ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ слоТнСС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅.

        Всё Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону! По часам!

        

        Π Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ β€” ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ интСрСсноС! ΠœΡ‹ рассмотрСли ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, большиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΠ΅ β€” ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ассортимСнт. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ выяснили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, отбрасывали ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ обороты… ΠΠ΅Ρ‚Ρƒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… мыслСй? Π”ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒΡΡβ€¦

        Π”Π°! ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π½ΠΈ возьми, Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ бСсконСчноС мноТСство ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²! Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… β€” Π²ΡΡΠΊΠΈΡ…! И Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ². ВсСгда! Π’Π°ΠΊ ΡƒΠΆ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ устроСн, да…) ИмСнно поэтому обратная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎ извСстным синусу/косинусу/тангСнсу/котангСнсу β€” Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ся Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ. И ΠΊΡƒΠ΄Π° слоТнСС. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ прямой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ β€” ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ вСсь Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΅Π³ΠΎ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. И Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅Ρ€ΡŒΡ‘Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Π°Ρ€ΠΊΠΈ, тригономСтричСскиС уравнСния ΠΈ нСравСнства) ΠΌΡ‹ с этой Ρ„ΠΈΡˆΠΊΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ постоянно. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ°Π΅ΠΌ.)

 

        Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ самыС-самыС Π°Π·Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ освоили. МоТно ΠΈ Π½Π° вопросы ΠΏΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.)

        1. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -345Β°?

        2. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 666Β°?

        3. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 5555Β°?

        4. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» -3700Β°?

 

        Всё Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ? ΠŸΠΎΠ΅Ρ…Π°Π»ΠΈ дальшС.

        5. Какой Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ cos999Β°?

        6. Какой Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ctg999Β°?

        И это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ? ΠŸΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°ΡΠ½ΠΎ! Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ сюда.

 

        ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

        1. 1

        2. 4

        3. 2

        4. 3

        5. Β«+Β»

        6. Β«-Β«

        Π’ этот Ρ€Π°Π· ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π²Ρ‹Π΄Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ порядку Π² Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΉ. Ибо Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΉ всСго Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅, Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ вовсС Π΄Π²Π°. Особо Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π±Π΅ΠΆΠΈΡˆΡŒΡΡβ€¦)

        Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎ Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число Β«ΠΏΠΈΒ», научимся Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈ просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² градусы ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ. И с ΡƒΠ΄ΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ этих простых Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² Π½Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ достаточно для ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ!

abudnikov.ru

ВригономСтрия: синус, косинус, тангСнс, котангСнс

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ВригономСтрия, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡƒΠΊΠ°, Π·Π°Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π½Π° Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΌ ВостокС. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ астрономами для создания Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ калСндаря ΠΈ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π°ΠΌ. Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ вычислСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΊ сфСричСской Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π² школьном курсС ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сторон ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° плоского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ВригономСтрия – это Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ свойствами тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ расцвСта ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ I тысячСлСтия нашСй эры знания Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ с Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅Π³ΠΎ Востока Π² Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΡŽ. Но основныС открытия Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ – это заслуга ΠΌΡƒΠΆΠ΅ΠΉ арабского Ρ…Π°Π»ΠΈΡ„Π°Ρ‚Π°. Π’ частности, туркмСнский ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ аль-ΠœΠ°Ρ€Π°Π·Π²ΠΈ Π²Π²Π΅Π» Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ тангСнс ΠΈ котангСнс, составил ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для синусов, тангСнсов ΠΈ котангСнсов. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ синуса ΠΈ косинуса Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ индийскими ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ посвящСно Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ внимания Π² Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… дСятСлСй дрСвности, ΠΊΠ°ΠΊ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, АрхимСда ΠΈ ЭратосфСна.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числового Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° – это синус, косинус, тангСнс ΠΈ котангСнс. КаТдая ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свой Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ: синусоида, косинусоида, тангСнсоида ΠΈ котангСнсоида.

