Каково ускорение – № 176. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной половине радиуса Земли?

Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца

Условие задачи:

Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли, а плотность в 4 раза меньше плотности Земли? (\(g=9,8\) м/с2)

Задача №2.5.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_с=108R_з\), \(\rho_с=0,25\rho_з\), \(g_з=9,8\) м/с2, \(g_с-?\)

Решение задачи:

Давайте узнаем как зависит ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты от её средней плотности и радиуса, для этого запишем формулу его определения:

\[g = G\frac{M}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]

Массу планеты можно найти из её средней плотности \(\rho\) и объема \(V\):

\[M = \rho  \cdot V\;\;\;\;(2)\]

Планеты обычно имеют форму, близкую к шарообразной, поэтому объем \(V\) можно посчитать по следующей формуле:

\[V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), тогда:

\[g = G\frac{{4\rho  \cdot \pi {R^3}}}{{3{R^2}}} = \frac{4}{3}\pi G\rho R\]

Видно, что ускорение свободного падения вблизи поверхности некоторой планеты зависит линейно от средней плотности и радиуса планеты. Учитывая это, ускорения свободного падения на Земли и на Солнце можно определить по следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
g_c = \frac{4}{3}G\pi \rho_с R_с \hfill \\
g_з = \frac{4}{3}G\pi \rho_з R_з \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим верхнее равенство на нижнее:

\[\frac{{{g_с}}}{{{g_з}}} = \frac{{{\rho _с}{R_с}}}{{{\rho _з}{R_з}}}\]

Поэтому:

\[g_с = g_з\frac{{{\rho _с}{R_с}}}{{{\rho _з}{R_з}}}\]

Так как в условии сказано, что \(R_с=108R_з\) и \(\rho_с=0,25\rho_з\), то:

\[g_с = g_з\frac{{0,25{\rho _з} \cdot 108{R_з}}}{{{\rho _з}{R_з}}} = 27g_з\]

Осталось посчитать численный ответ:

\[g = 27 \cdot 9,8 = 264,6\; м/с^2\]

Ответ: 264,6 м/с2.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделиться ею с друзьями с помощью этих кнопок.

easyfizika.ru

каково ускорение свободного падения на высоте равной половине радиуса земли?

Ускорение свободного падения определяется из условия: G*m*M/(R*R)=m*g g=G*M/(R*R) с другой стороны на поверхности Земли: g0=G*M/(Rz*Rz) поэтому: g=g0*Rz*Rz/(R*R) Тогда, на высоте h=Rz/2 радиус R=3*Rz/2 g=4/9*g0

ты в каком классе учишья? ? у нас таких вопорсоа даже в инститкте не задают )))

9.8 м/с в квадрате

зачем грузиш простых смертных дэвушка а?

g=G*M/R^2 подставляем массу, радиус и гравитационную постоянную. . получаем g~ 4.45 м/c^2 По-моему каждый идиот это знает.

Девушка, обьясняю: ускорение свободного падения — это константа = 9,8 (эта величина постоянна, но не учитывает давление воздуха и тут надо смотреть по ситуации)

Если быть точнее, вопрос некорректен. Где точка отсчета? От поверхности земли? От центра земли? От поверхности Марса? От центра Луны?

touch.otvet.mail.ru

Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение, скорость, перемещение

1439. Мотоцикл в течение 5 с может увеличить скорость от 0 до 72 км/ч. Определите ускорение мотоцикла.

 

1440. Определите ускорение лифта в высотном здании, если он увеличивает свою скорость на 3,2 м/с в течение 2 с.

 

1441. Автомобиль, двигавшийся со скоростью 72 км/ч, равномерно тормозит и через 10 с останавливается. Каково ускорение автомобиля?

 

1442. Как назвать движения, при которых ускорение постоянно? равно нулю?
Равноускоренное, равномерное.

1443. Санки, скатываясь с горы, движутся равноускоренно и в конце третьей секунды от начала движения имеют скорость 10,8 км/ч. Определите, с каким ускорением движутся санки.

 

1444. Скорость автомобиля за 1,5 мин движения возросла от 0 до 60 км/ч. Найдите ускорение автомобиля в м/с2 , в см/с2.

 

1445. Мотоцикл «Хонда», двигавшийся со скоростью 90 км/ч, начал равномерно тормозить и через 5 с сбросил скорость до 18 км/ч. Каково ускорение мотоцикла?

 

1446. Объект из состояния покоя начинает двигаться с постоянным ускорением, равным 6 • 10-3 м/с2. Определите скорость через 5 мин после начала движения. Какой путь прошел объект за это время?

 

1447. Яхту спускают на воду по наклонным стапелям. Первые 80 см она прошла за 10 с. За какое время яхта прошла оставшиеся 30 м, если ее движение оставалось равноускоренным?

 

1448. Грузовик трогается с места с ускорением 0,6 м/с2. За какое время он пройдет путь в 30 м?

 

1449. Электричка отходит от станции, двигаясь равноускоренно в течение 1 мин 20 с. Каково ускорение электрички, если за это время ее скорость стала 57,6 км/ч? Какой путь она прошла за указанное время?

 

1450. Самолет для взлета равноускоренно разгоняется в течение 6 с до скорости 172,8 км/ч. Найдите ускорение самолета. Какое расстояние прошел самолет при разгоне?

 

1451. Товарный поезд, трогаясь с места, двигался с ускорением 0,5 м/с2 и разогнался до скорости 36 км/ч. Какой путь он при этом прошел?

 

1452. От станции равноускоренно тронулся скорый поезд и, пройдя 500 м, достиг скорости 72 км/ч. Каково ускорение поезда? Определите время его разгона.

 

1453. При выходе из ствола пушки снаряд имеет скорость 1100 м/с. Длина ствола пушки равна 2,5 м. Внутри ствола снаряд двигался равноускоренно. Каково его ускорение? За какое время снаряд прошел всю длину ствола?

 

1454. Электричка, шедшая со скоростью 72 км/ч, начала тормозить с постоянным ускорением, равным по модулю 2 м/с2. Через какое время она остановится? Какое расстояние она пройдет до полной остановки?

 

1455. Городской автобус двигался равномерно со скоростью 6 м/с, а затем начал тормозить с ускорением, по модуля равным 0,6 м/с2. За какое время до остановки и на каком расстоянии от нее надо начать торможение?

 

1456. Санки скользят по ледяной дорожке с начальной скоростью 8 м/с, и за каждую секунду их скорость уменьшается на 0,25 м/с. Через какое время санки остановятся?

 

1457. Мотороллер, двигавшийся со скоростью 46,8 км/ч, останавливается при равномерном торможении в течение 2 с. Каково ускорение мотороллера? Каков его тормозной путь?

 

1458. Теплоход, плывущий со скоростью 32,4 км/ч, стал равномерно тормозить и, подойдя к пристани через 36 с, полностью остановился. Чему равно ускорение теплохода? Какой путь он прошел за время торможения?

 

1459. Товарняк, проходя мимо шлагбаума, приступил к торможению. Спустя 3 мин он остановился на разъезде. Какова начальная скорость товарняка и модуль его ускорения, если шлагбаум находится на расстоянии 1,8 км от разъезда?

 

1460. Тормозной путь поезда 150 м, время торможения 30 с. Найдите начальную скорость поезда и его ускорение.

 

1461. Электричка, двигавшаяся со скоростью 64,8 км/ч, после начала торможения до полной остановки прошла 180 м. Определите ее ускорение и время торможения.

 

1462. Аэроплан летел равномерно со скоростью 360 км/ч, затем в течение 10 с он двигался равноускоренно: его скорость возрастала на 9 м/с за секунду. Определите, какую скорость приобрел аэроплан. Какое расстояние он пролетел при равноускоренном движении?

 

1463. Мотоцикл, двигавшийся со скоростью 27 км/ч, начал равномерно ускоряться и через 10 с достиг скорости 63 км/ч. Определите среднюю скорость мотоцикла при равноускоренном движении. Какой путь он проехал за время равноускоренного движения?

 

1464. Прибор отсчитывает промежутки времени, равные 0,75 с. Шарик скатывается с наклонного желоба в течение трех таких промежутков времени. Скатившись с наклонного желоба, он продолжает двигаться по горизонтальному желобу и проходит в течение первого промежутка времени 45 см. Определите мгновенную скорость шарика в конце наклонного желоба и ускорение шарика при движении по этому желобу.

 

1465. Отходя от станции, поезд движется равноускоренно с ускорением 5 см/с2. По прошествии какого времени поезд приобретает скорость 36 км/ч?

 

1466. При отправлении поезда от станции его скорость в течение первых 4 с возросла до 0,2 м/с, в течение следующих 6 с еще на 30 см/с и за следующие 10 с на 1,8 км/ч. Как двигался поезд в течение этих 20 с?

 

1467. Санки, скатываясь с горы, движутся равноускоренно. На некотором участке пути скорость санок в течение 4 с возросла от 0,8 м/с до 14,4 км/ч. Определите ускорение санок.

 

1468. Велосипедист начинает двигаться с ускорением 20 см/с2. По истечении какого времени скорость велосипедиста будет равна 7,2 км/ч?

 

1469. На рисунке 184 дан график скорости некоторого равноускоренного движения. Пользуясь масштабом, данным на рисунке, определите путь, проходимый в этом движении в течение 3,5 с.

 1470. На рисунке 185 изображен график скорости некоторого переменного движения. Перечертите рисунок в тетрадь и обозначьте штриховкой площадь, численно равную пути, проходимому в течение 3 с. Чему примерно равен этот путь?

1471. В течение первого промежутка времени от начала равноускоренного движения шарик проходит по желобу 8 см. Какое расстояние пройдет шарик в течение трех таких же промежутков, прошедших от начала движения?

 

1472. В течение 10 равных промежутков времени от начала движения тело, двигаясь равноускоренно, прошло 75 см. Сколько сантиметров прошло это тело в течение двух первых таких же промежутков времени?

 

1473. Поезд, отходя от станции, движется равноускоренно и в течение двух первых секунд проходит 12 см. Какое расстояние пройдет поезд в течение 1 мин, считая от начала движения?

 

1474. Поезд, отходя от станции, движется равноускоренно с ускорением 5 см/с2. Сколько времени потребуется для развития скорости 28,8 км/ч и какое расстояние пройдет поезд за это время?

 

1475. Паровоз по горизонтальному пути подходит к уклону со скоростью 8 м/с, затем движется вниз по уклону с ускорением 0,2 м/с. Определите длину уклона, если паровоз проходит его за 30 с.

 

1476. Начальная скорость тележки, движущейся вниз по наклонной доске, равна 10 см/с. Всю длину доски, равную 2 м, тележка прошла в течение 5 сек. Определите ускорение тележки.

 

1477. Пуля вылетает из ствола ружья со скоростью 800 м/с. Длина ствола 64 см. Предполагая движение пули внутри ствола равноускоренным, определите ускорение и время движения.

 

1478. Автобус, двигаясь со скоростью 4 м/с, начинает равномерно ускоряться на 1 м/с за секунду. Какой путь пройдет автобус за шестую секунду?

 

1479. Грузовик, имея некоторую начальную скорость, начал двигаться равноускоренно: за первые 5 с прошел 40 м, а за первые 10 с — 130 м. Найдите начальную скорость грузовика и его ускорение.

 

1480. Катер, отходя от пристани, начал равноускоренное движение. Пройдя некоторое расстояние, он достиг скорости 20 м/с. Какова была скорость катера в тот момент, когда он проплыл половину этого расстояния?

 

1481. Лыжник скатывается с горы с нулевой начальной скоростью. На середине горы его скорость была 5 м/с, через 2 с скорость стала 6 м/с. Считая, что она увеличивается равномерно, определите скорость лыжника через 8 с после начала движения.

 

1482. Автомобиль тронулся с места и двигается равноускоренно. За какую секунду от начала движения путь, пройденный автомобилем, вдвое больше пути, пройденного им в предыдущую секунду?

 

1483. Найдите путь, пройденный телом за восьмую секунду движения, если оно начинает двигаться равноускоренно без начальной скорости и за пятую секунду проходит путь 27 м.

 

1484. Провожающие стоят у начала головного вагона поезда. Поезд трогается и движется равноускоренно. За 3 с весь головной вагон проходит мимо провожающих. За какое время пройдет мимо провожающих весь поезд, состоящий из 9 вагонов?

 

1485. Материальная точка движется по закону x = 0,5t². Какое это движение? Каково ускорение точки? Постройте график зависимости от времени:
а) координаты точки;
б) скорости точки;
в) ускорения.

 

1486. Поезд остановился через 20 с после начала торможения, пройдя за это время 120 м. Определите первоначальную скорость поезда и ускорение поезда.

 

1487. Поезд, идущий со скоростью 18 м/с, начал тормозить, и через 15 с остановился. Считая движение поезда при торможении равнозамедленным, определите путь, пройденный поездом за эти 15 с.

 

1488. Постройте графики скорости равнозамедленного движения для случаев:
1) V0 = 10 м/с, а = — 1,5 м/с2;
2) V0 = 10 м/с; а = — 2 м/с2.
Масштаб в обоих случаях одинаков: 0,5 см – 1 м/с; о,5 см – 1 сек.

 

1489. Изобразите пройденный путь за время t на графике скорости равнозамедленного движения. Принять V0 = 10 м/с, а = 2 м/с2.

 

1490. Опишите движения, графики скоростей которых даны на рисунке 186, а и б.
а) движение будет равнозамедленным;
б) сначала тело будет двигаться равноускоренно, затем равномерно. На 3м участке движение будет равнозамедленное.


kupuk.net

Теория больших чисел простыми словами – Теория больших чисел простыми словами

Теория больших чисел простыми словами

В жизни людей широко пользуются понятием среднего арифметического нескольких чисел. Вычисляется оно просто – все числа складываются, и их сумма делится на число слагаемых. Результат деления и есть среднее арифметическое всех чисел. Поясним пример вычисления среднего арифметического, взятый из истории мер и весов. В 16 веке длина английского фута по указу короля была определена как среднее арифметическое длины ступни первых 16 человек, выходящих из церкви от заутрени в воскресенье. Задание эталона фута позволило покончить с произволом в торговле и строительстве.

Знают ли короли теорию больших чисел?

Закона больших чисел, опубликованного в 1713 году (уже после смерти) швейцарским математиком Я. Бернулли, в 16 веке знать не могли, но именно этот закон лежит в обосновании использованного при определении длины фута принципа среднего арифметического. Согласно закону больших чисел, совместное действие множества случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.


Возвращаемся к определению длины фута по 16 прихожанам. Предполагается, что поскольку прихожане не выбирались по какому-то признаку (только высокие, или только в обуви определенного фасона, или еще какому признаку), то отобраны они случайно, и среднее арифметическое 16 индивидуальных «футов» близко к неизвестному нам значению «истинного» фута, к которому можно приблизиться как угодно точно, увеличивая число слагаемых в формуле вычисления среднего арифметического (т.е. число прихожан в рассматриваемом случае).

Закон больших чисел и выборы

Теорема Бернулли, являющаяся частным случаем закона больших чисел, гласит, что относительная частота появления события в независимых экспериментах сходится к вероятности события. Этим частным случаем широко пользуются при проведении социологических исследований. Чтобы выяснить мнение очень большой группы людей, вовсе не обязательно опрашивать всех членов группы – достаточно опросить несколько сотен или тысяч случайных людей, и по их ответам составить представление о мнении всей группы по рассматриваемому вопросу.
Предположим, что в городе Н. предстоят выборы мэра, и число избирателей равно 100 тысячам. Если накануне выборов случайно отобрать 100 человек, и по результатам их опроса выясняется, что за кандидата А отдадут голоса 26 человек, а за Б – 58, нет оснований предполагать, что результат выборов окажется иным – у Б явное преимущество. Более точным предсказание результата окажется при случайном отборе 1000 человек, и т.д.
Вы обратили внимание, что при подсчете голосов после состоявшихся выборов в масштабе страны после подсчета всего 20% голосов в большинстве случаев (при достаточном разрыве) уже можно поздравлять победителя? Здесь тоже действует закон больших чисел – случайно отобранные 20% избирателей (предполагается, что данные с избирательных участков поступают случайно) по проценту проголосовавших за отдельных кандидатов не отличаются существенно от процента проголосовавших по всей совокупности избирателей.

Куда лететь в отпуск и встречу ли я динозавра?

Неосознанно законом больших чисел люди пользуются в повседневной жизни при принятии решений. Решив лететь в январе из Москвы в Таиланд на отдых, вы имеете ясное представление, какая погода вас там ждет – результаты многолетних метеорологических наблюдений позволят предсказать ожидаемую температуру воздуха и воды, которые не могут сильно отличаться от среднеарифметических значений в это время года.


И в заключение известный вопрос о вероятности встретить на улице динозавра. Вы за жизнь провели 10 тысяч экспериментов – выходили на улицу и динозавра не встретили. Вероятность встретить динозавра, следовательно, близка к нулю, и нет особых оснований предполагать, что сегодня, выйдя на улицу в 10001 раз, вы его встретите. Ваша уверенность основана на законе больших чисел.

it-lenta.ru

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН • Большая российская энциклопедия

БОЛЬШИ́Х ЧИ́СЕЛ ЗАКО́Н, об­щий прин­цип, со­глас­но ко­то­ро­му со­вме­ст­ное дей­ст­вие боль­шо­го чис­ла слу­чай­ных фак­то­ров при­во­дит при не­ко­то­рых весь­ма об­щих ус­ло­ви­ях к ре­зуль­та­ту, поч­ти не за­ви­ся­ще­му от слу­чая. Сбли­же­ние час­то­ты на­сту­п­ле­ния слу­чай­но­го со­бы­тия с его ве­ро­ят­но­стью при воз­рас­та­нии чис­ла ис­пы­та­ний (т. н. ус­той­чи­вость час­тот) мо­жет слу­жить при­ме­ром дей­ст­вия это­го прин­ци­па.

На ру­бе­же 17 и 18 вв. Я. Бер­нул­ли до­ка­зал тео­ре­му, ут­вер­ждаю­щую, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний, в ка­ж­дом из ко­то­рых ве­ро­ят­ность на­сту­п­ле­ния не­ко­то­ро­го со­бы­тия $A$ име­ет од­но и то же зна­че­ние $p$, $0{<}p{<}1$, вер­но со­от­но­ше­ние $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-p \right | > ε \right \} \to0 \qquad (1)$$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ и $n \to \infty$; здесь $S_n$ – чис­ло по­яв­ле­ний со­бы­тия $A$ в пер­вых $n$ ис­пы­та­ни­ях, $S_n/n$ – час­то­та по­яв­ле­ний, $\mathsf P$ – ве­ро­ят­ность со­бы­тия, ука­зан­но­го в скоб­ках. Эта Бер­нул­ли тео­ре­ма бы­ла рас­про­стра­не­на С. Пу­ас­со­ном на слу­чай по­сле­до­ва­тель­но­сти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний, где ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния со­бы­тия $A$ мо­жет за­ви­сеть от но­ме­ра ис­пы­та­ния. Пусть эта ве­ро­ят­ность для $k$-го ис­пы­та­ния рав­на $p_k,\ k=1, 2, …,$ и пусть $$p̅_n=\frac{p_1+…p_n}{n}.$$ То­гда Б. ч. з. в фор­ме Пу­ас­со­на ут­вер­жда­ет, что $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-p̅_n \right | > ε \right \} \to0 \qquad (2)$$ для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $ε>0$ при $n→∞$. Стро­гое до­ка­за­тель­ст­во это­го ут­вер­жде­ния бы­ло да­но П. Л. Че­бы­ше­вым (1846). Тер­мин «за­кон боль­ших чи­сел» впер­вые встре­ча­ет­ся у Пу­ас­со­на, так он на­звал вы­ше­ука­зан­ное обоб­ще­ние тео­ре­мы Бер­нул­ли.

Даль­ней­шие обоб­ще­ния ут­вер­жде­ний Бер­нул­ли и Пу­ас­со­на воз­ни­ка­ют, ес­ли за­ме­тить, что слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $S_n$ мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы $S_n=X_1+…+X_n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, где $X_k=1$, ес­ли $A$ по­яв­ля­ет­ся в $k$-м ис­пы­та­нии, и $X_k=0$ в про­тив­ном слу­чае, $k=1, .., n$. При этом ма­те­мати­че­ское ожи­да­ние $\mathsf E(S_n/n)$ рав­но $p$ для слу­чая Бер­нул­ли и для слу­чая Пу­ас­со­на. Дру­ги­ми сло­ва­ми, в обо­их слу­ча­ях рас­смат­ри­ва­ет­ся от­кло­не­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го ве­ли­чин $X_1, …, X_n$ от сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го их ма­те­ма­тич. ожи­да­ний.

В ра­бо­те П. Л. Че­бы­ше­ва «О сред­них ве­ли­чи­нах» (1867) бы­ло ус­та­нов­ле­но, что для не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, …,$ со­от­но­ше­ние $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {X_1+…+X_n}{n}- \frac {\mathsf EX_1+…+\mathsf EX_n}{n} \right | > ε \right \} \to0 \qquad (3)$$

P{∣∣∣X1+…+Xnn−EX1+…+EXnn∣∣∣>ε}→0(3)

при $n→∞$ вер­но для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $ε>0$ при весь­ма об­щих пред­поло­же­ни­ях. Че­бы­шев пред­по­ла­гал, что ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $\mathsf EX_k^2$ ог­ра­ни­че­ны од­ной и той же по­сто­ян­ной, хо­тя из его до­ка­за­тель­ст­ва вид­но, что дос­та­точ­но ог­ра­ни­чен­но­сти дис­пер­сий $\mathsf DX_k$, или да­же вы­пол­не­ния ус­ло­вия $$B_n^2=\mathsf DX_1+…+\mathsf DX_n=o(n^2)$$

B2n=DX1+…+DXn=o(n2)

при $n→∞$. Та­ким об­ра­зом, Че­бы­шев по­ка­зал воз­мож­ность ши­ро­ко­го обоб­ще­ния тео­ре­мы Бер­нул­ли. А. А. Мар­ков от­ме­тил воз­мож­ность даль­ней­ших обоб­ще­ний и пред­ло­жил при­менять назв. «Б. ч. з.» ко всей со­во­куп­но­сти обоб­ще­ний тео­ре­мы Бер­нул­ли, и в ча­ст­но­сти к (3). Ме­тод Че­бы­ше­ва ос­но­ван на ус­та­нов­ле­нии об­щих свойств ма­те­ма­тич. ожи­да­ний и на ис­поль­зо­ва­нии т. н. Че­бы­ше­ва не­ра­вен­ст­ва. По­сле­дую­щие до­ка­за­тель­ст­ва разл. форм Б. ч. з. в той или иной сте­пе­ни яв­ля­ют­ся раз­ви­ти­ем ме­то­да Че­бы­ше­ва. При­ме­няя над­ле­жа­щее «уре­за­ние» слу­чай­ных ве­ли­чин $X_k$ (за­ме­ну их вспо­мо­га­тель­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_{k,n}$, рав­ны­ми $X_{n,k}=X_k$, ес­ли $|X_k-\mathsf EX_k|{⩽}t_n$, и рав­ны­ми ну­лю в про­тив­ном слу­чае, где $t_n$ за­ви­сят лишь от $n$), Мар­ков рас­про­стра­нил Б. ч. з. на слу­чаи, ко­гда дис­пер­сии сла­гае­мых не су­ще­ст­ву­ют. Напр., он по­ка­зал, что (3) име­ет ме­сто, ес­ли для не­ко­то­ро­го чис­ла $δ>0$ ве­ли­чи­ны $\mathsf E|X_k-\mathsf EX_k|^{1+δ}$ ог­ра­ни­че­ны од­ной и той же по­сто­ян­ной.

 

 

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­ма Хин­чи­на (1929): ес­ли $X_1, X_2, …$ име­ют оди­на­ко­вые за­ко­ны рас­пре­де­ле­ния и $\mathsf EX_1$ су­ще­ст­ву­ет, то Б. ч. з. (3) вы­пол­ня­ет­ся.

Су­ще­ст­ву­ют при­ме­ры, ко­гда Б. ч. з. не вы­пол­ня­ет­ся. Так, он не вы­пол­ня­ет­ся, ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1, X_2, …$ име­ют Ко­ши рас­пре­де­ле­ние, т. е. рас­пре­де­ле­ние с плот­но­стью $1/(π(1+x^2))$. Здесь сред­ние ариф­ме­ти­че­ские $(X_1+…+X_n)/n$ пер­вых $n$ слу­чай­ных ве­ли­чин име­ют при лю­бом $n$ то же са­мое рас­пре­де­ле­ние, что и от­дель­ные сла­гае­мые. Для рас­пре­де­ле­ния Ко­ши ма­те­ма­тич. ожи­да­ние не су­ще­ст­ву­ет.

При­ме­ни­мость Б. ч. з. к сум­мам за­ви­си­мых ве­ли­чин свя­за­на в пер­вую оче­редь с убы­ва­ни­ем за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_i$ и $X_j$ при уве­ли­че­нии раз­но­сти их но­ме­ров, т. е. при уве­ли­че­нии $|i-j|$. Впер­вые со­от­вет­ст­вую­щие тео­ре­мы бы­ли до­ка­за­ны А. А. Мар­ко­вым (1907) для ве­ли­чин, свя­зан­ных в Мар­ко­ва цепь.

Пред­став­ле­ние об от­кло­не­ни­ях $S_n/n$ от $A_n=(\mathsf EX_1+…+\mathsf EX_n)/n$, на­ря­ду с нера­вен­ст­вом Че­бы­ше­ва и его уточ­не­ния­ми, да­ёт цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма.

Пре­ды­ду­щие ре­зуль­та­ты мож­но обоб­щать в разл. на­прав­ле­ни­ях. Так, всю­ду вы­ше рас­смат­ри­ва­лась т. н. схо­ди­мость по ве­ро­ят­но­сти. Рас­смат­ри­ва­ют и др. ви­ды схо­ди­мо­сти, напр. схо­ди­мость в сред­нем квад­ра­тич­ном и схо­ди­мость с ве­ро­ят­но­стью 1 (схо­ди­мость поч­ти на­вер­ное). Обоб­ще­ния Б. ч. з. на слу­чай схо­ди­мо­сти с ве­ро­ят­но­стью 1 на­зы­ва­ют уси­лен­ны­ми Б. ч. з.

Пусть $X_1, X_2, …$ – по­сле­до­ва­тель­ность слу­чай­ных ве­ли­чин и, как и рань­ше, $S_n=X_1+ …+X_n$. Го­во­рят, что по­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з., ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кая по­сле­до­ва­тель­ность по­сто­ян­ных $A_n$, что ве­ро­ят­ность со­от­но­ше­ния $S_n/n-A_n→0$ при $n→∞$ рав­на 1. По­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з. то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ ве­ро­ят­ность од­но­вре­мен­но­го вы­пол­не­ния не­ра­венств $$\left | \frac {S_n}{n}-A_n \right |{⩽}ε,  \ \left | \frac {S_{n+1}}{n+1}-A_{n+1} \right |{⩽}ε, \ …$$ стре­мит­ся к 1 при $ n→∞$. Т. о., здесь рас­смат­ри­ва­ет­ся по­ве­де­ние всей по­сле­до­ватель­но­сти сумм в це­лом, в то вре­мя как в обыч­ном Б. ч. з. речь идёт лишь об отд. сум­мах. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з., то она удов­ле­тво­ря­ет и обыч­но­му Б. ч. з. с те­ми же са­мы­ми $A_n$, т. е. $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-A_n \right |≤ ε \right \} \to1$$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ и $n\to\infty$. Об­рат­ное, во­об­ще го­во­ря, не­вер­но.

Уси­лен­ный Б. ч. з. был впер­вые сфор­му­ли­ро­ван и до­ка­зан Э. Бо­ре­лем (1909) для схе­мы Бер­нул­ли. Ча­ст­ные слу­чаи схе­мы Бер­нул­ли воз­ни­ка­ют, напр., при раз­ло­же­нии взя­то­го нау­да­чу (т. е. с рав­но­мер­ным рас­пре­де­ле­ни­ем) дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла из от­рез­ка [0, 1] в бес­ко­нечную дробь по к.-л. ос­но­ва­нию. Так, в дво­ич­ном раз­ло­же­нии $$ω=\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{X_n(ω)}{2^n}$$ слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1(ω), X_2(ω),…$ при­ни­ма­ют два зна­че­ния 0 и 1 с ве­ро­ятно­стью 1/2 ка­ж­дое и яв­ля­ют­ся не­за­виси­мы­ми. Сум­ма $S_n(ω)=\sum\nolimits_{k-1}^nX_k(ω)$ рав­на чис­лу еди­ниц сре­ди пер­вых $n$ зна­ков дво­ич­но­го раз­ло­же­ния $ω$, а $S_n(ω )/n$ – их до­ле. В то же вре­мя слу­чай­ную ве­личи­ну $S_n$ мож­но рас­смат­ри­вать как чис­ло «ус­пе­хов» в схе­ме Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью «ус­пе­ха» (по­яв­ле­ния 1), рав­ной 1/2. Бо­рель до­ка­зал, что до­ля еди­ниц $S_n(ω)/n$ стре­мит­ся к 1/2 при $n→∞$ для поч­ти всех $ω$ из от­рез­ка [0, 1] (т. е. ле­бе­го­ва ме­ра мно­же­ст­ва тех то­чек $ω∈$ [0, 1], для ко­то­рых $\lim\limits_{n\to\infty}S_n(ω )/n=$ 1/2, рав­на 1). Ана­ло­гич­но, при раз­ло­же­нии $ω$ по ос­но­ва­нию 10 мож­но на­звать «ус­пехом» по­яв­ле­ние к.-л. од­ной из цифр 0, 1, …, 9 (напр., циф­ры 3). При этом по­лу­ча­ет­ся схе­ма Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью ус­пе­ха 1/10, и час­то­та по­яв­ле­ния вы­бран­ной циф­ры сре­ди пер­вых $n$ зна­ков де­ся­тич­но­го раз­ло­же­ния $ω$ стре­мит­ся к 1/10 для поч­ти всех $ω$ из от­рез­ка [0, 1] (та­кие чис­ла $ω$ ино­гда на­зы­ва­ют нор­маль­ны­ми). Бо­рель от­ме­тил так­же, что час­то­та по­яв­ле­ния лю­бой фик­си­ро­ван­ной груп­пы из $r$ цифр стре­мит­ся к 1/10 r для поч­ти всех $ω$.

В слу­чае не­за­ви­си­мых сла­гае­мых наи­бо­лее из­вест­ны­ми яв­ля­ют­ся ус­ло­вия спра­вед­ли­во­сти уси­лен­но­го Б. ч. з., ус­та­нов­лен­ные А. Н. Кол­мо­го­ро­вым: дос­та­точ­ное (1930) – для ве­ли­чин с ко­нечны­ми дис­пер­сия­ми и не­об­хо­ди­мое и дос­та­точ­ное (1933) – для оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных ве­ли­чин (за­клю­чаю­щее­ся в су­ще­ст­во­ва­нии ма­те­ма­тич. ожи­да­ния этих ве­ли­чин). Тео­ре­ма Кол­мо­го­ро­ва для не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, …$ с ко­неч­ны­ми дис­пер­сия­ми ут­вер­жда­ет, что из ус­ло­вия $$\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{\mathsf DX_n}{n^2}<\infty$$ вы­те­ка­ет спра­вед­ли­вость уси­лен­но­го Б. ч. з. с $A_n=\mathsf E(S_n/n)$.

Пред­став­ле­ние об от­кло­не­ни­ях $S_n/n$ от $A_n$ да­ёт по­втор­но­го ло­га­риф­ма за­кон.

bigenc.ru

Закон больших чисел

Слова о больших числах относятся к числу испытаний – рассматривается большое число значений случайной величины или совокупное действие большого числа случайных величин. Суть этого закона состоит в следующем: хотя невозможно предсказать, какое значение в единичном эксперименте примет отдельная случайная величина, однако, суммарный результат действия большого числа независимых случайных величин утрачивает случайный характер и может быть предсказан практически достоверно (т.е. с большой вероятностью). Например, невозможно предсказать, какой стороной упадет одна монета. Однако если подбросить 2 тонны монет, то с большой уверенностью можно утверждать, что вес монет, упавших гербом вверх, равен 1 тонне.

К закону больших чисел прежде всего относится так называемое неравенство Чебышева, которое оценивает в отдельном испытании вероятность принятия случайной величиной значения, уклоняющееся от среднего значения не более, чем на заданное значение.

Неравенство Чебышева. Пусть Х – произвольная случайная величина, а=М(Х), а D(X) – ее дисперсия. Тогда

.

Пример. Номинальное (т.е. требуемое) значение диаметра вытачиваемой на станке втулки равно 5мм , а дисперсия не более 0.01 (таков допуск точности станка). Оценить вероятность того, что при изготовлении одной втулки отклонение ее диаметра от номинального окажется менее 0.5мм .

Решение. Пусть с.в. Х – диаметр изготовленной втулки. По условию ее математическое ожидание равно номинальному диаметру (если нет систематического сбоя в настройке станка) : а=М(Х)=5 , а дисперсия D(Х)≤0.01. Применяя неравенство Чебышева при ε = 0.5, получим:

.

Таким образом, вероятность такого отклонения достаточно велика, а потому можно сделать вывод о том, что при единичном изготовлении детали практически наверняка отклонение диаметра от номинального не превзойдет 0.5мм .

По своему смыслу среднее квадратическое отклонение σ характеризует среднее отклонение случайной величины от своего центра (т.е. от своего математического ожидания). Поскольку это среднее отклонение, то при испытании возможны и большие (ударение на о) отклонения. Насколько же большие отклонения практически возможны? При изучении нормально распределенных случайных величин мы вывели правило «трех сигм»: нормально распределенная случайная величина Х при единичном испытании практически не отклоняется от своего среднего далее, чем на , где σ= σ(Х) – среднее квадратическое отклонение с.в. Х. Такое правило мы вывели из того, что получили неравенство

.

Оценим теперь вероятность для произвольной случайной величины Х принять значение, отличающееся от среднего не более чем на утроенное среднее квадратическое отклонение. Применяя неравенство Чебышева при ε = и учитывая, что D(Х)= σ2, получаем:

.

Таким образом, в общем случае вероятность отклонения случайной величины от своего среднего не более чем на три средних квадратичных отклонения мы можем оценить числом 0.89, в то время как для именно нормального распределения можно гарантировать это с вероятностью 0.997 .

Неравенство Чебышева может быть обобщено на систему независимых одинаково распределенных случайных величин.

Обобщенное неравенство Чебышева. Если независимые случайные величины Х1, Х2, … , Хn имеют одинаковое распределение с математическими ожиданиями M(Xi)=a и дисперсиями D(Xi)=D, то

.

При n=1 это неравенство переходит в неравенство Чебышева, сформулированное выше.

Неравенство Чебышева, имея самостоятельное значение для решения соответствующих задач, применяется для доказательства так называемой теоремы Чебышева. Мы с начала расскажем о сути этой теоремы, а затем дадим ее формальную формулировку.

Пусть Х1, Х2, … , Хn – большое число независимых случайных величин с математическими ожиданиями М(Х1)=а1, … , М(Хn)=аn . Хотя каждая из них в результате эксперимента может принять значение, далекое от своего среднего (т.е. математического ожидания), однако, случайная величина , равная их среднему арифметическому, с большой вероятностью примет значение, близкое к фиксированному числу(это среднее всех математических ожиданий). Это означает следующее. Пусть в результате испытания независимые случайные величиныХ1, Х2, … , Хn (их много!) приняли значения соответственно х1, х2, … , хn соответственно. Тогда если сами эти значения могут оказаться далекими от средних значений соответствующих случайных величин, их среднее значение с большой вероятностью окажется близким к числу. Таким образом, среднее арифметическое большого числа случайных величин уже теряет случайный характер и может быть предсказано с большой точностью. Это можно объяснить тем, что случайные отклонения значенийХi от ai могут быть разных знаков, а потому в в сумме эти отклонения с большой вероятностью компенсируются.

Терема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть Х1, Х2, … , Хn– последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом. Тогда, какое бы малое число ε мы ни взяли, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин взять достаточно большим. Формально это означает, что в условиях теоремы

.

Такой вид сходимости называется сходимостью по вероятности и обозначается:

.

Таким образом, теорема Чебышева говорит о том, что если есть достаточно большое число независимых случайных величин, то их среднее арифметическое при единичным испытании практически достоверно примет значение, близкое к среднему их математических ожиданий.

Чаще всего теорема Чебышева применяется в ситуации, когда случайные величины Х1, Х2, … , Хnимеют одинаковое распределение (т.е. один и тот же закон распределения или одну и ту же плотность вероятности). Фактически это просто большое число экземпляров одной и той же случайной величины.

Следствие (обобщенного неравенства Чебышева). Если независимые случайные величины Х1, Х2, … , Хnимеют одинаковое распределение с математическими ожиданиями M(Xi)=a и дисперсиями D(Xi)=D, то

, т.е. .

Доказательство следует из обобщенного неравенства Чебышева переходом к пределу при n→∞ .

Отметим еще раз, что выписанные выше равенства не гарантируют, что значение величины стремится ка при n→∞. Эта величина по-прежнему остается случайной величиной, а ее отдельные значения могут быть достаточно далекими от а. Но вероятность таких (далеких от а) значений с ростом n стремится к 0.

Замечание. Заключение следствия, очевидно, справедливо и в более общем случае, когда независимые случайные величины Х1, Х2, … , Хn имеют различное распределение, но одинаковые математические ожидания (равные а) и ограниченные в совокупности дисперсии. Это позволяет предсказывать точность измерения некоторой величины, даже если эти измерения выполнены разными приборами.

Рассмотрим подробнее применение этого следствия при измерении величин. Проведем некоторым прибором n измерений одной и той же величины, истинное значение которой равно а и нам неизвестно. Результаты таких измерений х1, х2, … , хn могут значительно отличаться друг от друга (и от истинного значения а) в силу различных случайных факторов (перепады давления, температуры, случайная вибрация и т.д.). Рассмотрим с.в. Х – показание прибора при единичном измерении величины, а также набор с.в. Х1, Х2, … , Хn – показание прибора при первом, втором, …, последнем измерении. Таким образом, каждая из величин Х1, Х2, … , Хn есть просто один из экземпляров с.в. Х, а потому все они имеют то же самое распределение, что и с.в. Х. Поскольку результаты измерений не зависят друг от друга, то с.в. Х1, Х2, … , Хn можно считать независимыми. Если прибор не дает систематической ошибки (например, не «сбит» ноль на шкале , не растянута пружина и т.п.), то можно считать, что математическое ожидание М(Х) = а , а потому и М(Х1) = … = М(Хn) = а. Таким образом, выполняются условия приведенного выше следствия, а потому в качестве приближенного значения величины а можно взять «реализацию» случайной величины в нашем эксперименте (заключающемся в проведении серии изn измерений), т.е.

.

При большом числе измерений практически достоверна хорошая точность вычисления по этой формуле. Это является обоснованием того практического принципа, что при большом числе измерений их среднее арифметическое практически почти не отличается от истинного значения измеряемой величины.

На законе больших чисел основан широко применяемый в математической статистике «выборочный» метод, который позволяет по сравнительно небольшой выборке значений случайной величины получать ее объективные характеристики с приемлемой точностью. Но об этом будет рассказано в следующем разделе.

Пример. На измерительном приборе, не делающем систематических искажений, измерена некоторая величина а один раз (получено значение х1), а потом еще 99 раз (получены значения х2, … , х100). За истинное значение измерения а сначала взят результат первого измерения , а затем среднее арифметическое всех измерений. Точность измерения прибора такова, что среднее квадратическое отклонение измерения σ не более 1 (потому дисперсияD2 тоже не превосходит 1). Для каждого из способов измерения оценить вероятность, что ошибка измерения не превзойдет 2.

Решение. Пусть с.в. Х – показание прибора при единичном измерении. Тогда по условию М(Х)=а. Для ответа на поставленные вопросы применим обобщенное неравенство Чебышева

при ε=2 сначала для n=1, а затем для n=100. В первом случае получим , а во втором. Таким образом, второй случай практически гарантирует задаваемую точность измерения, тогда как первый оставляет в этом смысле большие сомнения.

Применим приведенные выше утверждения к случайным величинам, возникающим в схеме Бернулли. Напомним суть этой схемы. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, а q=1–р (по смыслу это вероятность противоположного события – не появления события А) . Проведем некоторое число n таких испытаний. Рассмотрим случайные величины: Х1 – число появлений события А в 1-ом испытании, …, Хn – число появлений события А в n-ом испытании . Все введенные с.в. могут принимать значения 0 или 1 (событие А в испытании может появиться или нет), причем значение 1 по условию принимается в каждом испытании с вероятностью p (вероятность появления события А в каждом испытании), а значение 0 с вероятностью q=1p . Поэтому эти величины имеют одинаковые законы распределения:

, … ,

Поэтому средние значения этих величин и их дисперсии тоже одинаковы: М(Х1)=0q+1 р= р , …, М(Хn)= р ; D(X1)=(02q+12p)−p2=p∙(1−p)= p q, … , D(Xn)=p q . Подставляя эти значения в обобщенное неравенство Чебышева, получим

.

Ясно, что с.в. Х=Х1+…+Хn – это число появлений события А во всех n испытаниях (как говорят – «число успехов» в n испытаниях). Пусть в проведенных n испытаниях событие А появилось в k из них. Тогда предыдущее неравенство может быть записано в виде

.

Но величина , равная отношению числа появлений событияА в n независимых испытаниях, к общему числу испытаний , ранее была названа относительной частотой события А в n испытаниях . Поэтому имеет место неравенство

.

Переходя теперь к пределу при n→∞, получим , т.е.(по вероятности). Это составляет содержание закона больших чисел в форме Бернулли. Из него следует, что при достаточно большом числе испытанийn сколь угодно малые отклонения относительной частоты события от его вероятностир − почти достоверные события, а большие отклонения − почти невозможные. Полученный вывод о такой устойчивости относительных частот (о которой мы ранее говорили как об экспериментальном факте) оправдывает введенное ранее статистическое определение вероятности события как числа, около которого колеблется относительная частота события.

Учитывая, что выражение pq=p∙(1−p)=pp2 не превосходит на интервале изменения(в этом легко убедиться, найдя минимум этой функции на этом отрезке), из приведенного выше неравенствалегко получить, что

,

которое применяется при решении соответствующих задач (одна из них будет приведена ниже).

Пример. Монету подбросили 1000 раз. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты появления герба от его вероятности будет меньше 0.1.

Решение. Применяя неравенство приp=q=1/2, n=1000, ε=0.1, получим .

Пример. Оценить вероятность того, что в условиях предыдущего примера число k выпавших гербов окажется в пределах от 400 до 600.

Решение. Условие 400<k<600 означает, что 400/1000<k/n<600/1000, т.е. 0.4<Wn(A)<0.6 или . Как мы только что убедились из предыдущего примера, вероятность такого события не менее0.975.

Пример. Для вычисления вероятности некоторого события А проведено 1000 экспериментов, в которых событие А появилось 300 раз. Оценить вероятность того, что относительная частота (равная 300/1000=0.3) отстоит от истиной вероятности р не далее, чем на 0.1 .

Решение. Применяя выписанное выше неравенство дляn=1000, ε=0.1 , получим .

79

studfiles.net

Закон больших чисел в Достижение Цели

Позвольте закону больших чисел работать на вас в достижении цели. Позвольте перефразировать знаменитую фразу о гениальности — чтоб добиться успеха нужно: 10 процентов умения и 90 процентов настойчивости. Итак, о всем этом и более, по порядку…

Закон больших чисел в достижении успеха

Если вы читали труды Роберта Кийосаки (миллионер, мастер-тренер по финансовому благополучию, автор «Бедны Папа, Богатый Папа»), то вы, наверное, как и я, удивлялись его упорству, большой мотивации к деланию денег, хорошему трудоголизму (трудоголизм может быть плохим – когда применяешь силу не к месту).

Но, что самое интересное, он никогда не называл себя умным, способным, т.е. как-то уже расположенным к богатству.

Я прочитал около 6-ти его книг, Р. Кийосаки часто рассказывает о себе, о том как он хотел заработать. И главный секрет того, что он смог достигнуть желанной цели – его настойчивость и усердие в этом.

Этот человек на виду, и выше сказанное легко проверить, прочитав его книги. НО, что интересно, все спортсмены, многие мульти миллиардеры, известные авторы бестселлеров достигали успеха согласно такой формуле:  10% умения и 90% настойчивости.

О чем утверждает закон больших чисел? (это математическая модель, но в контексте о успехе можно выделить следующее)

Большое количество определенных действий приводит к необходимому результату, не зависящего от воли случая.

Т.е. чем более вы пытаетесь и что-то делаете, чтоб преуспеть в определенном деле – тем ближе вы к успеху! Это Закон!

Формула достижения цели, согласно закону больших чисел

Достижение цели = 10 процентов знания того, как добиться цели + Nmax произведенных действий.

Nmax — количество попыток, или целенаправленных действий, работы

P.S. Число Nmax  хотелось, чтоб было поменьше…На самом деле оно не так уж и велико. Его можно даже подсчитать, хорошо изучив автобиографию великих людей. Но проще воспринять закон – как аксиому, внушить себе, что это ЗАКОН и действовать соответственно ему!

Хоть раз, да попадете в Цель?! Конечно, по закону больших чисел, если Вы стрелять будете много раз!

www.iaim.ru

Тема 7. Закон больших чисел

Заканчивается раздел «Теория вероятностей» темой 7 – «Закон больших чисел» . Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Так, в теореме Чебышева утверждается, что средняя арифметическая п независимых случайных величин – величина случайная – при приближается (точнее сходится по вероятности) к средней арифметической их математических ожиданий – величине неслучайной, т.е. практически перестает быть случайной. А втеореме Бернулли доказывается, что случайная величина – статистическая вероятность или частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа п приближается (сходится по вероятности) к вероятности р этого события в отдельном испытании – величине неслучайной. Так, например, если вероятность рождения мальчика нам не известна, то в качестве ее значения на основании теоремы Бернулли мы можем принять частость (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515.

Обратите внимание на понятиеcxo димости по вероятности , под которой понимается стремление случайной величины к постоянной величине с вероятностью, как угодно близкой к единице при

Прежде чем доказать указанные основные теоремы, в теме рассматриваются неравенство Маркова или лемма Чебышева, (применяемое для неотрицательных случайных величин), и неравенство Чебышева, (применимое для любых случайных величин). При использовании этих неравенств следует учесть, что они дают лишь верхнюю или нижнюю границы вероятности рассматриваемого события.

Завершая обзор учебного материала по разделу «Теория вероятностей» следует отметить, что усвоение этого материала предполагает решение достаточно большого числа задач, в частности, с помощью компьютерной программы «КОПР2».

 

Раздел 2. Математическая статистика

Второй раздел «Математическая статистика»включает в себя четыре темы:

8. Вариационные ряды

9. Основы выборочного метода

10. Элементы проверки статистических гипотез

11. Элементы теории корреляции

 

Математическая статистика – раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

 

Тема 8. Вариационные ряды

В теме 8 «Вариационные ряды» Вы познакомитесь с простейшей статистической обработкой опытных данных — построением вариационных рядов и вычислением их числовых характеристик.

Вариационным рядом называется ранжированный (т.е. упорядоченный) ряд значений изучаемого признакаX или вариантов с соответствующими им частотами (или частостями). Частоты (или частости) указывают число (долю) соответствующих вариантов. Обратите внимание на графическое изображение вариационного ряда – на полигон и гистограмму, а также эмпирическую функцию распределения.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величиныX ). В этом смысле полигон (гистограмма) вариационного ряда аналогична кривой распределения, эмпирическая функция распределения – функции распределения случайной величины. А числовые характеристики вариационного ряда – средняя арифметическая (обозначается ) и дисперсияs 2являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайнойвеличины – математического ожидания М(X ) и дисперсии Г 2. Точно так же понятие частости (относительной частоты)w для вариационного ряда аналогично понятию вероятности р для случайной величины.

Необходимо знать формулы средней арифметической и дисперсииs 2вариационного ряда, их свойства. Учтите, что более сложные формулы их вычисления, используемые в упрощенном способе расчета (учебник [1], §8.4) носят технический, вспомогательный характер, и их сложность объясняется переходом в расчетах от рассматриваемых вариантов к условным.

 

studfiles.net

Древний закон средних чисел. Теория больших чисел простыми словами



Теория больших чисел простыми словами

В жизни людей широко пользуются понятием среднего арифметического нескольких чисел. Вычисляется оно просто – все числа складываются, и их сумма делится на число слагаемых. Результат деления и есть среднее арифметическое всех чисел. Поясним пример вычисления среднего арифметического, взятый из истории мер и весов. В 16 веке длина английского фута по указу короля была определена как среднее арифметическое длины ступни первых 16 человек, выходящих из церкви от заутрени в воскресенье. Задание эталона фута позволило покончить с произволом в торговле и строительстве.

Знают ли короли теорию больших чисел?

Закона больших чисел, опубликованного в 1713 году (уже после смерти) швейцарским математиком Я. Бернулли, в 16 веке знать не могли, но именно этот закон лежит в обосновании использованного при определении длины фута принципа среднего арифметического. Согласно закону больших чисел, совместное действие множества случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Возвращаемся к определению длины фута по 16 прихожанам. Предполагается, что поскольку прихожане не выбирались по какому-то признаку (только высокие, или только в обуви определенного фасона, или еще какому признаку), то отобраны они случайно, и среднее арифметическое 16 индивидуальных «футов» близко к неизвестному нам значению «истинного» фута, к которому можно приблизиться как угодно точно, увеличивая число слагаемых в формуле вычисления среднего арифметического (т.е. число прихожан в рассматриваемом случае).

Закон больших чисел и выборы

Теорема Бернулли, являющаяся частным случаем закона больших чисел, гласит, что относительная частота появления события в независимых экспериментах сходится к вероятности события. Этим частным случаем широко пользуются при проведении социологических исследований. Чтобы выяснить мнение очень большой группы людей, вовсе не обязательно опрашивать всех членов группы – достаточно опросить несколько сотен или тысяч случайных людей, и по их ответам составить представление о мнении всей группы по рассматриваемому вопросу.Предположим, что в городе Н. предстоят выборы мэра, и число избирателей равно 100 тысячам. Если накануне выборов случайно отобрать 100 человек, и по результатам их опроса выясняется, что за кандидата А отдадут голоса 26 человек, а за Б – 58, нет оснований предполагать, что результат выборов окажется иным – у Б явное преимущество. Более точным предсказание результата окажется при случайном отборе 1000 человек, и т.д.Вы обратили внимание, что при подсчете голосов после состоявшихся выборов в масштабе страны после подсчета всего 20% голосов в большинстве случаев (при достаточном разрыве) уже можно поздравлять победителя? Здесь тоже действует закон больших чисел – случайно отобранные 20% избирателей (предполагается, что данные с избирательных участков поступают случайно) по проценту проголосовавших за отдельных кандидатов не отличаются существенно от процента проголосовавших по всей совокупности избирателей.

Куда лететь в отпуск и встречу ли я динозавра?

Неосознанно законом больших чисел люди пользуются в повседневной жизни при принятии решений. Решив лететь в январе из Москвы в Таиланд на отдых, вы имеете ясное представление, какая погода вас там ждет – результаты многолетних метеорологических наблюдений позволят предсказать ожидаемую температуру воздуха и воды, которые не могут сильно отличаться от среднеарифметических значений в это время года.

И в заключение известный вопрос о вероятности встретить на улице динозавра. Вы за жизнь провели 10 тысяч экспериментов – выходили на улицу и динозавра не встретили. Вероятность встретить динозавра, следовательно, близка к нулю, и нет особых оснований предполагать, что сегодня, выйдя на улицу в 10001 раз, вы его встретите. Ваша уверенность основана на законе больших чисел.

it-lenta.ru

Божественные числа во вселенной — Новейшая философия жизни 21 века

Что такое божественные числа во Вселенной?

Древние говорили: «Числа как и слова имеют смысл и значение». Если каждый из нас проанализирует любые события и число им сопутствующее, то удивлению вашему не будет предела.

ЗАКОН ТЕРНЕРА и понятие божественных цифр

В предыдущих главах нам уже встречались понятия: Монада, дуада (дуализм), триада (троица).

Т.е. если обозначить:

½=3.

1 – Член активный (свет) пирамида вершиной вверх.

2 – Член пассивный (тьма) пирамида вершиной вниз.

3 – Член средний (полусвет, полутьма) Вытекающий из действия двух первых друг на друга 9сумма двух пирамид, т.е. пирамидальный кристалл).

Данный закон (ЗАКОН ТЕРНЕРА) применяется повсюду. В числах он отражается так: 1+2=3

1 – число активное. 2 – число пассивное. 3 – число среднее (действие активного с пассивным)

Как числа связаны с божественной сущностью во Вселенной?

Считалось, что БОЖЕСТВЕННУЮ СУЩНОСТЬ можно охарактеризовать «языком разума», а не «языком чувств». Поэтому, единым принципам они дали свои названия:

БОГ, ВСЕЛЕННАЯ – 1 – МОНАДА (МОНО-ОДИН, АКТИВНОЕ НАЧАЛО)

МАТЕРИИ – 2 – ДИАДА (ДВОЙСТВЕННАЯ, ПАССИВНОЕ НАЧАЛО)

МИР – 3 – ТРИАДА (ТРОИЦА, СУММАДЕЙСТВИЯ АКТИВНОЕ НА ПАССИВНОЕ).

По мнению древних великих мыслителей Путь, которым следует ПРИРОДА во всех своих проявлениях подвержена числовым взаимосвязям и влияниям, но не по простым математическим вычислениям, а по специальным-тайным:

greecehist.ru

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — это… Что такое ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ?


ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

(law of large numbers) В том случае, когда поведение отдельных представителей населения отличается большим своеобразием, поведение группы в среднем более предсказуемо, чем поведение любого ее члена. Тенденция, в соответствии с которой группы ведут себя более определенно по сравнению с отдельными индивидами, усиливается с увеличением размера группы. Этот закон подчеркивает способность специалистов страховых компаний прогнозировать коэффициенты смертности, а статистиков – определять воздействие ценовых изменений на спрос.


Экономика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир». Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М.. 2000.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

(англ. law of large numbers)

принцип, согласно которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов.

Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. — 2-е изд., испр. М.: ИНФРА-М. 479 с.. 1999.

Экономический словарь. 2000.

  • ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ОБОРОТЫ
  • ЗАКОН ГРЭШАМА

Смотреть что такое «ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ» в других словарях:

  • ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — см. БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

  • Закон Больших Чисел — принцип, согласно которому количественные закономерности, присущие массовым общественным явлениям, наиболее явным образом проявляются при достаточно большом числе наблюдений. Единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных и… …   Словарь бизнес-терминов

  • ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — утверждает, что с вероятностью, близкой к единице, среднее арифметическое большого числа случайных величин примерно одного порядка будет мало отличаться от константы, равной среднему арифметическому из математических ожиданий этих величин. Разл.… …   Геологическая энциклопедия

  • закон больших чисел — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN law of averageslaw of large numbers …   Справочник технического переводчика

  • Закон больших чисел — в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости …   Википедия

  • закон больших чисел — didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. law of large numbers vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. закон больших чисел, m pranc. loi des grands nombres, f …   Fizikos terminų žodynas

  • ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к рез ту, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… …   Российская социологическая энциклопедия

  • Закон больших чисел — закон, гласящий, что совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая …   Социология: словарь

  • ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — статистический закон, выражающий связь статистических показателей (параметров) выборочной и генеральной совокупности . Фактические значения статистических показателей, полученные по некоторой выборке, всегда отличаются от т.н. теоретических… …   Социология: Энциклопедия

  • ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов …   Энциклопедический словарь экономики и права


dic.academic.ru

Цпт что такое – ЦПТ — это… Что такое ЦПТ?

Центральная предельная теорема | Data Science

Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения. (Источник)

Итак, нормальное распределение — наиболее распространенное в природе распределение непрерывных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема:

Сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в сумму.

Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем (1/n) , поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

Следствием центральной предельной теоремы является широко применяемая при решении задач теорема Муавра-Лапласа.

Дополнительные тезисы:
  • Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный. Но в среднем при грубом предположении распределение считают нормальным при n>=30.
  • Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни человека на всевозможные сроки, имущества, скота, посевов и др.).
  • При планировании ассортимента товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.
  • Широко применяемый в статистике выборочный метод находит свое научное обоснование в законе больших чисел. Например, о качестве привезенной из колхоза на заготовительный пункт пшеницы судят по качеству зерен, случайно захваченных в небольшую мерку. Зерна в мерке немного по сравнению со всей партией, но во всяком случае мерку выбирают такой, чтобы зерен в ней было вполне достаточно для проявления закона больших чисел с точностью, удовлетворяющей потребности. Мы вправе принять за показатели засоренности, влажности и среднего веса зерен всей партии поступившего зерна соответствующие показатели в выборке. (Источник)

datascientist.one

4. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема (ЦПТ) представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой –нормальным законом распределения.

До сих пор мы часто говорили об устойчивости средних характеристик большого числа испытаний, говоря точнее, об устойчивости сумм вида

Однако следует обратить внимание, что величинаслучайная, а значить, она имеет некоторый закон распределения. Оказывается этот замечательный факт, составляет содержание

другой группы теорем, объединяемых под общим названием центральная предельнаятеорема, что при досточно общих условиях закон распределенияблизок к нормальному закону.

Поскольку величина отличается от суммы

лишь постоянным множителем то в общих чертах содержание ЦПТ может быть сформулировано следующим образом.

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин при весьма

общих условиях близко к нормальному закону распределению.

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике (не только в теории вероятностей, но и в её многочисленных приложениях). Чем такое явление объясняется? Ответ на такой «феномен» впервые был дан выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым в 1901году: «Центральная предельная теорема Ляпунова». Ответ Ляпунова заключается в его условии, при которых справедливо ЦПТ (см. далее).

В целях подготовки точной формулировки ЦПТ, поставим перед собой два вопроса:

1. Какой точный смысл содержит в себе утверждение о том, что «закон распределения суммы «близка» к нормальному закону?».

2. При каких условиях справедлива эта близость?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим бесконечную последовательность случайных величин: Составим «частичные суммы» нашей последовательности с.в.

(23)

От каждой случайных величин перейдём к «нормированной» случайной величине

(24)

Нами было установлено (см.Т.8., п.3, равенства (19)), что .

Ответ на первый вопрос теперь можно сформулировать в виду предельного равенства

(25) , (,

означающего, что закон распределения с.в. с ростомприближается к нормальному закону с. Разумеется, из того факта, что величинаимеет приближенно нормальное распределение, следует, что и величинараспределена приближенно нормально,

или

(26)

— формула для определения вероятности того, что сумма нескольких с.в. окажется в заданных пределах. Часто ЦПТ используют при

По поводу условий, которые следует наложить на величины можно высказать следующие соображения. Рассмотрим разностьПолучим отклонение с.вот её математического ожидания. Общий смысл накладываемых условий, на величинызаключается в том, что отдельные отклонениядолжны быть равномерно малы по сравнению с суммарным отклонениемТочную формулировку этих условий, при которых справедливо предельное соотношение дал М.А. Ляпунов в 1901 году. Она заключается в следующем.

Пусть для каждой из величин числаконечны, (заметим, чтоесть дисперсия с.в.— «центральный момент третьего порядка»).

Если при

,

то будем говорить, что последовательность удовлетворяетусловию Ляпунова.

В частности, ЦПТ для случаев, когда в сумме случайных величин каждый слагаемый имеет одинаковое распределение, т.е. все ито условие Ляпунова выполняется

Именно, на практике такой случай ЦПТ чаще всего используется. Потому, что в математической статистике любая случайная выборка с.в. имеют одинаковые распределения, поскольку «выборки» получены из одной и той же генеральной совокупности.

Сформулируем этот случай как отдельное утверждение ЦПТ.

Теорема 10.7 (ЦПТ). Пусть случайные величины независимы, одинаковораспределены, имеют конечные математическое ожидание и дисперсию

Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих с.в. при стремится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

(27)

где

На этом частном случае хорошо осмыслить, в чем находит своё проявление равномерная «малость» слагаемых, где величинаимеет порядок, а величинапорядок, тем самым отношение первой величины ко второй стремится, к 0.

Теперь мы в состоянии сформулировать центральную предельную теорему в форме А.М. Ляпунова.

Теорема 10.8. (Ляпунова). Если последовательность независимых случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова, то справедливо предельное соотношение

(28) ,

для любых и, при этом (.

Иными словами, в этом случае закон распределения нормированной суммы сходится к нормальному закону с параметрами

Следует отметить, что для доказательства ЦПТ А.М. Ляпунов разработал специальный метод, основанный на теорию так называемых характеристических функций. Этот метод оказался весьма полезным и в других разделах математики (см. доказательство ЦПТ например в кн. Бородин […] ). В этой книге мы, о производящих функциях будем давать краткую информацию и некоторые применения к подсчёту числовых характеристик случайных величин.

Краткие сведения об ошибке измерений. Известно, что при повторении измерений одного и того же объекта, выполненными одним и тем же измерительным прибором с одинаковой тщательностью (при одинаковых условиях) не всегда достигаются одинаковые результаты. Разброс результатов измерения вызван тем, что на процесс измерения влияют многочисленные факторы, которые не возможно и не целесообразно учитывать. В этой ситуации ошибку, возникающую при измерении интересующей нас величины часто можно рассматривать как сумму большого числа независимых между собой слагаемых, каждое из которых даёт лишь незначительный вклад в образование всей суммы. Но такие случаи приводят нас как раз к условиям применимости теоремы Ляпунова и можно ожидать, что распределение ошибки измеряемой величины мало отличается от нормального распределения.

В более общем случае, ошибка является функцией большого числа случайных аргументов, каждый из которых лишь немного отличается от своего математического ожидания. Линеаризуя эту функцию, то есть, заменяя её линейной, опять приходят к предыдущему случаю. Накопленный опыт по статистической обработке результатов измерений действительно подтверждает этот факт в большинстве практических случаев.

Аналогичные рассуждения объясняют появление нормального распределения в отклонениях параметров, определяющих выпущенную готовую продукцию (изделия), от нормативных значений при массовом производстве.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Независимые случайные величиныраспределены равномерно на отрезке [0,1]. Найти закон распределения с.в., а также вероятность того, что

Решение.Условия ЦПТ соблюдается, поэтому с.в.имеет приближенно плотность распределения

По известным формулам для м.о. и дисперсии в случае равномерного распределения находим: Тогда

.

Поэтому

На основании формулы (26), находим (с учётом табличных значений функции Лапласа)

studfiles.net

ЦПТ — это… Что такое ЦПТ?

  • ЦПТ — ТЦП ЦТП центральный тепловой пункт; тепловой центральный пункт энерг. ЦТП Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ЦПТ центральная предельная теорема ЦПТ Ц …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • ТЦП — ЦПТ ТЦП ЦТП центральный тепловой пункт; тепловой центральный пункт энерг. ЦТП Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ТЦП Тойота центр Приморский авто, организация, Санкт Петербург… …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • центра и периферии теория — (ЦПТ), создана для описания пространственных отношений между территориями (странами и районами), находящимися на разных стадиях социально экономического развития. По Дж. Фридману, ЦПТ применима для национального и глобального уровней. Для… …   Географическая энциклопедия

  • Бунин, Игорь Михайлович — Игорь Михайлович Бунин Игорь Бунин в феврале 2012 года Дата рожден …   Википедия

  • Бунин, Игорь — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин И. М. — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин Игорь — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин Игорь Михайлович — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Игорь Бунин — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Игорь Михайлович Бунин — (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • abbr_rus.academic.ru

    4. Центральная предельная теорема

    Центральная предельная теорема (ЦПТ) представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой –нормальным законом распределения.

    До сих пор мы часто говорили об устойчивости средних характеристик большого числа испытаний, говоря точнее, об устойчивости сумм вида

    Однако следует обратить внимание, что величинаслучайная, а значить, она имеет некоторый закон распределения. Оказывается этот замечательный факт, составляет содержание

    другой группы теорем, объединяемых под общим названием центральная предельнаятеорема, что при досточно общих условиях закон распределенияблизок к нормальному закону.

    Поскольку величина отличается от суммы

    лишь постоянным множителем то в общих чертах содержание ЦПТ может быть сформулировано следующим образом.

    Распределение суммы большого числа независимых случайных величин при весьма

    общих условиях близко к нормальному закону распределению.

    Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике (не только в теории вероятностей, но и в её многочисленных приложениях). Чем такое явление объясняется? Ответ на такой «феномен» впервые был дан выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым в 1901году: «Центральная предельная теорема Ляпунова». Ответ Ляпунова заключается в его условии, при которых справедливо ЦПТ (см. далее).

    В целях подготовки точной формулировки ЦПТ, поставим перед собой два вопроса:

    1. Какой точный смысл содержит в себе утверждение о том, что «закон распределения суммы «близка» к нормальному закону?».

    2. При каких условиях справедлива эта близость?

    Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим бесконечную последовательность случайных величин: Составим «частичные суммы» нашей последовательности с.в.

    (23)

    От каждой случайных величин перейдём к «нормированной» случайной величине

    (24)

    Нами было установлено (см.Т.8., п.3, равенства (19)), что .

    Ответ на первый вопрос теперь можно сформулировать в виду предельного равенства

    (25) , (,

    означающего, что закон распределения с.в. с ростомприближается к нормальному закону с. Разумеется, из того факта, что величинаимеет приближенно нормальное распределение, следует, что и величинараспределена приближенно нормально,

    или

    (26)

    — формула для определения вероятности того, что сумма нескольких с.в. окажется в заданных пределах. Часто ЦПТ используют при

    По поводу условий, которые следует наложить на величины можно высказать следующие соображения. Рассмотрим разностьПолучим отклонение с.вот её математического ожидания. Общий смысл накладываемых условий, на величинызаключается в том, что отдельные отклонениядолжны быть равномерно малы по сравнению с суммарным отклонениемТочную формулировку этих условий, при которых справедливо предельное соотношение дал М.А. Ляпунов в 1901 году. Она заключается в следующем.

    Пусть для каждой из величин числаконечны, (заметим, чтоесть дисперсия с.в.- «центральный момент третьего порядка»).

    Если при

    ,

    то будем говорить, что последовательность удовлетворяетусловию Ляпунова.

    В частности, ЦПТ для случаев, когда в сумме случайных величин каждый слагаемый имеет одинаковое распределение, т.е. все ито условие Ляпунова выполняется

    Именно, на практике такой случай ЦПТ чаще всего используется. Потому, что в математической статистике любая случайная выборка с.в. имеют одинаковые распределения, поскольку «выборки» получены из одной и той же генеральной совокупности.

    Сформулируем этот случай как отдельное утверждение ЦПТ.

    Теорема 10.7 (ЦПТ). Пусть случайные величины независимы, одинаковораспределены, имеют конечные математическое ожидание и дисперсию

    Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих с.в. при стремится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

    (27)

    где

    На этом частном случае хорошо осмыслить, в чем находит своё проявление равномерная «малость» слагаемых, где величинаимеет порядок, а величинапорядок, тем самым отношение первой величины ко второй стремится, к 0.

    Теперь мы в состоянии сформулировать центральную предельную теорему в форме А.М. Ляпунова.

    Теорема 10.8. (Ляпунова). Если последовательность независимых случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова, то справедливо предельное соотношение

    (28) ,

    для любых и, при этом (.

    Иными словами, в этом случае закон распределения нормированной суммы сходится к нормальному закону с параметрами

    Следует отметить, что для доказательства ЦПТ А.М. Ляпунов разработал специальный метод, основанный на теорию так называемых характеристических функций. Этот метод оказался весьма полезным и в других разделах математики (см. доказательство ЦПТ например в кн. Бородин […] ). В этой книге мы, о производящих функциях будем давать краткую информацию и некоторые применения к подсчёту числовых характеристик случайных величин.

    Краткие сведения об ошибке измерений. Известно, что при повторении измерений одного и того же объекта, выполненными одним и тем же измерительным прибором с одинаковой тщательностью (при одинаковых условиях) не всегда достигаются одинаковые результаты. Разброс результатов измерения вызван тем, что на процесс измерения влияют многочисленные факторы, которые не возможно и не целесообразно учитывать. В этой ситуации ошибку, возникающую при измерении интересующей нас величины часто можно рассматривать как сумму большого числа независимых между собой слагаемых, каждое из которых даёт лишь незначительный вклад в образование всей суммы. Но такие случаи приводят нас как раз к условиям применимости теоремы Ляпунова и можно ожидать, что распределение ошибки измеряемой величины мало отличается от нормального распределения.

    В более общем случае, ошибка является функцией большого числа случайных аргументов, каждый из которых лишь немного отличается от своего математического ожидания. Линеаризуя эту функцию, то есть, заменяя её линейной, опять приходят к предыдущему случаю. Накопленный опыт по статистической обработке результатов измерений действительно подтверждает этот факт в большинстве практических случаев.

    Аналогичные рассуждения объясняют появление нормального распределения в отклонениях параметров, определяющих выпущенную готовую продукцию (изделия), от нормативных значений при массовом производстве.

    Рассмотрим следующий пример.

    Пример 5. Независимые случайные величиныраспределены равномерно на отрезке [0,1]. Найти закон распределения с.в., а также вероятность того, что

    Решение.Условия ЦПТ соблюдается, поэтому с.в.имеет приближенно плотность распределения

    По известным формулам для м.о. и дисперсии в случае равномерного распределения находим: Тогда

    .

    Поэтому

    На основании формулы (26), находим (с учётом табличных значений функции Лапласа)

    studfiles.net

    Центральная предельная теорема — это… Что такое Центральная предельная теорема?

    В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
    Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
    Эта отметка установлена 15 мая 2011.

    Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что совокупность достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

    Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

    Классическая формулировка Ц.П.Т.

    Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть также

    .

    Тогда

    по распределению при ,

    где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

    по распределению при .

    Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри-Эссеена.

    Замечания

    Локальная Ц.П.Т.

    В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,

    при ,

    где — плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

    Некоторые обобщения

    Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

    Ц.П.Т. Линдеберга

    Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

    Тогда

    по распределению при .

    Ц.П.Т. Ляпунова

    Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

    . Если предел
    (условие Ляпунова),

    то

    по распределению при .

    Ц.П.Т. для мартингалов

    Пусть процесс является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что

    и приращения равномерно ограничены, т.е.

    п.н.

    Введём случайные процессы и следующим образом:

    и

    .

    Тогда

    по распределению при .

    См. также

    Ссылки

    dic.academic.ru

    Центральная предельная теорема Ляпунова — это… Что такое Центральная предельная теорема Ляпунова?

    
    Центральная предельная теорема Ляпунова

    Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные предельные теоремы обосновывают популярность нормального распределения.

    Классическая формулировка Ц.П.Т.

    Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ2, соответственно. Пусть . Тогда

    по распределению при ,

    где N(0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

    по распределению при .

    Замечания

    • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N(nμ,nσ2). Эквивалентно, имеет распределение близкое к N(μ,σ2 / n).
    • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где Φ(x) — функция распределения стандартного нормального распределения.
    • Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
    • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место

    Локальная Ц.П.Т.

    В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Zn также абсолютно непрерывно, и более того,

    при ,

    где — плотность случайной величины Zn, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

    Некоторые обобщения

    Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

    Ц.П.Т. Линдеберга

    Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

    Тогда

    по распределению при .

    Ц.П.Т. Ляпунова

    Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины {Xi} имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

    . Если предел
    (условие Ляпунова),

    то

    по распределению при .

    Ц.П.Т. для мартингалов

    Пусть процесс является мартингалом. Введём случайные процессы и τn следующим образом:

    и

    .

    Тогда

    по распределению при .

    Wikimedia Foundation. 2010.

    • Центральная предельная теорема для мартингалов
    • Центральная киностудия детских и юношеских фильмов им. М. Горького

    Смотреть что такое «Центральная предельная теорема Ляпунова» в других словарях:

    • Центральная предельная теорема — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

    • Центральная предельная теорема для мартингалов — Центральные предельные теоремы (Ц.П.Т.) класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях… …   Википедия

    • ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА — общее название ряда предельных теорем теории вероятностей (см.), указывающих условия, при выполнении к рых суммы или др. функции от большого числа независимых или слабо зависимых величин случайных (см.) имеют распределения вероятностей (см.),… …   Российская социологическая энциклопедия

    • Ляпунов, Александр Михайлович — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая (6 июня) 1857(1857 06 06) Место рождения: Ярославль …   Википедия

    • Ляпунов, Александр — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая 1857(18570525) Место рождения: Ярославль Дата смерти …   Википедия

    • Ляпунов А. М. — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая 1857(18570525) Место рождения: Ярославль Дата смерти …   Википедия

    • Ляпунов Александр Михайлович — Александр Михайлович Ляпунов А. М. Ляпунов в молодости Дата рождения: 25 мая 1857(18570525) Место рождения: Ярославль Дата смерти …   Википедия

    • Предельные теоремы —         теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории (См. Вероятностей теория), указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т …   Большая советская энциклопедия

    • ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — Введение Э. т. (метрическая теория динамических систем) раздел теории динамических систем, изучающий их статистич. свойства. Возникновение Э. т. (1 я треть 20 в.) было стимулировано попытками доказать эргодическую гипотезу (термин введён П. и Т.… …   Физическая энциклопедия

    • ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ — теории вероятностей общее название ряда теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Первые П. т., установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli,… …   Математическая энциклопедия


    dic.academic.ru

    Центральная предельная теорема | Математика, которая мне нравится

    Каков средний вес человека?

    Основная идея статистики заключается в том, что о населении в целом можно сказать что-то, выяснив это для меньшей группы людей. Без этой идеи не было бы опросов общественного мнения или предвыборных прогнозов, не было бы возможности испытать новые медицинские препараты или исследовать безопасность мостов и т. д. В значительной степени за факт, что мы можем делать все это и уменьшать неопределенности прогнозов, отвечает центральная предельная теорема.

    Чтобы понять, как работает теорема, представим, что нужно узнать средний вес жителя Великобритании. Вы выходите и измеряете вес, скажем, ста случайно выбранных людей, и находите средний вес человека для этой группы — назовем это выборочным средним. Теперь выборочное среднее должно дать достаточно точное представление о среднем по стране. Но что, если вам в выборке попались только полные люди или, наоборот, только очень худые?

    Чтобы получить представление о том, насколько типичным будет полученное среднее значение, нужно знать, как средний вес выборки из 100 человек варьируется в зависимости от населения: если вы взяли очень много групп из 100 человек и нашли средний вес для каждой группы, то насколько будут различаться найденные числа? И насколько его среднее (среднее средних) будет совпадать с истинным средним весом человека в популяции?

    Например, предположим, что если выбрать очень много групп из 100 человек и записать средний вес каждой группы, получатся бы все значения от 10 кг до 300 кг в равных количествах. Тогда ваш метод оценки общего среднего по одной выборке из 100 человек не очень хороший, потому что слишком большой разброс значений — вы можете получить любое из возможных значений, поэтому нельзя сказать, какое из них ближе всего к истинному среднему весу в популяции.

    Примеры нормального распределения с различными средними значениями и дисперсиями.

    Итак, как мы можем говорить что-либо о распределении средних значений масс 100 человек — называемом распределением выборки — когда мы ничего не знаем о распределении масс всего населения? В этом и заключается центральная предельная теорема: в ней говорится, что для достаточно большой выборки распределение выборки аппроксимируется нормальным распределением — это распределение, имеющее известную форму колокола. (Обычно считается, что размер выборки 30 достаточно хорош.)

    Среднее этого нормального распределения (среднее из средних значений, соответствующих вершине колокола) такое же, как среднее по всему населению (средний вес популяции). Дисперсия этого нормального распределения, то есть насколько вес отклоняется от среднего (определяется шириной колокола), зависит от размера выборки: чем больше выборка, тем меньше дисперсия. Существует уравнение, которое дает точное соотношение.

    Поэтому, если ваш размер выборки достаточно велик (100, конечно, подойдет, так как это больше 30), то относительно небольшая дисперсия нормального распределения выборки означает, что средний вес, который вы наблюдаете, близок к среднему значению этого нормального распределения (поскольку колокол довольно узкий). И так как среднее этого нормального распределения равно истинному среднему весу во всей популяции, наблюдаемый средний показатель является хорошим приближением к истинному среднему.
    Вы можете сделать все это точно, например, вы можете сказать, насколько вы уверены в том, что истинное среднее значение удалено от выборочного среднего, и вы также можете использовать результат для расчета того, насколько большой образец вам нужен, чтобы получить оценку с определенной степенью точности. Именно центральная предельная теорема отвечает за точность статистического вывода, и именно она стоит за широкой распространенностью нормального распределения.
    На самом деле, центральная предельная теорема немного более общая, чем здесь представлено. Вот ее точная формулировка.

    Теорема. Пусть — бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию . Пусть . Тогда

       

    по распределению при .

    Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

       

    по распределению при .

    Замечание. Здесь — нормальное распределение с параметрами .

    Источник: https://plus.maths.org/content/maths-three-minutes-central-limit-theorem

    hijos.ru

    Matlab ru – MATLAB и Simulink центр компетенций компании Mathworks. Консультации по продуктам, вопросы лицензирования, покупки и внедрения.

    Тренинги и обучение по продуктам MATLAB и Simulink.


    Департамент MathWorks проводит полноценное обучение по продуктам семейства MATLAB и Simulink.

    На сегодняшний день тысячи предприятий России успешно используют инструменты MATLAB для решения своих задач. Чтобы улучшить качество и скорость этого процесса мы предлагаем набор профессиональных тренингов для всех групп пользователей. Мы хотим поделиться нашими знаниями и помочь Вам в решении конкретных задач и достижении долгосрочных целей.

    Прохождение тренингов – уникальная возможность получать знания и навыки работы в среде MATLAB из первых рук.

    Курсы, проводимые департаментом Mathworks, авторизованы производителем программного обеспечения, что гарантирует мировой стандарт качества обучения.

    Ваши преимущества

    1. Уникальные знания и навыки работы с продуктами MATLAB
    2. По итогам обучения слушателям выдается сертификат компании MathWorks, подтверждающий квалификацию по работе в программе.
    3. Информационную поддержку российских экспертов MathWorks
    4. Оригинальные учебные материалы MathWorks

    Оформление заявки

    Для начала процесса, заполните форму обратной связи и укажите в ней тренинги, которые Вас заинтересовали.

    Также Вы можете написать нам письмо или позвонить по телефону.
    После этого наши специалисты свяжутся с Вами, помогут подобрать необходимые тренинги и согласуют детали.

    Процесс обучения


    • Обучение по продуктам MathWorks проходит в группах от 10 человек в очном формате обучения.
    • Занятия проходят под руководством профессиональных тренеров в хорошо оборудованных классах.
    • Каждому участнику предоставляется рабочее место с установленным ПО для обучения.
    • Во время образовательного процесса слушателям предоставляются материалы, разработанные компанией MathWorks.
    • Обучение включает в себя теоретическую базу и практические упражнения.

    Отзывы о тренингах

    Список тренингов

    Ниже представлены тренинги, разбитые по группам сложности. При выборе курсов среднего и продвинутого уровня мы рекомендуем учесть раздел «Предварительная подготовка». 

    matlab.ru

    Инструкция по запросу и установке пробной студенческой версии


    На сайте mathworks.com изменился порядок запроса пробной версии. Мы подготовили подробную инструкцию.

    Для получения пробной версии MATLAB:

    1.Зарегистрируйтесь на сайте

    1.1.Укажите действующий e-mail адрес (его нужно будет верифицировать и к нему будет привязана лицензия)
    1.2.Укажите, что вы собираетесь использовать MATLAB с целью Student Use
    1.3.Укажите страну проживания
    1.4.Подтвердите, что вы старше 13 лет.

    2.Подтвердите e-mail адрес (ссылка придет в письме)

    3.Завершите процесс регистрации

    3.1.Укажите имя, фамилию и никнейм (для общения на форуме Matlab.Central)
    3.2.Укажите пароль (как минимум 1 цифра и 1 прописная буква)
    3.3.Укажите страну в которой находится ваш ВУЗ
    3.4.Укажите наименование вашего ВУЗа (требуется использовать официальное англоязычное наименование)

    4.Как только процесс регистрации закончен, переходите по ссылке

    5.Укажите город, контактный телефон и опыт использования MATLAB; перейдите на следующую страницу

    6.Нажмите кнопку «Get packaged trial»

    7.Выберите требуемый набор тулбоксов(инструментов):

    7.1.Data Analytics – анализ данных
    7.2.Control System Design and Analysis — Создание и анализ систем управления
    7.3.Signal Processing and Communications — Обработка сигналов и связь
    7.4.Image Processing and Computer Vision – Обработка изображений и компьютерное зрение
    7.5.Computational Finance – Вычислительные финансы
    7.6.Computational Biology – Вычислительная биология

    8.Нажмите «Continue»

    9.Укажите, хотите ли вы привязать пробную версию к ранее установленному MATLAB последней версии (скорее всего нет)

    10.Укажите тип вашей операционной системы

    11.После окончания загрузки дистрибутива начнется стандартный процесс установки

    12.При первом запуске потребуется авторизоваться в системе со своими учетными данными

    Желаем успехов в обучении!

    Для качественного обучения советуем подписаться на наш Youtube канал, и обсудить ваши вопросы на форуме.

    Мы Вконтакте и на Facebook

    matlab.ru

    Услуги

    Представляем Вам раздел услуг департамента MathWorks. Здесь вы найдете описания и условия предоставления услуг в области проектирования и разработки.


     

    Трудности 

    Каждое предприятие сталкивается в своей работе с рядом трудностей:

    • Изменения в ТЗ в ходе работы
    • Недостаточные начальные условия при постановке задачи
    • Сжатые сроки проекта
    • Нехватка квалифицированных кадров
    Ключ к решению этих трудностей мы видим в системном подходе и внедрении наиболее эффективной системы разработки. На практическом уровне мы готовы реализовать это решение на вашем проекте.

    Что даст сотрудничество с нами в области услуг?

    • Решение ваших задач с применением уникального для России опыта разработки
    • Повышение эффективности работы в среднем на 200% в денежном эквиваленте
    • «Прозрачность» проекта на уровне требований, изменений и итераций
    • Снижение «цены» ошибки, обнаруженной на позднем этапе

    Каждая из услуг отвечает на один из современных вызовов отрасли. Взаимодействие с инженерами MathWorks дает возможность не просто решить одну задачу, но внедрить максимально эффективный подход для постановки и решения последующих.

    Почему стоит работать с нами

    • Официальный представитель вендора
    • 10 лет практического опыта в решении инженерных задач 
    • Команда высококвалифицированных специалистов по каждому направлению 
    • Представительства в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге и Новосибирске.

    matlab.ru

    Установка и активация MATLAB для МГТУ им. Баумана

    Уважаемые студенты МГТУ им. Баумана!

    МГТУ предоставляет студентам возможность установки на личный или домашний компьютер лицензионного программного обеспечения MATLAB и Simulink с большим количеством специализированных научных и инженерных инструментов, используемых в МГТУ и в промышленности. 

    Делать домашние задания, работать на лекциях, в лабораториях, на конференциях и т.д. можно на своем собственном ноутбуке в любое время! Больше никаких очередей в компьютерный класс или скачивания пиратских копий!

    Пожалуйста, в ближайшее время получите ключи и инструкцию по установке и активации лицензии MATLAB МГТУ. 

    Как это сделать?

    1. Пошлите любое сообщение на адрес – [email protected]. Это необходимо сделать с почтового адреса находящегося на одном из поддоменов bmstu.ru (Пример [email protected]). 
    2. Если у вас нет почтового ящика в одном из поддоменов bmstu.ru, то необходимо приложить к письму скан действующего студенческого билета или другого документа, подтверждающего ваше отношение к МГТУ.
    3. В ответ на письмо, Вы получите ключ и инструкцию, в том числе подробную видеоинструкцию.

    Для получения почтового адреса в домене student.bmstu.ru Вам необходимо обратиться в аудиторию 91 ГУК (пн-пт с 10:00 до 13:00 и с 14:00 до 16:00)

    В случае, если у Вас возникнут сложности – напишите нам на  [email protected]

    Что делать дальше?

    1. Изучите возможности продуктов
    2. Подпишитесь на наш YouTube канал, чтобы всегда быть в курсе новых видео о MATLAB
    3. Следите за новыми вебинарами и семинарами. Можно подписаться через RSS на нужный поток.
    4. Выскажите свое мнение на форуме

    matlab.ru

    Вебинары по MATLAB и Simulink – Mathworks

    На этой странице представлены будущие и прошедшие вебинары. Каждый вебинар готовится и проводится квалифицированным специалистом команды MathWorks и содержит практическую информацию о работе с различным инструментами. Все вебинары проводятся опытными инженерами MathWorks. После вебинара у вас будет возможность задать вопросы и сразу получить квалифицированные ответы. Для участия в любом вебинаре необходима регистрация. 

    Технические требования для участия в вебинаре.

    Также на этой странице размещены записи вебинаров департамента MathWorks. Для просмотра вебинаров требуется один раз зарегистрироваться.


    • 4 июня 2019 11:00

      Вебинар посвящен алгоритмам мобильных роботов. Поговорим о моделировании роботов, о создании алгоритмов планирования и следования траектории, а также о навигации роботов в пространстве. Дополнительно затронем вопрос подключения к ROS и симулятору Gazeebo.

    Прошедшие вебинары

    Для каждого вебинара в течение нескольких дней появляется видеозапись, которая доступна для просмотра.

    • 23 апреля 2019 11:00

      Этот вебинар будет посвящен основным инструментам и методам моделирования автомобильного транспорта, которые позволяют существенно упростить и ускорить разработку. Вы узнаете, как библиотеки Simulink могут быть использованы для моделирования автомобильных систем, таких как трансмиссии и механические, электрические и гидравлические системы, как использовать модели для тестирования стратегий управления, подбора компонентов и улучшения характеристик, как моделировать динамику трехмерной механической модели транспортного средства.

    • 12 марта 2019 11:00

      На данном вебинаре мы опишем базовые принципы вычислений в арифметике с фиксированной точкой, а также рассмотрим самые современные подходы автоматизации преобразования алгоритмов из плавающей точки в фиксированную. Помимо этого, мы рассмотрим вопросы оптимизации алгоритмов под аппаратную реализацию и рассмотрим примеры оптимизированных алгоритмов ЦОС в фиксированной точке.

    • 26 февраля 2019 11:00

      В этом вебинаре будут рассмотрены основные аспекты, связанные с разработкой алгоритмов для автономных транспортных средств и систем содействия водителю. В качестве основного примера в вебинаре пошагово будет рассмотрен пример построения карты окружения по моно-камере на основе сегментации видео, но также будут рассмотрены и другие примеры из Automated Driving System Toolbox.

    • 29 января 2019 11:00

      В рамках вебинара будут показаны возможности применения оптимизационных алгоритмов в инженерной практике. При этом будут рассмотрены именно практические задачи и их решение с помощью прикладных инструментов, а не математические основы оптимизации.

    • 28 ноября 2018 11:00

      В данном вебинаре мы рассмотрим как использовать MATLAB для проектирования и быстрого прототипирования алгоритмов в соответствии со стандартом 5G. Также, мы рассмотрим основные новшества, которые отличают физический уровень нового стандарта 5G от LTE.

    • 8 ноября 2018 11:00

      На данном вебинаре мы расскажем, как моделировать высокочастотные усилители с учётом нелинейности и памяти. Мы рассмотрим техники повышения точности модели и интеграции её с алгоритмом адаптивного цифрового предыскажения. В завершении мы реализуем алгоритм DPD в целочисленной арифметике и сгенерируем HDL-код для ПЛИС.

    • 7 ноября 2018 11:00

      На данном вебинаре вы узнаете, как быстро и эффективно перейти от виртуальной симуляции в Simulink к тестированию ваших алгоритмов управления и моделей объектов управления в реальном времени. РИТМ – это программно-аппаратное решение, сочетающее Simulink и Simulink Real-Time с высокопроизводительными машинами реального времени и платами ввода-вывода. Такой подход позволяет вам осуществлять поиск ошибок проектирования на ранней стадии, отрабатывать идеи и постоянно тестировать вашу систему.

    • 30 октября 2018 11:00

      В этом вебинаре мы пройдемся по рабочему процессу создания продуктов основанных на технологиях глубокого обучения, начиная от доступа к данным и заканчивая генерацией CUDA кода. На конкретных примерах мы рассмотрим различные подходы и модели глубоких нейронных сетей.

    • 18 октября 2018 11:00

      На данном вебинаре вы узнаете, как быстро и эффективно перейти от виртуальной симуляции в Simulink к тестированию ваших алгоритмов управления и моделей объектов управления в реальном времени. РИТМ – это программно-аппаратное решение, сочетающее Simulink и Simulink Real-Time с высокопроизводительными машинами реального времени и платами ввода-вывода. Такой подход позволяет вам осуществлять поиск ошибок проектирования на ранней стадии, отрабатывать идеи и постоянно тестировать вашу систему.

    • 27 сентября 2018 11:00

      MATLAB содержит большое количество встроенных функций и позволяет анализировать любые данные, тратя минимум времени на написание программного кода. Узнайте, как вы можете быстро обрабатывать и исследовать свои данные, а также применять методы машинного обучения для решения прикладных задач, даже не будучи специалистом в этой области.


    matlab.ru

    Лицензирование продуктов MATLAB и Simulink.

    Какие типы лицензий существуют?

    Для построения удобной и эффективной инфраструктуры наши клиенты могут выбрать между следующими типами лицензий:

    1. Индивидуальная
    2. Групповая
    3. Групповая сетевая
    4. Плавающая сетевая

    Индивидуальная лицензия

    Данный тип лицензирования предназначен организациям, которые приобретают лицензию для одного пользователя или для использования на одном ПК. При данном типе лицензирования ПО администрируется непосредственными конечными пользователями. Важно иметь в виду, что использование подобного типа лицензий возможно только на территории страны, где была приобретена лицензия. Описываемый тип лицензирования неэффективен на больших предприятиях, так как учет и своевременное обновление лицензий становятся затруднены.

    Методы активаций индивидуальных лицензий (необходим доступ к сети Интернет)
    1. Активация лицензии на автономного пользователя (АП). Данный тип активации подразумевает, что один пользователь, на которого зарегистрирована лицензия, может использовать ПО на четырех ПК максимум (рабочий, домашний, ПК в лаборатории, ноутбук). При этом должно быть использовано одно и то же имя пользователя, ОС на ПК могут быть разные.
    2. Активация лицензии на выделенный ПК. При активации на ПК лицензия блокируется на номер жесткого диска или MAC адрес, однако количество пользователей ПО при таком методе активации неограниченно. Отсутствует право установки ПО на домашний или какой-то другой ПК, и при работе с ПО лицензионный пользователь должен находится на том ПК, на который активирована лицензия.

    Групповая лицензия

    Если предприятие планирует приобретать более одного набора лицензий, то оптимальным выбором для нее будет групповая лицензия, так как она подразумевает управление одним администратором, который определяет права и состав лицензий для конечного пользователя. Также как и индивидуальная лицензия, групповую лицензию возможно использовать только на территории страны, где она была приобретена.

    Методы активации групповых лицензий

    В виду того, что групповая лицензия, по сути, представляет собой набор индивидуальных лицензий, объединенных под одним номером лицензии, то методы активации лицензий членов группы совпадают с таковым индивидуальной лицензии. Администратор лицензии определяет, кто и каким методом может активировать свои лицензии.


    Сетевые лицензии

    Сетевые лицензии позволяют активировать лицензии конечных пользователей через внутреннюю сеть предприятия. Данный тип лицензий рекомендуется для больших организаций, доступ к сети Интернет у которых, ограничен. Активация происходит с помощью Сервера лицензий.

    Инструкция по установке сетевых лицензий

    Что такое Сервер лицензий?

    Сервер лицензий – это серверное приложение, которое, исходя из типа сетевой лицензии, предоставляет активационный файл (ключ) на ПО, установленное на компьютерах конечных пользователей. Используется технология FLEXnet, производства Acresso. Дистрибутив сервера поставляется вместе с ПО MathWorks и является бесплатным. Для настройки и управления сервером и, соответственно, лицензиями на предприятии необходим администратор.

    Групповая сетевая лицензия

    При данном типе лицензирования администратор Сервера лицензий формирует файл лицензии, в котором определяет, какие определенные сотрудники организации (имена пользователей во внутренней сети) имеют доступ к ПО. В соответствии с этим файлом указанные пользователи могут установить и активировать ПО MathWorks на любом ПК, находящемся во внутренней сети предприятия. Однако необходимо учесть, что количество активаций ограниченно. В файле лицензии также определяется, к каким продуктам будут иметь доступ пользователи. Использование подобного типа лицензий возможно только на территории страны, где она была приобретена.

    Плавающая сетевая лицензия

    В отличие от групповой сетевой лицензии, где доступ к ПО имеют только определенные пользователи, указанные в файле лицензии, при приобретении плавающей сетевой лицензии ВСЕ сотрудники организации, находящейся во внутренней сети организации, могут иметь доступ ко всем продуктам, входящим в лицензию, без ограничений. Сервер лицензий определяет число доступных ключей и при обращении к нему блокирует ключ на время использования продуктов MathWorks, после завершения работы ключ освобождается, и другой сотрудник может им воспользоваться. Данный тип лицензирования идеален для предприятий, где подразумевается большое количество пользователей, так как предоставляет свободный доступ всех сотрудников к приобретенным продуктам без необходимости ведения учета пользователей.

    «Заимствование» лицензии

    Коммерческая плавающая сетевая лицензия также предоставляет возможность «позаимствовать» лицензию на ПО MathWorks на определенный срок (например, на время командировки, максимум 30 дней) у Сервера лицензий. Данная функция позволяет запускать ПО без подключения к сети.


    Лицензирование для образовательных и научных организаций

    Для образовательных организаций, осуществляющих образовательную деятельность по общему, профессиональному и высшему образованию, а также для научных организаций, подведомственных ФАНО России, компания MathWorks предлагает специальные льготные академические лицензии, поставляемые по подписке:

    1. Академическая индивидуальная лицензия. Предназначена для индивидуального использования преподавателями и научными сотрудниками, а также может быть установлена в компьютерный класс. Состав лицензии (список продуктов) можно выбрать при заказе.

    2. Академическая сетевая лицензия на организацию. Предоставляет неограниченный доступ всем сотрудникам и студентам организации ко всем продуктам семейств MATLAB и Simulink.

    Академические лицензии могут быть использованы для любых целей, исключающих коммерческую прибыль. В частности, они не подходят для выполнения работ по хозяйственным договорам и государственным контрактам — для таких работ образовательной или научной организации необходимо приобретать коммерческую лицензию.

    matlab.ru

    Большие данные в MATLAB

    Как работать с огромными и непрерывными наборами данных

    Под большими данными понимают значительное увеличение количества и скорости передачи данных, доступных для анализа.

    Первой ласточкой этого тренда всегда становится возрастающее оцифровывание информации. Количество и разнообразие устройств сбора и механизмов генерации данных возрастает из года в год.

    К источникам больших данных относятся потоковые данные с датчиков контрольно-измерительной аппаратуры, спутниковые и медицинские снимки, видео с камер наблюдения, а также данные, получаемые с финансовых рынков и розничных операций. Большие данные из этих источников могут содержать гигабайты или терабайты информации с динамикой мегабайтов или гигабайтов в день.

    Большие данные дают возможность аналитикам и специалистам по обработке данных получать более полное представление о задаче и принимать более обоснованные решения. Но работа с ними имеет несколько проблем. Они могут не помещаться в доступную оперативную память, время обработки может занимать слишком много времени, или поступать слишком быстро для сохранения и обработки. Стандартные алгоритмы обычно не подходят для обработки больших данных в приемлемое время или в доступной памяти. Не существует универсального подхода для таких данных. Поэтому в MATLAB есть несколько инструментов для решения этих задач.

    Работа с большими данными в MATLAB

    1. 64-битные вычисления. 64-битная версия MATLAB существенно увеличивает объем данных, которые можно хранить в памяти – как правило, вплоть до 2000-кратного увеличения по сравнению с 32-битной версий. Если 32-битные приложения имеют ограничение в 2 Гб адресуемой памяти, то 64-битный MATLAB позволяет адресовать физическую память в пределах, допустимых операционной системы. Для Windows 8 это составляет 500 Гб для персональной версии и 4 Тб для Windows Server.
    2. Отображаемые в память переменные. Функция MATLAB memmapfile позволяет отображать (map) файл или часть файла в переменную MATLAB в памяти. Это дает возможность эффективно работать с большими наборами данных на жестком диске, которые слишком велики, чтобы хранить их в памяти, или слишком долго загружать.
    3. Хранимые на жестком диске переменные. С помощью функции matfile можно получать доступ к переменным MATLAB напрямую из MAT-файла на диске, используя команды MATLAB для индексации, без загрузки всей переменной в память. Это позволяет проводить блочную обработку больших наборов данных, которые иным способом не помещаются в память.
    4. Datastore. Используйте функцию datastore для доступа к данным, не помещающимся в память. Сюда относятся данные из файлов, наборов файлов, или, в объединении с Database Toolbox, таблицы баз данных. Функция datastore позволяет определять данные, которые вы хотите импортировать из файлов или баз данных, задавать формат импортируемых данных и управлять инкрементным импортом, предоставляя средства для перебора на больших наборах данных, используя только цикл while.
    5. Встроенные многоядерные операции. Многие встроенные математические функции MATLAB, такие как fft, inv, eig, являются многопоточными. При запуске в параллельном режиме эти функции используют несколько ядер вашего компьютера, что дает высокую производительность при работе с большими данными.
    6. Расчеты на GPU. Если вы работает с GPU, математические функции, оптимизированные для GPU в Parallel Computing Toolbox, дают еще большую производительность для больших данных.
    7. Параллельные вычисления. В Parallel Computing Toolbox реализованы параллельные циклы for для запуска кода MATLAB и алгоритмов параллельно на многоядерных компьютерах. При использовании MATLAB Distributed Computing Server можно выполнять их параллельно на компьютерных кластерах, т.е. масштабировать на тысячи компьютеров.
    8. Облачные вычисления. Есть возможность запускать параллельные вычисления MATLAB на Amazon Elastic Computing Cloud (EC2) с использованием MATLAB Distributed Computing Server для параллельной работы по запросу на сотнях или тысячах компьютеров. Облачные вычисления дают возможность работать с большими данными без необходимости покупать и поддерживать свой кластер или дата-центр.
    9. Распределенные массивы. С помощью Parallel Computing Toolbox и MATLAB Distributed Computing Server можно работать с матрицами и многомерными массивами, распределенными в памяти кластера компьютеров. Используя этот подход, вы можете хранить и проводить вычисления над большими наборами данных, слишком большими для одного компьютера.
    10. MapReduce. Используйте функционал MapReduce, встроенный в MATLAB для анализа данных, не помещающихся в память. Это очень мощная и известная техника программирования для анализа данных на персональном компьютере, а также запуска аналитики MATLAB на такой платформе для больших данных как Hadoop.
    11. Потоковые алгоритмы. С помощью системных объектов (System Objects) можно проводить потоковую обработки входящих потоков данных, которые слишком велики или имеют слишком большую скорость передачи для помещения в памяти. Кроме того, можно генерировать встраиваемый C/C++ код из ваших алгоритмов MATLAB с помощью MATLAB Coder и запускать полученный код на высокопроизводительных системах реального времени.
    12. Блочная обработка изображений. Функция blockproc из Image Processing Toolbox позволяет работать с действительно большими изображениями, эффективно обрабатывая их поблочно. Вычисления запускаются параллельно на нескольких ядрах и GPU при использовании Parallel Computing Toolbox.
    13. Машинное обучение. Машинное обучение используется для извлечения важной информации и разработки предсказательных моделей на больших данных. Широкий спектр алгоритмов машинного обучения включают в себя различные деревья принятия решений (в том числе boosted и bagged), метод К-средних, иерархическую кластеризацию, поиск К-ближайших соседей, Гауссовы смеси, ЕМ-алгоритм, скрытые Марковские модели, нейронные сети. Они доступны в Statistics Toolbox и Neural Network Toolbox.
    14. Hadoop. Используя функционал MapReduce и Datastore, встроенный в MATLAB, можно разрабатывать алгоритмы на персональном компьютере и напрямую запускать их на Hadoop. Для начала надо запросить часть ваших больших данных, хранящихся в HDFS с помощью функции MATLAB datastore. После чего использовать эти данные для разработки алгоритмов MATLAB на основе MapReduce на вашем ПК. Затем, используя MATLAB Distributed Computing Server, запустить ваши алгоритмы внутри среды Hadoop MapReduce на полном наборе данных, хранимом в HDFS. Чтобы интегрировать аналитику MATLAB с промышленными системами Hadoop используется

    matlab.ru

    Косинус какого угла равен 0 5 – Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.

    Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.

    Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
    cos(0°)=cos(360°)=1; точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь.

    Углы
    1° — 90°

    Углы
    91 ° — 180°

    Углы
    181° — 270°

    Углы
    271 ° — 360°

    Угол

    Cos

    cos= 0.9998
    cos= 0.9994
    cos= 0.9986
    cos= 0.9976
    cos= 0.9962
    cos= 0.9945
    cos= 0.9925
    cos= 0.9903
    cos= 0.9877
    10° cos= 0.9848
    11° cos= 0.9816
    12° cos= 0.9781
    13° cos= 0.9744
    14° cos= 0.9703
    15° cos= 0.9659
    16° cos= 0.9613
    17° cos= 0.9563
    18° cos= 0.9511
    19° cos= 0.9455
    20° cos= 0.9397
    21° cos= 0.9336
    22° cos= 0.9272
    23° cos= 0.9205
    24° cos= 0.9135
    25° cos= 0.9063
    26° cos= 0.8988
    27° cos= 0.891
    28° cos= 0.8829
    29° cos= 0.8746
    30° cos= 0.866
    31° cos= 0.8572
    32° cos= 0.848
    33° cos= 0.8387
    34° cos= 0.829
    35° cos= 0.8192
    36° cos= 0.809
    37° cos= 0.7986
    38° cos= 0.788
    39° cos= 0.7771
    40° cos= 0.766
    41° cos= 0.7547
    42° cos= 0.7431
    43° cos= 0.7314
    44° cos= 0.7193
    45° cos= 0.7071
    46° cos= 0.6947
    47° cos= 0.682
    48° cos= 0.6691
    49° cos= 0.6561
    50° cos= 0.6428
    51° cos= 0.6293
    52° cos= 0.6157
    53° cos= 0.6018
    54° cos= 0.5878
    55° cos= 0.5736
    56° cos= 0.5592
    57° cos= 0.5446
    58° cos= 0.5299
    59° cos= 0.515
    60° cos= 0.5
    61° cos= 0.4848
    62° cos= 0.4695
    63° cos= 0.454
    64° cos= 0.4384
    65° cos= 0.4226
    66° cos= 0.4067
    67° cos= 0.3907
    68° cos= 0.3746
    69° cos= 0.3584
    70° cos= 0.342
    71° cos= 0.3256
    72° cos= 0.309
    73° cos= 0.2924
    74° cos= 0.2756
    75° cos= 0.2588
    76° cos= 0.2419
    77° cos= 0.225
    78° cos= 0.2079
    79° cos= 0.1908
    80° cos= 0.1736
    81° cos= 0.1564
    82° cos= 0.1392
    83° cos= 0.1219
    84° cos= 0.1045
    85° cos= 0.0872
    86° cos= 0.0698
    87° cos= 0.0523
    88° cos= 0.0349
    89° cos= 0.0175
    90° cos= 0

    Угол

    Cos

    91° cos= -0.0175
    92° cos= -0.0349
    93° cos= -0.0523
    94° cos= -0.0698
    95° cos= -0.0872
    96° cos= -0.1045
    97° cos= -0.1219
    98° cos= -0.1392
    99° cos= -0.1564
    100° cos= -0.1736
    101° cos= -0.1908
    102° cos= -0.2079
    103° cos= -0.225
    104° cos= -0.2419
    105° cos= -0.2588
    106° cos= -0.2756
    107° cos= -0.2924
    108° cos= -0.309
    109° cos= -0.3256
    110° cos= -0.342
    111° cos= -0.3584
    112° cos= -0.3746
    113° cos= -0.3907
    114° cos= -0.4067
    115° cos= -0.4226
    116° cos= -0.4384
    117° cos= -0.454
    118° cos= -0.4695
    119° cos= -0.4848
    120° cos= -0.5
    121° cos= -0.515
    122° cos= -0.5299
    123° cos= -0.5446
    124° cos= -0.5592
    125° cos= -0.5736
    126° cos= -0.5878
    127° cos= -0.6018
    128° cos= -0.6157
    129° cos= -0.6293
    130° cos= -0.6428
    131° cos= -0.6561
    132° cos= -0.6691
    133° cos= -0.682
    134° cos= -0.6947
    135° cos= -0.7071
    136° cos= -0.7193
    137° cos= -0.7314
    138° cos= -0.7431
    139° cos= -0.7547
    140° cos= -0.766
    141° cos= -0.7771
    142° cos= -0.788
    143° cos= -0.7986
    144° cos= -0.809
    145° cos= -0.8192
    146° cos= -0.829
    147° cos= -0.8387
    148° cos= -0.848
    149° cos= -0.8572
    150° cos= -0.866
    151° cos= -0.8746
    152° cos= -0.8829
    153° cos= -0.891
    154° cos= -0.8988
    155° cos= -0.9063
    156° cos= -0.9135
    157° cos= -0.9205
    158° cos= -0.9272
    159° cos= -0.9336
    160° cos= -0.9397
    161° cos= -0.9455
    162° cos= -0.9511
    163° cos= -0.9563
    164° cos= -0.9613
    165° cos= -0.9659
    166° cos= -0.9703
    167° cos= -0.9744
    168° cos= -0.9781
    169° cos= -0.9816
    170° cos= -0.9848
    171° cos= -0.9877
    172° cos= -0.9903
    173° cos= -0.9925
    174° cos= -0.9945
    175° cos= -0.9962
    176° cos= -0.9976
    177° cos= -0.9986
    178° cos= -0.9994
    179° cos= -0.9998
    180° cos= -1

    Угол

    Cos

    181° cos=-0.9998
    182° cos=-0.9994
    183° cos=-0.9986
    184° cos=-0.9976
    185° cos=-0.9962
    186° cos=-0.9945
    187° cos=-0.9925
    188° cos=-0.9903
    189° cos=-0.9877
    190° cos=-0.9848
    191° cos=-0.9816
    192° cos=-0.9781
    193° cos=-0.9744
    194° cos=-0.9703
    195° cos=-0.9659
    196° cos=-0.9613
    197° cos=-0.9563
    198° cos=-0.9511
    199° cos=-0.9455
    200° cos=-0.9397
    201° cos=-0.9336
    202° cos=-0.9272
    203° cos=-0.9205
    204° cos=-0.9135
    205° cos=-0.9063
    206° cos=-0.8988
    207° cos=-0.891
    208° cos=-0.8829
    209° cos=-0.8746
    210° cos=-0.866
    211° cos=-0.8572
    212° cos=-0.848
    213° cos=-0.8387
    214° cos=-0.829
    215° cos=-0.8192
    216° cos=-0.809
    217° cos=-0.7986
    218° cos=-0.788
    219° cos=-0.7771
    220° cos=-0.766
    221° cos=-0.7547
    222° cos=-0.7431
    223° cos=-0.7314
    224° cos=-0.7193
    225° cos=-0.7071
    226° cos=-0.6947
    227° cos=-0.682
    228° cos=-0.6691
    229° cos=-0.6561
    230° cos=-0.6428
    231° cos=-0.6293
    232° cos=-0.6157
    233° cos=-0.6018
    234° cos=-0.5878
    235° cos=-0.5736
    236° cos=-0.5592
    237° cos=-0.5446
    238° cos=-0.5299
    239° cos=-0.515
    240° cos=-0.5
    241° cos=-0.4848
    242° cos=-0.4695
    243° cos=-0.454
    244° cos=-0.4384
    245° cos=-0.4226
    246° cos=-0.4067
    247° cos=-0.3907
    248° cos=-0.3746
    249° cos=-0.3584
    250° cos=-0.342
    251° cos=-0.3256
    252° cos=-0.309
    253° cos=-0.2924
    254° cos=-0.2756
    255° cos=-0.2588
    256° cos=-0.2419
    257° cos=-0.225
    258° cos=-0.2079
    259° cos=-0.1908
    260° cos=-0.1736
    261° cos=-0.1564
    262° cos=-0.1392
    263° cos=-0.1219
    264° cos=-0.1045
    265° cos=-0.0872
    266° cos=-0.0698
    267° cos=-0.0523
    268° cos=-0.0349
    269° cos=-0.0175
    270° cos=0

    Угол

    Cos

    271° cos=0.0175
    272° cos=0.0349
    273° cos=0.0523
    274° cos=0.0698
    275° cos=0.0872
    276° cos=0.1045
    277° cos=0.1219
    278° cos=0.1392
    279° cos=0.1564
    280° cos=0.1736
    281° cos=0.1908
    282° cos=0.2079
    283° cos=0.225
    284° cos=0.2419
    285° cos=0.2588
    286° cos=0.2756
    287° cos=0.2924
    288° cos=0.309
    289° cos=0.3256
    290° cos=0.342
    291° cos=0.3584
    292° cos=0.3746
    293° cos=0.3907
    294° cos=0.4067
    295° cos=0.4226
    296° cos=0.4384
    297° cos=0.454
    298° cos=0.4695
    299° cos=0.4848
    300° cos=0.5
    301° cos=0.515
    302° cos=0.5299
    303° cos=0.5446
    304° cos=0.5592
    305° cos=0.5736
    306° cos=0.5878
    307° cos=0.6018
    308° cos=0.6157
    309° cos=0.6293
    310° cos=0.6428
    311° cos=0.6561
    312° cos=0.6691
    313° cos=0.682
    314° cos=0.6947
    315° cos=0.7071
    316° cos=0.7193
    317° cos=0.7314
    318° cos=0.7431
    319° cos=0.7547
    320° cos=0.766
    321° cos=0.7771
    322° cos=0.788
    323° cos=0.7986
    324° cos=0.809
    325° cos=0.8192
    326° cos=0.829
    327° cos=0.8387
    328° cos=0.848
    329° cos=0.8572
    330° cos=0.866
    331° cos=0.8746
    332° cos=0.8829
    333° cos=0.891
    334° cos=0.8988
    335° cos=0.9063
    336° cos=0.9135
    337° cos=0.9205
    338° cos=0.9272
    339° cos=0.9336
    340° cos=0.9397
    341° cos=0.9455
    342° cos=0.9511
    343° cos=0.9563
    344° cos=0.9613
    345° cos=0.9659
    346° cos=0.9703
    347° cos=0.9744
    348° cos=0.9781
    349° cos=0.9816
    350° cos=0.9848
    351° cos=0.9877
    352° cos=0.9903
    353° cos=0.9925
    354° cos=0.9945
    355° cos=0.9962
    356° cos=0.9976
    357° cos=0.9986
    358° cos=0.9994
    359° cos=0.9998
    360° cos=1
    таблица косинусов, косинусы углов в угловых градусах ,cos α, cosinus, сколько составляет косинус?, узнать косинус, косинус градусов

    Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций

    Доп. Инфо:

    1. Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов.
    2. Таблица синусов, она-же косинусов точная.
    3. Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.
    4. Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
    5. Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений котангенса, ctg
    6. Таблица тангенсов, она же котангенсов точная.
    7. Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.
    8. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
    9. Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
    10. Таблица соответствия угловых градусов, радиан, оборотов, тысячных (артиллерийских РФ). 0-360 градусов, 0-2π радиан.

    tehtab.ru

    Таблица косинусов — 2mb.ru

    Таблица косинусов является одной из основных таблиц, которые используются в геометрии.

    В ней представлены косинусы углов от 0 до 360 градусов.  Таблица позволяет решать математические задачи, в которых необходимо использовать тригонометрические данные без применения расчетов и калькулятора.

    Таблица косинусов 0° – 180°.

    cos(1°)0.9998
    cos(2°)0.9994
    cos(3°)0.9986
    cos(4°)0.9976
    cos(5°)0.9962
    cos(6°)0.9945
    cos(7°)0.9925
    cos(8°)0.9903
    cos(9°)0.9877
    cos(10°)0.9848
    cos(11°)0.9816
    cos(12°)0.9781
    cos(13°)0.9744
    cos(14°)0.9703
    cos(15°)0.9659
    cos(16°)0.9613
    cos(17°)0.9563
    cos(18°)0.9511
    cos(19°)0.9455
    cos(20°)0.9397
    cos(21°)0.9336
    cos(22°)0.9272
    cos(23°)0.9205
    cos(24°)0.9135
    cos(25°)0.9063
    cos(26°)0.8988
    cos(27°)0.891
    cos(28°)0.8829
    cos(29°)0.8746
    cos(30°)0.866
    cos(31°)0.8572
    cos(32°)0.848
    cos(33°)0.8387
    cos(34°)0.829
    cos(35°)0.8192
    cos(36°)0.809
    cos(37°)0.7986
    cos(38°)0.788
    cos(39°)0.7771
    cos(40°)0.766
    cos(41°)0.7547
    cos(42°)0.7431
    cos(43°)0.7314
    cos(44°)0.7193
    cos(45°)0.7071
    cos(46°)0.6947
    cos(47°)0.682
    cos(48°)0.6691
    cos(49°)0.6561
    cos(50°)0.6428
    cos(51°)0.6293
    cos(52°)0.6157
    cos(53°)0.6018
    cos(54°)0.5878
    cos(55°)0.5736
    cos(56°)0.5592
    cos(57°)0.5446
    cos(58°)0.5299
    cos(59°)0.515
    cos(60°)0.5
    cos(61°)0.4848
    cos(62°)0.4695
    cos(63°)0.454
    cos(64°)0.4384
    cos(65°)0.4226
    cos(66°)0.4067
    cos(67°)0.3907
    cos(68°)0.3746
    cos(69°)0.3584
    cos(70°)0.342
    cos(71°)0.3256
    cos(72°)0.309
    cos(73°)0.2924
    cos(74°)0.2756
    cos(75°)0.2588
    cos(76°)0.2419
    cos(77°)0.225
    cos(78°)0.2079
    cos(79°)0.1908
    cos(80°)0.1736
    cos(81°)0.1564
    cos(82°)0.1392
    cos(83°)0.1219
    cos(84°)0.1045
    cos(85°)0.0872
    cos(86°)0.0698
    cos(87°)0.0523
    cos(88°)0.0349
    cos(89°)0.0175
    cos(90°)0
    cos(91°)-0.0175
    cos(92°)-0.0349
    cos(93°)-0.0523
    cos(94°)-0.0698
    cos(95°)-0.0872
    cos(96°)-0.1045
    cos(97°)-0.1219
    cos(98°)-0.1392
    cos(99°)-0.1564
    cos(100°)-0.1736
    cos(101°)-0.1908
    cos(102°)-0.2079
    cos(103°)-0.225
    cos(104°)-0.2419
    cos(105°)-0.2588
    cos(106°)-0.2756
    cos(107°)-0.2924
    cos(108°)-0.309
    cos(109°)-0.3256
    cos(110°)-0.342
    cos(111°)-0.3584
    cos(112°)-0.3746
    cos(113°)-0.3907
    cos(114°)-0.4067
    cos(115°)-0.4226
    cos(116°)-0.4384
    cos(117°)-0.454
    cos(118°)-0.4695
    cos(119°)-0.4848
    cos(120°)-0.5
    cos(121°)-0.515
    cos(122°)-0.5299
    cos(123°)-0.5446
    cos(124°)-0.5592
    cos(125°)-0.5736
    cos(126°)-0.5878
    cos(127°)-0.6018
    cos(128°)-0.6157
    cos(129°)-0.6293
    cos(130°)-0.6428
    cos(131°)-0.6561
    cos(132°)-0.6691
    cos(133°)-0.682
    cos(134°)-0.6947
    cos(135°)-0.7071
    cos(136°)-0.7193
    cos(137°)-0.7314
    cos(138°)-0.7431
    cos(139°)-0.7547
    cos(140°)-0.766
    cos(141°)-0.7771
    cos(142°)-0.788
    cos(143°)-0.7986
    cos(144°)-0.809
    cos(145°)-0.8192
    cos(146°)-0.829
    cos(147°)-0.8387
    cos(148°)-0.848
    cos(149°)-0.8572
    cos(150°)-0.866
    cos(151°)-0.8746
    cos(152°)-0.8829
    cos(153°)-0.891
    cos(154°)-0.8988
    cos(155°)-0.9063
    cos(156°)-0.9135
    cos(157°)-0.9205
    cos(158°)-0.9272
    cos(159°)-0.9336
    cos(160°)-0.9397
    cos(161°)-0.9455
    cos(162°)-0.9511
    cos(163°)-0.9563
    cos(164°)-0.9613
    cos(165°)-0.9659
    cos(166°)-0.9703
    cos(167°)-0.9744
    cos(168°)-0.9781
    cos(169°)-0.9816
    cos(170°)-0.9848
    cos(171°)-0.9877
    cos(172°)-0.9903
    cos(173°)-0.9925
    cos(174°)-0.9945
    cos(175°)-0.9962
    cos(176°)-0.9976
    cos(177°)-0.9986
    cos(178°)-0.9994
    cos(179°)-0.9998
    cos(180°)-1

    Таблица косинусов 180° – 360°.

    cos(181°)-0.9998
    cos(182°)-0.9994
    cos(183°)-0.9986
    cos(184°)-0.9976
    cos(185°)-0.9962
    cos(186°)-0.9945
    cos(187°)-0.9925
    cos(188°)-0.9903
    cos(189°)-0.9877
    cos(190°)-0.9848
    cos(191°)-0.9816
    cos(192°)-0.9781
    cos(193°)-0.9744
    cos(194°)-0.9703
    cos(195°)-0.9659
    cos(196°)-0.9613
    cos(197°)-0.9563
    cos(198°)-0.9511
    cos(199°)-0.9455
    cos(200°)-0.9397
    cos(201°)-0.9336
    cos(202°)-0.9272
    cos(203°)-0.9205
    cos(204°)-0.9135
    cos(205°)-0.9063
    cos(206°)-0.8988
    cos(207°)-0.891
    cos(208°)-0.8829
    cos(209°)-0.8746
    cos(210°)-0.866
    cos(211°)-0.8572
    cos(212°)-0.848
    cos(213°)-0.8387
    cos(214°)-0.829
    cos(215°)-0.8192
    cos(216°)-0.809
    cos(217°)-0.7986
    cos(218°)-0.788
    cos(219°)-0.7771
    cos(220°)-0.766
    cos(221°)-0.7547
    cos(222°)-0.7431
    cos(223°)-0.7314
    cos(224°)-0.7193
    cos(225°)-0.7071
    cos(226°)-0.6947
    cos(227°)-0.682
    cos(228°)-0.6691
    cos(229°)-0.6561
    cos(230°)-0.6428
    cos(231°)-0.6293
    cos(232°)-0.6157
    cos(233°)-0.6018
    cos(234°)-0.5878
    cos(235°)-0.5736
    cos(236°)-0.5592
    cos(237°)-0.5446
    cos(238°)-0.5299
    cos(239°)-0.515
    cos(240°)-0.5
    cos(241°)-0.4848
    cos(242°)-0.4695
    cos(243°)-0.454
    cos(244°)-0.4384
    cos(245°)-0.4226
    cos(246°)-0.4067
    cos(247°)-0.3907
    cos(248°)-0.3746
    cos(249°)-0.3584
    cos(250°)-0.342
    cos(251°)-0.3256
    cos(252°)-0.309
    cos(253°)-0.2924
    cos(254°)-0.2756
    cos(255°)-0.2588
    cos(256°)-0.2419
    cos(257°)-0.225
    cos(258°)-0.2079
    cos(259°)-0.1908
    cos(260°)-0.1736
    cos(261°)-0.1564
    cos(262°)-0.1392
    cos(263°)-0.1219
    cos(264°)-0.1045
    cos(265°)-0.0872
    cos(266°)-0.0698
    cos(267°)-0.0523
    cos(268°)-0.0349
    cos(269°)-0.0175
    cos(270°)-0
    cos(271°)0.0175
    cos(272°)0.0349
    cos(273°)0.0523
    cos(274°)0.0698
    cos(275°)0.0872
    cos(276°)0.1045
    cos(277°)0.1219
    cos(278°)0.1392
    cos(279°)0.1564
    cos(280°)0.1736
    cos(281°)0.1908
    cos(282°)0.2079
    cos(283°)0.225
    cos(284°)0.2419
    cos(285°)0.2588
    cos(286°)0.2756
    cos(287°)0.2924
    cos(288°)0.309
    cos(289°)0.3256
    cos(290°)0.342
    cos(291°)0.3584
    cos(292°)0.3746
    cos(293°)0.3907
    cos(294°)0.4067
    cos(295°)0.4226
    cos(296°)0.4384
    cos(297°)0.454
    cos(298°)0.4695
    cos(299°)0.4848
    cos(300°)0.5
    cos(301°)0.515
    cos(302°)0.5299
    cos(303°)0.5446
    cos(304°)0.5592
    cos(305°)0.5736
    cos(306°)0.5878
    cos(307°)0.6018
    cos(308°)0.6157
    cos(309°)0.6293
    cos(310°)0.6428
    cos(311°)0.6561
    cos(312°)0.6691
    cos(313°)0.682
    cos(314°)0.6947
    cos(315°)0.7071
    cos(316°)0.7193
    cos(317°)0.7314
    cos(318°)0.7431
    cos(319°)0.7547
    cos(320°)0.766
    cos(321°)0.7771
    cos(322°)0.788
    cos(323°)0.7986
    cos(324°)0.809
    cos(325°)0.8192
    cos(326°)0.829
    cos(327°)0.8387
    cos(328°)0.848
    cos(329°)0.8572
    cos(330°)0.866
    cos(331°)0.8746
    cos(332°)0.8829
    cos(333°)0.891
    cos(334°)0.8988
    cos(335°)0.9063
    cos(336°)0.9135
    cos(337°)0.9205
    cos(338°)0.9272
    cos(339°)0.9336
    cos(340°)0.9397
    cos(341°)0.9455
    cos(342°)0.9511
    cos(343°)0.9563
    cos(344°)0.9613
    cos(345°)0.9659
    cos(346°)0.9703
    cos(347°)0.9744
    cos(348°)0.9781
    cos(349°)0.9816
    cos(350°)0.9848
    cos(351°)0.9877
    cos(352°)0.9903
    cos(353°)0.9925
    cos(354°)0.9945
    cos(355°)0.9962
    cos(356°)0.9976
    cos(357°)0.9986
    cos(358°)0.9994
    cos(359°)0.9998
    cos(360°)1

    2mb.ru

    Таблица КОСИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов


    КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…

    Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
    α (радианы)0π/6π/4π/3π/2π3π/2
    α (градусы)30°45°60°90°180°270°360°
    cos α (Косинус)13/22/21/20-101

    Полная таблица косинусов для углов от 0° до  360° 
    Угол в градусах Cos (Косинус)
    1
    0.9998
    0.9994
    0.9986
    0.9976
    0.9962
    0.9945
    0.9925
    0.9903
    0.9877
    10°0.9848
    11°0.9816
    12°0.9781
    13°0.9744
    14°0.9703
    15°0.9659
    16°0.9613
    17°0.9563
    18°0.9511
    19°0.9455
    20°0.9397
    21°0.9336
    22°0.9272
    23°0.9205
    24°0.9135
    25°0.9063
    26°0.8988
    27°0.891
    28°0.8829
    29°0.8746
    30°0.866
    31°0.8572
    32°0.848
    33°0.8387
    34°0.829
    35°0.8192
    36°0.809
    37°0.7986
    38°0.788
    39°0.7771
    40°0.766
    41°0.7547
    42°0.7431
    43°0.7314
    44°0.7193
    45°0.7071
    46°0.6947
    47°0.682
    48°0.6691
    49°0.6561
    50°0.6428
    51°0.6293
    52°0.6157
    53°0.6018
    54°0.5878
    55°0.5736
    56°0.5592
    57°0.5446
    58°0.5299
    59°0.515
    60°0.5
    61°0.4848
    62°0.4695
    63°0.454
    64°0.4384
    65°0.4226
    66°0.4067
    67°0.3907
    68°0.3746
    69°0.3584
    70°0.342
    71°0.3256
    72°0.309
    73°0.2924
    74°0.2756
    75°0.2588
    76°0.2419
    77°0.225
    78°0.2079
    79°0.1908
    80°0.1736
    81°0.1564
    82°0.1392
    83°0.1219
    84°0.1045
    85°0.0872
    86°0.0698
    87°0.0523
    88°0.0349
    89°0.0175
    90°0

     

    Таблица косинусов для углов от 91° до 180°
    Уголcos (Косинус)
    91°-0.0175
    92°-0.0349
    93°-0.0523
    94°-0.0698
    95°-0.0872
    96°-0.1045
    97°-0.1219
    98°-0.1392
    99°-0.1564
    100°-0.1736
    101°-0.1908
    102°-0.2079
    103°-0.225
    104°-0.2419
    105°-0.2588
    106°-0.2756
    107°-0.2924
    108°-0.309
    109°-0.3256
    110°-0.342
    111°-0.3584
    112°-0.3746
    113°-0.3907
    114°-0.4067
    115°-0.4226
    116°-0.4384
    117°-0.454
    118°-0.4695
    119°-0.4848
    120°-0.5
    121°-0.515
    122°-0.5299
    123°-0.5446
    124°-0.5592
    125°-0.5736
    126°-0.5878
    127°-0.6018
    128°-0.6157
    129°-0.6293
    130°-0.6428
    131°-0.6561
    132°-0.6691
    133°-0.682
    134°-0.6947
    135°-0.7071
    136°-0.7193
    137°-0.7314
    138°-0.7431
    139°-0.7547
    140°-0.766
    141°-0.7771
    142°-0.788
    143°-0.7986
    144°-0.809
    145°-0.8192
    146°-0.829
    147°-0.8387
    148°-0.848
    149°-0.8572
    150°-0.866
    151°-0.8746
    152°-0.8829
    153°-0.891
    154°-0.8988
    155°-0.9063
    156°-0.9135
    157°-0.9205
    158°-0.9272
    159°-0.9336
    160°-0.9397
    161°-0.9455
    162°-0.9511
    163°-0.9563
    164°-0.9613
    165°-0.9659
    166°-0.9703
    167°-0.9744
    168°-0.9781
    169°-0.9816
    170°-0.9848
    171°-0.9877
    172°-0.9903
    173°-0.9925
    174°-0.9945
    175°-0.9962
    176°-0.9976
    177°-0.9986
    178°-0.9994
    179°-0.9998
    180°-1

    Таблица косинусов для углов от 180° до 270°
    Уголcos (косинус)
    181°-0.9998
    182°-0.9994
    183°-0.9986
    184°-0.9976
    185°-0.9962
    186°-0.9945
    187°-0.9925
    188°-0.9903
    189°-0.9877
    190°-0.9848
    191°-0.9816
    192°-0.9781
    193°-0.9744
    194°-0.9703
    195°-0.9659
    196°-0.9613
    197°-0.9563
    198°-0.9511
    199°-0.9455
    200°-0.9397
    201°-0.9336
    202°-0.9272
    203°-0.9205
    204°-0.9135
    205°-0.9063
    206°-0.8988
    207°-0.891
    208°-0.8829
    209°-0.8746
    210°-0.866
    211°-0.8572
    212°-0.848
    213°-0.8387
    214°-0.829
    215°-0.8192
    216°-0.809
    217°-0.7986
    218°-0.788
    219°-0.7771
    220°-0.766
    221°-0.7547
    222°-0.7431
    223°-0.7314
    224°-0.7193
    225°-0.7071
    226°-0.6947
    227°-0.682
    228°-0.6691
    229°-0.6561
    230°-0.6428
    231°-0.6293
    232°-0.6157
    233°-0.6018
    234°-0.5878
    235°-0.5736
    236°-0.5592
    237°-0.5446
    238°-0.5299
    239°-0.515
    240°-0.5
    241°-0.4848
    242°-0.4695
    243°-0.454
    244°-0.4384
    245°-0.4226
    246°-0.4067
    247°-0.3907
    248°-0.3746
    249°-0.3584
    250°-0.342
    251°-0.3256
    252°-0.309
    253°-0.2924
    254°-0.2756
    255°-0.2588
    256°-0.2419
    257°-0.225
    258°-0.2079
    259°-0.1908
    260°-0.1736
    261°-0.1564
    262°-0.1392
    263°-0.1219
    264°-0.1045
    265°-0.0872
    266°-0.0698
    267°-0.0523
    268°-0.0349
    269°-0.0175
    270°0

    Таблица косинусов для углов от 270° до 360°
    УголCos (Косинус)
    271°0.0175
    272°0.0349
    273°0.0523
    274°0.0698
    275°0.0872
    276°0.1045
    277°0.1219
    278°0.1392
    279°0.1564
    280°0.1736
    281°0.1908
    282°0.2079
    283°0.225
    284°0.2419
    285°0.2588
    286°0.2756
    287°0.2924
    288°0.309
    289°0.3256
    290°0.342
    291°0.3584
    292°0.3746
    293°0.3907
    294°0.4067
    295°0.4226
    296°0.4384
    297°0.454
    298°0.4695
    299°0.4848
    300°0.5
    301°0.515
    302°0.5299
    303°0.5446
    304°0.5592
    305°0.5736
    306°0.5878
    307°0.6018
    308°0.6157
    309°0.6293
    310°0.6428
    311°0.6561
    312°0.6691
    313°0.682
    314°0.6947
    315°0.7071
    316°0.7193
    317°0.7314
    318°0.7431
    319°0.7547
    320°0.766
    321°0.7771
    322°0.788
    323°0.7986
    324°0.809
    325°0.8192
    326°0.829
    327°0.8387
    328°0.848
    329°0.8572
    330°0.866
    331°0.8746
    332°0.8829
    333°0.891
    334°0.8988
    335°0.9063
    336°0.9135
    337°0.9205
    338°0.9272
    339°0.9336
    340°0.9397
    341°0.9455
    342°0.9511
    343°0.9563
    344°0.9613
    345°0.9659
    346°0.9703
    347°0.9744
    348°0.9781
    349°0.9816
    350°0.9848
    351°0.9877
    352°0.9903
    353°0.9925
    354°0.9945
    355°0.9962
    356°0.9976
    357°0.9986
    358°0.9994
    359°0.9998
    360°1

    Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

    Пример

    Чему равен косинус 30? …

    — Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ:  0.866


    Автор: Bill4iam


    kvn201.com.ua

    Таблица косинусов | umath.ru

    cos(271°) = 0,017452
    cos(272°) = 0,034899
    cos(273°) = 0,052336
    cos(274°) = 0,069756
    cos(275°) = 0,087156
    cos(276°) = 0,104528
    cos(277°) = 0,121869
    cos(278°) = 0,139173
    cos(279°) = 0,156434
    cos(280°) = 0,173648
    cos(281°) = 0,190809
    cos(282°) = 0,207912
    cos(283°) = 0,224951
    cos(284°) = 0,241922
    cos(285°) = 0,258819
    cos(286°) = 0,275637
    cos(287°) = 0,292372
    cos(288°) = 0,309017
    cos(289°) = 0,325568
    cos(290°) = 0,342020
    cos(291°) = 0,358368
    cos(292°) = 0,374607
    cos(293°) = 0,390731
    cos(294°) = 0,406737
    cos(295°) = 0,422618
    cos(296°) = 0,438371
    cos(297°) = 0,453990
    cos(298°) = 0,469472
    cos(299°) = 0,484810
    cos(300°) = 0,5
    cos(301°) = 0,515038
    cos(302°) = 0,529919
    cos(303°) = 0,544639
    cos(304°) = 0,559193
    cos(305°) = 0,573576
    cos(306°) = 0,587785
    cos(307°) = 0,601815
    cos(308°) = 0,615661
    cos(309°) = 0,629320
    cos(310°) = 0,642788
    cos(311°) = 0,656059
    cos(312°) = 0,669131
    cos(313°) = 0,681998
    cos(314°) = 0,694658
    cos(315°) = 0,707107
    cos(316°) = 0,719340
    cos(317°) = 0,731354
    cos(318°) = 0,743145
    cos(319°) = 0,754710
    cos(320°) = 0,766044
    cos(321°) = 0,777146
    cos(322°) = 0,788011
    cos(323°) = 0,798636
    cos(324°) = 0,809017
    cos(325°) = 0,819152
    cos(326°) = 0,829038
    cos(327°) = 0,838671
    cos(328°) = 0,848048
    cos(329°) = 0,857167
    cos(330°) = 0,866025
    cos(331°) = 0,874620
    cos(332°) = 0,882948
    cos(333°) = 0,891007
    cos(334°) = 0,898794
    cos(335°) = 0,906308
    cos(336°) = 0,913545
    cos(337°) = 0,920505
    cos(338°) = 0,927184
    cos(339°) = 0,933580
    cos(340°) = 0,939693
    cos(341°) = 0,945519
    cos(342°) = 0,951057
    cos(343°) = 0,956305
    cos(344°) = 0,961262
    cos(345°) = 0,965926
    cos(346°) = 0,970296
    cos(347°) = 0,974370
    cos(348°) = 0,978148
    cos(349°) = 0,981627
    cos(350°) = 0,984808
    cos(351°) = 0,987688
    cos(352°) = 0,990268
    cos(353°) = 0,992546
    cos(354°) = 0,994522
    cos(355°) = 0,996195
    cos(356°) = 0,997564
    cos(357°) = 0,998630
    cos(358°) = 0,999391
    cos(359°) = 0,999848
    cos(360°) = 1,0

    umath.ru

    Таблица косинусов. Косинусы углов от 0°

    Угол

    Cos

    cos= 0.9998
    cos= 0.9994
    cos= 0.9986
    cos= 0.9976
    cos= 0.9962
    cos= 0.9945
    cos= 0.9925
    cos= 0.9903
    cos= 0.9877
    10° cos= 0.9848
    11° cos= 0.9816
    12° cos= 0.9781
    13° cos= 0.9744
    14° cos= 0.9703
    15° cos= 0.9659
    16° cos= 0.9613
    17° cos= 0.9563
    18° cos= 0.9511
    19° cos= 0.9455
    20° cos= 0.9397
    21° cos= 0.9336
    22° cos= 0.9272
    23° cos= 0.9205
    24° cos= 0.9135
    25° cos= 0.9063
    26° cos= 0.8988
    27° cos= 0.891
    28° cos= 0.8829
    29° cos= 0.8746
    30° cos= 0.866
    31° cos= 0.8572
    32° cos= 0.848
    33° cos= 0.8387
    34° cos= 0.829
    35° cos= 0.8192
    36° cos= 0.809
    37° cos= 0.7986
    38° cos= 0.788
    39° cos= 0.7771
    40° cos= 0.766
    41° cos= 0.7547
    42° cos= 0.7431
    43° cos= 0.7314
    44° cos= 0.7193
    45° cos= 0.7071
    46° cos= 0.6947
    47° cos= 0.682
    48° cos= 0.6691
    49° cos= 0.6561
    50° cos= 0.6428
    51° cos= 0.6293
    52° cos= 0.6157
    53° cos= 0.6018
    54° cos= 0.5878
    55° cos= 0.5736
    56° cos= 0.5592
    57° cos= 0.5446
    58° cos= 0.5299
    59° cos= 0.515
    60° cos= 0.5
    61° cos= 0.4848
    62° cos= 0.4695
    63° cos= 0.454
    64° cos= 0.4384
    65° cos= 0.4226
    66° cos= 0.4067
    67° cos= 0.3907
    68° cos= 0.3746
    69° cos= 0.3584
    70° cos= 0.342
    71° cos= 0.3256
    72° cos= 0.309
    73° cos= 0.2924
    74° cos= 0.2756
    75° cos= 0.2588
    76° cos= 0.2419
    77° cos= 0.225
    78° cos= 0.2079
    79° cos= 0.1908
    80° cos= 0.1736
    81° cos= 0.1564
    82° cos= 0.1392
    83° cos= 0.1219
    84° cos= 0.1045
    85° cos= 0.0872
    86° cos= 0.0698
    87° cos= 0.0523
    88° cos= 0.0349
    89° cos= 0.0175
    90° cos= 0

    Угол

    Cos

    91° cos= -0.0175
    92° cos= -0.0349
    93° cos= -0.0523
    94° cos= -0.0698

    dpva.ru

    Син х 1 2 – sin x = 1 / 2 чему равен х

    sin x = 1 / 2 чему равен х

    Задание.
    Найти значение х при .

    Решение.
    Найти значение аргумента функции синус, при котором он равен какому-либо значению, означает определить, при каких аргументах значение синуса будет именно таким, как указано в условии.
    В данном случае нам нужно выяснить, при каких значениях значение синуса будет равным 1/2. Это можно сделать несколькими способами.
    Например, использовать график функции синус, по которому определить при каких значениях х функция синус будет равна 1/2.
    Другим способом является использование тригонометрического круга. Напомню, что значения синусов лежат на оси Оу.
    Самым распространенным способом является обращение к таблице значений синуса, особенно если речь идет о таких стандартных для этой функции значениях, как 1/2.
    Во всех случаях не стоит забывать об одном из важнейших свойств синуса — о его периоде.
    Найдем в таблице значение 1/2 для синуса и посмотрим какие аргументы ему соответствуют. Интересующие нас аргументы равны Пи / 6 и 5Пи / 6.
    Запишем все корни, которые удовлетворяют заданное уравнение. Для этого записываем интересующий нас неизвестный аргумент х и одно из значений аргумента, полученное из таблицы, то есть Пи / 6. Запишем для него, учитывая период синуса, все значения аргумента:

       

    Возьмем второе значение, и проделаем те же шаги, что и в предыдущем случае:

       

    Полным решением исходного уравнения будет:
    и
    q может принимать значение любого целого числа.

    Ответ. и , q — целое.

    ru.solverbook.com

    Уравнение sin x = a

    Значения синуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ sin α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 корней не имеет.

    Обратимся к некоторым задачам.

    Задача 1.

    Решить уравнение sin x = 1/2.

    Решение.

    Отметим, что sin x – это ордината точки единичной окружности, которая получена в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

    Ордината, равная ½, присутствует у двух точек окружности М1 и М2.

    Так как 1/2 = sin π/6, то точка М1 получается из точки Р (1; 0) посредством поворота на угол х1 = π/6, а также на углы х = π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

    Точка М2 получается из точки Р (1; 0) в результате поворота на угол х2 = 5π/6, а также на углы х = 5π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …, т.е. на углы х = π – π/6 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, ….

    Итак, все корни уравнения sin х = 1/2 можно найти по формулам х = π/6 + 2πk, х = π – π/6 + 2πk, где k € Z.

    Эти формулы могут объединиться в одну: х = (-1)n π/6 + πn, где n € Z     (1).

    Действительно, если n – четное число, т.е. n = 2k, то из формулы (1) получаем х = π/6 + 2πk, а если n – нечетное число, т.е. n = 2k + 1, то из формулы (1) получаем х = π – π/6 + 2πk.

    Ответ. х = (-1)n π/6 + πn, где n € Z.

    Задача 2.

    Решить уравнение sin x = -1/2.

    Решение.

    Ординату -1/2 имеют две точки единичной окружности М1 и М2, где х1 = -π/6, х2 = -5π/6. Следовательно, все корни уравнения sin x = -1/2 можно найти по формулам х = -π/6 + 2πk, х = -5π/6 + 2πk, k € Z.

    Эти формулы мы можем объединить в одну: х = (-1)n (-π/6) + πn, n € Z    (2).

    Действительно, если n = 2k, то по формуле (2) получаем х = -π/6 + 2πk, а если n = 2k – 1, то по формуле (2) находим х = -5π/6 + 2πk.

    Ответ. х = (-1)n (-π/6) + πn, n € Z.

    Таким образом, каждое из уравнений sin x = 1/2 и sin x = -1/2 имеет бесконечное множество корней.

    На отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 каждое из этих уравнений имеет только один корень:
    х1 = π/6 – корень уравнения sin x = 1/2 и х1 = -π/6 – корень уравнения sin x = -1/2.

    Число π/6 называют арксинусом числа 1/2 и записывают: arcsin 1/2 = π/6; число -π/6 называют арксинусом числа -1/2 и пишут: arcsin (-1/2) = -π/6.

    Вообще уравнение sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, на отрезке -π/2 ≤ х ≤ π/2 имеет лишь один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке [0; π/2]; если а < 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

    Таким образом, арксинусом числа а € [–1; 1] называется такое число а € [–π/2; π/2], синус которого равен а.

    аrcsin а = α, если sin α = а и -π/2 ≤ х ≤ π/2        (3).

    Например, аrcsin √2/2 = π/4, так как sin π/4 = √2/2 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
    аrcsin (-√3/2) = -π/3, так как sin (-π/3) = -√3/2 и – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

    Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что корни уравнения sin х = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

    х = (-1)n аrcsin а + πn, n € Z          (4).

    Также мы можем доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула аrcsin (-а) = -аrcsin а.

    Из формулы (4) следует, что корни уравнения
    sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить по более простым формулам:

    sin х = 0           х = πn, n € Z                        (5)

    sin х = 1           х = π/2 + 2πn, n € Z          (6)

    sin х = -1        х = -π/2 + 2πn, n € Z          (7)

    © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    blog.tutoronline.ru

    Производная sqrt(sin(x)^2-2*sin(x)+1)

    Дано

    $$\sqrt{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1}$$

    Подробное решение

    1. Заменим
      u = \sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1
      .

    2. В силу правила, применим:
      \sqrt{u}
      получим
      \frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1\right)
      :

      1. дифференцируем
        \sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1
        почленно:

        1. дифференцируем
          \sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )}
          почленно:

          1. Заменим
            u = \sin{\left (x \right )}
            .

          2. В силу правила, применим:
            u^{2}
            получим
            2 u

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            \frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}
            :

            1. Производная синуса есть косинус:

              \frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

            В результате последовательности правил:

            2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

          4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. Производная синуса есть косинус:

                \frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

              Таким образом, в результате:
              2 \cos{\left (x \right )}

            Таким образом, в результате:
            — 2 \cos{\left (x \right )}

          В результате:
          2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (x \right )}

        2. Производная постоянной
          1
          равна нулю.

        В результате:
        2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      \frac{2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 2 \cos{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1}}

    4. Теперь упростим:

      \frac{\left(\sin{\left (x \right )} — 1\right) \cos{\left (x \right )}}{\sqrt{\left(\sin{\left (x \right )} — 1\right)^{2}}}


    Ответ:

    \frac{\left(\sin{\left (x \right )} — 1\right) \cos{\left (x \right )}}{\sqrt{\left(\sin{\left (x \right )} — 1\right)^{2}}}

    Первая производная

    -cos(x) + cos(x)*sin(x)
    —————————
    ________________________
    / 2
    / sin (x) — 2*sin(x) + 1

    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )}}{\sqrt{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1}}$$

    Вторая производная

    2 2
    2 2 (-1 + sin(x)) *cos (x)
    cos (x) — sin (x) — ———————- + sin(x)
    2
    1 + sin (x) — 2*sin(x)
    —————————————————
    ________________________
    / 2
    / 1 + sin (x) — 2*sin(x)

    $$\frac{1}{\sqrt{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1}} \left(- \frac{\left(\sin{\left (x \right )} — 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1} — \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$

    Третья производная

    / / 2 2 3 2
    | 3*(-1 + sin(x))*\cos (x) — sin (x) + sin(x)/ 3*(-1 + sin(x)) *cos (x)|
    |1 — 4*sin(x) — ——————————————— + ————————-|*cos(x)
    | 2 2|
    | 1 + sin (x) — 2*sin(x) / 2 |
    1 + sin (x) — 2*sin(x)/ /
    ————————————————————————————————
    ________________________
    / 2
    / 1 + sin (x) — 2*sin(x)

    $$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1}} \left(\frac{3 \left(\sin{\left (x \right )} — 1\right)^{3} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} — \frac{3 \left(\sin{\left (x \right )} — 1\right) \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\sin^{2}{\left (x \right )} — 2 \sin{\left (x \right )} + 1} — 4 \sin{\left (x \right )} + 1\right)$$

    Загрузка… a=x/b 8^2-16*a+4*a-2 если a=-4 (упростите выражение) >>

    uchimatchast.ru

    Производная (x^2+1)^sin(x)

    Дано

    $$\left(x^{2} + 1\right)^{\sin{\left (x \right )}}$$

    Подробное решение

    1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

      Но производная

      \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1\right) \sin^{\sin{\left (x \right )}}{\left (x \right )}


    Ответ:

    \left(\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + 1\right) \sin^{\sin{\left (x \right )}}{\left (x \right )}

    Первая производная

    sin(x)
    / 2 / / 2 2*x*sin(x)
    x + 1/ *|cos(x)*logx + 1/ + ———-|
    | 2 |
    x + 1 /

    $$\left(x^{2} + 1\right)^{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} + \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

    Вторая производная

    sin(x) / 2 2
    / 2 |/ / 2 2*x*sin(x) / 2 2*sin(x) 4*x *sin(x) 4*x*cos(x)|
    1 + x / *||cos(x)*log1 + x / + ———-| — log1 + x /*sin(x) + ——— — ———— + ———-|
    || 2 | 2 2 2 |
    | 1 + x / 1 + x / 2 1 + x |
    1 + x / /

    $$\left(x^{2} + 1\right)^{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{4 x^{2} \sin{\left (x \right )}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x \cos{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} + \left(\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} + \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)^{2} — \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1}\right)$$

    Третья производная

    sin(x) / 3 / 2 2 3
    / 2 |/ / 2 2*x*sin(x) / 2 / / 2 2*x*sin(x) | / 2 2*sin(x) 4*x*cos(x) 4*x *sin(x)| 6*cos(x) 12*x*sin(x) 12*x *cos(x) 6*x*sin(x) 16*x *sin(x)|
    1 + x / *||cos(x)*log1 + x / + ———-| — cos(x)*log1 + x / — 3*|cos(x)*log1 + x / + ———-|*|log1 + x /*sin(x) — ——— — ———- + ————| + ——— — ———— — ———— — ———- + ————|
    || 2 | | 2 | | 2 2 2 | 2 2 2 2 3 |
    | 1 + x / 1 + x / | 1 + x 1 + x / 2 | 1 + x / 2 / 2 1 + x / 2 |
    1 + x / / 1 + x / 1 + x / 1 + x / /

    $$\left(x^{2} + 1\right)^{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{16 x^{3} \sin{\left (x \right )}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} — \frac{12 x^{2} \cos{\left (x \right )}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — \frac{6 x \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} — \frac{12 x \sin{\left (x \right )}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \left(\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} + \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )}\right)^{3} — 3 \left(\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} + \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \left(\frac{4 x^{2} \sin{\left (x \right )}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — \frac{4 x \cos{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} + \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \sin{\left (x \right )} — \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x^{2} + 1}\right) — \log{\left (x^{2} + 1 \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{x^{2} + 1}\right)$$ Загрузка… a*x+b*y+c=0 2*(25*sin(x)^2+(-3+5*x)^2*cos(x)^2-(-3+5*x)^2*sin(x)^2+20*(-3+5*x)*cos(x)*sin(x)) если x=1 (упростите выражение) >>

    uchimatchast.ru

    sin(x)^2-4*sin(x)

    Дано неравенство:
    $$\sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin{\left (x \right )} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin{\left (x \right )} = 0$$
    преобразуем
    $$\left(\sin{\left (x \right )} — 4\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
    $$\sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin{\left (x \right )} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида

    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
    где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -4$$
    $$c = 0$$
    , то

    D = b^2 — 4 * a * c =

    (-4)^2 — 4 * (1) * (0) = 16

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b — sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = 4$$
    $$w_{2} = 0$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    — это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + {asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n — {asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + {asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n — {asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    , где n — любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + {asin}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + {asin}{\left (4 \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + {asin}{\left (4 \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + {asin}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + {asin}{\left (0 \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n$$
    $$x_{3} = 2 \pi n — {asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi — {asin}{\left (4 \right )}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \pi — {asin}{\left (4 \right )}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n — {asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n — {asin}{\left (0 \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \pi$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \pi$$
    $$x_{3} = \pi — {asin}{\left (4 \right )}$$
    $$x_{4} = {asin}{\left (4 \right )}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \pi$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \pi$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin^{2}{\left (x \right )} — 4 \sin{\left (x \right )}

    2
    sin (-1/10) — 4*sin(-1/10)

    2
    sin (1/10) + 4*sin(1/10)

    но

    2
    sin (1/10) + 4*sin(1/10) > 0

    Тогда
    $$x не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 0 \wedge x

    _____
    /
    ——-ο——-ο——-
    x1 x2

    uchimatchast.ru

    1) 10 sin 2x +29 sin x-29 cos x =31 2) 6sin^2 x-3sinx…

    Таки решил!
    10sin 2x + 29sin x — 29cos x = 31
    20sin x*cos x + 29sin x — 29cos x = 31
    29(sin x — cos x) = 31 — 20sin x*cos x
    29(sin x — cos x) = 10(sin^2 x + cos^2 x) — 20sin x*cos x + 21
    29(sin x — cos x) = 10(sin x — cos x)^2 + 21

    Замена sin x — cos x = y
    10y^2 — 29y + 21 = 0
    D = 29^2 — 4*10*21 = 841 — 840 = 1
    y1 = sin x — cos x = (29 — 1)/20 = 28/20 = 7/5
    y2 = sin x — cos x = (29 + 1)/20 = 30/20 = 3/2

    Есть формула
    sin x — cos x = √2*(1/√2*sin x — 1/√2*cos x) =
    = √2*(sin x*cos(pi/4) — cos x*sin(pi/4)) = √2*sin(x — pi/4)

    Находим х
    a) sin x — cos x = √2*sin(x — pi/4) = 7/5
    sin(x — pi/4) = 7/(5√2) = 7√2/10 ~ 0,98995 < 1
    x — pi/4 = (-1)^n*arcsin (7√2/10) + pi*n
    x = pi/4 + (-1)^n*arcsin (7√2/10) + pi*n

    b) sin x — cos x = √2*sin(x — pi/4) = 3/2
    sin(x — pi/4) = 3/(2√2) = 3√2/4 ~ 1,06066 > 1
    Решений нет
    Ответ: x = pi/4 + (-1)^n*arcsin (7√2/10) + pi*n

    2) 6sin^2 x — 3sin x*cos x — cos^2 x = 1 = sin^2 x + cos^2 x
    5sin^2 x — 3sin x*cos x — 2cos^2 x = 0
    Делим все на cos^2 x
    5tg^2 x — 3tg x — 2 = 0
    Квадратное уравнение относительно tg x
    (tg x — 1)(5tg x + 2) = 0
    a) tg x = 1; x = pi/4 + pi*k
    b) tg x = -2/5; x = -arctg(2/5) + pi*k

    3) 3tg^2 x — 4cos^2 x = 8
    3sin^2 x / cos^2 x — 4cos^2 x — 8 = 0
    Умножаем все на cos^2 x
    3sin^2 x — 4cos^4 x — 8cos^2 x = 0
    3 — 3cos^2 x — 4cos^4 x — 8cos^2 x = 0
    Замена cos^2 x = y, 0 <= y <= 1 при любом х
    4y^2 + 11y — 3 = 0
    (y + 3)(4y — 1) = 0
    y1 = cos^2 x = -3 < 0 — решений нет
    y2 = cos^2 x = 1/4
    a) cos x = -1/2; x1 = 2pi/3 + 2pi*k; x2 = 4pi/3 + 2pi*k
    b) cos x = 1/2; x3 = pi/3 + 2pi*n; x4 = -pi/3 + 2pi*n

    4) 5sin 2x — 12(sin x — cos x) + 12 = 0
    Решается также, как 1)
    10sin x*cos x + 12 = 12(sin x — cos x)
    10sin x*cos x — 5 + 17 = 12(sin x — cos x)
    -(5sin^2 x + 5cos^2 x — 10sin x*cos x) + 17 = 12(sin x — cos x)
    -5(sin x — cos x)^2 + 17 = 12(sin x — cos x)

    Замена sin x — cos x = y.
    -5y^2 + 17 = 12y
    5y^2 + 12y — 17 = 0
    (y — 1)(5y + 17) = 0

    y1 = sin x — cos x = √2*sin(x — pi/4) = 1
    sin(x — pi/4) = 1/√2
    x1 — pi/4 = pi/4 + 2pi*n; x1 = pi/2 + 2pi*n
    x2 — pi/4 = 3pi/4 + 2pi*n; x2 = pi + 2pi*n

    y2 = sin x — cos x = √2*sin(x — pi/4) = -17/5
    sin(x — pi/4) = -17/(5√2) = -17√2/10 ~ -2,404 < -1
    Решений нет
    Ответ: x1 = pi/2 + 2pi*n; x2 = pi + 2pi*n

    Оцени ответ

    pomogajka.com

    Общий знаменатель (-sin(x))*sin(x+4*pi/3)*sin(x+2*pi/3)

    Дано

    $$- \sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{4 \pi}{3} \right )} \sin{\left (x + \frac{2 \pi}{3} \right )}$$

    Степени

    $$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}$$

    Численный ответ

    -1.0*sin(x)*sin(x + (2*pi)/3)*sin(x + (4*pi)/3)

    Рациональный знаменатель

    $$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (\frac{1}{3} \left(3 x + \pi\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{6} \left(6 x + \pi\right) \right )}$$

    Объединение рациональных выражений

    $$- \sin{\left (x \right )} \sin{\left (\frac{1}{3} \left(3 x + 2 \pi\right) \right )} \sin{\left (\frac{1}{3} \left(3 x + 4 \pi\right) \right )}$$

    Общее упрощение

    $$\frac{1}{4} \sin{\left (3 x \right )}$$

    Соберем выражение

    $$- \frac{1}{4} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} — \frac{1}{4} \cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}$$

    / 2*pi / 4*pi
    -sin(x)*sin|x + —-|*sin|x + —-|
    3 / 3 /

    $$- \sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{2 \pi}{3} \right )} \sin{\left (x + \frac{4 \pi}{3} \right )}$$

    Общий знаменатель

    / pi / pi
    cos|x + —|*sin(x)*sin|x + —|
    6 / 3 /

    $$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}$$

    Тригонометрическая часть

    $$\frac{1}{4} \sin{\left (3 x \right )}$$

    Комбинаторика

    / pi / pi
    cos|x + —|*sin(x)*sin|x + —|
    6 / 3 /

    $$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} \cos{\left (x + \frac{\pi}{6} \right )}$$

    Раскрыть выражение

    / ___ / ___
    | sin(x) / 3 *cos(x)| | sin(x) / 3 *cos(x)|
    -|- —— + ————|*|- —— — ————|*sin(x)
    2 2 / 2 2 /

    $$- \left(- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{\left (x \right )}\right) \left(- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )}$$

    Загрузка… (x-4)^2=25 -350+47*x/50-7*y/10=0 7*y/10-17*x/50=0 >>

    uchimatchast.ru

    Формулы синуса косинуса и тангенса и котангенса – Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

    Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

    Определения

    Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin \alpha=\dfrac ac\)

     

    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)


     

    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab\)

     

    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba\)

     

    Утверждение

    Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны.

     

    Теорема

    Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса вытекают следующие формулы:

    \[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline &&\\ \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]

    Утверждение

    В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(\angle C\):

     

    \(\sin \angle A=\cos \angle B\)

     

    \(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{ctg}\,\angle B\)


     

    Доказательство

    Утверждение следует непосредственно из определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

     

    Теорема

    Для углов \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) верна следующая таблица:

    \[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}30^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 60^\circ \phantom{000} \\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2\\[4pt] \cos &\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12\\[4pt] \mathrm{tg} &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm{ctg}&\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3\\[4pt] \hline \end{array}}}\]

    Доказательство

    1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\): \(\angle C=90^\circ, \angle A=60^\circ, \angle B=30^\circ\).


     

    На стороне \(BC\) построим равный ему треугольник \(A’BC\), как показано на рисунке.

    Полученный треугольник \(A’BA\) является правильным, т.к. \(\angle A’=\angle A=\angle A’BA=60^\circ\).
    Следовательно, \(A’A=2b=AB=c\), откуда \(b=\dfrac12c\).

    Тогда по теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt3}2c\).

    Теперь по определению \(\sin \angle A=\sin 60^\circ =\dfrac ac=\dfrac{\sqrt3}2\)

    Т.к. по предыдущему утверждению \(\sin \angle A=\cos \angle B\), то \(\cos 30^\circ =\dfrac{\sqrt3}2\).

    Т.к. \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), то \(\mathrm{tg}\,30^\circ=\mathrm{ctg}\,60^\circ=\dfrac{\sqrt3}3\), а \(\mathrm{tg}\,60^\circ=\mathrm{ctg}\,30^\circ=\sqrt3\).

     

    2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\): \(\angle C=90^\circ, \angle A=45^\circ, \angle B=45^\circ\).


     

    Этот треугольник равнобедренный, следовательно, \(BC=AC=a\).

    Тогда по теореме Пифагора \(a^2+a^2=c^2 \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt2}2c\).

    Следовательно, \(\sin \angle A=\cos\angle A=\sin\angle B=\cos \angle B=\dfrac{\sqrt2}2\).

    Из определения следует, что \(\mathrm{tg}\,45^\circ=\mathrm{ctg}\,45^\circ=1\).

     

    Замечание

    Для простоты запоминания таблицы можно записать ее в следующем виде:

    \[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}30^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000} 60^\circ \phantom{000} \\[2pt] \hline &&&\\ \sin &\frac{\sqrt1}2&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2\\[4pt] \cos &\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt1}2\\[4pt] \mathrm{tg} &\frac1{\sqrt3}&1&\sqrt3\\[4pt] \mathrm{ctg}&\sqrt3&1&\frac1{\sqrt3}\\[4pt] \hline \end{array}}}\]

    То есть для синуса и косинуса число выглядит как \(\dfrac{\sqrt{\phantom{0}}}2\), где у синуса под корнем пишется \(1, 2, 3\), у косинуса – наоборот.

     

    \[{\Large{\text{Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла}}}\]

    Теорема

    Справедливы следующие формулы приведения:

    \[\begin{aligned} \sin(180^\circ-\alpha)&=\sin\alpha\\ \cos(180^\circ-\alpha)&=-\cos\alpha\\ \mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm{tg}\,\alpha\\ \mathrm{ctg}\,(180^\circ-\alpha)&=-\mathrm{ctg}\,\alpha \end{aligned}\]

    Таким образом, если \(\alpha\) – острый угол, то с помощью этих формул можно найти синус, косинус, тангенс или котангенс тупого угла, смежного с \(\alpha\).

     

    Пример

    \(\sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2\)

    shkolkovo.net

    Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

    В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α. Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и -α.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Знаки тригонометрических функций по четвертям

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?

    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно. 

    Для наглядности приведем иллюстрацию.

                                         

    Угол α=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° — угол третьей четверти. Угол -45° —  это угол четвертой четверти.

    При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.

    Косинус — это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

                                      

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс — отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки — отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям. 

                                     

    Важно помнить!
    1. Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус — в 3 и 4 четвертях.
    2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус — в 2 и 3 четвертях.
    3. Тангенс угла 

    zaochnik.com

    Внеклассный урок — Синус, косинус, тангенс

    Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции.

     

    Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    Обозначается так: sin α.

    Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    Обозначается так: cos α.


    Тангенс
    острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
    Обозначается так: tg α.

    Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
    Обозначается так: ctg α.

     

    Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

     

    Правила:

    Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:

    b = c · sin α

    Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:

    a = c · cos α

    Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:

    b = a · tg α

    Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:

    a = b · ctg α

     

    Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

    (α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

                                  b
                      sin α = —
                                  c

     

              sin2 α + cos2 α = 1

     

     

    α + β = 90˚

     

                                   a
                      cos α = —
                                   c

                                   1
               1 + tg2 α = ——
                                cos2 α

     

    cos α = sin β

     

                                 b
                      tg α = —
                                 a

                                      1
               1 + ctg2 α =  ——
                                    sin2 α

     

    sin α = cos β

     

                                   a
                      ctg α = —
                                   b

                          1            1
                1  + ——  =  ——
                        tg2 α      sin2 α

     

    tg α = ctg β

                                sin α
                      tg α = ——
                                cos α

     

     

     

     


    При возрастании острого угла
    sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.


    Для любого острого угла α:

    sin (90° – α) = cos α

    cos (90° – α) = sin α

    Пример-пояснение:

    Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
    АВ = 6,
    ВС = 3,
    угол А = 30º.

    Выясним синус угла А и косинус угла В.

     

    Решение.

    1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

    В = 90º – 30º = 60º.

    2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

                   BC      3      1
    sin A = —— = — = —
                  AB      6       2

    3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

                  BC       3      1
    cos B = —— = — = —
                  AB      6       2

     В итоге получается:
    sin A = cos B = 1/2.

    Или:

    sin 30º = cos 60º = 1/2.

    Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
    sin (90° – α) = cos α
    cos (90° – α) = sin α

    Убедимся в этом еще раз:

    1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
        sin (90º – 60º) = cos 60º.
        sin 30º = cos 60º.

    2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
        cos (90° – 30º) = sin 30º.
        cos 60° = sin 30º.

     

    (Подробнее о тригонометрии — см.раздел Алгебра)


    raal100.narod.ru

    Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

    Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

    График функции (синусоида)

    Свойства функции

    1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
    2. Область значений:
    3. Функция нечетная:

      (график симметричен относительно начала координат).

    4. Функция периодическая с периодом 
    5. Точки пересечения с осями координат:  
    6. Промежутки знакопостоянства: 
    7. Промежутки возрастания и убывания:   

     

    Объяснение и обоснование

    Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

    Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

    Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

     

     Рис.1.

    Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

    Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

    Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

    Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

    Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

    На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

    Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

    Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

    Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

    Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

    Рис.2                                                                            Рис.3

    Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

    Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

    Рис.4

    Рис.5

     

    Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

    Рис.6


    Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

    График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

    колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.


     

    СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

    График функции  (косинусоида).

    Свойства функции 

    1. Область определения: R (x — любое действительное число).
    2. Область значений: 
    3. Функция четная:

      (график симметричен относительно оси ).

    4. Функция периодическая с периодом  : 
    5. Точки пересечения с осями координат 
    6. Промежутки знакопостоянства: 
    7. Промежутки возрастания и убывания: 

    Объяснение и обоснование

    Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
    .

    Рис.7

    Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
    точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

    Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

    Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

    Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

    Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

    Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

    Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

    Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

    Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

    Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

    Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

    Рис.8                                                                                                                          Рис.9

    Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

    Рис.10

    Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

    абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

    прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

    Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

    Тогда,

    Таким образом, .

    Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

    Рис.11

    Рис.12


    График функции  (тангенсоида) 

    Свойства функции :

    1. Область определения: 

    2. Область значений: 

    3. Функция нечетная: 

    4. Функция периодическая с периодом 

    5. Точки пересечения с осями координат:   

    6. Промежутки знакопостоянства:

    7. Промежутки возрастания и убывания:

    8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

    График функции  (котангенсоида)

    Свойства функции :

    1. Область определения:

    2. Область значений:

    3. Функция нечетная: 

    4. Функция переодическая с периодом 
    5. Точки пересечения с осями координат: 

    6. Промежутки знакопостоянства: 

    7. Промежутки возрастания и убывания:

     

    8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

     

    ya-znau.ru

    Основные тригонометрические тождества

    Зависимость между синусом и косинусом

    \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1

    Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

    При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

    Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

    tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

    Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

    Добавим, что только для таких углов \alpha, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.

    Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha, которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z, а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha, отличного от \pi z, z — является целым числом.

    Зависимость между тангенсом и котангенсом

    tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

    Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha, которые отличны от \frac{\pi}{2} z. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

    Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x}, а ctg \alpha=\frac{x}{y}. Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

    Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

    tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1, равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha, отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z.

    1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha, отличного от \pi z.

    Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

    Пример 1

    Найдите \sin \alpha и tg \alpha, если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;

    Показать решение

    Решение

    Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1. Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12, получим:

    \sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right )^2 = 1

    Это уравнение имеет 2 решения:

    \sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

    По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2}.

    Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. Соответствующие величины нам известны.

    tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

    Пример 2

    Найдите \cos \alpha и ctg \alpha, если \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi.

    Показать решение

    Решение

    Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2}, получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right )^{2} + \cos^{2} \alpha = 1. Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14.

    По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

    Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. Соответствующие величины нам известны.

    ctg \alpha = -\frac12 : \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3}.

    academyege.ru

    Синус, косинус, тангенс, котангенс

    В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.

    Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

     

    Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

     

    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

    ;  

     

    Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Давайте вспомним ее.

    Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.

    Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат.

    Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О давайте проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α= 90º. Если луч h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМD.

    Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда , . Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.

    Для любого угла  синусом угла  называется ордината  точки , а косинусом угла  абсцисса  точки  

    Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.

    Задача. Может ли:

    а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?

    б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?

    Решение.

    а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не может быть равна 4 и 5.

    б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна но не может быть равна .

    Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:

    Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит , а .

    Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º. Этот угол задается лучом ОB. Координаты точки B равны (0;1), значит, , .

    Проводя аналогичные рассуждения, получим , .

    Задача. Определить координаты точки , если:

    а) ;   б) ;   в) .

    Решение.

    а)

     

     

    б)

     

     

    в)

     

     

    Ответ: ; ; .

    Решим теперь обратную задачу.

    Задача. Определить , , если:

    а) ;   б) ;   в) .

    Решение.

    а)

     

    б)

     

    в)

     

    Тангенсом острого угла мы называли отношение
    . Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен  90º, то его cos 90º=0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение тангенса.

    Тангенсом угла , называется .

    Котангенсом острого угла мы называли отношение . Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому
    ,  –  не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение котангенса.

    Котангенсом угла , называется .

    Задача. Определить , , если:

    а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д) .

    Решение.

     

    а)

     

     

    б)

     

     

    в)

     

     

    г)

     

     

    д)

     

        

    Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º.

    Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла  синусом угла  называется ордината  точки , а косинусом угла  абсцисса  точки  

    Тангенсом угла ,  называется .

    Котангенсом угла , называется .

    Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и тангенсов для некоторых углов.

     

    videouroki.net

    Свойства функции синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса. Графики. Тест

    Тестирование онлайн

    • Функция синуса, косинуса

    • Функция тангенса, котангенса

    Функция синуса

    На рисунке показано построение графика синуса на отрезе .

    Рассмотрим основные свойства функции y=sinx:

    1) Область определения функции — множество всех действительных чисел

    2) Множеством значений функции является промежуток

    3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

    4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

    5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

    6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 0).

    7) Функция принимает положительные значения на промежутках

    8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

    9) Функция возрастает на промежутках

    10) Функция убывает на промежутках

    11) Точки минимума:

    12) Точки максимума:

    13) Графиком функции является синусоида

    Функция косинуса

    График косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние влево.

    Основные свойства функции y=cosx:

    1) Область определения функции — множество всех действительных чисел

    2) Множеством значений функции является промежуток

    3) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

    4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

    5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

    6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 1).

    7) Функция принимает положительные значения на промежутках

    8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

    9) Функция возрастает на промежутках

    10) Функция убывает на промежутках

    11) Точки минимума:

    12) Точки максимума:

    13) Графиком функции является косинусоида

    Функция тангенса

    Основные свойства функции y=tgx:

    1) Область определения функции:

    2) Множеством значений функции:

    3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

    4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

    5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

    6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 0).

    7) Функция принимает положительные значения на промежутках

    8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

    9) Функция возрастает на промежутках

    10) Промежутки убывания отсутствуют.

    11) Точек минимума нет.

    12) Точек максимума нет.

    13) Графиком функции является тангенсоида:

    Функция котангенса

    Основные свойства функции y=сtgx:

    1) Область определения функции:

    2) Множеством значений функции:

    3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

    4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

    5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

    6) Функции не пересекает ось Оy.

    7) Функция принимает положительные значения на промежутках

    8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

    9) Функция не имеет промежутков возрастания.

    10) Промежутки убывания:

    11) Точек минимума нет.

    12) Точек максимума нет.

    13) Графиком функции является котангенсоида:

    Период функции

    1) Если T — основной период функции y=f(x), то число является основным периодом функции y=f(ax), где a — любое положительное число.

    2) Если периодические функции y=f(x) и y=g(x) имеют один и тот же период T, то их сумма, разность и произведение тоже будет иметь период T.

    3) Если периодические функции y=f(x) и y=g(x) имеют соизмеримые периоды T1 и T2, то они имеют общий период.

    4) Период сложной функции y=g(f(x)) совпадает с периодом функции y=f(x).

    fizmat.by

    Рынок труда тест с ответами – Тест с ответами: «Рынок труда»

    Тест с ответами: «Рынок труда»

    1. Отметьте понятия, относящиеся к рынку труда:
    а) Ликвидность
    б) +Средства производства
    в) +Рабочая сила
    г) +Труд

    2. Чем является цена реализации труда или цена реализации рабочей силы?
    а) Оптовой ценой
    б) Ценой без НДС
    в) +Заработная плата

    3. Отметьте элементы, которые включает в себя современная структура рынка труда?
    а) Производственную систему
    б) +Систему найма
    в) +Систему подготовки кадров
    г) +Систему переподготовки и переквалификации

    4. От чего зависит спрос на труд и предложение труда?
    а) Цен на продукты питания
    б) Мировых цен
    в) +Цены реализации труда

    5. Отметьте основные подходы к анализу механизма функционирования рынка труда:
    а) Ленинизм
    б) +Монетаристская модель
    в) +Неоклассический
    г) +Марксизм

    6. К какому понятию относятся «трудовые ресурсы»??
    а) «Финансовые ресурсы»
    б) «Материальные ресурсы»
    в) «Сырьевые ресурсы»
    г) +«Человеческие ресурсы»

    7. Что характеризует трудовой потенциал?
    а) Количество и структуру труда
    б) +Качество и потенциальные возможности труда

    8. Что входит в качественную характеристику трудового потенциала?
    а) Психическую составляющую
    б) +Социальную составляющую
    в) +Интеллектуальную составляющую
    г) +Физическую составляющую

    9. Какие составляющие включает в себя экономически активное население?
    а) Все население страны
    б) Безработных, не ищущих работу
    в) +Безработных, активно ищущих работу и готовых приступить к ней
    г) +Занятых общественно-полезной деятельностью, приносящей доход

    10. Главная составная часть трудовых ресурсов:
    а) работники
    б) предприниматели
    в) +наемная рабочая сила
    г) все население страны

    11. Дайте определение понятия «Рынок труда» –
    а) Статическая система, включающая в себя комплекс социально-трудовых отношений по поводу условий найма, использования и обмена рабочей силы на жизненные средства
    б) +Механизм спроса и предложения, функционирующий на основе информации, поступающей в виде изменений цены труда (заработной платы)
    в) +Динамическая система, включающая в себя комплекс социально-трудовых отношений по поводу условий найма, использования и обмена рабочей силы на жизненные средства

    12. Что входит в структуру трудового рынка?
    а) Объекты рынка труда
    б) +Рыночный механизм
    в) +Конкуренцию
    г) +Субъекты рынка труда

    13. Что входить в структуру механизма трудового рынка?
    а) Сотрудничество
    б) +Конкуренция
    в) +Предложение труда
    г) +Цена труда
    д) +Спрос на труд

    14. Рынком труда являются товарно-денежные отношения, связанные:
    а) Со временем формирования рабочей силы
    б) +Со временем использования рабочей силы
    в) +Со спросом на рабочую силу, определяемым спросом на товар в обществе
    г) +С использованием профессиональных востребованных способностей и их вознаграждением

    15. Является ли механизм рынка труда взаимодействием и согласованием разнообразных интересов работодателей и трудоспособного населения, которое желает работать по найму на основе информации, получаемой в виде изменений цены труда?
    а) Нет
    б) +Да

    16. Отметьте существующие модели рынка труда:
    а) Африканская
    б) +Шведская
    в) +Американская
    г) +Японская

    17. Отметьте название новых тенденций в развитии экономики, придавших новое качество рынку труда:
    а) «жесткий рынок труда»
    б) «эластичный рынок труда»
    в) +«гибкий рынок труда»

    18. Что такое гибкость?
    а) Способность экономической системы отвечать на внутренние воздействия, ее способность сохранять управляемость и функциональное равновесие при изменении внутренних условий
    б) +Способность экономической системы отвечать на внешние воздействия, ее способность сохранять управляемость и функциональное равновесие при изменении внешних условий

    19. К какому рынку ближе российская модель рынка труда?
    а) К внешнему рынку труда
    б) +К внутреннему рынку труда

    20. Чем является подвижное использование рабочего времени и функциональная смена рабочих мест?
    а) Стандартные режимы использования полного рабочего времени
    б) Режимы использования полного рабочего времени
    +в) Нестандартные режимы использования полного рабочего времени

    21. Чем принято определять удовлетворенный спрос на рабочую силу?
    а) Числом работников, ищущих работу в течение определенного периода времени
    б) +Числом работников, нанятых предприятиями в течение определенного периода времени

    22. Чем принято определять неудовлетворенный спрос на рабочую силу?
    а) Числом работников, ищущих работу
    б) +Количеством рабочих мест, остающихся свободными

    23. Отметьте основные группы, которые в себя включает структура спроса на рабочую силу?
    а) Спрос на профессиональную рабочую силу
    б) +Спрос на неквалифицированную рабочую силу
    в) +Спрос на рабочую силу низкой квалификации
    г) +Спрос на высококвалифицированную рабочую силу

    24. Отметьте звенья, из которых состоит совокупный спрос на рабочую силу: Индивидуальный спрос отдельно взятого покупателя
    а) +Индивидуальный спрос отдельно взятой фирмы
    б) +Суммарный спрос индивидуальных фирм данной отрасли

    25. Будет ли совокупный объем предложения рабочей силы на рынке труда кроме занятых лиц, которые имеют работу, включать и незанятых лиц, ищущих работу?
    а) Нет
    б) +Да

    26. Что такое предложение рабочей силы?
    а) Спрос на товары и услуги
    б) Спрос на рабочую силу
    в) +Спрос на рабочие места

    27. К чему приведет внедрение новой техники и технологии?
    а) к значительному увеличению рабочей силы, вовлечению ее в сферу производства
    б) +к значительному сокращению рабочей силы, высвобождению ее из сферы производства

    28. Когда наемными работниками, занятыми на предприятиях фирмы Х, продают свою рабочую силу на внутрифирменном рынке труда?
    а) ежедневно
    б) непрерывно
    в) +лишь с наступлением срока заключения нового коллективного договора (соглашения) между профсоюзом, объединяющим данный трудовой коллектив, и хозяевами фирмы — работодателями, покупателями рабочей силы

    29. В случае если работник стремится получить максимум дохода, и готов посветить свое свободное сверхурочную работу, то эта ситуация увеличивает предложение труда и имеет название:
    а) «Эффект доход»
    б) +«Замещающий эффект»

    30. Отметьте слово, которое является лишним:
    а) +Труд,
    б) безработица,
    в) предпринимательские способности,
    г) капитал,
    д) земля.

    31. Как был сформирован ряд слов в предыдущем вопросе?
    а) Указаны экономические издержки
    б) +Указаны факторы производства
    в) Указаны источники финансирования бизнеса
    г) Указаны механизмы государственного регулирования рыночной экономики

    32. Что можно приобрести на рынке труда?
    а) Оборудование, необходимое рабочим для трудовой деятельности
    б) Право на использование способностей работника
    в) Способности человека, необходимые для создания материальных ценностей
    г) +Работника, обладающего необходимыми трудовыми навыками

    33. Главный участник рынка труда:
    а) Продавец и посетитель
    б) Покупатель и работник
    в) +Работодатель и работник
    г) Работодатель и продавец

    34. Как реализуются взаимодействия на рынке труда?
    а) +посредством обмена на основе спроса и предложения
    б) за счёт эффективного использования рабочей силы
    в) за счёт ограниченности экономических ресурсов
    г) посредством вложения капиталов с целью последующего получения прибыли

    35. Отметьте аргумент при построении функции спроса на труд:
    а) заработная плата;
    б) +цена;
    в) ставка процента;
    г) доход.

    36. Отметьте то, что не относится к основным механизмам рынка труда:
    а) Предложение
    б) +Профессиональная переподготовка
    в) Спрос
    г) Рыночная цена трудовых услуг

    37. Что из представленного в ответах будет являться формой материального вознаграждения?
    а) Рента
    б) Процент по вкладу
    в) +Заработная плата
    г) Ставка заработной платы

    38. От чего будет зависеть величина спроса на рынке труда?
    а) Качества труда
    б) Потребностей работника в деньгах
    в) Спроса потребителей на выпускаемые работодателем товары и услуги
    г) +Цен на товары и услуги

    39. Отметьте те понятия, которые относятся к видам безработицы:
    а) естественная
    +б) структурная
    +в) циклическая
    г) сезонная

    40. Чем является занятость населения?
    а) отсутствие свободного времени
    +б) деятельность граждан, необходимая для своих и общественных потребностей
    в) отсутствие экономической свободы
    г) безработица

    41. Что такое рынок труда:
    а) продажа трудовых вакансий
    б) спрос фирм на работников
    +в) система социально – трудовых отношений
    г) аукцион трудовых затрат

    42. Отметьте виды заработной платы:
    а) посменная
    +б) повременная
    в) посезонная
    +г) сдельная

    43. Отметьте то, что не будет являться причиной возникновения безработицы:
    а) низкая мобильность работника
    б) применение современных технологий
    +в) тяжелые климатические условия
    г) международная конкуренция

    44. Что произойдет с гражданином без работы?
    а)подвергнется большому риску заболеваемости
    +б) потеряет квалификацию
    в) будет изгнан из общества
    г) снизится жизненный уровень+

    45. Государственной формой регулирования безработицы является:
    а) + инвестиции в предприятия для сохранения рабочих мест
    б) полный запрет на иностранную рабочую силу
    в) +поддержка частного предпринимательства
    г) уменьшение работникам заработной платы

    46. Откуда происходит финансирование программы занятости граждан РФ?
    а) из средств работодателя
    б) из средств работника
    в) + из федерального бюджета
    г) +из местного бюджета

    47. Основными участниками рынка труда является:
    а) +работодатель
    б) государство
    в) + работник
    г) организация, предприятие

    48. Что такое прожиточный минимум?
    а) пособие по безработице
    б) минимальная заработная плата
    в) + доход необходимый для основных жизненных потребностей человека
    г) затраты человека на свои потребности

    49. Что будет компенсировать работнику компенсационная заработная плата?
    а)затраты на получение образования
    б)затраты на командировочные расходы
    +в)вредные условия труда
    г)отсутствие квартальных премий в течение последнего год

    50. Формированием чего будет обеспечено участие предприятий в регулировании рынка руда?
    а) структуры предложения на рынке труда
    +б) структуры спроса на рабочую силу
    в) объема найма работников
    г) характеристик найма работников

    51. Сопоставив заработную плату с динамикой … можно выяснить изменение в уровне реальной заработной платы.
    а) нормы прибыли;
    +б) уровня цен на товары и услуги;
    в) ставки налогообложения;
    г) продолжительности рабочей недели

    52. При помощи чего принято учитывать количество труда при его оплате?
    +а) нормирования труда;
    б) тарифной системы оплаты труда;
    в) форм и систем оплаты труда.

    53. При помощи чего устанавливают размер оплаты труда за каждую единицу рабочего времени?
    а) нормирования труда;
    +б) тарифной системы;
    в) форм и систем оплаты труда.

    54. Отметьте не существующие формы оплаты труда:
    +а) сдельно-премиальная;
    б) повременная;
    в) сдельная.

    55. Отметьте факторы, не вызывающие сдвига кривой спроса:
    а) изменения в доходе;
    +б) изменения цены данного товара;
    в) изменения цен товаров- комплиментов и заменителей;
    г) ожидание роста цен.

    56. Что произойдет в случае, если рыночная цена ниже равновесной?
    а)формируется рынок покупателя
    +б)возникает дефицит товаров
    в)появляются избытки товаров
    г)падает цена ресурсов

    57. Отметьте термин, отражающий способность и желание людей платить за что-либо:
    а) потребность
    +б) спрос
    в) необходимость
    г) желание

    liketest.ru

    Рынок труда Тесты с ответами Темы 1-6

    Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

     

    Тема 1. Рынок труда в системе рыночной экономики

    Какие из перечисленных понятий относятся к рынку труда?

    Ликвидность

    +Средства производства

    +Рабочая сила

    +Труд

    Цена реализации труда или цена реализации рабочей силы – это:

    Оптовая цена

    Цена без НДС

    +Заработная плата

    Какие элементы включает в себя современная структура рынка труда?

    Производственную систему

    +Систему найма

    +Систему подготовки кадров

    +Систему переподготовки и переквалификации

    Спрос на труд, и предложение труда прежде всего зависят от:

    Цен на продукты питания

    Мировых цен

    +Цены реализации труда

    Укажите основные подходы к анализу механизма функционирования рынка труда:

    Ленинизм

    +Монетаристская модель

    +Неоклассический

    +Марксизм

     

    Друзья, более 600 собак Воронежского приюта Дора https://vk.com/priyt_dora очень нуждаются в поддержке! Приют бедствует, не хватает средств на корм и лечение.  Не откладывайте добрые дела, перечислите прямо сейчас любую сумму на «Голодный телефон» +7 960 111 77 23 или карту сбербанка 4276 8130 1703 0573. По всем вопросам обращаться +7 903 857 05 77 (Шамарин Юрий Иванович) 

     

    Тема 2. Труд как фактор производства и объект рыночных отношений

    Трудовые ресурсы — одна из форм выражения понятия:

    «Финансовые ресурсы»

    «Материальные ресурсы»

    «Сырьевые ресурсы»

    +«Человеческие ресурсы»

    Трудовой потенциал характеризует:

    Количество и структуру труда

    +Качество и потенциальные возможности труда

    Качественная характеристика трудового потенциала включает:

    Психическую составляющую

    +Социальную составляющую

    +Интеллектуальную составляющую

    +Физическую составляющую

    Экономически активное население включает:

    Все население страны

    Безработных, не ищущих работу

    +Безработных, активно ищущих работу и готовых приступить к ней

    +Занятых общественно-полезной деятельностью, приносящей доход

    Главной составной частью трудовых ресурсов является:

    работники

    предприниматели

    +наемная рабочая сила

    все население страны

     

    Тема 3. Сущность, структура, механизм функционирования и особенности рынка труда

    Рынок труда — это:

    Статическая система, включающая в себя комплекс социально-трудовых отношений по поводу условий найма, использования и обмена рабочей силы на жизненные средства

    +Механизм спроса и предложения, функционирующий на основе информации, поступающей в виде изменений цены труда (заработной платы)

    +Динамическая система, включающая в себя комплекс социально-трудовых отношений по поводу условий найма, использования и обмена рабочей силы на жизненные средства

    Структура рынка труда включает:

    Объекты рынка труда

    +Рыночный механизм

    +Конкуренцию

    +Субъекты рынка труда

    Структура механизма рынка труда включает:

    Сотрудничество

    +Конкуренцию

    +Предложение труда

    +Цену труда

    +Спрос на труд

    Рынок труда — это только те товарно-денежные отношения, которые связаны:

    Со временем формирования рабочей силы

    +Со временем использования рабочей силы

    +Со спросом на рабочую силу, определяемым спросом на товар в обществе

    +С использованием профессиональных востребованных способностей и их вознаграждением

    Верно ли, что механизм рынка труда — это взаимодействие и согласование разнообразных интересов работодателей и трудоспособного населения, желающего работать по найму на основе информации, получаемой в виде изменений цены труда?

    Нет

    +Да

     

    Тема 4. Виды, сегменты и гибкость рынка труда

    Существуют следующие модели рынка труда:

    Африканская

    +Шведская

    +Американская

    +Японская

    Новые тенденции в развитии экономики придали новое качество рынку труда, получившее название:

    «жесткий рынок труда»

    «эластичный рынок труда»

    +«гибкий рынок труда»

    Гибкость — это:

    Способность экономической системы отвечать на внутренние воздействия, ее способность сохранять управляемость и функциональное равновесие при изменении внутренних условий

    +Способность экономической системы отвечать на внешние воздействия, ее способность сохранять управляемость и функциональное равновесие при изменении внешних условий

    Российская модель рынка труда ближе:

    К внешнему рынку труда

    +К внутреннему рынку труда

    Подвижное использование рабочего времени и функциональная смена рабочих мест — это:

    Стандартные режимы использования полного рабочего времени

    Режимы использования полного рабочего времени

    +Нестандартные режимы использования полного рабочего времени

     

    Тема 5. Рабочая сила на рынке труда: факторы спроса

    Удовлетворенный спрос на рабочую силу определяется:

    Числом работников, ищущих работу в течение определенного периода времени

    +Числом работников, нанятых предприятиями в течение определенного периода времени

    Неудовлетворенный спрос на рабочую силу определяется:

    Числом работников, ищущих работу

    +Количеством рабочих мест, остающихся свободными

    Структура спроса на рабочую силу включает следующие основные группы:

    Спрос на профессиональную рабочую силу

    +Спрос на неквалифицированную рабочую силу

    +Спрос на рабочую силу низкой квалификации

    +Спрос на высококвалифицированную рабочую силу

    Совокупного спроса на рабочую силу слагается из следующих звеньев:

    Индивидуальный спрос отдельно взятого покупателя

    +Индивидуальный спрос отдельно взятой фирмы

    +Суммарный спрос индивидуальных фирм данной отрасли

    Возможности расширения спроса на рабочую силу благодаря … существенно ограничиваются факторами экономического, социального и правового характера.

    перерасчету заработной платы

    повышению заработной платы

    изменению заработной платы

    +понижению заработной платы

     

    Тема 6. Рабочая сила на рынке труда: факторы предложения

    Верно ли утверждение, что совокупный объем предложения рабочей силы на рынке труда кроме занятых лиц, имеющих работу, включает и незанятых лиц, ищущих работу?

    Нет

    +Да

    Предложение рабочей силы — это:

    Спрос на товары и услуги

    Спрос на рабочую силу

    +Спрос на рабочие места

    Внедрение новой техники и технологии ведет …

    к значительному увеличению рабочей силы, вовлечению ее в сферу производства

    +к значительному сокращению рабочей силы, высвобождению ее из сферы производства

    Наемные работники, занятые на предприятиях данной фирмы, продают свою рабочую силу на внутрифирменном рынке труда…

    ежедневно

    непрерывно

    +лишь с наступлением срока заключения нового коллективного договора (соглашения) между профсоюзом, объединяющим данный трудовой коллектив, и хозяевами фирмы — работодателями, покупателями рабочей силы

    Если работник, в стремление получить максимум дохода, свободное время тратит на сверхурочную работу, то эта ситуация увеличивает предложение труда и именуется:

    «Эффектом дохода»

    +«Замещающим эффектом»

    test-for-you.ru

    Тест с ответами: Рынок труда

    1. Лизинг персонала необходим для:

    а) Привлечение новых работников н предприятие на постоянной основе.

    б) Покрытия краткосрочной временной потребности в персонале (через болезнь, через серьезные колебания в деятельности предприятия и т.д.).   +

    в) Повышение квалификации работников предприятия.

    г) Возможности получения предприятием дополнительного дохода.

     

    1. При выборе предприятием формы привлечения персонала исследуется рынок труда, который подразделяется на:

    а) Специализированный.

    б) Внутрифирменый.

    в) Внешний.

    г) Верны ответы “б” и “в”. +

     

    1. При исследовании внутрифирменного (внутреннего) рынка труда анализируется:

    а) Социально-демографическая ситуация.

    б) Кадровая ситуация.

    в) Политическая ситуация.

    г) Верными являются ответы “а” и “б”. +

     

    1. При исследовании внешнего рынка труда анализируется:

    а) Уровень конкуренции на выбранном сегменте рынка труда.

    б) Местонахождение предприятия, его преимущества и недостатки для потенциальных сотрудников.

    в) Наличие или отсутствие возможности помощи со стороны других организаций по привлечению персонала.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. Налаживание контакта с потенциальными работниками предприятия с целью побудить их подать заявление о приеме на работу имеет название:

    а) Маркетинг персонала.

    б) Тестирование персонал

    в) Вербовка персонала. +

    г) Аттестация персонала.

     

    1. Опосредованное вербовка персонала — это:

    а) Привлечения персонала на имеющиеся вакантные должности в текущем периоде.

    б) Формирование положительного имиджа предприятия на рынке труда. +

    в) Представление предприятием информации о необходимости привлечения персонала в текущем периоде.

    г) Представление предприятием информации о необходимости привлечения персонала в будущем периоде.

     

    1. К вербовочной структуры объявления входит информация о:

    а) Описание особенностей организации.

    б) Характеристика вакантной должности.

    в) Требования, предъявляемые к соискателю.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. К методам оценки способностей претендентов входят:

    а) Тесты.

    б) Интерактивные методы.

    в) Документы претендентов.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. Профессиональный опыт соискателя можно оценить с помощью:

    а) Документов претендента (трудовой биографии).

    б) Собеседования.

    в) Тестов с проверки сенсорных способностей.

    г) Верны ответы “а” и “б”. +

     

    1. Сокращение персонала означает целенаправленное снижение его численности в случае:

    а) В случае, когда фактическое наличие персонала превышает необходимую численность.

    б) В случае, когда фактическое наличие персонала является недостаточной.

    в) В случае несоответствия требованиям к занимаемой должности или требованиям выполняемой работы (квалификационная несоответствие, несоответствие по состоянию здоровья).

    г) Верны ответы “а” и “в”. +

     

    1. Освобождение считаются массовыми, когда высвобождают:

    а) 50% от общей численности работников предприятия.

    б) 100% от общей численности работников предприятия.

    в) 10% от общей численности работников предприятия. +

    г) 25% от общей численности работников предприятия.

     

    1. К внешним факторам, которые могут быть причинами высвобождения относят:

    а) Падение спроса, технический прогресс, который ведет к ликвидации ряда профессий, необходимость сокращения затрат труда. +

    б) Ошибки в подборе персонала, расстановке кадров, а также усиление конкуренции на внутреннем рынке труда.

    в) Профессиональная несоответствие большинства работников предприятия.

    г) Все ответы не верны.

     

    1. внутренних факторов, которые могут быть причинами высвобождения относят:

    а) Падение спроса, технический прогресс, который ведет к ликвидации ряда профессий, необходимость сокращения затрат труда.

    б) Ошибки в подборе персонала и в расстановке кадров.

    в) Усиление конкуренции на внутреннем рынке труда.

    г) Верны ответы “б” и “в”. +

     

    1. С экономической точки зрения высвобождение персонала означает:

    а) Устранение излишней численности и качественное совершенствование требований, предъявляемых к работнику, чтобы обеспечить баланс между качественными и количественными параметрами рабочего места и характеристиками работника. +

    б) Ухудшение морально-психологического климата в коллективе.

    в) Возможность судебных разбирательств по вопросу трудовых конфликтов между собственником и работником.

    г) Верны ответы “а” и “б”.

    1. С социальной точки зрения высвобождение персонала означает:

    а) Устранение излишней численности и качественное совершенствование требований, предъявляемых к работнику, чтобы обеспечить баланс между качественными и количественными параметрами рабочего места и характеристиками работника.

    б) Ухудшение морально-психологического климата в коллективе.

    в) Возможность судебных разбирательств по вопросу трудовых конфликтов между собственником и работником.

    г) Верны ответы “б” и “в”. +

     

    1. До вариантов высвобождения персонала относят:

    а) Прекращение найма.

    б) Переводы и перемещения на предприятии.

    в) Сокращение нормальной продолжительности рабочего дня и введение укороченного рабочего недели.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. Первой реакцией на излишнюю численность должна быть:

    а) Переводы и перемещения на предприятии.

    б) Прекращение найма. +

    в) Сокращение нормальной продолжительности рабочего дня и введение укороченного рабочего недели.

    г) Прекращение выдачи заказов на сторону.

     

    1. За счет естественной текучести можно обеспечить:

    а) 5-% сокращение численности персонала. +

    б) 10-% сокращение численности персонала.

    в) 15-% сокращение численности персонала.

    г) 20-% сокращение численности персонала.

     

    1. Прекращение найма может привести к:

    а) Ухудшение морально-психологического климата в коллективе.

    б) Ухудшение квалификационной структуры персонала.

    в) Ухудшение возрастной структуры персонала. +

    г) Все ответы не верны.

     

    1. Какие из условий трудового соглашения могут измениться при переводах работников:

    а) Размер заработной платы.

    б) Условия труда.

    в) Режимы рабочего времени.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. Согласие работника является важным при:

    а) Перемещениях.

    б) Переводах. +

    в) В обоих случаях.

    г) ни в одном из случаев.

     

    1. Введение сокращенного рабочего дня нельзя применять для:

    а) Основного персонала.

    б) Дополнительного персонала.

    в) Руководителей. +

    г) ни в одном из случаев.

     

    1. Отмена (сокращение) сверхурочной работы — это реакция на:

    а) Увеличение государством размера минимальной заработной платы.

    б) Недостаточное загрузки определенного количества работников. +

    в) Снижение численности персонала предприятия.

    г) Все варианты верны.

     

    1. Введение сокращенного рабочего дня возможно в случае, когда:

    а) Эту форму высвобождения персонала оговорено в коллективном договоре.

    б) Эту форму высвобождения персонала оговорено в индивидуальном трудовом соглашении.

    в) Эту форму высвобождения персонала используют предприятия отрасли, к которой относится предприятие.

    г) Верны ответы “а” и “б”. +

     

    1. Нормальной продолжительностью рабочей недели согласно Законодательству в Украине считается:

    а) 40 часов. +

    б) 37 часов.

    в) 35 часов.

    г) 32 часа.

     

    1. За неоднократное совершение дисциплинарных проступков отдельным работником руководитель:

    а) Обязан расторгнуть трудовой договор.

    б) вправе, но не обязан расторгнуть трудовой договор. +

    в) Не имеет права разрывать трудовое соглашение.

    г) Обязан пересмотреть условия трудового соглашения.

     

    1. При массовых увольнениях руководство предприятия должно:

    а) Объяснить работникам причины предстоящего сокращения численности персонала.

    б) Обосновать масштабы сокращения.

    в) Установить контакт с центром занятости и представить туда соответствующую информацию.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. В случае массового сокращения в центр занятости предоставляется информация о:

    а) Общую численность персонала предприятия.

    б) Количество и сроки запланированных увольнений.

    в) Возраст, опыт и квалификацию работников, освобождаются.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. Форм гибкой занятости относятся:

    а) Сменная работа.

    б) Счета рабочего времени.

    в) 4-х дневную рабочую неделю.

    г) Все ответы верны. +

     

    1. Какие два этапа включает профессиональное образование:

    а) Повышение квалификации и освоение смежной профессии.

    б) Первичную профессиональную подготовку и повышение квалификации. +

    в) Школьное образование и первичную профессиональную подготовку.

    г) Все ответы не верны.

    testdoc.ru

    Тест по теме «Особенности рынка труда»

    1)Компенсационная заработная плата призвана компенсировать работнику:

    а)затраты на получение образования  б)затраты на командировочные расходы  +в)вредные условия труда  г)отсутствие квартальных премий в течение последнего год

    2) Участие предприятий в регулировании рынка руда обеспечивается формированием:

    а) структуры предложения на рынке труда

    +б) структуры спроса на рабочую силу

    в) объема найма работников

    г) характеристик найма работников

    3) Главными участниками рынка труда являются:

    а)Продавец и посетитель

    б)Покупатель и работник

    +в)Работодатель и работник

    г)Работодатель и продавец

    4) Изменения в уровне реальной заработной платы можно определить путем сопостав­ления номинальной заработной платы с динамикой одного из следующих показателей:

    а) нормы прибыли;

    +б) уровня цен на товары и услуги;

    в) ставки налогообложения;

    г) продолжительности рабочей недели

    5) Количество труда при его оплате учитывается с помощью:

    +а) нормирования труда;

    б) тарифной системы оплаты труда;

    в) форм и систем оплаты труда.

    6) . Размер оплаты труда за каждую единицу рабочего времени устанавливается с помощью:

    а) нормирования труда;

    +б) тарифной системы;

    в) форм и систем оплаты труда.

    7) Какие не существуют формы оплаты труда:

    +а) сдельно-премиальная;

    б) повременная;

    в) сдельная.

    8) Какие из следующих факторов не вызывают сдвига кривой спроса?

    а) изменения в доходе;

    +б) изменения цены данного товара;

    в) изменения цен товаров- комплиментов и заменителей;

    г) ожидание роста цен.

    9)  Если рыночная цена ниже равновесной, то:            а)формируется рынок покупателя +б)возникает дефицит товаров в)появляются избытки товаров г)падает цена ресурсов

    10) Какой термин отражает способность и желание людей платить за что-либо: а)потребность +б)спрос в)необходимость г)желание

    Лекция №2

    Социальные проблемы труда. Государственное

    регулирование трудовых отношений .

    В настоящее время в странах развиты профсоюзы.

    Профсоюзы – добровольная организация, объединение наемных работников для защиты своих социальных, экономических прав и интересов.

    Социальное партнерство –это система взаимоотношений между работниками, работодателями, организациями, государственной власти и власть местного самоуправления, направленная на обеспечивание согласования интересов работников и работодателей по вопросам трудовых отношений.

    Социальное партнерство является важным элементом смешанной рыночной экономики.

    Она обеспечивает взаимодействие государства, работодателя и работника. Его объективной основой является рост экономического потенциала и распределения его результатов между предпринимателями и работодателями.

    Социальное партнерство осуществляется формами:

    1) коллективных переговоров

    2) взаимных консультаций по вопросам регулирования трудовых отношений и обеспечения гарантии трудовых прав работника.

    3) участие работников и их представителей в управлении.

    Сделки на рынке труда оформляются в виде добровольных трудовых договоров (контрактов), в которых на основе компромиссов увязываются противоположные интересы работодателей и работника.

    Трудовой договор (контракт) –это соглашение между работником и работодателем, по которому работник обязуется выполнять работу по определенной специальности, квалификации или должности, с подчинением внутреннему трудовому распорядку, а работодатель обязуется выплачивать ему зарплату и обеспечивать условия труда.

    Основным документом, регламентирующим трудовые отношения, является Трудовой Кодекс, введенный с 1 февраля 2002 года.

    Основные положения ТК РФ касаются:

    1) Трудовые права и обязанности работника и работодателя.

    2) Социальное партнерство в сфере труда, трудовых договоров (заключений), норм рабочего времени и времени отдыха, условия оплаты труда, соблюдение трудовой дисциплины.

    Кодексом запрещается снижение оплаты труда работнику. В России действует закон «О коллективных договорах и соглашениях»

    Соглашение –это правовой акт, регулирующий социальный трудовые отношения между работником и работодателем, заключенных на уровне РФ, ее субъектов, территории , отрасли или профессии.

    Коллективный договор –правовой акт, регулирующий социальные трудовые отношения между работником предприятия с работодателем.

    Регулирование зарплаты осуществляется следующей формой :

    1. установление размеров минимальной зарплаты.

    2. регламентация ряда надбавок к зарплате.

    3. изменении зарплаты в связи с инфляцией.(ее увеличения по мере роста цен)

    studfiles.net

    Тест по курсу дисциплины Эффективное поведение на рынке труда

    Тест по дисциплине «Эффективное поведение на рынке труда»

    1. Безработица – это …

    а. социально-экономическое явление, при котором часть трудоспособного населения не может найти работу;

    б. экономическая ситуация, при которой часть трудоспособного населения не хочет работать;

    в. социально-экономическое явление, при котором часть экономически-активного населения не занята в производстве товаров и услуг

    1. К основным правам работника не относится …

    а. право иметь рабочее место, отвечающее нормам и стандартам, установленным законом;

    б. право на отдых;

    в. право на компенсацию расходов на проезд

    1. К экономически-неактивному населению не относятся …

    а. пенсионеры;

    б. инвалиды;

    в. предприниматели

    1. Специально разработанная система, которая реализует материальное обеспечение граждан в старости – это …

    а. пенсионное страхование;

    б. медицинское страхование;

    в. социальное страхование

    1. К обязательным пунктам в резюме не относится …

    а. сведения об образовании;

    б. сведения о путешествиях за границу;

    в. сведения о месте жительства

    1. Перечислите правильную последовательность этапов профессиональной карьеры:

    а. предварительный этап, этап становления, этап продвижения, этап сохранения, этап завершения

    б. предварительный этап, этап продвижения, этап становления, этап сохранения, этап завершения

    в. предварительный этап, этап продвижения, этап сохранения, этап становления, этап завершения

    1. Какие документы необходимы в первую очередь для заключения трудового договора?

    а. справка о заработной плате с предыдущего места работы;

    б. СНИЛС;

    в. медицинское заключение на право управления транспортным средством

    1. Профессиональная деятельность – это …

    а. уровень профессионального мастерства;

    б. система знаний, основанная на опыте её применения;

    в. ограниченная стандартами область деятельности, которая предполагает определенный объем, уровень знаний и навыков их практического применения

    9. К какому виду пенсионного страхования относится пенсия за выслугу лет?

    а. обязательное пенсионное страхование

    б. государственное пенсионное обеспечение

    в. негосударственное пенсионное обеспечение

    10. Что не подходит к классификации профессий по объекту труда (по Климову Е.А.):

    а. человек-человек

    б. человек-живая природа

    в. человек-наука

    11. Приведите пример гностической профессии:

    а. судебно-медицинский эксперт

    б. бухгалтер

    в. инженер-конструктор

    12. Приведите пример изыскательной профессии:

    а. зооинженер

    б. дизайнер

    в. искусствовед

    13. Что относится к активной форме профориентации:

    а. проведение викторин на знание профессий

    б. беседы о профессиях

    в. занятия в учебно-производственных комбинатах

    14. Профессиональная консультация – это …

    а. оказание помощи человеку в профессиональном самоопределении с целью принятия осознанного решения о выборе профессионального пути

    б. определение степени профессиональной пригодности человека к конкретной профессии

    в. система мер, способствующих профессиональному становлению работника, формированию у него соответствующих социальных и профессиональных качеств

    1. Отношения, основанные на соглашении между работником и работодателем о личном выполнении работником за плату трудовой функции – это …

    а. трудовые отношения

    б. деловые отношения

    в. личные отношения

    1. Выберите правильный вариант условий заключения трудового договора:

    а. трудовой договор заключается на неопределенный срок, в трех экземплярах

    б. трудовой договор заключается на срок не более пяти лет, в двух экземплярах

    в. трудовой договор заключается на неопределенный срок либо на срок не более пяти лет, в двух экземплярах

    1. Профессиональная квалификация бывает:

    а. формальная и реальная

    б. формальная и неформальная

    в. формальная и возможная

    1. Обязательное медицинское страхование делится на:

    а. денежные выплаты и дополнительное финансирование

    б. денежные выплаты и компенсации расходов

    в. компенсацию расходов и дополнительные платные услуги

    1. Основная характеристика этапа продвижения в профессиональной карьере:

    а. 45-60 лет, наступление пика карьеры, передача знаний и опыта молодым специалистам

    б. 25-30 лет, адаптация на рабочем месте, приобретение знаний, умений и навыков, повышение квалификации

    в. 30-45 лет, продвижение по служебной лестнице, накопление профессионального опыта

    1. Что недопустимо на самопрезентации при трудоустройстве:

    а. наличие сумки

    б. яркий макияж

    в. отсутствие пиджака

    1. Культура делового общения – это…

    а. это уровень речевого, письменного и неречевого взаимодействия, который позволяет устанавливать точное межличностное восприятие, понимание и взаимодействие людей в процессе трудовой деятельности

    б. процесс взаимосвязи и взаимодействия людей с целью передачи друг другу разнообразной информации, обмена мнениями, суждениями, знаниями

    в. взаимодействие двух и более людей, состоящее в обмене информацией познавательного или эмоционально-оценочного характера

    1. Приведите пример невербального общения:

    а. крик

    б. словосочетание

    в. мимика

    1. Письменная форма опроса, осуществляемая при помощи специально составленных анкет и происходящая без непосредственного контакта исследователя с респондентом – это …

    а. интеллектуальный тест

    б. анкетирование

    в. наблюдение

    1. Какие бывают вопросы в анкетировании:

    а. открытые и закрытые

    б. открытые, закрытые и полузакрытые

    в. открытые, прямые и полупрямые

    1. Профессиональная адаптация – это …

    а. система мер и мероприятий, которые способствуют профессиональному становлению работника и формируют у него соответствующие профессиональные качества

    б. повторная социализация, связанная с переходом на новую должность или на другое место работы с сохранением прежней должности

    в. перестраивание своего организма, привычек к новому режиму труда и отдыха

    1. Перечислите виды адаптации:

    а. психологическая, профессиональная, социальная, структурная

    б. психологическая, профессиональная, социально-психологическая, функциональная

    в. психофизическая, профессиональная, социально-психологическая, организационная

    1. Перечислите правильную структуру резюме:

    а. анкетные данные, сведения об образовании, качества личности, дополнительные сведения (увлечения, хобби)

    б. анкетные данные, сведения об образовании, опыт работы, качества личности, дополнительные сведения (увлечения, хобби)

    в. сведения об образовании, опыт работы, анкетные данные, качества личности, дополнительные сведения (увлечения, хобби)

    1. Перечислите правильный список документов, необходимых для заключения трудового договора:

    а. СНИЛС, ИНН, трудовая книжка, санитарная книжка

    б. паспорт, ИНН, трудовая книжка

    в. паспорт, СНИЛС, ИНН, трудовая книжка

    1. Перечислите правильные принципы непрерывного образования:

    а. принципы гуманизма, демократизма, мобильности, опережения, открытости, непрерывности

    б. принципы гуманизма, демократизма, мобильности, ответственности, открытости, непрерывности

    в. принципы гуманизма, демократизма, мобильности, опережения, открытости, незаконченности

    1. Назовите правильную характеристику принципа гуманизма:

    а. реализуется через создание благоприятных возможностей для развития творческой индивидуальности каждого человека

    б. выражается в многообразии средств, способов, организационных форм системы непрерывного образования

    в. предполагает доступность образования в любом возрасте благодаря многообразию форм обучения, в соответствии с интересами, возможностями и потребностями человека

    31. Что не является основной характеристикой потребности?

    а. периодичность

    б. способ удовлетворения

    в. скорость удовлетворения

    32. По условиям проведения наблюдение делится на:

    а. лабораторное и полевое

    б. лабораторное и естественное

    в. естественное и неестественное

    33. Профессиональный подбор – это …

    а. предоставление рекомендаций человеку о возможных направлениях профессиональной деятельности, наиболее соответствующих его психологическим, психофизиологическим, физиологическим особенностям, на основе результатов психологической, психофизиологической и медицинской диагностики

    б. определение степени профессиональной пригодности человека к конкретной профессии (рабочему месту, должности) в соответствии с нормативными требованиями

    в. система мер, способствующих профессиональному становлению работника, формированию у него соответствующих социальных и профессиональных качеств, установок и потребностей к активному творческому труду, достижению высшего уровня профессионализма

    34. Перечислите правильную последовательность потребностей по Маслоу:

    а. физиологические потребности, потребность в безопасности, потребность в принадлежности, потребность в уважении, самоактуализация

    б. физиологические потребности, потребность в принадлежности, потребность в безопасности, потребность в уважении, самоактуализация

    в. физиологические потребности, потребность в безопасности, потребность в уважении, потребность в принадлежности, самоактуализация

    35. Устная форма ответов на вопросы, осуществляемая при помощи непосредственного контакта исследователя с респондентом – это …

    а. опрос

    б. анкетирование

    в. наблюдение

    36. В зависимости от масштаба проведения анкетирование бывает:

    а. по месту учебы/работы, по месту жительства

    б. почтовые анкеты, раздаточные анкеты

    в. сплошное, выборочное

    37. Назовите функции мотивов …

    а. побуждение, направление, смыслообразование

    б. побуждение, направление, анализ

    в. побуждение, решение, смыслообразование

    38. Оказание помощи человеку в профессиональном самоопределении с целью принятия осознанного решения о выборе профессионального пути с учетом его психологических особенностей и возможностей, а также потребностей общества – это …

    а. профессиональная консультация

    б. профессиональная адаптация

    в. профессиональный подбор

    39. Обобщенное понятие одного из компонентов общечеловеческой культуры, проявляющегося в форме заботы общества о профессиональном становлении подрастающего поколения, проведения комплекса специальных мер содействия человеку в профессиональном самоопределении с учетом его потребностей и возможностей, социально — экономической ситуации на рынке труда – это …

    а. профессиональная консультация

    б. профессиональная ориентация

    в. профессиональный отбор

    40. По адресату тестового материала психологические диагностики делятся на:

    а. прямые и косвенные

    б. сознательные и бессознательные

    в. направленные и бесцельные

    41. На рынке труда можно купить:

    а.  работника, обладающего необходимыми трудовыми навыками

    б.  право на использование способностей работника

    в.  способности человека, необходимые для создания материальных ценностей

      

    42.  Главными участниками рынка труда являются

    а.  продавец и посетитель

    б.  покупатель и работник

    в.  работодатель и работник

    43.  Взаимодействие на рынке труда осуществляется

    а.  посредством обмена на основе спроса и предложения

    б.  за счёт эффективного использования рабочей силы

    в.  за счёт ограниченности экономических ресурсов

    44.  При построении функции спроса на труд аргументом выступает:

    а.  заработная плата

    б.  цена

    в.  доход в виде прибыли

    45.  Выберите неверный вариант: основные механизмы рынка труда:

    а.  спрос и предложение

    б.  профессиональная переподготовка

    в.  рыночная цена трудовых услуг

    46.  Формой материального вознаграждения за труд является:

    а.  рента

    б.  процент по вкладу

    в.  заработная плата

    47.  Величина спроса на рабочую силу не зависит от:

    а.  от заработной платы

    б.  потребностей работника в деньгах

    в.  спроса потребителей на выпускаемые работодателем товары и услуги

    48.  Оцените утверждения. Какое из них верно?

    а. спрос на рынке труда, как и предложение, находится в обратной зависимости от ставки заработной платы

    б. предложение на рынке труда, в отличие от спроса, находится в прямой зависимости от ставки заработной платы

    в. спрос и предложение на рынке труда не зависит от величины заработной платы

    49.  Под рынком труда понимают:

    а. куплю и продажу товаров и услуг

    б. общественные отношения, связанные с наймом и предложением рабочей силы

    в. рынок сырья, материалов, товаров и услуг, ценных бумаг

    50. Цена рабочей силы это:

    а. процент по вкладу

    б. форма материального вознаграждения за труд

    в. доход от продажи товаров и услуг

    51. Вертикальная карьера характеризуется:

    а. расширением круга полномочий без смены должности

    б. подъемом на более высокую ступень в должности

    в. дружескими отношениями с начальством

    52. Горизонтальная карьера означает:

    а. повышение в должности

    б. выстраиваемый человеком жизненный путь

    в. расширение функциональных обязанностей на той же должности

    53. Приведите пример невербального средства общения:

    а. крик

    б. словосочетание

    в. предложение

    54. К невербальным средствам общения не относятся:

    а. движения рук, головы, ног, туловища, походка, жесты, прикосновение, пожатие руки

    б. речь

    в. организация пространства (дистанция) и времени

    55. Способствуют созданию благоприятной атмосферы для деловой беседы:

    a. подробный рассказ автобиографии

    б. обращения к собеседнику по имени-отчеству

    в. долгое обдумывание над ответом

    56. Какие типичные ошибки допускаются при написании резюме?

    а. последовательный характер описания

    б. краткость и структурированность

    в. большой объем текста

    57. Что повышает привлекательность резюме?

    а. красочное оформление с использованием множества шрифтов и стилей

    б. энергичные глаголы, указывающие на активность соискателя: сделал, получил, освоил рабочее место

    в. конкретность (указание точных и конкретных целей)

    1. Дайте правильную характеристику фазе развития профессионала – фаза интернала…

    а. человек стоит перед проблемой выбора профессии или вынужденной переменой профессии и осуществляет свой выбор

    б. профессионал приобретает значительный профессиональный опыт, имеет профессиональную направленность, способен самостоятельно выполнять основные профессиональные функции на данном трудовом посту

    в. по мере многолетней профессиональной подготовки у субъекта учебно–профессиональной деятельности происходят существенные изменения в самосознании, в направленности, информированности, умелости

    59. По форме представления тестового материала психологические диагностики делятся на:

    а. бланковые, технические, сенсорные

    б. бланковые, устные

    в. бланковые, технические, устные

    60. Профессиональное самоопределение это:

    а. получение должностных привилегий

    б. осознание человеком культуры

    в. выбор профессии

    Ключ к тесту по дисциплине «Эффективное поведение на рынке труда»

    В

    В

    В

    А

    Б

    А

    Б

    Б

    Б

    В

    1. А

    2. Б

    3. В

    4. А

    5. А

    6. В

    7. А

    8. Б

    9. В

    10. Б

    1. А

    2. В

    3. Б

    4. Б

    5. А

    6. В

    7. Б

    8. В

    9. А

    10. А

    1. В

    2. А

    3. А

    4. А

    5. А

    6. В

    7. А

    8. А

    9. Б

    10. Б

    1. В

    2. В

    3. Б

    4. А

    5. Б

    6. В

    7. В

    8. А

    9. Б

    10. Б

    1. Б

    2. В

    3. А

    4. Б

    5. Б

    6. В

    7. В

    8. Б

    9. А

    10. В

    Критерии оценки:

    5 «отлично» — правильный ответ на 53-60 вопросов

    4 «хорошо» — правильный ответ на 42-52 вопросов

    3 «удовлетворительно» — правильный ответ на 35-41 вопросов

    2 «неуд» — менее 35 правильных ответов

    infourok.ru

    Тест по обществознанию на тему «Рынок труда и безработица»

    Группа №______ Дата__________

    Студент_______________________________

    1. Какие понятия относятся к видам безработицы?

    а) естественная

    б) структурная

    в) циклическая

    г) сезонная

    2. Занятость населения:

    а) отсутствие свободного времени

    б) деятельность граждан, необходимая для своих и общественных потребностей

    в) отсутствие экономической свободы

    г) безработица

    3. Рынок труда:

    а) продажа трудовых вакансий

    б) спрос фирм на работников

    в) система социально – трудовых отношений

    г) аукцион трудовых затрат

    4. Виды заработной платы:

    а) посменная

    б) повременная

    в) посезонная

    г) сдельная

    5. Что не относится к причинам возникновения безработицы:

    а) низкая мобильность работника

    б) применение современных технологий

    в) тяжелые климатические условия

    г) международная конкуренция

    6. Что грозит безработному гражданину?

    а) большой риск заболеваемости

    б) потеря квалификации

    в) изгнание из общества

    г) снижение жизненного уровня

    7. Что относится к государственным формам регулирования безработицы?

    а) инвестиции в предприятия для сохранения рабочих мест

    б) полный запрет на иностранную рабочую силу

    в) поддержка частного предпринимательства

    г) уменьшение работникам заработной платы

    8. Из каких средств финансируется программа занятости граждан РФ

    а) из средств работодателя

    б) из средств работника

    в) из федерального бюджета

    г) из местного бюджета

    9. Основные участники рынка труда?

    а) работодатель

    б) государство

    в) работник

    г) организация, предприятие

    10 . Прожиточный минимум:

    а) пособие по безработице

    б) минимальная заработная плата

    в) доход необходимый для основных жизненных потребностей человека

    г) затраты человека на свои потребности

    ОТВЕТЫ:

    1 – б, в

    2 – б

    3 – в

    4 – б, г

    5 – в

    6 – б, г

    7 – а, в

    8 – в, г

    9 – а, в

    10 – в

    infourok.ru

    Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по экономике (10 класс) на тему: тест по теме «Рынок труда»

    Тема «Рынок труда»

    А1. Кто из приведенных ниже граждан является циклическим безработным?

    1. Банкир, уволившийся из-за ссоры с начальством
    2. Строитель, уволенный в связи с остановленным строительством фабрики
    3. Программист, уволившийся из-за поиска более высоко оплачиваемой работы
    4. президент корпорации, обанкротившейся во время финансово-экономического кризиса

    А 2. Что способствует снижению уровня безработицы?

    1) повышение минимальной зарплаты

    2) создание программ профессиональной переподготовки

    3) выплата пособий по безработице

    4) уменьшение таможенной пошлины

    А3. Верны ли следующие суждения о безработице?

    А. Безработица ведет к снижению трудовой мотивации у работающих

    Б. Безработица создает социальную напряженность в обществе.

    1) верно только А                3) верны оба ответа

    2) верно только Б                  4) оба ответа неверны

    А4. Рабочие, занятые в частной фирме переведены на неполный рабочий день. К какой категории населения относятся эти работники?

    1) частично безработные          3) нетрудоспособные

    2) занятые                                  4) бюджетники

    А5. Недостаточная осведомленность граждан о свободных местах может быть одной из причин

    1. фрикционной безработицы      3) сезонной безработицы
    2. структурной безработицы        4) циклической безработицы.

            

    А 6. Какой вид безработицы чаще всего возникает в курортных городах

    1. фрикционная безработица      3) сезонная безработица
    2. структурная безработица        4) циклическая безработица.

    А7. К неэкономическим последствиям безработицы относятся

    1. повышение конкуренции на рынке труда
    2. рост числа правонарушений
    3. недополученный выпуск продукции
    4. уменьшение шансов найти высокооплачиваемую работу в будущем.

    А8. Верны ли следующие суждения о трудовом договоре?

    А. Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами.

    Б. Условия договора могут быть изменены в одностороннем порядке.

    1) верно только А                  3) верны оба суждения  

    2) верно только Б                  4) оба суждения неверны

    А9. Верны ли следующие утверждения о факторах увеличения предложения труда

     А. Фактором увеличения предложения на рынке труда является увеличение заработной платы.

    Б. Фактором снижения предложения является тягость труда.

    1) верно только А                  3) верны оба суждения  

    2) верно только Б                  4) оба суждения неверны

    А10. Терпящая убытки фирма, привлекла талантливого кризис-менеджера, который за год смог вывести ее из кризисного состояния. Какой фактор производства был использован фирмой в первую очередь?

    1) информация

    2) предпринимательские способности

    3)земля и природные ресурсы

    4) капитал.

    В1. В государстве З. высокий уровень безработицы. Какие категории населения могут быть отнесены к фрикционным безработным? Выберите нужные позиции и запишите их номера.

    1. уволившиеся по собственному желанию
    2. нашедшие работу, но не приступившие к ней
    3. уволенные в связи с падением спроса на их услуги
    4. уволенные в результате общего спада производства в стране
    5. занятые неполный рабочий день
    6. вновь появившиеся на рынке труда и имеющие требуемую квалификацию

    В-2  Установите соответствие между примерами и соответствующими им видами безработицы.

     Признаки                                                                                            виды безработицы

    А) в связи с изменениями спроса на энергоносители                     1) сезонная

    многие шахты закрылись, а шахтеры остались без                        2) циклическая

     работы                                                                                                 3) структурная

    Б) выпускники вузов ищут работу по специальности                    4) фрикционная

    В) жители приморского города обслуживают туристов

      летом, а в остальное время большинство не могут

    найти работу.

    Г) Безработные отказываются от предложенных вакансий

     в центре занятости и просят подобрать им работу

     менеджеров

    Д) произошло сокращение персонала фирмы в связи с

     экономическим кризисом.

    В-3

      Запиши слово, пропущенное в схеме

                                    Виды оплаты труда

    Повременная оплата труда                       ?……оплата труда

    В 4. Найдите понятие, которое является обобщающим для всех остальных понятий представленного ниже ряда, и запишите цифру, под которой оно указано.

    1) рабочая сила           4) трудоспособное население

    2) безработные            5) менеджеры

    3) занятые

    В-5. Прочитайте приведенный ниже текст, в котором пропущен ряд слов. Выберите из приведенного ниже списка слова, которые необходимо вставить на место пропусков.

     « Уровень заработной платы работника связан с его личными качествами, так называемым____________(А): ценность работника определяется его природными способностями, уровнем его _________(Б), квалификацией, опытом работы, здоровьем, духовным богатством. Есть еще ряд факторов, определяющих уровень зарплаты: особенности региона, специфика отрасли, условия___________(В) и др. Судить о размере заработка можно по __________(Г) заработной плате, которая учитывает уровень инфляции в стране. Если в стране высокая инфляция, то покупательная способность ________(Д) падает, и даже при высокой_________(Е) зарплате доступным становится все меньшее  количество благ.

    1. труд                                                      6) реальная
    2. деньги                                                  7) номинальная
    3. человеческий капитал                        8) фирма
    4. товар                                                     9) государство
    5. образование

    Блок С.

    С-1. Какой смысл вкладывают экономисты в понятие «безработица»? Составьте два предложения, содержащие информацию о безработице.

    Ключ

    Вариант-1

    А-1

    А-2

    А-3

    А-4

    А-5

    А-6

    А-7

    А-8

    А-

    9

    А-10

    В-1

    В-2

    В-3

    В-4

    В-5

    4

    2

    3

    1

    1

    3

    2

    1

    3

    2

    1, 2, 6

    3 4 1 4 2

    сдельная

    4

    А-3 Б-5 В-1 Г-6 Д-2 Е-7

    КЭС

    nsportal.ru

    Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия – Площади подобных треугольников | Треугольники

    Площади подобных треугольников | Треугольники

    Утверждение

    Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

    Дано:

       

    Доказать:

       

    Площадь треугольника ABC может быть найдена, например, по двум сторонам и углу между ними:

       

    Аналогично,

       

    Так как углы подобных треугольников равны, а стороны — пропорциональны, то ∠A=∠A1,

       

    то есть

       

    Теперь можем найти, как относятся площади подобных треугольников:

       

       

    Так как 

       

    то 

       

    то есть

       

       

    Что и требовалось доказать.

    Поскольку отношение любых линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, периметров) подобных треугольников равно коэффициенту подобия, площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

    Найти площадь треугольника, Подобие треугольников

    www.treugolniki.ru

    Отношение площадей подобных треугольников. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

    Тема: Подобные треугольники

    Урок: Отношение площадей подобных треугольников

    Начнем с того, что введем определение подобных треугольников.

    Определение. Два треугольника называются подобными, еслиих углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны (см. Рис. 1).

    . Отношение длин сторон треугольников называют коэффициентом подобия ().

    Рис. 1

    Замечание. Пропорциональные стороны подобных треугольников называют еще сходственными сторонами.

    Важно понимать, что в подобных треугольниках пропорциональны не только стороны, но и другие соответственные линейные элементы: высоты, медианы, биссектрисы, проведенные к соответственным сторонам, периметры и т.п. Т.е. все эти величины относятся, как коэффициент подобия. Вопрос заключается в том, верно ли аналогичное утверждение и для площадей треугольников. Для того чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем теорему.

    Теорема 1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

    Доказательство. Изобразим подобные треугольники  на Рис. 2.

    Рис. 2

    Из подобия треугольников по определению следует, что .Воспользуемся следующей теоремой, которую мы сформулировали в предыдущей теме «Площадь»: если у двух треугольников равны углы (), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем этот факт в виде формулы:

    , что и требовалось доказать.

    Доказано.

    Замечание. Возможно доказательство этой теоремы не единственным указанным способом, а и с использованием различных формул для вычисления площади треугольника, но мы их указывать не будем.

    Рассмотрим ряд примеров, в которых применяется рассмотренная теорема.

    Пример 1. Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия , то чему равно отношение площадей этих треугольников.

    Решение. Задача устная и не требует выполнения чертежа. Воспользуемся изученной теоремой: .

    Ответ. 2.

    Пример 2. Треугольники  подобны. Площадь  равна , площадь  равна . Сторона  равна 18 см, найти сходственную ей сторону .

    Решение. Воспользуемся для удобства готовым Рис. 2. Поскольку отношение площадей треугольников: , то по теореме .

    Тогда из подобия треугольников: .

    Ответ. 9 см.

    Пример 3. Дан треугольник , площадь которого равна  и в нем проведена средняя линия  параллельно . Необходимо найти площадь треугольника, который отсекает средняя линия от треугольника .

    Решение. Изобразим Рис. 3.

    Рис. 3

    Из рисунка видно, что в условии требуется найти площадь треугольника . Треугольники  и  подобны, т.к. равны их углы ( общий, ,  как соответственные углы при параллельных прямых и секущей) и сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом пропорциональности  ( и  – середины соответствующих сторон, а  по теореме о средней линии).

    Тогда по теореме об отношении площадей подобных треугольников .

    Ответ. .

    На сегодняшнем уроке была рассмотрена теорема об отношении площадей подобных треугольников и приведен ряд примеров на ее применение.

     

    Список литературы

    1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
    2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
    3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

     

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    1. Antonmart.narod.ru (Источник).
    2. Oldskola1.narod.ru (Источник).

             

    Домашнее задание

    1. Вычислите коэффициент подобия треугольников, площади которых равны: а) , б) , в) .
    2. В треугольнике  через точку , лежащую на стороне , проведены прямые, параллельные сторонам  и . Площадь образованного при этом параллелограмма составляет  площади треугольника . Найдите отношение .
    3. В треугольнике  через основание  высоты  проведена прямая параллельно стороне до пересечения со стороной  в точке. Найдите отношение , если площадь треугольника  составляет  площади треугольника .
    4. На боковых сторонах  и  трапеции  взяты точки  и  так, что отрезок  параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину , если  и .

    interneturok.ru

    Отношение площадей подобных треугольников

    Теорема об отношении площадей подобных треугольников

    Для подобных треугольников и с коэффициентом подобия справедлива следующая теорема:

    ТЕОРЕМА

    Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

    Доказательство. Обозначим через и площади треугольников и с коэффициентом подобия . Так как , то

       

    Из свойств подобных треугольников следует, что . Тогда

       

    Что и требовалось доказать.

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1
    Задание Треугольники и подобны. Площадь треугольника равна 100 см, а площадь треугольника равна 25 см. Найти сторону , если см.
    Решение Найдем отношение площадей треугольников и

       

    т.е. . Тогда из подобия треугольников следует

       

    Ответ см
    ПРИМЕР 2
    Задание Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Найти площадь треугольника , если см.
    Решение Найдем площадь треугольника по формуле

       

    Поскольку треугольники и подобные, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е.

       

    откуда см

    Ответ см
    Читайте также:

    Свойства подобных треугольников

    Отношение периметров подобных треугольников

    Радиус вписанной окружности треугольника

    Гипотенуза прямоугольного треугольника

    ru.solverbook.com

    Подобные треугольники. Отношение периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия

    Подобные треугольники

    Что такое подобные треугольники?

    Подобные треугольники определение

    Подобные треугольники определение:

    Подобные треугольники имеют соответственно равные углы, а сходственные стороны треугольников пропорциональны.

    На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A1, угол B равен углу B1, угол C равен углу C1.

    Сходственные стороны треугольников

    Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

    AB /A1B1 = BC /B1C1 = AC /A1C1 = k

    здесь k называется коэффициентом подобия.

    Отношение площадей подобных треугольников

    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

    SABC / SA1B1C1 = k2

    Отношение периметров подобных треугольников

    Отношение периметров подобных треугольников:

    Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

    Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A1B1C1. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

    AB = k * A1B1
    BC = k * B1C1
    AC = k * A1C1

    Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

    AB + BC + AC =
    k * (A1B1 + B1C1 + A1C1)

    Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A1B1C1. Разделим обе части равенства на периметр A1B1 + B1C1 + A1C1. Получаем:

    AB + BC + AC / (A1B1 + B1C1 + A1C1) = k

    что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

    Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:


    www.sbp-program.ru

    Подобные треугольники | Треугольники

    Два треугольника подобны, если об этом сказано в условии либо если это можно доказать по одному из признаков подобия треугольников.

    Определение

    Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

    (или:

    Два треугольника подобны, если между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек равно одной и той же постоянной k, k — коэффициент подобия).

    Как и в случае равных треугольников, важно правильно называть подобные треугольники: равные углы должны находиться на соответствующих позициях.

       

       

    Определение подобных треугольников предполагает выполнение шести пар равенств (равенство трёх пар углов и пропорциональность трёх пар сторон). Признаки подобия позволяют сократить число равенств до 2-3 (для прямоугольных треугольников — до 1-2).

    Свойства подобных треугольников

    1) Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны:

       

    2) Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т.д.) относятся как их соответствующие стороны.

    3) Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

       

    www.treugolniki.ru

    8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. — Отношение площадей подобных треугольников.

    Комментарии преподавателя

    От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков

    Нач­нем с того, что вве­дем опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

    Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

    . От­но­ше­ние длин сто­рон тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия ().

    Рис. 1

    За­ме­ча­ние. Про­пор­ци­о­наль­ные сто­ро­ны по­доб­ных тре­уголь­ни­ков на­зы­ва­ют еще сход­ствен­ны­ми сто­ро­на­ми.

    Важно по­ни­мать, что в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках про­пор­ци­о­наль­ны не толь­ко сто­ро­ны, но и дру­гие со­от­вет­ствен­ные ли­ней­ные эле­мен­ты: вы­со­ты, ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы, про­ве­ден­ные к со­от­вет­ствен­ным сто­ро­нам, пе­ри­мет­ры и т.п. Т.е. все эти ве­ли­чи­ны от­но­сят­ся, как ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия. Во­прос за­клю­ча­ет­ся в том, верно ли ана­ло­гич­ное утвер­жде­ние и для пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков. Для того чтобы от­ве­тить на этот во­прос, сфор­му­ли­ру­ем тео­ре­му.

    Тео­ре­ма 1. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та их по­до­бия.

    До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  на Рис. 2.

    Рис. 2

    Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по опре­де­ле­нию сле­ду­ет, что .Вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щей тео­ре­мой, ко­то­рую мы сфор­му­ли­ро­ва­ли в преды­ду­щей теме «Пло­щадь»: если у двух тре­уголь­ни­ков равны углы (), то их пло­ща­ди от­но­сят­ся, как про­из­ве­де­ние сто­рон, за­клю­ча­ю­щих дан­ные углы. За­пи­шем этот факт в виде фор­му­лы:

    , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

    До­ка­за­но.

    За­ме­ча­ние. Воз­мож­но до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы не един­ствен­ным ука­зан­ным спо­со­бом, а и с ис­поль­зо­ва­ни­ем раз­лич­ных фор­мул для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, но мы их ука­зы­вать не будем.

    Рас­смот­рим ряд при­ме­ров, в ко­то­рых при­ме­ня­ет­ся рас­смот­рен­ная тео­ре­ма.

    При­мер 1. Если два тре­уголь­ни­ка по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия , то чему равно от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков.

    Ре­ше­ние. За­да­ча уст­ная и не тре­бу­ет вы­пол­не­ния чер­те­жа. Вос­поль­зу­ем­ся изу­чен­ной тео­ре­мой: .

    Ответ. 2.

    При­мер 2. Тре­уголь­ни­ки  по­доб­ны. Пло­щадь  равна , пло­щадь  равна . Сто­ро­на  равна 18 см, найти сход­ствен­ную ей сто­ро­ну .

    Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся для удоб­ства го­то­вым Рис. 2. По­сколь­ку от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков: , то по тео­ре­ме .

    Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков: .

    Ответ. 9 см.

    При­мер 3. Дан тре­уголь­ник , пло­щадь ко­то­ро­го равна  и в нем про­ве­де­на сред­няя линия  па­рал­лель­но . Необ­хо­ди­мо найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, ко­то­рый от­се­ка­ет сред­няя линия от тре­уголь­ни­ка .

    Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 3.

    Рис. 3

    Из ри­сун­ка видно, что в усло­вии тре­бу­ет­ся найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка . Тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны, т.к. равны их углы ( общий, ,  как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых и се­ку­щей) и сход­ствен­ные сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том про­пор­ци­о­наль­но­сти  ( и  – се­ре­ди­ны со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон, а  по тео­ре­ме о сред­ней линии).

    www.kursoteka.ru

    Определение подобных треугольников

    Пропорциональные отрезки

    Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

    Определение 1

    Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

    Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

    То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

    Подобные треугольники

    Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

    Определение 3

    Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

    Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

    Рисунок 1. Два треугольника

    Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

    Определение 4

    Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

    На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

    Определение 5

    Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

    \[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

    На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

    Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

    Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

    Определение 6

    Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

    Площади подобных треугольников

    Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

    Теорема 1

    Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

    \[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

    Доказательство.

    Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

    Рисунок 2.

    Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

    Теорема 2

    Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

    Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

    Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

    Теорема доказана.

    Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

    Пример 1

    Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

    Решение.

    Данная задача имеет два возможных решения.

    1. Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.

      Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

      Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$

    2. Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$

      Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.

      Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

    Пример 2

    Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.

    Решение.

    Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.

    Найдем площадь первого треугольника.

    \[S=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\]

    По теореме 1, имеем:

    \[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \[S_{A_1B_1C_1}=36\]

    Ответ: $36$.

    spravochnick.ru

    24 7 калькулятор – Калькулятор онлайн — лучший и бесплатный

    Калькулятор НДС онлайн — расчет НДС

    Инструкции по работе с Калькулятором НДС

    Рекомендуем сначала выбрать «Тип расчета» (Выделить или Начислить НДС) так как калькулятор все расчеты показывает сразу, по мере ввода чисел.
    Режим работы можно изменить, нажав на соответствующую кнопку или кликнув по названию режима работы.
    Если нужно, измените ставку НДС.

    Все расчеты на калькуляторе НДС можно производить, даже если нет подключения к интернет.
    Последние введенные «Режим работы» и «Ставка НДС» сохраняются в памяти калькулятора.
    Для копирования «Суммы НДС» или «Суммы Без/С НДС» кликните по цифрам, появится специальное окно.
    При нажатии на кнопку «Х» калькулятор сбрасывается к первоначальным настройкам (Выделение НДС по ставке 20%).

    Результаты вычислений отображаются как в числовом виде, так и прописью. Суммы прописью удобно копировать из специальных полей.

    Результаты вычислений можно сохранить, используя кнопку «Сохранить».
    Таблицу сохраненных результатов можно редактировать, удаляя не нужные расчеты.
    Кликнув по строке в таблице сохраненных результатов, можно перенести данные в основные расчеты.

    Скопировав «Ссылку на результат», можно отправить ссылку на произведенные расчеты по e-mail или мессенджер.

     

    Формула расчета НДС

    Для выделения НДС из суммы нужно Цену с НДС умножить на 20 и разделить на 120.
    Попробуем посчитать НДС, выделим НДС из 550: 550х18/120=83.90. НДС равен 83.90, сумма без НДС — 550-83.90 = 466.10.

    Начислять НДС тоже не сложно. Необходимо Цену без НДС умножить на 0.20 (получаем сумму НДС) и к получившемуся результату прибавить Цену без НДС.
    Для примера начислим НДС на 550: 550х0.20+550=649. НДС равен 99.00, сумма с НДС 649.00..

    Из истории возникновения НДС

    В России НДС (Налог на Добавленную Стоимость) впервые был введен в 1992 году. Первоначально правила и порядок начисления НДС регулировались отдельным законом «О налоге на добавленную стоимость», позже НДС стал регулироваться 21 главой Налогового кодекса.
    Изначально ставка НДС доходила до 28%, но позже была снижена до 20%.
    Сейчас основная ставка НДС, действующая на территории России — 20%. Пониженная ставка НДС 10% действует на медицинские и детские товары, печатные издания, книжную продукцию.

    calculator888.ru

    Калькулятор самогонщика онлайн: расчет важных параметров


    Перед вами несколько простых калькуляторов, рассчитывающих важные для самогоноварения параметры. Эти сервисы будут полезны как опытным, так начинающим винокурам. Они экономят время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную.

    Калькулятор разбавления спирта водой

    Определяет количество воды, которое нужно добавить для получения спирта заданной крепости.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Для получения после разбавления,
    нужно добавить воды

    Калькулятор смешивания двух спиртосодержащих жидкостей

    Позволяет рассчитать крепость, объем и вес смеси из двух спиртосодержащих жидкостей при указанной температуре. Калькулятор может использоваться и для расчета параметров разбавления самогона водой, для этого достаточно задать крепость воды равной нулю.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Расчет параметров сахарной браги

    Калькулятор определяет правильные пропорции браги и максимально возможное содержание спирта в ней после окончания брожения.

    Внимание! Учитывайте толерантность (концентрацию спирта в браге, при которой дрожжи погибают) своего штамма дрожжей! Для большинства штаммов этот показатель не превышает 16%.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    На выходе получится брага с содержанием и удельной плотностью
    Потребуется

    Замена сахара глюкозой или фруктозой

    После брожения из глюкозы или фруктозы получается на 5% меньше спирта, чем из сахарозы, но более высокого качества. Калькулятор рассчитывает, сколько нужно глюкозы, чтобы выход самогона был как с 1 кг сахара.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Вам потребуется кг глюкозы (фруктозы)

    Спирт в браге до и после брожения

    Для рефрактометра со шкалой Brix Wort SG.

    Калькулятор рассчитывает, насколько эффективным было брожение (переработали ли дрожжи весь сахар в спирт).

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    На выходе получится сусло с содержанием

    Калькулятор дистилляции до воды

    Ориентируясь по объему браги и содержанию в ней спирта, сервис рассчитывает предполагаемый выход самогона и объем барды в перегонном кубе, который останется после дистилляции.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    На выходе должно получиться собранного дистиллята
    и барды в кубе

    Калькулятор чистого спирта и отбора голов

    Рассчитывает количество спирта в дистилляте первой перегонки и определяет объем «голов» в зависимости от указанного процента. Крепость напитка желательно измерять при температуре 20 °C.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Оптимальная кислотность сусла

    Среда кислотностью 4,0-4,5 рН помогает брожению и препятствует развитию нежелательных бактерий. Коррекцию сусла делают перед внесением дрожжей. Для этого можно использовать лимонную кислоту или сок (5 грамм кислоты эквивалентно соку одного среднего лимона). Для определения начальной кислотности сусла нужен хотя бы самый простой pH-метр.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Для разведения понадобится всего кислоты, т.е. на один литр.

    Коррекция показаний ареометра в зависимости от температуры

    Замерять крепость самогона (дистиллята) нужно строго при температуре 20 °C, иначе ареометр покажет неправильное значение, таков физический принцип его работы. Калькулятор позволяет узнать реальную крепость при другой температуре самогона.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Реальная крепость: % (об.)

    На данный момент лучшим калькулятором для самогонщиков в виде приложения для операционных систем семейства «Windows» является программа авторства Rudy, которая распространяется бесплатно. Скачать CalcSam v4.3.

    alcofan.com

    Калькулятор потребительского кредита онлайн

    Переплата по кредитуТекущий платежКомиссииСтраховкаВозможный налоговый вычетСэкономлено на досрочках
    000000
    Создатель калькулятора рекомендует Честный кредит от 12% Подать заявку
    Выгодный кредит от Ренессанс от 23% Подать заявку
    Заявка на кредит во все банки от 10% Подать заявку

    График платежей кредитного калькулятора онлайн.

    № платежаДатаПлатежОсновной долгПроцентыОстаток долгаДосрочные погашения

    Потребительский кредит — займ, который вы берете на различные нужды потребления. К примеру, вы хотите купить телевизор в магазине или стиральную машину, или поехать в отпуск.
    Покупка тура у оператора — это покупка услуги. Т.е. вы потребляете услугу и берете потребительский займ.
    Калькулятор потребительского кредита предназначен для расчета ссуд наличными с учетом комиссий и страховки.
    Комиссии и страховки вводятся через досрочные платежи.

    Варианты расчета

    Калькулятор позволяет произвести просто расчет кредита — вводите сумму, ставку, срок и нажимаете расчет.
    Второй вариант — расчет досрочного погашения. Вы задаете данные кредита и даты и суммы досрочных погашений. Если вы хотите понять, сколько вы будете погашать при внесении каждый месяц определенной суммы по займу, рекомендуем использовать калькулятор прогноза
    Cм. также: Калькулятор прогноза досрочного погашения
    Он позволит вам понять, как быстро вы закроете кредит.

    Как сравнить два кредита

    Перед получением банковского кредита не лишне будет посчитать переплату по займу. Лучше всего сравнить предложения нескольких банков и выбрать лучшее. Калькулятор на данной странице можно использовать для этого. Однако придется открыть еще одну страницу с калькулятором, чтобы сравнить 2 разных кредита. Специально для сравнения кредитов и схемы досрочных погашений мы сделали калькулятор сравнения кредитов
    См. также: Калькулятор сравнения кредитов
    Он позволит понять, какую схему досрочного погашения выбрать — уменьшать срок или сумму платежа. Также он поможет в выборе наиболее выгодного варианта кредитования

    Порядок расчета займа с помощью калькулятора

    Существует 2 варианта расчета займа
    Первый — предварительный расчет, когда вы хотите взять наличные в кредит. Для данного расчета дата первого платежа не нужна. Ее можно оставить по умолчанию. Она не влияет на размер ежемесячного платежа.
    Сумма займа — она прописана в кредитном договоре и берется без учета первоначального взноса на товар или услугу.
    Процентная ставка — номинальная ставка по займу без учета комиссий и страховки. Берется из договора займа. Можно ввести 3 знака после запятой.
    Выражается без деления на сто.
    Срок — целое число месяцев на которе берется займ. Если у вас 2 года к примеру, то нужно ввести 24 месяца
    Второй вариант — расчет существующего займа
    Далее идет поле — дата первого платежа. Этот параметр уже важен когда вы взяли кредит
    Для взятой ссуды важен расчет по дате. Т.е при построении графика указывается дата очередной выплаты — номер дня в месяце.
    Расчет с учетом дат важен при досрочных погашениях. От даты досрочного внесения средств зависит то, в каком месяце будет новый уменьшенный платеж.

    Как использовать калькулятор?

    После ввода необходимых указанных выше данных нужно нажать на кнопку расчет.
    После ее нажатия возможны следующие варианты

    • Ошибки при вводе данных. Обратите внимание — даты нужно вводить через точку в формате дд.мм.уууу. Суммы вводятся в через точку, ставка может иметь 3 знака после запятой
    • Произошел успешный расчет кредита. Построился график платежей. Посчиталась переплата по ссуде

    Читайте также: Самые частые вопросы и ответы на них
    Если расчет успешен, можно начинать добавлять досрочные погашения. В форме справа — добавление досрочного погашения — нужно ввести дату, тип и сумму и нажать добавить. Произойдет автоматический пересчет графика по займу и других параметров. Изменится общая переплата.
    В случае полного досрочного погашения — после данного платежа в графике будут нули не зависимо от того, уменьшали сумму или срок.
    Если добавили погашение с изменением срока — в графике будет меньше строк по сравнению с начальным вариантом.
    Погашение с изменением суммы уменьшит аннуитетный платеж по займу. Число строк в графике платежей останется таким же.
    Если добавили изменение процентной ставки — произойдет пересчет графика платежей по новому проценту с того момента, когда было это изменение. Платеж может увеличиться или уменьшиться в зависимости от того, уменьшали или увеличивали ставку.

    Экспорт данных в Excel

    После расчета вы сможете сохранить результаты на своем компьютере. Для этого нужно нажать на ссылку «Получить Exсel файл». Произойдет генерация файла в формате Excel 2003 и появится ссылка «Скачать файл». Нужно нажать на эту ссылку и файл будет сохранен у вас. Вы можете распечатать файл и вернуться к нему в любой момент.
    При расчете кредита ссылка на данный файл исчезает и вам нужно будет снова сгенерировать Excel файл.
    Рекомендую добавить калькулятор в закладки для удобства использования в дальнейшем.
    У калькулятора также есть версия для мобильных телефонов на Android и iPhone.

    Полезное по теме

    mobile-testing.ru

    Кредитный калькулятор, калькулятор кредита

    Кредитный калькулятор производит расчет ежемесячных платежей, процентов по кредиту, выплат по комиссиям и страховкам. Составляется график платежей с указанием сумм учитываемых выплат. Калькулятор кредита может рассчитывать платежи по аннуитетному или дифференцированному способу. В итогах справа отображается сумма ежемесячного платежа, переплата по процентам, переплата с учетом комиссий, общая стоимость кредита.

    Особое внимание обратите на Эффективную процентную ставку, которая с учетом дополнительных комиссий и страховок может быть значительно выше предлагаемой в кредитном договоре.

    Настройки Кредитного калькулятора

    Способ расчета
    Возможен расчет кредита и платежей, как по Сумме кредита, так и по Стоимости покупки и первоначальному взносу. При расчете кредита по Стоимости покупки сначала рассчитывается сумма кредита, при этом проценты и комиссии на первоначальный взнос не начисляются.

    Выбор валюты кредита
    Кредитный калькулятор может рассчитывать кредит онлайн в одной из 3-х валют: рубли, доллары или евро.

    Срок кредита
    По умолчанию срок кредита необходимо вводить в месяцах. Срок можно вводить и в годах, но необходимо изменить тип срока кредита.

    Процентная ставка
    Традиционно процентная ставка исчисляется из расчета процентов/год. Изменив настройки кредитного калькулятора можно рассчитывать платежи исходя из месячной процентной ставки.

    Тип платежей
    Обычно банки для расчета кредита используют аннуитетный метод расчета платежей по кредиту (равные ежемесячные платежи). Однако возможен и второй вариант — дифференцированные платежи (начисление процентов на остаток). Используя выпадающее меню, выберите нужный Вам тип расчета платежей. Более подробную информацию о типах и способах расчета смотрите в разделах аннуитетный калькулятор или калькулятор дифференцированных платежей.

    Дополнительные настройки

    Используйте ссылку «дополнительные настройки» для отображения полей формы для ввода и расчета комиссий, страховок, последнего взноса, даты выдачи кредита.

    Комиссия при выдаче
    Одним из условий выдачи кредита многими банками является оплата Комиссии при выдаче или за выдачу кредита. Кредитный калькулятор может учесть подобную комиссию в общей стоимости кредита и при необходимости разбить комиссию в ежемесячные платежи.

    Ежемесячная комиссия
    Учитывается в общей стоимости кредита и в ежемесячных платежах

    Страховка
    Страхование кредита — дополнительный вариант ежемесячной комиссии. Как правило, банки не учитывают страховку в графике ежемесячных платежей и взымают подобную комиссию на основании дополнительного договора. Однако общая стоимость полученного кредита при этом может сильно возрасти. Кредитный калькулятор онлайн учитывает ежемесячную страховку в общей стоимости кредита и в сумме ежемесячного платежа.

    Последний взнос
    Один из вариантов кредита — кредит с последним взносом. При расчете подобного кредита размер ежемесячного платежа ниже за счет уменьшения выплат по основному долгу. Однако проценты на последний взнос так же начисляются и учитываются в ежемесячных выплатах.

    Дата выдачи
    По умолчанию используется текущая дата, но можно выбрать любую удобную. Функция удобна при работе с графиком платежей.

    Дата первого платежа
    Изначально используется текущая дата, для удобства работы с графиком платежей выберите необходимую.

    calculator888.ru

    Калькулятор процентов. Онлайн-калькулятор

    Калькулятор процентов позволяет производить любые расчеты с процентами: нахождение процента от числа, сколько процентов составляет число «X» от числа «Y», прибавление процента к числу, вычитание процента из числа

    Для расчета необходимо ввести данные в поля калькулятора, после нажать кнопку «Рассчитать» для получения результата.


    Нахождение процента от числа. Для того чтобы найти процент от числа введите в первое поле значение процента, которое нужно найти. Во второе поле введите число, из которого нужно найти процент.

    Сколько процентов составляет число «X» от числа «Y». В первое поле нужно ввести число, процент которого мы ищем. Во второе поле нужно ввести число, из которого мы будем находить процент первого числа.


    Прибавление процента к числу. Чтобы прибавить процент к числу нужно в первое поле ввести значение процента, которое нужно прибавить. Во второе поле ввести число, к которому нужно прибавить процент.

    Вычитание процента из числа. Для нахождения результата введите в первое поле число, из которого нужно вычесть процент. Во второе поле введите значение процента, которое нужно вычесть из числа.

    Процент (лат. per cent — на сотню) — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Принято считать что 100% = 1, исходя из этого 25% эквивалентно 0,25 или 25/100.

    Пример. Для того чтобы вычислить процент от числа нужно в первом поле указать процент который требуется вычислить, например «20». Во втором поле нужно указать число из которого будет вычисляться процент, например «60». После ввода данных нажмите кнопку «Рассчитать», искомый результат «12».

    20 %  от числа  60  = ?         →         20 %  от числа  60  = 12.

    calc.by

    CALCULATOR24 | CALCULATOR24

    Тарифы на услуги ЖКХ постоянно индексируются и растут, составляя при этом существенную статью расходов обычной российской семьи. Многие сервисы и банки дополнительно взимают комиссию за проведения подобных платежей, что увеличивает и так довольно существенную цифру. Возможно вы уже были в поисках способов оплаты ЖКХ картой без комиссии. Но мы расскажем вам о более эффективном способе реальной экономии бюджета в части платежей за жилищно-коммунальные услуги — оплата ЖКУ с помощью банковской карты с кэшбэком. Рассмотрим подробнее далее в статье.   Содержание1 […]

    Read more

    Расчет квартплаты затрагивает финансовые интересы многих жильцов многоквартирных домов, ведь каждый из них хочет получать качественные услуги по приемлемой и адекватной цене. Если часть проживающих оплачивают, полученные квитанции, что называется не глядя, то большинство владельцев недвижимости интересует, что входит в состав ЖКУ и как регулируется порядок их расчета.   Содержание1 Кто утверждает тарифы и нормативы на коммунальные услуги2 Из чего состоят и от чего зависят платежи ЖКХ2.1 Содержание жилого помещения2.2 Коммунальные услуги на ОДН2.3 Водоснабжение и электроэнергия по счетчику2.4 Оплата […]

    Read more

    Проблема задолженностей по алиментам уже давно приобрела в России характер общегосударственной. Каких только мер не применяют к должникам. В последнее время злостным неплательщикам даже закрыли выезд за границу. Но сложившуюся ситуацию такие действия окончательно не разрешают. Поэтому, если в жизни возникла необходимость взыскания алиментов, то всегда надо знать каким образом этот процесс осуществляется и какие шаги следует предпринять, если не все идет по заданному сценарию.   Содержание1 Исполнительный лист по алиментам: как выдается и что должен содержать1.1 Взыскание алиментов через […]

    Read more

    Большинство кредитных должников понимают, что суда с кредитором им не избежать. Однако многие узнают о факте проведения суда только при получении на руки специального уведомления – судебного приказа. Что это такое, чем он отличается от судебного решения, каков порядок его вынесения и можно ли его оспорить? Со всеми этими вопросами попробуем разобраться в данной статье.

    Read more

    Одним из важных изменений в законодательстве России с 01.01.2017 года стало делегирование полномочий не только по администрированию, но и по расчетам, сверкам платежей в пользу внебюджетных фондов Федеральной налоговой службой. Какие проблемы это повлекло на практике, а также в каком порядке теперь учитываются взносы в ФНС РФ, какие полномочия сохранены за ПФ РФ и ФСС РФ в отношении социальных сборов, как решаются ситуации с неправомерно начисленной задолженностью, вы узнаете из этого материала.   Содержание1 ИП и «нулевая отчетность» предпринимателя. Обязательные […]

    Read more

    Может ли взыскатель самостоятельно предъявить исполнительный лист для взыскания средств в кредитных учреждениях, оформленных на должника? Как осуществляется процедура, на основании каких нормативных актов, в каком порядке предоставляются сведения о зарегистрированных на должника счетах банками? О том, в каких случаях требуется обращение к судебным приставам, как взыскать неустойку с застройщика через банк по исполнительному листу, вы узнаете из этого материала.

    Read more

    При возникновении задолженности банки на практике зачастую списывают средства с дебетовых и иных банковских карт, счетов, открытых в самом финансовом учреждении, но в рамках задолженности перед банком по разным основаниям. Законно ли это, а также как предотвратить такие действия, и какие документы должны быть у кредитора для снятия средств, подробно читайте в этом материале.   Содержание1 Практика безакцептного списания со счетов физических лиц2 Дискуссионность вопроса. Может ли регулироваться безакцептное списание договором как утверждает банк?3 Что делать до обращения в суд, […]

    Read more

    Многих интересуют вопросы о том, куда можно вложить свои деньги, насколько это выгодно и какой порядок налогообложения получаемого дохода. Среди наиболее интересных и максимально доступных способов пассивного дохода необходимо назвать индивидуальный инвестиционный счет, который могут открывать физические лица.   Содержание1 Что нужно знать про индивидуальный инвестиционный счет. Налоговый вычет по ст. 219.1 НК РФ2 Что нужно знать про облигации федерального займа: виды ОФЗ, где можно их купить3 Стоит ли открывать ИИС: плюсы и минусы. Стоит ли доверять управление бумагами брокеру?4 […]

    Read more

    Расходы на топливо и бензин являются одной из главных статей расходов по содержанию любого автомобиля. Так как безналичный расчет становится все более распространенным, банки в целях привлечения дополнительных клиентов предлагают использовать на АЗС специальные карты, с помощью которых можно компенсировать часть покупки. С каждой покупки автомобилист получит кэшбэк в определенной доле от потраченной суммы. Разберемся подробнее, что такое банковская карта с кэшбэком на АЗС и какие банки предлагают самые выгодные продукты в этом сегменте.   Содержание1 Карты с кэшбэком на […]

    Read more

    Возникновение Агентства ипотечного жилищного кредитования 20 лет назад привело ипотечный рынок России к определенной стабильности при паритете интересов кредиторов и заемщиков. Схема работы АИЖК на первый взгляд кажется усложненной, но это не так. Основными ее участниками являются три стороны: финансовая организация — банк, заемщик и само Агентство. А в данной статье вы узнаете как эффективно осуществить рефинансирование ипотеки при помощи программы АИЖК.  

    Read more

    calculator24.ru

    Калькулятор алкоголя онлайн: быстрый и точный


    Наш калькулятор алкоголя в промилле рассчитывает концентрацию спирта в крови и ориентировочное время его выведения из организма. Сервис работает на основе всемирно признанной формулы Видмарка (Widmark Erik M. P.), дающей самые точные результаты.

    Идет подсчет…

    Введите слева исходные данные

    Максимальная концентрация

    (Соответствует в выдыхаемом воздухе)

    Указанная концентрация соответствует

    Время выведения из организма

    Инструкция. Чтобы воспользоваться алкогольным калькулятором, нужно ввести: пол, вес, рост человека, степень наполненности желудка, крепость и количество выпитого спиртного. Затем нажать на кнопку «Вычислить». Калькулятор рассчитает максимальную концентрацию этилового спирта, степень опьянения и время до полного выведения алкоголя из организма.

    Состоянием на 2017 год, согласно ст.12.8 КоАП РФ, ответственность за вождение в нетрезвом виде: «наступает в случае установленного факта употребления вызывающих алкогольное опьянение веществ, который определяется наличием абсолютного этилового спирта в концентрации, превышающей возможную суммарную погрешность измерений, а именно 0,16 миллиграмма на один литр выдыхаемого воздуха». Это количество примерно соответствует 0,3 промилле (0,3 г алкоголя на 1 л крови).

     

    Внимание! Результаты вычислений не являются доказательством в суде и не служат основанием для оспаривания других способов (лабораторного или замера алкотестером). Время выведения алкоголя у каждого человека индивидуально, по формуле можно рассчитать лишь средние значения. Владелец сайта и разработчики калькулятора снимают с себя любую ответственность, связанную с его использованием.

    Степени опьянения человека

    Легкая (0,5-1,5 промилле) – наступает в первые минуты после употребления алкоголя. Мышцы расслабляются, улучшается настроение, появляется чувство комфорта. Человек становится общительным, смелым, излишне активным.

    Средняя (1,5-2,5‰) – речь монотонная, иногда невнятная. Нарушается координация движений. Появляется раздражительность, грубость к окружающим или незнакомцам, агрессия. При средней степени опьянения большинство людей готовы затеять ссору или драку. Случаются кратковременные провалы памяти.

    Сильная (2,5-3,0‰) – координация полностью теряется, речь невнятная, часто сопровождающаяся полной потерей памяти. Зачастую при сильном опьянении человек теряет сознание, может наблюдаться непроизвольное мочеиспускание.

    Алкогольное отравление (3-5‰) – чревато потерей здоровья или летальным исходом. Концентрация выше 5‰ считается смертельной дозой алкоголя, при которой спасти потерпевшего можно только в медицинском учреждении.

    Если у вас возникли вопросы по работе нашего калькулятора выведения алкоголя из крови, вы можете задать их в комментариях.

    alcofan.com