Рубрика: Школьная жизнь

infotables.ru

Выбрать правильный ответ. 1.Представить в виде степени произведения 5^4 * 5^2

1)25^8 2)25^6 3)5^8 4)5^6
2.Представить в виде степени частное 17^6^17^2
1) 17^3 2)17^4 3)1^3 4)1^4
3) Представить в виде степени с основанием A выражения (а^8)^4.
1) а^2 2)a^4 3)a^12 4)a^32

4.Возвести в степень одночлен (-7m)^

1)-14m 2)19m^2 3)-7m^2 4)-49m^2

5.Возвести в степень дробь (-2\n)^3

1. -8\n 2)-8\n^3 3)-6\n 4)-6\3n
6. Записать в видео степени. а^\27

1) a\9 2)(a\27)^3 3) (a\3)^3 4) a^\3^3
7.Представить выражение 64m^6 в виде степени с показателем 2
1)(8m^3)^2 2)8^2m^6 3)(8m^4)^8 4)64(m^3)^2

8.Найдите коэффициент одночлена 5xy(-3)xz

1)5 2)-15 3)5xy 4)2
9.Записать в виде одночлена стандартного вида произведение (-8a^12)*(-2a^2)
1)-16a^14 2)16a^24 3)16a^14 4)16a^12a^2

Каждый день имеет в системе человека свое определенное место и имя. День недели, месяц и год — это точный ориентир в системе временных координат, благодаря которому люди планируют свои повседневные занятия. Для отслеживания времени человек придумал не только часы, но и календарь — инструмент, отсчитывающий дни и года. Календарь позволяет представить время в виде линейки, и каждый школьник знает, как определить любую дату. Однако так было не всегда.

Юлианский календарь

Римский Calendarium представлял собой долговую книгу, расчеты по которой проводились в дни календ. Римляне ориентировались внутри месяца по основным событиям:

• календам — первым дням месяца;
• нонам — пятым или седьмым дням;
• идам — 13-м или 15-м дням.

Всего месяцев было 10, а первым считался март — месяц бога Марса. Данную систему Древний Рим заимствовал у греков, календарь которых состоял из 12 месяцев. Несоответствие между солнечным и календарным годами вынуждали греков добавлять тринадцатый месяц 3 раза каждые 8 лет: в третий, пятый и восьмой год.

Римский календарь в этом плане был еще неудобнее, так как периодически требовалась вставка дополнительного месяца. Mensis Intercalaris или тринадцатый месяц римского календаря вводился в феврале, но решение о его объявлении принимал понтифик. Иногда на решение последнего влияли политики, а во времена смуты о тринадцатом просто забывали. В результате неаккуратного обращения с Mensis Intercalaris календарные даты и времена года начали расходиться, и ко времени правления Юлия Цезаря отставали друг от друга больше чем на 60 дней.

Для синхронизации времен года и календарных дат Юлий Цезарь ввел новую систему исчисления, которая получила название юлианской. В этом календаре месяцы получили разное количество дней, а для устранения ошибки рассинхронизации был введен особенный високосный год. Юлианский календарь остается основной системой счисления времени для некоторых религиозных и неканонических организаций, а также лежит в основе православного месяцеслова. Сегодня в России юлианский календарь известен как «старый стиль».

Григорианский календарь

Несмотря на все усилия по синхронизации дат, юлианский календарь все же давал сбои. С приходом христианства основным праздником стала Пасха, дата которой, как известно, вычисляется по весеннему равноденствию. Но в юлианском календаре полнолуния рассогласовывались с астрономическими, что затрудняло определение плавающей даты пасхального воскресения. Именно поэтому была разработана модифицированная версия календаря Юлия Цезаря, в которой были изменены правила расчета високосных лет и вычисления Пасхи. Для исправления ошибок календарь в день принятия сдвигал дату на 10 суток. Каждые 400 лет разница между юлианским и григорианским календарем увеличивается на 3 дня.

Принципы счета

Календарь — это система исчисления, в основу которой заложены принципы движения небесных тел. Перемена дня и ночи или лунный цикл задали основные ориентиры для построения временной шкалы. Почему древнегреческий и древнеримские календари накапливали ошибки и требовали вставки дополнительных месяцев? Все дело в том, что при расчете месяца учитывалась смена лунных фаз, равных 29,53 суток. Таким образом, лунный год содержит всего 354,37 дня, и ежегодно происходит смещение дат на 11 суток. Для устранения этой проблемы отсчет дней начали производить не по движению Луны, а по Солнцу.

В основе солнечного календаря лежит годовой звездный цикл, который длится 365,25 дней. Очевидно, что каждые 4 года накапливается один лишний день, и для его нивелирования вводятся високосные года. Для проверки соответствия дат и времен года такой календарь использует дни равноденствия и солнцестояния. Так, весеннее равноденствие стабильно фиксируется 20 марта, а июньское и декабрьское солнцестояния допускают погрешность в 1 день. Солнечный календарь используется во всех новых системах исчисления, в том числе и в григорианском.

