Решить уравнение неполное квадратное – Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

   

   

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

Ответ: 0; -18.

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

   

   

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 7; -7.

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

   

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

   

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

   

   

   

   

Примеры.

   

   

   

   

   

Ответ:±2.

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

   

Ответ:

   

   

   

   

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

   

   

   

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

   

Примеры.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

www.algebraclass.ru

Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х² не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1)    Если b = 0, с ≠ 0, то ах

2 + с = 0;

2)    Если b ≠ 0, с = 0, то ах² + bх = 0;

3)    Если b= 0, с = 0, то ах² = 0.

• Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах² + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах² = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х² = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня 

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х² ‒ 32 = 0.

Решение

2х² = 32

х² = 32/2

х² = 16

х = ± 4

Ответ: х₁ = ‒ 4, х₂ = 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х² + 8 = 0.

Решение

2х² = ‒ 8

х² = ‒ 8/2

х² = ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

• Разберемся как же решаются уравнения вида ах² + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах² + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах^{+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах+ b = 0. Решая уравнение ах+ b = 0, получим ах= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х₁ = 0 и х₂ = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.}

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х² ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х ^{‒ 12) = 0}

х= 0 или 3х – 12 = 0

              3х = 12

               х = 12/3

               х = 4

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 4.

• Уравнения третьего вида ах² = 0 решаются очень просто.

Если ах² = 0, то х² = 0. Уравнение имеет два равных корня х₁ = 0, х₂ = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х² = 0.

Решение

х² = 0

х_1,2 = 0

Ответ: х_{1, 2} = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х² + 9) – 6(4х² – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х² + 45 – 24х² + 54 = 90.

Приведем подобные

х² + 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х² = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

  ax² + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,	если   c = 0
ax2 + c = 0,	если   b = 0
ax2 = 0,	если   b = 0   и   c = 0

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида   ax² + bx = 0, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

x(ax + b) = 0

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0

Чтобы   ax + b   было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение   ax² + bx = 0   имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида   ax² + bx = 0,   где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a² — 12a = 0

Решение:

a2 — 12a = 0
a(a — 12) = 0
a1 = 0	a — 12 = 0
	a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x² = x

Решение:

7x2 = x
7x2 — x = 0
x(7x — 1) = 0
x1 = 0	7x — 1 = 0
	7x = 1

Чтобы решить уравнение вида   ax² + c = 0, надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

ax2 = —c,   следовательно   x2 = —	c
	a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид   x² — c = 0, то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x² = c

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x₁ = +√c,   x₂ = -√c

Неполное квадратное уравнение вида   ax² + c = 0,   где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y²

Решение:

24 = 2y2
24 — 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12	y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b² — 16 = 0

Решение:

b2 — 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4	b2 = -4

Уравнение вида   ax² = 0, всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из   ax² = 0   следует, что   x² = 0, значит и   x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

naobumium.info

Неполное квадратное уравнение. Примеры решения

Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Разновидности неполных уравнений

Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:

1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax² + c = 0.
2. Если c = 0, то решать следует выражение ax² + bx = 0.
3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax² = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

1. Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
2. Произвести вычисления.
3. Записать ответ.

Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.

Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

4x² – 1 = 0.

Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:

Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.

x² + 3x = 0

Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения

Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.

-7x² – 3x = 0.

Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:

Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.

-x ⋅ (7x + 3) = 0,

1) –x₁ = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.

Теорема Виета

А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.

Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:

x² – 16 = 0.

Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:

x² + 0 – 16 = 0.

Следующим шагом составим систему условий:

Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x₁ = 4 и x₂ = -4.

Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x² – 1 = 0

Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.

 

 

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.

Как решить квадратное уравнение?
Как выглядит формула квадратного уравнения?
Какие бывают квадратные уравнения?
Что такое полное квадратное уравнение?
Что такое неполное квадратное уравнение?
Что такое дискриминант?
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0,где a≠0

где x — переменная,
a,b,c — числовые коэффициенты.

Виды квадратного уравнения

Пример полного квадратного уравнения:

3x²-3x+2=0
x²-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

D=b²-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Корни квадратного уравнения

Если D=0, уравнение имеет один корень

корень уравнения

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим пример №1:

x²-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x², коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6

Находим дискриминант:
D=b²-4ac=(-1)²-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Нахождения корней по дискриминанту

Ответ: x₁=3; x₂=-2

Пример №2:
x²+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
Далее находи дискриминант.
D=b²-4ac=(2)²-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

Пример №3:
7x²-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
Далее находи дискриминант.
D=b²-4ac=(-1)²-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения:
x²-8x=0
5x²+4x=0

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

ax²+bx=0
x(ax+b)=0
x₁=0 x₂=-b/a

Пример №1:
3x²+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0

3x+6=0
3x=-6
Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.
x=(-6)/3
x₂=-2

Ответ: x₁=0; x₂=-2

Пример №2:
x²-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0

x-1=0
x₂=1

Ответ: x₁=0; x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x²=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

корень квадратного уравнения

Пример №1:
x²+5=0
x²=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

Пример №2:
3x²-12=0
3x²=12
x²=12/3
x²=4

4>0 следовательно, есть решение,
x₁=√4
x₁=2

x₂=-√4
x₂=-2

Ответ: x₁=2; x₂=-2

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Как решать неполные квадратные уравнения?

Научившись решать уравнения первой степени, безусловно, хочется работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые по-другому называются квадратными.

Квадратные уравнения — это уравнения типа ах ² + bx + c = 0, где переменной является х, числами будут — а, b, с, где а не равняется нулю.

Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (с или b) будет равняться нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.

Как решить неполное квадратное уравнение, если ученики до сих пор умели решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных видов и несложные способы их решения.

а) Если коэффициент с будет равен 0, а коэффициент b не будет равен нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² + bх = 0.

Чтобы решить такое уравнение, нужно знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в том, чтобы левую часть его разложить на множители и позже использовать условие равенства произведения нулю.

Например, 5х ² — 20х = 0. Раскладываем левую часть уравнения на множители, при этом совершая обычную математическую операцию: вынос общего множителя за скобки

5х (х — 4) = 0

Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.

5 х = 0 или х — 4 = 0

х = 0/5 х = 4

х = 0

Ответом будет: первый корень — 0; второй корень — 4.

б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ах ² + 0х + с = 0 сводится к уравнению вида ах ² + с = 0. Решают уравнения двумя способами: а) раскладывая многочлен уравнения  в левой части на множители; б) используя свойства арифметического квадратного корня. Такое уравнение решается одним из методов, например:

4х ² — 25 = 0

4х ² = 25

х ² = 25/4

х = ± √ 25/4

 х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень равен — 5/2.

в) Если b буде

elhow.ru

Решение неполных квадратных уравнений — СПИШИ У АНТОШКИ

 Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0 ,

где коэффициенты a , b и c — любые действительные числа, причем а ≠ 0 .

Коэффициенты a , b и с называют:

а — первый или старший коэффициент ;

b — второй коэффициент или коэффициент при х ;

с — свободный член.    

Квадратные уравнения бывают полные и неполные:

Полное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициенты a , b и c не равны нулю. 

Неполное квадратное уравнение – уравнение, в котором коэффициент b  и или свободный член с равны нулю:

1. если коэффициент b = 0 , уравнение имеет вид: ax² + 0*x + c = 0 = ax² + c = 0

2. если свободный член c = 0 , уравнение имеет вид: ax² + b*x + 0 = 0 = ax² + b*x  = 0

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.    

Методы  решения   неполных квадратный уравнений:

Можно выделить 3  типа таких уравнений:

I. ax²  = 0, в этом уравнении коэффициент b  и свободный член c  равны 0 .

II.ax² + c = 0, в этом уравнении коэффициент b равен 0.

III. ax² + b*x = 0, в этом уравнении свободный член c  равен 0.

Рассмотрим решение каждого варианта:

1. Неполное квадратное уравнение вида ax²  + c = 0, где a ≠ 0  c ≠ 0:

1) Выразим неизвестное:

x² = -с / а

2) Проверяем знак выражения −c / a:

если −c / a , то уравнение не имеет решений,

если −c / a >0 , то уравнение имеет два корня x = √(-с/а)

2. Неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

1) Вынесем общим множитель x: ax² + bx =    x (ax + b) = 0

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 

3. Неполное квадратное уравнение вида ax² = 0, где a ≠ 0 

Данное уравнение всегда имеет только один корень: x = 0 

Рассмотрим примеры:

1.  2x² — 18 = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + c = 0)

Выразим x² = 18 / 2 = 9

x² = √9 = ±3

Ответ: −3;3.

2.  18x² + 18 = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + c = 0)

Выразим x² = -18 / 18 = -1

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения корней нет

Ответ: корней нет. Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества ∅ 

3. 3x² + 15x = 0 (данное уравнение — уравнение вида ax² + bx = 0)

Разложим левую часть на множители и найдем корни:

3x² + 15x = 0 ⇔ 3х(x + 5) = 0 ⇔ 3х = 0     ⇔    х = 0

                                                         или (х + 5) = 0  ⇔  х = -5

 Ответ: −5;0.

spishy-u-antoshki.ru