Числа с отрицательными степенями как решать – Отрицательная степень | Алгебра

Отрицательная степень | Алгебра

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

   

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

   

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

   

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

   

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

   

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

   

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

   

   

   

   

   

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

   

   

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

   

   

   

   

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

   

   

   

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

   

   

   

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

www.algebraclass.ru

Отрицательная степень числа. Формулы, определения, расчет числа в отрицательной степени. Нахождений дробей в отрциательной степени. Калькулятор отрицательных степеней.

Запись an означает что число a должно быть умножено n раз:

Пример 1. 5³=5*5*5=125

Деление это обратная операция умножению. Отрицательная степень означает сколько раз нужно разделить число.

Число в отрицательной степени a-n может быть записано в виде:

Пример 2. 5^-3=1÷5÷5÷5=0,008

Пример 2 может быть записан в виде.

Определение. Если a≠0 и n — целое отрицательное число, то

---

Для вычисления числа a^-n в отрицательной степени нужно:

1.Вычислить aⁿ

2.Затем разделить 1 на полученный результат, т.е.

calcs.su

отрицательная степень дроби | математика-повторение

Записи с меткой «отрицательная степень дроби»

 I. Определение.

  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Примеры. Вычислить:

Решение.

II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

Примеры. Вычислить:

Решение.

 Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

Примеры на все свойства степени.

Упростить:

Решение.

       При решении 7) примера  I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями:  a^m∙aⁿ=a^m+n  и a^m:aⁿ=a^m-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем:  и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:  a^m∙aⁿ=a^m+n .

 

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

 

 

 

В примере 9) представим 7³как 7²∙7, а степень 4⁵как 4³∙4²

, а затем сократим дробь на (7²∙4³).

 

В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)ⁿ=aⁿ∙bⁿ, а затем сократим дробь на (2⁶∙3⁵).

                 

www.mathematics-repetition.com

Отрицательная степень числа | Алгебра 8 класс

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d -c =	1	;     7 -5 =	1	;     a -5 =	1
	d c		7 5		a 5

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a ⁵ : a ⁸ = a ^5-8 = a ^-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Значит:

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

naobumium.info

Свойства отрицательных степеней. Как умножать отрицательные степени. Деление отрицательных степеней. Степени чисел

Свойства отрицательных степеней

Свойства степени с отрицательным показателем

Свойства отрицательных степеней рассмотрим при следующих условиях:

a и b действительные числа, отличные от нуля, m и n – целые числа

Тогда можно указать следующие свойства степени с отрицательным показателем:

1. a^maⁿ = a^{m + n}
2. (a^m)ⁿ = a^{m * n}
3. a^mb^m = (ab)^m
4. a^m : b^m = (a/b)^m
5. a^m : aⁿ = a^{m — n}
6. a^-m = 1/a^m

Свойства отрицательных степеней рассмотрим на примерах. Из примеров будет понятно как использовать свойства отрицательных степеней.

Как умножать отрицательные степени?

Как умножать отрицательные степени? Точно так же как и положительные. Здесь речь идет о целых степенях.

Пример умножения отрицательных степеней:

2^-2 * 2^-3 =
2^{(-2 + (-3))} =
2^{(-2 — 3)} =
2^-5 =
1/2⁵

Ещё пример на умножение чисел с отрицательными степенями:

4^-3 * 4^-5 =
4^{(-3 + (-5))} =
(4^{-3 — 5)} =
4^-8 =
1/4⁸

Деление отрицательных степеней

Деление отрицательных степеней делается так же как и деление положительных степеней.

Деление отрицательных степеней опирается на свойства отрицательных степеней.

Пример на деление отрицательных степеней:

2^-3 : 2⁴ =
2^{(-3 — 4)} =
2^-7 =
1/2⁷

Дополнительные материалы по теме

www.sbp-program.ru

Отрицательная степень. Отрицательная степень числа. Степень с отрицательным показателем. Степени чисел

Отрицательная степень

Степень с отрицательным показателем определение

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m – отрицательное целое число.

Степень с отрицательным показателем определение:

Действительное, отличное от нуля число a, возведенное в отрицательную целую степень -m, равно дроби, в числителе которой 1 и в знаменателе a, возведенное в положительную целую степень m.

Отрицательная степень формула

Для вычислений отрицательных степеней используем формулу:

a^-m = 1/a^m

Эта формула применяется, если имеется отрицательное значение степени.

Положительная и отрицательная степень

Чтоб лучше понять сравним положительные и отрицательные степени.

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m – любое целое число.

Тогда a в положительной степени m равно:

a^m = a * a * a * … (m раз)

Теперь a в отрицательной степени -m:

a^-m = 1/a^m

Степень с целым отрицательным показателем

Обратите внимание, что в этой статье речь идет именно о целом отрицательном показателе. Здесь существенным является то, что показатель целый.

Пример степени с целым отрицательным показателем:

12^-3 = 1/12³

Отрицательное основание степени

Отрицательная степень числа и отрицательное основание степени – это разные вещи.

Отрицательное основание степени рассмотрим на примере.

Пример отрицательного основания степени:

(-2)³ = -2 * (-2) * (-2) = -8

А теперь пример отрицательной степени числа.

Пример (отрицательная степень числа):

2^-3 = 1/2³ = 1/8

www.sbp-program.ru

правила возведения числа и наглядные примеры

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

1. Определение понятия.
2. Возведение в отрицательную ст.
3. Целый показатель.
4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Минусовая степень обозначает, что число множат на него самого такое количество раз, какое значится в ст., а после этого единицу делят на вычисленный результат.

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

• 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
• в -3 — три нуля перед единицей;
• в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Решение:

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Решение:

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

• 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
• равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
• равно 529 сорок девятых;
• сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Возведение в иррациональную стeпeнь

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

• для целых чисел;
• для нулевого показателя;
• для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

liveposts.ru