Рубрика: Школьная жизнь

Калькулятор рациональных уравнений

Рациональные уравнения

В рациональных уравнениях обе части уравнения представляют собой рациональные выражения вида: s(x) = 0 или расширено: s(x) = b(x), где s(x), b(x) – рациональные выражения.

Рациональное выражение является алгебраическим выражением, которое состоит из рациональных чисел и переменной величины, соединенных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Таким образом, это целые и дробные выражения без радикалов.

Действия с рациональными числами обладают свойствами действий с целыми числами.

К примеру, при умножении рациональных чисел есть дополнительное свойство – умножение взаимно обратных чисел. Для того чтобы умножить два рациональных числа, необходимо умножить модули этих чисел, а перед ответом поставить «плюс», если у множителей одинаковые знаки и «минус», если знаки разные.

Умножение рационального числа на ноль. Когда в рациональном уравнении хоть один множитель – ноль, то и произведение будет равняться нолю.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. При умножении нескольких чисел с разными знаками, необходимо умножить модули каждого из этих чисел. Если количество множителей с отрицательными знаками – четное, то произведение всегда будет со знаком «плюс», если количество множителей с отрицательными знаками – нечетное, то и произведение будет со знаком «минус».

Делить на ноль в рациональных уравнениях, как и в обычных нельзя.

Чтобы решить рациональное уравнение, необходимо определить тип этого уравнения и применить некоторые математические хитрости, созданные для этого типа. Если Вы не помните этих хитростей, то можете воспользоваться калькулятором для решения рациональных уравнений, который быстро подберёт все корни данного уравнений.

Решением рационального уравнения будут являться корень – конкретное число, при постановке которого в уравнение даст верное равенство. Корней рационального уравнения может быть много и важно в решении не упустить ни один корень.

Также читайте нашу статью «Калькулятор иррациональных урвнений онлайн»

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решать уравнения с дробями онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Уравнения с десятичными дробями изучают в 5 классе, и они не являются сложными математически уравнениями. Однако, не зная алгоритма их решения, они могут стать проблемой. Данного рода уравнения решаются такими же методами, как и обычные линейные уравнения, но для облегчения процесса решения лучше сначала уравнения упростить с целью избавления от десятичных дробей.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с дробями онлайн решателем»

Допустим, необходимо решить такого вида уравнение:

\[2,4(6 — 3x) + 4,3 = 1,7 — 5,2x\]

Его можно решить двумя стандартными способами:

Первый способ заключается в группировке членов уравнения и распределение их по сторонам от знака \[=:\]

Раскрыв скобки с учетом правил, получим уравнение такого вида:

\[14,4 — 7,2x + 4,3 = 1,7 — 5,2x\]

Выполняем группировку и перенос членов:

\[-7,2x — 5,2x = 1,7 — 14.4 — 4,3\]

Производим деление на -2 (число перед x):

\[-2x = -17\]

\[x = 8,5\]

Второй способ заключается в переводе десятичных чисел в целые с помощью умножения левой и правой части на 10:

\[2,4 (6 — 3x) + 4,3 = 1,7 — 5,2x\]

Получим:

\[24(6 — 3x) + 43 = 17 — 52x\]

Решаем обычное линейное уравнение стандартным методом, описанным в 1 способе:

\[144 — 72x + 43 = 17 — 52x\]

\[-72x = 52x = 17 — 144 — 43 \]

\[-20x = -170\]

Делим на -20:

\[x = 8,5\]

Где можно решить уравнение онлайн с десятичными дробями?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Как решать уравнения с дробями онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В 5 классе школьники по математике изучают довольно много новых тем, одной из которых будет дробные уравнения. Для многих это довольно сложная тема, в которой родители должны помочь разобраться своим детям, а если родители забыли математику, то они всегда могут воспользоваться онлайн программами, решающими уравнения. Так на примере вы сможете быстро понять алгоритм решения уравнений с дробями и помочь своему ребенку.

Так же читайте нашу статью «Решить дробное уравнение онлайн решателем»

Ниже для наглядности мы решим несложное дробное линейное уравнение следующего вида:

\[\frac{x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Чтобы решить данного рода уравнения необходимо определить НОЗ и умножить на него левую и правую часть уравнения:

НОЗ = 6

\[\frac {x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Благодаря этому мы получим простое линейное уравнение, поскольку общий знаменатель, а также знаменатель каждого дробного члена сократится:

\[2(2-x)-9x=30\]

Далее нам необходимо открыть скобки:

\[2x-4-9x=30\]

Сделаем перенос членов с неизвестной в левую сторону:

\[-7x=30+4\]

Выполним деление левой и правой части на -7:

\[x=-\frac{34}{7}\]

Из полученного результата можно выделить целую часть, что и будет конечным результатом решения данного дробного уравнения:

\[x=-4\frac {6}{7}\]

Где можно решить уравнение с дробями онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Как решить уравнение со смешанными дробями

В математике всегда существует несколько решений для одного уравнения. Выбор способа решения влияет только на количество математических вычислений и время получения результат. Что касается уравнений со смешанными дробями, то данного рода уравнения можно решить минимум двумя стандартными способами.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с дробями 6 класса онлайн решателем»

Допустим, нам дано такое уравнение, которое мы решим 2 способами:

\[5\frac{1}{2}x + 3\frac{5}{6} = 7\frac{3}{4}x + 2\frac{2}{3}\]

1 способ:

Выполним группировку членов уравнения:

\[5\frac{1}{2}x — 7\frac{3}{4}x = 2\frac{2}{3} — 3\frac{5}{6}\]

Далее выполним такие арифметические действия с дробями как складывание и вычитание:

\[-5\frac{3-2}{4}x = -1\frac{5-4}{6}\]

\[-2\frac{1}{4}x = -1\frac{1}{6}\]

Из полученного результата мы делаем вывод, что нам необходимо произвести деление правой части на число перед x:

\[x = -1\frac{1}{6} \div (-2\frac{1}{4})\]

\[x = \frac{28}{54}\]

\[x = \frac{14}{27}\]

2 способ:

Второй способ заключается в том, чтобы преобразовать смешанные числа в неправильные дроби:

\[5\frac{1}{2}x + 3\frac{5}{6} = 7\frac{3}{4}x + 2\frac{2}{3}\]

\[\frac{11}{2}x + \frac{23}{6} = \frac{31}{4}x + \frac{8}{3}\]

Получив это, нам необходимо умножить левую и правую часть уравнения на НОЗ:

\[\frac{66}{12}x + \frac{46}{12} = \frac{93}{12}x + \frac{32}{12} \]

После выполнения умножения на НОЗ мы получим простое линейное уравнение, которое решается с помощью группировки членов:

\[66x + 46 = 93x + 32\]

\[66x — 93x = 32 — 46\]

\[- 27x = -14\]

Делим на -27:

\[x = -14 : (-27)\]

Получаем ответ:

\[x = \frac{14}{27}\]

Где можно решить уравнение со смешанными дробями онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решить дробное уравнение онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Все уравнения, имеющие хотя бы одно из слагаемых дроби, называются дробными. Чтобы легко справиться с данными уравнениями, выполнитн следующие шаги:

— определите общий знаменатель для дробей;

— умножьте левую и правую части уравнения на данный знаменатель;

— решите полученное уравнение;

— выявите и исключите из его корней те значения, которые превращают в 0 общий знаменатель.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение методом Гаусса»

Допустим, нам дано такое уравнение:

\[\frac{5+2x}{4x-3}= \frac{3(x+1)}{7-x}\]

Воспользовавшись главными свойствами дробей, представим левую и правую часть в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{(5+2x)(7-x)}{(4x-3)(7-x)}= \frac{3(x+1)(4x-3)}{(7-x)(4x-3)} \]

Чтобы определить корни полученного уравнения, нужно решить уравнение:

\[(5+2x)(7-x)=3(x+1)(4x-3)\]

Получим:

\[7x^2-3x-22=0\]

Далее необходимо решить полученное квадратное уравнение:

\[x_1=1\frac{11}{7}, x_2=2\]

Полученные корни не превращают знаменатель в 0, а, следовательно, являются корнями исходного дробного уравнения.

Где можно решить дробное уравнение онлайн решателем?

Решить дробное уравнение онлайн решателем с решением вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Система уравнений с дробями онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В результате решения системы уравнений необходимо определить с помощью математических вычислений значения нескольких неизвестных. Для получения результата могут быть использованы разнообразные математические операции и методы. Самыми простыми способами решения систем уравнений считается:

* решение через вычитание. Лучше использовать, когда коэффициент 1 из переменной одинаковый в 2х уравнениях;

* решение через сложение. Лучше использовать, когда коэффициент 1 из переменной одинаковый в 2х уравнениях, но имеет разный знак;

* решение через умножение. Лучше использовать, когда коэффициент в 1м и 2м уравнениях равны;

* решение через замену. Лучше использовать, когда 1 из коэффициентов в 1м уравнении равен коэффициенту во 2м.

Так же читайте нашу статью «онлайн решателем Решить систему уравнений матричным методом онлайн решателем»

Перед началом решения системы уравнений всегда стоит проанализировать исходные данные и правильно выбрать методы решения. При получении конечного результата всегда нужно проверять его на правильность методом подстановки полученных значений на места неизвестных в систему.

Где можно решить систему уравнений онлайн и найти подробное решение?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решить дробное уравнение онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Все уравнения, которые можно свести к дроби \[f(x) \div g(x) = 0\] именуются рациональными уравнениями с дробями. Найти пути решения данного рода уравнений — это не самое сложное, что можно встретить в математике. Однако для этого необходимо знать алгоритм их решения, который будет разобран на уравнении такого вида:

\[\frac{(x^2 — x — 56)(x — 3)}{x^2 + 5x + 6} = 0 \]

Уравнение выше и есть ярким примером дробного рационального уравнения. Решение таких уравнений начинается с поиска корня числителя. Для этого решим уравнение квадратного вида:

\[ (x^2 — x — 56)(x — 3) = 0 \to x = 3; x^2 — x — 56 = 0\]

Определим дискриминант по уже известной нам формуле \[D = b^2 — 4ac:\]

\[D = (-1)^2 — 4 \cdot 1(-56) = 225 +25^2\]

Определим корни:

\[x = \frac{1 \pm 15}{2} \to x_1 = 8; x_2 = -7\]

Получим 3 нуля числителя:

\[x = 8; x = -7; x = 3.\]

Так же читайте нашу статью «Решить систему уравнений 9 класса онлайн решателем»

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого применим теорему Виета:

\[\begin{Bmatrix} x_1 + x_2 & = & -5 \\ x_1 \cdot x_2 & = & 6 \end{Bmatrix}\]

\[\begin{Bmatrix} x_1 & = & -2 \\ x_2 & = & -3 \end{Bmatrix}\]

Из полученного выше результата делаем вывод, что числитель и знаменатель не имеют общих корней. Следовательно, все найденные нами значения \[x = 8, x = -7, x = 3\] и будут решением данного несложного уравнения.

Где можно решить дробные рациональные уравнения онлайн?

Решить уравнение онлайн вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Общий множитель x выносим за скобки:

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

Общий множитель x выносим за скобки:

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Ответ: 0; -18.

Общий множитель 5x выносим за скобки:

Приравниваем к нулю каждый множитель:

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

Ответ: 7; -7.

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

Примеры.

Ответ:±2.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

Ответ:

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

Примеры.

Ответ: 0.

Ответ: 0.

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

www.algebraclass.ru

Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х² не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1)    Если b = 0, с ≠ 0, то ах² + с = 0;

2)    Если b ≠ 0, с = 0, то ах² + bх = 0;

3)    Если b= 0, с = 0, то ах² = 0.

• Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах² + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах² = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х² = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня 

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х² ‒ 32 = 0.

Решение

2х² = 32

х² = 32/2

х² = 16

х = ± 4

Ответ: х₁ = ‒ 4, х₂ = 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х² + 8 = 0.

Решение

2х² = ‒ 8

х² = ‒ 8/2

х² = ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

• Разберемся как же решаются уравнения вида ах² + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах² + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах^{+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах+ b = 0. Решая уравнение ах+ b = 0, получим ах= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х₁ = 0 и х₂ = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.}

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х² ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х ^{‒ 12) = 0}

х= 0 или 3х – 12 = 0

              3х = 12

               х = 12/3

               х = 4

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 4.

• Уравнения третьего вида ах² = 0 решаются очень просто.

Если ах² = 0, то х² = 0. Уравнение имеет два равных корня х₁ = 0, х₂ = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х² = 0.

Решение

х² = 0

х_1,2 = 0

Ответ: х_{1, 2} = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х² + 9) – 6(4х² – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х² + 45 – 24х² + 54 = 90.

Приведем подобные

х² + 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х² = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

  ax² + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида   ax² + bx = 0, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

x(ax + b) = 0

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0

Чтобы   ax + b   было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение   ax² + bx = 0   имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида   ax² + bx = 0,   где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a² — 12a = 0

Решение:

Пример 2. Решите уравнение:

7x² = x

Решение:

Чтобы решить уравнение вида   ax² + c = 0, надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид   x² — c = 0, то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x² = c

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x₁ = +√c,   x₂ = -√c

Неполное квадратное уравнение вида   ax² + c = 0,   где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y²

Решение:

Пример 2. Решите уравнение:

b² — 16 = 0

Решение:

Уравнение вида   ax² = 0, всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из   ax² = 0   следует, что   x² = 0, значит и   x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

naobumium.info

Неполное квадратное уравнение. Примеры решения

Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Разновидности неполных уравнений

Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:

1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax² + c = 0.
2. Если c = 0, то решать следует выражение ax² + bx = 0.
3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax² = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

1. Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
2. Произвести вычисления.
3. Записать ответ.

Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.

Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

4x² – 1 = 0.

Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:

Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.

x² + 3x = 0

Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения

Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.

-7x² – 3x = 0.

Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:

Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.

-x ⋅ (7x + 3) = 0,

1) –x₁ = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.

Теорема Виета

А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.

Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:

x² – 16 = 0.

Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:

x² + 0 – 16 = 0.

Следующим шагом составим систему условий:

Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x₁ = 4 и x₂ = -4.

Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x² – 1 = 0

Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.

Как решить квадратное уравнение?
Как выглядит формула квадратного уравнения?
Какие бывают квадратные уравнения?
Что такое полное квадратное уравнение?
Что такое неполное квадратное уравнение?
Что такое дискриминант?
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0,где a≠0

где x — переменная,
a,b,c — числовые коэффициенты.

Пример полного квадратного уравнения:

3x²-3x+2=0
x²-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

D=b²-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим пример №1:

x²-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x², коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6

Находим дискриминант:
D=b²-4ac=(-1)²-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Ответ: x₁=3; x₂=-2

Пример №2:
x²+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
Далее находи дискриминант.
D=b²-4ac=(2)²-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

Пример №3:
7x²-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
Далее находи дискриминант.
D=b²-4ac=(-1)²-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения:
x²-8x=0
5x²+4x=0

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

ax²+bx=0
x(ax+b)=0
x₁=0 x₂=-b/a

Пример №1:
3x²+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0

3x+6=0
3x=-6
Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.
x=(-6)/3
x₂=-2

Ответ: x₁=0; x₂=-2

Пример №2:
x²-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0

x-1=0
x₂=1

Ответ: x₁=0; x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x²=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

Пример №1:
x²+5=0
x²=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

Пример №2:
3x²-12=0
3x²=12
x²=12/3
x²=4

4>0 следовательно, есть решение,
x₁=√4
x₁=2

x₂=-√4
x₂=-2

Ответ: x₁=2; x₂=-2

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Как решать неполные квадратные уравнения?

Научившись решать уравнения первой степени, безусловно, хочется работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые по-другому называются квадратными.

Квадратные уравнения — это уравнения типа ах ² + bx + c = 0, где переменной является х, числами будут — а, b, с, где а не равняется нулю.

Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (с или b) будет равняться нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.

Как решить неполное квадратное уравнение, если ученики до сих пор умели решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных видов и несложные способы их решения.

а) Если коэффициент с будет равен 0, а коэффициент b не будет равен нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² + bх = 0.

Чтобы решить такое уравнение, нужно знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в том, чтобы левую часть его разложить на множители и позже использовать условие равенства произведения нулю.

Например, 5х ² — 20х = 0. Раскладываем левую часть уравнения на множители, при этом совершая обычную математическую операцию: вынос общего множителя за скобки

5х (х — 4) = 0

Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.

5 х = 0 или х — 4 = 0

х = 0/5 х = 4

х = 0

Ответом будет: первый корень — 0; второй корень — 4.

б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ах ² + 0х + с = 0 сводится к уравнению вида ах ² + с = 0. Решают уравнения двумя способами: а) раскладывая многочлен уравнения  в левой части на множители; б) используя свойства арифметического квадратного корня. Такое уравнение решается одним из методов, например:

4х ² — 25 = 0

4х ² = 25

х ² = 25/4

х = ± √ 25/4

 х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень равен — 5/2.

в) Если b буде

elhow.ru

Решение неполных квадратных уравнений — СПИШИ У АНТОШКИ

где коэффициенты a , b и c — любые действительные числа, причем а ≠ 0 .

Коэффициенты a , b и с называют:

а — первый или старший коэффициент ;

b — второй коэффициент или коэффициент при х ;

с — свободный член.    

Квадратные уравнения бывают полные и неполные:

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты a , b и c не равны нулю. 

1. если коэффициент b = 0 , уравнение имеет вид: ax² + 0*x + c = 0 = ax² + c = 0

2. если свободный член c = 0 , уравнение имеет вид: ax² + b*x + 0 = 0 = ax² + b*x  = 0

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.    

Методы  решения   неполных квадратный уравнений:

I. ax²  = 0, в этом уравнении коэффициент b  и свободный член c  равны 0 .

II.ax² + c = 0, в этом уравнении коэффициент b равен 0.

III. ax² + b*x = 0, в этом уравнении свободный член c  равен 0.

Рассмотрим решение каждого варианта:

1) Выразим неизвестное:

x² = -с / а

2) Проверяем знак выражения −c / a:

если −c / a , то уравнение не имеет решений,

если −c / a >0 , то уравнение имеет два корня x = √(-с/а)

2. Неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

1) Вынесем общим множитель x: ax² + bx =    x (ax + b) = 0

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 

Данное уравнение всегда имеет только один корень: x = 0 

Рассмотрим примеры:

1.  2x² — 18 = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + c = 0)

Выразим x² = 18 / 2 = 9

x² = √9 = ±3

Ответ: −3;3.

Выразим x² = -18 / 18 = -1

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения корней нет

Ответ: корней нет. Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества ∅ 

3. 3x² + 15x = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + bx = 0)

Разложим левую часть на множители и найдем корни:

3x² + 15x = 0 ⇔ 3х(x + 5) = 0 ⇔ 3х = 0     ⇔    х = 0

                                                         или (х + 5) = 0  ⇔  х = -5

 Ответ: −5;0.

spishy-u-antoshki.ru

книги и учебники по программированию

Для освоения языка QBasic читателю предлагается более 100 учебных программ. Просто, изящно, точно изложены следующие вопросы: основные принципы программирования, среда QBasic, структура программ, алгоритмы и данные, операторы, переменные, способы ввода данных, принципы модульного программирования, выполнение вычислений, создание цветных изображений, таблиц и графиков, типы данных, работа с массивами и кодами ASCII, встроенные функции, способы отладки программ, правила хорошего тона в программировании.

Авторы — опытные преподаватели, эффективность их методики признана и подтверждена экспериментально не только в нашей стране, но и за рубежом. Книга предназначена как для самостоятельных занятий, так и в качестве пособия для учителей информатики в школе.

В книге описывается разработка веб-приложений для Node.js – платформы, выводящей язык программирования JavaScript за пределы браузеров, что позволяет применять его для серверных приложений. Основу платформы составляет движок JavaScript – исключительно быстрый продукт с надёжной и усовершенствованной библиотекой, сетевого асинхронного вывода и ввода, из Chrom браузера.

Основной упор платформы Node.js приходится на создание масштабируемых, высокопроизводительных серверных и клиентских приложений.Самоучитель содержит массу практических примеров, при помощи которых становится доступным для каждого разработчика пользование клиентским и серверным объектом HTTP, Express и Connect. Даже у неопытных программистов не появится проблем в изучении алгоритмов асинхронного выполнения и работе с базами данных MongoDB и SQL.

Автор издания Дэвид Хэррон начал книгу с практических рекомендаций для настройки и установки Node.js в эксплуатационном режиме и режиме разработки. Даже начинающий пользователь, знакомый с веб-разработками и JavaScript, после прочтения данной книги научится разрабатывать серверные и клиентские HTTP-приложения, применять Node.js на основе спецификации CommonJS, при помощи которого реализуются многие объектные проектирования.

Специфические задачи требуют специфических инструментов, и обработка по-настоящему больших массивов данных может оказаться непосильной задачей для традиционных реляционных баз данных, основанных на SQL. Тем, кто хочет ознакомиться с кластерной обработкой данных, на помощь придет Apache Hadoop, о котором и расскажет эта книга.

С ростом объёмов обрабатываемых данных традиционные SQL-ориентированные СУБД постепенно начинают «сдавать позиции», и наступает момент, когда разработчику информационной системы приходится переходить на качественно иной уровень разработки. Там, где не справляется один, пусть даже и многопроцессорный сервер, в действие вступают «кластерные» системы. Одним из инструментов работы с большими объёмами данных на распределённом кластере является Apache Hadoop, некоммерческий проект фонда Apache Software Foundation, который может работать на кластерах, состоящих из сотен и даже тысяч компьютеров.

Основная область применения этого программного продукта — статистический анализ. Справочное пособие «Hadoop в действии» Чака Лэма познакомит читателя с со «стилем MapReduce», то есть стилем программирования, когда задача решается путём распараллеливания статистического анализа или сложного вычисления на множество одновременно выполняющихся процессов с последующей обработкой результатов каждого «потока». Ознакомив читателя с простыми примерами параллельных вычислений, Чак Лэм переходит к практическому применению Hadoop, показывая, как использовать эту систему для сложного анализа данных. От читателя потребуется знание основ языка Java и знакомство с математической статистикой, без которой будет сложно понять суть более сложных примеров, приведённых в книге.

Учебник представляет собой уникальное российское издание, в котором описывается использование сервера InterBase, а также варианты написания клиентских приложений для баз данных. Книга предназначается как для начинающих программистов, так и для опытных практикующих пользователей в разработке приложений в InterBase.

Первая часть издания «Быстрый старт» ориентирована для начинающих пользователей и содержит описание основных понятий и ключевых примеров работы в среде InterBase. Вторая часть содержит необходимые материалы для разработки клиентских приложений при помощи самых эффективных и популярных средств доступа к OLE DB IBProvider, InterBase-FIBPlus, а также примеры работы с InterBase API. Книга содержит описание основных моментов использования драйверов JDBC и ODBC для InterBase. Третья часть издания содержит подробное описание вопросов администрирования InterBase , а именно варианты починки баз данных и оптимизации работы серверов и т. д. Данная часть содержит подробное описание архитектуры InterBase и огромное число вопросов, касающихся соответствующей темы.

Авторы книги С. Востриков и А. Козявин привели все необходимые для каждого читателя переводы документов InterBase, а также представили российский клон InterBase6.x Yaffil. Вся информация, содержащаяся на страницах издания, способствует улучшению знаний для опытных программистов и освоению архитектуры, администрирования и разработки приложения для баз данных Firebird, Yaffil и InterBase начинающим разработчикам. Издатели книги также позаботились о глоссарии и списке ключевых слов для InterBase, что оценили по достоинству читатели, которые используют данный учебник на протяжении многих лет и рекомендуют его другим программистам в качестве основной литературы.

Язык программирования QBasic на протяжении многих лет пользуется огромным спросом среди начинающих и опытных программистов. Данный сборник задач содержит массу авторских разработок, которые позволяют убедиться в оригинальности и огромных возможностях Бейсика. Именно огромный читательский спрос на первое издание побудил автора заняться разработкой второго, не менее увлекательного самоучителя.

Второе издание «Бейсик в задачах и примерах» содержит 150 новых увлекательных задач и примеров, которые дополнены пошаговым решением, имеющим полное описание каждого действия. Именно подобная методика пробудила у программистов огромный интерес к книге, так как при её помощи можно добиться невероятных успехов в данной области. Несмотря на то, что Бейсик не обладает мультимедийными свойствами, благодаря ему можно в неограниченных рамках создавать эффектные и оригинальные программы.

Содержащиеся в самоучителе базовые конструкции и основные необходимые понятия позволяют каждому желающему освоить азы программирования. Автор издания И. К. Сафронов, эксперт данной области, учёл всё до мелочей, создавая книгу, добавив в её содержание справочник языка программирования QBasic, для того, чтобы любой разработчик мог, пользуясь одним самоучителем, добиться желаемого результата.

Учебник содержит различные методы для создания базы данных при помощи использования среды Microsoft Access. Вся информация изложена в форме рекомендаций и советов для работы с интегрированной средой, в виде краткого теоретического материала, изложенного в отдельных тематических разделах.

Самоучитель состоит из отдельных разделов, в каждом из которых предоставляется теоретический материал и практические задания или лабораторные работы, направленные на проверку предоставленного материала и его лучшее усваивание. Здесь подробно рассматриваются конкретные примеры, часто задаваемые вопросы и самые популярные и необходимые варианты заданий, которые предназначаются для самостоятельного выполнения и анализа. Для описания интерфейса программы используется Microsoft Access 2002 года, что в настоящее время не актуально, но полезно для начинающих пользователей, так как в данном деле огромную роль играет последовательность изучения материала.

Авторы книги «Проектирование баз данных. СУБД Microsoft Access. Учебное пособие» Н. Гринченко, Н. Макаров и Е. Гусев изложили материал в такой форме, чтобы студенты ВУЗов могли быстро овладеть основами работы интегрированной среды MS Access 1997 – 2002 года. Благодаря квалификации создателей учебника и их опыту работы и практике в данной сфере, весь теоретический материал издания изложен в компактной и доступной форме, что ценится в настоящее время и является незаменимым для большинства студентов при изучении проектирования базы данных.

Самоучитель содержит множество вопросов, связанных с базами данных и их системами. Здесь соединены общие теоретические положения и практические аспекты. Ряд примеров, сопровождающий основной изложенный материал является отличным пособием для студентов и опытных программистов.

Теоретическая часть самоучителя содержит информацию о моделях данных и реляционной алгебре. Информация изложена в доступной форме, так как рассчитана для начинающих разработчиков. Практические аспекты, рассмотренные в книге, включают в себя языки программирования Java и SQL, физические характеристики различных баз данных и их взаимодействие с Интернетом, а также объектно-ориентированные системы. Приведённые авторские примеры представлены в виде иллюстраций и полномасштабных рабочих моделей СУБД, разработанных для компаний, занимающихся прокатом видеокассет.

Автор издания Грег Риккарди посвящал свою книгу студентам старших классов, но, несмотря на это, издание «Системы баз данных. Теория и практика использования в Internet и среде Java» стало пользоваться огромной популярностью среди широкого круга читателей, благодаря грамотному объединению информации связанной с взаимодополняющими областями. Несмотря на то, что самоучитель написан в 2001 году, на сегодняшнее время он пользуется огромным спросом, так как содержит всю необходимую информацию о системе базы данных и использовании Интернета в среде Java.

Книга «CLR via C#. Программирование на платформе Microsoft .NET Framework 4.0 на языке C#» является мастер-классом и считается классическим учебником программирования, в котором содержится подробное описание языковой среды Microsoft .NET Framework 4.0.

Третье издание подробно рассматривает функционирование и внутреннее устройство общеязыковой среды. Книга учит создавать надёжные приложения различной тематики и вида, используя платформы Microsoft Silverlight, Windows Presentation Foundation, ASP.NET и другие. Данное издание содержит обновления соответствующие принципу многоядерного программирования и платформе .NET Framework версии 4.0.

Книга «CLR via C#. Программирование на платформе Microsoft .NET Framework 4.0 на языке C#» написана признанным экспертом Джеффри Рихтером, знающим своё дело в области программирования. Автор издания на протяжении долгих лет является членом команды разработчиков компании Microsoft и консультантом .net Framework, благодаря чему имеет многолетний опыт и необходимую базу знаний для обучения начинающих программистов.

Книга предназначена для обучения созданию различных мобильных приложений под управлением Windows Mobile. Самоучитель содержит подробное рассмотрение принципов использования различных технологий программирования .net Compact Framework версии 3.5.

Книга «Программирование для мобильных устройств под управлением Windows Mobile» содержит подробное и доступное описание создания различных приложений, для каждого из которых приведены авторские примеры и полезные советы для использования .net Compact Framework. Автор книги Александр Климов посвятил своё творение веб-разработчикам, которые имеют опыт в программировании на .net Framework. Данное издание расширяет кругозор читателей за счёт подробного описания технологии программирования и процесса создания приложений для мобильных устройств разного типа.

Учебник «Изучаем jQuery» является незаменимым в изучении jQuery – JavaScript фреймворка, который завоевал огромное признание среди программистов. Библиотека jQuery применялась для создания более 500 тысяч ведущих сайтов мира. При помощи данной библиотеки и описанных в издательстве приёмов и примеров, каждый читатель сможет эффективно и быстро добавить уникальную и незаменимую функциональность на свой сайт.

Второе издание «Изучаем jQuery» является увлекательной и практичной книгой для изучения основ jQuery, где можно изучить все нюансы добавления анимации и интерактивности на веб-сайты. Автор понятным языком описывает сложные методики, виджеты интерфейса пользователя, а также совершенно новый фреймворк jQuerly Mobile. Книга рассчитана как для начинающих разработчиков, так и для опытных программистов, которые наверняка при помощи данного издания пополнят запас своих знаний.

progbook.ru

Книги и литература на тему «Программирование»

Книги 1—25 из 137. Веб-Самоделкин. Как самому создать сайт быстро и профессионально Гладкий Алексей Разве это не замечательно – уметь собственноручно создать и сопровождать сайт, не обращаясь к кому-то за помощью? Помимо экономии денег (ведь услуги по веб-разработке стоят немало), это позволяет самостоятельно решать массу задач: создание личной веб-странички, корпоративного сайта, интернет – магазина, реализация интересных проектов – вот далеко не полный перечень того, что может делать человек, владеющий технологиями веб-разработки.Прочитав эту книгу, вы узнаете, что представляет собой современный веб-сайт, как разрабатывается его концепция, что такое хостинг и доменное имя, чем отличается статическая веб-страница от динамической, как формируется контент сайта, зачем нужна его оптимизация, а также о многом другом. Вы научитесь самостоятельно программировать веб-страницы с помощью языка гипертекстовой разметки HTML, а также подробно познакомитесь с программными продуктами, специально созданными для веб-разработчиков и позволяющими в автоматическом режиме создать полноценный сайт, затратив на это минимум времени и усилий.Легкий, доступный стиль изложения, а также большое количество наглядных иллюстраций и практических примеров превращают изучение данной книги в увлекательный процесс, результатом которого станет умение в короткие сроки создать привлекательный современный веб-ресурс и выполнять все необходимые действия по его сопровождению, обслуживанию и оптимизации. Читать книгу | Скачать книгу | Отзывы о книге Втоая жизнь старых компьютеров Яремчук Сергей Сейчас во многих школах, институтах и других учебных заведениях можно встретить компьютеры старого парка, уже отслужившие свое как морально, так и физически. На таких компьютерах можно изучать разве что Dos, что далеко от реалий сегодняшнего дня. К тому же у большинства, как правило, жесткий диск уже в нерабочем состоянии. Но и выбросить жалко, а новых никто не дает. Различные спонсоры, меценаты, бывает, подарят компьютер (один) и радуются, как дети. Спасибо, конечно, большое, но проблемы, как вы понимаете, этот компьютер в общем не решает, даже наоборот, усугубляет, работать на старых уже как-то не хочется, теперь просто есть с чем сравнивать. Но выход из такой ситуации есть. И мне кажется, что даже почти идеальный. Читать книгу | Скачать книгу | Отзывы о книге 223811545861580151665111572697118922847816052173757193195242604193155222301659125714155027199754150273150274155026174864159133150260150266181372

Жанры Все для учащихся — рефераты, дипломы, справочники

bookscafe.net

ForCoder |

Now you can master Web page design as you learn from the unique, hands-on approach found in NEW PERSPECTIVES HTML5 AND CSS3: COMPREHENSIVE, 7E. Each tutorial in this complete book challenges you to put into practice the concepts you have just learned. Every tutorial includes a basic statement of the problem, the goals you should achieve, and a helpful demonstration of how to complete the task to create a fully functional website. You do not need any prior experience with HTML or CSS or any specialized software other than a basic editor and Web browser. With the book\’s user-friendly approach, you develop important problem-solving skills as you retain the key concepts and apply what you\’ve learned in a professional environment. Successfully completing this book\’s tutorial cases and case problems acts a springboard in helping you develop your own professional portfolio to showcase your abilities in website design.

7,053 просмотров всего, 3 просмотров сегодня

Из книги вы узнаете, как РНР превратился в зрелый полнофункциональный объектно-ориентированный язык, с пространствами имен и постоянно растущей коллекцией библиотек компонентов. Автор демонстрирует новые возможности языка на практике. Вы узнаете о передовых методах проектирования и конструирования приложений, работы с базами данных, обеспечения безопасности, тестирования, отладки и развертывания.
Если вы уже знакомы с языком РНР и желаете расширить свои знания о нем, то эта книга для вас!

10,439 просмотров всего, 2 просмотров сегодня

Сейчас самое время изучить JavaScript. После выхода последней спецификации JavaScript – ECMAScript 6.0 (ES6) – научиться создавать высококачественные приложения на этом языке стало проще, чем когда-либо ранее. Эта книга знакомит программистов (любителей и профессионалов) со спецификацией ES6 наряду с некоторыми связанными с ней инструментальными средствами и методиками на сугубо практической основе.
Этан Браун, автор книги Web Development with Node and Express, излагает не только простые и понятные темы (переменные, ветвление потока, массивы), но и более сложные концепции, такие как функциональное и асинхронное программирование. Вы узнаете, как создавать мощные и эффективные веб-приложения для работы на клиенте или сервере Node.js.

● Используйте ES6 для транскомпиляции в переносимый код ESS;
● Преобразуйте данные в формат, который может использовать JavaScript;
● Усвойте основы и механику применения функций JavaScript;
● Изучите объекты и объектно-ориентированное программирование;
● Ознакомьтесь с новыми концепциями, такими как итераторы, генераторы и прокси-объекты;
● Преодолейте сложности асинхронного программирования;
● Используйте объектную модель документа для приложений, выполняемых в браузере;
● Изучите основы применения платформы Node.js для разработки серверных приложений.

15,167 просмотров всего, 3 просмотров сегодня

Познакомьтесь с радикальными изменениями в языке JavaScript, которые произошли благодаря новому стандарту ECMAScript 6. Николас Закас – автор бестселлеров и эксперт-разработчик – создал самое полное руководство по новым типам объектов, синтаксису и интересным функциям. Каждая глава содержит примеры программ, которые будут работать в любой среде JavaScript, и познакомят вас с новыми возможностями языка. Прочитав эту книгу вы узнаете о том чем полезны итераторы и генераторы, чем ссылочные функции отличаются от обычных, какие дополнительные опции позволяют работать с данными, о наследовании типов, об асинхронном программировании, о том как модули меняют способ организации кода и многое другое.
Более того, Николас Закас заглядывает в будущее, рассказывая про изменения, которые появятся в ECMAScript 7. Не важно, являетесь вы веб-разработчиком или работаете с node.js, в этой книге вы найдете самую необходимую информацию, позволяющую перейти от ECMAScript 5 к ECMAScript 6.

6,787 просмотров всего, 1 просмотров сегодня

Если вы считаете, что скорость решения той или иной задачи зависит, в первую очередь, от мощности компьютера, на котором она решается, то эта книга станет для вас откровением с самой первой страницы. Вы узнаете, что наибольший вклад в производительность программы вносят правильно выбранный алгоритм и его реализация в виде компьютерной программы. Выбор подходящего алгоритма среди массы других, способных решить вашу задачу, — дело не из самых простых, и этому вы тоже научитесь в данной книге.
В новом издании описано множество алгоритмов для решения задач из самых разных областей, и вы сможете выбрать и реализовать наиболее подходящий для ваших задач алгоритм. Здесь даже совершенно незнакомый с математикой читатель найдет все, что нужно для понимания и анализа производительности алгоритма.
Написанная профессионалами в своей области, книга достойна занять место на книжной полке любого практикующего программиста.
Эта книга потрясающая по трем причинам: в ней легко найти нужные алгоритмы и структуры данных; стиль изложения материала — скорее разговорный, чем академический; внимание читателя постоянно акцентируется на сравнительном анализе производительности алгоритмов. Если вы живете в реальном мире, эта книга навсегда изменит ваш способ использования структур данных.
В этой книге вы научитесь:

● Решать новые задачи и повышать эффективность имеющихся решений
● Быстро находить алгоритмы для решения своих задач и выбирать наиболее подходящие
● Находить решения на языках программирования C, C++, Java, Python с помощью рекомендаций из книги
● Оценивать производительность алгоритмов и создавать условия для достижения максимальной эффективности
● Использовать наиболее подходящие структуры данных для повышения эффективности алгоритмов

6,977 просмотров всего, 4 просмотров сегодня

Книга предоставит вам доступ в мир прогнозной аналитики и продемонстрирует, почему Python является одним из лидирующих языков науки о данных. Охватывая широкий круг мощных библиотек Python, в том числе scikit-learn, Theano и Keras, предлагая руководство и советы по всем вопросам, начиная с анализа мнений и заканчивая нейронными сетями, книга ответит на большинство ваших вопросов по машинному обучению.
Издание предназначено для специалистов по анализу данных, находящихся в поисках более широкого и практического понимания принципов машинного обучения.

9,652 просмотров всего, 3 просмотров сегодня

Никогда не программировали, но мечтаете научиться? Знаменитая на весь мир авторская методика Зеда Шоу поможет вам сделать первые шаги в освоении одного из самых увлекательных и востребованных сегодня языков программирования, Python. Читайте упражнения, копируйте примеры и запускайте свои первые программы абсолютно без труда!

14,158 просмотров всего, 5 просмотров сегодня

Перед вами – увлекательная книга, которую по достоинству оценит любой неравнодушный программист и даже бывалый питонщик. Она составлена на основе одноименного онлайнового руководства docs.python-guide.org/en/latest/ и содержит наработки многочисленных профессионалов и энтузиастов, знающих, что такое Python, и чего вы от него хотите. Проверенные методы и новейшие приемы, собранные в этой книге, помогут вам стать профессиональным Python-программистом и во всеоружии встретить наступающую эпоху Python 3.

7,144 просмотров всего, 3 просмотров сегодня

В книге 1С:Предприятие 8. Управление торговыми операциями в вопросах и ответах. Издание 9 рассматриваются вопросы начального заполнения информационной базы и регистрации торговых операций в прикладных решениях фирмы «1С»: «1С:Управление торговлей 8», ред. 11.3, «1С:Комплексная автоматизация 8», ред. 2.2, «1С:ERP Управление предприятием 2», ред. 2.2.

Оформление торговых операций продемонстрировано на конкретных примерах, основанных на данных, которые включены в демонстрационные базы прикладных решений.

Информация в книге представлена в виде ответов на вопросы пользователей, которые могут возникать в процессе освоения программы или при реальной работе.

Данное издание является развитием и авторской переработкой популярной книги «1С:Предприятие 8. Управление торговыми операциями в вопросах и ответах». В текст были добавлены новые вопросы в связи с изменениями и дополнениями, включенными в новую редакцию 11.2 программы «1С:Управление торговлей 8», а также с расширением спектра использования данной книги в других прикладных решениях.

Книга дополняет, но не заменяет штатную документацию к программному продукту, входящую в комплект поставки, и позволяет более эффективно использовать возможности программы.

7,821 просмотров всего, 2 просмотров сегодня

Ruby on Rails — один из наиболее популярных фреймворков для разработки веб-приложений, но его изучение и использование не самая простая задача. Эта книга поможет вам решить ее независимо от того, имеете ли вы опыт веб-разработки вообще и Rails в частности. Известный автор и ведущий разработчик Rails Майкл Хартл познакомит вас с Rails на примере разработки трех приложений. Автор рассказывает не только о Rails, но также описывает основы Ruby, HTML, CSS и SQL, которые пригодятся вам при разработке своих веб-приложений. Начиная обсуждение каждой новой методики, Хартл доходчиво объясняет, как она помогает решать практические задачи, а затем демонстрирует ее применение в программном коде, достаточно простом и понятном.

Издание предназначено для всех программистов, желающих изучить Ruby on Rails.

7,022 просмотров всего, 5 просмотров сегодня

forcoder.ru

20 самых рекомендуемых книг для программистов на русском языке

В общий список вошло 5 720 книг. Ниже вы найдёте 20 самых упоминаемых из них, которые когда-либо выходили на русском.

По просьбе Лайфхакера своими мнениями насчёт некоторых изданий поделились отечественные эксперты.

1. «Эффективная работа с унаследованным кодом», Майкл К. Физерс

Автор объясняет, как быстро разбираться в унаследованном коде, как тестировать его, как правильно вносить изменения. Книга содержит множество эффективных приёмов, предназначенных специально для этих задач.

Купить на Litres.ru

2. «Приёмы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования», Эрих Гамма и другие

Классика для программиста. Первая книга, посвящённая именно шаблонам.

Леонид Выговский, системный архитектор IT-компании LiveTex

— Издание уже 20 лет переиздаётся в изначальном виде. В этом, конечно, главный недостаток книги: некоторые шаблоны уже неактуальны. Думаю, её полезно читать уже после других, более современных, книг по паттернам проектирования. Тем более что она написана сухим академическим языком. Для понимания паттернов эта книга не must read, но её прочтение добавляет крутости в глазах коллег-программистов. 🙂 Начинать я советую с «Паттернов проектирования» (Head First Design Patterns).

Купить на Litres.ru

3. «Чистый код. Создание, анализ и рефакторинг», Роберт К. Мартин

Интересная, но во многом спорная книга о том, как писать понятный и поддерживаемый код.

Леонид Выговский, системный архитектор IT-компании LiveTex

— Почему спорная? Книг про написание кода уже огромное количество, и часть приёмов являются общепризнанными. Но каждый автор добавляет что-то своё. Лично для меня мнение Боба Мартина кажется иногда странным и противоречащим другим источникам. Не must read, но прочитать всё же стоит. Качество кода после прочтения становится лучше.

Купить на Litres.ru

4. «Предметно-ориентированное проектирование», Эрик Эванс

Очень сильная книга, которая мотивирует к саморазвитию. После прочтения кажется, что без ПОП качественный код не написать.

Леонид Выговский, системный архитектор IT-компании LiveTex

— Из этой книги выросли концепции СQRS, BDD, onion-architecture и много других интересных идей. Единственный недостаток: книга насквозь теоретическая. Практическую пользу она приобрела только с выходом книги Вона Вернона «Реализация методов предметно-ориентированного проектирования» (Implementing Domain Driven Design). Поэтому читать их надо последовательно, сразу друг за другом.

Купить на Litres.ru

5. «JavaScript: сильные стороны», Дуглас Крокфорд

Обязательная книга для веб-разработчиков. В ней Дуглас Крокфорд рассказывает о преимуществах языка JavaScript и учит грамотно их применять для создания эффективного кода.

Купить на Litres.ru

6. «Шаблоны корпоративных приложений», Мартин Фаулер и другие

Книга описывает базовые принципы проектирования ПО для корпоративных платформ.

Купить на Litres.ru

7. «Совершенный код. Мастер-класс», Стив Макконнелл

Классическая книга о том, как писать код лучше.

Михаил Осотов, директор по производству «Центра высоких технологий»

— Принципы, о которых рассказывается в книге, актуальны в любые времена, несмотря на то, что первое издание было выпущено аж в 1993 году. Волшебство этой книги заключается в том, что можно перечитывать её каждый год и каждый раз узнавать что-то новое.

Купить на Litres.ru

8. «Рефакторинг. Улучшение существующего кода», Мартин Фаулер и другие

Из серии книг по написанию понятного и качественного кода, «Рефакторинг» — лучшая.

Леонид Выговский, системный архитектор IT-компании LiveTex

Выговский: «Она не только показывает хороший код, но и на примере плохого объясняет, чем именно он плох. Эта книга — must read для всех. Причём чем раньше вы её прочтёте, тем лучше. Качество кода после прочтения сильно вырастет».

Если книгу Фаулера вы уже прочли, обратите внимание на «Рефакторинг с использованием шаблонов» (Refactoring to Patterns) Джошуа Кериевски, которую рекомендует Михаил Осотов.

«Рефакторинг с использованием шаблонов» Кериевски — отличная книга для тех, кто каждый день сталкивается с проблемой легаси-кода и технического долга в своих проектах.

Михаил Осотов, директор по производству «Центра высоких технологий»

— Эта книга поможет сохранить свои нервы, подружиться с рефакторингом и сделать код лучше.

9. «Паттерны проектирования», Эрик Фримен, Элизабет Фримен и другие

Серия Head First, на мой взгляд, идеально подходит для новичков в области разработки ПО.

Михаил Осотов, директор по производству «Центра высоких технологий»

— Все книги написаны разными авторами, но в каждой виден общий подход, который выражается в простой подаче материала, интересных и простых примерах.

Купить на Litres.ru

10. «Язык программирования C», Брайан У. Керниган, Деннис М. Ритчи

Классическое учебное пособие по языку C, написанное его же создателями. Однако начинающим эта книга может показаться сложной, поскольку требует от читателя знания основ программирования.