Основные ориентиры

Нам понятно, как считать года, но вот от чего их отсчитывать? В зависимости от эпохи и цивилизации отсчет времени производился по-разному. Например, римляне определяли время исторических событий по главному ориентиру — основанию Рима. В Древнем Египте, наоборот, отсчет времени начинался каждый раз заново вместе с вступлением на престол очередной правящей династии. С приходом христианства средневековая Европа взяла в качестве отметки начала времени Рождество Христово, которое используется до сих пор в большинстве современных государств.

Религиозные ориентиры — это наиболее популярные временные отметки, от которых ведется счет времени в других странах. К примеру, в исламских странах года отсчитываются от Хиджры — даты переселения пророка Мухаммеда из Мекки в Медину. Еще интереснее обстоят дела с еврейским календарем, который берет за начало момент сотворения Вселенной. По мнению адептов иудаизма, мир был создан в 3761 году до н. э, что было вычислено на основании продолжительности жизней библейских героев. Религиозный календарь Индии — Кали-Юга, предлагает более занимательную точку отсчета. Согласно индийским верованиям, эпоха Кали-Юга началась в момент ухода Кришны из этого мира, что произошло 23 января 3102 года до н. э.

Но самым любопытным является календарь майя. Мы до сих пор не знаем точно, какую точку отсчета приняли древние индейцы для своего календаря, хотя и выяснили на основании углеродного анализа, что мезоамериканский календарь стартует с 13 августа 3114 г. до н. э. Любопытно другое. Календарь майя был рассчитан только до 21 декабря 2012 года, что породило множество эсхатологических теорий о глобальном катаклизме, который должен был произойти в этот день. Дату 21.12.2012 мир ждал, затаив дыхание. Но ничего не произошло, и еще один конец света канул в лету.

Онлайн-сервис «Какой сегодня день»

Наша программа позволяет определить не только сегодняшнюю дату, но и узнать интересные факты. Так, сервис отображает данные о том, какой сейчас год по восточному календарю, високосный он или нет, позволяет узнать какой сегодня день по счету или перевести дату в систему юлианского календаря. Это удобная программа, при помощи которой легко спланировать свои дела и узнать интересные факты о сегодняшнем дне.

bbf.ru

Какое сегодня число и день недели?

Эта страница всегда поможет вам узнать число и день недели на сегодня.

Сегодня воскресение, 02 июня 2019 года.

Календарь на текущий месяц, сегодняшний день отмечен розовым фоном.

Июнь 2019

kalendata.ru

Нумерология времени

Если вы замечаете, что периодически смотрите на часы в одно и то же время, например, в 15:15, или другой период, с точки зрения нумерологии это – не что иное, как знак. Если прислушиваться к таким знакам, можно предугадывать события своего будущего. Нумерология времени 21:21 или 11:11 предлагает свою подсказку о том, что произойдет. Значения мы приводим ниже:

• 00.00 — любое бескорыстное ваше желание будет исполнено;
• 01.01 — некий мужчина сообщит вам хорошие новости;
• 01.10 — дело, которое вы начали, не принесет результата;
• 01.11 — сегодня отвечайте согласием на все предложения;
• 02.02 — сегодня вас куда-либо пригласят;
• 02.20 — будьте вежливы, контролируйте свою речь;
• 02.22 — вы узнаете некий секрет, и вам нужно его сохранить;
• 03.03 — вполне возможно, что вы вскоре встретите свою любовь;
• 03.30 — ваши чувства будут безответными;
• 03.33 — впереди – большой успех, везение;
• 04.04 — взгляните на происходящее другими глазами;
• 04.40 — это не ваш день, не развивайте бурной деятельности;
• 04.44 — вероятная ссора или неприятности на работе;
• 05.05 — ваши враги строят козни;
• 05.50 — будьте осторожны с огнем и водой;
• 05.55 — вскоре вы повстречаете мудрого человека, прислушайтесь к нему;
• 06.06 — вы обретете верного друга или надежного супруга;
• 07.07 — держитесь подальше от людей в форме военных;
• 08.08 — успехи на работе;
• 09.09 — внимательно следите за личными вещами, особенно кошельком и сумкой;
• 10.01 — впереди знакомство с влиятельным человеком;
• 10.10 — впереди время перемен;
• 11.11 — вероятно, вы попадете в зависимость от кого-либо;
• 12.12 — успех в любви;
• 12.21 — знакомство с приятным человеком;
• 13.13 — бойтесь соперников;
• 13.31 — сбудется мечта;
• 14.14 — успех в любви;
• 14.41 — неудача;
• 15.15 — последуйте совету;
• 15.51 — впереди короткий роман;
• 16.16 — будьте осторожны в пути;
• 17.17 — опасайтесь хулиганов;
• 18.18 — будьте бдительны на дороге;
• 19.19 — успех;
• 20.02 — ссора;
• 20.20 — скандал;
• 21.12 — серьезное обновление;
• 21.21 — бурный роман;
• 22.22 — знакомство;
• 23.23 — опасная связь;
• 23.32 — болезнь.

Нумерология времени – не такая точная вещь, как, например, число судьбы. Не стоит воспринимать информацию слишком серьезно.

womanadvice.ru

К чему снится Время и число «шесть»? Подробно растолкует Нумерологический сонник

Если во сне Вы видите, что на часах (см. Также 6, ЧАСЫ) уже шесть утра, то это сигнал опасности – Вы вот-вот упустите возможность начать выгодное для Вас дело, а все из-за Вашей лени. Немедленно начинайте действовать, не дожидайтесь, когда Вам велят это делать! Через 6 дней Вы должны уже с головой уйти в работу, чтобы через 6 месяцев наслаждаться плодами своего кропотливого и упорного труда, а не сожалеть о своем бездействии.

Если на часах 6 вечера, то Вам можно посочувствовать, – скорее всего, Вы так боялись оказаться притчей во языцех, что совершенно перестали жить полнокровной жизнью, и Ваше существование стало скучным и пресным. Шесть дней назад Вы отказались от своей мечты, чего никогда бы не сделали раньше. Выходите из своего кокона, иначе жизнь протечет мимо Вас.

Если во сне у Вас спрашивают, сколько времени, и Вы отвечаете, что уже 6 часов утра или вечера, то этот сон – к скорым переменам в состоянии Вашего здоровья. Если Вы болели, то через 6 дней после того, как Вы увидите этот сон, наступит Ваше полное выздоровление, но если Вы были здоровы, то через это же время Вы сляжете. Если голос у задающих Вам вопрос о времени Вам понравился, то все вышесказанное относится к Вам в полной мере, если же голос Вам не понравился во сне, то вполне вероятно, что выздоровеет или заболеет кто-то из Ваших близких. Но в любом случае, основная тяжесть забот ляжет на Ваши плечи.

Если во сне вопрос о времени задаете Вы и получаете ответ: «6 часов утра (вечера)», – то можете собирать вещи, на следующий день Вам настойчиво порекомендуют отправиться в путешествие. Если голос, отвечающий Вам на вопрос, мужской, то поездка будет деловой или связанной с Вашими деловыми начинаниями. Если же голос женский, то это будет приятная развлекательная поездка, в которую Вы можете отправиться всей семьей и которая продлится от 6 дней до 6 недель, судя по обстоятельствам. Детский голос говорит о том, что Вы просто на выходные съездите на дачу или за город, и уикенд доставит Вам много радости и неожиданного удовольствия.

Если Вам снится, что Вы на что-то потратили 6, 15, 42, 51 и так далее минут или часов, то в реальной жизни Вы взялись не за то дело, которое принесет Вам успех. Вероятнее всего, Вы дали себя обмануть и втянуть в убыточное предприятие. Если Вы решите выйти из дела, то рвите отношения со своими партнерами в ближайшие 6 дней, так как в этом случае удача будет на Вашей стороне.

Если во сне Вы кому-то назначаете свидание на 6 часов утра, то через 6 недель Вас спровоцируют на действия, которые выставят Вас в дурном свете и не позволят занять руководящую должность. Будьте внимательны и не поддавайтесь на уловки недругов, особенно важна Ваша бдительность 6 и 15 числа следующего месяца. Если Вы назначаете встречу на 6 часов вечера, то Вас ждет радостное изменение в семейной жизни, может быть, Вы станете счастливым родителем или дедом (бабушкой), или возможно, что женитесь Вы сами или кто-то из Ваших детей.

Особенное внимание обратите на то, приходят ли к Вам во сне на встречу те, кого Вы на нее приглашаете, или же нет. Если встреча протекает по плану, то ничего непривычного или неожиданного в Вашей жизни в ближайшее полугодие не произойдет, все события легко спрогнозировать. Но если встреча по какой-то причине не состоится, то ждите изменения буквально во всем, вряд ли Вы будете скучать в течение 6 месяцев.

Если во сне на свидание приглашают Вас и точно оговаривают время – ровно в 6 часов утра или вечера, то Вас ждет признание в любви, которое порадует Вас и польстит Вашему самолюбие, однако взаимностью Вы не ответите. Если Вы боитесь опоздать к назначенному сроку и страшно нервничаете во сне по этому поводу, то наяву Вы будете испытывать чувство вины перед человеком, который сделает Вам признание, и не сможете сохранить с ним дружеские отношения, так как Вам будет неудобно и неловко перед ним. Девушек этот сон предостерегает против ошибочной тактики поведения: из боязни обидеть хорошего человека они могут принять его любовь и согласиться выйти за него замуж, однако это решение приведет их к беде – через 6 месяцев они поймут, что ошиблись, но будет поздно.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)
\( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \( 12a^2b — 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = \)
\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \( a^2 — b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab \) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

www.math-solution.ru

Математика

Цифры, состоящие из одного символа, имеют всего 10 видов написания. Несколько таких символов, написанные подряд без каких-либо посторонних знаков, называются числами. С цифрами и числами математика позволяет производить множество различных действий. К примеру, взаимодействие между числами может сопровождаться четырьмя действиями: сложение – прибавить один набор символов с другим, разность – вычесть, произведение – сложить определенное количество раз один и тот же набор символов и частное – определить, сколько в итоговом числе находится определенный набор символов. Еще между числами проводят сравнения, эти условия в дальнейшем приводят к целесообразному умозаключению, например у этого ученика больше двоек, а у этого пятерок – следовательно, первый у нас бездарь. Математика ввела в процесс вычисления много других действий, которые применяются исключительно к каждому из чисел. Возведение в указанную степень одного и нескольких наборов символов означает произведение этого числа само на себя данное количество раз. Извлечь корень – обратное тому действие. На самом деле подобных действий над одним числом много и в жизни оно все применяется редко и лишь в отдельных отраслях.

Математика, которую мы знали в школе, становится более суровой и теперь мы будем использовать и сдавать не только числовые находки, но и словесный понос из математических лекций. Да, появляются лекции. Теперь алгебра и геометрия воссоединяются, и снова перед нами наша наука, но на очень высоком уровне. Примеры становятся сложнее, правила тяжелы для понимания, а решения будут занимать не одну страницу. Как я недавно сказал – метода подстановки в пример определения и свойств будет достаточно для решения. Здесь же этих свойств и следствий будет в разы больше. И тем не менее, этого снова будет достаточно. Остается только запомнить 50-100листов А4 лекций к концу курса.

Школьная математика

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Я не стану описывать первые три класса, они всем Вам известны, если Вы были в состоянии дойти до этой странички. Либо Вы просто гений и Ваше будущее просто ослепительно. Школьная математика представляет собой минимум слов и больше чисел. Мы не будем брать в расчет аксиомы и теоремы геометрии, которые настолько примитивны, что их можно понять с первого (второго) раза и решение будет сводиться к двум-трем действиям. Алгебра – это та же математика, только звучит круче. В ней мы узнаем, что такое уравнения, неравенства, логарифмы, производные, интегралы, дифференциалы и множество графических элементов, таких как гиперболы и параболы, используя начала анализа и другие приключения математики. Алгебру понять не трудно, если Вы способны запомнить определения и свойства тех элементов, которые идут по вашей рабочей программе. Например, логарифмы используют всего одно определение, четыре свойства и восемь-десять следствий. Запомнив их и подставляя под Ваши примеры каждый из них, Вы будете видеть выход из ситуации, и вся эта мозаика в итоге очень красиво сложится. Поверьте, это очень приятно, когда сложные примеры у Вас на глазах приобретают Божеский вид. Либо я просто сумасшедший.

Высшая математика

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АЛГЕБРА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

РЯДЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чем может похвастаться Высшая математика? С каждым годом мы учимся решать примеры различного характера, будь то неравенства, логарифмы, пределы и здесь не будет исключений. Определители, матрицы, дифференциальные уравнения, теория вероятности – всё это снесет мозг обычному математику, это интересно, трудно и вообще другой уровень. Всё это мало где используется, но тоже приобретает свой смысл в некоторых вещах.

Во время учебного процесса Высшая математика является таким же обязательным предметом, как и Философия или Информатика даже для тех, кого они никогда не коснутся. Этот пунктик многих задевает, поскольку без хороших оценок не будет ни стипендии, ни будущего. А вот математика в школе – другое дело. Она подразделяется на алгебру и геометрию, поскольку в один предмет засунуть все теории и примеры нашим древним предкам видимо не удалось. Алгебра продолжает лучшие традиции математики, и в ней мы не увидим теории, а лишь голые примеры, где мы должны найти ответ или сократить огромную запись донельзя. Геометрия – более продвинутая математика. Здесь мы начинаем с обычных треугольников и заканчиваем псевдо разрезанием неправильных многоугольников. Геометрия пестрит теориями, аксиомами и прочими словесными выражениями, она больше напоминает литературу, где надо просто заучить правило, но при этом еще знать, почему оно так происходит, выводя новые гипотезы из ранее изученных доказательств. На том и строится вся наша научная жизнь, мы собираем новые теоремы и строим с их помощью более сложные и навороченные версии.

Математика позволяет нашей прекрасной половине человечества стать экономистами, бухгалтерами и овладеть другими вычислительными профессиями, поскольку других должностей для девушек практически нет. Мужчины в свою очередь еще могут изучить некоторые азы физики и на стыке этих двух наук получить дочернюю, например кибернетику.

Математика – наука вывода данных, но все эти данные поддаются правилам, а это значит, что можно вывести закономерность для любого типа примеров. Это довольно просто, ведь подсознательно, мы во время учебы берем пример, подбираем необходимое решение из всего, что у нас содержится в голове, и получаем ответ. Этот же способ можно вывести в электронном виде. Вся наша компьютерная математика может построиться на языке, который подразумевает условия, ввод и вывод данных и способен производить математические действия с переменными. Серверный язык для этого вполне походит, во-первых, из-за безопасности. Весь код, который вы составите, будете иметь в виду только вы, и никто другой не может просмотреть ваши заросли. Во-вторых, в широкий спектр возможностей серверного языка входят математические функции, тригонометрия и элементы сравнения. В-третьих, возможность запоминания данных различными методами передачи, вроде занесения их в базу данных или в адресную строку.

Как строится подобный код. Для настоящего математика не составит труда вывести пример на бумаге без использования настоящих чисел, т.е будет много переменных в итоге, но подстановка различных чисел будет всегда выдавать правильный ответ. В школах и учебных заведениях требуют приведение всех выводов и подстановок, что показывает таким образом Ваш ход мысли при решении задачи. Это мы без проблем можем отразить в коде, но при этом возникает вопрос условий при решении задачи. Что это значит: имеется квадратное уравнение, решается как обычно. Находим дискриминант и вот наши первые три условия. Необходимо расписывать все условия, а система подберет по дискриминанту необходимое следствие, и подсчет продолжится до победного конца. Таким образом, стандартная математика позволяет создать умный калькулятор, который не просто дает ответ, но и подробно описывает решение задачи.

При всем желании многие люди неспособны просто понять математику и её сильные стороны. Как правило, эти личности хорошо разбираются в гуманитарных науках и математическое мышление им пригодится лишь при оплате проезда в метро. Другие будут жить вычислениями и исследовать все новые и новые загадки вселенной. Также математика предоставляет теорию вероятности, которая измеряется в процентах и зависит от случая. Эта наука далеко не точная, по сравнению со всеми остальными в этой области, но она ярко отображает все наши возможности в тот или иной отрезок времени. Зная теорию вероятности, многие умники создали лотереи, которые реально могут озолотить чьи-то руки, при этом тысячи других разорятся, а хозяин получает стабильный доход и веру отдельных граждан в халтурное счастливое будущее. Математика напрямую связана с графиками, что позволяет ставить точные данные на чертежах и прочих графических проектах. На компьютере с недавних времен смогли устанавливать трехмерные графические элементы, используя математические наборы символов в трех проекциях. Кино и мультфильмы также используют математику в своих целях, оснащая ленты трехмерными спецэффектами, которые добавляют зрелищ при просмотре. Цифровая наука имеет свои сильные стороны и в наностроительстве. При проектировании компьютерных элементов необходима точность, иначе собранное устройство просто не заработает. С каждым годом подобные строения все меньше и меньше, а их начинка неуклонно растет.

Упрощенная математика

Как известно — решебник, калькулятор и прочая вычислительная техника способствуют деградации логики и внутренних моторных навыков, которые помогают вычислять в умах людей и, в частности, детей. Однако огромные примеры у обычных людей редко будут становиться на пути в жизни и поэтому для них придумывают различные способы упростить те или иные выражения. Для того, чтобы создать такой модуль, который будет вычислять все, что взбредет в голову, необходимо внести тысячи условий, которые будут определять, что за пример перед ними, и в каждый пример добавить еще по несколько условий, которые будут определять как с этим примером поступить в том или ином случае.

Сравнение – этот фактор будет сопровождать всю программу. Сравнение значения с теми, которые мы можем решить так или по-другому. Например, если у нас на выходе получается число под корнем четной степени, мы определяем само значение числа. Если оно положительное или равно нулю – мы можем решить данный пример, а в противном случае выдаем сообщение, что решение не имеет ответа. Всё опирается на сравнения и последующие условия. Далее мы определяем форму вывода решения. Это может быть как мгновенное решение примера, что для нас будет очень просто сделать, либо вывести все решение целиком, опираясь на множественные условия, которые придется учитывать. На это потребуется немало времени, но в результате мы на каждый случай будем иметь расписанное решение, которое надо будет только списать. Ни один учитель в мире не примет у Вас ответ без решения, поэтому это стоит учитывать. В итоге мы получаем очень сложную программу, способную думать и принимать верные решения на все случаи жизни: она анализирует пример, приводит пошаговое решение с подробным описанием каждого действия и пишет ответ.

Заключение

Математика будет доступной, если мы будем заучивать определения и свойства того или иного объекта и применять их в примерах. Правил не много, подставлять поочередно каждое из правил рано или поздно даст нам нужное решение. Это относится ко всей программе 5-11 классов и первых двух курсов Высшей математики. Больше её в моей жизни не было.

mateshka.ru

AutoMath Photo Calculator решит за вас домашнее задание по математике

В жизни каждого родителя однажды наступает момент, когда в ответ на просьбу своего ребёнка о помощи с решением задачи ему приходится развести руками и растерянно признаться, что все эти иксы, дроби и интегралы уже безвозвратно им забыты. Однако теперь есть чудо-калькулятор для Android, который поможет вашему школьнику с математикой лучше любого родителя.

AutoMath Photo Calculator представляет из себя приложение, которое способно распознать пример с помощью камеры вашего мобильного устройства и тут же выдать его решение. При этом ему знакомо более 250 математических функций, и оно умеет работать без подключения к интернету. Вот так это выглядит на практике.

Приложение может решать примеры на сложение, вычитание, умножение, дроби, деление, неравенства, квадратные корни, тригонометрические выражения, уравнения, упрощения многочленов и так далее.

Но самое прекрасное, что AutoMath Photo Calculator способен продемонстрировать вам пошаговый алгоритм решения. А в скором обновлении программы автор обещает нам добавить решение систем уравнений, построение графиков и даже распознавание написанных от руки примеров!

Хотя в настоящее время приложение частенько ошибается с распознаванием математических выражений, пользоваться им вполне можно. К тому же в AutoMath Photo Calculator имеется встроенный редактор, с помощью которого можно подправить неправильно понятые программой символы.

В целом, программа является настоящей находкой для тех учащихся и студентов, которым необходима помощь в освоении математики, алгебры, тригонометрии и связанных с ними дисциплин.

Цена: Бесплатно

lifehacker.ru

Как решить пример (уравнение) по математике (алгебре)? Урок

Как решить пример или просто уравнение по математике, чаще всего алгебре? Этот вопрос по алгебре или математике буквально «достает» почти каждый день школьников и зачастую их родителей. Есть ли здесь универсальные рецепты (урок) по решению примеров и можно ли в одном кратком уроке помочь решить пример? Но я рискну взяться за это неблагодарное, но такое нужное дело. Ведь только математика в будущем сохранит нам просто незаменимые профессии инженеров и техников, ученых и конструкторов, строителей и проектировщиков. Если этот пример вам не поможет, то придется надолго находить деньги и приглашать опытных репетиторов, тем более что предложения от репетиторов широки и разнообразны. Тем более, что репетитор по математике стоимость услуг, здесь — www.rus-repetitor.ru/repetitory/12/245, например, широко варьируется в зависимости от интенсивности занятий, подготовки ученика и многих факторов.

Итак, что же не позволяет решить пример или уравнение по алгебре или вообще по математике? Не знание элементарных истин, которые «прошляпил» учитель, в своем ученике.

Решим уравнение, а также неравенство из алгебры легко и быстро

Возьмем, вот такое уравнение: 5(х-3)=3х-1. (Точно так же может быть решено и неравенство, если вместо знака «равно» будет написано «больше» или меньше», но о решении неравенства несколько слов в конце статьи).Для решения этого уравнения из алгебры нужно раскрыть скобки. Казалось- бы просто, но и здесь можно «наломать дров» со знаками в алгебре. Но мы постараемся этого не сделать. Перед скобками стоит множитель «5», о какое счастье- с положительным знаком. Нам для начала надо поочередно умножить все числа и переменные в скобке на это число. Буквально это выглядит так:

5 (со знаком плюс) умножить на икс со знаком плюс, получится все довольно просто, как в первом классе, результат 5икс или запись выглядит, как 5x. По- сути эта запись должна была быть на самом деле записана так: 5*х , где *- знак умножения. Но для краткости перемноженную переменную x и число пишут слитно, как одно выражение. И так, мы одну часть скобки перемножили, получив выражение 5х. Далее по очереди перемножим общий коэффициент перед скобкой на 3 (три). Кто дружит с таблицей умножения, тот перемножит числа на «автомате». Но какой знак записать перед результатом умножения? Учителю математики «западло» объяснить простую вещь, что мы на самом деле имеем минус три (-3)— это по сути число (-1) умножить на (+3), что и дает число минус три. А почему все же знак минус? Мы умножили плюс на минус, и получили минус, а почему? Чтобы впредь не запутаться со знаками при решении примеров по алгебре или математике, зададимся простыми вопросами. Друг моего врага, кто он мне? Подумав, любой скажет, что

друг моего врага — мой враг (плюс умножить на минус даст минус)

Если врагом считать знак минус, а плюс — другом, то плюс умноженный на минус (и наоборот, минус умноженный на плюс) даст минус, то есть моего врага. Тогда какой знак будет у друга моего друга? Все верно- друг моего друга — мой друг (плюс умноженный на плюс даст плюс). А враг моего врага? Да, это мой друг (минус умноженный на минус даст плюс).

Так мы разобрались со знаками при умножении. Точно так же действует это правило и при делении чисел, смело применяйте эти понятия о дружбе в алгебре и математике. Теперь нам легче решать дальше уравнение. Итак друга число пять(+5) мы умножаем по сути на врага (-1) и умножаем на друга (+3). Обратите внимание, мы умножаем два числа, но я их записал, как три, ибо если перед числом стоит знак минус, то это по сути есть всегда число (-1)— враг, умноженное на положительное число или переменную со знаком плюс (друг). Итак, еще раз:
5*(-1)*(3)= -15. Вернемся к уравнению. Его уже смело пишем как 5х-15=3х-1. Как быть дальше?

Мы никак не можем, нет не имеем права сложить 5х и минус 15. Ведь это в первом случае переменная, а во втором случае число с каким- то знаком. Ну не станете же вы складывать яблоки со стульями, что же в результате получится? Поэтому складывайте всегда иксы с иксами, игреки с игреками, числа с числами. Вдохновленные этими знаниями, мы сложим в последней записи уравнения 5х и 3х, а также числа минус 15 и минус 3. Но как быть? Ведь они в разных частях уравнения, что боязно, и непривычно. И правильно, что боязно.

Переменные с коэффициентами при них соберем в одну часть уравнения, а числа в другую. Нам удобна не пугающая запись с минусами при переменных, а чтобы оно было со знаком плюс (вы же помните от учителя, что число плюс без надобности вообще не пишется, а что, он плюс- то это всегда помнится). Итак соберем все коэффициенты при икс в левую часть (смотрим последнюю запись уравнения). Тогда 5х так и останется в левой части в первозданном виде. А вот 3х должен перебраться в левую часть, поменяв знак на противоположный, а почему? А дело в том, что перетаскивание его в левую часть в неизменном виде (количестве) изменило бы равенство и правдивость уравнения. Есть «древнее» правило алгебры или математики: уравнение не изменится, если его левую и правую части умножить на одно и тоже число, или добавить или отнять одно и то же число. Ну что же, «украдем» 3х из правой части (отнимем его) и добавим в левую, поменяв знак на противоположный, записав слева не 3х, а (-3х). Точно так же перетащим обыкновенное число со знаком минус 15 или (-15) направо, сменив знак на противоположный. Итак, запишем уравнение в новом виде: 5х-3х= -1+15. Ну, так не очень красиво, запишем красивее, так как знаки мы не тронем, а от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 5х-3х=15-1. Получили замечательную запись, даже гордость взяла, как все красиво. (Далее, перейти на следующую страницу, нумерация — ниже)

Добавьте статью в закладки, чтобы вновь вернуться к ней, нажав кнопки Ctrl+D .Подписку на уведомления о публикации новых статей можно осуществить через форму «Подписаться на этот сайт» в боковой колонке страницы. Если что непонятно, то, читайте здесь.

Внимание! АВТОРСТВО ВСЕХ СТАТЕЙ ЗАЩИЩЕНО. Копирование и публикация на других сайтах статьи или ее фрагментов без согласия автора или без активной гиперссылки ЗАПРЕЩЕНЫ.

deepcool-ma.com

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: -9.

Раскрываем скобки:

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

Раскрываем скобки:

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Раскрываем скобки:

Приводим подобные слагаемые:

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ:

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

www.algebraclass.ru

Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть     
х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х —  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены: 
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = — 36/19

Ответ: — . 

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Ромб и его свойства

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.

Ромб –это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.

Теорема

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).

Дано:

– ромб

Доказать:

.

Доказательство:

Рис. 1

Рассмотрим : – середина (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник – равнобедренный; является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:

, то есть диагонали ромба перпендикулярны;

, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).

Доказано.

Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.

Квадрат и его свойства

Квадрат –это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:

· все углы квадрата прямые;

· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

Задачи на ромб и квадрат

Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.

Задача 1.

В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:

а) углы ромба;

б) углы между диагоналями и сторонами.

Дано: – ромб; .

Найти: а) ; б) .

Решение:

Рис. 2

а) (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .

Ответ: .

б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .

Ответ: .

Задача 2.

Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.

Дано: – ромб; .

Найти:

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .

Ответ: .

Задача 3.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .

Дано: – ромб, .

Найти:

Решение:

Рис. 4

Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .

Ответ:

Задача 4.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) его диагонали являются биссектрисами углов.

а) Дано: – параллелограмм, .

Доказать: – ромб.

Доказательство:

Рис. 5

Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть – ромб.

Доказано.

б) Дано: – параллелограмм, – биссектрисы углов параллелограмма.

Доказать: – ромб.

Доказательство:

Рис. 6

Рассмотрим треугольник : в нем является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит, – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть, – ромб.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Дано: – ромб,

Доказать: – квадрат.

Доказательство:

Рис. 7

Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию: (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что – прямоугольник, а значит, и квадрат.

Доказано.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующем уроке мы обобщим полученные знания о параллелограммах.

Домашнее задание

1. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна .

2. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как .

3. Доказать, что прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, – квадрат.

Урок 12: Повторение теории и решение задач

На этом уроке мы повторим и обобщим все полученные знания при изучении главы «Четырехугольники. Параллелограммы». Вспомним определения, свойства и признаки таких фигур, как параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Решим несколько примеров, которые демонстрируют применение всех изученных фактов к указанным фигурам.

cyberpedia.su

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства

найди площадь и периметр закрашенной фигуры нарисован прямоугольник как сапог длина 8 дм потом вниз ширина 2 дм затем длина 7 дм, затем ширина 4 дм. Ответ №1: 2*8+7*4=44 -это площадь. 2*2+8*2+7*2+4*2=42 -это периметр. Ответ №2: 2*8+7*4=44(дм ) — площадь. 2*(2+8+7+4).

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

Где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите.

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен. Тогда гипотенуза равна.

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что. Поскольку, получаем, что. Тогда.

В ответ запишем.

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что. Угол — тупой. Значит, он равен.

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, основание равно. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем. Тогда.

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика. Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства

Окружность описанная около прямоугольного треугольника

Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:

Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!

То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:

Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.

Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием » Плач математика «, рекомендую к прочтению учителям и ученикам.

Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:

Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. Т

poiskvstavropole.ru

Вписанный и описанный треугольник — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

,

где — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

Ответ: .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Окружность описанная около прямоугольного треугольника

Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:

Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!

То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:

Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.

Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием «Плач математика», рекомендую к прочтению учителям и ученикам.

Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:

Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. То есть если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак прямоугольника. Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. То есть если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

*Прямоугольник является параллелограммом, это его частный случай.

Итак, приступим:

Возьмем треугольник и относительно центра окружности повернем его на 180⁰ (перевернём его). У нас получится четырехугольник, вписанный в окружность:

Поскольку мы просто повернули треугольник, то противолежащие стороны четырехугольника равны, значит это параллелограмм. Поскольку треугольник повернут ровно на 180 градусов, значит его вершина диаметрально противоположна вершине «исходного» треугольника.

Получается, что диагонали четырёхугольника равны, так они являются диаметрами. Имеем четырёхугольник у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны, следовательно это есть прямоугольник, а у него все углы прямые.

Вот и всё доказательство!

Можно рассмотреть и такое, тоже простое и понятное:

Посмотреть ещё одно доказательство =>>

Из точки С построим отрезок проходящий через центр окружности, другой конец которого будет лежать на противоположной точке окружности (точка D). Точку D соединим с вершинами А и В:Получили четырёхугольник. Треугольник АОD равен треугольнику СОВ по двум сторонам и углу между ними:

Из равенства треугольников следует, что AD = CB.

Аналогично и АС = DB.

Можем сделать вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. Кроме того, его диагонали равны –  АВ изначально дан как диаметр, СD также диаметр (проходит через точку О).

Таким образом, АСВD прямоугольник, значит все его углы прямые. Доказано!

Ещё один примечательный подход, который ярко и «красиво» говорит нам о том, что рассматриваемый угол всегда прямой.

Посмотрите и вспомните информацию про вписанный угол. А теперь посмотрите на эскиз:

Угол АОВ не что иное как центральный угол опирающийся на дугу АDB, и равен он 180 градусам. Да, АВ это диаметр окружности, но ничто нам не мешает считать АОВ центральным углом (это развёрнутый угол). Угол же АСВ является вписанным для него, он опирается также же дугу на АDB.

А мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то есть как бы мы не разместили точку С на окружности, угол АСВ всегда будет равен 90 градусам, то является прямым.

Какие выводы можно сделать применительно к решению задач, в частности включённых в экзамен?

Если в условии речь идёт о треугольнике вписанном в окружность и построенном на диаметре этой окружности, то однозначно этот треугольник является прямоугольным.

Если сказано, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, то это означает, что его гипотенуза является совпадает с её диаметром (равна ему) и центр гипотенузы совпадает с центром окружности.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Задача 1.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

По теореме Виета,

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Задача 2.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

AB=26 см, r=4 см.

Найти:

Решение:

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AM=AK=x см,

BF=BM=(26-x) см,

CF=CK=r=4 см.

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

По теореме Пифагора,

Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.

Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.

Ответ: 120 см².

www.uznateshe.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Рис.3

      Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Рис. 4

      Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

      Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

Рис. 6

      Доказательство. Из формулы

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

      Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Рис. 7

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

где

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

      Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Рис. 8

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,

СD = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru