Калькулятор онлайн — Упрощение многочлена (умножение многочленов) (с подробным решением)
С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень
Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Примеры подробного решения >>
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.
Приведем примеры таких выражений:
\( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)
\( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных.
Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \( 12a^2b — 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени.
Например:
\( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = \)
\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \( a^2 — b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с
таким заданием при умножении многочленов:
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab \) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
www.math-solution.ru
Математика
Цифры, состоящие из одного символа, имеют всего 10 видов написания. Несколько таких символов, написанные подряд без каких-либо посторонних знаков, называются числами. С цифрами и числами математика позволяет производить множество различных действий. К примеру, взаимодействие между числами может сопровождаться четырьмя действиями: сложение – прибавить один набор символов с другим, разность – вычесть, произведение – сложить определенное количество раз один и тот же набор символов и частное – определить, сколько в итоговом числе находится определенный набор символов. Еще между числами проводят сравнения, эти условия в дальнейшем приводят к целесообразному умозаключению, например у этого ученика больше двоек, а у этого пятерок – следовательно, первый у нас бездарь. Математика ввела в процесс вычисления много других действий, которые применяются исключительно к каждому из чисел. Возведение в указанную степень одного и нескольких наборов символов означает произведение этого числа само на себя данное количество раз. Извлечь корень – обратное тому действие. На самом деле подобных действий над одним числом много и в жизни оно все применяется редко и лишь в отдельных отраслях.
Математика, которую мы знали в школе, становится более суровой и теперь мы будем использовать и сдавать не только числовые находки, но и словесный понос из математических лекций. Да, появляются лекции. Теперь алгебра и геометрия воссоединяются, и снова перед нами наша наука, но на очень высоком уровне. Примеры становятся сложнее, правила тяжелы для понимания, а решения будут занимать не одну страницу. Как я недавно сказал – метода подстановки в пример определения и свойств будет достаточно для решения. Здесь же этих свойств и следствий будет в разы больше. И тем не менее, этого снова будет достаточно. Остается только запомнить 50-100листов А4 лекций к концу курса.
Школьная математика
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Я не стану описывать первые три класса, они всем Вам известны, если Вы были в состоянии дойти до этой странички. Либо Вы просто гений и Ваше будущее просто ослепительно. Школьная математика представляет собой минимум слов и больше чисел. Мы не будем брать в расчет аксиомы и теоремы геометрии, которые настолько примитивны, что их можно понять с первого (второго) раза и решение будет сводиться к двум-трем действиям. Алгебра – это та же математика, только звучит круче. В ней мы узнаем, что такое уравнения, неравенства, логарифмы, производные, интегралы, дифференциалы и множество графических элементов, таких как гиперболы и параболы, используя начала анализа и другие приключения математики. Алгебру понять не трудно, если Вы способны запомнить определения и свойства тех элементов, которые идут по вашей рабочей программе. Например, логарифмы используют всего одно определение, четыре свойства и восемь-десять следствий. Запомнив их и подставляя под Ваши примеры каждый из них, Вы будете видеть выход из ситуации, и вся эта мозаика в итоге очень красиво сложится. Поверьте, это очень приятно, когда сложные примеры у Вас на глазах приобретают Божеский вид. Либо я просто сумасшедший.
Высшая математика
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
АЛГЕБРА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
РЯДЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Чем может похвастаться Высшая математика? С каждым годом мы учимся решать примеры различного характера, будь то неравенства, логарифмы, пределы и здесь не будет исключений. Определители, матрицы, дифференциальные уравнения, теория вероятности – всё это снесет мозг обычному математику, это интересно, трудно и вообще другой уровень. Всё это мало где используется, но тоже приобретает свой смысл в некоторых вещах.
Во время учебного процесса Высшая математика является таким же обязательным предметом, как и Философия или Информатика даже для тех, кого они никогда не коснутся. Этот пунктик многих задевает, поскольку без хороших оценок не будет ни стипендии, ни будущего. А вот математика в школе – другое дело. Она подразделяется на алгебру и геометрию, поскольку в один предмет засунуть все теории и примеры нашим древним предкам видимо не удалось. Алгебра продолжает лучшие традиции математики, и в ней мы не увидим теории, а лишь голые примеры, где мы должны найти ответ или сократить огромную запись донельзя. Геометрия – более продвинутая математика. Здесь мы начинаем с обычных треугольников и заканчиваем псевдо разрезанием неправильных многоугольников. Геометрия пестрит теориями, аксиомами и прочими словесными выражениями, она больше напоминает литературу, где надо просто заучить правило, но при этом еще знать, почему оно так происходит, выводя новые гипотезы из ранее изученных доказательств. На том и строится вся наша научная жизнь, мы собираем новые теоремы и строим с их помощью более сложные и навороченные версии.
Математика позволяет нашей прекрасной половине человечества стать экономистами, бухгалтерами и овладеть другими вычислительными профессиями, поскольку других должностей для девушек практически нет. Мужчины в свою очередь еще могут изучить некоторые азы физики и на стыке этих двух наук получить дочернюю, например кибернетику.
Математика – наука вывода данных, но все эти данные поддаются правилам, а это значит, что можно вывести закономерность для любого типа примеров. Это довольно просто, ведь подсознательно, мы во время учебы берем пример, подбираем необходимое решение из всего, что у нас содержится в голове, и получаем ответ. Этот же способ можно вывести в электронном виде. Вся наша компьютерная математика может построиться на языке, который подразумевает условия, ввод и вывод данных и способен производить математические действия с переменными. Серверный язык для этого вполне походит, во-первых, из-за безопасности. Весь код, который вы составите, будете иметь в виду только вы, и никто другой не может просмотреть ваши заросли. Во-вторых, в широкий спектр возможностей серверного языка входят математические функции, тригонометрия и элементы сравнения. В-третьих, возможность запоминания данных различными методами передачи, вроде занесения их в базу данных или в адресную строку.
Как строится подобный код. Для настоящего математика не составит труда вывести пример на бумаге без использования настоящих чисел, т.е будет много переменных в итоге, но подстановка различных чисел будет всегда выдавать правильный ответ. В школах и учебных заведениях требуют приведение всех выводов и подстановок, что показывает таким образом Ваш ход мысли при решении задачи. Это мы без проблем можем отразить в коде, но при этом возникает вопрос условий при решении задачи. Что это значит: имеется квадратное уравнение, решается как обычно. Находим дискриминант и вот наши первые три условия. Необходимо расписывать все условия, а система подберет по дискриминанту необходимое следствие, и подсчет продолжится до победного конца. Таким образом, стандартная математика позволяет создать умный калькулятор, который не просто дает ответ, но и подробно описывает решение задачи.
При всем желании многие люди неспособны просто понять математику и её сильные стороны. Как правило, эти личности хорошо разбираются в гуманитарных науках и математическое мышление им пригодится лишь при оплате проезда в метро. Другие будут жить вычислениями и исследовать все новые и новые загадки вселенной. Также математика предоставляет теорию вероятности, которая измеряется в процентах и зависит от случая. Эта наука далеко не точная, по сравнению со всеми остальными в этой области, но она ярко отображает все наши возможности в тот или иной отрезок времени. Зная теорию вероятности, многие умники создали лотереи, которые реально могут озолотить чьи-то руки, при этом тысячи других разорятся, а хозяин получает стабильный доход и веру отдельных граждан в халтурное счастливое будущее. Математика напрямую связана с графиками, что позволяет ставить точные данные на чертежах и прочих графических проектах. На компьютере с недавних времен смогли устанавливать трехмерные графические элементы, используя математические наборы символов в трех проекциях. Кино и мультфильмы также используют математику в своих целях, оснащая ленты трехмерными спецэффектами, которые добавляют зрелищ при просмотре. Цифровая наука имеет свои сильные стороны и в наностроительстве. При проектировании компьютерных элементов необходима точность, иначе собранное устройство просто не заработает. С каждым годом подобные строения все меньше и меньше, а их начинка неуклонно растет.
Упрощенная математика
Как известно — решебник, калькулятор и прочая вычислительная техника способствуют деградации логики и внутренних моторных навыков, которые помогают вычислять в умах людей и, в частности, детей. Однако огромные примеры у обычных людей редко будут становиться на пути в жизни и поэтому для них придумывают различные способы упростить те или иные выражения. Для того, чтобы создать такой модуль, который будет вычислять все, что взбредет в голову, необходимо внести тысячи условий, которые будут определять, что за пример перед ними, и в каждый пример добавить еще по несколько условий, которые будут определять как с этим примером поступить в том или ином случае.
Сравнение – этот фактор будет сопровождать всю программу. Сравнение значения с теми, которые мы можем решить так или по-другому. Например, если у нас на выходе получается число под корнем четной степени, мы определяем само значение числа. Если оно положительное или равно нулю – мы можем решить данный пример, а в противном случае выдаем сообщение, что решение не имеет ответа. Всё опирается на сравнения и последующие условия. Далее мы определяем форму вывода решения. Это может быть как мгновенное решение примера, что для нас будет очень просто сделать, либо вывести все решение целиком, опираясь на множественные условия, которые придется учитывать. На это потребуется немало времени, но в результате мы на каждый случай будем иметь расписанное решение, которое надо будет только списать. Ни один учитель в мире не примет у Вас ответ без решения, поэтому это стоит учитывать. В итоге мы получаем очень сложную программу, способную думать и принимать верные решения на все случаи жизни: она анализирует пример, приводит пошаговое решение с подробным описанием каждого действия и пишет ответ.
Заключение
Математика будет доступной, если мы будем заучивать определения и свойства того или иного объекта и применять их в примерах. Правил не много, подставлять поочередно каждое из правил рано или поздно даст нам нужное решение. Это относится ко всей программе 5-11 классов и первых двух курсов Высшей математики. Больше её в моей жизни не было.
mateshka.ru
AutoMath Photo Calculator решит за вас домашнее задание по математике
В жизни каждого родителя однажды наступает момент, когда в ответ на просьбу своего ребёнка о помощи с решением задачи ему приходится развести руками и растерянно признаться, что все эти иксы, дроби и интегралы уже безвозвратно им забыты. Однако теперь есть чудо-калькулятор для Android, который поможет вашему школьнику с математикой лучше любого родителя.
AutoMath Photo Calculator представляет из себя приложение, которое способно распознать пример с помощью камеры вашего мобильного устройства и тут же выдать его решение. При этом ему знакомо более 250 математических функций, и оно умеет работать без подключения к интернету. Вот так это выглядит на практике.
Приложение может решать примеры на сложение, вычитание, умножение, дроби, деление, неравенства, квадратные корни, тригонометрические выражения, уравнения, упрощения многочленов и так далее.
Но самое прекрасное, что AutoMath Photo Calculator способен продемонстрировать вам пошаговый алгоритм решения. А в скором обновлении программы автор обещает нам добавить решение систем уравнений, построение графиков и даже распознавание написанных от руки примеров!
Хотя в настоящее время приложение частенько ошибается с распознаванием математических выражений, пользоваться им вполне можно. К тому же в AutoMath Photo Calculator имеется встроенный редактор, с помощью которого можно подправить неправильно понятые программой символы.
В целом, программа является настоящей находкой для тех учащихся и студентов, которым необходима помощь в освоении математики, алгебры, тригонометрии и связанных с ними дисциплин.
Разработчик: S2dioЦена: Бесплатно
lifehacker.ru
Как решить пример (уравнение) по математике (алгебре)? Урок
Как решить пример или просто уравнение по математике, чаще всего алгебре? Этот вопрос по алгебре или математике буквально «достает» почти каждый день школьников и зачастую их родителей. Есть ли здесь универсальные рецепты (урок) по решению примеров и можно ли в одном кратком уроке помочь решить пример? Но я рискну взяться за это неблагодарное, но такое нужное дело. Ведь только математика в будущем сохранит нам просто незаменимые профессии инженеров и техников, ученых и конструкторов, строителей и проектировщиков. Если этот пример вам не поможет, то придется надолго находить деньги и приглашать опытных репетиторов, тем более что предложения от репетиторов широки и разнообразны. Тем более, что репетитор по математике стоимость услуг, здесь — www.rus-repetitor.ru/repetitory/12/245, например, широко варьируется в зависимости от интенсивности занятий, подготовки ученика и многих факторов.
Итак, что же не позволяет решить пример или уравнение по алгебре или вообще по математике? Не знание элементарных истин, которые «прошляпил» учитель, в своем ученике.
Решим уравнение, а также неравенство из алгебры легко и быстро
Возьмем, вот такое уравнение: 5(х-3)=3х-1. (Точно так же может быть решено и неравенство, если вместо знака «равно» будет написано «больше» или меньше», но о решении неравенства несколько слов в конце статьи).Для решения этого уравнения из алгебры нужно раскрыть скобки. Казалось- бы просто, но и здесь можно «наломать дров» со знаками в алгебре. Но мы постараемся этого не сделать. Перед скобками стоит множитель «5», о какое счастье- с положительным знаком. Нам для начала надо поочередно умножить все числа и переменные в скобке на это число. Буквально это выглядит так:
5 (со знаком плюс) умножить на икс со знаком плюс, получится все довольно просто, как в первом классе, результат 5икс или запись выглядит, как 5x. По- сути эта запись должна была быть на самом деле записана так: 5*х , где *- знак умножения. Но для краткости перемноженную переменную x и число пишут слитно, как одно выражение. И так, мы одну часть скобки перемножили, получив выражение 5х. Далее по очереди перемножим общий коэффициент перед скобкой на 3 (три). Кто дружит с таблицей умножения, тот перемножит числа на «автомате». Но какой знак записать перед результатом умножения? Учителю математики «западло» объяснить простую вещь, что мы на самом деле имеем минус три (-3)— это по сути число (-1) умножить на (+3), что и дает число минус три. А почему все же знак минус? Мы умножили плюс на минус, и получили минус, а почему? Чтобы впредь не запутаться со знаками при решении примеров по алгебре или математике, зададимся простыми вопросами. Друг моего врага, кто он мне? Подумав, любой скажет, что
друг моего врага — мой враг (плюс умножить на минус даст минус)
Если врагом считать знак минус, а плюс — другом, то плюс умноженный на минус (и наоборот, минус умноженный на плюс) даст минус, то есть моего врага. Тогда какой знак будет у друга моего друга? Все верно- друг моего друга — мой друг (плюс умноженный на плюс даст плюс). А враг моего врага? Да, это мой друг (минус умноженный на минус даст плюс).
Так мы разобрались со знаками при умножении. Точно так же действует это правило и при делении чисел, смело применяйте эти понятия о дружбе в алгебре и математике. Теперь нам легче решать дальше уравнение. Итак друга число пять(+5) мы умножаем по сути на врага (-1) и умножаем на друга (+3). Обратите внимание, мы умножаем два числа, но я их записал, как три, ибо если перед числом стоит знак минус, то это по сути есть всегда число (-1)— враг, умноженное на положительное число или переменную со знаком плюс (друг). Итак, еще раз:
5*(-1)*(3)= -15. Вернемся к уравнению. Его уже смело пишем как 5х-15=3х-1. Как быть дальше?
Мы никак не можем, нет не имеем права сложить 5х и минус 15. Ведь это в первом случае переменная, а во втором случае число с каким- то знаком. Ну не станете же вы складывать яблоки со стульями, что же в результате получится? Поэтому складывайте всегда иксы с иксами, игреки с игреками, числа с числами. Вдохновленные этими знаниями, мы сложим в последней записи уравнения 5х и 3х, а также числа минус 15 и минус 3. Но как быть? Ведь они в разных частях уравнения, что боязно, и непривычно. И правильно, что боязно.
Переменные с коэффициентами при них соберем в одну часть уравнения, а числа в другую. Нам удобна не пугающая запись с минусами при переменных, а чтобы оно было со знаком плюс (вы же помните от учителя, что число плюс без надобности вообще не пишется, а что, он плюс- то это всегда помнится). Итак соберем все коэффициенты при икс в левую часть (смотрим последнюю запись уравнения). Тогда 5х так и останется в левой части в первозданном виде. А вот 3х должен перебраться в левую часть, поменяв знак на противоположный, а почему? А дело в том, что перетаскивание его в левую часть в неизменном виде (количестве) изменило бы равенство и правдивость уравнения. Есть «древнее» правило алгебры или математики: уравнение не изменится, если его левую и правую части умножить на одно и тоже число, или добавить или отнять одно и то же число. Ну что же, «украдем» 3х из правой части (отнимем его) и добавим в левую, поменяв знак на противоположный, записав слева не 3х, а (-3х). Точно так же перетащим обыкновенное число со знаком минус 15 или (-15) направо, сменив знак на противоположный. Итак, запишем уравнение в новом виде: 5х-3х= -1+15. Ну, так не очень красиво, запишем красивее, так как знаки мы не тронем, а от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 5х-3х=15-1. Получили замечательную запись, даже гордость взяла, как все красиво. (Далее, перейти на следующую страницу, нумерация — ниже)
Добавьте статью в закладки, чтобы вновь вернуться к ней, нажав кнопки Ctrl+D .Подписку на уведомления о публикации новых статей можно осуществить через форму «Подписаться на этот сайт» в боковой колонке страницы. Если что непонятно, то, читайте здесь.
Внимание! АВТОРСТВО ВСЕХ СТАТЕЙ ЗАЩИЩЕНО. Копирование и публикация на других сайтах статьи или ее фрагментов без согласия автора или без активной гиперссылки ЗАПРЕЩЕНЫ.
deepcool-ma.com