11. «Эффективное использование С++. 55 верных способов улучшить структуру и код ваших программ», Скотт Майерс

Книга содержит советы по проектированию программ, работе с шаблонами и управлению ресурсами, а также другие рекомендации по созданию качественного ПО на языке С++.

Купить на Litres.ru

12. «Экстремальное программирование: разработка через тестирование», Кент Бек

Автор на примерах описывает методику разработки ПО, которая предполагает тестирование программ ещё до написания их кода.

13. «Алгоритмы. Построение и анализ», Томас Х. Кормен и другие

Эту книгу называют библией алгоритмов. Она зарекомендовала себя как отличное научное пособие для студентов технических вузов и всех, кто интересуется информатикой. Книга доступным языком знакомит с алгоритмами разных типов и описывает их особенности.

Купить на Litres.ru

14. «Регулярные выражения», Джеффри Фридл

Издание об эффективной работе с текстом в Perl, PHP, Java, Python, Ruby и других языках программирования.

Купить на Litres.ru

15. «CLR via C#. Программирование на платформе Microsoft.NET Framework 4.5 на языке C#», Джеффри Рихтер

Классический учебник по разработке приложений для платформы Microsoft, в том числе с помощью Silverlight, Windows Presentation Foundation, ASP.NET и прочих технологий компании.

Купить на Litres.ru

16. «Современное проектирование на C++», Андрей Александреску

Книга для опытных программистов на C++. Автор предлагает новый подход к разработке, сочетающий метапрограммирование шаблонов, обобщённое программирование и объектно-ориентированное программирование на этом языке.

17. «Microsoft ASP.NET 2.0. Базовый курс», Дино Эспозито

Детальное руководство для опытных специалистов по ASP.NET 2.0. Книга учит создавать мощные, надёжные и масштабируемые сайты на этой платформе.

Купить на Litres.ru

18. «Шаблоны тестирования xUnit. Рефакторинг кода тестов», Джерард Месарош

Автор книги показывает, как применять шаблоны проектирования, исключение повторений, инкапсуляцию и другие принципы разработки ПО к написанию кода тестов.

19. «Компиляторы. Принципы, технологии и инструментарий», Альфред В. Ахо и другие

Книга описывает базовые принципы разработки компиляторов и делает особый акцент на оптимизации кода. В помощь читателю — большое количество примеров из практики.

Купить на Litres.ru

20. «Инфраструктура программных проектов. Соглашения, идиомы и шаблоны для многократно используемых библиотек .NET», Кржиштоф Цвалина, Брэд Абрамс

Издание содержит лучшие приёмы разработки библиотек для платформы Microsoft .NET Framework. Книга должна упростить работу любого .NET-специалиста, который пишет код для других разработчиков.

Полный рейтинг англоязычных книг доступен на сайте Dev-Books. Там же можно просмотреть списки самых популярных книг на определённые темы, будь то Java, Database Design или CSS.

Dev-Books →

lifehacker.ru

Книги по программированию BunkerBook

Решение предела функции · Калькулятор Онлайн

Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел

Сайт предоставляет ПОДРОБНОЕ решение по нахождению предела функции.

Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке. Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число — «Пи», которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Вычислить предел (лимит) онлайн

Возьмём предел

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x
    x->oo

Устраним неопределённость oo - oo

Домножим и разделим на

::

       _________      __________
      /       2      /  2
    \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

тогда

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x   =
    x->oo

::

         /   __________      _________\ /   _________      __________\
         |  /  2            /       2 | |  /       2      /  2       |
         \\/  x  + 2*x  - \/  -3 + x  /*\\/  -3 + x   + \/  x  + 2*x /
     lim ------------------------------------------------------------- =
    x->oo                    _________      __________
                            /       2      /  2
                          \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

                      2               2
            __________       _________
           /  2             /       2
         \/  x  + 2*x   - \/  -3 + x
     lim ------------------------------ =
    x->oo    _________      __________
            /       2      /  2
          \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

               2              2
              x  + 2*x + 3 - x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________ =
           /       2      /  2
         \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x

::

                   3 + 2*x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________
           /       2      /  2
         \/  -3 + x   + \/  x  + 2*x



Разделим числитель и знаменатель на x:

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ----------------------------
    x->oo   _________      __________ =
           /       2      /  2
         \/  -3 + x     \/  x  + 2*x
         ------------ + -------------
              x               x

::

                           3
                       2 + -
                           x
     lim ----------------------------------
    x->oo      _________         __________
              /       2         /  2        =
             /  -3 + x         /  x  + 2*x
            /   -------  +    /   --------
           /        2        /        2
         \/        x       \/        x

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ---------------------------
    x->oo     ________       _______
             /     3        /     2
            /  1 - --  +   /  1 + -
           /        2    \/       x
         \/        x

Сделаем замену

::

        1
    u = -
        x

тогда

::

                        3
                    2 + -
                        x
     lim ---------------------------
    x->oo     ________       _______ =
             /     3        /     2
            /  1 - --  +   /  1 + -
           /        2    \/       x
         \/        x

::

                   2 + 3*u
     lim ---------------------------
    u->0+   __________               =
           /        2      _________
         \/  1 - 3*u   + \/ 1 + 2*u

::

                2 + 3*0
      --------------------------- = 1
    =    __________
        /        2      _________
      \/  1 - 3*0   + \/ 1 + 2*0



Получаем окончательный ответ:

::

            __________      _________
           /  2            /       2
     lim \/  x  + 2*x  - \/  -3 + x   = 1
    x->oo

Решить уравнение с корнем онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения онлайн решателем»

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

\[5x-16=x^2-4х+4\]

\[x^2-4x+4-5x+16=0\]

\[x^2-9x+20=0\]

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

\[x=(9\pm\sqrt{(81-4\cdot1\cdot20)\div(2\cdot1)}\]

\[x=(9\pm1)\div 2\]

Ответ: \[x1=4, x2=5\]

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решить квадратное уравнение онлайн

  _______          
\/ 3 - x  + 2*x = 3

  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

       ___    
     \/ D  - b
x1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x2 = ----------
        2*a    

(11)^2 - 4 * (-4) * (-6) = 25

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

  _______          
\/ 3 - x  = 3 - 2*x

  _________     __________    
\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x  = 2

                            2    
/  _________     __________\     
\\/ 1 + 4*x  + \/ -2 + 3*x /  = 4

 2                 _____________________    2              
1 *(3*x - 2) + 2*\/ (3*x - 2)*(4*x + 1)  + 1 *(4*x + 1) = 4

          __________________          
         /                2           
-1 + 2*\/  -2 - 5*x + 12*x   + 7*x = 4

     __________________          
    /                2           
2*\/  -2 - 5*x + 12*x   = 5 - 7*x

                2            2
-8 - 20*x + 48*x  = (5 - 7*x) 

                2                   2
-8 - 20*x + 48*x  = 25 - 70*x + 49*x 

       ___    
     \/ D  - b
x1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x2 = ----------
        2*a    

(50)^2 - 4 * (-1) * (-33) = 2368

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

   __________________          
  /                2    5   7*x
\/  -2 - 5*x + 12*x   = - - ---
                        2    2 

   __________________     
  /                2      
\/  -2 - 5*x + 12*x   >= 0

       __________     ___________    
-2 + \/ 1 + 4*x1  + \/ -2 + 3*x1  = 0

   _______________________      ________________________        
  /       /         ____\      /        /         ____\         
\/  1 + 4*\25 - 4*\/ 37 /  + \/  -2 + 3*\25 - 4*\/ 37 /  - 2 = 0

  _______     ________     _________
\/ 5 + x  - \/ -1 + x  = \/ 4 + 2*x 

                        2          
/  _______     ________\           
\\/ 5 + x  - \/ -1 + x /  = 4 + 2*x

 2               _________________       2                  
1 *(x + 5) - 2*\/ (x + 5)*(x - 1)  + (-1) *(x - 1) = 4 + 2*x

         _______________                
        /       2                       
4 - 2*\/  -5 + x  + 4*x  + 2*x = 4 + 2*x

      _______________    
     /       2           
-2*\/  -5 + x  + 4*x  = 0

       ___    
     \/ D  - b
x1 = ---------
        2*a   

            ___
     -b - \/ D 
x2 = ----------
        2*a    

(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

  ________     _________     __________    
\/ 5 + x1  - \/ -1 + x1  - \/ 4 + 2*x1  = 0

  _______     ________     _______    
\/ 5 + 1  - \/ -1 + 1  - \/ 4 + 2  = 0

  ________     _________     __________    
\/ 5 + x2  - \/ -1 + x2  - \/ 4 + 2*x2  = 0

  _______     ________     ____________    
\/ 5 - 5  - \/ -1 - 5  - \/ 4 + 2*(-5)  = 0

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

Второе раскладываем на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х=-7.

————————————

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

————————————

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

и сводим к общему знаменателю

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

————————————

Задачи на движение

Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Решение:
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/час.

————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы.
Составляем и решаем уравнение

Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
х+6=6+6=12 (дней)

Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

————————————

Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

yukhym.com

Дробно-рациональные уравнения | Алгебра

Дробн0-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида

   

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь (то есть в таких уравнениях в знаменателе есть переменная).

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают  по следующей схеме:

1) Все слагаемые переносим в одну сторону.

2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю«.

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

   

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

   

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

   

   

   

Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

   

   

Это — квадратное уравнение. Его корни

   

Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4.Ответ: 5; -6.

   

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

   

Из двух корней квадратного уравнения

   

   

— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

Ответ: -4.

   

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

   

   

   

   

Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:

   

Уравнение

   

— частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.

Ответ: x — любое число, кроме 3.

   

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

— при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

   

   

Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

www.algebraclass.ru

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Определение 1

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Определение 2

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P=Q и P−Q=0 будут равносильными выражениями.  

А теперь обратимся к примерам.

Пример 1

Рациональные уравнения:

 x=1, 2·x−12·x2·y·z3=0, xx2+3·x-1=2+27·x-a·(x+2), 12+34-12x-1=3.

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Определение 3

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Определение 4

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

Пример 2

3·x+2=0 и (x+y)·(3·x2−1)+x=−y+0,5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1x-1=x3 и x:(5·x3+y2)=3:(x−1):5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Решение целых уравнений

Решение т

zaochnik.com

5. Дробно рациональные уравнения

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби  f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.  Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.  Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

Второе раскладываем на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х=-7.

————————————

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя . Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

————————————

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства и сводим к общему знаменателю

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

————————————

Задачи на движение

Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Решение: Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.  Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась 

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/час.

————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если  первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.  Это означает что за один день первый выполнит , а второй -часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнитьнормы.Составляем и решаем уравнение

Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба х+6=6+6=12 (дней)

Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

————————————

Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

Следует приобрести навык в решении дробно-рациональных уравнений путём выполнения ряда тренировочных упражнений. Тренировочные упражнения предлагаются трёх уровней сложности: А – обязательный минимум знаний по этой теме, В – упражнения среднего уровня сложности, С – упражнения повышенной степени сложности.

№	Уравнения	Ответы
Уровень А
1		5
2		-2; 50
3		-9; 1
4		-0,5; 1
5		0,5
6		-1
7		-4,7; -1
8		-4; 7
9		-; 6
10		2

№	Уравнения	Ответы
Уровень В
1		7
2		-0,25
3		Нет корней
4		0; 1
5		-1; 5
6		-1
7	(x+4)(x2-1) =4x2 + 24x —	5
8		—
9		4
10		1

№	Уравнения	Ответы
Уровень С
1		-2
2		1; 4;
3	x2+x+1=	-2; 1
4		1; 8
5	x2-5x+	1; 2; 3; 4
6		2
7
8		-3; 1
9		0,2; 1
10		Нет корней

studfiles.net

Решение (корни) квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² — 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = — 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

ax² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x.

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

и

.

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

.

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a, а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

---

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

.

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

.

Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Решение дробных рациональных уравнений

Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.

Посмотрим: из уравнений  

(1) 2х + 5 = 3(8 – х),

(2) ,

(3) 

(4) 

дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.

Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.

Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

После сокращения получаем целое уравнение:

6(х – 6)²  – 6(х – 12)² = 5(х – 12)(х – 6).

Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.

Раскрываем скобки:
6х² – 72х + 216 – 6х² + 144х – 864 = 5х² – 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х² – 162х + 1008 = 0.

Находим корни уравнения
D = 6084, √D = 78,
х₁= (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х₂ = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).

Ответ: 8,4; 24.

Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям:

1)    Находим общий знаменатель.

2)    Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

3)    Решаем полученное целое уравнение.

4)    Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.

Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.

Решить уравнение:

1)    Общий знаменатель: х² – 1

2)    Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х² – 1) – (х + 4)(х – 1)

3)    Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х² – 2 – х² – 4х + х + 4

                                      х² – х – 2 = 0

                                      х₁ = — 1 и х₂ = 2

4)    При х = -1, общий знаменатель х² – 1 = 0. Число -1 корнем не является.

При х = 2, общий знаменатель х² – 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.

Ответ: 2.

Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования. Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору Валентине Галиневской.

Также рекомендуем посмотреть новый видеоурок по данной  теме от нашего репетитора Ольги Лукашонок.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Как решать квадратные уравнения? | Александр Будников

 

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений. Примеры.

        Обычно квадратные уравнения – одна из самых любимых учениками тем школьной математики. Почему? Потому, что алгоритм решения любого квадратного уравнения достаточно прост и универсален. Работает безотказно. Однако простора для дурацких ошибок при решении квадратных уравнений тоже хватает, да… Так что будем разбираться, что к чему.)

        Начнём с названия.

        Ключевым словом в понятии квадратное уравнение является слово «квадратное». Что оно означает? Оно означает то, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. В любом случае. Также в уравнении могут быть (или не быть – как уж повезёт) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). Но это ещё не всё. При этом в уравнении не должно быть иксов в кубе, в четвёртой и любых других степенях, больших двойки.

        В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

        

        Здесь a, b, c – какие-то числа. Любые.) Числа b и c могут быть совсем-совсем любыми, а вот а – любым числом, кроме нуля. Почему – объясню чуть ниже.

        Например:

        

        Здесь a=1; b=4; c=-5

        Или такое:

        

        Здесь a=-2; b=-5; c=3

        Или:

        

        Здесь a=0,5; b=-2; c=2

        И так далее…

        В этих уравнениях слева присутствует полный набор слагаемых: есть икс в квадрате (с коэффициентом a), есть просто икс (с коэффициентом b), а также есть свободный член c. Такие квадратные уравнения в математике так и называются — полными.

        А ещё бывают и такие квадратные уравнения, где чего-то не хватает. Что у нас произойдёт, если, например, обнулить коэффициент b (b=0)? У нас исчезнет икс в первой степени.

        Получится, к примеру, что-то типа:

        x²–9 = 0

        x²+25 = 0

        И так далее…

        А если c=0? Тогда у нас пропадёт свободный член:

        x²-4x = 0

        —x²+10x = 0

        И т.д. и т.п.

        А если уж оба коэффициента a и b станут равны нулю, то тогда совсем всё просто получится:

        0,1x² = 0

        -3x² = 0

        Такие квадратные уравнения, где какого-то из членов не хватает, называются (вы не поверите) неполными.)

        Таким образом, квадратные уравнения бывают двух основных видов – полные и неполные.

        А теперь ответ на вопрос, почему коэффициент a не может быть равен нулю. А давайте подумаем, что у нас произойдёт, если мы обнулим коэффициент а? Да! У нас пропадёт икс в квадрате! Наше уравнение превратится в линейное. И решаться будет уже совсем по-другому…

 

Общая формула корней квадратного уравнения.

       Квадратные уравнения решаются достаточно просто. По одной единственной универсальной формуле. Всего одной!

        И теперь у меня для вас есть две новости – хорошая и плохая. С какой начнём? Принято с плохой начинать? Что ж, ладно…

        Новость плохая. Строгий аналитический вывод общей формулы корней квадратного уравнения достаточно громоздок и основан на процедуре выделения полного квадрата. В большинстве школьных учебников вывод общей формулы корней всё-таки приводят, но я считаю что эта процедура – очередной вынос мозга простому среднестатистическому школьнику. Поэтому в данном уроке я его (вывод) всё-таки опущу.)

        Новость хорошая. Запоминать аналитический вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде и не требуется. Вообще! Гораздо важнее запомнить саму формулу и научиться её применять на практике. Вот мы и попрактикуемся. И уравнения порешаем.)

        «Формула! Где формула?! Ты достал формулу?» — слышу громкие возгласы, как в старом добром рекламном ролике начала 2000-х…

        Достаю, достаю! Из широких штанин… О-па! Вот она, формула!)

        Вот такая формула. Да, я не спорю, довольно громоздкая. Но и уравнение мы решаем всё-таки квадратное, а не более простое линейное…

        Как вы видите, для поиска корней квадратного уравнения нам необходимы только коэффициенты a, b, c. И всё. Больше ничего. Аккуратно подставляем все коэффициенты в формулу и считаем наши корни.

 

Что такое дискриминант? Формула и смысл дискриминанта.

        Выражение b²-4ac, стоящее в формуле под знаком квадратного корня, называется дискриминант. До боли знакомое и родное слово для большинства старшеклассников. Слова «решаем через дискриминант» звучат обнадёживающе и вселяют оптимизм!)

        Обычно дискриминант обозначается буковкой D:

        

        Тогда, с учётом данного обозначения, общая формула корней станет выглядеть вот так:

        

        Сам по себе дискриминант, как правило, прост и безотказен в обращении. Но… В чём его смысл? Почему для, скажем, —b или 2a не вводятся какие-то специальные термины и обозначения? Буквы – они и в Африке буквы… А тут – такое красивое слово! Дискриминант…

        А дело вот в чём. При решении любого квадратного уравнения по общей формуле возможны всего три ситуации.

        1. Дискриминант положительный (D>0).

        Это означает, что из него можно извлечь корень. Красиво корень извлекается или некрасиво – вопрос другой. Главное, что извлекается в принципе.

        Тогда наше квадратное уравнение всегда имеет два различных корня.

Вот они:

        Два – потому, что общая формула в этой ситуации разбивается на два отдельных случая. А именно – какой знак, плюс или минус, берётся перед радикалом. Каждый случай даёт свой корень.

 

        2. Дискриминант равен нулю (D=0)

        Как вы думаете, чему в этом случае будет равен корень из дискриминанта? Нулю, конечно же! А поскольку от прибавления/вычитания нуля в числителе ничего не меняется, то наше уравнение имеет один корень:

        

        Вообще, строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но в упрощённом виде, когда нам надо просто решить уравнение и получить ответ, принято говорить об одном решении. Поэтому в ответе не заморачиваются и пишут просто одинокий икс, безо всякой индексации х_1,2 .

        Однако в более солидных темах (например, в решении неравенств методом интервалов) этот пунктик, с двумя одинаковыми (или, по-научному, кратными) корнями, настолько важен, что я буду про него напоминать снова и снова.

 

        3. Дискриминант отрицательный (D<0)

        Из отрицательных чисел извлекать квадратный корень в средней школе не учат. Это означает, что уравнение не имеет корней. Ну и ладно. На нет, как говорится, и суда нет.

 

Как решать квадратные уравнения?

        Начнём с полных квадратных уравнений.

 

        Полные квадратные уравнения

        Полное квадратное уравнение (любое!) решается всегда в четыре основных этапа.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду:

        

        Всё просто: выстраиваем левую часть уравнения по убыванию степеней икса. На первом месте пишем слагаемое с иксом в квадрате, на втором месте – с иксом в первой степени и, наконец, свободный член. Справа – обязательно должен быть ноль! Если справа тусуются ещё какие-то члены, то переносим их в левую часть и приводим подобные.

        Конечно, если уравнение уже дано в стандартном виде, то первый этап делать не нужно.)

        Как только уравнение представлено в стандартном виде, приступаем ко второму этапу.

 

        2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Если опыта пока что мало, во избежание досадных ошибок бывает очень полезным выписать их отдельно.

 

        3. Считаем дискриминант по формуле D = b²-4ac.

        Внимание! На данном этапе сразу же извлекаем корень из дискриминанта! Если красиво извлекается, конечно.)

 

        4. Подставляем все значения в общую формулу, считаем корни уравнения и записываем ответ.

 

        Вот и весь алгоритм. Простой и безотказный. Ну что, тренируемся на кошках?

        Например, надо решить вот такое уравнение:

        7x² – x – 8 = 0

        Работаем прямо по пунктам.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение уже дано нам в стандартном виде. Стало быть, уже готово к решению. Слева – полный набор членов, выстроенных по убыванию степеней, а справа – ноль. Посему переходим сразу ко второму этапу.

        2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Вот и пишем:

        a = 7; b = -1; c = -8

        3. Считаем дискриминант по формуле D = b²-4ac.

        Аккуратно подставляем наши коэффициенты a, b и с в формулу дискриминанта. Подставляем со своими знаками! Частенько именно в знаках коэффициентов народ и путается. Точнее, не столько в самих знаках, сколько в подстановке отрицательных значений в формулу дискриминанта. Вот и не ленимся, аккуратно пишем все знаки и скобочки. Трудов много не отнимет, зато гарантированно убережёт от досадных промахов:

        D = b²-4ac = (-1)² – 4·7·(-8) = 1+224 = 225

        Извлекаем корень из дискриминанта:

        

       Отлично, корень извлекается чисто. Теперь переходим к последнему, самому главному этапу – считаем наши корни.

        4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Опять же, аккуратно подставляем все числа в формулу, со всеми знаками и скобочками:

        

        И считаем:

        

        Вот и всё. Это ответ.)

        Кстати сказать, если вы просто решаете квадратное уравнение, то нет особой нужды отдельно считать дискриминант. Можно работать напрямую с общей формулой, просто аккуратно подставляя в неё коэффициенты a, b и с.

        В нашем случае можно было бы сразу записать:

        

        Но такое оформление чревато тем, что, впопыхах, можно где-нибудь потерять минус. Оно вам надо? Посему лучше считайте дискриминант отдельно – ошибок меньше будет. Естественно, посчитав дискриминант, не забывайте про корень.) Специально акцентирую внимание на этом моменте, потому что сам дискриминант народ обычно считает правильно, а вот корень извлечь частенько забывает… К тому же, привыкнув к отдельному поиску дискриминанта, вы быстрее запомните его общую формулу – в более серьёзных заданиях пригодится. Например, в задачах с параметрами. Такие задачи – высший пилотаж на ЕГЭ!

        Естественно, бывают и сюрпризы. Не без этого… И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да. Чтобы не растеряться, в случае чего…) Рассмотрим первый сюрприз. Самый безобидный.

        Например, дано нам такое уравнение:

        x² + 1 = 4x

        Как обычно, работаем прямо по алгоритму.

1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение пока не готово к решению. Справа нужен ноль, а у нас справа тусуется 4х. Не беда: переносим 4х влево и выстраиваем члены по убыванию степеней:

        x² – 4х + 1 = 0

2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

В нашем случае:

a = 1; b = -4; c = 1

3. Считаем дискриминант по формуле D = b²-4ac.

        D = b²-4ac = (-4)² – 4·1·1 = 12

        А вот и первый сюрприз.) Дискриминант не является точным квадратом целого числа! И корень из дискриминанта извлекается плохо:

        

        Что делать? Не решается уравнение? Ну да, как же!

        Ничего страшного.) Работаем прямо с корнем. Естественно, если есть возможность, то выносим всё, что извлекается, за знак корня:

        

4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Поехали:

        

        Корни нашего уравнения получились иррациональными. Ну и ничего страшного. Бывает.) Такой уж пример.

        Открою небольшой секрет. Обычно задания на квадратные уравнения составляются так, чтобы корень из дискриминанта извлекался ровно и, тем самым, корни в ответе получались красивыми – либо целыми, либо рациональными. И народ постепенно привыкает к таким простым примерам наивно полагая, что дискриминант всегда обязан получаться точным квадратом. Не обязан! Более того, суровая реальность такова, что некрасивый дискриминант (а вместе с ним и лохматые иррациональные корни) – скорее правило, чем исключение! И если вы захотите задать какое-нибудь квадратное уравнение, выбрав в нём коэффициенты a, b и с случайным образом, то с вероятностью 99% корни вашего квадратного уравнения будут числами иррациональными.

        Но иррациональных корней вовсе не надо бояться.) Ибо они – точно такие же числа, как и все остальные. Кстати говоря, в более серьёзных заданиях (неравенствах, задачах с параметрами) иррациональные корни встречаются сплошь и рядом. И с ними надо обязательно уметь работать – сравнивать, изображать на числовой оси и т.д. И мы тоже поработаем! В соответствующих уроках.)

        Как видите, процедура решения полных квадратных уравнений проблем не вызывает. Всё просто, быстро, не больно.) Главное – аккуратно подставляйте коэффициенты в формулу дискриминанта и общую формулу корней. И считайте себе.) И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

        Вот краткий перечень глупых ошибок при решении квадратных уравнений:

        1. Путаница в знаках. Ошибки в подстановке отрицательных коэффициентов в формулу дискриминанта и в общую формулу корней.

 

        2. Забывают извлечь корень из дискриминанта.

 

        3. При работе с общей формулой корней в знаменатель дроби частенько подставляется не 2а, как положено, а просто двойка. Привыкает, видите ли, народ к простым уравнениям, с первым коэффициентом единичкой (а=1). Внимательнее надо быть, да.)

        Ну и, разумеется, базовые тождественные преобразования уравнений никто не отменял, да.)      

        Например, дано такое уравнение:

        

        Уравнение, в принципе, уже дано нам в стандартном виде. Слева – квадратный трёхчлен, построенный по убыванию степеней, справа – ноль.

        Наши коэффициенты будут:

        a = -1/3; b = 3/2; c = -5

        Можно приступать к решению. Только это… коэффициенты – дробные. Неудобно как-то…

        Согласен, неудобно! Всё-таки лучше, когда уравнение безо всяких дробей, в линеечку.) Вот и избавимся сначала от дробей. На что надо домножить обе части уравнения, чтобы и двойка сократилась и тройка? На 6! Вот и домножаем. Слева получим:

        

        А что будет справа? Справа будет ноль. Ноль на что ни умножай – всё равно ноль будет. Хорошее число.)

        Итого получим:

        -2х² + 9х – 30 = 0

        И опять не бросаемся решать, считать дискриминант и прочее. Минус перед иксом в квадрате – нехорош. Забыть его очень легко. Посему избавимся от этого минуса умножением обеих частей на (-1). Проще говоря, поменяем слева все знаки:

        2х² — 9х + 30 = 0

        Ну вот. А теперь – по накатанной колее. Выписываем коэффициенты:

        a = 2; b = -9; c = 30

        Считаем дискриминант:

        D = b²-4ac = (-9)² – 4·2·30 = 81-240 = -159

        Вот так штука! А дискриминант-то отрицательный! Не можем мы корень из отрицательного числа извлечь. И сами корни посчитать, стало быть, тоже не можем, да. Стало быть, ответ – решений нет.

        Это был второй сюрприз. Надеюсь, теперь отрицательный дискриминант в каком-нибудь примере вас нисколько не смутит.)

        Это всё что касается полных квадратных уравнений. Теперь переходим к неполным.)

 

        Неполные квадратные уравнения

        Неполными, напоминаю, называются квадратные уравнения, где чего-то не хватает – или bx или с. Или обоих членов сразу.

        Например:

        х² – 3х = 0

        х² – 16 = 0

        И так далее.)

        Неполные квадратные уравнение также можно решать через дискриминант, по общей формуле. Надо только правильно догадаться, чему равняются коэффициенты a, b и с.

        Догадались? В первом случае a = 1, b = -3, а свободный член с вообще отсутствует! Что это означает? В математике это означает, что с=0! Вот и всё.)

        Во втором уравнении всё аналогично, только нулю будет равно не с, а b!

        И все дела.)

        Но неполные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких дискриминантов и безо всяких формул! Зачем же из пушки по воробьям…

        Например, такое уравнение:

        х² – 3х = 0

        Что здесь можно сделать в левой части? Сильнее всего напрашивается вынести икс за скобки и разложить левую часть на множители. Давайте вынесем:

        х(х-3) = 0

        И что дальше? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю! Вот и приравниваем (в уме!) каждый из множителей к нулю и получаем:

        х₁ = 0

        х₂ = 3

        И все дела! Это и будут корни нашего уравнения. Оба годятся.) При подстановке каждого из них в исходное уравнение мы получим железное равенство 0=0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант!

        Теперь рассмотрим другое уравнение:

        х² – 16 = 0

        А здесь что можно сделать? Можно -16 перенести вправо:

        х² = 16

        Остаётся корень извлечь из 16 и – ответ готов:

        

        Тоже два корня: х₁ = -4;  х₂ = 4.

        И так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки и разложения на множители, либо же переносом свободного члена вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти два способа – надо очень хорошо постараться.) Ибо в первом случае вам пришлось бы корень из икса извлекать, что как-то не очень, а во втором случае выносить за скобки нечего…

        Подытожим тему практическими советами.

        1. Перед решением любого квадратного уравнения приводим его к стандартному виду, выстраиваем левую часть по убыванию степеней.

 

        2. Если в уравнении имеются дробные коэффициенты, избавляемся от дробей умножением всего уравнения на нужный множитель.

 

        3. Если коэффициент перед иксом в квадрате отрицательный, избавляемся от минуса умножением всего уравнения на (-1).

        Ну что, наш урок окончен. Теперь можно и порешать.)

       

        Решить уравнения:

        2x² – 7x + 3 = 0

        х² – x – 30 = 0

        х² + 6х + 9 = 0

        х² – 7x = 0

        х² + 4x + 5 = 0

​        -2x² + 98 = 0

        x² + 0,05x – 0,05 = 0

        

       

        Ответы (в беспорядке):

        х₁ = -5; x₂ = 6

        x₁ =-0,2; x₂ = 0,5

        x₁ = 0; x₂ = 7

        x₁ = -0,25; x₂ = 0,2

        корней нет

        x₁ = 0,5; x₂ = 3

        x = -3

        x₁ = -7; x₂ = 7

        Всё сошлось? Великолепно! Значит, квадратные уравнения – не ваша беда.) Все получились, а последние два – нет? Значит, проблема – в тождественных преобразованиях. Кликните по ссылке, почитайте – и будет вам счастье!)

abudnikov.ru

Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL. Примеры и методы

Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a_x и a_y, то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9, см. файл примера).

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9.

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)).

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.

Функция СУММКВРАЗН() возвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ()).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

Примечание: для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить пользовательский формат, см. например, статью Отображение широты и долготы в MS EXCEL

4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника

Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.

Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55)).

Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).

5. Нахождение координат вектора через координаты точек

Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.

excel2.ru

[Зачет 70] Определение ортонормированного базиса и прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК). Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками.

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками. 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора  будем обозначать . Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как  и  соответственно и рассмотрим прямоугольник  с диагональю ОА. Таким образом, формула для нахождения длины вектора  по его координатам на плоскости имеет вид .

Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат. Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :
. Теперь получим формулу для нахождения длины вектора  по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве. В этом случае  (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, . Таким образом, длина вектора  в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Рассмотрим решения примеров.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов ,  и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора  или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы
 или ,
по координатам точек начала и конца вектора —
 или ,
в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Расстояние между двумя точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) в прямоугольной системе координат выражается формулой: Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным. поэтому корень берется с одним знаком (плюс).

Расстояние между двумя точками

fizmatinf.blogspot.com

Как найти длину вектора

Понятие длины вектора

Для того, чтобы разобраться с понятием длины вектора, прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ — единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Решение.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$[OA_1 ]=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=[OA_1]^2+[OA_2]^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Решение.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

$\overline{XY}=(7+1,3-5)=(8,-2)$

Теперь, найдя длину этого вектора по формуле, выведенной выше, мы и получим искомую длину. Получим:

$d=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Ответ: $2\sqrt{17}$.

Замечание 1

Из этой задачи можно вывести формулу для вычисления такого расстояния. Пусть две точки имеют координаты ${(x’,y’)}$ и ${(x»,y»)}$. Тогда длину между такими точками можно найти по следующей формуле:

$d=\sqrt{(x’-x»)^2+(y’-y»)^2}$

Пример 3

Пусть нам дан треугольник своими координатами вершин $(5,-9)$, $(12,-2)$ и $(4,0)$. Найдем его периметр.

Решение.

Найдем для начала длины всех его сторон по формуле из замечания к задаче 2.

Первая сторона равняется:

$\sqrt{(5-12)^2+(-9+2)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$

Вторая сторона равняется:

$\sqrt{(5-4)^2+(-9-0)^2}=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$

Третья сторона равняется:

$\sqrt{(12-4)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{8^2+(-2)^2 }=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Складывая, получим

Ответ: $7\sqrt{2}+\sqrt{82}+2\sqrt{17}$

spravochnick.ru

Нахождение длины вектора по координатам. — КиберПедия

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Ответ:

.

Прямая на плоскости

Общее уравнение

 

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) — нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где — радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 — прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 — прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 — прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 — ось Ox;

5) x = 0 — ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках

 

где a, b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

 

где — угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p — расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь — нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.

 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Ответ:

.

cyberpedia.su

Длина вектора, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти длину вектора всего за пару кликов. Для нахождения длины вектора заданного координатами или по точкам — выберите размерность и способ задания вектора, введите все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам понять решение и закрепить пройденный материал.

Введите данные для вычисления длины вектора  

Размерность вектора:

2 3

Форма представления вектора:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки.

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y) и B(B_x ; B_y) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y ; A_z) и B(B_x ; B_y ; B_z) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y ; B_z — A_z}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A₁ ; A₂ ; … ; A_n) и B(B₁ ; B₂ ; … ; B_n) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B₁ — A₁ ; B₂ — A₂ ; … ; B_n — A_n}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   B_x = AB_x + A_x   =>   B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y   =>   B_y = AB_y + A_y   =>   B_y = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   A_x = B_x — AB_x   =>   A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y   =>   A_y = B_y — AB_y   =>   A_y = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   B_x = AB_x + A_x   =>   B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y   =>   B_y = AB_y + A_y   =>   B_y = 1 + (-4) = -3
AB_z = B_z — A_z   =>   B_z = AB_z + A_z   =>   B_z = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   A_x = B_x — AB_x   =>   A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y   =>   A_y = B_y — AB_y   =>   A_y = -4 — 1 = -5
AB_z = B_z — A_z   =>   A_z = B_z — AB_z   =>   A_z = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   B₁ = AB₁ + A₁   =>   B₁ = 5 + 3 = 8
AB₂ = B₂ — A₂   =>   B₂ = AB₂ + A₂   =>   B₂ = 1 + (-4) = -3
AB₃ = B₃ — A₃   =>   B₃ = AB₃ + A₃   =>   B₃ = 2 + 3 = 5
AB₄ = B₄ — A₄   =>   B₄ = AB₄ + A₄   =>   B₄ = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   A₁ = B₁ — AB₁   =>   A₁ = 3 — 5 = -2
AB₂ = B₂ — A₂   =>   A₂ = B₂ — AB₂   =>   A₂ = -4 — 1 = -5
AB₃ = B₃ — A₃   =>   A₃ = B₃ — AB₃   =>   A₃ = 1 — 4 = -3
AB₄ = B₄ — A₄   =>   A₄ = B₄ — AB₄   =>   A₄ = 8 — 5 = 3

Ответ: A(-2; -5; -3; 3).

ru.onlinemschool.com

Формулы векторов

1. Координаты вектора

Если вектор задан координатами своих начала и конца: , то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:

   

2. Длина или модуль вектора

Если вектор , то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

   

3. Сумма векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

   

4. Умножение вектора на число

Чтобы найти произведение вектора на некоторое число , нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:

   

5. Скалярное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

6. Векторное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе , то их векторное произведение находится по формуле:

   

7. Смешанное произведение векторов

Если заданы три вектора и , то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:

   

Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.

8. Угол между векторами

Косинус угла между двумя векторами и , заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:

   

9. Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на направление вектора равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора :

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Инструмент для работы с графами онлайн

Задайте матрицу смежности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя

Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя. Матрица должна иметь одинаковое количество столбцов и строк.

Задайте матрицу инцидентности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя

Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя.

Ваш алгоритм отправлен на модерацию и в случае успеха он будет добавлен на сайт.

Ошибка создания графа. Матрица смежности имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить матрицу» чтобы исправить матрицу или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате матрицы

Ошибка создания графа. Матрица инцидентности имеет неправильный формат. Нажимте кнопку «исправить матрицу» чтобы исправить матрицу или кнопку «справка» чтобы открыть справку о формате матрицы

Задайте матрицу инцидентности. Используйте запятую «,» в качестве разделителя

Мартрица имеет неправильный формат. Используйте запятую «,» в качестве разделителя.

Выделите и перемещайте объекты или перемещайте рабочую область

Перемещайте курсор для перемещения объекта

Выделите и перемещайте объекты или перемещайте рабочую область

Перемещайте курсор для перемещения объекта

Кликните на рабочую область, чтобы добавить вершину. Нумерация вершин

Выделите первую вершину для создания дуги

Выделите вторую вершину, которую хотите соединить

Выделите вершину, из которой хотите найти кратчайших путь

Выделите конечную вершину кратчайшего пути

Расстояние между вершинами %d

Пути не существует

Кликните по объекту, который хотите удалить

Добавить ребро

Ориентированную

Неориентированную

Матрица смежности

Сохранить граф

Отмена

Мин. расстояние =

Матрица инцидентности

Сохранение графа

закрыть

Число компонентов связности графа равно

Число слабо связных компонентов равно

Что вы думаете о сайте?

Имя (email для ответа)

Написать

Отправить

Напишите нам

исправить матрицу

справка

Матрица имеет неправильный формат

Сохранение изображения графа

Полный отчёт

Краткий отчёт

Граф не содержит Эйлеров цикл

Граф содержит Эйлеров цикл

Обработка…

Добавить вершину

Переименовать вершину

Переименовать

ru

Изменить вес

ненагруженный

Групповое переименование

Опрос

Рекомендовать алгоритмы

Граф не содержит Эйлерову цепь

Граф содержит Эйлерову цепь

Граф минимальных расстояний.

Нажмите для сохранения

Показать матрицу расстояний

Матрица расстояний

Выделите исток максимального потока

Выделите сток максимального потока

Максимальный поток из %2 в %3 равен %1

Поток из %1 в %2 не существует

Исток

Сток

Граф не содержит Гамильтонов цикл

Граф содержит Гамильтонов цикл

Граф не содержит Гамильтонову цепь

Граф содержит Гамильтонову цепь

Выбирете начальную вершину обхода

Порядок обхода:

Изгиб дуги

Отменить

graphonline.ru

Новости сервиса Граф Онлайн

Ниже представлены последнии обновления нашего сервиса

Изгиб дуг

Добавили возможность изгибать дуги. Выделите дугу и нажимайте на кнопку + или -.

Админ 15.02.2019

Завершение сбора стредств

Благодаря неравнодушным пользователям нашего сервиса мы завершили сбор средств для разработки новых алгоритмов для сайта. Мы уже добавили алгоритм поиска диаметра и радиуса графа, далее будет поиск максимального потока и раскраска графа.

Админ 07.04.2018

Алгоритм Флойда — Уоршелла

Добавили алгоритм Флойда — Уоршелла. Теперь вы можете получить матрицу расстояний графа.

Админ 10.12.2017

Опрос

Мы завершили опрос о функциях, которые вы хотели бы видеть на graphonline.ru. Результаты распределились следующим образом:

• Больше алгоритмов — 53%
• Улучшение визуализации — 24%
• Личный кабинет — 13%
• Улучшение поддержки больших графов — 8%

1->2, 2->3, 3->1, 3->4, 4->1, 2->1, 2->2, 4->3

digraph test{
   1->2;
   1->3;
   1->4;
   2->1;
   2->3;
   2->4;
   3->1;
   3->2;
   3->4;
   4->1;
   4->2;
   4->3;
}

graph test{
   node [shape = box];
   "Проект А"--"Фаза 1";
   "Проект А"--"Фаза 2";
   "Проект А"--"Фаза 3";
   "Фаза 1"--"Задача 1";
   "Фаза 1"--"Задача 2";
   "Фаза 2"--"Задача 3";
   "Фаза 2"--"Задача 4";
}

digraph ex01 {
    rankdir=LR;
    size="8,5"
    node [shape = box];
    "1" -> "2" [ label = "3",style=bold,color=red ];
    "1" -> "3" [ label = "7",style=dotted];
    "1" -> "4" [ label = "2",style=dotted ];
    "2" -> "5" [ label = "9",style=dotted ];
    "2" -> "6" [ label = "11",style=bold,color=red ];
    "3" -> "5" [ label = "5",style=dotted ];
    "3" -> "6" [ label = "10",style=dotted ];
    "3" -> "7" [ label = "7",style=dotted ];
    "4" -> "6" [ label = "15",style=dotted ];
    "4" -> "7" [ label = "13",style=dotted ];
    "5" -> "8" [ label = "7",style=dotted ];
    "5" -> "9" [ label = "5",style=dotted ];
    "6" -> "8" [ label = "3",style=bold,color=red ];
    "6" -> "9" [ label = "4",style=dotted ];
    "7" -> "8" [ label = "7",style=dotted ];
    "7" -> "9" [ label = "1",style=dotted ];
    "8" -> "10" [ label = "1",style=bold,color=red ];
    "9" -> "10" [ label = "4",style=dotted ];
}

digraph structs { 
    node [shape=record,];
    struct1 [label="<f0> Инициация|<f1> Планирование|<f2> Исполнение|<f3> Завершение",
             fillcolor=yellow];
    struct2 [label="<f0> Мониторинг|<f1> Контроль"]; 
    struct1:f0-> struct2:f0;
    struct1:f1-> struct2:f0;
    struct1:f2-> struct2:f0;
    struct1:f3-> struct2:f0;
    struct2:f1 -> struct1:f0 [color="red"];
    struct2:f1 ->struct1:f1 [color="red"];
    struct2:f1 ->struct1:f2 [color="red"];
    struct2:f1 ->struct1:f3 [color="red"];
}

dot -Tpng -O test.gv

install.packages("DiagrammeR")

Как HTML перевести в PDF файл

Сегодня мы поговорим о том, как страницу HTML перевести в PDF файл. Есть простое решение, которое позволяет в один клик конвертировать HTML в PDF с сохранением файла в Вашем компьютере.

Если при работе в интернете с документами возникает необходимость загрузить к себе в компьютер целую страницу HTML, то просмотрев данный урок, Вы сможете страницу HTML загрузить в свой компьютер в  файле PDF быстро и качественно.

HTML в PDF

Задание.

Установите программу Adop Acrobat XI или Adop Acrobat Pro.

Данные программы необходимы каждому, кто работает, используя интернет. Комфортная работа с PDF файлами – это Ваша экономия времени.

Начинаем работу.

Вариант первый

Рассмотрим первый вариант создания PDF файла из страницы HTML.

Открываем нужную страницу в интернете. Для наглядного примера для Вас используем главную страницу нашего сайта wpuroki.ru

Открываем в своем компьютере Adop Acrobat Pro. В левом верхнем углу в задачах жмем кнопку “Создать” и выбираем “PDF из веб-страницы”.

Открывается окно “Создать PDF файл из Web-страницы”, в котором нам нужно указать URL адрес страницы, которую будем преобразовывать в PDF файл. Нажимаем кнопку “Создать”

Открывается окно загрузки, наблюдаем сам процесс.

По окончании загрузки и конвертации открывается PDF файл, сохраненный в папке в компьютере.

Первый вариант мы с Вами разобрали и сделали.

Вариант второй.

Начинаем работать второй вариант создания PDF файла из страницы HTML.

Вы заметили, что при начале работы с Adop Acrobat Pro, Вам было предложено загрузить в браузер разрешение “Adop Acrobat – создать файл”.

Это разрешение устанавливается в браузере.

Можно преобразовать страницу HTML следующим образом.

Открываем в браузере наши расширения.

Выбираем  “Adop Acrobat – создать файл”, нажимаем, открывается окно для выбора задачи.

Нажимаем, показываем по запросу путь сохранения PDF файла в компьютере и наблюдаем.

Получаем итог. Страница в браузере преобразована в PDF файл, он после загрузки открылся.

Adop Acrobat Pro в режиме чтения показывает внизу страницы навигацию.

Мы получили файл PDF из интернет-страницы HTML.

Подведем итог

Подведем итог данных уроков.

1. Мы научились загружать PDF файл на страницу сайта таким образом, чтобы сохранить вес страницы и дать возможность просмотра и чтения файла посетителю, не покидая сайт.

2. Мы научились открывать PDF файл в браузере без постороннего конвертера.

3. Мы теперь умеем при необходимости конвертировать HTML страницу в PDF файл с сохранением файла в компьютере.

Создавая свой сайт, наполняя его уникальным контентом, порой возникает необходимость подтвердить свою информацию инструкцией или документом. Копирование текстов запрещено, за это поисковики наказывают.

Сегодня Вы получили не просто уроки, Вы получили возможность улучшить поведенческие факторы своего сайта.

Если Вы ещё не являетесь  студентом нашего Тренинг-Центра, но желаете им стать, Вам необходимо зарегистрироваться на бесплатный онлайн тренинг.

Расскажите в комментариях, что Вам понравилось в данном уроке? Какую полезную информацию Вы для себя увидели?

Делитесь информацией с друзьями.

Также по этой теме:

wpuroki.ru

Как html перевести в pdf с картинками 🚩 Компьютеры и ПО 🚩 Другое

Конвертировать (преобразовать) html в pdf с картинками можно несколькими способами. Самые простые из них, это: преобразование веб-страниц в pdf через браузер, с помощью специальных программ или же специальных сайтов.