Π’ основС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для расчСта Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Школьникам ΠΎΠ½Π° большС извСстна Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅: Β«ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ²Ρ‹ ΡˆΡ‚Π°Π½Ρ‹, Π²ΠΎ всС стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Β», Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ приводится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Бинус, косинус ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ зависимости ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ острыми ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ сторонами любого ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для расчСта этих Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ для ΡƒΠ³Π»Π° A ΠΈ прослСдим взаимосвязи тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, tg ΠΈ ctg ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin A ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ с, Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ b Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ cos A * c, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для тангСнса ΠΈ котангСнса:

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³

ГрафичСски ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ упомянутых Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС, прСдставляСт собой всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± β€” ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β°. Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· рисунка, каТдая функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°. НапримСр, sin Ξ± Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Β«+Β», Ссли Ξ± ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ I ΠΈ II Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ окруТности, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, находится Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 180Β°. ΠŸΡ€ΠΈ Ξ± ΠΎΡ‚ 180Β° Π΄ΠΎ 360Β° (III ΠΈ IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ) sin Ξ± ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ тригономСтричСскиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ для ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

ЗначСния Ξ± Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ 30Β°, 45Β°, 60Β°, 90Β°, 180Β° ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ – Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ частными случаями. ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Π½ΠΈΡ… просчитаны ΠΈ прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΡŽΠ΄ΡŒ Π½Π΅ случайно. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ο€  Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… стоит для Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. Π Π°Π΄  β€” это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ окруТности соотвСтствуСт Π΅Π΅ радиусу. Данная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ расчСтах Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° радиуса Π² см.

Π£Π³Π»Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… для тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ значСниям Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2Ο€ – это полная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ 360Β°.

Бвойства тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: синус ΠΈ косинус

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ основныС свойства синуса ΠΈ косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, располоТСнной Π² Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Рассмотри ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ свойств для синусоиды ΠΈ косинусоиды:

Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°
y = sin xy = cos x
ΠžΠ”Π— [-1; 1]ΠžΠ”Π— [-1; 1]
sin x = 0, ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€k, Π³Π΄Π΅ k Ο΅ Zcos x = 0, ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€/2 + Ο€k, Π³Π΄Π΅ k Ο΅ Z
sin x = 1, ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€/2 + 2Ο€k, Π³Π΄Π΅ k Ο΅ Zcos x = 1, ΠΏΡ€ΠΈ x = 2Ο€k, Π³Π΄Π΅ k Ο΅ Z
sin x = β€” 1, ΠΏΡ€ΠΈ x = 3Ο€/2 + 2Ο€k, Π³Π΄Π΅ k Ο΅ Zcos x = β€” 1, ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€ + 2Ο€k, Π³Π΄Π΅ k Ο΅ Z
sin (-x) = β€” sin x, Ρ‚. Π΅. функция нСчСтнаяcos (-x) = cos x, Ρ‚. Π΅. функция чСтная
функция пСриодичСская, наимСньший ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ β€” 2πфункция пСриодичСская, наимСньший ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ β€” 2Ο€
sin x β€Ί 0, ΠΏΡ€ΠΈ x ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌ I ΠΈ II чСтвСртям ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 180Β° (2Ο€k, Ο€ + 2Ο€k)cos x β€Ί 0, ΠΏΡ€ΠΈ x ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌ I ΠΈ IV чСтвСртям ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 270Β° Π΄ΠΎ 90Β° (- Ο€/2 + 2Ο€k, Ο€/2 + 2Ο€k)
sin x β€Ή 0, ΠΏΡ€ΠΈ x ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌ III ΠΈ IV чСтвСртям ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 180Β° Π΄ΠΎ 360Β° (Ο€ + 2Ο€k, 2Ο€ + 2Ο€k)cos x β€Ή 0, ΠΏΡ€ΠΈ x ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌ II ΠΈ III чСтвСртям ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 90Β° Π΄ΠΎ 270Β° (Ο€/2 + 2Ο€k, 3Ο€/2 + 2Ο€k)
возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [- Ο€/2 + 2Ο€k, Ο€/2 + 2Ο€k]возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [-Ο€ + 2Ο€k, 2Ο€k]
ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… [ Ο€/2 + 2Ο€k, 3Ο€/2 + 2Ο€k]ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… [2Ο€k, Ο€ + 2Ο€k]
производная (sin x)’ = cos xпроизводная (cos x)’ = β€” sin x

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ являСтся Π»ΠΈ функция Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто. Достаточно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ со Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ тригономСтричСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ мыслСнно Β«ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒΒ» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси OX. Если Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, функция чСтная, Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС β€” нСчСтная.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ ΠΈ пСрСчислСниС основных свойств синусоиды ΠΈ косинусоиды ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ привСсти ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² вСрности Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто. НапримСр, для x =  Ο€/2 синус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ косинус x = 0. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ… ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ прослСдив ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Бвойства тангСнсоиды ΠΈ котангСнсоиды

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ тангСнса ΠΈ котангСнса Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ синусоиды ΠΈ косинусоиды. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ tg ΠΈ ctg ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства котангСнсоиды:

  1. Y = tg x.
  2. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, Π² тангСнсоидС Y ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ значСния мноТСства всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  3. ВангСнсоида стрСмится ΠΊ значСниям y ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€/2 + Ο€k, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ достигаСт ΠΈΡ….
  4. НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ тангСнсоиды Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€.
  5. Tg (- x) = β€” tg x, Ρ‚. Π΅. функция нСчСтная.
  6. Tg x = 0, ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€k.
  7. Ѐункция являСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.
  8. Tg x β€Ί 0, ΠΏΡ€ΠΈ x Ο΅ (Ο€k, Ο€/2 + Ο€k).
  9. Tg x β€Ή 0, ΠΏΡ€ΠΈ x Ο΅ ( β€” Ο€/2 + Ο€k, Ο€k).
  10. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ (tg x)’ = 1/cos2⁑x .

Рассмотрим графичСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнсоиды Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ тСксту.

 

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства котангСнсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, Π² тангСнсоидС Y ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ значСния мноТСства всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  3. ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΈΠ΄Π° стрСмится ΠΊ значСниям y ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€k, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ достигаСт ΠΈΡ….
  4. НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ котангСнсоиды Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€.
  5. Ctg (- x) = β€” ctg x, Ρ‚. Π΅. функция нСчСтная.
  6. Ctg x = 0, ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€/2 + Ο€k.
  7. Ѐункция являСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.
  8. Ctg x β€Ί 0, ΠΏΡ€ΠΈ x Ο΅ (Ο€k, Ο€/2 + Ο€k).
  9. Ctg x β€Ή 0, ΠΏΡ€ΠΈ x Ο΅ (Ο€/2 + Ο€k, Ο€k).
  10. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ (ctg x)’ = β€” 1/sin2⁑x Π˜ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ

Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ:

karate-ege.ru

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” ВригономСтрия

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ матСматикСВригономСтрия
Бвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²
ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни для ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² синуса ΠΈ косинуса
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· синус ΠΈ косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ суммы тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² сумму
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Бвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

sin2Ξ± + cos2Ξ± = 1

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
sin (Ξ± + Ξ²) = sin Ξ± cos Ξ² + cos Ξ± sin βБинус суммы
sin (Ξ± – Ξ²) = sin Ξ± cos Ξ² – cos Ξ± sin βБинус разности
cos (Ξ± + Ξ²) = cos Ξ± cos Ξ² – sin Ξ± sin Ξ²ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ суммы
cos (Ξ± – Ξ²) = cos Ξ± cos Ξ² + sin Ξ± sin Ξ²ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ разности
ВангСнс суммы
ВангСнс разности
Бинус суммы
sin (Ξ± + Ξ²) = sin Ξ± cos Ξ² +
+ cos Ξ± sin Ξ²
Бинус разности
sin (Ξ± – Ξ²) = sin Ξ± cos Ξ² –
– cos Ξ± sin Ξ²
ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ суммы
cos (Ξ± + Ξ²) = cos Ξ± cos Ξ² –
– sin Ξ± sin Ξ²
ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ разности
cos (Ξ± – Ξ²) = cos Ξ± cos Ξ² +
+ sin Ξ± sin Ξ²
ВангСнс суммы
ВангСнс разности

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
sin 2Ξ± = 2 sin Ξ± cos αБинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

cos 2Ξ± = cos 2Ξ± – sin2Ξ±

cos 2Ξ± = 2cos 2Ξ± – 1

cos 2Ξ± = 1 – 2sin 2Ξ±

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
ВангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Бинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
sin 2Ξ± = 2 sin Ξ± cos Ξ±
ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

cos 2Ξ± = cos 2Ξ± – sin2Ξ±

cos 2Ξ± = 2cos 2Ξ± – 1

cos 2Ξ± = 1 – 2sin 2Ξ±

ВангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° синуса
Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° косинуса
Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° тангСнса
Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° синуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° косинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° тангСнса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни для ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² синуса ΠΈ косинуса

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ±Π° синуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ синус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ±Π° косинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ косинус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ±Π° синуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ синус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ±Π° косинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ косинус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· синус ΠΈ косинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ суммы тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° синусов
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синусов
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° косинусов
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ косинусов
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° тангСнсов
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тангСнсов
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° синусов
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синусов
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° косинусов
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ косинусов
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° тангСнсов
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тангСнсов

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² сумму

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синусов
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинусов
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΈ косинуса
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синусов
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинусов
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΈ косинуса

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ° ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ° ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ангСнса ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ° ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ° ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ангСнса ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ЀормулаНазваниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
sin 3Ξ± = 3sin Ξ± – 4sin3αБинус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
cos 3Ξ± = 4cos3Ξ± –3cos Ξ±ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
ВангСнс Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Бинус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
sin 3Ξ± = 3sin Ξ± – 4sin3Ξ±
ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
cos 3Ξ± = 4cos3Ξ± –3cos Ξ±
ВангСнс Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

      На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прСподаватСлями ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

    ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅ΠΌ школьников (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вмСстС с родитСлями) Π½Π° бСсплатноС тСстированиС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΌΠΈΒ».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ (495) 509-28-10

      Для школьников, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ русскому языку Π½Π° высокий Π±Π°Π»Π», ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ курсы для школьников 10 ΠΈ 11 классов

      Π£ нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для школьников ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹

ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ занятия с Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ русскому языку

ΠœΠžΠ‘ΠšΠ’Π, Π‘Π’ΠΠž, Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π•Π—ΠžΠ›Π¬Π’Π•ΠΠ’ΠΒ»

www.resolventa.ru

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” ВригономСтрия

      Рассмотрим тригономСтричСскиС ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° рисункС 1 ΠΈ рисункС 2.

Рис.1

Рис.2

      На тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π° рисункС 1, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² градусах, Π° Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π° рисункС 2, Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

      Π£Π³Π»ΠΎΠΌ Π²   1   градус Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ     ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. Π£Π³Π»ΠΎΠΌ Π²   kΒ°   Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π²   k   Ρ€Π°Π· больший ΡƒΠ³Π»Π° Π²   1Β° .

      Π£Π³Π»ΠΎΠΌ Π²   1   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ соотвСтствуСт Π΄ΡƒΠ³Π° окруТности тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ   1 .   Π£Π³Π»ΠΎΠΌ Π²   k   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π²   k   Ρ€Π°Π· больший ΡƒΠ³Π»Π° Π²   1   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

      БлСдствиС 1. Π£Π³Π»ΠΎΠΌ Π²   k   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ соотвСтствуСт Π΄ΡƒΠ³Π° окруТности тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ   k .

      БлСдствиС 2. ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» являСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π²   2Ο€   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

      Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°, рассмотрим рисунки 3 ΠΈ 4

Рис.3Рис.4
Рис.3
Рис.4

На этих рисунках ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ прямыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π° рисункС 3 прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ Π² градусах ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½   90Β° ,   Π° Π½Π° рисункС 4 прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½  Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ , Ρ‚ΠΎ

По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 5.

Рис.5

      Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° sin Ξ± ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рассматриваСтся синус ΡƒΠ³Π»Π° Π²   Ξ±   Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, Π° тригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°   sin Ξ±Β°   ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рассматриваСтся синус ΡƒΠ³Π»Π° Π²   Ξ±   градусов. По Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния косинуса, тангСнса ΠΈ котангСнса.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Найти наимСньшСС ΠΈΠ· чисСл:

      РСшСниС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ

Ρ‚ΠΎ наимСньшим числом являСтся число     cos 3 .

      На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прСподаватСлями ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

    ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅ΠΌ школьников (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вмСстС с родитСлями) Π½Π° бСсплатноС тСстированиС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΌΠΈΒ».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ (495) 509-28-10

      Для школьников, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ русскому языку Π½Π° высокий Π±Π°Π»Π», ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°Β» ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

      Π£ нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для школьников ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹

ΠœΠžΠ‘ΠšΠ’Π, Π‘Π’ΠΠž, Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Β«Π Π•Π—ΠžΠ›Π¬Π’Π•ΠΠ’ΠΒ»

www.resolventa.ru

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² (Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ): Ξ±, x 
ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: sinΞ±, cosΞ±, tanΞ±, cotΞ±, secΞ±, cscΞ±
ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл: R 
ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ окруТности: x, y 

Радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°: r 
Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа: k 

1.      ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой элСмСнтарныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ острыми ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ примСнСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ пСриодичСскиС процСссы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (ряда Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅). Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ часто ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

2.      К тригономСтричСским функциям относятся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ 6 Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΡ‚ангСнс,котангСнссСканс ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°Π½Ρ. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ сущСствуСт ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ная тригономСтричСская функция.

3.      ГСомСтричСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ввСсти с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. На ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ радиусом r=1. На окруТности ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M(x,y). Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ OM ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси Ox Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ξ±.

4.      Бинусом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y) ΠΊ радиусу r: 
sinΞ±=y/r. 
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ r=1, Ρ‚ΠΎ синус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y).

5.      ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ абсциссы x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y) ΠΊ радиусу r: 
cosΞ±=x/r 

6.      ВангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y) ΠΊ ee абсциссС x: 
tanΞ±=y/x,xβ‰ 0 

7.      ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ абсциссы x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y) ΠΊ Π΅Π΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ y: 
cotΞ±=x/y,yβ‰ 0 

8.      БСканс ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± βˆ’ это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ радиуса r ΠΊ абсциссС x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y): 
secΞ±=r/x=1/x,xβ‰ 0 

9.      КосСканс ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± βˆ’ это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ радиуса r ΠΊ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y): 
cscΞ±=r/y=1/y,yβ‰ 0 

10.  Π’ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x, y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M(x,y) ΠΈ радиус r ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ x,y ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ся ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π° r βˆ’ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ опрСдСлСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: 
Бинусом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅. 
ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅. 
ВангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ. 
ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ. 
БСканс ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚авляСт собой ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ. 
КосСканс ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚авляСт собой ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ. 

11.  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус 
y=sinx, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x∈R, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: βˆ’1≀sinx≀1 

12.  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинус 
y=cosx, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x∈R, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: βˆ’1≀cosx≀1 

13.  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнс 
y=tanx, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x∈R,xβ‰ (2k+1)Ο€/2, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: βˆ’βˆž<tanx<∞ 

14.  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнс 
y=cotx, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x∈R,xβ‰ kΟ€, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: βˆ’βˆž<cotx<∞ 

15.  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСканс 
y=secx, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x∈R,xβ‰ (2k+1)Ο€/2, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:secx∈(βˆ’βˆž,βˆ’1]βˆͺ[1,∞) 

16.  Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканс 
y=cscx, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x∈R,xβ‰ kΟ€, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: cscx∈(βˆ’βˆž,βˆ’1]βˆͺ[1,∞) 

 

 

Π“Π΄Π΅ примСняСтся тригономСтрия

ВригономСтричСскиС вычислСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ практичСски Π²ΠΎ всСх сфСрах ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ людСй. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… областях ΠΊΠ°ΠΊ: астрономия, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π°, биология, ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°, ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅.

ВригономСтрия Π² астрономии:

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ всСго ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² астрономии; поэтому, Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ тригономСтрия Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² астрономии.

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ всСго ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² астрономии; поэтому, Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ тригономСтрия Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² астрономии.

БоставлСнныС Π“ΠΈΠΏΠΏΠ°Ρ€Ρ…ΠΎΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π‘ΠΎΠ»Π½Ρ†Π° ΠΈ Π›ΡƒΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ наступлСния Π·Π°Ρ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΉ (с ошибкой 1β€”2 Ρ‡). Π“ΠΈΠΏΠΏΠ°Ρ€Ρ… Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ стал ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² астрономии ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ сфСричСской Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Он повысил Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ наблюдСний, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² для навСдСния Π½Π° свСтило крСст Π½ΠΈΡ‚Π΅ΠΉ Π² ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… инструмСнтах β€” сСкстантах ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ…. Π£Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ составил ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ 850 Π·Π²Π΅Π·Π΄, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΈΡ… ΠΏΠΎ блСску Π½Π° 6 стСпСнСй (Π·Π²Π΅Π·Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½). Π“ΠΈΠΏΠΏΠ°Ρ€Ρ… Π²Π²Π΅Π» гСографичСскиС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ β€” ΡˆΠΈΡ€ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΡ‚Ρƒ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ основатСлСм матСматичСской Π³Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ. (ΠΎΠΊ. 190 Π΄ΠΎ Π½. э. β€” ΠΎΠΊ. 120 Π΄ΠΎ Π½. э.)

ДостиТСния Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ 
ПолноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎΠ± ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ всСх элСмСнтов плоского ΠΈΠ»ΠΈ сфСричСского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ элСмСнтам, Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ разлоТСния sin ΠΏΡ… ΠΈ cos ΠΏΡ… ΠΏΠΎ стСпСням cos Ρ… ΠΈ sinx. Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ синусов ΠΈ косинусов ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΡƒΠ³ Π΄Π°Π»ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 45-ΠΉ стСпСни, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ А. Π ΠΎΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ; Π’ΠΈΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния сводится ΠΊ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° 45 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… частСй ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ 23 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня этого уравнСния. Π’ΠΈΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Аполлония с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ ΠΈ циркуля.
РСшСниС сфСричСских Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²- ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ астрономии Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ стороны ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ любого сфСричСского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ подходящим ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ сторонам ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹: (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов) (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²) (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов для сторон).

 

ВригономСтрия Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅:

Π’ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌ нас ΠΌΠΈΡ€Π΅ приходится ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с пСриодичСскими процСссами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΈ процСссы Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠšΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ явлСния Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ физичСской ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ закономСрностям ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… явлСний.

ГармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ β€” явлСниС пСриодичСского измСнСния ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса. НапримСр, гармоничСски колСблСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π“Π΄Π΅ Ρ… β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, t β€” врСмя, Π β€” Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Ο‰ β€” цикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ,   β€” полная Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, r  β€” Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ гармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ x’’ + ω²x = 0.

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания . ΠœΠ΅Ρ…аничСскими колСбаниями Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ двиТСния Ρ‚Π΅Π», ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ГрафичСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ наглядноС прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ простых мСханичСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ· Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ матСматичСский маятник.

ВригономСтрия Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅.

ΠœΡ‹ часто Π·Π°Π΄Π°Π΅ΠΌ вопрос Β«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅?Β». Для исслСдования ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы: «Как Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π΄ΡƒΠ³Π°? Π‘Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ сияниС?Β», Β«Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ оптичСскиС иллюзии?Β» ,«Как тригономСтрия ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° эти вопросы?Β».

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ тСория Ρ€Π°Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° Π΄Π°Π½Π° Π² 1637 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π Π΅Π½Π΅ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ. Он объяснил Ρ€Π°Π΄ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ явлСниС, связанноС с ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π»ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свСта Π² Π΄ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π²Ρ‹Ρ… каплях.

Π‘Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ сияниС ΠŸΡ€ΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠ΅ слои атмосфСры ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚ заряТСнных частиц солнСчного Π²Π΅Ρ‚Ρ€Π° опрСдСляСтся взаимодСйствиСм ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Ρ‹ с солнСчным Π²Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ.

Π‘ΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° Π΄Π²ΠΈΠΆΡƒΡ‰ΡƒΡŽΡΡ Π² ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π·Π°Ρ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ частицу называСтся силой Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ†Π°. Она ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° заряду частицы ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ поля ΠΈ скорости двиТСния частицы.

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ тригономСтрия

Β·         АмСриканскиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ·Π³ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ расстояниС Π΄ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², измСряя ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ зрСния.

Β·         К Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Π² Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ понятиС ΠΊΠ°ΠΊ синус сонный, синус ΠΊΠ°Ρ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Π΅Π½ΠΎΠ·Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ пСщСристый синус.

Β·         ВригономСтрия ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π΅. Π‘ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ иранскиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сСрдца β€” комплСксноС алгСбраичСски-тригономСтричСскоС равСнство, состоящСС ΠΈΠ· 8 Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, 32 коэффициСнтов ΠΈ 33 основных ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ нСсколько Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… для расчСтов Π² случаях Π°Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΈΠΈ.

ВригономСтрия ΠΈ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π΅ ΠΈ Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ.

Β·         Одно ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свойств ΠΆΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ β€” это Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° происходящих Π² Π½Π΅ΠΉ процСссов.

Β·         БиологичСскиС Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹, Π±ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ β€“ это Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ рСгулярныС измСнСния Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° ΠΈ интСнсивности биологичСских процСссов.

Β·         Основной Π·Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΉ Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌ β€“ суточный.

Β·         МодСль Π±ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ВригономСтрия Π² Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ

КакиС биологичСскиС процСссы связаны с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ?

Β·         ВригономСтрия ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π΅. Π‘ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ иранскиС ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ сСрдца β€” комплСксноС алгСбраичСски-тригономСтричСскоС равСнство, состоящСС ΠΈΠ· 8 Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, 32 коэффициСнтов ΠΈ 33 основных ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ нСсколько Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… для расчСтов Π² случаях Π°Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΈΠΈ.

Β·         БиологичСскиС Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹, Π±ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ связаны с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ

Бвязь Π±ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ

Β·         МодСль Π±ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ввСсти Π΄Π°Ρ‚Ρƒ роТдСния Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° ( дСнь, мСсяц, Π³ΠΎΠ΄ ) ΠΈ Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Π½ΠΎΠ·Π°

Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Ρ‹Π± Π² Π²ΠΎΠ΄Π΅ происходит ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, Ссли Π·Π°Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° хвостС, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ двиТСния.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΏΡ‚ΠΈΡ†Ρ‹ траСктория Π²Π·ΠΌΠ°Ρ…Π° ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΡŒΠ΅Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ синусоиду.

Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΈ

Β·         Богласно дошСдшим ΠΈΠ· дрСвности прСданиям, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΡ‚ΠΎ попытался ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это, Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ.

Β·         Частоты, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π½ΠΎΡ‚Π΅ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠΎΠΊΡ‚Π°Π²Π°Ρ…, относятся, ΠΊΠ°ΠΊ 1:2:4:8…

Β·         диатоничСская Π³Π°ΠΌΠΌΠ° 2:3:5

ВригономСтрия Π² Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π΅

Β·         ДСтская школа Π“Π°ΡƒΠ΄ΠΈ Π² БарсСлонС

Β·         Бтраховая корпорация Swiss Re Π² Π›ΠΎΠ½Π΄ΠΎΠ½Π΅

Β·         ЀСликс КандСла РСсторан Π² Лос-ΠœΠ°Π½Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ°Π»Π΅ΡΠ΅

 

ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова: Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, радианная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»Π°, тригономСтричСская ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ плоскости, ограничСнная двумя Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΌΠΈ. 
ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 180Β°. Однако ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°
Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиуса R Ρ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ O Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. 
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Π° сторона ΡƒΠ³Π»Π°  Ρ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ O ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ оси абсцисс, Π° сам ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния оси абсцисс. 
Из Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ l , Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ опираСтся этот ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΊ радиусу R этой окруТности Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ самого радиуса. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ΠΎ характСристикой ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°: =lR.

Вакая ΠΌΠ΅Ρ€Π° называСтся Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π½Π°Ρ€Π°Π²Π½Π΅ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ. 
Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ числу Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. 
Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ опираСтся Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ окруТности, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π΅Ρ‘ радиусу. 
Π’ самом Π΄Π΅Π»Π΅: =RR=1 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π° – Β«Ρ€Π°Π΄Β». 
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° всСй окруТности радиуса R Ρ€Π°Π²Π½Π° 2R , Ρ‚ΠΎ всСй окруТности соотвСтствуСт ΡƒΠ³ΠΎΠ» =R2R=2 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ вся ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ содСрТит 360Β°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ соотвСтствуСт 2360=180 Π³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡΠΎΠ²: 
1Ρ€Π°Π΄=1805717. И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, 1=180Ρ€Π°Π΄.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ градусного измСрСния ΠΊ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ: 
=180Ρ€Π°Π΄ 

ΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ измСрСния ΠΊ градусному: 
=180 .

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«Ρ€Π°Π΄Β» ΠΏΡ€ΠΈ записи часто ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈ вмСсто, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 180Β° =  Ρ€Π°Π΄ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ просто 180Β° = .

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ этими Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ· градусной ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ.

Π£Π³ΠΎΠ», градусы

0Β°

30Β°

45Β°

60Β°

90Β°

180Β°

270Β°

360Β°

Π£Π³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹

0

6

4

3

2

 

23

2

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, синус ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π° косинус β€” абсциссС, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ чСтвСртям Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ:

 

I

II

III

IV

sin

+

+

β€”

β€”

cos

+

β€”

β€”

+

tg

+

β€”

+

β€”

ctg 

+

β€”

+

β€”

ВычислСниС тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

 

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числового ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²

 

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числового Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числового Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° t  – это Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = cos t, 
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· извСстноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСизвСстныС значСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ПояснСния.

1) Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ cos2 t + sin2 t = 1 ΠΈ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ с Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Для этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π° cos2 t (ΠΏΡ€ΠΈ t β‰  0, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ t β‰  Ο€/2 + Ο€k). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ:

  cos2 t        sin2 t             1
β€”β€”β€” + β€”β€”β€”  =  β€”β€”β€”
 cos2 t        cos2 t          cos2 t

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ конисусу – это тангСнс, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ tg2 t. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ (ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π°ΠΌ) Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

                                                          1                        Ο€
                                  1 + tg2 t  =  β€”β€”β€”,     Π³Π΄Π΅ t β‰  β€” + Ο€kk β€“ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
                                                       cos2 t                    2

 

2) Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ cos2 t + sin2 t = 1 Π½Π° sin2 t (ΠΏΡ€ΠΈ t β‰  Ο€k):

  cos2 t        sin2 t             1
β€”β€”β€” + β€”β€”β€”  =  β€”β€”β€”,   Π³Π΄Π΅ t β‰  Ο€k + Ο€kk β€“ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число
  sin2 t         sin2 t          sin2 t

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса ΠΊ синусу – это котангСнс. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚:

                                                          1
                                 1 + ctg2 t  =  β€”β€”β€”,   Π³Π΄Π΅ t β‰  Ο€k, k β€“ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
                                                        sin2 t


Зная элСмСнтарныС основы ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΠ² основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ смоТСтС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских тоТдСств. И это Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ просто Π·Π°Π·ΡƒΠ±Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…: Π²Ρ‹ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ·ΡƒΡΡ‚ΡŒ быстро забываСтся, Π° понятоС запоминаСтся Π½Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ, Ссли Π½Π΅ навсСгда. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°Π·ΡƒΠ±Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° сумма Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° тангСнса. Π—Π°Π±Ρ‹Π»ΠΈ – ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ‰ΡŒ: тангСнс – это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΎΠΊ простоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями – ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

                           sin2 t         1         sin2 t          cos2 t + sin2 t             1
1 + tg2 t  =  1 + β€”β€”β€”  =  β€”  +  β€”β€”β€”  =  β€”β€”β€”β€”β€”β€”  =  β€”β€”β€”
                          cos2 t         1          cos2 t               cos2 t                cos2 t

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° котангСнса, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тоТдСства.

 

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π’ функциях  Ρƒ = cos t, Ρƒ = sin t, Ρƒ = tg t, Ρƒ = ctg t ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ t ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ числовым Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ. Π•Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»Π° – Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ числовой окруТности ΠΈ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ синус, косинус, тангСнс, котангСнс Π»ΡŽΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. Для этого Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… условия: 
1) Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚;

2) ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· сторон ΡƒΠ³Π»Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΡƒΡ‡ оси x.

Π’ этом случаС ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ вторая сторона ΡƒΠ³Π»Π°, являСтся синусом этого ΡƒΠ³Π»Π°, Π° абсцисса этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – косинусом Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ПояснСниС. НарисуСм ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ΄Π½Π° сторона ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ – ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΡƒΡ‡ оси x, Π° вторая сторона Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (ΠΈ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности) ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 30ΒΊ (см.рисунок). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стороны с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ соотвСтствуСт Ο€/6. Нам извСстны ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΈ абсцисса этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Они ΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ косинусом ΠΈ синусом нашСго ΡƒΠ³Π»Π°:

   √3       1
 β€”β€”; β€”β€”
    2        2

  Π зная синус ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π°, Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ смоТСтС Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ тангСнс ΠΈ котангСнс.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, располоТСнная Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, являСтся ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ способом Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ синус, косинус, тангСнс ΠΈΠ»ΠΈ котангСнс ΡƒΠ³Π»Π°.

 

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой способ. МоТно ΠΈ Π½Π΅ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. МоТно Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ простыми ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ:

                                                  Ο€Ξ±
                             sin Ξ±ΒΊ = sin β€”β€”
                                                 180

                                                  Ο€Ξ±
                            cos Ξ±ΒΊ = cos β€”β€”
                                                  180

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ синус ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ 60ΒΊ.

РСшСниС:

                        Ο€ Β· 60                Ο€         √3
sin 60ΒΊ  =  sin β€”β€”β€”  =  sin β€”β€” = β€”β€”
                         180                  3          2

                           Ο€        1
cos 60ΒΊ  =  cos β€”β€” = β€”
                           3        2

 

ya-znau.ru

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *