Признаки подобия фигур – Подобные фигуры | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить

alexxlab / / Школьная жизнь

Подобные фигуры | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить

Подобные треугольники

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а стороны сходственным сторонам. То есть △ABC∼△A1B1C1\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1△ABC∼△A1​B1​C1​ означает, что ∠A=∠A1\angle A=\angle A_1∠A=∠A1​, ∠B=∠B1\angle B=\angle B_1∠B=∠B1​, ∠C=∠C1\angle C=\angle C_1∠C=∠C1​, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}A1​B1​AB​=B1​C1​BC​=A1​C1​AC​. Отношение k=ABA1B1k=\frac{AB}{A_1B_1}k=A1​B1​AB​ называется коэффициентом подобия.

Признаки подобия

Для того чтобы треугольники △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ были подобны, достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1. У △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ есть две пары равных углов, например ∠A=∠A1\angle A=\angle A_1∠A=∠A1​ и ∠B=∠B1\angle B=\angle B_1∠B=∠B1​;

2. У △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ есть пара равных углов, примыкающие к ним стороны , например ∠A=∠A1\angle A=\angle A_1∠A=∠A1​ и ABA1B1=ACA1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}A1​B1​AB​=A1​C1​AC​;

3. У △ABC\bigtriangleup ABC△ABC и △A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1△A1​B1​C1​ стороны : ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}A1​B1​AB​=A1​C1​AC​=B1​C1​BC​.

Подобные фигуры

Подобные фигуры — фигуры, у которых можно сопоставить точки таким образом, что для любой пары точек AAA и BBB первой фигуры и соответствующих им точек A1A_1A1​ и B1B_1B1​ второй фигуры выполняется соотношение AB=k⋅A1B1AB=k\cdot A_1B_1AB=k⋅A1​B1​, где kkk — некоторая постоянная величина. Величина kkk называется коэффициентом подобия.

Свойства подобных фигур

  • Соответствующие углы подобных многоугольников равны;
  • Если многоугольник имеет больше трех вершин, то
    • Из равенства только соответствующих углов многоугольников еще НЕ следует подобие фигур;
    • Из пропорциональности всех сторон еще НЕ следует подобие (равенство AB=k⋅A1B1AB=k\cdot A_1B_1AB=k⋅A1​B1​ должно выполняться для любой пары точек фигуры, не только для стороны многоугольника)
  • При получаются подобные фигуры;
  • Площади подобных фигур отличаются в k2k^2k2 раз, то есть S=k2⋅S1S=k^2\cdot S_1S=k2⋅S1​.

Примеры:
1. Все подобны друг другу;
2. и не подобны друг другу, хотя у любого квадрата и ромба стороны пропорциональны;
3. и НЕ подобны друг другу, хотя у них все углы равны 90º.

lampa.io

Свойства подобных фигур — Подобие фигур

Свойства подобных фигур
Теорема. Когда фигура подобна фигуре , а фигура — фигуре , то фигуры и подобные.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Например, в подобных треугольниках ABC и :
; ; ;
.
Признаки подобия треугольников
Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Из этих теорем вытекают факты, которые являются полезными для решения задач.
1. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
На рисунке .

2. У подобных треугольников соответствующие элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т.д.) относятся как соответствующие стороны.
3. У подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
4. Если О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, то .
На рисунке в трапеции ABCD:.

5. Если продолжение бічих сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K, то (см. рисунок).
.

Подобие прямоугольных треугольников
Теорема 1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то они подобны.
Теорема 2. Если два катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, подобные данному.
На рисунке .

Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
, или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP — биссектриса .
, или .

Сходство равносторонних и равнобедренных треугольников
1. Все равносторонние треугольники подобные.
2. Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между боковыми сторонами, то они подобны.
3. Если равнобедренные треугольники имеют пропорциональные основание и боковую сторону, то они подобны.

na-uroke.in.ua

Подобие фигур

РЕФЕРАТ

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

ученица

Проверила:

Содержание

1. Преобразование подобия

2. Свойства преобразования подобия

3. Подобие фигур

4. Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры Fв фигуру F’называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X’, Y’фигуры F’,то X’Y’ = k-XY, причем число k— одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k = lпреобразование подобия, очевидно, является движением.

Рис.1

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ’, равный k·OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X’, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F’ называются гомотетичными.

Теорема 1.Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y- две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X’ и Y’ на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX’ = k·OX, OY’ = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ’ = kOX, OY’ = kOY. Вычитая эти равенства почленно, получим: OY’-OX’ = k (OY- OX). Так как OY’ — OX’= X’Y’, OY -OX=XY, то Х’Y’ = kХY. Значит, /X’Y’/=k /XY/, т.e. X’Y’ = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны — 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А1 , В1 , С1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Рис. 5

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А1 В1 С1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2 и С2 . Треугольники А2 ВС2 и А1 В1 С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2 ВС2 и А1 В1 С1 . Значит, углы ABC и А1 В1 С1 равны, что и требовалось доказать.

3. ПОДОБИЕ ФИГУР

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F’ читается так: «Фигура F подобна фигуре F’».

Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре F

2 , а фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигуры F1 и F3 подобны.

Пусть Х1 и Y1 — две произвольные точки фигуры F1 . Преобразование подобия, переводящее фигуру F1 в F2 , переводит эти точки в точки Х2 , Y2 , для которых X2 Y2 = k1 X1 Y1 .

Преобразование подобия, переводящее фигуру F2 в F3 , переводит точки Х2 , Y2 в точки Х3 , Y3 , для которых X3 Y3 = — k2 X2 Y2 .

Из равенств

X2 Y2= kX1 Y1, X3 Y3 = k2 X2 Y2

следует, что X3 Y3 — k1 k2 X1 Y1 . А это значит, что преобразование фигуры F

1 в F3 , получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1 и F3 подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA1 B1 C1 — предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А1 , В — в B1 и С — в С1 .

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А1 В1 С1

A=

А1 , В=В1 , С=С1

4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ

Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A

1 B1 C1

А=А1 , B=B1 . Докажем, что ΔАВС~ΔА1 В1 С1 .

Пусть

. Подвергнем треугольник А1 В1 С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А2 В2 С2 , равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то A2=А1 , B2 = B1 . А значит, у треугольников ABC и А2 В2 С2A = A2 , B=B2 . Далее, A2 B2 = kA1 B1 =AB. Следовательно, треугольники ABC и А2 В2 С2 равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).

Так как треугольники А1 В1 С1 и А2 В2 С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А

2 В2 С2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1 В1 С1 и ABC подобны. Теорема доказана.

mirznanii.com

Признаки подобных треугольников | Треугольники

Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).

В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.

   

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

   

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

www.treugolniki.ru

Подобие произвольных фигур [wiki.eduVdom.com]

Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Фигуры F и F1 называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F1 так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М1 и N1 фигуры F1 выполняется условие $\frac{M_1N_1}{MN} = k$ , где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия фигур F и F

1.

Рис.1

На рисунке 1 представлен способ построения фигуры F1 , подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М1 плоскости так, что точки М и М1 лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причем ОМ1 = k*OM (на рис.1 k = 3). В результате такого сопоставления получается фигура F1, подобная фигуре F.

Этот способ построения фигуры F1, подобной фигуре F, называется центрально-подобным преобразованием фигуры F в фигуру F1 или гомотетией, а фигуры F и F1 — центрально-подобными или гомотетичными.

Можно доказать, что для треугольников общее определение подобия равносильно определению, данному в п.1.

Примерами подобных четырехугольников являются любые два квадрата (рис. 2, а), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 2, б).

Рис.2

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Гомотетия и рассмотренные ранее центральная симметрия и осевая симметрия — примеры преобразований фигур.

Рассмотрим еще один пример преобразования фигуры — параллельный перенос.

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х(х; у) переходит в точку Х'(х + а; у + b), а и b постоянные, называется параллельным переносом (рис.3).

Рис.3

Параллельный перенос задается формулами $$ x’ = x + a \\ y’ = y + b $$ Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Заметим также, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Пример 1. При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0). В какую точку переходит начало координат?

Решение. Любой параллельный перенос задается формулами х’ = х + а; у’ = у + b. Так как точка (1; 1) переходит в точку (-1; 0), то -1 = 1 + а; 0 = 1 + b. Отсюда а = -2 ; b = -1.

Таким образом, параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в (-1; 0), задается формулами х’ = х — 2 ; у’ = у — 1.

Подставляя в эти формулы координаты начала (х = 0; у = 0), получим: х’ = -2; у’ = -1.

Итак, начало координат переходит в точку (-2; -1).

www.wiki.eduvdom.com

Подобные треугольники. Признаки и свойства

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-08-22 2014-01-31

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

 

Признаки подобия треугольников

 

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

 II признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

 

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

 

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники   и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете  подборку задач по теме «Подобные треугольники».

Автор: egeMax | комментариев 48

egemaximum.ru

Признаки подобия треугольников [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно, $\angle C = \angle C_1$ . Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Рис.1

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.

Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.

Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия. Из подобия треугольников следует: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$ Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим: $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$ Из равенства (2) составим две пропорции $$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} \\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8} \\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м). $$

Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Рис.2

Из условия задачи: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м. $$ Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует $$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$ Так как АС = 2,5 • А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 • А1С1 + A1C1 = 4,2, откуда A1C1 = 1,2 (м), АС = 3 (м).

Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А1В1С1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, A1C1 = 10,5 см?

Решение. Имеем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,5} = \frac{1}{1,5} \\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,5} = \frac{1}{1,5} $$ Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.

Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Рис.3

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: $$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.

Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.

www.wiki.eduvdom.com

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *