Рубрика: Школьная жизнь

Быстро найти нужную формулу для расчета онлайн. Геометрия. Алгебра.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.
Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

R — радиус окружности (круга)

D — диаметр, D = 2R

O — центр круга

π ≈ 3.14

Формула для определения длины радиуса, если известна площадь круга :

 

Формула для определения длины радиуса, если известна длина окружности :

 

R — радиус окружности (круга)

h — высота сегмента

L — длина хорды

O — центр круга

α — центральный угол

 

Формула для определения длины радиуса, если известна длина хорды :

 

---

Сегмент — часть круга ABC, отсеченная хордой AC

h —  высота сегмента ABC

L — хорда AC

R — радиус кружности

O — центр окружности

α — центральный угол AOC

 

Формула высоты через радиус и центральный угол, (h):

 

 

Формула высоты через хорду и центральный угол, (h):

 

Формула высоты через радиус и хорду, (h):

---

---

 

Дополнительные формулы для окружности:

---

Хорда — отрезок соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности, самая большая хорда.

 

L — хорда

R — радиус окружности

O — центр окружности

α — центральный угол

 

Формула длины хорды, (L):

 

 

Калькулятор для расчета длины хорды окружности :

 

Дополнительные формулы для окружности:

www-formula.ru

Окружность. Длина окружности. Касательная, дуга

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга: S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ}.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left ( \cup DmC + \cup AlB \right )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left ( \cup DmC — \cup AlB \right )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p},

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ}.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

где:

a, b, c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

academyege.ru

Найти длину радиуса окружности (круга), все основные формулы.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр и любую другую точку расположенную на линии окружности.
Окружность это замкнутая кривая линия, все точки которой, равноудалены от другой, определенной точки (центр окружности) на заданном расстоянии (радиус).

---

R — радиус окружности (круга)

D — диаметр, D = 2R

O — центр круга

π ≈ 3.14

 

Формула для определения длины радиуса, если известна площадь круга :

 

 

Формула для определения длины радиуса, если известна длина окружности :

 

R — радиус окружности (круга)

h — высота сегмента

L — длина хорды

O — центр круга

α — центральный угол

 

Формула для определения длины радиуса, если известна длина хорды :

 

Подробности

Автор: Сергей Кондратов

Опубликовано: 07 сентября 2011

Обновлено: 08 ноября 2017

www-formula.ru

Формулы круга и окружности

Понятие окружности и круга

Перед тем, как ввести основные формулы для окружности и круга, введем, непосредственно понятия окружности и круга, и связанные с ними определения.

Определение 1

Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.

Определение 2

Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.

Определение 3

Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки (Рис. 1).

Определение 4

Кругом будем называть часть плоскости, которая имеет своей границей окружность.

Длина окружности

Будем выводить длину произвольной окружности $C$ с помощью её радиуса, равного $τ$.

Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через $C$ и $C’$, у которых радиусы равняются $τ$ и $τ’$. Будем вписывать в эти окружности правильные $n$-угольники, периметры которых равняются $ρ$ и $ρ’$, длины сторон которых равняются $α$ и $α’$, соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного $n$ – угольника равняется

$α=2τsin \frac{180^0}{n}$

Тогда, будем получать, что

$ρ=nα=2nτsin \frac{180^0}{n}$

$ρ’=nα’=2nτ’sin \frac{180^0}{n}$

Значит

$\frac{ρ}{ρ’}=\frac{2nτsin \frac{180^0}{n}}{2nτ’sin \frac{180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ’}$

Получаем, что отношение $\frac{ρ}{ρ’}=\frac{2τ}{2τ’}$ будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть

$\lim_{n→∞}⁡(\frac{ρ}{ρ’})=\frac{2τ}{2τ’}$

С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть $n→∞$), будем получать равенство:

$\lim_{n→∞}⁡(\frac{ρ}{ρ’})=\frac{C}{C’}$

Из последних двух равенств получим, что

$\frac{C}{C’}=\frac{2τ}{2τ’}$

То есть

$\frac{C}{2τ}=\frac{C’}{2τ’}$

Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть

$\frac{C}{2τ}=const$

Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать $π$. Приближенно, это число будет равняться $3,14$ (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом

$\frac{C}{2τ}=π$

Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой

$C=2πτ$

Площадь круга

Будем выводить площадь $S$ произвольного круга с помощью радиуса окружности, ограничивающей его, равного $τ$.

Впишем в такую окружность правильный $n$-угольник, площадь которого равняется $S_n$. В такой многоугольник впишем окружность, площадь которого равняется $S’_n$ (рис. 2).

Будет очевидна верность неравенства

$S >S_n >S’_n$

Используем формулу, которая связывает радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного многоугольника:

$τ=Rcos \frac{180^0}{n}$

Если неограниченно увеличивать число сторон в таком правильном многоугольнике (то есть взять $n→∞$), то получим, что

$cos \frac{180^0}{n}→1$, $τ→R$

Тогда будет выполняться

$S→S’_n$, $S→S_n$

Также

$P_n→2πτ$

По формуле, площадь такого многоугольника равняется $S_n=\frac{1}{2} P_n τ$, следовательно

$S=S_n=\frac{1}{2}\cdot 2πτ\cdot τ=πτ^2$

То есть, для нахождения площади круга, нужно пользоваться формулой

$S=πτ^2$

Пример задачи

Пример 1

Найти длину окружности и площадь круга, который вписан в квадрат со стороной, равной $α$.

Решение.

Пусть нам дан квадрат $ABCD$, в который вписана окружность с центром $O$. Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 3).

Очевидно, что центр окружности будет совпадать с центром квадрата, в которой она вписана. Так как квадрат описан вокруг окружности, то его стороны будут касательными к ней, то есть радиус, проведенный, к примеру, к стороне $AB$ будет перпендикулярен к ней. Значит, диаметр окружности равняется стороне квадрата. То есть

$τ=\frac{α}{2}$

По формуле длины окружности, получим, что

$C=2π\cdot \frac{α}{2}=πα$

По формуле площади круга, получим, что

$S=π(\frac{α}{2})^2=\frac{πα}{4}$

Ответ: $C=πα$, $S=\frac{πα}{4}$.

spravochnick.ru

Круг и окружность | Формулы и расчеты онлайн

Геометрическим местом точек называется совокупность всех точек, удовлетворяющих заданным условиям. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами и обозначаются буквами r или R. Дуга — это часть окружности. Секущая — это прямая проходящая через две точки окружности. Хорда — это отрезок секущей, лежащий внутри окружности. С приближением к центру хорда увеличивается.

Окружность и радиус

Окружность и дуга окружности

Окружность и секущая

Диаметр — это хорда проходящая через центр окружности (обозначается d или D). Диаметр равен двум радиусам:

\[d=2r\]

Круг есть часть плоскости, лежащая внутри окружности. Касательная — это прямая пересекающаяся окружность только в одной точке. Касательная это выродившаяся секущая. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу проведенному в точку касания. Из одной точки вне круга можно провести к окружности две касательные. Их длины будут равны.

Окружность и касательная

Сегмент окружности

Сектор окружности

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой. Стрелка дуги — это перпендикуляр восстановленный из середины хорды до пересечения с дугой. Высота сегмента — это длина стрелки дуги. Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. Квадрант — это сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°.

В помощь студенту

Круг и окружность	стр. 240

www.fxyz.ru

Внеклассный урок — Окружность

Окружность

Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

 

Основные понятия:

Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.

Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).

Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).

Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).

Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.

Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.

1 радиан – это угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса (рис.4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (рис.3).

  Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

 

Длина окружности и площадь круга:

Обозначения:
Длина окружности – C
Длина диаметра – d
Длина радиуса – r

Значение π:
Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).

π = 3,1416

Или:

π = 3,14

Или:

       22
 π = —
        7

Формула длины окружности:

C = πd, или C = 2πr

 

Формулы площади круга:

S = πr²

      C · r
S = ——
          2

        π · D²
S = ———
           4

 

Площадь кругового сектора и кругового сегмента.

Круговой сектор – это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. Формула площади кругового сектора:                                                                         πR2                                                               S = ——— α                                                                         360 где π – постоянная величина, равная 3,1416; R – радиус круга; α – градусная мера соответствующего центрального угла. Круговой сегмент – это общая часть круга и полуплоскости. Формула площади кругового сегмента:                                                                         πR2                                                               S = ——— α  ±  SΔ                                                                         360 где α – градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента; SΔ  — площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «минус» надо брать, когда α < 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α > 180˚.

 

Уравнение окружности в декартовых координатах x, y c центром в точке (a;b):

(x – a)² + (y – b)² = R²

 

Окружность, описанная около треугольника (рис.4).

Если от середины каждой из сторон треугольника провести перпендикуляры, то точка их пересечения будет центром окружности, описанной около этого треугольника.

 

Окружность, вписанная в треугольник (рис.5).

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

 

Углы, вписанные в окружность (рис.3).

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

 

Основные понятия:

Угол делит плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом.

Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Плоский угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис.2)

Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то AS · BS = CS · DS. (рис.6)

 

Если из точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках A, B и C, D, то AP · BP = CP · DP (рис.7)

 

Частные случаи и формулы:

1) Из точки C, находящейся вне окружности,  проведем касательную к окружности и обозначим точку их соприкосновения буквой D.

Затем из той же точки C проведем секущую и точки пересечения секущей и окружности обозначим буквами А и B (рис.8).

В этом случае:

CD² = AC · BC

 

2) Проведем в окружности диаметр AB. Затем из точки C, находящейся на окружности, проведем перпендикуляр к этому диаметру и обозначим получившийся отрезок CD (рис.9).

В этом случае:

CD² = AD · BD.

raal100.narod.ru

Формулы для длины окружности и площади круга и пример их использования

Окружность и круг — две совершенные плоские фигуры, свойства которых изучают в обязательном порядке в любом школьном курсе геометрии. В этой статье мы рассмотрим, как находить длину окружности и площадь круга, используя простые математические формулы.

В чем разница между окружностью и кругом?

Прежде чем переходить к рассмотрению формул длины окружности и площади круга, следует привести определения этих фигур.

В геометрии под окружностью понимают совокупность точек на плоскости, которые находятся от фиксированной точки на одинаковом расстоянии R. В свою очередь, круг — это набор точек плоскости, которые от заданной точки расположены на расстояниях, равных или меньших, чем некоторое число R. Иными словами, окружность представляет собой одну единственную кривую линию, а круг занимает некоторую площадь. Окружность — это «обод» круга.

Именно поэтому, вопрос, как находить площадь окружности, считается некорректно поставленным. Окружность (единственная линия) не имеет площади, однако имеет длину. Для круга же разговор о площади имеет смысл, кроме того, также можно говорить и о длине окружности, которая его ограничивает.

Основные свойства рассматриваемых фигур

Окружность и круг обладают рядом общих характеристик, которые кратко перечислим ниже:

1. Они имеют радиус R (длина отрезка, соединяющего центр фигуры с ее краем).
2. Если провести через них такой отрезок, который пройдет через центр и соединит два края фигуры, то он будет равен 2 * R и называется диаметром (D).
3. Любая ось, проходящая через диаметр, делит фигуру на две равные части.
4. Поворот на произвольный угол круга или окружности вокруг оси, проходящей через его/ее центр и перпендикулярной плоскости фигуры, является операцией симметрии.

Формулы для длины окружности и площади круга

Познакомившись с понятием и основными свойствами рассматриваемых плоских фигур, можно перейти к количественному определению их размеров. Длина окружности и площадь круга вычисляются по следующим двум формулам:

1. L = 2 * π * R.

2. S = π * R²

Из этих формул следует, что величина R — радиус — полностью характеризует свойства обеих фигур. Величина L измеряется в метрах (~R), а S — в метрах квадратных (~R²).

В формулах символ π представляет некоторую константу, которая является иррациональным числом (ее нельзя вычислить точно). С точностью до 4 знаков после запятой число π равно 3,1416. Отметим, что при выполнении расчетов эта константа может быть заменена дробью 201/64. Если вычислить значение этой дроби, то получится число 3,1406, которое всего на 0,03 % отличается от истинной константы.

Заметим, что формула для длины окружности справедлива также для определения аналогичной характеристики круга.

Указанные формулы могут быть переписаны через диаметр, учитывая, что D = 2 * R, получаем:

1) L = π * D;

2) S = π * D²/4.

Использование рассмотренных формул для решения задачи

Формулы для площади круга и длины окружности используем для решения задач. Например, у Маши имеется кусок ткани прямоугольной формы, размеры которой равны 5 x 4 метра. Необходимо определить, какого максимального размера круг она сможет вырезать из этой ткани.

Смысл этой задачи состоит в определении размера круга, вписанного в четырехугольник. Эта ситуация изображена на рисунке ниже.

Из рисунка можно заметить, что диаметр вписанного круга D будет равен длине наименьшей стороны четырехугольника, в данном случае D = 4 метра. Зная диаметр, можно непосредственно применить формулы, которые записаны для длины и площади этой фигуры в предыдущем пункте статьи. Имеем:

1. L = π * D = 3,1416 * 4 = 12,5664 м.

2. S = π * D²/4 = 3,1416 * 4²/4 = 12,5664 м².

Мы получили любопытный результат: площадь круга равна точно такой же величине, что и длина его окружности, но единицы измерения являются разными для них. Этот результат является простым совпадением, поскольку D=4 — это единственное число, для которого абсолютные значения L и S равны.

fb.ru

64. Вывод табличных производных. Производная постоянной.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения.

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x.

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Перед началом изучения данной статьи рекомендуем вспомнить определение и свойства обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x.

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке существует конечная производная обратной функции g(y), причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x— аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных.

Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций.

Начнем с производной арксинуса.

Для обратной функцией является . Тогда по формуле производной обратной функции получаем

Осталось провести преобразования.

Так как областью значений арксинуса является интервал , то (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому , а не рассматриваем.

Следовательно, . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1).

Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:

Найдем производную арктангенса.

Для обратной функцией является .

Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.

Пусть arctgx = z, тогда

Следовательно,

Схожим образом находится производная арккотангенса:

studfiles.net

Таблица производных. Таблица производных полная для студентов и правила дифференцирования. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.

dpva.ru

Таблица производных тригонометрических функций

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

См. также: Таблица производных тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций Для нахождения производных от тригонометрических функций применяют следующие правила дифференцирования: (sin x )’ = cos x  Производная синуса от икс равна косинусу от икс (cos x )’ = -sin x  Производная косинуса от икс равна минус синус икс (tg x)’ = 1/ cos2x = 1 + tg2 x  Производную тангенса от икс можно найти как  единицу, деленную на косинус квадрат икс единицу плюс тангенс квадрат икс (ctg x)’ = — 1/ sin2x = -(1 + ctg2 x)  Производную котангенса от икс, аналогично можно представить двумя выражениями:  минус единицу, деленную на синус квадрат икс минус сумму единицы и котангенса квадрат икс (arcsin x)’ = 1/(√(1-x2)) Производная арксинуса икс равна единице, деленной на корень из разности единицы и икс квадрат (arccos x)’ = -1/(√(1-x2)) Производная арккосинуса икс равна минус единице, деленной на корень из разности единицы и икс квадрат ( arctg x )’ = 1 / ( 1 + x2 )  Производная арктангенса от икс равна дроби, в числителе которой находится единица, а в знаменателе — единица плюс икс квадрат ( arcctg x )’ = -1 / ( 1 + x2 )  Производная арккотангенса от икс равна минус единице, деленной на сумму единицы и икс квадрат (sex x)’ = tg x sec x Производная секанса от икс равна произведению тангенса икс и секанса икс (cosec x)’ = -ctg x cosec x Производная косеканса от икс равна минус котангенс икс умноженный на косеканс икс (arcsec x)’ = 1 / (|x|√(x2 -1)) Производная арксеканса икс равна дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе произведение модуля икс и корня квадратного разности икс квадрат и единицы (arccosec x)’ = — 1 / (|x|√(x2 -1))  Производная арккосеканса икс равна дроби, в числителе которой минус единица, а в знаменателе произведение модуля икс и корня квадратного разности икс квадрат и единицы  Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций | Описание курса | Производная числа

profmeter.com.ua

Таблица производных элементарных функций, производная функции

Таблица производных — нужна для вычисления производной, что в свою очередь является важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Поэтому используя таблицу производных вы сможете быстро решить любую задачу.

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (можно обозначить prime или

Общие формулы дифференцирования

В данных приведенных формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции, а c — константа. Формул дифференцирования, что приведены ниже, абсолютно достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

(производная постоянного числа)

(производная суммы)

(производная произведения)

(производная доли)

Таблица производных элементарных функций

Производная от константы

где

Производная степенной функции

Производная показательной функции

Производная экспоненты

Производная логарифма

Производная натурального логарифма

Производная косинуса

Производная синуса

Производная тангенса

Производная котангенса

Производные обратных тригонометрических функций

Производные гиперболических функций

Можете узнать производную сложной функции

Или найти вторую производную

Или стоит лучше понять, что такое производная?

cubens.com

Таблица производных

На данной странице будет приведена таблица производных, а также множество примеров её использования.

Для каждой типовой производной из списка будет дана ссылка, по каждой из которых описано, как же использовать сайт Контрольная работа.Ру, чтобы посчитать более сложные производные

Также вы можете посмотреть видео, где просто понять, как решать производные с помощью калькуляторов на этом сайте и как получить подробное решение!

Таблица

Ниже в таблице представлены производные, а также рядом ссылки на примеры применения таблицы и калькулятора для решения более сложных функций

Синус

sin(x)

(sin(x))’ = cos(x)

Косинус

cos(x)

(cos(x))’ = — sin(x)

Тангенс

tg(x)

(tg(x))’ = tg^2(x) + 1

Корень

sqrt(x)

(sqrt(x))’ = 1/2*1/sqrt(x)

Дробь

1/x

(1/x)’ = -1/x^2

Показательная

a^x

(a^x)’ = a^x*ln(a)

Степенная

x^n

(x^n)’ = n*x^(n-1)

Натуральный логарифм

ln(x)

(ln(x))’ = 1/x

Квадрат

x^2

(x^2)’ = 2*x

Арктангенс

arctg

(arctg(x))’ = 1/(x^2 + 1)

Подробное решение производной

По ссылке http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ вы можете получить подробное решение производной без всякого использования таблицы производных, что лишний раз говорит о том, что удобно использовать сайт Контрольная работа Ру в практическом смысле.

www.kontrolnaya-rabota.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ =
= f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)

      Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, .

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

tehtab.ru

Механика — Формулы по физике.doc

www.fizikak.ru

физика формулы4

I. Механика.

1. Кинематика.

а) РавноМерное движение s = vt — перемещение

b) РавноУскоренное движение

с) Движение по окружности

ацс = — II закон Ньютона

2. Динамика.

F = ma — II закон Ньютона

F тр = µN — сила трения

Fупр = -kx — сила упругости

Fтяж = mg — сила тяжести

3. Статика.

M = ± Fd — момент силы

4. Импульс. Энергия. КПД. p = mv — импульс тела

FΔt = mv – mv0 — импульс силы

A = FsCosα — работа силы

N = — мощность

Eп = mgh — потенциальная энергия тяготения

Eп = — потенциальная энергия

пружины

II. МКТ и ТД.

1. Молекулы.

ν = — количество вещества

p = nkT — давление газа

Eк = kT — средняя кинетическая энергия

молекул

III. Термодинамика.

1. ТД идеального газа

ΔU = Q – A’ — I закон термодинамики

Q = cm(t — t0) — кол-вотеплоты при нагревании и

охлаждении

2. КПД теплового двигателя.

IV. Электродинамика.

1. Электростатика.

2. Постоянный ток.

I = — закон Ома для участка цепи

R = ρ — сопротивление проводника

P = IU = I2R = – мощность эл.тока

3. Магнитное поле.

FA = IBl Sinα — амперова сила

Fл = qvB Sinα — лоренцова сила

εi = vBl Sinα — ЭДС индукции

Wмагн = — энергия магнитного поля

катушки

V. Колебания и волны.

1. Механические колебания и волны.

studfiles.net

101 формула по физике — Vokrugfiziki

Механика

1. Давление Р=F/S

2. Плотность ρ=m/V

3. Давление на глубине жидкости P=ρ∙g∙h

4. Сила тяжести Fт=mg

5. Архимедова сила Fa=ρ_ж∙g∙Vт

6. Уравнение движения при равноускоренном движении, перемещение

X=X₀+υ₀∙t+(a∙t²)/2;  S=(υ²-υ₀²)/2а;  S=υ₀∙t+(a∙t²)/2

7. Уравнение скорости при равноускоренном движении υ=υ₀+a∙t

8. Ускорение a=(υ-υ ₀)/t

9. Скорость при движении по окружности υ=2πR/Т

10. Центростремительное ускорение a=υ²/R

11. Связь периода с частотой ν=1/T=ω/2π

12. II закон Ньютона F=ma

13. Закон Гука Fy=-kx

14. Закон Всемирного тяготения F=G∙M∙m/R²

15. Вес тела, движущегося с ускорением а↑ Р=m(g+a)

16. Вес тела, движущегося с ускорением а↓ Р=m(g-a)

17. Сила трения Fтр=µN

18. Импульс тела p=mυ

19. Импульс силы (изменение импульса) ∆p=F∙t

20. Момент силы M=F∙ℓ

21. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей Eп=mgh

22. Потенциальная энергия упруго деформированного тела Eп=kx²/2

23. Кинетическая энергия тела Ek=mυ²/2

24. Работа A=F∙S∙cosα

25. Мощность N=A/t=F∙υ

26. Коэффициент полезного действия η=(Aп/Аз)∙100%

27. Период колебаний математического маятника T=2π√ℓ/g

28. Период колебаний пружинного маятника T=2π √m/k

29. Уравнение гармонических колебаний Х=Хmax∙cosωt

30. Связь длины волны, ее скорости и периода λ= υ∙Т

Молекулярная физика и термодинамика

31. Количество вещества ν=N/ Na

32. Молярная масса М=m/ν

33. Cредняя кинетическач энергия молекул одноатомного газа Ek=3/2∙kT

34. Основное уравнение МКТ P=nkT=1/3nm₀υ²

35. Закон Гей – Люссака (изобарный процесс) V/T =const

36. Закон Шарля (изохорный процесс) P/T =const

37. Относительная влажность φ=P/P₀∙100%

38. Внутр. энергия идеал. одноатомного газа U=3/2∙M/µ∙RT

39. Работа газа A=P∙ΔV

40. Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс) PV=const

41. Количество теплоты при нагревании Q=C∙m∙(T₂-T₁)

42. Количество теплоты при плавлении Q=λ∙m

43. Количество теплоты при парообразовании Q=L∙m

44. Количество теплоты при сгорании топлива Q=q∙m

45. Уравнение состояния идеального газа PV=m/M∙R∙T

46. Первый закон термодинамики ΔU=A+Q

47. КПД тепловых двигателей η= (Q₁ — Q₂)/ Q₁

48. КПД идеал. двигателей (цикл Карно) η= (Т₁ — Т₂)/ Т₁

Электростатика и электродинамика

49. Закон Кулона F=k∙q₁∙q₂/R²

50. Напряженность электрического поля E=F/q

51. Напряженность эл. поля точечного заряда E=k∙q/R²

52. Поверхностная плотность зарядов σ = q/S

53. Напряженность эл. поля бесконечной плоскости E=2πkσ

54. Диэлектрическая проницаемость ε=E₀/E

55. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов W= k∙q₁q₂/R

56. Потенциал φ=W/q

57. Потенциал точечного заряда φ=k∙q/R

58. Напряжение U=A/q

59. Для однородного электрического поля U=E∙d

60. Электроемкость C=q/U

61. Электроемкость плоского конденсатора C=S∙ε∙ε₀/d

62. Энергия заряженного конденсатора W=qU/2=q²/2С=CU²/2

63. Сила тока I=q/t

64. Сопротивление проводника R=ρ∙ℓ/S

65. Закон Ома для участка цепи I=U/R

66. Законы последовательного соединения проводников I₁=I₂=I, U₁+U₂=U, R₁+R₂=R

67. Законы параллельного соединения проводников U₁=U₂=U, I₁+I₂=I, 1/R₁+1/R₂=1/R

68. Мощность электрического тока P=I∙U

69. Закон Джоуля-Ленца Q=I²Rt

70. Закон Ома для полной цепи I=ε/(R+r)

71. Ток короткого замыкания (R=0) I=ε/r

72. Вектор магнитной индукции B=Fmax/ℓ∙I

73. Сила Ампера Fa=IBℓsinα

74. Сила Лоренца Fл=Bqυsinα

75. Магнитный поток Ф=BSсosα Ф=LI

76. Закон электромагнитной индукции Ei=ΔФ/Δt

77. ЭДС индукции в движущемся проводнике Ei=Вℓυsinα

78. ЭДС самоиндукции Esi=-L∙ΔI/Δt

79. Энергия магнитного поля катушки Wм=L∙I²/2

80. Период колебаний кол. контура T=2π ∙√L∙C

81. Индуктивное сопротивление X_L=ωL=2πLν

82. Емкостное сопротивление Xc=1/ωC

83. Действующее значение силы тока IД=Imax/√2,

84. Действующее значение напряжения UД=Umax/√2

85. Полное сопротивление Z=√(Xc-X_L)²+R²

Оптика

86. Закон преломления света n₂₁=n₂/n₁= υ ₁/ υ ₂

87. Показатель преломления n₂₁=sinα/sinγ

88. Формула тонкой линзы 1/F=1/d + 1/f

89. Оптическая сила линзы D=1/F

90. Максимум интерференции Δd=kλ

91. Минимум интерференции Δd=(2k+1)λ/2

92. Дифракционная решетка d∙sinφ=kλ

Квантовая физика

93. Формула Эйнштейна для фотоэффекта hν=Aвых+Ek, Ek=U_зе

94. Красная граница фотоэффекта ν_к = Aвых/h

95. Импульс фотона P=mc=h/ λ=Е/с

Физика атомного ядра

96. Закон радиоактивного распада N=N₀∙2^—t/T

97. Энергия связи атомных ядер E_CB=(Zm_p+Nm_n-Mя)∙c²

СТО

98. t=t₁/√1-υ²/c²

99. ℓ=ℓ₀∙√1-υ²/c²

100. υ₂=(υ₁+υ)/1+ υ₁∙υ/c²

101. Е = mс²

vokrugfiziki.ru

Формулы по физика.doc — Формулы по физике

Механика
1. Давление Р=F/S
2. Плотность ρ=m/V
3. Давление на глубине жидкости P=ρ∙g∙h
4. Сила тяжести Fт=mg
5. Архимедова сила Fa=ρж∙g∙Vт
6. Уравнение движения при равноускоренном движении
m(g+a)
m(g­a)
X=X0+υ0∙t+(a∙t2)/2 S= (υ2­υ0
2) /2а S= (υ+υ0) ∙t /2
7. Уравнение скорости при равноускоренном движении υ=υ0+a∙t
8. Ускорение a=(υ­υ 0)/t
9. Скорость при движении по окружности υ=2πR/Т
10. Центростремительное ускорение a=υ2/R
11. Связь периода с частотой ν=1/T=ω/2π
12.
II закон Ньютона F=ma
13. Закон Гука Fy=­kx
14. Закон Всемирного тяготения F=G∙M∙m/R2
15. Вес тела, движущегося с ускорением а Р=
16. Вес тела, движущегося с ускорением а Р=
17. Сила трения Fтр=µN
18. Импульс тела p=mυ
19. Импульс силы Ft=∆p
20. Момент силы M=F∙?
21. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей Eп=mgh
22. Потенциальная энергия упруго деформированного тела Eп=kx2/2
23. Кинетическая энергия тела Ek=mυ2/2
24. Работа A=F∙S∙cosα
25. Мощность N=A/t=F∙υ
26. Коэффициент полезного действия η=Aп/Аз
27. Период колебаний математического маятника T=2 √?/π
28. Период колебаний пружинного маятника T=2
29. Уравнение гармонических колебаний Х=Хmax∙cos
30. Связь длины волны, ее скорости и периода λ= υТ

Молекулярная физика и
термодинамика
31. Количество вещества ν=N/ Na
32. Молярная масса
33. Cр. кин. энергия молекул одноатомного газа Ek=3/2∙kT
34. Основное уравнение МКТ P=nkT=1/3nm0υ2
35. Закон Гей – Люссака (изобарный процесс) V/T =const
36. Закон Шарля (изохорный процесс) P/T =const
37. Относительная влажность φ=P/P0∙100%
38. Внутр. энергия идеал. одноатомного газа U=3/2∙M/µ∙RT
39. Работа газа A=P∙ΔV
40. Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс) PV=const
41. Количество теплоты при нагревании Q=Cm(T2­T1)
g
√π m/k
tω
↑
↓
М=m/ν
Оптика
86. Закон преломления света n21=n2/n1= υ 1/ υ 2
87. Показатель преломления n21=sin α/sin γ
88. Формула тонкой линзы 1/F=1/d + 1/f
89. Оптическая сила линзы D=1/F
90. max интерференции: Δd=kλ,
91. min интерференции: Δd=(2k+1)λ/2
92. Диф.решетка d∙sin φ=k λ
Квантовая физика
93. Ф­ла Эйнштейна для фотоэффекта
hν=Aвых+Ek, Ek=Uзе
94. Красная граница фотоэффекта νк = Aвых/h
95. Импульс фотона P=mc=h/ λ=Е/с
Физика атомного ядра
96. Закон радиоактивного распада N=N0∙2­t/T
97. Энергия связи атомных ядер
ECB=(Zmp+Nmn­Mя)∙c2
СТО
t=t1/√1­υ2/c2
98.
99. ?=?0∙√1­υ2/c2
100. υ2=(υ1+υ)/1+ υ1∙υ/c2
101. Е = mс2
42. Количество теплоты при плавлении Q= mλ
43. Количество теплоты при парообразовании Q=Lm
44. Количество теплоты при сгорании топлива Q=qm
45. Уравнение состояния идеального газа
PV=m/M∙RT
46. Первый закон термодинамики ΔU=A+Q
47. КПД тепловых двигателей = (η Q1 ­ Q2)/ Q1
48. КПД идеал. двигателей (цикл Карно) = (Тη
1 ­ Т2)/ Т1
Электростатика и электродинамика
49. Закон Кулона F=k∙q1∙q2/R2
50. Напряженность электрического поля E=F/q
51. Напряженность эл. поля точечного заряда E=k∙q/R2
52. Поверхностная плотность зарядов σ = q/S
53. Напряженность эл. поля бесконечной плоскости E=2 kπ σ
54. Диэлектрическая проницаемость ε=E0/E
55. Потенциальная энергия взаимод. зарядов W= k∙q1q2/R
56. Потенциал φ=W/q
57. Потенциал точечного заряда =φ k∙q/R
58. Напряжение U=A/q
59. Для однородного электрического поля U=E∙d
60. Электроемкость C=q/U
61. Электроемкость плоского конденсатора C=S∙ε∙ε0/d
62. Энергия заряженного конденсатора W=qU/2=q²/2С=CU²/2
63. Сила тока I=q/t
64. Сопротивление проводника R=ρ∙?/S
65. Закон Ома для участка цепи I=U/R
66. Законы послед. соединения I1=I2=I, U1+U2=U, R1+R2=R
67. Законы паралл. соед. U1=U2=U, I1+I2=I, 1/R1+1/R2=1/R
68. Мощность электрического тока P=I∙U
69. Закон Джоуля­Ленца Q=I2Rt
70. Закон Ома для полной цепи I=ε/(R+r)
71. Ток короткого замыкания (R=0) I=ε/r
72. Вектор магнитной индукции B=Fmax/?∙I
73. Сила Ампера Fa=IB?sin α
74. Сила Лоренца Fл=Bqυsin α
75. Магнитный поток Ф=BSсos α Ф=LI
76. Закон электромагнитной индукции Ei=ΔФ/Δt
77. ЭДС индукции в движ проводнике Ei=В?υsinα
78. ЭДС самоиндукции Esi=­L∙ΔI/Δt
79. Энергия магнитного поля катушки Wм=LI2/2
80. Период колебаний кол. контура T=2 ∙√π LC
81. Индуктивное сопротивление XL= Lω =2 Lπ ν
82. Емкостное сопротивление Xc=1/ Cω
83. Действующее значение силы тока Iд=Imax/√2,
84. Действующее значение напряжения Uд=Umax/√2
85. Полное сопротивление Z=√(Xc­XL)2+R2

znanio.ru

Формулы по физике для ЕГЭ и 7-11 класса

Рубрика: Подготовка к ЕГЭ по физике

Шпаргалка с формулами по физике для ЕГЭ

и не только (может понадобиться 7, 8, 9, 10 и 11 классам).

Для начала картинка, которую можно распечатать в компактном виде.

Механика

1. Давление                      Р=F/S
2. Плотность                   ρ=m/V
3. Давление на глубине жидкости   P=ρ∙g∙h
4. Сила тяжести                       Fт=mg
5. 5. Архимедова сила                 Fa=ρ_ж∙g∙Vт
6. Уравнение движения  при равноускоренном  движении

X=X₀+υ₀∙t+(a∙t²)/2                    S= (υ²—υ₀²)^{/2а         S= (υ+υ₀) ∙t /2}

1. Уравнение скорости  при равноускоренном движении υ=υ₀+a∙t
2. Ускорение            a=(υ—υ ₀)/t
3. Скорость при движении по окружности υ=2πR/Т
4. Центростремительное ускорение  a=υ²/R
5. Связь периода с частотой ν=1/T=ω/2π
6. II закон Ньютона                F=ma
7. Закон Гука                          Fy=-kx
8. Закон Всемирного тяготения  F=G∙M∙m/R²
9. Вес тела, движущегося с ускорением а↑      Р=m(g+a)
10. Вес тела, движущегося с ускорением а↓      Р=m(g-a)
11. Сила трения                     Fтр=µN
12. Импульс тела                       p=mυ
13. Импульс силы                     Ft=∆p
14. Момент силы                    M=F∙ℓ
15. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей Eп=mgh
16. Потенциальная энергия упруго деформированного тела Eп=kx²/2
17. Кинетическая энергия тела Ek=mυ²/2
18. Работа            A=F∙S∙cosα
19. Мощность     N=A/t=F∙υ
20. Коэффициент полезного действия η=Aп/Аз
21. Период колебаний математического маятника T=2π√ℓ/g
22. Период колебаний пружинного маятника T=2 π √m/k
23. Уравнение гармонических колебаний  Х=Хmax∙cos ωt
24. Связь длины волны, ее скорости и периода λ= υТ

Молекулярная физика и термодинамика

1. Количество вещества              ν=N/ Na
2. Молярная масса                           М=m/ν
3. Cр. кин. энергия молекул одноатомного газа Ek=3/2∙kT
4. Основное уравнение МКТ      P=nkT=1/3nm₀υ²
5. Закон Гей – Люссака (изобарный процесс)    V/T =const
6. Закон Шарля (изохорный процесс)    P/T =const
7. Относительная влажность φ=P/P₀∙100%
8. Внутр. энергия идеал. одноатомного газа U=3/2∙M/µ∙RT
9. Работа газа A=P∙ΔV
10. Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс)    PV=const
11. Количество теплоты при нагревании  Q=Cm(T₂-T₁)
12. Количество теплоты при плавлении   Q=λm
13. Количество теплоты при парообразовании  Q=Lm
14. Количество теплоты при сгорании топлива  Q=qm
15. Уравнение состояния идеального газа PV=m/M∙RT
16. Первый закон термодинамики   ΔU=A+Q
17. КПД тепловых двигателей         η= (Q₁ — Q₂)/ Q₁
18. КПД идеал. двигателей  (цикл Карно)     η= (Т₁ — Т₂)/ Т₁

https://5-ege.ru/formuly-po-fizike-dlya-ege/

Электростатика и электродинамика – формулы по физике

1. Закон Кулона F=k∙q₁∙q₂/R²
2. Напряженность электрического поля E=F/q
3. Напряженность эл. поля точечного заряда E=k∙q/R²
4. Поверхностная плотность зарядов             σ = q/S
5. Напряженность эл. поля бесконечной плоскости E=2πkσ
6. Диэлектрическая проницаемость ε=E₀/E
7. Потенциальная энергия взаимод. зарядов W= k∙q₁q₂/R
8. Потенциал φ=W/q
9. Потенциал точечного заряда φ=k∙q/R
10. Напряжение U=A/q
11. Для однородного электрического поля U=E∙d
12. Электроемкость C=q/U
13. Электроемкость плоского конденсатора C=S∙ε∙ε₀/d
14. Энергия заряженного конденсатора W=qU/2=q²/2С=CU²/2
15. Сила тока I=q/t
16. Сопротивление проводника R=ρ∙ℓ/S
17. Закон Ома для участка цепи I=U/R
18. Законы послед. соединения I₁=I₂=I, U₁+U₂=U, R₁+R₂=R
19. Законы паралл. соед.   U₁=U₂=U, I₁+I₂=I, 1/R₁+1/R₂=1/R
20. Мощность электрического тока P=I∙U
21. Закон Джоуля-Ленца Q=I²Rt
22. Закон Ома для полной цепи I=ε/(R+r)
23. Ток короткого замыкания (R=0)      I=ε/r
24. Вектор магнитной индукции B=Fmax/ℓ∙I
25. Сила Ампера Fa=IBℓsin α
26. Сила Лоренца Fл=Bqυsin α
27. Магнитный поток Ф=BSсos α      Ф=LI
28. Закон электромагнитной индукции Ei=ΔФ/Δt
29. ЭДС индукции в движ проводнике Ei=Вℓυsinα
30. ЭДС самоиндукции Esi=-L∙ΔI/Δt
31. Энергия магнитного поля катушки Wм=LI²/2
32. Период колебаний кол. контура T=2π ∙√LC
33. Индуктивное сопротивление X_L=ωL=2πLν
34. Емкостное сопротивление Xc=1/ωC
35. Действующее значение силы тока Iд=Imax/√2,
36. Действующее значение напряжения Uд=Umax/√2
37. Полное сопротивление Z=√(Xc-X_L)²+R²

Оптика

1. Закон преломления света     n₂₁=n₂/n₁= υ ₁/ υ ₂
2. Показатель преломления      n₂₁=sin α/sin γ
3. Формула тонкой линзы       1/F=1/d + 1/f
4. Оптическая сила линзы       D=1/F
5. max интерференции: Δd=kλ,
6. min интерференции: Δd=(2k+1)λ/2
7. Диф.решетка             d∙sin φ=k λ

Квантовая физика

1. Ф-ла Эйнштейна для фотоэффекта  hν=Aвых+Ek, Ek=U_зе
2. Красная граница фотоэффекта ν_к = Aвых/h
3. Импульс фотона P=mc=h/ λ=Е/с

Физика атомного ядра

1. Закон радиоактивного распада N=N₀∙2^—t/T
2. Энергия связи атомных ядер

E_CB=(Zm_p+Nm_n-Mя)∙c²

СТО

1. t=t₁/√1-υ²/c²
2. ℓ=ℓ₀∙√1-υ²/c²
3. υ₂=(υ₁+υ)/1+ υ₁∙υ/c²
4. Е = mс²

Скачать эти формулы в doc: formuly-po-fizike-5-ege.ru (файл расположен на 5-ege.ru).

Рекомендуем:

5-ege.ru

Ответы@Mail.Ru: Формула Веса. Физика.

mg масса + ускорение свободного падения

mg масса + ускорение свободного падения

Вес тела (P=m*g) равен силе тяжести (F тяж. =m*g)

Я тупой, а уже 9 класс

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Периметр треугольника — формулы, пример расчета, калькуляторы

Периметром треугольника, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.
Формула периметра треугольника выглядит так:

Целые и рациональные числа

Вы уже знаете, что числа, которые мы используем в счёте, называют натуральными. Кстати, натуральные числа – это один из первых математических объектов, который стал изучать человек, так как повседневная жизнь требовала использования натуральных чисел на практике, и в частности, в счёте.

Поэтому и изучение математики в школе мы начинали именно со знакомства с натуральными числами.

Итак, давайте перечислим натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и так далее. Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают заглавной латинской буквой .

С понятием натуральных чисел мы с вами разобрались, а теперь давайте перейдём к действиям с ними. И ответим на вопрос: какие числа получают при сложении и умножении натуральных чисел?

Конечно же, вам не составит труда ответить на этот вопрос. И вы сразу скажете, что при сложении натуральных чисел всегда получают натуральные числа.

И при умножении натуральных чисел тоже всегда получают натуральные числа.

Тогда возникает новый вопрос: а какие числа мы получим при вычитании и делении натуральных чисел?

Так вот, при нахождении разности и частного натуральных чисел не всегда получаются натуральные числа.

В связи с этим математикам пришлось расширять знания, связанные с числами.

Если мы добавим к натуральным числам нуль и отрицательные числа (то есть числа, которые противоположны натуральным), то множество натуральных чисел расширится до множества целых чисел.

Множество целых чисел принято обозначать заглавной латинской буквой . Оно состоит из следующих элементов: .

Мы с вами разобрались с понятием целых чисел, а теперь давайте перейдём к действиям с ними. Понятно, что при сложении, вычитании и умножении целых чисел всегда получают целые числа.

Чего нельзя сказать о делении целых чисел. При нахождении частного двух целых чисел в результате не всегда получают целые числа.

(

Следовательно, понятия, связанные с числами, пришлось расширять дальше. Так, множество целых чисел расширили, введя множество рациональных чисел.

Итак, числа вида , где m – целое число, n – натуральное число, составляют множество рациональных чисел. Это множество принято обозначать заглавной латинской буквой . Кстати, любое целое число можно представить в виде рационального, например, число m можно представить в виде .

Множество рациональных чисел позволило находить частное любых двух целых чисел при условии, что делитель не равен нулю.

Кроме того, при выполнении всех четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получают рациональные числа.

Рациональное число можно представить в виде дроби , где m – целое число, k – натуральное число. Если рациональное число можно представить в виде дроби , где m – целое число, k – натуральное число, то его можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Заметим, что одно и то же рациональное число можно представить различными дробями, которые получаются из несократимой дроби умножением её числителя и знаменателя на одно и то же целое число, отличное от нуля.

Существуют и рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Если, например, мы попытаемся записать число  в виде десятичной дроби, используя алгоритм деления уголком, то получим бесконечную десятичную дробь ….

Напомним, что такую бесконечную десятичную дробь называют периодической, а повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Нашу периодическую дробь … коротко записывают так: . А читают нашу периодическую дробь так: «нуль целых и три в периоде».

Тогда можем сделать такой вывод: любая периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или группа цифр – период дроби.

Например, десятичная дробь …. Она равна . Это периодическая дробь с периодом 23. Читают эту дробь так: «пятнадцать целых семнадцать сотых и двадцать три в периоде».

Заметим, что каждое целое число или конечную десятичную дробь можно считать и бесконечной десятичной периодической дробью с периодом, равным нулю.

Вообще, любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной дроби двумя способами: с периодом 0 и с периодом 9.

Давайте договоримся в дальнейшем не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо таких дробей будем записывать конечные десятичные дроби или бесконечные десятичные дроби с периодом 0.

Таким образом, можем сделать следующий вывод: каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное число.

Вообще, при делении целого числа m на натуральное число n на некотором шаге остаток может стать равным нулю, тогда в результате деления получается целое число или конечная десятичная дробь. Либо же при делении целого числа m на натуральное число n на некотором шаге остатки начинают повторяться, так как каждый из остатков меньше n, тогда в результате деления получается бесконечная десятичная периодическая дробь.

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Итак, задание первое. Запишите в виде бесконечной десятичной дроби: а) ;     б) .

Решение.

Задание второе. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) ;     б) .

Решение.

И последнее задание. Покажите, что … .

Решение.

videouroki.net

рациональные числа — ПриМат

Натуральные, целые и рациональные числа

В процессе счёта возникли натуральные числа.
.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
.
Например:
Во множестве рациональных чисел выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени , однако, простейшее уравнение , не всегда разрешимо в , в частности, уравнение не имеет решений в .

Необходимость иррациональных чисел

Докажем, что уравнение не имеет решений в .

Теорема

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
 Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа и — числитель и знаменатель данного рационального числа; и  — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).

 — чётное число, тогда — чётное.

Отсюда:

 — чётное  — чётное.

Получили противоречие того утверждения, что и — взаимно простые.

Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

 — конечная десятичная дробь;
.
— бесконечная периодическая десятичная дробь.
 .
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где  — первый член геометрической прогрессии,   — знаменатель прогрессии.
Получим:
.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с в периоде.
.
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с с бесконечной периодической периодической дробью с .
 

Тест «Существование иррациональных чисел».

Лимит времени: 0

Информация

Тестовые задания по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло